Pruebas preliminares del Modelo de...

Pruebas preliminares del Modelo de Volterra, Proyecto de Grado, Asesor Juan Diego Correa Blair

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Resumen— Este artículo presenta las pruebas preliminares

del modelo de Volterra.

Palabras Clave—Modelo de Volterra, filtro adaptativo,

algoritmo LMS, parámetro de convergencia, orden de filtro,

longitud de filtro, señales de prueba.

I. INTRODUCCIÓN

na característica importante que se debe tener en

cuenta durante el proceso de modelamiento de

sistemas es la flexibilidad que éste tiene para

identificar diversas variaciones de estructuras. En particular, la

flexibilidad depende del número de parámetros del modelo y

la capacidad de variación en el modelamiento que introduce

cada uno. El presente laboratorio consiste en identificar los

parámetros del Modelo de Volterra y realizar pruebas

preliminares de ajustes de cada parámetro.

II. OBJETIVO

Realizar pruebas triviales de la estructura de modelo propuesto

para verificar que la estructura logre modelar las propiedades

mínimas esperadas.

III. MARCO TEÓRICO

A. Serie de Volterra

La versión causal y truncada de tiempo-discreto del filtro de

Volterra está dada por la siguiente expresión:

( ) ∑ [ ]

( ) ∑ ∑ [ ] ( ) ( )

∑ ∑ ∑ [ ] ( ) ( )

( )

∑ ∑ ∑ [ ] ( )

( )

(1)

Donde el conjunto { } son denominados núcleos de Volterra.

Bajo ciertas condiciones cada término de la sumatoria se

conoce como Funcionales de Volterra.

B. Propiedades de la Serie de Volterra

La serie de Volterra tiene las siguientes propiedades:

Linealidad respecto a los núcleos: A pesar de la no-

linealidad respecto a la entrada, la propiedad de linealidad

respecto a los núcleos permite aplicar métodos de la teoría

de filtros lineales.

Convolución multidimensional: El modelo de Volterra

puede ser escrito como convolución multidimensional. El

enfoque multidimensional aplica tanto a los núcleos como

a cada orden, en particular cada término superior puede

considerarse un sistema multidimensional lineal con

entrada separable simétrica.

No caracterización por respuestas al impulso: Las

respuestas al impulso no son suficientes para identificar

todos los núcleos del modelo.

C. Interpretación práctica del modelo de Volterra

A continuación se ilustra la interpretación en bloques del

modelo de Volterra: La interpretación por bloques facilitará

posteriormente realizar el proceso de ajuste del modelo a partir

de los bloques de forma independiente. Esta interpretación se

basa en una propiedad conocida como la Independencia de

Bloques.

Fig. 1. Interpretación del modelo de Volterra.

Pruebas preliminares del Modelo de Volterra

Luis F. Gulfo, Juan F. Valencia.

Ingeniería de Sonido,

Facultad de Ingenierías

Universidad de San Buenaventura Medellín

U


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D. Parámetros del Modelo de Volterra

En la práctica, la serie necesita ser truncada de dos formas

para lograr implementación digital: En orden y en iteración

dentro de los funcionales. Ambos truncamientos se convierten

en parámetros.

El número de iteraciones dentro de los funcionales está

determinado por , que a su vez representa el número

de muestras de la señal de entrada utilizadas para el

proceso de identificación. El filtro de Volterra en

general necesita combinaciones de las muestras de

entrada para los términos de orden superior.

El orden de truncamiento determina el orden de no-

linealidad máximo que puede representar la estructura

del modelo.

E. Proceso de adaptación y Algoritmo LMS

A continuación se ilustra la configuración más utilizada para

realizar procesos de adaptación.

Fig. 2. Configuración y proceso de adaptación.

El algoritmo LMS permite optimizar el proceso ilustrado

arriba. En resumen el algoritmo LMS está determinado por la

siguiente ecuación:

( ) ( ) ( ) ̂( ) (2)

Donde es el vector de coeficientes del filtro, es la matriz

de convergencia, es el error y ̂ el vector de muestras de

entrada usadas por el filtro (obtenido de combinaciones del

vector de entrada). La matriz de convergencia es una matriz

diagonal, como se muestra a continuación.

