CAPITULO VII

INTRODUCCIÓN A LAS TRANSFORMA-DAS DE LAPLACE

Estudiando este capítulo, debemos estar en capacidad de:

• Definir que las transformadas de Laplace y aplicarlas a varias funciones.• Usar las transformadas Laplace para convertir una ecuación diferencial ordinaria

de orden n al dominio de Laplace. • Manipular las ecuaciones algebraicas, realizando una descomposición en frac-

ciones simples.

• “La inversión” de la función del dominio de Laplace para obtener la solución en el dominio del tiempo.

• Usar el teorema de valor final para estudiar la conducta a largo plazo de un siste-ma.

Las secciones más importantes de este capítulo son:

7.1. Motivación

7.2. Definición de las transformadas de Laplace

7.3. Ejemplos de transformadas de Laplace

7.4. Teorema de los valores final e inicial.

7.5. Ejemplos de aplicación

7.6. Tabla de las transformadas de Laplace

7.1. Motivación.– Las transformadas de Laplace son una herramienta matemática muy útil en el análisis de sistemas dinámicos lineales. El propósito de usar las transformadas de Laplace, es convertir las ecuaciones diferenciales lineales en ecuaciones algebraicas. Las ecuaciones algebraicas son mucho más fáciles de manipular que las ecuaciones di-ferenciales. Una analogía es el uso de logaritmos para cambiar la operación multiplica-ción en suma. Las transformadas de Laplace son útiles para resolver los problemas de sistemas dinámicos lineales, particularmente los problemas no homogéneos (heterogé-neo) (v.g, cuando varía la entrada al sistema del proceso), y normalmente se usan en el de diseño y análisis de sistemas de control de procesos.

7.2. Definición de las transformadas de Laplace.– Consideremos la función f(t) en el dominio del tiempo. La transformada de Laplace de f(t) se representa por y se de-fine como

Simulación de Procesos Sección III

Esta operación transforma una variable del dominio del tiempo al dominio s (o de La-place). También se usa una barra sobre las letras o mayúsculas para la variable transfor-mada. En este desarrollo inicial haremos que f(t) representa la función del dominio del tiempo y F(s) representa la función en el dominio de Laplace. Después podemos ser menos rígidos en la notación y representar la función en le dominio de Laplace por f(s).

Las transformada de Laplace es una operación lineal, como indicamos a continuación.

Esta ecuación satisface la definición de una operación lineal.

Definimos la transformada de una función, en el dominio del tiempo por L[f(t)] º F(s).. Si deseamos transformar la función del dominio de Laplace (a veces se llama do-minio s) al dominio del tiempo, usamos la noción de la transformada inversa.

Las transformadas de Laplace también pueden usarse para resolver ecuaciones diferen-ciales lineales a derivadas parciales.

7.3. Ejemplos de transformadas de Laplace.– Desarrollamos las transformadas de al-gunas funciones que normalmente se presentan en la solución de problemas dinámicos lineales. Estas funciones son

i. función exponencial

ii. función de paso

iii. tiempo muerto

iv. derivadas

v. integrales

vi. seno

vii. coseno

viii. paso

ix. impulso

Función exponencial.– Las funciones exponenciales normalmente se presentan en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias, lineales, a coeficientes constantes:

Una gráfica de esta función se muestra en Fig. 7–1.

La transformada se define para t > 0 (también usamos la identidad ex+y = exey)

La manera que hemos resuelto para los límites de integración sólo es rigurosamente ver-dad para a > 0. Para a < 0 la solución todavía se cumple para s > –a; podemos asumir que esta condición siempre se satisface.

164

Exponencial

Capítulo VII Transformadas de Laplace

Fig. 7–1 Función exponencial

7.3.1. Funciones discontinuas aplicadas.– En esta sección se introduce una aplicación de las funciones discontinuas: la función de Heaviside y su aplicación en ingeniería.

Quizás nos parecieron extrañas algunas funciones definidas "por partes" que considera-das anteriormente en el contexto de la continuidad; sin embargo, algunas de ellas son muy importantes en las aplicaciones. Aquí veremos algo con respecto a una función dis-continua muy útil: la llamada función de Heaviside.

165

Simulación de Procesos Sección III

Esta función es de especial importancia en la ingeniería eléctrica. De hecho, se llama así en honor de un ingeniero eléctrico, Oliver Heaviside, quien hizo grandes aportes en la aplicación de las matemáticas en la ingeniería eléctrica.

