Capc3adtulo 2 14 Eenrgc3ada Interna de Un Gas Perfecto

aletosFsica para Ciencias e Ingeniera

CAPTULO 2.14

ENERGA INTERNA DE UN GAS PERFECTO1

2.14-1 Introduccin

En el captulo 2.09, se estableci que la expresin matemtica del primer principio no es slo la expresin delprincipio de conservacin de la energa.

Dicho principio tiene un contenido mucho ms amplio y a partir de l pueden deducirse propiedades muy impor-tantes de un gas perfecto, como vamos a ver a continuacin.

Supongamos que una masa de un gas perfecto, que se encuentra inicialmente en equilibrio termodinmico, estcontenida en un compartimento A de un recipiente de paredes adiabticas, unido a otro compartimento B, en el quese ha hecho el vaco, por medio de una llave de paso debidamente aislada, que, inicialmente, est cerrada, como indi-ca la figura 1.

A B

TA TB

FIG. 1

Se anota la lectura del termmetro TAi del compartimento A,y en un momento dado se abre la llave de paso.

El gas experimenta una expansin brusca al pasar parte delmismo al compartimento B.

Este tipo de proceso, que tiene lugar cuando un gas se expan-de en el vaco dentro de un recinto aislado trmicamente, recibe elnombre de expansin libre.

Si se deja transcurrir un tiempo suficiente para que el sistemaalcance un nuevo estado de equilibrio termodinmico, y se mide latemperatura final TAf y TBf en ambos compartimentos, se encuen-tra que:

TAf = TBf = TAi,Es decir, la temperatura final en ambos compartimentos es

igual que la inicial.Analicemos cules han sido las variaciones energticas del gas durante este proceso.

El gas no ha intercambiado calor con el medio exterior porque las paredes del recipiente son adiabticas.En cuanto al trabajo realizado, no se puede calcular a partir de la expresin:

W

if = PdV

i

f

porque el proceso no es cuasi-esttico ya que la expansin es brusca y, como se recordar, un proceso cuasi-estticodebe ser muy lento. De modo que el clculo del trabajo debe realizarse a partir de:

W

if = F

dl

i

f = F dl cosi

f

Pero F es la fuerza que se ejerce sobre el gas durante la expansin y sta es nula porque al estar inicialmentevaco el compartimento B, no hay ningn agente fsico que se oponga a la expansin del gas.

Las paredes del recipiente ejercen fuerzas sobre el gas pero no realizan trabajo porque al ser rgidas e inmvilesno permiten el desplazamiento de sus puntos de aplicacin. Por consiguiente, puesto que el calor intercambiado y eltrabajo realizado son nulos, aplicando el primer principio de la termodinmica:

se llega a la conclusin de que la variacin de energa interna es nula, y puesto que la variacin de la temperaturaha sido igualmente nula, parece haber una estrecha relacin entre estos hechos.

Pero antes de analizar ms a fondo esta relacin, conviene poner especial atencin en el contenido de las afirma-ciones anteriores. Obsrvese que hemos establecido que la variacin de la energa interna y de la temperatura es nula.

No hemos afirmado en modo alguno que la energa interna y la temperatura hayan permanecido constantes.

Se debe poner especial cuidado en no confundir tales asertos ya que el hecho de que las variaciones de la ener-ga interna y de la temperatura sean nulas no implica que hayan permanecido constantes. Cualquiera de ellas, a par-tir de su valor inicial, ha podido disminuir y luego aumentar en la misma medida, de forma que su valor final seaigual que el inicial, y por lo tanto no ha permanecido constante.

De hecho, a medida que el gas pasa del compartimento A al B, la temperatura del gas que va quedando en Adisminuye ligeramente, y la del gas que va pasando a B aumente tambin ligeramente. Al final, dejando transcurrirtiempo suficiente, la temperatura en A y en B son iguales, e iguales a la temperatura inicial en A, TAi.

