Capitulo 3 Mecanica de Fluidos 2008 u de Chile

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Captulo 3

Analisis Diferencial

En este captulo se desarrollaran las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de unfluido real. En particular se desarrollan el principio de conservacion de masa y la segunda ley demovimiento de Newton o principio de conservacion de cantidad de movimiento lineal (~F = m~a)para un elemento diferencial. Lo que se obtiene es un conjunto de ecuaciones diferencialesparciales. Estas ecuaciones son difciles de resolver en forma analtica por lo que generalmentese recurre a soluciones numericas. Este es el ambito de estudio de la Mecanica de FluidosComputacional o CFD, el cual no sera tratado en este curso. Sin embargo lo anterior, algunosejemplos sencillos pueden ser resueltos en forma analtica. Se analizaran ademas, algunos casosparticulares de flujo, para los cuales las ecuaciones se simplifican y de cuyo analisis se puedenobtener conclusiones importantes. En una primera parte se analizara la cinematica de unapartcula elemental.

3.1 Cinematica

La cinematica estudia varios aspectos de un fluido en movimiento como velocidad, posicion yaceleracion sin analizar las fuerzas necesarias para que se produzca dicho movimiento.

En una primera parte describiremos el movimiento en terminos del movimiento de una partculafluida y posteriormente se realizara un analisis macroscopico para la descripcion de un flujo.

La descripcion de cualquier propiedad del fluido puede ser descrita como una funcion de suposicion. En particular se utilizan coordenadas espaciales (x, y, z por ejemplo) para identificarlas partculas de fluido y sus propiedades. Esta representacion se denomina representacion decampo. As por ejemplo, el campo de velocidades vendra dado por ~V = ~V (x, y, z). Como larepresentacion de una partcula puede ser diferente en tiempos diferentes la representacion debeser tambien una funcion del tiempo. Para el campo de temperaturas y velocidades por ejemplo

T = T (x, y, z, t)

~V = ~V (x, y, z, t)

~V = u(x, y, z, t)+ v(x, y, z, t)+ w(x, y, z, t)k

El movimiento de una partcula puede ser descrito en terminos de la velocidad y la aceleracion.Por definicion la velocidad de una partcula es la variacion temporal del vector posicion

~V =d~r

dt.

3.1 Cinematica 31

La rapidez es el modulo de la velocidad |~V |. Si las propiedades de un flujo, en todos los puntosdel espacio, permanecen invariantes en el tiempo, se dice que el flujo es permanente. En casocontrario se llama nopermanente. Un campo de velocidades permanente estara dado por

~V = ~V (x, y, z) .

Para el caso permanente se cumple (/t = 0).

Como se menciono anteriormente las propiedades de un fluido y las caractersticas del flujo sepueden representar como una funcion de la posicion y del tiempo. Se desprende de lo anteriordos formas de posibles de representacion:

1. La primera, utiliza el concepto de campo mencionado anteriormente. La descripcion delflujo esta dada por la descripcion de las propiedades de este como una funcion de la posiciony del tiempo. De esta manera se obtiene informacion del flujo en terminos de que pasaen un punto fijo del espacio en un tiempo t cuando el flujo pasa por el. Este metodo dedescripcion se denomina descripcion Euleriana. La velocidad queda representada por elcampo de velocidades dado por

~V = ~V (x, y, z, t) .

2. El segundo metodo, denominado Lagrangiano, analiza una partcula generica del flujo paraanalizar y caracterizar el flujo. En esta representacion la posicion x, y, z no son fijas sinovaran en el tiempo. Las coordenadas espaciales seran por lo tanto funciones del tiempoy de una posicion preescrita xo, yo, zo en un instante to. Para la velocidad se tiene por lotanto

~V = ~V (x(t), y(t), z(t), t) .

V

V V

ALneas y tubo de corriente

Para representar el flujo en forma grafica se utiliza el conceptode lnea de corriente. Las lneas de corriente son las envolventesde los vectores de velocidad de las partculas fluidas, es decir,el vector de velocidad es siempre tangente a las lneas de corri-ente. Si el flujo es permanente (/t = 0) las lneas de corrienteestaran fijas en el tiempo y coincidiran con la trayectora de laspartculas. Si el flujo no es permanente (/t 6= 0) las lneas decorriente seran solo una representacion instantanea del flujo.

Se llama tubo de corriente al conjunto de lneas de corriente quepasan por el contorno de un area A, en un tiempo determinado.Dado que la velocidad es tangente a las lneas de corriente, noexistira flujo a traves del manto de un tubo de corriente por loque se cumple que

~V d~r = 0 ,

donde d~r es el desplazamiento diferencial de una partcula fluida que tiene una velocidad ~V . Dela ecuacion anterior resulta

dx

u=dy

v=dz

w, (3.1)

que representan las ecuaciones para determinar las lneas de corriente.

C. Gherardelli U. de Chile

3.1 Cinematica 32

3.1.1 Velocidad, Rotacion y Deformacion

Como se menciono en el captulo 1 un fluido es una substancia que se deforma al aplicar sobreesta un esfuerzo de cizalle. Debemos esperar por lo tanto que una partcula fluida se encuentresometida a movimientos de traslacion, rotacion, deformacion lineal y angular como se muestraen la figura 3.1. Este tipo de movimientos esta asociado a variaciones complejas de las diferentescomponentes de la velocidad (u, v, w) en todas las direcciones. Lo anterior nos indica que, engeneral, (Vi/xj) 6= 0 i, j. Analizaremos ahora cada uno de estos efectos por separado y surelacion con la variacion de la velocidad segun los distintos ejes coordenados.

Figura 3.1: Superposicion de movimientos de una partcula fluida.

Traslacion

El movimiento mas sencillo al cual se puede encontrar sometida una partcula fluida es elmovimiento de traslacion. En la figura 3.2 se muestra una partcula que viaja con una ve-locidad constante desplazandose desde su posicion original una nueva posicion dada por lospuntos OAC B.

Figura 3.2: Movimiento de traslacion de una partcula fluida.

Deformacion lineal

Analizaremos la deformacion lineal segun el eje x, como se muestra en la figura 3.3. Nos interesapor lo tanto analizar la variacion de la velocidad segun el mismo eje, es decir (u/x). Comose muestra en esta figura, y debido a la diferencia de velocidad existente entre las lneas OB yAC el elemento de fluido se deforma en un tiempo t. La variacion del volumen resulta

V =(u

xx

)yzt .


3.1 Cinematica 33

Figura 3.3: Deformacion lineal de una partcula fluida.

El cambio de volumen por unidad de volumen es

1V

d(V )t

= limt0

[(u/x)t

t

]=u

x.

El cambio de volumen, por unidad de volumen, segun todos los ejes es la superposicion de loscambios segun cada eje y por lo tanto igual a

1V

d(V )t

=u

x+v

y+w

z= ~V .

Vemos como la divergencia de la velocidad, ~V , se encuentra asociada a la deformacion linealde la partcula fluida. Como un cambio de volumen a masa constante significa una variacion dela densidad, se debe cumplir que

~V = 0 para un flujo incompresible y

~V 6= 0 para un flujo compresible.

Rotacion

La velocidad angular de la lnea OA, OA, de la figura 3.4 queda definida por

OA = limt0

t.

Para angulos pequenos se tiene que la tangente del angulo se puede aproximar por el valor delangulo. Analizando la figura y para pequenos se tiene que

tan =vxxt

x=v

xt ,

OA =v

x.

Analogamente la velocidad angular de la linea OB, OB, resulta

OB = limt0

t=u

y.


3.1 Cinematica 34

Figura 3.4: Rotacion de una partcula fluida.

