CENTRO DE GRAVEDAD

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I. TITULO: CENTRO DE GRAVEDAD

II. OBJETIVO

Determinar el centro de gravedad de figuras homogéneas planas y

alambres homogéneos.

III. FUNDAMENTO TEÓRICO

CENTRO DE GRAVEDAD.

El centro de gravedad (CG) es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas masas materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo (dicho punto no necesariamente corresponde a un punto material del cuerpo, ya que puede estar situado fuera de él. En el caso de una esfera hueca, el CG está situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo).

CONCEPTOS RELACIONADOS A CENTRO DE GRAVEDAD:

Por ejemplo, si consideramos dos puntos materiales A y B, cuyas masas respectivas valgan m1 y m2; además los suponemos rígidamente unidos por una varilla de masa despreciable, a fin de poder considerarlos como formando parte de un cuerpo sólido. La gravedad ejerce sobre dichos puntos sendas fuerzas paralelas m1g y m2g que admiten una resultante cuyo punto de aplicación recibe el nombre de centro de gravedad o centroide.

CENTRO DE GRAVEDAD

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En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo.

Centro de masa y centro de gravedad: El centro de masas coincide con el centro de gravedad sólo si el campo gravitatorio es uniforme; es decir, viene dado en todos los puntos del campo gravitatorio por un vector de magnitud y dirección constante.

Centro geométrico y centro de masa: El centro de geométrico de un cuerpo material coincide con el centro de masa si el objeto es homogéneo (densidad uniforme) o si la distribución de materia en el objeto tiene ciertas propiedades, tales como simetría.

PROPIEDADES DEL CENTRO DE GRAVEDAD:

Un objeto apoyado sobre una base plana estará en equilibrio estable si la vertical que pasa por el centro de gravedad corta a la base de apoyo. Lo expresamos diciendo que el CG cae dentro de la base de apoyo.

Además, si el cuerpo se aleja algo de la posición de equilibrio, aparecerá un momento restaurador y recuperará la posición de equilibrio inicial. No obstante, si se aleja más de la posición de equilibrio, el centro de gravedad puede caer fuera de la base de apoyo y, en estas condiciones, no habrá un momento restaurador y el cuerpo abandona definitivamente la posición de equilibrio inicial mediante una rotación que le llevará a una nueva posición de equilibrio.

CÁLCULO DEL CENTRO DE GRAVEDAD:

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El centro de gravedad de un cuerpo K viene dado por el único vector que cumple que:

Para un campo gravitatorio uniforme, es decir, uno en que el vector de campo gravitatorio (g) es el mismo en todos los puntos, la definición anterior se reduce a una equivalente a la definición del centro de masas.

Para el campo gravitatorio creado por un cuerpo másico cuya distancia al objeto considerado sea muy grande comparado con las dimensiones del cuerpo másico y del propio objeto, el centro de gravedad del objeto vienen dado por:

Por ejemplo para una barra homogénea de longitud L orientada hacia un planeta lejano, el centro de gravedad de la barra está situado a una distancia del centro del planeta dada por:

TEOREMAS DE PAPPUS Y GULDINUS: Se usan los teoremas de Pappus y Guldinus para encontrar las superficies y los volúmenes de cualquier objeto de revolución siempre que las curvas y áreas generadoras no crucen el eje respecto al cual son rotadas.

Una superficie de revolución se genera rotando una curva plana

alrededor de un eje fijo en el plano de la curva Un volumen de revolución se genera rotando un área plana alrededor de

un eje fijo en el plano del área

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Área de una Superficie: El área de una superficie de revolución =

producto de la longitud de la curva por la distancia que recorre el centroide al generar la superficie: 𝑨 = 𝜽�⃑� 𝑳

Volumen: El Volumen de un cuerpo de revolución = producto del área

generadora por la distancia viajada por el centroide al generar el volumen: 𝑽 = 𝜽�⃑� 𝑨

EJEMPLO: Demuestre que el área de la superficie de una esfera es 𝑨 = 𝟒𝝅𝑹𝟐 y su

volumen 𝑽 =𝟒

𝟑𝝅𝑹𝟑.

Solución Área de la superficie generada por el semicírculo rotando alrededor del

eje x.

