CAPITOLUL 3 · 2010. 11. 8. · Modelarea dinamic i analiza performanelor dinamice ale...

�Modelarea dinamic� �i analiza performan�elor dinamice

ale echipamentelor hidraulice

�

AC�ION�RI HIDRAULICE �I PNEUMATICE Dinamica Echipamentelor �i Sistemelor�

97

CAPITOLUL 3

MODELAREA DINAMIC� �I ANALIZA PERFORMAN�ELOR DINAMICE ALE ECHIPAMENTELOR HIDRAULICE

3.1. Modelarea analogic� a proceselor. În capitolul 2 au fost scrise ecua�iile diferen�iale ce descriu procesul dinamic din majoritatea componentelor uzuale în ac�ionarea hidraulic� a utilajelor tehnologice �i au fost realizate modelele multipolare dinamice pentru majoritatea componentelor hidrostatice uzuale. Pe baza acestora, dup� liniarizarea ecua�iilor componente, aplicînd transformata Laplace pentru condi�ii ini�iale nule, se deduce func�ia de transfer total�, a respectivei componente. Cunoa�terea func�iilor de transfer pentru fiecare component� permite realizarea schemelor bloc �i scrierea func�iei de transfer pentru intregul sistem hidrostatic de ac�ionare. Pe baza func�iei de transfer totale a unei componente sau a întregului sistem se vor studia performan�ele generalizate ale componentei sau sistemului respectiv. În abordarea model�rii analogice a unei componente sau sistem de ac�ionare se recomand� parcurgerea urm�toarelor etape [ ]19 : • scrierea modelului matematic adecvat comport�rii fizice a sistemului

studiat(CAP. 2); • liniarizarea prin metoda cea mai convenabil�, a modelului matematic

determinat anterior; • aplicarea transformatei Laplace pentru condi�ii ini�iale nule; • stabilirea m�rimilor de consemn, asupra c�rora se va interveni prin simulare

numeric� cu diverse valori �i care pentru un anumit moment, pot fi considerate constante;

• verificarea rela�iei de existent� a schemei bloc; • în cazul în care nu se verific�, se reface modelul matematic �i se restabilesc

m�rimile de intrare-stare-ie�ire; • reluarea verific�rii rela�iei de existen�� a schemei bloc;



�


98

• dac� rela�ia este îndeplinit� pe baza modelului matematic, se realizeaz� schema bloc. Schema bloc utilizabil� trebuie s� fie ridicat� pe model liniar sau liniarizat;

• determinarea, pe baza schemei bloc liniare, a func�iei de transfer totale. Pentru reprezentarea unui model matematic ce caracterizeaz� comportarea dinamic� a unui element component sau sistem prin scheme bloc func�ionale pe model multivariabil, este necesar s� fie îndeplinit� rela�ia:

1=++− pcienecec NNNN ; (3.1) unde: ecN este num�rul ecua�iilor sistemului dinamic; necN - num�rul total de necunoscute cuprinse în modelul matematic; ieN - num�rul de m�rimi de intrare-ie�ire; pcN - num�rul parametrilor de consemn prestabili�i. Principalele performan�e generalizate ale unor componente sau sistem hidraulic de ac�ionare sunt definite pentru dou� regimuri func�ionale ale componentei sau sistemului �i anume:

• Regimul sta�ionar sau permanent; • Regimul tranzitoriu sau nepermanent. Prezenta parte a c�r�ii î�i propune, în special, analiza performan�elor în regim nepermanent..

Analiza performan�elor generalizate se realizeaz� pornind de la func�ia de transfer a componentei sau sistemului studiat, definit� prin rela�ia:

raredemarimea

iesiredemarimea

sXsX

Gi

eS int)(

)()( == ; (3.2)

Dup� modul de varia�ie a m�rimii de ie�irii eX , când la intrare se aplic� o func�ie de intrare tip ( iX ), se pot aprecia performan�ele func�ionale ale componentei sau sistemului respectiv, ce rezult� din rela�ia:

)()()( sXsGsX ie ⋅= ; (3.2*)

)()( sXsisX ei reprezint� func�iile imagine bazate pe transformata sau integrala LAPLACE. Func�ia de transfer este no�iunea fundamental� utilizat� în teoria sistemelor de reglare automat� din care sistemele de ac�ionare hidraulic� fac parte integrant�.



�


99

Rela�ia (3.2) poate fi reprezentat� prin schema bloc din figura 3.1.

x si ( ) x se( )G S( )

Fig. 3.1

3.1.1. Func�ii de intrare tip. Func�iile uzuale de intrare utilizate în analiza performan�elor comport�rii dinamice a componentelor �i S.A.H sunt: 3.1.1.1. Func�ia de intrare TREAPT� (�� ) Imaginea grafic� a acestei func�ii, este prezentat� în figura 3.2, al�turi de modul de definire a acesteia (rela�ia (3.3)).

��

>=≤=

=0)(

00)()(

tptrktU

tptrtUtX

T

Ti ; (3.3)

��

Pentru k =1, rezult� func�ia treapt� unitar�, definit� mai jos: Func�ia treapt� unitar� este reprezentat� în figura 3.2*, �i are expresia:

��

>≤

=0100

)(1tptr

tptrt ; (3.3)

Fig. 3.2*

0 Timp [sec, msec]

x t

1( )t1



�


100

R�spunsul unui element, a unei componente sau sistem, la un semnal treapta unitar�, în condi�ii ini�iale nule, se nume�te func�ie indicial�, notat� g(t). Expresia matematic� a func�iei g(t) se ob�ine prin rezolvarea ecua�iei diferen�iale sau opera�ionale care corespunde condi�iilor ini�iale nule. R�spunsurile tipice ale sistemului, la semnal treapt� unitar� sunt prezentate principial in figura 3.3 (a,b).

