CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACI~N Y DESARROLLO · Centro Nacional de Investigación y Desarrollo...

S.E.P. S.E.I.T. D.G.I.T.

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACI~N Y DESARROLLO TECNOL~GICO

cenidet CONTROLADORES DE MOTORES DE INDUCCIÓN:

UN ANÁLISIS COMPARATIVO

T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA

P R E S E N T A MIGUEL ANGEL MÉNDEZ BOL10

DIRECTOR DE TESIS: Dr. GERARD0 VICENTE GUERRERO RAMiREZ CO-DIRECTOR M.C. PATRiCIA CARATOZZOLO hlARTELLITI

CUERNAVACA, MORELOS ABRIL 7nni

S.E.P. S.E.1.T S.N.1.T

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACI~N Y DESARROLLO TECNOL~GICO

ACADEMIA DE LA MAESTR~A EN ELECTR~NICA

certidet

FORMA R11 ACEPTACION DEL TRABAJO DE TESIS

Cuernavaca, Mor.

Dr. Jesús Amoldo Bautista Corral Director del certidet Presente

Jefe del Depto. de Electrónica At‘n. Dr. Luis Gerardo Vela Valdes

Después de haber revisado el trabajo de tesis titulado: “Controladores de Motores de Inducción: Un Análisis Comparativo”, elaborado por el alumno Miguel Angel Méndez Bolio, bajo la dirección del M.C. Gerardo V. Guerrero Ramírez y M.C. Patricia Caratozzolo Martelliti, el trabajo presentado se ACEPTA para proceder a su impresión.

A T E N T A M E N T E

Dr. Enrique ro Mármol-Márquez Dr. Marco Antonio Oliver Salazar

M.I. Marino Sánchez Parra

C.C.P.: DI. Abraham Claudio Sánchez I Pdte. de la Academia de Elecímjnica Ing. Jaime Rosas Álvarez I Jefe del Depto. de Servicios Escolares Expediente.

INTERIOR INTERNADO PALMIRA S/N, CUERNAVACA. MOR. MÉXICO AP 5-164 CP 62050, CUERNAVACA, TELS.(73)12 2314.12 7613.18 7741. FAX (73) 12 2434 Dr. Jaime AraU Roffiel/Jefe del Depto de Electrónica EMAIL [email protected]

6E.P 0.G.i.T CENTRO NACIONAL Of LlrNESTIGACIDp( ’

Y DESARROLLO TECNOLWICO S!jBDIRECCION ACAOEMICA

cenidef

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Cuernavaca, Morelos

Ing. Miguel Angel Méndez Bolio Candidato al grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería Electrónica Presente

Después de haber sometido a revisión su trabajo final de tesis titulado: “Controladores de Motores de Inducción: Un Análisis Comparativo”, y habiendo cumplido con todas las indicaciones que el jurado revisor de tesis le hizo, le comunico que se le concede autorización para que proceda a la impresión de la misma, como requisito para la obtención del grado.

Reciba un cordial saludo.

A T E N T A M E N T E

Dr. Luis Gerardo Vela Valdes Jefe del Depto. de Electrónica

C.C.P. expediente,

INTERIOR INTERNADO PALMIRA SIN. CUERNAVACA. MOR. MÉXICO AP 5-164 CP 62050. CUERNAVACA. TELS. 1731I223l4. 127613. 187741. FAX 1731 122434 DI. tuir Gerardo Velo VálderlJefe dei D&O de Electrónico EMAIL velaluis~cenide1.edu.mx cenídet

Dedicatoria

Con todo mi amorpara mi esposa Paola y mi hija Ana Paola,

a mis padres Juan Gregorio y Maria Esther,

y a mis queridos hermanos Juan Gregorio y Juan Esteban.

Agradecimientos

A mis asesores, Dr. Gerardo V. Guerrero Ramírez y M.C. Patricia Caratozzolo Martelliti por haberme apoyado con sus conocimientos en el desarrollo de esta tesis.

A mis revisores, Dr. Enrique Quintero Mármol-Márquez, Dr. Marco Antonio Oliver Salazar y M.I. Marino Sánchez Parra, por sus acertados consejos en el desarrollo de este trabajo de investigación. Muchas gracias.

A todos mis profesores por compartir sus valiosos conocimientos conmigo.

A mi esposa por su infinito amor, ternura y paciencia.

A Mora Cervera por su cariño y comprensión.

A mi tío Ariel por sus sabios consejos.

A Juan R. Rejón por su apoyo incondicional.

A Alejandro Cuevas Virués por su apoyo,

A mis queridos amigos de generación: Margarita Paz, Alejandro López, Carlos Morcillo, Horacio Visairo, José Hoyo, Marco Contreras, Marco Rodriguez, René Vite y Roberto Galindo. Gracias por su amistad.

AI Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT), a la Secretaria de Educación ,Pública (SEP) y al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET) por su apoyo econóniico y las facilidades que me brindaron.

A todos ustedes . . . . . GRACIAS.

ÍNDICE

Pág.

íNDICE LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABLAS SIMBOLOGÍA

CAPÍTULO 1 INTRODUCCI~N

1.1 Estado del arte 1.2 Justificación 1.3 Alcance 1.4 Aportación 1.5 Organización del trabajo de tesis

CAPíTULO 2 ANALISIS, MODELADO Y SIMULACIÓN DIGITAL EN

INDUCCIÓN TRIFÁSICO EN LAZO ABIERTO COMPUTADORA DE LA OPERACI~N DEL MOTOR DE

i rv vi1

vi11

1

7

2.1 Análisis dinámico del MI 7 2.2 Modelo tnfásico del MI 12 2.3 15 Simulación digital en computadora de la operación del MI trifásico

CAPiTULO 3 MODELO DEL MI EN SUS DIFERENTES MARCOS DE REFERENCIA (MR) Y MODELO DE LA CARGA

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Teoría del marco de referencia Modelo del MI en su representación matemática fija al estator, modelo ‘ab’ Modelo del MI en su representación matemática fija al rotor, modelo ‘dq’ Modelo del MI en su representación matemática giratoria sincrona, modelo ‘gs’ Modelo del MI basado en la formulación de Euler-Lagrange

3.5.2 Derivación Lagrangiana del modelo tnfásico del MI 3.5.3 Modelo equivalente de 24 Modelo matemático de la carga (brazo de robot con un grado de libertad)

3.5.1 Ecuaciones de Euler-Lagrange (E-L) r.

3.6

1 8 ,

18 22 29 35 37 37 39 44 49

I

INDICE

CAPíTULO 4 CONTROL DEL MI BASADO EN CAMPO ORIENTADO

4.1 Planteamiento del problema 4.2 4.3

Diseño del controlador basado en campo orientado Simulación de la operación del sistema resultante

52

52 53 57

CAPíTULO 5 CONTROL DEL MI BASADO EN

61 LINEALIZACI~N POR RETROALIMENTACI~N

5.1 Planteamiento del problema 61 5.2 Diseño del controlador basado en linealización por

retroalimentación entrada-salida 62 5.3 Simulación de la operación del sistema resultante 68 5.4 Diseño del controlador basado en linealización por retroalimentación "

71 5.5 Simulación de la operación del sistema resultante 78

entrada-salida empleando observadores de velocidad y flujo'

CAPíTULO 6 I .

CONTROL DEL MI BASADO EN PASIVIDAD 81

6.1 Planteamiento del problema 81 6.2 82 6.3 Análisis de estabilidad de Lyapunov 89

Diseño del controlador basado en la formulación de E-L, pasividad

6.4 Simulación de la operación del sistema resultante 95

CAPíTULO 7 ANÁLISIS COMPARATIVO DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES 98

7.1 Análisis del índice de desempeño 98

7.3 103 7.4 Conclusiones 106

7.2 Análisis del tiempo de simulación 101 Análisis de las señales de entrada al MI; voltajes y comentes

REFERENCIAS 108

INDICE

APÉNDICE A MANUAL PARA EL USO DE LOS PROGRAMAS DE SIMULACIÓN DEL MI

A.l Estado del arte A.2 A.3 A.4 A.5 A.6 A.7

Modelos del MI en lazo abierto con carga constante Modelos del MI en lazo cerrado con carga constante Modelos del MI en lazo abierto con carga variable Modelos del MI en lazo cerrado con carga variable Instrucciones para simular los programas Desarrollo de un ejemplo de simulación

A- 1

A- 1 A-3 A-3

, r - A-4 A-4 A-5 A-8

111

LISTA DE FIGURAS

Pág.

Máquina de inducción trifásica, simétrica, dos polos, conectada en estrella. 9 Diagrama esquemático a bloques del modelo trifásico del MI. 13 Sistema trifásico de alimentación, voltajes de línea (izquierda); par vs. velocidad (derecha). 16 Comente en la fase ‘a’ del estator (izquierda) y fase ‘a’ del rotor (derecha). 16 Comentes de las fases a, b y c: estator (izquierda), rotor (derecha): 17 Par electromagnético (izquierda); velocidad del rotor (derecha). 17

Figura 2-1

Figura 2-2 Figura 2-3

Figura 2-4


Figura 3-1

Figura 3-2

Figura 3-3 Figura 3-4 Figura 3-5


Figura 3.9

Transformación para circuitos estacionarios representada por relaciones trigonométricas. Representación trigonométrica de la transformación de las variables del rotor a las variables del estator. Diagrama esquemático a bloques del modelo ‘ab’ del MI. Representación polar del vector de flujo del rotor. Representación trigonométrica para la transformación de las variables en el M R ‘ab ’ a variables en el MR ‘dq ’. Diagrama esquemático a bloques del modelo ‘dq ’ del MI. Diagrama esquemático a bloques del modelo ‘gs ’ del MI. Diagrama esquemático a bloques del modelo basado en la formulación de E-L del MI.

Representación gráfica del brazo de robot con un grado de libertad. Figura 3-10 Trayectoria de posición deseada.

Figura 4-1

Figura 4-2

Figura 4-3

Figura 4-4

Figura 4-5


Diagrama a bloques del controlador por campo orientado para el MI en el MR ‘dq ’. Voltajes de entrada al estator del modelo ‘dq ’ del MI, Ud (izquierda) y uq (derecha). Comentes de fase en el estator para el modelo ‘dq ’, id (izquierda) e iq (derecha). Flujo de referencia vs. flujo real (izquierda); par electromagnético de referencia vs. par real (derecha). Posición de referencia vs. real (izquierda); velocidad de referencia vs. real (derecha). Error de posición (izquierda); error de velocidad (derecha). Índice de desempeño ITAE para el error de velocidad.

21

23 28 29

30 34 36

49 50 51

57

58

59

59

60 60 60

‘ÜSTA DE FIGURAS

Figura 5-1

Figura 5-2

Figura 5-3



Figura 5-9

Figura 5-10




Figura 6-3



Figura 7-1

Figura 7-2

Diagrama a bloques del controlador basado en linealización por retroalimentación entrada-salida para el MI en el MR ‘ab’ empleando el álgebra de Lie. 68 Voltajes de entrada al estator del modelo ‘ab ’ del MI, un (izquierda) y zib (derecha). 69 Comentes de fase en el estator para el modelo ‘ab’, i , (izquierda) e ib (derecha). 69 Flujo de referencia al cuadrado vs. flujo real al cuadrado. 70 Posición de referencia vs. real (izquierda); velocidad de referencia vs. real (derecha). 70 Error de posición (izquierda); error de velocidad (derecha). 71 Índice de desempeño ITAE para el error de velocidad. 71 Diagrama a bloques del controlador basado en linealización por retroalimentación entrada-salida para el MI en el MFt ‘ab’

Voltajes de entrada al estator del modelo ‘ab ’ del MI, u, (izquierda) y U,b (derecha). Comentes de fase en el estator para el modelo ‘ab’, is. (izquierda) e irb (derecha). Flujo de referencia vs. real (izquierda); par electromagnético (derecha). Posición de referencia vs. real (izquierda); velocidad de referencia

empleando observadores. 77

78

78 79

vs. real (derecha). 79 Error de posición (izquierda); error de velocidad (derecha). Índice de desempeño ITAE para el error de velocidad.

80 80

Diagrama a bloques del controlador basado en pasividad para el MI.

u, (izquierda) y u2 (derecha).

i,, (izquierda) e ib, (derecha), comentes de referencia vs. reales.

94 Voltajes de entrada al estator para el modelo basado en E-L,

95 Comentes de fase en el estator para el modelo basado en E-L,

95 Par electromagnético de referencia vs. real. 96 Posición de referencia vs. real (izquierda); velocidad de referencia vs. real (derecha). 96

97 97

Error de posición (izquierda); error de velocidad (derecha). Índice de desempeño ITAE para el error de velocidad.

Gráfica comparativa entre los índices de desempeño de los

Diferentes acercamientos de la figura 7-1; (a) en esta gráfica aún se observan los cuatro indices de desempeño; (b) en ésta sólo se aprecian los ITAE correspondientes al c h p o orientado, linealización con observadores y pasividad; (c) enesta gráfica sólo aparecen los ITAE de la linealización con obseiyadores

controladores, para el error de la velocidad. 99

y el de pasividad. 1 O0

USTA DE FGURAS

Figura 7-3

Figura 7-4

Figura 7-5

Figura 7-6

Gráfica de barras del ITAE para la velocidad, ver tabla 7-1

Gráfica circular que muestra el porcentaje de los tiempos de

Voltajes (izquierda) y comentes (derecha) trifásicos obtenidos del controlador basado en campo orientado. Voltajes (izquierda) y comentes (derecha) trifásicos obtenidos del controlador basado en linealización por retroalimentación entrada-salida. , 104 Voltajes (izquierda) y comentes (derecha) trifásicos obtenidos del controlador basado en linealización por retroalimentación entrada-salida empleando observadores. 104 Voltajes (izquierda) y comentes (derecha) trifásicos obtenidos del controlador basado en pasividad. 105

para a, b, c, d.

simulación, ver tabla 7-2 para la identificación de a, b, c, d.

1 O0

102

103

Figura 7-7

Figura 7-8

Figura A-1 Workspace de Matlab, página de inicio. A-5

con sus respectivos osciloscopios. A-6 Figura A-3 A-7 Figura A 4 Ventana para modificar el archivo de parámetros. A-7

de simulación. A-8

Figura A-2 Programa de Simulink correspondiente a mod3hi.md1,

Ventana para abrir y modificar los archivos de parámetros.

Figura A-5

Figura A-6

Figura A-7

Distribución de las carpetas que contienen los programas

Programa de Sirnulink correspondiente a sislinml.md1,

Voltajes de entrada al estator del modelo ‘ab’ del MI, con sus respectivos osciloscopios. A-8

U, (izquierda) y Ub (derecha). A-9 A-9 Figura A-8 Voltajes que entrega el controlador Va (izquierda), Vb (derecha).

Figura A-9

Figura A-10 Figura A-11 Figura A-12

Comentes de fase en el estator para el modelo ‘ab’,

Flujos de fase en el rotor, PHI, (izquierda), PHIb (derecha). Norma del flujo del rotor al cuadrado PHIref’ vs. flujo real PHI2. Posición de referencia vs. real (izquierda), velocidad de

i,, (izquierda) e ib (derecha). A-9 A-10 A-10

referencia vs. real (derecha). A-10 Error de posición (izquierda), error de velocidad (derecha). A-10

IAE de la velocidad (derecha).

Figura A-13 Figura A-14

Figura A-15

Índice de desempeño IAE de la posición (izquierda),

Índice de desempeño ITAE de la posición (izquierda), ITAE de la velocidad (derecha).

aplicar la transformación de coordenadas inversa a los voltajes entregados por el controlador (figura A-8), Vobc (izquierda),

A-10

A-1 1 Figura A-16 Voltajes y comentes de alimentación tnfásicos obtenidos al

’ / ~

iabc (derecha). A-1 1

LISTA DE TABUS

LISTA DE TABLAS

Pág.

Tabla 3-1 Marcos de referencia comúnmente utilizados. ,* 22

Tabla 7-1

Tabla 7-3

ITAE con el error de la velocidad para los diferentes controladores. Tabla 7-2 Tiempo de simulación de los diferentes controladores. 101

100

105 Tabla comparativa de las señales de entrada al MI, voltajes y comentes.

Tabla A-I Modelos del MI en lazo abierto con carga constante. Tabla A-I1 Modelos del MI en lazo cerrado con carga constante. Tabla A-111 Modelos del MI en lazo abierto con carga variable. Tabla A-IV Modelos del MI en lazo cerrado con carga variable.

A-3 A- 3 A-4 A-4

finm : Fuerza magnetomotriz. ab : Marco de referencia fijo al estator. dq : M R fijo al rotor. gs : M R giratorio síncrono. y : Enlace de flujo total, (sistemas en general). A : Enlace de flujo, (sistemas lineales). NI : Número de vueltas en los devanados de estator. Nr : Número de vueltas en los devanados de rotor. Rs : Resistencia de los devanados de estator. R, : Resistencia de los devanados de rotor. io, i b , i, : Comentes en las fases u, b, c del estator. io, y , i,, : Comentes en las fases u, b, c del rotor. A,, A,, A, : Enlaces de flujo en las fases a, b, c del estator.

*.

,Lo,, Ak, A_ : Enlaces de flujo en las fases a, b, c del rotor v,, vb, v,, : Voltajes en las fases a, b, c del estator. v , , vb, v,, : Voltajes en las fases u, b, c del rotor. v&$ : Vector de voltajes de fase del estator. vnbcr : Vector de voltajes de fase del rotor. i& : Vector de comentes de fase del estator. i&r : Vector de comentes de fase del rotor. p : Operador de derivación, d/dt. ,InD, : Vector de enlaces de flujo de estator. la, : Vector de enlaces de flujo de rotor f : Representa cualquier sistema 3141 de variables eléctricas, (v, i, r, I ) . Ls : Matriz de inductancias propias de estator. L, : Matriz de inductancias propias de rotor. L,, : Mabiz de inductancias mutuas estator-rotor. LI, , Llr : inductancias de dispersión de los devanados de estator y rotor respectivamente. L, , L, : Autoinductancias o inductancias propias de los devanados de estator y rotor

L, , L, : Inductancias mutuas entre los devanados de estator y rotor respectivamente. L,, : Valor pico de las inductancias mutuas estator-rotor. 0, : Desplazamiento angular eléctrico del rotor, (rad). o, : Velocidad angular del rotor, (racüseg). Pg : Permeancia en el entrehierro. re : Par electromagnético, (N.m). rL : Par de craga, (N.m). 5, : Par inercial, (N.m). J : Coeficiente inercial del rotor y de la carga, (kgm’). B : Coeficiente de ficción viscosa, (N.mdrad). JV, : Coenergía asociada a la energía Wfen un sistema lineal.

respectivamente.

SIMBOLOGIA

4 : Vector de comentes trifásicas en los devanados de’estator’y rotor. P : Número de polos en el motor de inducción.

R : Matriz diagonal de resistencias de estator y rotor. i : Vector de comentes de estator y rotor. L : Matriz de inductancias. K : Matriz de transformación de variables 34 a variables de 24. 6 : Variable auxiliar que representa la suma de O+ O,. O: Desplazamiento angular de las nuevas variables del MR arbitrario. o : Velocidad angular del M R arbitrario. O, : Desplazamiento angular del conjunto de variables originales. o, : Velocidad angular del conjunto de variables originales. ( : Variable auxiliar de integración. o, : Velocidad angular del M R giratorio sincrono. K’ : Matriz de transformación para el M R estacionario. K‘ : Matriz de transformación para el MR fijo al rotor. K‘ : Matriz de transformación para el MR giratorio síncrono. np : Número de pares de polos en el MI. 6: Desplazamiento angular eléctrico del nuevo MR. L, : inductancia propia de los devanados de estator. L, : inductancia propia de los devanados de rotor. M : Inductancia mutua entre los devanados de estator y rotor. i,, , irb : Comentes en el M R ab (24) del estator. i r d , irq : Comentes en el MR dq (24) del rotor. i,, , i b : Comentes de estator. y/. , vb : Enlaces de flujo del rotor. o: Factor de dispersión, (parámetro auxiliar). Vab, Vk, V,, : Voltajes de linea. u,, , U,b : Voltajes (24) aplicados a las fases u, b del estator. u=, ub : Voltajes (24) aplicados a las fases a, b del estator, sin el subíndice ‘s’. 1 y I : Magnitud del flujo del rotor. p : Ángulo del flujo del rotor. U d , uq, i d , iq, V d , tyq : Voitajes, comentes y flujos del modelo dq obtenidos a partir de la

a, P. y. p : Parámetros auxiliares.

o, : Velocidad angular del M R ‘gs’. qi : Coordenadas generalizadas. T(q,q) : Coenergia cinética del sistema. V(q) : Energia potencial. S : Sistema compuesto por ni elementos ideales. L : Lagrangiano. F(q ) : Función de disipación de Rayleigh. Q,! : Fuerzas externas generalizadas.

Y : Vector de voltajes de estator y rotor. # -

‘1

transformación del MR ab al MR dq.

: Desplazamiento angular del MR ‘gs’.

4. : Vector de comentes formado por tres de estator y tres de rotor. qn : Posición angular del eje del rotor. D,(q,) : Matriz de inductancias, (11 - 1 x n - 1). q, : Cargas de cada devanado, i = 1, ... , n - 1. K, : Coenergía cinética del subsistema eléctrico. K, : Coenergía cinética del subsistema mecánico. Me : Matriz de entrada. ~ ? , , 3 : ~ , 3 : , : Distribuciones de comente de estator, 34. d : Factor común propio de las distribuciones de comente. a, : Vector unitario en el eje 'z'. 3j, : Distribución total de comente de estator, 34. 3,, : Distribución total de comente de estator, 24. qi,,qi2,q:3 : Comentes del sistema trifásico de estator. qf,,q:z,q:, : Comentes del sistema trifásico de rotor. q,,,q,* : Comentes de 24 de estator. q,i,q,z : Comentes de 24 de rotor. 3 : Matriz antisimétnca de 2 x 2. e*, : Matriz exDonencia1.

b '.

I!/.

u/, u2 : Voltajes de 24 de entrada al modelo basado en la formulación de E-L. ,

q,q,q : Posición, velocidad y aceleración de la carga respectivamente. M, : Inercia mecánica incluyendo la inercia del rotor. N : Masa de la carga y coeficiente de aceleración gravitacional. a2 : Coeficiente constante del par. rn : Masa del brazo de robot. Lo : Longitud del brazo de robot. Bo : Coeficiente de ficción viscosa de la Unión brazo-eje rotor. G : Aceleración gravitacional. vd, v, : Variables auxiliares en función de voltajes y comentes de estator, flujos yvelocidad

Ud, uq : Voltajes de entrada al estator del modelo dq.