La velocidad angular en torno al eje z, z, se define como el promedio aritmetico de OA yOB, es decir:

z =12(OA OB)

=12

(v

x uy

)(3.2)

Se puede observar de la ecuacion 3.2 que la partcula fluida rotara en torno al eje z como uncuerpo rgido, es decir sin deformacion, solo si u/y = v/x. En otro caso la rotacionestara asociada a una deformacion. Se ve ademas que cuando u/y = v/x la rotacion entorno al eje z es cero.

Para los otros ejes se obtiene

y =12

(u

z wx

)

x =12

(w

y vz

)

De las ecuaciones anteriores se puede ver que:

~ =12 ~V

Un flujo para el cual ~V = 0 se llama irrotacional y representa un tipo especial de flujo comose vera mas adelante.

La vorticidad ~ de un flujo se define como

~ = 2~ = ~V

Deformacion angular

Se ve de la figura 3.4 que las derivadas u/y y v/x pueden causar, ademas de la rotacionde la partcula, una deformacion. La tasa de deformacion angular de una partcula se midepor la rapidez de cambio del angulo que se forma entre las lneas OA y OB. Si OA gira a unvelocidad angular distinta a OB la partcula se esta deformando. Para el plano xy de la figurala deformacion xy resulta:


3.1 Cinematica 35

xy =12(OA OB)

=12

(v

x+u

y

).

La deformacion se representa mediante un tensor de deformacion, , cuya componente genericaij esta dada por:

ij =12

(vjxi

+vixj

)

Las componentes de la diagonal de este tensor representan la deformacion lineal por compresiony/o traccion en los distintos ejes vista anteriormente y esta dada por:

ii =vixi

Se vera mas adelante como este tensor de esfuerzos esta relacionado con los esfuerzos normalesy de corte.

Velocidad

Haciendo un desarrollo de Taylor del campo de velocidades y despreciando los termino de orden2 y superiores se obtiene

vi(~x, t) = vi(~xo, t) +

(vixj

)~xo

xi i, j .

El primer termino del lado derecho de la ecuacion anterior representa la traslacion por lo que elsegundo debe representar la rotacion y la deformacion. En forma matricial la ecuacion anteriorqueda u(~x)v(~x)

w(~x)

= u(~xo)v(~xo)w(~xo)

+ u/x u/y u/zv/x v/y v/zw/x w/y w/z

~xo

xyz

.La matriz

(vixj

)~xose puede dividir en dos matrices, una antisimetrica, que representa la rotacion,

y otra simetrica, que representa la deformacion, de la siguiente manera:

u/x u/y u/zv/x v/y v/zw/x w/y w/z

=

0 12(uy vx

)12

(uz wx

)12

(uy vx

)0 12

(vz wy

)12

(uz wx

)12

(vz wy

)0

+

ux

12

(uy +

vx

)12

(uz +

wx

)12

(uy +

vx

)vy

12

(vz +

wy

)12

(uz +

wx

)12

(vz +

wy

)wz


3.1 Cinematica 36

La velocidad queda por lo tanto para un fluido de la siguiente forma u(~x)v(~x)w(~x)


+ 0 z yz 0 xy x 0

xy

z

+ xy

z

.Recordando los resultados de la mecanica del solido, donde solo se consideran movimientos detraslacion y rotacion, la velocidad esta dada por

~V~x = ~V~xo + ~ ~r ,

donde ~ es el vector de velocidad angular. En forma matricial esta ecuacion queda u(~x)v(~x)w(~x)


+ 0 z yz 0 xy x 0

xy

z

.Vemos que este resultado es un caso particular de la ecuacion para un fluido donde no existedeformacion.

3.1.2 Aceleracion

La velocidad de una partcula cualquiera sera una funcion de la posicion as como del tiempo

~V = ~V (~r, t) .

La aceleracion ~a es la variacion temporal de la velocidad

~a =d

dt~V (~r, t) =

d

dt~V (x, y, z, t) .

Aplicando la regla de la cadena se obtiene

~a =~V

x

x

tu

+~V

y

y

tv

+~V

z

z

tw

+~V

t

~a =

(~V

xu+

~V

yv +

~V

zw

)

aceleracionconvectiva

+

(~V

t

)

aceleracionlocal

(3.3)

Se ve que existen dos efectos superpuestos en la aceleracion:

Aceleracion local: representa la variacion de la velocidad de una partcula en la posicionocupada por esta, es decir, representa los efectos no permanentes existentes en un flujo.

Aceleracion convectiva: representa el hecho de que una propiedad asociada a una partculafluida puede cambiar debido al movimiento de esta de un punto en el espacio a otro.


3.1 Cinematica 37

Las componentes escalares de esta ecuacion en coordenadas cartesinas son:

ax =(u

xu+

u

yv +

u

zw

)+(u

t

),

ay =(v

xu+

v

yv +

v

zw

)+(v

t

),

aw =(w

xu+

w

yv +

w

zw

)+(w

t

).

La ecuacion 3.3 puede reescribirse de la siguiente forma:

~a =~V

t+(~V

) operador

~V .

(~V

)es un operador matematico que, en el caso de la ecuacion anterior, se encuentra operando

sobre la velocidad ~V . De lo anterior se puede decir que:

()t

+(~V

)()

es tambien un operador que, para el caso de la aceleracion, opera sobre la velocidad. Esteoperador se denomina derivada material, sustancial o total y se representa por

D()Dt

.

~a =D(~V )Dt

.

El concepto de derivada total es aplicable a distintos parametros del flujo y no solo a la ace-leracion. Para la temperatura T (x, y, z, t), que se diferencia de la velocidad por ser un campoescalar, por ejemplo, la derivada total resulta

DT

Dt=T

t+ ~V T

y para la presion p(x, y, z, t)

Dp

Dt=p

t+ ~V p

donde vemos que el operador opera primero sobre el campo escalar.


3.2 Conservacion de la masa / Ecuacion de Continuidad 38

3.2 Conservacion de la masa / Ecuacion de Continuidad

Lneas y tubo de corriente

El principio de conservacion de masa establece que la variaciontemporal de la cantidad de masa contenida en un volumen mas elflujo de masa neto que pasa a traves de las paredes que encierranel volumen es igual a cero. Para el desarrollo del principio deconservacion de masa se considera una partcula diferencia comola de la figura, la cual se supone inmersa en flujo con velocidad~V = u+ v+ wk.

La cantidad de masa contenida en el volumen es igual a la masapor unidad de volumen, es decir la densidad, por el volumen delelemento diferencial.

m = = xyz

La variacion temporal de m es, por lo tanto,

(m)t

=

t xyz

Figura 3.5: Volumen de Control diferencial.

El flujo de masa m a traves de una superficie cualquiera A esta dado por

m =A

~V d ~A [kg/s]

Como convencion para definir el signo del producto punto se define la normal a la superficieque encierra al volumen positiva hacia afuera del volumen. Lo anterior implica que para unflujo que entra al volumen el signo del producto ~V d ~A sera negativo y para un flujo que saledel volumen sera positivo. El flujo neto sera, por lo tanto, lo que sale menos lo que entra alvolumen considerado. Otro punto a mencionar es que el producto ~V d ~A representa el productoescalar de la componente normal de la velocidad por el diferencial de area, es decir, Vn dA. Lacomponente tangencial al area dA no aporta flujo masico a traves de la superficie.

