TEMA 3.10. CIRCUITOS TEMA 3.10. CIRCUITOS RC EN SERIE.RC EN SERIE.

Anteriormente se estudió el Anteriormente se estudió el capacitor como un dispositivo capacitor como un dispositivo electrostático capaz de electrostático capaz de almacenar carga.almacenar carga.

El proceso de cargar y descargar El proceso de cargar y descargar capacitores en un circuito de corriente capacitores en un circuito de corriente alterna proporciona un medio efectivo alterna proporciona un medio efectivo para regular y controlar el flujo de carga. para regular y controlar el flujo de carga. Sin embargo antes de analizar los efectos Sin embargo antes de analizar los efectos de la capacitancia en un circuito de c. a., de la capacitancia en un circuito de c. a., será de utilidad describir el crecimiento y será de utilidad describir el crecimiento y decaimiento de la carga en un capacitor.decaimiento de la carga en un capacitor.

Considere el circuito ilustrado en la figura Considere el circuito ilustrado en la figura siguiente, que contiene sólo un capacitor y siguiente, que contiene sólo un capacitor y un resistor (circuito RC).un resistor (circuito RC).

Cuando el interruptor se mueve a SCuando el interruptor se mueve a S11, el , el capacitor empieza a descargarse capacitor empieza a descargarse rápidamente mediante la corriente I. Sin rápidamente mediante la corriente I. Sin embargo, a medida que aumenta la embargo, a medida que aumenta la diferencia de potencial Q/C entre las diferencia de potencial Q/C entre las placas del capacitor, la rapidez del flujo de placas del capacitor, la rapidez del flujo de carga al capacitor disminuye. En cualquier carga al capacitor disminuye. En cualquier instante, la caída de potencial IR a través instante, la caída de potencial IR a través del resistor debe ser igual que la del resistor debe ser igual que la diferencia de potencial entre el voltaje Vdiferencia de potencial entre el voltaje VBB de las terminales de la batería y la fuerza de las terminales de la batería y la fuerza contraelectromotriz del capacitor. contraelectromotriz del capacitor. Simbólicamente.Simbólicamente.

Diagrama que muestra el método Diagrama que muestra el método para cargar y descargar un para cargar y descargar un

capacitor.capacitor.S1

+

-

C

R

VVBB – – QQ = IR (1) = IR (1) CC Donde I = corriente instantáneaDonde I = corriente instantánea Q = carga instantánea del capacitor.Q = carga instantánea del capacitor. Inicialmente, la carga Q es cero, y la Inicialmente, la carga Q es cero, y la

corriente I es máxima. Por lo tanto, en el corriente I es máxima. Por lo tanto, en el tiempo t = 0.tiempo t = 0.

Q = 0 e i = Q = 0 e i = VVB B (2)(2) RR

A medida que se incrementa la carga en el A medida que se incrementa la carga en el capacitor, se produce una fuerza capacitor, se produce una fuerza contraelectromotriz Q/C que se opone al contraelectromotriz Q/C que se opone al flujo adicional de carga y la corriente i flujo adicional de carga y la corriente i disminuye. Tanto el incremento en la disminuye. Tanto el incremento en la carga como la disminución de la corriente carga como la disminución de la corriente son funciones exponenciales, como se son funciones exponenciales, como se aprecian en las figuras siguientes. Si fuera aprecian en las figuras siguientes. Si fuera posible continuar el proceso de carga posible continuar el proceso de carga indefinidamente, los límites en t = indefinidamente, los límites en t = ∞ serían∞ serían

Q = CVQ = CVBB e i = 0. (3). e i = 0. (3).

RC 2 RC 3 RC 4 RC 5 RC tiempo

0.63 Q max

Q max

Q

Q max = CVB

La carga de un capacitor aumenta y se aproxima a su valor máximoPero nunca alcanza éste.

0.37 i max

RC 2 RC 3 RC 4 RC 5 RC tiempo

i max

i

La corriente disminuye aproximándose a cero mientras la cargaAumenta hasta su valor máximo.