Fig.3.3

Semnalul treapt� unitar� este frecvent întâlnit în analiza comport�rii dinamice reprezentând o serie important� de manifest�ri practice ale S.H.A cum ar fi: pornirea motorului termic sau electric a sistemului; deschiderea unei supape de protec�ie sau reglaj de presiune; comanda cilindreei unei pompe; conectarea curentului electric la o component� ac�ionat� electric; trecerea de la o stare la alta a unui distribuitor hidraulic, etc. 3.1.1.2. Func�ia de intrare RAMPA (�

)

Imaginea grafic� a acestei func�ii, este prezentat� în figura 3.4, al�turi de modul de definire a acesteia (rela�ia (3.4)):

��

>=≤=

=0;.;)(

0;.;0)()(

tptrkttU

tptrtUtX

R

Ri ; (3.4)

Fig.3.4

Pentru k=1, rezult� func�ia ramp� unitar� reprezentat� în figura 3.5.

0 Timp [sec, msec]

1( )t

g t( )

x xi e;

0 Timp [sec, msec]

x xi e;

1( )t

g t( )



�


101

Se observ� c� func�ia ramp� unitar� se ob�ine pentru α = �� i se define�te prin rela�ia (3.4*).

��

>≤

=0;0;0

)(tpentrut

tpentrutX i ; (3.4*)

Din compararea rela�iilor (3.3) �i (3.4*), rezult� c� func�ia ramp� unitar� reprezint� viteza de varia�ie a semnalului treapt� unitar�. Aceasta rezult� din faptul c� derivata în raport cu timpul a semnalului ramp� unitar� este semnalul treapt� unitar�. Rela�ia poate fi extins� �i lasemnalele ramp� �i treapt�. Semnalul ramp� unitar� este mai pu�in utilizat în analiza comportarii dinamice a S.A.H. 3.1.1.3. Func�ia de intrare IMPULS (δ � �� ) Imaginea grafic� �i modul de definire a func�iei este prezentat în figura 3.5. �i rel (3.5).

kdttt == �+

−

ε

εδδ )()( ; (3.5)

Fig.3.5 Semnalul unitar corespunz�tor func�iei impuls se nume�te func�ia impuls unitar sau func�ia Dirac, care reprezint� o derivat� a func�iei treapta unitar�. Func�ia Dirac este reprezentat� prin rela�ia:

��

≠=∞+

== �∞+

∞− 0;00;

)( tpentru

tpentrudtI tδ ; (3.5*)

Reprezentarea grafic� a func�iei Dirac, este prezentat� în figura 3.6.



�


102

R�spunsul unui element, a unei componente sau a unui sistem la semnal de intrare impuls unitar se nume�te func�ie pondere (� �� ).

Reprezent�rile tipice ale acestei func�ii sunt prezentate în figura 3.7 (a, b).

Fig. 3.6

�� (b)

Fig. 3.7

Leg�tura între func�ia pondere (� �� ) �i func�ia indicial� (� �� ), se exprim� prin rela�iile (3.6).

dthg

dtdgght

tt

tt

�=

==

0)()(

)()( /�

; (3.6)

Din rela�iile (3.6) rezult� c� dac� se ob�ine r�spunsul unui sistem la semnal treapta unitar� deci se ob�ine func�ia indicial� )(tg , r�spunsul la semnal Dirac deci func�ia pondere � �� se ob�ine prin derivarea func�iei indiciale. Exemplele de semnale de tip impuls unitar, au drept corespondent fizic urm�toarele fenomene:

• Cre�terea brusc� a sarcinii la axul motorului hidraulic; • Cre�terea brusc� a presiunii pe o ramur� a S.A.H.; • Apari�ia unui scurtcircuit electric în sistemul de alimentare cu energie

electric� a S.A.H.; • Întreruperea brusc� a unei leg�turi hidraulice;

x i

0 Timp [sec, msec]

I

0 Timp [sec, msec]

x xi e;

h t( )

0 Timp [sec, msec]

x xi e;

h t( )



�


103

• Deschiderea brusc� a unui distribuitor hidraulic, etc; 3.1.1.4. Func�ia de intrare SINUS (COSINUS) Matematic, semnalul de intrare sinusoidal se exprim� cu una din func�iile trigonometrice circulare �i anume:

)cos()(

)sin()(

ϕωϕω

+=+=

tXtX

tXtX

Ii

Ii sau; (3.7)

unde: IX - reprezint� amplitudinea semnalului de intrare; ω - reprezint� pulsa�ia sau frecve�a circular� �i este definit� prin rela�ia

fπω 2= , f- fiind frecven�a (num�rul perioadelor pe secund�)

;2

;1

ωπ== T

Tf T- fiind perioada func�iei;

ϕ - reprezint� defazajul func�iei. imaginea grafic� a acestui semnal este pentru func�ia sin, reprezentat� în figura 3.8. Prin reprezentarea rela�iilor 3.7 cu ajutorul ecua�iilor Euler:

��

��

ω

ω

ω ω

ω ω

��

�

��

� � � �

� � � �

= −

= +

−

−

; (3.8)

rezult� c� semnalul sinusoidal poate fi exprimat �i interpretat sub forma

Fig. 3.8 [ ])sin()cos()( ϕωϕωϕω +++=+ titXeX ItiI ; (3.9) ce poate fi reprezentat în planul complex sub forma unui fazor (figura 3.9).

R�spunsul unui element, a unei componente sau a unui sistem la un semnal de intrare sinusoidal, va fi tot un semnal sinusoidal exprimat prin relatia:

)sin()( ϕω += tXtX Ee ; (3.10)



�


104

Semnalul de ie�ire )(tX e are alt� amplitudine ( IE XX ≠ ) �i alt� valoare a defazajului ( ϕφ ≠ ), datorit� disip�rilor energetice ce au loc în sistem. �i semnalul de ie�ire poate fi interpretat ca fazor dup� rela�iile (3.8), (3.9), cu nota�iile corespunz�toare pentru amplitudine �i faz�. 3.1.1.5. Func�ii de intrare periodice oarecare Exist� situa�ii în care m�rimea de intrare este o func�ie periodic� dar de form� pu�in regulat�, a�a cum rezult� din figura 3.10.