 Definición 7.1 Se llama función de Heaviside o función escalón unidad a la función H definida por

 Lo que esto significa es que la imagen de cualquier t negativo es 0, por ejemplo,

mientras que la imagen de 0 o de cualquier número t positivo es 1, por ejemplo

La figura 7–2 representa la gráfica de esta función.

fig. 7–2 Función de Heaviside

Observe que la función de Heaviside es discontinua en 0 (presenta una discontinuidad de "salto") y es continua en el resto del dominio. La discontinuidad proviene de que

, mientras que .

La importancia de esta función en la ingeniería eléctrica radica en que puede considerar-se como una función conmutadora. Esto es, suponga que usted tiene un bombillo que solo tiene dos estados: encendido o apagado; se puede asignar un número a cada estado:

Si usted considera el momento exacto en que enciende la lámpara como el instante entonces para los t "siguientes" la lámpara estará encendida: 1; para los t

"anteriores" al encendido la lámpara estaba apagada: 0. Así, la función de Hea-viside, dada su definición y gracias precisamente al tipo de discontinuidad que presenta, es un buen modelo para situaciones que presentan dos estados.

166

Capítulo VII Transformadas de Laplace

Podemos también considerar el momento del encendido como un instante (en vez de ). En este caso tendríamos la función de Heaviside trasladada:

Esto es, si entonces se le asigna el valor 0 (apagado) y si se le asigna el va-lor 1 (encendido).

Por ejemplo, si entonces:

fig. 7–3 Función de Heaviside trasladada

La función de Heavicide puede representar cualquier función con discontinuidad sim-plemente multiplicando la función de Heavicide por la función discontinua.

Fig. 7–4

167

Simulación de Procesos Sección III

La magnitud de la discontinuidad del salto

Fig. 7–5

cualquier función con n discontinuidades puede escribirse como la suma de múltiplos de H.

168

Capítulo VII Transformadas de Laplace

7.3.2. Función de paso.– La función de paso se usa para resolver problemas dinámicos cuando ocurre un cambio súbito en una variable de entrada (un flujo puede cambiar rá-pidamente un valor a otro). La función de paso se define como 0 antes de des-pués de , como se muestra en la fig. 7–6

.

Debemos usar una definición “mas precisa” de la transformada de Laplace, debido a la discontinuidad en :

La transformada se define para ,

La misma expresión se usa para la transformada de Laplace de una constante.

Fig. 7–6 Función de Paso.

169

Paso

Simulación de Procesos Sección III

7.3.3. Retraso de tiempo (Tiempo muerto).– Es importante para los sistemas con re-trasos de transporte (flujo por de las cañerías, etc.), o retrasos debido a las medidas. Re-presentemos por tm el retraso de tiempo. Si la función en el dominio del tiempo no retra-zado es f(t), entonces la función retardada es f(t – tm), como se indica en la fig. 7–3.

La transformada de Laplace de la función retardada es:

El límite inferior de integración no cambió con el cambio de variable, porque la función f(t) se define como f(t) = 0 para t < 0

La transformada de una función retardada simplemente es veces la transformada de la función no retardada.

Fig. 7–7 función retardada.7.3.4. Derivada.– Es muy importante la transformada de la derivada (acumulación) de una ecuación dinámica al dominio de Laplace.

170

Tiempo de retardo

Capítulo VII Transformadas de Laplace

Usando la integración por partes

Haciendo y

Dado que trabajamos a menudo con variables de desviación, f(0) = 0 en muchos casos.

En general, podemos demostrar lo siguiente:

7.3.5. Integrales.– Se usa a menudo en control de procesos, dado que muchos controles usan información sobre el integral del error entre el valor deseado (setpoint) y el valor medido:

171

Derivada de orden nn condiciones iniciales son necesariamente

Derivada

Simulación de Procesos Sección III

Integrando por partes, haciendo

y

y

ahora bien

encontramos

7.3.6. Función seno.– consideremos la función sinusoidal

En la demostración de la transformada debemos utilizar la identidad de Euler

tenemos

encontramos

7.3.7. Función coseno.– Consideremos la función

Partiendo de la identidad de Euler

Por un proceso análogo podemos demostrar que

172

Integral

Integral

Seno Seno

Coseno

Capítulo VII Transformadas de Laplace

7.3.8. Función rampa.– Consideremos la función rampa siguiente:

para t 0, con b constante.

como se dibuja en la fig. 7–4.