Para el centroide: �⃑� =𝟐𝑹

𝝅

Para la superficie área: 𝑨 = 𝜽�⃑� 𝑳

𝑨 = 𝟐𝝅 ∗ (𝟐𝑹

𝝅) ∗ 𝝅𝑹 = 𝟒𝝅𝑹𝟐.

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Volumen generado por la rotación de un área semicircular alrededor del eje x.

Para el centroide: �⃑� =𝟒𝑹

𝟑𝝅

Para el volumen: 𝑽 = 𝜽�⃑� 𝑨

𝑽 = 𝟐𝝅 ∗ (𝟒𝑹

𝟑𝝅) ∗

𝟏

𝟐𝝅𝑹𝟐 =

𝟒

𝟑𝝅𝑹𝟑.

ECUACIONES PARA LÍNEAS, ÁREAS, VOLÚMENES, PESOS

ÁREAS:

VOLÚMENES:

PESOS:

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IV. MATERIALES E INSTRUMENTOS.

Accesorios de soporte universal.

Figuras planas de madera.

Alambres.

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Plomada.

Regla graduada.

V. PROCEDIMIENTO

1. Escoger una figura del grupo proporcionado.

2. Peque un papel a la figura.

3. Mediante una cuerda, que en uno de sus extremos tenga una plomada,

suspenda la figura del soporte, de modo que quede en equilibrio.

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4. Marque sobre el papel 2 puntos que determinen la recta que forma el hilo

que suspende la plomada. Luego una los puntos trazando la recta

respectiva.

5. Repita el procedimiento para otro punto de la misma figura.

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6. Escoja otras dos figuras planas y determine el centro de gravedad de

ellas.

7. Repita los pasos anteriores, para dos alambres.

VI. MANEJO DE DATOS Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS

1. Explique por qué la intersección de las rectas trazadas en las figuras

del experimento define el centro de gravedad de la figura.

Se debe saber que: “En el proceso del experimento, la posición del centro

de gravedad de figuras regulares está en uno de los puntos de la recta que

forma el hilo que suspende la plomada en equilibrio desde cualquier vértice

de la figura, por lo tanto al suspender la plomada con el hilo desde dos

vértices distintos de la figura, su centro de gravedad estará ubicado en la

intersección de las rectas que forma el hilo ya que es el punto en común que

nos garantiza que efectivamente es el punto más cercano al centro de

gravedad de la figura ”.

2. Determine las coordenadas del centro de gravedad de las figuras,

respecto a un punto que previamente defina.

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3. Determine analíticamente el centro de gravedad, de las figuras

planas de madera y de los alambres.

PROCEDIMIENTO ANALITICO:

Previamente debemos saber que para hallar el centro de gravedad en

figuras discretas se deberá tomar en cuenta los siguientes criterios ya

establecidos:

𝑥𝐶𝐺 =∑𝐿𝑥

∑𝐿, 𝑦𝐶𝐺 =

∑𝐿𝑦

∑𝐿

𝑥𝐶𝐺 =∑𝐴𝑥

∑𝐴, 𝑦𝐶𝐺 =

∑𝐴𝑦

∑𝐴

𝑥𝐶𝐺 =∑𝑉𝑥

∑𝑉, 𝑦𝐶𝐺 =

∑𝑉𝑦

∑𝑉

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PARA LA FIGURA I DE MADERA:

a) Procedemos a dividir convenientemente la FIGURA I, para luego hallar

sus dimensiones de cada segmento como indica en la Fig. 4.

b) Procedemos hallar el área, las posiciones del centro de gravedad y el

volumen de cada uno de las figuras discretas obtenidas en la Fig. 4,

usando los criterios establecidos anteriormente según sea la figura

discreta.

TABLA I

FIG.

