Sotelo Avila, Capitulo 4 y capitulo 8

8/20/2019 Sotelo Avila, Capitulo 4 y capitulo 8

1/39

CAPITULO 4

a) Planteamos una Bernoulli entre la boquilla y 4.60 m por encima de la misma, los puntos 1 y 2

12

2

22

2

2

11

1

22h

g

V Z

P

g

V Z

P +++=++

γ γ

Siendo el nivel de referencia el punto 1, entonces: P10! "10! P20

Sustituyendo en la #c. de Bernuolli:

( )

( ) ( )$1.%260.4

$1.%2

12 2

2

2V

+=

&e donde obtenemos: '2 (.)) m*se+

#l +asto en la boquilla esta dado por:

1 '1 -1 12 m*se+/π 0.02*4/ 0.0$% m)*se+

3 adems sabemos que 1 2, de donde '2 2 *-2 1 *-1

sm D D

V *)).(00(.0

4*

0$%.0222

==

=

π

Problema 2. 5n corro de a+ua es descar+ado por una boquilla, de 2. cm de

dimetro, en direcci7n vertical y ascendente! suponemos que el corro

permanece circular y que se desprecian las p8rdidas de ener+9a durante el

ascenso.

a/ alcular el dimetro de corro, en un punto de 4,60 m sobre la boquilla , si la

velocidad del a+ua al salir es de 12 m*se+.

b/ &eterminar la presi7n que debe de leerse en el man7metro ;, si el dimetroen la tuber9a es de 0.10 m y el desnivel Z 1 y se desprecia la

fricci7n con el aire, determinar la altura m?ima que alcan=ar y la ma+nitud dela velocidad en ese punto.

Problema 1. Por el interior de un +ran conducto circular de0.) m de dimetro fluye a+ua con velocidad que si+uen la

distribuci7n se@alada en la fi+ura, se+An la ley '0.022


2/39

&espeEando el dimetro obtenemos: D2 = 0.032 mts.

b) Planteamos una Bernoulli entre la boquilla y 0.40 m por abaEo de ella, puntos 1 y 0

10

2

00

0

2

11

1

22h

g

V Z

P

g

V Z

P +++=++

γ γ

&onde: P1 0, "1


3/39

12

2

22

2

2

11

1

22h

g

V Z

P

g

V Z

P +++=++γ γ

&onde: "1 "2! '2 0 ya que es una =ona de estancamiento y las h12 ≅ 0, por lo tanto nos queda la ecuaci7n de

la si+uiente manera:

Por otra parte obtenemos que la diferencia de presiones se calculara por la re+la de los man7metros, esto es de lasi+uiente manera:

P1 γ 1< γ +∆ H γ 2 P2P2 P1 γ 2


4/39

alculando el rea del tubo:

22

0)1416.04

20.0m A ==

π

#valuando el +asto con los datos anteriores obtenemos que:

$.40.0)1426/ 0.2!3' m3/seg

Para conocer la presi7n en 2 planteamos una Bernoulli entre los puntos 2 y ).

2)

2

))

)

2

22

2

22h

g

V Z

P

g

V Z

P +++=++

γ γ

&onde: P) 0! ") 0! 01) ≅h

Sustituyendo:

( )( )

( )( )$1.%24.$

$1.%2

4.$4. 22

=+γ

B P

&e la #c. anterior botemos:

aguadecolumnademts P B .4.−=γ

#n la ecuacion anterior, salvo las cotas que son i+uales "1"2/, y las perdidas que son despreciables,aparentemente las dems variables son inc7+nitas, quedando nuestra ecuacion de la si+uiente manera:

g

V P Ep

g

V P

22

2

22

2

11 +=++γ γ

-ora, por otra parte las velocidades se pueden e?presar de la si+uiente manera

y la potencia de la bomba quedar9a de la si+uiente manera

y la diferencia de presiones la calculamos con la re+la de los man7metros

Problema #. Si la bomba


5/39

P1H γ 1Hγ N+0.9/ < γ 2 P2

P2 P1 γ Hg 0.9 γ 1


6/39

0.114 m)*se+

γ -ceite ((0 G+*m)

P1 0.6 G+*cm 600 G+*m

P2 0.) G+*cm )00 G+*m

Planteamos una Bernoulli entre los puntos 1 y 2, siendo '1 '2

12

2

22

2

2

11

1

22h

g

V Z

P

g

V Z

P +++=++γ γ

Sustituyendo valores:

1210.6((0

)00.1

((0

600h++=+

$.(( 10.64 H h12

h%&


7/39

Sustituyendo encontramos:

= #4 mts. e col%m,a e ace*te.

Pot γ #p 0.160 m)*se+/(62 G+*m)/4 m/ 6$).6$ G+. m*se+.

Pot 6$).6$ * ( $(.($ '

Pot = 8"."8 C&

'? ' cos O'y ' sen O

22

' ( V V V +=

Planteamos una Bernoulli entre los puntos ) y 2

12

2

22

2

2

11

1

22h

g

V Z

P

g

V Z

P +++=++γ γ

Sustituyendo los datos y empleando las formulas del tiro parab7lico tenemos: P10! P20! "10

12

2

2

2

2

2

1

1

1

22h Et

g

V Z

P

g

V Z

P ++++=++

γ γ

ota: en el tiro parab7lico la componente de la velocidad en Q siempre es constante, por lo tanto! ' 1? '2?,resultando:

62

2

1 = g

V )

&espeEando obtenemos que '1y 2 + 6/1*2 10.$ m*se+

Ca velocidad en la boquilla es i+ual a:

'1y 'Boquilla sen O R 'Boquilla '1y * Sen β 10.$ * Sen 4> 1.)44 m*se+

Planteamos una Bernoulli de la boquilla asta un punto anterior a la bomba codo/.

