Capítulo 2

Permutaciones de un conjunto

2.1 Introducción

Comencemos con un juego de cartas

Tomemos 9 cartas de un mismo palo numeradas del 1 al 9. Empezamos con ellas

ordenadas como se ve en la figura 2.1.

Figura 2.1: Cartas ordenadas

Ahora las separamos colocándolas alternativamente en dos montones boca

abajo. Después montamos uno sobre otro y “cortamos” todas las veces que quera-

mos y por donde queramos (“cortar” es pasar unas cuantas cartas de arriba a abajo

sin desordenarlas ni mezclarlas).

Después de hacer esto un par de veces las cartas quedan bastante desordena-

das, como puede verse en la figura 2.2.

43

Figura 2.2: Cartas desordenadas

Pero, para quedarnos más seguros del desorden, vamos a separarlas una tercera

vez y, por supuesto, “cortar” cuantas veces queramos.

Ahora miramos la carta de arriba

Figura 2.3: Cartas de arriba

y pasamos de arriba a abajo tantas cartas como indique el número (en el ejemplo

de la figura 2.3, es el 4). Entonces, enseñamos las cartas y ¡todo está ordenado

como al principio!

¿Qué es lo que ocurre? ¿Dónde está la magia?

Lo que hemos visto es un juego de “magia” que no tiene ningún “truco”. Es

álgebra y nada más que álgebra lo que hay detrás de este juego. En las siguientes

secciones vamos a profundizar en el modelo algebraico que nos va a permitir

descubrir por qué se ordenan las cartas: El grupo de las permutaciones. Y

después volveremos al juego de cartas.

44

Permutaciones de un conjunto

En cada paso del juego anterior “separamos” o “cortamos” las cartas, es decir,las

cambiamos de orden. A esto se llama una permutación. De hecho el Diccionario

de la Real Academia Española de la Lengua dice que permutar significa variar ladisposición u orden en que estaban dos o más cosas (tercera acepción).

Por ejemplo, en la figura 2.2 se observa que la primera carta se ha quedado

en su lugar, pero la segunda ahora está la octava, la tercera está la sexta, etcétera.

Esto lo podemos expresar de esta forma:

1 → 12 → 83 → 64 → 45 → 26 → 97 → 78 → 59 → 3.

O bien matricialmente:

(

1 2 3 4 5 6 7 8 91 8 6 4 2 9 7 5 3

)

donde la primera fila indica la posición inicial y la segunda la nueva posición tras

la permutación.

Pero vamos a definir permutación para conjuntos en general y después nos

centraremos en conjuntos finitos como el de las nueve cartas.

Permutación de un conjunto

Sea X un conjunto, se llama permutación de X a cualquier apli-

cación biyectiva σ : X → X .

Nota 2.1.1. El conjunto de todas las permutaciones de un conjunto X se denomina

grupo simétrico de X y se denota por

Sim(X).

Veremos enseguida la razón de llamar “grupo” a este conjunto.

45

2.2 Propiedades. El grupo de las permutaciones

Las siguientes propiedades son consecuencia directa de lo que hemos visto en el

tema anterior sobre aplicaciones.

Proposición 2.2.1. Sea X un conjunto, se verifican las siguientes propiedades:

1. La composición de dos permutaciones cualesquiera de X es también unapermutación de X . Es decir,

∀σ, τ ∈ Sim(X), τ ◦ σ ∈ Sim(X).

2. La aplicación identidad en X es una permutación de X . Es decir,

1X ∈ Sim(X).

3. La inversa de cualquier permutación de X es también una permutación deX . Es decir

∀σ ∈ Sim(X), σ−1 ∈ Sim(X).

4. La composición de permutaciones verifica la propiedad asociativa. Es de-cir,

∀σ, τ, ρ ∈ Sim(X), ρ ◦ (τ ◦ σ) = (ρ ◦ τ) ◦ σ.

PRUEBA: Ya hemos visto en el tema anterior que la composición de dos apli-

caciones biyectivas es también biyectiva, como ambas van de X en X , la compo-

sición de dos permutaciones es una permutación (1). Sabemos también que 1X es

una aplicación biyectiva de X en X , luego 1X ∈ Sim(X) (2). Cada aplicación

biyectiva tiene una aplicación inversa que es también biyectiva, si σ es una apli-

cación biyectiva de X en X entonces σ−1 : X → X es una permutación (3). Por

último, en la nota 1.3.10 (página 40) se afirma que la composición de aplicaciones

verifica la propiedad asociativa, en particular la composición de permutaciones

también la verifica (4). �

Veamos ahora con un ejemplo que la composición de permutaciones no veri-

fica la propiedad conmutativa.

Ejemplo 2.2.2. Sea X = {1, 2, 3} y sean las permutaciones de X

σ :

(

1 2 32 1 3

)

y τ :

(

1 2 32 3 1

)

.

Es decir, σ es la permutación que intercambia los números 1 y 2, dejando 3 inva-

riante, y τ es la que lleva 1 en 2, 2 en 3 y 3 en 1.

46

Entonces las composiciones de σ y τ son

τ ◦ σ :

(

1 2 33 2 1

)

y σ ◦ τ :

(

1 2 31 3 2

)

.

Que son permutaciones distintas y, por tanto, la composición de permutaciones no

es conmutativa en general1.

Es hora de justificar por qué llamamos “grupo” al conjunto Sim(X) de las

permutaciones de un conjunto X .

Para ello es necesario conocer la noción de grupo, cuya definición es la si-

guiente:

Grupo

Un grupo es un par (G, ⋆), donde G es un conjunto y ⋆ es una

operación interna y binaria sobre G verificando las siguentes pro-

piedades:

1. La operación es asociativa.

2. La operación tiene elemento neutro. Es decir,

∃e ∈ G tal que ∀x ∈ G, x ⋆ e = e ⋆ x = x.

