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CICLO ACADÉMICO 2020


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SEMANA N° 02

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

VARIABLE.- Es una letra que representa a un

número real cualquiera, es decir, puede tomar

cualquier valor.

Las variables se representan generalmente con

las últimas letras del abecedario.

Ejemplos:

x, y, z, w, etc

CONSTANTE.- Es un número real fijo, es decir

no cambia de valor.

Las constantes se representan con las primeras

letras del abecedario.

2, 5,38 , √6, 𝜋, etc. a, b, c, d, etc

EXPRESIÓN ALGEBRAICA.- Es la reunión de

letras y números, enlazados entre si mediante

cualquier operación aritmética, en un número

limitado de veces.

Ejemplos:

2x3

4x2 y 3𝑥

𝑦√𝑧

EXPRESIÓN TRASCENDENTE.- Es toda

expresión no algebraica, y se reconoce porque

posee alguna operación no aritmética, o alguna

variable en el exponente, o es una expresión

ilimitada.

Ejemplos:

5x3y2 + logx – 4tanx + x+1

2x + 2x+1 + 2x+2

x + x2 + x3 + x4 + . . .

TÉRMINO ALGEBRAICO.- Es la expresión algebraica más simple, la cual no posee los signos de adición (+) ni de sustracción (-).

Ejemplos:

2x3

1

4 √𝑥2𝑦𝑧53

NOTACIÓN:

Dónde: a = coeficiente, a ∈ R;

x = variable

n = exponente; n ∈ Q

TÉRMINOS SEMEJANTES.- Dos o más términos

se dice que son semejantes si tienen la misma

parte literal, es decir, las mismas variables

afectadas de los mismos exponentes.

Ejemplos:

4x2; -6x2; 1

3

x

2 ; √2x

2

8xy3; -2xy3; xy3; xy3

NOTA: Los términos semejantes se pueden

reducir sumando sus coeficientes.

Ejemplos:

2x3 + 4x3 = 6x3

3x5 + 8x5 = 11x5

CLASIFICACIÓN

RACIONAL ENTERA

EXPRESIÓN FRACCIONARIA

ALGEBRAICA IRRACIONAL

1. EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL (E.A.R.).- Si ninguna de sus variables se encuentran dentro del signo de radical

(√ )

Ejemplos:

4

5 X2 +

3

4 y2 -

𝑥

𝑦

√3

2 X3 +

2√2

3 x2 + √5

La expresión algebraica racional a su vez

puede ser:

a) ENTERA.- Si ninguna de sus variables

se encuentran en el denominador.

Ejemplos:

𝑥+1

4 +

𝑥−1

3

1

2 x3 +

1

3 x2 -

1

4

b) FRACCIONARIA.- Si alguna de sus

variables se encuentra en el

denominador o posee exponente

negativo.

Ejemplos:

𝒙+𝟏

𝒙+𝟐 +

𝒙−𝟏

𝒙+𝟑

3x2 y

5 4x

3 y 2

𝑥

𝑦

2. EXPRESIÓN ALGEBRAICA IRRACIONAL (E.A.I.).-Si alguna de sus variables se encuentra dentro del signo de radical (

√ ), o posee exponente fraccionario.

Ejemplos:

5x3 y2 7x4 y3 √𝑥

2

3xy

3 +

1

5x

2 y

2 -

3

4 x

3 y

1/ 4

T(x) axn


3

3


DEFINICIÓN.- Se llama POLINOMIO, a toda

expresión algebraica RACIONAL ENTERA, es

decir, cuyos exponentes de sus variables sean

números enteros y positivos.

Ejemplos:

3

5 x4 +

1

4 x3 -

2

3 x2 +

1

6

√3

2 x5 +

√2

3 x3y2 -

√6

6 xy4

NOTACIÓN:

P(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + . . . + an

Dónde:

a0, a1, a2, . . . an ∈ R (coeficientes)

a0 = coeficiente principal

an = término independiente n, n-1, n-2, . . . ∈ Z+ ( exponentes)

n = grado

Si x =1:

P(1) = a0 + a1 + a2 + . . . + an =coef.