O asemenea func�ie con�ine un num�r de armonici de frecven�� diferit� �i ca urmare semnalul poate fi desfa�urat în serie trigonometric� Fourier �i va avea expresia:

Fig. 3.10

��∞

=

∞

=++=

11

0 sincos2

)(n

nn

ni tnbtnaa

tX ωω ; (3.11)

unde: nn baa ;;0 sunt coeficien�ii seriei Fourier. Asemenea semnale de intrare sunt mai pu�in utilizate în cazul analizei dinamice a S.A.H, datorit� complexit��ii lor, dar au larg� utilizare în cazul sistemelor hidraulice comandate electronic (servosisteme electrohidraulice). 3.1.1.6. Func�ii de intrare de expresie oarecare Exist� situa�ii cînd func�ia de intrare nu se exprim� prin func�iile de intrare tip prezentate anterior, func�ia având o expresie matematic� oarecare definit� prin rela�ia general�:

)()( tftX i = ; (3.12)

x i

0 Timp [sec, msec]

x ti ( )

T



�


105

Expresia acestei func�ii în timp poate fi reprezentat� printr-un grafic ca cel din figura 3.11.

Fig. 3.11 În asemenea situa�ii se împarte abscisa în portiuni elementare, de marime egal� ∆τ �i se noteaz� cre�terile ordonatelor sale cu ∆� � . Se înlocuieste astfel curba propriuzis� într-o serie de func�ii treapt� cu valorile ∆ ∆ ∆� � �

� � � � s.a.m.d.

R�spunsul elementului, componentei sau sistemului va fi o succesiune de r�spunsuri la semnalele treapt�. Dac� intervalul de timp ∆τ , poate fi redus la valori elementare, foarte mici semnalul poate fi interpretat �i ca o succesiune de semnale impuls de m�rimi corespunz�toare ordonatelor func�iei f(t). 3.1.2. Elemente de calcul opera�ional necesare rezolv�rii ecua�iilor diferen�iale liniare. Calulul opera�ional a ap�rut ca o succesiune de opera�ii formale aplicate simbolului de derivare prin care opera�ia dtd /)(• a fost înlocuit� cu operatorul S. În consecin��, derivata unei func�ii oarecare f(t) se reduce la rela�ia:

)()();( tfstfsautfsdtdf ⋅=⋅= � ; (3.13)

iar în condi�ii initiale nule (f(0) = 0), se poate scrie:



�


106

�=t

duuftf0

)()( � , de unde rezult� Stf

tf)(

)(�

= (3.14)

sau

� � =⋅=t t

Stf

duufS

duuf0 0

)()(

1)( �

În concluzie: • derivarea unei func�ii se reduce la înmul�irea func�iei cu operatorul S; • integrarea unei func�ii se reduce la împ�rtirea func�iei cu operatorul S;

Esen�a procesului de rezolvare a ecua�iilor diferen�iale sau integrale se reduce la urm�toarele: � considerând func�ia original f(t), cunoscut�, se deduce, dup� reguli

prestabilite, func�ia imagine F(S); � prin înlocuirea opera�iilor de derivare cu înmul�irea cu operatorul S,

ecua�ia diferen�ial� se transform� în ecua�ie secundar� opera�ional�, care devine o ecua�ie algebric� în variabil� S;

� ecua�ia opera�ional� se rezolv� prin metode algebrice, în raport cu variabila S, rezultând solu�ii de forma X(s);

� se efectueaz� retransformarea invers� a imaginii solu�iei X(s) în func�ia original x(t) ce reprezint� solu�ia c�utat� a ecua�iei diferen�iale ini�iale.

Opera�iile de trecere de la func�ia original la func�ia imagine �i invers se bazeaz� pe transformata Laplace, definit� prin:

{ }� � � � � �� = =−∞

��

; (3.15)

�i { }� � � � �� = −� ; (3.15*) unde: f(t) - reprezint� func�ia original, de variabil� real� t, definit� pentru orice � ≥ � �i f(t)=0 pentru orice t



�


107

din spa�iul bidimensional în spa�iul tridimensional. Prin cele prezentate, no�iunea de func�ie de transfer definit� de rela�ia (3.2), ob�ine suportul matematic necesar; � � � � �� fiind func�iile imagine ale func�iilor original � � � � �� .

Pentru u�urin�a abord�rii modelului matematic, în sensul transpunerii ecua�iilor diferen�iale în ecua�ii algebrice în operatorul S, este necesar� întocmirea schemelor bloc func�ionale pentru componentele sistemului de ac�ionare.Prin aceast� procedur� se poate deduce în final func�ia de transfer a unui sistem de ac�ionare. Pentru aceasta sunt realizate blocuri opera�ionale tip, ce permit scrierea func�iei de transfer sub forma (3.22**) pentru anumi�i termeni specifici modelului matematic. În tabelul nr. 3.1 sunt prezentate blocurile opera�ionale tip pentru urm�toarele opera�ii specifice modelului dinamic (CAP.2)

• Însumarea (diferen�a) m�rimilor • Produsul m�rimilor • Conexiuni • Func�ii de transfer tip pentru termenii: propor�ionali, integrare,

derivare de ordinul 1 si 2, întârziere de ordinul 1 si 2, termeni specifici ecua�iilor diferen�iale ce descriu comportarea dinamic� a modelului studiat.

• Exemplu de utilizare a blocurilor opera�ionale tip în modelarea

componentelor �i echipamentelor S.A.H. Pentru exemplificare se consider� cazul unei supape de limitare a presiunii cu comand� direct�, a c�rei model este descris de rela�ia (2.62*), ecua�ie pe care o reproducem mai jos.

��

��

�

−+=++

−−=

02

2

FxpKpAKxdtdx

Kdt

xdm

dtdp

pxKQQ

Dnfr

SSIE β ; (3.16)

Se consider� coeficien�ii ce preced variabilele, în principiu cunoscute. (deductibile - vezi CAP. 1).