"

del rotor.

y&rd,/: Valor de referencia para ia componente en 'd' del flujo. rref: Par electromagnético de referencia. o,e,: Velocidad angular de referencia. Kdl, Kd2, Kq/, Kq2, Kq3, Kq4 : Ganancias de los controladores, constantes. f ( x ) , go, gb : Vectores de campo. @ ( x ) : Matriz de transformación de coordenadas. L/; Lgn, Lgb : Derivadas de Lie. D(x) : Matriz de desacoplamiento. v,, vb : Voltajes de entrada al sistema linealizado. ko/, /coz, kb,. kb2 : Ganancias de los controladores, constantes. i d , iqr : Comentes de referencia de estator. kd,, kdP, kq6 kqp, ko, kl, k2 : Ganancias de los controladores, constantes. C(q,q) : Matriz de términos centrífugos.

a ..

SIMBOLOG/A

r : Par del brazo de robot. r,, : Par mecánico combinado. s : Error combinado de seguimiento. .ird : Vector de flujo deseado del rotor. pd : Posición angular deseada del vector de flujo deseado del rotor. q,,,q, : Comentes de estator y rotor deseadas. ud : Vector de voltajes deseados de entrada ai estator. Te : Matriz de ganancias dinámicas. r, : Matriz de ganancias. V,,, : Función candidata de Lyapunov para el subsistema mecánico. Ve : Función candidata de Lyapunov para el subsistema eléctrico.

Capítulo 1

En aplicaciones industriales de alto desempeño, donde se necesita un control preciso de la posición, velocidad y par, tradicionalmente se han utilizado servocontroles basados en motores de comente directa (CD) y motores de pasos (stepper) ya que con ellos se obtienen buenas caracteristicas de funcionamiento y además resultan ser más fáciles de controlar. Sin embargo, en el caso de los motores de CD se tienen problemas con el conmutador, sobre todo a velocidades elevadas, además de que no son utilizables en ambientes peligrosos, corrosivos o explosivos.

Actualmente, el motor de inducción tipo jaula de ardilla, es la máquina eléctrica más utilizada en el ámbito industrial, debido a las ventajas que presenta sobre las demás, como son: bajo costo, mínima necesidad de mantenimiento, alta confiabilidad, robustez, capacidad de trabajar en ambientes sucios y explosivos. Tradicionalmente se han utilizado como motores de velocidad constante ya que no requieren un control preciso de velocidad. Sin embargo, gracias a los avances alcanzados en la electrónica de potencia y en la digital, en la teoría de control y en la de máquinas eléctricas, se han desarrollado sistemas impulsores de velocidad variable de alta precisión a costos razonables. Así, sus campos de aplicación crecen paulatinamente.

En la actualidad los servocontroles de máquinas de inducción de CA son competitivos y superan en muchas características a los de CD.

CAPiTLlLO I IA'TRODUCCION

1.1 Estado del arte

El análisis completo del motor de inducción comprende la determinación de las fuerzas magnetornotrices (Jnrn) resultantes en el entrehierro de la máquina, las densidades de flujo magnético, los flujos magnéticos, los enlaces de flujo, el conocimiento de los parámetros de la máquina, como son las inductancias propias y mutuas, las resistencias, etc. Una vez conocidos los parámetros fisicos de la máquina, se plantearán las ecuaciones de los voltajes inducidos, los voltajes aplicados en los devanados, y a partir de estas se podrán determinar las demás variables de interés, como son las comentes, el par electromagnético, la velocidad, etc.

También es necesario conocer el comportamiento del motor de inducción en sus diferentes regímenes de operación (arranque, frenado, plena carga, etc. ), y una alternativa para lograrlo es el análisis, modelado y simulación digital de las diferentes condiciones de operación del motor.

A continuación se presentan las caractensticas generales de las máquinas eléctricas, que requieren atención especial al diseñar un sistema de control:

i) Su dinámica exhibe no linealidades significativas, ii) No todas las variables de estado son necesariamente medidas, iii) Los parámetros del sistema pueden variar significativamente de sus valores

nominales.

El diseño de controladores de alto desempeño para el motor de inducción es complicado debido a que no se puede medir el estado completo, además de ser un sistema subactuado, no lineal, acoplado y con parámetros variantes en el tiempo.

Existen diferentes métodos de control para el motor de inducción, entre ellos se encuentran:

* I. Control en régimen permanente

Considerados como los métodos clásicos, las variables de control básicas son la amplitud y la frecuencia de los voltajes y comentes del estator, su ventaja principal radica en que se pueden aplicar las técnicas de control lineal en el diseño del controlador; como desventaja se tiene que el desempeño dinámico es variable, dependiendo de que tan cerca esté funcionando el motor del punto de operación supuesto y además que existan acoplamientos entre sus variables. Algunas técnicas usadas son:

a) control VoltajeErecuencia constante, b) control de la frecuencia de deslizamiento y comente del estator.

2

CAPiTULO I lhTRODUCCl6N

11. Control no lineal

Las aplicaciones de alto desempeño demandadas por la industria requieren técnicas de control no lineal para alcanzar el funcionamiento deseado. Algunos métodos utilizados son:

11.1. Control vectorial

Es un método de control estándar para máquinas de CA. Su objetivo principal es hacer que el motor de inducción se comporte como uno de CD de excitación separada, con las variables par y flujo magnético desacopladas. Algunas técnicas usadas son:

a) control por campo orientado, b) control directo del par y del vector de flujo de estator.

11.2. Control no lineal moderno

Estas técnicas utilizan el modelo no lineal del motor y se basan en la teoría de sistemas y tratan de demostrar formalmente características fundamentales del sistema de control. Algunos de los métodos utilizados son:

a) Los basados en pasividad y moldeo de eneigia: utilizan la formulación Euler-Lagrange (E-L) para el modelo del MI y aprovechan las propiedades fisicas del sistema como la conservación de energía y la pasividad [Espinosa,93].

b) Los basados en la linealización por retroalimeniación: consisten en transformar al sistema original no lineal en una relación lineal entre variables auxiliares de entrada y

,, salida por medio de un lazo de retroalimentación no lineal interno y posteriormente se diseña un control lineal que asegure la estabilidad y el desempeño deseado del sistema lineal resultante [D’Atiellis,92]. Los basados en el método backstepping: consisten en dividir al sistema total en subsistemas de menor orden, se elige uno y se le diseña un control por retroalimentación como si no existieran otras dinámicas y se obtiene un pseudocontrol; si no aparece la señal de control verdadera se repite el procedimiento hasta que aparezca [Isidori,89].

d) Los basados en el control de sistemas de estructura variable: utilizan el control en modos deslizantes [Isidori,89].

e) Entre otros métodos de control no lineal moderno se encuentran el robusto, redes neuronales, difuso, etc. [Hernandez,et.al.,97].

c)

.I

6

3

CAPiTULO I I.VTRODUCClON

1.2 Justificación 1

En el cerridet se busca reforzar la línea de investigación de máquinas eléctricas, 10 que capacitará a las futuras generaciones para enfrentar necesidades de la industria donde se requieren trayectorias controladas en forma precisa.

En este trabajo de tesis se aborda el estudio de los motores de inducción, de sus diferentes métodos de control, así como la elaboración de programas computacionales (con la ayuda del paquete computacional Matlab/SimulinkTM) para la simulación digital de la operación de los diferentes esquemas de control analizados, reforzando también con esto la línea de investigación de sistemas no lineales.

1.3 Alcance

El alcance del trabajo de tesis consiste en modelar y simular las diferentes condiciones de operación del MI empleando la computadora como una herramienta poderosa.

También se desarrollan los programas computacionales para la simulación digital del comportamiento de los controladores diseñados, cuyos resultados se emplean para llevar a cabo el análisis comparativo.

El análisis de los resultados obtenidos es de gran utilidad ya que se empleará como base para un trabajo futuro de tesis.

Por lo anterior, es importante considerar que el trabajo de tesis que se desarrolla forma parte de unaetapa previa a la construcción de un prototipo del controlador para el MI.

1.4 Aportación

Este trabajo de tesis proporciona bases sólidas para la obtención de modelos matemáticos del MI, que son:

a)

b)

Representación trifásica, que consiste en el sistema completo del MI incluyendo la dependencia de las inductancias con la posición angular. Representaciones matemáticas ‘ab ’, ‘dq ’, ‘gs ’, donde se emplea la teoría del marco de referencia para la obtención de representaciones del MI más sencillas, ya que trabajar con el modelo completo de tres fases resulta muy complicado para su estudio. Representación del MI en donde se emplea la formulación de E-L para la obtención del modelo, ya que este ofrece más ventajas que los anteriores como son la dependencia de las variables con la posición angular, lo que lo hace más completo.

c)

4

CAP¡TULO I INTRODUCCI~N

Además se lleva a cabo un andisis coinparutivo entre tres diferentes estructuras de control (campo orientado, linealización por retroalimentación y pasividad).

De este tipo de resultados no se cuenta con ningún trabajo realizado en el cerridet, por lo que esta tesis forma parte de los cimientos y enriquece la línea de investigación de control de máquinas eléctricas y de control no lineal en las que se trabaja en este centro de investigación.

Además, los resultados obtenidos se utilizarán como referencias básicas de una tesis futura, a nivel maestría, en la que se pretenderá implementar unprototipo de un controlador para el motor de inducción, partiendo de los resultados aquí obtenidos.

1.5 Organización del trabajo de tesis

En el trabajo de tesis se analizan tres estructuras de control para el MI y se llevan a cabo las simulaciones digitales correspondientes para poder evaluar sus índices de desempeño, características, ventajas, limitaciones y complejidad.

Es por esto, que el trabajo de tesis se organiza de la siguiente manera para presentar de una forma clara la obtención del modelo del MI, sus diferentes representaciones matemáticas, así como sus controladores y sus resultados de simulación.

El capítulo 2 consiste en el análisis, modelado y simulación del MI trifhico, en el que se realiza un análisis dinámico, se obtiene el modelo trifásico y también se presentan los resultados de simulación, con la ayuda del paquete computacional Matlab/SimulinkTM.

En el capítulo 3 se obtienen las representaciones matemáticas del MI en sus diferentes marcos de referencia (MR) comenzando con una exposición breve de la teoría básica del marco de referencia. inmediatamente se obtienen las diferentes representaciones del MI empleando la teoria del MR, siendo éstas: representación en el M R fijo al estator ‘ab ’, M R fijo al rotor ‘dq ’, MR giratorio síncrono gs ’, y la basada en la formulación de E- L. Para la obtención de esta Última representación se parte del modelo trifásico del MI basado en la formulación E-L y se le aplica la transformación de Blondel (modelo ap) para obtener la representación equivalente de dos fases que es con la que se diseña el controlador. Además, en este capítulo se presenta el modelo matemático de la carga que se emplea para la simulación de los controladores diseñados, esta carga es un brazo de robot con un grado de libertad.

En el capítulo 4 se diseña el controlador del MI basado en campo orientado. Se presentan el planteamiento del problema de control y el método de diseño del controlador y además los resultados de simulación de su operación, obtenidos con el programa computacional.

El capítulo 5 presenta el diseño del control basado en linealización por retroalimentación entrada-salida para el MI. De la misma manera que en el capitulo 4, se expone el planteamiento del problema y también se muestran los resultados de simulación.

En el capítulo 6 se diseña el controlador basado en la formulación de E-L. Además, nuevamente se plantea el problema de control y se exponen los resultados de simulación.

Para concluir con el trabajo de tesis se presenta el capítulo 7 en el que se exponen las observaciones sobre las diferentes estructuras de control estudiadas, el análisis comparativo de los resultados y las conclusiones.

Después del capítulo 7 se encuentran las referencias bibliográficas que se citan a lo largo del trabajo de tesis, ordenadas alfabéticamente.

Para finalizar con el trabajo de tesis se proporciona un Apéndice en el que se detallan los pasos a seguir para el uso de los programas de simulación del MI desarrollados a lo largo de este trabajo de Tesis con la ayuda del paquete computacional Matlab/SimulinkTM.

6

Capítulo 2

,ANÁLISIS, MODELADO Y SIMULACI~N DIGITAL EN COMPUTADORA DE LA OPERACI~N DEL MOTOR DE INDUCCI~N TRIFÁSICO EN LAZO ABIERTO

)I

En éste capítulo se presenta el análisis, modelado y simulación digital en computadora de la operación del motor de inducción (MI) trifásico, esto representa una valiosa aportación ya que en la literatura tradicional es muy dificil encontrar las ecuaciones dinámicas del modelo trifásico del MI y más aún los resultados de simulación digital de dicho modelo.

Por éste motivo el propósito principal del capítulo es presentar las ecuaciones dinámicas del MI trifásico al igual que los resultados de simulación considerando al sistema en lazo abierto y alimentado por una fuente trifásica convencional.

2.1 Análisis dinámico del MI

El análisis completo del motor de inducción comprende la determinación de las fuerzas magnetomotrices v i m ) resultantes en el entrehierro de la máquina, las densidades de flujo magnético, los enlaces de flujo, además del conocimiento de los parámetros de la máquina, como son las inductancias propias y mutuas, las resistencias, etc.

CAP¡TtiLO 2 ANALISIS, MODELADO YSlMt iUCIÓNDlGlTAL EN COMPUTADOR4 DELA OPERICIÓNDEL MI TRIFASICO E N L A .

Una vez conocidos los parámetros fisicos de la máquina se plantean las ecuaciones de los voltajes inducidos, los voltajes aplicados en los devanados, y a partir de estas se pueden determinar las demás variables de interés como son las comentes, el par electromagnético, la velocidad, etc.

Para la obtención de las ecuaciones se emplea una máquina de inducción trifásica, simétrica, de dos polos, conectada en estrella, tipo jaula de ardilla. Los devanados del estator son idénticos, están distribuidos en forma senoidal, desplazados 120" eléctricos entre sí, con un número equivalente de vueltas N,, y resistencia R,. Debido a que el devanado del rotor es del tipo jaula de ardilla, los conductores que forman el devanado están embutidos en el material ferromagnético del rotor y son conectados en corto circuito en sus extremos. Para este caso, se representan los devanados equivalentes y similares a los del estator, con N, vueltas y resistencia R,.

Se supone que la máquina de inducción es lineal, es decir, no existe saturación del circuito magnético y que además la fuerza magnetomotriz Qbi~) no contiene componentes armónicas.

Desde luego éstas simplificaciones no permiten predecir con exactitud el comportamiento del MI en todos sus modos de operación; sin embargo, ésta representación simplificada nos proporciona resultados adecuados del comportamiento en la mayoría de las aplicaciones prácticas [Guerrero,94].

A continuación se presenta el esquema fundamental del MI que se está considerando; obsérvese la disposición fisica de los devanados del estator y del rotor cilíndrico, y el diagrama eléctrico de los mismos:

0 . eje

8

CAPiTULO 2 ANALlSIS3 M D D E U D O YSIMULACIÓNDICITAL EN COMPUTADORA D E U OPERACIÓNDEL MI TRIFAklCO E N L A .

(b)

Figura 2-1 Máquina de inducción trifásica, simétrica, dos polos, conectada en estrella, (a) diagrama esquemático; (b) diagrama eléctrico devanados de estator y rotor.

La inclinación intencional del circuito eléctrico de la derecha en la figura 2-1 @) es con la finalidad de enfatizar el defasamiento existente entre estator y rotor.

En función de las variables de la máquina, las ecuaciones de voltaje del estator y del rotor son:

-Vabcr = Rr ' iobcr + P/Z,b,,

1 nbc : denotan las tres fases del MI, donde:

: denota a las variables y parámetros asociados al estator, : denota a las variables y parámetros asociados al rotor,

p : denota el operador de derivación (dd t ) .

donde f : representa a cualquier variable eléctrica (v, i, r, ...).

Las matrices de resistencias R, y R, son diagonales, con los elementos de la diagonal

Los enlaces de flujo (h) para un sistema lineal son: iguales.

Las inductancias de los devanados expresadas en Henrios (H) son:

9 a

CAP¡TULO2 ANA’LISIS, MODELADO YSIMULACIÓNDICITAL EN COMPUTADOR4 DELA OPERICIÓNDEL MI TRIFASICOENLA.

-

cos e, +- cos e, -~

cose,

cose, 2:) ( 2:j

L,, = [L,~] T = L ~ , . COS [ er -- ’:) cos(B +$) COS ( e,+- 2;) cos [ e,-- ,) cose,

- -

donde: LI,, LI, : inductancias de dispersión de los devanados de estator y rotor

Ls3, L, : autoinductancias o inductancias propias de los devanados de estator

L,,, L,, : inductancias mutuas entre los devanados de estator y rotor

LS, : valor pico de las inductancias mutuas estator-rotor. 0, : desplazamiento angular eléctrico del rotor,

respectivamente,

y rotor respectivamente,

respectivamente,

Las cuales se definen de la siguiente manera:

L, = Ns2P,

2 L,, = N , P, COS

L , = Nr2P,

2 L,m = N , P, COS

donde N,, N, : n. ae ro de vueltas en los devanam-_s de estator y rotor

PP respectivamente,

: permeancia en el entrehierro.

Como puede observarse de las matrices de inductancias, existe una dependencia con respecto a la posición angular, de ahí la complejidad para simular el sistema trifásico.

Para obtener las ecuaciones dinámicas del subsistema eléctrico es necesario aplicar las leyes de Ohm y Faraday a cada uno de los devanados. En forma desarrollada se tienen las siguientes ecuaciones del motor de inducción [Ong,98].

10 Bi

CAPiTULO 2 ANALISlS, MODELADO YSIMUUCIÓNDICITAL EN COMPUTADOR4 D E U OPERAClONDEL MI TRlFASlCO E N L A .

Ecuaciones de voltaje en los devanados de fase del estator:

Ecuaciones de voltaje en los devanados de fase del rotor:

- da_ vu =i,R,+-

vhi = ihs R, + - dt

di dah,

4, v, = i,R, + - di

4, vc, = icr R, + - dt

La ecuación del subsistema meqánico en términos del par electromagnético re es,

dw dt

I

(2.8) Ecuación mecánica : re = J-+ Bw, i r , -

donde: J : inercia del rotor y de la carga en Kg.m2, B : coeficiente de fricción viscosa en N m sírad, o, : velocidad angular del rotor en rads, rL : par resistente o par de la carga (N.m).

Su expresión en términos de las variables de la máquina se deriva de la energía almacenada en el campo magnético W,. I

La relación entre la W, y el re en el MI es:

donde P : número de polos de la MI, re : par electromagnético (positivo para la acción motor), W, : coenergía asociada a la energía Wfen un sistema lineal. i, : vector de comentes tnfásicas en los devanados de estator y rotor.

Desarrollando la ecuación (2.8), y considerando que L, y L, no son funciones de e,, se obtiene el par en Newton,metros.

- (2.10)

c4PiruLo z ANÁLISIS, MODELADO Y S I M L I U C I ~ N D I G I T A L EN COMPLITADORI DE LA O P E R I C I ~ N DEL M I TRIFA~ICO EN LA

R =

2.2 Modelo trifásico del Mí

O O R , O O O O O O R r O O O O O O R , O

: matriz de resistencias de estator y rotor,

Las ecuaciones del subsistema eléctrico (2.7) se pueden expresar en forma matricial de la siguiente manera:

dll v=Ri+- dt

- (2.11)

donde i = [io$ ibs i, i,, zb, z,, , 1' : vector de corrientes de estator y rotor,

L = L i : enlace de flujo (sistema lineal):

O R, O O O O R , O O O O I

1 0 O O O O R r ]

v = [yar vbr v, Y,, va, vc,]' : vector de voltajes de estator yrotor.

Es importante recordar que cómo se trata del MI tipo jaula de ardilla, entonces los voltajes del rotor son cero.

dll d L . di - = - 1 i L - dt dt dt

Obteniendo la derivada del enlace de flujo: - (2.12)

di dt

y sustituyendo esta expresión en (2.1 1) y al mismo tiempo despejando para L- tenemos:

di dL . dt dt

L- = -Ri --z + v - (2.13)

desarrollando el término dL/dt mediante el empleo de la regla de la cadena sin alterar el sentido de la ecuación, dLldt = dL/dB, . dB,/dt

donde 0, : es el desplazamiento angular del rotor,

2 = npw, : es la velocidad angular y dB

np : corresponde al número de pares de polos del MI. dt

Entonces la ecuación (2.13) se vuelve, ,'

- (2.14)

que corresponde a la representación en espacio de estado del modelo dinámico del MI.

. ,(. es la matriz de inductancias y cuyos elementos son las submatrices

: ,.'. ' I

(2.4), (2.5) y (2.6).

Para el obtener el subsistema mecánico se cuenta con la ecuación (2.8) y con' la ecuación que describe la velocidad angular, esto es: , .

- (2.15)

< t Considerando las ecuaciones (2.14) y (2.15), sustituyendo las matrices y vectores

" correspondientes y realizando las operaciones necesarias, se obtiene el modelo dinámico en espacio de estado deíMi frij¿¿sico, que cómo se ha venido mencionado, uno de los motivos por lo que no es común este modelo, es la dependencia con la posición angular del rotor (O,) que presentan sus inductancias, lo que lo hace muy complejo tanto para su análisis como para su implementación en paquetes computacionales.

I ,, . .I. i

La siguiente figura muestra el diagrama esquemático del modelo trifásico del MI. i ic'lI

I del Mi tipo lar

e a . 2.16 e

jada de ibr im

t e

. . ,3,'+ , , Vbc' '? '

o TL

t . < , r

I

Figura 2-2 Diagama esquemático a bloques del modelo trifásico del MI. 1,

donde Vab, Vk, Va son voltajes de linea.

A continuación se presenta el modelo del MI trifásico, en el que se puede notar la complejidad que existe en las ecuaciones dinámicas debido al alto acoplamiento entre ellas

3

I

CAP¡TULO 2 AVÁUSIS, MODELADO l'SIJfULACIÓNDIGITAL EIV COJfPUT4DORA DE LA OPERACIÓN DEL 411 7'RlFÁsICOEN L A

Además es un sistema subactuado y también las inductancias dependen de id posición angular del rotor 6%. Todo lo anterior hace a este modelo dificil de analizar y simular, pero con la ayuda de paquetes computacionales como Matlab/Simulink, este obstáculo puede ser superado.

I - R,i, + i,,npw,Lsr sen(@r + -) 2z + i n w L sen(@, - -) 2rr + innpw,L, sen 0, + v _ 3 3 - b r p r s r

-- . - L , cos - L , cos(@, - -lb, 2n : - L, COS(@, + -)I<* 2rr : - ~,,,,i, - L,,jc, + i . 3 3 Clr - di

dt (4, + L , )

+ ioppw,Lsr sen(@, - -) 2n + zbsnPy,Lsr sen(@, + -) 2n + i,n,w,L3, sen 8, - i?,icr + vc, 3 3

' canruu> I AN.~LISIS, MODELADO VSIMULACI~NDIGITXL EN C O M P U T A W R Q D E 01 O P E I M C I ~ N DEL MI nufisrco ENLA

2.3 Simulación digital en computadora de la operación del MI trifásico

Las ecuaciones (2.16) se emplean para la simulación del MI tnfásico con la ayuda ..

del paquete computacional Matlab/Simulink.