Para el elemento diferencial de la figura la ecuacion anterior se debe aplicar a cada una de lascaras del elemento y se debe realizar un desarrollo de Taylor de primer orden para la variableV . Para la direccion se tiene que el flujo neto es

(u+

( u)x

x2

)yz

(u ( u)

x

x2

)y z =

((u)x

)xyz


3.3 Cantidad de Movimiento Lineal 39

El flujo neto en todas las direcciones es la suma de las componentes de cada direccion, es decir,

((u)x

+( v)y

+(w)z

)xyz

(m)t

=

t xyz +

((u)x

+( v)y

+(w)z

)xyz = 0

Agrupando los terminos y dividiendo por el volumen se obtiene finalmente:

t+ ( u)x

+ ( v)y

+ (w)z

= 0 (3.4)

Esta ecuacion es la forma diferencial del principio de conservacion de masa para un sistema decoordenadas cartesiano. En la Mecanica de Fluidos este principio se denomina Ecuacion deContinuidad. Para un sistema de coordenadas cilndrico la ecuacion de continuidad esta dadapor:

t+1r

(r ur)r

+1r

( u)

+ ( uz)z

= 0 (3.5)

En forma vectorial la ecuacion de continuidad queda de la siguiente forma:

t+ ~V = 0 (3.6)

Desarrollando el segundo termino se tiene

t+ ~V + ~V = 0

Se puede apreciar que los dos primeros terminos representan la derivada total de la densidadpor lo que la ecuacion anterior se puede reescribir de la siguiente forma:

D

Dt+ ~V = 0 (3.7)

Para los flujos en que se cumple que ~V = 0 se puede considerar, por lo tanto, que el flujo secomporta como un flujo incompresible.

3.3 Cantidad de Movimiento Lineal

3.3.1 Tensor de esfuerzos

Sobre un elemento diferencial de fluido actua una distribucion de esfuerzos segun todas lasdirecciones como se muestra en la figura 3.6. Esta distribucion de esfuerzos se agrupa en untensor denominado tensor de esfuerzos :

=

xx xy xzyx yy yzzx zy zz

.C. Gherardelli U. de Chile


yyxy

yx

zy

yz

xx

zz

xz

zx

x

y

z

Figura 3.6: Esfuerzos sobre un elemento de fluido.

El elemento generico de este tensor es i,j donde el subndice i representa la normal al planoasociado con la tension y el subndice j representa la direccion de la tension. Por convencion seadopta la siguiente convencion de signos:

La normal a la superficie es positiva hacia afuera del volumen que encierra la superficie. Una componente de la tension es positiva cuando tanto el vector que representa la superficiesobre la que actua la tension como la tension misma tienen sentidos coincidentes, es decir,ambos positivos o ambos negativos.

Se cumple ademas que i,i = i,i que representa la componente de esfuerzos normal al plano i.Se puede demostrar que este tensor es simetrico, es decir

xy = yx

xz = zx

zy = yz

=

xx xy xzxy yy yzxz yz zz

Se puede demostrar tambien que la suma de las tensiones normales es una invariante, es decir,no depende de los ejes del sistema coordenado (x, y, z en este caso). Se define

=13(xx + yy + zz)

como la tension volumetrica que es un escalar. Para el caso de fluidos ideales o no viscosos setiene que xx = yy = zz que se definio la presion como el negativo de la tension normal, esdecir

= xx = p .



Para el caso de fluidos viscosos se define la presion termodinamica como la tension volumetricacon signo cambiado, es decir

= p

3.3.2 Ecuaciones de movimiento / Ecuaciones de Navier-Stokes

Para determinar las ecuaciones de movimiento para un fluido viscoso se analizara el elementodiferencial de la figura 3.7 donde se han considerado solo las fuerzas segun la direccion y.

x

yz

x

y

z( -yy zx)y2yyy (yy+ zx)y2yyy

(xy+ zy)x2xyx

(xy- zy)x2xyx(zy+ xy)z2zyz

(zy- xy)z2zyzFigura 3.7: Balance de fuerzas sobre un elemento de fluido.

Realizando un balance de fuerzas y desarrollando se obtiene el siguiente sistema de ecuacionespara todas las direcciones:

gy +xyx

+yyy

+zyz

= DVyDt

gx +xxx

+xyy

+xzz

= DVxDt

gz +xzz

+yzy

+zzz

= DVzDt

(3.8)

La existencia de esfuerzos de corte esta asociada a las deformaciones a que esta sometido unelemento diferencial de fluido. Debe por lo tanto existir una relacion entre el tensor de esfuerzos y el tensor de deformaciones analizado en el captulo 3.1

= f() .

Fluidos de Stokes

Se define un fluido de Strokes al fluido que cumple con las siguientes condiciones:

1. Tensor de esfuerzos es una funcion continua del tensor de velocidad de deformacion ydel estado termodinamico local.

2. es independiente de la traslacion y rotacion del elemento considerado.

3. las propiedades del fluido son independientes del sistema de referencia utilizado.

4. El fluido carece de elasticidad.

5. El fluido es homogeneo, la funcion f no depende explicitamente de las coordenadas.



6. El fluido es isotropo, es decir, las propiedades son independientes de la direccion y lasdirecciones principales de y coinciden.

Fluido Newtoniano

Se define un fluido Newtoniano como un fluido de Stokes lineal, es decir, las componentes de son funciones lineales de las componentes de .

Bajo las condiciones anteriores la relacion que se obtiene es la siguiente:

+ pI = 2+( ~V

)I (3.9)

donde

p = 13(xx + yy + zz)

(viscosidad dinamica) y (segundo coeficiente de viscosidad) son constantes de propor-cionalidad.

I es el tensor identidad.

De acuerdo a la ec. 3.9 el elemento generico para los esfuerzos de corte esta dado por

ij =

(vixj

+vjxi

).

Para un sistema cartesiano de coordenadas, las componentes escalares de la anterior resultan:

xy = (Vxy

+Vyx

)

xz = (Vxz

+Vzx

)

yz = (Vyz

+Vzy

)

Para un flujo con un perfil de velocidades segun un solo eje (x) se obtiene:

xy = Vxy

que representa la Ley de Viscosidad de Newton vista en el captulo 1.

Para los esfuerzos normales la ecuacion 3.9 segun x queda:

xx + p = 2xx + Vxx

Sumando las tres componentes y recordando que xx + yy + zz = 3p se obtiene

= 23 .



Reemplazando el resultado anterior en la ec. 3.9 se obtiene finalmente

= 2(p+

23 ~V

)I

componente normalde la deformacion

. (3.10)

En notacion indicial la ecuacion anterior queda:

ij = 2ij (p+

23 ~V

)ij (3.11)

Si el flujo esta en reposo (~V = 0) o es uniforme (~V = cte) se recupera lo visto en el captulo 2:

ij = pij .

Si el flujo es incompresible ( ~V = 0) la componente normal del esfuerzo queda:

ii = 2Vixi

p .

Reemplazando el tensor de esfuerzos obtenido (ec. 3.10) en el sistema de ecuaciones 3.8 y con-siderando que

xj[%]ij =

xi[%] ,

se obtiene

(Vit

+ VjVixj

)= gi +

xj(2)

xi

(p+

23 ~V

).

Como

ij =12

(vjxi

+vixj

)

se obtiene finalmente

(Vit

+ VjVixj

)= gi +

xj

[

(Vjxi

+Vixj

)] xi

(p+

23 ~V

)(3.12)

Las ecuaciones anteriores (3 ecuaciones escalares) representan las ecuaciones de movimientogeneral para un fluido newtoniano y se denominan ecuaciones de Navier-Stokes. La ecuacion decontinuidad,

t+ (~V ) = 0 ,

proporciona la ecuacion faltante para cerrar el sistema de ecuaciones. En el caso mas generaldeben incluirse ademas la ecuacion de estado del fluido (f(p, , T ) = 0) y la dependencia de laviscosidad con la temperatura y la presion ( = (T, p)). Estas ecuaciones no han sido resueltassalvo en casos muy particulares y simples.