3. Cada elemento de G posee un simétrico. Es decir,

∀x ∈ G ∃x′ ∈ G tal que x ⋆ x′ = x′ ⋆ x = e.

Si además la operación es conmutativa entonces se dice que el

grupo es abeliano o conmutativo.

Nota 2.2.3. Una operación ⋆ es interna y binaria sobre un conjunto G si a cada

par ordenado (a, b) de elementos de G le asocia un único elemento a ⋆ b de G. Es

decir, ⋆ es una aplicación de G×G en G.

Ejemplo 2.2.4. Algunos grupos bien conocidos

1. Z, Q, R y C son grupos abelianos con la suma.

1“En general” quiere decir que no negamos la posibilidad de que existan pares de permutacio-

nes cuya composición sí conmute. Animamos al lector a buscar algún ejemplo de este hecho.

47

2. Q∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} y C∗ = C \ {0} son grupos abelianos con la

multiplicación.

3. El conjunto de las matrices n × n, con elementos en un cuerpo k y de-

terminante no nulo, GL(n, k), es un grupo (no abeliano si n ≥ 2) con la

multiplicación de matrices.

En el caso de las permutaciones de un conjunto X , la proposición 2.2.1 de-

muestra que la composición es una operación interna y binaria sobre Sim(X), que

verifica la propiedad asociativa, que 1X es el elemento neutro, y que cada permu-

tación σ ∈ Sim(X) tiene un elemento simétrico que es su inversa σ−1. Además,

si X tiene al menos tres elementos, la composición no es conmutativa (ejemplo

2.2.2). Por tanto:

El grupo simétrico

El conjunto Sim(X) de las permutaciones de un conjunto X , jun-

to con la composición de permutaciones, es un grupo.

Además, si X tiene al menos tres elementos el grupo no es con-

mutativo.

2.3 Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn

Ciclos y trasposiciones

Sean X un conjunto y σ una permutación de Sim(X). Llamamos soporte de σ al

conjunto

sop(σ) = {x ∈ X | σ(x) 6= x}.

Ciclos y trasposiciones

Se dice que una permutación σ de un conjunto X es un ciclo

de longitud r o r-ciclo si es la identidad o si su soporte es un

conjunto finito de r > 0 elementos

sop(σ) = {i1, i2, . . . , ir}

donde σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, . . ., σ(ir−1) = ir y σ(ir) = i1.

Decimos que σ ∈ Sim(X) es una trasposición si es un ciclo de

longitud 2.

48

Figura 2.4: Ciclo

Nota 2.3.1. Sea σ ∈ Sim(X) un ciclo tal que sop(σ) = {i1, i2, . . . , ir} donde

σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, . . ., σ(ir) = i1. Entonces escribiremos σ de la siguiente

forma

σ = (i1i2 . . . ir)

sabiendo que si x ∈ X no aparece en la lista entonces σ(x) = x.

Obsérvese que con esta notación tenemos diferentes representaciones de un

mismo ciclo:

σ = (i1i2 . . . ir) = (i2i3 . . . iri1) = · · · = (iri1 . . . ir−1).

Siguiendo esta notación podemos escribir el ciclo identidad como

1X = (),

pues sop(1X) = ∅ yo todos los elementos que no aparecen entre los paréntesis (o

sea, todos los elementos de X) quedan invariantes..

Ejemplo 2.3.2. Veamos algunos ejemplos:

1. La permutación del conjunto {1, 2, 3, 4, 5} definida por

σ :

(

1 2 3 4 52 5 3 4 1

)

es el 3-ciclo (1 2 5).

2. La permutación del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} definida por

σ :

(

1 2 3 4 5 6 7 86 1 5 8 7 2 3 4

)

49

no es un ciclo. Sin embargo τ = (1 6 2) ◦ (3 5 7) ◦ (4 8) es composición

de ciclos, veremos más adelante que este es un hecho general para permu-

taciones de conjuntos finitos.

Permutaciones disjuntas

Dos permutaciones σ, τ ∈ Sim(X) se dicen disjuntas si sus so-

portes son disjuntos.

Nota 2.3.3. En adelante omitiremos el símbolo “◦” para la composición de per-

mutaciones, escribiremos τσ en lugar de τ ◦ σ.

Permutaciones disjuntas y conmutatividad

Si σ, τ ∈ Sim(X) son permutaciones disjuntas entonces

τσ = στ.

PRUEBA: Dado x ∈ X tenemos que demostrar que τσ(x) = στ(x). Si

x /∈ sop(σ) ∪ sop(τ) entonces

τσ(x) = x = στ(x).

Si x ∈ sop(τ) entonces x /∈ sop(σ), luego τσ(x) = τ(x). Por otra parte, como

τ(x) 6= x y τ es biyectiva, tenemos τ(τ(x)) 6= τ(x). Es decir, τ(x) ∈ sop(τ). Por

tanto, τ(x) 6∈ sop(σ), lo que implica στ(x) = τ(x). Luego

τσ(x) = τ(x) = στ(x).

Análogamente, si x ∈ sop(σ) se demuestra que

στ(x) = σ(x) = τσ(x).

�

El recíproco no es cierto, es decir, si dos permutaciones conmutan no tienen

por qué ser disjuntas. Veámoslo con un ejemplo.

50

Ejemplo 2.3.4. Sea X = {1, 2, 3, 4, 5} y sean las permutaciones de Sim(X)

σ :

(

1 2 3 4 53 4 5 2 1

)

y τ :

(

1 2 3 4 55 2 1 4 3

)

.

