cátedra métodos numéricos 04

8/17/2019 cátedra métodos numéricos 04

1/190

CATEDRA 0

4

METODOSNUMERICOS

Ingeniería CivilING. CRISTIAN CASTRO P.

Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y CivilDepartamento académico de ingeniería de minas y civil

Solución de Ecuaciones No Lineales


2/190

apitulo IV

Ecuaciones Algebraicas

No Lineales

ING. CRISTIAN CASTRO P.


3/190

MÉTODOS NUMÉRICOS


4/190

RAÍCES DE ECUACIONES


5/190

DEFINICIÓN


6/190

ECUACIONES ALGEBRAICAS

• Solución de una ecuación algebraica de primer grado

es solución de:

• Solución de una ecuación algebraica de segundo grado

es solución de:

• Solución de una ecuación trascendente

es solución de:


7/190

BÚSQUEDA DE UNA RAÍZ


8/190

BÚSQUEDA DE VARIAS RAÍCES


9/190

RAÍCES DE POLINOMIOS


10/190

EJEMPLOS DE APLICACIÓN EN

INGENIERÍA


11/190

RAÍCES DE ECUACIONES


12/190

SUMILLA:ECUACIONES ALGEBRAICAS NO LINEALES

- Consideraciones generales- Solución de ecuaciones no lineales

- Separación de raíces- Métodos para ecuaciones con una sola variable:

- Método de búsqueda incremental,- Iteración de punto fijo,

- Método de bisección,- Método del Regula-Falsi,- Método de Newton-Raphson,- Método de la secante,

- Criterios de convergencia- Condicionamiento- Raíces de polinomios- Deflación- Algoritmos.


13/190


14/190

Métodos Numéricos paraEcuaciones con una sola Variable

MÉTODOS PARA ECUACIONES CON UNA SOLA VARIABLE

Los métodos descritos en esta sección están orientados a la solución deecuaciones que contienen una sola variable.

Se supondrá que la ecuación por resolver está escrita en la forma:

0 x f La raíz de la ecuación es un valor de “x” que satisface la ecuación; por lo

tanto, los métodos para resolver la ecuación se denominan m ét o d o s p a r aen con t r a r r aíce s .

CONTENIDO

• Antecedentes

• Método para ecuaciones con una sola variable

• Métodos de búsqueda incremental• Método de iteración de punto fijo

• Método de bisección

• Método de Newton-Raphson

• Método de secante

• Método de Muller


15/190

Antecedentes• La finalidad principal de las matemáticas aplicadas es determinar los

valores de x que cumplan con f(x) = 0. A estos valores se denominaraíces o ceros de la ecuación

• Para polinomios de 1er. a 3er. orden existen fórmulas que permitenlograr el objetivo antes dicho, sin embargo para grados superiores lasituación se complica

• Para la resolución de las expresiones no lineales (ENL) no es posibleresolverlas salvo por aproximaciones sucesivas.

• Se presentarán a continuación procedimientos para encontrar raíces,algunos válidos para cualquier ecuación y otros sólo para polinomios

• Una de las razones para mostrar alternativas es poder responder a lapregunta principal del análisis numérico: cuál de los procedimientosdisponibles puede alcanzar un nivel de deseado de exactitud lo más

rápido posible, mayor certeza y con menos problemas para empezar• Sistemas algebraicos no lineales por computadora son de especial

ayuda par obtener raíces de ecuaciones por simple inspección


16/190

ObjetivoSea f(x) una función no lineal en x. Hallar el valor de x, x*,tal que se cumple f(x*)=0.

x* se suele denominar el cero o raíz de f(x)

x* se puede determinar por medios analíticos (soluciónexacta) o por medios numéricos (solución aproximada)

La elección del método numérico depende del problema aresolver (estructura del problema, tipo de ecuaciones,precisión requerida, rápidez del cálculo,....).

Por tanto no existe un mejor método universalmente aplicable.

Ecuaciones algebraicas no lineales

Métodos acotados (bracketing methods) Métodos abiertos (open methods)

Tipos de métodos


17/190


18/190


Métodos abiertos

•Emplean una aproximación funcional para obtener el nuevo valorestimado de la raíz (línea recta, cuadrática, polinomio)

•Métodos:

•Punto-fijo (sustitución sucesiva o directa)•Newton-Raphson (línea recta empleando información del gradiente)

•Secante (línea recta empleando dos puntos)

•Muller (aprox. cuadrática empleando tres puntos)


19/190

Convergence Rate

Number of iterations

R e l a t i v e E r r o r s

False-position method

Bisection method

10

1


Similaridades:

•Ambos métodos necesitan DOS valores iniciales

•Requieren un procedimiento para determinar elcambio de signo.

• Acaban convergiendo a la raíz con cierta tolerancia

Diferencias:

•El cálculo del nuevo punto estimado se hace condiferentes estrategias

•En general el método de la posición falsa convergemás rápido que el de la bisección.

Comparación entre ambos métodos.


20/190

PRECAUCIONES EN EL USO

DE MÉTODOS CERRADOS

xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

0)x(f ).x(f si

3 raíces (o 5, o 7 o …)

hay una raíz

hay un número impar de raíces


21/190



xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

0)x(f ).x(f si

3 raíces (1 simple y 1 doble)

hay una raíz

hay un número impar de raíces


22/190



xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

0)x(f ).x(f si

2 raíces (o 4, o 6 o …)

no hay raíz

hay un número par de raíces


23/190



xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

0)x(f ).x(f si

1 raíz doble

no hay raíz

hay un número par de raíces


24/190



• Los métodos cerrados siempre convergen,

aunque lentamente.• En la mayoría de los problemas el método de

la regla falsa converge más rápido que el debisección.

• Conviene utilizar la calculadora graficadora

o una computadora para graficar la función y realizar acercamientos necesarios hasta

tener claridad sobre su comportamiento.


25/190

Métodos Numéricos

Aplicados a la Ingeniería

Análisis Numérico de

Ecuaciones No

Lineales


26/190


27/190

MÉTODO GRÁFICOf(x)

x

Visual

xr


28/190

MÉTODO GRÁFICOx f(x)

0 1

0.05 0.90122942

0.1 0.80483742

0.15 0.71070798

0.2 0.61873075

0.25 0.52880078

0.3 0.44081822

0.35 0.35468809

0.4 0.270320050.45 0.18762815

0.5 0.10653066

0.55 0.02694981

0.6 -0.05118836

0.65 -0.12795422

0.7 -0.2034147

0.75 -0.27763345

0.8 -0.35067104

0.85 -0.42258507

0.9 -0.49343034

0.95 -0.563258981 -0.63212056-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

0.57

xe)x(f x


29/190

FUNDAMENTOS CONCEPTUALES:

• Manejar adecuadamente las DEFINICIONES de:

• LÍMITE, CONTINUIDAD Y DIFERENCIABILIDAD DE

FUNCIONES.• SUCESIONES CONVERGENTES Y DIVERGENTES.

• INTEGRAL DE RIEMANN.

• SERIES DE TAYLOR Y DE MaCLAURIN.

• TEORÍA DE ERRORES Y TÉCNICAS DE REDONDEO.

