Capitulo VI de métodos numéricos.

7/23/2019 Capitulo VI de mtodos numricos.

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CAPITULO VI

VI.1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

Una Ecuacin Diferencial es una ecuacin que relaciona dos o ms variables en trminos dederivadas o diferenciales de la siguiente forma:

)(xCosdx

dy=

0

!

"

"

=

+ ydx

dy

dx

yd

0"

"

"

"

=

+

y

V

x

V

# $uede ser usada como modelo matemtico de una variedad de fenmenos f%sicos # no

f%sicos& en cualquier n'mero de disci$linas cient%ficas # no cient%ficas Eem$los de tales

fenmenos inclu#en lo siguiente: $roblemas de $resin de fluos (*ermodinmica)&

circuitos elctricos sim$les (+ngenier%a Elctrica)& $roblemas de fuer,as (-ecnica)& tasasde crecimiento bacteriolgico (.iencias /iolgicas)& tasa de descom$osicin de material

radiactivo (%sica tmica)& tasas de cristali,acin de un com$uesto qu%mico (2u%mica) #

tasa de crecimiento $oblacional (Estad%stica)

En un curso introductorio de Ecuaciones Diferenciales& se le ense3a al estudiante a utili,ar

el mtodo general que $arece meor $ara la solucin de la Ecuacin Diferencial 4ineal de

Primer 5rden 4a solucin general de una ecuacin de este ti$o consiste en una familia decurvas llamadas .urvas +ntegrales

6e $uede determinar una solucin $articular de la ecuacin si se es$ecifica una condicin

de la curva solucin Por eem$lo& si se requiere que la solucin $articular (curva) $ase a

travs del $unto P(7n& #n)& entonces se obtiene una solucin $articular& esto es conocido

como un $roblema de 8alor de +nicial

En el $resente ca$%tulo se estudiarn los mtodos alternos $ara la solucin de Ecuaciones

Diferenciales en $roblemas de 8alor +nicial

VI.2. Mtodo de Euler.

El mtodo de Euler es el ms sim$le de los algoritmos $ara resolver una Ecuacin

Diferencial 5rdinaria 6in embargo& esta sim$licidad $ermite e7$licar algunas $ro$iedades

# caracter%sticas de este # otro mtodos de solucin de Ecuaciones Diferenciales 5rdinarias

En general& una ecuacin diferencial tiene la forma:


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Pagina "

-(7) d7 9 (7) d# ; 0

la cual se sim$lifica de la siguiente manera:

)&( yxfdx

dy=

Dada una Ecuacin Diferencial de la forma anterior # el valor inicial f(7 0) ; #0se $uedencalcular valores de soluciones a$ro7imadas si se a$lican integrales a ambos lados de la

ecuacin& de la siguiente manera:

= dxyxfdy )&(

Esto im$lica que el $roblema se reduce a calcular el rea bao la curva f(7)& la cual se

$uede a$ro7imar formando $eque3os rectngulos de base


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s%& el rea del $rimer rectngulo es: 0 ; 0

En general se cum$le: 1 ; 1

Por otra $arte:x

y

dxdyy

==?

4o cual $uede se escrito como:


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Pagina B

! 1! 11@!!

Para la construccin de la tabla& tngase en cuenta lo siguiente:

( a ) 4a $rimera columna determina el n'mero de iteraciones a trabaar

( b ) 4as segunda columna em$ie,a con el valor inicial de 7& incrementndose


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Pagina @

Esta a$ro7imacin tan $obre $uede meorarse si se toman tra$ecios en lugar de rectngulos

en el clculo del rea bao la curva En el mtodo de Euler se utili,a la frmula siguiente:

#i91 ; #i9 C #> i

donde $or facilidad se Can modificado los nombres de 6i seconsidera C como la altura del rectngulo # #> como la base& al tomar tra$ecios& se

cambiar%a el segundo sumando $or: C (#>i9 #i91)" el cual re$resenta el rea del tra$ecio

s%& la frmula queda como:

"

?

1

?

