Capítulo 3: Acumulación de capital y crecimiento (I). El modelo de ...

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Capıtulo 3: Acumulacion de capital ycrecimiento (I). El modelo de Harrod-Domar

Macroeconomıa III

Curso 2008-09

Macroeconomıa III Capıtulo 3: El modelo de Harrod-Domar

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1 Un poco de matematicas

2 Poblacion e inversion

3 La teorıa de la brecha financiera

4 La realidad

5 La tecnologıa


Matematicas Poblacion e inversion La teorıa de la brecha financiera La realidad La tecnologıa

Un poco de matematicas

Vamos a trabajar con tiempo continuo. Por ejemplo, output percapita es una funcion del tiempo, y(t).Ejemplo:

y(t) = ea t, a > 0,



Derivada y tasa de crecimiento de una funcion

d y(t)d t

≡ y(t) = a ea t.

Podemos evaluar la funcion (y su derivada) en un punto particulardel tiempo, por ejemplo, periodo 3. Si a = 0.5, y(3) = e0.5 · 3 =4.4817.La tasa de crecimiento del output per capita es

gy ≡y(t)y(t)

=a ea t

ea t= a.

Nota:d ln y(t)

d t=y(t)y(t)

.



Ecuaciones diferenciales

En este caso no sabemos la forma de la funcion y(t). Solosabemos la relacion entre la funcion y su derivada,

y(t) = a− b y(t), a, b > 0.

Pregunta: ¿Podemos caracterizar la evolucion de y(t) a lolargo del tiempo?




Ejemplo: InversionKt = −δKt + It

donde

Kt: stock de capital en el momento t

Kt: crecimiento del stock de capital en terminos anuales

It: tasa de inversion en terminos anuales

Esto es mas o menos lo mismo que –en tiempo discreto–:

∆Kt ≡ Kt+1 −Kt = −δKt + It




Pero en tiempo continuo podemos dar pasos ∆t mas pequenos de1:

∆Kt = Kt+∆t −Kt = −δKt∆t+ It∆t

Ejemplo: ∆t = 0.1, K2008.0 = 100, δ = 0.2, I2008.0 = 25:

K2008.1 −K2008.0 = −(0.2× 100× 0.1) + (25× 0.1) = 0.5

De hecho, dividiendo por ∆t y tomando el lımite ∆t→ 0obtenemos

lim∆t→0

Kt+∆t −Kt

∆t= Kt = −δKt + It,

Haciendo los pasos ∆t cada vez mas pequenos y sumando los ∆Kt

en el tiempo obtenemos la solucion Kt de la ecuacıon diferencial.




Notad que si It = I para todo t,

Kt = I/δ ⇒ Kt = 0.

Llamamos K∗ = I/δ. Entonces,

y(t)

> 0, si Kt < K∗;= 0, si Kt = K∗;< 0, si Kt > K∗.

Por tanto, Kt converge a K∗ desde cualquier punto inicial.

¿Como es la evolucion de y(t) = −a+ b y(t), a, b > 0?



Poblacion y tecnologıa

Existe un unico bien final.

Kt, el capital se deprecia cada periodo a la tasa δ ∈ [0, 1].El trabajo Lt crece a la misma tasa que la poblacion, Nt,

Lt

Lt=Nt

Nt= n.

Por sencillez, suponemos que Lt = Nt, para todo t.

La tasa de ahorro agregada de la economıa es s ∈ (0, 1).




Economıa cerrada.

No hay gasto del gobierno ni impuestos.

Por tanto,

Ct + It = PIBt,Ct + It = (rt + δ)Kt + wt Lt,

Ct + Kt + δ Kt = Yt.

It = Kt + δ Kt: inversion bruta.Kt: Inversion neta.Ct + Kt = Yt − δ Kt: Producto Interior Neto.




s ∈ (0, 1) es la fraccion de la renta disponible que se ahorra.Por tanto, el ahorro agregado es

St = s Yt = (rt + δ)Kt + wt Lt.