1)

2

)

)

)

2

1

1

1

22 h g

V

Z

P

g

V

Z

P

+++=++ γ γ

&onde : P1 0! ") 0! 01) ≅h

Ca velocidad en la tuber9a es:

') 'Boquilla&Boquilla * &ubo/ 1.)44/ 0.10 * 0.20/ ).$) m*se+

Problema '. #l a+ua de un +ran dep7sito, como se muestra en

la fi+ura, tiene su superficie libre m arriba del tubo de salida.Se+An se muestra es bombeada y e?pulsada en forma de corro

libre mediante una boquilla. Para los datos proporcionados,

Lul es la potencia en caballos de vapor requerida por la

bombaM

&ado que la trayectoria del a+ua es movimiento de tiro

parab7lico usamos las componentes de la velocidad y las

cuales son e?presadas de la si+uiente manera: Di+ura del problema %


8/39

( )

( )

( )

( )$1.%2

$).)

%1.%2

)44.1.1

2

)

2

+=+γ

P ! aguadecolumnademts

P .(.12) =

γ

Por Altimo planteamos una Bernoulli entre el dep7sito y un punto posterior a la bomba codo/.

4)

2

))

)

2

44

4

22h

g

V Z

P Ep

g

V Z

P +++=+++γ γ

#n donde: P4 0! '4 0! ") 0

( )

( )$1.%2

$).)(.12

2

+=+ Ep ! #p $. mts.

Pot 1000 G+*m)/ 0.12 m)/$.m/ 1020 G+


9/39

g

V P

2).)

2

)) +=γ

-dems: P3 &) * 2 / γ esto es debido a que el punto se encuentra a la mitad de la altura del canal/.

&espeEando '):

).)2) g V =

') $.4 m*se+.

) $.4 m*se+. / 0.2% m2 / 2.44 m) * se+.

Cas descar+as difieren debido a que en el orificio se descar+a a la atm7sfera por lo cual la presi7n es cero,

mientras que en el otro punto, se descar+a sobre un canal donde se presenta una lamina que eEerce presi7n sobreel mismo.

-nali=ando el punto ) encontramos que:

( ) ' H g V += 2) , ( ) ' H g r Q += 22

)π

T+ualando +astos obtenemos:

H g r 222π ( ) ' H g r += 22

)π

( )

2

1

2

2

2

)

2

2

+

=+

= ' H

H

' H g

H g

r

r

2

1

2

2

2

)

1

1

+=

H

'r r

4

12

)

1

+

=

H

'

r r

Problema 11. &esprecindose todas las perdidas y los efectos de tensi7n superficial,dedA=case una ecuaci7n para la superficie del a+ua r del corro en t8rminos de /

;ediante el teorema de orricelli encontramos la velocidad en 2.

H g V 22 =

#l +asto en 2 es: H g r Q 222π =

Problema 12. #n la fi+ura N 6 m y .( m. alcAlese la

descar+a y las p8rdidas locales.

1/ Planteamos una ecuaci7n de Bernoulli entre los puntos 1 y 2,

para encontrar las p8rdidas que se producen en el orificio. Para

este motivo se coloco el tubo de pitot.

12

2

2

2

2

2

1

1

1

22 h g

V

Z

P

g

V

Z

P

+++=++ γ γ

Comrobac*+, co, = 0 obte,emos r3 = r2

Di+ura del problema 11

Di+ura del problem


10/39

&onde: P1 0, '1 ≅ 0, "2 0, '2 0 y P2*γ .(

12(.6 h+= 12 6 .( 0.2 2 cms

2/ omo las perdidas en el orificio ya se conocen planteamos otra ecuaci7n de Bernoulli entre los puntos 1 y ),

para determinar la velocidad de salida considerando que las perdidas son de 2cm.

1)

2)

))

21

11

22h

g

V Z

P

g

V Z

P +++=++γ γ

&onde: P1 0, '1 ≅ 0, P) 0, ") 0

2.062

2

) −= g

V

') 10.62 m*se+.

10.62 m*se+./ 0.00 m2/ 0.0) m)*se+

$ = 0.0#3 m3/seg

Problema 12.1. Para el problema anterior las perdidas se suelen e?presar en t8rminos de un coeficiente G que se

utili=a en las perdidas locales. &etermine cual es el valor de este coeficiente.

Para encontrar el valor de G retomamos la ecuaci7n de Bernoulli entre los puntos 1 y ).

g

V *

g

V

226

2)

2) +=

Pero sabemos que las p8rdidas equivalen a 0.2 por lo que:

2.02

2

) = g

V *

&espeEando g

V

2

2

)y sustituyendo en la ecuaci7n de Bernoulli obtenemos:

* *

*

2.02.06 += ⇒ 5 = 0.0434"

Problema 12.2. Para el caso de orificios la velocidad real se suele e?presar en t8rminos de un coeficiente v:

H g C+V real 2= .a/ &etermine cual es el valor de v para el problema 12.

b/ &emuestre si:

a/ Para encontrar el coeficiente + partimos de la si+uiente #cuaci7n

H g C+V real 2=

Sustituyendo

10.62 + 62 g

112 −=

C+ *


11/39

&e donde:

+ 0.%($$

b/ Para la determinaci7n y comprobaci7n de los valores de G y de v nos apoyamos en las ecuaciones 6.2,

16.16, 16.1(, del libro Nidrulica Ueneral de Sotelo -vila, y esto nos queda de la si+uiente manera.

g

V )

g

V Z )

22

2

22

2

111 +=++

omo la '2 no se conoce el valor se sustituye por '2 * -, con - b 3! quedando 22

2

222

22 ) , g

Q

g

V =

'- 16.1 ft*se+. 40 ft2/ 644 ft)*se+

Sustituyendo los valores en la ecuaci7n de Bernoulli tenemos:( ) ( )

2

2

2

2

2

2

102

644

2

1.16$4

) g )

g +=++

2

2

2

$.640.16

) ) +=

00$.640.16 22)

2 =+− ) )

Iesolviendo la ecuaci7n obtenemos las dos profundidades posibles del fluEo

62 = 2.14 -t

62 = 1#."' -t

.