�


108

Se observ� c� ecua�iile diferen�iale ce descriu fenomenul dinamic sunt neliniare deoarece con�in variabilele x �i p, sub form� de produs sau sub radical. Pentru a putea opera cu blocurile opera�ionale tip, este necesar� liniarizarea ecua�ilor diferen�iale în jurul unor m�rimi de stare ce condi�ioneaz� valoarea deplas�rii �i valorii presiunii în jurul punctului stabil de func�ionare. Se consider� c� valoarea 0x ce rezult� din expresia for�ei 00 kxF = reprezint� o m�rime de stare ce condi�ioneaz� valoarea prestrîngerii acului supapei pentru ob�inerea unei presiuni de reglaj date Rp0 . În aceste condi�ii termenul pxK S poate fi liniarizat în jurul acestor valori astfel:

dppQ

dxxQ

pxKQ xxppS R 00 ==∆+∆==∆∂

∂∂

∂; (3.17)

de unde rezult�:

pp

xKxp

KpxK

RS

R

SS

00

0

121+= ; (3.17*)

În mod similar se procedeaz� cu termenul neliniar din ecua�ia a doua a modelului:

dpp

Fdx

xF

xpKF xxD

ppD

DD R 00 ==+==

∂∂

∂∂

; (3.18)

de unde rezult�: � ! � ! � !" " � "= + � (3.18*) Înlocuind termenii din rel 3.17* �i 3.18* în rel 3.16, rezult�:

# # � ! �

!!

�!

��

$�

��

�

�� ! % � ! �

& ' � �

�

� " � "

= − − −

+ + − = + −

� �

�

� � �

�

� β

� � � �

; (3.19)



�


109

Tabelul 3.1

Nr. crt.

Denumirea blocului Schema structural�

Ecua�ia de transfer

Expresia func�iei de transfer G s( )

1 2 3 4 5 1 Element de

însumare xi1

xi2

xe�

�

�

x x xe i i= +1 2

-----

2 Element de multiplicare

xi1

xi2

xeπ

x x xe i i= ⋅1 2 -----

3

Conexiune x i x i

x xi i=

-----

4 Func�ie de transfer de tip propor�ional

x i xe

(P) K

x K xe i= ⋅ G ks( ) =

5 Func�ie de transfer de tip integrator

x i xe

(I)

x

Tsxe i=

1 G

sTs( )= 1

6

Func�ie de transfer de tip propor�ional

integral

x i xe

(PI)

x i xe

(PI)

xK sT

sTxe i=

+( )1

GK sT

sTs( )( )= +1

7

Func�ie de transfer de tip derivativ de

ordinul 1

x i xe

( )D1

x Tsxe i=

G Tss( ) =

8

Func�ie de transfer de tip derivativ de

ordinul 2

x i xe

(D )0

x s T sT xe = + +( )

2 2 1

G s T sTs( ) = + +

2 2 1

9

Func�ie de transfer de tip propor�ional

derivativ de ordinul 1

x i xe

( )PD1

x K sT xe i= +( )1

G K sTs( ) ( )= +1

10

Func�ie de transfer de tip întîrziere de

ordinul 1

x i xe

( )PT1

xKsT

xe i= +1 G

KsTs( )

=+1

11

Func�ie de transfer de tip întîrziere de

x

KT s Ts

xe = + +2 2 2 1ξG

KT s Tss( )

=+ +2 2 2 1ξ



�


110

ordinul 2 ( )PT2

^e

12

Simbol m�rime de stare (de comand� sau

reglare)

-----

-----

13 Simbol de intrare (i) I

----- -----

14

Simbol de ie�ire (E)

E

-----

-----

15

Func�ia semn

Reprezint� numai semnul unei m�rimi ce poate fi (+) sau (-)

Pentru modelul (3.19) este necesar� verificarea condi�iei de existen�� (3.1) astfel:Nec = 2 rel (3.19);Nnec = 3; respectiv x; p; #

&;Nie = 1; respectiv #

';Npc

= 1; respectiv � , de unde rezult�:2-3+1+1=1, adic� rel 3.1, este satisf�cut� �i se poate trece la întocmirea schemei bloc. Dac� pentru sistemul de ecua�ii diferen�iale liniarizate (3.19) se aplic� transformatele Laplace pentru condi�ii ini�iale nule, rezult� sistemul:

[ ]

# # � ! ( � !

) � )

$ � � � � � ! ( % � ) �

& ' � � �

� � �

� " � � " �

= − − − ⋅ ⋅

+ + − = + −

� �

�

� � �

�

��

� � � ��

β ; (3.20)

În sistemul (3.20); )(SX �i )(SP reprezint� func�iile imagine ale func�iilor original )(tX �i )(tp , iar Rp0 reprezint� valoarea presiunii reglate. Cu cele precizate anterior, se poate trece la conceperea schemelor bloc opera�ionale, ata�ate sistemelor date, ce reprezint� tabloul analogic în plan complx a modelului multipolar al supapei propuse spre analiz�. În figura 3.12 a �i b sunt prezentate schemele bloc opera�ionale pentru sistemul neliniarizat (3.16) �i pentru sistemul liniarizat (3.19) respectiv (3.20).



�


111

(a)

(b) Fig. 3.12

Pe baza schemei bloc din fig. 3.12 b, realizat� pentru modelul liniarizat (3.20) se deduce func�ia de transfer a supapei de reglaj propus� spre analiz�. Din rezolvarea sistemului (3.20) rezult�:

Sp

XK

XpKQQP

pKKSKSm

KXPXKAX

SR

S

SRSEIS

RDfr

SDnS

⋅+

−−=

−++−+

=

β0

0

)(0)(

02

0)(0)(

121

)(

)(

; (3.21)



�


112

Deoarece m�rimile ce preced variabilele )(SX ; )(SP �i S sunt m�rimi constante acestea pot fi notate dup� cum urmeaz�:

ββ ===−

===

==−=+

SR

SRD

fRS

rEIDn

Kp

XKKpKK

KKKpKKKX

mmKQQKXKA

;1

21

;

;;

;;

50

020

400

30

; (3.22)

�i ecua�iile (3.21) devin:

SK

XKKP

KKSmS

KPKX

SS

SS

β+−

=

++−

=

5

)(43)(

22

0)(1)(

; (3.23)

Pin înlocuirea lui )(SX în rela�ia lui )(SP , rezult�:

22

415

22

403

)(

KKSmSKK

SK

KKSmSKK

KP S

++++

+++

=β

; (3.24)

Rela�ia (3.24) reprezint� func�ia de transfer global� a supapei de presiune

analizat�, în presiune. În mod similar se poate scrie func�ia de transfer în variabila deplasare.

În fig. 3.13 se prezint� func�ia de transfer global� a supapei de presiune, pentru variabila presiune.

