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4. PROCESADO ÓPTICO DE LA INFORMACIÓN ........................................................ 2

4.1. Sistemas lineales invariantes espacialmente. ....................................................................................................... 4 4.1.1. Relaciones entre la función de entrada y la función de salida ........................................................................ 4 4.1.2. Representación en el dominio de Fourier ........................................................................................................ 5

4.2. Difracción: Transformada de Fourier de una escena. ........................................................................................ 5 4.2.1. Difracción de Fresnel en la propagación de una onda. ................................................................................... 5 4.2.2. Paso de una onda a través de un sistema óptico. ............................................................................................. 7 4.2.3. Diferentes configuraciones para obtener la transformada de Fourier. ............................................................ 9

4.2.3.1. Objeto colocado pegado a la lente ........................................................................................................... 9 4.2.3.2. Objeto colocado delante de la lente ....................................................................................................... 11 4.2.3.3. Objeto colocado detrás de la lente ......................................................................................................... 12 4.2.3.4. Iluminación con onda esférica ................................................................................................................ 13

4.2.4. Interpretación en términos de procesado de imagen de algunas parejas de funciones y sus transformadas de Fourierde ..................................................................................................................................................................... 14

4.3. Procesado Óptico Coherente ............................................................................................................................... 19 4.3.3. Filtrado espacial. ............................................................................................................................................ 21

4.3.3.1. Filtros binarios ......................................................................................................................................... 21 4.3.4. Filtro de Vander Lugt. Reconocimiento de imágenes. .................................................................................. 24

4.4. Reconocimiento de imágenes por correlación óptica. ....................................................................................... 27 4.4.3. La correlación como medida de similitud. .................................................................................................... 27 4.4.4. Criterios de calidad de la correlación óptica. ................................................................................................ 30 4.4.5. Diseño de filtros. ............................................................................................................................................ 32

4.5. Hologramas generados por ordenador. .............................................................................................................. 34 4.5.3. Interferograma. Simetrización. ...................................................................................................................... 35 4.5.4. Kinoform. ....................................................................................................................................................... 36 4.5.5. Holograma de fase de desvío. ........................................................................................................................ 38 4.5.6. Interferograma binario. .................................................................................................................................. 40 4.5.7. Descomposición en componentes ortogonales y no ortogonales. ................................................................. 41 4.5.8. Método iterativo. Proyección sobre las restricciones. ................................................................................... 42 4.5.9. Cálculo directo ............................................................................................................................................... 43

4.6. Teoría difraccional de la formación de la imagen óptica. ................................................................................ 43 4.6.3. Imagen de un objeto puntual .......................................................................................................................... 43 4.6.4. Formación de imágenes de objetos extensos. Iluminación incoherente. ...................................................... 46 4.6.5. Formación de imágenes de objetos extensos. Iluminación coherente. ......................................................... 51 4.6.6. Influencia de las aberraciones. ....................................................................................................................... 54

4.7. Ejercicios. ............................................................................................................................................................... 59

4.8. Referencias. ............................................................................................................................................................ 64

B. APÉNDICE. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER ................. 66

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4. PROCESADO ÓPTICO DE LA INFORMACIÓN

María Josefa Yzuel Giménez

Juan Campos Coloma

Universidad Autónoma de Barcelona

Departamento de Física, Grupo de Óptica

Edificio Cc. O8193 Bellaterra (Barcelona)

e-mail: maria.yzuel@uab.es

juan.campos@uab.es

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Introducción

La introducción del análisis de Fourier por Duffieux, en 1946, a la Óptica permitió simplificar la interpretación de fenómenos tales como la teoría difraccional de formación de imágenes por sistemas ópticos y el procesado óptico de la información, lo cual dinamizó el desarrollo de ambos campos. Ideas que habían sido desarrolladas en teoría de la información y de las comunicaciones para señales unidimensionales como funciones del tiempo, se aplicaron a señales bidimensionales, funciones de las coordenadas espaciales, que es el caso de las imágenes. Otros estudios anteriores al de Duffieux estaban ya fundamentados en la interpretación en frecuencias espaciales (Abbe (1873), Zernike (1935), etc) si bien no se había dado al estudio una estructura tan potente. La interpretación de la transmisión de la información de una imagen mediante la transformada de Fourier ha dado una visión mucho más general a la solución de los problemas en este campo. Los conceptos básicos que se van a aplicar en este capítulo son los de difracción (ver capítulo 2) y los de coherencia (ver capítulo 3). Además, hemos descrito en el apéndice B las definiciones y propiedades de la transformada de Fourier, que van a ser necesarias para el desarrollo de este capítulo. Este capítulo 4, que trata de Procesado Óptico de la Información, comienza por la definición de los sistemas lineales e invariantes espacialmente, como herramienta necesaria para la descripción de los sistemas ópticos de procesado de la información. En la sección 4.2 se describirán y analizarán diferentes configuraciones que van a permitir la obtención de la transformada de Fourier bidimensional de una señal. Esta sección se termina con una interpretación en términos de procesado de imágenes de algunas funciones interesantes y sus transformadas de Fourier. Las configuraciones planteadas en esta sección permitirán el diseño de un procesador óptico de imágenes que se estudiará con detalle en la sección 4.3. Se analizará cómo se puede variar el contenido en frecuencias de una imagen mediante filtros espaciales, utilizando correladores ópticos y se estudiará con mayor profundidad el filtro adaptado de Vander-Lugt, que permite obtener la correlación de una escena con un objeto de referencia. Esta operación permite implantar un método de reconocimiento de formas basado en la correlación óptica. La información entre la similitud entre objetos situados en una escena es difícil de analizar directamente por métodos automáticos, mientras que en la correlación únicamente hay que detectar máximos de intensidad. La existencia de un máximo marcado de la correlación indica que el objeto buscado está en la escena y la posición del máximo indica su posición. Debido al interés que presenta, la correlación óptica se estudia con detenimiento en el apartado 4.4. Primero se analizan las propiedades de esta operación, a continuación se exponen los criterios de calidad para determinar la bondad del método de correlación utilizado, y por último se introduce el diseño de los filtros más importantes que optimizan los criterios de calidad. En general, los filtros necesarios para el reconocimiento presentan una transmitancia compleja, es decir, deben modular tanto la amplitud como la fase, con lo que se plantea el problema de la generación de los filtros. El filtro adaptado clásico se puede generar mediante un holograma óptico de Fourier, estudiado en el apartado 4.3.3, para generar otro tipo de filtros, es necesario recurrir a la holografía generada por ordenador. En la sección 4.5 se estudian diferentes métodos para poder codificar una transmisión compleja en substratos con diferentes capacidades de modulación. Estas técnicas de codificación son generales y se pueden utilizar para generar diferentes elementos ópticos difractivos.

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4.1. Sistemas lineales invariantes espacialmente.

4.1.1. Relaciones entre la función de entrada y la función de salida

Un sistema lo podemos representar como un operador S{.} que transforma cada función de entrada f(x,y) en una única función de salida g(x,y)= S{f(x,y)}. El sistema será lineal si a una combinación lineal de funciones de entrada le corresponde la misma combinación lineal de funciones de salida. Sea gk(x,y)= S{fk(x,y)} la respuesta del sistema a cada una de las funciones de entrada fk(x,y). El sistema será lineal si se cumple:

k

kk

k

kk )y,x(gb)y,x(fb S

(4-1

Teniendo en cuenta las propiedades de la distribución de Dirac (ver pié de página da la sección 2.3), una función de entrada f(x,y) se puede descomponer como una combinación de funciones delta de Dirac en la forma

ddy,x,f)y,x(f

(4-2

La condición de linealidad del sistema (ecuación (4-1)) implica que la respuesta del sistema a esta función de entrada se pueda escribir como una combinación lineal de las respuestas a los impulsos, quedando

ddy,x,fy,xf)y,x(g SS

(4-3

A la función h1(x,y;,)=S{(x-,y-)} la denominaremos respuesta impulsional del sistema. Representa la respuesta del sistema en el punto (x,y) cuando a la entrada hay un impulso (función delta de Dirac) en la posición (,).

El sistema se dice que es espacialmente invariante si la respuesta impulsional sólo depende de las diferencias de coordenadas, es decir

y,xh,;y,xh1

(4-4

Así pues, la expresión (4-3) para el caso de sistemas lineales espacialmente invariantes quedará en la forma siguiente

dd,fy,xh)y,x(g

(4-5

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es decir, la función a la salida del sistema viene dada por la integral de convolución de la función a la entrada del sistema y de la respuesta impulsional. (En el apéndice B se define la integral de convolución).

4.1.2. Representación en el dominio de Fourier

A continuación expondremos la relación en el dominio de Fourier entre las funciones de entrada y de salida en un sistema lineal, espacialmente invariante. Las transformadas de Fourier de las funciones de entrada y de salida vienen dadas por

dxdyyx2iexp)y,x(g)(G

dxdyyx2iexp)y,x(f)(F

vuvu,

vuvu,

(4-6

Utilizando la expresión (4-5) y teniendo en cuenta el teorema de convolución descrito en el apéndice

B ecuación (B-13), la transformada de Fourier de la función de salida se puede escribir como

vu,vu,vu, FH)(G ,

(4-7

donde H(u,v) es la transformada de Fourier de la respuesta impulsional y viene dada por:

dxdyyx2iexp)y,x(h)(H vuvu, .

(4-8

A esta función se le llama función de transferencia del sistema. La expresión (4-7) indica que la TF de la función de salida de un sistema lineal espacialmente invariante es el producto de la TF de la función de entrada por la función de transferencia del sistema.

El contenido en frecuencias espaciales de la función de entrada se modifica por la función de transferencia del sistema, así, según los valores que tenga H(u,v), pueden verse potenciadas unas frecuencias frente a otras, o incluso algunas frecuencias pueden no estar a la salida. Modificando la función de transferencia del sistema se podrá modificar el contenido frecuencial de la función de salida.

4.2. Difracción: Transformada de Fourier de una escena.

En este apartado estudiaremos en primer lugar la propagación libre de una onda, viendo la relación entre las distribuciones del campo eléctrico en dos planos situados a una cierta distancia. En segundo lugar veremos como queda afectada una onda al atravesar un sistema óptico perfecto (libre de aberraciones). Con estas dos herramientas seremos capaces de estudiar en los siguientes subapartados diferentes configuraciones interesantes en procesado óptico y que nos permiten obtener la transformada de Fourier de una escena.

4.2.1. Difracción de Fresnel en la propagación de una onda.

Si conocemos la distribución del campo eléctrico U1(,) en el plano P1 de la Figura 4. 1 y se quiere obtener la distribución del campo U2(x,y) en el plano P2, mediante la expresión (2.70) obtenida en el capítulo 2 que da la difracción dentro de la aproximación de Fresnel se obtiene

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Figura 4. 1 Aproximación de Fresnel a la propagación libre

ddyx

z2

kiexp,Uikzexp

zi

1y,xU 22

12

(4-9

Esta expresión se puede interpretar como la convolución de U1(,) y la función h(x,y) dada por

22 yx

z2

kiexpikzexp

zi

1y,xh .

(4-10 h(x,y) es la distribución de amplitud producida por un objeto puntual situado en el origen de coordenadas del plano P1, y se puede ver como la respuesta al impulso de la propagación libre de una onda dentro de la aproximación de Fresnel. Desarrollando los términos cuadráticos de la expresión (4-9), la distribución de amplitud en el plano P2 vendrá dada por:

ddyx

z

2iexp

z2ikexp,U

z2

yx1ikzexp

zi

1y,xU

2

22

12

22

2

(4-11

Así pues, según la ecuación (4-11), la distribución de amplitud en el plano P2 es la transformada de Fourier

de la función,

2

22

1 z2ikexp,U , donde la transformada debe evaluarse en las frecuencias (u=x/z,

v=y/z). Dicha transformada está multiplicada por un factor de fase cuadrática

z2

yxikexp

22

y por una

constante. Volvamos a la interpretación de esta distribución U2(x,y) en el plano P2 como la convolución de la

función U1(,) en el plano P1 con la función h(x,y) según la expresión (4-9). Aplicando el teorema de la convolución (ver apéndice B, ecuación (B-13)), la TF de la función U2(x,y) será igual a la TF de la función U1(,) por la función de transferencia de la propagación libre que es igual a la transformada de Fourier de la respuesta al impulso h(x,y) (ecuación (4-10)) y que resulta igual a:

U1()

xy

z

U2(x,y)

r

P2 P1

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22ziexpikzexp)(H vuvu, (4-12

Así pues, en este apartado se ha visto que la relación entre los campos eléctricos en los planos P1 y P2 se puede ver desde planteamientos diferentes: por un lado, mediante la integral de convolución (4-9) o por la transformada de Fourier en (4-11) y por otro mediante el análisis de Fourier de estos campos introduciendo la TF de la respuesta impulsional de la propagación libre, es decir, la función de transferencia de la propagación libre.

4.2.2. Paso de una onda a través de un sistema óptico.

Veamos cómo queda afectada una onda a su paso por un sistema óptico perfecto (libre de aberraciones). La Figura 4. 2 representa un sistema óptico donde H y H’ son los planos principales. Una onda plana incidente en el sistema, si éste está libre de aberraciones, se convierte en una onda esférica con centro en F’ que es el foco imagen del sistema tal como se muestra en la Figura 4. 3. Así, el efecto de un sistema óptico se puede interpretar como la introducción de un factor de fase que permite esta transformación. A continuación vamos a calcular dicho factor de fase )y,x(t

ikdexpiknexp)y,x(t 0

(4-13

Figura 4. 2 Plano focal imagen de un sistema óptico Figura 4. 3 Efecto de un sistema óptico sobre un frente de ondas plano

donde n0 es el retardo de fase en el eje del sistema y d es la distancia a lo largo de un rayo entre las intersecciones de dicho rayo con el plano H’ y con la esfera de referencia centrada en F’ (ver Figura 4. 3).

Dado un punto general (x,y) en el plano H’, su distancia a F’ viene dada por 2/1222 yxF , con lo que d será:

1

F

yx1FFyxFd

2/1

2

222/1222 .

(4-14

Si se considera que x, e y son pequeños en comparación con F (aproximación análoga a la óptica paraxial), podemos hacer un desarrollo en serie, y quedándonos con el primer término del desarrollo se obtiene

F’ Foco imagen

H H’ H’

F’

E

d H

V V’

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F2

yxd

22

(4-15

con lo que el factor de fase )y,x(t vendrá dado por

F2

yxikexpiknexp)y,x(t

22

0

(4-16

El primer factor es un retraso de fase constante. El segundo es un factor de fase cuadrático que está asociado con la onda esférica. De una manera general, si conocemos la distribución del campo eléctrico U1(,) en el plano H, el campo U2(x,y) en el plano H’ será igual al anterior multiplicado por este factor de fase )y,x(t

dado por la ecuación (4-16).

Como comprobación de la aplicación del enfoque al paso de una onda a través de un sistema óptico, vamos a ver la similitud con la óptica geométrica. Sea un punto objeto O situado a una distancia a del plano principal objeto de un sistema óptico (ver Figura 4.4). Siguiendo el mismo razonamiento que para obtener la ecuación (4-15) la amplitud en el plano H será

Figura 4.4 Relación entre los planos objeto e imagen

a2

yxikexpA)y,x(u

22

(4-17

Para pasar de H a H’ tendremos que multiplicar por la transmisión de la lente )y,x(t dada por la expresión

(4-16), con lo que la distribución de amplitud en el plano H’, salvo un factor de fase constante será

F

1

a

1

2

yxikexpA

F2

yxikexp

a2

yxikexpA

222222

(4-18

O’O

a a’

H H’

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y esto no es más que la distribución de fase en H’ producida por una onda esférica con centro en O’ a una distancia a’ de H’ tal que 1/a’ viene dado por

F

1

a

1

'a

1

(4-19

Lo que lleva a la expresión que relaciona las distancias objeto e imagen en óptica paraxial dada por

F

1

'a

1

a

1

(4-20

En esta sección y a lo largo de este capítulo el convenio de signos que vamos a adoptar, por coherencia con los signos que convienen para la difracción y procesado de imágenes, es el siguiente: Se consideran positivas las distancias que llevan la misma dirección que la propagación de la luz, tomando como origen para la distancia objeto el plano objeto, y para la distancia imagen el plano principal imagen del sistema. En la Figura 4.4 todas las distancias son positivas.

4.2.3. Diferentes configuraciones para obtener la transformada de Fourier.

A continuación se describirán tres configuraciones con onda plana monocromática y una con onda esférica monocromática con las que se puede conseguir la transformada de Fourier de una escena, resaltando en cada una de ellas sus características. Estas configuraciones son conocidas en algunos libros de texto como difractómetros y permiten obtener la TF de una escena y visualizar el módulo al cuadrado de la misma. Para simplificar la representación gráfica, en esta sección utilizaremos lentes delgadas sin que ello suponga una merma en la generalidad de los planteamientos. En las lentes delgadas los planos principales quedan superpuestos en el mismo plano de la lente.

4.2.3.1. Objeto colocado pegado a la lente

Figura 4.5 Objeto colocado pegado a la lente

La primera configuración que vamos a estudiar se muestra en la Figura 4.5. Se tiene un objeto con una transmitancia en amplitud ,t0 colocado justo delante de una lente. Se ilumina el objeto difractante

por una onda monocromática plana y queremos calcular la distribución de amplitud en el plano focal imagen de la lente. Al objeto le llega una amplitud constante C1. En el plano (,) habiendo pasado la lente, tenemos

Objeto difractante t0()

xy

F’

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una distribución U(,) dada por la multiplicación de la transmitancia del objeto ,t0 y el efecto de la

lente dado por la ecuación (4-16):

22

001 F2

kiexp ,t iknexpC,U

(4-21

El campo U(x,y) en el plano focal se obtiene aplicando las expresiones de la aproximación de

Fresnel de la propagación libre de una onda desde el plano (,) al plano (x,y) dada por la expresión (4-11)

en la que la distancia z es ahora igual a la focal F.

y,xT

F2

yxikexpC

ddyxF

2iexp ,t iknexpC

F2

yxikexpikFexp

Fi

1y,xU

0

22

2

001

22

(4-22

donde C2 viene dado por

012 nFikexpF

1CC

(4-23

y T(x,y) por

ddyxF

2iexp ,t y,xT 00

(4-24

que es igual a la TF de ,t0 evaluada en las frecuencias u= xF, v= yF. Es decir, U(x,y) es la TF

de ,t0 multiplicada por un factor de fase

F2

yxikexp

22

que representa una curvatura de fase en el

espectro del objeto. Este factor de fase indica que la TF aparecería en una esfera centrada en el centro de la lente y pasando por F’. Si se mide la intensidad, U(x,y) U

*(x,y), este término de fase no aparece y lo que

obtendríamos sería el módulo al cuadrado de la TF que se denomina el espectro de potencias. Podemos dar otra interpretación al resultado obtenido con este montaje. En el capítulo 2, ecuación 2.71, se había visto que la difracción producida en el infinito por una abertura viene dada por la aproximación de Fraunhofer, con lo que la distribución del campo queda como una TF de la función de la abertura. De una forma análoga, si en el plano de la abertura hubiera una escena, la figura de difracción de Fraunhofer se formaría en el infinito. En el montaje de la Figura 4.5 la lente proyecta en el plano focal imagen la difracción de Fraunhofer, con lo cual en esta sección se tiene el mismo resultado que el obtenido en el Capítulo 2.

