c.gravitatorio

CAMPO GRAVITATORIO FCA 04 ANDALUCÍA

1. a) Al desplazarse un cuerpo desde una posición A hasta otra B, su energía potencial disminuye. ¿Puede asegurarse que su energía cinética en B es mayor que en A? Razone la respuesta.

b) La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m, situado a una altura h sobre la superficie terrestre, puede expresarse en las dos formas siguientes: mgh o −GMTm/RT+h. Explique el significado de cada una de esas expresiones y por qué corresponden a diferentes valores (y signo).

2. a) Determine la densidad media de la Tierra.

b)¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra la intensidad del campo gravitatorio terrestre se reduce a la tercera parte?

G = 6,67 ·10-11

N m2

kg-2

; RT = 6370 km ; g = 10 m s-2

3. a) La energía potencial de un cuerpo de masa m en el campo gravitatorio

producido por otro cuerpo de masa m’ depende de la distancia entre ambos. ¿Aumenta o disminuye dicha energía potencial al alejar los dos cuerpos? ¿Por qué?

b) ¿Qué mide la variación de energía potencial del cuerpo de masa m al desplazarse

desde una posición A hasta otra B? Razone la respuesta.

4. Razone la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

a) El peso de un cuerpo en la superficie de un planeta cuya masa fuera la mitad que la de la Tierra sería la mitad de su peso en la superficie de la Tierra.

b) El estado de “ingravidez” de los astronautas en el interior de las naves espaciales orbitando alrededor de la Tierra se debe a que la fuerza que ejerce la Tierra sobre ellos es nula.

5. a) El origen elegido habitualmente para la energía potencial gravitatoria lleva a que ésta tome valores negativos. ¿Por qué la energía potencial gravitatoria terrestre, en las proximidades de la superficie de la Tierra, toma valores positivos e iguales a mgh?

b) Discuta la siguiente afirmación: “Puesto que el valor de g disminuye al aumentar la distancia al centro de la Tierra, la energía potencial mgh disminuye con la altura sobre el suelo”.

Fco. González Funes


6. a) Defina la energía potencial. ¿Para qué tipo de fuerzas puede definirse? ¿Por qué?

b) ¿Un satélite de masa m describe una órbita circular de radio r alrededor de un planeta de masa M. Determine la energía mecánica del satélite explicando el razonamiento seguido.

7. Explicando las leyes físicas que utiliza, calcule:

a) A qué altura sobre la superficie de la Tierra la intensidad del campo gravitatorio

terrestre es de 2 m s–2

.

b) Con qué velocidad debe lanzarse verticalmente un cuerpo para que se eleve hasta una

altura de 500 km sobre la superficie de la Tierra.

G = 6,67 ·10-11

N m2 kg

-2 ; RT = 6370 km ; g = 10 m s

–2


CAMPO GRAVITATORIO FCA 04 ANDALUCÍA 1. – a) Si estamos hablando de energía potencial es porque estamos en un campo de fuerzas conservativo en el cual la energía mecánica permanece constante EMA = EPA + ECA EM = EP + EC EMB = EPB + ECB como EMA = EMB y EPB < EPA esto implica que ECB > ECA

b) TP

T

M mER h

⋅= −

+ esta ecuación nos da la energía potencial del sistema formado por la

Tierra y un cuerpo de masa m situado a una altura h sobre su superficie, su valor es negativo porque se considera que la energía potencial es cero en el infinito y que disminuye al decrecer la distancia. PE m g h∆ = ⋅ ⋅ esta ecuación nos da el valor de la “variación” de energía potencial para pequeñas diferencias de altura (h << RT) en la superficie terrestre, su valor es positivo porque la energía potencial aumenta con la altura. 2. – a) La densidad de un cuerpo es la relación entre su masa y el volumen que ocupa, para el caso de la Tierra:

34

3

T TT

TT

M MdV Rπ

= =⋅ ⋅

como 2T

T

Mg GR

= ⋅ despejando la masa de la

Tierra 2

TT

g RMG⋅

= y sustituyendo en la ecuación de la densidad

2

33

3 5.6194 43

TT

TT

g R g KgG R mG R ππ

⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅d

b) 2T

T

Mg GR

= ⋅

dividiendo nos queda ( )2

23 T

T

R hR+

=

( )2

13

T

T

Mg GR h

⋅ = ⋅+

3 T

T

R hR+

= y despejando h

( )3 1 4.663Th R Km= − ⋅ =


CAMPO GRAVITATORIO FCA 04 ANDALUCÍA 3. – a) la ecuación de la energía potencial para dos cuerpos de masas m y m’ separados una distancia r es la siguiente:

'P

m mE Gr⋅

= − ⋅

al separarlos, aumenta r y disminuye el valor absoluto de la energía potencial, pero como su signo es negativo, la energía potencial aumenta b) El trabajo realizado por las fuerzas conservativas del campo gravitatorio, equivale a la variación negativa de la energía potencial del sistema. P PA PBW E E E= −∆ = − 4. –

a) En la Tierra 2T

T

Mg GR

= ⋅ en el planeta X 2

12 T

XX

Mg G

R

⋅= ⋅

como el peso de un cuerpo es la cuestión planteada en este apartado será

verdadera siempre y cuando se cumpla que

P m g= ⋅12Xg Tg= ⋅ para lo cual es necesario que

T XR R= como se deduce de las ecuaciones anteriores. b) Es falsa, a la altura que orbitan los astronautas la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra sobre ellos es considerable (sin ella seguirían una trayectoria rectilínea), pero al llevar una velocidad v perpendicular a la fuerza gravitatoria, esta actúa como fuerza centrípeta y la “ingravidez” se debe a su estado permanente de caída libre. 5. – a) Ver apartado b del problema número 1 de esta relación. b) Es cierto que el valor de g disminuye al aumentar h (altura sobre la superficie)

( )2

T

T

Mg GR h

= ⋅+

pero mide la variación de la energía potencial (m g h⋅ ⋅ PE∆ ), no el valor de la energía potencial

TP

T

M mER h

⋅= −

+

que disminuye con la altura en valor absoluto, pero que al ser negativo aumenta por lo tanto la variación de la energía potencial ( PE m g h∆ = ⋅ ⋅ ) aumenta con la altura.