• Ejemplificar los siguientes TEOREMAS:

• EL QUE RELACIONA LA DIFERENCIABILIDAD Y LACONTINUIDAD

• DE ROLLE

• DEL VALOR MEDIO

• DEL VALOR INTERMEDIO


30/190


31/190

Teorema de ROLLE


32/190

Teorema de ROLLE Generalizado


33/190

Teorema de ROLLE Generalizado


34/190


35/190

Teorema del Valor Medio


36/190

Teorema del Valor Medio


37/190

Teorema del VALOR INTERMEDIO


38/190

Teorema del VALOR INTERMEDIO


39/190

Métodos Numéricos


Método de la

Búsqueda

Incremental


40/190

MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL

Este método es el análogo numérico de la determinación de una raíz de unaecuación al graficar f(x) contra “x” con el propósito de observar el punto en

que f(x) cruza el eje “x”.

ALGORITMO:

Método de Búsqueda Incremental

1) Un contador i se iguala a cero, se elige un valor inicial x 0 , se elige un

incremento h y se calcula un valor de referencia f 0 igula a f(x 0 ).

2) i se incrementa en 1, xi se iguala a (x 0+ih) y se calcula f(x i ).

3) Si 00

i

x f f , se regresa al paso 2; en caso contrario, se continúa

con el paso 4.

4) Se calcula la raíz “x” a partir de h x f x f x f h x x iiii



41/190

Ejercicio de Aplicación

Desviación de una viga en voladizo

Una viga voladiza horizontal se somete a una carga vertical uniforme. La vigase extiende desde su extremo fijo (x=0) hasta su extremo libre (x=L). Ladesviación máxima δmax se produce en (X=L). La desviación δ en el punto

(x=αL) está relacionada con δmax mediante:

0/364 max234 f

Aplicar el método de búsqueda incremental para resolver la ecuación para el

valor de al que max es igual a 0.75.

Solución:

A partir del problema físico, se espera que para α entre 0 y 1 exista unasolución y que esté más proxima a 1 que a 0. Por consiguiente, se elige unvalor inicial α0 igual a 1 y se usa un incremeno negativo h = -0.05.

Búsqueda con 10 , 75.00 f y 05.0h



42/190



43/190

Métodos Numéricos


Método de

Aproximaciones

Sucesivas


44/190

MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJOTambién denominado m ét o d o d e a p r o x i m a c i o n e s s u c e s i v a s , requierevolver a escribir la ecuación f(x) = 0 en la forma x = g(x).

El procedimiento empieza con una estimación o conjetura inicial de x, que esmejorada por iteración hasta alcanzar la convergencia. Para que ocurraconvergencia, la derivada (dg/dx ) debe ser menor que 1 en magnitud. Laconvergencia será establecida mediante el requisito de que el cambio en x deuna iteración a la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequeña

cantidad ε.ALGORITMO:Método de Iteración de Punto Fijo1) Se conjetura un valor inicial x 0 y se elige un parámetro de convergencia

.

2) Se calcula un valor mejorado mejorado x a partir de 0 x g xmejorado

3) Si 0 x xmejorado , x 0 se iguala a mejorado x y se vuelve al paso 2; en

caso contrario, mejorado x es la raíz aproximada.

Método de Aproximaciones Sucesivas


45/190

Un punto fijo de una función g( x ) es un número p tal que g( x ) = p.

Dado un problema f ( x ) = 0, se puede definir una función g( x ) conun punto fijo en p de diferentes maneras.

Por ejemplo g( x ) = x – f ( x ).


Si g C [a, b] y g ( x) C [a, b] para toda x C [a, b], entonces g tiene un punto fijo en [a, b].

Si además g ’( x) existe en (a, b) y una constante positiva k


46/190


47/190

Gráfica del algoritmo de punto fijo

y = g ( x)

y

x

y = x

p0

p1= g ( p0)

p3 p2 p1

p2= g ( p1)

p3= g ( p2)

y = g ( x)

y

x

y = x

p0

p1= g ( p0)

p2 p1

p2= g ( p1)

p3= g ( p2)



48/190

Casos de no convergencia

y = g ( x)

y

x

y = x

y = g ( x)

y

x

y = x



49/190


Ejercicio de AplicaciónDesviación de una viga en voladizoUna viga voladiza horizontal se somete a una carga vertical uniforme. La vigase extiende desde su extremo fijo (x=0) hasta su extremo libre (x=L). La

desviación máxima δmax se produce en (X=L). La desviación δ

en el punto(x=αL) está relacionada con δmax mediante:

0/364 max234 f

Aplicar el método de aproximaciones sucesivas para resolver la ecuación para

el valor de al que max es igual a 0.75. Empezar con 75.00 y usar elcriterio

50 10

x xmejorado para indicar la convergencia.

Solución:

La ecuación se reescribe como 6/4/3 43max g Luego, 0 g mejorado

La sucesión de valores mejorado se tabula para números de iteraciones

denotadas por i.


50/190

i 0 mejorado i 0 mejorado

1 0.750000 0.776863 9 0.811333 0.811682

2 0.776863 0.791745 10 0.811682 0.811889

3 0.791745 0.800240 11 0.811889 0.812011

4 0.800240 0.805166 12 0.812011 0.812084

5 0.805166 0.808048 13 0.812084 0.8121276 0.808048 0.809743 14 0.812127 0.812152

7 0.809743 0.810742 15 0.812152 0.812167

8 0.810742 0.811333 16 0.812168 0.812176

El último valor calculado de mejorado es la raíz estimada: 812176.0



51/190

Métodos Numéricos


Método de

Punto Fijo



52/190


Raiz

xxx x

y

y= g(x)

y= x

02 1

xx xx x

y

y= g(x)

y= x

0 23 1

Sustitución sucesiva Problema f(x)=0

1. Transformar a x=g(x)

2. Seleccionar un punto inicial x0

3. Calcular nuevo valor xi+1=g(xi)

4. Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida

Si:

|g ’(x)|=1 El algoritmo diverge


53/190

MÉTODO DEL PUNTO FIJO

1. Considera la descomposición de la función f(x) enuna diferencia de dos funciones: una primera g(x)

y la segunda, siempre la función x: f(x) = g(x) - x.2. La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es

decir, cuando g(x) – x = 0, por lo que g(x) = x.3. El punto de intersección de las dos funciones, da

entonces el valor exacto de la raíz.4. El método consiste en considerar un valor inicial

x0, como aproximación a la raíz, evaluar el valor

de esta función g(x0), considerando éste comosegunda aproximación de la raíz.5. El proceso se repite n veces hasta que g(x)coincide

prácticamente con x.