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4.2.3.2. Objeto colocado delante de la lente

Figura 4.6 Objeto colocado delante de la lente

En este segundo caso, esquematizado en la Figura 4.6, tenemos un objeto cuya transmitancia es ,t0 a una distancia d1 de una lente. Se ilumina con una onda plana y queremos conocer la distribución

de amplitud en el plano focal imagen de la lente. Para resolver esta configuración podemos realizar dos planteamientos. En el primero de ellos (ver [4.24]) realizaríamos el paso del campo del plano P1 donde está situado el objeto difractante al plano P2 de delante de la lente mediante la difracción de Fresnel utilizando la expresión (4-11). El paso del plano P2 de delante de la lente al de detrás de la misma P3 se realiza mediante la multiplicación por el factor de fase que representa la transmisión de la lente. Por último, el paso de este último plano P3 al plano focal imagen de la lente P4 también lo realizaríamos mediante la difracción de Fresnel. En el problema 4.13 Se plantea la resolución de esta configuración mediante este método.

Al final del apartado 4.2.1 vimos que la TF de la distribución en el plano P2 es igual a la TF de la distribución en el plano P1 multiplicada por la función de transferencia de la propagación libre dada por la ecuación (4-12) donde para la Figura 4.6 la distancia z es igual a d1. Utilizaremos este enfoque para realizar el paso del plano P1 al plano P2. El paso del plano anterior a la lente hasta el plano focal imagen de la misma es igual al del apartado anterior. La transformada de Fourier de la transmisión del objeto la denotaremos como

,tTF,T 0yx0

(4-25

La función de transferencia de la propagación libre venía dada por la expresión (4-12)

2y

2x11yx diexpikdexp),(H

(4-26

Con lo que el espectro del campo en el plano P2 será:

2y

2x11yx0yxyx0yx2 diexpikdexp),(T),(H),(T),(T

(4-27

Objeto difractante t0()

xy

F’

F d1

P1 P2 P3 P4

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El paso del plano P2 al plano focal de la lente P4 es igual al del apartado anterior dando como resultado

yx02y

2x1

2212 ,T diexp yx

F2

kiexp ikdexpCy,xU

(4-28

teniendo en cuenta que F/y ,F/x yx

yx0

221

3 ,T F2

yx

F

d1ikexp Cy,xU

(4-29

donde C3=C2exp[ikd1]. Luego la distribución de amplitud en el plano focal de la lente es la transformada de Fourier de la transmitancia del objeto, excepto el factor exponencial. Pero si d1=F, el factor exponencial se hace igual a 1 y queda exactamente la transformada de Fourier de ,t0 . Esta configuración respecto a la

anterior tiene la ventaja de que se obtiene de manera exacta la TF de la distribución del objeto, pero al quedar la lente a una cierta distancia del objeto se producirá un viñeteo del espectro de frecuencias.

4.2.3.3. Objeto colocado detrás de la lente

Figura 4.7 Objeto colocado detrás de la lente

En el montaje mostrado en la Figura 4.7 se tiene una lente de focal F iluminada con una onda plana monocromática. Un objeto difractante con una transmisión ,t0 está situado detrás de la lente a una

distancia d2 del plano focal de la misma. Queremos calcular la distribución de amplitud en el plano focal de la lente. La onda que ilumina al objeto es

22

22

11 d2

kiexp

d

FC,U

(4-30

El primer paréntesis de esta expresión tiene en cuenta el efecto en el módulo de la amplitud debido a ser una onda esférica con centro en F’. El segundo paréntesis es debido al efecto de la fase de la curvatura de la onda. La amplitud de U1() es igual a C1 si el objeto está detrás y pegado a la lente. La amplitud detrás

y

F t0()

x

F’

d2

Onda

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del plano objeto será U1() t0(). Del plano objeto al plano focal pasamos por difracción utilizando la ecuación (4-11) quedando

ddyxd

2iexp,tyx

d2

kiexpC

ddyxd

2iexp,t

d

FC

.yxd2

kiexpikdexp

di

1y,xU

20

22

24

20

2

1

22

22

2

(4-31

Así pues, en el plano focal de la lente obtenemos la transformada de Fourier de la transmitancia del objeto. En la transformada de Fourier aparece el factor de escala 2x2x d/x,d/x . La

frecuencia (xy) aparece en unas coordenadas (x,y) que dependen de d2. Este montaje sirve para cambiar el tamaño de la transformada de Fourier variando la distancia d2. Así se puede resolver el problema que aparece en reconocimiento de formas al tener que adaptar (en tamaño) la transformada de Fourier de la escena y el filtro, que puede ser generado por ordenador.

4.2.3.4. Iluminación con onda esférica

Figura 4.8 Iluminación con onda esférica

Consideremos el montaje de la Figura 4.8. Una fuente puntual monocromática está situada en O, su imagen a través de la lente estará situada en O’. Las relaciones entre las distancias a y a’ vienen dadas por la ecuación (4-20). A la salida de la lente tenemos una onda convergente con centro en O’ que ilumina al objeto situado a una distancia d2 de O’. La amplitud detrás del objeto vendrá dada por

,t

d2

kiexp

d

'aC,U 0

22

22

11

(4-32

A partir de este momento podemos tratar este caso como el caso anterior. Si entonces la transformada de Fourier aparecía en el centro de la onda esférica, en este caso el centro de la onda esférica es O’, y es allí

y

a’ t0()

x

O’

d2

Onda O

a

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donde aparecerá la transformada de Fourier. Para comprobarlo podemos realizar la propagación desde el plano donde se sitúa el objeto al plano O’ mediante la propagación libre dando como resultado

ddyxd

2iexp,tyx

d2

kiexpC

ddyxd

2iexp,t

d

'aC

.yxd2

kiexpjkdexp

di

1y,xU

20

22

24

20

2

1

22

22

2

(4-33

En la transformada de Fourier aparece el factor de escala 2x2x d/x,d/x . La

frecuencia (xy) aparece en unas coordenadas (x,y) que dependen de d2. Como conclusión podemos decir que la transformada de Fourier aparecerá en la imagen de la fuente

puntual que ilumina al montaje. En los montajes de los subapartados anteriores el sistema se iluminaba con una onda plana monocromática que podemos considerar generada por una fuente puntual situada en el infinito. La imagen de esta fuente se forma en el plano focal de la lente y es allí donde se obtiene la TF de la transmitancia del objeto.

4.2.4. Interpretación en términos de procesado de imagen de algunas parejas de funciones y

sus transformadas de Fourier

En esta sección y, siguiendo el planteamiento hecho por Lee en [4.5] se muestran en la tabla 4.1 las transformadas de Fourier de algunas funciones interesantes en procesado de imágenes. Esto permitirá la interpretación de diversos fenómenos ópticos y su relación con la difracción de aberturas y con la óptica geométrica.

Tabla 4.1. Parejas de funciones y de sus transformadas de Fourier

Funciones Transformadas

1 y,x 1

2 by,ax ba2iexp vu

3

2a

exp22 vu

22 vu 22aexpa

4 cos(2u1x) vvvu ,u,u2

111

5 (1/2)(1+cos(2u1x)) vuvuvu ,u,u4

1,

2

111

6

b

yrect

a

xrect bvau sincsincba

01/06/2011 15

7 )y( )x( vu 22 csincsin

8 )r(circ 2J1

9 )y(sign )x(sign vu i

1

i

1

10 xsign12

1 v

uvu

i

1

2

1,

2

1

11

b

ycomb

a

xcomb vu acombacomb ab

12 )y,x(gx

vuu ,G 2i

Las definiciones de las funciones que aparecen en la tabla 4.1 son las siguientes:

Función rect(x)

resto el en02

1

b

x1

b

xrect

(4-34

Función sinc(x) bx

bxsen)bx(sinc

(4-35

Función triángulo )x(

resto0

1xx1)x(

(4-36

Función círculo circ(r)

resto0

yxr1r1)r(circ

22

(4-37

Función comb(x)

n

nx)x(comb

(4-38

01/06/2011 16

Función sign(x)

0x1

0x0

0x1

)x(sign

(4-39

Función de Bessel de orden cero J0(x)

2

0

cosix0 de

2

1)x(J

(4-40

Función de Bessel de orden uno J1(x)

)ax(Ja

xudu)au(J 1

x

0

0

(4-41

La primera columna de la tabla 4.1 expresa la función que se sitúa en el plano del objeto en el montaje correspondiente a la Figura 4.6 en la cual el objeto está colocado en el plano focal objeto de la lente, es decir, d1=F, y la segunda columna expresará, con el conveniente cambio de coordenadas, la función en el plano de Fourier (plano focal imagen de la lente), en el que aparece la transformada de Fourier de la transmisión del objeto. A continuación, pasamos a interpretar el significado óptico de las transformaciones expresadas en la tabla 4.1, siguiendo la numeración de dicha tabla.

1. Una fuente puntual de luz en el eje óptico se transforma en una onda plana que avanza en la dirección del

eje óptico. 2. Una fuente puntual de luz situada fuera del eje da origen a una distribución exponencial lineal con las

coordenadas en el plano de Fourier, lo que significa una onda plana inclinada con respecto al eje óptico. 3. Un haz de perfil de amplitud gaussiano da origen a otro haz gaussiano. La anchura de haz gaussiano a la

entrada es la inversa de la anchura del haz gaussiano a la salida. 4. Una red sinusoidal en la escena da origen a dos puntos en el plano de Fourier situados simétricamente

respecto al origen, que corresponden a las dos componentes de frecuencia u1 y – u1 de la red sinusoidal infinita. Esta interpretación permite explicar que si una escena se descompone por análisis de Fourier (Apéndice B), y la escena se considera compuesta de muchas funciones sinusoidales, en el espectro de la escena aparecerán estas frecuencias con la amplitud que se obtiene en la transformada de Fourier.

5. Como un caso particular de lo explicado en el párrafo anterior, una red sinusoidal de amplitud en la

escena, produce tres puntos en el plano de Fourier, uno en el origen como transformada de Fourier de la constante y dos puntos simétricos respecto al origen, que corresponden a la frecuencia de la red.

6. Una escena que consiste en una abertura rectangular produce en el plano de Fourier una difracción de

Fraunhofer que es el producto de dos funciones sinc. Se observa que la anchura de las funciones sinc son inversamente proporcionales a la anchura de la abertura. En la Figura 4.9 a) se muestra una abertura rectangular y la figura de difracción correspondiente (Observación: en las figuras de difracción se muestra la intensidad, es decir, el módulo al cuadrado de la amplitud).

01/06/2011 17

7. Una abertura con perfil de transmitancia triangular da origen en el plano de Fourier al producto de funciones sinc2. En la Figura 4.9 b) se muestra este resultado, representando a la derecha el módulo al cuadrado. Una transmitancia de perfil triangular reduce la transmisión en los bordes si se compara con una abertura rectangular, lo que conlleva a que la transformada de Fourier tiene menos intensidad en los máximos secundarios. Este resultado general es aplicable en apodización, donde se busca diseñar filtros de transmisión en la pupila de los sistemas ópticos que disminuyan la luz que va a los máximos secundarios de la figura de difracción. Para ello se buscan filtros que reduzcan la transmisión en el borde de la pupila.

8. Una abertura circular produce una figura de difracción que es la transformada de Fourier-Bessel

(Apéndice B)[4.28][4.2] y se corresponde a una función de Bessel. En la Figura 4.9 c) se muestra la figura de difracción obtenida en el plano de Fourier. Se representa el módulo al cuadrado. En ella aparece un máximo central con el 84% de la energía y anillos correspondientes a los máximos secundarios. En el primer anillo se concentra el 7% de la energía [4.28][4.27].

9. El producto de las funciones signo se ha representado en la Figura 4.9 d). Se puede considerar como una

función con variaciones sólo en la fase ya que el valor -1 es igual a exp[i]. En esta figura se representa en negro las zonas con fase cero, es decir, transmisión igual a 1, y en blanco las zonas con fase , es decir transmisión igual a -1. El módulo de su TF es inversamente proporcional a las coordenadas. Esta función es útil para realizar la transformada de Hilbert de una función f(x,y). La transformada de Hilbert de f(x,y) a lo largo de la dirección horizontal es igual a la función de convolución entre f(x,y) y la función sign(x) [4.29]. Para una generalización de dicha transformada a dos dimensiones ver la referencia [4.30].

10. Esta función representa un borde de playa, es decir tiene un valor igual a cero para valores negativos de

la coordenada x, y un valor igual a 1 para valores positivos de la coordenada x. 11. Una red bidimensional de impulsos en el plano de la escena, conocida como producto de funciones

peine, con un espaciado a según el eje x y b según el eje y, dará como transformada de Fourier un producto de dos funciones peine con el espaciado inverso al de la función original. Esta función es importante en la teoría del muestreo.

12. Esta propiedad corresponde al teorema de la derivada descrito en el apéndice B. Esta propiedad se puede

utilizar para obtener la derivada de una escena por métodos ópticos, utilizando un montaje de procesado óptico como los que se describirán en la sección siguiente. La Figura 4.10 muestra dos ejemplos de obtención de la derivada según el eje x de una imagen utilizando esta propiedad en a) b) c) con una imagen binaria y en d) e) f) con una imagen en tonos de gris. En a) y d) se representan las funciones originales g(x,y). Su TF G(u,v) se multiplica por la función i2u y al realizar la TF inversa se obtiene la derivada de las funciones que se muestra en las Figura 4.10 b) e). La derivada tiene valores positivos (zonas más claras) y negativos (zonas más oscuras), el nivel de gris de fondo corresponde a un valor cero. El módulo de las derivadas se muestra en las Figura 4.10 c) f). Los cambios bruscos en la intensidad de la imagen en la dirección horizontal se corresponden a valores más altos de la derivada según el eje x. Por ello los bordes en esta dirección quedan realzados.

01/06/2011 18

a) Función rectángulo b) Función triángulo: )y( )x(

c) Función círculo d) Función signo

Figura 4.9 Algunas aberturas y sus transformadas de Fourier

Figura 4.10 Obtención de la derivada vía transformada de Fourier. a) d) funciones originales, b) e) derivada, c) f)

módulo de la derivada.

a)

d)

b)

e)

c)

f)

a)

d)

b)

e)

c)

f)

01/06/2011 19

4.3. Procesado Óptico Coherente

El hecho de que podamos obtener la transformada de Fourier en el plano focal imagen de la lente, cuando el sistema se ilumina con una onda plana (Figuras 4.5, 4.6 y 4.7), o en el plano imagen de la fuente, si se ilumina con onda esférica (Figura 4.8), permite modificar el espectro de Fourier mediante un filtro que se coloque en dicho plano de Fourier. El montaje mostrado en la Figura 4.11 representa un correlador de Vander Lugt o correlador 4f [4.1]. Un objeto situado en el plano P1 se ilumina con una onda plana. El objeto está situado en el plano focal objeto de la lente L2. En el plano focal imagen de esta lente P2 se obtendrá la transformada de Fourier de la transmitancia del objeto como vimos en la sección 4.2.3.2 ecuación (4-28), haciendo d1=F2 queda

Figura 4.11 Configuración de un sistema de procesado óptico coherente. Procesador 4F

22

02

3

F

y,

F

xT

F

'Cy,xU

(4-42

La lente L3 se coloca de forma que su plano focal objeto coincida con el plano P2. Así, en el plano focal imagen P3 de esta lente se obtendrá la transformada de Fourier de la distribución de amplitud en P2 que viene dada por la ecuación (4-42). Es decir en P3 obtendremos

M

'y,

M

'xt

M

1

F

'y F,

F

'x Ft

F

F'y,'xU 0

3

1

3

20

3

2

(4-43

M=F3/F2 es el valor absoluto del aumento del sistema. El signo negativo indica que la imagen está invertida, ya ue estamos realizando dos transformadas de Fourier directas. Si en el plano P2 situamos un filtro, cambiaremos el contenido en frecuencias de la imagen original, y por lo tanto la imagen reconstruida será diferente. Mediante esta técnica se pueden realizar diferentes tipos de procesado óptico de imágenes.

F3 F3F2 F2

P1 (Objeto) P2 (Plano de Fourier) P3 (Imagen)

L1

L2 L3

y

x x’

y’

Fuente

F3 F3F3 F3F2 F2

P1 (Objeto) P2 (Plano de Fourier) P3 (Imagen)

L1

L2 L3

y

x x’

y’

Fuente

01/06/2011 20

Figura 4.12 Configuración convergente de un sistema de procesado óptico coherente

Una variante del correlador mostrado en la Figura 4.11 es el correlador convergente mostrado en la Figura 4.12. Como veremos presenta la ventaja de que se puede modificar la dimensión de la transformada de Fourier, con lo que resulta más sencillo ajustar las dimensiones del filtro y de la transformada de Fourier del objeto. La primera parte del correlador forma la imagen de la fuente puntual monocromática O en O’ mediante la lente L1. El objeto se sitúa en el plano P1, a una distancia d2 del plano O’. Esta es la misma configuración que la mostrada en la Figura 4.8, donde el objeto se iluminaba con una onda esférica y la transformada de Fourier se obtenía en el centro de la onda esférica. En este caso, la transformada de Fourier se obtendrá en O’, que es el plano imagen de la fuente. Además, la escala de dicha transformada depende de la distancia d2 (ecuación (4-33)), con lo que variando esta distancia es posible cambiar su dimensión. La amplitud en el plano P2 vendrá dada por

2205

20

22

24

d

y,

d

xt̂ C

ddyxd

2iexp,tyx

d2

kiexpCy,xU

(4-44

La lente L2 forma la imagen del plano objeto P1 en el plano imagen P3, por lo tanto allí se formará la imagen del objeto. El valor absoluto del aumento entre estos dos planos viene dado por M=a’2/a2. Como en el plano P2 obteníamos la transformada de Fourier del objeto, podemos considerar que en el plano P3 estamos formando la imagen de la transformada de Fourier de la distribución de amplitud en el plano P2. (Nótese la configuración simétrica de las dos lentes y los planos que intervienen). Así en el plano P3 obtendremos:

M

'y,

M

'xt

M

1

'a

'y a,

'a

'x at

'a

a'y,'xU 0

2

2

2

20

2

2

(4-45

que es la imagen del objeto invertida y con aumento M.