CAMPO GRAVITATORIO FCA 04 ANDALUCÍA 6. – a) Ver problema número 3 de la relación DINÁMICA FCA 04 b) La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial M C PE E E= + la energía potencial

PM mE G

r⋅

= −

la energía cinética 212CE m v= ⋅ ⋅ como la fuerza gravitatoria ejerce de fuerza centrípeta

2

2

M m m vGr r⋅ ⋅

⋅ = despejando 2 M mm v Gr⋅

⋅ = ⋅ sustituyendo en la ecuación de la

energía cinética 12 2C

M m ME G Gr r

m⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅

⋅

2 2M

M m M m ME G G Gr r

mr

⋅ ⋅ ⋅= − ⋅ + ⋅ = − ⋅

⋅ ⋅

7. –

a) La gravedad en la superficie 0 2T

T

Mg GR

= ⋅ a una altura h ( )2

T

T

Mg GR h

= ⋅+

dividiendo ambas ecuaciones miembro a miembro ( )20

2T

T

R hgg R

+= sustituyendo y

despejando h ( )2

2

102

T

T

R hR+

= 5 T

T

R hR+

= ( )5 1 7.873Th R= − ⋅ = Km

P

b) La energía cinética que hay que comunicar al cuerpo ha de ser igual ala variación de la potencial CE E= ∆ , desarrollando esta ecuación:

21 12

T TT

T T T

M m M mm v G G G M m 1

TR h R R R⎛ ⎞ ⎛⋅ ⋅

⋅ ⋅ = − − − = ⋅ ⋅ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜+ +⎝ ⎠ ⎝ h⎞⎟⎠

( )21

2 TT T

hv G MR R h

⋅ = ⋅ ⋅⋅ +

como 2T

T

Mg GR

= ⋅ 2TG M g RT⋅ = ⋅ sustituyendo

( )2 21

2 TT T

hv g RR R h

⋅ = ⋅ ⋅⋅ +

2 3.045T

T

R h mv gR h s

⋅= ⋅ ⋅ =

+



1. Un satélite describe una órbita circular alrededor de la Tierra. Conteste razonadamente a las siguientes preguntas: a) ¿Qué trabajo realiza la fuerza de atracción hacia la Tierra a lo largo de media órbita? b) Si la órbita fuera elíptica, ¿cuál sería el trabajo de esa fuerza a lo largo de una órbita completa? 2. a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre un cuerpo de 1000 kg, situado en el punto medio entre la Tierra y la Luna y calcule el valor de la fuerza resultante. La distancia desde el centro de la Tierra hasta el de la Luna es 3,84·108 m. b) ¿A qué distancia del centro de la Tierra se encuentra el punto, entre la Tierra y la Luna, en el que el campo gravitatorio es nulo? G = 6,67·10-11 N m2 kg-2 ; M T = 5,98·1024 kg ; M L = 7,35·1022 kg 3. a) Considere un punto situado a una determinada altura sobre la superficie terrestre. ¿Qué velocidad es mayor en ese punto, la orbital o la de escape? b) A medida que aumenta la distancia de un cuerpo a la superficie de la Tierra disminuye la fuerza con que es atraído por ella. ¿Significa eso que también disminuye su energía potencial? Razone las respuestas. 4. La misión Cassini a Saturno-Titán comenzó en 1997 con el lanzamiento de la nave desde Cabo Cañaveral y culminó el pasado 14 de enero de 2005, al posarse con éxito la cápsula Huygens sobre la superficie de Titán, el mayor satélite de Saturno, más grande que nuestra Luna e incluso más que el planeta Mercurio. a) Admitiendo que Titán se mueve alrededor de Saturno describiendo una órbita circular de 1,2·109 m de radio, calcule su velocidad y periodo orbital. b) ¿Cuál es la relación entre el peso de un objeto en la superficie de Titán y en la superficie de la Tierra? G = 6,67·10-11 N m2 kg-2 ; MSaturno= 5,7·1026 kg ; MTitán= 1,3·1023 kg ; RTitán= 2,6·106 m ; g = 10 m s-2

5. a) Razone cuáles son la masa y el peso en la Luna de una persona de 70 kg. b) Calcule la altura que recorre en 3 s una partícula que se abandona, sin velocidad inicial, en un punto próximo a la superficie de la Luna y explique las variaciones de energía cinética, potencial y mecánica en ese desplazamiento. G = 6,67·10-11 N m2 kg-2 ; M L = 7,2 ·1022 kg ; R L = 1,7·106 m 6. Dibuje en un esquema las líneas de fuerza del campo gravitatorio creado por una masa puntual M. Sean A y B dos puntos situados en la misma línea de fuerza del campo, siendo B el punto más cercano a M. a) Si una masa, m, está situada en A y se traslada a B, ¿aumenta o disminuye su energía potencial? ¿Por qué? b) Si una masa, m, está situada en A y se traslada a otro punto C, situado a la misma distancia de M que A, pero en otra línea de fuerza, ¿aumenta o disminuye la energía potencial? Razone su respuesta.


CAMPO GRAVITATORIO FCA 05 ANDALUCÍA 1. - a) Ninguno. Como se desprende de la expresión del potencial gravitatorio para cuerpos esféricos (la Tierra)

TMV Gr

= ⋅

todos los puntos situados a la misma distancia r del centro de gravedad de la Tierra, tienen el mismo valor de potencial. Si unimos todos esos puntos mediante una superficie, esta será una “superficie equipotencial” que para el caso de la Tierra, toma la forma de una esfera. Una de las implicaciones del carácter conservativo de la fuerza gravitatoria, es que esta no realiza trabajo alguno sobre un cuerpo que se mueva por una superficie equipotencial (una órbita circular pertenece a una superficie equipotencial). Puesto que el potencial es el mismo no hay variación de energía potencial y en consecuencia, el trabajo es nulo. b) Otra de las implicaciones de los campos conservativos es que no se produce trabajo en trayectorias cerradas. Al ser el mismo el punto inicial que el final, no hay variación de energía potencial y por lo tanto el trabajo es nulo. 2. – a)

( )

2 2411

2 22 82

5,98 10 10006,67 10 10,82/ 2 3,84 10

2

TGT

M m N m Kg KgF GKgd

m

−⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ =

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

N

( )

2 2211

2 22 82

7,35 10 10006,67 10 0,13/ 2 3,84 10

2

LGL

M m N m Kg KgF GKgd

m

−⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ =

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

N

N

10,69RES GT GLF F F= − =


CAMPO GRAVITATORIO FCA 05 ANDALUCÍA 2. – b)

Para que la fuerza resultante sea nula, los módulos de la fuerza gravitatoria de la Tierra y de la Luna han de ser iguales

GT GLF F=( )22

T LM m MG Gx d x

m⋅ ⋅⋅ = ⋅

−

( )2 2T LM d x M x⋅ − = ⋅ desarrollando obtenemos la siguiente ecuación de segundo

grado ( ) 2 22 0T L T TM M x M d x M d− ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =

sustituyendo resolviendo 24 2 33 415,91 10 4,59 10 8,82 10 0x x⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ =

( )233 33 24 41

24

4,59 10 4,59 10 4 5,91 10 8,82 10

2 5,91 10x

⋅ ± ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ siendo los dos resultados

81 4,28 10 3,49 108

2x m y x= ⋅ = ⋅ m como x ha de ser menor que d, en este caso el resultado que se nos pide es 83, 49 10x m= ⋅ 3. –

a) Las expresiones de ambas velocidades son: Torb

T

G MvR h⋅

=+

2 2T Tescp orb

T T

G M G MvR h R h⋅ ⋅ ⋅

= = ⋅ =+ +

2 v⋅ la velocidad de escape es 2 veces

mayor que la orbital.

b) No, la expresión de la energía potencial es TP

T

M mE GR h

⋅= − ⋅

+ al aumentar h,

disminuye el valor numérico de la energía potencial, pero al ser esta negativa su valor real aumenta.