1+

+

++= iiii

yyhyy

devolviendo a #> su nombre de funcin se tiene:

[ ]

"

)&()&( 111

++

+

+

+= iiii

ii

yxfyxf

hyy

Esta frmula es conocida como Mtodo de /auss0sin embargo& surge un $roblema con el

mtodo Para calcular el valor de #i91se requiere conocer el valor de #i91 Para solucionar

este $roblema se utili,an los dos mtodos en conunto $rediciendo un valor de # i91con elmtodo de Euler # corrigiendo des$us con el mtodo de Fauss (de aqu% los nombres de

Mtodo Predictor Corrector# Mtodo de Euler /ausscon los que se conoce este

mtodo) dems& el mtodo de Fauss $ermite corregir el valor calculado de #i91 tantocomo se quiera de acuerdo a una G $redefinida& de la siguiente manera:

( a ) 6i H #i91c= #i91

$H I G& entonces #i91ces la a$ro7imacin buscada

( b ) 6i H #i91c= #i91$H J G& entonces se calcula de nuevo # i91c& utili,ando #i91ccomo#i91

$

donde #$re$resenta la # $redicCa $or el mtodo de Euler # # cre$resenta la # corregida $orel mtodo de Fauss

Para este mtodo se tiene el siguiente algoritmo:

Algorito Euler,/auss

Definir f!"#$%

Leer "1# $1# &"# n# Para i ' 1 (asta n

$) ' f!"1# $1%

$+' $1* $) &""1' "1* &"e+etir

$)2' f!"i# $+%

$c' $1* !$) * $)2% &"32


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Pagina A

d ' 4 $c $+4

$+' $c

(asta d 5

I+riir $c

$1' $c

fin,+araTerinar

Eem$lo: .alcular $or el mtodo Predictor = .orrector de Euler tres iteraciones $ara:

#> ; 7 9 # con #(0) ; 1& C ; 01 # G ; 0001

Para la solucin de este $roblema se constru#e una tabla de la siguiente manera:

i "i $i $)i $+

i*1 "i*1 $)i*1 $ci*1

0 00 10000 10000 10000 01 1"000 11100 00100

11100 1"100 1110@ 0000K1 01 1110@ 1"10@ 1"!1A 0" 1B!1A 1"B"A 00110

1"B"A 1BB"A 1"B!1 0000@

" 0" 1"B!1 1BB!1 1!LB 0! 1ALB 1!KKA 001"0

1!KKA 1AKKA 1B00" 0000A

! 0! 1B00"

Para la construccin de la tabla& tngase en cuenta lo siguiente:

( a ) 4a $rimera columna determina el n'mero de iteraciones a trabaar

( b ) 4as segunda columna em$ie,a con el valor inicial de 7& incrementndose


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VI.6. Mtodo de unge 7utta.

Debe ser notorio que los mtodos anteriores $ara solucionar Ecuaciones Diferenciales

tienen una misma forma general& la cual es:

#i91 ; #i9 C (7i& #i)

en donde la funcin (7i& #i) var%a seg'n el mtodo estudiado 4o anterior se debe a queambos son mtodos $ertenecientes a la misma familia de mtodos denominados Mtodos

de unge 7utta as%& el mtodo de Euler es el Mtodo de unge 7utta de Prier

Orden # el mtodo de Fauss es el Mtodo de unge 7utta de 8egundo Orden E7isten mtodos de Qunge = Rutta de *ercer 5rden& de .uarto 5rden& etc 4a diferencia

fundamental entre los mtodos de la familia estriba en que conforme el error se va Caciendo

ms $eque3o& el mtodo se va Caciendo ms com$licado El mtodo de la familia que

resulta ms accesible # de menor error es el llamado Mtodo de unge 7utta de Cuarto

Orden(conocido sim$lemente como Mtodo de unge 7utta) # est dado& en su forma

general& $or la frmula siguiente:

#i91 ; #i9 C (7i& #i)

donde: (7i& #i) ; (O19 " O"9 " O!9 OB) A

# en la cual: O 1 ; f(7& #)

++=

"&

"

1"

hky

hxfk

++=

"&

"

"!

hky

hxfk

OB ; f(7 9 C& # 9 C O!)

$ara este mtodo se tiene el siguiente algoritmo:

Algorito unge,7utta

Definir f!"#$%

Leer "1# $1# &"# n

Para i ' 1 (asta n

91' f!"# $%

92' f!" * &"32# $ * &"9132%

9-' f!" * &"32# $ * &"9232%

96' f!" * &"# $ * &"9-%

: ' !91* 2 92* 2 9-* 96% 3 ;

$ ' $ * &":


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" ' " * &"I+riir "# $

fin,+ara

Terinar

Eem$lo: .alcular $or el mtodo de Qunge = Rutta tres iteraciones $ara:

#> ; 7 9 # con #(0) ; 1 # C ; 01

Para la solucin de este $roblema se constru#e una tabla de la siguiente manera:

" $ 91 92 9- 96 :!"# $% $i*1

00 10000 10000 11000 110@0 1"10@ 110!B 1110!