Si x =0:

P(0) = an = término independiente

NOTA.- Por el número de términos el POLINOMIO puede ser:

4x2 MONOMIO

3x+5 BINOMIO

6x2 – 3x + 7 TRINOMIO

Si la expresión algebraica no es RACIONAL

ENTERA, recibe el nombre de MULTINOMIO.

2x3y2 + 3x-2y-1 – 4x1/3y2/5

3

8 x4 +

2

3 √𝑥𝑦 +

√3

2 xy-1

GRADO DE POLINOMIOS

Se llama GRADO a la dimensión del

polinomio y está en función de los

exponentes de sus variables.

1. SI EL POLINOMIO TIENE UN SOLO

TÉRMINO. El GRADO ABSOLUTO es la

suma de los exponentes de todas sus

variables, mientras

que el GRADO RELATIVO es el exponente

de cada variable.

Ejemplos:

4x2y3 → G.A. = 2 + 3 = 5

GRx = 2 GRy = 3

7x3 → G.A. = 3 GRx = 3

2. SI EL POLINOMIO TIENE MÁS DE UN

TÉRMINO. El grado absoluto es el mayor

de los grados absolutos de todos sus

términos, mientras que el GRADO

RELATIVO es el mayor de los exponentes

de cada una de sus variables.

Ejemplos:

6x4 y

3 4x

2 y

7 3x

5 y

5

7° 9° 10° G.A. = 10; GRx = 5; GRy = 7

8x5 3x

4 2x

3 5x

2 x 4

5° 4° 3° 2° 1° 0° G.A. = 5; GRx = 5

CLASES DE POLINOMIOS

1. ENTERO.- Si todos sus coeficientes son

números enteros. Ejemplos:

4x3 + 8x2 – 3x + 5

10x4y – 13xy4 + 16

2. MÓNICO.- Si su coeficiente principal es igual

a la unidad. Ejemplos:

x2 + 9x + 13

x4 – 8x3 + 6x2 + 4x – 10

3. HOMOGÉNEO.- Si todos sus términos tienen

el mismo GRADO ABSOLUTO. Ejemplos:

4x3 y2 5x2 y3

5° 5°

7x4 y

4 3x

5 y

3 9x

2 y

6

8° 8° 8°

4. ORDENADO.- Si los exponentes de sus

variables están ORDENADOS en forma

CRECIENTE o DECRECIENTE.

Ejemplos: 2x4 + 3x5 – 6x8 + 7x12

8x9 - 2x7 + 10x5 + x2

5. COMPLETO.- Si tienen todas las potencias de

sus variables.

Ejemplos: 5x4 + 2 – 6x3 + 8x5 + 3x – 9x2

x5 + 2x4 + 3x3 + 4x2 + 5x + 6

NOTA: En todo polinomio completo se cumple:

POLINOMIOS

Términos = Grado + 1


4

4


6. IDEAL.- Es aquel polinomio HOMOGÉNEO,

ORDENADO y COMPLETO.

Ejemplos: 4x3 + 6x2y – 2xy2 + 3y3

x5 + 2x4 – 7x3y2 +x2y3 – 3xy4 + y5

7. RECÍPROCO.- Es aquel polinomio COMPLETO

y ORDENADO cuyos coeficientes equidistantes

de los extremos, son iguales.

Ejemplos: x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1

5x5 – 4x4 + 8x3 + 8x2 – 4x + 5

8. EQUIVALENTES (< >).- Dos polinomios son

EQUIVALENTES, cuando toman el mismo valor

numérico para cualquier valor que se le dé a sus

variables.

Ejemplo: 2x(x+3) < > 2x2 + 6x

Si x = 2 → 2(2)(2+3) = 2(2)2+6(2)

20 = 20

9. IDÉNTICOS (≡).-Dos polinomios son

IDÉNTICOS, si tienen las mismas variables, los

mismos exponentes y los mismos coeficientes

respectivamente.