Los parámetros del Mi empleados para la simulación se presentan a continuación:

. .

Para la simulación se considera un MI tnfásico de dos polos, conectado en estrella, de 3 hp, 220 volts, 3600 rpm o 376.991 1 radseg, con una carga constante.

a '

V valor pico del voltaje de alimentación por fase, 22042 VP = 7 I ..

. , . : fiewencia de la fuente de alimentación,

z . , , I . I, . . .. < ' . ~ 11 , " f = 60 Hz

J,

J 2 0:013 kg m7 " i

T - = 1.5 N m

N.m.s rad

B=O

np = 1

,; . . 1 .. , . 11 2 '. i l l",

? , .* . 1. ineicia del rotor, . ', j , I , ~ , , , , . :

par de carga,

coeficiente de fricción viscosa,

número de para de polos,

L,, = 0.0693121 H Lsm = - 0.03465605 H Lm = - 0.03465605 H :

LL = 0.00200005 H '~ : LI,= 0.00200005H- , :

L,r=0.0693121 H

L,, = 0.0693121 H R, = 0.435 f2, Rr=0.816Q . . . .

autoinductancia de los devanados de estator, inductancia mutua entre devanados de estator, inductancia mutua entre devanados de rotor, autoinductancia de los devanados de rotor; inductancia de dispersión en los devanados de estator, inductancia . .~ de dispersión , . en . .I los . devanados .. de rotor,. valor pico de las inductancias mutuas entre estator y rotor, resistencia de los devanados de estator, resistencia de los devanados de rotor, + ,, I . . ,A'

A

> I. *$ r. .,' * . . . :i 1 . , > . , I , , - , . , ...

. :, , como se definieron anteriormente [Krause, et.a1.,95]. , . , . . j < , i.. . .!

' / r , i I<

El siguiente par de gráficas presenta los voltajes de línea del sistema trifásico, que como se puede observar se encuentran distribuidos senoidalmente con un defasamiento de 120' eléctricos entre sí y además se presenta el comportamiento del par vs la velocidad angular en la que el par tiende a un valor cercano a cero conforme la velocidad alcanza su valor síncrono

Figura 2-3 Sistema trifasico de diientación, voltajes’de línea (izquierda); par vs. velocidad (derecha).

En la siguiente figura se presentan las comentes ’de estator y rotor correspondientes a la fase ’u’ donde salta a simple vista la diferencia en frecuencia de dichas señales, observándose que la comente de estator es de mayor frecuencia que su correspondiente de rotor, esto se debe al factor de deslizamiento ‘s’.

I ) . .

IO0 ,a

80 80

€3 80

UI ‘0

s ZD 8: 20

. O 0 5

? O

5 40 t 40

.. - ” 4

> ,..? ,4x

40

1 - , 4

.a0 -w I I I I I I

0 . o * 0.3 0.1s o 1 0.26 0.3 o.* -ID1

TiOinr iOb ‘~ , !., r=mP-<sa*, r

Figura 2-4 s . I .t : , ; . ,: * >

Comente en’lafase ‘a’ del estator (izquierda)y fase ‘a’ del rotor (derecha). : . ,. ., 1“. ”

A continuación se presentan las comentes trifásicas de línea de estator y rotor con la finalidad de comparar el defasamiento de 120’ eléctricos existente entre las comentes de cada devanado, pues como se observó de .la figura anterior las frecuencias entre las corrientes de estator y rotor son diferentes.

, - . 1 . *

L , ’ ’ / , . A I . . ” * ’ . , : :

. , . > . . . .**v.. ’ , . , . , _ ! , . . , ~,, ’. ~ ,

.‘.’.I d.< 1 ‘1. ,:. , ’. . . , . e . , I I

‘I

I( Capítulo 3

MODELO DEL MI EN SUS DIFERENTES MARCOS DE REFERENCIA (MR) Y MODELO DE LA CARGA

En éste capítulo se presenta el modelo del MI en sus diferentes representaciones matemáticas, empleando transformaciones geométricas de 34 a 24 con la finalidad de observar la simplicidad en el análisis y simulación de dichas representaciones en comparación con el modelo trifásico.

11 . Las diferentes representaciones matemáticas que se abordarán ,en el capitulo corresponden al MR fijo al estator (modelo ‘ub ’), fijo al rotor (modelo ‘dq ’) y el giratorio sincrono (modelo gs ’).

También se obtendrá la representación matemática del MI basada en la formulación de E-L, obtenida mediante el análisis de energía del sistema.

3.1 Teoría del marco de referencia

Las ecuaciones de voltaje que describen el comportamiento del MI se establecieron en el capítulo 2, en donde se puede observar que algunas de las inductancias de la máquina están en función de la posición angular del rotor, por io que los coeficientes de las ecuaciones diferenciales son variantes en el tiempo, excepto cuando el rotor está fijo. Para reducir la complejidad de estas ecuaciones diferenciales frecuentemente se emplea un cambio de variables que elimina la dependencia del tiempo de dichas inductancias.

CAP¡TULOJ MODELODEL MIENSUSDIFERE~TESMR'I Y M O D E L O D E U CARCA

Los cambios de variables más comunes y que hasta la fecha se continúan empleando son descritos a continuación:

R. H. Park desarrolló una nueva aproximación al análisis de máquinas eléctricas, formulando un cambio de variables que, en efecto, reemplazaron a las variables (voltajes, comentes y enlaces de flujo) asociadas con los devanados de estator de una máquina síncrona con variables asociadas a devanados giratorios ficticios con el rotor. Dicho de otra manera, Park transformó o refirió las variables de estator a un marco de referencia fijo en el rotor.

H. C. Stanley empleó un cambio de variables en el análisis de las máquinas de inducción. Demostró que las inductancias variantes en el tiempo de las ecuaciones de voltaje de un MI, debido a circuitos eléctricos en movimiento relativo pueden ser eliminadas transformando las variables asociadas con los devanados del rotor a variables asociadas con devanados estacionarios ficticios. En éste caso las variables del rotor son transformadas a un marco de referencia fijo al estator.

G. Kron introdujo un cambio de variables que elimina las inductancias variantes en el tiempo de un motor de inducción simétrico transformando tanto las variables de estator como las del rotor a un marco de referencia que gira en sincronismo con el campo magnético giratorio. Éste marco de referencia comúnmente se conoce como marco de referencia giratorio sincrono.

D. S. Brereton empleó un cambio de variables que también elimina las inductancias variantes en el tiempo de una máquina de inducción simétrica, transformando las variables de estator a un marco de referencia fijo al rotor. Básicamente empleó la transformación de Park, pero aplicada a máquinas de inducción.

P. C. Krause y C. H. Thomas unificaron los métodos anteriores, ya que observaron que se podía emplear una transformación general y así refirieron las variables del estator y del rotor a un marco de referencia arbitrario que puede estar fijo o girando a una velocidad arbitraria [Krause, et.a1.,95].

Es importante observar que todas las transformaciones mencionadas se pueden obtener de la transformación general, asignándole una velocidad de rotación al marco de referencia.

La transformación a un marco de referencia arbitrario es un simple cambio de variables y no necesita de interpretación física alguna, sin embargo, frecuentemente se visualiza por medio de relaciones higonométricas entre las variables involucradas.

A continuación se describe la transformación general, con un enfoque a circuitos eléctricos trifásicos (las variables tienen un defasamiento de 120" eléctricos entre sí).

Un cambio de variables que logra la transformación de las variables trifásicas de los elementos de un circuito estacionario al marco de referencia arbitrario de dos fases se puede expresar como [Krause, et.a1.,95]:

19

CAP¡TULOl MODELODEL MIENSUSDIFERENTESMR'r Y M O D E L O D E U CARGA

[K]-' =

f dq0 = f o b c - (3.1) 11,

donde f : representa a cualquier sistema 34 de variables eléctricas (voltajes, comentes, pares, enlaces de flujo, etc.) defasadas 120" eléctricos entre sí,

,,be : sistema de variables Originales, ,I@ : sistema de variables resultantes.

cos < sen < 1

cos(<-$) +(<-$) 1

- cos[<+$] sen(<+$) i -

la transformación inversa es:

<=e+e,

La definición de símbolos y variables se presenta a continuación:

0, : desplazamiento angular del conjunto de variables originales, w, : velocidad angular del conjunto de variables originales.

.a ,

UP¡TULOJ MODELODEL MI ENSUSDIFERENTESMR'r Y M O D E L O D E U U R C A

- Si las variables originales pertenecen a un circuito eléctrico estacionario, w, = o.

- Si pertenecen al circuito eléctrico del rotor, o, si existe y ahora w, = w,.

8: desplazamiento angular de las variables nuevas del marco de referencia

w : velocidad angular del MR arbitrario, 4 : variable auxiliar de integración.

La transformación general se puede utilizar con circuitos eléctricos específicos,

arbitrario,

considerando los valores apropiados de velocidad angular.

Las relaciones trigonométricas entre las variables, se muestran a continuación:

!

Figura 3-1 Transfonnación para circuitos estacionarios representada por relaciones trigonom&cas. .*I,

Las nuevas variables& yfd están defasadas 90" eléctricos y giran a una velocidad arbitraria w. La variableyo no está asociada con el MR arbitrario (MRA), sólo está asociada aritméticamente con las variables onghales &e, independientemente de 8.

La teoría del MRA tiene varias aplicaciones en el campo de la ingeniería eléctrica como son el análisis de maquinaria eléctrica, el análisis de sistemas eléctricos de potencia y el análisis de sistemas impulsores de velocidad variable; sin embargo, en éste trabajo se aplica al MI tnfásico.

Se debe tomar en cuenta que en condiciones normales de operación, los circuitos eléctricos trifásicos son balanceados y simétricos, lo que simplifica en gran medida las relaciones resultantes al hacer la transformación de variables.

En el análisis anterior se ha hecho referencia a un MR arbitrario, donde la velocidad angular w puede tener cualquier valor, sin embargo, existen otros marcos de referencia comúnmente utilizados por su conveniencia para aplicarlos a ciertas configuraciones de circuitos reales.

CAP~TULO 3 MODELODEL MI ENSUSDIFERENTES M R ’ ~ YMODELO DEU URCA

O

0,

we

A continuación se muestra una tabla que presenta los M R más comunes [Krause,et.al.,95]. Y

Variables de circuitos referidos al M R j&: 6 KS

Variables de circuitos referidos al MR f d s i Ó K‘

Variables de circuitos referidos al M R hqe O K’

s s esthcionario f d . f , , f O

fijo al rotor I r f d , f q . f O

e e giratorio sincrono f d T fq 9 f O

Los tres Últimos MR que aparecen en la tabla 3-1 son los que se emplearan para obtener los modelos del MI como se mencionó al comienzo del capitulo.

Las transformaciones para un M R especifico se obtienen sustituyendo la velocidad apropiada w del M R en la expresión de 6, y asi se obtiene el desplazamiento angular.

Se sugiere, para la mayona de los casos, seleccionar el desplazamiento inicial 6(0) igual a cero, con lo que el cálculo del desplazamiento angular se simplifica para todos los MR.

3.2 modelo ‘ab’

Modelo del MI en su representación matemática fija al estator, ?!

Para obtener la representación matemática fija al estator, modelo áb’ del MI es necesario aplicar la transformación de tres a dos fases (ecuación (3.1)) a las ecuaciones eléctricas del MI trifásico (2.16), y además se requiere que se seleccione la velocidad igual a cero para el MR, según la tabla 3-1, y además es necesario seleccionar para todos los casos a @(O) = O, con lo cual la matriz de transformación (3.4) se vuelve:

- (3.11)

t 3 3 3 1

22

CAPiTULO 3 MODELO DEL M I ENSUS DlFfRfNTfSMR’r Y MODfLODf U CARCA

Las ecuaciones dinámicas que se obtienen ai aplicar la transformación, de tres a dos fases, a las ecuaciones eléctricas trifásicas son las siguientes [Marino, et.a1.,93].

dvrq. R i .+-=O ‘ l q dt

- (3.12)

- (3.13)

donde R,, R, : resistencias de estator y rotor respectivamente, i, is,, : comentes en el marco ab del estator, ird., i,. : comentes en el marco dq del rotor, y / : enlaces de flujo total (sistema general), usor : voltajes aplicados a los devanados nb del estator, + variables del estator, + variables del rotor,

,

(a,b) -+ marco de referencia (MR) fijo en el estator, (d’, q 7 -+ MR fijo al rotor que gira a una velocidad (eléctrica) npor, np : número de pares de polos, o, : velocidad angular del rotor.

Por lo tanto las ecuaciones dinámicas del rotor y del estator se encuentran en sus respectivos MR, por lo cual será necesario expresar ambos sistemas de ecuaciones en el mismo MR con la finalidad de que las variables del rotor se encuentren referidas a las del estator, para éste caso se selecciona el MR fijo en el estator, eje de coordenadas ‘ab’, esto es posible mediante el empleo de la siguiente transformación:

h

Figura 3-2 Representación trigonométrica de la transformación de las variables de rotor a estator.

d6 dt p r - = n o + 6(0)=0 - (3.14)

6= desplazamiento angular eléctrico del nuevo MR

23

CAPirULO 3 MODELO DEL MI EN SUS DIFERENTES MR’r Y MODELO DE U CARGA

A continuación se presentan las transformaciones de las variables del rotor a las variables del estator: rotor (npwr) + estator (vel = O), obtenidas de la proyección de los ejes coordenados ortogonales d q ’ sobre los ejes ab y empleando las funciones trigonométricas básicas del seno y coseno del ángulo 6, (ver figura 3-2).

‘I

(3.15) cos6 -sen6 lid [ I = [sen 6 cos 6 ][ ir9.]

[:]=[sen6 cos6][y,9t] -

-

(3.16) cos6 -sen6 vid 1

Empleando las transformaciones (3.15) y (3.16) y la ecuación (3.14) para sustituirlas en (3.12) y (3.13), se obtiene:

de (3.15)

[i,o =i,~.cos~-i , .sen6]-[cos~] 3 i,,, cos6 =i,.cos26-i,9t sen6cos6

[i,b =i,.sen6+i,.cos6].[sen6] 3 i,bsen6=i,,,.sen26+i,q.sen6cos6 +

I: 3 i,. = i, cos 6 + i, sen 6 - (3.17)

3 y,# = cos 6 + sen 6 - (3.18)

I‘

Realizando unas operaciones similares para la obtención de (3.17) y (3.18), pero teniendo ahora como factores de (3.15) y (3.16) a los términos

[...].[-sen61 , se tiene: [...].[cos6]

24

U P h U L O J MODELO DEL MI ENSUSDIFERENTES MR'r YMODELO DE U CARGA

3 i,q. = -i,o sen 6 + irb cos6 - (3.19)

3 y,. = sen 6 + yrb cos6 - (3.20)

Sustituyendo las ecuaciones (3.17), (3.18), (3.19) y (3.20) en las ecuaciones dinámicas del rotor (3.13) y realizando las operaciones que se describen a continuación, se tiene lo siguiente:

+

- (3.21)

1 d dt

[. (- i,n sen 6 + i,b cos6)+ -(- y,., sen 6 + y,b cos61 = O . [cos61

d dt

3 R,i, +-y,b -npwy,a = O

Si se consideran ahora como factores de las ecuaciones anteriores los siguientes

[: . .] . [cos 61 términos

[...].[-sen61

se obtiene la otra ecuación dinámica del rotor expresada en el MR del estator.

d (3.22) j R,i, + - + npw y,b = 0 dt -

Y finalmente se obtienen las ecuaciones dinámicas del rotor expresadas en el MR del estator.

- (3.23).

Suponiendo un circuito magnético lineal, inductancias mutuas iguales, pérdidas en el núcleo despreciables, se obtienen las siguientes ecuaciones magnéticas:

' - (3.24)

, C A P h J L O I MODEL0DELMIENSUSDIFERENTESMR.r YMODELODELA CARGA

donde L, : inductancia propia de los devanados de estator, L, : inductancia propia de los devanados del rotor, M : inductancia mutua entre los devanados de estator y rotor (se suponen

constantes).

De 10 anterior se puede concluir que el propósito principal de la transformación de tres a dos fases, es decir el empleo del MR, es obtener una representación matemática del MI más sencilla para su análisis y simulación digital.

Para un mejor manejo e identificación de las ecuaciones se pretende expresar las ia,ib) y las variables del rotor con flujos variables del estator con comentes (i,a,isb

(y,a ,yrb j tyo, y b ) con la finalidad de eliminar los subindices s y r.

Sustituyendo adecuadamente las ecuaciones (3.24) en las ecuaciones del estator (3.12) y del rotor (3.23), se tiene:

Devanado ‘a’ del estator: 1;

d dt

R,i,, +-(L,i,a +Miro)=u,,, ,

M 2 d . M d . R,i,a + L, -- -lsO +--yv, =usa ( L, ] d t L, d:..; ll

Devanado ‘b’ del estator:

d I

dt Rrisb + -(L5iSb + Mirb) = uSb

Devanado ‘a’ del rotor: I

- (3:25)

- (3.26)

- (3.27)

U P i n I L o 3 MODELODEL M I E N S U S D I F E R E ~ T E S M R ' ~ YMODELODELA CARCA

Dev,mado 'b' del rotor: ./

'1 . - (3.28)

Tomando en cuenta al subsistema mechico se obtiene la ecuación del par electromagnético, pero además considerando la ecuación 2.10 del par, aplicándole la transformación de 3 a 24 (ec. 3.4) para las comentes y agrupando términos con base en las ecuaciones 3.24, se tiene:

- (3.29)

Noti De aquí en adelante se considera que o representa lo mismo que o,. La ecuación dinámica del rotor en el M R ab es:

- (3.30)

En la ecuación (3.30) se considera que el coeficiente de fricción viscosa B es igual a cero y ordenando las ecuaciones anteriores en forma de espacio de estado y siendo el vector de estados [or, tyro, Y&, i,, irb], se tiene:

Como se mencionó anteriormente y con base en lo que se ha venido desarrollando, sabemos que i,, irb pertenecen ai estator y que y,o, vrb pertenecen al rotor, por lo tanto es evidente que no existe lugar a confusión y es posible eliminar los subíndices obteniéndose el siguiente sistema de ecuaciones dinámicas que corresponden al modelo ab del MI.

y

CXP¡TULO 3 MODELODEL MIENSIISDIFERENT€XiMR<r YMODELO D E I A CARGA

Modelo del M I en su representación maiemática (MR)fija ai estaior, modelo 'ab'. I r

¡*' 6 I y

, 2 ri i

'.it \ i iL I : I n M

La ecuación para el par electromagnético e s T, = -P k d b - w b i a L,

$ 0 .,. M2 ... .,I . + L A ' Y

donde o = 1 : es un parametro auxiliar que.depende d.e los parámetros de .. MI y que ' I 1 .

se le conoce comofactor de dispersion. u., U b : voltajes aplicados a las fases a y b del estator, obtenidos de aplicar la

transformación ?e 3 a 24, se les ha eliminado el subíndice 's' como se acordó anteriormente. 1

%

A continuación se presenta el diagrama esquemático del modelo 'ab ' del MI . *

Wa vb la l b w 'Te .. . . .,, . f 1 ...

... t

Figura 3-3 Diagrama esquemático a bloques del modelo 'ab ' del MI. II

donde Vab, Vk, Va : voltajes de línea, fases a, b y c

CAP~TULO 3 MODELO DEL MI EN SUS DIF~RENTES MR'S Y MODEID DE LA CARGA

3.3 modelo 'áq'

Modelo del MI en su representación matemática fijamal rotor,

Para obtener la representación matemática del MI fija'al rotor, modelo 'dq', se puede aplicar la transformación general al modelo trifásico, tomando como veloCidad del MR a a,, como se observa en la tabla 3-1, pág. 22.

En este trabajo se obtendrá el modelo 'dq' partiendo de las ecuaciones dinámicas obtenidas en el modelo 'ab' (3.31), cuyas variables se encuentran en el MR fijo al estator, por lo que será necesario emplear un cambio de coordenadas para obtener las variables en el MR fijo al rotor [Marino, et.a1.,93].

Este cambio de coordenadas involucra la triysformación de los vectores [zi i b ] ,

[yo Y b ] en el MR fijo en el estator a vectores en i n 'marco 'dq' que giran en sincronismo con el vector de flujo [ rye y*].

I _. " ' , .

\u. , *

Geométricamente se muestra la representación polar de

I y Y b .

I = magnitud del flujo del rotor, - p = angulo del flujo del rotor.

>,/. . .

,. , . $ ' ' $ I , .?.. : . .$ .c

>: ' ' , ' , , J. .;,*r *

. . I

. . . , . , . . . , . . . . 'f'b

! '~ ' -; t ' .. , . . . ' n ' I .'"'A J . ', 7 . , '

.. . 1.

, .

Va

Figura 3-4 Representación polar del vector de flujo del rotor.

\ i

- (3.32)

,

. e - A continuación se presenta el cambio de coordenadas que se necesita para referir las

variables del estator al rotor

A -./

CAP¡TULOl MODELODEL M I ENSUSDlFERENTESMR'r Y M O D E L O D E U CARGA

Figura 3-5 Representación trigonométnca para la transformación de las variables en el MR 'ab ' " a variables en el MR 'dq '.

De la representación tngonométnca de la figura 3-5 se obtienen las siguientes transformaciones de coordenadas:

Desarrollando id (3.33) y sustituyendo las ecuaciones (3.32), se tiene: !

por lo tanto,

Desarrollando iq , Yd , yq de manera análoga a como se desarrolló id, se tiene:

- (3.33)

- (3.34)

- (3.35)

- (3.36)

- (3.37)

! I 30

CAP¡TULOJ MODELODEL MIENSUSDIfERENTESMR’s Y M O D E L O D E U U R C A

- (3.38)

Y, = o - (3.39)

Tomando en cuenta las ecuaciones anteriores se define la transforniacibiz no lineal de espacio de estado:

w = w

Yd =&%? - (3.40)

Y;

También se define un nuevo conjunto de entradas obtenido al desarrollar (3.35).

ud =u,cosp+u ,senp u, = -u, s e n p + ub cosp

- (3.41)

Empleando la transformación no lineal (3.40) en las ecuaciones dinámicas del modelo ‘ab’ se tiene lo siguiente.

Para la ecuación de la velocidad del sistema (3.31) se realizan las siguientes operaciones:

por lo tanto

- (3.42)

donde p = - n ~ M : parámetro auxiliar. JL,

~

CAPiTULOJ MODELODEL MIENSUSDIFERENTESMR'I Y M O D E L O D E U CARGA

Para la ecuación dinámica del flujo es necesario obtener la derivada de la ecuación (3.38):

Empleando las ecuaciones (3.32) para seno y coseno, las ecuaciones (3.38 y 3.39), sustituyendo las derivadas del lflujo por sus ecuaciones dinámicas obtenidas en el modelo 'ab'(3.31) y realizando las operaciones necesarias de agrupación se tiene:

III ---ayd+aMid d v d - dt

- (3.43)

i donde a=% : parámetro auxiliar L.

