Capítulo 6 Demanda. Propiedades de las Funciones de Demanda u Estática comparativa el estudio de...
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Capítulo 6 Demanda
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Capítulo 6
Demanda
Propiedades de las Funciones de Demanda
Estática comparativa el estudio de cómo cambia la demanda ordinaria de x1*(p1,p2,m) y x2*(p1,p2,m) cuando cambian los precios y el ingreso.
Cambios en el precio
¿Cómo cambia x1*(p1,p2,m) cuando p1 cambian, manteniendo p2 y m constantes?
Supongamos que p1 se incrementa, de p1’ a p1’’ y luego a p1’’’.
x1
x2
p1 = p1’
p2 y m permanecen constantes
p1x1 + p2x2 = m
x1
x2
p1= p1’’
p1 = p1’
p1x1 + p2x2 = m
p2 y m permanecen constantes
x1
x2
p1= p1’’p1=p1’’’
p1 = p1’
p1x1 + p2x2 = m
p2 y m permanecen constantes
x2
x1
p1 = p1’
p2 y m permanecen constantes
x2
x1x1*(p1’)
p1 = p1’
p2 y m permanecen constantes
x2
x1x1*(p1’)
p1
x1*(p1’)
p1’
x1*
p1 = p1’
p2 y m permanecen constantes
x2
x1x1*(p1’)
p1
x1*(p1’)
p1’
p1 = p1’’
x1*
p2 y m permanecen constantes
x2
x1x1*(p1’)
x1*(p1’’)
p1
x1*(p1’)
p1’
p1 = p1’’
x1*
p2 y m permanecen constantes
x2
x1x1*(p1’)
x1*(p1’’)
p1
x1*(p1’)
x1*(p1’’)
p1’
p1’’
x1*
p2 y m permanecen constantes
x2
x1x1*(p1’)
x1*(p1’’)
p1
x1*(p1’)
x1*(p1’’)
p1’
p1’’
p1 = p1’’’
x1*
p2 y m permanecen constantes
x2
x1x1*(p1’’’) x1*(p1’)
x1*(p1’’)
p1
x1*(p1’)
x1*(p1’’)
p1’
p1’’
p1 = p1’’’
x1*
p2 y m permanecen constantes
x2
x1x1*(p1’’’) x1*(p1’)
x1*(p1’’)
p1
x1*(p1’)x1*(p1’’’)
x1*(p1’’)
p1’
p1’’
p1’’’
x1*
p2 y m permanecen constantes
x2
x1x1*(p1’’’) x1*(p1’)
x1*(p1’’)
p1
x1*(p1’)x1*(p1’’’)
x1*(p1’’)
p1’
p1’’
p1’’’
x1*
Curva dedemandaordinaria parael bien 1
p2 y m permanecen constantes
x2
x1x1*(p1’’’) x1*(p1’)
x1*(p1’’)
p1
x1*(p1’)x1*(p1’’’)
x1*(p1’’)
p1’
p1’’
p1’’’
x1*
p2 y m permanecen constantes
Curva dedemandaordinaria parael bien 1
x2
x1x1*(p1’’’) x1*(p1’)
x1*(p1’’)
p1
x1*(p1’)x1*(p1’’’)
x1*(p1’’)
p1’
p1’’
p1’’’
x1*
Curvadeofertapreciopara p1
p2 y m permanecen constantes
Curva dedemandaordinaria parael bien 1
Cambios en el precio
La curva que contiene todas las canastas que maximizan la utilidad cuando cambia el precio p1 ccon p2 y m constantes, es la curva oferta precio.
El gráfico de las coordenadas de x1 y su precio p1 es la curva de demanda ordinaria del bien 1.
¿Cómo se presenta la curva de oferta precio para las preferencias Cobb-Douglas?
Tomemos:
entonces las funciones de demanda ordinaria para los bienes 1 y 2 son:
U x x x xa b( , ) .1 2 1 2
121
*1 ),,(
p
m
ba
amppx
.),,(2
21*2 p
m
ba
bmppx
y
Observe que x2* no varía cuando cambia p1 Entonces la curva oferta precio es
plana
y la curva de demanda ordinaria parael bien 1 es
una hiperbola rectangular.
x1*(p1’’’) x1*(p1’)
x1*(p1’’)
x2
x1
2
*2 )( pba
bmx
1
*1 )( pba
amx
p2 y m permanecen constantes
x1*(p1’’’) x1*(p1’)
x1*(p1’’)
x2
x1
p1
x1*
Curva de demandaordinaria para elbien 1 es
1
*1 )( pba
amx
p2 y m permanecen constantes
2
*2 )( pba
bmx
1
*1 )( pba
amx
¿Cómo se presenta la curva de oferta precio para una función de utilidad de bienes complementarios perfectos?