54/190


f(x)

x

É


55/190


f(x)

x

x)x(g)x(f

É


56/190


• La fórmula de recurrencia para el método del punto

fijo se obtiene de considerar una función que el

resultado de sumar la función f con la funciónidentidad:

g(x) f (x) x

f (x) g(x) x

f(x) 0 g(x) x 0

g(x) x

g(x) f(x) x

f(x) g(x) x

f(x) 0 g(x) x 0g(x) x



57/190

MÉTODO DEL PUNTO FIJOf(x)

xxr

x

g(x)

f(x)



58/190


xxr

Las funciones x y g(x) se cortanexactamente en la raíz xr

x

g(x)

f(x)



59/190


xx0 x1

g(x0

)

10

x)x(g



60/190


f(x)

xx0 x3 x2 x1

Requisito para convergencia

1)x('g



61/190


• Sólo hay convergencia si la magnitud de la pendientede g(x) es menor que la pendiente de la recta f(x) = x.• La ecuación de recurrencia es:

• Si x* es el verdadero valor de la raíz:

• Y por el teorema del valor medio:

• Si , los errores disminuyen en cada iteración

• Si , los errores crecen en cada iteración

i 1 ix g(x )

* *x g(x )* *

i 1 ix x g(x ) g(x ) * *

i ig(x ) g(x ) (x x )g '( ) *

i 1 i 1

*i i

x x E

g'( ) x x E

g'(x) 1

g'(x) 1



62/190


solución monótona

solución oscilante

Convergencia

Divergencia

g'(x)

g'(x)



63/190


Decisiones Función Recurrencia Xr = 0.567143

xe)x(f x

iteración X i f(X i) g(Xi) e(%) e*(%)

1 0 1 1 100.00

2 1 -0.63212056 0.36787944 76.32 100.00

3 0.36787944 0.32432119 0.69220063 35.13 171.83

4 0.69220063 -0.19172713 0.5004735 22.05 46.85

5 0.5004735 0.10577003 0.60624354 11.76 38.31

6 0.60624354 -0.06084775 0.54539579 6.89 17.45

7 0.54539579 0.03421655 0.57961234 3.83 11.16

8 0.57961234 -0.01949687 0.56011546 2.20 5.90

9 0.56011546 0.01102765 0.57114312 1.24 3.48

10 0.57114312 -0.00626377 0.56487935 0.71 1.93

11 0.56487935 0.00354938 0.56842873 0.40 1.11

12 0.56842873 -0.00201399 0.56641473 0.23 0.62

13 0.56641473 0.0011419 0.56755664 0.13 0.36

14 0.56755664 -0.00064773 0.56690891 0.07 0.20

15 0.56690891 0.00036732 0.56727623 0.04 0.11

16 0.56727623 -0.00020833 0.5670679 0.02 0.06

17 0.5670679 0.00011815 0.56718605 0.01 0.04


64/190

Método de Bisección


65/190

Métodos acotadosBase: Una función cambia de signo en la proximidad de una raíz

•Una raíz está acotada en el intervalo [a,b] si el signo de f(a) es diferente

al signo de f(b)

a b

f ( x)

xMid-point

Next estimate of Bisection

Bisection Method

f (a)

f (b)

[a,b]

[nuevopunto]

1. Selecciona un intervalo [a,b] donde hallaun cero

2. Calcula el punto medio como nuevo punto

3. Comprueba si hay cambio de signo en

[a,p] o en [p,b]. Comprobación: f(a)*f(p).4. Si el producto es cero, entonces p es una

raíz. Si no es cero volver al punto 2.

Algoritmo

Método de la bisección (o intervalo medio)



66/190

MÉTODO DE BISECCIÓNEl método de bisección también se denomina método de b i p a r t i c ión d e li n t e r v a l o porque la estrategia es bisectar o separar a la mitad el intervalo dexa y xb y luego retener el semiintervalo cuyos extremos siguen acotando la

raíz.Este se clasifica como un método de acotamiento. Es aplicable a ecuaciones dela forma f(x) = 0 cuando es posible encontrar dos valores limitantes xa y xbtales que la función f(x) cambia de signo una vez para valores x en el intervalo

ba x x x . Por consiguiente, los valores limitantes acotan la raíz.El requisito de que la función cambie de signo sólo una vez constituye unamanera de detrminar cuál semiintervalo retener.

• Este método se basa en encontrar una raíz de (x)=0 empezando con dosvalores que encierran o ponen entre corchetes a la raíz

• Nos damos cuenta que una función está entre corchetes cuando cambiade signo en sus puntos extremos. La función tiene que ser continua

• Se concibe como un método de búsqueda binaria en donde se va buscandola raíz en subintervalos de intervalos




67/190


(xa)0

(x)

Intervalo ori inal 0

raíz

x

(x b)0,1

(xa)1,2

(x b)2

(xm)0

(xm)1

Des ués de la bisección 1



68/190

Se trata de encontrar los ceros de

f ( x ) = 0

Donde f es una función continua en [a,b] con f (a) y f (b) con signos

diferentes.

y = f ( x)

x

y

a

b

f (b)

f (a)


De acuerdo con el teorema del

valor medio, existe p [a,b] talque f ( p) = 0.

El método consiste en dividir a lamitad el intervalo y localizar lamitad que contiene a p.

El procesos se repite hasta lalograr la precisión deseada.



69/190

y = f ( x)

x

y

a

b

f (b)

f (a)

p1=(a+b)/2

f ( p1)

p

Mitad del intervalo que

contiene a p

Primera iteración del algoritmo

MÉTODO DE BISECCIÓN


70/190

f(x)

x

• Consiste en considerar un intervalo (xi,

xs) en el que se garantice que la función

tiene raíz.



71/190

xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

• Consiste en considerar un intervalo (xi, xs)en el que se garantice que la función tiene

raíz.

• El segmento se bisecta, tomando el puntode bisección xr como aproximación de la

raíz buscada.



72/190

xi xsxr

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

f(xr)

•Consiste en considerar un intervalo (xi, xs)en el que se garantice que la función tieneraíz.

•El segmento se bisecta, tomando el punto

de bisección xr como aproximación de laraíz buscada.

•Se identifica luego en cuál de los dosintervalos está la raíz.



73/190

xi xsxr

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

f(xr)

rxx =i



74/190

• Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el

que se garantice que la función tiene raíz.

• El segmento se bisecta, tomando como el punto debisección xr como aproximación de la raíz buscada

• Se identifica luego en cuál de los dos intervalos

está la raíz.

• El proceso se repite n veces, hasta que el punto de

bisección xr coincide prácticamente con el valorexacto de la raíz.



75/190

xi xsxr

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

f(xr)

ALGORITMO:Método de Bisección



76/190

1)

Se eligen los valores limitantes a x y b x (con )ab x x 2) Se calcula

aa x f f o bb x f f

3) Se calcula el punto medio del intervalo 2/bam x x x y se calcula

mm x f f 4)

Se usa (i) o (ii), dependiendo de si fa o fb está disponible a partir del paso (2);

i) Si 0ma f f , recolocar a x en m x ;

En caso contrario, recolocar b x en m x

ii) Si 0mb f f , recolocar b x en m x ;

En caso contrario, recolocar a x en m x

5) Si ab x x es suficientemente pequeño; es decir, menor o igual quealguna pequeña cantidad prescrita , continuar con el paso (6); en casocontrario, volver al paso (3).

6) Usar interpolacion lineal para estimar la raíz x a partir de una de las dos

expresiones: abaaba x f x f x f x x x x

O bien

abbabb x f x f x f x x x x


Determinación del Número de Mach Crítico


77/190

El Número de Mach se refiere al cociente de la velocidad de un avión entre lavelocidad del sonido. Los aviones subsónicos experimentan flujo de aireacelerado sobre la superficie de las alas. El Número de Mach crítico es elNúmero de Mach de vuelo al que el flujo en algún punto del ala alcanza lavelocidad del sonido.