Para obtener la ecuaciónldinámica del desplazamiento angular p del vector de flujo resultante se deriva la tercera ecÜaciÓn de (3.40) resultando lo siguiente:

Nuevamente empleando \as ecuaciones (3.38 y 3.39), sustituyendo las derivadas del flujo por sus ecuaciones dinámicas obtenidas en el modelo 'ab' (3.31) y realizando las operaciones necesarias de agrupación se tiene:

- (3.44)

De la ecuación anterior se puede concluir que, si pes el desplazamiento angular del

, entonces - es la velocidad angular de dicho vector. "IP vector resultante I dt

J

UPiTULOJ MODELODEL MI ENSUSDIFfRENTESMR's YMODELODE U U R C A

Para obtener la ecuación dinámica de id , se deriva la ecuación que se obtiene al desarrollar la transformación (3.33), es decir,

id = io cosp + i, s e n p

--(id)= d dc(za d . cosp + i , senp) dt dio di, dt dt

-_ - cos p + i, [ -sen p -sen p + i,

d p di, di, 1 dt dt dt

= [- ia s e n p + is cosp].- + -cosp +- senp 'q

Sustituyendo las derivadas de las comentes por sus ecuaciones dinámicas obtenidas en el modelo 'ab' (3.31), empleando las ecuaciones (3.36, 3.38 y 3.39) y la ecuación para Ud en (3.41), y realizando las operaciones necesarias de agrupación se tiene:

- (3.45)

. .

M L,~R, + M = R, donde p=- , y = , son parámetros auxiliares.

f f L A ffL,Lr2

Realizando operaciones similares a las que se emplearon para obtener id, se procede a obtener iq, partiendo del desarrollo de la transformación (3.33), es decir,

i , =- io sen p + i, cosp

d d . - ( iq)= -(- z, senp + ib cos p ) dt dt

con lo que se obtiene:

- (3.46)

El desplazamiento angular se puede obtener de la siguiente ecuación diferencial:

dB dt -=o - (3.47)

!,

Agrupando las ecuaciones (3.42, 3.43, 3.44, 3.45, 3.46 y 3.47) se obtiene el modelo del MI en las nuevas coordenas 'dq ', es decir, las ecuaciones dinámicas del

11 C . P h l . 0 3 M O D E L O D E L M I E N S U S D I ~ E n l ? ~ T E S ~ ' ~ YMUDELODELA CARGA

Modelo del MI en su represen/ción matemática (MR))fíja al rotor, modelo 'dq '. f

dt

De la ecuación de la lvelocidad (3.42) se obtiene la ecuación para el par

v d ' q ' 7 2 4 electromagnético que es: z,, = -

o en términos de los parámetros auxiliares se tiene: T~ = Jpyd i , , ' II

Agrupando los parámetros auxiliares que dependen de los parámetros del MI, se tiene: I

i:, . . ..

1 , , ,

A continuación se presenta el diagrama esquemático del modelo 'dq"de1 MI, los voltajes , I /

Vab, Vbc, v,, zi,, f i b , ya se han debnido anteriormente. . .

I

Figura 3-6 Diahama esquemático a bloques dcl modelo 'dq ' del MI I I

CAPl?‘UIAJ 3 iWODELOBEL MI EfiSUSDIFERENTES MR’r YiWODELO DE IA CARGA

3.4 modelo ‘gs’

Modelo del MI en su representación matemática giratoria síncrona,

Mediante el empleo de la transformación general (3 4), es posible obtener el modelo giratorio síncrono ‘gs ’ del MI, seleccionando a u, como la velocidad del MR como puede observarse en la tabla 3-1

En este trabajo se obtendrá el modelo 2s’ partiendo de las ecuaciones dinámicas del modelo ’ab’, con los mismos parámetros auxiliares’que se definieron en el modelo ‘dq’ (3 49), considerando a como el desplazamiento angular del nuevo MR y a u, como su velocidad, por lo que [Marino, et al ,991

’ 4 I >

Para obtener las variables en el MR ‘gs’, se aplica la siguiente transformación que realizará el cambio de coordenadas de las variables ‘ab’ a ‘gs’, que no es más que una proyección trigonométrica de los ejes coordenados similar a la presentada en la figura 3-5:

.- , (3.50)

- (3.51)

- (3.52)

que representan las componentes de los vectores de corrientes de estator, flujos del rotor y voltajes de estator respectivamente, con respecto a un nuevo marco (4 q) giratorio a velocidad W, variante en’ el tiempo e identificado por el ángulo E,. . . ,

Empleando operaciones similares a las utilizadas para la obtención del modelo dq a partir del modelo ab, se obtendrán las nuevas coordenadas de estado (m, y d , v,, id, i4) y las nuevas coordenadas de control ( u d , t i q ) , por lo que las ecuaciones dinámicas (3.31) del modelo ‘ab ’ del motor se transforman en el

j C A P ~ L O J MODELODEL MIENSOSDIFEREMESMR'S YMODELODELA CARGA

Modelo del MI en su representación matemática (MR) giratoria síncrona, modelo 'gs! , ir

_. . di . b . , . . . 'iilR, , ~ ' 1 d - i n w -&pi,+apry - - i d + p n , w y q + - u d : .

(3.53) l7 d ' 'I, l7

-- dt ,

p a

di ' R, . 1 L=- i , n ,w , -a~p i , +apy,j--~,-pn,oy,+-u, di 1 0 0 ..

' , ,

. ,

t . . , . . . . I . . .' ,: , " ' l ' , .. , . , .

(3.54) , ' I , La ecuación para ei par eiectrosagnético es: T~ = Jp(ydiq - yqid) -

/ , ", , y * - : . ' .. :; /I, I . '

El diagrama esquemático del modelo 2s' se presenta a continuación VI 31 [ I .

, I

I / , ' " Figura 3-7 Diagrama esquemático a bloques del modelo ?gs' del MI. .c -,í

, ' I ' . . I. ,

donde o, = 2al f = 2 4 6 0 Hzj =. 377 rad/seg, velocidad síncrona. . , ' . .

C A P h U L O 3 MODELODEL MIENSUSDIFERENTES h1R.s TMODELODEIA CARGA

3.5 Modelo del MI basado en la formulación de Euler-Lagrange".

El objetivo de desarrollar la representación matemática del modelo del MI basada en la formulación de E-L es para poder implementar el controlador basado en pasividad y además éste modelo toma en cuenta la conservación de la energía que resulta de gran importancia en comparación con los otros modelos del MI

I r

Antes de comenzar con el desarrollo para la obtención del modelo basado en pasividad, se presenta la teoría básica de las ecuaciones de Euler-Lagrange 1

3.5.1 Ecuaciones de Euler-Lagrange (E-L) . . a!' I

Para un tratamiento más exhaustivo de sistemas Euler-Lagrange se refiere al lector interesado a [Espinosa,93].

Considere un sistema S compuesto por m elementos ideales (no importa su naturaleza). Si no existe conexión alguna entre ellos, el comportamiento dinámico de S puede ser especificado completamente por rn coordenadas básicas xi, i = 1, ... , rn, y se dice que posee m grados de libehad. Si estos elementos ideales son inter66nectados'de'alguna manera, entonces su comportamiento se restringe y el número de grados de libertad es reducido a 11 donde I I = m ~ r, siendo r las restricciones.

Estas coordenadas independientes qi, i = '1, ... , n, son llamadas .coordenadas generalizadas y establecen una representación del sistema completo, ya que las rn coordenadas básicas pueden ser expresadas como funciones de ellas mismas

xi =.x , (q , ; . . , q , ) , i = l , . . . , m

así el comportamiento dinámico de 5' puede ser representado solamente en términos de q. En particular; la co-energía cinética del sistema puede ser representada como T(q ,q ) mientras que la energía potencial como V(q), donde q,q son vectores de coordenadas generalizadas.

Si se considera que el sistema S está en .equilibrio y su comportamiento se expresa en términos de q,q, aplicando el principio de D'Alembert, se obtiene'la siguiente igualdad para las fuerzas que aparecen en el sistema

- (3.55)

donde los primeros dos términos del lado izquierdo son fuerzas debidas a la energía cinética, el tercero corresponde a las fuerzas conservativas, es decir, denvables de la energía potencial, y el término del lado derecho son las fuerzas externas generalizadas.

1 CAP¡TULOI MODELODELMIENSUSDlFERENTESMR% Y M O D E L O D E U CARCA

Con la finalidad de gederalizar esta formulación energética, se puede definir una nueva función como la diferencia entre la energía cinética y la potencial

(3.56) dh I

I . - L ( 4 . 4 ) = T ( q d - W 1'

Esta nueva función L es conocida como el Lagrangian0 y su uso en (3.55) produce las ecuaciones de Euler-Lagradge.

I

Esta idealización de las ecuaciones de equilibrio puede ser modificada para ser más real si se introduce la funcibn de dzsipaczbn de Raykigh F(q ) , y se considera que las fuerzas externas generalizadas b: son de la forma

I . . .

es decir, las fuerzas externas aplicadas a cada coordenada generalizada o grado de libertad menos las fuerzas de disipación. Bajo estas condiciones se obtiene la forma completa de las ecuaciones de Euler-Lagrange Jomo

- (3.57)

donde Q, son las entradas o variables de control del sistema. En este contexto, se puede obtener una respuesta más general si se considera que solamente algunos grados de libertad pueden ser directamente ,controlados, i.e.

I

- (3.58)

i con lo que se obtiene lo que se denota como sistema Lagrangian0 de control,

I

Las ecuaciones dinámich que se obtienen del uso de (3.57) son las mismas que se obtienen de la aplicación de las leyes de Newton para sistemas mecánicos. Sin embargo, la ventaja del uso de (3.57), radicalen el hecho de que sistemas compuestos por subsistemas de distintas naturalezas (e.g. electro-mecánicos) pueden ser abordados de la misma manera que los sistemas de una sola naturaleza.

El atractivo de las ecukiones de E-L es que en realidad no se debe alterar su estructura general para incluir I& fuerzas de interacción entre los dos subsistemas.

CAPiTULOJ MODELODEL M I E N S U S D I F E R E N T U M R I Y M O D E L O D E U U R C A

3.5.2 Derivación Lagrangiana del modelo trifásico del MI

En esta sección se trabaja con el MI trifásico compu ;to por ti .I k

devanados de estator fijos y tres devanados de rotor los cuales giran a una velocidad angular w (ver figura 2-1). Se suponen devanados por fase senoidalmente distribuidos y fases idealmente simétricas. Además, el estator y el rotor son considerados concéntricos y el entrehierro entre ellos tiene una longitud radial constante. La permeabilidad de los núcleos se supone infinita y sin saturación; pérdidas en el entrehierro, partes terminales de los devanados y los efectos de las ranuras son despreciables. Se consideran además materiales magnéticos lineales. También se supone que los dos neutros de los circuitos de estator y rotor son aislados y que las terminales del rotor están en corto circuito internamente.

El desarrollo que se presenta a continuación para la obtención del modelo trifásico a través de la aplicación de las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.57) corresponde al presentado por [Espinosa,93].

Para una obtención general de las ecuaciones básicas del MI basadas en la formulación de E-L, se considera en principio, que se tienen n - 1 devanados de estator y rotor, siendo n el número de coordenadas generalizadas como se mencionó en la sección 3.5.1 y que para el caso del motor de tres fases, n = 7.

Bajo las consideraciones anteriores y mediante la aplicación de las leyes de Gauss y Ampere, se obtiene la siguiente relación linealentre el vector de flujos A = [,$,...,An-,]' y

el vector de comentes q, = [q, ,. . .,q,_,]', que contiene a las tres comentes de estator y a las tres de rotor.

donde qn : posición angular del eje del motor, De(qn) : matriz (n - 1 x n - 1) de inductancias (simétrica y definida positiva).

Si se definen como coordenadas del sistema a las cargas de cada devanado qi, i = 1, . . ., n - 1, y la posición angular del rotor qn, se puede calcular la co-energía cinética de la parte eléctrica (con ' denotando las variables auxiliares de integración) como

mientras que la co-energía cinética de la parte mecánica es

1 . K, = - Jq2

2 "

donde J es la inercia rotacional del motor.

I I C A P ~ T U L O ~ MODELODELMIENSUSDIFTESMR'I YMODELODEU CARCA

! Si se considera que no ekisten efectos capacitivos en los devanados del motor y que

la flecha es rígida, se puede concluir que la energía potencial del sistema es cero y por lo tanto el Lagrangian0 está dado por

11

1

- (3.59)

Además se considera que los términos de disipación en los devanados se deben únicamente a sus resistencias que tienen valores constantes, por lo tanto la función de disipación de Rayleigh para el subsistema eléctrico se puede escribir como

con R = diug(R1, . . ., R, - I } , (positiva definida). En el caso del subsistema mecánico su función de disipación está dada por

I

con B el coeficiente de fricción'viscosa, por lo que la función total de disipación del sistema es entonces

I - (3.60)

Las fuerzas externas del sistema corresponden a los voltajes aplicados a los devanados, denotados por u = [u/ , . . ., u,, I]', y el par de carga - Q, el cual es en general una función no lineal de la posición y la velocidad.

Tomando en cuenta las coordenadas eléctricas y la derivada parcial de (3.59) con respecto a las comentes q,, se obtiene

io que implica

. . , : . .

CrPiTULO3 MODELODELMI E~SUSDIFEREh'TESOfR'r Y M O D E L O D E U CARCA

Debido a que no existe la dependencia de (3.59) con respecto a qe, y considerando la siguiente función

las ecuaciones de equilibrio para la parte eléctrica están dadas por

- (3.61) 'I

donde

Empleando el mismo procedimiento, pero ahora con respecto al subsistema mecánico, se obtiene lo siguiente

por lo que

Por otro lado, se tiene que

Y

por 10 tanto, la segunda ecuación para el subsistema mecánico del motor está dada por

- (3.62)

donde se han empleado las definiciones anteriores.

C h T U L 0 3 MODELODEL MIENSUSDIFERENTESMR's Y M O D E L O D E U CARGA

De los análisis anteriores es posible suponer, sin pérdida de generalidad, que en la 1 1 - 1 ecuación (3.61) solamente los primeros - términos son afectados directamente por

2 voltajes externos. Por lo tanto el conjunto completo de ecuaciones de equilibrio del MI es

I!

n - 1 n-1 n - 1 con In-, la matriz identidad de aimensión -x-' y u el vector que contiene los ~

voltajes externos. - 2 2 2 2

i Note que como se esperaba, el modelo (3.63 y 3.64) es el modelo clásico

dA. dt

-+R,qe = U

Jqn + Bq, = re - zL

que se obtiene de la aplicación de las leyes de Faraday, Ohm y Newton.

Para la determinación 4el modelo trifásico del MI, se considera el caso de un solo par de polos, debido a la facilidad con la que se presentarán dichas ecuaciones.

I En relación con las ecuaciones recién presentadas, se considerará que n = 7 (para el

MI trifásico), por lo que w = 4,. Debido a que se trabaja con el MI tipo jaula de ardilla, solamente los devanados de estator son directamente afectados, por lo tanto la matriz de entrada es de la forma '\

M , =[;I

CAPhULOJ MODELODEL MI ENSUSDIFERENTES MR's Y M O D E L O D E U CARGA

y el vector de entrada es u3 = [u:,uz,u:]', donde el superíndice ' utilizado a lo largo de esta sección denota la naturaleza de las tres fases del sistema.

Nuevamente, considerando que n = 7, el vector de estados o de comentes puede ser descrito como

donde los Subindices y corresponden a las variables del estator y del rotor respectivamente.

Para los términos disipativos del subsistema eléctrico, se supone que los tres devanados de estator y de rotor tienen el mismo valor de resistencia, denotados por R, y R, respectivamente. Con estas consideraciones la matriz de resistencias toma la siguiente forma

Así,

r

I estructura de __matriz de inductancias para el MI es de Ía forma

donde Ls y L, son las inductancias propias de estator y rotor respectivamente, L, es la inductancia mutua entre estator y rotor, y ,

2

1 cos(47) cos(q7 + Y ) cos(q7 - 7 ) cos(47 - Y ) cos(47) c 4 4 7 + Y ) COS(% + Y ) cos(q7 - Y ) cos(q,)

27T con y=- 3

43

j i CAP¡TUL03 MODELODEL M 1 E N S U S D I F E ~ ~ ' r E S M R ' ~ Y M O D E L O D E U CARCA

Considerando lo anterior el modelo completo para el motor trifásico está dado por I¡

& I 3 O3 I[$]= - (3.65)

- (3.66)

En la siguiente sección se presenta una transformación que permite obtener un modelo de orden reducido equiyalente al modelo (3.65 y 3.66), con el que se trabajará para obtener el controlador basado en pasividad, en el capitulo 6.

3.5.3 Modelo equivalente de 24

La suposición de los neukos aislados en los circuitos de estator y rotor, que se hizo anteriormente, establece el hecho de que una de las comentes de estator y una del rotor son redundantes en el modelo de 34. En esta sección, se explota esta caractenstica con el objetivo de obtener un modelo equivulente de orden reducido. En este sentido, se introduce la conocida transformación de Blonde1 y se obtiene el modelo conocido como ap, que será con el que se trabajará para el diseño del controlador.

I

Modelo del MI basado en Ia formulación de E-L, modelo 'al ': transformación de BIondel

Considere los devanados de estator de un motor de inducción trifásico (fig. 2-1). Si se supone que son idénticos en las fases y distribuidos senoidalmente, entonces si se hacen pasar comentes a través de ejlos, también se obtendrán distribuciones senoidales de corriente en la periferia del estator. Estas distnbuciones de corriente tienen factores idénticos llamados d y por lo tanto están dadas por

I I 44

UPirULO 3 MODELO DEL MI EN SUS DIFERENTES MR'r Y MODELO DE U CARCA

cj:, 5 d sen(O)q:,a,

cj:2 = d sen(8 + y)q:,n,

3:, s d sen(@ - y)q:,a,

donde 3:, : distribuciones de comente 34. B : posición angular con respecto a la cual la magnitud de la distribución es

a, : vector unitario en el eje z, y medida,

21r 3

y=- .

Por lo tanto la distribución total de comente del estator puede ser obtenida como la suma de las expresiones anteriores

donde se han empleado identidades trigonométricas para las funciones sen(.) y cos(.) de la suma de dos ángulos.

Si ahora se considera una máquina de 241 (como se muestra en la fig. 3-2, pág. 23) con sus devanados de estator en ejes ortogonales fijos a y p, y devanados de rotor también en ejes ortogonales pero girando a una velocidad angular w (como en el caso del modelo 'ab'), entonces de manera similar a la máquina de tres fases, se puede obtener la distribución total de comente del estator como

3,, = &,, sen(@ -ir* cos(+,

donde se suponen factores de distnbución iguales y la ausencia de superindices indica variables de dos fases.

- (3.68)

Debido a que el objetivo es obtener un equivalente de 24 para la máquina de 34, es claro que la distribución de comente (3.68) debe ser igual a (3.67), por lo tanto las siguientes condiciones se deben cumplir

= 4:i + c0s(u)4:2 + cos(Y)q:, 4,, = -sen(y)q:, + sen(~)q:, I

De la expresión anterior se puede obtener, la ~rui~sforinación de Blondel que relaciona variables de 341 con variables equivalenfes de 241 como

45

CAP¡TULOl MODELODEL MIENSUSDIFERENTES MR’s I’MODELODELA CARGA

- (3.69)

donde el término 2/3 se introduce con el objetivo depreservar la potencia.

Es importante observar lo siguiente, la transformación (3.69) es equivalente a la obtenida en (3.4, pág. 20) utilizando argumentos de proyección de variables. De (3.4) se puede observar que la tercera fila produce la comente de “secuencia cero”

1 . 3

4,, = - (q:, + q:, + &), la cua!, bajo las consideraciones hechas es cero.

Se puede demostrar, que si se toma la inversa de (3.4), es decir (3.5) y se elimina la columna de secuencia cero, se obtiene la transformación inversa de Blondel dada por

- (3.70)

Notando que el procedimiento anterior puede ser aplicado exactamente igual a los devanados de rotor, se puede ‘establecer la siguiente transformación completa al vector de comentes del MI trifásico.

UP¡TULOJ MODELODEL MIENSUSDIFEñENTESMR's Y M O D E L O D E U U R C A

Aplicando las transformaciones anteriores al modelo de tres fases (3.65-3.66) y después de desarrollar las operaciones laboriosas pero fAciles que involucran identidades trigonométricas, se obtiene el modelo @?del MI.

Modelo a l del MI basado en la formulación de E-L

- (3.71)

- (3.72)

En este caso ezq3 representa la matriz exponencial

y u = [u,, u2IT los voltajes de estator. Ademas, n6tese que la coordenada mecánica es denotada por el subíndice 5 debido al hecho de que solo existen cuatro coordenadas eléctricas, las cuales están dadas por

4, =[;;I= Finalmente - (3.73)

es el par mecánico de origen eléctrico (electromagnético).

47

1 C4Ph"LOJ OIODELODEL MIEN SUSDIFEREMESMR's YMODELODELA CARCA

I! Un hecho 'importante es la dependencia con respecto a la posición en el modelo

anterior. Esto se debe a que las variables de estator no están representadas en el mismo marco de referencia que las vaiiables de rotor (recuerde que mientras el primero está fijo, el segundo gira a una velocidad angular w = q, ). Sin embargo, la gran ventaja que el modelo a/3 presenta es que es una representación directa del motor "real", i.e. su comportamiento es el mismo que el modelo trifasico, por lo tanto si un controlador es diseñado considerando este modelo, dicho controlador! podrá ser directamente implementable en el modelo de 34.

'11

1

I¡ Una propiedad muy importante del modelo (3.71-3.72) es que, si se considera la ecuación de los flujos transfolmada

y se calcula la energía total como 1

I ' + t la aplicación de las ecuaciones de Euier-Lagrange (3.57) genera exactamente el modelo ap dado por (3.71-3.72). Esto sig&fica, que aunque la transformación (3.69) se aplique sobre las derivadas de las coordenadadgeneralizadas, estas preservarán potencia i

Desarrollando las operaciones matriciales y algebraicas que se encuentran en el modelo Orp (3.71-3.72), y ammodando las ecuaciones obtenidas en forma de espacio de estado, se obtiene las siguientes ecuadones dinámicas del modelo basado en E-L.

Modelo aS_del MI basado en la formulación E-L (espacio de estado) I1

I ' . .

.T Te = - 4, w,i,

1 2 - (3.74)

CAP¡TULOl DIODELODEL M I E ~ S U S D I F E R E V T E S D ' ~ YMODELODELA CARGA

donde los estados corresponden a las siguientes variables eléctricas y mecánicas:

El diagrama esquemático del modelo basado en la formulación de E-L del MI se presenta a continuación.