.,),( 2121 xxmínxxU
en consecuencia, las funcionesde demanda ordinaria para losbienes 1 y 2 son:
.),,(),,(21
21*221
*1 pp
mmppxmppx
Con p2 y m fijos, un p1 mayor provoca unmenor x1* y un menor x2*.
.),,(),,(21
21*221
*1 pp
mmppxmppx
.,02
*2
*11 p
mxxp
p x x1 1 2 0 , .* *
x1
x2
p2 y m permanecen constantes
p1
x1*21
'*2 pp
mx
21'
*1 pp
mx
x1
x2
p1’
21'
*1 pp
mx
p1 = p1’
m/p2
p2 y m permanecen constantes
p1
x1*21''
*2 pp
mx
21''
*1 pp
mx
x1
x2
p1’
p1’’p1 = p1’’
21''
*1 pp
mx
y/p2
p2 y m permanecen constantes
p1
x1*21
'''*2 pp
mx
21'''
*1 pp
mx
x1
x2
p1’
p1’’
p1’’’
21'''
*1 pp
mx
p1 = p1’’’
y/p2
p2 y m permanecen constantes
p1
x1*
La curva de demandaordinaria para elbien 1 es
21
*2 pp
mx
21
*1 pp
mx
.21
*1 pp
mx
x1
x2
p1’
p1’’
p1’’’
2p
m
y/p2
p2 y m permanecen constantes
U x x x x( , ) .1 2 1 2
entonces, la curva de demandaordinaria para los bienes 1 y 2 son
¿Cómo se presenta la curva de oferta precio para una función de utilidad de bienes sustitutos perfectos?
211
2121
*1 ,/
,0),,(
ppsipm
ppsimppx
.,/
,0),,(
212
2121
*2 ppsipm
ppsimppx
y
x2
x1
x2 0*
1
*1 p
mx
p1 = p1’ < p2
’
p2 y m permanecen constantes
x2
x1
p1
x1*
x2 0*
1'
*1 p
mx
p1’
p1 = p1’ < p2
1'
*1 p
mx
p2 y m permanecen constantes
x2
x1
p1
x1*
p1’
p1 = p1’’ = p2
p2 y m permanecen constantes
x2
x1
p1
x1*
p1’
p1 = p1’’ = p2
p2 y m permanecen constantes
x2
x1
p1
x1*
x2 0*
1''
*1 p
mx
p1’
p1 = p1’’ = p2
x1 0*
2
*2 p
mx
p2 y m permanecen constantes
x2
x1
p1
x1*
x2 0*
2
*1 p
mx
p1’
p1 = p1’’ = p2
x1 0*
2
*10
p
mx
p2 = p1’’
p2 y m permanecen constantes
2
*2 p
mx
x2
x1
p1
x1*
2
*2 p
mx
x1 0*
p1’
p1’’’
x1 0*
p2 = p1’’
p2 y m permanecen constantes
x2
x1
p1
x1*
p1’
p2 = p1’’
p1’’’
1
*1 p
mx
2
*10
p
mx
2p
m
Curvaofertapreciopara el bien 1
Curva demandaordinaria parael bien 1p2 y m permanecen
constantes
Nos preguntamos con frecuencia “dado el precio del bien 1, ¿cuál es la cantidad demandada del bien 1?
Pero también nos podemos hacer la pregunta a la inversa :“¿A qué precio será demandada una cierta cantidad del bien 1?”
p1
x1*
p1’
Dado p1’, ¿qué cantidades demandada del bien 1?
p1
x1*
p1’
Respuesta: x1’ unidades.
x1’
p1
x1*x1’
La pregunta inversa es:dados x1’ unidadesdemandadas del bien 1,¿cuál es su precio?
p1
x1*
p1’
x1’
respuesta: p1’
Tomando la cantidad demanda como dada y preguntando cuál debe ser el precio, describimos la función inversa de demanda de un bien.
Un ejemplo con preferencias Cobb-Douglas:
1
*1 )( pba
amx
es la función de demanda ordinaria y
*1
1 )( xba
amp
es la función inversa de demanda
Ejemplo de complementos perfectos
21
*1 pp
mx
es la función de demanda ordinaria y
2*1
1 px
mp
es la función inversa de demanda
Cambios en el ingreso
¿Cómo cambia el valor de x1*(p1,p2,m) cuanda cambia m, manteniendo constantes los precios p1 y p2?
x2
x1
Manteniendo fijosp1 y p2.
m’ < m’’ < m’’’
x2
x1
Manteniendo fijosp1 y p2.
m’ < m’’ < m’’’
x2
x1x1’’’x1’’
x1’
x2’’’x2’’x2’
Manteniendo fijosp1 y p2.
