Capitulo 5 - Filtros Digitales

7/25/2019 Capitulo 5 - Filtros Digitales

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CAPITULO 5FILTROS DIGITALES


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5.1 INTRODUCCION El trmino FILTRO hace referencia a cualquier

sistema que discrimina lo que pasa a su travs de

acuerdo con alguno de los atributos de laentrada.

De acuerdo con esta definicin tan generalpodemos tener filtros de agua, filtros de

partculas de aire, filtros de aceite etc. Nosotros nos vamos a centrar en filtros digitales. Estos filtros discriminarn las seales de

acuerdo con sus caractersticas frecuenciales.


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5.1 INTRODUCCION Este tipo de filtros tiene como entrada una

secuencia discreta y como salida otra secuenciadiscreta, que habr experimentado ciertasvariaciones en amplitud y/o fase dependiendodel filtro empleado.


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5.2 CONCEPTOS DE FILTROS DIGITALES

Vamos a considerar sistemas lineales invariantetemporales (LIT) caracterizados por unaecuacin en diferencias con coeficientesconstantes de la forma:

Su funcin detransferencia es:


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5.2 CONCEPTOS DE FILTROS DIGITALES

Los coeficientes {ak} y {bk} determinan larespuesta en frecuencia del filtro.

Una seal x(n) que pase a travs del sistematendr una salida Y(w) = H(w)X (w) , siendoH(w) la respuesta en frecuencia del filtroconsiderado.

Los filtros digitales que vamos a considerarsern sistemas LIT que van a producir unaalteracin selectiva de las componentesfrecuenciales de la seal de entrada.


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Ejemplo Tenemos la siguiente seal de entrada:

La respuesta en frecuencia esta dada por:


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Frecuencias digitales, ejemplo


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Sobre un filtro selectivo Un filtro selectivo en frecuencia ideal tiene las

siguientes caractersticas:


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5.2.1 FILTRO PASA BAJA IDEAL La respuesta en mdulo y fase es la mostrada en

las siguientes grficas.


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5.2.1 FILTRO PASA BAJA IDEAL Podemos obtener la respuesta impulsional a

partir la transformada de Fourier inversa de surespuesta en frecuencia:


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5.2.1 FILTRO PASA BAJA IDEAL


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FILTROS IDEALES Y REALES El filtro ideal es no causal y tiene un nmero

infinito de trminos. Por tanto no es realizable fsicamente. La secuencia {h(n)}no es absolutamente

sumable por lo que este sistema no ser estable.

Los filtros reales tienen una respuesta enfrecuencia diferente, tal como se muestra en la siguiente figura. Estos filtros satisfacen las

condiciones:


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FILTROS IDEALES Y REALES H(w) no puede ser cero excepto en un nmero

finito de frecuencias. H(w) no puede ser constante en un intervalo

finito de frecuencias. H(w) no puede ser discontinua en ninguna

frecuencia H(w) y (w ) no son independientes


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FILTROS IDEALES Y REALES Lo que indica, por una parte, que las respuestas

en frecuencia de los filtros ideales no se puedeconseguir,

y por otra que se deben utilizar tcnicas deoptimizacin para determinar los parmetros

que mejor ajustan la respuesta en frecuenciadeseada.


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FILTROS REALES


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CARACTERISTICAS DE UN FILTRO REAL


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5.3 Diseo de filtros por ubicacinde ceros y polos Uno de los mtodos ms bsicos para el diseo de

filtro digitales sencillos es mediante la ubicacin deceros polos.

Cuando calculamos la respuesta en frecuencia de unsistemas analizamos el comportamiento del mismoante seales de entrada sinusoidales;

es decir, evaluamos H(z) sobre la circunferenciaunidad.


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Procedimiento de diseoPara el diseo de filtros por ubicacin de ceros ypolos colocaremos:

los ceros sobre la circunferencia unidad a lasfrecuencias que se desean eliminar y Los polos en las frecuencias que se desean

amplificar, cerca de la circunferencia unidad, pero

en su interior, para asegurar la estabilidad delsistema. Para que los coeficientes del sistema sean reales, los

ceros y polos aparecern como pares complejosconjugados.


