Capitulo 4. Espacios vectoriales. Álgebra Lineal para Estadísticos y Actuarios. William Noguera

8/6/2019 Capitulo 4. Espacios vectoriales. lgebra Lineal para Estadsticos y Actuarios. William Noguera

1/23

Captulo 4 ESPACIOS VECTORIALES

4.1. INTRODUCCIN.

En este captulo se presentar una importante herramienta para lograr la

reduccin de datos en el anlisis de datos multivariante, como lo son losespacios vectoriales. Se expondrn sus principales conceptos asociados como

lo son: Subespacios, Combinacin Lineal, Independencia y Dependencia

Lineal, Bases y Espacio Nulo, Nulidad, Imagen, Espacio Columna y Espacio

Fila de una Matriz.

4.2. DEFINICIONES, PROPIEDADES Y EJEMPLOS.

Definicin 4.1.

Sea K un cuerpo. Se dice que un conjunto no vaco V es un K-espacio vectorialo un espacio vectorial sobre K si en V estn definidas dos operaciones; una

interna denominada adicin denotada por + que asigna a cada par ordenado

(,) VxV un nico elemento (+) V y otra externa con dominio deoperadores K denominada multiplicacin por escalares, denotada por queasigna a cada par ordenado (c,) KxV un nico elemento (c) V, las

cuales verifican las siguientes propiedades:

1. , V se cumple que + = + .2. , , V se cumple que + ( + ) = ( + ) + .3. V tal que V se cumple que + = .4. V, (-) V tal que + (-) = .5. V se cumple que 1 = .6. , V, c K se cumple que c( + ) = c + c.7. V, c, d K se cumple que (c+d) = c + d.8. V, c, d K se cumple que (cd) = c(d).

Los elementos de V se denominan vectores y los elementos de K se denominan

escalares.

Ejemplo 4.1.

Sea V = n =

=

= n...,2,1,j,X;

X

X

X

j

n

2

1

M. En este conjunto estn

definidas las operaciones de adicin y multiplicacin por escalares ya que:

ALGEBRA LINEAL PARA ESTADSTICOS Y ACTUARIOS

130

. Sin

n

2

1

X

X

X

=M

yn

n

2

1

Y

Y

Y

=M

entoncesn

nn

22

11

n

2

1

n

2

1

YX

YX

YX

Y

Y

Y

X

X

X

+

+

+

=

+

=+MMM

. Si n

n

2

1

X

X

X

=M

y c entonces n

n

2

1

n

2

1

cX

cX

cX

X

X

X

cc

=

=MM

Ahora verificamos que tales operaciones satisfacen las 8 propiedades:

1. Si

=

n

2

1

X

X

X

M y

=

n

2

1

Y

Y

Y

M tales que , V entonces:

+=

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

=+

n

2

1

n

2

1

nn

22

11

nn

22

11

n

2

1

n

2

1

X

X

X

Y

Y

Y

XY

XY

XY

YX

YX

YX

Y

Y

Y

X

X

X

MMMMMM

2.

Si

=n

2

1

X

X

X

M ,

=n

2

1

Y

Y

Y

M y

=n

2

1

Z

Z

Z

M tales que , , V entonces:

+

+

+

+

=

+

+

=++

nn

22

11

n

2

1

n

2

1

n

2

1

n

2

1

ZY

ZY

ZY

X

X

X

)

Z

Z

Z

Y

Y

Y

(

X

X

X

)(MMMMM

+

+

+

+

=

++

++

++

=

n

2

1

nn

22

11

nnn

222

111

Z

Z

Z

YX

YX

YX

ZYX

ZYX

ZYX

MMM

+++

+

+

= )(

Z

Z

Z

)

Y

Y

Y

X

X

X

(

n

2

1

n

2

1

n

2

1

MMM


2/23

CAPTULO 4: ESPACIOS VECTORIALES

131

3. Si

=

n

2

1

X

X

X

Mtal que V entonces V;

=

0

0

0

M, tal que:

=

=

+

=+

n

2

1

n

2

1

X

X

X

0

0

0

X

X

X

MMM

4. Si

=

n

2

1

X

X

X

Mtal que V entonces (-) V;

=

n

2

1

X

X

X

)(M

, tal

que:

=

=

=

+

+

+

=

+

=+

0

0

0

XX

XX

XX

)X(X

)X(X

)X(X

X

X

X

X

X

X

)(

nn

22

11

nn

22

11

n

2

1

n

2

1

MMMMM

5. Si

=

n

2

1

X

X

X

Mtal que V entonces:

1 =

=

=

=

n

2

1

n

2

1

n

2

1

X

X

X

X.1

X.1

X.1

X

X

X

1MMM

.