[

]

La longitud de la diagonal es igual a la longitud del filtro de

Volterra. Dependiendo de qué tan detallado se desee realizar

la adaptación se pueden escoger diferentes parámetros de

convergencia para el aprendizaje de cada término. En las

siguientes pruebas se utilizarán parámetros de convergencia

acordes a la interpretación en bloques de la estructura, para

aprovechar la independencia de bloques.

IV. MONTAJE EXPERIMENTAL

Equipamiento

:

Software Matlab.

Algoritmo LMS con Modelo de Volterra.

Audios de señales de prueba.

Software Pro Tools.

EQ API 550-B (Hardware).

Waves API 550-B (Plugin).

Blue Cat’s FreqAnalyst Pro.

Procedimiento.

1. Diseñar las señales de prueba.

Se diseñan dos tipos de señales:

Señales de referencia (entrada): En este caso se crearon las

siguientes señales de prueba utilizando el generador de señales

de Pro Tools: señal pura con frecuencia 2.3 Khz y nivel -6

dBFS, ruido blanco, ruido rosa, señal compuesta con múltiples

frecuencias.

Señales deseadas (procesadas): En este caso se crearon las

señales deseadas al procesar las señales de referencia con el

EQ API 550-B (Hardware) y el Waves API 550-B (Plugin).

2. Proceso de aprendizaje

Como muestra la figura 2, se realizó el proceso de aprendizaje

utilizando el algoritmo en Matlab a partir de las señales de

pruebas correspondientes (referencia y procesada). Se

realizaron repeticiones con las mismas señales de prueba pero

variando los parámetros del Modelo de Volterra como se

explica a continuación:

Pruebas con Waves API 550-B:

1. Variación de orden:

Señal de referencia: 2.5 khz a -6 dBFS (pico).

Señal deseada: API waves en modo FLAT.

Señales estimada: Utilizando Modelo de Volterra de

orden-1, Modelo de Volterra de orden-2 y Modelo de

Volterra de orden-3. Se mantiene constante p=6 y

mu1=0.01, mu2=0.02, mu3=0.03.

Medición: Blue Cat en precisión 6.

2. Variación de longitud:

Señal de referencia: 2.5 Khz a -6 dBFS (pico).


Señales estimada: Modelo de Volterra de orden-3.

Utilizando p=3, p=6. Se mantiene constante

mu1=0.01, mu2=0.02, mu3=0.03.


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3. Variación de parámetro de convergencia:

Señal de referencia: 2.5 Khz a -6 dBFS (pico).


Señales estimada: Modelo de Volterra de orden-3. Se

mantiene constante p=6. Se utilizan todos los

parámetros de convergencia en 0.01, y luego en 0.5.


4. Señal compuesta:

Señal de referencia: Señal compuesta por 100 Hz,

240 Hz, 800 Hz y 2500 Hz.


Señales estimadas: Modelo Volterra de orden-3 con

p=6 y parámetros mu1=0.01,mu2=0.02,mu3=0.03.


Opción de ajuste de coeficientes: Con ajuste a=1/50

para el bloque de tercer orden.

5. Ruido blanco:

Señal de referencia: Ruido blanco a -6dB pico.

Señal deseada: API waves preset 2 (definido en el

laboratorio 2).

Señales estimadas: Modelo de Volterra de orden-3

con p=6 y paràmetros 0.01,0.02,0.03.


Opción de ajuste de coeficientes: Con ajuste

a=1/1000 para la estructura de tercer orden.

Pruebas con API 550-B:

Para las pruebas realizadas se reducen las perturbaciones por

ruido eléctrico observadas a la salida del API 550-B ya que

èstas señales provienen de las instalaciones eléctricas del

Estudio y afecta la relación entre las señales de prueba. En

este caso la reducción de ruido se realiza con el waves x-noise.

6. Senoidal pura:

Señal de referencia: 2,5 a -6dB pico.

