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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCURSO: MECANICA DE FLUIDOS II

CAPITULO I: FLUJO PERMANENTE Y UNIFORME EN CANALES

DOCENTE: Msc. ING. ABEL A. MUIZ PAUCARMAYTA

1

CAPITULO I

FLUJO PERMANENTE Y UNIFORME EN CANALES

1.1 GENERALIDADES.El flujo de agua en un conducto puede ser flujo en canal abierto o flujo en tubera. Estas dos clases

de flujo son similares en muchos aspectos pero se diferencian en un aspecto importante. El flujo en

un canal debe tener una superficie libre, en tanto que el flujo en tubera no la tiene, debido a que en

este caso el agua debe llenar completamente el conducto. Una superficie libre est sometida a la

presin atmosfrica. El flujo en tubera, al estar confinado en un conducto cerrado, no est sometido

a la presin atmosfrica de manera directa, si no solo a la presin hidrulica.

1.2 FLUJO EN CANALES Y TUBERIAS.

Las principales diferencias entre canales y tuberas son las siguientes:

En el canal el lquido tiene una superficie libre que est en contacto con la atmsfera; en la

tubera el liquido est confinado y sometido a una cierta presin (a veces esta presin es

negativa).

En el canal el conducto puede ser abierto o cerrado; en la tubera el conducto es siempre

cerrado.

En el canal el lquido escurre por gravedad; en la tubera el lquido escurre porque hay un

gradiente de energa.

Cuando se dice tubera queda entendido que el conducto es circular. Las Formas ms

comunes de canales son la trapezoidal, la rectangular, la triangular y la circular.

FIG. 1.1EJEMPLOS DE CANALES


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3

V = 0 ( Ec. 1.1)

t

Cuando el flujo es de tipo no permanente, en una seccin del canal no permanecen constantes conrespecto al tiempo las caractersticas hidrulicas del flujo (caudal, velocidad media, tirantes, etc.)

FIG. 1.5

FLUJO NO PERMANENTE

V 0 ( Ec. 1.2)

t

FLUJO UNIFORME Y FLUJO VARIADO:

El flujo permanente puede ser uniforme o variado.

En el flujo uniforme, a lo largo del canal permanecen constantes las caractersticas hidrulicas del

flujo.

FIG. 1.6

FLUJO UNIFORME

V = 0 ( Ec. 1.3)

s

En el flujo variado, a lo largo del canal no permanecen constantes las caractersticas

Hidrulicas del flujo.


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4

FIG. 1.7

FLUJO VARIADO

V 0 ( Ec. 1.4)

s

En el flujo variado la variacin puede ser gradual o brusca, dando lugar al flujo gradualmente variado

y al flujo rpidamente variado, respectivamente, como puede apreciarse en el esquema que sigue,

FIG. 1.8

FLUJO VARIADO

NOTA: En, el flujo no permanente tambin se presentan los flujos gradualmente variado y

rpidamente variado.

FLUJO LAMINAR, TURBULENTO Y TRANSICIONAL:

Similar a lo que ocurre en las tuberas, en los canales el flujo es de uno de estos tres tipos.

El flujo laminar tiene lugar si predominan las fuerzas viscosas sobre las de inercia. Se presenta muy

raramente, cuando la velocidad del agua en el canal es extremadamente pequea. El nmero de

Reynolds (Re) referido al radio hidrulico resulta menor que 500.

El flujo turbulento tiene lugar si predominan las fuerzas de inercia sobre las viscosas. El valor del Re

a partir del cual el flujo es decididamente turbulento no tiene un valor definido, pero si se toma como

referencia el valor 4.000 que rige para tuberas el valor correspondiente en canales resulta 1.000.


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5

Como consecuencia, el flujo es transicional si tiene lugar con valores Re comprendidos entre 500 y

1,000.

