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FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA PROFESIONAL INGENIERIA INDUSTRIAL

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS RELACIONADAS A UN ARTÍCULO DE SU PREFERENCIA EN LA

ECONOMIA O EN LOS PROCESOS DE UNA DETERMINADA EMPRESA

Alumno:

Carrasco Céspedes Miguel ÁngelCurso:

Matemática II

Docente:

Halyn Alvarez Vasquez

CICLO:

III

SECCIÓN:

“B”

Trujillo, Febrero del 2014

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Índice

1.- Introducción 3

2.-Desarrollo 3

2.1 Definiciones 3

2.1.1 ¿Qué es ecuación diferencial? 3

2.1.2 Orden de la ecuación diferencial 3

2.1.3 Ecuación con variables separables 3

2.1.4 Ecuaciones Homogéneas 4

2.1.5 Ecuaciones Exactas 4

2.2 Importancia de las ecuaciones 5

2.3 Modelos de ecuaciones diferencial Ordinarias 6

2.3.1 Modelo Exponencial 6

2.3.2 Modelo de la Deuda DOMAR 6

2.3.3 Modelo Económico de Oferta y Demanda 7

2.3.4 Modelo Precios Futuros 8

2.3.5 Modelo de Inventario 8

2.4 Plantear un modelo Económico 9

2.5 Solución del modelo económico 9

3.- Conclusiones 10

4.- Bibliografía 10

1. Introducción

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Las Ecuaciones Diferenciales tienen una importancia fundamental en la Matemáticas para la ingeniería debido a que muchos problemas se representan a través de leyes y relaciones físicas matemáticamente por este tipo de ecuaciones.Es interés de este trabajo la deducción de las Ecuaciones Diferenciales a partir de modelos Matemático correspondiente. Este método tiene una gran importancia práctica para el ingeniero y se ilustra por medio de ejemplos típicos.En estos ejemplos se ilustraran los pasos del modelado, es decir, hacia un planteamiento matemático y su solución, y la interpretación física del resultado. Se dedicará en este espacio la modelación de problemas que conduce a Ecuaciones Diferenciales de segundo orden y esto lo justifica desde el punto de vista teórico y práctico pues se verán más fáciles si uno se concentra primeros en tales ecuaciones.

2. Desarrollo

2.1 Definiciones:

2.1.1 ¿Qué es Ecuación diferencial (E.D.)? Las ecuaciones diferenciales (E.D.) son expresiones matemáticas que establecen relaciones entre variables independientes, dependientes y las derivadas de ésta última. Las E.D. tienen diversas clasificaciones, una de ellas indica que este tipo de ecuaciones pueden ser: Ordinarias y ParcialesSi la ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (E.D.O); y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes, se llama ecuación en derivadas parciales (E.D.P.).

2.1.2 Orden de una ecuación diferencial:  El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de Más alto orden que aparece de manera no trivial en la ecuación.De nuevo, la frase de manera no trivial tiene el fin de evitar situaciones como la siguiente

Cuyo orden es uno y no tres, como podría pensarse.

2.1.3 Ecuaciones con Variables Separables: Son ecuaciones de la forma:

        Las cuales se puede resolver así:

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Separar las variables. Esto significa que los términos relativos a la variable dependiente queden a un lado de la igualdad y en el otro los que representan a la otra variable. Por tanto:

Integrar ambos miembros de la igualdad aplicando los métodos de integración.

2.1.4 Ecuaciones Homogéneas: Son ecuaciones de la forma:

 

Las cuales se puede resolver mediante el siguiente conjunto de pasos, que será llamado de aquí en adelante ALGORITMO HOMOGÉNEO.

Aplicar el criterio de homogeneidad. Para ello basta con: Denotar el coeficiente de dx con M(x,y) y el

coeficiente de dy con N(x,y).  Verificar si son homogéneas, aplicando las siguientes

igualdades:

1.   M(kx, ky)= knM(x,y)

2.   N(kx, ky)= knN(x,y)

Nota1: Para 1 y 2, los exponentes deben ser iguales  y tanto M(x,y)como N(x,y), no quedan afectados del factor k.