Problema 13. #n un canal fluye a+ua, como se muestra en la

fi+ura. &espreciando las p8rdidas, determ9nese las dos profundidades posibles del fluEo 31 y 32.

Planteamos una ecuaci7n de Bernoulli entre los puntos 1 y 2.

12

2

22

2

2

11

1

22

h

g

V Z

P

g

V Z

P +++=++γ γ

&onde: P1 P2 0, 012 ≅h

Problema 14. Dluye a+ua a alta velocidad acia arriba del

plano indicado como se muestra en la fi+ura. &espreciando las p8rdidas, calcAlese las dos profundidades posibles del fluEo en la

secci7n 2


12

2

22

2

2

11

1

22h

g

V Z

P

g

V Z

P +++=++γ γ

04).0

10%($2.

111 2

=

−=⇒−=

*

* C+

*

Di+ura del problema 1)


12/39

&onde: P1 P2 0, 012 ≅h

g

V ) Z

g

V )

22

2

222

2

11 ++=+

omo la '2 no se conoce el valor se sustituye por '2 * - quedando 22

2

22

2

22 ) , g Q

g V =

'- %.$06 m*se+. 0. m 2 m / %.$06 m)*se+

Sustituyendo en la ecuaci7n de Bernoulli obtenemos:

( ) ( )2

22

2

2

2

22

$06.%.2

2

$06.%.0

) g )

g ++=+

2

2

2

2).1.24.

) ) ++=

00$.640.16 2

2

)

2 =+− ) )


62 = 0."! mts.

62 = 2."4 mts.

&onde: P1 P2 0, 012 ≅h

g

V )

g

V Z )

22

2

22

2

111 +=++

omo la '2 no se conoce el valor se sustituye por '2 * - quedando 22

2

222

22 ) , g

Q

g

V =

'- 16.1 ft*se+. 40 ft2/ 644 ft)*se+

Sustituyendo los valores en la ecuaci7n de Bernoulli tenemos:

( ) ( )2

22

2

2

2

62

644

2

1.16$4

) g )

g +=++

Problema 1#. &espreciando todas las p8rdidas, determ9nese las dos

profundidades posibles del fluEo! cuando el canal se an+osta en la

ca9da a 6 ft de anco en la secci7n 2


12

2

22

2

2

11

1

22h

g

V Z

P

g

V Z

P +++=++γ γ




13/39

2

2

2

1$00.16

) ) +=

01$00.16 22)

2 =+− ) )


62 = 3.84 -t

62 = 1#.28 -t

&onde: P1 0, P2 0, 12≅ 0 Cas presiones presentan valor cero ya que estamos trabaEando con puntos sobre la

superficie de un canal/

Pero sabemos que:2

2

22

2

22 ) , g

Q

g

V = y adems 32 "2

( ) ( )

( ) 22

2

2

2

12

12.1

2

0)02(.)

) g )

g +=+

0064.0(046.) 22)

2 =+− ) )

62 = 0.134 m

Ca fuer=a idrulica esta dada por: D γ 3 - Senθ

Sobre el muro se aplican dos fuer=as, una por cada cara.∑D Dp1 H Dp2 H Dmuro Dp1 γ ).(0 * 2/ 1 ).(0/ Sen%0> 6$4 G+. Sobre (

Dp2 γ 0.1)4 * 2/ 1 0.1)4/ Sen%0> $.%($ G+. Sobre (

∑D ϕ '2 '1/ Dmuro < Dp1 < Dp2 H ϕ '2 '1/

Dmuro


14/39

Si planteamos una Bernoulli entre 0 y 1 o entre 0 y 2 podemos comprobar que '0 '1 '2.

'0 20, 0, 0/

'1 0, 0, 20/ 20 m*s/ π 0./*4 0.04 m)*se+

'2 0, 0,


15/39

4

6

0 1064.)10.1

024.02.22Ie (

(+

DV ===

#l coeficiente de arrastre para este caso es & 1.2

AV

C - D2

20 ρ =

D 1.2/0.12(/J22.2/2 * 2K 0.024/ 0.%4 G+.*m

D 0.%4 G+.*m

Problema 1'. #n una cimenea cil9ndrica de 0.%2 m de dimetro, e?puesta a un viento con una velocidad de $Gm.*, determ9nese el momento fle?ionante en su base


16/39

AV

C - D2

20 ρ =

D 1.2/0.12/J22.2/2 * 2K )/1/ 166) G+.

7 = 1!!3 5g.

&onde: P1 0, "1 0, '1 ≅ 0, P2 0, h12 0

24

22

2 0$26.0

2 Z

D

Q

g

V Ep +==

3 adems:

( )QQ

CV

Q

Pot Ep

%.0

1000

(12===

γ

Sustituyendo en la ecuaci7n de Bernoulli obtenemos:

214.0

0$26.0%.0 2

+=

Q

Q

$26) H 2 < 0.% 0

Iesolviendo el polinomio obtenemos 0.0%1 m)*se+

Iesolviendo solo para el eEe (

∑ D ϕ'2 < '1/ donde '1 ≅ 0

∑ D Dp1 H Dp2 H D& ϕ'2

&onde: Dp1 Dp2 0

D& ϕ*-2/ ϕ2*-2

( )

( ) 2

2

4

1.0

0%1.0

$1.%

1000

π = -D

Problema 21. 5na bomba e?trae a+ua de un recipiente como se muestra en

la fi+ura. Ca bomba a@ade, al fluEo 12 ', L ul es la fuer=a ori=ontalque desarrolla el fluEo sobre el soporte &M &espreciar las p8rdidas.