FLUJO SUBCRITICO, CRTICO Y SUPERCRTICO:

El efecto de la gravedad en los canales viene indicando por el valor que toma el nmero de Froude(Fr) referido a la profundidad hidrulica.

gD

VFr ( Ec. 1.5)

D (profundidad hidrulica) = rea mojada = A

Ancho superficial T

El flujo se denomina crtico si tiene lugar con un Fr = 1, subcrtico con un valor Fr < 1 y supercrtico

con un valor Fr > 1, En el flujo subcrtico la gravedad juega un rol ms importante que en los otros

estados de flujo.

El estudio de las caractersticas fsicas del flujo en los tres estados indicados no corresponde hacerlo

ahora. Estos conceptos sern recin en el captulo 3.

1.4 TIPOS DE CANALES.

NATURALES Y ARTIFICIALES.- Atendiendo a su origen los canales pueden ser naturales y

artificiales. Los canales naturales incluyen todos los cursos de agua de la superficie terrestre, en todasu amplia gama de tamaos; es decir desde los arroyos ms pequeos hasta los ros ms grandes.

Su estudio corresponde a la rama de la hidrulica aplicada conocida como hidrulica de ros o

Ingeniera de ros.

Las canales artificiales son todos aquellos construidos por el hombre comprenden principalmente:

Los canales de conduccin en los proyectos de irrigacin, de centrales hidroelctricas, de

abastecimiento de agua , etc.;

Los canales de navegacin.

Los canales de alcantarillado y de drenaje ( urbano, vial y agrcola);

Los canales de corriente construidos con fines de estudio experimental en laboratorios.

ABIERTOS Y CERRADOS: Son canales cerrados:

Los canales de alcantarillado;

Los canales de drenaje urbano y algunos de drenaje agrcola;

Los tramos de los canales de conduccin en tnel;

Algunos tramos de los canales de conduccin con fines de proteccin.

Todos los dems canales son descubiertos.


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6

CANAL PRISMTICO Y NO PRISMTICOS: Se llama canal prismtico a aqul construido con

seccin transversal constante y pendiente de fondo tambin constante. De no ser as, el canal es no

prismtico. A menos que se especifique lo contrario, los canales estudiados en este texto son

canales prismticos.

1.5 ELEMENTOS GEOMETRICOS DE LA SECCION TRANSVERSAL DE UN CANAL.

Se llama seccin del canal a la leccin tomada normalmente a la direccin del flujo y seccin

vertical del canal a la seccin vertical que pasa por el fondo de la seccin del canal.

Las secciones de los canales naturales son en general muy irregulares.

Las secciones de los canales artificiales son de forma geomtrica regular, siendo las formas

geomtricas ms utilizadas las siguientes:

Trapezoidal, en los canales de conduccin excavados (por razones de estabilidad de las

paredes).

Rectangular, en los canales de concreto o de madera. Tambin en los canales pequeos

excavados en roca o revestidos de concreto o de albailera de piedra.

Triangular, en los pequeos canales de drenaje vial (cunetas).

Circular, en los canales de alcantarillado y de drenaje urbano y agrcola de tamao pequeo y

mediano. Tambin en los canales en tnel.

Ovoide, de herradura y similares, en los canales de alcantarillado de tamao grande a fin de

permitir el ingreso de un hombre.

FIG. 1.9

SECCIONES FRECUENTES

La geometra de la seccin del canal queda definida por varios elementos. La descripcin ser

referida a la seccin vertical de un canal trapezoidal.


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7

FIG. 1.10

ELEMENTOS GEOMETRICOS DE LA SECCION TRANSVERSAL DE UN CANAL

y : Profundidad de flujo.

H : Profundidad total del canal.

d : Profundidad de la seccin. Se verifica d = y cos ; d = y en los canales de pequea

pendiente. Cota de la S.L. = cota del fondo + y

b : Ancho del fondo.

z : Talud = cotg =V

H

T : Ancho superficial = b+2 zy

A : rea mojada = by + zy2

P : Permetro mojado = b+ 2 y 21 z

R : Radio hidrulico =P

A

D : Profundidad hidrulica =T

A

f : Freeboard o margen libre (H-y)

Be : Ancho de la banqueta exterior.