6. Si

=

n

2

1

X

X

X

M,

=

n

2

1

Y

Y

Y

Mtales que , V y c entonces:

)

YX

YX

YX

(c)

Y

Y

Y

X

X

X

(c)(c

nn

22

11

n

2

1

n

2

1

+

+

+

=

+

=+MMM

+

+

+

=

+

+

+

=

nn

22

11

nn

22

11

cYcX

cYcX

cYcX

)YX(c

)YX(c

)YX(c

MM


132

+=

+

=

+

= cc

Y

Y

Y

c

X

X

X

c

cY

cY

cY

cX

cX

cX

n

2

1

n

2

1

n

2

1

n

2

1

MMMM

7. Si

=

n

2

1

X

X

X

Mtal que V y c, d entonces:

)

X)dc(

X)dc(

X)dc(

X

X

X

)dc()dc(

n

2

1

n

2

1

+

+

+

=

+=+MM

+

=

+

+

+

=

n

2

1

n

2

1

nn

22

11

dX

dX

dX

cX

cX

cX

dXcX

dXcX

dXcX

MMM

+=

+

= dc

X

X

X

d

X

X

X

c

n

2

1

n

2

1

MM

8. Si

=

n

2

1

X

X

X

Mtal que V y c, d entonces:

)d(c)

X

X

X

d(c

dX

dX

dX

c

X)cd(

X)cd(

X)cd(

X

X

X

)cd()cd(

n

2

1

n

2

1

n

2

1

n

2

1

=

=

=

=

=MMMM

Luego, V es un espacio vectorial.

Observacin:

Las operaciones de adicin y multiplicacin por escalares de n del ejemploanterior son las operaciones usuales. De ahora en adelante, cada vez que se

mencione a n como espacio vectorial se supondr que es con las operacionesde adicin y multiplicacin por escalares usuales, salvo que se mencione lo

contrario.


3/23


4/23


135

V es un espacio vectorial ya que definiendo =

43

21

XX

XX, =

43

21

YY

YYy

=

43

21

ZZ

ZZse verifican las siguientes propiedades:

1. + =

43

21

XX

XX+

43

21

YY

YY=

++++

++++

1YX1YX

1YX1YX

4433

2211

=

++++

++++

1XY1XY

1XY1XY

4433

2211=

43

21

YY

YY+

43

21

XX

XX= + .

2. + ( + ) =

43

21

XX

XX+(

43

21

YY

YY+

43

21

ZZ

ZZ)

=

43

21

XX

XX+

++++

++++

1ZY1ZY

1ZY1ZY

4433

2211

=

++++++++

++++++++

1)1ZY(X1)1ZY(X

1)1ZY(X1)1ZY(X

444333

222111

=

++++++++

++++++++

11ZYX11ZYX

11ZYX11ZYX

444333

222111

=

++++++++

++++++++

1Z)1YX(1Z)1YX(

1Z)1YX(1Z)1YX(

444333

222111

=

++++

++++

1YX1YX

1YX1YX

4433

2211+

43

21

ZZ

ZZ

= (

43

21

XX

XX+

43

21

YY

YY) +

43

21

ZZ

ZZ= ( + ) +

3. + =

43

21

XX

XX+

43

21=

43

21

XX

XX

++++

++++

1X1X

1X1X

4433

2211=

43

21

XX

XX

=++

=++

=++

=++

444

333

222

111

X1X

X1X

X1X

X1X

=+

=+

=+

=+

01

01

01

01

4

3

2

1

=

=

=

=

1

1

1

1

4

3

2

1

=

11

11

4. + (-) =

43

21

XX

XX+

43

21

YY

YY=

11

11


136

++++

++++

1YX1YX

1YX1YX

4433

2211=

11

11

=++

=++ =++

=++

11YX

11YX11YX

11YX

44

33

22

11

=

= =

=

2XY

2XY2XY

2XY

44

33

22

11

(-) =

2X2X

2X2X

43

21=

11X11X

11X11X

43

21

=

1X11X1

1X11X1

43

21= (-1)