Planteamos una ecuaci7n de Bernoulli entre el recipiente y Boquilla. #ntre

los puntos 1 y 2.

12

2

22

2

2

11

1

22h

g

V Z

P

g

V Z

P +++=++γ γ



17/39

7D = 11".38 5g.

#l t8rmino de ener+9a de la turbina #/, se coloca al lado dereco de la ecuaci7n de Bernoulli, debido a que la

turbina le quita la ener+9a al a+ua, la cul se transforma en electricidad a trav8s de un +enerador el8ctrico.

&onde: "1 "2, '1 '2, P2 0, h12 ≅ 0

Sustituyendo

)0 #

Pot γ #

#n este problema se nos da el +asto en forma indirecta para el calculo de la potencia

∑D? 100 G+.

∑D?


18/39

Por lo tanto:

( ) .6

4

1.0

106.022 seg

mV ==

π

P1 1 G+.*cm2 1?104 G+.*m2

( ).$.(06

4

)0.0101

2

4

111 *g ( A P - =

== π

D2 P2.-2 0, esto es debido a que P2 0, ya que el punto 2 se encuentra baEo la presi7n atmosf8rica.

∑D Dp1 H Dp2 H Dcodo H W

Dcodo < Dp1 Dp2 H ϕ'2 '1/ < W

Dcodo , 0, )).(4Sen4>/ 1, 0, 0/K

0, 11, 0/

7coo = 9"8".'5g: 911#5g: 0)

&onde: "1 0, "2 0, 12≅ 0

( ) ( )

6.1%

(4.))

6.1%

1

1000

101 22

2 −+= ( P

γ

P2 )410 G+.*m2

#l +asto esta dado por:( )

.11.424

4

61

)2

seg

mQ =

= π

Por lo tanto:

Problema 24. 5na tuber9a ori=ontal de 6 m de dimetro tiene

un codo reductor que conduce el a+ua a una tuber9a de 4 m. de

dimetro, unida a 4> de la anterior. Ca presi7n a la entrada delcodo es de 10 G+.*cm2 y la velocidad de 1 m*se+. &eterminar

las componentes de la fuer=a que an de soportar los anclaEes

del codo y el peso del l9quido dentro del mismo.

Para resolver este problema necesitamos conocer '1, P1, '2, P2,

por lo que planteamos una ecuaci7n de Bernoulli para

determinar P2:

12

2

22

2

2

11

1

22h

g V Z P

g V Z P +++=++ γ γ

( ) .(4.))

4

4

11.42422 seg

mV ==

π



19/39

( ).)%.2$2(4))

4

6101

2

1 *g ( - =

=

π

( ).$.6(116%

4

4)410

2

2 *g - =

=

π

Dcodo < Dp1 Dp2 H ϕ'2 '1/

Dcodo , 0, 6(116%.$Sen4>/ H

γ *+/424.11/J)).(4os4>, 0, )).(4Sen4>/ 1, 0, 0/K

Dcodo


20/39

#l valor apro?imado de β es

β 1 H 2 1/*) 1.))

?ol%c*+, b) Ca velocidad media ', resulta de su definici7n, a saber:

∫ = 1

+rdr V 10

2

2π π

donde r I


21/39

?ol%c*+, a) &e acuerdo con la ecuaci7n de continuidad se debe satisfacer que

+ 0 a + 1 a" 4d / H 2 + 1 d

a

d

++

21

01

−=

Ybviamente, la velocidad media en las secciones 1


22/39

por lo tanto el valor apro?imado de α es: α )β < 2

5sando la ecuaci7n de la ener+9a con la ∑ hr 0/, aplicada entre las dos ecuaciones, se tiene a

y de aqu9 :

Dinalmente, de la ecuaci7n de la cantidad de movimiento, aplicada en la direcci7n del fluEo y al mismo ', setiene lo si+uiente:

sustituyendo el valor de p, calculado anteriormente, resulta

o bien

y con alfa )O < 2, se obtiene

Substituyendo aora O, calculado anteriormente, y aciendo las simplificaciones necesarias, se tiene finalmente

el empuEeZ

?ol%c*+, b) &e acuerdo con la definici7n indicada para el coeficiente de arrastre, 8ste vale

22

1)

$)

−

−=

a

d

a

d

β

g

+ p

g

+ po

22

2

0

2

0α

γ γ +=+

( )α ρ −+= 12

2

0

0

+ p p

( )0000

++a+ paa p - D −=−− β ρ

( ) ( )112

2

0

2

000 −=−−−− β ρ α ρ a+a

+a pa p - D

−−=− 21

22

0 α β ρ a+ - D

−=− β ρ

2

1

2

120 a+ - D

−

−=2

2

0

21

)1

)

2

a

d

a

d

d + - D ρ


23/39

Si d4a ""5 0, esto es, si el anco a es muy +rande, entonces

)

4→C D d + - D

2

0)

2 ρ →

−

−=

22

1

)1

)

4

a

d

a

d

C D


24/39

CAPITULO 8

Problema 1. -+ua a 10> es for=ada a fluir en un tubo capilar &0.$mm y (0m de lon+itud. Ca diferencia de presiones entre los e?tremos del tubo es de 0.02 G+*cm2. &eterminar la velocidad media, el +asto y el numero de

Ieynolds para ν 0.01)) cm2*se+.