P2 (Plano de Fourier)

a1’

P1 (Objeto) P3 (Imagen)

L1

L2y

x

x’

y’

O O’

d2

a2 a2’a1

Fuente

P2 (Plano de Fourier)

a1’

P1 (Objeto) P3 (Imagen)

L1

L2y

x

y

x

x’

y’

O O’

d2

a2 a2’a1

Fuente

01/06/2011 21

4.3.1. Filtrado espacial.

Según hemos indicado en la sección anterior, es posible introducir filtros en el plano en que se forma la transformada de Fourier y modificar el contenido de frecuencias de la escena. Esta operación de filtrado de frecuencias es la base del planteamiento del procesado óptico de la información. Supongamos que la entrada en P1 (Figura 4.11 ò Figura 4.12) es una transmitancia t() de amplitud que varía espacialmente. En P2 se produce la transformada de Fourier ),(TC yx3 (ecuación (4-44)). Si en P2 se inserta un filtro, la lente L3

proyecta en el plano P3 la Transformada de Fourier del espectro filtrado y da en P3 una imagen de la escena de entrada invertida respecto a P1 y modificada en su contenido de frecuencias, según el filtro que se haya introducido en P2. A continuación vamos a desarrollar el efecto que tendrán ciertos filtros y analizaremos el resultado, así veremos las posibles aplicaciones.

a) Punto negro b) Rendija c) Cambio de fase

Figura 4.13 Algunos filtros sencillos

4.3.1.1. Filtros binarios

En este apartado utilizaremos filtros sencillos de transmisión binaria.

Punto negro que no deja pasar la frecuencia cero, y según el tamaño, no deja pasar las frecuencias más bajas (Figura 4.13 a)). Este filtro de punto negro es análogo, en microscopía, a la iluminación de campo oscuro. Recordemos la propiedad (B-5) de la transformada de Fourier

dxdy)y,x(f)0,0(F

(4-46

x

y y

x x

y

01/06/2011 22

La frecuencia cero, según se ve en la ecuación (4-46), lleva la información del valor medio de la función. Al obstruirla estamos haciendo que el valor medio (en amplitud) de la función reconstruida sea cero. Hay que hacer notar que lo que observamos será la distribución de intensidad. Un par de ejemplos de este filtrado se muestran en la Figura 4.14. La distribución de amplitud del objeto en a) es igual a ½(1+cos(ax)) y en b) ¼(2+cos(ax)+cos(by)). Al obstruir la frecuencia cero se eliminan las constantes y únicamente quedan los términos en coseno. La función coseno tiene valores positivos y negativos, como se visualiza la intensidad de estos cosenos, las partes negativas se convierten en positivas y por eso aparecen la frecuencia doble que se aprecia en esta figura. Para evitar la aparición de las frecuencias dobles habría que utilizar un filtro con transmitancia menor que la unidad pero no nula, ver el problema 4.14. Filtro en forma de rendija: quedan sólo las frecuencias que están sobre el eje ox.

Este filtro se muestra en la Figura 4.13 b), únicamente deja pasar una banda estrecha de frecuencias en una dirección. Un ejemplo de función filtrada de esta manera se muestra en la Figura 4. 15. En ella se puede observar que únicamente se dejan pasar las frecuencias a lo largo del eje horizontal, con lo que en la imagen reconstruida sólo aparecen estas frecuencias, es decir líneas verticales. La función original se muestra en la Figura 4. 15 a), consiste en la multiplicación de dos redes binarias una en la dirección del eje x, y otra en la dirección del eje y. Su transformada de Fourier se muestra en la Figura 4. 15 b). El espectro filtrado mediante el filtro en forma de rendija se muestra en la Figura 4. 15 c) y únicamente deja pasar las frecuencias a lo largo del eje x. La imagen reconstruida se muestra en la Figura 4. 15 d). Únicamente se reconstruye la red con frecuencias en la dirección del eje x.

Figura 4.14 Filtrado de imágenes obstruyendo la frecuencia cero. a),b) funciones originales. c) d) funciones filtradas

a) b)

c) d)

01/06/2011 23

Cambio de fase de la frecuencia cero.

Este filtro retarda /2 o 3/2 la componente de frecuencia cero del espectro del objeto (Figura 4.13 c). En este filtro se basa la microscopía de contraste de fase de Zernike. Este filtro ayuda a visualizar objetos transparentes que tienen variaciones de fase. Sea la amplitud de un objeto transparente igual a ,iexp,f . Supondremos que la fase es pequeña, de manera que podamos aproximar la función

por ,i1,f . La constante 1 corresponde a tener frecuencia (0,0) en la transformada de Fourier.

El espectro es ,iTF,,F yxyx . Si se multiplica el espectro por el filtro y se hace de

nuevo la transformada de Fourier, la imagen filtrada será 'y,'xi2iexp'y,'xg0 , y la intensidad

'y,'x21'y,'x1i'y,'xI2 . Estas variaciones de intensidad ya son visibles.

Un ejemplo de filtrado utilizando este tipo de filtro se muestra en la Figura 4. 16, en la parte a) se muestra el módulo de una imagen de módulo unidad y con variaciones de fase. Naturalmente no se puede observar nada

Figura 4. 15 Filtrado de imágenes mediante un filtro de rendija. a) Imagen original, b) su espectro, c) espectro filtrado, d) imagen filtrada.

FT

FT-1

Filtrado

a) b)

c)d)

Figura 4. 16 Filtrado de imágenes mediante un contraste de fase de la frecuencia cero. a) módulo de la imagen de fase original. b) módulo de la imagen filtrada.

a) b)

01/06/2011 24

ya que lo que medimos es proporcional al módulo al cuadrado. Después de aplicar el filtrado de contraste de fase existen variaciones en el módulo de la imagen filtrada, con lo que se puede visualizar la imagen original consistente en un círculo de fase distinta a la del fondo.

4.3.2. Filtro de Vander Lugt. Reconocimiento de imágenes.

Figura 4.17 Registro de un holograma por transformada de Fourier Figura 4.18 Transmisión en amplitud de una película holográfica en función de la exposición

Como se ha explicado al comienzo de la sección 4.3, en los procesadores ópticos mostrados en la Figura 4.11 y en la Figura 4.12 en el plano P2 se realiza el producto de dos funciones: la TF de la escena original y la transmitancia del filtro. Como en el plano P3 obtenemos la TF de la distribución de amplitud del plano P2, aplicando la propiedad (B-12) de la transformada de Fourier de un producto lo que obtendremos será la convolución de la transformada de Fourier de dichas funciones, es decir la escena original y la respuesta impulsional del filtro. Por respuesta impulsional del filtro se entiende la transformada de Fourier de la función de transmisión del filtro. Así pues, mediante este tipo de montaje podemos realizar la operación de convolución y la de correlación entre funciones. Para ello, será necesario diseñar convenientemente el filtro.

Uno de los primeros filtros con transmitancia compleja para el procesado óptico de imágenes fue propuesto por Vander Lugt [4.1][4.2]. Consiste en la realización de un holograma en el que se registra la transformada de Fourier de una escena determinada. Uno de los montajes utilizados se muestra en la

Figura 4.17. La escena h() se ilumina con una onda plana. La difracción de Fraunhofer se focaliza mediante la lente L en el plano (x2, y2) donde se sitúa una película holográfica. Así pues, sobre la película

incide la transformada de Fourier de la escena h(), que es igual a

f

y,

f

xH

f1 22 , juntamente con una

onda inclinada plana desviada por el prisma y que constituye la onda de referencia 2022r y2iexpry,xU , donde =sin / La distribución de intensidad en la película, debida a la

interferencia de las dos ondas es

222*0

2220

2

2222

20

2

222022

y2iexpf

y,

f

xH

f

ry2iexp

f

y,

f

xH

f

r

f

y,

f

xH

f

1r

f

y,

f

xH

f

1y2iexpry,xg

(4-47

Para registrar hologramas se trabaja en una zona de la película tal que la transmitancia en amplitud sea proporcional a la exposición. En la Figura 4.18 se muestra una respuesta típica de una película holográfica donde la parte central de la curva se puede aproximar por una línea. Si la exposición viene dada por la expresión E´(x,y)=E0+E(x,y), la transmisión en amplitud vendrá dada por t(x,y)=t0+

E0

t0

t

E

x

L

y

f f

Fuente

h()

01/06/2011 25

E(x,y), donde es la pendiente de la parte de la curva que es lineal. Si trabajamos en estas condiciones, la transmisión en amplitud de la película cuando la distribución de intensidad sobre la misma viene dada por la ecuación (4-47) será:

2

*02

02

22022 y2iexpHf

ry2iexpH

f

rH

f

1´ty,xt .

(4-48

Donde ´ es igual a por el tiempo de exposición. Para poner de manifiesto que mediante este holograma ha quedado registrada tanto la información de la amplitud como la de la fase, rescribamos la ecuación (4-48),

teniendo en cuenta que

f

y,

f

xiexp

f

y,

f

xA

f

y,

f

xH 222222 , nos queda

f

y,

f

xy2cos

f

y,

f

xA

f

r2

f

y,

f

xA

f1

´ty,xt 222

220

2

2222022

(4-49

Vemos que esta información queda registrada en la modulación de la amplitud y de la fase de una onda portadora. Una simulación por ordenador de este proceso se muestra en la Figura 4.19. La escena h es una mariposa. La transmisión del holograma se muestra en la Figura 4.19b), en ella se puede ver las interferencias entre la transformada de Fourier de la escena y la onda de referencia inclinada. Es interesante analizar la reconstrucción de este holograma con el fin de ver los diferentes términos que aparecen en la misma (ver Figura 4.19c). Para ello introduciremos este holograma en un montaje análogo al de la Figura 4.6 (con d1=f) con el que obtendremos, en el plano focal imagen de la lente, la transformada de Fourier de la transmisión en amplitud del holograma (ecuación (4-48)). La reconstrucción del holograma contiene cuatro términos que pasaremos a analizar, sin tener en cuenta los factores constantes. El primer término corresponde a la transformada de Fourier de la constante t0, que nos dará una delta de Dirac en el origen de coordenadas (x,y). El segundo será la transformada de Fourier de |H|2 que dará la convolución de la función invertida y de su compleja conjugada h(-x,-y)h*(x,y) que es igual a la autocorrelación de la función h(x,y) invertida: h(-x,-y)h(-x,-y) (ver la mancha central en la Figura 4.19c). El tercer término corresponde a la transformada de Fourier de H exp(j2y2)

fy,xhfy,xy,xh

dydxyyxxf

2iexpy2jexp

f

y,

f

xH 22222

22

(4-50

que es igual a la función original invertida, desplazada en la dirección “y” una distancia f. El símbolo lo utilizaremos para denotar la integral de convolución entre dos funciones. Por último, el cuarto término corresponde a la transformada de H*exp(-i2y2)

fy,xhfy,xy,xh

dydxyyxxf

2iexpy2iexp

f

y,

f

xH

**

2222222*

(4-51

que es igual a la función compleja conjugada de la función original desplazada en la dirección “y” una distancia -f. Estos dos términos se pueden ver en la Figura 4.19c, y corresponden a las dos imágenes de la mariposa, una de ellas invertida.

01/06/2011 26

Figura 4.19 Simulación del registro de un holograma por transformada de Fourier y su reconstrucción. a) Escena. b) transmisión del holograma. c) reconstrucción. d) utilización para el reconocimiento

Este filtro se puede utilizar para obtener la correlación entre una escena de entrada y el objeto a partir del cual se ha realizado el filtro. En efecto, utilicemos el montaje mostrado en la Figura 4.11 con F2=F3=f. En el plano P1 introducimos una transparencia con una transmitancia en amplitud ,g . En el plano y,x

aparecerá la transformada de Fourier de ,g en la forma

f

y,

f

xG

f

1. Si en este plano P2

introducimos el holograma generado anteriormente con una transmitancia proporcional a y,xt dada por

la ecuación (4-48), detrás del mismo obtendremos el producto de estas dos funciones

y2iexpGH

f

ry2iexpHG

f

rGH

f

1´

f

GtU *

220

2202

3302

(4-52

Finalmente en el plano P3 obtendremos la transformada de Fourier de la expresión anterior

f'y,'x'y,'xg'y,'xhf

'r

f'y,'x'y,'xg'y,'xhf

'r

'y,'xg'y,'xh'y,'xhf'

'y,'xgt'y,'xU

*0

0

*2203

(4-53

En la Figura 4.19d se muestra este resultado. La escena es la Figura 4.19a que coincide con el objeto del que se ha obtenido el filtro. Los dos primeros términos aparecen centrados en la Figura 4.19d. El tercer término de esta expresión es la convolución entre las funciones h y g invertidas y aparece centrado en el punto (0,f). En la Figura 4.19d este término aparece en la parte superior. El cuarto término es la correlación entre h y g invertidas y aparece centrada en el punto (0,f), ver la parte inferior de la Figura 4.19d. El máximo que aparece en la parte inferior corresponde al máximo de la autocorrelación. Nos indica que en la escena original está el objeto con el que se ha realizado el filtro. Este hecho se puede utilizar para el reconocimiento de formas por correlación óptica como veremos en el siguiente apartado. Se puede dar otra explicación de este resultado teniendo en cuenta que la operación que estamos realizando es la correlación entre la escena de entrada (Figura 4.19a) y la respuesta impulsional del filtro (Figura 4.19c) que es la TF de la transmitancia del filtro.

a) b) c) d)

01/06/2011 27

4.4. Reconocimiento de imágenes por correlación óptica.

El proceso de adquisición de información por el ojo humano involucra muchos pasos que podríamos resumirlos en los tres siguientes: “Detección”, se entiende como la percepción de que existen variaciones locales de energía; “Reconocimiento” en el que se clasifica al objeto dentro de una clase (casa, coche, etc.); y finalmente la “identificación” sería la habilidad para distinguir el objeto entre otros de la misma clase (por ejemplo un modelo particular de coche). En un proceso automático de reconocimiento no se realizan los mismos pasos aunque también se trata de reconocer un objeto entre otros presentes en la misma escena. El equivalente a la detección puede ser la selección o segmentación de una zona de la escena donde puede haber un objeto de interés. El reconocimiento e identificación por métodos automáticos se realiza mediante la evaluación de la similitud entre los objetos que aparecen en la escena con los objetos de referencia que tenemos almacenados en nuestro banco de datos. La similitud puede ser evaluada por diferentes métodos, en este apartado se estudian los métodos basados en la correlación y su implementación óptica.

4.4.1. La correlación como medida de similitud.

La correlación cruzada entre dos funciones complejas f(x,y) y g(x,y) está definida (apéndice B ecuación (B-15)) como

ddy,xg,fy,xgy,xf *

(4-54

Cuando las dos funciones son iguales se le denomina autocorrelación. Esta operación posee una serie de propiedades que la hacen adecuada cuando se quiere medir la similitud entre dos funciones. A continuación expondremos estas propiedades. 1) El módulo de la autocorrelación es máximo en el origen, es decir, para desplazamiento cero. En efecto, la desigualdad de Schwarz dice que para dos funciones f() y g() se cumple la siguiente desigualdad

2

1

2*2

1

2* dd,gdd,fdd,g,f

(4-55

Aplicándola a la función autocorrelación queda

2

1

2*2

1

2* ddy,xfdd,fddy,xf,f

(4-56

Las dos integrales del segundo miembro son iguales, con lo que queda

dd,fddy,xf,f2*

(4-57

01/06/2011 28

El segundo miembro de la ecuación es la autocorrelación en el origen. En la Figura 4.20a se muestra la imagen de una mariposa que consideraremos la función de entrada f(x,y). En la Figura 4.20b se ha representado la autocorrelación. Se puede observar que el máximo de la autocorrelación aparece centrado. 2) Si una función se desplaza, la correlación también se desplaza la misma distancia. En efecto,

sea 00 yy,xxfy,xf̂ . Su correlación con f(x,y) es

dudvyyv,xxufv,uf

ddy,xfy,xfddy,xf,f̂y,xfy,xf̂

00*

*00

*

(4-58

El último término es la función correlación con un desplazamiento (x0, y0). La Figura 4.20c muestra la función desplazada, la correlación correspondiente se muestra en la Figura 4.20d. En ella se puede observar el desplazamiento de toda la correlación. Así pues, esta operación se puede utilizar para detectar un objeto en una escena. La localización del máximo de correlación determina la posición del objeto dentro de la escena. 3) Para terminar el estudio de esta operación nos queda por demostrar que la correlación cruzada en el origen con otra función diferente es menor que la autocorrelación. Supongamos que f(x,y) y g(x,y) tienen la misma energía

dxdyy,xgdxdyy,xf22

(4-59

Aplicando la desigualdad de Schwarz a la correlación cruzada en el origen se tiene

2

1

2*2

1

2* dd,gdd,fdd,g,f

(4-60

y teniendo en cuenta la ecuación (4-59) llegamos a

dd,fdd,g,f2*

(4-61

Es decir, el módulo de la correlación cruzada en el origen es menor que la autocorrelación en el origen. La igualdad sólo se cumple cuando las dos funciones son iguales. Así pues, la correlación está relacionada con la similitud. En la Figura 4.20 e y f se ilustra esta propiedad. La escena contiene dos mariposas (Figura 4.20e). Esta escena se correlaciona con la mariposa de abajo y la correlación resultante se muestra en la Figura 4.20f, donde se puede ver que la correlación cruzada (máximo superior) es menor que la autocorrelación (máximo inferior). Así pues, si todos los objetos presentes en una escena tienen la misma energía, el máximo de la correlación nos detecta el objeto con el que se realiza la correlación y la posición del máximo nos determina la posición relativa del objeto.

01/06/2011 29

Figura 4.20 Ilustración de las propiedades de la correlación. a) b) la autocorrelación es máxima en el origen. c) d) La correlación con una función desplazada, se desplaza la misma distancia. e) f) La autocorrelación es mayor que la correlación cruzada si las funciones tienen la misma energía.

4) Por último, mostramos una propiedad particularmente interesante para la implementación óptica de la correlación. Sean ,H y,,G las transformadas de Fourier de g(x,y) y h(x,y) respectivamente. La

transformada de Fourier de ,H.,G * será la correlación entre g(x,y) y h(x,y). En efecto

y,xhy,xgddy,xh,g

ddddyx2iexp,H,g

ddyx2iexp,Hdd2iexp,g

ddyx2iexp,H,G,H,GTF

*

*

*

**

(4-62

Esta propiedad ya la hemos utilizado al estudiar el filtro de Vander-Lugt (sección 4.3.1), donde en la ecuación (4-45) nos aparece la correlación entre la escena y el objeto del que se ha hecho el filtro. Debido a que la respuesta impulsional, es decir, la TF del filtro de Vander-Lugt tiene diferentes términos, en el plano final nos aparecen diferentes términos de convolución. Uno de elos es el que realiza la correlación entre la escena y el objeto. De una manera general podemos plantear la implementación óptica de la correlación como sigue: en un montaje como el de la Figura 4.11 o el de la Figura 4.12 se puede introducir en el plano P1 una transparencia con una transmitancia en amplitud igual a la escena que se quiere analizar g(x,y). En el

a)

b)

c)

d)

e)

f)

01/06/2011 30

plano P2 se obtendrá su transformada de Fourier ,G . En este mismo plano se introduce un filtro con una

transmitancia compleja proporcional al complejo conjugado de la transformada de Fourier ,H* del objeto a detectar h(x,y), con lo que detrás del plano del filtro se obtiene una distribución de amplitud igual al producto de estas dos funciones. En el plano P3 se obtiene la transformada de Fourier de este producto que será igual a la correlación. La posición del máximo de correlación determina la localización del objeto dentro

de la escena. Para obtener el filtro con una transmitancia proporcional a ,H* , que es una función compleja, uno de los métodos es, como ya hemos mencionado en la sección 4.3.2, el filtro de Vander-Lugt. La respuesta impulsional de este filtro, a parte de éste tiene otros términos no deseados. Veremos en la sección 4.5 que otro método para implementar una transmisión compleja será la holografía generada por ordenador. Este método presenta la ventaja de que, además de poder generar el filtro con una transmitancia

proporcional a ,H* se puede implantar cualquier otra función, lo que nos dará una mayor libertad a la hora de diseñar filtros para el reconocimiento que optimicen ciertos criterios de calidad de la correlación óptica tal y como veremos en la siguiente sección.