Integrando por partes, donde t ye-st son dos funciones, teneos:

Fig. 7–8 Función rampa.

7.3.9. Pulso.– Consideremos la función de pulso de la fig. 7–5 que consiste en un paso de 0 a A en t = 0. y un paso atrás a 0 en t = tp. Encontramos que las transformadas de Laplace para esta función de pulso.

173

Rampa

Simulación de Procesos Sección III

Hay dos maneras de resolver este problema.

Fig. 7–9 Función de Pulso.

1er Método.– La función de pulso se define sobre los dos intervalos de tiempo siguien-tes:

para

para

y nosotros podemos escribir la transformada de Laplace como:

Cuando A = 1 es la unidad de pulso.

2o Método.– Consideremos que el pulso simplemente es la suma de dos cambios del paso, como se muestra en la fig. 7–6. Es la suma de un paso de cambio positivo en t = 0 y un paso de cambio negativo en t = tp. Si f1(t) representa el cambio de paso en t = 0, y f2(t) representa el cambio de paso en t = tp.

pero

y que de la función de paso:

y de la función de retraso:

Así que podemos escribir

qué es consistente con el obtenido anteriormente.

174

Unidad de pulso

Capítulo VII Transformadas de Laplace

Fig. 7–10 Función de pulso.

Supongamos que deseamos, utilizando una función, describir una alarma que se activa en el instante 6 seg. después de alguna acción determinada y se desactiva 5 seg. después (es decir: a los 11 seg. después de la acción).

Podemos considerar la Función pulso que esta alarma corresponde a una función que vale 0 hasta antes del tiempo luego, entre vale 1 y vuelve a valer 0 para Este tipo de funciones se llaman funciones pulso y en el caso que nos ocu-pa se puede escribir como

Fig. 7-11

Esta función pulso se puede escribir en términos de funciones de Heaviside trasladadas:

De hecho todas las funciones con discontinuidades de "salto" se pueden escribir como suma o resta de múltiplos de funciones de Heaviside trasladadas. Esto es muy útil, por ejemplo, en el análisis del comportamiento de circuitos eléctricos

7.3.10. Impulso de la unidad.– En la fig. 7–12, consideramos la función de pulso como el tiempo de pulso disminuye, pero el área de pulso permanece constante, como mostra-do por las líneas punteadas.

175

Simulación de Procesos Sección III

Fig. 7–12 Función de impulso.

La función de impulso unitario es un caso especial de la función de pulso, con ancho ce-ro (tp 0) y área de pulso la unidad (A = 1/tp). Tomando límite y aplicando la regla de L'Hopital:

7.3.11. Revisión.– Rápidamente hemos obtenido las transformadas de Laplace de varias funciones. Por ejemplo, encontramos:

Si tenemos una función en el dominio de Laplace, tal como

podemos invertir al dominio del tiempo. Por ejemplo,

Aunque deberíamos poder deducir las transformadas de Laplace de cualquier función de dominio de tiempo, este no es nuestro objetivo. El objetivo principal es usar las trans-formadas de Laplace como una herramienta para resolver problemas dinámicos. La transformada de Laplace de muchas funciones del dominio del tiempo se han deducido y se ha compilado en varias tablas y manuales. Ya, podemos construir una Tabla de diez funciones a lo largo del dominio del tiempo con sus funciones del domino de Laplace (exponencial, camine, tiempo muerto, derivada, integral, seno, coseno, rampa, pulso, e impulso). Se proporcionan adicionalmente las transformadas de Laplace en la Tabla 7–1 en la sección 7–6.

7.4. Teoremas del valor inicial y final.– Los teoremas siguientes son útiles para deter-minar los valores límites en los estudios dinámicos. Frecuentemente se los usará para

176

Impulso unitario

Capítulo VII Transformadas de Laplace

determinar la conducta a corto y largo plazo. El término largo plazo (valor final) de una función de dominio de tiempo puede encontrarse analizando la conducta en el dominio de Laplace en el límite en el que la variable se acerca cero. El valor inicial de una fun-ción de dominio de tiempo puede encontrarse analizando la conducta en el dominio de Laplace cuando la variable se aproxima al infinito.