#n este problema se maneEa un tubo ori=ontal de dimetro constante, implica que "1"2, por lo tanto '1'2.

12

2

22

2

2

11

1

22h

g

V Z

P

g

V Z

P +++=++γ γ

Por lo que respecta a calcular la velocidad, el problema consiste en seleccionar adecuadamente la formula para el

coeficiente de fricci7n, y como se nos da viscosidad se usara &arcy.

aora bien el coeficiente de friccion se calculara con f 64*I debido a que se supone que es un fluEo laminar es

decir con numero de Ieynolds menor de 2000. Por otra parte el I se calculara con la formula I '&/ * ν.

#ntonces sustituyendo en nuestra ecuaci7n de perdidas lo pasado tenemos que:

sustituyendo valores obtenemos

despeEando la velocidad no queda que es &=4.21094 m/s o bien 0.042 cm/s.

Por ultimo el +asto y el numero de Ieynolds se calculan con '0.042 cm*s.

Problema 2. 5n enfriador de aceite consiste de tubos de 1.2 cm de dimetro interior y ).6 m de lon+itud. #l

aceite, con un peso espec9fico de %00 G+*m ), es for=ado a una velocidad de 1.$) m*se+. #l coeficiente de

aguadecolumnademts

mkg m

kg P P

h 2.01000

200

)

221

12 ==

−=

γ

mts g

V

D

6 7 2.0

2

2

=

2

2

2

2

642.0

2

64

2.02

64

D g

+ 6V

g

V

D

6

VD

g

V

D

6

8r

==

=

ν

2.0/62.1%/10$.0

/(0/10)).1642)

6

=−−

(

V (

226.001)).0

/0$.0/042.0

.

*0002.0042.04

0$.0

)2

===

=

==

υ

π

VD 8r

scmV AQ


25/39

viscosidad a la entrada es 0.2$ poises y, a la salida, de 1 poise! puede considerarse que dico coeficiente var9a

como una funci7n lineal de la lon+itud. &eterminar la potencia requerida para for=ar el aceite a trav8s de un

+rupo de 200 tubos semeEantes en paralelo.

Para empe=ar debemos convertir las unidades al sistema t8cnico:

2

.002$4.0

1.%$

2$.02$.0

m

seg *g po$ses === µ

2

..0101%).0

1.%$

11

m

seg *g po$se === µ

#stimaci7n de la densidad:

4

2

2

) ..(4).%1

*$1.%

*.%00

m

seg *g

seg m

m *g

g ===

γ ρ

alculamos las viscosidades cinemticas de entrada y salida ρ

µ ν =

.

10110$.)

(4).%1

002$4.0 2

seg

m ( Entrada

−==ν

.10111.1

(4).%1

0101%).0 2

4

seg

m (Sal$da

−==ν

Ybtenemos el coeficiente de fricci7n de entrada y de salida DV DV 8r 7

64

6464 ν

ν

===

&ebido a que la viscosidad va cambiando Eunto con la trayectoria, nos vemos obli+ados a usar diferenciales para

obtener las perdidas en el tubo, sin olvidar que g

V

D

6 7 h

2

2

= :

∫ ∫ ==6.)

0

26.)

0 2

/ g

V Dd6 6 g dhh 7

∫ +

=6.)

0

2

/62.1%/012.0

/$).1/061)2.00$(0).0d6

6h

h %.%1) mts

0$(0).0012.0$).1

10110$.)64

==−

( 7 Entrada

)10$4.

012.0$).1

10111.164 4

==− (

7 Sal$da

f + C/ 7 #ntrada H J 7 Salida


26/39

- ' 1.22(2 ? 10


27/39

&e donde f 0.02()Sustituyendo en &arcy:

( )m

g

seg m

m

mh 04.112

2

.*%%.1

1.0

)0002().0

2

==

Pot γ 0.0)) m)*se+./$00 G+*m)/112.04 m/ )164.01 G+ . m*se+.

Pot )164.01 G+. m*se+./1 Np * (6. G+. m *se+./ 41.)6 Np

Pot = 41.3!

Para el inciso b aplicamos el mismo procedimiento:

( ) ( )6.16066

.*000001$$.0

1.0.*%%.12

=== seg m

m seg m D+ 8r

υ

( )

1.2

6.16066lo+2

1 7

7 =

&e donde f 0.016)

( )m

g

seg m

m

mh 0$.6(

2

.*%%.1

1.0

)00016).0

2

==

Pot γ 0.0)) m)*se+./$00 G+*m)/6(.0$ m/ 1$%4.)4 G+.m*se+.

Pot = 24."! .

Problema #. &eterminar el dimetro de la tuber9a vertical necesaria para que fluya un l9quido, de viscosidad

cinemtica + 1. ? 10


28/39

Problema !. alcular el +asto que fluye en el sistema indicado en la fi+ura, despreciando todas las p8rdidase?cepto las de fricci7n

62

642

== D g

V 6+h

#s necesario determinar el valor de + para poder obtener el valor de la ', y para ello conocemos lo si+uiente:

+ µ*ϕ y que ϕ γ *+

Sustituyendo valores:

ϕ $00*%.$1 $1. y adems µ 0.1 * %$.1 0.001Por lo que:

+ 0.001*$1. 0.0000122

Sustituyendo en la ecuaci7n de p8rdidas:( )( ) ( )

( )( ) 2006.062.1%

$.4000012.064 V h =

&espeEando: ' 1.1)2 m*se+.

Por lo que el +asto:

$ = 0.032 ls

Problema ". uando el +asto de a+ua en un tubo liso dado es de 114 lt*se+., el factor de fricci7n es 7 0.06

L u8 factor de fricci7n se esperar9a si el +asto aumenta a 6$4 lt*se+.