Ejemplo: ax

2 + bx + c 3x

2 + 4x + 5

a = 3; b = 4; c = 5

10. IDÉNTICAMENTE NULO (O).- Si todos sus

coeficientes son iguales a cero.

Ejemplo:

ax2 + bx + c 0;

a = 0, b = 0; c = 0

Nota.- El grado del polinomio nulo, es

indeterminado.

Así: P(x) = 0 = 0xn Donde: n Z+

Ejemplos: x3 + x2 + x + 4 cúbico (3º grado)

x2 + x + 4 cuadrático (2º grado)

x + 4 lineal ( 1º grado)

4 constante (grado cero)

0 nulo (grado indeterminado)

SEMANA 2

1. Determinar: 2 2 2M = a + b + c , si:

2 2P(x) = a(5x + x + 3) +b(3x - 1) - c(x - x) - 45x ; es

un polinomio idénticamente nulo:

a) 215 b) 275 c) 305

d) 315 e) 300

2. En un polinomio homogéneo, ordenado y

completo, se observa que la suma de los grados

absolutos de todos sus términos es 156 ¿Cuál

es el grado de homogeneidad del polinomio?:

a) 8 b) 14 c) 11

d) 12 e) 10

3. Si P(x) ax b .

Además P P P(x) = 8x +189 .

Determinar P(5):

a) 25 b) 37 c) 28

d) 35 e) 40

4. Si: mF x +1 = x - 1 y F(3) = -0.875 .

Hallar “m”:

a) 1/2 b) -1/2 c) 1/3

d) -1/3 e) 1

5. Dados lo polinomios P(x) y Q(x) de los que

se sabe: 3P(x).Q(x) es de cuarto grado;

2

P(x) ÷ Q(x) es de octavo grado ¿ cuánto vale

el grado de: P(x)+ )(3 xQ

a) 4 b) 8 c) 12

d) 64 e) 72

6. Señale el grado del polinomio ordenado en

forma decreciente: 12-2a 2a-6 6-2a

P(x) = x + x + x

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

7. Hallar “n”, si la expresión es de 2do. Grado:

5 4 3n 2n 6 4nM(x) = 5x . 4x . 3x . 2x

a) 4,9 b) 2,6 c) 5,7

d) 7,3 e) 1,0

8. Si el grado de P(x).Q2(x) es 13 y el grado de

P2(x).Q3(x) es 22. Calcular el grado de

P3(x)+Q2(x)

a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16


5

5


9. Sea

a-b a+5 2a+3 4-b a+b a-2b+3P(x, y) = ax y + 2bx y +(a - b)x y

Calcular “a+b” si su G.A es 18 y la suma de

sus coeficientes es 5

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

10. Si el grado del polinomio:

2 n 3 n-2 5P(x) = (25x + 7) (100x - 1) (2x - 1) es 49.

Determinar:

Coeficiente Principal de P(x)E =

1750

F

a) 25 b) 15 c) 18

d) 4 e) 50

11. Hallar el número de términos del

polinomio completo y ordenado: m-7 m-6

P(x) = (m - 2)x + (m - 3)x +...

a) 4 b) 6 c) 5

d) m-7 e) m-3

12. Determinar a+c

E = a + b + c , si

a+c 2a-b c-3 a+b+c+3P(x) = ...+ x + 7x + 8x + 9x +...:

Es completo y ordenado descendentemente

a) 1 b) 0 c) -1

d) -2 e) 2

13. Si P(x) = 1+2 +3 +...+ x

Hallar: P(x - 1).P(x)E =

2P(x - 1)

a) 1/2 b) 1 c) 1/3

d) 2 e) 3

14. Dados los polinomios P(x) y Q(x), se sabe

que los polinomios: P3(x) . Q(x) y P3(x)

Q2(x), son de grado 17 y 2 respectivamente.

