FILTROS DIGITALES

VENTAJAS - Características imposibles con filtros analógicos (fase

lineal)

- No cambian cualquiera que sea el entorno

- Procesamiento de varias señales con un único filtro

- Posibilidad de almacenar datos

- Repetitividad

- Uso en aplicaciones de muy bajas frecuencias

INCONVENIENTES

- Limitación de velocidad

- Efectos de la longitud finita de las palabras

- Tiempos de diseño y desarrollo

PASOS EN EL DISEÑO DE FILTROS

a.- Especificación de las características del filtro.

H e j( )Ω

+δp

− δp

δs

π

π

b.- Cálculo de los coeficientes adecuados.

- Respuesta al impulso invariante.

- Transformación bilineal.

- Ventanas

c.- Representación del filtro mediante una estructura.

d.- Análisis de los efectos de precisión finita.

e.- Implementación del filtro.

DISEÑO DE FILTROS IIR.

SIMILITUD CON LOS ANALÓGICOS PROCESO:

ESPECIFICACIONES FILTRO DIGITAL ↓

ESPECIFICACIONES FILTRO ANALÓGICO ↓

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA ANALÓGICA H(s) ↓

FUNCIÓN DE SISTEMA H(z)

- Respuesta al impulso invariante. - Transformación bilineal.

RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE.

[ ] ( )h n T h nTd c d=

[ ] ( ) ∑∞

−∞=

π−Ω=Ω⇒=k dd

cdcd T

k2

TH)(HnThTnh

( ) π<Ω∀

Ω=Ωd

c THH

SIEMPRE QUE ( )H Tcd

ω ω π= ∀ ≥0

Ω= ω Td

1

1

Ω

Ω2π−2π

Ωd

c TH

ΩH

SUPONEMOS OBTENIDA:

( ) ∑= −

=N

1k k

kc ss

AsH

TOMANDO TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE:

( )h t

A e t

c

ks t

k

Nk

=∀ ≥

∀

=∑

10

0

,

, t < 0

MUESTREANDO:

[ ] [ ]h n T A e u nd ks nT

k

Nk d=

=∑

1

TOMANDO TRANSFORMADA Z:

( ) ∑= −−

=N

1k1Ts

kd

ze1

ATzH

dk

( ) ∑= −

=N

1k k

kc ss

AsH

( ) ∑= −−

=N

1k1Ts

kd

ze1

ATzH

dk

TRANSFORMACIÓN BILINEAL

s Tzz T

zzd d

= −+

= −

+

−−

2 11

2 11

1

1

z

Ts

Ts

d

d=

+

−

1 2

1 2

j Teed

j

jω = −+

2 11

Ω

Ω

ω = 22Td

tgΩ

Ω= 2 2arctgωTd

.

( )H e jΩ

( )Hc ω

2παTd

παTd

− αTd

Ω

−

22

αTd

tgΩ

( )[ ]Arg H e jΩ

−2παTd

−παTd

TRANSFORMACIONES DE FILTROS

( )z G z'− −=1 1

1. ( )G z−1 debe ser una función racional en z−1. 2. El interior del círculo unidad en el plano z' se debe

transformar en el interior del círculo unidad en el plano z. 3. El círculo unidad en el plano z' se debe transformar en el

círculo unidad en el plano z. Constantinides (1970) demostró que la forma más general de una función que satisface las condiciones anteriores es:

zz a

a zk

kk

N

'*

= ±−−

=∏1

1

o lo que es lo mismo:

zz a

a zk

kk

N

' *−

−

−=

= ±−

−∏11

11 1

TRANSFORMACIÓN PASO BAJO - PASO BAJO

zz a

az'*

= ± −−1

11= −−e

aa

j mπ*

( )1− = −a e aj mπ *

− = −a e a ej m j mπ π*

− = −e a a ej m j mπ π*

− = − −+1

11e

aa

j mπ*

( )1+ = +a e aj mπ *

+ = +a e a ej m j mπ π*

− = − +e a a ej m j mπ π*

TIPO FILTRO

TRANSFORMACIÓN FÓRMULAS ASOCIADAS

PASO BAJO

zz

z'−

−

−=−

−1

1

11

αα

α

θ

θ=

−

+

sen

sen

Ω

Ω

p p

p p

2

2

Ωp = frecuencia de corte desada

PASO ALTO

zz

z'−

−

−= −+

+1

1

11

αα

α

θ

θ= −

+

−

cos

cos

p p

p p

Ω

Ω2

2

Ωp = frecuencia de corte desada

PASO BANDA

zz

k

kz

k

kk

kz

k

kz

'−− −

− −=

−+

+−+

−+

−+

+

1

2 1

2 1

2

1

1

11

1

2

11

α

α

α =

+

−

cos

cos

Ω Ω

Ω Ω

p p

p p

2 1

2 1

2

2

k gp p p=

−

cot tg

Ω Ω2 1

2 2

θ

Ω

Ωp

p

1

2

=

=

frecuencia de corte inferior desada

frecuencia de corte superor desada

BANDA ELIMINADA

zz

k

kz

k

kk

kz

k

kz

'−− −

− −=

−+

+−+

−+

−+

+

1

2 1

2 1

2

1

1

11

1

2

11

α

α

α =

+

−

cos

cos

Ω Ω

Ω Ω

p p

p p

2 1

2 1

2

2

kp p p=

−

tg tg

Ω Ω2 1

2 2

θ

Ω

Ωp

p

1

2

=

=

frecuencia de corte inferior desada

frecuencia de corte superor desada

DISEÑO DE FILTROS FIR

FILTROS IDEALES: 1. Su [ ]h nd es muy larga o tiene una longitud infinita.

