ESTADÍSTICA INFERENCIAL - UNID Variables aleatorias continuas. Definición de variable...

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    Sesión No. 6

    Nombre: Distribuciones de probabilidad para variables

    aleatorias continuas

    Contextualización

    Las variables aleatorias discretas son aquellas que toman estrictamente valores

    enteros, por lo que generalmente se aplican en procesos probabilísticos de

    conteo. Por su parte, las variables aleatorias continuas no se restringen a

    valores enteros, sino que pueden asumir, además de éstos, valores decimales

    comprendidos entre valores enteros, es decir, pueden tomar cualquier valor de

    manera continua que se encuentre entre valores discretos. En términos

    matemáticos, los valores discretos se denominan numerables, mientras que a

    los valores continuos se les conoce como no numerables.

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    Introducción al Tema

    En esta sesión se estudiarán distribuciones de probabilidad de variables

    aleatorias continuas, específicamente la distribución normal, así como su

    aproximación a la distribución binomial, dando el conocimiento del uso de sus

    formulas y las diferencias que caracterizas a cada una de estas, sabiendo como

    y donde se pueden aplicar para tener un resultado mas preciso.

    Al conocer estos elementos también podrás apreciar la forma en que se grafican

    éstas y los atributos con los que cuenta cada una de estas representaciones, es

    importante tener nociones de bases matemáticas para determinar un

    conocimiento completo sobre la estadística y la forma en que se explotan los

    datos que encontramos presentes.

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    Explicación

    Variables aleatorias continuas. Definición de variable aleatoria

    continua

    Sea ε un experimento y Ώ su respectivo espacio muestral asociado. A la función

    (o relación) X, que asigna un número real X(ω) a cada elemento ω (letra griega

    omega, en minúscula) que pertenece a Ώ, se le denomina variable aleatoria

    continua si X(ω) puede tomar valores continuos, es decir, valores decimales que

    se encuentran entre valores discretos o enteros a, b. En este sentido, el

    conjunto {a ≤X ≤b} es un suceso o evento de Ώ. Si la distribución de probabilidad

    de la variable aleatoria se rige por una función f, 1 entonces la probabilidad de

    que la variable aleatoria X tome un valor entre los números a y b se denota

    como P(a ≤X ≤b) y equivale al área bajo la curva de f entre x = a y x = b.

    Área que puede obtenerse mediante el cálculo de

    la siguiente integral:

    P(a ≤X ≤b)=

    Este concepto se explicará más adelante en esta

    misma sesión, sin embargo, cabe aclarar que no

    es necesario tener conocimientos de cálculo

    integral para su manejo pues existen tablas que permiten realizar cálculos de

    probabilidad sin tener que desarrollar una integral. Al igual que las variables

    aleatorias discretas, las continuas cumplen con dos características

    fundamentales:

    • (x) 0 La probabilidad de ocurrencia de un evento en particular es mayor

    o igual que cero.

    x)dx=1 La suma de las probabilidades de ocurrencia de todos los posibles

    eventos del espacio muestral es igual a la unidad o al cien por ciento.

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    Distribución normal de probabilidad

    Al estudiar alguna característica particular de diversos fenómenos naturales y

    sociales, se dice que asumen un comportamiento normal aquellos que

    concentran la mayoría de las observaciones cercanas a un valor promedio y la

    minoría en valores extremos. Por ejemplo:

    • Al medir la estatura de un grupo de personas de la misma edad, la

    mayoría de ellas tiene una estatura muy cercana a un cierto valor

    promedio.

    • Al pesar a un grupo de personas de la misma edad, la mayoría de ellas

    tienen un peso muy cercano a un cierto valor promedio.

    • Si se mide el coeficiente intelectual de un grupo de personas de la misma

    edad, la mayoría de ellas tienen un coeficiente muy cercano a un cierto

    valor promedio.

    La distribución normal tiene una representación gráfica en forma de campana,

    frecuentemente denominada campana de Gauss en honor al célebre matemático

    alemán Karl F. Gauss, quien realizó importantes aportaciones al estudio de la

    distribución normal. Esta representación gráfica se caracteriza por ser una curva

    simétrica respecto al eje y.

    En la gráfica se observa que los valores

    de una distribución normal tienden a

    acumularse en el centro y a disminuir

    en los extremos. La función de

    distribución de probabilidad normal está

    dada por:

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    Definición de distribución normal

    Sea X una variable aleatoria. La expresión:

    Significa que X se distribuye como una normal, con parámetros μ (letra griega

    mu) y σ (letra griega sigma), donde:

    • X=Variable aleatoria.

    • μ=Media poblacional.

    • •σ=Desviación estándar poblacional.

    Una vez que se sabe que un fenómeno tiene una distribución normal y se

    conoce la media y la desviación estándar poblacionales, puede entonces

    calcularse la probabilidad de ocurrencia de ciertos eventos; por ejemplo, la

    probabilidad de que al seleccionar a una persona de un grupo de individuos de

    la misma edad:

    • Su estatura sea menor que un valor dado.

    • Su estatura sea mayor que un valor dado.

    • Su estatura se encuentre entre dos valores determinados.

    Área bajo la curva de una distribución normal

    Como ya se mencionó, el cálculo de probabilidad de ocurrencia de eventos

    asociados a una variable aleatoria con distribución normal equivale a calcular el

    área bajo la curva normal delimitada por ciertos valores. Por ejemplo, la

    Secretaría de la Defensa Nacional lleva un registro de todos los jóvenes que

    prestan su servicio militar. Considerando que sus edades son muy similares,

    puede resultar de interés que al seleccionar a uno de ellos:

    • Su estatura sea menor que un valor x1, lo que se denota como P( X ≤x1 )

    • Su estatura sea mayor que un valor x2, lo que se denota como P( X ≤x2 )

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    • Su estatura se encuentre entre los valores x1 y x2, lo que se denota como

    P(x1≤X≤x2). Esto significaría calcular el área bajo la curva mediante las

    siguientes integrales:

    Por la complejidad de estos cálculos, se ha optado por desarrollar tablas de

    distribución normal de las cuales podrían tomarse directamente los valores de

    estas integrales.

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    Conclusión

    Con la representación grafica se puede conocer de una forma mas precisa el

    actuar de los elementos que se estudian, es decir, con las áreas sombreadas

    dentro de una grafica se puede conocer lo que abarca o lo que no, dando la

    oportunidad de conocer los elementos que se buscan o a los que se desea dar

    una presencia mas amplia.

    Para lograr graficar se tiene que conocer la forma de resolver integrales y los

    elementos que pueden determinarse con estas operaciones. Se requiere del

    conocimiento de la prioridad de elementos para que los resultados no se alteren,

    es decir, saber si primero se multiplica, se suma, se resta o multiplica, y tener los

    conocimientos necesarios en los despejes de ecuaciones para facilitar la

    resolución y graficación de los mismos.

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    Normalización y cálculo de probabilidad

    Para calcular probabilidades de ocurrencia de eventos asociados a una

    distribución normal es importante considerar dos propiedades fundamentales:

    • El área total bajo la curva normal es igual a uno.

    • La curva es simétrica respecto a la media, por lo que el área de cada

    mitad corresponde al cincuenta por ciento.

    Para realizar el cálculo de probabilidades con

    una distribución normal es necesario trasladar

    los datos originales del fenómeno objeto de

    estudio a una escala común o estándar. Una

    variable aleatoria estandarizada se denota con la

    literal z y se obtiene mediante la siguiente

    op