Ambas permutaciones no son disjuntas, pues sop(σ) ∩ sop(τ) = {1, 3, 5}. Sin

embargo, no es difícil comprobar que

τσ = στ :

(

1 2 3 4 51 4 3 2 5

)

.

Nota 2.3.5. Como podemos multiplicar permutaciones vía composición, es natu-

ral definir potencias de permutaciones. Sean σ ∈ Sim(X) una permutación e i un

entero no negativo. La i-ésima potencia de σ, σi, se define mediante la siguiente

regla recursiva:

σ0 = 1X , σi = σi−1σ.

Esta definición la podemos extender a potencias negativas poniendo

σ−i = (σ−1)i.

Aprovecharemos que estamos hablando de potencias de permutaciones para

definir, en general, el concepto de orden de un elemento de un grupo.

Orden de un elemento

Sea (G, ⋆) un grupo. Diremos que un elemento x ∈ G tiene

orden finito si existen dos enteros distintos r y s tales que xr =xs. En caso contrario, es decir, si todas las potencias de x son

distintas, se dirá que x tiene orden infinito.

Nota 2.3.6. Si x ∈ G tiene orden finito existen dos enteros r y s tales que xr = xs,

luego

xr−s = e.

Orden finito de un elemento

Sea (G, ⋆) un grupo. Diremos que un elemento x ∈ G de orden

finito tiene orden m, y lo escribiremos o(x) = m si m es el menor

entero positivo tal que xm = e.

51

El orden de un elemento satisface las siguientes propiedades cuya demostra-

ción dejaremos como ejercicio:

Proposición 2.3.7. Sean G un grupo y x ∈ G. Se tienen las siguientes propieda-des:

1. o(x) = 1 ⇐⇒ x = e.

2. Si x ∈ G tiene orden finito, entonces x′ también y o(x) = o(x′).

3. Si x ∈ G tiene orden infinito, x′ tiene orden infinito.

4. Si G es finito, todo elemento de G tiene orden finito.

5. Si o(x) = m y xn = e, entonces m es un divisor de n.

En el caso de permutaciones, es fácil comprobar que el orden de un ciclo

coincide con su longitud.

Orden de un ciclo

El orden de un ciclo de longitud m ≥ 1 es m.

Uno de los resultados más importantes sobre permutaciones es el siguiente,

que será muy importante para el estudio de permutaciones de conjuntos finitos.

Expresión en ciclos disjuntos

Toda permutación con soporte finito puede expresarse como pro-

ducto de ciclos disjuntos, además esta descomposición es única

salvo el orden de los ciclos.

PRUEBA: Definimos la órbita de un elemento x ∈ X como

x = {σn(x);n ≥ 0}.

Si x /∈ sop(σ), entonces x = {x}. Si x ∈ sop(σ), entonces x ⊂ sop(σ) es un

conjunto finito. Es decir, existe un (primer) m > 0 tal que σm(x) = x y a partir

de ahí los elementos σn(x) se van repitiendo.

52

Ahora podemos definir la siguiente relación en X: x relacionado con y si

y ∈ x. Se demuestra fácilmente que esta es una relación de equivalencia, y las

clases de equivalencia son claramente las órbitas de los elementos de X .

Observamos ahora que cada clase de equivalencia, cada órbita x, corresponde

a un ciclo que es, bien () si x = {x}, bien (x σ(x) · · ·σm−1(x)) si m > 1 es el

menor tal que σm(x) = x. Estos ciclos son disjuntos, pues son clases de equiva-

lencia. Además, si σ 6= (), debe ser la composición de estos ciclos disjuntos no

triviales. El número de ciclos de orden > 1 es finito, porque el soporte de σ es

finito.

Por otra parte, si descomponemos σ como producto de ciclos disjuntos, cada

ciclo es una órbita, luego es una clase de equivalencia para la relación anterior. Y

deben estar todas las órbitas, o el producto de los ciclos no sería igual a σ. Luego

esta descomposición debe coincidir con la descomposición anterior, que es por

tanto única. �

Ejemplo 2.3.8. En X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} consideremos la permutación

σ :

(

1 2 3 4 5 6 73 6 5 1 4 2 7

)

.

Calculando las órbitas de los elementos de X se obtiene:

1 = {1, 3, 5, 4} = 3 = 5 = 4 (1354),

2 = {2, 6} = 6 (26),

7 = {7} ().

La expresión de σ como producto de ciclos disjuntos es

σ = (1354)(26).

Corolario 2.3.9. Sea X un conjunto con al menos dos elementos. Toda permuta-ción de Sim(X) con soporte finito puede expresarse como producto de trasposi-ciones.

PRUEBA: La permutación identidad se puede escribir como () = ττ , siendo τuna trasposición. Si la permutación no es la identidad, dado que toda permutación

con soporte finito puede expresarse como producto de ciclos disjuntos, es sufi-

ciente demostrar que los ciclos de longitud ≥ 2 pueden expresarse como producto

de trasposiciones. Es fácil comprobar que se satisface la siguiente igualdad:

(i1i2 . . . ir−1ir) = (i1ir)(i1ir−1) · · · (i1i3)(i1i2).

�

53

Ejemplo 2.3.10. En el ejemplo anterior, donde σ = (1354)(26), se tiene que

(1354) = (14)(15)(13).

Luego σ = (14)(15)(13)(26). Aprovechamos este ejemplo para comprobar ade-

más que la descomposición en producto de trasposiciones no es única, pues tam-

bién se verifica

σ = (14)(23)(15)(23)(13)(26).

Corolario 2.3.11. Toda permutación con soporte finito tiene orden finito.

