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VALIDACIN DE LOS MODELOS DE LNEAS EMPLEADOS ENLA SIMULACIN DE SISTEMAS DE DISTRIBUCIN DE

ENERGA ELCTRICA

SERGIO IVN JOYA SUREZALEXANDER PACHECO ARTEAGA

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDERFACULTAD DE INGENIERAS FSICO-MECNICAS

ESCUELA DE INGENIERAS ELCTRICA, ELECTRNICA Y DETELECOMUNICACIONES

BUCARAMANGA2010

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VALIDACIN DE LOS MODELOS DE LNEAS EMPLEADOS ENLA SIMULACIN DE SISTEMAS DE DISTRIBUCIN DE

ENERGA ELCTRICA

SERGIO IVN JOYA SUREZALEXANDER PACHECO ARTEAGA

Trabajo de grado para optar por el ttulo de Ingeniero Electricista

DirectorHermann Ral Vargas TorresDoctor Ingeniero Electricista

CodirectorIvn David Serna Surez

Ingeniero Electricista

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDERFACULTAD DE INGENIERAS FSICO-MECNICAS

ESCUELA DE INGENIERAS ELCTRICA, ELECTRNICA Y DETELECOMUNICACIONES

BUCARAMANGA2010

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A Dios quien ha sido mi gua a lo largo de

mi vida.

A mis padres Reinaldo Joya y Raquel Surez

por su amor y apoyo incondicional en todoslos momentos de mi vida, por la formacin

que me dieron y por los sacrificios que

hicieron para que esto sea posible.

A mi hermano Reinaldo Joya Surez por el

apoyo incondicional que me ha brindado y

que ha contribuido a este logro, que se

siempre estar ah, lo admiro.

A todos mis amigos, compaeros y en

general a todas las personas que han estado

acompandome en el transcurso de mi vida

y que de una u otra forma contribuyeron a

que esto sea posible.

Sergio

A Dios Altsimo por sus excelsas

bendiciones y su infinita misericordia sin lo

cual nada fuese posible.A Mara Santsima amparo y sostn de mi

corazn.

A mis padres Silvio Pacheco y Beatriz

Arteaga y dems familiares por su sacrificio

invaluable.

A Leonardo Ramn gran varn de Dios y a

mis hermanos en fe por su ayuda

incondicional.

A todos aquellos que directa o

indirectamente hicieron esto posible.

Alexander

.

7

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Los autores expresan sus ms sinceros agradecimientos a:

El profesor Hermann Ral Vargas Torres por su orientacin y apoyo en el desarrollo

de este proyecto.

Ivn David Serna Surez por su excelente orientacin, compromiso y constante apo-

yo brindado durante el desarrollo de este proyecto.

Todos y cada uno de los profesores de Escuela de Ingenieras Elctrica, Electrnica y

Telecomunicaciones por ser los gestores de nuestra formacin profesional.

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1.1. Mtodo de Carson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.1.1. Ecuaciones de Carson modificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.1.2. Matriz de impedancia primitiva de lneas areas . . . . . . . . . 38

1.1.3. Matriz de impedancia de fase en lneas areas . . . . . . . . . . 38

1.2. Modelo Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.3. Modelo Clarke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.4. Modelo Bergeron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.5. Modelo JMarti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.5.1. Explicacin fsica del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.5.2. Desarrollo matemtico del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.5.3. Sntesis de la impedancia equivalente . . . . . . . . . . . . . . . 521.5.4. Funcin de propagacin y convolucin . . . . . . . . . . . . . . 54

1.6. Modelo Noda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.6.1. Modelo en el dominio de las fases . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.6.2. Modelo ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

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ndice general

2.1. Seleccin del software de simulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.2. Descripcin del software de simulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.2.1. Modelos de lneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.2.1.1. Parmetros concentrados . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.2.1.2. Parmetros distribuidos constantes . . . . . . . . . . . 66

2.2.1.3. Parmetros distribuidos dependientes de la frecuencia 68

2.2.1.4. Elemento LCC del ATP . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.3. Descripcin del circuito de prueba inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.4. Simulacin del circuito de prueba inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.4.1. Modelo Bergeron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.4.1.1. Estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.4.1.2. Estado de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.4.2. Modelo Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.4.2.1. Estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.4.2.2. Estado de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.4.3. Modelo JMarti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.4.3.1. Estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.4.3.2. Estado de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.4.4. Modelo Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.4.4.1. Estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.4.4.2. Estado de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.4.5. Modelo Noda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.5. Seleccin del circuito de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.5.1. Circuito Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.5.2. Circuito Meissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.6. Simulacin de los circuitos de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.6.1. Simulacin del circuito Albn y Meissen . . . . . . . . . . . . . 91

3.1. Circuito de prueba inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.1.1. Estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.1.1.1. Modelo Pi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.1.2. Estado de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.1.2.1. Modelo Pi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

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ndice general

3.2. Circuito Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.2.1. Circuito Albn Estado estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.2.1.1. Modelo Pi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.2.2. Circuito Albn Estado de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.2.2.1. Modelo Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.2.3. Circuito Albn con las variaciones al mximo . . . . . . . . . . 108

3.2.3.1. Modelo Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.3. Validacin circuito Albn con datos reales . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.3.1. Estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.3.1.1. Falla monofsica en la fase C . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.3.1.2. Falla bifsica entre las fases A y B . . . . . . . . . . . . 113

3.3.2. Estado de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.3.2.1. Falla monofsica en la fase C . . . . . . . . . . . . . . . 1153.3.2.2. Falla bifsica entre las fases A y B . . . . . . . . . . . . 116

3.3.3. Explicacin errores encontrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.4. Circuito Meissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.4.1. Circuito Meissen estado estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.4.1.1. Modelo Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.4.2. Circuito Meissen estado de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.4.2.1. Modelo Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

A.1. Circuito de prueba inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

A.1.1. Estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133A.1.1.1. Modelo Bergeron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

A.1.1.2. Modelo JMarti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

A.1.1.3. Modelo Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

A.1.2. Estado de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

A.1.2.1. Modelo Bergeron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

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ndice general

A.1.2.2. Modelo JMarti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

A.1.2.3. Modelo Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

A.2. Circuito Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

A.2.1. Estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145A.2.1.1. Modelo Bergeron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

A.2.1.2. Modelo JMarti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

A.2.1.3. Modelo Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

A.2.2. Estado de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

A.2.2.1. Modelo Bergeron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

A.2.2.2. Modelo JMarti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

A.2.2.3. Modelo Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

A.2.3. Circuito Albn con las variaciones al mximo . . . . . . . . . . 175

A.2.3.1. Modelo Bergeron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175A.2.3.2. Modelo JMarti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

A.2.3.3. Modelo Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

B.1. Circuito Meissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

B.1.1. Estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

B.1.1.1. Modelo Bergeron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

B.1.1.2. Modelo JMarti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

B.1.2. Estado de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185B.1.2.1. Modelo Bergeron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

B.1.2.2. Modelo JMarti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

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1.1. Conductores y sus imgenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.2. Segmento de lnea en estrella, de cuatro hilos. Tomada de [Kersting,

2002] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.3. Segmento de modelo de lnea trifsica. Tomada de [Kersting, 2002] . . 40

1.4. Modelo de lnea Pi nominal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.5. Modelo de lnea Pi exacto Tomada de [Checa,2000]. . . . . . . . . . . . 42