4.4.2. Criterios de calidad de la correlación óptica.

Como se ha visto en el apartado anterior, la correlación es una operación potente para determinar la presencia de un objeto y su localización dentro de una escena. El filtro de Vander Lugt, a veces llamado filtro clásico, permite la implementación óptica de la correlación entre la escena a analizar y el objeto a detectar. Sin embargo este filtro no tiene por qué ser el óptimo para un proceso de reconocimiento. Se han definido diferentes criterios para evaluar la calidad de la correlación óptica y su aplicación al reconocimiento de objetos. Entre ellos destacamos los siguientes [4.7]:

Relación señal-ruido (SNR)

En general, la escena a analizar contiene ruido, con lo que el valor del máximo de correlación puede variar según varía la distribución del ruido. La relación señal-ruido se define como el cociente entre el valor esperado del máximo de correlación al cuadrado y la varianza de dicho máximo marca la capacidad de detectar una señal frente al ruido de la escena. Si el ruido aleatorio es aditivo y estacionario la relación señal ruido viene dada por [4.1]

dd,H,P

dd,G,H

0,0cvar

0,0cESNR

2

n

*

2

(4-63

donde G() es la transformada de Fourier de la escena que únicamente contiene el objeto a detectar

afectado de ruido aditivo, ,H* es el filtro utilizado, y c(x,y) la correlación obtenida. ,Pn es la densidad espectral del ruido Eficiencia luminosa () La eficiencia luminosa se define como el cociente entre la energía total en el plano de correlación y la energía en el plano de entrada. Este criterio es muy importante para la implementación óptica, ya que los filtros en general absorben parte de la energía que les llega. Si la energía en el plano de correlación es muy baja no se podrían detectar los máximos de correlación. Sea g(x,y) la escena que contiene únicamente el

01/06/2011 31

objeto a detectar, ,H* el filtro utilizado, y c(x,y) la correlación obtenida. Haciendo uso de las propiedades de la transformada de Fourier (teorema de la correlación (B-17) y teorema de Parseval(B-21)), la eficiencia luminosa se puede escribir como

dd,G

dd,G,H

dxdyy,xg

dxdyy,xc

2

22

2

2

(4-64

Relación entre el máximo y la energía en la correlación (PCE) El plano de correlación es una redistribución de la energía del plano de entrada. El máximo nos localiza la posición del objeto. Lo que interesaría sería tener un máximo de intensidad localizado en la posición del objeto a detectar y que la intensidad del resto del plano de correlación fuese lo más baja posible. Este criterio es una medida de la detectabilidad de dicho máximo. Se define como el cociente entre la energía del pico y la energía total del plano de correlación. Haciendo uso de las propiedades de la transformada de Fourier se puede escribir

dd,G,H

dd,G,H

dxdyy,xc

0,0cPCE

22

2

*

2

2

(4-65

Para obtener el numerador hemos utilizado las ecuaciones (B-8) y (B-17) y para obtener el denominador la ecuación (B-17) y el teorema de Parseval (B-21). Capacidad de discriminación Mediante este criterio se mide la capacidad que tiene el sistema para distinguir entre objetos que sean parecidos. Sean f(x,y) y g(x,y) dos objetos diferentes, y sea h(x,y) la respuesta impulsional del filtro adaptado al objeto f(x,y) que se quiere detectar. Las correlaciones de los dos objetos con h(x,y) las denominaremos cf(x,y) y cg(x,y) respectivamente. La capacidad de discriminación se define como

)y,x(cfmax

)y,x(cgmax)y,x(cfmaxCD

(4-66

donde max{cf(x,y)} y max{cg(x,y)} son los máximos de las correlaciones con el objeto a detectar y el objeto a discriminar, respectivamente. Si las correlaciones son muy parecidas los valores máximos también lo serán, con lo que la CD será próxima a cero. Por el contrario, si la correlación cruzada es pequeña en comparación con la autocorrelación, la CD será cercana a la unidad.

01/06/2011 32

4.4.3. Diseño de filtros.

Partiendo de los criterios de calidad se pueden diseñar filtros que los optimicen. La transmitancia de los mismos se puede conseguir mediante holografía generada por ordenador. Relación señal-ruido (SNR) Aplicando la desigualdad de Schwarz a la definición de la SNR (4-63) queda

dd,P

,G

dd,H,P

dd,P

,Gdd,P,H

dd,H,P

dd,P

,G,P,H

dd,H,P

dd,G,H

SNR

n

2

2

n

n

2

n

2*

2

n

n

n*

2

n

*

(4-67

La igualdad sólo se cumple si

,P

,GK,H

n

**

(4-68

donde K es una constante. Si la densidad espectral del ruido Pn() es constante (ruido blanco), el filtro que optimiza la señal ruido tiene una transmitancia igual al complejo conjugado de la transformada de Fourier del objeto a detectar H*()=G*(). Por eso a este filtro también se le llama filtro adaptado clásico. Así pues, el filtro de VanderLugt explicado en el apartado 4.3.2 coincide con el filtro adaptado clásico y optimiza la relación señal ruido. Eficiencia luminosa () A partir de la ecuación (4-62) y teniendo en cuenta que el módulo de la transmitancia en amplitud ha de ser menor o igual a la unidad, es decir, | H ()|≤1, la eficiencia luminosa se optimiza si se hace este módulo igual a la unidad. Este tipo de filtro se denominan filtros sólo de fase o POF (phase only filtres) [4.31] Se puede demostrar que de entre todos los filtros de fase, la distribución de fase que optimiza la SNR sería

,G

,G,H

**

(4-69

Es decir, los filtros de fase son los que optimizan la eficiencia luminosa, y dentro de ellos con el que se obtiene mejor SNR es con el filtro de fase adaptado a la transformada de Fourier del objeto a detectar.

01/06/2011 33

Relación entre el máximo y la energía en la correlación (PCE) Reordenando los términos de la ecuación (4-65) que da el valor de la PCE y aplicando la desigualdad de Schwarz se obtiene

dd

dd,G,H

dddd,G,H

dd,G,H

dd,G

,G,G,H

PCE22

22

22

2

*

(4-70

La igualdad sólo se cumple si la transmitancia del filtro es

2

**

,G

,GK,H

(4-71

Es decir, la distribución de fase es la misma que en el caso del filtro adaptado clásico y del filtro de fase, mientras que la distribución de amplitud es la inversa a la del filtro adaptado clásico [4.33].

En la Figura 4. 21 se muestra un ejemplo de los filtros óptimos mencionados anteriormente adaptados a la mariposa de la Figura 4.20 a). La transmitancia de todos ellos es compleja. La distribución de amplitud del filtro clásico, del filtro de fase y del filtro inverso se muestra en las Figura 4. 21 a) b) y c) respectivamente. La distribución de fase es idéntica para los tres (clásico, de fase, inverso). Esta distribución de fase se muestra en la Figura 4. 21 d). La distribución de fase de la TF de una escena lleva la mayor parte de la información sobre la misma [4.21], así, los tres filtros tienen la misma distribución de fase: la compleja conjugada de la fase de la TF del objeto a detectar. De esta manera, si la escena sólo contiene al objeto a detectar, detrás del plano del filtro las fases se compensan y tendremos una onda plana con variaciones de amplitud. Si se usa el filtro inverso, las variaciones de amplitud también se compensan con lo que, idealmente, en el plano de correlación se obtendría una delta de Dirac. Las correlaciones obtenidas con los filtros clásico, de fase e inverso, cuando la escena de entrada es la mostrada en la Figura 4.20 e), se muestra en las Figura 4. 21 e), f), y g) respectivamente. Con el filtro inverso la correlación es una delta de Dirac, y al utilizar el filtro de fase o el filtro clásico, el pico de correlación se va ensanchando. En la Figura 4. 21 h) se muestra la respuesta impulsional del filtro de fase (la TF del filtro). En ella se puede observar que los bordes se realzan, es decir, la silueta de la mariposa queda realzada. Esto se puede interpretar considerando que el filtro de fase realza las frecuencias altas en comparación al filtro clásico, y las zonas con saltos bruscos de intensidad contribuyen a las frecuencias altas. Algo análogo sucede con el filtro inverso.

La capacidad de discriminación (CD) definida por la ecuación (4-66) es un criterio muy importante,

pero no existe una solución analítica a este problema. Se han propuesto diferentes filtros que optimizan este criterio bajo ciertas condiciones. Por ejemplo en las referencias [4.34][4.35] se ha propuesto un método para diseñar una máscara binaria (zonas de transmisión nula) con el fin de optimizar la CD obtenida con el filtro de fase, también se ha propuesto un método para implementar este filtro en moduladores sólo de fase.

En general, cuando se optimiza un criterio de calidad se empeora otro, por eso hay propuestas en las

que se optimiza un balance entre estos criterios. [4.8]. Por otro lado, los filtros mencionados anteriormente están adaptados a un solo objeto, pero, en general, las tareas de reconocimiento suelen ser más complejas, necesitándose la incorporación de la información de todo un conjunto de objetos en el diseño del filtro. Las

01/06/2011 34

propuestas de diseños de filtros que contengan la información de un banco de objetos quedan fuera del objetivo de este capítulo. El lector interesado en el diseño de filtros o en otras propuestas para el reconocimiento de objetos por métodos ópticos puede dirigirse a las referencias [4.9][4.10][4.6][4.32].

La transmisión de los filtros diseñados será, en general, compleja y, excepto el filtro adaptado clásico

(sección 4.3.2), no se pueden obtener por métodos ópticos. Para obtener un filtro con la transmitancia deseada hay que recurrir a la holografía generada por ordenador que es el objeto de estudio del siguiente apartado.

Figura 4. 21 Distintos tipos de filtros para el reconocimiento. Transmisión en amplitud del filtro a) clásico, b) de fase, c) inverso adaptado a la mariposa de la Figura 4.20 a). d) Transmisión de fase de todos ellos. Correlaciones obtenidas con la escena de la Figura 4.20 e) y los filtros e) clásico, f) de fase y g) inverso respectivamente. h) Respuesta impulsional del filtro de fase.

4.5. Hologramas generados por ordenador.

El problema básico de la holografía consiste en el registro de una variación de amplitud compleja (módulo y fase) en un medio con una capacidad de modulación limitada: sólo amplitud, sólo fase, binario, etc. En la holografía óptica, para codificar las variaciones de amplitud y fase, se registra la interferencia entre

la onda que se quiere reproducir ,iexp,v,v , y una onda de referencia,

,iexp,r,r , ver referencias [4.2][4.4][4.26] para un estudio más detallado de la

holografía óptica. La intensidad de la interferencia viene dada por:

,,cos,v,r2,v,r

,v,r,v,r,v,r,I22

**22

(4-72

Si se considera que ,r es prácticamente constante en el plano en que se registra el holograma,

la segunda manera de escribir esta distribución de intensidad nos muestra que el registro de la amplitud

a) c)

e) f) g) h)

b) d)

01/06/2011 35

compleja se ha conseguido mediante la modulación de la amplitud y de la fase de una onda portadora (onda de referencia) Si esta interferencia se registra en un medio con transmisión de amplitud como una emulsión holográfica y si se ha utilizado en el registro una película holográfica que trabaje en la zona lineal de la transmisión de amplitud (ver Figura 4.18), la transmitancia de la película después de revelada será

,v,r,v,r,v't,t **2

0

(4-73

Al iluminar el holograma con la misma onda de referencia, la distribución de amplitud detrás del mismo será la multiplicación de la onda de referencia por la transmitancia del holograma

,t,r,b

,v,r,r',vr',r ,v't,b *22

0

(4-74

Tomando de forma adecuada la onda de referencia, utilizando, por ejemplo, una onda plana inclinada, cada

uno de estos términos se propaga en una dirección diferente. El tercer término ,vr'2

reconstruye la

onda del objeto original. En la holografía óptica la onda objeto que se quiere registrar ha de existir físicamente. Mediante la holografía por ordenador se pretende sustituir el paso de la generación del holograma mediante operaciones matemáticas. Sólo se necesita una descripción matemática de la onda objeto a registrar. Este método es útil para la generación de frentes de ondas deseados, la generación de filtros para el reconocimiento de objetos, o la síntesis de hologramas para visualización. Si se tiene la descripción matemática del objeto del que queremos calcular el holograma, mediante el ordenador se puede calcular la propagación de la onda desde el plano objeto al plano del holograma. Una vez conocida la descripción de la onda que se quiere registrar hay que pasar a la codificación para tener en cuenta las restricciones de modulación del substrato que se vaya a utilizar. Es decir la generación de un holograma por ordenador (CGH computer generated hologram) requiere básicamente dos pasos, en el primero de ellos se calcula la onda que llega del plano del holograma proveniente del objeto y en el segundo se codifica esta onda adaptándola a las capacidades de modulación del substrato que se esté utilizando. En esta sección vamos a centrarnos en el problema de la codificación. Aunque estos métodos son generales, en esta sección analizaremos la reconstrucción obtenida suponiendo que los hologramas que vamos a registrar son hologramas de Fourier, es decir, se desea codificar la transformada de Fourier de un objeto. Este es el caso de los filtros utilizados para el reconocimiento de formas explicados en la sección 4.4. Una vez registrado el CGH que contenga la información de la transformada de Fourier del objeto, se puede colocar en un procesador óptico y obtener la transformada de Fourier del CGH que será el objeto que se desea recuperar. En otra aplicación, se realizan los hologramas generados por ordenador como filtros adaptados para el reconocimiento de objetos, descrito en la sección 4.4 Los métodos de codificación dependen de la capacidad de modulación y de la resolución del substrato que se quiera utilizar. Las referencias [4.3][4.10][4.11][4.12][4.13] corresponden a libros o a capítulos de libros donde se exponen de manera general los métodos de generación de hologramas por ordenador. En este apartado veremos una panorámica de los métodos más comunes, suponiendo que el substrato puede modular sólo la amplitud, sólo la fase, o que sean binarios.

4.5.1. Interferograma. Simetrización.

En este caso supondremos que el substrato modula la amplitud. Una película fotográfica puede ser un ejemplo de este tipo de medios. Así pues, podemos implementar directamente el interferograma dado por la ecuación (4-72). En la segunda forma de escribir esta ecuación se ve que aparecen tres términos, siendo necesario únicamente el tercero, es decir, una onda portadora modulada en amplitud y fase. En el caso de la

01/06/2011 36

holografía por ordenador sólo es necesario registrar los términos que son útiles. Ahora bien, este término puede tomar valores positivos y negativos, con lo que habrá que añadir algún término que lo evite. Dos posibles formas de modular la amplitud y la fase de la onda portadora, teniendo valores positivos, son

,,cos1,v,t

,,cos,vK,t

(4-75

donde K es una constante igual al valor máximo de ,v con el fin de que la transmisión tome siempre

valores positivos. En este caso la resolución del substrato pondrá límites a la frecuencia de la onda portadora. Si suponemos que la onda de referencia es una onda plana inclinada, la distribución de fase ,

de la misma en el plano del holograma será una fase lineal: 2, . La respuesta impulsional de estos hologramas será la transformada de Fourier de su transmisión dada por (4-75). Suponiendo que la onda de referencia es plana, la respuesta impulsional queda:

xy,xVxy,xV,vTFy,xT

xy,xVxy,xVy,xy,xT*

2

*1

(4-76

Las respuestas impulsionales son muy parecidas, únicamente se diferencian en el primer término, que en T1(x,y) es una delta de Dirac, con lo que la energía está mucho más concentrada, y en T2(x,y) es una distribución de amplitud más extendida espacialmente con lo que tendrá menor intensidad. Dependiendo de la inclinación de la onda de referencia, los tres términos quedan más o menos separados. La resolución del substrato o del dispositivo gráfico utilizado para generar el holograma impondrá límites en la inclinación de la onda de referencia, ya que a mayor inclinación se tiene mayor frecuencia de la portadora.

Si lo que se va a registrar es la TF del objeto (que se supone bidimensional), la función v() es dicha TF, que es, en general una función de valores complejos. Un método para conseguir una transmitancia real es la simetrización del objeto de partida [4.10]. Si el

objeto del que se hace el holograma es tal que y,xuy,xu * (Figura 4.22), teniendo en cuenta las propiedades de simetría de la TF, su transformada de Fourier U() será real. Mediante la suma de una constante adecuada se puede conseguir que sea positiva (ver problema 4.17). Así pues, para codificar este holograma el precio que pagamos es el espacio útil en el plano de reconstrucción, ya que la reconstrucción de este holograma contendrá la imagen que se pretende obtener, y su imagen simétrica. Nótese que este método es equivalente al holograma t1() de la ecuación (4-75) suponiendo que la onda de referencia es una onda plana inclinada.

4.5.2. Kinoform.

Como se ha comentado anteriormente, mediante la holografía por ordenador se pretende registrar la información de una onda, en general compleja: a()exp[i()]. Supongamos que el substrato en el que se quiere registrar el holograma es un medio de fase. Una alternativa para codificar la onda es perder la información de la amplitud y registrar sólo la fase () de la transformada de Fourier del objeto. En este caso la respuesta impulsional del holograma contendrá una versión con los bordes realzados. Esto es lo que

Figura 4.22 Ejemplo de simetrización de la función

01/06/2011 37

se registraba en el filtro sólo de fase para el reconocimiento de formas (ver Figura 4. 21h). Otra alternativa es registrar la siguiente función de fase [4.14]:

,,cos,'a,1

(4-77

donde habrá que calcular la distribución a’() necesaria para poder recuperar la onda objeto deseada. La transmitancia de fase se puede descomponer como la suma de una serie de funciones de Bessel Jn de diferentes órdenes como

,ncos,'aJb,iexp,iexpn

nn1

(4-78

Cada uno de los términos del sumatorio se puede considerar como un orden diferente de difracción. Si es una fase lineal, en la respuesta impulsional de este filtro cada orden quedará desplazado una distancia

diferente. Imponiendo que ,v,'aJn , se reconstruye la onda original en el orden cero[4.15].