/,I

1 , "

qs i =ias qs2 =,¡bs q r l =lar $2 =ibr q5 =O

Te q5 =e .,i

Figura 3-8 Diagrama esquemático a bloques del modelo basado en la formulación de E-L del MI * I

. f - L

3.6 libertad) ' I

Modelo matemático de la carga (brazo de robot con un grado de

' * . Para todos los controladores que se diseñan más :delahe se emplea la misma carga que consiste en un brazo de robot con un grado de libertad, diseñado con una barra de metal acoplada directamente a un extremo del eje del rotor y que se desea siga a una trayectoria de referencia específica [Dawson, et a1,98]

I , . r

Modelo de la carga

En esta sección se presenta el modelo de la carga (brazo de robot con un grado de libertad) con la definición de 'sus parámetros y sus parámetros auxiliares. Además se presenta la ecuación que describe la.posición de referencia o deseada de la que se derivan la velocidad y aceleración deseadas. >. 1% . , .

El modelo de la carga y su descripción gráfica se presentan a continuación: , .

49

" CAP¡TULOJ MODELODELMI ENSUSDIFERENTESMR'r Y M O O E L O D E U CARGA

I

Figura 3.9 Representación gráfica del brazo de robot con un grado de libertad.

El modelo que se presenta a continuación corresponde al brazo de robot, esta ecuación contiene la dinámica de la carga y la del subsistema mecánico del MI.

I

I . : M , q + Bq + N sen( q) = r

-.

- (3.75)

donde q, q, q : posición, velocidad y aceleración de la carga respectivamente, I/

M, N B

Se debe tomar en cuenta que los parámetros M,, N, B de la ecuación (3.75) están definidos para incluir los efectos del coeficiente constante del par az, re = a 2 r . Esto es, la ecuación (3.75) ha sido dividida por la constante a2.

: inercia mecánica (incluyendo la inercia del rotor), : masa de la carga y coeficiente de aceleración gravitacional, : coeficiente de fricción viscosa.

'i

A continuación se definen los parámetros y parámetros auxiliares de la carga.

donde J : inercia del rotor, I/ m : masa del brazo de robot, m = 0.401 kg, Lo : longitud del brazo, Lo = 0.305 m,

Bo : coeficiente de fnccdkn en la unión, Bo = 0.015

G : aceleración gravitacional, G = 9.81 - .

N . ~ . s rad '

kg.m S2

!

- (3.76)

50 i

CAPiTULO3 MODELODEL MIENSUSDlFERENTESMR'r Y M O D E L O D E U CARCA

Señales de posición, velocidad y aceleración de referencia

El siguiente punto consiste en presentar la ecuación que describe el comportamiento de la señal de referencia de posición y a partir de la cual se obtendrán la velocidad y aceleración.

A continuación se presentan las trayectorias de referencia q,, qd, q, (posición, velocidad y

aceleración respectivamente) para la carga donde q, = - dqd Y i d = , ' 'id

dt

(3.77) 7r q , - 2 --sen(5t)(l-e4."') rad. -

AI desarrollar la primera y segunda derivada de la ecuación 3.77 se obtendrán las señales de velocidad y aceleración deseadas:

, '

q, 5rr = ~ ~ o s ( 5 t ) ( l - e ~ ~ - " ' ) + ~ s e n ( 5 t ) ( 0 . 3 t ?I 2 e -0 ' I t3 ) rad /seg. - (3.78)

La trayectoria de posición deseada se ilustra en la siguiente figura.

Figura 3-10 Trayectoria de posición deseada

I Capítulo 4 I 1,

! CONTROL, DEL MI BASADO EN CAMPO ORIENTADO 1 '

I I

En este capítulo se diseña el control basado en campo orientado para el MI en el marco de referencia fijo al rotor, les decir, se trabajará con el modelo 'dq ' del MI. También se presentan los resultados de simulación de dicho controlador actuando sobre el MI con la carga acoplada a su eje.

I : II

+ * 111 4.1 Planteamiento del problema

I El problema de control se puede describir de la siguiente manera: se desea que el MI

siga a una referencia de velocidad, teniendo acoplada una carga (brazo de robot) a su eje del rotor. Además, se desea que motor alcance un valor constante de referencia para el flujo del rotor. 1 '

Para el planteamiento del problema se propone el caso ideal:

i; Todos los estados están disponibles para medición, Todos los parámetros del motor son conoczdos y constantes, La velocidad de referencia dref es una función suave y acotada conocida. Las resistencias de los devanados de estator R, y rotor R, se mantienen constantes y sin variaciones. I1

CAPITULO 4 CONTROL DEL M I BASADO ES CAMPO ORIENTADO

Considere a la velocidad de referencia wre/como una función diferenciable, suave y acotada con primera derivada acotada y conocida, y elflujo de referencia del rotor como una constante acotada viro/ # O.

Bajo estas condiciones diseñar una ley de control que asegure la estabilidad interna, el seguimiento de la velocidad de referencia y la regulación del flujo del rotor, es decir, que el sistema en lazo cerrado satisfaga

lim (u - w.,) = O, liin ( y ) = y,, ,+= I+-

4.2 Diseño del controlador basado en campo orientado

El control por campo orientado fue introducido por primera vez en 1971 por Felix Blaschke [Blaschke,72]. Este método consiste en reescribir las ecuaciones dinámicas del MI en un M R que gire con el vector de flujo del rotor. En estas nuevas coordenadas, se observa que si se mantiene constante la magnitud del flujo del rotor, entonces existirá una relación lineal entre las variables de salida (velocidad y flujo),

Una desventaja del'controlador por campo orientado de Blaschke es que el método asume que la magnitud del flujo del rotor es regulada a un valor constante. Además, la relación entre la velocidad y el flujo del rotor sólo es asintóticamente desacoplada.

Un motor de inducción de CA es mucho más dificil de controlar que el de CD, debiéndose no sólo al hecho de que tres voltajes y comentes altemos de amplitud, frecuencia y fase variable tienen que ser entregados al motor en lugar de dos comentes directas, como el caso del motor de CD, sino también debido a que existe un acoplamiento entre todas las variables, las entradas de control y las cantidades internas del flujo y par. Además, las comentes del rotor son inaccesibles en los motores tipo jaula de ardilla.

Una vez que se ha aplicado la teona del MR al MI trifásico, se tiene que en las comentes de estator idt) existen dos componentes, una en cuadratura que contribuye al par y la otra componente direcfa que afecta a la magnitud del flujo. Lo anterior indica que existe una correspondencia cercana a las máquinas de CD, con la componente directa del vector de comente del estator análoga a la comente de campo y la componente en cuadratura análoga a la comente de armadura.

Como se ha demostrado por Blaschke [Blaschke,72], los problemas de acoplamiento pueden ser superados por la orientación del campo.

Existen esencialmente dos métodos generales de control vectorial. Uno llamado el método directo, que fue desarrollado por F. Blaschke, y el otro, conocido como el método indirecto, desarrollado por K. Hasse [Hasse,G9].

53

CAP¡TULO 4 CONTROL DEL MI BASADO EN C4MPO ORIENTADO

I En el método directo posible medir “directamente” los flujos en el entrehierro, o

pueden ser estimados a partir de las señales de voltaje y comente en los devanados del estator. En el método indirecto los flujos sólo se pueden medir “indirectamente”, sensando la posición y velocidad angular del rotor [Ong,98].

El diseño del controlador está basado en el modelo ‘dq ’ del MI, es decir en el MR fijo al rotor. I .Jt

di:- El modelo ‘dq’ se obtuvo en la sección 3.3, ecuación 3.48, pág. 34 y se repite a

continuación con la finalidad de facilitar su lectura.

d y d - - - -ay, + d i d dt I

di id i, l 1 ‘=-i,n w - d - - n p w ~ y d - y i q + - u , 4 P

Yd 1 1 1 . dt

donde p : ángulo del flujo del rotor, w : velocidad de¡ rotor, Yd : flujo del rotor, id, is : comentes de estator.

I

Para el diseño del contr de comente.

di, - + y i d =vd di di, -+yiq =v, dt

donde l.

- (4.1)

lador se elige una estructura más simple para las ecuaciones

CAPhLO 4 CONTROL DEL MI BASADO EN CAMPO ORIENTADO

1 3 . 2 ‘ 9

Y d G-4 vd = ip,o +CUM - + apyd

- (4.2)

donde vd, vq son variables auxiliares en funci6n de voltajes y comentes de estator, velocidad y flujo de rotor, y que son conocidas como transformaciones no lineales de coordenadas. Despejando los voltajes de entrada ud, uq para obtener las entradas al sistema linealizado, las ecuaciones (4.2) se vuelven:

vd -apyd -“,mi9 - a h 4 0 Yd ‘I

1 i, id

Y / d + pn,wyd + npw id + ah4 -

Para poder desarrollar un algoritmo de control es necesario que las variables de estado: o, yd, id, iq, p estén disponibles para retroalimentarlas, esto significa que se debe poder medir o, i s , i,b, ira, i,b, y luego calcular y , id, iq, p e n tiempo real.

Sustituyendo en las ecuaciones de comente del modelo ‘dq ’ (4.1), las ecuaciones para vd y vq (4.2), se obtiene el modelo del sistema linealizado, en lazo cerrado:

d y / d - __ - -a yd + d i d dt &- - -y id + vd dt

>=-yi di +v dt q q

donde vd = f ( i i ) y v9 = f ( i d ,i9) como se mencionó anteriormente.

55

. . ., Como puede observarse, el .modelo (4.1) se transformó ,en,(4.4) empleando la transformación por retroalimentación. Además, el sistema. (4.4) 'tiene una .estructura más, simple ya que las dinámicas Idel flujo y de la corriente i d son lineales y desacopladas; después de que el flujo se establezca a un valor constante pueden ser independientemente controladas por v d a través de u$ controlador PI (Pr~porcional+Integra]), por io 'que v d y ,,vq se eligen de la siguiente manera v

- ' < . . . . 4 . ,~

' d '= K d i (vdref - v d ) + KdZ ,(vL/ - v d ) di ' ' - , , l, ~ .. .*, -(4.5) . *

< I _ . . .<*

donde &l. K d 2 son ganancias del controlador.

Una vez que la amplitud del flujo ha sido regulada al valor de referencia constante v d r e l , las dinámicas della velocidad del rotor y la comente i, también son lineales

l!

partir del error del par.

y pueden ser independientemekte controladas por vq, como por ejemplo con dos lazos de controladores PI anidados

. . ' .

, , i ' . . I

v4 =Kq*(%/ -r ,)+KqZJ(%/-r.)dt

! ' : . .. .

Z,f =Kq,(wre/ -w)+dq4J(f%/ -W)df - (4.7) re = Jp+i;i, I <

' , . .,:. . i . , ,' l i

que como se observa de la ecuación (4.7) el par de referencia resulta de aplicar ei controlador PI al error de la vedocidad.

I

, 1 . .: , ..

C A P h I L O 4 ' CONíñoL DEL MI &ASADO EN CAMPO OR(ENTAD0

i La idea deklos."controladores PI <e :debe ..principalmente a que primero s e desea S podercontfolar la vélocidad o. ' . .'P I , .

# ,,. $ 7 <:. 9 .

'I El Eiec66'de.llevar al' sis emplear un esquema de control de salida ya se encuentran desacopladas, como en el caso de un motor de CD. '

a un'a forma lineal'y desacoplada, hace que sea posible sencillo iIcOn la ventaja adicional de que las variables ,., I . .

: "

:A 'continuación se presenta el diagrama esquemático a bloques del controlador por campo orientado, con el modelo 'úq' del MI.

. .,

i ',

.

<i ' . . * . . , . ' . , I - * i a , '

..: Figura 4-1 Diagrama a bloques del controlador por campo orihtado

paraelMlenelh4R 'dq: + , : I

L . c. i

. . , .

En las ecuaciones que determinan a los controladores PI, sus ganancias se sintonizaron con los siguientes valores:

15; K.$ = 20; i '

. . (Tdoy - r e ) : (%f -a)

proporcionados por: [Marino, et.a1.,93]. ?~ , i, . . . . I

Kq3 = 4; K:4.='20r' '

. ,. . . p;-. ,,< c

Esta sintonización se llevo a cabo de una manera heurística, partiend; de los valores

. ., . , *., ' . i -j . .~ ' 5 . ' ,.. :. , ' , .. . . t i .

I. . .. 4.3 Simulación .' de ..... la operación del sistema , , resultante j . .

En los siguientes ,resultados es posible observar. el comportamiento del flujo del rotor vd, las corrientes de1,estator id, zq, el par electromagnético T, vs. el par de referencia ~ ~ ~ f i la velocidad W del rotor vs. la velocidad de referenciasor&(en radseg) y. las señales de entrada de alimentación y ug (ya controladas), para el modelo 'dq' del MI. ,., ,

. . i . . :,.! , -I ,.

CAP¡TULO 4 COhl'ROI. DEL M I BASA00 EN CAMPO ORiEhTDD I Existen algunas figuras en las que se encuentran dos variables en la misma gráfica,

las cuales se identifican de la siguiente manera:

1 - Referencia - Real I1

, I

En los resultados sólo se analizará el indice de desempeno de /u integra/ de/ producto del valor absoluto ddl error por el tiempo conocido como ITAE (de sus siglas en inglés) con el error de la velocidad, debido a que este es el índice de desempeño más empleado ya. que presenta mu#as ventajas sobre el IAE (integra¡ del error absoluto), IE (integral del error), ITE (integral del producto del error por el tiempo), etc. Para el lector más interesado refiérase a

ITAE = j m f O .le(t)l dt - (4.8)

Además, como se mencionó, sólo se analizará el error de la velocidad ya que ésta variable es la que se emplea con más frecuencia como entrada de referencia a los controladores que se analizan.

Los resultados que se presentan ya tienen incluida la dinámica de la carga (brazo de robot, sección 3.6, capítulo 3).

A continuación se prese,ntan los voltajes de entrada al estator en los que se observa que el correspondiente al eje d sf establece y se mantiene a un valor constante mientras que el otro voltaje se mantiene oscilando dentro de una determinada amplitud, debido a que el voltaje uq esta relacionado con la corriente i , como se puede ver en la ecuación 4.1 y a su vez i , esta relacionada con la vylocidad w y es importante recordar que w sigue a la &fdel brazo de robot (sec. 3.6, ec. 3.7,8), de ahí la forma similar de la gráfica de 11, con respecto a la velocidad del brazo de robot. 4

~ Al , . ,

Figura 4-2 Voltajes de entrada al esiator del modelo 'dq ' del MI! ud (izquierda) y uq (derecha). I '

it 58 I

CAPITULO 4 CONTROL DEL MI RASADO EN CAMPO ORlENTmO

En la siguiente figura se observa algo similar con las corrientes como sucedió con los voltajes ya que la corriente en el eje d se establece a un valor constante, mientras que i, no, esto debido a la w,fcomo se acaba de mencionar.

Figura 4-3 Comentes de fase en el estator para el modelo 'dq ', id (izquierda) e i , (derecha)

En las gráficas que se presentan a continuación se puede apreciar el flujo de referencia vs el flujo real, que se establece rápidamente a su valor de referencia (2 Wb) y además en la gráfica de la derecha se puede comparar el par real vs el de referencia, observándose un buen seguimiento

I - Referencia - Real 11

2.5 3.6

I .5 - 2 '3 & Y 1

4.6

0.5

o .1 8 2 * 1 0 o* I 1.8 z s a i 3 0 a * f i 6

Tiempo (*BU1 T i s n p 0 , a e ~ i

Figura 4-4 Flujo de rcferencia vs. flujo real (izquierda); par electroinagiiéiico de refercncia (generado por el PI) vs. par real (derecha).

A continuación se presentan las señales de referencia para la posición y velocidad

1 - Referencia - Real 1 comparadas con las señales reales, de donde se observa un seguimiento muy preciso.

CAP¡TliLO 4 COiyTROL DEL MIBASADO EN C4AíPO 0.WENTADO !

Tismpa (asg) Tiempo (seo)

Figura 4-5 Posición de referencia vs. real (izquierda); velocidad de referencia vs. real (derecha).

r de posición y velocidad los cuales se mantienen e después de un tiempo determinado.

0.-

002

0.0,s

o.m

0.m - =.o.m

.o.m

-0.015

402

2 3 5 Tiempo ,peg1 1 TiSnpO (-si

Figura 4-6 Error dc posición (izqnierda)l error de velocidad (derecha)

I . , . . . Para finalizar con la simulacion digital del sistema resultante se presenta la gráfica del índice de desempeño obtehida con el error de la velocidad, en la que se observa la magnitud de dicho índice.

Figura 4-7 Ín&e de desempeño ITAE para el error de velocidad. I

Capítulo 5 I , ,,,

CONTROL DEL MI BASADO LINEALIZACI~N POR RETROALIMENTACIÓN

EN'

En este capítulo se diseña el controlador basado en linealización por retroalimentación entrada-salida para el MI. Para esta estmctura de control se analizaron dos esquemas diferentes, uno Jmplea observadores de velocidad y flujo, y el otro emplea formalmente el álgebra de Lie. 1

' Además se presentan los resultados de la simulación digital de la operación del

sistema resultante de ambos esquemas con la ayuda del paquete computacional Matlab/SimulinkTM. Las simuliciones digitales de dichos controladores tienen incluida la dinámica del brazo de robot. , 4

1L

5.1 Planteamiento del problema I

Para la descripción del $!oblema de control considere lo establecido en la sección 4.1 del capítulo 4 y además tómese el mismo caso ideal con las siguientes modificaciones.

En el caso del esquema de linealización que se basa en el álgebra de Lie es necesario considerar a la velocidad de referencia wrcl como una función diferenciable, suave y acotada con primeral'derivada acotada y conocida, y la norma al cuadrado para el flujo deseado del rotor como la constante = cte. > O. Bajo estas condiciones se diseñará una ley de control de tal manera que el sistema en lazo cerrado satisfaga

I

CAP~TULO s CONTROL DEL M I BASADO E N L I N E A L I U C I ~ N P O R RETROALIMENTACI~N

donde 1 1 . \I2 es la norma Euclideana al cuadrado, con todas las señales uniformemente acotadas.

Ahora bien, para el planteamiento del problema en el esquema de linealizadn que emplea observadores de velocidad y flujo, tome en cuenta lo propuesto en la misma sección del capitulo 4 con la modificación que a continuación se presenta.

Algunos estados no estarán disponibles para medición como son la velocidad y el flujo del rotor.

Estos observadores tienen una dinámica que presenta una rápida convergencia a los valores de referencia. En [V&ghese-Sanders,88] 'se demuestra que la retroalimentación correctiva se puede usar para agilizar la convergencia deLlos estimados de flujo y también se muestra que esto puede reducir la sensibilidad de las vaiiables estimadas a la váriación de los parámetros. s

. , k:

Bajo las mismas condiciones que las establecidas en la sección 4.1, diseñar una ley de control que ascgure la estabilidad interna, el seguimiento a la velocidad de referencia y la regulación del flujo del rotor, es decir, que el sistema en lazo cerrado satisfaga

I . . I . ..__ ~. ~ ~ . . _

5.2 Diseño del. .controlador basado en linealización por retroalimentación . . .entrada$alida ;, '

, , .

La linealización por retroalimentación consiste en transformar al sistema original no lineal en una relación lineal entre variables auxiliares de entrada y salida por medio de un lazo de retroalimentación no lineal interno y posteriormente se diseña un control lineal que asegure la estabilidad y el desempeño deseado del sistema lineal resultante [Marino, et.a1.,93]. . .I

Es importante mencionar que no a todos los sistemas se les puede realizar la linealización por retroalimentación ya que esto dependerá de las salidas seleccionadas y que éstas satisfagan el giado relati?o'del sistema.

En resumen [D'AttelliS,92], un sistem'a no lineal con &ado, relativo r = 11, puede ser

~ , . . ., .~

transformado en un sistema lineal y controlable, a través de

i) el cambio (local) de coordenadas z = O(x),

.. ~,

r . .. , ,

I¡ U P i T u L o s CONTROL DEL M I BASADO E N U N E A L I U C I ~ N P O R RETROALIMENTACI~N

I i

1 ii) ia realimentación no iirieai, u = - [ - ~ ( z ) + v ] .

44 I

El cambio de coordenadas consiste de una sucesión de derivadas de Lie en la dirección del campo vectorial definido porffx)). Para poder llevar a cabo lo anterior es necesario la existencia de una ifunción h(x) respecto a la cual el sistema tiene grado relativo igual a la dimensión del espac?o de estado (que el grado relativo sea igual a la dimensión del espacio de estado no siemp& es necesario).

Algunos de los trabajos realizados para el control de motores de inducción mediante el método de linealización pdr retroalimentaciOn son [Chiasson,93], [Marino, et.a1.,90] e [Isidori,89] entre otros.

I .

En [Marino, et.a1.,93] se tiene como objetivo principal la obtención de un controlador adaptable basadd .en linealización por retroalimentación entrada-salida, de donde se tomará la idea y el boncepto de la linealización por retroalimentación entrada- salida para aplicarlo al modelo'del MI.

, ./

Para llevar a cabo la linealiznción es importante mencionar que se parte del modelo del MI en el marco de refereha (MR) fijo al estator, modelo 'ab' (ec. 3.31, pág. 28). Dicho modelo se presenta a continuación para una lectura más rápida.

I "

La ecuación para el par electromagnético es: r, =- n p M ( v a i b - v b i o ) 4

El sistema (5.1) se puede reescribir en una forma más compacta que será con la que se trabajará para obtener la linealización por retroalimentación entrada-salida.

= + '"go + ' b g b I

CAP¡TULO 5 CONTROL DEL MI BASADO EN UNEILIZACION POR RETROALIMENTACh'

donde los vectores de campo f, g,, gb son:

vector de estados : x =

~.

n M M donde: p = L , p = - JL, 4 4 '

R a=' L, '

, son , o=l-- L A

L,'R, + M 2 R , M 2 Y = dJ,'

conocidos como '>arbmetros auxiliares" y que dependen de los parámetros del MI.

Desacoplamiento entrada - salida.

La siguiente notación se usa para la denvada de Lie de la función' de estado # ( x ) : R" + R a lo largo del vector de campo f ( x ) = k ( x ) , . . . , f , ( x ) )

De la misma forma definimos: .~,4 = L ~ ( L ? - ' ) ~ ) . - 6 3 )

Las salidas a controlar son la velocidad angular w y la norma delflujo del rotor al 2 2 cuadrado y. + y b .

A continuacibn se define la transformación de coordenadas que se empleará

1 CAP¡TULOJ CONTROL DEL MI BASADO ENUNEALIZACIONPOR RETROALIMENTACION I

Y , = L,@,

I 1 ,il y, = arctaii - - + 3 = p (;I-

la cual es una relación unívoci (uno a uno) en el espacio n = E R'; v.' + v i + o) , pero sólo para y3 > O, -900 <y3 < 9 b .