1.6. Modelo de lnea de Bergeron sin prdidas. Tomada de [Watson and

Arrillada, 2003] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.7. Equivalente de la lnea con resistencias localizadas. Tomada de [Wat-

son and Arrillada, 2003] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.8. Equivalente de la mitad de la lnea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.9. Modelo de lnea de Bergeron con prdidas. . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.10. Funciones de peso. Tomada de [Marti, 1982]. . . . . . . . . . . . . . . . 491.11. Interpretacin fsica de la funcin de propagacin a1(t). . . . . . . . . . 50

1.12. Funciones de propagacin a1(t)y a2(t)en el modelo JMarti. Tomada

de [Marti, 1982] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.13. Modelo de lnea de JMarti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.14. Equivalente para sntesis deZeq. Tomada de [Marti, 1982] . . . . . . . . 53

1.15. Lnea multifases de parmetros distribuidos. . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.16. Circuito equivalente en el dominio del tiempo. Tomada de [Noda et al.,

1996] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.17. Circuito equivalente en el dominio del tiempo. Tomada de [Noda et al.,1996] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.1. Modelocon parmetros concentrados.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.2. Modelocon line constans (LCC). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.3. Modelo R-L con acople. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

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ndice de figuras

2.4. Modelo Bergeron con lines constans (LCC). . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.5. Modelo Clarke para lnea transpuesta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.6. Modelo K.C Lee para lnea no transpuesta. . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.7. Modelo JMarti con line constans (LCC). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.8. Modelo Semlyen con line constans (LCC). . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.9. Modelo T. Noda con line constans (LCC). . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.10. Datos de parmetros de las lneas LCC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.11. Sistema de prueba IEEE 4 Node Test Feeder. . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.12. Configuracin de las lneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.13. Montaje del circuito de prueba inicial en ATP para anlisis en estado

estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.14. Montaje del circuito de prueba inicial en ATP para anlisis en estado

de falla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.15. Modelo Bergeron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.16. Datos de la lnea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.17. Modelo Pi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.18. Modelo JMarti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.19. Modelo Clarke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.20. Configuracin de lnea Triangular asimtrica 1. . . . . . . . . . . . . . . 84

2.21. Configuracin de lnea Triangular asimtrica 2. . . . . . . . . . . . . . . 85

2.22. Configuracin de lnea vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.23. Configuracin de lnea horizontal suspensin dos estructuras. . . . . . 86

2.24. Configuracin de lnea horizontal de paso dos estructuras. . . . . . . . 86

2.25. Configuracin de lnea horizontal de paso tres estructuras. . . . . . . . 87

2.26. Circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.27. Configuracin de lnea horizontal de paso. . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.28. Configuracin de lnea horizontal en suspensin.. . . . . . . . . . . . . 89

2.29. Configuracin de lnea horizontal en bandera. . . . . . . . . . . . . . . 90

2.30. Circuito Meissen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.31. Montaje del circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.32. Montaje del circuito Meissen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.1. Cambio de configuracin de la lnea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.2. Errores modelo Pi al variar la configuracin Albn en estado estable. . 100

3.3. Errores en la longitud real del conductor. . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

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ndice de figuras

3.4. Errores en la magnitud de las impedancias en estado de prefalla (falla

monofsica). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.5. Errores en los ngulo de las impedancias en estado de prefalla (falla

monofsica). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.6. Errores en la magnitud de las impedancias en estado de prefalla (falla

bifsica). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.7. Errores en el ngulo de las impedancias en estado de prefalla (falla

bifsica). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.8. Errores en la magnitud de las impedancias en estado de falla (falla

monofsica). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.9. Errores en el ngulo de las impedancias en estado de falla (falla mo-

nofsica). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.10. Errores en la magnitud de las impedancias en estado de falla (fallabifsica). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.11. Errores en el ngulo de las impedancias en estado de falla (falla bifsica).117

3.12. Comparacin entre ondas de tensin sin variacin de la fuente y la

impedancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.13. Comparacin entre ondas de corriente sin variacin de la fuente y la

impedancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.14. Comparacin entre ondas de tensin con variacin de la fuente y la

impedancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.15. Comparacin entre ondas de corriente con variacin de la fuente y la

impedancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

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2.1. Datos del transformador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.2. Errores modelo Bergeron en el circuito inicial en estado estable. . . . . 76

2.3. Errores modelo Bergeron en el circuito inicial en estado de falla. . . . . 77

2.4. Errores modelo Pi en el circuito inicial en estado estable. . . . . . . . . 78

2.5. Errores modelo Pi en el circuito inicial en estado de falla. . . . . . . . . 782.6. Errores modelo JMarti en el circuito inicial en estado estable. . . . . . . 80

2.7. Errores en el modelo JMarti en el circuito inicial en estado de falla. . . 80

2.8. Errores modelo Clarke en el circuito inicial en estado estable.. . . . . . 82

2.9. Errores modelo Clarke en el circuito inicial en estado de falla. . . . . . 82

3.1. Errores modelo Pi del circuito inicial, variando la resistividad del te-

rreno en estado estable.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.2. Errores modelo Pi del circuito inicial, variando la distancia entre con-

ductores estado estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.3. Errores modelo Pi del circuito inicial al variar la configuracin en es-

tado estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.4. Errores modelo Pi del circuito inicial al variar la longitud del conduc-

tor en estado estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.5. Errores modelo Pi del circuito inicial al variar la resistividad del te-

rreno en estado de falla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.6. Errores modelo Pi del circuito inicial al variar la distancia entre con-

ductores en estado de falla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.7. Errores modelo Pi circuito inicial variacin de la configuracin estado

de falla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.8. Errores modelo Pi del circuito inicial al variar la longitud del conduc-

tor estado de falla.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

16

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17/193

ndice de Tablas

3.9. Errores modelo Pi al variar la resistividad del terreno Albn en estado

estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.10. Errores modelo Pi al variar de distancia entre conductores Albn en

estado estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.11. Errores modelo Pi al variar la longitud del conductor Albn en estado

estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.12. Errores modelo Pi al variar la resistividad en falla monofsica en el

circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.13. Errores modelo Pi al variar la resistividad en falla bifsica en el circui-

to Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.14. Errores modelo Pi al variar la resistividad en falla bifsica a tierra en

el circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.15. Errores modelo Pi al variar la resistividad en falla trifsica en el circui-to Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.16. Errores modelo Pi al variar la distancia entre conductores en falla mo-

nofsica en el circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.17. Errores modelo Pi al variar la distancia entre conductores en falla bi-

fsica en el circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104


fsica a tierra en el circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.19. Errores modelo Pi al variar la distancia entre conductores en falla tri-fsica en el circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.20. Errores modelo Pi al variar la configuracin en falla monofsica en el

circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.21. Errores modelo Pi al variar la configuracin en falla bifsica en el cir-

cuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.22. Errores modelo Pi al variar la configuracin en falla bifsica a tierra

en el circuito Albn.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.23. Errores modelo Pi al variar la configuracin en falla trifsica en el cir-

cuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.24. Errores modelo Pi al variar la longitud del conductor en falla monof-

sica en el circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.25. Errores modelo Pi al variar la longitud del conductor en falla bifsica

en el circuito Albn.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

17

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18/193

ndice de Tablas

3.26. Errores modelo Pi al variar la longitud del conductor en falla bifsica

a tierra en el circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.27. Errores modelo Pi al variar la longitud del conductor en falla trifsica

en el circuito Albn.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.28. Errores modelo Pi al variar todos los parmetros en estado estable

para el circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.29. Errores modelo Pi al variar todos los parmetros en falla monofsica