Otra posibilidad de codificar una función compleja a()exp[i()] en un substrato de fase es

registrar la siguiente función de fase[4.22][4.23]:

,,'iaexp,T

(4-79

donde habrá que obtener la distribución a’() para recuperar la función deseada. Suponiendo que los valores de la amplitud a() están en el intervalo [0,1] y que la fase i() está en el intervalo [-], la transmisión T() se puede desarrollar en serie

,'an

,'ansin,T

,inexp,T,T

n

n

n

(4-80

Haciendo

,a,'a1

,'a1sin, en el primer orden de difracción se recupera la función original. El

precio que se paga en todas estas codificaciones es la aparición de diferentes órdenes de difracción, en principio superpuestos. Éstos se pueden separar mediante la adición de una fase lineal o una fase cuadrática a la fase original, con lo que los diferentes órdenes de difracción aparecerán desplazados lateralmente (con fase lineal) o a lo largo del eje, es decir desenfocados, (con fase cuadrática) [4.36].

01/06/2011 38

4.5.3. Holograma de fase de desvío.

La primera propuesta para realizar un holograma generado por ordenador fue realizada por Brown y Lohmann [4.16]. Se supone que el substrato es binario de amplitud o bien que es un substrato de amplitud en el que sólo se utilizan dos niveles: opaco/transparente. Para codificar una función compleja se utilizan los grados de libertad de la resolución espacial. La superficie del holograma se divide en celdillas de dimensiones () en la dirección horizontal y vertical, de tal manera que la transmitancia compleja de cada píxel del holograma discreto calculado se codifica en una celdilla (ver Figura 4. 23a). En cada una de las celdas se dibuja un rectángulo con un área proporcional a la amplitud y un desplazamiento respecto al centro proporcional a la fase o argumento de los valores complejos a codificar (ver Figura 4. 23a). En la celdilla representada en la parte derecha de esta figura el rectángulo se representa en negro. Wjk y Hjk representan las dimensiones del rectángulo y Pjk y Qjk representan los desplazamientos del rectángulo respecto al centro de la celdilla en las direcciones horizontal y vertical respectivamente. La idea gráfica del método de codificación se muestra en la Figura 4. 23b. Supongamos que tenemos una red de difracción de periodo que se ilumina con una onda plana perpendicular a la red, el primer máximo de difracción aparece formando un ángulo tal que sen()=. Si en el plano de la red se desplaza una apertura a una distancia respecto a la posición que le correspondería en la red periódica, la fase asociada será:

sen2 .

A continuación vamos a desarrollar las expresiones que nos darán la respuesta impulsional de este

holograma con el fin de relacionar la amplitud y fase de la función que se quiere codificar con las dimensiones de los rectángulos a dibujar y sus desplazamientos respecto al centro de la celdilla. Analizaremos el caso particular en el que la anchura del rectángulo Wjk es fija e igual a W y el desplazamiento en la dirección vertical Qjk es igual a cero.

Sea f(x,y) la función a la que se quiere adaptar el holograma de Fourier, es decir, se quiere registrar

en el holograma la TF de f(x,y). El método habitual para calcular dicha TF es mediante los algoritmos de transformada de Fourier rápida que implementan la TF discreta, dada por la ecuación (B-28). Para ello, primero se muestreará la función original en una serie de MxN puntos equiespaciados (x,y): fm,n=f(mx, ny), y se calculará su TF discreta

1M

0m

1N

0n

N

nk

M

mj2i

n,mk,j efF ,

(4-81

Celdilla del holograma

Plano del holograma

Dirección de la reconstrucción de la imagen

Eje óptico del sistema de reconstrucción del holograma

Diferencia de fase

senHjk

Pjk

Qjk

Wjk

a) b)

Figura 4. 23 a) estructura del holograma de Lohmann. b) dirección de reconstrucción del holograma

01/06/2011 39

que es la función que se quiere registrar en el holograma. La superficie del holograma se dividirá en MxN celdillas de dimensiones (). En cada una de ellas dibujaremos un rectángulo de anchura W y altura Hjk, desplazado respecto al centro de la celdilla una distancia en la dirección horizontal Pjk. Así, la transmitancia de una celdilla vendría dada por

jk

jkjk H

krect

W

jPrect,c .

(4-82

Para diseñar el holograma tendremos que relacionar los parámetros Hjk, Pjk con el módulo y fase de Fjk=| Fjk|exp[i2jk]. Si se quiere reconstruir la función original fmn en el primer orden de difracción esta relación es la siguiente: Hjk=| Fjk|, Pjk=jk. La transformada de Fourier de la celdilla será

ykxj2ixP2ijkjkjk eeyHsinc xWsinc WHy,xc jk ,

(4-83

con lo que la TF del holograma completo vendrá dada por:

ykxj2iM

0j

N

0k

xP2ijkjk eeyHsinc xWsinc WHy,xc jk

.

(4-84

Con el fin de ver la relación existente entre esta reconstrucción y la función muestreada original, es necesario muestrear la reconstrucción en puntos separados (x,y): cmn=c(mx,ny), y teniendo en cuenta que x=1/M, y=1/N se obtiene:

M

0j

N

0k

N

kn

M

jm2i

M

mP2ijk

jkmn eeN

nHsinc

M

Wmsinc WHc

jk

.

(4-85

Se quiere obtener la reconstrucción de la función original en el primer orden de difracción en la dirección horizontal que se da en mM, n0, con lo que si hacemos esta aproximación, las funciones sinc se simplifican quedando

jkjk P2iM

mP2ijk ee ,1

N

nHsinc ),Wsinc(

M

Wmsinc

(4-86

La primera función sinc tiene un valor máximo cuando W=1/2. En este caso, la reconstrucción del holograma completo vendrá dada por

j k

N

kn

M

jm2i

P2ijkmn eeH

2

1c jk

(4-87

Vemos que con esta aproximación (puntos cercanos al orden 1) se reconstruye la transformada de Fourier de la función Hjk exp[i2Pjk] =| Fjk|exp[i2jk] = Fjk, que es la función que se quería codificar.

01/06/2011 40

4.5.4. Interferograma binario.

Como hemos visto en el apartado 4.5.1, se puede evaluar un interferograma entre la onda a registrar y una onda de referencia. Si la referencia es una onda plana, la transmisión del holograma debería ser

,2cos,AK,t

(4-88

Esta transmisión se podría codificar en un medio que pudiera reproducir tonos de grises. Si el medio es binario, se puede codificar una aproximación de este interferograma, binarizando la expresión (4-88) [4.20]. A continuación exponemos métodos de binarización de manera que quede registrada la información tanto de la amplitud como de la fase.

Primero vamos a ver cómo afecta la binarización a una onda sinusoidal, tal y como se muestra en la Figura 4. 24. En esta figura se muestra un diagrama de bloques que representa esta operación. La función de entrada es cos(2z-) a esta función se le aplica un valor umbral c, es decir, todos los valores por encima de c se hacen iguales a uno y el resto se hacen igual a cero. El resultado de la operación, h(z), es una función almena de anchura q tal que c=cos(q). En la Figura 4. 24 b) se representa la función sinusoidal original y la función almena resultante, junto con todos los parámetros que intervienen. Esta función almena la podemos desarrollar en serie de Fourier dando como resultado[4.2]:

m

z2imem

qmsinzh

(4-89

A continuación se expone el caso general en el que la función de entrada es cos(2) y el valor umbral c=cos(q) varía con las coordenadas tal y como se muestra en la Figura 4.25, la función h() a la salida será, por analogía a la ecuación (4-89), la siguiente:

m

,2imem

,qmsin,h

(4-90

0 c=cos(q) E

S

1 cos(2z-) h(z) c

q

2z

a) b) Figura 4. 24 a) Función de binarización independiente de la coordenada. b) Binarización de una función sinusoidal.

0 c=cos(q())

E

S

1 cos(2-) h()

Figura 4.25 a) Función de binarización dependiente de la coordenada.

01/06/2011 41

Esta expresión la podemos interpretar como formada por diferentes órdenes, uno de los cuales nos va a reproducir la función compleja original. En efecto, si hacemos ,qsin,A , entonces el orden

m=-1 queda proporcional a 2i,i ee,A . La fase lineal adicional hará que los diferentes órdenes de

difracción aparezcan separados espacialmente una distancia proporcional a . Para encontrar los puntos del interferograma que deben hacerse igual a 1 se tiene que aplicar la siguiente condición

,qk2,2,q,qcos,2cos

(4-91

donde k es un número entero. En este método se codifica la amplitud y la fase a lo largo del mismo eje x, se controla la amplitud horizontal y la posición de las franjas.

Otro método posible sería el codificar la amplitud y la fase en direcciones diferentes, tal y como se muestra en la Figura 4.26. Las funciones h1() y h2() se pueden escribir de la siguiente manera

m

,2im2

n

2in1

em

qmsin,h

en

,Ansin,h

(4-92

Con lo que en el orden n=0, m=-1 se obtiene 2i,i ee,A,h,h,( h que es la

función que se quería codificar, multiplicada por una fase lineal que produciría un desplazamiento en la reconstrucción.

4.5.5. Descomposición en componentes ortogonales y no ortogonales.

En los hologramas de fase de desvío, la fase se codifica mediante el desplazamiento lateral de la apertura dentro de la celdilla. Así pues, estamos utilizando resolución espacial para codificar el número complejo. Los niveles de fase que se pueden codificar dependerán del número de posibles posiciones de la apertura dentro de la celdilla. Cuando no se dispone de mucha resolución y se puede codificar en tonos de gris, una alternativa es la descomposición del número complejo en componentes ortogonales o no ortogonales reales y

positivas. En la Figura 4. 27 Se muestra cómo se puede descomponer cualquier número complejo como la suma de cuatro números reales y positivos con fases 0, 90, 180, y 270 grados [4.17]. Así pues, si la celdilla la dividimos en cuatro secciones, y la dirección de reconstrucción es tal que sin =, las fases

0 c2=cos(q)

E

S

1 cos(2-) h2()

0 c1=cos(A())

E

S

1 cos(2) h1()

h()

Figura 4.26 Binarización del interferograma con control de amplitud.

ere

ere

eim eim

v()

ere eim eim ere

Figura 4. 27 Descomposición de un número complejo como suma de cuatro reales positivos.

01/06/2011 42

correspondientes a cada uno de los rectángulos es el deseado. En cada uno de estos rectángulos la transmisión debe ser proporcional a

imim

___

imrere

___

reimimimrerere vv2

1e ,vv

2

1e ,vv

2

1e ,vv

2

1e

(4-93

Todavía se pueden reducir los grados de libertad espaciales necesarios, tal y como se muestra en la Figura 4. 28. El número complejo v se puede descomponer como suma de tres números reales y positivos desfasados 0, 120 y 240 grados [4.18]. La descomposición no es única. Una posibilidad es

3/2i3/2i2

3/2i3/2i1

0

2402

1201

00

e*vvev

e*vvev

*vvv

donde

evevevv

(4-94

Análogamente al caso anterior, la dirección de reconstrucción es tal que sin =

4.5.6. Método iterativo. Proyección sobre las restricciones.

Como se ha visto hasta ahora, la reconstrucción del holograma nunca puede ser perfecta debido a la limitada capacidad de modulación del substrato. Así pues, en la generación del holograma nunca podremos imponer una reconstrucción exacta en todo el plano de reconstrucción, ya que tenemos que sacrificar algún grado de libertad para poder codificar la función. Estos grados de libertad pueden ser espaciales (sólo imponemos restricciones en una zona del plano de la reconstrucción, dejando que el resto evolucione libremente), o del tipo de función que controlamos (por ejemplo sólo se imponen restricciones sobre el módulo, o sobre todo el valor complejo, amplitud y fase). Existen una

serie de métodos iterativos que tienen en cuenta estas restricciones, tanto en la reconstrucción como en la modulación del substrato. Un esquema se muestra en la Figura 4. 29). Se parte de una función original Mei. Se calcula su transformada de Fourier mei. A continuación se imponen las restricciones sobre la modulación del substrato, proyectando este valor complejo sobre el valor más cercano que pueda realizarse físicamente m’ei’. Por ejemplo si tenemos un substrato de fase se haría m=1. Se calcula la reconstrucción mediante la transformada de Fourier inversa M’ei’. Se imponen las restricciones sobre la reconstrucción, tanto espaciales como del tipo de función, obteniéndose la nueva función Mei. El proceso se repite hasta que el error en la reconstrucción sea menor que un cierto valor, o hasta que el proceso se estanque (no disminuya el error).

M(x,y)ei(x,y)

m(u,v)ei(u,v) m’(u,v)ei’(u,v)

M’(x,y)ei'(x,y)

TF TF-1

Proyección sobre restricciones de modulación

Proyección sobre restricciones en lareconstrucción

Entrada

Salida

Figura 4. 29 Método iterativo para la codificación de hologramas basado en la proyección sobre las restricciones en ambos dominios.

e120

e0

v()

e240

e0 e240e120

Figura 4. 28 Descomposición de un número complejo como suma de tres reales positivos.

01/06/2011 43

4.5.7. Cálculo directo

En los métodos de cálculo directo se intenta determinar de una manera directa cuál debe ser la transmisión del holograma para que en una zona del plano de reconstrucción determinada se obtenga la función deseada [4.19]. Supongamos que el holograma está compuesto de rectángulos de anchura () cada uno con una transmisión ars, la transmisión del holograma será

r s

rs

srect

rrecta,c

(4-95

La reconstrucción del mismo vendrá dada por

r s

ysxr2irseaysinc xsinc y,xC

(4-96

Se optimiza algún criterio de calidad, basado en la reconstrucción obtenida, variando los valores ars, siempre dentro de las capacidades de modulación del substrato.

4.6. Teoría difraccional de la formación de la imagen óptica.

En óptica geométrica se hace el estudio de la formación de imágenes por instrumentos ópticos,

considerando incluso el caso real de instrumentos aberrantes, pero siempre suponiendo la propagación rectilínea de la luz.

Sin embargo, en la formación de la imagen interviene también el carácter ondulatorio de la luz.

Debido a las dimensiones finitas de las aberturas de los instrumentos, el frente de onda es interceptado, poniéndose de manifiesto el fenómeno de la difracción, que no puede ser explicado con la teoría de la propagación rectilínea de la luz siendo necesario para su razonamiento tener en cuenta el carácter ondulatorio de la misma.

Estos dos fenómenos: aberraciones y difracción intervienen conjuntamente en la calidad de la

imagen y los tendremos en cuenta a lo largo de este capítulo par realizar un estudio completo de la formación de la imagen óptica y de la calidad de los instrumentos. Estudio que ha sido posible gracias a la introducción de la transformada de Fourier en Óptica.

4.6.3. Imagen de un objeto puntual

En primer lugar, estudiaremos el caso más sencillo que es la formación de un objeto puntual y del

que partiremos para estudiar objetos extensos. Consideremos un sistema óptico centrado (Figura 4. 30) y un punto objeto O, emisor de luz

monocromática, que para simplificar cálculos, vamos a suponer en el eje del sistema. El razonamiento sería análogo si O fuera extra-axial.

01/06/2011 44

Figura 4. 30 Imagen de un objeto puntual O a través de un sistema óptico.

En la Figura 4. 30, O’ es la imagen paraxial de O. Debido a las aberraciones y a la difracción, la imagen del objeto puntual O no es otro punto, sino una mancha de luz que se extiende en el plano imagen alrededor de O’. Para hallar la distribución de intensidad luminosa en esta figura de difracción de imagen de O, elijamos un punto genérico cualquiera Q(x’,y’,R) del plano imagen y obtengamos, mediante la integral de Kirchhoff (Cita ¿?) el valor de la amplitud compleja en el punto Q, en función de sus coordenadas (x’,y’). Tenemos como esfera de referencia aquella que pasando por E’ (pupila de salida) tiene su centro en O’. Debido a la abertura finita del instrumento esta superficie es sólo activa en el casquete de superficie S, limitado por la pupila de salida, se cierra por una superficie esférica de radio ∞ y por el plano de la pupila. En esos puntos E=0 luego la amplitud compleja en Q es:

S

'ikRB

B

'ikRQ dSe

'R

1

NE

N

Ee

'R

1

4

1E

(4-97

Siendo B un punto genérico de la superficie de referencia. El frente de onda a la salida del instrumento, si éste es aberrante, no coincide con la superficie de referencia, pero podemos considerar que el campo eléctrico EB sobre la esfera y el campo E0 sobre el frente de onda difieren sólo en fase, pero no en módulo, luego: EB=E0e

ikW donde k=2 y W es la aberración de onda del rayo que pasa por B. Si la aberración angular no es grande, W se puede igualar al producto del índice por la distancia, desde la esfera de referencia S al frente de onda , medida sobre el radio BO’, en lugar de medirla sobre el rayo, y tomada como positiva en la dirección de propagación de la luz. Como la normal se toma hacia fuera, la variación del campo en la dirección de la normal es

BB

ikEN

E

. Por otra parte,

'dR

d'NRcos

dN

d

(4-98

'ikR2

'ikR e'R

ik

'R

1e

'R

1

'dR

d

(4-99

O

Plano Objeto

Pupila de Entrada

Frente de Onda

Sistema Óptico

Pupila de Salida

Plano Imagen

E O’(0,0,R)

Q(x’,y’,R)

E’

S

R

R’

R

z

y

NR

B(’,’,’) u

01/06/2011 45

Al ser R’>>, 'Rk'R1 2 y se puede despreciar el primer sumando frente al segundo. Además, para cualquier punto Q del plano imagen, en que la amplitud sea significativamente distinta

de cero, la distancia QO’ es pequeña frente a R’ luego 1'NRcos

. Sustituyendo estas expresiones en

(4-97) queda

S

'ikRB

S

'ikRB

S

'ikRBB

'ikRQ

dSe'R

EidSeE

'R

1

2

ik

dSe'R

ikEjkEe

'R

1

4

1E

(4-100

donde EB es la amplitud compleja en los puntos de la esfera de referencia, que se expresa en función de las coordenadas (’,’) del punto B respecto a los ejes que pasan por el plano de la pupila de salida. La distancia R’ depende también de las coordenadas de Q y de B, luego vamos a escribir todo en función de estas coordenadas. Teniendo en cuenta la figura:

2

22

2222

22222222

2222

R

'y'x

R

''y''x21R'y'x''y2''x2R

'R''y2''y''x2''x'R''y''x'R

R''R

(4-101

y por el desarrollo en serie:

...R

'y'x

2

1

R

''y''xR'R

22

(4-102

despreciamos las potencias de orden superior que van decreciendo rápidamente. Por otra arte, como la amplitud varía muy lentamente se puede escribir en (4-100) 'R1R1 y la expresión (4-100) queda en la forma

'N

ddeEe

R

eiE R

''y''x2i

B,y,xi

ikR

Q

(4-103

donde

R2

'y'x2)'y'x(

22

(4-104

N’ es el coseno director de BO’ respecto al eje óptico, luego el mínimo valor de N’ es cos ’, siendo ’ la semiabertura aparente. Si se puede tomar cos ’=1 queda N’=1. Esta condición no es muy restrictiva, pues aún tratándose de un instrumento de abertura f/1, tg ’=1/2, cos ’0.9.