El coeficiente de presión mínimo Cp sobre una superficie aerodinámica se

define de modo que sea negativo y corresponda a la máxima velocidad delflujo sobre la superficie aerodinámica. Al número de Mach crítico M, laexpresión para Cp es:

2

5.32

7.0

14.24.02

M

M C p

Para una superficie aerodinámica se pueden efectuar pruebas preliminares abajas velocidades, cuando los efectos de la compresibilidad son insignificantes.Se supondrá que el coeficiente de presión mínimo Cpi se obtiene para flujoincompresible y se relacionará con Cp mediante la relación de Karman-Tsien:

1

222

112/1

M C M M C C pi pi p Para determinar M, la expresión para Cp se sustituye en la relación deKarman-Tsien y con la ecuación resultante se evalúa M. La ecuación a resolveres:

0112/17.014.24.02 122225.32 M C M M C M M M f pi pi



78/190

Aplicando el método de bisección, resolver la ecuación cuando Cpi = -0.383.Usar los valores límite (Ma=0.18) y (Mb=0.98), y detener las biseccionescuando (Mb-Ma) se vuelve menor o igual que 0.01

Bisección a M b M m M i m M f 1 0.18000 0.98000 0.58000 2.44757

2 0.58000 0.98000 0.78000 -0.15476

3 0.58000 0.78000 0.68000 0.79287

4 0.68000 0.78000 0.73000 0.123135 0.73000 0.78000 0.75500 -0.19607

6 0.73000 0.75500 0.74250 -0.03705

7 0.73000 0.74250 0.73625 0.04284

Después de la bisección, 73625.0a M y 74250.0b M ; así 01.0 Ma MbInterpolando se produce la solución estimada:

73960.0 , en donde 5103062.4 x M f



79/190

Iteración X i X s f(x i) f(Xs) Xr f(X r ) e(%) e*(%)

1 0 1 1 -0.63212056 0.5 0.10653066 11.84

2 0.5 1 0.10653066 -0.63212056 0.75 -0.27763345 32.24 33.33

3 0.5 0.75 0.10653066 -0.27763345 0.625 -0.08973857 10.2 20.00

4 0.5 0.625 0.10653066 -0.08973857 0.5625 0.00728282 0.82 11.11

5 0.5625 0.625 0.00728282 -0.08973857 0.59375 -0.04149755 4.69 5.26

6 0.5625 0.59375 0.00728282 -0.04149755 0.578125 -0.01717584 1.94 2.70

7 0.5625 0.578125 0.00728282 -0.01717584 0.5703125 -0.00496376 0.56 1.37

8 0.5625 0.5703125 0.00728282 -0.00496376 0.56640625 0.0011552 0.13 0.69

9 0.56640625 0.5703125 0.0011552 -0.00496376 0.56835938 -0.00190536 0.21 0.34

10 0.56640625 0.56835938 0.0011552 -0.00190536 0.56738281 -0.00037535 0.04 0.17

11 0.56640625 0.56738281 0.0011552 -0.00037535 0.56689453 0.00038986 0.04 0.09

12 0.56689453 0.56738281 0.00038986 -0.00037535 0.56713867 7.2379E-06 0 0.04

13 0.56713867 0.56738281 7.2379E-06 -0.00037535 0.56726074 -0.00018406 0.02 0.02

14 0.56713867 0.56726074 7.2379E-06 -0.00018406 0.56719971 -8.8412E-05 0.01 0.01


xe)x(f x



80/190

0.5

0.75

0.625

0.5625

0.59375 0.578125

0.56640625 0.5703125

0.567143…

0 1

xe)x(f x


81/190

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

Método de la

Falsa Posición

Método de la Falsa Posición (Regula Falsi)


82/190

a b

f ( x)

xIntersection point

Next estimate of False-position

False-Position Method

f (a)

f (b)

[nuevopunto]

[a,b]

1. Selecciona un intervalo [a,b] donde halla

un cero

2. Calcula un punto intersección como nuevopunto

3. Comprueba si hay cambio de signo en[a,p] o en [p,b]. Comprobación: f(a)*f(p).

4. Si el producto es cero, entonces p es unaraíz. Si no es cero volver al punto 2.

Algoritmo

( ) ( ) ( )[ ])

( ) ( )

f a f b f b a bm b

m a m b f a f b

-= Þ = -

- - -

MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓNEl método de la falsa posición se puede entender como un intento por mejorarlas características de convergencia del método de bisección. Se comienza convalores limitantes xa y xb tales que f(x) cambia de signo sólo una vez en elintervalo de xa a xb.

Por interpolación lineal se encuentra una raíz aproximada entre xa a xb quesirve como valor intermedio xintermedio. El nuevo intervalo que contiene la raízcomprende ahora de xa a xintermedio o de xintermedio a xb. El razonamiento paradeterminar que intervalo se retiene es le mismo que para el método debisección.



83/190

(xa)0

(x)

Intervalo ori inal 0

raíz

x

(x b)0,1,2

(xa)1

(xa)

2

(xint)0

(xint)1

Des ués de la iteración 1

MÉTODO DE LA REGLA FALSA


84/190

f(x)

x

• Consiste en considerar un intervalo (xi, xs)en el que se garantice que la función tieneraíz.



85/190

xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)


• Se traza una recta que une los puntos(xi, f(xi)), (xs, f(xs))



86/190

xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)


• Se traza una recta que une los puntos

(xi, f(xi)), (xs, f(xs))• Se obtiene el punto de intersección de estarecta con el eje de las abscisas: (xr, 0); setoma xr como aprox. de la raíz buscada.

MÉTODO DE LA REGLA FALSA• Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que


87/190

xi xsxr

f(x)

x

f(xi)

f(xs)f(xr)

se garantice que la función tiene raíz.• Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)),

(xs, f(xs)) y se obtiene el punto de intersección deesta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma

xr como aproximación de la raíz buscada.• Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está

la raíz.



88/190

xi xsxr

f(x)

x

f(xi)

f(xs)f(xr)

rxx =s



89/190

• Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en elque se garantice que la función tiene raíz.

• Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)),

(xs, f(xs))• Se obtiene el punto de intersección de esta recta

con el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma xr comoaproximación de la raíz buscada.

• Se identifica luego en cuál de los dos intervalos

está la raíz.

• El proceso se repite n veces, hasta que el punto deintersección xr coincide prácticamente con el valor

exacto de la raíz.


f( )


90/190

xi xsxr

f(x)

x

f(xi)

f(xs)f(xr)

)x(f )x(f

)xx)(x(f xx

si

sissr -

--=



91/190

xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)



92/190

f(x)

x

Caso de convergencia lenta


L fó l d i l ét d d l l


93/190

• La fórmula de recurrencia para el método de la reglafalsa se obtiene de comparar dos triángulos semejantes:

si

r i r s

r s i r i s

r i s i r s i s

r i r s s i i s

r i s s i i s

s i i sr

i s

f(x )f(x )

x x x x

(x x )f(x ) (x x )f(x )

x f(x ) x f(x ) x f(x ) x f(x )

x f(x ) x f(x ) x f(x ) x f(x )

x [f(x ) f(x )] x f(x ) x f(x )x f(x ) x f(x )

xf(x ) f(x )

ALGORITMO:Método de la Falsa Posición

1) Se eligen los valores limitantes ax y bx (con )ab xx


94/190

1)

Se eligen los valores limitantes a x y b x (con )ab x x 2) Se calcula aa x f f o bb x f f y un contador i se coloca en cero

3) EL contador i se incrementa en 1 y se calcula el punto ermedio xint a partir

de una de las dos expresiones:

abaabaermedio x f x f x f x x x x int O bien abbabbermedio x f x f x f x x x x int

4) Se calcula ermedioermedio x f f intint 5) Dependiendo de si f a o f b está disponible a partir del paso (2), se usa i o ii

i)

Si 0int ermedioa f f , a x se recoloca en ermedio xint ;

En caso contrario, b x se recoloca en ermedio xint

ii) Si 0int ermediob f f , b x se recoloca en ermedio xint ;

En caso contrario, a x se recoloca en ermedio xint

6) Si ermedio x f int es suficientemente pequeño; es decir, menor o igual quealguna pequeña cantidad prescrita , o si f alcanza un límite de iteraciónN, ermedio xint se considera como la raíz aproximada; en caso contrario,

volver al paso (3).