3.30. Errores modelo Pi al variar todos los parmetros en falla bifsica para

el circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.31. Errores modelo Pi al variar todos los parmetros en falla bifsica a

tierra para el circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.32. Errores modelo Pi al variar todos los parmetros en falla trifsica parael circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.33. Errores modelo Pi al variar la resistividad del terreno en el circuito

Meissen en estado estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.34. Errores modelo Pi al variar la distancia entre conductores en el circuito

Meissen en estado estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.35. Errores modelo Pi al variar la resistividad del terreno en falla mono-

fsica en el circuito Meissen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.36. Errores modelo Pi al variar la resistividad del terreno en falla bifsicaen el circuito Meissen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.37. Errores modelo Pi al variar la resistividad del terreno en falla bifsica

a tierra en el circuito Meissen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.38. Errores modelo Pi al variar la resistividad del terreno en falla trifsica

en el circuito Meissen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.39. Errores modelo Pi al variar la distancia entre conductores falla mono-



fsica en el circuito en el circuito Meissen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.41. Errores modelo Pi al variar la distancia entre conductores falla bifsica

a tierra en el circuito Meissen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.42. Errores modelo Pi al variar la distancia entre conductores en falla tri-


18

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19/193

ndice de Tablas

A.1. Errores modelo Bergeron variacin de la resistividad del terreno cir-

cuito de prueba inicial estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

A.2. Errores modelo Bergeron variacin de la distancia entre conductores

circuito de prueba inicial estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134A.3. Errores modelo Bergeron variacin de la configuracin circuito de prue-

ba inicial estado estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

A.4. Errores modelo Bergeron variacin de la longitud del conductor cir-


A.5. Errores modelo JMarti variacin de la resistividad del terreno circuito

de prueba inicial estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

A.6. Errores modelo JMarti variacin de la distancia entre conductores cir-


A.7. Errores modelo JMarti variacin de la configuracin circuito de prue-ba inicial estado estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

A.8. Errores modelo JMarti variacin de la longitud del conductor circuito


A.9. Errores modelo Clarke variacin de la resistividad del terreno circuito


A.10.Errores modelo Clarke variacin de la distancia entre conductores cir-


A.11.Errores modelo Clarke variacin de la configuracin circuito de prue-ba inicial estado estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

A.12.Errores modelo Clarke variacin de la longitud del conductor circuito


A.13.Errores modelo Bergeron variacin de la resistividad del terreno cir-

cuito de prueba inicial estado de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

A.14.Errores modelo Bergeron variacin de la distancia entre conductores

circuito de prueba inicial estado de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

A.15.Errores modelo Bergeron variacin de la configuracin circuito de prue-

ba inicial estado de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140A.16.Errores modelo Bergeron variacin de la longitud del conductor cir-


A.17.Errores modelo JMarti variacin de la resistividad del terreno circuito

de prueba inicial estado de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

19

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20/193

ndice de Tablas

A.18.Errores modelo JMarti variacin de la distancia entre conductores cir-


A.19.Errores modelo JMarti variacin de la configuracin circuito de prue-

ba inicial estado de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142A.20.Errores modelo JMarti variacin de la longitud del conductor circuito

de prueba inicial estado de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

A.21.Errores modelo Clarke variacin de la resistividad del terreno circuito

de prueba inicial estado de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

A.22.Errores modelo Clarke variacin de la distancia entre conductores cir-


A.23.Errores modelo Clarke variacin de la configuracin circuito de prue-

ba inicial estado de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

A.24.Errores modelo Clarke variacin de la longitud del conductor circuitode prueba inicial estado de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

A.25.Errores modelo Bergeron variacin de la resistividad del terreno Al-

bn estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145


Albn estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

A.27.Errores modelo Bergeron variacin de la configuracin Albn estado

estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

A.28.Errores modelo Bergeron variacin de la longitud del conductor Al-bn estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

A.29.Errores modelo JMarti variacin de la resistividad del terreno Albn

estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

A.30.Errores modelo JMarti variacin de la distancia entre conductores Al-


A.31.Errores modelo JMarti variacin de la configuracin Albn estado es-

table. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

A.32.Errores modelo JMarti variacin de la longitud del conductor Albn

estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149A.33.Errores modelo Clarke variacin de la resistividad del terreno Albn

estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

A.34.Errores modelo Clarke variacin de la distancia entre conductores Al-


20

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21/193

ndice de Tablas

A.35.Errores modelo Clarke variacin de la configuracin Albn estado es-

table. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

A.36.Errores modelo Clarke variacin de la longitud del conductor Albn

estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151A.37.Errores modelo Bergeron variacin de la resistividad del terreno falla

monofsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

A.38.Errores modelo Bergeron variacin de la resistividad del terreno falla

bifsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152


bifsica a tierra Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152


trifsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

A.41.Errores modelo Bergeron variacin de la distancia entre conductoresfalla monofsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153


falla bifsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154


falla bifsica a tierra Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154


falla trifsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

A.45.Errores modelo Bergeron variacin de la configuracin falla monof-sica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

A.46.Errores modelo Bergeron variacin de la configuracin falla bifsica

Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

A.47.Errores modelo Bergeron variacin de la configuracin falla bifsica a

tierra Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

A.48.Errores modelo Bergeron variacin de la configuracin falla trifsica

Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

A.49.Errores modelo Bergeron variacin de la longitud del conductor falla

monofsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157A.50.Errores modelo Bergeron variacin de la longitud del conductor falla

bifsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158



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ndice de Tablas


trifsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

A.53.Errores modelo JMarti variacin de la resistividad del terreno falla

monofsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159A.54.Errores modelo JMarti variacin de la resistividad del terreno falla

bifsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160




trifsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

A.57.Errores modelo JMarti variacin de la distancia entre conductores falla

monofsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

A.58.Errores modelo JMarti variacin de la distancia entre conductores fallabifsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162




trifsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

A.61.Errores modelo JMarti variacin de la configuracin falla monofsica

Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

A.62.Errores modelo JMarti variacin de la configuracin falla bifsica Albn164A.63.Errores modelo JMarti variacin de la configuracin falla bifsica a

tierra Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

A.64.Errores modelo JMarti variacin de la configuracin falla trifsica Albn165

A.65.Errores modelo JMarti variacin de la longitud del conductor falla mo-

nofsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

A.66.Errores modelo JMarti variacin de la longitud del conductor falla bi-

fsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

A.67.Errores modelo JMarti variacin de la longitud del conductor falla bi-

fsica a tierra Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166A.68.Errores modelo JMarti variacin de la longitud del conductor falla tri-

fsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

A.69.Errores modelo Clarke variacin de la resistividad del terreno falla

monofsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

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ndice de Tablas


bifsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168


bifsica a tierra Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168A.72.Errores modelo Clarke variacin de la resistividad del terreno falla

trifsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

A.73.Errores modelo Clarke variacin de la distancia entre conductores fa-

lla monofsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169


lla bifsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170


lla bifsica a tierra Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

A.76.Errores modelo Clarke variacin de la distancia entre conductores fa-lla trifsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

