Captulo IX:Circuito RLC

9.6 Circuito RLC serie sin fuenteDeseamos ahora determinar la respuesta natural de un modelo de circuito compuesto por un resistor ideal, un inductor ideal y un capacitor ideal conectado en serie. El resistor ideal tal vez se represente por un resistor fsico conectado en un circuito LC o RLC en serie; quizs tambin represente las prdidas hmicas en el ncleo ferromagntico del inductor, o tal vez se use para representar todos los casos anteriores y otros dispositivos que absorben energa.

9.6 Circuito RLC serie sin fuenteEl circuito RLC n serie es el dual del circuito RLC paralelo, as que este simple hecho suficiente para hacer que su anlisis sea un asunto trivial.

La ecuacin integrodiferencial del circuito anterior es:

9.6 Circuito RLC serie sin fuenteY debe compararse con la ecuacin anloga para el circuito RLC en paralelo desarrollado en la clase anterior.La ecuacin de segundo orden que se obtiene diferenciando con respecto al tiempo es:

Nuestro anlisis completo del circuito RLC en paralelo se aplica de manera directa al circuito RLC serie; las condiciones iniciales sobre la tensin en el capacitor y la corriente en el inductor son equivalentes a las condiciones iniciales en la corriente en el inductor y la tensin en el capacitor; la respuesta de tensin consiste en una respuesta de corriente.

9.6 Un breve resumen de la respuesta del circuito en serieResulta fcil conjuntar un breve resumen de la respuesta del circuito en serie. La respuesta sobreamortiguada es:

Donde:

Y por ello:

9.6 Un breve resumen de la respuesta del circuito en serieLa respuesta crticamente amortiguada es:

La respuesta subamortiguada es:

Donde:

9.6 Un breve resumen de la respuesta del circuito en serieLa precaucin que debemos ejercer radica en el clculo de , que corresponde a 1/(2RC) para el circuito paralelo, y a R/(2L) para el circuito en serie.Ejemplo: Dado el circuito RLC en serie, encuentre i(t).i(0) = 2 mAVc = 2 V

Primero determinaremos los valores de:

La respuesta natural tendr la forma:

9.6 Desarrollo del ejemploPuesto que sabemos que i(0) = 2mA, se sustituira este valor en la ecuacin i(t) y se calculara.

Por ello:

La condicin inicial restante debe aplicarse a la derivada; en consecuencia:

9.6 Desarrollo del ejemploY:

Por lo que: B2 = 0La respuesta deseada es entonces:

9.7 Respuesta Completa del Circuito RLCConsideremos ahora los circuitos RLC en los que las fuentes de cd se conmutan en la red y producen respuestas forzadas que no necesariamente se anulan cuando el tiempo se vuelve infinito.La solucin general se obtiene mediante el mismo procedimiento que se sigui en los circuitos RL y RC: la respuesta forzada se determina por completo; la natural se obtiene como una forma funcional adecuada que contiene el nmero apropiado de constantes arbitrarias; la respuesta completa se escribe como la suma de las respuestas forzada y natural.

9.7 Respuesta Completa del Circuito RLCLas condiciones iniciales se determinan y se aplican a la respuesta completa con el fin de calcular los valores de las constantes.Ejemplo: Determine los valores de corriente y voltaje para cada uno de los elementos pasivos del circuito en t = 0+ y t = 0.

9.7 EjemploEn t = 0 solo la corriente de la derecha est activa. Se supone que el circuito ha estado siempre en tal estado y que todas las corrientes y tensiones son constantes. De tal manera que una corriente cd que atraviesa el inductor requiere una tensin cero a travs de el.En t = 0 la bobina se representa como un corto y el condensador como un abierto.

9.7 EjemploEncontremos los valores de corriente:iL = 5 Amperios,ic = 0 (por comportarse como un abierto)iR = 5 Amperios.

Para los valores de voltaje se tiene:vL = 0 (por comportarse un corto)vR = 30*5 = 150 voltiosvc = 150 voltios

9.7 EjemploEn t = 0+, la fuente de corriente de lado izquierdo se vuelve activa y muchos de los valores de tensin y corriente en t = 0 cambiarn de modo abrupto. Sin embargo, los valores que no cambian son: iL y vC.A continuacin el circuito para t = 0+:

9.7 EjemploPuesto que se conoce dos corrientes en el nodo izquierdo, a continuacin obtenemos: iR (0+) = 1 AmperiovR (0+) = 30 voltios.

Por lo que:iC(0+) = 4 AmperiosvL = 120 voltios

9.7 Otro ejemploComplete la determinacin de las condiciones iniciales del circuito encontrando los valores en t = 0+ correspondiente a las primeras derivadas de las tres variables de tensin y las tres de corriente definidas en el siguiente circuito.

Otro ejemploEmpezamos con los elementos almacenadores de energa. Para el inductor:

Y, de manera especfica:

En consecuencia:

Otro ejemploEn forma similar:

Se determinaran las otras cuatro derivadas al advertir que la LCK y LVK las satisfacen tambin las derivadas. Por ejemplo, en el nodo de la izquierda:4 + iR iL = 0 para t > 0Y por ello:

9.7 Otro ejemploY por tanto:

Se determina que los tres valores iniciales restantes de las derivadas corresponden a:

9.7 Otro ejemploA continuacin calcularemos la respuesta vc(t) para el circuito que aparece en la diapositiva No. 17. Con ambas fuentes desconectadas, el circuito se presenta como uno RLC en serie y se descubre con facilidad que s1 y s2 son respectivamente, -1 y -9. La respuesta forzada se calcula por inspeccin, la cual corresponde a 150 voltios. Para encontrar esta respuesta, los elementos almacenadores se colocan en estado estable.

9.7 Otro ejemploPor lo tanto:

Y:

O

Entonces:

9.7 Otro ejemploY

Por ltimo:A1 = 13.5 y A2 = -13.5

Y