CAMPO GRAVITATORIO FCA 05 ANDALUCÍA 4. – a) Como la fuerza gravitatoria actúa de fuerza centrípeta cpt GF F=

2

2Saturno Titán

TitánM MvM G

r r⋅

⋅ = ⋅ despejando

11 2 2 26

9

6,67 10 5,7 10 5.6281,2 10

SaturnoG M N m Kg Kg mvr m

− −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ s

para calcular su periodo, utilizamos la tercera ley de

( )2 2 32 3 3 9 3

11 2 2 26

4 4 1,2 106,67 10 5,7 10Saturno

Saturno

T K r r mG M N m Kg Kg

π π− −

⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

12 2 61,79 10 1,36 10T s= ⋅ = ⋅ s que suponen unos 15,5 días

b) ( )

2 2311

22 2 6 2

13 106,67 10 1, 282,6 10

TitánTitán

Titán

M N m Kg mg G 2R Kg sm− ⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅ =⋅

Titán TitánP m g= ⋅

dividiendo 0,128Titán Titán

Tierra Tierra

P gP g

= =

Tierra TierraP m g= ⋅ 5. – a) La masa en la Luna es igual que en la Tierra o en cualquier otro lugar, puesto que dicha magnitud no depende del campo gravitatorio en que se encuentre, si no de la cantidad de materia del cuerpo.

( )

2 2211

22 2 6 2

7, 2 106,67 10 . 1,661,7 10

LunaLuna

Luna

M N m Kg mg G 2R Kg sm− ⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅ =⋅

270 1,66 116Luna LunamP m g Kgs

= ⋅ = ⋅ = N

b) v0 = 0 t = 3 s 2 2 22

1 1 1,66 3 7, 472 2Luna

mh g t ss

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = m

al caer libremente (no hay energía cinética inicial), la energía potencial disminuye convirtiéndose en energía cinética, ya que al estar en un campo conservativo la energía mecánica permanece constante 0M C PE E E= −∆∆ =


CAMPO GRAVITATORIO FCA 05 ANDALUCÍA 6. – a)

PA

A

M mE Gr⋅

= − ⋅ PBB

M mE Gr⋅

= − ⋅

como rA > rB implica que EPA > EPB luego la energía potencial disminuye. b) La energía potencial no varía porque el cuerpo se desplaza por una superficie equipotencial (ver problema número 1 de esta relación).



1.- Si por alguna causa la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su masa, razone cómo se modificarían: a) La intensidad del campo gravitatorio en su superficie. b) Su órbita alrededor del Sol. 2.- Un satélite orbita a 20.000 km de altura sobre la superficie terrestre. a) Calcule su velocidad orbital. b) Razone cómo se modificarían sus energías cinética y mecánica si su altura se redujera a la mitad. G = 6,67 · 10-11 N m2 kg-2 ; RT = 6370 km ; MT = 6 · 1024 kg 3.- a) Un satélite artificial describe una órbita circular en torno a la Tierra. ¿Qué trabajo realiza la fuerza con la que la Tierra atrae al satélite, durante una órbita? Justifique la respuesta. b) Razone por qué el trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento es siempre negativo. 4.- La masa del planeta Júpiter es, aproximadamente, 300 veces la de la Tierra, su diámetro 10 veces mayor que el terrestre y su distancia media al Sol 5 veces mayor que la de la Tierra al Sol. a) Razone cuál sería el peso en Júpiter de un astronauta de 75 kg. b) Calcule el tiempo que Júpiter tarda en dar una vuelta completa alrededor del Sol, expresado en años terrestres. g = 10 m s-2 ; radio orbital terrestre = 1,5 · 1011 m. 5.- Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Según la ley de la gravitación la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es directamente proporcional a la masa de éste. Sin embargo, dos cuerpos de diferente masa que se sueltan desde la misma altura llegan al suelo simultáneamente. b) El trabajo realizado por una fuerza conservativa en el desplazamiento de una partícula entre dos puntos es menor si la trayectoria seguida es el segmento que une dichos puntos. 6.- Dos masas, de 5 y 10 kg, están situadas en los puntos (0, 3) y (4, 0) m, respectivamente. a) Calcule el campo gravitatorio en el punto (4, 3) m y represéntelo gráficamente b) Determine el trabajo necesario para trasladar una masa de 2 kg desde el punto (4, 3) hasta el punto (0, 0) m. Explique si el valor del trabajo obtenido depende del camino seguido. G = 6,67 · 10-11 N m2 kg-2

7.- Conteste razonadamente a las siguientes preguntas: a) Si se redujera el radio de la órbita lunar en torno a la Tierra, ¿aumentaría su velocidad orbital? b) ¿Dónde es mayor la velocidad de escape, en la Tierra o en la Luna?


CAMPO GRAVITATORIO FCA 06 ANDALUCÍA 8.- a) La Luna se encuentra a una distancia media de 384.000 km de la Tierra y su periodo de traslación alrededor de nuestro planeta es de 27 días y 6 horas. Determine razonadamente la masa de la Tierra. b) Si el radio orbital de la Luna fuera 200.000 km, ¿cuál sería su período orbital? G = 6,67 · 10-11 N m2 kg-2

9.- a) Enuncie las leyes de Kepler. b) Razone, a partir de la segunda ley de Kepler, cómo cambia la velocidad de un planeta a lo largo de su órbita al variar la distancia al Sol.


CAMPO GRAVITATORIO FCA 06 ANDALUCÍA 1.-

a) En la Tierra real 2T

T

Mg GR

= ⋅

En la Tierra hipotética '2T

TRR = 22'

'4

T T

TT

M G Mg GRR⋅

= ⋅ = ' 4g g=

b) No se modificaría en absoluto porque el centro de gravedad de la “nueva” Tierra seguiría siendo el mismo. 2.- h = 20.000 Km = 2 · 107 m a) El satélite se mantiene en órbita porque la fuerza gravitatoria que le ejerce la Tierra actúa como fuerza centrípeta

sustituyendo cpt GF F=2

2T sat

satM mvm G

r r⋅

= despejando TG Mvr⋅

=

como nos queda Tr R h= +

11 2 2 24

6 7

6,67 10 6 10 3895,76,37 10 2 10

T

T

G M N m Kg Kg mvR h m m

− −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

+ ⋅ + ⋅ s

b) '2hh = Llamamos 6 76,37 10 2 10 2,637 10Tr R h m m m= + = ⋅ + ⋅ = ⋅ 7

7 6 7' ' 6,37 10 1 10 1,637 10Tr R h m m m= + = ⋅ + ⋅ = ⋅ la energía cinética para ambos casos es

12

T satc

M mE Gr⋅

= y 1'2 '

T sac

tM mE Gr⋅

=

dividiendo ambas expresiones entre sí obtenemos

' 1,61'

c

c

E rE r

= = es decir ' 1,61c cE E=

la energía cinética al ser positiva es 1,61 veces mayor en la nueva situación. La energía mecánica para ambos casos es

12

T satm

M mE Gr⋅

= − y 1'2 '

T satm

M mE Gr⋅

= −


CAMPO GRAVITATORIO FCA 06 ANDALUCÍA 2.- b) (continuación) dividiendo ambas expresiones entre sí obtenemos