A.77.Errores modelo Clarke variacin de la configuracin falla monofsica

Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

A.78.Errores modelo Clarke variacin de la configuracin falla bifsica Albn172

A.79.Errores modelo Clarke variacin de la configuracin falla bifsica a

tierra Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

A.80.Errores modelo Clarke variacin de la configuracin falla trifsica Albn173

A.81.Errores modelo Clarke variacin de la longitud del conductor fallamonofsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

A.82.Errores modelo Clarke variacin de la longitud del conductor falla

bifsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174




trifsica Albn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

A.85.Errores modelo Bergeron al variar todos los parmetros en estado es-

table para el circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175A.86.Errores modelo Bergeron al variar todos los parmetros en falla mo-

nofsica para el circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

A.87.Errores modelo Bergeron al variar todos los parmetros en falla bif-

sica para el circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

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24/193

ndice de Tablas

A.88.Errores modelo Bergeron al variar todos los parmetros en falla bif-

sica a tierra para el circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

A.89.Errores modelo Bergeron al variar todos los parmetros en falla trif-

sica para el circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177A.90.Errores modelo JMarti al variar todos los parmetros en estado estable


A.91.Errores modelo JMarti al variar todos los parmetros en falla monof-

sica para el circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

A.92.Errores modelo JMarti al variar todos los parmetros en falla bifsica


A.93.Errores modelo JMarti al variar todos los parmetros en falla bifsica

a tierra para el circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

A.94.Errores modelo JMarti al variar todos los parmetros en falla trifsicapara el circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

A.95.Errores modelo Clarke al variar todos los parmetros en estado estable


A.96.Errores modelo Clarke al variar todos los parmetros en falla mono-

fsica para el circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

A.97.Errores modelo Clarke al variar todos los parmetros en falla bifsica


A.98.Errores modelo Clarke al variar todos los parmetros en falla bifsicaa tierra para el circuito Albn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

A.99.Errores modelo Clarke al variar todos los parmetros en falla trifsica


B.1. Errores modelo Bergeron variacin de la resistividad del terreno Meis-

sen estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

B.2. Errores modelo Bergeron variacin de la distancia entre conductores

Meissen estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

B.3. Errores modelo JMarti variacin de la resistividad del terreno Meissenestado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

B.4. Errores modelo JMarti variacin de la distancia entre conductores Meis-

sen estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

B.5. Errores modelo Bergeron variacin de la resistividad del terreno falla

monofsica Meissen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

24

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25/193

ndice de Tablas


bifsica Meissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186


bifsica a tierra Meissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186B.8. Errores modelo Bergeron variacin de la resistividad del terreno falla

trifsica Meissen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187


falla monofsica Meissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187


falla bifsica Meissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188


falla bifsica a tierra Meissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

B.12. Errores modelo Bergeron variacin de la distancia entre conductoresfalla trifsica Meissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

B.13. Errores modelo JMarti variacin de la resistividad del terreno falla



bifsica Meissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190


bifsica a tierra Meissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

B.16. Errores modelo JMarti variacin de la resistividad del terreno fallatrifsica Meissen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

B.17. Errores modelo JMarti variacin de la distancia entre conductores falla



bifsica Meissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192


bifsica a tierra Meissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192


trifsica Meissen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

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zii Impedancia propia del conductorien /milla.

zij Impedancia mutua entre el conductoriy el jen /milla.

ri Resistencia del conductorien /milla.

Frecuencia angular del sistema en radianes por segundo (= 2f).RDi Radio del conductorien pies.

G Constante.

kij Funcin de Carson para el efecto de la frecuencia y resistividad del te-

rreno.

GMRi Radio Medio Geomtrico del conductorien pies.

f Frecuencia del sistema en Hertz.

Resistividad del terreno en metros. Componente en las fases B y C es igual, y en la fase A es de signo opuesto

y del doble que las otras.

Componente en las fases B y C es igual en magnitud y de signo opuesto,

la componente de la fase A es cero.

0 Componente en las tres fases es igual.

vk Voltaje en el nodo k.

ik Corriente en el nodo k.

vm Voltaje en el nodo m.

im Corriente en el nodo m.

L Inductancia por unidad de longitud [H/km].

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Glosario

C Capacitancia por unidad de longitud [F/km].

Zc Impedancia caracterstica de la lnea (

L/C).

Tiempo de desplazamiento de la onda viajera.

ARMA Auto Regressive Moving Average.

EMTP Electro Magnetic Transient Program.

TNA Transient Network Analyzer.

BPA Boneville Power Administration.

EPRI Electric Power Research Institute.

Neplan Programa de simulacin de flujo de carga y cortocircuito.

PSS/E Programa de simulacin de flujo de carga y cortocircuito.

Digsilent Programa de simulacin de flujo de carga y cortocircuito.

TACS Transients Analisis Control System.

CODENSA Empresa de energa de Bogot.

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TTULO:

VALIDACIN DE LOS MODELOS DE LNEAS EMPLEADOS EN LA SIMULACIN DESISTEMAS DE DISTRIBUCIN DE ENERGA ELCTRICA1

AUTORES:

SERGIO IVN JOYA SUREZ

ALEXANDER PACHECO ARTEAGA2PALABRAS CLAVE:

Lneas elctricas, resistividad del terreno, flecha, vano.

DESCRIPCIN:

La incertidumbre en el origen de los errores encontrados al comparar los datos obtenidosmediante simulaciones de circuitos contra datos reales, genera una preocupacin acerca delcorrecto modelado de los elementos presentes en el circuito, es por esta razn que se hacenecesario abordar el problema referente al modelado de estos elementos y cul es su impor-tancia en el circuito, as como su influencia en los resultados que se obtienen de las simulacio-nes. Los elementos del circuito para los cules se hace necesario un anlisis de sensibilidad

con el fin de atacar el problema para reducir esta incertidumbre son fuentes, cargas y lneas.En el presente proyecto el anlisis se centra en el estudio de los modelos de lneas elctri-cas que estn siendo empleados en las simulaciones de circuitos en sistemas de distribucin,se analizaron diferentes modelos, cada uno de ellos con caractersticas diferentes, y en cadamodelo se validaron parmetros importantes (resistividad del terreno, distancia entre con-ductores, variacin de configuracin y longitud real del conductor), con el fin de descubrircul de ellos es relevante y con esto perfeccionar el modelo y de este modo reducir la incer-tidumbre y mejorar los resultados obtenidos.

Despus de realizar el anlisis de los parmetros a cada uno de los modelos de lneas que sepresentan en este proyecto, se muestran los resultados obtenidos en las diferentes pruebas,en los cules se observa que estos modelos son insensibles a la variacin de sus parmetros

tanto para anlisis de circuitos en estados estable como en estados de falla, demostrando quelos errores en los resultados de las simulaciones al compararlos con los datos reales no sedeben a los modelos de lneas empleados, por lo cul se deben analizar en trabajos futuroslos modelos empleados en los otros parmetros del circuito tales como fuentes y cargas.

1Proyecto de Grado2Facultad de Ingenieras Fsico-Mecnicas. Escuela de Ingenieras Elctrica, Electrnica y de Teleco-

municaciones. Director Dr. Hermann Ral Vargas Torres. Codirector Ing. Ivn David Serna Surez.