Hallar el grado P(x) . Q(x).

a) 4 b) 6 c) 10

d) 15 e) 9

15. Dado un polinomio cuadrático mónico P(x)

que genera el siguiente resultado tabulado

Calcular la suma de coeficientes del polinomio

a) 4 b) 2 c) 1

d) 3 e) 5

16. Determinar la suma de coeficientes, de

P(x), sabiendo que su término independiente es

17, además se cumple que:

P(x + 1) = (x+1) (ax+2) + (a–1) (x+2)+a

a) 34 b) 27 c) 8

d) 9 e) 7

17. Determinar “m” con la condición que el

término independiente del producto (m > 0)

(x + 3)2 (x + 2)3 (x – m)2 (x2 + 5)

sea 1440.

a) 2 b) 10 c) 360

d) 1 e) 1440

18. Si el polinomio:

3x3 ym + 8xn y4 +mxm ym+n-6

es homogéneo; hallar el grado del polinomio:

2x2m ym+n + 3xn ym+n – 4x3m

a) 15 b) 18 c) 19

d) 20 e) 27

19. Hallar el valor de P (6), sabiendo que:

P(x+3) = P (2x + 1) + x; además P(9) = 5

a) –2 b) 0 c) 2

d) 4 e) 12

20. Hallar “ab” en la siguiente identidad.

13 – 2x = a (2 – x) + b(1 + x)

a) 3 b) 5 c) 9

d) 15 e) 25

21. Si el polinomio P(x) es completo y

ordenado; y tiene catorce términos. Hallar (a +

n); donde:

P(x) = xn-3 + xn-2 + xn-1 + … + xa+4

a) 12 b) 15 c) 3

d) 7 e) 9

22. Hallar m + n + p, si el polinomio es

completo y ordenado en forma descendente.

P(x) = xm-10 – 3xm-n+15 + 15xp-n+16

a) 10 b) 12 c) 16

d) 48 e) 40

23. Dado el término: 2xa-1 ya z2a. Si su grado

absoluto excede en 9 a su grado relativo a “x”;

hallar su grado relativo a “y”.

a) 0 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

24. Se tiene un polinomio homogéneo: m n m n2 m 2 6 6 m

A(x,y) m x nx y mx y

Hallar la suma de los coeficientes de A(x, y)

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

x 2 1

f(x) 7 3


6

6


25. Sea el polinomio: a 1 b 1 c 2

P(x) 2x (d 5)x 5x

, Si

P(1) 14, P(2) 576 y los grados de sus

términos son consecutivos en forma creciente

Hallar: a + b + c + d

a) 17 b) 14 c) 21

d) 35 e) 49

26. Dados los polinomios P(x) y Q(x) tales

que; los grados de los polinomios: P2(x). Q(x) y 3

P (x)

Q(x) , son 27 y 23 respectivamente. Hallar el

grado de:

2Q (x)

P(x)

a) 3 b) 5 c) 7

d) 4 e) 9

27. Determinar “m” con la condición que el

término independiente del producto:

2 3 2 2x 3 x 2 x m x 5

sea 1440

a) 1 b) 2 c) 3

d) -1 e) -12

28. El polinomio: 2n 1 2n 2

x x .... 3x (n 1)

; Posee 18

términos, hallar el término independiente, si es

un polinomio completo y ordenado

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

29. Hallar la suma de coeficientes de la

expresión: 23

2 52x 3x 1 x 2

a) -2 b) -1 c) 0

d) 1 e) 2

30. El grado del polinomio:

2 5

6 3 3 2P(x) 10 x 1 x 1 100 x 1 x 3

es:

a) 17 b) 16 c) 15

d) 10 e) 20

31. El polinomio: m m 1 n 4P(a,b) a a b b

,

es homogéneo hallar: m + n

a) 5 b) 3 c) 1

d) 0 e) 4

32. El polinomio: 3n 1 3n 2

x x .... 1

, es

ordenado y completo ¿Cuántos términos tiene?