PRUEBA: Sea σ ∈ Sim(X) una permutación con coporte finito. Si σ = () su

orden es 1. Si σ 6= () se descompone como producto de r ≥ 1 ciclos disjuntos

σ = σr · · ·σ1.

Cada ciclo σi tiene orden finito ni. Además, como el producto de ciclos disjuntos

es conmutativo

σp = (σr · · ·σ1)p = σp

r · · ·σp1 .

Sea n =∏r

i=1 ni, entonces

σn = σnr · · ·σ

n1 = ().

Luego el orden de σ es finito. �

Nota 2.3.12. ¡Ojo! En la demostración anterior no hemos probado que el orden

de σ sea n. De hecho es un buen ejercicio para el próximo tema (El anillo de los

números enteros) demostrar que el orden de σ es el mínimo común múltiplo de

los ni.

El grupo Sn

En este apartado vamos a estudiar las permutaciones sobre conjuntos finitos. Sea

entonces el conjunto X = {1, 2, . . . , n}, en este caso notaremos al conjunto de

las permutaciones de n elementos por Sn.

Orden de un grupo

Sea (G, ⋆) un grupo. Definimos su orden, que notaremos por |G|,como el cardinal del conjunto G.

54

Orden de Sn

El orden del grupo Sn es |Sn| = n!.

PRUEBA: Sea σ una permutación cualquiera de Sn, podemos ecribir

σ :

(

1 2 · · · ni1 i2 · · · in

)

.

Hay n posibles elecciones para i1, pero sólo n − 1 posibilidades para i2, pues i1no puede ser elegido de nuevo. Fijados i1 e i2 hay n− 2 posibles elecciones para

i3... y así sucesivamente hasta llegar a in, cuya elección ya está fijada por la de

los elementos anteriores.. Luego contando todas las posibilidades el número de

permutaciones distintas de Sn es

n(n− 1) · · ·1 = n!.

�

Ejemplo 2.3.13. Siguiendo el procedimiento anterior podemos dar la lista de to-

das las permutaciones de S3:(

1 2 31 2 3

)

,

(

1 2 31 3 2

)

,

(

1 2 32 1 3

)

,

(

1 2 32 3 1

)

,

(

1 2 33 2 1

)

,

(

1 2 33 1 2

)

.

Expresadas como productos de ciclos las permutaciones de S3 son

S3 = {(), (23), (12), (123), (13), (132)}.

Dado que X = {1, 2, . . . , n} es un conjunto finito, todas las permutaciones de

Sn tienen soporte finito y los resultados enunciados anteriormente se aplican a Sn,

es decir,

Descomposición en ciclos disjuntos y trasposiciones

Toda permutación de Sn se descompone de manera única, salvo

orden, como producto conmutativo de ciclos disjuntos. Además

toda permutación de Sn se puede expresar como producto de tras-

posiciones, esta vez no de manera única.

55

Explicación del juego inicial

Llegados a este punto podemos explicar cuál es la “magia” del juego de cartas.

Teníamos cartas del mismo palo numeradas del 1 al 9 y las vamos “desordenan-

do” hasta llegar a la posición inicial. Se trata por tanto de una combinación de

permutaciones de S9 que, “mágicamente”, llegan a la identidad.

La separación de cartas es la siguiente permutación2:

σ :

(

1 2 3 4 5 6 7 8 98 6 4 2 9 7 5 3 1

)

.

Que es σ = (183426759) un ciclo de longitud 9. Si no cortáramos, separar dos

veces es

σ2 = (132798465).

Y separar tres veces

σ3 = (147)(258)(369).

Cortar una carta es la permutación

κ :

(

1 2 3 4 5 6 7 8 99 1 2 3 4 5 6 7 8

)

.

Que en forma de ciclo es κ = (198765432). Cortar dos cartas es igual a cortar

una carta y luego otra, es decir,

κ2 = (186429753).

Y cortar varias cartas es:

κ3 = (174)(285)(396), κ4 = (162738495), κ5 = (159483726),

κ6 = (147)(258)(369), κ7 = (135792468), κ8 = (123456789) y κ9 = ().

Primer “hechizo mágico”: Separar tres veces seguidas es igual a cortar seis

cartas3.

σ3 = κ6.

Sabemos que en el caso de las permutaciones el orden de los factores sí altera

el producto. Cortar y separar no es lo mismo que separar y cortar:

σκ = (285)(369),

2En realidad hay dos posibles separaciones, pues nosotros decidimos qué montón ponemos

encima del otro, habría que estudiar varios casos que serían análogos a éste y que concluyen de

igual forma.3Es aquí donde sí tiene influencia relativa el hecho de poder decidir qué montón ponemos

encima del otro. En cualquier caso, hagamos la elección que hagamos, separar tres veces es igual

a cortar varias cartas.

56

κσ = (174)(258).

Si embargo, cortar cuatro cartas y separar es

σκ4 = (183426759)(162738495) = (174)(258) = κσ.

Segundo “hechizo mágico”: Cortar cuatro cartas y separar es lo mismo que se-

parar y después cortar una carta4.

κσ = σκ4.

Por lo tanto, si bien es cierto que la composición no es conmutativa, sí tenemos

ciertas reglas que nos permiten cambiar de posición “separar” y “cortar”. En

efecto:

κ2σ = κ(κσ) = κσκ4 = (κσ)κ4 = σκ4κ4 = σκ8.

κ3σ = κ(κ2σ) = κσκ8 = (κσ)κ8 = σκ4κ8 = σκ3.

κ4σ = κ(κ3σ) = κσκ3 = (κσ)κ3 = σκ4κ3 = σκ7.

κ5σ = · · · = σκ2.