Puesto que AHORRO = INV ERSION ,

St = s Yt = Kt + δ Kt.

hemos obtenido una ecuacion que relaciona PIB e inversion y quepodemos usar para analizar la evolucion temporal del stock decapital y de la renta.

Kt = s Yt − δ Kt.



Inversion y crecimiento

El capital por unidad de trabajo es

kt ≡ KtLt

(1)

(ratio capital-trabajo). Su tasa de crecimiento:

ktkt

= KtKt− Lt

Lt(2)

Podemos escribir la ecuacion de acumulacion de capital como

kt = s yt − (δ + n) kt. (3)

ktkt

= s yt

kt− (δ + n) (4)



La teorıa de la brecha financiera

Hasta ahora no hemos hecho ningun supuesto tecnologico. Esdecir, no hemos descrito como la renta, yt, cambia cuandocambian los factores. El supuesto de que partieron Harrod yDomar era el siguiente

yt

yt=kt

kt,

Es decir, aumentos proporcionales en el capital per capita setraducen en aumentos proporcionales de la renta. De esta manera,

yt

yt= s

yt

kt− (δ + n).

La tecnologıa que satisface ese supuesto es Yt = AKt.




Segun nuestra tecnologıa, eso supone que

gy =yt

yt= sA− (δ + n)

Consecuencias:

La tasa de crecimiento es constante a lo largo del tiempo

Hay crecimiento a largo plazo solo por la acumulacion decapital

Incrementar la tasa de ahorro s resulta en crecimiento masalto a largo plazo

Bajar la tasa de crecimiento de la poblacion n resultacrecimiento mas alto a largo plazo




Dado los demas parametros, se puede calcular la tasa de inversionrequerida para que la renta crezca a la tasa deseada (constante) gy:

s = (n+ δ + gy)kt

yt=n+ δ + gy

A.

Por tanto, segun este modelo una buena polıtica de desarrollo esayudar a los paıses menos desarrollados a aumentar su tasa deinversion.



La realidad

El mundo rico dio ayuda de desarrollo a los paıses pobres parasuplementar los ahorros y incrementar la inversion. ¿Que paso?

Muchas veces, la ayuda no se convertıa en inversion sino enconsumo (falta de incentivos, corrupcion)

Aunque creciera la inversion en algunos paıses, no se dierontasas mas altas de crecimiento.



La realidad

...La realidad (Zambia)

1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000800

900

1000

1100

1200

1300

1400R

eal p

er c

apita

GD

P

1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 20005

10

15

20

25

Inve

stm

ent a

s %

of G

DP

years



La realidad

...La realidad (Zambia)gap cht

Figure 4: The Gap between Harrod-Domar and Reality in Zambia20500

The Per Capita Incomethat would have been if

18500 all Aid had gone intoInvestment andInvestment had gone intoGrowth according toHarrod Domar

16500 (assuming 'typical"ICOR of 3.5)

14500

12500

.,

.0500

1500

6500

4500

2500

Zambian per capitaincome

- - - -- - - a- - - - -a - - - income --- ---

500e u t r- 0 _ c-, uL r- oD 0 X a -0cXco co W co co t- r- r- r- r- co co co coXco a 0) 0) 0) 0) 0) 0) 0) 0) 0) 0) 0) 0)i 0) 0) 0) 0) 0)

ZMB2.XLS 7/1/97



Pero, ¿de que tecnologıa estamos hablando?

SupongamosYt = min {Kt, ALt} .

En terminos per capita

yt = min {kt, A lt}

De tal manera que si kt ≤ A lt obtenemos que yt = kt y por tanto

yt

yt=kt

kt.

Esto supone que debe darse que Kt ≤ ALt.




La funcion de produccion de coeficientes fijosLa función de producción de proporciones fijas

Trabajo

Capital

L1

Y1

Y2

Y3

A

B

C




Esta tecnologıa supone que la renta aumenta siempre en la mismaproporcion que el capital (y que la inversion)¿De que se olvida?Rendimiento marginal decreciente del capital


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