REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITCNICO

SANTIAGO MARIO EXTENSIN MARACAY

ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL

CENTRO DE GRAVEDAD

Prof. Autores:

Ing. Marcos Revette Gutierrez Jehison

Maracay, Diciembre de 2014

INTRODUCCIN

Hasta ahora se ha supuesto que la atraccin ejercida por la Tierra sobre un

cuerpo rgido poda representarse por una sola fuerza W. Esta fuerza, denominada

fuerza de gravedad o peso del cuerpo, deba aplicarse en el centro de gravedad del

cuerpo. De hecho, la Tierra ejerce una fuerza sobre cada una de las partculas que

constituyen al cuerpo. En este sentido, la accin de la Tierra sobre un cuerpo rgido

debe representarse por un gran nmero de pequeas fuerzas distribuidas sobre todo el

cuerpo. Sin embargo, en este trabajo se aprender que la totalidad de dichas fuerzas

pequeas puede ser reemplazada por una sola fuerza equivalente W. Tambin se

aprender como determinar el centro de gravedad, esto es, el punto de aplicacin de

la resultante W, para cuerpos de varias formas.

En la primera parte del trabajo se describen cuerpos bidimensionales como

placas planas y alambres que estn contenidos en un plano dado. Se introducen dos

conceptos que estn muy relacionados con la determinacin del centro de gravedad

de una placa o de un alambre: el concepto de centroide de un rea o de una lnea y el

concepto del primer momento de un rea o de una lnea con respecto a un eje dado.

Tambin se aprender que el clculo del rea de una superficie de revolucin o

del volumen de un cuerpo de revolucin est directamente relacionado con la

determinacin del centroide de la lnea o del rea utilizada para generar dicha

superficie o cuerpo de revolucin (teoremas de Pappus-Guldinus). Adems, la

determinacin del centroide de un rea simplifica el anlisis de vigas sujetas a cargas

distribuidas y el clculo de las fuerzas ejercidas sobre superficies rectangulares

sumergidas, como compuertas hidrulicas y porciones de presas. Al final se aprender

como determinar tanto el centro de gravedad de cuerpos tridimensionales como el

centroide de un volumen y los primeros momentos de dicho volumen con respecto a

los planos coordenados.

Centro de Gravedad

Es el punto de aplicacin de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que

actan sobre las distintas masas materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento

respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el

mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen

dicho cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto

respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos

materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo (dicho

punto no necesariamente corresponde a un punto material del cuerpo, ya que puede

estar situado fuera de l. En el caso de una esfera hueca, el CG est situado en el

centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo).

Por ejemplo, si consideramos dos puntos materiales A y B, cuyas masas

respectivas valgan m1 y m2; adems los suponemos rgidamente unidos por una

varilla de masa despreciable, a fin de poder considerarlos como formando parte de un

cuerpo slido. La gravedad ejerce sobre dichos puntos fuerzas paralelas m1g y m2g

que admiten una resultante cuyo punto de aplicacin recibe el nombre de centro de

gravedad o cancroide.

Figura 1: representacin de la fuerza de gravedad sobre cuerpos.

En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicacin

de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos

materiales que constituyen el cuerpo.

Centro de masa y centro de gravedad: El centro de masas coincide con el centro

de gravedad slo si el campo gravitatorio es uniforme; es decir, viene dado en todos

los puntos del campo gravitatorio por un vector de magnitud y direccin constante.

Centro geomtrico y centro de masa: El centro de geomtrico de un cuerpo

material coincide con el centro de masa si el objeto es homogneo

(densidad uniforme) o si la distribucin de materia en el objeto tiene ciertas

propiedades, tales como simetra.

Propiedades del centro de gravedad:

Un objeto apoyado sobre una base plana estar en equilibrio estable si la

vertical que pasa por el centro de gravedad corta a la base de apoyo. Lo expresamos

diciendo que el CG cae dentro de la base de apoyo. Adems, si el cuerpo se aleja algo

de la posicin de equilibrio, aparecer un momento restaurador y recuperar la

posicin de equilibrio inicial. No obstante, si se aleja ms de la posicin de equilibrio,

el centro de gravedad puede caer fuera de la base de apoyo y, en estas condiciones, no

habr un momento restaurador y el cuerpo abandona definitivamente la posicin de

equilibrio inicial mediante una rotacin que le llevar a una nueva posicin de

equilibrio.