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Resumen

TITLE:

VALIDATION OF THE MODELS OF LINES USED IN THE SIMULATION OF SYSTEMS OFELECTRICAL POWER DISTRIBUTION3

AUTHORS:

SERGIO IVN JOYA SUREZALEXANDER PACHECO ARTEAGA4

KEY WORDS:

Power lines, ground resistivity, arrow, span.

DESCRIPTION:

The uncertainty in the origin of the errors found when comparing the data obtained fromcircuit simulations against real data, creates a concern about the successful modeling of theelements present in the circuit, which is why it becomes necessary to address the problemconcerning the modeling of these elements and what is its importance in the circuit, and itsinfluence on the results obtained from the simulations. The elements of the circuit for what is

needed is a sensitivity analysis to address the problem to reduce this uncertainty are sources,loads and lines.

In this project the analysis focuses on the study of models of power lines that are being usedin simulations of circuits in distribution systems, we analyzed different models, each withdifferent characteristics, and each model is validated important parameters (ground resisti-vity, distance between conductors, change configuration and real length of the conductor),in order to discover which of these is relevant and with this refine the model and thus reduceuncertainty and improve results.

After performing the analysis of the parameters to each of the line models presented in thisproject, shows the results obtained in different tests, which shows that these models areinsensitive to changes in both parameters Analysis of circuits in steady states as in states of

failure, showing that the errors in the simulation results when compared with the real dataare not due to the model line used, which should be discussed in future work models usedin the other circuit parameters such as sources and loads.

3Proyecto de Grado4Facultad de Ingenieras Fsico-Mecnicas. Escuela de Ingenieras Elctrica, Electrnica y de Teleco-

municaciones. Director Dr. Hermann Ral Vargas Torres. Codirector Ing. Ivn David Serna Surez.

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Sin lugar a duda algunos de los principales problemas que afectan la calidad de la

energa elctrica son las fallas de red y las cargas no lineales, la primera de ellas

genera impacto sobre la continuidad del servicio y las cargas no lineales alteran la

calidad de la forma de onda suministrada por las empresas distribuidoras de energa

[Baggini,2008].La mayora de estos temas relacionados con la calidad de la energa elctrica como

los mencionados anteriormente han sido trabajados por una gran cantidad de auto-

res, obteniendo muy buenos resultados en la simulacin de circuitos de distribucin

basados en modelos creados por la obtencin de parmetros, pero surge la pregunta

Qu tan sensibles son estos modelos obtenidos en la simulacin al ser incorporados

en los sistemas reales? Actualmente se cuenta con modelos tericos de los sistemas

de distribucin de energa elctrica en los cules se presentan incertidumbres en la

exactitud de sus resultados al ser contrastados con los modelos reales, por ello sehace necesario comparar los modelos tericos con los modelos reales y verificar la

eficiencia de los modelos utilizados.

Para corroborar la sensibilidad de los modelos tericos empleados en la simulacin

de circuitos en sistemas de distribucin se deben revisar los diferentes componen-

tes del circuito como lo son las fuentes, las cargas y las lneas elctricas. Para ello se

deben revisar y validar los modelos que se estn empleando en cada uno de estos

componentes y de all detectar cul o cules de estos componentes estn teniendo

gran influencia en los circuitos para as realizar las correcciones que conlleven al

mejoramiento de los modelos y con esto a la mejora en los resultados de las simula-

ciones cuando estas se comparan con los datos reales del circuito.

En la actualidad la representacin de los circuitos en los sistemas de distribucin se

realiza con modelos de lneas elctricas que son normalizados y se encuentra fcil-

mente en la bibliografa referente al tema, pero estos modelos no son completos al no

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Introduccin

tener en cuenta ciertos factores tales como el perfil del terreno o los cables de guarda,

surgiendo de aqu otra inquietud Qu tanto afecta a la exactitud del modelo la no

inclusin de parmetros como los mencionados? Es por ello que se hace necesario

la validacin del modelado de los sistemas de tal manera que el presente trabajo secentra en los modelos de lneas elctricas empleados en la simulacin de sistemas de

distribucin.

Los primeros modelos de lneas elctricas empleados en la simulacin de sistemas

de distribucin fueron muy simples, ya que estos solo tenan en cuenta sus par-

metros bsicos, como su configuracin y el tipo de conductor [Checa,2000]. Con el

transcurso del tiempo y la necesidad de mejorar los resultados arrojados por estos

modelos, se fueron realizando correcciones hasta llegar a un modelo ms completo,

incluyendo en este modelo parmetros importantes como la resistividad del terreno

y los cable de guarda [Anderson,1973]. Pero an con este modelo ms completo

quedaron por fuera ciertos parmetros importantes en las lneas elctricas como lo

es el perfil del terreno, lo cual produce incertidumbre del efecto que ste parmetro

genera en los resultados obtenidos en las simulaciones.

Para la validacin de los modelos de lneas tericos empleados en la simulacin de

circuitos en sistemas de distribucin, en primera instancia se determinaron los mo-

delos a trabajar, para esto se buscaron modelos ampliamente utilizados que en el

momento del anlisis presentan diferentes formas de solucin para la obtencin de

los resultados, lo cual permiti trabajar con casos que fuesen diferentes. Despus dedefinir cada uno de los modelos, se procedi a definir los parmetros que se con-

sideraron relevantes en las lneas elctricas y que fueron tomados algunos de una

revisin bibliogrfica de las lneas y otros que no estn siendo incluidos en los mo-

delos tericos, pero pueden ser relevantes, tal como el perfil del terreno.

Para realizar la validacin de cada uno de los modelos, se incluyeron en ellos los

parmetros definidos y se realizaron variaciones de los mismos para as definir la

importancia de cada uno de los parmetros en los diferentes modelos empleados en

este trabajo y con ello buscar el mejoramiento de los modelos y la reduccin de laincertidumbre.

En este libro se hace la descripcin de los trabajos realizados para cumplir con los

objetivos del presente proyecto, esa descripcin se encuentra estructurada de la si-

guiente forma: Captulo 1: En el primer captulo se hace una descripcin detallada

de la forma y solucin de cada uno de los modelos de lneas con que se trabajaron

31

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Introduccin

en el presente proyecto. Captulo 2: En el segundo captulo se hace la descripcin de

la herramienta software empleada para realizar las simulacin con la descripcin de

los circuitos que fueron empleados para realizar las pruebas de validacin. Captulo

3: En el tercer captulo se muestran los resultados obtenidos en las diferentes pruebasrealizadas a cada uno de los modelos y el anlisis de estos resultados.

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Carson en su documento de 1926 desarroll una tcnica mediante la cual se puede

determinar la impedancia propia y mutua para un nmero arbitrario de conductores

areos incluyendo en estas impedancias el efecto de la resistividad del terreno, as

como de los cables de guarda presentes en la lnea. En un principio, la tcnica no fue

bien recibida, debido a los clculos tediosos que tenan que hacerse a mano y sobre la

regla de clculo. Con la llegada de la computadora digital, las ecuaciones de Carson

han sido ampliamente utilizadas. En su documento, Carson supone que la tierra es

infinita, uniforme, slida con superficie superior plana uniforme y una resistencia

constante.

