INTRODUCCION

Cuando tratamos el curso de esttica, generalmente nos basamos en un mtodo analtico para encontrar la solucin al problema pedido, pero no

solamente existe ese mtodo, podemos utilizar otro llamado esttica grfica,

aunque no es muy conocido el tema, es muy importante tener un

conocimiento sobre esto, ya que ayuda mucho en esttica porque facilita la

resolucin de los inconvenientes que se nos pueden presentar en algunos

ejercicios.

Complementando el mtodo analtico y visualizando de una manera

ms clara el ejercicio, valindose en imgenes, graficando polgonos,

haciendo el diagrama de cuerpo libre de los elementos incluidos en las

armaduras de vigas y columnas para despus aplicar las tres ecuaciones

independientes de equilibrio, no olvidando la tercera ley de newton, todo

esto ser explicado a continuacin en el presente trabajo.

La esttica grfica comprende un conjunto de tcnicas sencillas para el clculo de fuerzas y la resolucin de problemas de esttica cuando todas las fuerzas

relevantes estn sobre un nico plano. Debido a su sencillez y manejabilidad las tcnicas de esttica grfica fueron ampliamente usadas durante el siglo XIX y principios del siglo XX en el clculo de estructuras planas isostticas. Entre las

tcnicas ms usuales estn:

El polgono funicular, para el clculo de fuerzas resultantes.

El diagrama de Cremona, para el clculo de armaduras planas isostticas.

Siendo stas solo algunas de las tcnicas que podemos utilizar, ya que existen otro mtodos que pueden usarse especficamente en vigas o armaduras.

E STRUCTUR A S ISOSTAT IC A S PL AN AS

GENERALIDADES:

ESTRUCTURA.-

Es un conjunto de elementos que se encuentran unidos entre s, los cuales deben

mantenerse ntegros durante el transcurso de su vida til, y cuya funcin es la de soportar distintas cargas que se le sometan y de dar rigidez a ciertos elementos.

Estas estructuras segn el GRADO DE INDETERMINACIN ESTTICA (GIE) pueden

clasificarse en:

- ESTRUCTURA HIPOSTTICA (GIE

- ESTRUCTURA HIPERESTTICA (GIE>0)

En nuestro caso, solo analizaremos las estructuras isostticas. ESTRUCTURA ISOSTTICA Son aquellas que pueden resolverse estticamente utilizando las ecuaciones de equilibrio, estas ecuaciones deben plantearse para el conjunto de la estructura y tambin para cada una de sus partes (ecuaciones de equilibrio en los nudos y barras)

Estructura isosttica plana.- Hablamos de una estructura vista en el plano, en dos dimensiones.

Estructura isosttica espacial.- Se refiere a aquella estructura vista en el espacio,

en tres dimensiones.

A continuacin se muestran los diferentes mtodos grafico que existen para el anlisis

de estructuras isostticas planas:

POLIGONO DE FUERZA

Este mtodo grafico nos PERMITE HALLAR LA RESULTANTE DE UN

SISTEMA DE FUERZAS; consiste en representar las fuerzas existentes en una escala conveniente para dibujarse en sucesin una tras otra. La fuerza resultante es la lnea

que tiene su origen en el inicio de la primera lnea dibujada y su final en el extremo libre de la ltima lnea. No importa el orden en que se dibuje la sucesin de fuerzas, la resultante siempre es la misma; al sumar las fuerzas A, B, C y D en distinto orden (ver

los nmeros 2, 3 y 4 siempre se obtiene el mismo resultado.

(2) (3) (4)

Para sistemas de fuerzas concurrentes que ya estn equilibrados, no existe

resultante ya que al sumar las fuerzas en distinto orden, no es posible trazar una lnea

resultante, pues el polgono que se forma siempre es cerrado.

POLGONO FUNICULAR

El polgono funicular es un procedimiento grfico para el clculo

de reacciones y fuerza resultante a partir de un conjunto de fuerzas coplanares.

El nombre procede del latn funiculum 'cordel, cuerda pequea' y se refiere al hecho que

el polgono funicular de un sistema de fuerzas sera precisamente la forma que adoptara un cordel sometido a dicho sistema de fuerzas.

Cuando un sistema de varias fuerzas coplanares acta sobre un cuerpo rgido, puede

utilizarse con ventaja un mtodo grfico, denominado Polgono Funicular, para

determinar la resultante del sistema en mdulo, direccin, sentido y recta de accin y el

momento respecto de cualquier punto del plano al que pertenecen las fuerzas.

En lo que sigue, se expondrn los principios en que se basa el mtodo, se explicar en que consiste y

cmo se obtiene la resultante y el momento, ambas en forma grfica.

Para la representacin grfica deberemos adoptar escalas de fuerzas y de distancias en

Newton/cm y m/cm respectivamente.

DESCOMPOSICIN DE UNA FUERZA EN DOS DIRECCIONES CUALESQUIERA

Supongamos una fuerza F de origen A y extremo B que acta sobre el punto P de

una recta a de un cuerpo rgido. Tomemos el vector equipolente (1) de F y

elijamos un punto cualquiera O que no pertenezca a la recta de accin de .