43

21

XX

XX

5. (1) = (1)

43

21

XX

XX=

++

++

1X11X1

1X11X1

43

21=

43

21

XX

XX=

6. c( + ) = c(

43

21

XX

XX+

43

21

YY

YY)

= c

++++

++++

1YX1YX

1YX1YX

4433

2211

=

++++++

++++++

1)1YX(cc1)1YX(cc

1)1YX(cc1)1YX(cc

4433

2211

=

++++++

++++++

1ccYcXc1ccYcXc

1ccYcXc1ccYcXc

4433

2211

=

++++++++

++++++++

111ccYcXc111ccYcXc

111ccYcXc111ccYcXc

4433

2211

=

++++++++

++++++++

1)1cYc()1cXc(1)1cYc()1cXc(

1)1cYc()1cXc(1)1cYc()1cXc(

4433

2211

=

++

++

1cXc1cXc

1cXc1cXc

43

21+

++

++

1cYc1cYc

1cYc1cYc

43

21

= c

43

21

XX

XX

+ c

43

21

YY

YY

= c + c

7. (c+d) = (c+d)

43

21

XX

XX

=

++++++

++++++

1X)dc(dc1X)dc(dc

1X)dc(dc1X)dc(dc

43

21

=

++++++

++++++

1dXcXdc1dXcXdc

1dXcXdc1dXcXdc

4433

2211


5/23


6/23


7/23


8/23


143

Observacin:

F(S) ya que VF(S); esto porque V es un subespacio trivial queevidentemente contiene a S.

4.4. COMBINACIN LINEAL.

Definicin 4.4.

Sean K un cuerpo y V un espacio vectorial sobre K. Sean 1, 2, , n V.Un vector V se dice que es una combinacin lineal de los vectores 1,2, , n si existen escalares c1, c2, , cn K tales que:

=

=n

1i

iic

Ejemplo 4.10.

Sea V=2.

=

0

4es combinacin lineal de

=

3

1y

=

2

2ya que

= 2 + 3.

Definicin 4.5.

Sean K un cuerpo y V un espacio vectorial sobre K. Sea S un subconjunto de

V. Se define como subespacio generado por S y se denota por [S] al conjunto:

[ ] I)S(FW

WS

=

Observaciones:

1. [S] es el menor subespacio o subespacio ms pequeo que contiene

a S, es decir, verifica las siguientes condiciones:

1.1. S [S]1.2. Si U es un subespacio de V tal que S U entonces

[S] U.2. [] = {}.

Teorema 4.6.

Sean K un cuerpo y V un espacio vectorial sobre K. Si S es un subconjunto no

vaco de V entonces [S] es el conjunto formado por todas las combinaciones

finitas de elementos de S, es decir, [S] si y slo si existen n *, vectores1, 2, , n S y escalares c1, c2, , cn K tales que:

=

=n

1i

iic


144

Demostracin

Sea W = { =

n

1i

iic ; n *, ci K, i S, i = 1, 2, , n}

Veamos que [S] = W.

Sean 1, 2, , n S y c1, c2, , cn K. Luego,

1, 2, , n [S] y c11, c22, , cnn [S], por consiguiente

=

n

1i

iic [S]

Por lo tanto, W [S] (1).

Es claro que S W ya que si S entonces = 1 W.Veamos que W es un subespacio de V.

Sean , W y c K. Entonces =

=n

1i

iic , =

=m

1j

jjd , ci K,

i S, i = 1, 2, , n, dj K, j S, j = 1, 2, , m.

En consecuencia,

(c + ) = (c

=

n

1i

iic +

=

m

1j

jjd ) = (

=

n

1i

ii )cc( +

=

m

1j

jjd ) W.

Esto significa que W es un subespacio de V tal que S W y por consiguiente[S] W (2).

Finalmente, por (1) y (2) se deduce que W = [S].

Ejemplo 4.11.