Hacer el siguiente cambio de variable:

·        y=vx (I)

Derivar (I), obteniéndose:

·        dy=vdx+xdv (II)

Sustituir las expresiones (I) y (II) en la ecuación diferencial dada.

Aplicar propiedad distributiva y agrupar términos semejantes.

Aplicar el método de Variables Separables

2.1.5 Ecuaciones Exactas: Son ecuaciones de la forma:

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Donde M(x,y) y N(x,y), son funciones continuas que verifican la

siguiente igualdad:    =        (III)

Estas ecuaciones pueden resolverse mediante el siguiente conjunto de pasos, que será llamado de aquí en adelante ALGORITMO EXACTO.

Denotar el coeficiente de dx con M(x,y) y el coeficiente de dycon N(x,y). 

Verificar que se cumple (III) Hallar una función auxiliar F. Para ello basta con integrar

aM(x,y),con respecto a x. Así:

     

Derivar parcialmente a F e igualar este resultado

con N(x,y), es decir:      N(x,y) Despejar el factor   y calcular f(y), integrando la expresión

obtenida en el despeje. Sustituir f(y) en la expresión obtenida, anteriormente, para

F y realizar las operaciones algebraicas que aparezcan para construir una respuesta lo mas simplificada posible. 

2.2 Importancias dela ecuaciones diferencialesLas matemáticas abarcan un campo bastante amplio en lo que concierne a estudios profesionales.Hoy en día las carreras más prometedoras, son las ingenieras, por consiguiente esto implica ver matemáticas y otras materias en las cuales van incluidas los números.Las ingenierías son las carreras donde más matemáticas se emplean, puesto que en estas son muy necesarias, ya que un ingeniero que no sepa matemáticas, no es ingeniero.Un ingeniero debe tener muchos conocimientos, acerca de diferentes temas, asignaturas. En la ingeniería hay unas materias que son básicas, como lo son la química, calculo, matemáticas, estas son básicas para un ingeniero de cualquier rama (ambiental, industrial, civil, sistemas, mecánico, electrónico, etc.).Es importante aclarar que las materias anteriormente mencionadas son vistas con mayor intensidad, dependiendo de la carrera de ingeniería que se haya escogido.Por ejemplo un ingeniero de sistemas tiene que ver con mayor intensidad las matemáticas, puesto que su carrera se lo exige, ya que sus cálculos por llamarlo de alguna manera, son estrictamente hechos con las diferentes aplicaciones de las matemáticas; para crear un programa ellos necesitan de las matemáticas para elaborar las diferentes aplicaciones de una computadora.

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Ahora bien si se elige una carrera como la ingeniería civil, ya vas a ver unas matemáticas más enfocadas en la elaboración de planos, de cálculos, etc.Algunas ingenierías como la ambiental utilizan las matemáticas, para hacer medidas, cálculos, para delimitar zonas. Pero en ocasiones una de las aplicaciones de las matemáticas como lo son las matrices, vectores, ecuaciones diferenciales.

2.3 Modelo de Ecuación Diferencial Ordinaria2.3.1 Modelo exponencial

Si y(t) representa a una cantidad desconocida que depende del tiempo, entonces para poder encontrar esta función sera necesario establecer algún tipo de hipótesis sobre la forma que dicha función cambia con el tiempo. De entre todas ellas, una de la más elemental, es suponer que la tasa de cambio de y(t), en cada momento, es directamente proporcional a la cantidad presente. Es decir,Y´(t) = αy(t) ;Donde α es la constante de proporcionalidad.Resolviendo esta ecuación diferencial de variables separables,

∫dy ( t )y ( t )

=∫ α dt ¿¿=¿ ln|y (t )|=αt+ ln cO bien,

ln y(t) - ln c =α t =>ln( y (t)c

¿=α t

Despejandoy(t) = c eαt

Si suponemos que y(0) = y0, entoncesy(0) = c e0 = c = y0 ;

y la solución viene dada pory(t) = y0 e αt

Observemos que si α > 0, entonces la función y(t) crece sin límite, mientras que si α< 0 la función y(t) disminuirá cuando t aumente.