7 64 * r R I 64 * 7 64 * 0.06 106( \ 2000 ∴fluEo laminar

Si el +asto es seis veces mayor: 114 ? 6 6$4 lps

Podemos esperar que: r 6400, es decir, seis veces mayor que el ori+inal.

on el dia+rama de ;oody para tubos lisos:

f = 0.03#

. 12

2

22

2

2

11

1

22h

g V Z P

g V Z P +++=++ γ γ

#n donde: P1 P2 0, '1 '2 0, "2 0

Por lo que: 12 6

5sando la ecuaci7n de &arcy: g

V

D

6 7 h

2

2

=

Sabemos que: f 64 * r y adems r '.& * +

Sustituyendo en la ecuaci7n de &arcy obtenemos:Di+ura del problema 6


29/39

Ytra manera de calcularlo es utili=ando la formula de Blasiss:

0).06400

)164.0)164.02.02.0

=== 8r

7

Problema 8. -+ua sale de un tubo ori=ontal nuevo fierro fundido/ de 0.)0m de diametro. Para determinar la

ma+nitud del +asto en la tuberia, dos manometros separados 610m, indican una diferencia de presion de 0.141V+*cm2. #stimar el +asto.

Para poder estimar el +asto, se tiene que las perdidas serian las si+uientes:

h 1.41m

-ora planteando la ecuacion de perdidas por Na=en Williams, se tiene el +asto si+uiente:

#n donde 1.41m, N1)0, &0.)0 y C610, por lo tanto el +asto seria $ = 0.0!02 m3/s.

Problema '. #l fluEo turbulento plenamente desarrollado en un tubo liso es con una velocidad media de 0.61m*se+. &eterminar la velocidad m?ima al centro del tubo con: a/ I1000. b/ I 10

a/ &ebido a que en este inciso nos encontramos con un fluEo laminar usaremos la si+uiente ecuacion e?puesta

con anterioridad:

2

/A0 +V =

Por lo tanto:

.*22.1.*61.022 seg m seg mV + /A0 === b/ Para este caso, dado el nAmero de Ieynolds, es necesario recurrir a la si+uiente formula:

1

r 1 6n

7 7

V

+ /A0 −++= $

.2

$

(.)1

y I


30/39

1

1 1 6n

7 7

V

+ /A0 −++= $

.2$

(.)1

I 0, lo cual nos indica el lu+ar donde se presenta la velocidad m?ima ' v;-Q /, por lo que obtenemos

finalmente:

$(.)1 7

V

+ /A0 +=

donde:2

%.0

(4.

(.)

)2.1

+

∈−

=

8r D 6n

7

#l valor de ∈ se tom7 como cero, debido a que se esta trabaEando con un tubo liso.

7 0.0116

Sustituyendo:

$

0116.0(.)1

61.0+= /A0

+

&ma = 0.!'" m/seg

Problema 10. #n una prueba reali=ada con una tuber9a de 1cm de dimetro se a medido una diferencia

manometrica de )0mm, en un man7metro de mercurio conectado a dos anillos pie=ometricos, separados 0m.#l +asto era de )000 lt*min, esto equivale a 0.0 m)*s. Lul es el factor de fricci7n 7 M

Para dar soluci7n a este problema se tiene que la ecuaci7n de perdidas es la si+uiente:

donde C0m, &.1m, y la velocidad y las perdidas se calcular9an de la si+uiente manera:

omo el +asto es de 0.0 m)*s y el &.1m, se tiene que la velocidad seria '*- y esto seria i+ual a 2.$2m*s.

-ora, si sabemos que el peso especifico es i+ual a 1)600 V+*m), la presi7n del mercurio seria la si+uiente:

P 1)600 V+*m)/.)0m/ 4(60 V+*m2

por lo que se tiene que P*γ 4.(6m estas serian las perdidas.

sustituyendo y despeEando la ecuaci7n de perdidas que se planteo al principio del problema se tiene que

Problema 11. &eterminar la p8rdida de ener+9a que se produce en un tramo de 1000 m, al mantener una

velocidad de m*se+ en una tuber9a de 12 mm de dimetro, + 4 ? 10


31/39

I ' & / * + m*se+ 0.012 m/ * 4 ? 10


32/39

on el valor obtenido y la ru+osidad absoluta 0.1 mm/ del fierro +alvani=ado obtenemos el tama@o del

dimetro:

+−=

01%.010

1.2

(1.)

0001.0lo+2

01%.0

1 D

D = 0.18# m.

Problema 14. alcular el factor de fricci7n para el aire, a presi7n atmosf8rica y a 1 > , que fluye por una

tuber9a +alvani=ada de 1.2 m de dimetro, a velocidad de 2 m*se+.

Ca viscosidad cinemtica del a+ua a 1 > es 16 ? 10 6, la cual, es necesaria para la estimaci7n del nAmero deIeynolds.

( ) ( )1$(000

.*000016.0

2.1.*.22

=== seg m

m seg m

+

DV 8r

Ca ru+osidad absoluta presenta una ma+nitud de 0.1 mm, sustituyendo:

+

∈

−= 7 8r D 7 1.2

(1.)lo+2

1

( )

+−=

7 7 1$(00

1.2

2.1(1.)

0001.0lo+2

1

f = 0.013"

Problema 1#. alcular el dimetro de una tuber9a nueva, de fierro fundido, necesaria para transportar )00 lt*se+.de a+ua a 2 > , a un Vm. de lon+itud y con una perdida de ener+9a de 1.20 m.