01/06/2011 46

Los receptores ópticos, por ej. El ojo, son generalmente sensibles a la intensidad y por lo tanto al módulo al cuadrado del campo eléctrico. Luego teniendo en cuenta que los términos de fase no intervienen se se van a calcular intensidades y limitándonos a obtener valores relativos, podemos prescindir del factor que aparece en (4-103) delante de la integral. Con el fin de que la integral quede en la forma de una expresión matemática conocida, cual es la transformada de Fourier, hagamos el siguiente cambio de variables para las coordenadas de los puntos de la esfera de referencia

'd'dR'd'd ,R

'' ,

R'

' 2

(4-105

’ y ’ representan los cosenos directores de la recto O’B. La intensidad en Q queda:

'd'deE'y,'xE

'y,'xE'y,'xD

''y''xikB

2

(4-106

Según esta expresión, la distribución de intensidades en la figura de difracción imagen de un punto objeto teniendo en cuenta la difracción y aberraciones, viene dada por el cuadrado del módulo de la transformada de Fourier de la función que expresa la distribución del campo eléctrico en los puntos de la esfera de referencia, limitada por la pupila de salida. Esta función EB se puede expresar en función de las coordenadas de B

','ikW0B eE','fE

(4-107

donde E0=constante si la amplitud del campo eléctrico es uniforme sobre el frente de onda, o bien si el instrumento tiene transmisión uniforme. W(’’) es la aberración de onda y se obtiene por trazado de rayos a partir de los datos del sistema óptico. Si W(’’)=0 se trata del instrumento perfecto y la figura de difracción que resulta es el disco de Airy, que ya fue obtenido en el caso de difracción por una abertura circular.

4.6.4. Formación de imágenes de objetos extensos. Iluminación incoherente.

Hasta ahora hemos estudiado la imagen de un objeto puntual, pero generalmente los instrumentos

ópticos están destinados a la observación de objetos extensos por lo que vamos a extender el estudio a la formación de las imágenes de estos objetos.

El objeto extenso se puede considerar constituido por infinitos puntos, obteniendo su imagen

completa por superposición de las imágenes de dichos objetos puntuales. Vamos a distinguir dos casos fundamentales. Primero, cuando la luz procedente de los diversos puntos del objeto es incoherente, bien porque son puntos emisores que no presentan ninguna relación entre sus fases, o porque se trata de un objeto iluminado por una fuente extensa. En este apartado queda incluido gran número de instrumentos ópticos, tales como objetivos fotográficos, instrumentos astronómicos, etc., en condiciones normales de trabajo. Para obtener la imagen total bastará sumar en cada punto del plano imagen las intensidades que producen en él todos los puntos del objeto.

01/06/2011 47

Segundo, cuando la luz procedente de los diversos puntos del objeto es perfectamente coherente, bien por haber sido iluminado por una fuente puntual (caso de iluminación coherente en el microscopio) o por tratarse de un objeto iluminado por un láser. En este caso habría que sumar en cada punto del plano imagen las amplitudes con que contribuyen a él todos los puntos del objeto, ya que al ser coherente la luz procedente de ellos puede interferir.

En el caso intermedio de iluminación parcialmente coherente, la formación de la imagen dependerá

del grado de coherencia existente entre los puntos del objeto.

Figura 4. 31 Imagen de un objeto puntual P0 a través de un sistema óptico.

En primer lugar vamos a considerar el caso de iluminación incoherente. Consideremos un sistema

óptico (Figura 4. 31) que forma, en el plano (x’,y’), la imagen del plano objeto (x,y), siendo O y O’ puntos conjugados en la aproximación de Gauss. Como ya hemos visto, la luz procedente de O, no se concentra en O’, sino que se extiende alrededor de O’, siendo la distribución de intensidad en la imagen D(x’,y’) (4-106). Si las aberraciones del instrumento no varían rápidamente con el campo, lo que generalmente ocurre en caso de instrumentos algo corregidos (condición de isoplanatismo), hay una zona del objeto alrededor de O, para la que se puede suponer que la imagen de cualquier otro punto P0(x0,y0), será la misma figura de difracción, trasladada al origen P’0(x’0,y’0) que es la imagen paraxial de P0. Si g es el aumento lateral, x’0=gx0, y’0=gy0, la función de distribución de intensidad de la imagen de P0 es D(x’-gx0, y’-gy0), o bien haciendo en el plano objeto el siguiente cambio en la escala de coordenadas : x=gx0, y=gy0 para simplificar la notación, queda D(x’-x, y’-y).

Para obtener la distribución de intensidades en el plano imagen, tomemos un punto genérico

P’(x’,y’) y calculemos cual es la contribución en él de todos los puntos del plano objeto. Si la distribución de intensidades en el objeto viene representada por la función O(x,y), el elemento dx dy centrado en el punto (x,y) contribuirá al punto (x’,y’) que es un punto cualquiera del plano imagen, con un valor de intensidad que será O(x,y)D(x’-x, y’-y)dxdy, y si sumamos la contribución de todo el objeto en el punto (x’,y’) quedará como valor de la intensidad total en este punto

objeto

dxdyy'y,x'xDy,xO'y,'xI

(4-108

Luego la intensidad en el plano imagen es la integral de convolución de la distribución de intensidad en el objeto por la función que da la figura de difracción de un solo punto objeto. El significado de esta integral de convolución (Figura 4. 32) es que la función D(x’,y’) se va desplazando modulándose por O(x,y) y en cualquier punto del plano imagen se suman las contribuciones

O

Sistema Óptico P0(x0,y0)

O’ x

y

x’

y’

P’0(x’0,y’0)

P’(x’,y’)

O(x,y)

D(x’-x,y’y)

Figura 4. 32 Interpretación de la imagen de un

objeto extenso como una integral de convolución.

01/06/2011 48

de todas las intensidades correspondientes a las imágenes de los puntos del objeto. Estrictamente hablando todos los puntos del objeto contribuirían al punto (x’,y’) del plano imagen, pero solamente aquellos cuyas imágenes paraxiales estén próximas a (x’,y’), por lo tanto dentro de la región de isoplanatismo, tienen figuras de difracción con valores de D(x’-x, y’-y) apreciablemente diferente de cero.

Transmisión de frecuencias espaciales en iluminación incoherente. Función de transferencia. Si consideramos un objeto plano normal al eje, la distribución de intensidad en el objeto es, en general, una función de dos variables, pero fijado un punto y por él una recta definida por el ángulo que forma con el plano meridiano, podremos representar la intensidad emitida por los puntos de esa recta por una función de una sola variable, la distancia medida sobre ella a un origen fijado. El desarrollo de la transformada de Fourier permite expresar una función cualquiera de una variable mediante la suma o integral de infinitas funciones sinusoidales de diferentes frecuencias y amplitudes.

Aplicando, en general, la teoría de la transformada de Fourier de funciones de dos variables a la función de la intensidad del objeto, se puede representar ésta por una doble suma de infinitas funciones sinusoidales, cada una de ellas corresponde a una variación sinusoidal en una dirección dada y está caracterizada por su orientación , su frecuencia espacial, entendiéndose por tal la inverso de la distancia que separa dos máximos, su amplitud, que está relacionada con el contraste entre máximos y mínimos y por su fase, correspondiendo una variación de fase a una translación de los máximos y mínimos, según la dirección dada por . Cada una de estas componentes representa una variación periódica sinusoidal cuyos máximos y mínimos son líneas perpendiculares a la dirección dada por (ver Figura 4. 33). Proyectando la frecuencia s sobre los ejes, sus coordenadas son: u=s sen , v=s cos y, mediante el análisis de Fourier, O(x’,y’) se puede expresar en la forma

dudvev,uoy,xO vyux2i

(4-109

donde o(u,v) es la amplitud de la componente de frecuencia espacial s y orientación , relacionadas con u y v por

v

utg ,vus 22

(4-110

o(u,v) es a su vez la transformada de Fourier del objeto

dxdyey,xOv,uo vyux2i

(4-111

1/s

1/u

1/v

x

y

Figura 4. 33 Función sinusoidal representando una de

las componentes de una función.

01/06/2011 49

Variando u y v se hallan mediante (4-111) las componentes periódicas del objeto. Cada una de estas componentes sinusoidales del objeto se transmite a la imagen, con su amplitud modificada. La suma de todas ellas en el plano imagen da la imagen total del objeto. Efectivamente, realizando el mismo análisis en la distribución de intensidades en el plano imagen,

dxdye'y,'xIv,ui 'vy'ux2i

(4-112

De la expresión (4-108), y teniendo en cuenta que la transformada de Fourier de la integral de convolución de dos funciones es igual al producto de las transformadas de Fourier de dichas funciones se obtiene

v,uov,udv,ui

(4-113

siendo

dxdye'y,'xDv,ud 'vy'ux2i

(4-114

la transformada de Fourier de la figura de difracción D(x’,y’) de un solo punto objeto. Al considerar la intensidad del objeto descompuesta en suma de funciones periódicas sinusoidales, vemos que cada una de estas componentes espaciales aparece en la imagen con una amplitud igual a la que tenía en el objeto multiplicada por un coeficiente complejo d(u,v) que se llama factor de contraste o función de transferencia (Optical Transfer Function) la cual, dependiendo del instrumento, es función, en general, de la frecuencia espacial considerada y de su orientación. La función de transferencia indica cómo transmite el sistema óptico cada una de las componentes periódicas del objeto a la imagen, dando una información mucho mayor acerca del instrumento que la obtenida por criterios clásicos de poder separador, hasta ahora utilizados. Es por ello una herramienta utilísima hoy día tanto en el cálculo de sistemas, como en los estudios de calidad y comportamiento de los instrumentos ópticos. De allí el interés de calcular d(u,v) a partir de los datos del sistema. Se puede calcular d(u,v) por una doble transformada de Fourier de la función que da la distribución del campo eléctrico en la esfera de referencia. Pero resulta más sencillo aplicando las propiedades del análisis de Fourier calcular d(u,v) directamente a partir de f(’,’):

'dy'dxe'y,'xEv,ud

'y,'xE'y,'xE'y,'xD

'vy,'ux2j2

*

(4-115

y sustituyendo la expresión de E(x’,y’) se obtiene:

'd'd2

v',

2

u'f

2

v',

2

u'fv,ud *

(4-116

habiendo un valor límite de s:

'2

slímite

(4-117

01/06/2011 50

a partir del cual M(s) se hace nula y las componentes espaciales correspondientes, a frecuencias mayores, aunque estén en el objeto, no aparecerán en la imagen (ver Figura 4. 34). El instrumento se comporta como un filtro lineal de frecuencias espaciales que deja pasar las bajas frecuencias hasta el valor límite, a partir del cual ya no transmite. Para tener una idea del orden de magnitud de esta frecuencia límite diremos que en un sistema F/5 y =0.5 m queda 2’/=slímite=400 líneas/mm. Si se recuerda que se está trabajando en coordenadas reducidas, el valor de la frecuencia límite en el plano objeto es

2g'2

sgs real.ob

(4-118

En el caso real, de instrumento aberrante, W≠0, la frecuencia límite sigue siendo la misma, 2’/=slímite, como

se deduce de (4-116) ya que corresponde a aquel valor de s para el que los círculos de la Figura 4. 34 No presentan área común. También M(0)=1 igual que en el caso del instrumento perfecto porque en el integrando de (4-116) queda ff*=1 y d(0,0)=2. Para las frecuencias intermedias, decrece el valor del módulo de la función de transferencia

v,ud'd'd2v

',2u

'f2v

',2u

'f

'd'd2v

',2u

'f2v

',2u

'f

'd'd2v

',2u

'f2v

',2u

'fv,ud

perfecto*

*

*

(4-119

En el sistema real aberrante, la función de transferencia puede depender de la orientación y del valor de la frecuencia, luego, fijando una dirección , podemos escribir la función de transferencia en función del módulo de la frecuencia espacial. De la expresión anterior queda para los sistemas aberrantes

sdsd perfecto . Es decir, los instrumentos

aberrantes son menos fieles que el instrumento perfecto en la transmisión de frecuencias del objeto a la imagen (ver Figura 4. 35). Hemos visto en lo que antecede que la introducción de la transformada de Fourier en la Óptica ha permitido el estudio de la influencia conjunta de las

aberraciones y la difracción en la formación de imágenes, llegándose a una expresión sencilla de la relación existente entre la imagen y el objeto, cuando éste está iluminado incoherentemente. Conocida la función de transferencia del sistema óptico, que es independiente del objeto, se sabe con toda exactitud cómo se modifica por el factor d(u,v) la amplitud y la fase de la componente periódica del objeto de frecuencia

22 vus y orientación uvtg , al pasar a la imagen y mediante esta operación se puede hallar la

imagen completa por adición de todas las componentes espaciales.

’

-u , - v 2 2

’

u , v 2 2

Figura 4. 34 Interpretación gráfica del cálculo de la función

de transferencia

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Perfecto

Aberrante

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Perfecto

Aberrante

Figura 4. 35 Función de transferencia para el

sistema perfecto y un sistema aberrante.

01/06/2011 51

Como ya hemos mencionado anteriormente, la función de transferencia da una información mejor y más significativa acerca del comportamiento y calidad del sistema óptico que la obtenida por los criterios clásicos de poder separador. Éstos únicamente dan idea de valores límites, así el criterio de Lord Rayleigh indica la mínima distancia a la que pueden situarse dos puntos en el objeto para que se vean separados en la imagen: 2/22.1 , pero no da idea de cómo se transmitirá el objeto en general. En cambio, la función de transferencia no sólo da un valor límite de frecuencia transmitida, sino que nos informa también del comportamiento del instrumento para las frecuencias intermedias que en muchos casos son las más significativas.

Para poder dar un criterio de calidad del instrumento basándonos en la función de transferencia conviene fijar primero la zona de frecuencias espaciales en que va a trabajar el instrumento ya que si se comparan los sistemas A y B cuyas funciones de transferencia aparecen en la Figura 4. 36, se ve claramente que el sistema A será mejor para las frecuencias bajas, mientras que el sistema B se comporta mejor que el A en las frecuencias más próximas al valor límite. En general, al corregir un instrumento siguiendo del criterio de la función de transferencia, no se le exige que ésta sea lo más próxima posible a la del instrumento perfecto en toda la zona de frecuencias transmitidas, criterio que es muy exigente en la mayoría de los casos, sino que basta para

muchos problemas particulares, que se haga máxima la función de transferencia en la zona de frecuencias en las que va a trabajar el instrumento. La función de transferencia nos indica el comportamiento del sistema par una zona del objeto en que suponíamos que se cumple la condición de isoplanatismo. Para efectuar un estudio completo del sistema si va a trabajar en eje y fuera de eje (cámaras fotográficas, etc.) hay que calcular la función de transferencia para diversos ángulos de campo, escribiéndola en cada uno de ellos como función de la frecuencia espacial y de la orientación de ésta, teniendo de este modo una panorámica completa del comportamiento del instrumento.

4.6.5. Formación de imágenes de objetos extensos. Iluminación coherente.

Al contrario de la hipótesis precedente, vamos a suponer ahora que el objeto está iluminado por una fuente pequeña o por un láser y que las vibraciones emitidas por los diversos puntos del objeto son perfectamente coherentes. Para conocer la iluminación en un punto cualquiera del plano imagen hay que sumar las amplitudes complejas procedentes de cada punto objeto, teniendo en cuenta la fase, y no se suman las intensidades directamente como se hacía en el caso anterior, porque en este caso de iluminación coherente, las perturbaciones procedentes de los puntos del objeto interfieren entre sí en el plano imagen.

Siguiendo un razonamiento análogo al anterior, siendo E(x’-x,y’-y) la amplitud compleja en un

punto cualquiera (x’,y’) del plano imagen producida por el objeto de coordenadas reducidas (x,y) emitiendo con amplitud unidad, y llamando (x,y) al factor de transmisión del objeto, que puede ser complejo si éste introduce variaciones de fase de unos puntos a otros, la amplitud total en el punto (x’,y’) debida a todos los puntos del objeto, suponiendo que se cumple la condición de isoplanatismo, es:

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Perfecto

B

A

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Perfecto

B

A

Figura 4. 36 Función de transferencia para diferentes sistemas

01/06/2011 52

objeto

dxdyy,xy'y,x'xE'y,'xA

(4-120

Es decir, la amplitud en el plano imagen viene dada por la integral de convolución de la función de amplitud del objeto y la distribución de amplitud en la figura de difracción de un solo punto objeto. Con iluminación coherente el sistema óptico es lineal en cuanto a las amplitudes complejas, pero no lo es en cuanto a las intensidades, ya que I(x’,y’)=|A(x’,y’)|2.

Para estudiar el filtrado de frecuencias espaciales, apliquemos la transformada de Fourier en los dos

miembros de la ecuación (4-120) y se obtiene

v,uv,uev,ua

(4-121

siendo a(u,v) el análisis armónico de la distribución de amplitudes en el plano imagen, (u,v) el análisis armónico de las amplitudes del objeto y e(u,v) la función de transferencia del instrumento cuando trabaja con iluminación coherente, ya que nos da la modificación que sufre cada componente sinusoidal al pasar del objeto a la imagen. Hemos visto por un lado que e(u,v) es la transformada de Fourier de E(x’,y’) la cual a su vez es la transformada de la función f(’,’), luego

v,uf'd'dv'

,u'

','f

'dy'dxe'd'de','f

'dy'dxe'y,'xEv,ue

'vy'ux2i'y''x'

2i

'vy'ux2i

(4-122

De aquí que la función de transferencia en el caso de iluminación coherente viene dada por la misma expresión matemática que la distribución de amplitudes (debida a un solo punto objeto) en la esfera de referencia f(’,’), simplemente sustituyendo en ella ’ por –u y ’ por –v, luego:

v,uikW0eEv,ue

(4-123

Como f(’,’)≠0 para ’2+’2≤’2, e(u,v) ≠0 para 2(u2+v2) ≤’2, luego el valor límite de la frecuencia espacial transmitida en coordenadas reducidas, es

'

slímite

(4-124

y en función de las coordenadas reales del objeto, teniendo en cuenta que sobjeto=gs y g=y’/y=n sen /n’ sen ’

1'n y ,''sen si ,sen n'

'sen 'n

sen ns límite.Obj

(4-125

01/06/2011 53

Comparación entre la formación de imagen con luz coherente e incoherente. Hemos visto que la frecuencia espacial límite que pasa a través de un instrumento es doble al tratarse

de iluminación incoherente respecto a la coherente. Esto no lleva consigo el decir que un instrumento funciona mejor (o forma mejor imagen) al iluminar el objeto incoherentemente. En un caso nos referimos a amplitudes y en el otro a intensidades, aunque al final de todo, en ambos casos lo que cuenta es la intensidad. Por lo tanto si vamos a comparar los dos tipos de iluminación para un mismo instrumento habría que hacerlo en los mismos términos. Aún cuando ya nos refiramos a la misma magnitud, el término “mejor” no viene definido de forma única. No hay un criterio universal de calidad. Los muchos criterios que se utilizan (función de transferencia, razón de Strehl, mínimos de diferencias al cuadrado entre las intensidades en la imagen y en el objeto, etc) tiene que tener en cuenta al final el ojo o el receptor, y es difícil encontrar un criterio único para todos los instrumentos y en todas las condiciones de trabajo.