01 1110! 1"10! 1!"0 1!"A! 1BB"K 1!"BA 1"B"L

0" 1"B"L 1BB"L 1@AB 1@L0K 1AKK 1@AK 1!KKA

0! 1!KKA

Para el llenado de la tabla se tiene:

( a ) 4a $rimera columna son los valores de 7 seg'n el valor inicial # el incrementodados

( b ) 4as segunda columna em$ie,a con el valor de # dado # los dems elementos se

eval'an en las siguientes columnas( c ) 4as columnas tres& cuatro& cinco # seis se eval'an con los valores 7 # # dela

fila en la corres$ondiente ecuacin

( d ) 4a s$tima columna es la evaluacin de la funcin seg'n los valores de Oi( e ) inalmente& se eval'a el valor nuevo de # seg'n la frmula de unge < 7utta

VI.=. 8oluci>n de 8isteas de Ecuaciones Diferenciales.

-ucCos $roblemas $rcticos de ciencia e ingenier%a requieren de la solucin de un sistema

de ecuaciones diferenciales ordinarias en lugar de una sola ecuacin *ales sistemas se$ueden re$resentar como:

#1> ; f1(7& #1& #"& & #n)#"> ; f"(7& #1& #"& & #n)

#n> ; fn(7& #1& #"& & #n)

4a solucin de este sistema requiere que las n condiciones iniciales se cono,can en un valorinicial de 7


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*odos los mtodos $ara ecuaciones sim$les $ueden e7tenderse $ara el sistema mostradoanteriormente 4as a$licaciones de la ingenier%a $ueden im$licar la solucin de varios

cientos de ecuaciones simultneas En este caso el $rocedimiento de solucin del sistema

de ecuaciones sim$lemente significa a$licar el mtodo de un $aso a cada una de las

ecuaciones antes de continuar con el siguiente $aso Esto se ilustra en el siguiente eem$lo

Eem$lo: Qesulvase el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales utili,ando el mtodo

de Euler& su$oniendo que en 7 ; 0& #1; B # #"; A +ntgrese a 7 ; " en incrementos de 0@

#1> ; S 0@ #1#"> ; B = 0! #"= 01 #1

6olucin: El mtodo de Euler se im$lementa como sigue:

#1(0@) ; B 9 T S 0@ ( B ) ( 0@ ) ; !#"(0@) ; A 9 T B = 0! ( A ) = 01 ( B ) ( 0@ ) ; AK

5bsrvese que #1(0) ; B se usa en la segunda ecuacin en ve, de #1(0@) ; !& calculado conla $rimera ecuacin Procediendo de una manera semeante se obtiene:

" $1 $2

00 B000000 A0000000

0@ !000000 AK000000

10 ""@0000 LL1@0000

1@ 1AL@00 BB@"@00

"0 1"A@A"@ K0KB0L@

Algorito +ara la co+utadora +ara la soluci>n de sisteas de Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias.

El $rograma $ara resolver una sola ecuacin diferencial ordinaria con el mtodo de Euler se$uede e7tender fcilmente a un sistema de ecuaciones 4as modificaciones inclu#en:

1 +ntroducir el n'mero de ecuaciones& n" +ntroducir los valores iniciales $ara cada una de las n variables de$endientes

! -odificar la subrutina de tal manera que calcule las $endientes de cada una de lasvariables

B +ncluir funciones adicionales $ara calcular las derivadas de cada una de las

ecuaciones diferenciales ordinarias

@ +ncluir las ecuaciones restantes $ara calcular un nuevo valor de cada una de lasvariables de$endientes


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5bsrvese que cualquiera de los mtodos de este ca$%tulo se $ueden usar $ara este

algoritmo 4a 'nica diferencia ser%a la formulacin de la subrutina que calcula las$endientes El mtodo clsico de Qunge = Rutta de cuarto orden es una buena alternativa

$ara este $ro$sito #a que $ro$orciona una e7actitud e7celente # es relativamente fcil de

$rogramar Una caracter%stica im$ortante de un $rograma de com$utadora $ara resolver

sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con el mtodo de Qunge = Rutta es lasecuencia de clculo de las O

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