CI56C: Tarea 2Análisis de la Ley de Lotka-Volterra

Alumno: Javier Rovegno Campos

11 de junio de 2008

Curso: CI56CProfesora: Matilde López.Auxiliar: María Hurtado.

Resumen

Esta tarea trata de evaluar las distintas metodologías de cálculo, para simularel modelo de crecimiento poblacional de Lotka-Volterra. Para la realización delos cálculos se utilizaron solamente las siguientes herramientas libres: maxima ,python, octave y scilab.

LICENCIA:Atribución-No Comercial-Licenciar Igual 2.5 Genérica. CC by-nc-sa/2.5/deed.es_CL

1

Índice1. Definición del Modelo Lotka-Volterra: 3

1.1. Supuestos del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Variables del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Modelo matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.1. Parámetros del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.2. Condiciones de Borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.3. Tiempo de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Simulación utilizando herramientas libres 52.1. Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1. Cálculo de puntos de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2. Resultado puntos de equilibrios del modelo . . . . . . . . 5

2.2. Octave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.1. Cálculo de diagrama de estado y simulación con Octave. . 52.2.2. Resultado diagrama de estado y simulación con Octave . . 9

2.3. Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.1. Resultado diagrama de estado y simulación con Python . . 10

2.4. Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.1. Cálculo de diagrama de estado y simulación con Scilab . . 112.4.2. Resultado diagrama de estado y simulación con Scilab . . 13

3. Conclusiones 143.1. Modelo Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2. Sobre el uso de herramientas libre en el cálculo científico . . . . . 14

2

1. Definición del Modelo Lotka-Volterra:Referencia [2]Modelos matemáticos de competencia entre especies con recursos limitados vivien-

do en el mismo espacio con los mismos requerimientos ambientales, han sido modifi-cados para simular la interacción simple entre predador y presa.

Por un lado el modelo de competencia predice que la coexistencia de la poblaciónde ambas especies es imposible y una será eliminada de acuerdo al Principio de exclu-sión competitiva.

El modelo de depredación simple predice fluctuaciones cíclicas entre las poblacio-nes de las presas y los predadores. Reducción del número de predadores permite larecuperación de las presas, las cuales estimulan a que crezca la población de predado-res. Al crecer el número de predadores disminuye la población de las presas, generandoeventualmente después la reducción de la población de predadores.

Referencias [1]Es un modelo de crecimiento poblacional de un ecosistema en el cual sólo existen

2 individuos:

Población del depredador

Población de la presa

1.1. Supuestos del ModeloReferencias [1]

1. La población de la presa crece en forma exponencial en ausencia del depredador.

2. La población de predadores decrece exponencialmente en ausencia de presas.

3. El comportamiento del sistema depende sólo de las relaciones de densidad de laspoblaciones.

1.2. Variables del ModeloReferencias [1]

x(t) : Población presas número de individuos en un tiempo t .

y(t) : Población predadores número de individuos en un tiempo t .

a : tasa de nacimiento individual presas.

b∗ y(t) : tasa de mortalidad individual presas la mortalidad de las presas dependedirectamente de su población y la población de predadores.

c : tasa de mortalidad individual predadores.

d ∗ x(t) : tasa de natalidad individual presas la natalidad de los predadores dependedirectamente de su población y la población de presas.

3

1.3. Modelo matemáticoReferencias [1]

∂x(t)

∂t= x(t) ∗ (a−b∗ y(t)) (1.1)

∂y(t)

∂t= y(t) ∗ (−c+d ∗ x(t)) (1.2)

1.4. Simulación1.4.1. Parámetros del modelo

Para que el modelo se comporte como una fluctuación cíclica de las poblaciones seutilizó valores clásicos de los parámetros a, b, cyd:

a = 3b = 2c = 2d = 1

Nota: Los parámetros a, b, cyd pueden estar en cualquier unidad de tasa de creci-miento, lo importante es que sean consistentes en la unidad de tiempo utilizada.

Ejemplo: [#nacimientos/hora],[#nacimientos/ano], [#muertes/ano], etc.