De cualquier manera, se observa que:

U =U

fU

i=Q

if W

if


CAPTULO 2.14


La variacin de energa interna de un gas perfecto es nula cuando es asimismo nula la variacin de su tempera-tura absoluta.

La experiencia descrita anteriormente es una idealizacin de una serie de experimentos realizados por Joule, en1843, para determinar, junto con el equivalente mecnico del calor, la dependencia de la energa interna de un gasreal con la temperatura.

Los experimentos con gases reales realizados posteriormente por diferentes investigadores demostraron que latemperatura final no era igual a la inicial. De modo que

La energa interna de un gas real es funcin, en general, de dos de las tres variables termodinmicas P, V y T.No obstante, si la experiencia de Joule se lleva a cabo con cantidades de gas cada vez menores, se observa que,

A bajas presiones, la variacin de la temperatura es prcticamente nula, siendo nula la variacin de la energainterna al variar el volumen ocupado por el gas.

Una vez ms, se comprueba que, a bajas presiones, el comportamiento de un gas real se aproxima al comporta-miento ideal de un gas perfecto.

Se postula, por tanto, que, para un gas perfecto:

dUdV

T

= 0

es decir, La variacin de la energa interna de un gas perfecto al variar el volumen, si la temperatura permanece constan-te, es nula.

Y, puesto que entre las variables P, V y T de un gas perfecto existe una relacin de dependencia, expresada porla ecuacin de estado:

PV = nRTdiferenciando los dos miembros, teniendo en cuenta que T no vara:

PdV + VdP = 0de donde,

dV = V

PdP

y sustituyendo dV en [2.13-1]

dUdV

T

=dU

VP

dP

T

= PV

dUdP

T

= 0

de donde, se deduce que:

La variacin de la energa interna de un gas perfecto al variar la presin, si la temperatura permanece constan-te, es nula.

As pues:La energa interna de un gas perfecto es funcin exclusivamente de la temperatura absoluta.

Veamos ahora cmo se puede obtener dicha funcin: U = f(T).La forma diferencial del primer principio para un proceso cuasi-esttico elemental es:

dQdW = dUy teniendo en cuenta que

dW = PdVsustituyendo, queda

dQPdV = dUSi imaginamos que el gas efecta un proceso a volumen constante, dV = 0, y la expresin anterior queda en la

formadQV = dUV

donde el subndice V indica que esta relacin se cumple si se mantiene el volumen constante.Ahora se puede sustituir dQ por dU en la expresin del calor especfico a volumen constante cV, con lo cual queda:

[1]

[2]

[3]


CAPTULO 2.14


cV=

1n

dQdT

V

=1n

dUdT

V

y, puesto que la energa interna es funcin exclusivamente de la temperatura absoluta, sobra la indicacin de que Vpermanece constante, pues la derivada

dUdT

V

tendr el mismo valor tanto si V o P permanecen constantes o no. Por lo tanto:

cV=

1n

dUdT

de donde,

dU = nc

VdT [5]

e integrando para un proceso finito,

U

fU

i= nc

V(T

fT

i) [6]

Se debe tener cuidado con la interpretacin del subndice V del calor especfico a volumen constante, cV, queaparece en las expresiones [5] y [6] de la energa interna, porque podra parecer que dichas expresiones son solamen-te vlidas para procesos a volumen constante y no es as.

Tanto la expresin en forma diferencial como en forma finita son vlidas para cualquier proceso.Para comprender esto ltimo, supongamos que una masa de n moles de un gas perfecto, que se encuentran

inicialmente en un estado inicial i, evoluciona hasta un estado fina f siguiendo un proceso arbitrario, como indicala figura 2.

FIG. 2

i

Pf

Pi

Vf

Tf

Vi

a

Ti

f

En el diagrama P-V se han representado las coordenadas de los estadosinicial y final, y se han dibujado las isotermas que corresponden a dichos esta-dos, Ti y Tf.