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Procedimiento de diseo Posteriormente podemos multiplicar por un

factor de ganancia para que la respuesta en

mdulo en la banda pasante sea la unidad. Para el diseo de filtros pasa-baja los ceros se

colocarn a altas frecuencias y los polos a bajas.

El procedimiento contrario ser utilizado paraun filtro pasa-alta.


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Filtros pasa bajo y alto


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Filtros pasa banda Los filtro pasa banda se disean colocando pares

de polos complejos conjugados cerca de la

circunferencia unidad en la banda pasante. Podemos colocar ceros a frecuencias bajas y/o

altas si el sistema desea atenuar dichas

frecuencias.


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Ejemplo Disear un filtro pasa banda centrado en w=/2. Hemos de situar un par de polos complejos

conjugados cerca de la circunferencia unidad a lafrecuencia central de la banda.

Podemos asumir por ejemplo que z=j

Los colocaremos a una distancia r (Opcin I). Si no tenemos especificaciones adicionalespodemos colocar tambin ceros en w = 0 y w = (Opcin II).


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EjemploLa funcin de transferencia en cada caso ser:1. Opcin:

si imponemos que utilizando la

interpretacin geomtrica es fcil determinar queG =1 r2.


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Respuesta en frecuencia y fase de

opcin 1.


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EjemploLa funcin de transferencia en cada caso ser:2. Opcin:

si imponemos que utilizando la

interpretacin geomtrica es fcil determinar queG =(1 r2)/2.


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Respuesta en frecuencia y fase de

opcin 2


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Tipos de filtros por ubicacin de cerosy polosVeamos algunos tipos de filtros diseados porubicacin de ceros polos:

Resonadores digitales, filtros ranura (notch), filtros peine (comb).


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Filtros Ranura y Peine (Notchfilters,Comb filters) Los filtros ranura son filtros elimina-banda

muy estrechos.

Idealmente tienen nulos perfectos adeterminadas frecuencias.

Sirven para eliminar frecuencias puntuales.

Para ello se colocan ceros complejos conjugadossobre la circunferencia unidad en las frecuencias que se desean eliminar.


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Filtros Ranura La funcin de transferencia es:

En la siguiente figura mostramos el diagrama depolos y ceros y la respuesta en frecuencia parauna frecuencia digital f=1/8, (G=1).


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Filtros Ranura


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Filtros Ranura El filtro elimina la frecuencia deseada pero

tambin modifica las frecuencias prximas.

Una forma de mejorar el comportamiento deeste tipo de filtros es introducir una resonancia ala misma frecuencia, colocando un par de polos

complejos conjugados la funcin detransferencia en este caso es:


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Respuesta en frecuencia La respuesta en frecuencia, se muestra en la

grfica siguiente.

Se ha elegido G de forma que la ganancia a bajasfrecuencias sea la unidad.


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Filtros peine (Comb filter) En la figura siguiente vemos un tipo de notch filter

con nulos equiespaciados.

La forma de su respuesta en frecuencia se asemeja aun peine, por lo que estos filtros se denomina Combfilters.

Presentan nulos peridicamente distribuidos en

todo el espectro. En sentido general un Comb filers es un filtro cuya

respuesta en frecuencia es una funcin peridica dew con perodo 2/L con L un entero positivo.


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Filtros peine (Comb filter), r=0.9


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Filtros Peine Los filtros peine se obtienen concatenando ceros

y polos colocados a la misma frecuencia, muy

prximos entre s

Un caso particular de esta estructura es la delejemplo anterior cuando los ceros y polos seencuentran equiespaciados.


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Filtros Peine Podemos definir una expresin ms general

permitiendo que los ceros no estn sobre la

circunferencia unidad. En este caso tendremos un parmetro adicional, R. Dependiendo de que r>R o r


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Filtros peine (Comb filter), r=0.98>R=0.95


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Filtros pasa todo. Son filtros con una respuesta en mdulo igual a

la unidad para todas las frecuencias.

nicamente modifican la fase de la seal deentrada.

El ms sencillo es el retardo

El filtro pasa-todo no trivial bsico tiene porfuncin de transferencia


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Filtros pasa todo. Si obtenemos la respuesta en frecuencia en

mdulo es fcil obtener que H(w) =1

independientemente del valor de a. Este tipo de filtro permite modificar la fase de

una seal sin afectar a su amplitud.