3.3.3 Flujo incompresible

La ecuacion de continuidad para un flujo incompresible esta dada por la siguiente relacion

~V = 0 .Veremos a continuacion como se modifican las ecuaciones de Navier-Stokes bajo esta condicion.Para esto desarrollaremos la componente x (i = x) del segundo termino del lado derecho de laec. 3.12:

xj

[

(Vjxi

+Vixj

)]=

[

x

(Vxx

+Vxx

)+

y

(Vxy

+Vyx

)+

z

(Vxz

+Vzx

)]

=

2Vxx2

+2Vxy2

+2Vxz2

+

x

(Vxx

+Vyy

+Vzz

)

~V=0

=

[2Vxx2

+2Vxy2

+2Vxz2

]= 2Vx .

xj

[

(Vjxi

+Vixj

)]= 2Vi .

Realizando un desarrollo analogo segun los otros ejes coordenados y reemplazando en lasecuacion 3.12 se obtienen las siguientes ecuaciones escalares en coordenadas cartesianas:

(u

t+ u

u

x+ v

u

y+ w

u

z

)= p

x+ gx +

(2u

x2+2u

y2+2u

z2

)

(v

t+ u

v

x+ v

v

y+ w

v

z

)= p

y+ gy +

(2v

x2+2v

y2+2v

z2

)

(w

t+ u

w

x+ v

w

y+ w

w

z

)= p

z+ gz +

(2w

x2+2w

y2+2w

z2

)(3.13)

En coordenadas cilndricas el sistema de ecuaciones es el siguiente:

(urt

+ ururr

+ur

ur

u2

r+ uz

urz

)= p

r+ gr

+

[

r

(1r

r[rur]

)+

1r22ur2

2r2u

+2urz2

]

(ut

+ urur

+ur

u

+urur

+ uzuz

)= 1

r

p

+ g

+

[

r

(1r

r[ru]

)+

1r22u2

+2r2ur

+2uz2

]

(uzt

+ uruzr

+ur

uz

+ uzuzz

)= p

z+ gz

+

[1r

r

(ruzr

)+

1r22uz2

+2uzz2

](3.14)



En forma vectorial estas ecuaciones quedan de la siguiente forma:

(~V

t+(~V

)~V

)= p+ ~g + 2~V (3.15)



Flujo entre dos placasparalelas infinitas

Ejemplo Entre dos placas placas paralelas, fijas e infinitasfluye un flujo laminar, incompresible y permanente en la di-reccion x. Se pide determinar el campo de velocidades y presionque se estables bajo estas condiciones. Se pide ademas que de-termine el caudal volumetrico, la velocidad media del flujo y elesfuerzo de corte en la pared w. Evaluar como cambian los re-sultados si la placa superior se mueve con una velocidad U enla direccion x.



Ejemplo Por un tubo horizontal de radio R, diametro D =2R, fluye un flujo laminar, incompresible y permanente en la di-reccion z. Se pide determinar el campo de velocidades y presionque se establece bajo estas condiciones. Se pide ademas determinar la velocidad media del flujo,el caudal volumetrico, el esfuerzo de corte y el factor de friccion f . Evaluar como cambian losresultados si en el tubo original se introduce un tubo de radio R1 concentrico con el original,por lo que el fluido pasara por un espacio anular.



3.3.4 Flujo turbulento

En esta seccion se veran las ecuaciones de Navier-Stokes para un flujo turbulento. Un flujoturbulento se caracteriza por un movimiento aleatorio de las partculas fluidas con un compor-tamiento aleatorio de las variables del flujo como la velocidad, los esfuerzos de corte, etc.. Estetipo de flujo se representa o modela por el valor medio (A) de la variable A mas una fluctuacion(A). Para la velocidad por ejemplo lo anterior queda expresado por

V = V + V

donde

V =1T

t0+Tt0

V (x, y, z, t)dt .

T es el mayor periodo de la mayor fluctuacion. Lo anterior se puede ver en la figura XX.Aplicando la definicion de promedio o media a la componente fluctuante (V ) se obtiene:

V =1T

t0+Tt0

(V V )dt

=1T

t0+Tt0

V dtt0+Tt0

V )dt

= V V = 0 ,

es decir la media de las fluctuaciones es igual a cero.

Se define la intensidad de la turbulencia I como

I =(V )2

V=

(1T

t+Tt(V )2dt

)1/2V

(3.16)

Se desarrollaran las ecuaciones de Navier-Stokes para las medias temporales de la velocidad (yaque esta medida es facilmente cuantificable) y se vera el efecto de las fluctuaciones sobre estas.Segun la coordenada x la ecuacion de Navier-Stokes es:

(Vxt

+ VxVxx

+ VyVxy

+ VzVxz

)= p

x+ gx +

(2Vxx2

+2Vxy2

+2Vxz2

).

En la ecuacion anterior se debe reemplazar Vi = Vi + V i . Por ejemplo, el termino Vx (Vx/x)queda

Vx (Vx/x) =(Vx + V x

) [(Vx + V x)x

]

= VxVxx

+ VxV xx

+ V xVxx

+ V xV xx



Realizando todos los reemplazos y tomando la media temporal sobre toda la ecuacion (se proponehacerlo como ejercicio) y considerando un flujo permanente se obtiene:

(VxVxx

+ VyVxy

+ VzVxz

)= p

x+gx+2Vx

(V xV xx

+ V yV xy

+ V zV xz

).(3.17)

La ecuacion de continuidad para un flujo turbulento queda expresada mediante la siguienterelacion:

(Vx + V x

)x

+(Vy + V y

)y

+(Vz + V z

)z

= 0

Desarrollando y promediando en el tiempo se obtiene

Vxx

+Vyy

+Vzz

+V xx

+V yy

+V zz

= 0

Como el promedio de las perturbaciones es, por definicion, igual a cero la ecuacion anterior sepuede escribir en forma separada para los promedios como para las fluctuaciones de la velocidadde la siguiente manera:

Vxx

+Vyy

+Vzz

= 0

V xx

+V yy

+V zz

= 0

De lo anterior se puede demostrar que

(V xV xx

+ V yV xy

+ V zV xz

)=

(V x)2x

+(V xV y)y

+(V xV z )z

Sustituyendo en la ecuacion 3.17 se obtiene

(VxVxx

+ VyVxy

+ VzVxz

)= p

x+gx+2Vx

(V x)2x

+(V xV y)y

+(V xV z )z

(3.18)Comparando la ecuacion anterior con la ecuacion 3.15 se puede ver que la existencia de fluc-tuaciones en la velocidad genera esfuerzos en el fluido y estos afectan la velocidad media delflujo. Estos esfuerzos se denominan esfuerzos aparentes o de Reynolds. Considerando todas lasdirecciones se obtiene un tensor de esfuerzos denominado tensor de esfuerzos aparente:

=

xx xy xz yx yy yz zx zy zz

= (V x)2 (V xV y) (V xV z )(V yV x) (V y)2 (V yV z )

(V zV x) (V zV y) (V z )2



Lo anterior se puede interpretar tambien como que el esfuerzo total en un flujo turbulento secompone de un valor medio, asociado a la viscosidad del fluido, mas una fluctuacion, asociadanaturalmente a la turbulencia existente en el flujo, es decir:

= + (3.19)

Escribiendo las ecuaciones de Navier-Stokes en estos terminos en notacion indicial resulta:

DViDt

= 1

p

xi+ gi +

1

xj

(ji + Tji

)(3.20)

Un punto importante a considerar es que la existencia de fluctuaciones introduce nuevasincognitas y por lo tanto se requiere de nuevas ecuaciones para cerrar y solucionar(numericamente) el sistema ecuaciones. Existen diversos modelos, llamados modelos de cierre,que proporcionan estas ecuaciones adicionales. El estudio de estos modelos queda fuera delalcance de este curso por lo que no seran tratados.