Determinación del Número de Mach Crítico

El Número de Mach se refiere al cociente de la velocidad de un avión entre lal id d d l id L i b ó i i t fl j d i


95/190

El Número de Mach se refiere al cociente de la velocidad de un avión entre lavelocidad del sonido. Los aviones subsónicos experimentan flujo de aireacelerado sobre la superficie de las alas. El Número de Mach crítico es elNúmero de Mach de vuelo al que el flujo en algún punto del ala alcanza lavelocidad del sonido.

El coeficiente de presión mínimo Cp sobre una superficie aerodinámica se

define de modo que sea negativo y corresponda a la máxima velocidad delflujo sobre la superficie aerodinámica. Al número de Mach crítico M, laexpresión para Cp es:

2

5.32

7.0

14.24.02

M

M C p

Para una superficie aerodinámica se pueden efectuar pruebas preliminares abajas velocidades, cuando los efectos de la compresibilidad son insignificantes.Se supondrá que el coeficiente de presión mínimo Cpi se obtiene para flujoincompresible y se relacionará con Cp mediante la relación de Karman-Tsien:

1222 112/1

M C M M C C

pi pi p

Para determinar M, la expresión para Cp se sustituye en la relación deKarman-Tsien y con la ecuación resultante se evalúa M. La ecuación a resolveres:

0112/17.014.24.02 122225.32 M C M M C M M M f pi pi

Aplicando el método de falsa posición resolver la ecuación cuando Cpi=-



96/190

Aplicando el método de falsa posición, resolver la ecuación cuando Cpi0.383. Usar los valores límite (Ma=0.18) y (Mb=0.98), y terminar las

iteraciones cuando ermedio M f int se vuelve menor o igual que 10-2.

Iteración a M b M int M i

int M f 1 0.18000 0.98000 0.74306 -0.04414

2 0.18000 0.74306 0.74258 -0.03804

3 0.18000 0.74258 0.74217 -0.03278

4 0.18000 0.74217 0.74181 -0.02825

5 0.18000 0.74181 0.74151 -0.02435

6 0.18000 0.74151 0.74124 -0.02099

7 0.18000 0.74124 0.74101 -0.01809

8 0.18000 0.74101 0.74082 -0.01560

90.18000

0.74082 0.74065 -0.01345

La raíz estimada es:

74065.0 , en donde 01345.0 M f


)(fx


97/190


xe)x(f x

iteración X i X s f(x i) f(Xs) Xr f(X r ) e(%) e*(%)

1 0 1 1 -0.63212056 0.61269984 -0.07081395 8.03

2 0 0.61269984 1 -0.07081395 0.30634992 0.42977907 45.98 100.00

3 0.30634992 0.61269984 0.42977907 -0.07081395 0.45952488 0.17205878 18.98 33.33

4 0.45952488 0.61269984 0.17205878 -0.07081395 0.53611236 0.04890582 5.47 14.29

5 0.53611236 0.61269984 0.04890582 -0.07081395 0.5744061 -0.01136694 1.28 6.67

6 0.53611236 0.5744061 0.04890582 -0.01136694 0.55525923 0.01866424 2.1 3.45

7 0.55525923 0.5744061 0.01866424 -0.01136694 0.56483266 0.0036226 0.41 1.69

8 0.56483266 0.5744061 0.0036226 -0.01136694 0.56961938 -0.00387865 0.44 0.84

9 0.56483266 0.56961938 0.0036226 -0.00387865 0.56722602 -0.00012965 0.01 0.42

10 0.56483266 0.56722602 0.0036226 -0.00012965 0.56602934 0.00174607 0.2 0.21

11 0.56602934 0.56722602 0.00174607 -0.00012965 0.56662768 0.00080811 0.09 0.11

12 0.56662768 0.56722602 0.00080811 -0.00012965 0.56692685 0.0003392 0.04 0.05

13 0.56692685 0.56722602 0.0003392 -0.00012965 0.56707644 0.00010477 0.01 0.03

14 0.56707644 0.56722602 0.00010477 -0.00012965 0.56715123 -1.244E-05 0 0.01


MODIFICADO


98/190

MODIFICADO• Las funciones con curvatura significativa hacen

que el método de la regla falsa converja muy

lentamente.• Esto se debe a que con interpolación lineal, uno

de los valores extremos se queda estancado.

• Para tales casos, se ha encontrado un remedio:

el método de la regla falsa modificado, que

reduce a la mitad el valor de la función en el

punto extremo que se repita dos veces, con lo

que la convergencia se acelera significativamente


MODIFICADOf( )


99/190

MODIFICADOf(x)

x

f(xi)

f(xi)/2

f(xi)/4


100/190

Ecuaciones algebraicas no lineales Problema g(x)=0

1. Seleccionar un punto inicial x02 C l l ( ) ’( )


101/190

Newton Raphson2. Calcular g(xi) y g’(xi)

3. Aplicar la tangente en ese punto y en el corte con eleje de abcisas tenemos el nuevo punto estimado


xi+1=xi- g(xi)g’(xi)

xx xx 02 1

g(x)y

•Necesita conocer la derivada de lafunción

•Convergencia cuadrática (rápida)

•Puede no converger (depende de lafunción y de la estimación inicial)

El Método de Newton-Raphson


102/190

0 00 1 0

0 1 0

1

2 1

1

( ) ( )tan '( ) ,

'( )

Se continua el calculo al estimar

( )

'( )

f x f x f x x x

x x f x

f x

x x f x

x0-x1

x1 x0

(x0)

• Es lejos uno de los métodos más usados para resolver ecuaciones

• Se basa en una aproximación lineal de la función, aunque

aplicando una tangente a la curva

• A partir de una estimación inicial x0 se efectúa un desplazamientoa lo largo de la tangente hacia su intersección con el eje x, y se

toma ésta como la siguiente aproximación

0 0Se calculan ( ) '( )

IF ( ( ) 0) AND ( '( ) 0)

f x y f x

f f



103/190

Algoritmo

• Este algoritmo al menos en la vecindad converge más rápido quecualquiera de los antes vistos

•

Al ser un método cuadráticamente convergente el resultado neto es queel número de cifras decimales de exactitud casi se duplica en cadaiteración

• Tiene como inconveniente la necesidad de dos evaluaciones funcionalesen cada paso, (xn) y ’(xn) y encontrar la derivada de la función

• El método de Newton se relaciona con la interpolación por la Secante yaque cociente de las diferencias es una aproximación de la derivada

• El método de Newton funciona con raíces complejas si se proporciona unvalor de este tipo para el valor inicial