Comparemos un caso concreto; el criterio del poder separador al tratar los dos tipos de iluminación.

La resolución de dos puntos ha sido muy utilizada como criterio de calidad de los sistemas ópticos, particularmente en aplicaciones astronómicas conde tiene realmente significado. De acuerdo con el criterio de Lord Rayleigh, la mínima distancia a la que pueden estar dos puntos para que se vean separados es

sen n2

22.1 ;'2

22.1'

(4-126

En el centro aparece un descenso de aproximadamente un 19% de la intensidad máxima. Ahora nos podemos preguntar si los dos puntos objetos separados por la distancia de Rayleigh, se separan más o menos con iluminación incoherente o coherente. Esta cuestión es sólo teórica en el caso de objetos astronómicos, que siempre son incoherentes, pero tiene cierto interés en microscopía donde se puede utilizar un tipo u otro de iluminación. La respuesta depende de la diferencia de fase en el objeto. Si los dos puntos están situados a la distancia mínima, correspondiente a verse separados según el criterio de Lord Rayleigh, siendo incoherentes, si fueran coherentes o parcialmente coherentes, la distribución de intensidad en el plano imagen a lo largo del eje en que están situados los puntos sería (salvo constantes):

Figura 4. 37 Comparación del poder resolutivo en un sistema con iluminación a) incoherente, b) coherente

01/06/2011 54

2

1j

1

'2.2

22.1'x

'2'2.2

22.1'x

'2J2

e

'2.2

22.1'x

'2'2.2

22.1'x

'2J2

'y,'xI

(4-127

donde es la diferencia de fase entre los dos puntos objeto. La Figura 4. 37 Muestra las distribuciones de intensidad en la imagen para fuentes puntuales en fase (=00), en cuadratura (=900) y en oposición de fase (=1800). Cuando las fuentes están en cuadratura, la distribución de intensidad en la imagen es idéntica a la que resultaba para fuentes incoherentes. Cuando los objetos están en fase, no hay mínimo central en la imagen y por lo tanto los dos puntos no se separan tan bien como se separarían con iluminación incoherente (que para esa distancia se veían separados). Finalmente, cuando los dos puntos están en oposición de fase, la profundidad del mínimo es mucho mayor que la correspondiente a iluminación incoherente. De aquí que no se pueda generalizar qué tipo de iluminación es preferible para la resolución de dos puntos. Análogamente pasaría con los otros criterios de calidad, dependiendo no sólo del instrumento sino del objeto y del tipo de iluminación.

4.6.6. Influencia de las aberraciones.

En un instrumento estigmático la superficie de onda procedente de un punto objeto es perfectamente esférica y la figura de difracción de un punto, así como la función de transmisión dependen, para una focal dada, únicamente de la forma y dimensiones de la pupila. Por otra parte, si el sistema óptico es aberrante, la onda a la salida queda deformada y la imagen de un punto objeto luminoso depende no sólo de la difracción sino también de las aberraciones residuales. Si éstas son muy significativas, la imagen de un punto es análoga a la que se obtendría por trazado de rayos a partir de la óptica geométrica, sin tener en cuenta la difracción. Si las aberraciones son pequeñas, la imagen de un punto y la función de transmisión resultan análogas a las correspondientes al sistema perfecto, pudiendo tolerarse ciertos valores de las aberraciones sin que la calidad del instrumento empeore sensiblemente. Mediante criterios basados en la imagen de un punto o en la función de transmisión se obtienen dichos valores de tolerancia de las aberraciones, que han de ser tenidos en cuenta por el calculador de sistemas en su proceso de corrección. No obstante, el calculador será más o menos exigente en la calidad de la imagen según el tipo de sistemas en corrección y su utilización práctica. Cálculo de la aberración de onda

Plano Objeto Sistema Óptico

Plano Imagen

PE PS

E E'

O'

O

R'

B' B'0

Figura 4. 38 Cálculo de la aberración de onda

01/06/2011 55

El cálculo de la aberración de onda correspondiente a un rayo se realiza mediante el trazado del rayo,

evaluando el camino óptico (B’0B’) (Figura 4. 38). Como B’ está sobre el frente de onda se cumple (OE’)=(OB’) siendo (OE’) el camino óptico sobre el rayo principal o sobre el eje (si el objeto está en el eje) desde el punto objeto hasta la pupila de salida. Luego se obtiene

00 'OB'OE'B'B

(4-128

Desarrollo polinómico de la función de aberración de onda (sistemas ópticos con simetría axial). El valor de la aberración correspondiente a un rayo depende, para un sistema dado, de las

coordenadas del punto objeto O(x,y) y de las del punto de intersección B’0(’,’) del rayo con la esfera de referencia. La función de aberración del sistema se denota por W(x,y,’,’) y el conocimiento de esta función describiría completamente las aberraciones del sistema. Sin embargo, no es posible encontrar en general esta función a partir de los datos del sistema, aún en casos sencillos.

En sistemas ópticos con simetría axial W se conserva aunque se giren los ejes. Así, W dependerá de

las variables en la forma máx22 /yx , siendo máx el tamaño máximo del objeto. Introduciendo

’=’/R’, ’=’/R’ y de nuevo '/''h 22 siendo ’ la semiabertura del sistema, las variables

intervendrán en la función de aberración de onda en la forma: 2, h2, hcos , donde es el ángulo que forman el plano que contiene al eje y pasa por el punto objeto y el plano que contiene al eje y al punto de intersección B’0 del rayo con la esfera de referencia. Así se puede escribir W como una serie de potencias de estas variables:

...WcoshWhWcoshWcoshWhW

WcoshWhWW,h,W4

0043

11322

202222

2223

3114

400

2002111

2200000

(4-129

Los subíndices de los coeficientes indican las potencias de las variables. Se puede demostrar que algunos términos del desarrollo anterior son nulos. Efectivamente, W=0 para el rayo principal h=0, porque se hacen coincidir en ese punto E’ el frente de onda con la esfera de referencia, así se anula la suma de los siguientes términos, para cualquier :

0...WWW 4004

2002000

(4-130

y queda

...coshWhWcoshWcoshWhWcoshWhW,h,W 3113

22202

222222

3311

4400111

2200

(4-131

El número de términos que se toman en el desarrollo depende del tamaño del ángulo de campo y de la abertura del instrumento. Los términos escritos en (4-131) corresponden al desarrollo hasta el 4º orden en la aberración de onda, que es el 3er orden en la aberración transversal o angular.

Para punto objeto en eje =0

...hWhWhW,h,0W 6600

4400

2200

(4-132

01/06/2011 56

El primer término significa un cambio longitudinal de plano imagen. Si se toma el plano imagen en la correspondiente imagen paraxial este término se anulará. Los demás términos corresponden a aberración esférica de diferentes órdenes.

Para pequeñas aberturas y campos el término 1W11h cos en (4-131) corresponde a un

desplazamiento lateral del foco. Si se considera el origen en la intersección del rayo principal con el plano gaussiano, este término se omite, lo mismo que los términos 3W11h cos y 5W11h cos etc. Que significan distorsión. Por tanto, tomando como esfera de referencia la esfera que tiene su centro en la intersección del rayo principal con el plano gaussiano, y limitándonos a aberraciones del 3er orden, los términos que permanecen son:

...hWcoshWcoshWhW,h,W 22202

222222

3311

4400

(4-133

que corresponden a aberración esférica, coma, astigmatismo y curvatura de campo. El primero, la aberración esférica, es simétrica alrededor del rayo principal, existe para todo el campo y es la única que permanece en el caso de imagen axial. El segundo término, coma de 3er orden, se ve que se anula para la sección sagital =/2, =3/2 y es proporcional al cubo de la abertura. El efecto del 3er término es que el centro de curvatura, es decir la posición del punto imagen, varía con , efecto que corresponde al astigmatismo. El cuarto término, si los demás fueran nulos, produciría un desplazamiento del centro de curvatura o sea del punto imagen sobre el rayo principal a la derecha o a la izquierda del plano gaussiano, lo que como ya es sabido corresponde a una curvatura de campo ya que el desplazamiento depende de la distancia del punto imagen al eje.

Para conocer W(,h,) hay que obtener los coeficientes de (4-131), pero no existe en general una

dependencia funcional entre estos coeficientes y los parámetros del sistema. Es necesario calcular el valor de la aberración de onda por trazado de rayos y la aplicación de la expresión (4-128), realizando este cálculo para diversos rayos se obtienen los valores de W correspondientes a valores de , h, y determinados, mediante programas de ajuste se pueden obtener los coeficientes del polinomio de aberración de onda W(,h,).

Generalmente, para un sistema óptico dado se calcula la función de aberración de onda para punto

objeto en eje y para diversas alturas del objeto hasta el valor máximo del campo del instrumento. Así, para cada uno de los puntos objeto se escribe W sólo en función de h y , incluyendo en los coeficientes la dependencia de . Siguiendo la notación de H.H. Hopkins, se escribirá

...cos...hWhW

cos...hWhWhW...hWhWhWW24

422

22

551

33111

660

440

220

(4-134

El significado de estos coeficientes ha sido desarrollado ya anteriormente.

Imagen de un punto en el caso de pequeñas aberraciones. En el caso de pequeñas aberraciones, W toma valores pequeños y en el desarrollo en serie de

...W2/kikW1e 22ikW

(4-135

basta con tomar los tres primeros términos. En este caso, la amplitud en la imagen de un punto vendrá dada por

01/06/2011 57

PS

'y''x'wik0

PS

'y''x'ikikW0 'd'deE'd'deeE'y,'xE

(4-136

Llamando W’=W+’x’+’y’, si estamos en puntos (x’y’) cercanos al origen, W’ se puede desarrollar en serie quedándonos con los tres primeros términos. Utilizando el elemento de superficie normalizado ds=d’d’/’2 queda

ds'W2/kds'Wikds'E'y,'xE 22

0

(4-137

2222

0* ds'Wds'Wk1'EEE'y,'xD

(4-138

O bien, tomando como unidad la intensidad en el dentro de la imagen correspondiente al sistema perfecto de la misma abertura

22

perfector ds'Wds'Wk1

0,0D

'y,'xD'y,'xD

(4-139

Si el origen se toma en el punto onde la intensidad es máxima queda

2

_____2____2

22

r 'W'Wk1ds'Wds'Wk10,0D

(4-140

que se conoce como razón de Strehl y corresponde por tanto a la relación entre la intensidad máxima en la imagen de un punto correspondiente al sistema aberrante y la máxima intensidad en el sistema perfecto de la misma abertura. Se toma como criterio de calidad del sistema óptico y se ve de (4-140) que cuanto menor es el valor de la varianza de la aberración de onda mayor será la razón de Strehl.

El valor de tolerancia de las aberraciones, en lo que concierne a la razón de Strehl se deduce

exigiéndole que tome ésta un valor determinado, normalmente 0.8, es decir que la intensidad en el máximo de la imagen de un punto correspondiente al sistema aberrante sea por lo menos el 80% de lo que sería en el sistema perfecto. Así

180/'W'W8.0'W'Wk1 22

_____2____2

_____2____2

(4-141

01/06/2011 58

Agradecimientos Este trabajo ha sido financiado parcialmente por los proyectos BFM2000-0036-C02-01 del

Ministerio de Ciencia y Tecnología y el Grupo Consolidado 2001SGR-187 de la Generalitat de Cataluña

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4.7. Ejercicios.

Estos ejercicios están basados en lo explicado en el capítulo 4 y en el Apéndice B. 1. Demostrar el principio de Babinet, “Las figuras de difracción que producen una abertura y una

obstrucción complementarias entre sí, son idénticas en todos los puntos excepto en el centro”.

2. Demostrar el teorema de Parseval, o de conservación de la energía

dd),(Fdxdy)y,x(f22

donde F(u,v) es la transformada de Fourier de f(x,y).

3. Calcular la siguiente integral de convolución

dx))xu(b(sinc )ax(sinc)u(g-

para los siguientes casos: (1) a>b, (2) a=b, (3) a<b. NOTA: Mirar qué ocurre en el dominio de Fourier.

4. Una abertura rectangular de dimensiones a y b se ilumina con una onda plana de longitud de onda . Inmediatamente detrás de la abertura se sitúa una lente de focal f’ y se obtiene la figura de difracción en el plano focal de la lente. (a) Hallar en coordenadas espaciales del plano focal de la lente la distribución de campo eléctrico. (b) Hallar la distribución de intensidad. (c) Explica como es la figura de difracción que se observa y la relación entre las dimensiones del máximo central de difracción (distancia del origen al primer mínimo) y las dimensiones de la abertura.

5. Obtener la figura de difracción de Fraunhofer producida por una doble rendija, considerando a ésta como una abertura rectangular con su parte central obstruida.

6. Sea una red de difracción de fase, en la que la transmisión en amplitud es uniforme e igual a la unidad. La diferencia de fase entre unos escalones y otros es 0, tal y como se muestra en la figura, y se ilumina con una onda plana de longitud de onda . (a) Hallar la posición de los máximos principales. (b) Hallar el valor de intensidad de éstos. (c) si 0=, calcular el valor de intensidad del máximo central, es decir el de orden 0, y el valor de intensidad en los máximos de orden 1.

a b

0

01/06/2011 60

7. a) estudiar la distribución de intensidad en el haz reflejado por un espejo metálico plano de dimensiones 2a y 2b tales que 2a<<2b y 2b>>. Se trabaja con luz de longitud de onda y en difracción de Fraunhofer. b) Estudiar en función del ángulo r la distribución de intensidad en la luz difractada por N “rendijas especulares” como las de a) dispuestas según se indica la figura. Se ilumina con un haz perpendicular a la red que forma un ángulo i con la normal a los escalones. c) si =500nm, 2a=103nm, i=100, calcular la dirección de los máximos principales observables y sus intensidades relativas.

8. La lente del objetivo de un anteojo se cubre con una pantalla opaca con dos rendijas paralelas estrechas, situadas a una distancia h entre ellas. El anteojo se dirige hacia una estrella doble, de manera que la línea que una las estrellas es perpendicular a las rendijas. (a) Describe la figura de difracción que produciría en el plano focal del objetivo una estrella si fuera única. (b) Al ser una estrella doble, para una cierta separación angular entre las dos estrellas, las franjas desaparecen por coincidir los máximos de la figura de difracción de la una con los mínimos de la otra. Demostrar que esto ocurre cuando la separación angular de las dos estrellas es aproximadamente 0.4 veces el límite de resolución de una lente de diámetro h.

9. Las figuras muestran la difracción de Fraunhofer obtenida con diferentes aberturas iluminadas con una onda plana de longitud de onda =633nm. La figura de difracción se observa en el plano focal de una lente de focal f’=100 mm. La dimensión de cada una de las figuras es de 2.56x2.56 mm2. Determinar qué tipo de apertura está produciendo cada una de las figuras de difracción y determinar sus dimensiones.

2a 2b

ir

01/06/2011 61

10. Para imprimir una fotografía normalmente se muestrea según una red (ver ejemplos en la figura). Describir cómo será el espectro de Fourier de la imagen impresa, y los filtros correspondientes para suavizar la imagen.

11. La transmisión de una lente de Fresnel de radio a viene dada por

)r(circrcossign12

1)r(T a

2

Describir las posiciones de las diferentes focalizaciones cuando se ilumina con una onda monocromática plana perpendicular a la misma. Nota: tener en cuenta que una función almena simétrica de periodo 2 se puede desarrollar en serie de Fourier de la siguiente forma:

n

inuexp2

ncsin2)u(f

12. Un haz láser de diámetro 3mm y longitud de onda 514 nm es focalizado por un objetivo de microscopio de focal 15 mm. En el foco del objetivo se sitúa un filtro espacial (apertura circular). ¿Qué diámetro debería tener el filtro espacial para limpiar el haz láser. El haz láser se quiere expandir a un diámetro de 25 mm. ¿Cuál debe ser la focal de la lente colimadora? NOTA: Para limpiar el haz láser el diámetro del filtro espacial debe ser del orden del máximo central de la difracción.

13. En este problema desarrollaremos con detalle el montaje del difractómetro mostrado en la Figura 4.6 y que de una manera más general, se muestra a continuación. Una onda plana monocromática ilumina un objeto cuya transmitancia en amplitud es t0() que se encuentra a una distancia d1 de una lente delgada de focal F. Queremos evaluar la figura de difracción (distribución de amplitud) en un plano que se encuentra a una distancia d2 de la lente. Para ello se realizarán los siguientes pasos: 1) propagación desde el plano P1 al plano P2 utilizando la ecuación (4-11), 2) paso de la lente desde el plano P2 al plano P3 utilizando la expresión (4-16), 3) propagación desde el plano P3 al plano P4 utilizando de nuevo la ecuación (4-11). Una vez que se obtiene la distribución final en el plano P4 ver que si la distancia d2 es igual a la distancia focal de la lente, es igual a la transformada de Fourier de la transmisión del objeto.

Objeto difractante

t0()

xy

d2d1

P1 P2 P3 P4

Objeto difractante

t0()

Objeto difractante

t0()

xy

d2d1

P1 P2 P3 P4

01/06/2011 62

14. En el ejemplo de filtrado de la Figura 4.14 se demostraba que el bloqueo de la frecuencia cero aumentaba el contraste de la imagen. Sin embargo, el bloqueo total podía tener el efecto de la aparición de frecuencias dobles. Este efecto se puede evitar si se utiliza un filtro con una transmitancia menor que la unidad pero no nula como se ilustra en este problema. Si tenemos un objeto con una transmitancia en amplitud dada

por

)ax2cos(

4

11

2

1 (ver figura a)

demostrar que el contraste se puede mejorar cambiando la amplitud de la frecuencia cero mediante un filtro con transmitancia c menor que la unidad (c=0.25). En la figura b) se muestra la distribución de amplitud obtenida después de este filtrado. En c) y d) se

representa el módulo al cuadrado de a) y b). En estas figuras se puede ver que el contraste ha aumentado sin el problema de la aparición de dobles frecuencias.