3.3.5 Fluido ideal

Para un fluido ideal se cumple que = 0 por lo que las ecuaciones de Navier-Stokes se reducena:

(~V

t+(~V

)~V

)= p+ ~g (3.21)

Esta ecuacion se denomina Ecuacion de Euler y representa la forma diferencial de la segundaley de movimiento de Newton para un fluido ideal, donde no existen esfuerzos de corte. Paraun flujo permanente la ecuacion de Euler se reduce a:

(~V

)~V = 1

p+ ~g

El termino del lado izquierdo de la ecuacion anterior se puede desarrollar de la siguiente forma:

(~V

)~V =

(V 2

2

) ~V ( ~V ) .

Si se cumple que ~V = 0, es decir que el flujo es irrotacional, la ecuacion de Euler queda

(V 2

2

)= 1

p+ ~g

Realizando un producto punto entre la ecuacion anterior y un elemento diferencial de movimientod~r segun una direccion arbitraria y suponiendo que ~g = gz, se obtiene:

dp

+ d

(V 2

2

)+ gdz = 0



Para un flujo incompresible, la ecuacion anterior se puede integrar obteniendo finalmente:

p+ gz +12V 2 = cte.

La ecuacion anterior representa un balance de energa y se denomina ecuacion de Bernoulli. Seve que la energa de un fluido esta dada por la energa asociada a la presion p, la energa potencialgz y la energa cinetica 1/2V 2. Como la direccion d~r del desplazamiento fue elegida en formaarbitraria, se puede concluir que la constante de integracion es la misma entre cualquier par depuntos del fluido. En la siguiente seccion se vera mas en profundidad este punto.

3.3.6 Dinamica elemental

En esta seccion se analizara la ecuacion de cantidad demovimiento lineal desde un sistema coordenado (s, n)coincidente con la lnea de corriente, donde s es laposicion a lo largo de la lnea de corriente. El analisisse hara para un regimen permanente, por lo que laslneas de corriente estaran fijas en el espacio. La ve-locidad de la partcula elemental en este sistema coor-denado estara dada por:

Partcula fluida sobre una lnea decorriente

~V = ~V (s, t) s ,

dado que la velocidad es tangente a la lnea de corriente. El vector unitario s es, sin embargo,una funcion tanto de s como n, es decir, s = s(s, n). La aceleracion de la partcula esta dadapor:

~a =D~V

Dt=D(V s)Dt

=DV

Dts+ V

Ds

Dt.

Como /t = 0 la ecuacion anterior queda

D~V

Dt=(VV

s

)s+ V

(Vs

s

).

La derivada del vector unitario s resulta

s

s= lim

s0s

s=n

R,

donde n es el vector normal a s y R el radio de curvatura de la lnea de corriente en el punto.

~a = VV

ss

componenteparalela a s

+V 2

Rn

componentenormal a s

.



El termino de la aceleracion normal a s tiene su origen en el cambio de direccion de la velocidadde una partcula al moverse sobre una trayectoria curva. Si la trayectoria es recta, es decirR, este termino desaparace.Analizaremos a continuacion la ecuacion de cantidad de movimiento lineal (F = ma) segun unadireccion de movimiento coincidente a la lnea de corriente y segun una direccion de movimientonormal a la lnea de corriente. Para determinar las fuerzas externas en ambas situaciones, esdecir segun s y n, se analizara el elemento diferencial de la figura 3.8.

Ecuacion de movimiento segun s; Ecuacion de Bernoulli

La ecuacion de cantidad de movimiento segun s es(p p

s

s

2

)ny

(p+

p

s

s

2

)ny sny sin = snyV V

s

Figura 3.8: Balance de fuerzas sobre una partcula fluida.

sin ps

= VV

s.

Se ve que para que exista movimiento debe existir un desbalance entre las fuerzas causadas porla presion y el peso. Analizaremos a continuacion la ecuacion anterior a lo largo de la lnea decorriente. El diferencial de la presion es

dp =(p

s

)ds+

(p

n

)dn .

Sobre una lnea de corriente se cumple que n = cte o dn = 0, por lo que

p

s=dp

ds.

Analogamente se tiene que

VV

s=

12dV 2

ds

y

sin =z

s=dz

ds.



Reemplazando en la ecuacion de movimiento se obtiene

dzds dpds

=12d(V 2)ds

.

Eliminando ds obtenemos

dz dp = 12d(V 2)

o

dp+12d(V 2) + dz = 0 .

Integrando sobre la lnea de corriente se obtienedp

+12V 2 + gz = C , (3.22)

donde C es una constante de integracion. Las ecuaciones anteriores son validas solo sobre unalnea de corriente. Se ve que para poder integrar el primer termino de la ecuacion anterior esnecesario conocer la relacion existente entre la densidad y la presion.

Fluido incompresible.

Si la densidad es constante se obtiene

p+12V 2 + gz = C . (3.23)

La ecuacion anterior se denomina ecuacion de Bernoulli (1778) y tiene implcitas las siguienteshipotesis

efectos viscosos despreciable, flujo permanente, flujo incompresible, aplicable solo a una lnea de corriente.

La ultima de estas hipotesis significa que la constante de integracion sera diferente entre unalnea de corriente a otra. La ecuacion de Bernoulli dice que para un flujo sin roce la energa total,que es la suma de la energa cinetica, la energa potencial y la energa de presion, se mantieneconstante. Se ve que la ecuacion de Bernoulli, escrita en esta forma, tiene unidades de presion.La constante C de la ecuacion de Bernoulli se denomina presion total pT , es decir

pT = p+12V 2 + gz .

Por lo tanto, la presion total se mantiene constante sobre una lnea de corriente en un flujo ideal( = 0). Vemos ademas que la presion total esta compuesta por

12V 2 = presion dinamica,



p = presion estatica y

gz = presion hidroestatica.

Dividiendo por g se obtiene

p

g+ z +

V 2

2g= cte .

Se puede apreciar que la ecuacion de Bernoulli se puede escribir en terminos de longitud. Eltermino de elevacion z, que esta relacionado con la energa potencial se denomina altura to-pografica. El termino (P/g) se denomina altura de presion y representa la altura de la columnade lquido necesaria para producir una presion p. (V 2/2g) se llama altura de velocidad y rep-resenta la altura vertical necesaria para que si el fluido cae libremente, adquiera la velocidadV .

Presion de estancamiento: se define como la presion que se obtiene al desacelerar un flujoisoentropicamente (s=cte; proceso ideal) hasta el reposo. De la ecuacion de Bernoulli se ve quela presion de estancamiento es igual a la presion total. Si el proceso de desaceleracion del flujono es ideal la presion que se obtiene es distinta a la de estancamiento y se denomina presionde estancamiento local. La presion de estancamiento se obtiene de la conversion de la energacinetica y potencial, o de la presion dinamica e hidroestatica, en presion estatica y sera, por lotanto, mayor que esta.

Fluido compresible

Si suponemos ahora que el fluido es un gas ideal podemos utilizar la ecuacion de estado de losgases ideales para expresar la dependencia de la densidad con la presion y la temperatura. Dela ecuacion de estado se obtiene

=p

RT.

Reemplazando en la ecuacion 3.22 se obtieneRT

dp

p+ gz +

12V 2 = C ,

de donde se ve que debemos explicitar la forma en que vara la temperatura a lo largo de lalnea de corriente. Para un flujo isotermico, es decir T = cte., se obtiene, integrando entre dospuntos sobre una lnea de corriente

12V 21 + gz1 +RT ln

p1p2

=12V 22 + gz2 .