0 0

1 0

0 0 0 0

0 1 0

IF ( ( ) 0) AND ( '( ) 0)

Repeat

Se Hace

Se Hace ( ) / '( )

Until ( valor de tolerancia 1) OR ( ( ) valor de tolerancia 2)

End IF

END

f x f x

x x

x x f x f x

x x f x

Para determinar una raíz de (x)=0dado un valor de x0 razonablementepróximo a la raíz



104/190

f ( xn) Pendiente = f ’( xn)

xn xn+1

La ecuación de la recta

tangente es:

y – f ( xn) = f ’ ( xn)( x – xn)

Cuando y = 0, x = xn+1 o sea

0 – f ( xn) = f ’ ( xn)( xn+1 – xn)o

x x f x

f xn nn

n

1( )

'( )

f ( x)

EjemploDeterminar la raíz de la siguiente función (x)=3x + sen x ex=0



105/190

j pDeterminar la raíz de la siguiente función (x)=3x + sen x – ex=0

Después de 3 iteraciones la raíz es correcta hasta con 7 dígitos significativos

0

01 0

0

12 1

1

4

2

3 22

( ) 3 ,

'( ) 3 cos

0

( ) 1.00.0 0.33333;

'( ) 3.0( ) 0.068418

0.33333 0.36017;'( ) 2.54934

( ) 6.279 *100.36017 0.3604217;

'( ) 2.50226

x

x

f x x senx e

f x x e

x

f x x x

f x f x

x x f x

f x x x

f x


106/190

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

f(x) • Consiste en elegir un punto inicial cualquiera


107/190

x1

( )

x

f(x1)

g p qx1 como aproximación de la raíz y obtener elvalor de la función por ese punto.

• Trazar una recta tangente a la función porese punto.


f(x) • Consiste en elegir un punto inicial cualquierax como aproximación de la raíz


108/190

x1 x

f(x1)

x2

x1 como aproximación de la raíz.

• Obtener el valor de la función por ese punto ytrazar una recta tangente a la función por

ese punto.

• El punto de intersección de esta recta con eleje de las abscisas (xr, 0), constituye unasegunda aproximación de la raíz.


f(x)


109/190

x1 x

f(x1)

x2

f(x2)


• Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x


110/190

• Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1como aproximación de la raíz.

• Obtener el valor de la función por ese punto y trazaruna recta tangente a la función por ese punto.

• El punto de intersección de esta recta con el eje de

las abscisas (xr, 0), constituye una segunda aproximación de la raíz.

• El proceso se repite n veces hasta que el punto de

intersección xn coincide prácticamente con el valorexacto de la raíz.


f(x)


111/190

x1x

f(x1)

x2

f(x2)

i+1x f'(xi) xi

f(xi)


• El método de Newton Raphson se puede deducira partir de la interpretación geométrica que


112/190

a partir de la interpretación geométrica quesupone que el punto donde la tangente cruza al

eje x es una interpretación mejorada de la raíz.i 1 i

i

i 1 i

ii

i 1 i

ii 1 i

i

ii 1 i

i

f(x ) f(x )f '(x )

x x

0 f(x )f '(x )x x

f(x )x x

f '(x )f(x )

x xf '(x )


• En realidad, el método de Newton Raphson, que supone laobtención de la raíz de f(x) se obtiene a partir de su desarrollo


113/190

obtención de la raíz de f(x), se obtiene a partir de su desarrolloen serie de Taylor, la cual se puede escribir:

donde, al despreciar el residuo R2, la serie de Taylor truncadaa dos términos, queda:

Y realizando manipulaciones algebraicas:

i+1 i i i+1 i 2f(x ) = f(x ) + f '(x )(x - x ) + R

i i i+1 i0 = f(x ) + f '(x )(x - x )

ii 1 i

i

f(x )x xf '(x )


f(x)


114/190

x1x

f(x1)

x2

f(x2)

f(x3)

x3


115/190


El é d d N R h á i


116/190

• El método de Newton Raphson converge muy rápi-

damente, pues el error es proporcional al cuadrado

del error anterior:

• La velocidad de convergencia cuadrática se explica

teóricamente por la expansión en serie de Taylor,con la expresión:

• El número de cifras significativas de precisión se

duplica aproximadamente en cada iteración

i 1 2

E R


117/190


La velocidad de convergencia es muy sensible al valor inicial elegido


118/190

f(x)

x

lento

rápido

Método de Newton-Raphson


119/190

Método de Newton-Raphson


120/190


121/190

Newton-Raphson


122/190


Aunque el método trabaja bien, no existe garantía de convergencia.


123/190

xx3 x1

x2x0

f(x)


Aunque el método trabaja bien, no existe garantía de convergencia.


124/190

xx1x2x0

f(x)

x3x4

Desventajas f ( x ) f ( x )


125/190

x 0x 1

x 2 x x 0 x 1x 2 x

x 0

x 1

x

f ( x )

raíz cerca de punto de inflexiónmínimo local

varias raíces

x

f ( x )

la iteración en un mínimo

x 0 x 1

Desventajas


126/190


127/190

Métodos Numéricos


Método de la

Secante


Problema g(x)=0

1. Seleccionar dos puntos iniciales x0,x1

2. Calcular la recta que pasa por esos puntos

3 El t l j d b i d l tSecante


128/190

xxx xx 023 1

g(x)y

3. El corte con el eje de abcisas da el nuevo puntoestimado. Volver a calcular la recta.


xi+1=xi- xi+1-xig (xi+1)-g (xi)g (xi+1)

•No Necesita conocer la derivada dela función (la aproxima).

•Necesita dos puntos iniciales.

•Puede no converger.

El Método de la secante

• Se supone que (x) eslineal en la vecindad de la


129/190

(x1)

x2

(x0)

x1 x0

Raíz

0 11 2

1 0 1

0 12 1 1

0 1

( )( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )

x x x x

f x f x f x

x x x x f x

f x f x

raíz

• Se eligen puntos próximos

a ésta y se traza una línearecta

• Si bien es cierto (x) no eslineal y x2 no es igual a laraíz debe estar muypróxima. Mejores

estimaciones se lograniterando y reemplazando losvalores xo y x1

Algoritmo

Para determinar una raíz de (x)=0 dados dos valores, x0 y x1 pr óximos a la solución

( ) ( )IF f f


130/190

0 1

0 1

2 1 1 0 1 1

0 1

1 2

2

( ) ( )

Intercambiar .Repeat

Sea ( )*( )/[ ( ) ( )].

Sea .

Sea .

Until ( ) valor de tolerancia

End IF

END

o

IF f x f x

x con x

x x f x x x f x f x

x x

x x

f x

MÉTODO DE LA SECANTE

• Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0,x1 para los cuales se evalúan los valores de la función


131/190

1 p

f(x0) = f(x1)

• Se traza una recta secante a la función por esos dospuntos.

• El punto de intersección de esta recta con el eje delas abscisas (x2, 0) constituye una segunda aprox.de la raíz.

• El proceso se repite n veces hasta que el punto de

intersección xn coincide prácticamente con el valorexacto de la raíz.