Bj : Ancho de la banqueta interior.

El freeboard es la distancia vertical medida entre la superficie libre del agua y el borde del canal. Las

banquetas se construyen para facilitar las labores de operacin y mantenimiento de los canales.

1.6 RELACIONES DE LAS SECCIONES TRANSVERSALES MS FRECUENTES.

A continuacin se determinan las relaciones geomtricas correspondientes al rea hidrulica (A),

permetro mojado (P), espejo de agua (T) y radio hidrulico (R), de las secciones transversales ms

frecuentes.

SECCION TRAPEZOIDAL :


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8

FIG. 1.11

ELEMENTOS GEOMETRICOS DE UNA SECCION TRAPEZOIDAL

zybT 2 ( Ec. 1.6)

212 zybP ( Ec. 1.7)

2zybyA ( Ec. 1.8)

P

AR ( Ec. 1.9)

SECCION RECTANGULAR:

FIG. 1.12

ELEMENTOS GEOMETRICOS DE UNA SECCION RECTANGULAR

bT ( Ec. 1.10)

ybP 2 ( Ec. 1.11)

byA ( Ec. 1.12)

P

AR ( Ec. 1.13)

SECCION TRIANGULAR:

FIG. 1.13

ELEMENTOS GEOMETRICOS DE UNA SECCION TRIANGULARzyT 2 ( Ec. 1.14)


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9

212 zyP ( Ec. 1.15)

2

.yTA ( Ec. 1.16)

P

AR ( Ec. 1.17)

SECCION CIRCULAR:

FIG. 1.14

ELEMENTOS GEOMETRICOS DE UNA SECCION CIRCULAR

Calculo de T:

De la figura se tiene:

22.2

DxSenxSenrT ( Ec. 1.18)

Pero:

2

Reemplazando valores:

2

DxSenT

Calculo de A:

A = rea circulo-rea arco circular+2Areas de triangulo

rea de crculo:

4

2DA

rea de arco circular:

8

.

2

..

2

.. 222

DrrA

rea de triangulo:

SenD

Senr

CosxrSenrA822

.2

..22

1 22

( Ec. 1.19)

Siendo: +=2


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10

Reemplazando valores se tiene:

28

1DSenA

Calculo del permetro mojado:

DrP .2

1. ( Ec. 1.20)

Calculo del radio hidrulico:

DSen

R

1

2

1( Ec. 1.21)

Generalmente para conductos circulares, para el clculo de: A,P y R se emplea tablas tabuladas enfuncin a la relacin y/D.

SECCION PARABOLICO:

FIG. 1.15

ELEMENTOS GEOMETRICOS DE UNA SECCION TRAPEZOIDAL

22

TxxT ( Ec. 1.22)

Calculo del rea hidrulica:

De la figura seleccionamos una seccin diferencial de profundidad dy:

xdyaA 1

Por la ecuacin general de la parbola se conoce:

dydxk

xkdyxdxkyx 2222

Reemplazando en la ecuacin inicial tenemos:

dxk

xxaA

1

Integrando tenemos:

xA

dxk

xdA

00

2

1

k

xA

3

3

1


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11

La seccin total de la parbola es 2A1; por consiguiente se tiene:

yTA .

3

2 ( Ec. 1.23)

Calculo del permetro:

FIG. 1.16

PERIMETRO DE LA SECCION PARABOLICA

Aplicando el teorema de Pitgoras:

22 dydxdL

Factorizamos dx:

dxdxdydL 2/1

x

dxdxdyL0

2/1

Si:

yxk

kxdxdtkdyxdx

kyx

2/

//22

2

2

2

Realizando combinaciones se tiene:

2

2

x

xy

dx

dy

T

y

x

y

dx

dy 42

Haciendo:

kdudxuT

y

k

x

dx

dy

4

Reemplazando en el valor de L, tenemos:

u

kduuL0

21

u

duukL0

21

En la figura se observa que el permetro es:

P=2L


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12

u

kduukP0

212 ( Ec. 1.24)

Esta ltima ecuacin resolvemos para: 14

T

yu y 1

4

T

yu

a. Para 14 Tyu

2 2 1/21 (1 )u du u

2 4

1 11

1 2 21

2 1 2u u

x

6

1 1 11 2

2 2 2

1 2 3u

x x

2 4 61 1 11 ........