Sean V = 3 y S = {

=

1

0

1

1 ,

=

5

3

2

2 }. Determinemos explcitamente

[S].

=

c

b

a

[S] si y slo si existen escalares c1, c2 tales que:

= c11 + c22

Luego,


9/23


10/23


147

Observaciones:

1. S es L.I. si y slo si para cualquier subconjunto finito

{1, 2, , n} de S formado por vectores distintos y escalares

c1, c2, , cn K se tiene que la relacin lineal ==n

1iiic

implica que c1 = c2 = = cn = 0.

2. es L.I.

Ejemplo 4.12.

Sea V=4. Los vectores

=

3

0

1

2

y

=

9

0

3

6

son L.D., ya que:

=+3 .

Ejemplo 4.13.


=

4

2

1

y

=

3

5

2

son L.I., ya que:

=

+

+

=

+

=

+

=+0

0

0

d3c4

d5c2

d2c

0

0

0

d3

d5

d2

c4

c2

c

0

0

0

3

5

2

d

4

2

1

cdc

=

=

=+

=+

0

0

0

d

c

34

52

21

0d3c4

0d5c2

0d2c

+

0

0

0

00

10

01

0

0

0

00

10

21

0

0

0

110

10

21

0

0

0

34

52

21

211233

133

122r2rrr11rr

r4rr

r2rr

c = d = 0.

Ejemplo 4.14.


=

3

1

1

,

=

2

2

1

y

=

8

8

2

son L.D., ya que:


148

=

+

++

+

=

+

+

=++

0

0

0

c8c2c3

c8c2c

c2cc

0

0

0

8

8

2

c

2

2

1

c

3

1

1

cccc

321

321

321

321321

=

=+

=++

=+

0

0

0

c

c

c

823

821

211

0c8c2c3

0c8c2c

0c2cc

3

2

1

321

321

321

+

0

0

0

000

210

211

0

0

0

210

210

211

0

0

0

210

630

211

0

0

0

823

821

211

333222

133

122rrr

r3

1rr

r3rr

rrr

c2 + 2c3 = 0 y c1 c2 + 2c3 = 0. c2 = 2c3 y c1 c2 + 2c3 = 0.

c2 = 2c3 y c1 (2c3) + 2c3 = 0. c2 = 2c3 y c1 + 2c3 + 2c3 = 0.

c2 = 2c3 y c1 = 4c3.

Si se elige arbitrariamente c3 =2

1entonces c1 = 2 y c2 = 1. Luego, existen

escalares c1, c2, c3 no todos iguales a cero tales que =++ 321 ccc .

Ejemplo 4.15.

Sea V = P2. Los polinomios p1(x) = 1, p2(x) = x, p3(x) = x2 son L.I. ya que:

ap1 + bp2 + cp3 = 0 a.1+ b.x + c.x2 = 0 a + bx + cx2 = 0 a = b = c =

0.

Ejemplo 4.16.

Sean V = n y B = {e1, e2, , en} un subconjunto de V, siendo:

coordenadasima-j

0

1

0

ej

=

M

M

Veamos que B es L.I.

Verifiquemos que para cualesquiera escalares c1, c2, , cn K se tiene que laigualdad c1e

1 + c2e2 + + cne

n = implica que c1 = c2 = = cn = 0.

En efecto,


11/23


12/23


151

Demostracin

CN(): Si S es L.D. entonces existe j , 1 j n tal que j [S {j}].

Por hiptesis existen escalares c1, c2, , cn K no todos iguales a cero tal que:

==

n

1i

iic

Sea j , 1 j n tal que cj 0. Luego,

=++ +=

=

n

1ji

iijj

1j

1i

ii ccc

+=

= =

n

1jiii

1j

1iiijj ccc

))c

c()

c

c((

n

1ji

i

j

i

1j

1i

i

j

ij

+=

=

+=

j [S {j}]

CS(): Si existe j , 1 j n tal que j [S {j}] entonces S es L.D.

Por hiptesis, existen escalares c1, c2, , cj-1, cj+1, , cn K tales que:

+=

=+=

n

1ji

ii

1j

1i

iij cc

=++ +=

=

n

1ji

iij

1j

1i

ii c)1(c

Por consiguiente, existen escalares c1, c2, , cn K no todos iguales a cero

(al menos cj = (-1)) tal que ==

n

1i

iic . Luego, S es L.D.

