Proceso de Carga de un Capacitor

1. OBJETIVOS

1.1 Determinar la ecuación V vs. t que rige el proceso de carga de un condensador en un circuito RC.1.2 Determinar la constante de tiempo del circuito experimental RC.

2. FUNDAMENTO TEÓRICO

El capacitor es un dispositivo electrónico con la característica de almacenar energía electrostática, la cual es una función de la carga eléctrica acumulada en las placas del condensador.

Figura 1: Circuito RC.

Proceso de Carga

Considere el circuito RC que se muestra en la Figura 1. Cuando el interruptor se mueve a la posición c, el capacitor comienza a cargarse rápidamente por medio de la corriente I; empero, a medida que se eleva la diferencia de potencial V = q/C entre las placas del capacitor, la rapidez del flujo de carga al capacitor disminuye.

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla de la izquierda se tiene:

(1)

donde I es la corriente instantánea y q es la carga instantánea en el condensador. Inicialmente, la carga en el condensador es cero y la corriente es máxima: Io = /R. A medida que la carga en el capacitor se incrementa se produce entre las placas del capacitor una fuerza contraelectromotriz V = q/C que se opone al flujo adicional de carga y la corriente disminuye. Si fuera posible continuar cargando en forma indefinida, los límites en t = serían Q = C e I = 0. Al aplicar métodos de solución a la ecuación (1) para la carga instantánea q, se obtiene:

q = Q ( 1 – e t / RC ), (2)

De acuerdo a la definición de capacitancia (C = q / V ), la diferencia de potencial, V, entre las terminales del capacitor está dado por:

V = (1 – e t / R C ) (3)

fem

c d

VC

S

R

donde t es el tiempo y e es una constante (base de los logaritmos neperianos), e = 2,71828 con seis cifras significativas. Tanto el incremento de carga como el voltaje son funciones exponenciales, tal como se muestra en la Figura 2.

La corriente instantánea que se obtiene por medio de I =dq/dt, está dada por

IR

etRC

, (4)

Esta función es exponencial decreciente, lo cual ratifica pues que la corriente en el circuito disminuye hasta cero a medida que transcurre el tiempo. Se obtienen valores característicos de la carga instantánea y del voltaje para el instante particular cuando t = RC. Este tiempo, denotado por , se llama constante de tiempo del circuito.

RC , constante de tiempo, (5)

En un circuito capacitivo la carga (o voltaje) en un capacitor se elevará al 63% de su valor máximo al cargarse en un tiempo igual a una constante de tiempo.

Análisis Experimental del Proceso de Carga

Para comprobar experimentalmente la ecuación (3) se toman datos de voltaje y tiempo en un circuito RC del tipo mostrado en la Figura 1. A fin de determinar las constantes y = RC de la ecuación (3), se procede a linealizar la curva obtenida de la siguiente manera.En primer lugar, hacemos algunos arreglos algebraicos en la ecuación (3):

V = (1 e t / ) V = e t /

Aplicamos ahora logaritmos naturales a ambos lados de esta última expresión:

Ln( V) = Ln(e t / ) Ln( V) = Ln t / .

Esta ecuación puede representarse gráficamente como una recta si hacemos los siguientes reemplazos:

Y = Ln(V) y X = t, (8)

Con estas nuevas variables, la ecuación anterior queda expresada ahora como:

Y = Ln + (–1/) X (9)

t

0

V

0,63

Figura 2: V vs t, proceso de carga.

En donde, si recordamos la forma general de la ecuación de una recta, debemos notar que el intercepto A de esta recta es A = Ln y la pendiente B es el inverso negativo de la constante de tiempo del circuito. Por lo tanto, se puede determinar experimentalmente la constante de tiempo del circuito RC, conociendo la pendiente de la recta Ln(V) vs t:

= (10)

Note que la unidad de es el segundo (s) y de la pendiente es el s–1.

3. MATERIALES E INSTRUMENTOS

Materiales Instrumentos Precisión

4. PROCEDIMIENTO Y DATOS EXPERIMENTALES

4.1 Haga un reconocimiento del circuito experimental (Figura 3) asegurando que el interruptor esté en la posición d. Lea y anote el valor de la capacitancia del condensador y de la resistencia.

4.2 Con el conmutador en la posición d, conecte la fuente de poder al circuito y regule el valor de la fem a un valor aproximado a 10 V. Anote el valor elegido.

4.3 Conecte el voltímetro a las terminales del capacitor y cerciórese que marque 0 V.

4.4 Pase rápidamente el conmutador S a la posición “c” y mida el tiempo que demora el condensador en incrementar su voltaje de cero a 1 V.

4.5 Alcanzado este valor en el voltímetro pase el conmutador a la posición “d” de descarga (haga un cortocircuito a la resistencia para que la descarga sea más rápida). Con V =0 en el voltímetro el equipo está listo para realizar otra medición.

c d

VC

S

R

Figura 3: Circuito experimental.

4.6 Repita la medición del ítem 4 tres veces más a fin de obtener un tiempo promedio de la carga del condensador de 0 a 1 V.

4.7 Repita los pasos 4, 5 y 6 para mediciones del tiempo de carga del condensador de cero a 2 V, luego de cero a 3V, de cero a 4V, de cero a 5V, de cero a 6V, de cero a 7V y de cero a 8V.

4.8 Anote todos los datos en la Tabla 1.

R = ........................... C = ............................ = ................................

Tabla N o 1: Carga del capacitor

i Vi

(V) t1

(s) t2

(s) t3

(s) t4

(s) t (s) ln ( - V)

1

2

3

4

5

6

7

8