2.3.2 Modelo de la deuda de DOMAREste modelo considera que la deuda nacional (D) y el ingreso nacional (I) son funciones del tiempo, y supone que las razones de cambio de la deuda y del Ingreso son proporcionales al nivel de ingreso en cualquier tiempo “t”, además se dan las condiciones iníciales, es decir un nivel de Deuda (Do) e Ingreso (Io) inicial.

Es decir:

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dDdt

= kI ( t )dIdt

=mI ( t )

Ademas I (0 )=I o D(0 )=D0

A partir de estas condiciones se obtiene las funciones I ( t), D (t) planteando y resolviendo las ecuaciones diferenciales formadas

2.3.3 Modelo Económico de Oferta y DemandaEl precio de un bien en cualquier tiempo t o sea p(t), está determinado por la condición de que la demanda en t es igual a la oferta en t, es decir

f(p(t), p´(t))=g(p(t), p´(t))Como se puede ver la ecuación anterior es una EDO de primer orden, con función desconocida p = p(t)Ahora bien, las formas más simples de f y g son funciones lineales en p(t) y p’(t), esto es:

D=a1p(t)+ a2p´(t)+ a3

S=b1p(t)+ b2p´(t)+ b3

En donde a1 y b1 son constantes reales.Aplicando el principio económico de oferta y demanda D = S se obtiene:

a1p(t)+ a2p´(t)+ a3=b1p(t)+ b2p´(t)+ b3

Operando:P´ (t)+ [(a1-b1/ a2-b2)] p(t)=(b3-a3)/ (a2-b2) (1)

Con. a1≠b1, a2≠b2, a3≠b3

La EDO (1) es lineal no homogénea, con FD p = p(t).Si la ecuación está sujeta a la condición inicial p(0) = p0 se origina definido como:

P´ (t)+ [(a1-b1/ a2-b2)] p(t)=(b3-a3)/ (a2-b2)p(0) = p0 (2)

La solución particular de la ecuación (2) de aplicar la condición inicial p(0) = p0: es

P(t)=b3−a3a1−b1

[ p0b3−a3a1−b1

]e−[ a1−b1a2−b2 ] t (3)

Se presentan varias posibilidades:Caso 1.- Si p0=(b3-a3)/(a1-b1) entonces de (3) se obtiene que p(t) = p0

Situación en la cual los precios son constantes todo el tiempo.Caso 2.- Aquí el precio p(t) tiende a (b3 – a3) / (a1 – b1) como el límite cuando t crece, asumiendo que este límite es positivo. En

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este caso se tiene estabilidad de precios y el límite (b3 – a3) / (a1 – b1) se llama precio de equilibrio.Caso 3.- (a1 – b1)/(a2- b2)<0 En este caso, el precio p(t) crece indefinidamente, a medida que t crece, asumiendo que p0=(b3 – a3) / (a1 – b1) . Se presenta aquí inflación continuada o inestabilidad de precios.

2.3.4 PRECIOS FUTUROSEn este modelo, se ha considerado que las funciones de oferta y demanda dependen del precio en un instante. Sin embargo es frecuente que tanto vendedores como compradores tomen sus decisiones no sólo en función del precio del bien en el instante presente, sino también en función de la tendencia de dicho precio, puesto que el estudio de esa tendencia crea expectativas sobre los precios futuros, influyendo desde luego en la oferta y la demanda.Para introducir estas expectativas en el modelo matemático, se debe suponer que las funciones de oferta y demanda no sólo dependen de p y p’ sino también de p’’. En estas condiciones las funciones de oferta y demanda se definen respectivamente por

S = S(p, p’, p’’) y D = D(p, p’, p’’).Aplicando el principio económico de oferta y demanda se puede escribir

S(p, p’, p’’)= D(p, p’, p’’)Lo cual origina una ecuación diferencial lineal no homogénea con coeficientes constantes, con función desconocida p(t) de la forma