Los vectores sobre la recta b y sobre la recta c, medidos en escala de fuerzas representan las componentes de F en las direcciones a y b . Ahora podemos remplazar a la fuerza F por el sistema equivalente (2) constituido

por y porque: a) la resultante del nuevo sistema es F b) el momento de F respecto de cualquier punto del plano es igual a la suma de los momentos de

y respecto del mismo punto, por el teorema de Varignon.

EL POLGONO DE FUERZAS Y EL POLGONO FUNICULAR DE UN SISTEMA DE FUERZAS PARALELAS

a) Caso 1: Cuando las fuerzas paralelas tienen igual sentido

Adoptando una escala de fuerzas, se construye el polgono de fuerzas, llevando una fuerza a continuacin de la otra. Como las distintas fuerzas actuantes son paralelas, el polgono de fuerzas se reduce a un vector AE (resultante). Concluimos que la resultante es paralela a las fuerzas dadas e igual en intensidad a la suma de las intensidades de las distintas

fuerzas.

b) Caso 2: cuando las fuerzas paralelas son de distintos sentidos.

Al igual que en el caso a), se construye el polgono de fuerzas y funicular, donde deducimos: que la resultante tiene como intensidad la suma algebraica de las intensidades de las distintas fuerzas concurrentes

POLGONO DE FUERZAS Y POLGONO FUNICULAR PARA UN SISTEMA

DE FUERZAS NO CONCURRENTES.

Consideremos ahora el caso de un cuerpo sometido a tres fuerzas coplanares. El anlisis puede

extenderse a un sistema de n fuerzas. Dibujando el polgono de fuerzas y ,

sabemos que el lado de cierre es la resultante del sistema.

Tomemos ahora un punto O, denominado polo que no pertenezca a la recta de

accin de y tracemos las rectas que un en cada uno de los vrtices del polgono con el

polo. Obsrvese que, por el razonamiento hecho anteriormente, se tiene

DETERMINACIN DE LA RECTA DE ACCIN DE LA RESULTANTE - POLGONO

FUNICULAR.

Para determinar la recta de accin de la resultante descompondremos a cada una de las fuerzas

en sus componentes.

Para ello elegimos un punto S cualquiera sobre F1 y tracemos las rectas I y II

paralelas a y , respectivamente. Sobre esas rectas actuarn

las fuerzas y , componentes de F1. La recta II corta a F2 en el punto T ,

que elegimos para que por l pasen sus componentes (segn II) y (segn III). Por ltimo, la recta III corta a F3 en el punto V , por el que pasarn sus

componentes y

Teniendo en cuenta las componentes que se anulan entre si ( con y con

), el sistema de fuerzas dado queda remplazado por la fuerza actuando

sobre la recta I y la fuerza actuando sobre la recta IV, que son las

componentes dela resultante R = del sistema. Por lo tanto, dicha resultante pasar por la interseccin P de las rectas I y IV El polgono formado por las rectas I, II, III y IV se denomina polgono funicular La distancia H del polo O a la resultante se denomina distancia polar.

MOMENTO DEL SISTEMA RESPECTO DE UN PUNTO.

Supongamos que quiere conocerse el momento de las fuerzas que componen al

sistema respecto de un punto M del plano. Tracemos por M una paralela a la resultante que cortar a las rectas extremas del polgono funicular en los puntos M y M. Vemos que los tringulos PMM y AOD son semejantes por tener sus lados paralelos entre si. Por lo tanto AD/MM=H/L; donde Les la distancia de M a la resultante.

Por el teorema de Varignon, se sabe que el momento de las fuerzas componentes de un sistema respecto de un punto es igual al momento de la resultante respecto de dicho punto. El segmento AD, medido en la escala de fuerzas, representa la resultante R del sistema. Si al segmento MM = V lo medimos tambin en escala de fuerzas Y se verifica

Siendo R.L el mdulo del momento.

O sea que la medida del segmento interceptado por la paralela a R pasante por el punto O, con los lados extremos del funicular, medido en escala de fuerzas, multiplicado por la distancia polar H, medida en escala de longitudes, proporciona el momento de R Respecto del punto arbitrario M.

.

As como existe un mtodo analtico para hallar las reacciones en vigas , tambin

existe un mtodo grafico; en esta parte hablaremos de como hallar dichas reacciones

grficamente, teniendo en cuenta lo siguiente:

El equilibrio de fuerzas paralelas tambin pueden determinarse o resolverse por

medio grfico.

La primera condicin es que el polgono de fuerzas sea cerrado.

La segunda condicin es que el polgono funicular tambin sea cerrado.

Pasos:

1. se coloca la fuerza en verdadera magnitud y como el polgono debe de ser cerrado,

se coloca otra lnea que represente las 2 reacciones juntas.

2. se determina un punto y se trazan rectas desde el origen hasta el fin de la fuerza Fa y Fb.

3. Por un punto cualquiera de la lnea de accin de RB se lleva una paralela a Fb hasta

cortar con F.

4. En el corte por F, llevamos una paralela Fa.

5. se unen el extremo de funicular en RB y el de RA.