Clculo del centro de gravedad:

Figura 2: orientacin de un cuerpo en el plano cartesiano.

El centro de gravedad de un cuerpo K viene dado por el nico vector que

cumple que:

Para un campo gravitatorio uniforme, es decir, uno en que el vector de campo

gravitatorio es el mismo en todos los puntos, la definicin anterior se reduce a una

equivalente a la definicin del centro de masas.

Para el campo gravitatorio creado por un cuerpo msico cuya distancia al objeto

considerado sea muy grande comparado con las dimensiones del cuerpo msico y del

propio objeto, el centro de gravedad del objeto vienen dado por:

Por ejemplo para una barra homognea de longitud L orientada hacia un planeta

lejano, y cuyo centro de gravedad distan del centro de gravedad del planeta una

distancia

El centro de gravedad de la barra est situado a una distancia del centro del

planeta dada por:

Centro de Gravedad de un Cuerpo Bidimensional (Placa y Alambre)

Para iniciar, considere una placa plana horizontal (figura 3). La placa puede

dividirse en n elementos pequeos. Las coordenadas del primer elemento se

representan con x2 y y2 las del segundo elemento se representan con x2 y y2, etc. Las

fuerzas ejercidas por la Tierra sobre los elementos de la placa sern representadas,

respectivamente, con AW,, AW2, . . ., AW. Estas fuerzas o pesos estn dirigidos

hacia el centro de la Tierra; sin embargo, para todos los propsitos prcticos, se puede

suponer que dichas fuerzas son paralelas. Por tanto, su resultante es una sola fuerza

en la misma direccin. La magnitud W de esta fuerza se obtiene a partir de la suma de

las magnitudes de los pesos de los elementos:

Para obtener las coordenadas x y y del punto G, donde debe aplicarse la

resultante W, se escribe que los momentos de W con respecto a los ejes y y x son

iguales a la suma de los momentos correspondientes de los pesos elementales, esto es

Si ahora se incrementa el nmero de elementos en los cuales se ha dividido la

placa y simultneamente se disminuye el tamao de cada elemento se obtienen, en el

lmite, las siguientes expresiones:

Estas ecuaciones definen el peso W y las coordenadas x y y del centro de gravedad G

de una placa plana. Se pueden derivar las mismas ecuaciones para un alambre que se

encuentra en el plano xy (figura 4). Se observa que usual mente el centro de gravedad

G de un alambre no est localizado sobre este ltimo.

Figura 3: representacin de una placa Figura 4: representacin de un alambre.

Centroide y reas de figuras geomtricas conocidas

En el caso de una placa plana homognea de espesor uniforme, la magnitud W

del peso de un elemento de la placa puede expresarse como

W = yt A

Donde y = peso especfico (peso por unidad de volumen) del material

t = espesor de la placa

A = area del elemento

En forma similar, se puede expresar la magnitud W del peso de toda la placa como

W = ytA

Donde A es el rea total de la placa.

Si se emplean las unidades de uso comn en Estados Unidos, se debe expresar

el peso especfico y en lb/ft3, el espesor t en pies y las reas A y A en pies

cuadrados. Entonces, se observa que W y W estarn expresados en libras. Si se usan

las unidades del SI, se debe expresar a y en N/m \ a t en metros y a las reas A y A

en metros cuadrados; entonces, los pesos W y W estarn expresados en newtons.

Si se sustituye a W y a W en las ecuaciones de momento y se divide a todos

los trminos entre yt, se obtiene

Si se incrementa el nmero de elementos en los cuales se divide el rea A y

simultneamente se disminuye el tamao de cada elemento, se obtiene en el lmite

Estas ecuaciones definen las coordenadas x y y del centro de gravedad de una placa

homognea.