15. El correlador de transformadas conjuntas (en inglés Joint Transform Correlator JTC) es una alternativa a los correladores de Vander-Lugt y convergente estudiados en la sección 4.3 para obtener la correlación óptica entre una escena f(x,y) y un objeto de referencia h(x,y). En este ejercicio se va a estudiar su funcionamiento básico mediante un ejemplo. Consideremos el difractómetro de la Figura 4.6 en el que la distancia d1 se hace igual a la distancia focal de la lente. En el plano P1 se sitúan la escena f(x,y) y el objeto de referencia h(x,y) desplazado una distancia (x,0). Haciendo uso de la ecuación (4-29) calcular la distribución de amplitud G(x,y) en el plano P4. En este plano se sitúa una película fotográfica y se registra | G(x,y)|

2. Suponiendo que una vez revelada la transmisión de la película es proporcional a |G(x,y)|

2 y que se sitúa en el plano P1 del mismo difractómetro, calcular cuál es la nueva distribución de amplitud en el plano P4. Demostrar que uno de los términos que aparecen es la correlación entre la escena f(x,y) y el objeto h(x,y). ¿Cuál es la separación entre los diferentes términos que aparecen en el plano P4?. Suponiendo que tanto la escena como el objeto tienen unas dimensiones (x,y) ¿Cuál es la separación x mínima entre los mismos para que los diferentes términos no se superpongan? ¿Cuál ha de ser la resolución mínima de la película para poder registrar la interferencia que aparece en la transformada conjunta?

16. Se quiere binarizar la función sinusoidal cos(2ax-) de tal manera que los valores por encima de un valor umbral c se hacen iguales a uno y el resto se hace igual a cero (ver Figura 4. 24). El resultado es una función almena de periodo 1/a y anchura q tal que c=cos(aq). Se quiere calcular la figura de difracción de Fraunhofer de esta función almena (TF de esta función). Nota: se puede evaluar de dos maneras: 1) Desarrollo en serie de Fourier de la función periódica utilizando la ecuación (B-26), 2) considerar que la función almena es la convolución de la función rectángulo de anchura aq, convolucionada por la función peine comb(x/a) (ver tabla 4.1) desplazada una distancia x=a.

17. En general, la transformada de Fourier de una función real es una función compleja. Como se comentó en la sección 4.5.1, para obtener una transmitancia real y positiva, uno de los métodos es la simetrización de la función original. Sea f(x,y) la función de la cual se quiere obtener un holograma de Fourier. Demostrar que la función f(x,y)+f(-x,-y) tiene una transformada de Fourier F2(u,v) que toma valores reales, para ello se han de utilizar las propiedades de simetría de la TF dadas en el apéndice B. Con el fin de conseguir que la transmitancia del holograma sea real y positiva, se le suma una constante K

a) b)

c) d)

a) b)

c) d)

01/06/2011 63

obteniendo K+F2(u,v). Calcular la respuesta impulsional, es decir la transformada de Fourier, de este holograma.

01/06/2011 64

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[4.27] M. Born y E. Wolf, “Principles of Optics”, Pergamon Press (1964)

[4.28] J. Casas, “Óptica”, Librería General, Zaragoza (1995).

[4.29] R. Bracewell, “The Fourier Transform and its Applications”, McGraw-Hill, New York 1986.

[4.30] J. A. Davis, D. E. McNamara, D. M. Cottrell, J. Campos, “Image processing with radial Hilbert transform: theory and experiments”, Optics Letters Vol 25 (2000) 99-101.

[4.31] J. L. Horner y P. D. Gianino, “Phase-only matched filtering”, Appl. Opt. Col 23, (1984) 812-816.

[4.32] B. Javidi, J. L. Horner, “Real time optical information processing”, Academic Press, San Diego 1994.

[4.33] G. G. Mu, X. M. Wang, y Z. Q. Wang, „Amplitude-compensated matched filtering“, Appl. Opt. Vol 27, (1988) 3461-3463.

[4.34] E. Ahouzi, J. Campos, M. J. Yzuel, “Binary amplitude phase-only filter with high multiobject discrimination capability”, Opt. Eng. Vol 37 (1998) 2351-2358.

[4.35] I. Moreno, E. Ahouzi, J. Campos, J. Campos, M. J. Yzuel, “Real-time binary-amplitude phase-only filtres”, Appl. Opt. Vol 26, (1997) 7428-7432.

[4.36] I. Moreno, J. Campos, C. Gorecki, M. J. Yzuel, “Effects of amplitude and phase mismatching errors in the generation of a Kinoform for pattern recognition”, Jpn. J. Appl. Phys. Vol 34 (1995) 6423-6432.

01/06/2011 66

B. APÉNDICE. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER En este apéndice daremos la definición de la transformada de Fourier (TF) y algunas de sus propiedades.

No realizaremos un estudio riguroso sobre las condiciones de existencia de dicha operación; para los lectores que quieran ampliar este tema damos las siguientes referencias [B.1][B.2][B.3]. La definición de la distribución delta de Dirac (x,y), así como algunas propiedades de la misma pueden verse en este libro en un pie de página del capítulo 2, sección 2.3

Definición

Dada una función compleja f(x,y), su transformada de Fourier F(u,v) viene dada por la siguiente expresión

dxdyey,xfy,xfTFF yx2i vuvu, .

(B-1

La transformada de Fourier inversa se define como

vuvu, vu dde,FFTFy,xf yx2i1 .

(B-2

Fórmula de inversión La transformada de Fourier inversa de la transformada de Fourier de una función g(x,y) es igual a la

función original. Sea G(u,v) la TF de la función g(x,y) dada por la ecuación (B-1). Su transformada de Fourier inversa vendrá dada por

y,xg'dy'dx)y'y,x'x('y,'xg'dy'dxdde'y,'xg

dde'dy'dxe'y,'xgddeGGTF

)y'y()x'x(2i

yx2i'y'x2iyx2i1

vu

vuvuvu,vu,

vu

vuvuvu

.

(B-3

Transformada de Fourier de la transformada de Fourier de una función La transformada de Fourier de la transformada de Fourier de una función f(x,y) es igual a la función

simétrica respecto al origen de la función original. Sea F(u,v) la TF de la función f(x,y) dada por la ecuación (B-1). Su transformada de Fourier viene dada por

y,xf'dy'dx)y'y,x'x('y,'xf'dy'dxdde'y,'xf

dde'dy'dxe'y,'xfddeFFTF

)y'y()x'x(2i

yx2i'y'x2iyx2i

vu

vuvuvu,vu,

vu

vuvu

.

(B-4

01/06/2011 67

Linealidad La TF de una combinación lineal de funciones es la combinación lineal de sus transformadas de Fourier.

Sea Fi(u,v) la TF de la función fi(x,y). La TF de una combinación lineal de las mismas será

i

ii

i

ii )(Fa)y,x(faTF vu,

(B-5

Propiedades de simetría

En la tabla B1 se esquematizan las propiedades de simetría de la transformada de Fourier. En la primera columna se indican las propiedades de la función f(x,y), mientras que en la segunda se especifican las de su transformada de Fourier.

A modo de ejemplo vamos a hacer la demostración que corresponde a la línea séptima de esta tabla.

Sea f(x,y) una función real simétrica, su transformada de Fourier vendrá dada por

dxdy)yx2(seny,xfidxdy)yx2cos(y,xf

dxdyey,xf)y,x(fTF yx2i

vuvu

vu

.

(B-6

Como la función seno es una función antisimétrica, la segunda integral, en este caso, será igual a cero, y por lo tanto la TF será real. La función coseno es una función simétrica, con lo que la primera integral será simétrica.

Tabla B1. Propiedades de simetría de la transformada de Fourier

f(x,y) F() Compleja, no simétrica Compleja, no simétrica

Hermítica Real, no simétrica Antihermítica Imaginaria, no simétrica

Compleja, simétrica Compleja, simétrica Compleja, antisimétrica Compleja, antisimétrica

Real, no simétrica Hermítica Real, simétrica Real, simétrica

Real, antisimétrica Imaginaria, antisimétricaImaginaria, no simétrica Antihermítica

Imaginaria, simétrica Imaginaria simétrica Imaginaria, antisimétrica Real, antisimétrica

Transformada de Fourier en el origen

El valor de la transformada de Fourier en el origen es igual al volumen encerrado debajo de la función. En efecto, de la expresión (B-1) tomando u=0, v=0 queda:

dxdy)y,x(f0,0F ,

(B-7

de manera análoga, el valor en el origen de la transformada de Fourier inversa queda:

01/06/2011 68

vuvu, dd)(F)0,0(f .

(B-8

Es decir, el volumen encerrado debajo de la transformada de Fourier de una función es igual al valor de la función en el origen x=0, y=0. Transformada de Fourier de una función a escala

Sea F(u,v) la TF de la función f(x,y). La TF de f(x/a,y/b) será

vuvuvu b,aFbadde,fbadxdyeb

y,

a

xf ba2iyx2i

.

(B-9

Es decir, el factor de escala en la Transformada de Fourier aparece en forma inversa. Transformada de Fourier de una función desplazada

Sea F(u,v) la TF de la función f(x,y). La TF de f(x-x0,y-y0) será

vu,vuvuvu

vuvu

Fedde,fe

dde,fdxdyeyy,xxf

0000

00

yx2i2iyx2i

)y()x(2iyx2i00

.

(B-10

Al desplazar una función, su transformada de Fourier se ve afectada por un factor de fase lineal y proporcional alas coordenadas del desplazamiento. Transformada de Fourier de la compleja conjugada de una función

Sea F(u,v) la TF de la función f(x,y). La TF de f*(x,y) será

u,-v-vuvu Fdxdyey,xfdxdyey,x*f

*

)(y)(x2iyx2i

.

(B-11

Lo que demuestra que la TF de la compleja conjugada de una función es la función simétrica respecto al origen de la TF de la función original. Transformada de Fourier de la integral de convolución

La integral de convolución de dos funciones se define como

ddy,xh,fy,xhy,xfy,xg .

(B-12

A continuación vamos a demostrar el teorema de convolución que dice que la función G(u,v) que es la TF de la función g(x,y), la cual viene dada por la integral de convolución (B-12) de las funciones f(x,y) y h(x,y), es igual al producto de las transformadas de Fourier de dichas funciones F(u,v) y H(u,v). La TF de g(x,y) dada por (B-12) será

01/06/2011 69

vu,vu,

vu,

vu,

vuvu

vu

HF

ddeH,fdddxdyey,xh,f

dxdyeddy,xh,f)y,x(gTFG

2iyx2i

yx2i

.

(B-13

De manera análoga se puede demostrar que la TF del producto de dos funciones es igual a la integral de convolución de sus transformadas de Fourier.

vu,vu, HF)y,x(g)y,x(fTF

(B-14

Transformada de Fourier de la integral de correlación

La integral de correlación de dos funciones complejas se define como

ddy,xh,fy,xhy,xfy,xg *.

(B-15

Comparando las ecuaciones (B-12) y (B-15) correspondientes a las definiciones de las integrales de correlación y de convolución se puede llegar a la siguiente relación entre las dos integrales:

y,xhy,xfy,xhy,xf *

(B-16

Es decir, la integral de correlación entre dos funciones es igual a la integral de convolución entre las mismas, realizando la compleja conjugada de la función simétrica respecto al origen de la segunda función. A continuación vamos a demostrar el teorema de la correlación que dice que la función G(u,v) que es la TF de la función g(x,y), la cual viene dada por la integral de correlación (B-15) de las funciones f(x,y) y h(x,y), es igual al producto de las transformadas de Fourier de dichas funciones F(u,v) y H*(u,v) la segunda de ellas compleja conjugada. La TF de g(x,y) dada por (B-15) será

vu,vu,

vu,

vu,

vuvu

vu

*

2i*yx2i*

yx2i*

HF

ddeH,fdddxdyey,xh,f

dxdyeddy,xh,f)y,x(gTFG

.

(B-17

De manera análoga se puede demostrar que la TF del producto de dos funciones, la segunda de ellas compleja conjugada es igual a la integral de correlación de sus transformadas de Fourier.

vu,vu, HF)y,x(g)y,x(fTF *

(B-18

01/06/2011 70

Transformada de Fourier de la derivada de una función Sea F(u,v) la TF de la función f(x,y). Esta función se puede escribir según (B-2)

vuvu, vu ddeFy,xf yx2i

(B-19

Derivando k veces ambos miembros de esta ecuación se obtiene

vuvu,u vu ddeF2i

x

y,xfy,xf yx2ik

k

k)k(

x

(B-20

Teorema de Parseval Se puede demostrar aplicando propiedades de la TF que la integral del módulo al cuadrado de una función es igual a la integral del módulo al cuadrado de su TF, es decir,

vuvu, dd)(Fdxdy)y,x(f22

(B-21

Este teorema implica la conservación de la energía: la energía de una función y la de su transformada de Fourier son iguales.

Transformada de Fourier-Bessel o transformada de Hankel En muchas ocasiones en óptica las funciones presentan simetría radial, por ello es interesante estudiar la

transformada de Fourier en coordenadas polares. La relación entre coordenadas cartesianas y radiales viene dada por:

x

ytansin ry

yxrcos rx

1

22

(B-22

Si tenemos una función f(x,y) con simetría de revolución, la podremos escribir como

)r(gyxgy,xf 22 . Rescribiendo su transformada de Fourier, dada por la ecuación (B-1), en

coordenadas polares queda:

0

2

0

cosr2i

yx2i22yx2i

rdrdergsin,cosF

dxdyeyxgdxdyey,xfy,xfTFF vuvuvu,

(B-23

Teniendo en cuenta la definición de la función de Bessel de orden cero (ecuación (4-40), la integral anterior queda

01/06/2011 71

)(Grdrr2Jrg2sin,cosF0

0

(B-24

Se dice que G() es la transformada de Hankel de orden cero o la transformada de Fourier-Bessel de orden cero de la función g(r). Análogamente partiendo de la transformada de Fourier inversa se puede obtener

0

0 dr2J)(G2)r(g

(B-25

Serie de Fourier Sea f(x,y) una función periódica con periodos (px, py) según las direcciones de los ejes (x,y) respectivamente. El desarrollo en serie de Fourier de esta función viene dado por:

n m

p

ny

p

nx2i

m,nyxecy,xf

(B-26

donde los coeficientes vienen dados por

x y

yx

p

0

p

0

p

n

p

n2i

yxm,n dde,f

pp

1c

(B-27

Transformada de Fourier discreta Para el cálculo numérico es necesario muestrear las funciones. A continuación daremos una expresión para evaluar la TF de las funciones muestreadas. Supongamos que muestreamos la función f(x,y) en (M,N) puntos separados unas distancias (x, y). Los valores muestreados se denotarán como fm,n=f(mx, ny), tomando m, y n valores comprendidos en los rangos [0,M-1], [0,N-1] respectivamente. La extensión del dominio muestreado será Mx=x, Ny=y. Si la TF se muestrea a distancias x, y, la transformada de Fourier discreta vendrá dada por

1M

0m

1N

0n

N

nk

M

mj2i

n,mk,j efF

(B-28

La transformada de Fourier discreta está suponiendo que la función muestreada se repite periódicamente con un periodo (M,N), en este caso, la TF y la TF discreta coinciden y Fj,k=F(j,k).

Nota final: En la tabla 4.1 del capítulo 4 se muestran algunas funciones muy usadas en procesado de imágenes y sus correspondientes transformadas de Fourier.

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[B.1] J. D. Gaskill, “Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics”, John Wiley & Sons, New Cork, 1978.

[B.2] R. Bracewell, “The Fourier Transform and its Applications”, McGraw-Hill, New York 1965. [B.3] A. Papoulis, “Systems and Transforms with Applications in Optics”, Robert E. Krieger Publishing

Company, Inc. 1981.

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C

Convolución ........................................................................................................................................................................... 3 Correlación

propiedades ...................................................................................................................................................................... 24

D

Difracción de Fresnel ............................................................................................................................................................. 4

F

Filtros Diseño de filtros ............................................................................................................................................................... 29 fase ................................................................................................................................................................................... 29 filtro adaptado clásico ...................................................................................................................................................... 29 inverso .............................................................................................................................................................................. 30

H

Holografía Fourier .............................................................................................................................................................................. 21

Holografía por ordenador ..................................................................................................................................................... 31 Cálculo directo ................................................................................................................................................................. 39 Componentes no ortogonales ........................................................................................................................................... 38 Componentes ortogonales ................................................................................................................................................ 38 Holograma de fase de desvío ........................................................................................................................................... 35 interferograma .................................................................................................................................................................. 33 Interferograma binario ..................................................................................................................................................... 36 Kinoform .......................................................................................................................................................................... 34 Proyección sobre las restricciones ................................................................................................................................... 38 simetrización .................................................................................................................................................................... 33

P

Parseval ................................................................................................................................................................................ 65

R

Reconocimiento de imágenes ......................................................................................................................................... 21, 24 Capacidad de discriminación ........................................................................................................................................... 28 Correlación ....................................................................................................................................................................... 24 criterios de calidad ........................................................................................................................................................... 27 Diseño de filtros ............................................................................................................................................................... 29 Eficiencia luminosa .................................................................................................................................................... 27, 29 Filtro de Vander Lugt ...................................................................................................................................................... 21 implementación óptica ..................................................................................................................................................... 26 Relación máximo-energía total .................................................................................................................................. 28, 30 Relación señal-ruido .................................................................................................................................................. 27, 29

S

Sistemas lineales ..................................................................................................................................................................... 2 espacialmente invariante .................................................................................................................................................... 2 función de transferencia ..................................................................................................................................................... 3 respuesta impulsional ......................................................................................................................................................... 2

T

Transformada Fourier .......................................................................................................................................................... 61 definición.......................................................................................................................................................................... 61

Transformada de Fourier Bessel ............................................................................................................................................................................... 65 convolución ...................................................................................................................................................................... 63 correlación ........................................................................................................................................................................ 64 discreta ............................................................................................................................................................................. 66

01/06/2011 2

Hankel .............................................................................................................................................................................. 65 parejas de funciones ......................................................................................................................................................... 12 propiedades ...................................................................................................................................................................... 61 serie de Fourier................................................................................................................................................................. 66 simetría ............................................................................................................................................................................. 62

01/06/2011 2

18. Realizar un esquema de la función de transferencias a lo largo de los ejes x e y de un sistema que trabaja en iluminación incoherente y cuya pupila está formada por una abertura circular de diámetro L. Y si el sistema tiene dos aberturas circulares como se muestra en la figura ¿cuáles son las frecuencias de corte en ambas direcciones?

19. En una pantalla plana y opaca hay un orificio circular de diámetro . Se ilumina normalmente esta pantalla con un haz paralelo de =400 nm que cubre ampliamente el orificio. Se recoge la figura de difracción (sin lente alguna) en otra pantalla P paralela a la primera, que se va acercando a ésta desde una gran distancia. Se observa lo siguiente: Cuando la pantalla P está alejada, en el centro de la figura hay luz. Justificarlo. A medida que acercamos la pantalla P, observamos que a una distancia de 160 cm el centro de la figura se hace oscuro pro primera vez. Explicarlo y calcular . Calcular el diámetro del disco central que aparecerá en la pantalla P, cuando está a 160 cm, si inmediatamente detrás del orificio circular colocamos una lente de 160 cm. De focal.

20.

L

L

L

x

P2 (Plano de Fourier)

a1’ P1 (Objeto) P3 (Imagen) L1 L2 y x x’ y’ O O’ d2 a2 a2’ a1