κ6σ = · · · = σκ6.

κ7σ = · · · = σκ.

κ8σ = · · · = σκ5.

Ya tenemos las herramientas y “hechizos” necesarios para la explicación del

juego. Inicialmente tenemos las 9 cartas ordenadas y lo que hacemos en el juego

es separar las cartas, cortar varias veces, separar otra vez las cartas, cortar varias

veces y separar por tercera vez las cartas y cortar varias veces. Esto es:

(κrσ)(κqσ)(κpσ) = (σκr′)(σκq′)(σκp′) = σ(κr′σ)(κq′σ)κp′ =

= σ(σκr′′)(σκq′′)κp′ = σ2(κr′′σ)κq′′+p′ = σ2(σκr′′′)κq′′+p′ = σ3κr′′′+q′′+p′ =

= κ6κr′′′+q′′+p′ = κ6+r′′′+q′′+p′.

Por tanto, después de realizar el juego lo que nos queda es un simple corte. Al mi-

rar la primera carta sabemos cuántas cartas tenemos que cortar para dejar nuestras

nueve cartas ordenadas como al principio.

4Al igual que anteriormente, si al separar elegimos poner otro montón encima, siempre obten-

dremos una relación parecida en la que cortar varuas cartas y separar equivale a separar y después

cortar una carta

57

Permutaciones pares e impares

Si σ es una permutación de Sn entonces σ sustituye el orden natural de los enteros

1, 2, . . . , n por el nuevo orden σ(1), σ(2), . . . , σ(n). Así que la acción de σ puede

causar inversiones del orden natural.

Inversiones en una permutación

Se dice que σ ∈ Sn tiene una inversión si para algún par de

elementos i < j se tiene que σ(i) > σ(j).

Para contar el número de inversiones introducidas por σ necesitamos intro-

ducir un recurso formal. Consideremos un polinomio f en las indeterminadas

x1, x2, . . . , xn (ahora mismo nosostros necesitamos sólo conocer “informalmente”

qué es un polinomio, más adelante estudiaremos estos objetos). La permutación

σ actúa sobre los subíndices de las indeterminadas en f . Es decir,

σ(f(x1, x2, . . . , xn)) = f(xσ(1), xσ(2), . . . , xσ(n)).

Por ejemplo, si f = x1 − x2 − 2x3 y σ = (12), entonces σ(f) = x2 − x1 − 2x3.

Consideremos ahora el polinomio especial

f(x1, . . . , xn) =n∏

i,j=1

i<j

(xi − xj).

Los factores de σ(f) son xσ(i) − xσ(j) con i < j. Ahora bien, si σ(i) < σ(j)entonces también es factor de f , mientras que si σ(i) > σ(j) entonces −(xσ(i) −xσ(j)) es un factor de f . En consecuencia, σ(f) = +f si el número de inversiones

de σ es par y σ(f) = −f si es impar.

Signo de una permutación

Llamamos signo de la permutación σ al valor

signo(σ) =σ(f)

f.

La función signo(σ) toma valores 1 o −1 según si el número de

inversiones de σ es par o impar. Diremos que σ es una per-

mutación par si signo(σ) = 1 y una permutación impar si

signo(σ) = −1.

58

Ejemplo 2.3.14. Las permutaciones pares de S3 son (), (123) y (132), mientras

que las impares son (12), (13) y (23).

Para decidir si una permutación (no demasiado grande) es par o impar es útil

hacer un diagrama de cruces. Veamos esto con un ejemplo:

Ejemplo 2.3.15. ¿Es la permutación

σ :

(

1 2 3 4 5 6 73 7 2 5 4 1 6

)

par o impar?

Simplemente unimos los números iguales de las filas de arriba y de abajo de

σ y contamos las inversiones o cruces (figura 2.5), teniendo cuidado de evitar

intersecciones múltiples o innecesarias. Un cruce indica una inversión del orden

natural.

Figura 2.5: Inversiones de σ

Hay 11 cruzamientos, luego signo(σ) = −1 y σ es una permutación impar.

El próximo resultado es es una propiedad significativa de las trasposiciones.

Proposición 2.3.16. Las trasposiciones son siempre impares.

PRUEBA: Consideremos el diagrama de cruces (figura 2.6) para la trasposi-

ción τ = (ij) donde i < j. Contando obtenemos 2(j − i − 1) + 1 cruces, que

siempre es impar. Luego τ = (ij) es una permutación impar. �

Las siguientes son propiedades básicas de la función signo.

Proposición 2.3.17. Sean σ, τ ∈ Sn. Se satisfacen las siguientes propiedades:

1. signo(στ) = signo(σ) signo(τ).

2. signo(σ−1) = signo(σ).

59

Figura 2.6: Diagrama de cruces de τ = (ij)

PRUEBA:

1. Sea∏n

i,j=1

i<j(xi − xj). Como σ(f) = signo(σ)f , tenemos

στ(f(x1, x2, . . . , xn)) = σ(τ(f(x1, x2, . . . , xn)))= σ(signo(τ)f(x1, x2, . . . , xn))= signo(τ)σ(f(x1, x2, . . . , xn))= signo(τ) signo(σ)f(x1, x2, . . . , xn).

Pero στ(f) = signo(στ)f , luego signo(στ) = signo(σ) signo(τ).

2. Por la propiedad anterior tenemos 1 = signo(()) = signo(σσ−1) = signo(σ) signo(σ−1),luego signo(σ−1) = signo(σ).

�

Corolario 2.3.18. Una permutación σ ∈ Sn es par (impar) si y sólo si es productode un número par (impar) de trasposiciones.