FIGURA1.1.:Conductores y sus imgenes

Carson hizo uso del mtodo de imgenes del conductor, es decir, cada conductor

en un momento dado a una distancia sobre el suelo tiene un conductor imagen a

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Captulo 1. Modelos de lneas

la misma distancia bajo este suelo como se muestra en la figura1.1. Con ayuda de

este mtodo, Carson desarroll las ecuaciones que se muestran a continuacin para

el clculo de las impedancias mutuas y propias de los conductores.

Impedancias del conductor:

zii =ri+ 4Pii G+j

Xi+ 2G ln SiiRDi

+ 4Qii G

[/milla] (1.1)

zij =4Pii G+j

2G ln

Sij

Dij+ 4Qij G

[/milla] (1.2)

Donde:

zii Impedancia propia del conductorien /milla.

zij Impedancia mutua entre el conductoriy el jen /milla.

ri Resistencia del conductorien /milla.

Frecuencia angular del sistema en radianes por segundo (= 2f).

RDi Radio del conductorien pies.

Dij Distancia entre el conductoriyjen pies (ver figura1.1).

Sij Distancia entre el conductoriy la imagenjen pies (ver figura1.1).Donde a su vez:

Xi =2G ln RDi

GMRi[/milla] (1.3)

Pij =

8 1

3

2kij cos

ij

+k2ij16

cos2ij

.

0,6728 + ln

2kij

(1.4)

Qij =0,0386 +12ln 2kij + 132 kij cos2ij . (1.5)

kij =8,565 104.Sij .

f

(1.6)

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Donde:

G Constante. (G= 0,1609344 103 [/milla])Xi Reactancia del conductorien /milla.

Pij Diferencia de potencial entre los conductoresiyj.

Qij Carga entre los conductoresiyj.

kij Funcin de Carson para el efecto de la frecuencia y resistividad del te-

rreno.

GMRi Radio Medio Geomtrico del conductorien pies.

f Frecuencia del sistema en Hertz.

Resistividad del terreno en metros.ij ngulo entre las lneas trazadas desde el conductoriy su propia imagen

y la imagen al conductor j(ver figura1.1).

Slo dos aproximaciones se realizan en la obtencin de las ecuaciones de Carson

modificadas. Estas aproximaciones implican los trminos asociados con Pij y Qij ;

donde se utiliza slo el primer trmino de la variablePij y los dos primeros trminosdeQij [Kersting,2002], [Anderson,1973].

Pij =

8 (1.7)

Qij =0,0386 +12ln 2kij

(1.8)

SustituyendoXide la ecuacin (1.3) en la ecuacin (1.1) se tiene:

zii =ri+ 4Pii G+j

2G ln RDi

GMRi+ 2G ln

SiiRDi

+ 4Qii G

(1.9)

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Combinando trminos y simplificando se obtiene:

zii =ri+ 4Pii G+j2G

ln SiiGMRi

+ 2Qii

(1.10)

Por su parte, simplificando la ecuacin (1.2)

zij =4Pii G+j2G

ln

Sij

Dij+ 2Qij

(1.11)

Sustituyendo la expresin de Py para = 2fse tiene:

zii =ri+2f G+j4f Gln

Sii

GMRi+ 2Qii (1.12)

zij =2f G+j4f G

ln

SiiDij

+ 2Qii

(1.13)

Por otro lado, sustituyendo la ecuacin de kij (ecuacin (1.6)) en la ecuacin aproxi-

mada deQij , (ecuacin (1.8))

Qij =0,0386 +12ln 2

8,565 104

Sijf(1.14)

Al expandir se tiene:

Qij =0,0386 +12ln 2

8,565 104 +12

ln 1Sij

+12

ln

f (1.15)

Reduciendo la anterior ecuacin se tiene:

Qij =3,8393

1

2ln Sij +

1

4ln

f (1.16)

2Qij =7,6786 ln Sij +12ln

f (1.17)

36

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Sustituyendo la ecuacin (1.17) en la ecuacin (1.12) y simplificando:

zii =ri+2f G+j4f G

ln

SiiGMRi

+ 7,6786 ln Sii+12ln

f (1.18)

zii =ri+2f G+j4f G

ln

1GMRi

+ 7,6786 +12

ln

f

(1.19)

Sustituyendo la ecuacin (1.17) en la ecuacin (1.13) y simplificando:

zij =2f G+j4f G

ln

Sij

Dij+ 7,6786 ln Sij +12ln

f

(1.20)

zij =2f G+j4f G

ln

1Dij

+ 7,6786 +12

ln

f

(1.21)

Teniendo en cuenta los valores de las constantesGyse llega entonces a que:

zii =ri+ 0,00158836f+j0,00202237f

ln 1

GMRi+ 7,6786 +

12

ln

f

(1.22)

zij =0,00158836.f+j0,00202237.fln SijDij + 7,6786 ln Sij +12ln f (1.23)Asumiendo que la frecuencia es de 60Hz y que la resistividad del terreno es de

100m, las ecuaciones modificadas de Carson son:

zii =ri+ 0,09530 +j0,12134

ln 1

GMRi+ 7,6786 +

12

ln

f

(1.24)

zij =0,09530 +j0,12134ln Sij

Dij+ 7,6786

ln Sij +

1

2ln

f (1.25)

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Las ecuaciones (1.24) y (1.25) se utilizan para calcular los elementos de la matriz de

impedancia primitiva de nxn conductores.

zprim itiva

=

zaa zab zac | zan1 zan2 zanmzba zbb zbc | zbn1 zbn2 zbnmzca zcb zcc | zcn1 zcn2 zcnm | zn1azn1bzn1c |zn1n1zn1n2 zn1nm

zn2a

zn2b

zn2c |

zn2n1

zn2n2 . . .

zn2nm

... ...

... ...

... . . . ...

znmaznmbznmc |znmn1znmn2 znmnm

(1.26)

En forma resumida la ecuacin (1.26) se transforma en:

zprim itiva

=

zij [zin ]znj [znn]

(1.27)

En la mayora de las aplicaciones, la matriz de impedancia primitiva debe reducir-

se a una matriz de fase de 3x3, que consiste en las impedancias propias y mutuas

equivalentes para las tres fases.

Uno de los mtodos estndar de reduccin, es la reduccin de Kron. Se supone una

lnea con neutro mltiple a tierra, como se muestra en la figura 1.2.

FIGURA1.2.:Segmento de lnea en estrella, de cuatro hilos. Tomada de[Kersting, 2002]

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Aplicando las leyes de Kirchoff al circuito se obtiene:

Vag

VbgVcg

Vng

= Vag

VbgVcgVng

+ zaa

zab

zac

zan

zbazbbzbczbnzcazcbzcczcnznaznbzncznn

Ia

IbIc

In

(1.28)

En forma simple la ecuacin (1.28) quedara:

[Vabc ]

Vng = Vabc

Vng + zij zin

znj

znn

.

[Iabc ]

Ing (1.29)

.