La transformación inversa es [Marino, et.a1.,93]:

I ' It

Tomando en cuenta las $lidas del sistema y analizando el hado relativo del mismo, se observa que sí es posible linealizarlo, quedando su dinámica en el nuevo sistema de coordenadas, de la siguiente manera:

Sistema linealizado !

I 65

CAP¡TULO J CONTROL DEL MI RASADO EN LINEALILACI6N POR RETROALIMENTAC6N

La dinámica del ángulo del vector de flujo y, = p = +3 (x), obtenida de las y

ecuaciones dinámicas del modelo ‘dq ’ (ec. 3:48, pág. 34) del MI es:

y recordando el cambio de coordenadas de espacio de estado que se empleó para transformar el modelo ‘ab’ ai modelo ‘dq’ (ecs. 3.37 y 3.38, pág. 30):

Sustituyendo este cambio de coordenadas en la dinámica del ángulo del flujo (5.8) y tomando en cuenta la segunda y tercera ecuación del sistema (5.4), se obtiene:

L I

Sustituyendo el lado derecho de la segunda y cuarta ecuación del sistema (5.6) por v, y vb respectivamente, se obtiene ia linealizaciÓn por retroalimentación entrada-salida para dicho sistema

- (5.10)

donde v = [va definida de la siguiente manera

vb]’ es el nuevo vector de entradas y D(x) es la matriz de desacoplanriento

C!W¡TULO S COATROI. DEL M BASADO EsVLIiyF4JZdClÓN POR RETROaUníE~AClÓ,V , , I!

11 Sustituyendo la linealización por retroalimentación entrada-salida (5.10) en el

sistema linealizado (5.6), se ohfiene el sistema en lazo cerrado en las nuevas coordenadas lineales (y's). ! I

? , :

/I

Sistema linealizado en lazo

Y, = Y , y, = Vo

Y 3 = Y4

y = 'lb 4

- (5.12)

Para obtener un ajuite asintótico de las señales de referencia deseadas I/ 2

y Ivret.l , las v, y lib son diseñadas de la siguiente manera

donde (kal, k,z) y (kbl, kb2) son parámetros constantes de diseño (ganancias), determinados para que el sistema sea lineal y desacoplado. . I

I

I!' Como puede observarse; las ecuaciones para va y vb (5.13), corresponden a ia estructura de los controladores PD (F'roporcional+Diferencial), además de contar con la ayuda de algunas variables conhdas como.hius l@l:,), con la finalidad.de . . obtener un rápido y buen seguimiento a las' Señales de referencia.

Tomando en cuenta las ecuaciones (5.13) que se ernbleah para.la generación de, las señales. de entrada '(va y l ib ) al sistema linealizado (5:12), y .las. I señales de 'referencia 0 4 7 I I./ ,! se diseña el sigu;e,nte diagrama a bloques del sistema completo (modelo del MI con el controlador), que de implementará con el programa computacional para su simulación digital.

I

< _

,!, , , _ . t:: ,'- a;:.., ! :,4, í '

,I /. ..-.< ' I . .

. I

I ., , 2 .

http://finalidad.de

CAPITULO S CONTROL DEL M I LIASXDO ENLINEALIZACION POR RETROALIMENTACIÓN

I - 1 Figura 5-1 Diagrama a bloques dcl controlador basado en linealización por retroalimentación

entrada-salida pira el Mi en el MR 'ab ' empleando el álgebra de Lie.

5.3 Simulación de la operación del sistema resultante

A continuación se presentan los resultados de la simulación digital de la operación del sistema resultante, en los que se pueden observar las mismas variables que las descritas en la sección 4.3 del capítulo 4.

Se hace la misma aclaración con respecto a las figuras en las que se encuentran dos variables dentro de la misma gráfica, las cuales se identifican de la siguiente manera:

-Referencia - Real

De la misma forma y por las mismas razones que en el capítulo anterior, sólo se analiza el ITAE con el error de la velocidad.

Los siguientes resultados tienen incluida la dinámica del brazo de robot.

En la figura que se presenta a continuación se muestran los voltajes de entrada al estator que como puede observarse se mantienen oscilando a una amplitud constante después de cierto tiempo, aunque el voltaje en el eje a oscila dentro de un margen de amplitud más pequeño que el voltaje en b. Para obtener los voitajes u,,, u b se empleo la transformación 5 . io, partiendo de las señales va y v b entregadas por las ecuaciones 5 .13 .

68

I Figura 5-2 Voltajes de entrada ai estator del modelo ‘ab ’ del h Q u. (izquierda) y u* (derecha). ’ I!

Las comentes de e s t ad , como era de esperarse presentan un comportamiento muy similar a los voltajes de entraha al estator, estas corrientes se encuentran en la siguiente figura y también es posible obskrvar la diferencia de amplitud entre ellas.

P

W

>5

10

<e

30 - e : W !: c

-5

-10

-7s

-20

1 10

o

-10 -a o P 1

Ti-0 18.9) Tiempo $eg) l 4 Figura 5-3 Comentes dc fase en el esiator para el modelo ‘ab ’, i , (izquierda) e i 6 (derecha). I1 , ii

i A continuación se presenta la norma del flujo de referencia al cuadrado vs. la real, observándose una rápida respudsta por parte del controlador para alcanzar a la referencia.

I

CAPITULO S CONTROL DEL M I BAS4DO ENLJNEALIZACION POR RETROaUMENTACION

I - Referencia - Real

Figura 5-4 Flujo de referencia ai cuadrado vs. flujo real al cuadrado.,

En la siguiente figura se pueden visualizar la posición y velocidad de referencia vs. las reales, en donde el seguimiento no es tan preciso como en las respuestas presentadas por el controlador basado en campo orientado.


Figura 5-5 Posición de referencia vs. real (izquierda); velocidad de referencia vs. real (derecha)

De nuevo se presentan en la siguiente figura los errores de posición y velocidad para obtener más adelante el índice de desempeño.

presenta en la siguiente figura.

T i w o lmgl

I,? I

Figura 5-7 Iiidice de desempeño IT.@ pan el error de velocidad

jJ . .

5.4 Diseño del controlador basado en linealización por retroalimentación entradb-salida empleanao observadores de velocidad y flujo

En ésta sección se diseka el control basado en linealización por retroalimentación entrada-salida empleando el modelo de orden reducido (MOR), en el que se emplearan observadores de velocidad y /flujo, ya que éstas variables no están disponibles para medición [Bodson,et,al.,94]. /i

CAP~TULO s 3 C O ~ O L DEL MI BASADO EN UNFALIZACION P o R RBROALIM~?MACI~N

Para obtener el controlador basado en linealización por retroalimentación entrada- salida se parte del modelo del Mí en el MR fijo al rotor, es decir, se parte del modelo ‘dq’, sistema (3 48).

Los controladores entrada-salida y campo orientado requieren una retroalimentación de estados completa, lo cual resulta muy complicado, pues como se observa en el sistema (5 i), en la mayoría de los casos prácticos, no se cuenta con los’flujos del rotor y,, yb para medición

Modelo ‘dq ’ del MI

Partiendo del modelo (4 1) obtenido en la sección 4 2, se diseña el control basado en linealización entrada-salida, dicho modelo se presenta a continuación para facilitar la lectura

w = w

- (5.14)

ud = cos(p)zr, + sen(p)u, ziq = -sen(p)u, + cos(p)u,

El nuevo conjunto de señales de entrada será

En las nuevas coorde~zu~as, el modelo ‘dq ’ del Mi que se obtuvo en el capítulo 3, sección 3,3,pag, 34 es-!- .”’C < : $ i

. , , I .

, . ,?‘..7 ’ ’ . .) .:. . .. ,I . .

1 CAPiTULO J CONTROL DEL MIMSADO EN LINEAULiICIONPOR RETROALIMENTACldN I

* = -ayd + d i d I dt

di id i, 1

dt Yd 1 az, 2 = -idnpw - a - - n,Opyd - y i, + - u,

- (5.15)

- = w dB dt

’La ecuación para obtener el p,! electromagnktico es: re = J p ~ , i , ; ’ 4

.. 1

db

, son , o=l-- L,’R, +M’R, M’

JL, I 8 , L, UL,L,’ L‘L, R

, a = L I Y = donde: p=-, nPM p=,, MI

~

los ‘)arámetros auxiliares” que dependen de los parámetros del MI como se mencionó anteriomente. I ” En el sistema (5.15) se puede observar que las ecuaciones dinámicas de las comentes id e iq, son no lineales por io que es necesario un método común para reducir dichas no linealidades, que consiste en forzar al sistema a un modo de coirtrol de corriente, empleando lazos de ganancia de comente.

I

Esto se logra con el empleo de controladores PI (controlador Proporcional+Integral) que trabajan con el error en lab ,Fomentes de estator, estos controladores obligan a que las comentes id e iq sigan a sus señales de referencia correspondientes id, e iqr (donde el subíndice r indica que se trata de señales de referencia). Además, se asume que los controladores PI tienen una redpuesta rápida, por lo que las comentes de referencia idr e iqr pueden ser consideradas como/las nuevas entradas al sistema (5.15), con lo que se obtiene el modelo de orden reducido que simplificará el diseño del controlador, las ecuaciones de los controladores se describen a ‘kontinuación.

1

i

CAPÍTULO 5 CONTROL DEL MI BASADO EN UNEALIUCIONPOR RETROALIMENTACIÓN

Modelo de orden reducido (MOR)

-=pydig, dw -7~0-7 B T L

dt

-- - -a yd + pMidr dt

- (5.17)

El empleo del control por campo orientado consiste en usar la comente id, para forzar al flujo y, a que tienda a un valor de ydo = Mi,, , constante. Una vez que ydO es constante, se observa en la segunda ecuación de (5.17), que existe una relución lineal entre la entrada iqr y la velocidad o, ya que el término p y,, se comporta como un valor constante. También se observa que se han sustituido las comentes id, iq por idr, iqr debido a que el controlador obliga rápidamente a que i + ir, por lo que estas comentes serán las nuevas entradas del sistema.

El control de la velocidad se logra a través de la entrada i,,, seleccionando 0, como la posición de referencia para el sistema, sabiendo que la velocidad y aceleración

dw, , a, = - se obtienen de la posición de referencia, con lo que se tiene 0, =- , de, dl di

: .. . . que corresponde a la ,ecuación de un controlador PID (Proporcional+Integral+Derivativo) que trabaja con el error en la posición y además emplea la aceleración de referencia para una convergencia más rápida a la posición de referencia. , .

Linealización entrada.- salida I

El esquema de control por campo orientado sólo logra un desacoplamiento asintótico entre la velocidad w y el flujo Yd, y este acoplamiento asintótico se elimina empleando un controlador por linealización entrada-salida.

A continuación se presentan las variables auxiliares que se sustituirán en el modelo de orden reducido (MOR), ecuaciones (5.1 7), para lograr la linealización entrada-salida.

1 CAPfTlJLO 5 CONTROL DEL MI BASADO EN L I N M U U C I Ó N P O R RETROALIMENTACldN I

5 =L u2 =.uvdiq,,

además

Ju, = J p ydigr es el par electrbmagnético, de donde se puede despejar i9, = -. u2

1, p v d

1: Sustituyendo éstas vanables auxiliares en el sistema (5.17) se obtiene el sistema linealizado por retroalimentación entrada-salida:

,I

. . , Modelo Iiii ealizado por entrada-salida

- =w de dt dw B s - = u - - w - L dt , J J .............................................................................................. - (5.18)

i En este sistema se observa que las dinámicas del flujo están desacopladas de las dinámicas de la velocidad. 1

En resumen, con las entradas u,. u2 y las salidas u y yld , el sistema (5.1 8) es lineal desde las entradas hasta las salidas, ya que se ha alcanzado la linealización entrada-salida, pero el sistema completo sigue siendo no lineal pues la dinámica de pes no lineal.

1 I,! i<

Las nuevas entradas u/.:U2 pueden ser obtenidas de la siguiente manera, donde yd, es un flujo arbitrario de referencia.

- (5.19)

Como puede observarse, estas ecuaciones corresponde a un controlador PI para la generación de u / , y un controlador P D para u2.

1 !

CAPiTULO 5 COiVTROL DEL MI BASADO EN UNEALILA C I ~ N POR RETROAUMENTACI6N

Este algoritmo de control depende de que el lazo interno de control de comente PI trabaje satisfactoriamente. Esto quiere decir, que dicho lazo debe tener el tiempo suficiente, así como una fuente de alimentación de voltaje adecuada para seguir a las comentes de referencia.

En éste controlador.,es necesario "estimar".el flujo y la velocidad ya que en la práctica no se dispone 'de .éstas' variables, por lo que se requiere el empleo de los observadores de flujo y velocidad, que se presentarán más adelante.

La convergencia de la'dinámica del error de estos'observadores esta limiiada por la constante de tiempo del rotor TR = L,/R, . En [Verghese-Sanders,88] se han propuesto varias maneras que permiten la especificación de una razón de convergencia arbitraria.

Observador de pujo

. .

.. , .,. ., \I '!

A continuación se diseña un observador para p y otro para y d , basados en el modelo 'dq ' del MI. Los estimados para p y y d son definidos como soluciones en tiempo real.

. d y d - A

- - -a$, + &id dt

- (5.20)

= -a$, +&(is, cos(;) + iSb sen(;)) . ..

, .. Observador de velocidad

' ' ' 'I>. ' ,i LI

En un sistema de servocontrol de posición, típicamente se cuenta con una medición de la posición, Le., de ...~. un encoder ,~ . Óptico, pero una medición de la velocidad no siempre esta disponible. Resulta ser una práctica común en la industria, calcular la velocidad a través de una diferenciación discreta de la salida de posición, entregada por un encoder óptico.

En las coordenadas del modelo en el MR fijo al rotor,-la 'ecuación que gobierna la velocidad en un motor de inducción está dada por

de donde se puede obtener el siguiente observador de velocidad

ChP¡'TULO* CONZQOL DEL M7 BMWDO EN LINEALIzACIÓN POR RETROAui1fENTACIÓN

I

- (5.21)

donde k , ~ y koz son las ganandias del observador de velocidad.

Las ganancias emplearon para las simulaciones digitales se obtuvieron a partir de

Regulador de flujo kr = 23000.

y se presentan a continuación:

1 Ill. Regulador de posición, velocidad y aceleración (PID i,, uz): ko = 3.Ox1O5, k, = 5.5x104, IIi k2 = 125, I!.!

los dos puntos anteriores corredponden a la ecuación 5.19. ! '

Lazo de corriente (PI), ec. 5. !6 : Ud: k,jr= 9000, kdP 15. 1iq: kq,= 9000, kw = 15.

Observador de velocidad, k,,, = 1.8x103, ko2 = 8x105. !.

Tomando en cuenta todo;!lo que se ha desarrollado para la obtención del controlador basado en linealización por retroalimentación entrada-salida, a continuación se presenta el diagrama a bloques del sisterha ..completo (M-controlador) que se implementara en el programa computacional para s l simulación digital.

I ! ,

.. , .. ~ .,,.

enirada-salida +a el Mi en el MR 'ob 'empleando observadores. I

CAPfTClI.0 5 CONTROL DEL MI IL4SADO EN I.INEALIZACIdN POR RIíTROALIMENTACIÓN

5.5 Simulación de la operación del sistema resultante

En los resultados que se presentan a continuación es posible observar el comportamiento del flujo del rotor y&, las señales de entrada de alimentación Ud y u4 (voltajes ya controlados), las corrientes del estator id, z,, el par electromagnético z, vs. el par de referencia ~~~h la velocidad del rotor wvs. la velocidad de referencia Wef(en radseg) del MI, entre otras. Nuevamente existen algunas figuras en las que se encuentran dos variables dentro de la misma gráfica, por lo que se identifican de la misma forma que las anteriores:

- Referencia - Real

De igual manera que en las simulaciones anteriores, sólo se analiza el IT& con el error de la velocidad y además estos resultados ya cuentan con la dinámica de la carga. En la figura que se presenta enseguida se observan los voltajes de entrada al estator, los cuales se mantienen oscilando a una amplitud constante después de cierto tiempo, pero a diferencia de los presentados anteriormente, tienen una amplitud mucho mayor.

Figura 5-9 Voltajes de entrada al estator del modelo ‘ab ’ del MI, u, (izquierda) y u5b (derecha).

Para las comentes de estator se observa algo similar a los voltajes presentados en la figura anterior, incluyendo la mayor amplitud que tienen sobre las señales de comente de los otros controladores.

Figura 5-10 Comeiites de fase en el esiator pora el modelo ‘oh ’, i, (izquierda) e I,b (derecha).

C , ) P h L O J CONTRDLDEL M I BASADO ENLINf3LJZAClÓN POR RETROALIMENTAC~ÓN

En la figura expuesta alcontinuación, es posible observar el flujo de referencia vs el real y además el comportamiento del par electromagnético De la gráfica del flujo es posible observar que el tiempd que emplea para alcanzar a su señal de referencia es mucho mayor que el empleado por el Jontrolador diseñado en la sección 5 2 de este capítulo, ver figura 5-4, pág 70 I

1 1 - Referencia - Real I/

o..

o 3

1.6

1 4

1.2

0.2

z 0.1 : . a F a .o.*

5 -02

.s $ 3 '5 Y O 8

0.6

0 4

o 2

1

-0.3

o -0.4 o 9 5

Tiempo i ieg l

vs. real (izquierda); par electro-ignético (derecha).

En la siguiente figura velocidad de referencia vs. sus

observar el comportamiento de la posición y

1 1 - Referencia - Real I

.I 79

I

c ~ p h 1 . 0 5 CONTROL DEI. MI R M ~ O w UNE.ALMACION POR RETROAI.IMENZACI~N

También' se presentan en la siguiente figura los 'errores 1 correspondientes a la posición y velocidad, obsekando que tienen una menor magnitud que los obtenidos por el controlador diseñado en la sección 5.2, figura 5-6, pág. 71.

, /. t g . , ,

Figura 5-13 Error de posición (izquierda); error de velocidad (derecha)

Para finalizar con este capítulo se presenta el índice de desempeño obtenido del error de la velocidad, en el que se puede observar una amplitud mucho menor que su correspondiente ITAE presentado en la figura 5-7 de este capítulo

Tismpo ,sea)

Figura 5-14 índice de desempcño ITAE para el error de velocidad.

. ..

I

Capítulo 6

CONTROL PASIVIDAD

I I I!

DEL MI BASADO EN 1

En este capítulo se plantea el diseño del controlador basado en la formulación de

Además se presentan io6 resultados de simulación del esquema basado en pasividad. Es importante recordar, que 104 resultados corresponden al comportamiento del MI con la

Euler-Lagrarrge (E-L) para el rnodelo del MI.

carga acoplada al eje del rotor. I

6.1 Planteamiento !

!j El problema de control se puede describir de la siguiente manera: igual que los otros

controladores, se desea que el MI siga a una referencia de posición y velocidad, teniendo acoplada una carga (brazo de rokot) a su eje del rotor. Para el esquema basado en pasividad se consideran las mismas suposiciones que las expuestas en el capítulo 4, con las siguientes

I li

modificaciones. ~ I j(i I

Considere a la velocidad de referencia ore/ como una función diferenciable, suave y acotada con primera derivada acotada y conocida, y la norma deseada para el flujo del rotor como la constante 9 > O! Bajo estas condiciones se diseñará una ley de control que asegure la estabilidad interna, ei seguimiento a la velocidad de referencia y la regulación de la norma del flujo del rotor, es decir, que el sistema en lazo cerrado satisfaga

I

CAP¡TULO 6 CONTROL DEL MI BASADO ENPASIVIDAD

donde I/. I/ es la norma Euclideana, con todas las señales uniformemente acotadas, y 9 es el valor constante máximo que puede alcanzar el flujo del rotor.

6.2 Diseño del controlador basado en la formulación de E-L, pasividad

Empleando la formulación de E-L y asumiendo que una ley de control nominal, diseñada con el conocimiento de los parámetros de la planta, asegura la estabilidad exponencial del sistema en lazo cerrado con la ausencia de incertidumbre de los parámetros, se empleará la técnica de Lyapunov para encontrar una señal de retroalimentación adicional, que este unida a la señal de control para garantizar la estabilidad Última uniforme en la presencia de incertidumbres, este procedimiento esta desamollado en [Espinosa, 931.

La obtención detallada del modelo de la carga (brazo de robot con un grado de libertad) y la definición de sus variables y parámetros se presentó en el capítulo 3, sección 3.6, ahora sólo será necesaria una descripción y un desarrollo general.

Mo(q)i + c(q,q)q + g(q) = 5 - (6.1)

donde M,(q) : inercia, C(q, q ) : términos centrífugos, g(q) : par gravitacionai, y r : par del brazo de robot.

Existen algunas propiedades muy utilizadas de las dinámicas del brazo de robot que juegan un papel importante en el análisis de estabilidad, dichas propiedades son:

Propiedad 1. La inerciaM,(q) debe ser definida positiva. Propiedad 2. La ecuación dinámica del robot (6.1) puede ser linealmente parametrizada

como M o (q)q + C(q,q)q + g(q) = r = Y(q ,q ,q )p donde Y(q , q, q ) es una función conocida y p es un vector de parámetros.

La ecuación dinámica basada en la formulación E-L del subsistema mecánico del MI es (igual que ec. 3.72, pág. 47):

.' 1 . r 2

J B - - q, W, (B)q, + B e = -rL

donde J e s el momento de inercia de la masa giratoria alrededor del eje de rotación, B es el coeficiente de ficción viscosa, y rL es el par de carga.

I - s = q - q , = q + r q q

[ M , ( q ) + J l q + [ C ( q , q ) + B l q + ~ ( q ) = rm - (6.3) ‘I I

definiendo D(q) = [M. (q) + J ] , liE(q,q) = [C(q, q ) + B ] y rm = re - rL ,

la ecuación mecánica combinada (6.3) que se obtiene es: 1.’‘

(6.6) , -

D(q) i + E(q,q)s = r, - Y(q,q,q,,q,)P - (6.7)

CAPiTULO 6 CONTROL DEL M I BASADO ENPASIVIDAD .a

En el control del MI se considera a la norma Euclideana del flujo del rotor lidr 11 . .

como la salida regulada. .' 1::'

, , v i . ~ .,>>L.;..,;,.,..

El objetivo:para éste controlador es diseñar una ley de control que asegure un seguimiento exponencial del par y la regulación del flujo del rotor, mientras se mantiene la estabilidad interna; , :

Las señales de referencia son: Trayectoria deseada @osiciÓn) del brazo de robot, de la que se derivan la velocidad y aceleración deseadas.

- 1 Par deseado f d , obtenido del desarrollo del subsistema mecánico. Flujo del rotor deseado &. ,

A continuación se desarrollarán las señales de referencia.

Flujo deseado

El vector delflujo deseado del rotor 1,d se define a continuación:

donde 9 es la amplitud maxima del flujo del rotor, y pd es la posición angular deseada del vector de flujo del rotor.