1.4.2. Condiciones de Borde

Dada la inestabilidad del modelo se utilizó valores bajos de población inicial, paralograr el efecto de fluctuaciones cíclicas:

x(t=0) = 2[presas]y(t=0) = 2[predadores]

1.4.3. Tiempo de simulación

La unidad de tiempo depende de la unidad en que están definidas los parámetrosdel modelo.

t : Tiempo0≤ t ≤ 10δt : Intervalos de tiempoδt = 0,1

4

2. Simulación utilizando herramientas libres

2.1. MaximaMaxima es una herramienta libre de CAS (computer algebra system). Dado que el

programa sólo resuelve sistemas de ecuaciones de primer grado utilizando la transfor-mada de Laplace, sólo fue posible obtener los puntos de equilibrio del modelo, dadoque no tiene solución analítica y sólo es posible de resolver numéricamente.

2.1.1. Cálculo de puntos de equilibrio

Algorithm 1 Lotka-Volterra, cálculo de puntos de equilibrio

1 /∗ Lotka−V o l t e r r a two−d i m e n s i o n a l n o n l i n e a r sys tem ofd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ∗ /

2 /∗ R e i n i c i a r ∗ /3 k i l l ( a l l ) ;4 /∗ E c u a c i o n e s ∗ /5 eqn_1 : ’ d i f f ( x ( t ) , t ) = x ( t ) ∗ ( a−b∗y ( t ) ) ;6 eqn_2 : ’ d i f f ( y ( t ) , t ) = −y ( t ) ∗ ( c−d∗x ( t ) ) ;7 /∗ C á l c u l o de P un to s de e q u i l i b r i o ∗ /8 s o l v e ( [ r h s ( eqn_1 ) =0 , r h s ( eqn_2 ) =0 ] , [ x ( t ) , y ( t ) ] ) ;

2.1.2. Resultado puntos de equilibrios del modelo

[[x(t) = 0,y(t) = 0], [x(t) = c/d,y(t) = a/b]]

2.2. OctaveOctave es una herramienta libre de cálculo numérico similar a Matlab.

2.2.1. Cálculo de diagrama de estado y simulación con Octave.

Referencia [3]

5

Algorithm 2 (Parte I) Lotka-Volterra, cálculo de diagramas de estado y simulación conOctave

1 % Name : myLV .m2 % Author : Simone Zuccher3 % C r e a t e d : 17 May 20074 % Purpose : s o l v e t h e Lotka−V o l t e r r a sys tem5 % u ’= au − buv6 % v ’= − cv + duv7 % g i v e n u0 and v08 % Input : s e e f i l e9 % Outpu t :

10 % 1 . p l o t of u ( t ) v e r s u s v ( t ) t o g e t h e r w i th t h e v e c t o rf i e l d

11 % 2 . p l o t t ime h i s t o r i e s o f u ( t ) , v ( t )12 % Modi f i ed :13 % Name : myLV .m14 % Author : Simone Zuccher15 % C r e a t e d : 17 May 200716 % Purpose : s o l v e t h e Lotka−V o l t e r r a sys tem17 % u ’= au − buv18 % v ’= − cv + duv19 % g i v e n u0 and v020 % Input : s e e f i l e21 % Outpu t :22 % 1 . p l o t of u ( t ) v e r s u s v ( t ) t o g e t h e r w i th t h e v e c t o r

f i e l d23 % 2 . p l o t t ime h i s t o r i e s o f u ( t ) , v ( t )24 % Modi f i ed :25 %26 % The e q u i l i b r i u m p o i n t s a r e t h e f o l l o w i n g , b u t we

c o n s i d e r on ly u0 and v0 % non−n e g a t i v e27 %28 % [ u = 0 , v = 0 ] ,29 % [ u = c / d , v = a / b ] ,30 %31 % Clear a l l v a r i a b l e s32 c l e a r a l l ;33 % Window r a n g e s34 xmin =0; xmax =10;35 ymin =0; ymax =10;36 % Model c o n s t a n t37 g l o b a l aa ;

6

Algorithm 3 (Parte II) Lotka-Volterra, cálculo de diagramas de estado y simulacióncon Octave

1 % Give i n s t r u c t i o n s2 di sp ( ’ ’ ) ;3 di sp ( ’

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ’ );

4 di sp ( ’ Th i s s c r i p t s o l v e s t h e c l a s s i c Lotka−V o l t e r r asys tem : ’ ) ;