Los métodos de cálculo aplicados a la ecuación 1, Los métodos de cálculo aplicados a la ecuación 1, muestran que la carga instantánea es:muestran que la carga instantánea es:

Q = CVQ = CVBB (1-e (1-e-t/RC-t/RC) ) (4).(4). Y la corriente instantánea se obtiene por medio Y la corriente instantánea se obtiene por medio

de:de: i = i = VVB B ee-t/RC -t/RC (5)(5) RRDonde t es el tiempo. La constante logarítmica Donde t es el tiempo. La constante logarítmica e = 2.71828 hasta la sexta cifra significativa. La e = 2.71828 hasta la sexta cifra significativa. La

sustitución de t = 0 y t = sustitución de t = 0 y t = ∞ en las ecuaciones anteriores nos ∞ en las ecuaciones anteriores nos conduce a las ecuaciones 2 y 3 respectivamente.conduce a las ecuaciones 2 y 3 respectivamente.

Las ecuaciones para calcular la carga Las ecuaciones para calcular la carga y la corriente instantáneas se y la corriente instantáneas se simplifican en el instante particular simplifican en el instante particular en que t = RC. Este tiempo, en que t = RC. Este tiempo, generalmente representado por generalmente representado por ττ, , se se llama llama constante de tiempoconstante de tiempo del del circuito.circuito.

ττ = RC = RC constante de tiempo (6). constante de tiempo (6).

Analizando la ecuación 4 vemos que la Analizando la ecuación 4 vemos que la carga Q eleva en 1 -1/e veces su valor carga Q eleva en 1 -1/e veces su valor final en una constante de tiempo:final en una constante de tiempo:

Q = CVQ = CVBB (1-1/e) = 0.63 CV (1-1/e) = 0.63 CVBB.. (7) (7) En un circuito capacitivo, la carga en En un circuito capacitivo, la carga en

un capacitor se elevará al 63 por un capacitor se elevará al 63 por ciento de su valor máximo después de ciento de su valor máximo después de cargarse por un periodo de una cargarse por un periodo de una constante de tiempoconstante de tiempo..

Al sustituir Al sustituir ττ = RC = RC en la ecuación 5 se en la ecuación 5 se demuestra que la corriente suministrada al demuestra que la corriente suministrada al capacitor disminuye 1/e veces su valor capacitor disminuye 1/e veces su valor inicial en una constante de tiempo:inicial en una constante de tiempo:

i = i = VVBB 1/e =0.37 1/e =0.37 VVBB RR R R En un circuito capacitivo, la corriente En un circuito capacitivo, la corriente

suministrada a un capacitor suministrada a un capacitor disminuirá 37 por ciento de su valor disminuirá 37 por ciento de su valor inicial después de cargarse por un inicial después de cargarse por un periodo de una constante de tiempoperiodo de una constante de tiempo..

Consideremos ahora el problema de Consideremos ahora el problema de descargar un capacitor. Por razones descargar un capacitor. Por razones prácticas,prácticas, un capacitor se considera un capacitor se considera totalmente cargado después de un periodo totalmente cargado después de un periodo de tiempo igual a cinco veces la constante de tiempo igual a cinco veces la constante de tiempo (5 RC)de tiempo (5 RC). Si el interruptor de la . Si el interruptor de la figura 1 ha permanecido en la posición Sfigura 1 ha permanecido en la posición S11 durante este lapso de tiempo, por lo durante este lapso de tiempo, por lo menos, se puede suponer que el capacitor menos, se puede suponer que el capacitor ha quedado cargado al máximo CVha quedado cargado al máximo CVBB..

Si se mueve el interruptor a la posición SSi se mueve el interruptor a la posición S22, , la fuente de voltaje queda desconectada la fuente de voltaje queda desconectada del circuito y se dispone de un camino o del circuito y se dispone de un camino o trayectoria para la descarga. En este caso, trayectoria para la descarga. En este caso, el voltaje de la ecuación 1 se reduce a:el voltaje de la ecuación 1 se reduce a:

- Q/C = iR (9).- Q/C = iR (9). Tanto la carga como la corriente decaen Tanto la carga como la corriente decaen

siguiendo curvas similares a las mostradas siguiendo curvas similares a las mostradas para la corriente de carga en la figura 3. para la corriente de carga en la figura 3. La carga instantánea de determina La carga instantánea de determina mediante la siguiente ecuación:mediante la siguiente ecuación:

Q = CVQ = CVBB e e-t/RC-t/RC. (10). (10)

Y la corriente instantánea se obtiene por:Y la corriente instantánea se obtiene por: i = i = - V- VBB e e-t/RC-t/RC. (11).. (11). RR El signo negativo en la ecuación de la El signo negativo en la ecuación de la

corriente indica que la dirección de i en el corriente indica que la dirección de i en el circuito se ha invertido.circuito se ha invertido.