PRUEBA: En efecto, si σ = τ1 · · · τr donde cada τi es una trasposición, enton-

ces

signo(σ) =

r∏

i=1

signo(τi) = (−1)r.

�

Finalizamos esta sección con la fórmula de Cauchy que relaciona el signo de

una permutación con su descomposición en ciclos disjuntos.

Fórmula de Cauchy

Sea σ ∈ Sn el producto de c ciclos disjuntos entonces

signo(σ) = (−1)m−c,

siendo m = #(sop(σ)) el número de elementos del soporte de σ.

60

PRUEBA: Sea σ = σ1 · · ·σc la descomposición de σ en ciclos disjuntos,

supongamos que cada σj tiene longitud ℓj . Sabemos que σj es producto de ℓj − 1trasposiciones. Luego signo(σj) = (−1)ℓj−1 y

signo(σ) =c∏

j=1

signo(σj) =c∏

j=1

(−1)ℓj−1 = (−1)m−c,

pues∑c

j=1 ℓj = m. �

2.4 Subgrupos de Sn

Subgrupo

Sea (G, ⋆) un grupo. Un subconjunto H de G se dice que es un

subgrupo de (G, ⋆) si (H, ⋆) es un grupo. Es decir, que efectiva-

mente un subgrupo es un grupo dentro de otro grupo con la misma

operación.

Ejemplo 2.4.1. Veamos algunos ejemplos de subgrupos:

1. Vimos en el ejemplo 2.2.4 que los conjuntos de números Z,Q,R y C son

grupos abelianos con la suma. De hecho es una cadena de subgrupos Z ⊂Q ⊂ R ⊂ C.

2. Lo mismo ocurre con los grupos Q∗ = Q\{0}, R∗ = R\{0} y C∗ = C\{0}con la multiplicación. Es también una cadena de subgrupos Q∗ ⊂ R∗ ⊂ C∗.

3. Sabemos que GL(n, k), el conjunto de las matrices n×n, con elementos en

un cuerpo k y determinante no nulo, es un grupo con la multiplicación de

matrices. Sea U el subconjunto de GL(n, k) formado por las matrices con

determinante igual a 1. Comprobemos que U es un subgrupo de GL(n, k).En efecto, si A,B ∈ U entonces det(AB) = det(A) det(B) = 1, luego

AB ∈ U . La matriz identidad, In tiene determinante igual a 1, luego perte-

nece a U . Si A ∈ U , como det(A−1) = det(A)−1 se tiene que A−1 ∈ U .

Por último, como el producto en GL(n, k) verifica la propiedad asociativa,

en particular, también la satisface en U . Así que la multiplicación de matri-

ces en U es una operación interna y binaria, asociativa, con elemento neutro

y cada matriz de U tiene su inversa en el conjunto, Luego es un grupo.

61

4. El subconjunto de S4, C = {(), (1234), (13)(24), (1432)}, es un subgrupo

con la composición de permutaciones. Para comprobar que se satisfacen

todas las propiedades de grupo, vamos a hacer la tabla de multiplicar de los

elementos de C:

◦ () (1234) (13)(24) (1432)

() () (1234) (13)(24) (1432)(1234) (1234) (13)(24) (1432) ()(13)(24) (13)(24) (1432) () (1234)(1432) (1432) () (1234) (13)(24)

En la tabla se observa que la multiplicación es una operación interna y bi-

naria en C, que está el elemento neutro () y que cada elemento tiene un

simétrico. Además, el producto en C es asociativo, pues lo es en S4. Lue-

go es subgrupo. Además, el hecho de que la tabla sea simétrica nos permite

deducir que en este caso el subgrupo C es conmutativo. Se da así la circuns-

tancia de que un subgrupo de un grupo no conmutativo, como S4, puede ser

conmutativo.

Nota 2.4.2. Si G es un grupo y H ⊂ G es finito, para comprobar que es subgrupo

es suficiente hacer la tabla de multiplicar y razonar como en el ejemplo anterior.

Si H es infinito hay que demostrar que la operación es interna entre elementos de

H , que el elemento neutro pertenece a H y que el simétrico de cada elemento de

H está también en H . En cualquier caso, la propiedad asociativa se “hereda” de

G.

El siguiente resultado nos permite “ahorrarnos” verificar alguna propiedad a

la hora de demostrar que un subconjunto es subgrupo.

Proposición 2.4.3. Sean (G, ⋆) un grupo y H ⊂ G un subconjunto. Las condi-ciones siguientes son equivalentes:

1. H es un subgrupo de (G, ⋆).

2. H es no vacío y se satisface la siguiente propiedad

∀x, y ∈ H, x ⋆ y′ ∈ H.

PRUEBA: Veamos primero 1 ⇒ 2. Si H es un subgrupo debe contener

al menos al elemento neutro, luego es no vacío. Sean x, y ∈ H . Como H es

subgrupo contiene los simétricos de todos sus elementos, en particular y′ ∈ H .

De nuevo como H es subgrupo, ⋆ es una operación interna, de donde x ⋆ y′ ∈ H ,

como queríamos.

62

Probemos ahora 2 ⇒ 1. Como H ⊂ G, los elementos de H verifican la

propiedad asociativa. Como H es no vacío, sea x ∈ H . Aplicando 2) obtenemos

x ⋆ x′ = e ∈ H.

Si x ∈ H , aplicando de nuevo 2) para e y x, tenemos

e ⋆ x′ = x′ ∈ H,

luego H contiene los simétricos de todos sus elementos. Sean x, y ∈ H , aplicando

2) esta vez para x, y′ se tiene

x ⋆ (y′)′ = x ⋆ y ∈ H. (2.4.1)

Luego H es subgrupo de (G, ⋆). �

Nota 2.4.4. Sea (G, ⋆) un grupo y sea x = x1⋆· · ·⋆xn un elemento de G, entonces

el simétrico de x es

x′ = x′

n ⋆ · · · ⋆ x′

1.