Teorema del valor final

Teorema de valor inicial

Si transformamos una función de dominio de tiempo al dominio de s, todavía podemos averiguar el valor de la función de dominio de tiempo cuando va hacia un estado–esta-cionario encontrando el valor de la función en el dominio de Laplace cuando

Una aplicación de los teoremas del valor final e inicial que como se demuestra en el Ejemplo 7–1.

EJEMPLO 7–1 Aplicación de los teoremas del valor de inicial y final a la función exponencial .– Consideremos la función exponencial:

con la transformada de Laplace:

Teorema de Valor final. Encontramos primero:

que comprobado con

siempre que a sea positivo.

Teorema de Valor inicial. Encontramos primero

que comprobado con

qué se satisface para cualquier valor finito de a.

Un hecho que no se lo toma en cuenta a menudo en los libros de texto es que el teorema del valor final sólo tiene límite para los sistemas estables (a > 0).

177

Simulación de Procesos Sección III

7.5. Ejemplos de aplicación.– La siguiente es una rutina para resolver problemas diná-micos usando las transformadas de Laplace.

Paso 1. Tomamos la ecuación diferencial lineal ordinaria y sus condiciones iniciales.

Paso 2. Transformamos cada función del dominio del tiempo al dominio de Laplace, generalmente usando una tabla de transformadas de Laplace.

Paso 3. Resolvamos la variable transformada, aplicado operaciones algebraicas. La des-composición en fracciones simples es muy útil.

Paso 4. “Invirtamos” al dominio del tiempo, usando una Tabla de las transformadas de Laplace.

7.5.1. Descomposición en fracciones simples.– Está basada en la representación de una fracción de dos polinomios como una suma de términos simples. Si N(s) y D(s) repre-sentan a los polinomios del numerador y denominador, respectivamente.

Ci son constantes y Di son polinomios del orden bajo (típicamente 1).

El procedimiento de los cuatro pasos se usa en cada uno de los ejemplos siguientes. La descomposición en fracciones simples usa por primera vez en Ejemplo 7–3.

EJEMPLO 7–2 Problema homogéneo de primer orden.

Paso 1. Consideremos un problema homogéneo de primer orden (no forzado).

sujeto a la condición inicial:

Paso 2. Encontramos las siguientes transformadas:

Podemos tomar la transformada de Laplace como:

Paso 3. Resolviendo para X(s):

Paso 4. Regresando atrás a cada elemento en el dominio de tiempo:

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Capítulo VII Transformadas de Laplace

y la solución es

De hecho, usando el método en Ejemplo 7–2, podemos demostrar que la ecuación del general de primer orden:

con la condición inicial x(0), tiene la solución

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Simulación de Procesos Sección III

Que es la misma solución obtenida por separación de variables. El poder de las transfor-madas de Laplace está en resolver problemas heterogéneos, como en el ejemplo 7–3.

EJEMPLO 7–3 Ilustración de la técnica de descomposición en fracciones simples.

Paso 1. Consideremos el problema heterogéneo de primer orden:

con la condición inicial:

Paso 2. Tomando la transformada de Laplace de cada elemento:

qué puede escribirse sustituyendo x(0) = 4:

Paso 3. Resolviendo para la variable transformada

No podemos invertir el término 4.5/s(s + 2) de la ecuación al dominio del tiempo. Usa-remos la descomposición en fracciones simples. Es decir, escribimos:

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Capítulo VII Transformadas de Laplace

busquemos A, multiplicando por s:

si s = 0 resolviendo para A:

Para encontrar B, multiplicamos por s + 2:

si s = –2 resolviendo para B:

tenemos:

podemos escribir como:

Paso 4. Invirtiendo elemento por elemento obtenemos

la solución satisface las condiciones iniciales y las ecuaciones diferenciales.

181

Simulación de Procesos Sección III

Los ejemplos 7–4 y 7–5 nos ilustran el uso de la descomposición en fracciones simples.

182

Capítulo VII Transformadas de Laplace

EJEMPLO 7–4 Hallar la transformada de Laplace inversa de

Escribamos:

bs

B

as

A

bsas

1

Multiplicando por s + a, si hacemos s = 1 –a obtenemos:

Multiplicando por s + b, si hacemos s = 1 –b obtenemos:

sustituyendo

podemos obtener la transformada inversa de Laplace:

esta técnica falla si a = b.

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Simulación de Procesos Sección III

El método de ejemplo anterior falla si las raíces de la función en el dominio de Laplace son iguales. El siguiente ejemplo nos indica el camino para la descomposición en frac-ciones simples cundo hay raíces repetidas.