a) 3n-2 b) 3n-1 c) 3n

d) n3 e) n3n

33. Sea 3 5 2 2P(x) a 7 x ax a 1 , un

polinomio mónico; a . Hallar el término

que no depende de la variable

a) 2 b) 5 c) 10

d) 17 e) 26

34. La suma de los grados absolutos de todos

los términos de un polinomio entero,

homogéneo, ordenado y completo de dos

variables es 600 ¿Cuál es su grado absoluto?

a) 12 b) 30 c) 24

d) 36 e) 25

35. Con: n 0 , la siguiente expresión se

puede reducir a monomio: 22 2n(n+1)a -a+22 3 a -a+1 a +a-1

n(n -1) x -2x +(n-2)x

El coeficiente del monomio reducido es:

a) -4 b) -5 c) 2

d) 3 e) 4

36. El valor de “n” n N si el producto de

los grados relativos de “x” e “y” es 24. n nn-2 n 2 n n

P(x,y)=x y +(xy) y -x

a) 3 b) 2 c) 1

d) 5 e) 6

37. Si el polinomio Q(x) es idénticamente nulo 3a 2 2 2b 3 3 c

Q(x)=(ab-1)x +(a c -4)x +(b c -8)x ,

Hallar: abc; si a >0, b> 0 y c >0

a) 2 b) 3 c) 4

d) 6 e) 5

38. Hallar el grado absoluto del monomio: 1(2) 2(3) 3(4) 15(16)

M=x .y .z ....w

a) 1260 b) 1600 c) 1770

d) 2000 e) 1360

39. Calcular: f(2) si:

1+2m 1+mm mm m -mm m

f(m )= mm +1

a) 1 b) 0 c) 1/2

d) 1/4 e) 2


7

7


40. Hallar “n” para que la expresión:

2n n43M(x)= x x , sea de grado 6

a) 8 b) 6 c) 4

d) 2 e) 1

41. En el polinomio completo y ordenado: n a b c

P(x)=x +........+x +x +x +.....+abc ;

Calcular a+c

3b

a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3

d) 3/2 e) 5/3

42. Dar la suma de coeficientes del siguiente

polinomio entero completo y ordenado

26 3 a b6 a a -b 3 a

P x = a +b x + b -a x - b -a

a) 2 b) 2 2 c) 4

d) 3 2 e) 2 3

43. Si m, n N y además el polinomio:

4m(m-1) 3 m-1 m n -4P(x,y)=x y-(x ) y +x y ,

es homogéneo, Hallar: m + n

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

44. Si el grado de. 2P(x).Q es 13 y el grado

de: 2 3

P (x).Q (x) es 22. Calcular el grado de.

3 2P (x)+Q (x)

a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

45. Calcular la suma de los coeficientes del

polinomio homogéneo:

b a a-b2 a 3 b a

P(x,y,z)= a x -b y +abz

a) 12 b) 14 c) 16

d) 15 e) 17

46. Determine: (a+b) si el polinomio a+3 b aa 8 a b +8 20 20

P(x,y)=ax y +bx y -abx y , es

homogéneo

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

47. Determinar el valor de “n” en el

polinomio. 2 3 nP(x)=nx+(n-1)x +(n-2)x +....+x ,

sabiendo que la suma de sus coeficientes es

153

a) 1 b) 9 c) 17

d) 8 e) 10

48. En un polinomio P(x, y) homogéneo y

completo en “x” e “y”, la suma de los grados

absolutos de todos sus términos es 156,

Calcular el número de términos del polinomio

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

49. Cuántos términos posee el polinomio

homogéneo: m m 2 2 m 4 4

P(x, y) x x y x y ......

,

Para que sea de grado 40 , respecto a “y”

a) 41 b) 40 c) 30

d) 20 e) 21

50. Sea un polinomio: 2 3 4 4

Q(x)=x+2x +3x +4x +....+100x .

Hallar: Q(-1)

a) 100 b) 99 c) 50

d) 25 e) 199

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