Fig. 3.13

În figur� se sugereaz� rela�ia dintre presiunea de intrare �i cea de ie�ire.



�


113

3.1.3. Performan�ele generalizate ale componentelor �i sistemelor hidraulice În principiu orice component� activ� (pomp�, motor, supap�, etc) a unui sistem hidraulic de ac�ionare este un sistem automat ce transform� ni�te m�rimi de intrare în ni�te m�rimi de ie�ire. Din acest motiv pentru analiza performan�elor dinamice sau sta�ionare ale componentelor sau sistemelor de ac�ionare se vor folosi no�iuni din teoria sistemelor automate. În mod special un sistem hidraulic de reglare automat� va fi cu atât mai mult inclus în categoria sistemelor automate, sisteme ce folosesc ca mediu de lucru un lichid pu�in compresibil. Un sistem hidraulic automat stabile�te o lege de dependen�� între m�rimea de ie�ire Xe ce poate fi o deplasare, presiune, debit, volum, etc �i m�rirea de intrare Xi, ce poate fi o deplasare, o for��, un cuplu, o m�rime efectiv� sau orice alt� m�rime ce poate fi programat� sau perturbatoare, (vezi figura 3.1). Ceea ce deosebe�te fundamental un sistem automat (S.A) de un sistem de reglare automat� (în particular hidraulic), (SHRA) const� în faptul c� în cazul SRA (SHRA) se realizeaz� în permanen�� “ compararea “ m�rimii de intrare cu cea de ie�ire în sensul realiz�rii corec�iilor dorite. În acest caz schema bloc a unui S.H.R.A este prezentat în figura 3.14.

*��

+��

�$,��-

�$,��.��

/�$!��

( �� ( �� ( ��

� �( +�

Fig. 3.14

Semnifica�ia m�rimilor prezentate în figura 3.14 este urm�toarea: )(sX i - m�rimea de intrare în SHRA; )(sX e - m�rimea de ie�ire din SHRA; )(sG - func�ia de transfer a ramurii directe a SHRA; )(sH - func�ia de transfer a ramurii de reac�ie;



�


114

)(sX a - m�rimea de corec�ie în sensul propriei anul�ri, definit� de rela�ia:

)()()( )(Seia HXsXsX −= (3.25)

Din categoria SHRA fac parte servoac�ion�rile, servocomenzile, servoreglajele utilizate în SHA, ca elemente individuale sau aflate în componen�a altor elemente hidraulice (spre exemplu reglarea cilindreei unita�ilor hidraulice volumice). Pentru a evalua modul în care un SHRA r�spunde la un anumit semnal de intrare s-a introdus no�iunea de performan�� generalizat� sau performan�a func�ional�. În func�ie de regimul de lucru în care se evalueaz� performan�ele SHRA, acestea se clasific� în dou� gupe:

• Performan�e generalizate în regim permanent (sta�ionar); • Performan�e generalizate în regim nepermanent (tranzitoriu).

3.1.3.1. Performan�e generalizate în regim permanent Performan�ele în regim permanent se apreciaz� prin aplicarea la intrarea în S.H.R.A a unei func�ii de intrare treapt� unitar�, sau ramp� unitar� �i se eviden�iaz� capacitatea de urm�rire a sistemului automat. Criteriile de performan�� pentru regimul sta�ionar sunt: • Eroarea sta�ionar� (ES), reprezint� valoarea m�rimii de corec�ie care trebuie aplicat� ramurii directe pentru a men�ine m�rimea de ie�ire constant�, când la intrare se aplic� un semnal treapt� unitar� �i a trecut un timp suficient de mare. (dup� epuizarea regimului tranzitoriu). Eroarea sta�ionar� este egal� cu m�rimea de corec�ie definit� prin rela�ia 3.25, adic�:

)()(1

)()()()()(

sHsGsX

sausXsHsXsXE iSaeiS ⋅+==⋅−= ε ; (3.25*)

• Precizia (PR),



�


115

se define�te ca inversa abaterilor pe care le înregistreaz� m�rimea de ie�ire real� fa�� de valoarea ei teoretic�, dup� trecerea unui timp suficient de mare de la stabilizarea m�rimii de intrare programatoare sau perturbatoare.

S-a constatat c� cu cât eroarea sta�ionar� ES este mai mic�, cu atât precizia (PR) este mai mare. Eroarea sta�ionar� (ES) este cu atât mai mic�, cu cât produsul HX e ⋅ este mai mare, respectiv cu cât factorul de amplificare al rela�iei (H) este mai mare, cu condi�ia evit�rii pragului de insensibilitate al sistemului; • Promtitudinea (PT), Promptitudinea unui SHRA se apreciaz� prin viteza de varia�ie a erorii sta�ionare (ES) la men�inerea unui Xi sta�ionar, atunci când m�rimea de ie�ire Xe sufer� o perturba�ie extern� de tip treapt�; • Alunecarea sub sarcin� (rigiditatea sistemului) (α� ); � � , se aprecieaz� dup� modul de varia�ie al m�rimii de ie�ire Xe la o m�rime de intrare Xi sta�ionar�, atunci când sistemul este supus unei perturba�ii interne de tip treapt� (perturba�ie de sarcin�).

Rigiditatea sistemului � � exprim� capacitatea sistemului de a nu aluneca sub sarcin� �i reprezint� inversul alunec�rii (α� ).

• Eroarea sta�ionar� în vitez� � �ε0 , reprezint� valoarea m�rimii de corec�ie (Xa), ce trebuie aplicat� ramurii directe, astfel încât la aplicarea la intrare a unui semnal ramp� unitar� Xi = t, m�rimea de ie�ire (Xe) sa-�i p�streze panta (fig. 3.15). • Sensibilitatea � �β , reprezint� valoarea minim admis� a m�rimii de intrare programatoare � �$��( � , pentru care sistemul emite un semnal de ie�ire sesizabil. În realitate � �$��( � reprezint� valoarea minim� necesar� a semnalului de intrare pentru a invinge pierderile interne ale sistemului (hidraulic �i mecanic).