Vamos a comprobar que la variacin de energa interna durante dicho pro-ceso es:

U = Uf Ui = ncV(Tf. Ti)a pesar de que no es un proceso isocoro.

Puesto que la variacin de energa interna no depende de la trayectoria,Uf Ui tendr el mismo valor para todos los procesos que experimente el gasentre los mismos estados inicial y final.

De modo que si hacemos que el gas siga la trayectoria i a f forma-da por un proceso isocoro desde el estado inicial i hasta el estado a, en el queel gas alcanza la temperatura Tf de su estado final, es decir, hasta encontrarla isoterma que pasa por el estado f, y a continuacin, un proceso isotermodesde el estado a hasta el estado final f, la variacin de su energa internaser la misma que la que experimenta a lo largo del proceso i f.

La variacin de energa interna durante el proceso i a f es la suma de las variaciones de energa interna alo largo de los procesos i a y a f:

Uf Ui = (Ua Ui ) + (Uf Ua)Para calcular, a su vez, las variaciones de energa interna Ua Ui y Uf Ua basta aplicar el primer principio:

Ua Ui = Qia Wia

y como el proceso i a es isocoro, V = cte, dV = 0, y por consiguiente, Wia = 0.Por otra parte, despejando dQ de la definicin de calor especfico a volumen constante [2.10-4],

dQ = ncVdTe integrando desde i hasta a,

[4]

Q

ia = nc

VdT

i

a = ncV dTTi

Tf = ncV (Tf Ti )

y sustituyendo en [7], queda finalmente

[7]


CAPTULO 2.14


Ua Ui = Qia Wia = Qia = ncV(TaTi) = ncV(TfTi)A su vez, a lo largo del proceso a f, como la temperatura permanece constante y la energa interna de un gas

perfecto es una funcin exclusiva de la temperatura absoluta, ser tambin constante, por lo tanto:

Uf Ua = 0De modo que la variacin total de energa interna es:

Uf Ui = (Ua Ui ) + (Uf Ua) = Ua Ui = ncV(TfTi)con lo queda justificada la validez general de [6].

La expresin anterior es vlida a pesar de que el proceso i f no es isocoro. El razonamiento anterior se puede repetir para cualesquiera estados inicial y final. Es decir, que, sea cual sea la

posicin relativa de los puntos i y f que representan los estados inicial y final en el diagrama P-V, se puede seguirsiempre el mismo procedimiento:

FIG. 3

i

Pf

Pi

Vf

Tf

Vi

a

Tif

A partir del estado inicial i se sigue una trayectoria isocora hasta encon-trar la isoterma Tf que pasa por el estado final. El punto de interseccin deestas dos lineas corresponde al punto a. Y a partir de este punto basta seguirla isoterma Tf hasta alcanzar el estado final f.

Puede ocurrir, segn cul sea la posicin de los puntos i y f en el diagra-ma P-V, que al iniciar el proceso isocoro partiendo del punto i, haya quebajar en lugar de subir, para encontrar la isoterma Tf correspondienteal estado final.

Si se sigue este procedimiento, es evidente que todo lo dicho anteriormen-te sigue siendo vlido sin modificar absolutamente nada, cualquiera que seala posicin relativa de los estados inicial y final en el diagrama P-V.

Con lo cual queda comprobado que la variacin de la energa interna deun gas perfecto durante cualquier proceso se puede calcular siempre pormedio de la expresin [2.10-6]:

Uf Ui = ncV(TfTi)

2.14-2 Relacin de Mayer

Otra propiedad importante de los gases perfectos es la relacin que existe entre sus calores especficos a presinconstante, cP y a volumen constante cV, denominada relacin de Mayer:

c

Pc

V=R

Veamos cmo se deduce esta relacin.