6. Por el punto del funicular se traza una paralela a a b hasta cortar la lnea de

reacciones, obtenindose as los valores de stos.

EJEMPLO:

Para el anlisis en Armaduras haremos uso de dos mtodos grficos, uno es el

mtodo por secciones y el otro por el mtodo de cremona, con ellos hallaremos las

reacciones y las fuerzas internas que actan dentro de nuestra armadura.

M TODO G RF ICO POR SE CCION E S

Este procedimiento consiste en hacer grficamente el equilibrio de una seccin

de armadura, haciendo el diagrama de cuerpo libre de esa seccin despus de haber obtenido las reacciones y aplicando las condiciones graficas de equilibrio.

Ejemplo:

Resolvamos una seccin de una armadura sencilla para facilitar la comprensin del

procedimiento.

Reacciones:

Por suma de fuerzas tenemos en la seccin:

-2 4 + 8 = 2T = R

Si tomamos MAF= -(4T*2M) = -8TM =MAR, de donde la resultante de 2

T pasa a 4m

de A con giro negativo.

Colocamos la reaccin de 2T a 4m y trazamos una recta x desde la interseccin

de B1 y B2 (Nodo D) hasta su interseccin con B3.

Esta recta x ser la resultante de B1 y B2 y adems estar en equilibrio con R y B3.

Se coloca en verdadera magnitud la resultante de las fuerzas externas de la seccin de

la armadura, con su direccin y sentido correctos.

Por sus extremos, por el inferior se traza una recta paralela a la lnea de accin de B 3 y

por el superior una paralela a la lnea de accin de B1.

Se traslada una paralela a la recta x por la punta o extremo de la Resultante hasta que

corte la recta paralela a B3, esto ocurre en el punto Z

Ahora bien, considerando que x es la resultante de B1 y B2, por ese punto Z trazamos una paralela a B2 y lo prolongamos hasta que se corte a B1, lo que da por resultado el

determinar las dimensiones tanto de B1 como de B2, mismas que se miden en la escala

en que se est trabajando.

La magnitud de B3 queda tambin determinada desde el punto Z hasta R.

En el trapecio que se forma con las 4 fuerzas R, B1, B2, B3, se van marcando los sentidos

de las fuerzas de tal manera que B1 entra en la seccin, luego es comprensin; B2 sale de la seccin siendo tensin y B3 sale de la seccin siendo en tal virtud tensin.

Este procedimiento grafico puede complementar el analtico, como ya se vio, y

anlogamente la solucin grafica por nodos. Se complementa con la solucin grafica

por secciones para los casos en los que presenta ms de dos barras desconocidas.

METODO DE CREMONA

El Diagrama de Cremona, tambin conocido como Mtodo de Cremona-

Maxwell; es un mtodo grfico para el clculo de estructuras isostticas, es la

aplicacin de forma grfica del mtodo de los nudos.

El mtodo fue creado por el matemtico italiano Luigi Cremona a finales del siglo XIX.

En la actualidad se encuentra prcticamente en desuso. Se basa en la construccin de

los polgonos de fuerzas encada nudo de la barra (polgono funicular)

El mtodo es aplicable a celosas trianguladas que sean estticamente determinadas,

lo cual implica que necesariamente el nmero de barras (b) y el nmero de nudos (n)

o intersecciones de barras satisfaga la relacin:

El mtodo de Cremona se basa en la construccin de los polgonos de fuerzas encada

nudo de la barra (polgono funicular).Cuando en un nudo en el que concurren varias

fuerzas desconocemos slo dos y estn en posicin consecutiva, podemos construir

grficamente un polgono de fuerzas en el que determinemos el valor de las dos que son

desconocidas. Para ello iremos representando los vectores fuerza a escala en un grfico. El

sentido en el que las iremos representando ser el de las agujas del reloj, y comenzamos

por la primera conocida. En la siguiente figura representamos un nudo en el que

concurren cuatro fuerzas de las que nosotros conocemos slo dos, pero s sabemos la

direccin de las otras dos. Construiremos el polgono de fuerzas comenzando por la fuerza

1 y a continuacin la fuerza 2. Sabemos que para que el nudo est en equilibrio el

polgono de fuerzas debe cerrarse. La fuerza 3 debe pasar por el final de la fuerza 2, y la

fuerza 4 por el principio de la fuerza 1. El punto de interseccin de las rectas paralelas a 3

y a 4 ser el fin de la fuerza 3 y el origen de la fuerza 4.

En una armadura, se tendr que calcular los esfuerzos en todas las barras,

construyendo los polgonos de fuerza de cada uno de los nudos.

EJEMPLO:

Determinar las fuerzas internas en la armadura:

Colocamos nmeros como referencia

Analizamos cada nudo tratando de formar polgonos de fuerza, cada fuerza est representada en una escala respectiva.

Analizamos los dems nudos de manera conveniente, no

olvidando que el polgono se forma en sentido horario.

Como vemos el mtodo es similar al de los nodos, pero

grficamente; de este modo hemos hallado las fuerzas internas

de la armadura.