En las tablas que se presentaran a continuacin se expondrn los centros de

gravedad (centroide) de las figuras geomtricas ms comunes o las ms usadas para

ejercicios prcticos, adems de estar presentes en la mayora de casos que ameritan

un estudio de centroide y un anlisis a fondo mediante la mecnica.

Figura 5: tabla de reas y centroide

Figura 6: tabla de reas y centroide

Primer Momento de rea o Superficie

La integral dA en las ecuaciones de la seccin anterior se conoce como el

primer momento del rea A con respecto al eje y y se representa con Qy. En forma

similar, la integral dA define el primer momento de A con respecto al eje x y se

representa con Qx. As se escribe

Si comparamos las ecuaciones que definen las coordenadas y de la seccin

anterior se observa que los primeros momentos del rea A pueden ser expresados

como los productos del rea con las coordenadas de su centroide:

A partir de las ecuaciones anteriores se concluye que las coordenadas del centroide de

un rea pueden obtenerse al dividir los primeros momentos de dicha rea entre el rea

misma. Los primeros momentos de un rea tambin son tiles en la mecnica de

materiales para determinar los esfuerzos de corte en vigas sujetas a cargas

transversales. Por ltimo, a partir de las ecuaciones antes descriptas se observa que si

el centroide de un rea est localizado sobre un eje coordenado, entonces el primer

momento del rea con respecto a ese eje es igual a cero. De manera inversa, si el

primer momento de un rea con respecto a un eje coordenado es igual a cero,

entonces el centroide del rea est localizado sobre ese eje. Se pueden utilizar

relaciones similares a partir de las ecuaciones anteriores para definir los primeros

momentos de una lnea con respecto a los ejes coordenados y para expresar dichos

momentos como los productos de la longitud L de la lnea y las coordenadas y de

su centroide.

Figura 7: tabla momentos y centroide de figuras comunes y slidos.

Determinacin del Centro de Gravedad para Figuras Complejas

MTODO DE INTEGRACIN

El centroide de un rea limitada por curvas analticas (esto es, curvas definidas por

ecuaciones algebraicas) por lo general se determina evaluando las integrales que

aparecen en las ecuaciones de la seccin de centroide y reas de figuras conocidas.

Si el elemento de rea dA es un pequeo rectngulo de lados dx y dy, la evaluacin

de cada una de estas integrales requiere una integracin doble con respecto a x y y.

Tambin es necesaria una integracin doble si se usan coordenadas polares para las

cuales dA es un elemento de lados dr y rd. Sin embargo, en la mayora de los casos

es posible determinar las coordenadas del centroide de un rea con una sola

integracin. Esto se logra seleccionando a dA como un rectngulo o tira delgada o

como un sector circular delgado (figura 5.12A); el centroide de un rectngulo delgado

est localizado en su centro y el centroide de un sector delgado est localizado a una

distancia de

a partir de su vrtice (como en el caso de un tringulo). Entonces, las

coordenadas del centroide del rea en consideracin se obtienen expresando que el

primer momento del rea total con respecto a cada uno de los ejes coordenados es

igual a la suma (o integral) de los momentos correspondientes de los elementos del

rea. Representando con y las coordenadas del centroide del elemento dA, se

escribe

Si el rea A no se conoce an, esta tambin puede calcularse a partir de estos

elementos.

Figura 8: centroides y reas de elementos diferenciales.

Las coordenadas y del centroide del elemento del rea dA deben expresarse en

trminos de las coordenadas de un punto localizado sobre la curva que limita al rea

en consideracin. Adems, el rea del elemento dA debe expresarse en trminos de

las coordenadas de dicho punto y de los diferenciales apropiados. Esto se ha hecho en

la figura 9 para tres tipos comunes de elementos; la porcin de circulo de la parte c

debe utilizarse cuando la ecuacin de la curva que limita al rea este dada en

coordenadas polares. Deben sustituirse las expresiones apropiadas en las formulas

anteriores y debe utilizarse la ecuacin de la curva que limita al rea para expresar a

una de las coordenadas en trminos de la otra. De esta forma, se reduce a una sola

integracin. Una vez que se ha determinado el rea y han sido evaluadas las integrales

en las ecuaciones anteriores, estas ecuaciones pueden resolverse para las coordenadas

y del centroide del rea. Cuando una lnea est definida por una ecuacin

algebraica, puede determinarse su centroide al evaluar las integrales que aparecen en

las ecuaciones siguientes:

Figura 9: centroides y reas de elementos diferenciales.