m’ < m’’ < m’’’
x2
x1x1’’’x1’’
x1’
x2’’’x2’’x2’
CurvaOferta ingreso
Manteniendo fijosp1 y p2.
m’ < m’’ < m’’’
La gráfica de la cantidad demandada versus el ingreso se conoce como Curva de Engel.
x2
x1x1’’’x1’’
x1’
x2’’’x2’’x2’
Manteniendo fijosp1 y p2.
m’ < m’’ < m’’’
CurvaOferta ingreso
x2
x1x1’’’x1’’
x1’
x2’’’x2’’x2’
x1*
m
x1’’’x1’’
x1’
m’m’’
m’’’
Manteniendo fijosp1 y p2.
m’ < m’’ < m’’’
CurvaOferta ingreso
x2
x1x1’’’x1’’
x1’
x2’’’x2’’x2’
x1*
m
x1’’’x1’’
x1’
m’m’’m’’’
CurvaEngel
Manteniendo fijosp1 y p2.
m’ < m’’ < m’’’
CurvaOferta ingreso
x2
x1x1’’’x1’’
x1’
x2’’’x2’’x2’
x2*
m
x2’’’x2’’
x2’
m’m’’
m’’’
Manteniendo fijosp1 y p2.
m’ < m’’ < m’’’
CurvaOferta ingreso
x2
x1x1’’’x1’’
x1’
x2’’’x2’’x2’
x2*
m
x2’’’x2’’
x2’
m’
m’’
m’’’
CurvaEngelManteniendo fijos
p1 y p2.
m’ < m’’ < m’’’
CurvaOferta ingreso
x2
x1x1’’’x1’’
x1’
x2’’’x2’’x2’
x1*
x2*
m
m
x1’’’x1’’
x1’
x2’’’x2’’
x2’
m’
m’’
m’’’
m’
m’’
m’’’
CurvaEngel
CurvaEngel
Manteniendo fijosp1 y p2.
m’ < m’’ < m’’’
CurvaOferta ingreso
Cambios en el Ingreso y preferencias Cobb-Douglas
Un ejemplo de cálculo de las ecuaciones de Engel para las preferencias Cobb-Douglas.
Las ecuaciones de demanda ordinaria son
U x x x xa b( , ) .1 2 1 2
.)(
;)( 2
*2
1
*1 pba
bmx
pba
amx
Reordenando y despejando m:
*2
2
*1
1
)(
)(
xb
pbam
xa
pbam
Curva Engel para el bien 1
Curva Engel para el bien 2
m
m x1*
x2*
*1
1)(x
a
pbam
Curva Engelpara el bien 1
*2
2)(x
b
pbam
Curva Engelpara el bien 2
Cambios en el ingreso y preferencias de bienes complementarios perfectos
Otro ejemplo para estimar las ecuaciones de las curvas de Engel; el caso de bienes complementarios perfectos.
Las ecuaciones de demanda ordinaria son
.21
*2
*1 pp
mxx
.,),( 2121 xxmínxxU
Reordenando y despejando m:
*221
*121
)(
)(
xppm
xppm
Curva Engel para el bien 1
.21
*2
*1 pp
mxx
Curva Engel para el bien 2
x1
x2
Manteniendo fijosp1 y p2.
x1
x2
m’ < m’’ < m’’’
Manteniendo fijosp1 y p2.
x1
x2
m’ < m’’ < m’’’
Manteniendo fijosp1 y p2.
x1
x2
x1’’x1’
x2’’’x2’’x2’
x1’’’
m’ < m’’ < m’’’
Manteniendo fijosp1 y p2.
x1
x2
x1’’x1’
x2’’’x2’’x2’
x1’’’ x1*
m
m’
m’’
m’’’CurvaEngel
x1’’’x1’’
x1’
m’ < m’’ < m’’’
Manteniendo fijosp1 y p2.
x1
x2
x1’’x1’
x2’’’x2’’x2’
x1’’’
x2*x2’’’x2’’
x2’
m’ < m’’ < m’’’
Manteniendo fijosp1 y p2.
m
m’
m’’
m’’’
CurvaEngel
x1
x2
x1’’x1’
x2’’’x2’’x2’
x1’’’ x1*
x2*x2’’’x2’’
x2’
x1’’’x1’’
x1’
m’ < m’’ < m’’’
Manteniendo fijosp1 y p2.
m
m’
m’’
m’’’
m
m’
m’’
m’’’
CurvaEngel
CurvaEngel
x1*
x2*x2’’’x2’’
x2’
x1’’’x1’’
x1’
*221 )( xppm
*121 )( xppm
Manteniendo fijosp1 y p2.
m
m’
m’’
m’’’
m
m’
m’’
m’’’
CurvaEngel
CurvaEngel
Otro ejemplo para la estimación de las ecuaciones de las curvas de Engel; el caso de sustitutos perfectos.