5 di sp ( ’ u ’ ’= au − buv ’ ) ; di sp ( ’ v ’ ’= − cv + duv ’ ) ;6 di sp ( ’ g i v e n a , b , c , d a l l p o s i t i v e ’ ) ;7 % Set i n i t i a l c o n d i t i o n s ( v e c t o r format )8 aa= input ( ’ I n s e r t c o n s t a n t s [ a b c d ] : ’ ) ;9 % E q u i l i b r i u m p o i n t s

10 eq = [0 0 ] ;11 eq = [ eq ; aa ( 3 ) / aa ( 4 ) aa ( 1 ) / aa ( 2 ) ] ;12 di sp ( ’ E q u i l i b r i u m p o i n t s : ’ ) ;13 di sp ( eq ) ;14 % Set i n i t i a l c o n d i t i o n s ( v e c t o r format )15 x0= input ( ’ I n s e r t i n i t i a l c o n d i t i o n s [ x0 y0 ] : ’ ) ;16 % Set f i n a l t ime f o r i n t e g r a t i o n17 tmax= input ( ’ I n s e r t f i n a l t ime : ’ ) ;18 di sp ( ’ I n i t i a l c o n d i t i o n : ’ ) ;19 di sp ( x0 ) ;20 % Time p a r a m e t e r s21 tmin =0; d t = . 0 1 ;22 % C r e a t e t ime23 t = tmin : d t : tmax ;24 %dx and dy used on ly f o r v e c t o r s25 dx=abs ( xmax−xmin ) / 3 0 ;26 dy=abs ( ymax−ymin ) / 3 0 ;27 % r e s c a l e s v e c t o r s i z e28 s c a l e =0.027∗max ( abs ( xmax−xmin ) , abs ( ymax−ymin ) ) ;29 % D e f i n i t i o n o f t h e dynamica l sys tem30 f u n c t i o n xdo t = dsys ( x , t )31 g l o b a l aa ;32 u = x ( 1 ) ;33 v = x ( 2 ) ;34 xdo t ( 1 ) = aa ( 1 ) ∗u − aa ( 2 ) ∗u∗v ; xdo t ( 2 ) = −aa ( 3 ) ∗v + aa ( 4 )

∗u∗v ;35 endfunc t ion36 _ _ g n u p l o t _ s e t _ _ nokey37 s e t a x =[ xmin xmax ymin ymax ] ;38 a x i s ( s e t a x )39 [X, Y] = meshgrid ( xmin : dx : xmax , ymin : dy : ymax ) ;40 DX = aa ( 1 ) ∗X − aa ( 2 ) ∗X. ∗Y;41 DY = −aa ( 3 ) ∗Y + aa ( 4 ) ∗X. ∗Y;42 L = s q r t (DX. ^ 2 + DY. ^ 2 ) ;43 m y t i t l e =[ " Phase p o r t r a i t . I n i t i a l c o n d i t i o n s : x0="

num2str ( x0 ( 1 ) ) \44 " , y0=" num2str ( x0 ( 2 ) ) ] ;45 _ _ g n u p l o t _ s e t _ _ nokey46 _ _ g n u p l o t _ s e t _ _ x l a b e l ’ x ( t ) ’47 _ _ g n u p l o t _ s e t _ _ y l a b e l ’ y ( t ) ’

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Algorithm 4 (Parte III) Lotka-Volterra, cálculo de diagramas de estado y simulacióncon Octave

1 t i t l e ( m y t i t l e )2 % P l o t v e c t o r f i e l d3 quiver (X, Y, s c a l e ∗DX . / L , s c a l e ∗DY . / L )4 hold on ;5 % P l o t a l l e q u i l i b r i u m p o i n t s6 p l o t ( eq ( : , 1 ) , eq ( : , 2 ) , ’∗k ’ )7 x = l s o d e ( " dsys " , x0 , t ) ’ ;8 p l o t ( x ( 1 , 1 ) , x ( 2 , 1 ) , ’∗k ’ , x ( 1 , : ) , x ( 2 , : ) , ’−r ’ )9 hold o f f ;

10 % Wait f o r k e y p r e s s e d di sp ( ’ P l e a s e p r e s s a key t oc o n t i n u e . . . ’ ) ;