El diferencial de longitud dL debe reemplazarse por una de las siguientes expresiones,

dependiendo de cul coordenada x, y o , se seleccione como la variable

independiente en la ecuacin utilizada para definir la lnea (estas expresiones pueden

derivarse con el uso del teorema de Pitgoras):

(

)

(

)

(

)

Despus de que se ha utilizado la ecuacin de la lnea para expresar una de las

coordenadas en trminos de la otra, se puede llevar a cabo la integracin y se pueden

resolver las ecuaciones para las coordenadas y del centroide de la lnea.

METODO DE AREA

Estos teoremas fueron formulados primero por el gemetra griego Pappus durante el

siglo m despus de Cristo y fueron replanteados posteriormente por el matemtico

suizo Guldinus o Guldin (1577-1643), se refieren a superficies y cuerpos de

revolucin. Una superficie (le revolucin se genera mediante la rotacin de una curva

plana con respecto a un eje fijo. Por ejemplo (figura 10), se

Figura 10

puede obtener la superficie de una esfera rotando un arco semicircular ABC con

respecto al dimetro AC; se puede producir la superficie de un cono rotando una lnea

recta AB con respecto a un eje AC y se puede generar la superficie de un toroide o

anillo rotando la circunferencia de un circulo con respecto a un eje que no interseca a

dicha circunferencia. Un cuerpo de revolucin se genera mediante la rotacin de un

rea plana alrededor de un eje fijo. Como se muestra en la figura 11, se puede generar

una esfera, un cono y un toroide rotando la forma apropiada con respecto al eje que se

indica.

Figura 11

TEOREMA I. El rea de una superficie de revolucin es igual a la longitud de la

curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha

curva al momento de generar la superficie.

Demostracin. Considrese un elemento dL de la lnea L (figura 12) que rota

alrededor del eje x. El rea dA generada por el elemento dL es igual a 2 y dL. Por

tanto, el rea total generada por L es . se encontr que la integral

es igual a , por tanto, se tiene

Figura 12

donde es la distancia recorrida por el centroide de L (figura 12). Se debe sealar

que la curva generatriz no debe cruzar el eje sobre el cual rota; si lo hiciera, las dos

secciones, una a cada lado del eje, generaran reas que tendran signos opuestos y el

teorema no podra aplicarse.

TEOREMA II. El volumen de un cuerpo de revolucin es igual ni rea generatriz

multiplicada por la distancia recorrida por el centroide del rea al momento de

generar el cuerpo.

Demostracin. Considrese un elemento dA del rea A, el cual se rota con respecto al

eje x (figura 13). El volumen dV generado por

Figura 13

el elemento dA es igual a dA. Por tanto, el volumen total generado por A es

y, puesto que la integral es igual a , se tiene

donde es la distancia recorrida por el centroide de A. Es importante sealar que

el teorema no puede aplicarse si el eje de rotacin interseca al rea generatriz.

Los teoremas de Pappus-Guldinus proporcionan una forma sencilla de calcular las

reas de superficies de revolucin y los volmenes de cuerpos de revolucin. En

forma inversa, estos teoremas se emplean para determinar el centroide de una curva

plana cuando el rea de la superficie generada por la curva es conocida o para

determinar el centroide de un rea plana cuando el volumen del cuerpo generado por

el rea es conocido.

EJEMPLO

Determine la ubicacin del centroide del arco mostrado.

Como el arco es simtrico con respecto al eje x, = 0. Se selecciona un elemento

diferencial, como se muestra en la figura, y se determina la longitud del arco por

integracin.

El primer momento del arco con respecto al eje y es

[ ]

Como Qy = xL, se escribe