2. Su [ ]h nd es no causal [ ]( )h n nd ≠ ∀ <0 0, .

SOLUCIÓN 1. Limitar la longitud de [ ]h nd a M muestras.

2. Introducir retardo para obtener una respuesta al impulso causal.

( ) [ ]∑∞

−∞=

Ω−=Ωn

njdd enhH

[ ] ( )∫ππ−Ω ΩΩ

π= deH

2

1nh nj

dd

[ ] [ ] [ ]h n h n w nd= ⋅

( ) ( ) ( )( )∫ππ−θ−ΩΩ θΩ

π= deWH

21

eH jd

j

( )( )W e j Ω−θ

( )H edjθ

( )H e jΩ

VENTANA RECTANGULAR

( )

Ω

+Ω

=ΩΩ−

2sen

2

1Msen

eW 2

Mj

- VENTANA HANNING.

[ ]w n

nM n M

sto=

−

∀ ≤ ≤

0 5 0 52

0

0

, , cos ,

, Re

π

- VENTANA HAMMING.

[ ]w n

nM n M

sto=

−

∀ ≤ ≤

0 54 0 462

0

0

, , cos ,

, Re

π

- VENTANA BLACKMAN.

[ ]w n

nM

nM n M

sto=

−

+

∀ ≤ ≤

0 42 0 52

0 084

0

0

, , cos , cos ,

, Re

π π

KAISER

[ ]( )

w n

In

In M=

−−

∀ ≤ ≤

∀

0

2

0

1

0

0

12

βα

α

β, resto de n

α =M2

( )I x0 función de Bessel de orden cero modificada de primera clase

( )( )

I xx

kL

k

k

L

01

2

1 2 25= +

<=∑

!

Longitud de la ventana (M + 1) Parámetro de forma (β)

pa Ω−Ω=∆Ω

A = −20 log δ

( )( ) ( )

≤≤−+

−

=β21<A 0,0

50A2121A07886,021-A0,5842

50>A 7,8A1102,04,0

MA A

f≥

−=

−7 952 285

7 9514 36

,,

,,∆Ω ∆

KAISER N = Cte

KAISER β = Cte

VENTANA ANCHURA APROXIM. LÓBULO

PRINCIPAL

ZONA DE TRANSICIÓN

RIZADO BANDA

PASO (dB) (MÍN.)

AMPLITUD RELATIVA LÓBULO

SECUN.(dB)

MÁXIMA ATENUAC.

BANDA ELIMI. (dB)

RECTANG. 4π/(M+1) 1,8π/(M+1) 0,7416 13 21

HANNING 8π/(M+1) 6,2π/(M+1) 0,0546 31 44

HAMMING 8π/(M+1) 6,6π/(M+1) 0,0194 41 53

BLACKMAN 12π/(M+1) 11π/(M+1) 0,0017 57 74

β = 4.54 ⇒ 5,86π/(M+1) 0,0274 50

KAISER β = 6.76 ⇒ 8,64π/(M+1) 0,00275 70

β = 8.96 ⇒ 11,42π/(M+1) 0,000275 90

FIR IIR

1.- Función del sistema H(z)

Sólo contiene ceros Contiene polos y ceros

2.- Respuesta en frecuencia

Para selectividades altas se requieren órdenes altos (todos los polos están en z = 0). No es posible diseñar filtros paso todo.

Se consiguen selectividades altas con órdenes reducidos al disponer de pares polo-cero. Es posible diseñar todo tipo de filtros.

3.- Característica de fase

Es posible conseguir fase lineal.

Sólo puede conseguirse fase lineal utilizando ecualizadores con lo que el filtro es más complejo.

4.- Estabilidad Son siempre estables Pueden ser inestables si los polos caen fuera del círculo unidad.

5.- Estructura La estructura más utilizada es la no recursiva denominada filtro transversal

Sólo puede usarse la estructura recursiva. La más utilizada es la de cascada

6.- Carga computacional y complejidad

Se requiere un computador de tamaño medio y la complejidad depende de la longitud de su h[n].

No se requiere un computador grande y suele utilizarse la transformación bilineal con lo que no son demasiados cálculos. Son poco complejos.

7.- Efecto de la cuanti-ficación de los coeficientes

Con estructura no recursiva no es un problema importante.

Es un problema importante puesto que puede hacerse inestable. Oscilación por overflow.