Después de descargar el capacitor durante Después de descargar el capacitor durante una constante de tiempo, la carga y la una constante de tiempo, la carga y la corriente habrán decaído en 1/e veces sus corriente habrán decaído en 1/e veces sus valores iniciales. Esto puede demostrarse valores iniciales. Esto puede demostrarse sustituyendo sustituyendo ττ en las ecuaciones 10 y en las ecuaciones 10 y 11.11.

En un circuito capacitivo, la carga y la En un circuito capacitivo, la carga y la corriente descenderán al 37% de sus corriente descenderán al 37% de sus valores iniciales después de que el valores iniciales después de que el capacitor ha sido descargado durante capacitor ha sido descargado durante un lapso igual a una constante de un lapso igual a una constante de tiempo.tiempo.

El capacitor se considera totalmente El capacitor se considera totalmente descargado después de un lapso de cinco descargado después de un lapso de cinco veces la constante de tiempo ( 5 RC).veces la constante de tiempo ( 5 RC).

Problemas de circuitos RC.Problemas de circuitos RC.

1.- Una batería de 12 V que tiene una 1.- Una batería de 12 V que tiene una resistencia interna de 1.5 resistencia interna de 1.5 ΩΩ se se conecta a un capacitor de 4 conecta a un capacitor de 4 μμF por medio F por medio de conductores que tienen una resistencia de conductores que tienen una resistencia de 0.5 de 0.5 ΩΩ. (a) ¿cuál es la corriente inicial . (a) ¿cuál es la corriente inicial suministrada al capacitor?. (b) ¿Cuánto suministrada al capacitor?. (b) ¿Cuánto tiempo se necesita para cargar totalmente tiempo se necesita para cargar totalmente al capacitor? (c) ¿Qué valor tiene la al capacitor? (c) ¿Qué valor tiene la corriente después de una constante de corriente después de una constante de tiempo?tiempo?

Solución (a). Inicialmente el capacitor no produce una Solución (a). Inicialmente el capacitor no produce una fuerza contraelectromotriz. Por consiguiente, la corriente fuerza contraelectromotriz. Por consiguiente, la corriente suministrada al circuito es igual a la fem de la batería suministrada al circuito es igual a la fem de la batería dividida entre la resistencia total de dicho circuito:dividida entre la resistencia total de dicho circuito:

i = i = εεBB == 12 V______ 12 V______ = = 6 Amperes.6 Amperes. R + r 1.5 R + r 1.5 ΩΩ + 0.5 + 0.5 ΩΩ Solución (b) El capacitor se puede considerar totalmente cargado Solución (b) El capacitor se puede considerar totalmente cargado

después de un tiempo después de un tiempo t = 5 RC = (5) (2 t = 5 RC = (5) (2 ΩΩ) (4 x 10) (4 x 10-6 -6 F) = F) = 40 x 1040 x 10-6-6 seg seg.. Solución (c) . Después de una constante de tiempo RC, la corriente Solución (c) . Después de una constante de tiempo RC, la corriente

habrá decaído 37% de su valor inicial. Por lo tanto:habrá decaído 37% de su valor inicial. Por lo tanto: i i ττ = (0.37 x 6 A) = 2.22 Amperes. = (0.37 x 6 A) = 2.22 Amperes.

2.- Un circuito de corriente continua 2.- Un circuito de corriente continua en serie consiste en un capacitor de en serie consiste en un capacitor de 4 4 μμF, un resistor de 5000 F, un resistor de 5000 ΩΩ y una batería y una batería de 12 V. ¿Cuál es la constante de tiempo de 12 V. ¿Cuál es la constante de tiempo para este circuito?para este circuito?

ττ = RC = = RC = 5000 5000 ΩΩ x 4 x 10 x 4 x 10 -6 -6 F = F = 0.02 seg0.02 seg..