Para obtener p,,, se tiene la siguiente representación polar de los flujos del rotor:

_I

y] A r ld

rld de la representación polar se puede obtener que pd = OYC tun( 21 y además ,Ird = JA;,, + .

I CAPfTULO 6 CONTROL DEL M I B A U D O ENPASlVlDAD

' r d = -Rr4rd

Debido a que será necesano I . derivarpd para las ecuaciones de los flujos deseados, se presenta a continuación la lexpresión para la derivada de pd en términos del par electromagnitico deseado sd, realizando las operaciones necesarias se tiene:

I

Para obtener las ecuaci'ones de los flujos del rotor & , se deriva la ecuación ( 6 4 , esto es:

- (6.10)

o - 1 donde 3 = [ 1, A,d = [ 1..] y además se considera la siguiente condición inicial 1 0 ' r 2 d

I Ir,, (O) = 9 ; A,2d (O) = O , siendo 9 = lA,li = 2 Wb , la amplitud máxima.

I Considerando circuitos magnéticos lineales se obtiene Ad = D,(q)q,, a partir del

cual se obtienen las ecuaciones del flujo del rotor:

- (6.1 1)

- (6.12)

t Con las funciones o señales deseadas rd y drd, se pueden obtener las comentes de rotor y estator (q.,, q J d ) .

CAPiTlJLO 6 C0,ViROL DEL MI BASADO EA’ PASIVIDAD

Para obtener las comentes del rotor se despeja q,d de la ecuación (6.11) y se sustituye i,d de la ecuación (6.10), obteniéndose:

‘d c - (6.13) q r d = - 3 JArd

Para encontrar las comentes en el estator es necesario sustituir la ecuación (6.13) en la ecuación del flujo del rotor, que se obtiene de considerar los circuitos magnéticos lineales (segunda ecuación de 6.12), de donde se despeja qld para obtener

- (6.14)

donde 12 es la matriz identidad de orden 2x2.

Sean qed = [q; q;] las comentes de referencia y e = q, - q, el error en el

seguimiento de comentes para el motor.

El controlador debe asegurar que !im e = O , lo que implica que I-+*

La ecuación del subsistema eléctrico del MI se puede escribir de la siguiente manera

O,(d4, + CJq, 414, + %4, = M,u - ,

- (6.15)

donde el subíndice e se utiliza para indicar que se trata del subsistema eléctrico,

Donde las matrices C, y Re se han seleccionado de esta manera con la finalidad de que al aplicar el análisis de estabilidad de Lyapunov, se cumpla con la condición de que la derivada de la función candidata sea definida negativa, logrhdose sí y sólo sí la matriz C, sea antisimétrica como se analiza en detalle más adelante [Espinosa,93].

Ahora se expresa la ecuación del subsistema eléctrico (6.15) en términos del error .I

de seguimiento de comentes.

! I

I CAPfTULO 6 CONTROL DEL MI BASADO ENPASIVIDAD

! donde ud = [uld u 2 d ] r , es la señal de co?ifi.ol deseada, que como se puede observar de (6.16) tiene la siguiente exprehn:

Despejando Ud de (6.1 7) se obhne el voltaje deseado de entrada al estator.

(6.18) I

- tid = LSqsd + L,re3qq,d +

donde q,d y q,d se y (6.14) respectivamente, para lo cual será necesario obtener la

AI derivar q, se obtiene:

1 Y ai derivar qrd se obtiene: ~

- (6.19)

- (6.20)

I

1 Sustituyendo las ecuaciones (6.19) y (6.20) en la ecuación del voltaje deseado

(6.18), y realizando las opera&ones de agrupación necesarias se obtienen las siguientes señales de control:

. 7

CAP¡TULO 6 C0,i'TUOL DEL MI BASADO EN PASIVIDAD . .

Una vez que se tienen las ecuaciones dinámicas deseadas del M I , se procede a encontrar los errores en las comentes de estator, que son los que se emplean para la retroalimentación.

Estos errores se obtienen restando los estados deseados de los estados reales del sistema, esto es:

e, = q,l - qrld : error en la comente de estator fase 'a',

e, = qrZ - qrZd : error en la comente de estator fase 'b',

= 4 - q d : error en la velocidad del rotor.

Después de hallar los errores, se obtiene la señal de control que alimenta al modelo basado en la formulación E-L del MI, y que se encuentra restando la señal de error por la ganancia (re e), al voltaje deseado en el estator (ud), esto es:

Descomponiendo la expresión anterior se tienen las señales de control del estator

u = ud -re . e .

donde y,] , yp2 son los elementos de la diagonal de la matriz de ganancias re.

Nota: estabilidad al subsistema eléctrico del MI.

Estas señales de control se obtendrán de manera más formal cuando se aplique el análisis de

c A p i r u L o 6 CONTROL DEL MIRASADO ENPASIVIDAD

A continuación se prolede a obtener el par deseado r,+ y su derivada, para lo cual es necesario el análisis de estabilidad del subsistema mecánico. En éste caso se analiza el subsistema mecánico de forma'lgeneral, es decir, la ecuación del subsistema mecánico no se encuentra combinada con la ecuación de la carga, esto con la finalidad de obtener un análisis general y cuyo resultado pueda aplicarse a cualquier tipo de carga.

Continuando con el desarrollo para la obtención del controlador basado en pasividad, en la siguiente seciión se presenta el análisis de estabilidad de Lyapunov para los subsistemas eléctrico y melcánico.

I

I 6.3 Análisis de estabilidad de Lyapunov

En ésta sección se emplea el análisis de estabilidad para los subsistemas mecánico y eléctrico, con la finalidad de Obtener el par deseado rd, para lo cual es necesario tener en cuenta el error combinado de seguimiento

Error de seguimiento de posicikn y velocidad:

I

g = q - q d , ?=q-qd - (6.22)

(6.23)

(6.24)

~

I . . . . .. .. Velocidad de referencia: 9, = i d -r,? -

9

Error combinado de seguimiento: s = q - q , , s = q - q , - I

Análisis de estabilidad del subsistema mecánico

De aquí en adelante s j definirá a D como la matriz de inercias combirzudus que incluye la inercia del rotor y la ;de la carga.

Dq + Cq,+ g(q) = r d Sistema mecánico: I

Sistema mecánico de referencia: Dq, + Cq, + g(q) = r

Considerando los estado; reales y de referencia, se procede a realizar la siguiente operación que no afecta al sistema mecánico original.

I Dq+Oq,+Cq~Cq,+g(q)=jr - (6.25)

Tomando en cuenta (6.24), se agrupan los términos de la ecuación (6.25) de tal fomia que la ecuación esté en función del enor combinado de seguimiento, obteniéndose lo siguiente:

~i + cs = r - [O+, + cq, + g(q)] - (6.26)

1

89 I

CrP¡TULO 6 CONTROL DEL MI BASADO ENPASIVIDAD

El término entre corchetes de la ecuación (6.26) se puede sustituir por Y(q, q, q,, q , ) p = Dq, + Cq, + g(q ) , por lo tanto la ecuación dinámica del subsistema mecánico, en función del error combinado de seguimiento ‘s’ es:

D(q)i+C(q,q)s = r -Y(q ,q ,q , ,q , )p - (6.27)

I

Para el análisis de estabilidad del subsistema mecánico se propone la siguiente 1 T función candidata de Lyapunov: V, = - s DS 2

donde el subíndice se utiliza para identificar que se trata del subsistema mechico.

Obteniendo la derivada de la función candidata y realizando las operaciones de agrupación necesarias, se tiene:

- (6.28)

por simplicidad Yp sustituye a Y(q,q,q,,q,)p

Agrupando 10s dos últimos términos del lado derecho de (6.28) se tiene: y para que efectivamente esta expresión sea cero, se debe cumplir s r ( b - 2 0 s = O ,

que D - 2~ sea untisiiiiétricu.

Seleccionando a la matriz C de tal forma que los dos Ultimos términos de (6.28) sean cero, entonces se tiene que:

i, = sr(r - yp) - (6.29)

Además, para que el sistema sea estable se debe cumplir que la derivada de la función candidata V, sea definida negutivu, razón por la que se propone la siguiente sustitución

r - yp = -r,s

donde Urn = -s’r,s, lo que asegura que la función sea definida negativa como se requiere.

- (6.30)

r, es la matriz de ganancias, por lo que la ecuación (6.29) se transforma en

I Despejando r de la ecuación (6.30), se obtiene el par deseado t,f del-MI que es necesario para las ecuaciones del controlador. Por lo tanto, el par deseado es:

r, = 4 , s i- Yp - (6.31)

I c.eirr;ro 6 CONTROL DEL MI BASADO EN PASIVIDAD

y ya que las ecuaciones dinkicas del controlador también necesitan la derivada del par deseado, se tiene:

(6.32) ... '. lh 'id = -rj + Y(q, q, q r , q, ,q , )p -

Recordando que Y(q ,q ,q , , q , )p = Dq, + Cq, +g(q), entonces el par-deseado y su I I!

. . derivada se pueden expresar deila siguiente manera

rd = -r,S + DG, + cq, + g(q) id = -rj + ~ y , + cq, - - (6.33)

' I:

Sustituyendo la primera ecuación de (6.22) en (6.23) se tiene:

4, = i d - l - q ( q - q d ) - (6.34) , , j Ij!

Obteniendo las derivadas de segundo y tercer orden de (6.34) necesarias para el par deseado y su derivada, se obtiene lo siguiente:

I

- (6.35)

I donde qd, q,, q,, y, son la posición, velocidad, aceleración y la derivada de la

aceleración deseadas, o las entradas de referencia al sistema, las cuales se describieron en detalle en el capítulo 3, sección 3.6.

! Análisis de estabilidad del subsistema eléctrico

Para realizar el análisjs de estabilidad del subsistema eléctrico se definen las

variables eléctricas (cokentes de estator y rotor). variables eléctricas dese las (comentes de estator y rotor).

siguientes variables. I , ,

qe : q e d :

El subsistema eléctrici que se definió en (6.1 5 ) es: I

y la ecuación del subsistema eléctrico deseado que también se definió en (6.1 7) es:

De(q)q.d + ce(q,q)qed + 1

CAP¡TOLO 6 , CONTROL DEL MI BASADO EN PASIVIDAD

donde el subíndice e se refiere a las ecuaciones del subsistema eléctrico y el subíndice d se refiere a las variables deseadas.

Definiendo la denvada del error en los estados como: e = qe -qed y restando la ecuación (6.17) de la ecuación (6.15) se obtiene la ecuación dinámica del subsistema eléctrico en función del error de los estados. *

- Dee + C,e + R,e = M,(u - u d ) - ' (6.36)

Para realizar el análisis de estabilidad del subsistema eléctrico se define la siguiente función candidata de Lyapunov en función del error:

I r Ve = - e Dee 2

donde nuevamente el subíndice e se utiliza para identificar que se trata del subsistema eléctrico. ..

Obteniendo su derivada y realizando las operaciones de agrupación necesarias, se tiene:

Ve = e r M , ( u - u d ) - e T R , e + e T ( D , - 2 ~ , ) e - (6.37)

en donde la expresión (0, - 2Ce) debe tener una C, de tal forma que sea Anfisiméfrica, para lograr que todo el tercer término del lado derecho sea igual a cero, esto es, eT (D, - 2 ~ , ) e = O .

Para lograr lo anterior se definen las siguientes matrices:

,, 1'

Tomando en cuenta las matrices anteriores, el tercer término de (6.37) es cero y por lo tanto esta ecuación se reduce a:

Ve = eTM,(u - u d ) - e r i c e

que como se definió en el análisis de estabilidad del subsistema mecánico, la derivada de la función candidata debe ser definida negativa, para que el sistema sea estable.

- (6.38)

I C A P h L O 6 C08ATROL DEL Mi BA.WD0 EN PASi WDAD

I Por esta razón al analizar la ecuación (6.38) se observa que el segundo término del

lado derecho es negativo, por-io tanto sólo falta asegurar que el primer término del lado derecho también lo sea y con .esto se estará garantizando que la derivada de la función candidata, Ve sea definida negativa.

'U I . Para que se pueda cumplir la condición de estabilidad se realiza la siguiente

sustitución: 1 , :

-T,e=Me(zr-ztd) - (6.39)

sustituyendo la ecuación (6.39) en la (6.38), ésta se transforma en I/

(6.40) . . I . . . . 'Y " Agrupando ' (6.40) se Ikega a que ' Y, = -eT (re + E,)e , donde la matriz entre

paréntesis debe ser simétrica. Para cumplir con esta condición será necesario aplicar el siguiente teorema a la matriz , o .

Teorema: Si A es una maíriz cuadrada, enfonces [Lipschutz,92]

A' ~ I j i

1 i). i i ) . A - es antisi+trica, iii).

A + AT es simétrica,

A = B + C para alguna matriz simétrica B y alguna antisimetrica C.

*I Aplicando este teorema a la matriz de interés se tiene que:

I

Entonces para que V, sc!a definida negativa, se necesita que 11):

'.

, , ! 1

- [R: + IT,]+ re , 2 re +Re sea definida positiva:

De la ecuación (6.39) la señal de entrada u obteniéndose: . . , . _ . . i '

M ~ Z I = Mp, - r,e - .(6.41)

CAP¡77lLO 6 COW'ROL DEL MI BASADO EN PASIWDAD

Desarrollando las señales de entrada se obtienen las señales de control del estator como se

mencionó anteriormente - (6.42)

2 ' . 2

donde: re =- Lsrq + yi : es una matriz de ganancias dinámicas que depende del 4%

cuadrado de la velocidad, Eo

Y1

: es un parámetro de diseño ( E ~ = O.OOOi), : es una ganancia constante mayor que O, (y1 >.O).

Para la obtención detallada de la ganancia dinámica Te, refiérase a [Espinosa-Ortega,94].

De este resultado se puede observar que la ganancia re ya no es un valor constante, sino que depende de la inductancia mutua y del cuadrado de la velocidad del motor.

A continuación se presenta el diagrama esquemático a bloques del controlador basado enpasividud, con el modelo del Mi basado en la formulación de E-L.

I

Flgura 6-1 Diagrama a bloques del controlador basado en pasividad para el MI.

Con las ecuaciones desarrolladas anteriormente y con el diagrama esquemático de la figura 6-1, se da por finalizado el diseño del controlador basado en pasividad.

Una de las ventajas de esta estructura de control radica en el hecho de que el par deseado Td se obtiene como resultado de aplicar el análisis de estabilidad de Lyapunov al subsistema mecánico.

I CAP¡WLO 6 CONTROL DEL MI BASADO EN PAS1 llDA0

I " 6.4 Simulación de la operación del sistema resultante

En los siguientes resultados es posible observar el comportamiento de los voltajes de alimentación de entrada al modelo basado en pasividad, es decir, u, y uz. También es posible observar las corrientes del estator i,,, zbs, el par electromagnético T~ vs. el par de referencia ~ ~ ~ f i la posición del, rotor 0 vs. la posición de referencia O,=,- (en rad) y la velocidad w del rotor vs. la vel&idad de referencia we,-(.en radseg). De la misma forma es posible observar el error en ids señales de posición y velocidad, para después presentar el índice de desempeño ITAE.

I ' j ':

I , De nuevo se hace la aklaración sobre algunas figuras en las que se encuentran dos

variables en la misma gráfica, las cuales se identifican de la siguiente manera:

- deferencia - Real ' I¡ Los resultados que se presentan ya tienen incluida la dinámica de la carga, es decir,

las ecuaciones dinámicas del subsistema mecánico ya tienen incluidas las dinámicas del brazo de robot.

I

.., , I ' En las siguientes dos figuras se presentan los voltajes y corrientes de entrada al

estator para el modelo basado 'en la formulación de E,L, donde se observa la relación entre las formas de onda del voltaje corriente de una misma fase, además, en las gráficas de las corrientes se hace una compara'ción entre variables reales y de referencia.

'1

I Figura 6-2 Voltajes de entrada al estator. modelo basado en E-L, u, (izquierda) y u2 (derecha).

i

CAP¡TULO 6 COivTROL DEL MI BASADO EN PASI I'lDAD

1 ' t I - Referencia - Real

25

20

IS

10

E 5 P O $ $ -5

u -10

-15

-20

-25 o 2

n e w iw)

Figura 6-3 Comentes de fase en el estator para el modelo basado en E-L' i, (izquierda) e ibi (derecha), comentes de referencia vs. reales.

En la siguiente figura se compara el par de referencia vs. par real, donde se observa una diferencia muy pequeña entre dichas señales.


Tiempo (seg)

Figura 6-4 Par electromagnético de referencia YS. real

A continuación se presentan las señales de posición y velocidad en cuyas gráficas se comparan las señales reales vs. las de referencia.

96

2

, .s

0.5

= O

- v - ii g - o s

-1.5

.2 o

n e w (*eo)

Figura 6-5 Posición de re1

En las siguientes dos despues mostrar el indice de

CAPimLo 6 CONTROL DEL MI BASADO EiV PASIlWAD

i/

- Referencia - Real

5

encia vs. real (izquierda); velocidad de referencia vs. real (derecha).

iguras se presentan el error en la posición y velocidad para :sernpeño (ITAE) obtenido con el error de la velocidad. I I:

1

e - 1 a 8; o 5

%+ s 1

o o

-2

-4

-05

2 5 Tlempo (reo1 Tiempo (seal

' Figura 6 4 Em?r de posición (izquierda); error de velocidad (derecha) I

T i S m P O ( ~ U l

Figura 6-7 Índice de desempeño ITAE pua el error de velocidad. I I I!