0

x xi e;

�

(�

(�

(�

Fig. 3.15



�


116

3.1.3.2. Performan�ele generalizate în regim nepermanent Performan�ele generalizate în regim tranzitoriu se aprecieaz� tot prin aplicarea la intrarea în SHRA a unui semnal de intrare, treapt� unitate, impuls unitar sau semnal sinusoidal. • Cea mai important� performan�� a regimului tranzitoriu este stabilitatea

SHRA, ce reprezint� capacitatea sistemului de a revenii într-o situatie de func�ionare sta�ionar�, dup� ce intrarea (programatoare sau perturbatoare) s-a stabilizat.

• În opozi�ie cu aceast� caracteristic� a regimului tranzitoriu se define�te

instabilitatea SHRA, caracterizat� prin aceea c� la un semnal de intrare Xi, de m�rime infinitezimal� (infinit mic), semnalul de ie�ire eX exist�, nu are m�rime infinitezimal� �i nici nu se anuleaz� dup� suprimarea semnalului de intrare.

Stabilitatea este o caracteristic� esen�ial� a SHRA, far� de care sistemul î�i poate deprecia fundamental func�ia pentru care a fost creat, conducând la imposibilitatea exploat�rii acestuia. O component� sau un sistem sunt stabile dac� eroarea sta�ionar� � �ε� tinde c�tre zero, ceea ce reprezint� considerând rela�ia (3.25*):

⋅ ⋅ → >> →

⋅⋅ = = →

⋅⋅ → ∞ = − →

ε

ε

ε

�

� �

�

+*

��$,1�� 2�1

( + ��$,1�� 11� �� 2�1��

+*

��$,1�� 2�1

��

�

�

�

� - 1�$

�

;(3.25*)

Expresia � �+ ⋅ =* + , reprezint� ecua�ia caracteristic� a S.H.R.A. �i define�te complet stabilitatea acestuia.

Pentru a exemplifica performan�ele generalizate în regim tranzitoriu ale unui S.H.R.A. se consider� cazul unui sistem la care se aplic� la intrare o func�ie treapt� unitar� �i se urm�re�te comportamentul m�rimii de ie�ire (figura 3.16).



�


117

Fig. 3.16 • Suprareglarea ( τ ), reprezint� valoarea maxim� pe care o atinge m�rimea de ie�ire Xe în prima semiperioad� (figura 3.16). • Gradul de amortizare (δ ), reprezint� un indice de calitate al procesului tranzitoriu, care pentru un semnal de intrare treapt� unitate, reprezint� diferen�a dintre unitate �i raportul amplitudinilor a dou� semioscila�ii succesive de acela�i sens a m�rimii de ie�ire Xe, (figura 3.16) �i este definit prin rela�ia:

δ ττ

= −� � (3.26)

• Performan�ele temporale ale regimului tranzitoriu (figura 3.16), reprezint� valori semnificative ale timpului puse în eviden�� în evolu�ia m�rimii de ie�ire Xe. Acestea sunt: • • timpul de r�spuns ( rt ), reprezint� timpul m�surat de la începutul procesului tranzitoriu �i pân� în momentul când diferen�a dintre valoarea momentan� a m�rimii de ie�ire �i valoarea sa sta�ionar� scade sub o valoare prestabil� ∆ . (de obicei ∆ =5 %); Xe-Xest< ∆ ; figura 3.16. • • constanta de timp (timpul de cre�tere) ( τ� ), reprezint� timpul necesar ca r�spunsul Xe s� creasc� de la valoarea 0,05 Xest la 0,95 Xest (figura3.16). • • timpul de reglare (TR), reprezint� timpul scurs pân� când m�rimea de ie�ire atinge valoarea sta�ionar� cu o abatere ∆ = ±�3 (figura 3.16). • • timpul primului maxim ( τ$ ) –reprezint� timpul scurs în evolu�ia semnalului pân� când acesta atinge primul maxim .(figura 3.16).



�


118

• • timpul primei atingeri a valorii sta�ionare ( τ� )-reprezint� timpul scurs în evolu�ia semnalului pân� când acesta atinge pentru prima dat� valoarea sta�ionar�- figura 3.16 3.1.4. Analiza performan�elor SHRA, utilizând metode frecven�iale Metodele frecven�iale se utilizeaz� în special la componentele �i S.H.R.A. ce au în structur� elemente electrice �i electronice la care este simplu de aplicat ca m�rime de intrare o func�ie sinusoidal� programat� sau perturbatoare. Din aceast� categorie de S.H.R.A. fac parte supapele propor�ionale pilotate, distribuitoarele propor�ionale, etajele de amplificare diuz�-clapet�, etc, toate fiind comandate electronic.

Pentru asemenea sisteme, analiza se realizeaz� aplicând la intrarea în sistemul sau componen�a respectiv� a unui semnal sinusoidal (semnal frecven�ial) de forma:

tXtX Ii ωsin)( = ; (3.27)

Dac� de exemplu sistemul automat este de ordinul doi, func�ia de transfer a acestuia are expresia:

)()(1

)( 2 sXsX

kCSmSsG

i

e=++

= (3.28)

Considerând valorile proprii ale sistemului, respectiv:

mk

n =ω - pulsa�ia proprie a sistemului;

kmc

21=ς - factorul de amortizare (atenuare);

expresia func�iei de transfer a S.A, (rela�ia (3.28)) devine:

1

211

)(2

2 ++=

SSsG

nn ως

ω

(3.28*)



�


119

Aplicarea la intrare a unui semnal sinusoidal, este echivalent� cu înlocuirea expresiei operatorului complex S, din rela�ia (3.28*) cu ωiS = , ceea ce conduce la urm�toarea exprimare a func�iei de transfer:

ω

ωως

ωω

ωii

e

nn

XX

i

iG ��

�

�=

+��

�

�−

=2)(1

1)(

2

(3.29)

Dac� în rela�ia (3.29) se consider�:

2)1(n

eR ωω−= - partea real� a func�iei;

nmI ω

ως2= - partea imaginar� a func�iei;

atunci, expresia (3.29) devine (prin îmul�irea numitorului cu conjugatul) φω iE

me

m

me

e

me

eXIR

Ii

IR

RiIR

iG =+

−+

=+

= 22221

)( ; (3.29*)

În expresia final� a func�iei de transfer (3.29*), termenii sunt:

22222 )(1)2( ��

�

�−+=+=

nnmeE IRX ω

ωωως ; (3.30)

- reprezint� amplitudinea

2)(1

12

n

ne

m arctgRI

arctg

ωωω

ωςφ−

⋅−=−= - defazajul r�spunsului

Din expresia (3.29*), rezult� c� semnalul de ie�ire din S.A de ordinul doi, are expresia (vezi 3.9), în condi�ia p�str�rii, * constante a pulsa�iei ω la semnalul de intrare Xi �i iesire Xe )sin( φω += tXX Ee (3.30*)

Pentru interpretarea rezultatelor se consider� urm�toarele situa�ii concrete de semnale de intrare �i ie�ire din S.A, prezentate în figura 3.17.