Así, si σ = ρ1 · · · ρn es una permutación, entonces su inversa es

σ−1 = ρ−1n · · ·ρ−1

1 .

Por otro lado, como el inverso de una tras posición es la misma trasposición, si

δ = τ1 · · · τm es una permutación producto de trasposiciones, su inversa es

δ−1 = τm · · · τ1.

El grupo alternado An

El conjunto An de las permutaciones pares de Sn es un subgrupo

llamado grupo alternado.

PRUEBA: Desde luego () es una permutación par, luego An es no vacío.

Si σ = τ1 · · · τ2r y ρ = π1 · · ·π2s son permutaciones pares, donde τi y πj son

trasposiciones, entonces

σρ−1 = τ1 · · · τ2rπ2s · · ·π1

es también una permutación par.

Luego por la proposición 2.4.3 se concluye que An es un subgrupo de Sn. �

63

Proposición 2.4.5. Sea H ∈ Sn un subgrupo que tiene alguna permutación impar,entonces H posee tantas permutaciones pares como impares.

PRUEBA: Sean P e I los subconjuntos de H formados por las permutaciones

pares e impares, respectivamente. Sea ρ ∈ H una permutación impar. Considere-

mos la aplicación

ϕ : P → Iσ 7→ ρσ.

Efectivamente ϕ es una aplicación bien definida, pues si σ es una permutación

par, como ρ es impar, el producto ρσ es también impar.

Si ϕ(σ) = ϕ(τ) entonces ρσ = ρτ , multiplicando a la izquierda por ρm−1obtenemos σ = τ . Luego ϕ es una aplicación inyectiva.

Por otro lado, si σ ∈ I , como ρ−1 es impar, entonces ρ−1σ ∈ P y además

ϕ(ρ−1σ) = ρρ−1σ = σ. Luego ϕ es sobreyectiva.

Por tanto la aplicación ϕ es biyectiva y hay tantas permutaciones pares como

impares en H . �

Corolario 2.4.6. Si n ≥ 2, el número de elementos de An es |An| = n!/2, esdecir, hay tantas permutaciones pares como impares.

PRUEBA: Sn es un subgrupo trivial de Sn que, como n ≥ 2, contiene a

la permutación impar (12). Luego podemos aplicar la proposición anterior para

deducir que hay tantas permutaciones pares como impares. �

Subgrupo generado

Sean (G, ⋆) un grupo y A ⊂ G un subconjunto no vacío. Sea

A′ = {x′ ∈ G | x ∈ A} el conjunto de los elementos simétricos a

los de A. Entonces el conjunto que se obtiene al operar sucesiones

arbitrarias de elementos de A y A′,

〈A〉 = {x1 ⋆ · · · ⋆ xn | xi ∈ A ∪A′, n ≥ 1},

es un subgrupo de G llamado subgrupo generado por A.

PRUEBA: Como A 6= ∅, entonces 〈A〉 también es no vacío.

Por otro lado, sean x = x1 ⋆ · · · ⋆ xn e y = y1 ⋆ · · · ⋆ ym dos elementos de 〈A〉,es decir, tales que xi, yj ∈ A ∪ A′. Es evidente que cada y′j también pertenece a

A ∪ A′. Luego

x ⋆ y′ = (x1 ⋆ · · · ⋆ xn) ⋆ (y1 ⋆ · · · ⋆ ym)′ = x1 ⋆ · · · ⋆ xn ⋆ y

′

m ⋆ · · · ⋆ y′1

64

es un elemento de 〈A〉. �

Ejemplo 2.4.7. En el grupo S4 calcular todos los elementos del subgrupo H =〈(124), (12)〉. Hay que ir operando los elementos (123), (12) y sus inversos, ad-

juntando a la lista los nuevos elementos que se obtengan. Hasta estar seguros de

haberlos encontrado todos. Una buena forma de hacer esto es ir haciendo la tabla

de multiplicar del conjunto, hasta que no se incorpore ningún nuevo elemento:

◦ () (124) (142) (12) (14) (24)

() () (124) (142) (12) (14) (24)(124) (124) (142) () (14) (24) (12)(142) (142) () (124) (24) (12) (14)(12) (12) (24) (14) () (142) (124)(14) (14) (12) (24) (124) () (142)(24) (24) (14) (12) (142) (124) ()

En este caso H = {(), (124), (142), (12), (14), (24)}.

Claro que este método es operativo si el grupo no es demasiado grande. Por

ejemplo, si calculamos los elementos de 〈(123), (234)〉, obtenemos el grupo al-

ternado A4. Este grupo tiene 12 elementos, como hemos visto, luego su tabla de

multiplicar tiene ¡144 entradas! Sin embargo, usando las propiedades que cono-

cemos de permutaciones podemos ahorrar algunos cálculos. En este último caso

sabemos que las permutaciones (123) y (234) son pares, así que lo serán tam-

bién todas las permutaciones que calculemos a partir de ellas, esto quiere decir

que el grupo 〈(123), (234)〉 tiene como mucho 12 elementos. Así que en cuanto

obtengamos 12 distintos ya sabemos que hemos terminado.

Otra propiedad que podemos usar si es pertinente, aunque en este último ejem-

plo no, es que sabemos que si un grupo tiene elementos impares entonces tiene la

misma cantidad de pares que de impares.

Grupo cíclico

Se dice que un grupo G es cíclico si existe a ∈ G tal que

G = 〈a〉 = 〈{a}〉 = {am | m ∈ Z}.