' 1,61'

m

m

E rE r

= = es decir ' 1,61m mE E=

la energía mecánica es 1,61 veces mayor, en valor absoluto, en la nueva situación pero como su signo es negativo, realmente es menor. 3.- a) El trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo viene dado por la expresión cosW F x F x α= ×∆ = ⋅∆ ⋅ v donde x∆ es el desplazamiento y α es el ángulo que forma la fuerza y el desplazamiento. GF La fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta que, por definición, es siempre perpendicular al desplazamiento, es decir 90ºα = , por lo tanto el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es nulo ( cos90º 0= ). También se puede resolver este apartado teniendo en cuenta que el campo gravitatorio es conservativo y en consecuencia pW E= −∆ en una órbita el punto inicial y el final son el mismo y la variación de la energía potencial es cero, por lo tanto el trabajo realizado en una órbita es nulo. b) Por definición, la fuerza de rozamiento se opone al movimiento, por lo tanto su signo será negativo al igual que el del trabajo de rozamiento 4.- a) MJ = 300 MT si el diámetro es diez veces el de la Tierra, lo mismo ocurre con el radio, por lo tanto RJ = 10 RT. Plantemos la ecuación de la gravedad en Júpiter y sustituimos los valores en función de los de la Tierra

( )22 2

300 3 310

J T TJ T

J TT

M M Mg G G G gR RR

= = = ⋅ = ⋅

si el astronauta pesa 75 Kg (fuerza) en la Tierra, en Júpiter pesará tres veces más, es decir 225 Kg (fuerza). También podríamos calcular el peso del astronauta sabiendo que gJ = 30 m·s-2

275 30 2250 225P m g Kg m s N Kgf−= ⋅ = ⋅ ⋅ = =


CAMPO GRAVITATORIO FCA 06 ANDALUCÍA 4.- b) Aplicando la tercera ley de Kepler a los dos planetas y sabiendo que rJ = 5 rT 2 3

J Sol JT K r= ⋅ 2 3T Sol TT K r= ⋅

dividiendo ambas expresiones obtenemos

( )32 3

2 3 3

5125TJ J

T T T

rT rT r r

= = = 125 11,18 11,18J T TT T T años= ⋅ = ⋅ =

5.-a) Si aplicamos la ley de gravitación universal a la interacción producida entre la Tierra y los cuerpos que están en su superficie o cercanos a ella obtenemos

2T

GT

M mF GR

u⋅= − ⋅

como vemos la fuerza es directamente proporcional a la masa del cuerpo. En la caída libre lo que importa es la aceleración

2G T

T

F Ma G um R

= = − ⋅ = g

y como observamos en la ecuación anterior no de pende de la masa del cuerpo, por lo tanto, aunque dos cuerpos tengan distinta masa, si caen de la misma altura llegan al suelo simultáneamente. Esta afirmación es verdadera. b) El campo gravitatorio es conservativo y en consecuencia pW E= −∆ como la variación de energía potencial solo depende de los puntos inicial y final podemos indicar que el trabajo realizado entre dos puntos no depende del camino seguido. Esta afirmación es falsa. 6.- m1 = 5 Kg m2 = 10 Kg a)


CAMPO GRAVITATORIO FCA 06 ANDALUCÍA 6.- a) (continuación) Calculamos las intensidades de campo creadas por las masas m1 y m2 en el punto (4,3)

1111 2

1

2,08 10m Ng G i ir K

−= − ⋅ = − ⋅ ⋅g

1122 2

2

7, 41 10m Ng G j jr K

−= − ⋅ = − ⋅ ⋅g

sumando vectorialmente obtenemos

11 112,08 10 7, 41 10 Ng iKg

− −= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ j

b) Calculamos el potencial gravitatorio creado por las masas m1 y m2 en los puntos (0,0) y (4,3)

11 101 2(0,0)

1 2

5 106,67 10 2,78 103 4

m m JV Gr r K

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − ⋅ + = − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ g

11 101 2(4,3)

1 2

5 106,67 10 3,06 104 3

m m JV Gr r K

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − ⋅ + = − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ g

calculamos el trabajo para trasladar una carga de 2 Kg desde el punto (4,3) hasta el punto (0,0) mediante la expresión que lo relaciona con la diferencia de potencial ( ) ( )10 10 11

(0,0) (4,3) 2 2,78 10 3,06 10 / 5,6 10W m V V Kg J Kg J− −= − = ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ − 7.-a) La velocidad orbital de la Luna en torno a la Tierra se deduce de igualar la fuerza centrípeta a la gravitatoria

Torbt

G Mvr⋅

=

si disminuye el radio de la órbita (r) es evidente que aumenta la velocidad orbital. b) La velocidad de escape desde la superficie de un cuerpo celeste viene dada por varias expresiones, la que nos sirve para comparar en este caso es 2escpv g= ⋅ ⋅ r particularizamos para la Tierra y la Luna ( ) 2escp Tierra T Tv g R= ⋅ ⋅ ( ) 2escp Luna L Lv g R= ⋅ ⋅ tanto como Tg TR son mayores que y Lg LR , por lo tanto > ( )escp Tierrav ( )escp Lunav


CAMPO GRAVITATORIO FCA 06 ANDALUCÍA 8.- a) rL = 3,84 · 108 m TL = 2354400 s aplicamos la tercera ley de Kepler

2

2 3 4L T L

T

T K r rG Mπ

= ⋅ = ⋅⋅

3L

y despejamos la masa de la Tierra

2

3 244 6 10T LL

M r KG Tπ

= ⋅ = ⋅⋅

g

b) rL = 2 · 108 m

( )2

34 888354 10 6L LT

T r s días horasG Mπ

= ⋅ =⋅

9.- a) Ver teoría b) Según la segunda ley de Kepler las áreas verde y roja han de ser iguales y han de ser recorridas en el mismo tiempo. Ello explica que los planetas se muevan más rápidamente en el perihelio (cerca del sol) que en el afhelio (lejos del sol)



1. Un satélite artificial de 500 kg orbita alrededor de la Luna a una altura de 120 km sobre su superficie y tarda 2 horas en dar una vuelta completa. a) Calcule la masa de la Luna, razonando el procedimiento seguido. b) Determine la diferencia de energía potencial del satélite en órbita respecto de la que tendría en la superficie lunar. G = 6,67 ·10-11

N m 2 kg -2 ; R Luna = 1740 km 2. a) Enuncie las leyes de Kepler y razone si la velocidad de traslación de un planeta alrededor del Sol es la misma en cualquier punto de la órbita. b) Justifique si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: “la gravedad en la superficie de Venus es el 90% de la gravedad en la superficie de la Tierra y, en consecuencia, si midiésemos en Venus la constante de gravitación universal, G, el valor obtenido sería el 90% del medido en la Tierra”. 3. a) ¿Puede ser negativa la energía cinética de una partícula? ¿Y la energía potencial? En caso afirmativo explique el significado físico del signo. b) ¿Se cumple siempre que el aumento de energía cinética es igual a la disminución de energía potencial? Justifique la respuesta. 4. La masa de Marte es 9 veces menor que la de la Tierra y su diámetro es 0,5 veces el diámetro terrestre. a) Determine la velocidad de escape en Marte y explique su significado. b) ¿Cuál sería la altura máxima alcanzada por un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba, desde la superficie de Marte, con una velocidad de 720 km h-1? g = 10 m s -2 RT = 6370 km 5. a) Analice las características de la interacción gravitatoria entre dos masas puntuales. b) ¿Cómo se ve afectada la interacción gravitatoria descrita en el apartado anterior si en las proximidades de las dos masas se coloca una tercera masa, también puntual? Haga un esquema de las fuerzas gravitatorias que actúan sobre la tercera masa. 6. a) Haciendo uso de consideraciones energéticas, deduzca la expresión de la velocidad mínima que habría que imprimirle a un objeto de masa m, situado en la superficie de un planeta de masa M y radio R, para que saliera de la influencia del campo gravitatorio del planeta. b) Se desea que un satélite se encuentre en una órbita geoestacionaria. Razone con qué período de revolución y a qué altura debe hacerlo.