3.- En el circuito descrito en el problema 3.- En el circuito descrito en el problema anterior, ¿cuáles son la corriente inicial y anterior, ¿cuáles son la corriente inicial y la corriente final? ¿Cuánto tiempo se la corriente final? ¿Cuánto tiempo se necesita para asegurarse de que el necesita para asegurarse de que el capacitor esté totalmente cargado?capacitor esté totalmente cargado?

i = i = VVBB e e-t/RC-t/RC. . RR i = i = 12 V12 V (2.71828) (2.71828)-0.02 seg-0.02 seg. =2.35 x 10. =2.35 x 10-3-3 A A 5000 5000 ΩΩ 2.35 mA2.35 mA i = 0.i = 0. 5 RC = 5 x 0.02 seg = 0.1 seg.5 RC = 5 x 0.02 seg = 0.1 seg.

4.- ¿Cuál es la constante de tiempo para 4.- ¿Cuál es la constante de tiempo para un circuito de corriente continua en serie un circuito de corriente continua en serie que contiene un capacitor de 6 que contiene un capacitor de 6 μμF y un F y un resistor de 400 resistor de 400 ΩΩ conectado a una batería de 20 conectado a una batería de 20 V? ¿cuál es la carga máxima para el capacitor? V? ¿cuál es la carga máxima para el capacitor? ¿cuánto tiempo se requiere para cargar por ¿cuánto tiempo se requiere para cargar por completo dicho capacitor?completo dicho capacitor?

Solución a) Solución a) ττ = RC = = RC = 400 400 ΩΩ x 6 x 10 x 6 x 10-6-6 F = F = ττ = 2.4 x 10 = 2.4 x 10-3-3 seg. seg. b) b) Q = CVQ = CVBB (1-e (1-e-t/RC-t/RC) = ) = 6 x 106 x 10-6-6 F x 20 V (1 – F x 20 V (1 –

2.71828)2.71828) - -2.4 x 10-3 seg. 2.4 x 10-3 seg. = 2.86 x 10= 2.86 x 10-7-7 Coulombs. Coulombs. 5 RC = 5 x 2.4 x 105 RC = 5 x 2.4 x 10-3-3 seg = 0.012 seg. seg = 0.012 seg.

5.- Un capacitor de 8 5.- Un capacitor de 8 μμF está conectado en serie con F está conectado en serie con un resistor de 600 un resistor de 600 ΩΩ y una batería de 24 V. Después de y una batería de 24 V. Después de un lapso igual a una constante de tiempo, ¿Cuáles son un lapso igual a una constante de tiempo, ¿Cuáles son la carga en el capacitor y la corriente en el circuito?la carga en el capacitor y la corriente en el circuito?

ττ = RC = = RC = 600 600 ΩΩ x 8 x 10 x 8 x 10-6-6 F = 4.8 x 10 F = 4.8 x 10-3-3 seg seg Q = CVQ = CVBB (1-e (1-e-t/RC-t/RC) = ) = 8 x 108 x 10-6-6 F x 24 V (1- F x 24 V (1- 2.718282.71828- - 4.8 4.8

x 10x 10-3-3 seg seg) = ) = 9.177 x 109.177 x 10-7-7 Coulombs Coulombs.. i = i = VVBB e e-t/RC-t/RC. . RR i = i = 12 V 12 V (2.71828 (2.71828 – 4.8 x 10-3 seg – 4.8 x 10-3 seg) = 0.0199 Ampere) = 0.0199 Ampere 600 600 ΩΩ 19.9 mA19.9 mA

6.- Suponga que el capacitor del problema 6.- Suponga que el capacitor del problema anterior estaba totalmente cargado y ahora está anterior estaba totalmente cargado y ahora está en proceso de descarga. Después de una en proceso de descarga. Después de una constante de tiempo, ¿Cuáles son la corriente del constante de tiempo, ¿Cuáles son la corriente del circuito y la carga del capacitor?circuito y la carga del capacitor?

Q = CVQ = CVBB (e (e-t/RC-t/RC) ) Q = 8 x 10Q = 8 x 10-6-6 F x 24 V ( F x 24 V (2.718282.71828 – 4.8 x 10-3 seg – 4.8 x 10-3 seg)) . = . = 1.91 1.91

X 10X 10-4-4 coulombs coulombs.. i = -i = -VVBB e e-t/RC-t/RC. . RR i = i = - 24 V - 24 V ( (2.718282.71828 – 4.8 x 10-3 seg – 4.8 x 10-3 seg)= )= - 0.039 A- 0.039 A.. 600 600 ΩΩ