𝑨𝒏(𝒄𝒎

𝟐)

𝑿𝒏(𝒄𝒎)

𝒀𝒏(𝒄𝒎)

𝑿𝒏. 𝑨𝒏(𝒄𝒎𝟑)

𝒀𝒏. 𝑨𝒏(𝒄𝒎

𝟑)

I

64

10

1.6

640

102.4

II

6.27

9.65

4.15

60.5055

26.0205

III

27.59

1.55

7.65

42.7645

211.0635

∑

97.86

743.27

339.484

3.1 cm

x

y

0,0

20cm

3.2

cm

8.7cm

1.9

cm

3.3cm

8.9

cm

4.9cm

I

III

II

Fig. 4

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Dónde: 𝑿𝑪𝑮 =∑(𝑿𝒏.𝑨𝒏)

∑𝑨𝒏 𝒚 𝒀𝑪𝑮 =

∑(𝒀𝒏.𝑨𝒏)

∑𝑨𝒏

c) Con los datos obtenidos en la TABLA I, procedemos hallar el centro

de gravedad (C.G.) de la primera figura de madera (FIGURA I).

𝑋𝐶𝐺 =∑(𝑋𝑛. 𝐴𝑛)

∑𝐴𝑛=

743.27

97.86= 7.60𝑐𝑚

𝑌𝐶𝐺 =∑(𝑌𝑛. 𝐴𝑛)

∑𝐴𝑛=

339.484

97.86= 3.47𝑐𝑚

PARA LA FIGURA II DE MADERA:

a) Procedemos a dividir convenientemente la FIGURA II, para luego hallar

sus dimensiones de cada segmento como indica en la Fig. 5

0,0

5cm

15

cm

10

.2cm

3.5

cm

10

cm

15

.4cm

9

.8cm

2cm

9.8cm 10.1cm

m

39.2

3𝜋

39.2

3𝜋

7.9cm

6cm

6cm 13.9cm

Fig. 5

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b) Procedemos hallar el área, el volumen y las posiciones del centro de

gravedad de cada uno de las figuras discretas obtenidas en la Fig. 5,

usando los criterios establecidos anteriormente según sea la figura

discreta.

TABLA II

FIG. 𝑨𝒏(𝒄𝒎𝟐) 𝑿𝒏(𝒄𝒎) 𝒀𝒏(𝒄𝒎) 𝑿𝒏. 𝑨𝒏(𝒄𝒎

𝟑) 𝒀𝒏. 𝑨𝒏(𝒄𝒎𝟑)

501.48 9.95 12.6 4989.726 6318.648

−96.04𝜋

4

39.2

3𝜋 25.2 −

39.2

3𝜋 -313.721 −

2420.208𝜋

4+ 313.731

-79 9.95 8.5 -786.05 -671.5

-45 17.9 5 -805.5 -225

∑ 𝟑𝟕𝟕. 𝟒 −𝟗𝟔. 𝟎𝟒𝝅

𝟒

3084.445 𝟓𝟕𝟑𝟓. 𝟖𝟑𝟗 − 𝟔𝟎𝟓. 𝟎𝟓𝟐𝝅

Dónde: 𝑿𝑪𝑮 =∑(𝑿𝒏.𝑨𝒏)

∑𝑨𝒏 𝒚 𝒀𝑪𝑮 =

∑(𝒀𝒏.𝑨𝒏)

∑𝑨𝒏

c) Con los datos obtenidos en la TABLA II, procedemos hallar el centro

de gravedad (C.G.) de la segunda figura de madera (FIGURA II).

𝑋𝐶𝐺 =∑(𝑋𝑛. 𝐴𝑛)

∑𝐴𝑛=

12337.78

1208.2014= 10.21𝑐𝑚

𝑌𝐶𝐺 =∑(𝑌𝑛. 𝐴𝑛)

∑𝐴𝑛=

15340.2084

1208.2014= 12.70𝑐𝑚

-

-

-

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PARA LA FIGURA III DEL ALAMBRE:

a) Procedemos a medir las longitudes de cada segmento de la FIGURA III

del alambre, como indica en la Fig. 6.

b) Procedemos hallar las posiciones del centro de gravedad y el área, de

cada uno de los segmentos que se detallan en la Fig.6, usando los

criterios descritos anteriormente según sea la ubicación de cada

segmento.