Debido al neutro a tierra, las tensiones VngyV ngson iguales a cero. Sustituyendo

estos valores en la ecuacin(1.29) y expandiendo los resultados se tiene:

[Vabc ] = [V abc ] + [ zij ].[Iabc ] + [ zin ].[In] (1.30)

[0] = [0] + [ znj ].[Iabc ] + [ znn].[In] (1.31)

Al resolver la ecuacin (1.31) para[ In]:

[In] =[ znn]1.[ znj ].[Iabc ] (1.32)

Sustituyendo la ecuacin (1.32)en la ecuacin (1.30):

[Vabc ] = [V abc ] + ([ zij ][ zin ].[ znn]1.[ znj ]).[Iabc ] (1.33)

[Vabc ] = [V abc ] + [zabc ][Iabc ] (1.34)

Donde:

[zabc ] = [ zij ][ zin ].[ znn]1.[ znj ]) (1.35)

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La ecuacin (1.35) es la forma final de la tcnica de la reduccin de Kron. Por tanto

la matriz de impedancia de fase se convierte en:

zabc = zaa zab zaczba zbb zbc

zca zcb zcc

[/milla] (1.36)El modelo que representa esta matriz se muestra en la figura1.3.

FIGURA1.3.:Segmento de modelo de lnea trifsica. Tomada de [Kersting, 2002]

Del modelo mostrado en la figura1.3se pueden deducir las siguientes relaciones de

tensin y corriente:

VagVbgVcg

n

=

VagVbgVcg

m

+

zaa zab zaczba zbb zbczca zcb zcc

. IaIb

Ic

(1.37)La Ecuacin (1.37) se puede escribir en forma resumida como:

[VLGabc ]n = [VLGabc ]m+ [ zabc ][Iabc ] (1.38)

40

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Este modelo es el mas empleado para representar lneas hoy da en el anlisis de

sistemas de distribucin, consta de dos modelos:El primero de ellos es un modelo de lnea de parmetros concentrados llamado tam-

bin modelo Pi nominal, el cul se emplea con muy buenos resultados para lneas de

longitud media. Este modelo como se muestra en la figura1.2,consta de una impe-

danciaZconcentrada en el punto medio de la lnea y una admitancia Ydividida en

dos partes iguales en cada extremo de la misma [Checa, 2000].

FIGURA1.4.:Modelo de lnea Pi nominal.

Donde:

Vp Voltaje en el extremo transmisor.

Vr Voltaje en el extremo receptor.

Ip Corriente en el extremo transmisor.

Ir Corriente en el extremo receptor.

Ic Corriente en el ramal del extremo transmisor.

I c Corriente en el ramal del extremo receptor.

Del modelo mostrado se obtiene las siguientes relaciones en tensin:

VS = (VRY

2+IR)Z+VR (1.39)

VS = (ZY

2 + 1)VR+ZIR (1.40)

41

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Y para la corriente:

IS =VSY

2+VR

Y

2+IR (1.41)

El segundo modelo es el modelo Pi de parmetros distribuidos, tambin llamado

modelo Pi exacto, este modelo se emplea para lneas de longitud largas ya que con el

modelo Pi nominal no se logran obtener buenos resultados en este caso. El modelo

Pi exacto se muestra en la figura1.5.

FIGURA1.5.:Modelo de lnea Pi exacto Tomada de [Checa, 2000].

Donde:

Z

Impedancia exacta de la lnea.Y Admitancia exacta de la lnea.

Longitud de onda de la lnea.

l Longitud de la lnea.

El modelo de lnea Clarke utiliza como mtodo de solucin la transformacin de lascomponentes de fase del sistema a componentes ,y 0 [Clarke, 1965] por medio de

una matriz de transformacin que lo que hace bsicamente es descomponer una pro-

pagacin que se dara para una lnea acoplada, en varios modos de propagacin que

sean ortogonales (linealmente independientes) entre s. Tomando como referencia la

fase A, las componentes,y 0 para un sistema trifsico se definen como:

42

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Su componente en las fases B y C es igual, y en la fase A es de signo

opuesto y del doble que las otras.

Su componente en las fases B y C es igual en magnitud y de signo opues-

to, la componente de la fase A es cero.0 Su componente en las tres fases es igual.

De este modo se encuentra la matriz de transformacin a componentes ,y 0, la

cul se muestra a continuacin:

T=

1 12 12

0

32

3

2

1 1 1

(1.42)

El modelo realiza la transformacin de la matriz de impedancias equivalentes por

fase que se obtiene con el metodo de lnea de Carson y de la matriz de admitancias

equivalentes, con la siguiente relacin:

Z,,0= T1Za,b,cT (1.43)

Y,,0= T1Ya,b,cT (1.44)

Utilizando la matriz de transformacin de Clarke, se encuentran las siguientes rela-

ciones entre las tensiones del sistema y las tensiones,y 0:

Va =V+V0 (1.45)

Vb=1

2V+

3

2 V+V0 (1.46)

Vc=12V

32

V+V0 (1.47)

43

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Este modelo adaptado y desarrollado por Hermann Dommel, es un mtodo simple,

de frecuencia constante que est basado en la propagacin de las ondas en una lneade transmisin sin prdidas, y con parmetros L,Cconstantes distribuidos a travsde la lnea de transmisin. La figura1.6representa el modelo de Bergeron para una

lnea de transmisin sin prdidas, donde las ecuaciones que relacionan las tensiones

y corrientes en los extremos de la lnea estn representadas en (1.48) a (1.51):

ikm(t)= 1Zc

vk(t)+ik(t) (1.48)

imk(t)= 1Zc vm(t)+im(t) (1.49)

ik(t)=1Zc vm(t)im(t) (1.50)

im(t)=1Zc

vk(t)ik(t) (1.51)

FIGURA1.6.:Modelo de lnea de Bergeron sin prdidas. Tomada de [Watson and Arrillada, 2003]

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Donde:

vk Voltaje en el nodo k.

ik Corriente en el nodo k.

vm Voltaje en el nodo m.

im Corriente en el nodo m.

L Inductancia por unidad de longitud [H/km].

C Capacitancia por unidad de longitud [F/km].

Zc Impedancia caracterstica de la lnea (

L/C).

Tiempo de desplazamiento de la onda viajera.

Dommel realiz una extensin del modelo para incluir las prdidas a lo largo dela lnea de transmisin. En esta extensin, la representacin de la resistencia serie

distribuida en toda la lnea cambio al dividir la longitud total de la lnea en varias

secciones ubicando resistencias localizadas de la siguiente forma: R/4en cada extre-

modelalneay R/2 en el punto medio de cada seccin de la lnea, como se observa en

la figura1.7,este modelo obtiene respuestas razonables con tal que R/4Zc, dondeZces la impedancia caracterstica. Sin embargo, para los estudios de alta frecuencia

este modelo de resistencia localizada puede no ser adecuado [Watson and Arrillada,

2003].

FIGURA1.7.:Equivalente de la lnea con resistencias localizadas. Tomada de [Watson and Arrillada,2003]

A partir del modelo presentado anteriormente se llega al modelo equivalente de

la mitad de la lnea que se muestra en la figura1.8,cuyas relaciones de tensin y

corriente se ven representadas en las ecuaciones (1.52) a (1.55):

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ikm(t)= 1

Zc+ R/4vk(t)+ik(t/2) (1.52)

imk(t)=

1

Zc+ R/4 vm(t)+im(t

/2) (1.53)

ik(t/2)= 1Zc+ R/4 vm(t/2)

ZcR/4Zc+ R/4

im(t/2) (1.54)

im(t/2)= 1Zc+ R/4

vk(t/2)

ZcR/4Zc+ R/4

ik(t/2) (1.55)

FIGURA1.8.:Equivalente de la mitad de la lnea.