�


120

Fig. 3.17

Se consider� c� la aplicarea la intrarea în S.A a unui semnal sinusoidal de

2 Hz, de amplitudine EX ' , defazat cu 1φ fa�� de semnalul de intrare, dac� se m�re�te frecven�a semnalului de intrare spre exemplu la 5Hz, semnalul de ie�ire va avea din nou aceea�i frecven��, amplitudinea EX '' �i defazajul 2φ .

Modificarea amplitudinii semnalului �i defazajului semnalului de ie�ire rezult� din rela�iile (3.30).

Se disting urm�toarele situa�ii: • dac� EE XX ''' < , se spune c� s-a produs o atenuare a semnalului în

raport cu semnalul de referin��; • EE XX ''' > , se spune c� s-a produs o amplificare a semnalului în

raport cu semnalul de referin��; • simultan cu modific�rile de amplitudine are loc �i o decalare în timp a

semnalului, timp corespunz�tor defazajului 1φ sau 2φ . Amplificarea �i atenuarea se exprim� sub forma unui raport, de forma:



�


121

E

E

E

I

I

E

XX

XX

XX

A '''

'

''

log20log20 =⋅= ; [ dB ] (3.31)

evaluate în decibeli. Atenuarea corespunde valorilor negative ale valorii A, iar amplificarea valorilor pozitive.

Pentru interpretarea rezultatelor ob�inute în regim dinamic se utilizeaz� diagramele BODE. Acestea constau în reprezentarea atenu�rii �i defazajului separat în func�ie de frecven�a f sau pulsa�ia ω .

În figura 3.18 este prezentat� diagrama BODE pentru atenuare �i defazaj.

Fig. 3.18

Pe lîng� diagramele BODE pentru interpretarea rezultatelor se mai

utilizeaz� �i diagramele NICHOLS-BLAK, ce reprezint� atenuarea în func�ie de defazaj pentru fiecare frecven�� de excita�ie a sistemului.

Tot în scopul evalu�rii �i interpret�rii r�spunsului unui S.A la o excita�ie sinusoidal� se mai folose�te �i no�iunea de l�rgime de band�. Acestea reprezint� un indice de calitate al regimului sinusoidal �i caracterizeaz� comportarea sistemului în raport cu perturb�rile de înalt� frecven�� recep�ionate de sistem. Din aceast� categorie de perturba�ii externe fac parte zgomotele, vibra�ii ale ma�inii sau instala�iei, etc. Acest indice reprezint� în esen�� propiet�tile de filtrare ale sistemului.

Dac� se consider� func�ia de transfer a unui sistem scris sub forma (vezi (3.29*))



�


122

)()()()( **)(**

ωωωω ωφ mei

E iIReXiG +== (3.22) unde:

EX * - reprezint� caracteristica amplitudine - pulsa�ie; ( )ω*Φ - reprezint� caracteristica faz� - pulsa�ie;

)(* ωeR - reprezint� caracteristica real� de frecven��; )(* ωmI - reprezint� caracteristica imaginar� de frecven��;

Dac� se noteaz� cu m )(ω - raportul amplitudinilor semnalelor sinusoidale de pulsa�ie ω de la ie�irea �i intrarea sistemului în regimul sinusoidal, rezult� (figura 3.19)

Din figur� rezult�: m(0)=1

rm - reprezint� valoarea extremului func�iei la rezonan��, corespunz�toare pulsa�iei rω .

bm = 4 - reprezint� valoarea corespunz�toare valorii 0,7 ce corespunde pulsa�iei bω .

Fig. 3.19

Se define�te astfel l�rgimea de band� ca fiind gama de pulsa�ii pentru

care este îndeplinit� condi�ia: m )(ω ≤ 4 ; (3.33)

Rezult�, astfel c� semnalele de pulsa�ii bωω > sunt puternic atenuate de S.R.A, considerat ca filtru. Expresia (în decibeli) care define�te l�rgimea de band� va fi:

m )( bω =20 log m � �ω 2 =20 log

�≅ − ; [ dB ] (3.34)

Pentru ca func�ionarea sistemului s� fie influen�at� cât mai pu�in de perturba�ii de înalt� frecven�� este necesar� împ�narea unei condi�ii restrictive specific� aparatului sau sistemului analizat, condi�ie caracterizat� de : valoarea

bω∆ , de unde:

bb ωω ∆≤ (3.35)



�


123

3.1.5. Determinarea func�iei de transfer a S.H.R.A. Func�ia de transfer, a�a cum s-a ar�tat în CAP. 3, reprezint� o expresie algebric� în variabila S, în majoritatea cazurilor sub forma unui raport de polinoame, acestea caracterizând func�ionarea sistemului ca raport între semnalul de ie�ire (notat ex ) �i cel de intrare (notat ix ). Un mod de reprezentare a SHRA îl constituie schema bloc func�ional� care eviden�iaz� rela�iile între diferite blocuri func�ionale ce compun SHRA. Considerând c� pentru fiecare subsistem, exist� o func�ie de transfer, cunoscut� sau deductibil�, atunci se poate realiza schema bloc a SHRA, ca cea prezentat� în figura 3.20.

Fig. 3.20 Func�iile de transfer ale blocurilor componente sunt definite dup� cum urmeaz�:

- Pe calea direct�:

)()(

)(1 SSU

SHε

= ; )()(

)(2 SUSM

SH = ; )()(

)(3 SMSY

SH =

- Pe calea de reac�ie:

)()(

)(SYSY

SG r= .