TABLA III

N 𝑳𝒏(𝒄𝒎) 𝑿𝒏(𝒄𝒎) 𝒀𝒏(𝒄𝒎) �⃑� 𝒏 = (𝒙𝒏, 𝒚𝒏)𝒄𝒎 𝑳𝒏. �⃑� 𝒏(𝒄𝒎𝟐)

1 8 7.4 4 (7.4,4) (59.20,32)

2 7.4 3.7 0 (3.7,0) (27.38,0)

3 11 0 5.5 (0,5.5) (0,60.50)

4 7.3 3.65 11 (3.65,11) (26.65,80.30)

5 𝝅(𝟓. 𝟒) 12.7 11.2 +2(5.4)

𝜋 (12.7,11.2 +

2(5.4)

𝜋) (215.39,244.90)

∑ 50.66 (328.62,417.70)

X

y L5=π (5.4)

0,0

L1=

8cm

L3=

11

cm

L4=7.3cm

10.8cm

m

5.4cm

L2=7.4cm

Fig. 6

CENTRO DE GRAVEDAD

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Dónde: �⃑� 𝑪𝑮 =∑(𝑳𝒏.�⃑� 𝒏)

∑𝑳𝒏= ( 𝑿𝑪𝑮, 𝒀𝑪𝑮)

c) Con los datos obtenidos en la TABLA III, procedemos hallar el centro

de gravedad (C.G.) de la tercera figura de alambre (FIGURA III).

𝑋𝐶𝐺 =∑(𝐿𝑛. 𝑋𝑛)

∑ 𝐿𝑛=

328.62

50.66= 6.5𝑐𝑚

𝑌𝐶𝐺 =∑(𝐿𝑛 . 𝑌𝑛)

∑ 𝐿𝑛=

417.7

50.66= 8.2𝑐𝑚

Por lo tanto: �⃑� 𝑪𝑮 = ( 𝟔. 𝟓𝟎, 𝟖. 𝟐𝟎)

4. Compare sus resultados con el obtenido experimentalmente.

TABLA IV

Los resultados obtenidos con los dos métodos, tanto experimental como

analítico tienen una pequeña variación.

Esto se debe a los errores sistemáticos y estadísticos cometidos en el

proceso del experimento.

5. Halle su porcentaje de error. Explique sus resultados.

De acuerdo a los datos obtenidos en la TABLA IV, Procedemos hallar el

error porcentual para cada figura, donde: %𝑬 = |𝑽𝒕𝒆𝒐𝒓−𝑽𝒆𝒙𝒑

𝑽𝒕𝒆𝒐𝒓| 𝒙𝟏𝟎𝟎

a) Error porcentual para la FIGURA I:

%𝐸(𝑿𝑪𝑮) = |7.60 − 7.70

7.60| 𝑥100 = 1.32%

%𝐸(𝒀𝑪𝑮) = |3.50 − 3.40

3.50| 𝑥100 = 2.86%

RESULTADOS OBTENIDOS

FIGURA

Método experimental Método analítico

𝑿𝑪𝑮(𝒄𝒎) 𝒀𝑪𝑮(𝒄𝒎) 𝑿𝑪𝑮(𝒄𝒎) 𝒀𝑪𝑮(𝒄𝒎)

I 7.70 3.40 7.60 3.50

II 10.90 11.90 10.20 12.70

III 7.40 8.50 6.50 8.20

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Los porcentajes de error que se ha obtenido son mínimos, debido a que

los resultados hallados experimental y analíticamente tienen una mínima

variación, por lo cual podemos deducir que el centro de gravedad está

muy próximo a los valores obtenido experimentalmente.

b) Error porcentual para la FIGURA II:

%𝐸(𝑿𝑪𝑮) = |10.20 − 10.90

10.20| 𝑥100 = 6.86%

%𝐸(𝒀𝑪𝑮) = |12.70 − 11.90

12.70| 𝑥100 = 6.30%

Los porcentajes de error son ligeramente mayores comparados al del

caso anterior, debido a que los resultados obtenidos experimental y

analíticamente varían un poco más, sin embargo están dentro del límite

aceptable de margen de error, por lo cual podemos concluir que el centro

de gravedad está cercano a los valores obtenido experimentalmente.

c) Error porcentual para la FIGURA III:

%𝐸(𝑿𝑪𝑮) = |6.50 − 7.40

6.50| 𝑥100 = 13.80%

%𝐸(𝒀𝑪𝑮) = |8.20 − 8.50

8.20| 𝑥100 = 3.66%

Para el caso de 𝑿𝑪𝑮, refleja un porcentaje de error algo significativo debido a que para el método analítico los resultados se han obtenido considerando a la forma de la figura como regular, sin embargo en el método experimental el resultado obtenido es propio del material usado (se ha observado que la forma del alambre utilizado presenta algunas imperfecciones). Por otro lado el error también se debe al mal manejo del experimento (propio de los alumnos). Es por ello que los resultados obtenidos en ambos métodos tienen una variación significativa.