CAMPO GRAVITATORIO FCA 07 7. Suponga que la masa de la Tierra se duplicara. a) Calcule razonadamente el nuevo periodo orbital de la Luna suponiendo que su radio orbital permaneciera constante. b) Si, además de duplicarse la masa terrestre, se duplicara su radio, ¿cuál sería el valor de g en la superficie terrestre? G = 6,67·10-11

N m2 kg-2; MT = 6 ·1024

kg ; RT = 6370km ; Rorbital Luna = 3,84·108 m


CAMPO GRAVITATORIO FCA 07 1.- MSAT = 500 Kg h = 120 Km

G = 6,67 · 10-11 2

2

N mKg⋅ RL = 1740 Km

T = 2 h = 7200 s r = RL + h = 1,86 · 106 m a) La tercera ley de Kepler aplicada a la Luna dice

2LT K r= ⋅ 3

212

3 8 10LTKr

−= = ⋅

Como 24

LL

KG Mπ

=⋅

2

224 7,4 10LL

M KgG Kπ

= = ⋅⋅

b) La Energía potencial del satélite en la orbita viene dada por la expresión:

91,33 10L SATP

M ME Gr

J⋅= − = − ⋅

en la superficie lunar

91, 42 10L SATP

L

M ME GR

J⋅= − = − ⋅

79 10P Pórbita P spfE E EP JΔ = − = ⋅ 2.- a) Ver problema nº 9 de CAMPO GRAVITATORIO FCA 06 b) La afirmación es falsa, G como su propio nombre indica, es una constante universal, es decir su valor es el mismo para todo el universo. La gravedad de Venus es menor que la de la Tierra por el valor de su masa y de su radio. 3.- a) La energía cinética de una partícula no puede ser negativa, no tiene sentido ya que la ecuación de la energía cinética es

212CE m v= ⋅

aunque el módulo de la velocidad puede ser negativo su cuadrado es positivo. La energía potencial si es negativa, viene dada por la ecuación

PM mE G

r⋅

= −

El signo negativo proviene de la necesidad que se cumplan las condiciones de dicha energía y son que crece con la distancia y ha de ser cero en el infinito. Si fuera positiva no se cumplirían dichas condiciones.


CAMPO GRAVITATORIO FCA 07 3.- b) Si se trata de un campo conservativo y solo actúan las fuerzas del campo, si se cumple. Si actúan fuerzas no conservativas no se cumple.

4.- 9

TM

MM = si el diámetro es la mitad, el radio también

63185 3,185 102T

MRR km m= = = ⋅

a) Para determinar la velocidad de escape en Marte partimos de su ecuación

2 Mescape

M

G MvR

⋅ ⋅= pero como no nos dan ni G ni MM, el valor de dicho

producto lo sustituimos por su equivalente despejado de la expresión de la gravedad 2

M M MG M g R⋅ = ⋅ sustituyendo la expresión de la velocidad de escape se queda 2escape M Mv g R= ⋅ ⋅ conocemos el radio de Marte, hemos de calcular g en su superficie

22 2 2

/ 9 4 4 4,44( / 2) 9 9

M T TM T

M T T

M M Mg G G G g m sR R R

−= = = = = ⋅

sustituimos en la ecuación anterior y operamos 1 12 5318 5,32escape M Mv g R m s km s− −= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ b) Al preguntarnos sobre la altura máxima alcanza por un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba, desde la superficie de Marte, con una velocidad de 720 km h-1 (200 m s-1), está claro que en dicho punto su velocidad será cero, esto nos permite establecer la siguiente ecuación para el balance de energía

( ) ( ) (C P PE inicial E inicial E final+ = ) es decir C PE E= Δ

20

12

M M

M

M m Mm v G Gr R

⎛ ⎞m⋅ ⋅⋅ = − − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

eliminando m y sacando factor común obtenemos

2 20

1 1 12 M M M

M M

v G M g R 1 1R r R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − = ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠r


CAMPO GRAVITATORIO FCA 07 4.- b) (continuación) despejando v0

2 y deshaciendo el paréntesis

22

022 M M

M Mg Rv g R

r⋅

= ⋅ − despejando r y sustituyendo

2

20

2 31895112

M M

M M

g Rr mg R v

⋅= =

⋅ − como Mr R h= +

4511Mh r R m= − =

Esta sería la forma correcta de resolver este apartado, aunque si considerásemos que la velocidad con la que lanzamos el cuerpo no es lo suficientemente elevada para que la altura que alcance el cuerpo sea relevante con respecto al radio de Marte, podríamos plantear la variación de la energía potencial como mgh

20

12

m v m g h⋅ = ⋅ ⋅ 2

0 45042 M

vh mg

= =

como vemos el error cometido es muy pequeño. 5.- a) La interacción gravitatoria entre dos cuerpos es atractiva y puede expresarse mediante una fuerza central directamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. La constante de proporcionalidad es la llamada constante de gravitación universal G, vectorialmente, expresamos esta fuerza de la siguiente manera:

2

'G r

m mF Gr

u⋅= −

es la ley de gravitación universal desarrollada por Newton.

La fuerza que actúa sobre m es igual que la actúa sobre m’, pero dirigida en sentido contrario. b) Cuando tenemos un conjunto de varias masas la fuerza que actúa sobre una de ellas es igual a la resultante de las fuerzas que las demás ejercen sobre ella, consideradas individualmente.


CAMPO GRAVITATORIO FCA 07 5.- b) (continuación)

2,1 3,1F F F= + 6.- a) Que un cuerpo salga de la influencia del campo gravitatorio del planeta significa que llegue a una distancia infinita (EP = 0) y que su velocidad sea cero (EC = 0), por lo tanto su energía mecánica sería cero. A la velocidad necesaria que hay que darle al cuerpo en la superficie del planeta para que eso ocurra se le llama velocidad de escape. Como el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica se mantiene constante, en consecuencia, podemos plantear la siguiente ecuación

(superficie) (superficie) 0P CE E+ = 21 02 escape

M mm v GR⋅

⋅ − =

despejando 2escape

G MvR

⋅ ⋅=

b) Un satélite geoestacionario se caracteriza por estar situado en todo momento sobre el mismo punto del planeta, esto se consigue si su periodo de rotación es el mismo del planeta sobre el que orbita (en el caso de la Tierra el periodo de rotación del satélite sería de 24 h). Para calcular la altura de la órbita partimos de la tercera ley de Kepler

sustituyendo k por su valor 2T k r= ⋅ 32

2 34T rG Mπ

= ⋅⋅

despejamos r 2

324

T G Mrπ⋅ ⋅

= y como r R h= +

2

324

T G Mh Rπ⋅ ⋅

= −


CAMPO GRAVITATORIO FCA 07 7.- a) ' 2T TM M= 83,84 10orbital Lunar R m= = ⋅si llamamos v’ a la nueva velocidad orbital de la Luna podemos calcularla partiendo de la igualación entre la fuerza centrípeta y la fuerza gravitatoria