Para un flujo isoentropico se cumple que

p

k= cte.

Reemplazando, integrando entre dos puntos y reoordenando se obtiene(k

k 1)p11

+V 212

+ gz1 =(

k

k 1)p22

+V 222

+ gz2 .

Esta ecuacion es equivalente a la ecuacion para un flujo incompresible salvo por el factor (k/k1)que multiplica la presion y por el hecho de que las densidades son distintas.



Ecuacion de cantidad de movimiento segun n.

Haciendo un desarrollo analogo al realizado en el punto anterior pero ahora segun n se obtiene

dzdn

pn

=V 2

R.

Esta ecuacion indica que la variacion en la direccion del flujo de la partcula esta acompanada deuna combinacion apropiada del gradiente de presion y el peso en la direccion normal a la lneade corriente. Si la partcula se mueve por una trayectoria recta (R ) la presion varia enforma hidroestatica. Si por ejemplo despreciamos la gravedad o consideramos un flujo horizontalobtenemos

pn

=V 2

R,

que nos dice que la presion aumenta si uno se aleja del centro de curvatura, dado que n apuntahacia adentro del centro de curvatura y el termino del lado derecho de la ecuacion es positivo.Para un s constante se tiene que ds = 0 y por lo tanto (p/n) = dp/dn. Por lo tanto, simultiplicamos la ecuacion anterior por dn e integramos a traves de las lineas de corriente conds = 0 se obtiene

dp

p+V 2

Rdn+ gz = cte. normal a la lnea de corriente.

Si el flujo es incompresible se tiene ademas que

p+ V 2

Rdn+ gz = C .

Esta ecuacion nos dice que cuando una partcula viaja sobre una lnea de corriente curva (R


Ejemplo Para el flujo ideal,incompresible y permanentede la figura describa lavariacion de la presion entrelos puntos (1) y (2) y (3) y(4).



Aplicaciones Una de la aplicaciones im-portantes de las ecuaciones vistas anterior-mente es la posibilidad de medir la velocidadde un flujo a traves de la medicion de dife-rencias de presion. Una forma sencilla de lo-grar esto es la que se muestra en la figura.Se pide evaluar la velocidad de una partculaque pasa por punto 1, V1 si la linea de cor-riente de dicha partcula es horizontal y pasapor el punto 2.



Ley de vaciado de un es-tanque Determinar la ve-locidad del lquido a la sal-ida del estanque suponiendoque el nivel del estanque semantiene constante y la vis-cosidad del lquido es despre-ciable. Rehaga el analisis parael caso en que el estanque bajade nivel.



Ejemplo A traves del Ven-turi de la figura circulaKerosene (SG=0.85). Elrango de flujos de Kerosenese encuentra entre 0.005 y0.050 m3/s. Determinar lavariacion de presiones asocia-da.



Ejemplo Para el sifon dela figura determine la alturamaxima H tal que no se pro-duzca cavitacion si el lquidoes agua y se encuentra a 60F(ps=0.256 psia). Patm=14.7psia.


3.4 Flujo Potencial 61

3.4 Flujo Potencial

Se analizara en este captulo un tipo particular de flujo o escurrimiento denominado flujo po-tencial. Este tipo de flujo se denomina as ya que es posible definir una funcion potencial mediante la cual se puede representar el campo de velocidades. La condicion necesaria parala existencia de la funcion potencial es que el flujo sea irrotacional, es decir, ~V = 0. Sibien la condicion de irrotacionalidad en un flujo es difcil de encontrar existen, en algunos flujos,zonas las cuales pueden ser tratadas como si el flujo fuese irrotacional. Para que una partculafluida, originalmente sin rotacion, comience a rotar se requiere de un esfuerzo de corte. Como sevio anteriormente los esfuerzos de corte estan asociados a la viscosidad y los gradientes develocidad en la direccion normal al desplazamiento (V/n). Para fluidos de viscosidad baja,como el aire por ejemplo, los esfuerzos de corte estaran asociados principalmente a la existenciade gradientes de velocidad. En las regiones del flujo donde no existan gradientes de velocidad elflujo podra ser considerado como irrotacional. De particular interes es el estudio de flujo alrede-dor de cuerpos solidos inmersos en un flujo, como un perfil alar por ejemplo. Sobre la pareddel cuerpo, y por el principio de adherencia, el fluido tendra una velocidad relativa al cuerponula. A medida que uno se separa del cuerpo la velocidad del fluido aumenta aproximandose a lavelocidad de la corriente libre a partir de una cierta distancia, a partir de la cual practicamenteno existen gradientes de velocidad. La zona cercana al cuerpo es una zona de grandes gradientesde velocidad y por lo tanto una zona donde los esfuerzos de corte son importantes. Esta zonase denomina capa lmite y sera estudiada en el captulo 7. En la zona fuera de la capa lmite losgradientes de velocidad desaparecen y con ellos los esfuerzos de corte, por lo que el flujo puedeser considerado como irrotacional.

Figura 3.9: Flujo irrotacional y capa lmite sobre un cuerpo.

Ademas de la condicion de irrotacional se supondra que el fluido es incompresible ( = cte), elflujo es permanente (/t = 0), y se analizaran solamente flujos bidimensional, es decir un flujodonde las propiedades y caractersticas del flujo son independientes de una de las coordenadasespaciales (2D).

3.4.1 Funcion potencial

De la condicion de irrotacionalidad de un flujo se obtiene que

Vzy

=Vyz

Vxz

=Vzx



Vyx

=Vxy

Analizando estas relaciones se ve que las componentes de la velocidad se pueden expresar medi-ante una funcion escalar (x, y, z) tal que

Vx =

x

Vy =

y

Vz =

z

La funcion se denomina funcion potencial de velocidades y se cumple que

~V =

Reemplazando la relacion anterior en la ecuacion de continuidad para un flujo incompresible seobtiene

~V = = 0

2 = 0

que se conoce como ecuacion de Laplace. En coordenas rectangulares la ecuacion anterior queda

2

x2+2

y2+2

z2= 0

Una caracterstica importante de la ecuacion de Laplace es que es una ecuacion en derivadasparciales lineal, lo que implica que si 1 y 2 son soluciones o satisfacen la ecuacion 2 = 0,entonces 3 = 1 + 2 sera tambien solucion de la ecuacion de Laplace. Esta caractersticapermite generar diferentes tipos de flujos a partir de otros conocidos superponiendo las funcionespotenciales respectivas. Esto se conoce como superposicion de flujos.

3.4.2 Funcion de corriente

La ecuacion de continuidad para un flujo incompresible y permanente es ~V = 0, que encoordenadas cartesianas y para un flujo bidimensional resulta

Vxx

+Vyy

= 0

Analizando la ecuacion anterior se ve que es posible definir una funcion = (x, y), llamadafuncion de corriente, tal que

Vx =

y



Vy = x

Reemplazando en la ecuacion de continuidad. se obtiene

x

(

y

)+

y

(x

)= 0

2

xy

2

yx= 0

de donde vemos que satisface la ecuacion de continuidad. Obtenemos de esta manera nueva-mente una reduccion del numero de funciones necesarias para representar el campo de veloci-dades. Se ve ademas, de la ecuacion anterior, que la funcion de corriente satisface tambien laecuacion de Laplace

2 = 0

Las lneas para las cuales la funcion de corriente es constante son las lneas de corriente. Difer-enciando se obtiene

d =

xdx+

ydy = 0

Vy dx+ Vx dy = 0

Esta ecuacion representa, como se vio anteriormente, la ecuacion para las lneas de corriente.