Las ecuaciones de demanda ordinaria son
U x x x x( , ) .1 2 1 2
Cambios en el ingreso y preferencias de bienes sustitutos perfectos
211
2121
*1 ,/
,0),,(
ppsipm
ppsimppx
.,/
,0),,(
212
2121
*2 ppsipm
psipmppx
Supongamos que p1 < p2. Entonces
1
*1 p
mx x2 0* y
x2 0* .*11xpm y
x2 0* .*11xpm
y y
x1* x2*0Curva Engel Curva Engel
Cambios en el ingreso
En los ejemplos que hemos visto, la curva de Engel se ha presentado como una función lineal. pregunta: ¿Es siempre así?
respuesta: No. Las curvas de Engel son líneas rectas si las preferencias de los consumidores son homotéticas.
Homoticidad
Las preferencias del consumidor son homotéticas si y solo si
para k > 0. Es decir, la TMgS del consumidor es
la misma en cualquier punto sobre la línea recta desde el orígen.
(x1,x2) (y1,y2) (kx1,kx2) (ky1,ky2)
Efecto ingreso – un ejemplo no homotético
Las preferencias cuasilineales no son homotéticas.
Por ejemplo:
U x x f x x( , ) ( ) .1 2 1 2
U x x x x( , ) .1 2 1 2
x2
x1
Cada una de las curvas es una copiaverticalmente desplazada de las otras.
Cada una de las curvasintersecta ambos ejes.
x2
x1
x1~
x2
x1
x1~
x1*
y
x1~
CurvaEngel
x2
x1
x1~
x2*
y CurvaEngel
x2
x1
x1~
x1*
x2*y
y
x1~
CurvaEngel
CurvaEngel
Efecto Ingreso
Un bien para el cual la cantidad demandada se incrementa cuando el ingreso se incrementa es un bien normal.
En consecuencia la curva de Engel para bienes normales, tiene pendiente positiva.
Un bien para el cual la cantidad demandada disminuye cuando el ingreso se incrementa es un bien inferior.
En consecuencia la curva de Engel para bienes inferiores tiene pendiente negativa.
x2
x1
Cambios en el ingreso: bienes 1 y 2 son normales
x1’’’x1’’
x1’
x2’’’x2’’x2’
Curvaofertaingreso
x1*
x2*
m
x1’’’x1’’
x1’
x2’’’x2’’
x2’
m’
m’’
m’’’
CurvaEngel
CurvaEngel
m
m’
m’’
m’’’
Cambios en el ingreso: el bien 2 es normal, el bien 1 es inferior
x2
x1
x2
x1
x2
x1
x2
x1
x2
x1
x2
x1
Curvaofertaingreso
x2
x1x1*
m
Curva Engel
x2
x1x1*
x2*
m
m
Curva Engel
Curva Engel
Bienes ordinarios
Un bien es un bien ordinario si su cantidad demandada siempre se incrementa cuando su precio disminuye.
Bienes ordinarios
x1
x2
Manteniendo fijosp2 y m
x1
x2
Curvaofertaprecio
Manteniendo fijosp2 y m
x1
x2
x1*
Curva demandapendiente negativa
El bien 1 esordinario
p1
Manteniendo fijosp2 y m
Curvaofertaprecio
Bienes Giffen
Si, para algunos valores del precio, la cantidad demandada de un bien se incrementa cuando su precio se incrementa, entonces el bien es un bien Giffen.
x1
x2
Manteniendo fijosp2 y m
x1
x2
Manteniendo fijosp2 y m
Curvaofertaprecio
x1
x2
x1*
La curva de demandatiene un tramo conpendiente positiva.
El bien 1 esun bienGiffen
p1
Manteniendo fijosp2 y m
Curvaofertaprecio
Efecto precio cruzado
Si un incremento en p2
– incrementa la demanda del bien 1, entonces el bien 1 es un sustituto bruto del bien 2.
–disminuye la demanda del bien 1, entonces el bien 1 es un complemento bruto del bien 2.
Ejemplo de complementos perfectos:
21
*1 pp
mx
.02
212
*1
pp
m
p
x
entonces
En consecuencia, el bien 2 esComplemento bruto del bien 1.
p1
x1*
p1’
p1’’
p1’’’
yp2’
Se incrementa el precio delBien 2 de p2’ a p2’’ y
p1
x1*
p1’
p1’’
p1’’’
yp2’’
La curva de demandadel bien 1 se desplazahacia adentro-- el bien2 es un complementobruto del bien 1.
Un ejemplo con preferencias A Cobb- Douglas:
2
*2 )( pba
bmx
así
xp2
10
*.
En consecuencia, el bien 1 no esComplemento ni sustituto bruto delBien 2.