97 , ,

~~~ ~~~

'( I

I Capítulo 7 1 1 1

ANÁLISIS C O ~ A R A T I V O DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES

I En este capitulo se analizan los resultados obtenidos,de las diferentes estructuras de

control diseñadas en los clpitulos 4, 5 y 6 (campo orientado, linealización por retroalimentación entrada-salida, linealización por retroalimentación entrada-salida con observadores y pasividad). Dic~os resultados se comparan ,mediante el empleo de tablas y gráficas en las que se presente de una manera clara el desempeño de cada controlador según el tipo de estructura empleada.

El primer tópico que se analiza es el que corresponde al índice de' desemperío seguido del tiempo de simdlación que esta directamente ligado a la complejidad computacional del controlado,, y por último se analizan las senales de voltaje y corrienfe de entrada, que son las que 'el Mi demanda para que pueda seguir a sus señales de referencia.

Para finalizar con el iapítulo y con el trabajo de tesis se presentarán las conclusiones obtenidas.

7.1 Análisis del índice de desempeño

El indice de desempeño se obtiene a partir del error de la velocidad, asi que la forma como se evalúa este parámetro es en virtud de qué controlador presenta un MENOR índice de desempeño (ITAE), siendo 'éste el que MEJOR siga a su señal de referencia (en este caso la velocidad deseada) [Graham-Lathrop,53].

!I

~ I) 9R 1

A continuación se presentan, en una misma gráfica, los índices de desempeño (ITAE) de las cuatro estructuras de control analizadas: campo orientado, linealización entrada-salida, linealización entrada-salida con observadores y pasividad. Esto con la finalidad de llevar a cabo una comparación más precisa de su comportamiento.

ITAE

- C a m p orientado

............. Linealización entrada-salida

Linealización entrada-salida con observadores

_-- Pasividad

Ttampr ,ir#,

Figura 7-1 Gráfica comparativa entre los índices de desempeño de los controladores, para el error de la velocidad.

Como complemento se presentan unos acercamientos a la figura 7-1, en los cuales es posible visualizar el comportamiento del controlador basado en pasividad observándose que es el que presenta un menor índice de desempeño que las otras estructuras. La estructura que salta a simple vista es la basada en linealización entrada-salida que presenta el mayor índice de desempeño

I iJ Figura 7-2 Diferentés acercaniientos de la figura 7-11 (a) en esta gráíi& aún se observan los cuatro índices de desempeño; (b) en ésta sólo se aprecian los ITAE correspondientes al campo orientado, lineaiizacióii con

observadores y pasividad (c) en esta IHfica sólo aparecen los ITAE de la linealización con observadores y el I de pasividad.

De manera cuantitativa se puede llevar a cabo una comparación más precisa de los índices de desempeño (ITAE) del error de la velocidad, numéricamente esto es

I

Tabla 7-1 ITAE con!el error de la velocidad para los diferentes controladores.

1 11.

i Continuando con la comparación de los índices de desempeño, ahora se presenta una gráfica de barras, para una vli.sualizaciÓn más ágil.

1 'I/

1 6 0 0 0 1 4 0 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0

I T A E 8000 6000 4000 2000

n

Figura 7-3 Gráfica de barras del ITAE para la velocidad ver tabla 7-1 para a, b. c. d

I ,, 1

ion

CAP¡TULO 7 .AA'hSlS COMPARAnVO DE RESULT4DOS i'rZ0VCLUSIOhTS

(a) (b) (e) (d)

De ésta gráfica se ve que el controlador basado en pasividad es el que menor ITAE presenta

De lo que se puede observar en las figuras 7-1, 7-3 y de la tabla 7-1, se concluye que el controlador que tienen un mejor seguimiento a la velocidad de referencia es el basado enpasfvrdad. A continuación se listan los controladores en orden de menor a mayor ITAE o lo que es equivalente de mejor u menor desempeño en el seguimiento de la velocidad de referencia

Campo orientado Linealización entrada-salida

Linealización entrada-salida con observadores Pasividad

4 min. 32 seg. = 4.53 min. 6 min. O0 seg. = 6.00 niin. 7 min. 42 seg. = 7.7 min

13 min. 28 seg. = 13.46 min.

Controlador basado en pasividad. (< ITAE) Controlador basado en linealización entrada-salida con observadores. Controlador basado en campo orientado. Controlador basado en linealización entrada-salida. (> ITAE)

7.2 Análisis del tiempo de simulación

Es importante considerar y analizar el tiempo de simdación de los programas implementados para los controladores, pues este tiempo se encuentra directamente relacionado con la complejidad de los cálcdos compzrfacionules de dichos programas y de los controladores, lo cual es de interés cuando se desee realizar la implementación práctica de algún controlador.

,, Además, el tiempo de simulación toma mayor importancia en aplicaciones de tiempo real y resulta ser un factor importante a considerar en la elección del tipo de controlador a emplear.

En la tabla 7-2 se listan los controladores con sus respectivos tiempos de simulación, es importante remarcar que todos los controladores se simularon durante el mismo tiempo (5 seg.) y empleando las mismas características como son, el paso de integración (0.0001) y el método de integración (ode23s (StifUh4od. Rosenbrock)).

I. . - , , . : . CONTROLADOR' . . . . . . ' 1 .:IEMPO DE SIMULACIÓN ]I . . . . .

I

C A P I ~ L O 7 ANUSIS co~rpARAnvotx~s~~~rnos YCONCLUSIONES

Para reforzar las comphaciones hechas en la tabla 7-2 se presenta la siguiente gráfica circular en la que se encÜentra el porcentaje de los tiempos de simulación

.

I 24% '1. i'

I Figura 7-4 Gráfica circular que muestra el porcentaje de los tiempos de simulación, ver tabla 7-2 para la identificación de a. b> c, d

I

.,,*' > . .

, / I /

C A P ~ L O 7 ANALISIS c o & f P m m v ~ E RESULTADOS YCONCLUSIONES

7.3 Análisis de las señales de entrada al MI, voltajes y corrientes

Realizar una comparación con respecto a las señales de entrada al MI (voltaje y corriente) resulta ser complicado, pues no se cuenta con un parámetro especifico, como en los casos anteriores, a partir del cual se pueda determinar que contralor presenta un mejor comportamiento sobre los demás

Por esta razón se describen algunos de los puntos que se toman en cuenta para analizar las señales de voltaje y corriente y así obtener una comparación entre los controladores antes mencionados

LOS puntos que se toman en cuenta para realizar el análisis de las señales de voltaje y corriente son

Nivel máximo del sobretiro al arranque de la simulación, Tiempo de estabilización, Amplitud en estado estable, Forma de onda de la señal, Defasamiento de las señales trifásicas (voltajes y corrientes).

Los puntos listados arriba son los tópicos que se consideran para realizar las comparaciones con las señales trifásicas de voltaje’y corriente que se obtienen al aplicar la transformación inversa de 2 a 3 fases a las señales de control, mediante la matriz de transformación correspondiente (ecuación 3.5).

La siguiente gráfica corresponde a las señales trifásicas de voltaje y corriente obtenidas del controlador basado en campo orientado.

I 7 Fase ‘a’ - Fase ‘b’ - Fase ‘c’ I

nrmPobeQl Tirnpo,*‘g,

Figura 7-5 Voltajes (izquierda) y comentes (derecha) trifásicos obtenidos del controlador basado en campo orientado.

103

c . w í i u L o 7 mhsis commnvo DE RESCILTADOS YCONCL~~SIONES

En la siguiente gráficai se pueden observar las señales trifásicas de voltaje y corriente obtenidas del controlador basado en linealización entrada-salida.

1 -Fase 'a' -Fase 'b' -Fase 'c' I

Figura 7 4 Voltajes (izquihh) y comentes (derecha) trifásicos obtenidos del conirolador basado en linehi¿ación por retroalimentación entrada-salida.

'!I . . ' I .I

. I

, . En la- siguiente. graficado las señales trifásicas de voltaje y comente 'correspondientes al en linealización entrada-salida empleando observadores. I1

I ,d

' -Fa% 'b' y: -Fase <c' I I -Fa& 'a' I ,I

t , .

I ¡l. 1 . . t !

Figura 7-7 Voltajes (izquierda) y comentes (derecha) bifásicos obknidos del controlador basado en linealizacióri por retroalinicritación entrada-salida empleando observadores.

/"

, ií: ., ,

Para finalizar con esta Iseccion, se presentan las señales trifásicas de voltaje y comente obtenidas del controlador basado en pasi6dad.

, . rli .. ,

CAPITULO 7 ANÁIISIS COMPARiI77VODE RESULTADOS YCONCLUSlONES

i -Fase ‘a‘ - Fase ‘ b -Fase ‘c‘ 1

Figura 7-8 Voltajes (izquierda) y corrientes (derecha) trifásicos obtenidos del coniroladoi basado en pasividad.

Del análisis de las figuras 7-5 a la 7-8 y tomando en cuenta los puntos a evaluar antes citados, se puede determinar qué controlador presenta un mejor desempeño con respecto a las señales de voltaje y comente Esto da como resultado la siguiente lista donde se observa en primer lugar, al controlador que mejores características de voltaje y corriente presenta y hasta el final se observa al que tiene un menor desempeño de las mismas señales

Controlador basado en pasividad

Controlador basado en linealización por retroalimentación entrada-salida con

Controlador basado en linealización por retroalimentación entrada-salida Controlador basado en campo orientado

observadores

A continuación se presenta una tabla para comparar los puntos expuestos en la sección 7.3 y que determina, de una manera más clara, las ventajas que algún controlador pueda tener sobre los demás.

estado estable

Tabla 7-3 Tabla comparaiiva de las señales de enirada al MI, voltajes y comentes

105

CAPiTULO 7 ANÁLISIS COMPARATIVO DE RESULTADOS Y CDSCLUSIOA'ES 1

! I I 11

l.:II. 1.4 Conclusiones .. , . . Ci ., . , . .

El controlador basado en campo orientado presenta algunas ventajas como son esfuerzos computacionales reducidos, corto tiempo de simulación, simplicidad para la implementación; pero una de ius principales desventajas radica en que dicha estructura de control sólo logra un desaco&tmiento asintótico entre las variables de entrada o de referencia, en este caso dichas 'variables son: velocidad y flujo.

Una de las desventajas que presenta el controlador basado en linealización entrada- salida empleando observadores les precisamente la necesidad de utilizar los observadores, ya que los estados. observados presentan un error en comparación con los estados reales. También se observa en las gráficas de voltaje y corriente de dicho controlador (figura 7-7), que se requiere una magnitud de voltaje y comente mayores a las requeridas por los otros

Una de las ventajas nid importantes que ofrece el controlador basado en pasividad es que no requiere la medicióh completa de los estados, pues sólo se retroalimentan las comentes de estator y la velodidad. Además no necesita de observadores a diferencia del controlador basado en linealización entrada-salida que si los requiere.

Con respecto a los tiempos de simulación salta a la vista el tiempo que emplea el controlador basado en pasividal; pero esto tiene una justificación, la cual se fundamenta en que los dos controladores basados en linealización por retroalimentación entrada-salida trabajan con el modelo de ordeil reducido del MI, es decir, emplean lazos de ganancia de corriente a diferencia del conüolador basado en pasividad que trabaja con el imdelo de orden coirzpíeto. Además de. io anterior, también es necesario calcular la aceleración del motor ya que es necesaria para la obtención de la derivada del par deseado que se emplea como referencia. Estos puntos titados se reflejan directamente en el tiempo de simulación ya que es necesario realizar más cálculos computacionales, los cuales hacen más lento al controlador.

' " I

I

controladores. I I

' I/

El control por campo qáentado y por pasividad resultan ser muy atractivos en la práctica y prueba de ello son loslresultados obtenidos donde se destacan sus ventajas como son el bajo ITAE y tiempo de simulación (este último parámetro aplica sólo para el caso del campo orientado).

Para finalizar con el análisis de los controladores en general, resulta complicado hablar de que alguna estructura.de control presenta un mejor desempeño que otra, ya que esta apreciación dependerá de !as necesidades que demande la aplicación y será ésta quien determine que estructura de control es la que mejor satisface sus necesidades, por ejemplo, si la aplicación requiere de u4. control convencional y no necesita de mucha precisión, entonces dicha tarea puede ser' desempeñada perfectamente con el controlador basado en campo orientado. Por el contraMo, si la aplicación es deniandante y se desea una excelente precisión sin importar la complejidad del controlador, entonces se recomienda el empleo del controlador basado en pasividad.

http://estructura.de

CAPh'ULO 7 ANÁnISS COMPAIUTIVO DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES

Otra aplicación, que es necesario mencionar, es aquella en la que los estados no están disponibles para medición (comúnmente la velocidad), por lo tanto es necesario el empleo de observadores para las comentes del rotor y construir dichos estados aplicando una acción de control sobre ellos.

Como puede concluirse de lo mencionado arriba, para el empleo de algÚn controlador en particular, influye en gran medida el tipo de aplicación en la que se vaya a emplear.

Se tiene contemplado en un trabajo futuro de tesis considerar las variaciones de los parámetros en el modelo del MI como son, por citar algunas, las variaciones en los valores de las resistencias de estator y rotor debidas al calentamiento de sus devanados. Dentro de otros trabajos futuros se visualiza la construcción de un prototipo de controlador para el MI en un banco de pruebas.

En ese trabajo futuro de tesis se propone realizar comparaciones experimentales para comprobar y verificar: '1

a). b).

El correcto modelado y desarrollo de los controladores, La validación y efectiva comparación de los resultados de simulación respecto a los resultados expenmentales.

Entre las aportaciones que este trabajo de tesis ofrece ai CENDET destacan las bases sólidas para la obtención de modelos matemáticos del MI así como el análisis comparativo entre tres diferentes estructuras de control, formando con esto los cimientos y efiqueciendo las líneas de investigación de máquinas eléctricas y control no lineal.

. . , ,

. . , .. . . ... . .

. , .~ 2 .' ,

[Blaschke,72]

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I

Apéndice A 1“‘ I .

MANUAL PARA EL USO DE LOS PROGRAMAS ,“DE SIMULACIÓN DEL MI

I1

A.l Estado del arte

Este manual describe como emplear los programas basados en Matlab/Simulink, para la simulación del modelo del MI trifásico y sus diferentes representaciones matemáticas en los marcos /de referencia, que se diseñaron en el trabajo de tesis “Controladores de Motores de Inducción: Un Análisis Comparativo”. Las diferentes representaciones matemáticas del modelo del MI desarrollados en este trabajo son:

1 MR fijo al estator, modelo ‘ab’, MR fijo al rotor, modelo ‘dq’, MR giratorio síncrono, modelo ‘gs’, Basado en la formulación dk Euler-Lagrange (pasividad).

I :r

t I .

Además se desarrolladon los programas para la simulación de los sistemas completos, es decir, el modelo ‘del MI incluyendo los controladores respectivos, los .cuales son:

‘2 I it

Controlador basado en campp onentado, Controlador basado en iinkalización por retroalimentación entrada-salida empleando álgebra de Lie, I(.

Controlador basado en lin&alización por retroalimentación entrada-salida empleando observadores de velocidad $‘flujo, Controlador basado en la ripresentación de Euler-Lagrange (EL), pasividad.

I Además, todos los programas para los modelos del MI se diseñaron de dos maneras, en una se toma en cuenta la carga (brazo de robot) y en la otra se considera una carga que corresponde a un valor constade.

MANUAL PARI EL USODELOSPROGR4díASDESfd~UUCfdNDEL MI

Por lo tanto, los programas se pueden clasificar de la siguiente manera: Lazo Abierto, Lazo Cerrado, Con Carga Variable, Con Carga Constante, que se describen a continuación.

Los programas clasificados como Lazo Abierto comprenden a aquellos programas que sólo contienen al modelo del MI y sus diferentes representaciones matemáticas (MR).

También existen los programas en Lazo Cerrado que comprenden a los modelos del MI que incluyen al controlador respectivo.

Otra de las clasificaciones consideradas es Con Carga Variable, que se caracteriza por aquellos programas en los cuales se ha tomado en cuenta el brazo de robot con un grado de libertad como carga y la otra clasificación es Con Carga Constante que corresponde a los modelos en los que se ha considerado un valor constante como carga.

Resumiendo lo anterior la clasificación de los programas para los modelos del MI queda de la siguiente manera:

Con Carga Constante Con Carga Variable

Lazo Abierto

Modelos del MI 4 Con Carga Constante Con Carga Variable

Lazo Cerrado

abreviados de la siguiente manera en las carpetas del CD de programas:

Modelos del MI en lazo abierto con carga constante: Modelos LA con CC Modelos del MI en lazo abierto con carga variable : Modelos LA con CV Modelos del MI en lazo cerrado con carga constante: Modelos LC con CC Modelos del MI en lazo cerrado con carga variable: Modelos LC con CV

También es importante mencionar que cada programa de Sirnulink requiere de un programa en el que se encuentran los parámetros de MI que se simulará, de aquí la importancia de mencionarlos, además de ser éstos programas los archivos ejecutables para cada simulación, llamados “archivos deparbineiros ’I.

A continuación se describen los programas (archivos de parámetros y Simulink) de cada uno de los modelos del MI dependiendo de la clasificación a la que pertenezca.

A-2

MANUALPARA EL USODELOSPROGRAMASDESIMUUCIONDEL MI

mot2fabo.m

motpasdl .m

A.2 Modelos del MI en lazo abierto con carga constante

En esta sección ,e presentan los modelos del MI en lazo abierto y con carga constante, para lo cual se presenta la siguiente tabla en la que se encuentran el archivo de parámetros, los programas de Simulink y la descripción de cada programa.

Salida empleando Álgebra de Lie.

Salida empleando Observadores de Velocidad y Flujo. Controlador del MI basado en Pasividad.

linrebodmdl Controlador del MI basado en Linealización Entrada-

mocopasl .mdl

Tabla A-I Modelos del MI en lazo abierto con carga constante.

A.3 Modelos del MI en lazo cerrado con carga constante

En esta sección se presentan los programas para los modelos del MI en lazo cerrado, es decir, el modelo con su controlador, tomando en cuenta una carga constante.

Los programas que se desarrollaron corresponden a los siguientes controladores: basado en campo orientado, basado en linealización entrada-salida empleando álgebra de Lie, basado en linealización entrada-salida empleando observadores de velocidad y flujo, y el basado en pasividad.

A continuación se presenta la tabla en la que se describen dichos programas.

Controlador del MI basado en Camno Orientado Dara el

I I modelo ‘dq’.

sis1in.m sislinma.mdl I Controlador del MI basado en Linealización Entrada-

Tabla A-I1 Modelos del MI en lazo cerrado con carga constante.

A-3

blANUAL PARA EL USODELOSPROGRAMASDESIMULACI~NDEL MI

mot2fal.m

A.4 Modelos del MI en lazo abierto con carga variable r

En esta sección se presentan los programas para los modelos del MI en lazo abierto, pero ahora tomando en cuenta al brazo de robot como una carga variable.

También se presenta una tabla en la que es posible observar los archivos de parámetros, los programas de Simuliddvíatlab y la descripción de cada programa.

Mod2fabl.mdl I Modelo del MI en el MR fijo al Estator, modelo ‘ob’

sis1inl.m

mo2fabol.m

motpasd4.m

Mod2fgsl.mdl Modnasim mdl

I Modelo del MI en el MR Giratorio Síncrono, modelo ‘gs’. I Modelo d ~ l MI hncndn .-n Paiividnd motnncm m

modelo ‘(14 ’. s is l id .mdl Controlador del MI basado en Linealización Entrada-

Salida empleando Algebra de Lie. linrebol.mdl Controlador del MI basado en Linealización Entrada-

Salida empleando Observadores de Velocidad y Flujo. Controlador del MI basado en Pasividad. mocopas4.mdl

Tabla A-I11 Modelos del MI en lazo abierto con carga variable.

A S Modelos del Mi en lazo cerrado con carga variable

Para finalizar con la presentación de los programas se tiene a los modelos del MI en lazo cerrado considerando al brazo de robot como carga.

Los programas desarrollados corresponden a los mismos controladores descritos en la sección con curgu cotzstunte, estos son: basado en campo orientado, basado en linealización entrada-salida empleando álgebra de Lie, basado en linealización entrada- salida empleando observadores de velocidad y flujo, y el basado en pasividad.

De la misma manera que en las otras configuraciones, se presenta la tabla descriptiva de dichos programas.

A-4

..

MANUAL PARA EL USODELOSPROGRIMASDESIMULACI~NDEL MI

A.6 Instrucciones para simular los programas

En esta sección se describen los pasos a seguir para llevar a cabo la simulación de cualquiera de los modelos descritos en las secciones anteriores.

1 . El primer paso a realizar es identificar el modelo que se desea simular, refiérase a las tablas I, 11, I11 y N para seleccionar el nombre del archivo de parártzetros que corresponde al modelo adecuado.

2. Una vez que se ha identificado y seleccionado el programa, es necesario abrir el paquete cornputacional Matlab. En caso de no existir dicho paquete en la computadora personal (PC) que se está utilizando, podrá encontrar el archivo de instalación, localizado dentro de la carpeta Matlab del disco de programas proporcionado con este manual. La versión de Matlab es la 5.3.

3. Después de instalar Matlab (en el caso necesario), deberá de Copiar del CD proporcionado y Pegar el o los archivos que se deseen simular, teniendo cuidado de pegar tanto el archivo de parúmefros como el programa Matlab/Simulink, en el directorio C:\MatlabS.l\bin, creado por el archivo de instalación de Matlab. Es decir, si desea simular el modelo dinámico del MI trifásico sin carga (Tabla I), deberá Pegar en la dirección C:\MatlabS.l\bin los archivos trefasam y rnod3frni.mdl.

4. Una vez abierto el paquete cornputacional Matlab, lo primero que se visualiza es el llamado "Workspace" como se muestra a continuación:

Figurn A - I \Vorkspncc de \lnrlnh, p igin2 < I ? inicio.

A-5

híAiVUAL PARA EL USO DE LOSPROGRAMAS DE SIMULACIbNDEL MI

Dentro del Workspace se debe escribir el nombre del “urchivo de parúiiietros” seleccionado y que corresponde al modelo que se desea simular, por ejemplo escriba: trefasa SIN la extensión . in y oprima la tecla Enter, e inmediatamente se abrirá el archivo de Simulink correspondiente a dicho modelo, junto con las ventanas de los osciloscopios que desplegarán alguna variable en particular según se hayan seleccionado.

Lo que se observará después de escribir el nombre del archivo de parámetros es:

Figura A-2 Programa de Simulink correspondiente a mod3fmi.mdl, con sus respectivos osciloscopios.

5. En la figura 2 se puede observar que existe un menú en la parte superior de la pantalla, seleccione el menú Simulation y haga clic en Start. Enseguida, abra cualquiera de las ventanas de los osciloscopios y observará que el programa esta siiizulaizúo el modelo seleccionado. Espere a que termine de simular para observar las demás variables (osciloscopios).

Cuando termine de observar las variables deseadas y ya no desee simular de nuevo el programa cierre la ventana principal de Simulink (figura 2) haciendo clic en el botón correspondiente para realizar esta acción. Con esto se estará en disposición de simular un nuevo programa, para lo cual realice los pasos del 1 al 5.

En caso de que se desee modificar los parámetros del MI de algunos de los programas, realice lo siguiente:

6 . En el workpoce de Matlab (figura l), seleccione el menú File y haga clic en Open, con lo que aparecerá la siguiente ventana en la que deberá de proporcionar la tuta correcta (Le. D:\Modelos LA con CV) donde se encuentran los archivos de parámetros (extensión . n i ) y seleccionar el que desea modificar.

A-6

MANUAL PARA EL USODELOSPROGRIMASDESI~~~UUCIONDEL MI

Figura A-3 Ventana para abrir y modificar los archivos de parámetros.

Después de proporcionar la ruta correcta y seleccionar el archivo de parámetros deseado, haga clic en Abrir y se visualizará la siguiente ventana (que corresponde al editor de archivos .M de Matlab), i.e. si quisiera abrir el archivo de parámetros llamado trefasa.m, io que vena es lo siguiente:

Figura A-4 Ventana para modificar el archivo de parámetros.

Una vez modificado el programa de archivo de parámetros, guárdelo (en el menú File, haga clic en Save) y si desea simularlo repita los pasos del 1 al 5.

A-7

MAhWALPARA EL USODELOSPROGRIMASDESlMUUCi~NDELMl

La forma como se encuentran distribuidas las carpetas en el disco compacto (CD), donde se encuentran los programas de simulación, se presenta a continuación.

Figura A-5 Distribución de las carpetas que contienen los programas de simulación.

A.7 Desarrollo de un ejemplo de simulación

En esta sección se lleva a cabo una simulación del programa sislinl.m, que corresponde al controlador del MI basado en linealización entrada-salida empleando el álgebra de Lie, ver tabla IV, a manera de ejemplo.

1. Se simulará el programa sislin1.m 2. Se ejecuta el programa computacional Matlab. 3. Copiar del CD proporcionado, los archivos sislin1.m y sislinml.md1 ai

directorio “bin” de Matlab, (C:\Matlab5.3\bin\ ). 4. Dentro del Workspace se escribe el nombre del “arcliivo depará»ietros”,

oprima la tecla Enter e inmediatamente se visualizará la siguiente ventana de simulink.

Figura A-6 Programa de Simulink correspondiente a sislinmi.mdl, con sus respectivos osciloscopios.

I

MANUAL PARA EL uso DELOS P R O C R ~ M A S D E S I M U U C I ~ N D E L M I

5. A continuación, en el menú Simulation se hace clic en Start para comenzar la simulación, y después de que el tiempo de simulación se termine, se abrirán los osciloscopios (como referencia para saber cuando ha terminado la simulación se recomienda abrir cualquiera de los osciloscopios disponibles, en la barra de tareas, para observar el termino de la simulación).

Para finalizar con este ejemplo se presentarán las gráficas (osciloscopios) obtenidas de la simulación del programa seleccionado.

Observación: el fondo de los osciloscopios presentados aqui es blanco, aunque el fondo de los que se obtienen de la simulación es blanco, esto se debe a que se hicieron ajustes para que al imprimir este documento sea posible Observar las señales dentro de dichos osciloscopios.

Para las siguientes gráficas en donde existen dos colores, estas se identifican de la siguiente manera: el color azul corresponde a las señales de “referencia” y el color verde a las señales “reales”.

-Referencia -Real

Figura A-7 Voltajes de entrada al estator del modelo ‘ab‘ del MI, Un (izquierda) y üb (derecha).

Figura A-8 Voltajes que entrega el controlador Va (izquierda), Vb (derecha).

Figura A-9 Corrientes de fase en el estator para el modelo ‘ab’, i. (izquierda) e ih (derecha)

MANUAL PARA EL USO DE LOS PROGRAMAS DE SlMULACldN DEL MI

. . . . . . . . ... . . . . . . . . . .

Figura A-10 Flujos de fase en el rotor, PHI. (izquierda), PHla (derecha)

I - Referencia - Real 1

Figura A-11 N o m del flujo del rotor al cuadrado PHlref- vs. flujo real PHI'


Figura A-12 Posición de referencia vs. real (izquierda), velocidad de referencia vs. real (derecha).

Figura A-13 Error de posición (izquierda), error de velocidad (derecha).

Figura A-14 índice de desempeño IAE de la posición (izquierda), IAE de la velocidad (derecha).

A-IO

MANUAL PARA EL USO DE LOS PROGRAMAS DE SIMULACION DEL Ail

Figura A-15 Índice de desempeiio ITAE de la posición (izquierda), ITAE de la velocidad (derecha).

........ .: ......... : .......... : ......... I.. .......

Figura A-16 Voltajes y conientes de alimentación trifásicos obtenidos al aplicar la transformación de coordenadas inversa a los voltajes entregados por el controlador (figura A-8), V,, (izquierda), la, (derecha).

Para finalizar con la simulación, cierre la ventana correspondiente al programa de simulink, es decir sislinml.mdl, con lo que se estará listo para simular un nuevo programa.

Con esto se llega al término de este manual, para mayor información sobre alguna duda específica sobre los programas, contactar a:

Ing. Miguel A. Méndez Bolio e-mail: menbol~~hotn~ail.com

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