La expresin del primer principio para cualquier proceso cuasi-esttico elemental de un gas perfecto,

dU = dQ dW se puede escribir en la forma,

ncVdT = dQ PdVPor otra parte, en cualquier estado de equilibrio se cumple la ecuacin de estado:

PV = nRTDiferenciando los dos miembros se obtiene:

PdV + VdP = nRdTy despejando PdV:

PdV = nRdT VdPSustituyendo en la expresin [2.10-9] del primer principio:

ncVdT = dQ (nRdT VdP)y despejando dQ:

dQ = ncVdT+nRdT VdP = n(cV+R)dTVdP

[8]

[9]

La expresin anterior, como ya se ha indicado anteriormente es vlida para cualquier proceso cuasi-esttico ele-mental de un gas perfecto. Si se particulariza para un proceso a presin constante, como en ese caso es dP = 0,queda en la forma:


CAPTULO 2.14


dQP = n(cV +R)dTy despejando cV+R,

igualando los primeros miembros de las dos igualdades anteriores, ya que los segundos son iguales,

cV+R = cPde donde, finalmente, se obtiene la relacin de Mayer

[10] cV+R = 1

ndQdT

P

y teniendo en cuenta que, por definicin, el calor especfico a presin constante es

c

P=

1n

dQdT

P

[11]

c

P=

1R

c

Pc

V=R

que se cumple para cualquier gas perfecto.

2.14-3 Relacin entre los calores especficos cP, cV y el ndice adiabtico

El ndice adiabtico es, por definicin,

=

cP

cV

Combinando las relaciones [8] y [12] se obtienen fcilmente

[12]

[13]

[14] cV=

1 1

R

Los calores especficos cP y cV quedan expresados en las mismas unidades que R puesto que el ndice adiabticoes un nmero abstracto por ser el cociente de dos magnitudes de idnticas dimensiones.

La teora cintica de los gases, cuyo estudio queda fuera del alcance de estas pginas, explica que:- La energa interna de un gas es la suma de las energas cinticas de traslacin, rotacin y vibracin delos tomos que forman cada molcula.- Cada uno de estos posibles movimientos recibe el nombre de grado de libertad.

El principio de equiparticin de la energa establece que:- La energa total de la molcula est repartida por igual entre los distintos grados de libertad.- El ndice adiabtico est relacionado con el nmero de grados de libertad f, de las molculas del gaspor medio de la expresin:

=

f + 2f

[15]

[16]

Esta relacin es vlida solamente para gases monoatmicos y, con una correccin, para gases diatmicos. Paragases cuyas molculas son ms complejas deja de ser vlida.

Gases monoatmicosLa teora cintica explica que para un gas monoatmico el nmero de grados de libertad es f = 3 y, por lo tanto,

el valor de es:

=

f + 2f

=3+ 2

3=

53

y sustituyendo este valor en [13] y [14], se obtienen


CAPTULO 2.14


Gases diatmicosLa teora cintica explica que para un gas diatmico el nmero de grados de libertad es f = 5 y, por lo tanto,

el valor de es:

[19]

c

P=

52

R

cV=

32

R

[17]

[18]

=

f + 2f

=5+ 2

5=

75

[22]

y sustituyendo este valor en [13] y [14], se obtienen

c

P=

72

R

cV=

52

R

[20]

[21]

2.14-4 Obtencin de las ecuaciones de un proceso adiabtico de un gas perfecto

Ahora podemos deducir las ecuaciones de un proceso adiabtico cuasi-esttico de un gas perfecto que se admi-tieron sin demostracin en el Captulo 2.10-2.