Ejemplo 4.17.

En relacin al ejemplo 4.12., los vectores

=

3

1

1

,

=

2

2

1

y

=

8

8

2

son

L.D., ya que existen escalares c1, c2, c3 no todos iguales a cero

(c1 = 2, c2 = 1, c3 =

2

1) tales que =++ 321 ccc , es decir,

=++2

1)1(2 . Luego,


152

=2

12

+=4

1

2

1

Por lo tanto, es combinacin lineal de y , es decir, [{, }]

Teorema 4.10.

Sean el espacio vectorial V = n, AMnxn() y B = {A1, A2, , An}V. B esL.I. si y slo si A es no singular.

Demostracin

CN(): Si B es L.I. entonces A es no singular.

Si B es L.I. entonces para cualesquiera escalares c 1, c2, , cn K se tiene que

la relacin lineal 1nx

n

1j

jj Ac =

=

implica que c1 = c2 = = cn = 0. Esto

indica que:

c1A1 + c2A2 + + cnAn = nx1 c1 = c2 = = cn = 0, es decir,

[ ]

=

=

0

0

0

c

c

c

0

0

0

c

c

c

AAA

n

2

1

n

2

1

n21

MMMML , es decir,

===

n

2

1

1nx1nx

c

c

c

Xsiendo;XAXM

Por lo tanto el SEL 1nxAX = tiene como nica solucin la solucin trivial locual implica que A es no singular.

CS(): Si A es no singular entonces B es L.I.

Si A es no singular entonces el SEL 1nxAX = tiene como nica solucin lasolucin trivial. Luego,

===

n

2

1

1nx1nx

c

c

c

Xsiendo;XAXM

, es decir,


13/23


14/23


15/23


16/23


17/23


161

Teorema 4.21.

Sea AMmxn(K). Entonces CA = IA.

Demostracin

Supongamos que YIA. Entonces, XKn: AX = Y. Luego,

[ ] Y

X

X

X

AAA

n

2

1

n21 =

ML

YAXAXAX nn2

21

1 =+++ L

Por lo tanto, Y es combinacin lineal de A1, A2, , An. Por consiguiente,

Y[{A1, A2, , An}], es decir, Y CA. Esto significa que IACA (11).

Supongamos ahora que YCA. Luego, Y se puede expresar como combinacinlineal de A1, A2, , An, es decir, existen escalares c1, c2, , cnK tales que:

nn

22

11 AcAcAcY +++= L

Luego,

[ ]

=

n

2

1

n21

c

c

c

AAAYM

L

[ ] Y

c

c

c

AAA

n

2

1

n21 =

ML

AX = Y, con

=

n

2

1

c

c

c

XM

Por tanto, YIA. Por consiguiente, CAIA (12).

Por (11) y (12) se tiene que CA = IA.

Teorema 4.22.

Sea AMmxn(K). Entonces Dim(RA) = Dim(CA) = Dim(IA) = r(A).


162

Demostracin

Supongamos que Dim(RA) = p. Sea S = {1, 2, , p} una base para RA. Ntese que iKn. Luego, cada fila de A se puede expresar como unacombinacin lineal de los vectores de S, es decir, existen escalares cij;

i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , p tales que:

pmp22m11mt

m

pp2222121t

2

pp1212111t

1

c...cc)A(

c...cc)A(

c...cc)A(

+++=

+++=

+++=

M(13)

Ahora bien, la j-sima componente de (A i)t es Aij. Por lo tanto, si igualamos las

j-simas componentes de ambos lados de (13) y escribimos i de la forma:

=

ni

i2

i1

iM

Se obtiene que:

pjmpj22mj11mmj

pjp2j222j121j2

pjp1j212j111j1

c...ccA

c...ccA

c...ccA

+++=

+++=

+++=

M

Luego,

++

+

=

mp

p2

p1

pj

2m

22

12

j2

1m

21

11

j1

mj

j2

j1

c

c

c

...

c

c

c

c

c

c

A

A

A

MMMM(14)

Sea i =

mi

i2

i1

c

c

c

M

Por consiguiente, como el lado izquierdo de (14) es la j-sima columna de A se

tiene que cada columna de A se puede escribir como una combinacin lineal

de los vectores 1, 2, , p, lo cual significa que [{1, 2, , p}] = CA y porende Dim(CA) p = Dim(RA) (15).