2

2

'' T LL

M MvM Gr r

⋅= despejando 1' 2' 1443,7T TG M G Mv m

r r−⋅ ⋅

= = = s

calculamos el periodo en las nuevas condiciones T’

( )2' 1671179,8 19,34'rT s días

vπ

= =

b) ' 2T TM M= ' 2T TR R= llamamos g’ a la gravedad de la Tierra en la nueva situación

( )

222

' 2' 4' 2

T T

T T

M Mg G G msR R

,9 −= = =



1. Los satélites meteorológicos son un medio para obtener información sobre el estado del tiempo atmosférico. Uno de estos satélites, de 250 kg, gira alrededor de la Tierra a una altura de 1000 km en una órbita circular. a) Calcule la energía mecánica del satélite. b) Si disminuyera el radio de la órbita, ¿aumentaría la energía potencial del satélite? Justifique la respuesta. G = 6,67·10-11

N m2 kg-2

; RT = 6400 km ; MT = 6,0·1024 kg

2. Un satélite del sistema de posicionamiento GPS, de 1200 kg, se encuentra en una órbita circular de radio 3 RT. a) Calcule la variación que ha experimentado el peso del satélite respecto del que tenía en la superficie terrestre. b) Determine la velocidad orbital del satélite y razone si la órbita descrita es geoestacionaria. G = 6,67·10-11

N m2 kg-2

; MT = 6,0·1024 kg ; RT = 6400 km

3. a) Explique qué se entiende por velocidad orbital de un satélite y deduzca razonadamente su expresión para un satélite artificial que describe una órbita circular alrededor de la Tierra. b) ¿Se pueden determinar las masas de la Tierra y del satélite conociendo los datos de la órbita descrita por el satélite? Razone la respuesta. 4. a) Analice las características de la interacción gravitatoria entre dos masas puntuales. b) Razone por qué la energía potencial gravitatoria de un cuerpo aumenta cuando se aleja de la Tierra. 5. Un satélite artificial de 1000 kg describe una órbita geoestacionaria con una velocidad de 3,1·103

m s-1. a) Explique qué significa órbita geostacionaria y determine el radio de la órbita indicada. b) Determine el peso del satélite en dicha órbita. G = 6,67·10-11

N m2 kg-2

; MT = 6,0·1024 kg ; RT = 6400 km

6. a)Explique qué se entiende por velocidad de escape de la Tierra y deduzca razonadamente su expresión. b) Suponiendo que la velocidad de lanzamiento de un cohete es inferior a la de escape, explique las características del movimiento del cohete y realice un balance de energías.


CAMPO GRAVITATORIO FCA 08 ANDALUCÍA 1.-a) m = 250 kg h = 106 m r = RT + h = 7,4·106 m La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial M C PE E E= + la energía potencial

PMmE Gr

= −

la energía cinética 212CE m= v como la fuerza gravitatoria ejerce de fuerza

centrípeta 2

2

Mm mvGr r

= despejando 2 Mmmv Gr

= sustituyendo en la ecuación

de la energía cinética 12 2C

Mm ME G Gr r

= =m

96,76 10

2 2MMm Mm MmE G G Gr r r

= − + = − = − ⋅ J

b) la energía potencial es PMmE Gr

= − , al disminuir r, el valor numérico de la energía

potencial aumenta pero como es una magnitud negativa, su valor real disminuye. 2.-a) Si dividimos entre sí las intensidades del campo gravitatorio en la órbita y en la superficie

2(3 )T

oT

Mg GR

= 2T

sT

Mg GR

= 19

o

s

gg

=

calculamos la relación entre ambos pesos

19

o o

s s

P m gP m g

⋅= =

⋅

el peso del satélite es nueve veces menor en la órbita que en la superficie. b) La fuerza centrípeta que actúa sobre el satélite en órbita estable es la fuerza gravitacional

2

2Tm mmv G

r r= despejando T

orbitalGmv

r=

como r = 3 rT obtenemos

14565,53

Torbital

T

Gmv mr

s−= =


CAMPO GRAVITATORIO FCA 08 ANDALUCÍA 2.-b) (continuación) Para que la órbita sea geoestacionaria el periodo orbital del satélite ha de ser el mismo que el periodo sidéreo de rotación terrestre (23 horas, 56 minutos). Calculamos el periodo del satélite aplicando la tercera ley de Kepler

2T kr= 3 la k para la Tierra es 24

T

kGmπ

= y como 3 Tr r= nos queda

2

34 (3 ) 26423 (7 21min)TT

T r s hGmπ

= =

La órbita no es geoestacionaria. 3.-a) La velocidad orbital de un satélite, es aquella que debe tener para que su órbita sea estable y ha de cumplirse que la fuerza gravitatoria que le ejerce la Tierra sea la fuerza centrípeta

2

2Tm mmv G

r r= despejando T

orbitalGmv

r=

siendo r el radio de la órbita medida desde el centro de la Tierra (r = rT + h) b) Teniendo en cuenta que los datos orbitales del satélite son, su periodo (T) y el radio de la órbita (r). Aplicando la tercera ley de Kepler

2 3T kr= podemos calcular el valor de la constante k y como esta viene dada por la ecuación

24

T

kGmπ

=

despejando obtenemos la masa de la Tierra. Sin embargo, no podemos conocer la masa del satélite, pues los datos orbitales no dependen de ella. 4.-a) La interacción gravitatoria entre dos cuerpos es atractiva y puede expresarse mediante una fuerza central directamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. La constante de proporcionalidad es la llamada constante de gravitación universal G, vectorialmente, expresamos esta fuerza de la siguiente manera:

2

'G r

m mF Gr

u⋅= −


CAMPO GRAVITATORIO FCA 08 ANDALUCÍA 4.-a) (continuación) es la ley de gravitación universal desarrollada por Newton.

La fuerza que actúa sobre m es igual que la actúa sobre m’, pero dirigida en sentido contrario.

b) la energía potencial es PMmE Gr

= − , al aumentar r, el valor numérico de la energía

potencial disminuye, pero como es una magnitud negativa, su valor real aumenta. 5.-a) Un satélite geoestacionario se caracteriza por estar situado en todo momento sobre el mismo punto del planeta, esto se consigue si su periodo de rotación es el mismo del planeta sobre el que orbita (en el caso de la Tierra el periodo de rotación del satélite sería de 24 h). Para calcular la altura de la órbita partimos de la tercera ley de Kepler

2T k r= ⋅ 3 sustituyendo k por su valor 2

2 34

T

T rG mπ

= ⋅⋅

despejamos r 2

32 42297752 (42297 )

4TT G mr m

π⋅ ⋅

= = km

en este ejercicio, también podría calcularse, partiendo de la ecuación de la velocidad orbital, ya que el enunciado nos da el valor de esta

Torbital

Gmvr

= despejando 2 41644121 (41644 )TGmr mv

= = km

la diferencia entre ambos cálculos estriba en que la velocidad orbital está redondeada. b) Calculamos la gravedad en la órbita geoestacionaria (r = 42297752 m)

22 0, 22TMg G ms

r−= =

como la masa del satélite es m = 1000 kg tenemos

220P mg N= =


CAMPO GRAVITATORIO FCA 08 ANDALUCÍA 6.-a) Es la velocidad mínima que hay que comunicarle a un cuerpo situado en la superficie de la Tierra para que abandone de manera definitiva el campo gravitatorio de esta. El cuerpo que se halla en la superficie del planeta con la correspondiente energía potencial

TP

T

m mE Gr

= −

es dotado de la energía cinética necesaria para que llegue a una distancia infinita (EP = 0) donde su velocidad y por consiguiente su energía cinética, se haga cero. El principio de conservación de la energía mecánica exige que

21 02

Tescp

T

m mmv Gr

⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

despejando 2 Tescp

T

Gmvr

=

b) Es evidente que el cohete no saldrá del campo gravitatorio terrestre. Durante la ascensión y mientras dure el combustible, la energía cinética que le provoca la combustión se transforma en energía potencial. Cuando el combustible se agota, su velocidad va disminuyendo hasta quedar parado (siempre que no tenga una componente tangencial de velocidad, en cuyo caso entraría en órbita) con la máxima energía potencial, en este momento comienza la caída hacia la superficie de la Tierra durante la cual, la energía potencial se transforma en cinética.