11 pause ( ) ;12 m y t i t l e =[ " Time h i s t o r i e s . I n i t i a l c o n d i t i o n s : x0="

num2str ( x0 ( 1 ) ) \13 " , y0=" num2str ( x0 ( 2 ) ) ] ;14 _ _ g n u p l o t _ s e t _ _ a u t o15 _ _ g n u p l o t _ s e t _ _ x l a b e l ’ t ’16 _ _ g n u p l o t _ s e t _ _ y l a b e l ’ x ( t ) , y ( t ) ’17 t i t l e ( m y t i t l e )18 _ _ g n u p l o t _ s e t _ _ key19 % P l o t t ime h i s t o r i e s20 p l o t ( t , x ( 1 , : ) , ’−r ; x ( t ) ; ’ , t , x ( 2 , : ) , ’−g ; y ( t ) ; ’ )21 % Wait f o r k e y p r e s s e d22 pause ( ) ;

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2.2.2. Resultado diagrama de estado y simulación con Octave

Figura 1: Diagrama de estado con Octave

Figura 2: Simulación población predador y presa con respecto al tiempo con Octave

9

2.3. PythonReferencia [4]Python es un lenguaje de programación interpretado de alto nivel, el cual cuenta

con paquetes para cálculo científico que permiten darle múltiples usos. El proyectoPython es de código abierto y es mantenido por una fundación del mismo nombre,además cuenta con una amplia comunidad de desarrolladores que permiten que estemejore día a día.

Para aprovechar las ventajas de Python se opta por utilizar un programa libre basadoen el lenguaje para modelar Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, llamadoModel Builder [5].

2.3.1. Resultado diagrama de estado y simulación con Python

NOMENCLATURA: x(t) = Y0 , y(t) = Y1, a = P[0] = 3, b = P[1] = 2, c = P[1] = 2 yd = 1

Figura 3: Diagrama de estado con Python con Model Builder

10

Figura 4: Simulación población predador y presa con respecto al tiempo Model Builder

2.4. ScilabScilab es un lenguaje de programación de alto nivel de amplio uso en cálculos

numéricos.

2.4.1. Cálculo de diagrama de estado y simulación con Scilab

Referencia [6]

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Algorithm 5 (Parte I) Lotka-Volterra, cálculo de diagramas de estado y simulación enScilab

1 / / C o p y r i g h t INRIA2 / /3 / / s h a r k s and s a r d i n s : Lotka−V o l t e r r a ODE4 / /5 mode(−1)6 xde l ( wins id ( ) )7 t o o l b a r ( 0 , ’ o f f ’ ) ;8 t i t l e p a g e ( [ " Lotka−V o l t e r r a : " ; . . . " dy1 / d t = 3∗y1 − 2∗

y1∗y2 " ; . . " dy2 / d t =−2∗y2 + y1∗y2 " ] ) ;9 h a l t ( ) ; c l f ( ) ;

10 mode ( 1 )11 o l d l n = l i n e s ( ) ;12 l i n e s ( 0 )13 d e f f ( " ypr im= f ( t , y ) " , . . [ " ypr im1=aa ∗y ( 1 )−cc ∗y ( 1 ) ∗y ( 2 ) "

; . . " ypr im2=−bb∗y ( 2 ) + f f ∗y ( 1 ) ∗y ( 2 ) " ; . . " yprim=[ yprim1 ; yprim2 ] " ] )

14 aa =3; bb =2; cc =2; f f =1 ;15 xmin =0; xmax =4; ymin =0; ymax =4;16 fx =xmin : 0 . 5 : xmax ; fy =ymin : 0 . 5 : ymax ;17 t o o l b a r ( 0 , ’ o f f ’ ) ;18 fchamp ( f , 1 , fx , fy )19 a=gca ( ) ;20 a . x _ l a b e l . t e x t =" y1 " , a . x _ l a b e l . f o n t _ s i z e =3;21 a . y _ l a b e l . t e x t =" y2 " , a . y _ l a b e l . f o n t _ s i z e =3;22 x s t r i n g ( 1 , 4 . 1 5 , [ ’ C l i c k l e f t t o s t a r t a new t r a j e c t o r y ,

move t h e mouse ’ ’ and c l i c k a g a i n t of i x t h e d e s i r e d t r a j e c t o r y ’ ’ C l i c kr i g h t t o e x i t ’ ] )