Si aplicamos la expresin del primer principio

dQ PdV = ncVdTa un proceso adiabtico cuasi-esttico, puesto que dQ = 0, queda:

PdV = ncVdTDiferenciando ahora los dos miembros de la ecuacin de estado PV = nRT, se obtiene:

PdV +VdP = nRdT con lo cual disponemos del sistema de ecuaciones:

PdV =ncVdTPdV +VdP =nRdT

Despejando ndT de la primera y sustituyendo en la segunda

PdV +VdP + R

cV

PdV = 0

Sacando factor comn a PdV

1+ R

cV

PdV +VdP = 0

y teniendo en cuenta la relacin de Mayer

1+ R

cV

= 1+c

Pc

V

cV

= 1+ 1 =

la ecuacin [22] queda en la forma

PdV +VdP = 0Dividiendo los dos miembros por PV

dVV

+dPP

= 0

e integrando en forma indefinida


CAPTULO 2.14


siendo C1 una constante de integracin que depende de las condiciones iniciales. De la ltima expresin se obtiene: lnV + lnP = lnC1

lnV + lnP = lnC1

lnPV = lnC1

PV =C1

lo que significa que, en cualquier estado del proceso adiabtico, el producto de la presin por el volumen elevado alndice adiabtico, es constante. Por tanto, dicha constante tendr el mismo valor en el estado inicial y en el esta-do final:

Esta es una de las tres formas de expresar un proceso adiabtico cuasi-esttico de un gas perfecto.

Para obtener las otras dos basta eliminar entre esta ecuacin y la ecuacin de estado, la presin o el volumen.Para eliminar la presin basta despejar P de la ecuacin de estado, PV = nRT, y sustituir en la ecuacin

[2.13-23]:

C

1= P

iV

i = P

fV

f

Sustituyendo en la ecuacin anterior, se obtiene otra forma de expresar la ecuacin de un proceso adiabtico,

PV =C

1= P

iV

i = P

fV

f [24]

nRTV

V =C1

PV =C

1 [23]

Simplificando,

nRTV1 =C

1

de donde,

TV 1 =

C1

nR=C

2

siendo C2 una nueva constante ya que nR es constante. Lo que significa que, en cualquier estado del proceso adia-btico, el producto de la temperatura por el volumen elevado al ndice adiabtico disminuido en una unidad, es cons-tante. Por tanto, dicha constante tendr el mismo valor en el estado inicial y en el estado final:

C

2=T

iV

i1 =T

fV

f1

que es otra forma de expresar un proceso adiabtico cuasi-esttico de un gas perfecto.

Para obtener la ecuacin en funcin de la presin y de la temperatura basta eliminar V entre la ecuacin deestado y la primera ecuacin obtenida de la adiabtica, o bien eliminar T entre la ecuacin de estado y la segundaecuacin de la adiabtica.

Si despejamos V de la ecuacin de estado y sustituimos en la ecuacin [2.13-23],

y sustituyendo en la ecuacin anterior

TV 1 =C

2=T

iV

i1 =T

fV

f1

[25]

P nRT

P

=C1

Operando y simplificando,

(nR)T P1 =C

1

de donde,

T P1 =

C1

(nR)

y elevando los dos miembros a 1/


CAPTULO 2.14


TP

1 =

C1

(nR)

1

=C3

siendo C3 una nueva constante, ya que nS es constante. Lo que significa que, en cualquier estado del proceso adia-btico, el producto de la temperatura por la presin elevada a (1)/, es constante. Por tanto, dicha constantetendr el mismo valor en el estado inicial y en el estado final:

C

3=T

iP

i

1 =T

fP

f

1

Las tres ecuaciones obtenidas son tres formas diferentes de expresar un proceso adiabtico. La ecuacin ms con-veniente en cada caso depende de los datos del problema.

Dichas ecuaciones son vlidas nicamente para procesos adiabticos cuasi-estticos de un gas perfecto.

Si se aplica cualquiera de las ecuaciones anteriores a un proceso adiabtico no cuasi-esttico supone llegar a situa-ciones paradjicas y contradictorias cuya explicacin va ms all del contenido de estas pginas.

y sustituyendo en la ecuacin anterior

TP

1 =C

3=T

iP

i

1 =T

fP

f

1 [26]

Capc3adtulo 2 14 Eenrgc3ada Interna de Un Gas Perfecto

Documents

Transcript of Capc3adtulo 2 14 Eenrgc3ada Interna de Un Gas Perfecto