1. a) Explique qué se entiende por velocidad de escape y deduzca razonadamente su expresión. b) Razone qué energía habría que comunicar a un objeto de masa m, situado a una altura h sobre la superficie de la Tierra, para que se alejara indefinidamente de ella. 2. Dos masas puntuales m1 = 5 kg y m2 = 10 kg se encuentran situadas en los puntos (-3, 0) m y (3, 0) m, respectivamente. a) Determine el punto en el que el campo gravitatorio es cero. b) Compruebe que el trabajo necesario para trasladar una masa m desde el punto A (0, 4) m al punto B (0, -4) m es nulo y explique ese resultado. 3. a) Indique las características de la interacción gravitatoria entre dos masas puntuales. b) Explique en qué punto, entre dos masas puntuales, puede encontrarse en equilibrio una tercera masa puntual y cuál sería su energía potencial. 4. Un satélite de 200 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra con un periodo de dos horas. a) Calcule razonadamente el radio de su órbita. b) ¿Qué trabajo tendríamos que realizar para llevar el satélite hasta una órbita de radio doble. G = 6,67·10-11

N m2 kg-2

; MT = 6·1024 kg

5. La masa de la Tierra es 81 veces la de la Luna y la distancia entre sus centros es 3,84·105

km. a) Calcule en qué punto, entre la Tierra y la Luna se encontraría en equilibrio un meteorito de 200 kg. b) ¿Cuál sería la energía potencial del meteorito en ese punto? G = 6,67·10-11

N m2 kg-2, ML = 7,35·1022

kg 6. a) Enuncie las leyes de Kepler. b) Demuestre la tercera ley de Kepler a partir de la ley de gravitación universal de Newton para un órbita circular. 7. a) Explique qué se entiende por velocidad orbital y deduzca su expresión para un satélite que describe una órbita circular alrededor de la Tierra. b) Razone cómo variaría la energía mecánica del satélite si se duplicara su masa.


CAMPO GRAVITATORIO FCA 10 ANDALUCÍA 8. Dos masas puntuales m = 10 kg y m’ = 5 kg están situadas en los puntos (0,3) m y (4,0) m, respectivamente. a) Dibuje el campo gravitatorio producido por cada una de las masas en el punto A (0,0) m y en el punto B (4,3) m y calcule el campo gravitatorio total en ambos puntos. b) Determine el trabajo necesario para desplazar una partícula de 0,5 kg desde el punto B hasta el A. Discuta el signo de este trabajo y razone si su valor depende de la trayectoria seguida. G = 6,67·10-11

N m2 kg-2

9. Un satélite de 3·103

kg gira alrededor de la Tierra en una órbita circular de 5·104

km de radio. a) Determine razonadamente su velocidad orbital. b) Suponiendo que la velocidad del satélite se anulara repentinamente y empezara a caer sobre la Tierra, ¿con qué velocidad llegaría a la superficie terrestre? Considere despreciable el rozamiento del aire. G = 6,67·10-11

N m2 kg-2

; MT = 6·1024 kg; RT = 6370 km


CAMPO GRAVITATORIO FCA 10 ANDALUCÍA 1.- a) Es la velocidad mínima que hay que comunicarle a un cuerpo situado en la superficie de cualquier astro para que abandone de manera definitiva el campo gravitatorio de este. Suponiendo que dicho astro fuese la Tierra el cuerpo que se halla en la superficie del planeta con la correspondiente energía potencial

TP

T

m mE Gr

= −

es dotado de la energía cinética necesaria para que llegue a una distancia infinita (EP = 0) donde su velocidad y por consiguiente su energía cinética, se haga cero. El principio de conservación de la energía mecánica exige que

21 02

Tescp

T

m mmv Gr

⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

despejando 2 Tescp

T

Gmvr

=

b) Antes de resolver este apartado, hemos de suponer dos cosas, primero, que el cuerpo inicialmente está parado con respecto a la Tierra (Ec = 0) a una altura h de su superficie ya que el enunciado del problema no dice que esté en orbita, segundo, que el sentido de la frase “alejarlo indefinidamente” significa, sacarlo de la influencia de su campo gravitatorio, es decir, ponerlo en el infinito (Ep = 0) a velocidad cero (Ec = 0). Si llamamos E a la energía que hay que comunicarle, el principio de conservación de la energía nos dice

( ) 0pE h E+ = 0T

T

m mG Er h

− + =+

T

T

m mE Gr h

=+

2.- a) m1 = 5 kg en el punto (-3,0) y m2 = 10 kg en el punto (3,0)

y x 6 − x

x m1 1g P 2g m2 Como vemos en la figura el campo gravitatorio se anula en el punto P (más cercano a m1 ya que esta es más pequeña), donde ambos campos se anulan al ser iguales en módulo y de sentido contrario. Si llamamos x a la distancia entre m1 y P, la distancia entre m2 y P será, 6− x. Planteamos la ecuación de la igualdad entre módulos

1g g= 2 1 22 2(6 )

m mG Gx x

=−


CAMPO GRAVITATORIO FCA 10 ANDALUCÍA 2.- a) (continuación)

2 2

5 1036 12x x x

=− +

25 60 180x x 0+ − =

resolviendo y escogiendo la solución adecuada nos sale x = 2,48 m, por lo tanto el punto P será (−0,52, 0) b) y A

d d x m1 m2 d d B Como vemos en la figura, las cuatro distancias marcadas entre los puntos A y B y ambas masas son iguales, aplicando Pitágoras obtenemos

2 23 4 5d m= + = calculamos el potencial en A sumando los potenciales que crean en dicho punto las masas m1 y m2

1 21 2 1 2( )A A A

m m GV V V G G m md d d

= + = − − = − +

calculamos el potencial en A sumando los potenciales que crean en dicho punto las masas m1 y m2

1 21 2 1 2( )B B B

m m GV V V G G m md d d

= + = − − = − +

como vemos ambos potenciales son iguales y por lo tanto el trabajo para trasladar una masa m desde A hasta B es nulo porque es nula la diferencia de potencial.


CAMPO GRAVITATORIO FCA 10 ANDALUCÍA 3.- a) La interacción gravitatoria entre dos cuerpos es atractiva y puede expresarse mediante una fuerza central directamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. La constante de proporcionalidad es la llamada constante de gravitación universal G, vectorialmente, expresamos esta fuerza de la siguiente manera:

2

'G r

m mF Gr

u⋅= −

es la ley de gravitación universal desarrollada por Newton.