Para el caso de 𝒀𝑪𝑮, El porcentaje de error que se ha obtenido es mínimo

y es cercano al valor verdadero.

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VII. CUESTIONARIO

1. ¿El centro de gravedad es igual al centro de masa de un cuerpo?

Explique

Como ya se ha definido en la parte teórica, en física además del centro de gravedad aparecen los conceptos de centro de masa y centro geométrico o centroide que, aunque pueden coincidir con el centro de gravedad, son conceptualmente diferentes.

Centro de masa y centro de gravedad:

El centro de masas coincide con el centro de gravedad sólo si el campo gravitatorio es uniforme; es decir, viene dado en todos los puntos del campo gravitatorio por un vector de magnitud y dirección constante.

Centro geométrico y centro de masa: El centro de geométrico de un cuerpo material coincide con el centro de masa si el objeto es homogéneo (densidad uniforme) o si la distribución de materia en el objeto tiene ciertas propiedades, tales como simetría. Para un objeto simétrico homogéneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico, pero no para un objeto irregular.

2. ¿Cómo haría para encontrar experimentalmente el centro de gravedad de una barra no homogénea?

El experimento que trata de justificar físicamente el método que permite encontrar el centro de gravedad de una barra, no homogénea es, colocándola sobre dos dedos, y deslizando estos hasta encontrarse, justo debajo del centro de gravedad de la barra. Ejemplo: Se dispone de una escoba. La cabeza de la escoba hace que su peso se encuentre distribuido de tal forma que el centro de gravedad del sistema no se encuentre en el centro del mango. La escoba se coloca, en horizontal, sobre los dedos índices de una persona, los dedos deben colocarse cerca del peso añadido (cabeza de la escoba), superado el centro geométrico del mango (IMAGEN I).

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IMAGEN I

A continuación, la persona empieza a desplazar sus dedos muy lentamente buscando el equilibrio de la escoba. Si el proceso es lento, los dedos índices acabaran juntándose justo debajo del centro de gravedad de la escoba, por lo que ésta, con independencia de cómo estén distribuidas las masas, permanecerá en equilibrio. Es decir, este procedimiento de ir acercando lentamente los dedos permite encontrar el centro de gravedad del sistema (IMAGEN II). De hecho, este es un método para encontrar el centro de gravedad de un cuerpo.

IMAGEN II

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VIII. CONCLUSIÓNES

Con las figuras que hemos trabajado realmente no hay exactitud en la obtención de su centro de Gravedad ya que existe una diferencia entre ambos métodos, y siempre varia pero solamente con la mínima Diferencia.

Los experimentos realizados en laboratorio nos ha servido para poder comprobar que los resultados teóricos con los resultados prácticos obtenidos a veces pueden variar significativamente debido a los errores procedimentales así como a los errores sistemáticos y estadísticos, que se cometen al realizar un experimento.

En la mayoría de los casos se comprobó que los resultados obtenidos con ambos métodos tienen una mínima diferencia por ende se asemejan más al valor verdadero del centro de gravedad de las figuras.

IX. OBSERVACIONES

En el proceso del experimento, los materiales (figuras) que se han

utilizado lo vamos a considerar como figuras regulares para asi facilitar

el análisis y posterior obtención del resultado que se desea, en este caso

su centro de gravedad.

En realidad las figuras usadas tienen imperfecciones ya sea de

fabricación asi como por el uso mismo, es por ello que algunos resultados

nos han salido ligeramente significativos.

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X. BIBLIOGRAFIA

Física general y experimental J. Goldemberg. Vol. I

Física experimental Skires

Física I Humberto Leyva N.

Física Tomo I Serway Raymond

Dinámica II: Mecánica Para Ingeniería y sus Aplicaciones – David J. MacGill &

Wilton King

http://www.monografias.com/trabajos71/centro-de-gravedad/centro-de-

gravedad2.shtml#ixzz3JcUjW9Vq