Ejemplo 2.4.8. El grupo S3 no es cíclico, pues no existe ninguna permutación

que genere todo el grupo. El grupo alternado A3 = {(), (123), (132)} es cíclico,

pues A3 = 〈(123)〉 = 〈(132)〉.

65

De hecho, para comprobar si un grupo finito de orden m es o no cíclico, hay

que verificar si existe o no en el grupo algún elemento de orden m. En S3 no hay

elementos de orden 6 mientras que en A3 hay un par de elementos de orden 3,

El teorema de Lagrange

Para finalizar vamos a demostrar el teorema de Lagrange, que también puede ser

de utilidad a la hora de calcular los elementos de un subgrupo de Sn, pues acota

los posibles órdenes de los subgrupos de un grupo finito. Si G es un grupo finito

el teorema dice que el orden de cualquier subgrupo de G divide al orden de G.

Definición 2.4.9. Sean G un grupo y H ⊂ G un subgrupo. Sobre G definimos la

relación ∼H de la manera siguiente: Dados x, y ∈ G,

x ∼H y ⇔ x′ ⋆ y ∈ H.

Proposición 2.4.10. En las condiciones de la definición anterior, las relación ∼H

es de equivalencia.

PRUEBA: Se comprueba que la relación ∼H verifica las siguientes propieda-

des:

1. Reflexiva: ∀x ∈ G, x ∼H x. Ya que x′ ⋆ x = e ∈ H .

2. Simétrica: ∀x, y ∈ G, x ∼H y ⇒ y ∼H x. Ya que y′ ⋆ x = (x′ ⋆ y)′ ∈ H .

3. Transitiva: ∀x, y, z ∈ G, x ∼H y, y ∼H z ⇒ x ∼H z. Ya que x′ ⋆ z =(x′ ⋆ y) ⋆ (y′ ⋆ z) ∈ H .

�

Proposición 2.4.11. Sean G un grupo y x ∈ G. El conjunto

x ⋆ H = {x ⋆ h | h ∈ H}

es la clase de equivalencia de x para la relación ∼H .

PRUEBA: Sea x ∈ G y llamemos x̄ a su clase de equivalencia por ∼H , es

decir,

x̄ = {y ∈ G | x ∼H y} = {y ∈ G | x′ ⋆ y ∈ H}.

Probaremos por doble inclusión que x̄ = x ·H . Si y ∈ x̄, entonces x′ ⋆y ∈ H ,

es decir, existe h ∈ H tal que x′ ⋆ y = h, de donde

y = x ⋆ h ∈ x ⋆ H.

66

Si y ∈ x ⋆ H , existe h ∈ H tal que y = x ⋆ h, de donde

x′ ⋆ y = h ∈ H ⇒ x ∼H y.

�

Teorema de Lagrange

Sea G un grupo finito, H ⊂ G un subgrupo. Entonces |H| divide

a |G|.

PRUEBA: Consideremos la relación ∼H sobre G. Como G es finito, habrá só-

lo un número finito de clases de equivalencia distintas. Sean éstas a1 ⋆H, . . . , ar ⋆H . Como G es unión disjunta de estas clases, será

|G| = #(a1 ⋆ H) + · · ·+#(ar ⋆ H).

Sea H = {h1, . . . , hn}, entonces ai ⋆ H = {ai ⋆ h1, . . . , ai ⋆ hn}, 1 ≤ i ≤ r.

Veamos que #(ai ⋆ H) = |H|, 1 ≤ i ≤ r. En efecto, si ai ⋆ hj = ai ⋆ hl se

deduce que, multiplicando a izquierda por el simétrico de ai, hj = hl. Por tanto

los elementos de la clase ai ·H son todos distintos. Luego |G| = r · |H|. �

Corolario 2.4.12. Sea G un grupo finito y sea x ∈ G, entonces el orden de xdivide al orden de G.

PRUEBA: El orden del elemento x coincide con el del subgrupo 〈x〉, que a su

vez divide al de G. �

Del siguiente resultado, que adelantamos aún sin haber definido número pri-mo, dejamos la demostración como ejercicio.

Corolario 2.4.13. Si G es un grupo de orden un número primo, entonces G escíclico.

Ejemplo 2.4.14. Volviendo al ejemplo en el que el subgrupo de S4, 〈(123), (234)〉,resulta ser A4, el teorema de Lagrange nos evita algún cálculo. Conforme van apa-

reciendo nuevos elementos del subgrupo, en cuanto aparezca el noveno elemento,

como el orden debe ser un divisor de 24, sabemos que 〈(123), (234)〉 tiene 12 o

24 elementos. Al tratarse de permutaciones pares exclusivamente, se deduce que

el subgrupo es A4.

67

Nota 2.4.15. Terminamos el estudio de las permutaciones con la siguiente cues-

tión, que dejamos como ejercicio. Sabemos que el orden de cualquier subgrupo de

G divide a su orden. Recíprocamente, si m divide a |G|, ¿existe algún subgrupo

de G de orden m? Te animamos a reflexionar esta cuestión en el grupo S4 o en

sus subgrupos.

Referencias

- Aranda, A., Narváez, L., Olalla, M.A., Piedra, R., “La magia de las per-mutaciones”, en el libro Matemáticas para Estimular el Talento III, editado

por Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales, 2014.

- Robinson, D.J.S., An Introduction to Abstract Algebra, Walter de Gruyter,

2003.

- Tema de grupos de los apuntes de Álgebra Básica del curso 2013-14, dis-

ponible en RODAS:

http://rodas.us.es/file/ef4c2591-e624-4993-b1ce-b224c7e54de0/1/

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