Finalmente, al colocar dos de los modelos de la mitad de la lnea en cascada y eli-

minando las variables del punto medio de la lnea, ya que los terminales de inters

son los extremos, se establece el modelo de Bergeron para una lnea de transmisin

completa con prdidas, presentado en la figura1.9y donde las relaciones de tensin

y corriente de los terminales de la lnea se ven representadas en las ecuaciones (1.56)

y (1.59) [Watson and Arrillada,2003].

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ikm(t)= 1

Zc+ R/4vk(t)+i

k(t) (1.56)

imk

(t)= 1

Zc+ R/4v

m(t)+i

m(t

) (1.57)

ik(t) = Zc(Zc+R/4)2(vm(t)+(ZcR/4) imk(t))

+ R/4(Zc+R/4)

2(vk(t)+(ZcR/4) ikm(t))(1.58)

im(t) = Zc(Zc+R/4)2(vk(t)+(ZcR/4) ikm(t))

+ R/4(Zc+R/4)

2(vm(t)+(ZcR/4) imk(t))(1.59)

FIGURA1.9.:Modelo de lnea de Bergeron con prdidas.

Este modelo, aproxima la impedancia caracterstica y la constante de propagacin

por funciones racionales y utiliza una matriz de transformacin constante para con-

vertir valores del dominio modal al dominio de las fases, cuya influencia para lneas

areas es poco notable pero para cables es muy importante, puesto que evita que se

lleguen a resultados inservibles [Marti, 1982]. Una limitacin es su comportamiento

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inestable para frecuencias muy bajas, como es el caso de la carga atrapada, donde la

tensin puede incrementarse sin lmites en algunos casos. Si bien es posible obtener

resultados convincentes, requiere de ciertas manipulaciones en los datos efectuar el

ajuste.Cuando se incluyen prdidas en el circuito como es el caso del modelo de JMarti

se vuelve complicado escribir de manera prctica la solucin de las ecuaciones en

el dominio del tiempo, esta relacin puede darse fcilmente en el dominio de la

frecuencia.

Vk()= cosh ( () l) Vm()Zc() sinh ( () l)Im() (1.60)

Ik()= 1

Zc()sinh ( () l) Vm()

cosh ( () l)Im() (1.61)

Donde la impedancia caracterstica de la lnea se define como:

Zc()=

Z() Y() (1.62)

y la constante de preparacin

()= Z()

Y() (1.63)

Con:

Z()= R ()+jL() (1.64)

Y()= G ()+jC() (1.65)

R() Resistencia serie por unidad de longitud.

L() Inductancia serie por unidad de longitud.

G() Conductancia de derivacin por unidad de longitud.

C() Capacitancia de derivacin por unidad de longitud.

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En los primeros modelos de lnea dependientes de frecuencia [Budner,1970], se us

el concepto de funciones de peso, las cules fueron incorporadas para relacionar

los voltajes y corrientes como una forma anloga a la interpretacin simple de las

ecuaciones de Bergeron [Marti,1982], pero estas funciones en este tipo de modelos

son altamente oscilatorias y difciles de evaluar como se muestra en la figura 1.10

con las funciones de peso a1(t)ya2(t).

FIGURA1.10.:Funciones de peso. Tomada de[Marti, 1982]

De las funciones de peso a1(t)y a2(t)mostradas en la figura1.10, a2(t)es la ms

difcil de calcular, es por esto que se hace una nueva formulacin en la cul se elimina

a2(t)y se reduce la oscilacin dea1(t). El sentido fsico en el modelo de la funcin de

propagacina1(t)se muestra en la figura1.11,donde la lnea se excita con un pulso

de tensin y en sus extremos termina con una impedancia equivalente

Zeq

. All se

ve claramente que a2(t)est relacionado con el voltaje en el nodo ky a1(t)con el

voltaje en el nodom.

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FIGURA1.11.:Interpretacin fsica de la funcin de propagacin a1(t).

Los picos en las oscilaciones que se muestran en la figura1.10, se deben a sucesivas

reflexiones en ambos extremos de la lnea. Si se ubica una impedancia cuya respuestade frecuencia sea la misma que la impedancia caracterstica no habr reflexiones en

ambos extremos de la lnea como se observa en la figura 1.12,donde la constante

relacionada con el envia2(t)se hace cero y la constante a1(t)en la recepcin es un

nico pulso [Marti,1982].

FIGURA1.12.:Funciones de propagacina1(t)ya2(t)en el modelo JMarti. Tomada de [Marti, 1982]

Para representar matemticamente el modelo, este se puede separar en dos compo-

nentes: funciones de onda viajera que van alejndose del nodo emisor y funciones de

onda viajera que van acercndose al nodo emisor, como lo muestran las ecuaciones

(1.66) y (1.67) para las que se alejan y las ecuaciones (1.68) y (1.69) para las que se

acercan.

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Fk()= Vk()+Zeq()Ik() (1.66)

Fm()= Vm()+Zeq()Im() (1.67)

Bk()= Vk()Zeq()Ik() (1.68)

Bm()= Vm()+Zeq()Im() (1.69)

DondeZeqes impedancia de la red y es aproximadamente la impedancia de la lnea

Zc.

Comparando las ecuaciones (1.66) a (1.69) con las ecuaciones bsicas de la lnea en

frecuencia (1.60) y (1.61) se obtiene lo siguiente:

Bk()= A1()Fm() (1.70)

Bm()= A1()Fk() (1.71)

Donde:

A1()= e()l =

1

cosh ( () l)+sinh ( () l)

(1.72)

Entonces las relaciones de tensin y corriente que caracterizan el modelo de lnea de

JMarti se encuentra en las ecuaciones (1.73) a (1.76) y cuyo circuito equivalente se

presenta en la figura1.13.

Vk()= Zc()Ik()+Emh() (1.73)

Vm()= Zc()Im()+Ekh() (1.74)

Donde:

Emh =[Vm()+Zc()Im()]A1() (1.75)

Ekh =[Vk()+Zc()Ik()]A1() (1.76)

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FIGURA1.13.:Modelo de lnea de JMarti.

Que transformadas al dominio del tiempo se convierte en:

vk(t)= Zcik(t)+[vm(t)+Zcim(t)]a1(t) (1.77)

vm(t)= Zcim(t)+[vk(t)+Zcik(t)]a1(t) (1.78)

Donde el smbolo * significa la evaluacin numrica de la convolucin; dicha opera-

cin para el clculo de transitorios es lenta. Para acelerar este proceso, es necesario

sintetizar los elementos involucrados en la convolucin, como son la impedanciaequivalente y la funcin de propagacin, debido a la naturaleza irracional de a1(t)

y Zeq. La sntesis por medio de funciones racionales permite que la evaluacin nu-

mrica de la convolucin se vuelva ms rpida, ya que se obtienen exponenciales en

el dominio del tiempo, aplicando as las tcnicas de convolucin recursiva [Marti,

1982].

LaZeqque representa la impedancia caracterstica de la lnea de Zces simulada por

una serie de bloques de resistencia y capacitancia (R-C) paralelos como se muestra

en la figura1.14.

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FIGURA1.14.:Equivalente para sntesis deZeq . To

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