Para este problema utili=aremos la ecuaci7n de Na=en


33/39

Sustituyendo:

12 P1 P2/ * γ

Para resolver este problema nos apoyaremos en la equivalencia entre el dimetro y el radio idrulico: & 4 IN

&onde: mo9ado

ducto

P

A 1H

=

a/ Para solucionar este inciso calcularemos el rea y per9metro con los datos proporcionados.

-ducto 0.0m/ 0.0m/ 0.002 m2

PmoEado 4 0.0/ 0.2 m

Sustituyendo:

mm

m 1H 012.0

2.0

002.0 2== y & 4 0.012m/ 0.0 m

#stimaci7n del nAmero de Ieynolds:

( ) ( ) %1.6.*0002(%.0

0.0.*66.)2

=== seg m

m seg m

+

DV 8r

alculo del factor de fricci7n:

0%(6.0%1.6

6464===

8r 7

Sustituyendo en la ecuaci7n de &arcy para p8rdidas: g

V

D

6 7 h

2

2

12 =

( )m

g h 2).1))

2

66.)

0.0

1000%(6.0

2

12 ==

12 = 123.23

b/ Para este inciso s7lo cambiamos las ma+nitudes de los lados

-ducto 0.02m/ 0.1m/ 0.002 m2

PmoEado 2 0.02 H 0.1/ 0.2 m

Sustituyendo:

mm

m 1H 01.0

2.0

002.0 2== y & 4 0.01m/ 0.04 m

#l nAmero de Ieynolds:

( ) ( )().24

.*0002(%.0

04.0.*66.)2

=== seg m

m seg m

+

DV 8r


122.0().24

6464===

8r 7

Sustituyendo en la ecuaci7n de &arcy para perdidas: g

V

D

6 7 h

2

2

12 =


34/39

( )m

g h 1$.20$

2

66.)

04.0

100122.0

2

12 ==

12 = 208.18 m

c/ #n este caso varia la forma en que se calcula el rea y per9metro, ya que se trata de un trin+ulo equiltero

-ducto 0.02m/ 0.1m/ 0.000)( m2 PmoEado ) 0.02/ 0.0( m

mm

m 1H 00.0

0(.0

000)(.0 2== y & 4 0.00m/ 0.02 m

#l nAmero de Ieynolds esta dado por:

( ) ( ))(.262

.*0002(%.0

02.0.*66.)2

=== seg m

m seg m

+

DV 8r


244.0

)(.262

6464===

8r

7

Sustituyendo en la ecuaci7n de &arcy para perdidas: g

V

D

6 7 h

2

2

12 =

( )m

g h ().$)2

2

66.)

02.0

100244.0

2

12 ==

12 = 832."3 m

Problema 1". 5tili=ando el dia+rama universal de ;oody dar respuesta a las si+uientes pre+untas: a/ L Para que

tipo de fluEo la p8rdida de fricci7n varia con el cuadrado de la velocidadM b/ L ul es el factor de fricci7n para

I e 10 en un tubo liso< para ∈*& 0.001 y para ∈*& 0.0001M c/ L Para qu8 ran+o del nAmero de Ieynolds,

es constante el factor de fricci7n, en un tubo de fierro fundido y de 12 mm de dimetroM d/ Suponiendo que laru+osidad absoluta de un tubo dado se incrementa en un periodo de ) a@os, a tres veces su valor inicial, L tendr9a

ello mayor efecto en la p8rdida en fluEo turbulento, para nAmeros de Ieynolds altos o baEosM e/ L Para qu8 tipo

de fluEo 7 depende Anicamente de I eM f/ L Para qu8 tipo de fluEo 7 depende Anicamente de I e y ∈*&M +/ Si el

factor de fricci7n es 0.06, para un tubo liso, L ul ser9a el factor de fricci7n para un tubo de ru+osidad relativa

∈*& 0.001, con el mismo nAmero de IeynoldsM / Co mismo para f 0.01.

a) T%rb%le,tob) T%bo l*so co, /D = 0.001⇒ - = 0.018# co, /D = 0.0001⇒ - = 0.022c) e !.8 10 #

) >o te,rEa ,*,g;, e-ecto: or tratarse e %, -l%o t%rb%le,to

e) Para -l%o lam*,ar t%rb%le,to ara t%bos l*sos-) Para el -l%o e, o e*ste) - = 0.02 seg;, el *agrama e @oo

Problema 18. -ire a 1F fluye en un conducto rectan+ular de 61? 122 cm, fabricado con una lamina de

aluminio liso a un +asto de 2(4 m)*min

a/ &eterminar la ca9da de presi7n en 100 mts.


35/39

b/ &eterminar el dimetro necesario de un conducto cil9ndrico del mismo material para transportar este +asto

con las mismas perdidas.

Para la soluci7n se supone que el tubo es colocado ori=ontalmente, entonces se procede a plantear una ecuaci7nde Bernoulli entre los puntos 1 y 2, entre los cuales ay 100mts de lon+itud.

12

2

22

2

2

11

1

22h

g

V Z

P

g

V Z

P +++=++γ γ

donde: "1 "2, '1 '2

γ 21

12

p ph

−=

#n este problema el fluido es el aire y, por lo tanto, la Anica ecuaci7n de p8rdidas que podemos utili=ar es la de&arcy

g

V

1H

6 7

g

V

D

6 7

p ph

242

22

2112 ==

−=

γ

&onde debemos reempla=ar el dimetro por el radio idrulico IN/, & 4 IN.

-&ucto 1.22/ 0.61/ 0.(44 m2 Per9metro 2 1.22 H 0.61 / ).66 m

#l radio idrulico est definido como el cociente del rea y el per9metro moEado.

mm

m

PE1:/E;1<

A 1H D=C;< 21).0

66.)