2 8 16u u u

0

Luego si u 1, se tiene:

2 211 1

2u u

Sustituyendo en la ecuacin del permetro:

u

duukP0

2

2

112

u

uukP0

33

212

6

32

uukP

Donde:

y

T

y

T

y

xk

82

4

2

2

2

2

Adems:Tyu 4

T

yTP

3

8 2

( Ec. 1.25)

b. Para 1>4

T

yu

u

duukP0

2

2

112

Se integra transformndose en la siguiente expresin:


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13

)1ln(

2

11

22

22 uuuu

kP

Donde:

u

T

u

x

kuk

x

2

Realizando reemplazos y simplificaciones se tiene:

)1ln(

11

2

22 uuu

uT

P ( Ec. 1.26)

La cual es una expresin exacta de P para u=4y/T>1

Calculo del radio hidrulico:

22

2

83

2

yT

yTR

( Ec. 1.27)

En el Cuadro No 1.1 se muestra un resumen de las relaciones geomtricas de las secciones

transversales ms frecuentes.

CUADRO No 1.1

RELACIONES GEOMETRICAS DE SECCIONES DE CANAL

1.7 ECUACIONES FUNDAMENTALES APLICADOS EN FLUJOS EN CANALES ABIERTOS.

ECUACION DE CONTINUIDAD :

El caudal Q, o el volumen de fluido que circula por una seccin en la unidad de tiempo, est dado

por:


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14

Q = v .A ( Ec. 1.28)

Donde v es la velocidad media de la seccin normal al flujo de rea transversal A.

FIG. 1.18

PERFIL LONGITUDINAL Y SECCION TRANSVERSAL DE UN CANAL

Cuando el caudal es constante en un tramo, la ecuacin que gobierna el flujo desde el punto de vista

de la conservacin de la masa se llama ecuacin de continuidad. Esta ecuacin aplicada a las

secciones 1, 2, , n se puede escribir:V1A1 = V2A2 =.. = VnAn = cte

ECUACION DE ENERGIA O ECUACION DE BERNOULL I

En cualquier lnea de corriente que atraviesa una seccin de un canal se define como energa total a

la suma de las energas de posicin ms la de presin y mas la de velocidad, es decir:

Energa total = Energa de posicin + Energa de presin + Energa de velocidad.

FIG. 1.19

ENERGIA TOTAL EN UNA SECCION DE UN CANAL

Si la energa total es expresa por unidad de peso, se obtiene la forma ms conocida de la ecuacin

de Bernoulli, la cual se representa como:

cteg

vPZE

2

2

o cteg

vyZE

2

2

( Ec. 1.29)

Donde:

E = Energa total en la seccinZ = Energa de posicin o elevacin


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15

y = Tirante en la seccin

v = Velocidad media que lleva el flujo en cada seccin

= Coeficiente de Coriolis para la seccin

Estos parmetros se muestran en la Fig. 1.20

FIG. 1.20

ELEMENTOS DE LA ENERGIA POR UNIDAD DE PESO

Como la energa por unidad de peso /m Kg Kg se expresa en unidades de longitud, entonces,

los elementos de:

g

vyZE

2

2

( Ec. 1.30)

Se expresa de la siguiente forma:

E = altura total de energa

Z = altura de posicin

y = altura de presin

2

2g

= altura de velocidad

Siendo:

P = Z + y la altura piezometrica (ver Fig. No 1.21)

En el caso de un fluido ideal, la energa E en 1 es igual a la energa en 2.