18/23


19/23


165

=

+++

+++

+++

==

0

0

0

0

0

XA...XAXA

XA...XAXA

XA...XAXA

FX ttt22t11t

tt2222121

tt1212111

1nxM

M

M

El determinante de la matriz de coeficientes de orden kxk del SEL homogneo

dado es no nulo, ya que las filas de esta matriz son L.I. De esta forma, la nicasolucin del SEL es X1 = X2 = = Xt = 0. Luego, X tiene la forma siguiente:

nn

2t2t

1t1tn2t1t

n

2t

1t

eX...eXeX

1

0

0

0

0

0

X...

0

1

0

0

0

0

X

0

0

1

0

0

0

X

X

X

X

0

0

0

X +++=

++

+

=

= +++

+++

+

+

M

M

M

M

M

M

M

M

Esto prueba que [S(t)] = NF de forma tal que n(F) = n t = n r(F). Luego,

r(F) + n(F) = n. Por (17) y (18) se tiene que r(A) + n(A) = n.

Ejemplo 4.23.

Sea AM3x3() definida por:

=

936

624

312

A

Determinemos Espacio Nulo (NA), Nulidad (n(A)), Imagen (IA), Rango (r(A)),

Espacio Fila (RA) y Espacio Columna (CA).

NA = {X3: AX = 3x1 }

=

= 11 r

2

1r

3

2

1

1x3

0

0

0

936

624

312

0

0

0

X

X

X

936

624

312

AX

+

0

0

0

000

0002

32

11

0

0

0

936

6242

32

11

133

122

r6rr

r4rr


166

321321 X23X

21X0X

23X

21X ==+

+

=

=

=

1

02

3

X

0

12

1

X

X

X

X2

3X2

1

X

X

X

X 32

3

2

32

3

2

1

Luego, NA = {X3:

+

= ba,;

1

02

3

b

0

12

1

aX } y n(A) = 2.

IA = {Y3: AX = Y, para algn X3}. Utilicemos el teorema 4.21.

R

000

0002

32

11

936

6242

32

11

936

624

312

A133

122

11

r6rr

r4rrr

2

1r

=

= +

Se observa que el nmero de filas no nulas de R es 1 por lo cual

Rango(A) = r(A) = 1. Luego, cualquier columna de A forma una base para CA,

es decir:

CA = {Y3:

= c;

6

4

2

cY } = IA

A su vez, una base para RA consiste en una combinacin lineal de las filas no

nulas de R, es decir:

}a;

23

21

1

aX:X{R 3A

==


20/23


167

EJERCICIOS PROPUESTOS.

1. Determine cules de los siguientes conjuntos son espacios vectoriales.Justifique su respuesta.

1.1. El conjunto de vectores de 2 con las operaciones

Y

X+

W

Z=

+

+

WY

ZXy c

Y

X=

cY2

cX2, c.


Y

X+

W

Z=

++

++

2WY

1ZXy c

Y

X=

cY

cX, c.

1.3. El conjunto de todas las matrices de orden 2x2 en de laforma

1b

a1con las operaciones matriciales usuales de

suma y multiplicacin por escalares.


3

2

1

X

X

X

+

3

2

1

Y

Y

Y

=

+

+

+

33

22

11

YX

YX

YX

y c

3

2

1

X

X

X

=

0

0

0

.

1.5. El conjunto de las matrices de orden 2x2 en diagonales conlas operaciones matriciales usuales de suma y multiplicacin

por escalares.