23 t 0 =0;24 tmax =10;25 t = t 0 : 0 . 0 5 : tmax ;26 o ldx0 =10∗xmax ; o ldy0 =10∗ymax ;27 dx = 0 . 1 ; dy = 0 . 1 ;28 r t o l = 0 . 0 0 0 1 ; a t o l = r t o l ;29 f i g = g c f ( ) ;30 f i g . pixmap= ’ on ’ ;31 show_pixmap ( ) ;

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Algorithm 6 (Parte II) Lotka-Volterra, cálculo de diagramas de estado y simulación enScilab

1 whi le ( %t)2 [ b , x0 , y0 ]= x c l i c k ( ) ;3 i f or ( b ==[2 5 ] ) then break end ;4 i f or ( b ==[0 3 ] ) & xmin <x0 & x0<xmax & ymin <y0 & y0<ymax

then s o l =ode ( [ x0 ; y0 ] , t0 , t , r t o l , a t o l , f ) ;5 xpoly ( s o l ( 1 , : ) ’ , s o l ( 2 , : ) ’ ) ;6 p=gce ( ) ; p . t h i c k n e s s =2; p . f o r e g r o u n d =5;7 show_pixmap ( )8 r e p =[ x0 , y0 , −1] ;9 whi le r e p ( 3 ) ==−1 then

10 r e p =xgetmouse ( 0 ) ;11 x0= r e p ( 1 ) ; y0= r e p ( 2 ) ;12 i f ( xmin <x0 & x0<xmax & ymin <y0 & y0<ymax ) & . . (

abs ( x0−o ldx0 ) >=dx | abs ( y0−o ldy0 ) >=dy ) then s o l=ode ( [ x0 ; y0 ] , t0 , t , r t o l , a t o l , f ) ;

13 p . d a t a =[ s o l ( 1 , : ) ’ s o l ( 2 , : ) ’ ] ;14 show_pixmap ( )15 o ldx0 =x0 ; o ldy0 =y0 ;16 end17 end18 end19 end f i g . pixmap= ’ o f f ’ ;20 l i n e s ( o l d l n ( 1 ) )

2.4.2. Resultado diagrama de estado y simulación con Scilab

NOMENCLATURA: x(t) = Y1 , y(t) = Y2, a = 3, b = 2, c = 2 y d = 1

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Figura 5: Diagrama de estado con Scilab

3. Conclusiones

3.1. Modelo Lotka-VolterraEl modelo es muy inestable y sólo en casos acotados se produce el efecto defluctuaciones cíclicas.

Para condiciones iniciales con poblaciones mayores a 2 individuos, las poblacio-nes rápidamente desaparecen.

3.2. Sobre el uso de herramientas libre en el cálculo científicoOBSERVACIÓN: Las instrucciones para la instalación todas las herramientas men-

cionadas en este artículo, serán publicadas en la página del grupo CLUCH de la Uni-versidad de Chile.

Con las herramientas libres disponibles hoy en día (maxima, octave, python yscilab) permiten realizar sin problemas múltiple labores científico, pero en gene-ral no son utilizadas por desconocimiento.

Sería recomendable implementar estas herramientas para que estén disponiblespara el uso de los estudiantes de ingeniería de la Universidad de Chile.

Referencias[1] Presentación: Ecología de poblaciones "Leyes Ecológicas". Clase CI56C semestre

otoño 2008, profesora Matilde López, ayudante María F. Hurtado Roa.

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[2] Extracto del Dictionary of Zoology 1999 http://www.encyclopedia.com/doc/1O8-LotkaVolterraequations.html

[3] Modelos Matemáticos en Biología (2006/2007) http://www.scienze.univr.it/fol/main?ent=oi&aa=2006%2F2007&codiceCs=S05&codins=12007&discr=&discrCd=&lang=es, Facultad de Ciencias Matemáticas, Físicasy Naturales, Universidad de Verona

[4] Artículo Elegir un lenguaje nativo para ingenie-ría http://wikicursos.wordpress.com/2007/10/21/elegir-lenguaje-nativo-para-ingenieria/, Bitácora del Proyecto Wi-kiCursos, 2007.

[5] Model Builder http://model-builder.sourceforge.net/ Version: 0.4.1, es-crito por Flavio Codeco Coelho, bajo licencia GPL.

[6] Ejemplo incluido con el programa scilab, escrito por Institut National de Rechercheen Informatique et en Automatique INRIA.

[7] Grupo CLUCH de la Universidad de Chile. http://cluch.wordpress.com/

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