(44.0 2===

4IN 0.$2

( ).*1).6

/60/(44.0

.*2(42

)

seg m seg m

m$nm

A

QV ===

Ca viscosidad cinemtica del aire a 1F es + 16 ? 10, se+An la tabla de la pa+ina 2) del Sotelo, el peso especifico del aire

a esa temperatura es de 1.22 G+*m), lo que nos quedar9a de la si+uiente manera,

P1 < P2 1.22 G+*m)/2.%$mts/ ).6 G+*m2

P1 9 P2 = 3.!# 5g/m2


36/39

Para poder dar soluci7n al inciso b, se tiene lo si+uiente, el tubo esta ori=ontal, por lo tanto la diferencia de

presiones serian las perdidas, y si las perdidas se calculan por &arcy nos queda la si+uiente ecuaci7n,

omo se debe de tener el mismo +asto y las mismas perdidas tenemos que

&onde se conoce, el +asto, las perdidas, la lon+itud y el coeficiente de fricci7n seria,

Por ultimo sustituyendo y resolviendo para & obtenemos que,

D = 0.'4 mts

Problema 1'. -+ua fluye con un +asto de 1(.1 lps en un tubo ori=ontal de 10mm de dimetro, el cual se

ensanca asta un dimetro de )00mm. a/ #stimar la perdida la perdida de ener+ia entre dos tubos en el caso de

ampliaci7n brusca.

Para la soluci7n del inciso - de este problema, de la ecuaci7n de continuidad se despeEa la velocidad para

encontrarla.

por lo tanto la formula de las perdidas en la ampliaci7n seria la si+uiente:

esta sur+e de la ecuaci7n $.1( de la pa+ina 2%% del Sotelo -vila.

Por lo tanto nuestras perdidas serian:

seg m

D

Q

A

QV 242.0

/).0

/01(1.04422

====π π

g

V

D

Dh

21

2

2

2

2

1

2

2

−=

mh 026%.062.1%

/242.01

/1.0

/)1.0 22

2

2

=

−=

g

V

D

6 7

P P h

2

2

2112 =

−=

γ

2

12

/0$26.0

D

6Q 7 h =

2.0

2.0

4

)164.0

4)164.0

=

==⇒=

D

Q 7

D

QVD 81

81 7

υ π

υ π υ

2

2.0

12

4

)164.0/0$26.0

D

Q 6

D

Q

h

= υ π

( )

2

2.0

6

/6.4/100

1016

/6.44

)164.0/0$26.0

%$.2 D

D (

= π


37/39


38/39

CUACIO> D F>OULLI

Ca ecuaci7n de Bernoulli se desarrolla como una aplicaci7n particular de la tercera ley de e[ton sobre unatuber9a cil9ndrica, anali=ando las fuer=as que intervienen en el desli=amiento de a+ua en este se+mento del tubo.

-l acer un corte del tubo en la secci7n 1 y 2 debemos considerar las fuer=as de presi7n que actAan en las tapas

del cilindro adems, tenemos el peso del a+ua, en particular la componente del peso paralela al eEe del cilindro!

y por Altimo la fuer=a de ro=amiento del a+ua contra las paredes del cilindro, esto se muestra en la si+uientefi+ura:

#l anlisis dinmico de las fuer=as nos indican:

D1 D2 H Wsinθ < Df m a

D1 P1 - , D2 P2 -

Wsinθ 'ol. γ Sinθ - d6 γ Sinθ

dC Sinθ "1 "2WSinθ - γ "1 "2/

Df τ -c

τ : esfuer=o de ro=amiento

-c : es la rea donde el a+ua contacta con la pared del tubo

-c Per d6

Per Per9metro π &

Df τ Per d6

m W * + masa del a+ua Sustituyendo en 1/

P1 - P2 - H - γ "1 "2/ < τ Per d6 W*+ a


39/39

Si multiplicamos por d6 la #c. 2 obtenemos el trabaEo para mover el bloque.

3 si dividimos entre el peso W - C γ , obtenemos el trabaEo por unidad de peso! trabaEo unitario.

( )

>

d6a g

>

d6 A

d6d6 Per

d6 A

d6 Z Z A

d6 A

d6 A P

d6 A

d6 A P

2121 =−−+−γ

τ

γ

γ

γ γ

( ) d6 g

a

A

d6 Per Z Z

P P

221

1 =−−+−γ

τ

γ γ

la aceleraci7n es:

t

V V

t

V a

∆−

=∆

∆= 12

y la velocidad es:

V

d6t

t

d6V =∆

∆= ,

omo la velocidad toma valores de '1 y '2 para un d62 tomamos la velocidad media:

' '1H'2/ * 2.Sustituyendo en 4/

( ) ( ) ( )

d6

V V V V

d6

V V V

d6

V V

V

d6

V V

t

V V a

22

21

221212121212 −=

+−=

−=

−=

∆−

=

Sustituyendo en )/

d6d6

V V

g

Per

A

d6 Z Z

P P

2

1

2

1

2

221

21 −=−−+−γ

τ

γ γ

#liminando variables, sustituyendo a -*Per IN radio idrulico/ y a+rupando las variables 1 a la i=quierda, 2

a la dereca tenemos:

γ

τ

γ γ

22

2

22

2

2

11

1

1H

d6

g

V Z

P

g

V Z

P +++=++

#l valor de τ lo podemos obtener de la ecuaci7n de arrastre:

g

V C

A

-

g

V AC - D D

2,

2

22

γ τ γ ===

g

V

1H

d6C 1H

d6

g

V C 1H

d6 D D

22

22

== γ γ γ τ

g

V

1H

d6C

g

V Z

P

g

V Z

P D

2

22

22

22

2

2

11

1 +++=++γ γ

Sotelo Avila, Capitulo 4 y capitulo 8

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