)(SP - reprezint� perturba�ia aditiv� aplicat� asupra procesului. Perturba�ia )(SP se poate aplica direct sau prin intermediul unui bloc func�ional, la intrarea în procesul reglat sau la ie�ire.

a) Considerând 0)( =SP , se pot scrie urm�toarele rela�ii între variabilele sistemului:

)()()( 3 SMSHSY ⋅= ; )()()( 2 SUSHSM ⋅= ; )()()( 1 SSHSU ε⋅=



�


124

Prin eliminarea variabilelor intermediare )(SU �i )(SM se poate deduce func�ia de transfer între ie�irea )(SY �i eroarea )(Sε , sub forma:

)()()()()()()( 321 SSHSSHSHSHSY d εε =⋅⋅= unde: )(SH D reprezint� func�ia de transfer a ramurii directe a SHRA. Dac� se scriu rela�iile între variabilele sistemului pornind de la fun�ia elementului de compara�ie C, se ob�ine:

)()()(

)()()(

)()()(

SYSGSY

SSHSY

SYSRS

r

d

r

⋅=⋅=

−=ε

ε

Eliminând variabilele intermediare )(Sε �i )(SYr rezult�: [ ] )()()(1)()()()()()( SRSHSGSSSHSGSRS dd =⋅+⋅⋅⋅−= εεε

=⋅+

⋅= )()(

)()(1)(

)()(

)( SRSH

SHSGSY

SHSY

Sd

d

d

ε

)()().(1

)()()(

0 SHSHSGSH

SRSY

d

d =+

= ; (3.36)

ce reprezint� func�ia de transfer a sistemului închis (ramur� direct� plus ramur� de reac�ie). Schema din figura 3.20 se poate transforma într-o schem� cu reac�ie unitar� de forma:

sau

unde: )()(1

)()()()(

)(0

'0 SGSH

SGSHSYSY

SHd

d

⋅+⋅

== �i



�


125

)()(1

)()(

)(1

)()(

)( '00 SGSHSH

SHSGSR

SYSH

d

d

⋅+=⋅== .

Pentru schema din figura 3.21 se �ine cont de urm�toarele efecte:

Fig. 3.21



�


126

24321121

4321

2121

4321

121

4321

0 )(1)(

1)(

1

1)(

)(GHHHHGHH

HHHH

GGHHHHHHGHHHHHH

SH⋅+⋅⋅+⋅⋅−

+⋅⋅=

⋅⋅⋅−+⋅⋅

+

⋅⋅−+⋅⋅

=

Pentru 0)( ≠SP , considerând c� perturba�ia )(SP intervine sub forma:

Fig. 3.22

atunci:

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()(

21

3

SYSGSRS

SSHSHSM

SZSHSMSM

SMSHSY

PP

P

⋅−=⋅⋅=

⋅+=⋅=

εε

.

Eliminând variabilele )();((); SMSM Pε se ob�ine func�ia de transfer ca o sum� a efectelor intr�rii )(SR �i perturba�iei )(SZ .

)()(1

)()()(

)(1)(

321

3

321

321 SZSGHHH

SHSHSR

SGHHHHHH

SY P ⋅⋅⋅⋅+

⋅+⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅

=

Acela�i rezultat se ob�ine dac� sistemul se descompune în dou� scheme distincte.



�


127

- pentru 0)( =SZ �i 0)( =SR

Fig. 3.23 De unde rezult�:

)()()()()()()( 00 SZSHSRSHSYSYSY PZR ⋅+⋅=+= 3.1.6. Analiza performan�elor prin metoda locului r�d�cinilor ecua�iei caracteristice.

Se consider� func�ia de transfer a unui SHRA, de forma (3.36), la care numitorul este de forma: )().(1 SHSG+ ; (3.37) Expresia, 0)().(1 =+ SHSG , este ecua�ia caracteristic� a func�iei de transfer considerat�, unde G(S), este func�ia de transfer a ramurii directe, iar H(S) a ramurii de reac�ie �i sunt cunoscute. Pentru a aplica metoda locului r�d�cinilor ecua�ia caracteristica este adus� la forma:

( )( ) 01 =⋅+ SDSN

K ; (3.38)

Singularit��ile ecua�iei (3.38) sunt de trei tipuri, �i anume: • zerouri – pentru N(S) = 0; • poli – pentru D(S) = 0;

• r�d�cini – pentru valorile lui S care verific� ecua�ia ( )( ) KSDSN 1−= .



�


128

Metoda permite trasarea în planul complex a r�d�cinilor ecua�iei caracteristice func�ie de factorul parametric, ( )∞∈ ,0K .

Prin aplicarea metodei r�d�cinilor se poate ajusta factorul K pentru a se asigura performan�ele dorite ale sistemului, respectiv performan�ele optime ale SHRA, atât în ceea ce prive�te regimul sta�ionar de func�ionare prin ob�inerea preciziei dorite, cât �i performan�ele în regim tranzitoriu, respectiv ob�inerea stabilit��ii SHRA.

Metoda const� în reprezentarea grafic� în planul complex a locului geometric al r�d�cinilor ecua�iei caracteristice.

Pentru reprezentare mai sunt necesare urm�toarele m�rimi caracteristice: • direc�iile asimptotice ale graficului, ce rezult� din rela�ia:

zp nnzerouriabscisepoliabscise

a−

−= � � __ ; (3.39)

ce reprezint� punctul de intersec�ie a asimptotelor cu axa real� Re , unde: pn - reprezint� num�rul polilor ;

zn - reprezint� num�rul zerourilor.

• unghiurile direc�iilor asimptotice definite de:

( )zp

a nnn

−⋅+=

018012θ ; (3.40)

unde n = 0, 1, 2 pân� când 0360=aθ . Metoda va fi prezentat� concret în dou� situa�ii de aplicare a unor SHRA,

respectiv un sistem de reglare a puterii la utilaje de excavat �i un echipament de generare hidraulic� a vibra�iilor tehnologice. (vezi cap.5).

CAPITOLUL 3 · 2010. 11. 8. · Modelarea dinamic i analiza performanelor dinamice ale...

Documents

Transcript of CAPITOLUL 3 · 2010. 11. 8. · Modelarea dinamic i analiza performanelor dinamice ale...