1.6. El conjunto de los polinomios de grado a lo sumo 2 tales quep(0) = 2.

1.7. El conjunto de los polinomios de grado a lo sumo n tales quep(3) = 0.

2. Consideremos el espacio vectorial 3 con las operaciones usuales desuma y multiplicacin por escalares. Determinar si los siguientes

conjuntos son subespacios de 3:

2.1. W = {

3

2

1

X

X

X

: 2X1 + X3 = 0}

2.2. W = {

3

2

1

X

X

X

: 2X2 = X1 4}

2.3. W = {

3

2

1

X

X

X

: |X2 1| = X3}

2.4. W = {

3

2

1

X

X

X

: X1}


168

3. Sean

=

4

1

2

1 ,

=

3

1

1

2 ,

=

5

2

3

3 . Expresar los siguientes vectores

como combinacin lineal de 1, 2 y 3:

3.1.

=

2

5

3

.

3.2.

=

3

2

1

.

4. Sean p1(x) = 1 2x + x2, p2(x) = 1 + 3x 2x2, p3(x) = 2 x + 3x2.Expresar los siguientes polinomios como combinacin lineal de p1, p2

y p3:

4.1. q1(x) = 4 + 4x + 3x2.4.2. q2(x) = 0.4.3. q3(x) = 5 3x2.4.4. q4(x) = -4 + 2x 5x2.

5. Determine si el conjunto de polinomios p1, p2, p3 del ejercicio anteriores L.I. Determine tambin si el conjunto de polinomios p1, p2, p3, q1 es

L.I.

6. Determine el subespacio generado los siguientes conjuntos:

6.1. S1 = {

1

3

2

1

,

0

1

2

1

,

3

0

3

3

,

1

6

5

4

,

4

3

1

5

}

6.2. S2 = {x3 2x2 , 1 4x2, 10 7x3, -x3 + 3x2}6.3. S3 =

74

53,

1-3

32-,

18

14,

03

11

7. Sean A, B, C M2x2(K) definidas por:

=

31

21A ,

=

24

10B ,

=

20

14C

Determine cules de las siguientes matrices son combinacin lineal deA, B y C:

7.1.

=

73

60D


21/23


169

7.2.

=

26

51E

7.3.

=

00

00F

7.4.

=

81

18G

8. Determine si los siguientes vectores forman un conjunto L.I.

8.1.

=

3

2

2

1 ,

=

1

3

1

2 ,

=

1

5

2

3

8.2.

=1

1

2

1 ,

=3

1

3

2 ,

=5

4

2

3

8.3.

=

3

2

1

1 ,

=

1

3

1

2 ,

=

3

1

2

3 ,

=

3

1

6

4

9. Consideremos las siguientes operaciones en 2:

2

1

X

X

+

2

1

Y

Y

=

++

++

pYX

pYX

22

11

y c

2

1

X

X

=

+

+

pcXc

pcXc

2

1

Determine el valor de p para el cual 2 con las operaciones de suma ymultiplicacin por escalares definidas anteriormente es un espacio

vectorial.

10. Utilizando independencia y dependencia lineal determine si lassiguientes matrices son no singulares:

=102110

003

A

=101110

103

B

= 611071

217

C

=

112

312

622

D

=

6112

1521

1251

2101

E

=

1102

1100

0221

1001

F

11. Sea P4 el espacio vectorial de los polinomios de grado a lo sumo 4 y pun polinomio de grado 4. Determine si {p, p, p, p(3), p(4)} es un

conjunto L.I. en P4.


170

12. Sean K un cuerpo, V un espacio vectorial sobre K, S un conjunto devectores L.I. de V y V. Demuestre que [S] si y slo si S{} esL.I.

13. Sean K un cuerpo, V un espacio vectorial sobre K y 1, 2, , k+1, vectores de V. Demuestre que Si [{1, 2, , k+1}] y[{1, 2, , k}] entonces k+1[{1, 2, , k, }].

14. Demuestre que si {1, 2, , n} es un conjunto L.I. y{1, 2, , n, } es un conjunto L.D. entonces es combinacinlineal de 1, 2, , n.

15. Sean K un cuerpo, V un espacio vectorial sobre K yS = {1, 2, , n} un conjunto de vectores L.I. de V tal que{1, 2, , n, } es L.D., V. Demuestre que S es una base deV.

16. Sean K un cuerpo, V un espacio vectorial sobre K yS = {1, 2, , n} un subconjunto de V tal que [S] = V y[S {i}] V, i = 1, 2, , n. Demuestre que S es una base de V.