Ejemplo 7–5 Función de trasferencia con raíces repetidas.

descomponiendo en fracciones simples:

no podemos multiplicar por s + a y hacer s = 1 – a porque tendríamos una división por cero, multiplicando por (s + a)2 obtendremos:

y hacemos s = 1 – a

Multiplicando por s + b, si hacemos s = 1 –b obtenemos:

Hemos encontrado dos coeficientes, ahora debemos resolver una ecuación con una in-cógnita que debe cumplirse para todo valor de s, por simplicidad tomemos s = 0.

Despejando:

184

Capítulo VII Transformadas de Laplace

Hemos encontrado A, B y C, ahora debemos realizar la inversión, elemento por elemen-to, para encontrar la función en el dominio del tiempo.

que podemos escribir

Una alternativa es encontrar el común denominador en el segundo miembro y los dos miembro son iguales para cualquier valor de s, tenemos una identidad.

podemos determinar los valores de A, B y C, sabiendo que todos los coeficientes de s son cero y el término independiente es 1.

Los ejemplos anteriores fueron de ecuaciones diferenciales ordinarias con raíces reales; el próximo es un problema con raíces complejas.

185

Simulación de Procesos Sección III

Ejemplo 7–6 Sistema de segundo orden con raíces complejas.

Paso 1 Consideremos la ecuación homogénea

con los valores iniciales

Paso 2 De la tabla de transformadas de Laplace

para la segunda derivada:

y la primera derivada:

Podemos escribir la transformada de Laplace como:

Paso 3: despejando X(s):

en las condiciones iniciales

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Capítulo VII Transformadas de Laplace

las raíces de son:

por tanto podemos escribir:

y de otra forma:

Paso 4. De la tabla de transformadas de Laplace tenemos:

podemos escribir en esta forma la función:

invirtiendo cada elemento:

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Simulación de Procesos Sección III

La respuesta en el dominio del tiempo se muestra en la fig. 7–8. Como ya se indico an-teriormente las raíces complejas dan respuestas oscilatorias.

Fig. 7–8 Respuesta oscilatoria debida a las raíces complejas

7.6. Tabla de las transformadas de Laplace.– Las transformadas de Laplace se pre-sentan en la tabla 7–1 si deseamos transformar una función del dominio del tiempo al dominio de Laplace, debemos ver la función en el dominio del tiempo en la primera co-lumna (f(x)) y escribir la función correspondiente al dominio de Laplace en la segunda columna. Del mismo modo, si tratamos de invertir una función del dominio de Laplace al dominio del tiempo, nosotros debemos buscar la función en el dominio de Laplace en la segunda columna y escribir la correspondiente función en el dominio del tiempo de la primera columna.

Tabla 7–1 Transformadas de Laplace de las funciones más usuales

1

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Capítulo VII Transformadas de Laplace

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Simulación de Procesos Sección III 190

Capítulo VII Transformadas de Laplace

Ejercicios del Estudiasnte

1–5.El estudiante debe encontrar las transformadas de Laplace para las siguientes fun-ciones:

1.

2.

3.

4.

5.

(Sugerencia: Aunque usted puede resolver la pregunta 5 usando integración por par-tes, usted puede usar la identidad de Euler .)

6. Encontrar las transformadas de Laplace, u(s), de la función de la entrada siguiente:

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Simulación de Procesos Sección III

7. Encontrar las transformadas de Laplace de la función que satisface la ecuación diferencial y las condiciones iniciales:

8. Resuelva la ecuación diferencial:

9. Una entrada del proceso tiene la siguiente transformada de Laplace:

:

¿Cuál es la entrada en el dominio del tiempo, ? Encunte analíticamente.

Bosqueje la entrada en el dominio del tiempo

10. Encuentre la solución en el dominio del tiempo para la función de transferencia en el dominio de Laplace (con ):

11. Deduzca la solución en el dominio del tiempo para la función de transferencia del dominio de Laplace:

12. Deduzca la solución en el dominio del tiempo para la función de transferencia del dominio de Laplace:

13. Considere el ejemplo 7–5, involucrando la función del traslado siguiente con raíces repetidas:

Encuentre un común denominador para el segundo miembro:

entonces desarrolle el numerador y resuelva para los coeficientes A, B, y C tal que el primer miembro sea igual al segundo.

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