La variacion del valor de la funcion de corriente, entredos lneas de corriente, esta relacionado con el cau-dal que pasa entre ellas. La ecuacion de continuidadaplicada a la figura queda

dq = Vx dy Vy dxIntroduciendo la funcion de corriente

q

V dyxV dxy

Caudal entre lneas de corriente.

dq =

ydy +

xdx = d

Integrando entre 1 y 2 se obtiene

q =21

dq =21

d

q = 2 1



Se ve que la diferencia del valor de la funcion de corriente entre dos lneas de corriente es igualal caudal volumetrico, por unidad de profundidad, que pasa entre las dos lneas.

Para una lnea de corriente se tiene que(dy

dx

)=cte

=VyVx

que representa la pendiente de las lneas de corriente. La pendiente de las lneas equipotenciales,es decir las lneas para las cuales = cte, resulta de igualar a cero el diferencial de , es decir

d =

xdx+

ydy = 0

Vx dx+ Vy dy = 0

(dy

dx

)=cte

= VxVy

Multiplicando ambas pendientes se obtiene(dy

dx

)=cte

(dy

dx

)=cte

= 1

o (dy

dx

)=cte

= (dy

dx

)1=cte

lo cual indica que la interseccion de las lneas equipotenciales y las lneas de corriente ocurreformando un angulo recto, es decir y son perpendiculares entre si. Esta condicion se utilizapara representar un flujo graficamente mediante una malla formada por las lneas de corrientey las equipotenciales.

3.4.3 Circulacion

La circulacion se define como la integral de lnea, sobreuna curva cerrada, de la componente tangencial de lavelocidad a lo largo de la curva, es decir,

=c

~V d~s

Aplicando el teorema de Stokes se obtiene ademas quec

Vds

Circulacion.

=A

( ~V ) d ~A

Se ve que si el flujo es irrotacional, ~V = 0, entonces no existira circulacion. Como se veramas adelante la circulacion posee gran importancia en la teora de la sustentacion.



En coordenadas cilndricas la ecuacion de Laplace para la funcion de corriente, la ecuacion decontinuidad y las componentes de la velocidad se expresan respectivamente por las siguientesrelaciones

2 = 1r

r

(r

r

)+

1r22

2= 0

1r

r(r Vr) +

1r

V

= 0

Vr =1r

=

r

V = r

=1r

3.4.4 Aplicaciones

Flujos simples

Se presentaran a continuacion algunos flujos bidimensionales sencillos y sus correspondientesfunciones de corriente y potenciales.

Flujo uniforme

El flujo mas sencillo es aquel que tiene lneas de corriente rectas y paralelas y donde la magnitudde la velocidad es constante. Este tipo de flujo se llama flujo uniforme.

x

y U

(a) Flujo uniforme paralelo a x

x

y

U

(b) Flujo uniforme inclinado

Figura 3.10: Flujo uniforme

Si la velocidad del flujo (U) es paralela al eje x se tendra ademas que Vx = U y Vy = 0. De lasrelaciones anteriormente vistas para la funcion potencial se obtiene que

x= U



y

y= 0 .

Integrando se obtiene

= U x+ C ,

donde C es una constante de integracion que elegimos arbitrariamente igual a cero (C = 0)

= U x .

Se ve que las lneas equipotenciales son paralelas al eje y. La funcion de corriente correspondienteal flujo uniforme se obtiene a partir de

y= U

y

x= 0

= U y

que son lneas paralelas al eje x. y se pueden apreciar en la figura 3.10(a) para un flujouniforme paralelo al eje x. Si el flujo forma un angulo c/r al eje x se obtienen las siguientesfunciones de corriente y potencial respectivamente (figura 3.10(b))

= U(y cos x sin) ,

= U(x cos+ y sin) .

Fuente y sumidero

Consideraremos ahora un fluido que fluye en formaradial a partir de un punto y en todas las direcciones.Si q es la razon volumetrica de fluido, por unidad deprofundidad, que sale de la fuente, por conservacionde la masa se debe cumplir que

2pi r Vr = q ,

de donde se puede despejar Vr

x

y

r

q

Fuente/sumidero.

Vr =q

2pir.



Como el flujo es radial se cumple ademas que V = 0.

r=

q

2pir

y

1r

= 0

de donde

=q

2piln r

que representa la ecuacion de una familia de crculos concentricos centrados en el origen.

Si q es positivo entonces el flujo es radial hacia afuera y se denomina fuente. Si q es negativo elflujo es radial hacia adentro y se denomina sumidero. El caudal q se denomina intensidad de lafuente o sumidero.La funcion de corriente se obtiene de

1r

= Vr =

q

2piry

= 0

=

q

2pi

que representa una familia de lneas radiales.

x

y

cte

cte

Lneas de corriente yequipotenciales.

Vortice libre o irrotacional

En este tipo de flujo las lneas de corriente son crculos concentricos1 como se muestra en lafigura.

Para este caso se tiene que Vr = 0 y V = V(r). Lasfunciones potencial y de corriente que se obtiene paraeste caso son

= K

y

= K ln r ,

x

y

cte

cter

V

Vortice libre.1Dado que el flujo esta representado por un potencial de velocidades el flujo debe ser irrotacional. Esto puede

generar confusion con el tipo de flujo. Debe recordarse que la rotacionalidad esta relacionada con el cambio deorientacion de una partcula fluida y no con la trayectoria seguida por la partcula.



donde K es una constante. La velocidad V se obtiene de

V =1r

=

r

V =K

r.

Se ve que la velocidad vara inversamente proporcional con la distancia al centro, es decir, si r entonces V y viceversa. Ejemplos que pueden ser aproximados mediante este tipo de flujoson el tornado y el flujo de agua saliendo por un drenaje.

Se puede demostrar que

K =2pi

donde es la circulacion sobre una curva que encierra el origen. La circulacion sera distinta decero ya que el origen representa una singuralidad dentro del flujo donde V . Sobre unacurva que no encierre al origen la circulacion sera cero ( = 0). Se obtiene por lo tanto

=2pi

y

= 2pi

ln r .

Doblete

La combinacion de una fuente y un sumidero, de igualintensidad, separados por una distancia infinitesimalorigina lo que se denomina doblete. Para la fuente yel sumidero, separados por una distancia 2a la funcionde corriente esta dada por

= q2pi

(1 2) .x

y

r

q

-q

r2

r1

a a

Fuente y sumidero.

Expresando la funcion anterior en funcion del angulo se obtiene

= q2pi

tan1(2ar sin r2 a2

).

Para valores pequenos de a la ecuacion anterior queda

= qar sin pi(r2 a2) .

El doblete se obtiene haciendo tender a 0 y q de tal forma que el producto (qa/pi) seaconstante. Para este caso se obtiene que

r

r2 a2 1r



de donde

= k sin r

donde k = qa/pi se denomina intensidad del doblete.El potencial de velocidades asociado al doblete resulta

=k cos r

.

cte

Lineas de corriente.

3.4.5 Superposicion de Flujos

Como se menciono anteriormente los flujos potenciales estan gobernados por la ecuacion deLaplace. Esto significa que se pueden combinar diferentes flujo potenciales para formar otrosde interes. Otro punto que se debe recordar es que a traves de una lnea de corriente no existeflujo por lo que puede ser considerada como una pared solida. Lo anterior indica que si se lograncombinar distintos tipos de flujo de tal manera que una lnea de corriente tenga la forma de uncuerpo particular, se puede analizar analticamente el flujo que se establece alrededor del cuerpo.Este metodo se denomina superposicion. A continuacion se veran algunos ejemplos simples desuperposicion.