Para el caso de un fluido real hay una prdida de energa entre 1 y 2 en realidad no es energa

perdida, sino transformada en calor debido a la friccin.


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16

FIG. 1.21

LINEA DE ALTURAS TOTALES, PIEZOMETRICAS Y HORIZONTE DE ENERGIA

En este caso, la ecuacin de la energa para el tramo 1 y 2 se representa como:

FIG. 1.22

ENERGIA EN LAS SECCIONES 1 Y 2

2 2

1 2

1 1 2 2 1 22 2

fZ y Z y h

g g

( Ec. 1.31)

O bien:

1 2 1 2fE E h ( Ec. 1.32)

Donde1 2f

h es la disposicin de energa entre las secciones 1 y 2

El coeficiente de Coriolis a que aparece en la expresin de la energa cintica2

2g

, representa la

relacin que existe, para una seccin dada, entre la energa real y la que se obtendr considerando

una distribucin uniforme de velocidades. Su valor se calcula con la siguiente ecuacin:

AV

dAVh

3

3

( Ec. 1.33)

Donde:


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Vh : Componente vertical de la velocidad a una profundidad h.

dA : Diferencial del rea correspondiente a la velocidad Vh.

V : Velocidad media.

A : rea total.

Los ensayos experimentados muestran que vara entre 1.03 y 1.36 para los canales prismticos

(canales con seccin transversal y pendiente de solera constante).

El uso del coeficiente de Coriolis , depende de la exactitud con que se est haciendo los clculos,

en muchos casos se justifica considerar: = 1, en este caso, la ecuacin de la energa, se expresa

de la siguiente forma:

2122

2

2

22

2

1

11 fh

g

vyZ

g

vyZ o ( Ec. 1.34)

21222111

fhhvyZhvyZDonde:

g

vh

v2

2

(Carga de velocidad).

ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO O MOMENTUM

En una seccin de un canal, en la cual pasa un caudal Q con una velocidad v, la cantidad de

movimiento en la cantidad de movimiento en la unidad de tiempo, se expresa por cantidad demovimiento.

vQM ... ( Ec. 1.35)

Donde:

: Coeficiente de la cantidad de movimiento o coeficiente de Boussines que permite el uso de la

velocidad media.

AV

dAVh

2

2

( Ec. 1.36)

Siendo:

Vh : Componente vertical de la velocidad a una profundidad h.

dA : Diferencial del rea correspondiente a la velocidad Vh.

V : Velocidad media.

A : rea total.

: Densidad del fluido.

Q : Caudal.

Para canales prismticos se tiene usualmente:1.01


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Consideremos un tramo de un canal de seccin transversal cualquiera, por ejemplo, donde se

produce el resalto hidrulico y el volumen de control limitado por las secciones 1 y 2 (antes y

despus del resalto), por el piso del canal y por la superficie libre, como se muestra en la Fig.1.23.

FIG. 1.23

VOLUMEN DE CONTROL PARA EFINIR LA ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

La variacin de la cantidad de movimiento entre las secciones 1 y 2 ser:

Variacin de la cantidad de movimiento = )..(.1122

vvQ ( Ec. 1.37)

De acuerdo con la segunda ley de Newton: La suma de las fuerzas exteriores es igual al cambio de

la cantidad de movimiento, aplicando este principio a las secciones 1 y 2 del canal, se tiene:

F Exteriores= Cambio cantidad de movimiento.

F Exteriores= )..(.1122

vvQ ( Ec. 1.38)

Siendo:

F Exteriores= fPP FWSenFF 21 ( Ec. 1.39)

Donde:

2,

1 PP FF = Fuerza de presin actuando en las dos secciones.

W = Peso del fluido (W Sen, peso del fluido en el sentido del movimiento).

fF = Fuerza externa total de resistencia que se opone al movimiento.

Luego:

fPP FWSenFFvvQ 21122 1)..(. ( Ec. 1.40)

Esta ecuacin es conocida como la ecuacin de cantidad de movimiento o momentum.

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