ESTADÍSTICA INFERENCIAL

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Sesión No. 6

Nombre: Distribuciones de probabilidad para variables

aleatorias continuas

Contextualización

Las variables aleatorias discretas son aquellas que toman estrictamente valores

enteros, por lo que generalmente se aplican en procesos probabilísticos de

conteo. Por su parte, las variables aleatorias continuas no se restringen a

valores enteros, sino que pueden asumir, además de éstos, valores decimales

comprendidos entre valores enteros, es decir, pueden tomar cualquier valor de

manera continua que se encuentre entre valores discretos. En términos

matemáticos, los valores discretos se denominan numerables, mientras que a

los valores continuos se les conoce como no numerables.

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Introducción al Tema

En esta sesión se estudiarán distribuciones de probabilidad de variables

aleatorias continuas, específicamente la distribución normal, así como su

aproximación a la distribución binomial, dando el conocimiento del uso de sus

formulas y las diferencias que caracterizas a cada una de estas, sabiendo como

y donde se pueden aplicar para tener un resultado mas preciso.

Al conocer estos elementos también podrás apreciar la forma en que se grafican

éstas y los atributos con los que cuenta cada una de estas representaciones, es

importante tener nociones de bases matemáticas para determinar un

conocimiento completo sobre la estadística y la forma en que se explotan los

datos que encontramos presentes.

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Explicación

Variables aleatorias continuas. Definición de variable aleatoria

continua

Sea ε un experimento y Ώ su respectivo espacio muestral asociado. A la función

(o relación) X, que asigna un número real X(ω) a cada elemento ω (letra griega

omega, en minúscula) que pertenece a Ώ, se le denomina variable aleatoria

continua si X(ω) puede tomar valores continuos, es decir, valores decimales que

se encuentran entre valores discretos o enteros a, b. En este sentido, el

conjunto {a ≤X ≤b} es un suceso o evento de Ώ. Si la distribución de probabilidad

de la variable aleatoria se rige por una función f, 1 entonces la probabilidad de

que la variable aleatoria X tome un valor entre los números a y b se denota

como P(a ≤X ≤b) y equivale al área bajo la curva de f entre x = a y x = b.

Área que puede obtenerse mediante el cálculo de

la siguiente integral:

P(a ≤X ≤b)=

Este concepto se explicará más adelante en esta

misma sesión, sin embargo, cabe aclarar que no

es necesario tener conocimientos de cálculo

integral para su manejo pues existen tablas que permiten realizar cálculos de

probabilidad sin tener que desarrollar una integral. Al igual que las variables

aleatorias discretas, las continuas cumplen con dos características

fundamentales:

• (x) 0 La probabilidad de ocurrencia de un evento en particular es mayor

o igual que cero.

x)dx=1 La suma de las probabilidades de ocurrencia de todos los posibles

eventos del espacio muestral es igual a la unidad o al cien por ciento.

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Distribución normal de probabilidad

Al estudiar alguna característica particular de diversos fenómenos naturales y

sociales, se dice que asumen un comportamiento normal aquellos que

concentran la mayoría de las observaciones cercanas a un valor promedio y la

minoría en valores extremos. Por ejemplo:

• Al medir la estatura de un grupo de personas de la misma edad, la

mayoría de ellas tiene una estatura muy cercana a un cierto valor

promedio.

• Al pesar a un grupo de personas de la misma edad, la mayoría de ellas

tienen un peso muy cercano a un cierto valor promedio.

• Si se mide el coeficiente intelectual de un grupo de personas de la misma

edad, la mayoría de ellas tienen un coeficiente muy cercano a un cierto

valor promedio.

La distribución normal tiene una representación gráfica en forma de campana,

frecuentemente denominada campana de Gauss en honor al célebre matemático

alemán Karl F. Gauss, quien realizó importantes aportaciones al estudio de la

distribución normal. Esta representación gráfica se caracteriza por ser una curva

simétrica respecto al eje y.

En la gráfica se observa que los valores

de una distribución normal tienden a

acumularse en el centro y a disminuir

en los extremos. La función de

distribución de probabilidad normal está

dada por:

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Definición de distribución normal

Sea X una variable aleatoria. La expresión:

Significa que X se distribuye como una normal, con parámetros μ (letra griega

mu) y σ (letra griega sigma), donde:

• X=Variable aleatoria.

• μ=Media poblacional.

• •σ=Desviación estándar poblacional.

Una vez que se sabe que un fenómeno tiene una distribución normal y se

conoce la media y la desviación estándar poblacionales, puede entonces

calcularse la probabilidad de ocurrencia de ciertos eventos; por ejemplo, la

probabilidad de que al seleccionar a una persona de un grupo de individuos de

la misma edad:

• Su estatura sea menor que un valor dado.

• Su estatura sea mayor que un valor dado.

• Su estatura se encuentre entre dos valores determinados.

Área bajo la curva de una distribución normal

Como ya se mencionó, el cálculo de probabilidad de ocurrencia de eventos

asociados a una variable aleatoria con distribución normal equivale a calcular el

área bajo la curva normal delimitada por ciertos valores. Por ejemplo, la

Secretaría de la Defensa Nacional lleva un registro de todos los jóvenes que

prestan su servicio militar. Considerando que sus edades son muy similares,

puede resultar de interés que al seleccionar a uno de ellos:

• Su estatura sea menor que un valor x1, lo que se denota como P( X ≤x1 )

• Su estatura sea mayor que un valor x2, lo que se denota como P( X ≤x2 )

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• Su estatura se encuentre entre los valores x1 y x2, lo que se denota como

P(x1≤X≤x2). Esto significaría calcular el área bajo la curva mediante las

siguientes integrales:

Por la complejidad de estos cálculos, se ha optado por desarrollar tablas de

distribución normal de las cuales podrían tomarse directamente los valores de

estas integrales.

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Conclusión

Con la representación grafica se puede conocer de una forma mas precisa el

actuar de los elementos que se estudian, es decir, con las áreas sombreadas

dentro de una grafica se puede conocer lo que abarca o lo que no, dando la

oportunidad de conocer los elementos que se buscan o a los que se desea dar

una presencia mas amplia.

Para lograr graficar se tiene que conocer la forma de resolver integrales y los

elementos que pueden determinarse con estas operaciones. Se requiere del

conocimiento de la prioridad de elementos para que los resultados no se alteren,

es decir, saber si primero se multiplica, se suma, se resta o multiplica, y tener los

conocimientos necesarios en los despejes de ecuaciones para facilitar la

resolución y graficación de los mismos.

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Normalización y cálculo de probabilidad

Para calcular probabilidades de ocurrencia de eventos asociados a una

distribución normal es importante considerar dos propiedades fundamentales:

• El área total bajo la curva normal es igual a uno.

• La curva es simétrica respecto a la media, por lo que el área de cada

mitad corresponde al cincuenta por ciento.

Para realizar el cálculo de probabilidades con

una distribución normal es necesario trasladar

los datos originales del fenómeno objeto de

estudio a una escala común o estándar. Una

variable aleatoria estandarizada se denota con la

literal z y se obtiene mediante la siguiente

op