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Filtros pasa todo.


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5.4 Revisin de los tipos de filtrosanalgicos ms comunes. Uno de los mtodos de diseo de filtros digitales

IIR se basa en la utilizacin de filtros analgicos,

por esta razn vamos a describir lascaractersticas de los tipos de filtros mshabituales

Se distinguen por la cada de la respuesta enfrecuencia en la primera dcada, desde lafrecuencia de corte y en el retardo de grupo.


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Filtros comunes


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Filtros Butterworth En honor al ingeniero britnico Stephen

Butterworth.

Filtro bsico, con respuesta mas plana en la bandade paso y cada aguda en la frecuencia de corte arazn de 20n [dB/dec], donde n es el orden.

El orden del filtro tiene que ver con el numero de

polos de la funcin de transferencia. Mientras mayor sea el orden del filtro mas

aproximada ser su respuesta a la respuesta idealdel filtro.


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Filtros Butterworth


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Filtro Chebyshev En honor a Pafnuty Chebyshev. Presenta una cada de la respuesta en frecuencia mas

pronunciada en frecuencias bajas debido a que permitemas rizado que otros filtros en algunas de sus bandas. En frecuencias cercanas a la de corte la respuesta del

filtro Butterworth no es aceptable, especialmente si elfiltro es de orden bajo.

Este tipo de filtro posee mejor respuesta para este tipode frecuencias pero presentan un rizado (RIPPLES) en labanda pasante.

El numero de rizados presentes en la banda de paso esigual al orden del filtro.


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Filtro Chebyshev


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Filtros Chebyshev


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Filtros de Bessel En honor al astrnomo matematico Friedrich

Bessel.

Son filtros que nicamente tienen polos. Diseados para tener una fase lineal en las bandas

pasantes, por lo que no distorsionan las seales. Por el contrario tienen una mayor zona de transicin

entre las bandas pasantes y no pasantes. Cuando estos filtros se transforman a digital pierden

su propiedad de fase lineal.


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Orden de un filtro El numero de polos y ceros indica el orden del

filtros y su valor determina las caractersticas del

filtro, como su respuesta en frecuencia yestabilidad.

El orden de un filtro describe el grado deaceptacin o rechazo de frecuencias por arriba opor debajo de la respectiva frecuencia de corte.


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Comparacin de filtros


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Comparacin de filtros


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Polos y ceros En la siguiente grfica mostramos los diagramas

de polos y ceros para un filtro de orden 10,rizado

en banda pasante de 1 dB y atenuacin de 30 dB. Para los diversos tipos de filtros se muestran

comparaciones en polos y ceros en la siguientegrafica.


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Funciones de MATLAB para el diseodel Filtros Analgicos

Obtencin del orden: [N, Wn] = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's')

[N, Wn] = cheb1ord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's') [N, Wn] = cheb2ord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's') [N, Wn] = ellipord(Wp, Ws, Rp, Rs, 's')


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Diseo del filtro analgico conocidos losparmetros: Filtro pasa Baja wc=1 [Z,P,K] = BUTTAP(N); o

[Num,Den] =BUTTER(N,Wn,'s') [Z,P,K] = CHEB1AP(N,Rp);[Num,Den] =CHEBY1(N,Rp,Wn,'s')

[Z,P,K] = CHEB2AP(N,Rs);

[Num,Den] =CHEBY2(N,Rs,Wn,'s') [Z,P,K] = ELLIPAP(N,Rp,Rs);[Num,Den] =ELLIP(N,Rp,Rs,Wn,'s')

[Z,P,K] = BESSELAP(N) [B,A] = BESSELF(N,Wn)


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Respuesta en frecuencia: [H,W] = FREQS(Num,Den) Diagrama de polos y ceros: pzmap(Num,Den) Func. Transf. a partir de Z y P [NUM,DEN] =

ZP2TF(Z,P,K)

Transformaciones em frecuencia [NUMT,DENT] = LP2LP(NUM,DEN,Wo) [NUMT,DENT] = LP2HP(NUM,DEN,Wo)

[NUMT,DENT] = LP2BP(NUM,DEN,Wo,Bw) [NUMT,DENT] = LP2BS(NUM,DEN,Wo,Bw)

Capitulo 5 - Filtros Digitales

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