Secante


132/190

Una de las formas de obtener la fórmula recursiva esencialpara el método de la Secante, es reemplazar por unaexpresión aproximadamente equivalente, en:

N-R modificado o Método de la Secante


133/190

Para ello, basta considerar la expresión matemática de la

Así:

Si |xi - xi-1|


134/190

2. Se traza una recta secante a la función por esos dos puntos.

3. El punto de intersección de esta recta con el eje de abscisas

(x2, 0) constituye una segunda aproximación de la raíz.

4. Se reemplazan los subíndices: xi = xi+1, de manera que x1

pasa a ser x0 y x2 pasa a ser x1.

5. Se traza una segunda secante por los nuevos puntos x0, x1,

obteniendo una segunda aproximación con x2.

6. El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersec-

ción x2 coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.

MÉTODO DE LA SECANTEf(x)


135/190

x



136/190

x0 x1x

f(x0)

f(x1)


137/190


x f(x ) x f(x )


138/190

x0 x1x

f(x0)

f(x1)

x2

f(x2)

i i 1 i 1 ii 1

i 1 i

x f(x ) x f(x )x

f(x ) f(x )



139/190

x0 x1x

f(x0)

f(x1)

x2

f(x2)

x0 x1

f(x0)f(x1)



140/190

x0 x

f(x0)

x1

f(x1)

x2


141/190

MÉTODO DE LA SECANTE

xe)x(f x


142/190

Derivada Función Recurrencia Xr = 0.567143

iteración X 0 X 1 f(X 0) f(X1) X2 f(X 2) e(%) e*(%)

1 0 0.4 1 0.27032005 0.54818554 0.02981207 3.34

2 0.4 0.54818554 0.27032005 0.02981207 0.56655382 0.00092388 0.1 3.24

3 0.54818554 0.56655382 0.02981207 0.00092388 0.56714126 3.1783E-06 0 0.10

4 0.56655382 0.56714126 0.00092388 3.1783E-06 0.56714329 3.3904E-10 0 0.00

COMPARATIVO DE LOS ERRORES RELATIVOSESTIMADOS, POR DIFERENTES MÉTODOS

1000.00

xe)x(f x


143/190

0.01

0.10

1.00

10.00

100.00

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

iteraciones

E r r o r r e l a t i v o e s t i m a d o p o r c e n t u a l

Bisección Regla falsa Punto fijo Newton-Raphson Secante

COMPARATIVO DE LOS ERRORES RELATIVOSESTIMADOS, POR DIFERENTES MÉTODOS

• Los métodos de bisección, de regla falsa y de punto fijo convergenlinealmente al valor verdadero de la raíz.• El error relativo verdadero es proporcional y menor que el error


144/190

p p y qcorrespondiente de la iteración anterior.

• En bisección y regla falsa, la convergencia está garantizada.• En punto fijo, la convergencia depende de que la pendiente de la

tangente no sobrepase el 1, en positivo o en negativo.

• Los métodos de Newton Raphson y de la secante convergencuadráticamente al valor verdadero de la raíz.• El error relativo verdadero es proporcional al cuadrado del error

correspondiente de la iteración anterior.

• Cuando el error relativo en una iteración es menor que 1 (inferioral 100%), la convergencia está garantizada.

• Cuando el error relativo en una iteración es mayor que 1, ladivergencia está garantizada.


145/190

EjemploF ió d j l


146/190

Función de ejemplo

Archivo: eqn_w3.m

function y = eqn_w3(x)

y = sqrt(x^2 + 1) - tan(x);

)tan(12 x x

>> bisec_n('eqn_w3',0,1.3)

f_name = eqn_w3

Método de bisección:

It. a b c fa=f(a) fc=f(c) abs(fc-fa)

1 0.000000, 0.650000 1.300000, 1.000000, -1.9619810 2.962e+0002 0.650000, 0.975000 1.300000, 0.432482, -1.9619810 2.394e+000

3 0.650000, 0.812500 0.975000, 0.432482, -0.0783150 5.108e-001

4 0.812500, 0.893750 0.975000, 0.232743, -0.0783150 3.111e-001

5 0.893750, 0.934375 0.975000, 0.097080, -0.0783150 1.754e-001


147/190

6 0.934375, 0.954688 0.975000, 0.015409, -0.0783150 9.372e-002

7 0.934375, 0.944531 0.954688, 0.015409, -0.0297840 4.519e-0028 0.934375, 0.939453 0.944531, 0.015409, -0.0067920 2.220e-002

9 0.939453, 0.941992 0.944531, 0.004405, -0.0067920 1.120e-002

10 0.939453, 0.940723 0.941992, 0.004405, -0.0011690 5.574e-003

11 0.940723, 0.941357 0.941992, 0.001624, -0.0011690 2.793e-003

12 0.941357, 0.941675 0.941992, 0.000229, -0.0011690 1.398e-003

13 0.941357, 0.941516 0.941675, 0.000229, -0.0004700 6.987e-00414 0.941357, 0.941437 0.941516, 0.000229, -0.0001200 3.492e-004

15 0.941437, 0.941476 0.941516, 0.000054, -0.0001200 1.746e-004

16 0.941437, 0.941457 0.941476, 0.000054, -0.0000330 8.731e-005

17 0.941457, 0.941467 0.941476, 0.000011, -0.0000330 4.366e-005

18 0.941457, 0.941462 0.941467, 0.000011, -0.0000110 2.183e-005

19 0.941457, 0.941459 0.941462, 0.000011, -0.0000000 1.091e-005

20 0.941459, 0.941460 0.941462, 0.000005, -0.0000000 5.457e-006

21 0.941460, 0.941461 0.941462, 0.000003, -0.0000000 2.729e-006

Se satisface la tolerancia.

Resultado final: Raíz = 0.941461


148/190

Ejemplo


149/190

Sea la función: x3

+ 4 x2

–10 = 0 tiene una raíz en [1, 2]

Puede despejarse en:

a. x = g 1( x) = x – x3

– 4 x2

+10

b. x = g 2( x) = ½(10 – x3)½

c. x = g 3( x) = (10/(4 + x))½

d. x = g 4( x) = x – ( x3 + 4 x2 – 10)/(3 x2 + 8 x)

Iteraciones de punto fijo

(b)

1.5

1.286953767

1 402540803

(c)

1.5

1.348399724

1 367376371

(a)

1 1.5

2 -0.875

3 6 732421875

(d)

1.5

1.373333333

1 365262014


150/190

1.402540803

1.3454583741.375170252

1.360094192

1.367846967

1.363887003

1.365916733

1.3648782171.365410061

1.365137820

1.365277208

1.365205850

1.3652423831.365229578

1.365230028

1.365230012

1.367376371

1.3649570151.365264748

1.365225594

1.365230575

1.365229941

1.365230022

1.3652300121.365230013

1.365230013

3 6.732421875

4 -469.720012005 1.02754555E8

6 -1.084933870E24

7 1.277055591E72

8 -2.082712908E216

9 NaN

1011

12

13

14

1520

25

30

1.365262014

1.3652300131.365230013

Funciones graficadas en MatLab


151/190

a) b)

c)d)

Programa en MATLAB

%Objetivo: Encontrar una raíz de una función

%Sintaxis: bisec_n('nombre_f', a, b)