17. Sea {1, 2, ,3} un conjunto L.I. Determine si los siguientesconjuntos son L.I.:

17.1. {a2 + b3, 2 + c3, 3}; con a, b, c.17.2. {1, b2 + c3, a3 2}; con a, b, c.

18. Deterrmine cules de los siguientes conjuntos de vectores son base de3:

18.1.

=

0

0

1

1 ,

=

0

2

2

2 ,

=

3

3

3

3

18.2.

=

4

1

3

1 ,

=

6

5

2

2 ,

=

8

4

1

3

18.3.

=

1

3

2

1 ,

=

1

1

4

2 ,

=

1

7

0

3

18.4.

=

4

6

1

1 ,

=

1

4

2

2 ,

=

5

2

1

3


22/23


171

19. Demuestre que los siguientes conjuntos de vectores de 3 generan elmismo subespacio:

S1 = {

1

0

1

,

1

2

0

} y S2 = {

0

2

1

,

1

2

2

}

20. Determine una base y la dimensin del subespacio de matrices deorden 2x2 en K cuya traza es nula.

21. Determine una base y la dimensin del espacio solucin de lossiguientes SEL:

21.1.

=+

=+

=++

0X2X

0X2X

0X3XX2

31

21

321

21.2.

=+

=+++

0XXXX5

0XXXX3

4321

4321

22. Determine la dimensin de cada uno de los siguientes subespacios:

22.1. W1 = {

4

3

2

1

X

X

X

X

: X4 = 0}

22.2. W2 = {

4

3

2

1

X

X

X

X

: X4 = X1 + X2, X3 = X1 X2}

22.3. W1 W2.

23. Sean S1 = {

4

3

2

1

X

X

X

X

: X1 + X2 + X3 = 0} y S2 = {

4

3

2

1

X

X

X

X

: X3 + X4 = 0}.

23.1. Demuestre que S1 y S2 son subespacios vectoriales de 4.23.2. Hallar bases de S1, S2 y S1 S2.

24. Consideremos el espacio vectorial P2 de los polinomios de grado a losumo 3 y p1, p2P2 tales que p1(x) = x2 + x 1 y p2(x) = 2x2 4x + 1.

24.1. Demuestre que p1 y p2 son L.I.24.2.

Determine una base de P2 que contenga a p1 y p2.


172

24.3. Determine las coordenadas de pP3 tal que p(x) = 3x3 + 2x2 x 1 con respecto a la base obtenida en el apartado anterior.

25. Sea W = {x2 4x 3, 2x2 + x + 5, 8x 11}. Determine si W es unconjunto de generadores de los polinomios de grado a lo sumo 2.

26. Sea S = {x3 3x2 + 1, 2x2 + x, 2x3 + 3x + 2, 4x 5, x2 5x + 1,x2 4}. Determine un subconjunto de S que sea una base del espacio

generado por S.

27. Sea E = {

10

71

03

,

20

31

01

,

10

13

02

,

10

10

06

}. Determine una

base de V = Mnxn() que contenga a E.

28. Sea E = {

22

10

41

,

94

11

52

,

32

21

71

,

126

12

63

}. Determine la

dimensin del subespacio generado por E.

29. Sea W = {

1

1

0

,

1

0

2

}.

29.1. Demuestre que W es L.I.29.2. Determine un vector tal que W{} sea L.I. Este vector

es nico?

29.3. Determine un vector no nulo tal que W{} sea L.D.30. Sean 1, 2, 3, 4 los siguientes vectores de 4:

=

1

1

1

2

1 ,

=

3

1

2

1

2 ,

=

3

0

2

1

3 ,

=

1

1

2

2

4

Determine una base y la dimensin de W1W2 siendo W1 elsubespacio generado por1 y 2 y W2 el subespacio generado por3 y4.

31. Determine Espacio Nulo, Nulidad, Imagen, Rango, Espacio Fila yEspacio Columna de las siguientes matrices:

31.1.

=

013

211A


23/23


173

31.2.

=

363

242

121

B

31.3.

=815

413

211

C

31.4.

=

1112

4521

2101

1211

D

31.5.

=

40131204

3200

0011

E

Capitulo 4. Espacios vectoriales. Álgebra Lineal para Estadísticos y Actuarios. William Noguera

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