Fuente y flujo uniforme

La funcion de corriente y la funcion potencial para lasuperposicion del flujo uniforme y la fuente esta dadopor

= uniforme + fuente

x

y

r

q

U

b

Punto deestancamiento

Flujo uniforme y fuente.

= U r sin +q

2pi ,

= U r cos +q

2piln r .

En algun punto del eje x (negativo) la velocidad de la fuente se anulara con la del flujo uniformey se formara, por lo tanto, un punto de estancamiento. Para la fuente se tiene que Vr = q/2pirpor lo que el punto de estancamiento es tal que en x = b, U = q/2pi r

b =q

2pi U. (3.24)

Evaluando para r = b y = pi se obtiene

estancamiento =q

2= pi bU .



Graficando estos resultados vemos como esta combi-nacion de flujos puede ser utilizada para analizar elflujo sobre un cuerpo inmerso en un flujo uniforme.Para esta combinacion el cuerpo es como el que mues-tra la figura, el cual se encuentra abierto aguas abajo.Con la funcion de corriente conocida se puede obtenerel campo de velocidades en cualquier parte del flujo.

punto deestancamiento

Lneas de corriente.

Vr =1r

= U cos +

q

2pi r

y

V = r

= U sin

de donde el cuadrado del modulo de la velocidad resulta

V 2 = V 2r + V2 = U

2 +Uq cos pir

+(

q

2pir

)2

V 2 = U2(1 + 2

b

rcos +

b2

r2

).

Conocida la velocidad es posible determinar ademas el campo de presiones, utilizando la ecuacionde Bernoulli entre dos puntos cualesquiera del flujo ya que el flujo es irrotacional. Por ejemplo,entre un punto lejano del cuerpo, o de la fuente, donde V = U y p = p0 y despreciando lasvariaciones de z se obtiene

p0 +12U2 = p+

12V 2

de donde se puede despejar la presion p

p = p0 12U2

(2b

rcos +

b2

r2

).

Doblete y flujo uniforme

La superposicion de un flujo uniforme con un doblete genera el flujo alrededor de un cilindro.La funcion de corriente y la funcion potencial son, respectivamente, las siguientes

= U r sin k sin r

y

= U r cos +k cos r

,

donde k es la intensidad del doblete. Para que el cuerpo que se genera con esta superposicionsea un cilindro se debe cumplir que = cte para r = a, donde a es el radio del cilindro. Sobre la



superficie del cilindro, o sobre la lnea de corriente que representa el cilindro, se cumple ademasque Vr = 0

Vr =1r

=(U k

r2

)r cos = 0 ,

de donde(U k

r2

)r=a

= 0

k = U a2 .

Reemplazando en y en se obtiene

= U r

(1 a

2

r2

)sin ,

= U r

(1 +

a2

r2

)cos .

= cte

Lneas de corriente para uncilindro.

Se ve que para r = a, = 0. En los puntos de estancamiento se cumple que V = 0

V =1r

= U r

(1 +

a2

r2

)sin = 0

de donde sin = 0 o = pi.Sobre la superficie del cilindro, es decir, para r = a, se tiene que V = 2U sin de donde lasvelocidades maximas se obtiene para = pi/2

V,max = V( = pi/2) = 2U .

La distribucion de presiones en la superficie del cilindro (ps) se obtiene utilizando la ecuacionde Bernoulli y resulta

ps = po +12U2(1 4 sin2 )

Integrando la presion ps sobre el manto del cilindro se puede obtener tanto la fuerza horizontalo arrastre y la fuerza vertical o sustentacion a la cual esta sometido el cilindro. Para este caso,y dada la simetra del flujo que se genera en torno al cilindro como se puede ver de la figura,ambas fuerzas tendran un valor cero.

Vortice, doblete y flujo uniforme

La funcion de corriente y la funcion potencial para esta superposicion de flujos son

= Ur

(1 a

2

r2

)sin

2piln r



= Ur

(1 +

a2

r2

)cos

2pi

respectivamente, donde es la circulacion. Se puede ver que para r = a, = cte por lo que elcuerpo generado es, al igual que el caso anterior, un cilindro de radio a. La diferencia es que elcilindro generado por esta superposicion se encuentra girando en el sentido de giro del vorticelibre. La velocidad tangencial sobre la superficie (V,s) toma ahora el siguiente valor

V,s = r

= 2U sin + 2pia

.

La forma que adquiere el flujo, y por lo tanto la forma que tienen las lneas de corriente, dependende la intensidad del vortice. La posicion de el/los puntos de estancamiento en la superficie decilindro se encuentran imponiendo la condicion V = 0

sin estanc. =

4piUa

En la figura 3.11 se muestran las diferentes posibilidades que se pueden presentar, de acuerdo alvalor de 4piUa . Se ve que si

4piUa > 1 entonces el punto de estancamiento no se encuentra sobre

el cilindro ya que sin estanc. > 1 no tiene solucion.

4 Ua

4 Ua

4 Ua

punto deestancamiento

Figura 3.11: Lneas de corriente y puntos de estancamiento para diferentes valores de (/4piUa).

La presion sobre la superficie se encuentra utilizando al ecuacion de Bernoulli y resulta

ps = p0 +12U2

(1 4 sin 2 + 2 sin

piaU

2

4pi2a2U2

)



La fuerza por unidad de longitud que se desarrolla sobre el cilindro se obtiene integrando pssobre el cilindro. Dada la simetra vertical del flujo sobre el cilindro el arrastre es cero. Lasustentacion, por unidad de longitud, resulta

FS = U .

Se puede apreciar que la fuerza de sustentacion apunta, para este caso, hacia abajo y que dependede la densidad y velocidad del flujo libre y de la circulacion alrededor del cilindro. Si = 0entonces se tendra que FS = 0. Para un cilindro girando en el sentido de giro del reloj, la fuerzade sustentacion apuntara hacia arriba.



Ejemplo Suponga que el flujo que se gen-era sobre un hangar de seccion semicircularde diametro D = 6 m y largo L = 18 m sepuede aproximar por el flujo potencial que segenera alrededor de un cilindro con [0, pi].Durante una tormenta el viento alcanza unavelocidad U = 100km/h y la temperaturaexterior es de 5C. Si la presion dentro delhangar es igual a p0 = 720 mmHg, se pideque determine la fuerza neta sobre el hangarque trata de levantarlo de sus fundaciones.



Ejemplo Se pide determinar el campo develocidades que se obtiene mediante la su-perposicion de dos fuentes de igual intensi-dad q separadas por una distancia 2l. Paraun plano de simetra entre las dos fuentes sepide determinar la velocidad del flujo a travesdel plano. Dado el resultado anterior, quesituacion real se podra representar medianteesta superposicion? Para el plano de simetrase pide determinar el campo de velocidades yde presion sobre el plano.



Ejemplo Un flujo potencial que fluye con-tra una placa plana se puede describir medi-ante la funcion de corriente = Axy dondeA es una constante. Este tipo de flujo per-mite describir aceptablemente el flujo en lavecindad de un punto de estancamiento. Su-perponiendo una fuente de intensidad m enel origen O se obtiene el flujo sobre una placaplana con una protuberancia. Determine larelacion entre la altura h, la constante A y laintensidad de la fuente m.



Ejemplo El flujo bidimensional de un flu-ido ideal e incompresible ( = 1000 kg/m3)en la vecindad de una esquina recta se puededescribir mediante la funcion de corriente = 2r2sin(2), donde tiene unidades dem2/s, r se expresa en metros. Determinela funcion potencial correspondiente. Si lapresion en el punto (1) de la pared es 30 kPa,cual es la presion en el punto (2). Asuma queel plano xy es horizontal.


Capitulo 3 Mecanica de Fluidos 2008 u de Chile

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