La integral definida

163

XI

LA INTEGRAL DEFINIDA

De manera un poco burda, en virtud de que este no es un curso de anlisis matemticoriguroso, se puede decir que todas las integrales estudiadas y calculadas en los captulos anterioresson integrales indefinidas, en el sentido de que no queda definida la integral en un valor numrico

concreto, sino en otra funcin. Por ejemplo, de la integral lo ms que se puede saber de2x dxella hasta ahora por lo estudiado en los captulos anteriores es que es igual a la funcin . 2x c+

Por el contrario, cuando de una integral de obtiene un valor numrico concreto se dice quees una integral definida. Eso es lo que se va a estudiar en este captulo, o sea, cmo convertir enun valor numrico una integral indefinida. Para ello es necesario establecer desde qu valor inicialde x hasta qu valor final se evaluar la integral. Dichos valores se llaman lmites de integracin

y se dice que se integra desde x = a hasta x = b . Su notacin es ( )ba

f x dxEl proceso consta de dos pasos: Primero integrar y despus evaluar (darle valores). Si el

resultado de la integral es , o sea que , para denotar que la funcin( )F x ( ) ( )f x dx F x c= +ya se ha integrado, pero no se ha evaluado an, se emplea la notacin

La integral definida

164

( ) ( ) bba

a

f x dx F x=Luego se evala, conforme a la siguiente regla:

que significa evaluar el resultado de la integracin en el lmite superior menos el lmite inferior.

Ejemplo 1: ( )3 21

6 4 1x x dx+ Solucin: Integrando primero se obtiene que

( ) 33 23 21

1

6 46 4 13 2x xx x dx x+ = +

33 2

1

2 2x x x= +

y ahora evaluando:

( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2lmite superior lmite inferior

2 3 2 3 3 2 1 2 1 1 = + +

= 66

Significa que la integral vale en concreto 66, es decir,

Si , entonces ( ) ( )f x dx F x c= + ( ) ( ) ( )ba f x dx F b F a=

La integral definida

165

( )3 21

6 4 1 66x x dx+ =

Ejemplo 2:8

31x dx+

Solucin: Integrando primero se obtiene que

( )3 2 88

33

2 11

3

/xx dx

++ =Y ahora evaluando:

( ) ( )3 2 3 2lmite superior lmite inferior

2 28 1 3 13 3

/ /= + +

( ) ( )3 2 3 22 29 43 3

/ /=

Elevar un nmero a la potencia tres medios ( ) significa elevarlo al cubo y luego sacarle raz32cuadrada, o a la inversa, primero sacarle raz cuadrada y luego elevarlo al cubo. Entonces sa-cando primero raz cuadrada (es el denominador 2 del exponente):

( ) ( )3 32 23 23 3

=

( ) ( )2 227 83 3

=

16183

=

383

=

La integral definida

166

Significa que la integral vale en concreto , es decir383

8

3

3813

x dx+ =

Ejemplo 3:2 2

04 x dx

Solucin: Integrando primero se obtiene que

2

2 2 2

00

44 42 2 2x xx dx x arcsen = +

22

0

4 22 2x xx arc sen= +

y luego evaluando:

2 2

lmite superior lmite inferior

2 2 0 04 2 2 4 0 22 2 2 2

arcsen arc sen = + +

0 2 1 0 0arc sen= + 2 1arc sen=

Los valores de las funciones trigonomtricas inversas son ngulos, los cuales deben siempre

expresarse en radianes, no en grados. En este caso, el seno inverso de 1 es 90 que equivale a 2

radianes, de manera que continuando con la evaluacin de la integral, se obtiene

22 = =

La integral definida

167

o sea que2 2

04 x dx =

Ejemplo 4: ( )20

1/

cos x dx +

Solucin: Integrando primero se obtiene que

( ) 220

0

1//

cos x dx x sen x + = +

y evaluando despus:

[ ]lmite inferiorlmite superior

0 02 2

sen sen = + +

Cuando no es parte del argumento de una funcin trigonomtrica debe tomarse su valorcomo 3.1415926; si, en cambio, es parte del argumento de una funcin trigonomtrica debetomarse como un ngulo dado en radianes. En este ejemplo, el primer valor no es parte deun argumento, mientras que el segundo s, por lo que

3.1415926 902

sen= += 2.570796

es decir que

( )/ 20

1 cos 2.570796x dx + =

La integral definida

168

EJERCICIO 33

Calcular el valor de las siguientes integrales definidas:

1) 2)( )4 21

9x x dx ( )5 3 22 8x x dx +3) 4)( )

4

21 3 5dx

x11

32 3x dx+

5) 6)6

2 4 1dxx +

3 2

09 x dx

7) 8)2

20 9 36dx

x + ( )2

42 2

/

/x sen x dx

9) 10)( )60

1 3/

cos x dx + 31 4dxx