%nombre_f: el nombre de la función entre apóstrofos

% b t d l i t l i i i l


152/190

%a y b: extremos del intervalo inicial

%Ejemplo: bisec_n ('eqn_w3', 0, 1.3)

function bisec_n(f_name, a, c)

f_name

% a, c : extremos del intervalo inicial% tolerance : tolerancia

% it_limit : límite del número de iteraciones

% Y_a, Y_c ; valores y de los extremos actuales

% fun_f(x) ; valor funcional en x

fprintf('Método de bisección:\n\n');tolerance = 0.000001; it_limit = 30;

fprintf(' It. a b c fa=f(a) ');

fprintf(' fc=f(c) abs(fc-fa) \n');

it = 0;

Y_a = feval(f_name, a); Y_c = feval(f_name, c) ;

if (Y_a * Y_c > 0)

fprintf('\n \n Detenido porque f(a)f(c) > O \n') ;else

while 1

it = it + 1;

b = (a + c)/2; Y_b = feval(f_name, b) ;


153/190

fprintf('%3.0f %10.6f, %10.6f', it, a, b) ;

fprintf('%10.6f, %10.6f, %10.6f0', c, Y_a, Y_c) ;fprintf('%12.3e\n', abs((Y_c - Y_a))) ;

if ( abs(c-a)/2it_limit )

fprintf('Se excedió límite de iteraciones.\n');

break

end

if ( Y_a*Y_b


154/190

Métodos Numéricos


Problemas

Propuestos de IC343

EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2003-I

La profundidad normal “y” del flujo en un canal de sección parabólica abierto de ancho “T” estál i d l d l “Q” l di t d l l “S” l fi i t d f i ió d M i


155/190

relacionada con el caudal “Q”, la pendiente del canal “S” y el coeficiente de fricción de Manning

“n” mediante las ecuaciones:

2/13/21 S ARn

Q 3/23/52/1

P AS

Qn

Determinar “y” usando cualquier método de solución de ecuaciones no lineales para el conjuntode datos:

Caudal (Q) 100.0 m3/s

Coeficiente (n) 0.050

Pendiente (S) 0.0045

Espejo de agua (T) 16.00 m

Foco (K) 8.00 m

16.00


En el gráfico se muestra una sección típica de tipo “Baúl”, en la cual se desea determinar el tirantenormal o calado “Y” que tiene para los datos mostrados en la tabla adjunta. Además es necesario hallar

l áf d l i ió ti t (Y) C d l (Q) id d d P d t i


156/190

el gráfuco de la variación tirante (Y) vs. Caudal (Q), conocida como curva de descarga. Para determinar

“Y” puede utilizar cualquier método para hallar raíces de ecuaciones no lineales.


Imagine una pared de tabique con un espesor de 0.05 m. La temperatura en el lado interior dela pared T0 = 625 ºK, pero se desconoce la temperatura del lado exterior. La pérdida de calorde la superficie exterior se efectúa por convección y por radiación. La temperatura T1 estádeterminada por la ecuación:

01441011 fTThTTTTk

Tf


157/190

011011

f T T hT T T T

x

T f

Donde:k : Conductividad térmica de la pared, 1.2 W/mºK : Emisividad, 0.8

0T : Temperatura del lado interior de la pared, 625ºK

1T : Temperatura del lado esterior de la pared, desconocida en ºK

T : Temperatura del entorno, 298 ºK

T : Temperatura del aire, 298 ºK

h : Coeficiente de transferencia de calor, 20 W/m2ºK

: Constante de Stefan-Boltzmann, 5.67x10-8

W/m2

ºK4

x : Espesor de la pared, 0.05 m

Determine 1T por cualquier método para hallar raíces de ecuaciones no lineales.


158/190


159/190


160/190

Texto: Análisis Numérico; Autor: R. Burden; Ejercicios 2.1:

Una artesa de longitud L tiene una sección transversalen forma de semicírculo con radio r (ver figuras). Cuandose llena con agua hasta una distancia h desde la parte

Tarea


161/190

superior, el volumen V de agua es:V=L[0.5πr2 - r2 arcsen(h/r) – h(r2 –h2 )1/2]Suponga que L=10 pies, r=1 pie y que V=12.4 pies3.Encuentre la profundidad ( D ) del agua en la artesa

dentro de 0.01 pie.

TareaUn abrevadero de longitud L tiene una seccióntransversal en forma de semicírculo con radio r (véase la figura) Cuando se llena de agua hasta unadistancia h de la parte superior, el volumen V de


162/190

agua esV = L [ 0.5Πr 2 – r 2 arcsen(h /r ) – h (r 2 – h 2)1/2 ]

Escriba un programa en MatLab amigable para el

usuario que lea los datos de este problema yencuentre la profundidad h del abrevadero. Utiliceel método de bisección para encontrar la solución.

h

r

L

Volumen del abrevadero

r

h sen

h

r

L 2


163/190

r

h

sector area r

r

h sen 1

22

r h senr r /2

sector area 122

2212 /

2

triangular areasector areaA hr hr h senr

22

2

altura base2triangular area hr h

2212 /

2hr hr h senr L LAV

Texto: Análisis Numérico; Autor: R. Burden; Ejercicios 2.3:

Los problemas relacionados con la cantidad de dinero

Tarea


164/190

requerida para pagar una hipoteca en un periodo fijo(n), involucran la fórmula:

A = [1 – (1 + i )-n]*(p/i)

Donde:A = monto de hipoteca; p = cuota; i = tasa de interésSuponga que se necesita una hipoteca a 30 años parauna casa, por $75000 y que el deudor puede pagar a losumo $625 al mes. ¿Cuál es la tasa de interés máximaque el deudor puede pagar?

TareaEl valor acumulado de una cuenta de ahorros puede calcularsecon la ecuación de anualidad vencida

A = P [(1 + i )n - 1 ] / i

En esta ecuación A es el monto de la cuenta, P es la cantidad


165/190

que se deposita periódicamente e i es la tasa de interés porperiodo para los n periodos de depósito. A un ingeniero legustaría tener una cuenta de ahorros con un monto de$ 750,000 dólares al momento de retirarse dentro de 20 años, y puede depositar $ 1,500 dólares mensuales para lograr dichoobjetivo. ¿Cuál es la mínima tasa de interés a que puedeinvertirse ese dinero, suponiendo que es un interés compuestomensual?Escriba un programa en MatLab para este problema, el

programa deberá pedir todos los datos necesarios y utilizar elmétodo de Newton para calcular el interés a que debeinvertirse el dinero.

Sugerencia:

Para estimar el valor inicial de i podemosdesarrollar el binomio (1 + i )n para aproximarlo ala segunda potencia. El resultado es


166/190

P nn

nP Ai

1

20

Se sugiere validar los datos de entrada. El capitala obtener debe ser mayor que el depósito por elnúmero de abonos, es decir

A > nP

Tarea

La carga en un circuito RLC serie esta dada por

t

Reqt q L Rt

2

)2/(

0

1cos


167/190

L LC 2

Suponga

q 0/q = 0.01, t = 0.05 s, L = 5H y C = 10-6 F.

Encuentre el valor de la Resistencia R usando elmétodo de Newton. Haga un programa en C para

este problema.


168/190


169/190


170/190


171/190


172/190


173/190


174/190


175/190


176/190


177/190


178/190


179/190


180/190


181/190


182/190


183/190


184/190


185/190


186/190


187/190


188/190


189/190


190/190

Muchas Gracias

cátedra métodos numéricos 04

Documents

Transcript of cátedra métodos numéricos 04