Señal deseada: 2.5 khz API 550-B con x-noise.

Señales estimadas: Modelo de Volterra de orden-3

con p=6 y parámetros 0.01,0.02,0.03.



Señal de referencia: Señales -6dB.

Señal deseada: Seña compuesta API 550-B con x-

noise.

Señales estimadas: Volt 3p6. Parámetros

0.01,0.02,0.03.


V. RESULTADOS

1. Variación de orden:

Fig. 3. Curva de aprendizaje y estructura con Volterra-1.

Fig. 4. Salida con Volterra-1.


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Fig. 5. Curva de aprendizaje y estructura con Volterra-2.

Fig. 6. Salida con Volterra-2.

Fig. 7. Curva de aprendizaje y estructura con Volterra-3

Fig. 8. Salida con Volterra-3

2. Variación de longitud:

Fig. 9. Salida con variación de longitud con P=3 y Volterra-3.

Fig. 10. Señal de aprendizaje con longitud P=3 y Volterra-3

.


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Fig. 11. Curva de aprendizaje y estructura con longitud P=3 Volterra=3.

Fig. 12. Salida con variación de longitud con P=6 Volterra-3.

Fig. 13. Señal de aprendizaje longitud con P=6 y Volterra-3.

Fig. 14. Curva de aprendizaje y estructura con longitud P=6 y Volterra=3.

3. Variación de parámetro de convergencia:

Fig. 15. Curva de aprendizaje y estructura con parámetro de

convergencia 0.01

Fig. 16. Salida con variación de parámetro de convergencia 0.01.


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Fig. 17. Curva de aprendizaje y estructura con parámetro de convergencia 0.5

Fig. 18. Salida con variación de parámetro de convergencia 0.5.

4. Señales compuestas:

Fig. 19. Curva de aprendizaje y estructura con señal compuesta

Fig. 20. Señal de referencia compuesta

Fig. 21. Salida Señal de API Waves multiseno

Fig. 22. Señal procesada multiseno con Volterra

Fig. 23. Señal procesada multiseno con Volterra y ajuste 1/50 en

bloque de tercer orden.


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5. Ruido blanco:

Fig. 24. Ruido blanco de referencia.

Fig. 25. Salida API con ruido blanco

Fig. 26. Curva de aprendizaje y estructura con ruido blanco.

6. Senoidal pura:

Fig. 27. Curva de aprendizaje y estructura para senoidal pura.

Fig. 28. Señal procesada senoidal pura


Fig. 29. Curva de aprendizaje y estructura para señal compuesta


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Fig. 30 Señal procesada con señal compuesta de entrada

CONCLUSIONES

Prueba 1:

Aumentar el orden del modelo permite aumentar el

número de componentes armónicas modeladas.

Aumentar el orden no tiene efecto considerable en las

componentes modeladas por modelos de orden

inferior.

No hay diferencias importantes en el tiempo de

adaptación.

Prueba 2:

El tiempo de adaptación disminuye con el aumento

de la longitud del filtro.

La precisión de la estructura de armónicos superiores

aumenta con la longitud del filtro (precisión en

amplitud y componentes creadas).

Prueba 3:

No se observan cambios apreciables en la estructura

armónica.

Al aumentar el parámetro de convergencia disminuye

el tiempo de aprendizaje.

Pruebas 4 y 5:

Aumentar el número de entradas dificulta el

aprendizaje del modelo.

Las señales de espectro ancho dificultan el

aprendizaje del modelo debido al gran número de

armónicos intermodulantes creados.

Pruebas 6 y 7:

El aprendizaje depende en gran medida de las

condiciones ideales del proceso, en particular es

sensible y muestra dificultades antes perturbaciones

externas al sistema (en este caso el ruido eléctrico

como ruido de fondo del laboratorio).

VII. REFERENCIAS

[1] Adaptive Filtering. Diniz. Kluwer Academic Publishers. Ed. 2008.

[2] Adaptive Nonlinear System Identification, Volterra and Wiener Model

Approaches. Ogunfunmi. Springer. Ed. 2007.

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