A0p´´(t)+ a1p´(t)+ a2p(t)=b2.3.5 INVENTARIOS

El procedimiento de este modelo se explica a continuación.Sea q(t) el número de unidades de un bien cualquiera en un tiempo t.Variación instantánea de q(t) es precisamente la diferencia entre oferta y demanda:

dqdt

=S−D (1)

En el caso especial en que q es constante, S = DAhora, si se supone que el productor desea proteger sus utilidades, para lo cual se requiere que la tasa a la cual incrementará el precio sea proporcional a la tasa a la cual declina el inventario, esto es:

dpdt

=−α dqdt

(2)

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Donde α > 0 es constante de proporcionalidad, que se asume conocida.Reemplazando (1) en (2):

dpdt

=−α (S−D) (3)

La EDO (3) es lineal y no homogénea. Si además se impone la condición inicial p(0) = p0, se puede definir el siguiente :

dpdt

=−α (S−D ) ; p(0) = p0

No está por demás hacer notar que S y D son funciones de p.2.4 Platear un modelo Económico

Se plantea y resuelve a continuación un problema en el que después deaplicar el modelo económico de oferta y demanda, la ecuación diferencial resultante, tiene como segundo miembro una función de t, y no un valor numérico.La demanda y la oferta de un bien están dadas en miles de unidades por las ecuaciones D=240-8p(t)- 2p´(t) y S=24(2- e2t)+ 16p(t)+ 10p´(t) respectivamente. En t = 0, el precio del bien es de US$12.a) Encontrar el precio en cualquier tiempo t y obtener su gráfico.b) Determinar si hay estabilidad de precio y el precio de equilibrio si existe alguno.

2.5 Solución del modelo Económicoa) Por el principio económico de oferta y demanda, se tiene

24(2- e2t)+ 16p(t)+ 10p´(t)= 240-8p(t)- 2p´(t)P´(t)+ 2p(t)= 16+ 2e-2t

La solución general de esta ecuación lineal no homogénea esp=Ce2t+ (8+ 2te-2t)

b) Para examinar si existe o no estabilidad de precio, se aplica la condición inicial p(0) = 12 y se obtiene C = 4. Sustituyendo este valor en la expresión de p:p=4e-2t+ 8+ 2te-2t; p=(4+2t)e-2t+8

Esta función determina el precio en cualquier tiempo t, y su gráfico se puede ver

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Cuando, t→α p→8 entonces se presenta estabilidad de precio y el precio de equilibrio es US$8.

3. Conclusiones Dado que la economía es una ciencias que se ocupa de estudiar la

manera como se administran recursos escasos con el objeto de producir bienes y servicios, intentar dar a solución a problemas de este tipo, a través de un modelo matemático es una tarea bastante compleja y difícil, si se tiene en cuenta la amplia gama de factores endógenos y exógenos que rodean al problema en sí mismo. Más aún, como se trata de una disciplina científica fundamentalmente social, que tiene como principal razón al ser humano y todo su entorno sostenible, se debe reconocer que se trabaja con seres vivos fuertemente sensibles a variables no explicativas en los ámbitos de los modelos utilizados. De ahí que, esos modelos deben estar sometidos a permanentes validaciones y ajustes, paralelamente a la determinación de su grado de incertidumbre.

Sin lugar a dudas, el uso de ecuaciones diferenciales facilita enormemente la interpretación económica de los problemas relacionados con la oferta y demanda, sobre todo la representación gráfica de las soluciones de las mismas. De hecho, proporciona un magnífico cuadro visual para determinar si en la situación planteada existe o no estabilidad de precio y el precio de equilibrio, si estos existen. Se insiste en el hecho de que cualquier resultado obtenido teóricamente, debe finalmente ser probado a la luz de la realidad.

4. Bibliografías EDWARDS / PENNEY (1993). Ecuaciones diferenciales elementales.

México: PHH.

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DERRICK / GROSSMAN (1984). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. México: Fondo Educativo Interamericano

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/ EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap1-geo/node3.html

http://www.monografias.com/trabajos97/introduccion-ecuaciones- diferenciales-teoria-y-ejemplos-resueltos/introduccion-ecuaciones-diferenciales-teoria-y-ejemplos-resueltos.shtml