La fuerza que actúa sobre m es igual que la actúa sobre m’, pero dirigida en sentido contrario. b) El punto entre dos masas puntuales en que puede encontrarse en equilibrio una tercera masa puntual es aquel en que las fuerzas gravitatorias que ejercen cada una de las masas sobre la tercera, que se encuentra entre ellas, son iguales y de sentido contrario con lo que se anulan entre ellas y la resultante es cero. La energía potencial de la tercera masa en ese punto sería mínima con respecto a la que tendría en cualquier otra posición del eje X ya que se encuentra en equilibrio. 4.- a) Para calcular el radio de la órbita aplicamos la tercera ley de Kepler teniendo en cuenta que la constante que aparece en esta ley sólo depende de la masa del cuerpo sobre el que se orbita, en este caso, la Tierra y que el periodo es de dos horas (7200 s)

2T k r= ⋅ 3 24

T

kGMπ

= 2

2 34

T

T rGMπ

=

2 2 2 11 2 2 24

63 32 2

7200 6,67 10 6 10 8,07 104 4

TT GM s Nm kg kgr mπ π

− −⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅

b) El trabajo lo calculamos como la diferencia de energía mecánica del satélite entre las dos órbitas de radio 2r y r (r = 8,07·106 m)

(2 ) ( )2(2 ) 2

T Tm m m

m m m mW E E r E r G Gr r

⎛ ⎞= Δ = − = − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

92, 48 19

2 4 4T T Tm m m m m mW G G G Jr r r

= − = = ⋅


CAMPO GRAVITATORIO FCA 10 ANDALUCÍA 5.- a)

Para que el meteorito se encuentre en equilibrio, la fuerza resultante ha de ser nula y los módulos de la fuerza gravitatoria de la Tierra y de la Luna han de ser iguales

GT GLF F= ( )22

T Lm m m mG Gx d x⋅ ⋅

⋅ = ⋅−

( )2 2T Lm d x m x⋅ − = ⋅

desarrollando obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado (mT = 81mL = 5.95·1024 kg)

( ) 2 22 0T L T Tm m x m d x m d− ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =

24 2 33 415,91 10 4,59 10 8,82 10 0x x⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ =

( )233 33 24 41

24

4,59 10 4,59 10 4 5,91 10 8,82 10

2 5,91 10x

⋅ ± ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅

siendo los dos resultados 8

1 24, 28 10 y 3, 49 108x m x= ⋅ = ⋅ m como x ha de ser menor que d, en este caso el resultado que se nos pide es 83, 49 10x m= ⋅ medidos desde la Tierra. b) La energía potencial del meteorito en ese punto es la suma de la energía potencial del meteorito con respecto a la Tierra y la que tiene con respecto a la Luna

82,55 10T Lp

m m m mE G Gx d x

= − − = − ⋅−

J

6.- a) Ver teoría b) Consideremos un planeta de masa m que orbita en torno al Sol (de masa mS) a una distancia r, si tenemos en cuenta que la fuerza gravitacional es centrípeta

22

Sm mG mr

rω=


CAMPO GRAVITATORIO FCA 10 ANDALUCÍA 6.- b) (continuación) como 2 /Tω π= , entonces

2

2 2

4Sm mG mr T

rπ=

reorganizando la anterior igualdad se obtiene

22 34

S

T rGmπ

=

llamando k a los valores constantes obtenemos la tercera ley de kepler

22 34

S

k TGmπ

= = kr

7.- a) La velocidad orbital de un satélite, es aquella que debe tener para que su órbita sea estable y ha de cumplirse que la fuerza gravitatoria que le ejerce la Tierra sea la fuerza centrípeta

2

2Tm mmv G

r r= despejando T

orbitalGmv

r=

siendo r el radio de la órbita medida desde el centro de la Tierra (r = rT + h) b) La energía mecánica del satélite en orbita viene dada por la siguiente expresión

2T

mm mE G

r= −

si se duplicara la masa del satélite, se duplicaría la energía mecánica. 8.- a) m1 = 10 kg m2 = 5 kg y g1B m1 B g2B gA Bg g 1A

A g m2 2A

Calculamos las intensidades de campo creadas por las masas m1 y m2 en el punto A (0,0)


CAMPO GRAVITATORIO FCA 10 ANDALUCÍA 8.- a) (continuación)

1111 2

1

7, 41 10AA

m Ng G i jr K

−= − ⋅ = ⋅ ⋅g

112

2 22

2,08 10AA

m Ng G j ir K

−= − ⋅ = ⋅ ⋅g


11 112,08 10 7, 41 10ANg iKg

− −= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ j

Calculamos las intensidades de campo creadas por las masas m1 y m2 en el punto B (4,3)

1111 2

1

4,17 10BB

m Ng G i ir K

−= − ⋅ = − ⋅ ⋅g

112

2 22

3,7 10ABB

m Ng G j jr K

−= − ⋅ = − ⋅ ⋅g


11 114,17 10 3,7 10BNg iKg

− −= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ j

b) Calculamos el potencial gravitatorio creado por las masas m1 y m2 en los puntos (0,0) y (4,3)

11 101 2(0,0)

1 2

10 56,67 10 3,05 103 4A A

m m JV Gr r K

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − ⋅ + = − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ g

11 101 2(4,3)

1 2

10 56,67 10 2,78 104 3B B

m m JV Gr r K

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − ⋅ + = − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ g

calculamos el trabajo para trasladar una carga de 0,5 Kg desde el punto (4,3) hasta el punto (0,0) mediante la expresión que lo relaciona con la diferencia de potencial

( ) ( )10 10 11(0,0) (4,3) 0,5 3,05 10 2,78 10 / 1,35 10W m V V Kg J Kg J− −= − = ⋅ − ⋅ + ⋅ = − ⋅ −

E

el signo negativo nos indica que la energía potencial aumenta ( pW = −Δ ), es decir, que el trabajo se realiza contra las fuerzas del campo. Puesto que es un campo conservativo, su valor no depende de la trayectoria seguida.


CAMPO GRAVITATORIO FCA 10 ANDALUCÍA 9.- a) La velocidad orbital de un satélite, es aquella que debe tener para que su órbita sea estable y ha de cumplirse que la fuerza gravitatoria que le ejerce la Tierra sea la fuerza centrípeta

2

2Tm mmv G

r r= despejando T

orbitalGmv

r=

11 2 2 24

17

6,67 10 6 10 28295 10orbNm kg kgv m

m

− −

s−⋅ ⋅ ⋅= =

⋅

b) Si la velocidad del satélite se anulara repentinamente, en ese instante sólo tendría energía potencial , al llegar a la superficie de la Tierra tendría energía cinética y energía potencial , aplicando el principio de conservación de la energía mecánica

( )pE r cE( )p TE r

( ) ( )p c pE r E E r= + T ( ) ( )c p p TE E r E r= −

113,03 10T T

cT

m m m mE G Gr r

= − + = ⋅ J

sustituyendo la energía cinética por su expresión calculamos la velocidad

2 11 3,03 102

mv J= ⋅ 1 11

13

2 3,03 10 142123 10

Jv mkg

s−⋅ ⋅= =

⋅


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