Cap 5 Capacitores y Dielectricos

,

CAPACITORES y , DIELECTRICOS

5. I Capacltor

Es un diSpOSI!ivO formado por dos conductores muy próximos uno al aIro V con cargas de Igual magnitud pero de Signos diferentes. Este diSpositivo cumple con la s iguiente relación:

I q = C.V I q . carga de cualquiera de los conductores a

ó b.

V : diferencia de potencial entre a y b.

e : constante de proporcionalidad, entre la carga q y la diferencia de potencial V, llamada CAPACITANCIA del capacitar.

a

En el 8. 1 la unidad de capacitancia es el FARADIO ( F)

Supmúltlplos:

FARADIO = Coulomb

Vollio , (IF = leN)

1 ~t F = 10 6F (Jl F: microfaradio)

1 p F = 10 1ZF (p F: picofaradio)

5.2 Calculo de la capaci tanc ia

99

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5,2. 1 En un capacitar de placas paralelas. , ", ' q

. • • • • • .

,

5.2.2 En un capacitar cilíndrico.

•

2 Jt 100 f

fn (b/a)

t : longitud del capacitar ( l' » b )

5.2. 3 En una esfera conductora aislada.

IC= 4 1tE oR] R, radio de la esfera

5. 3 Asociación de capacitares.

5.3.1 En se rie

~~o~ ... ~ c:~ , "

5.3.2 En paralelo

o " o. , o, o, o. o

o--

5.4 Energía almacenada en un campo eléctrico.

100

q =

V = 1 - = C

•

q, = q, = q, =

V, + V, + V, +

1 I

C, + -

C, +-+

C,

= q,

o •• + Vn

1 +-

C,

= V ,



5.4.1 DenSidad de energía ( u )

U Co V ( )' u:;:: volumen - "2 d -)

( "E" es el campo eléctrico creado en el capacitor ).

5.5 Capacltor de placas paralelas con un dieléctrico.

Se cumple que:

V(J=Vo/ k

v,

u 1 = - U k o

A = k e -

o d

k' constante dieléctrica. (di ferente para cada material).

NOTA: La capaci tancia de cualquier tipo de capacitor aumenta en un factor k. Si el espacio entre sus placas se llena con un dieléctrico.

5.5.1 Campo eléctnco en el dieléctrico:

V o - o , o E =-"'-- . --

d Co k.c o

Donde o i es el valor de la carga inducida por unidad de área sobre las superf icies

del dieléctrico

NOTA: Al incertar el dieléctrico sin aceleración. el sistema formado por el capacitar más el dieléctnco, realizarán trabajo pOSitiVO sobre el agente que incerta el dieléctrico, dado por:

=...!.C V2(1 _ ~) 2 o o k

5.5.2 La densidad de energía viene dado por:

5.6 La Ley de Gauss y los dieléctricos .

5.6. 1 Cuando no existe dieléctrico , {

Co fE d s = ( o Eo A = q . .. . . ( 1 )

E • - qo (o A

101



102

, 5.6.2 Cuando existe dieléctrico

t o fE ds = Eo EA = q - q' ..... ( 1I )

q' es la carga $uperlicial inducida en el dieléctrico, diferente de la carga libre q.

Luego de ( I ) Y ( II ):

También:

En conclusión, la Ley de Gauss para un capacitar con dieléctrico es:

NOTA: Esta última, relación deducida para un capacltor de placas paralelas es válida en general y es la forma usual en que se escribe la ley de Gauss cuando existe dieléctricos. Debe nolarse que "q" es sólo la carga libre del capacitar.



1.

2.

,

CAPACITORES y DIELÉCTRICOS

La diferencia de potencial, entre las armaduras de un condensador que se oncuentran separadas 0,1 m, es igual a 3 000 voltios. Una esferita de masa 3,0 gramos y carga "-q~ se encuentra sUjeto a una de las placas mediante un hilo de seda. Hallar Mq~ .

9 ::o 10 N/Kg

Solución:

, Realizamos el O.C.L de la esfera caro gada:

,'----ir De la condición de equilibrio, la fuerza resultante es igual a cero. Del triángulo de fuerzas :

q . E :; mg

" Cálculo de la intensidad del campo homogéneo:

V=E.d _>

Reemplazando dalos en ( 1 ):

E :o ~ d

E = 3. 104 NlC

q = 1,Dlle

.. ( 1 )

La diferencia de potencial entre las placas de un - 8~ - - ~1-+-'-condensador es 240 KV. Determinar ellrabajo rea- , I

lizado por un agente externo para trasladar una car- r-"-f""·"".· ga q = 50 ~ e, desde el punto A hasta la posición B. d : d : d

• • • •• ~----- ~ -

Solución:

Diferencia de potencial entre las placas del condensador, es igual al producto de la intensidad del campo homogéneo "E" por la distancia entre las placas:

IlV = E.d, 240 KV = E(3d)

E.d = 80 KV .... ( 1 I

103



• Diferencia de potencial entre los puntos A y B: Ve> VA

(Ve' V,.,) = E . d = aOKV

Trabajo realizado para trasladar la carga .q~:

W" -+ B = q(Ve-V,d ..... (2)

Reemplazando datos en ( 2 ):

W,,-+ B = 50.1O~C(80000V)

IWA -+ S =+4JI 3. En una de las placas de un condensador plano de capacidad "C~ hay una carga • +q" y

en la otra, una carga "+4q ". Hallar la diferencia de potencial entre las placas del condensador.

Solución:

Añadamos a cada placa la carga q' = 5q/2 ( semisuma de las cargas de las placas tomada con signo contrario ). Enlonces el condensador resultará cargado "normalmente" y las cargas de las placas serán ±3q/2. La diferencia de pOlencial entre las placas será :

carga ~ 2c

v = capacidad

Pero los campos de las cargas .. ±3q/2~ de las placas dentro del condensador se compensan uno a otro. Por consiguiente, las cargas que hemos añadido no cambian el campo entre las placas ni la diferencia de potencial en el condensador.

.q Hq

• ,

"-< ,

Sistema Real

3 3 -q +-Q 2 _______ 2

.~ ,

Sistema Equivalente

4. En un condensador plano una armadura tiene carga O, = +70 lJ e y la otra, la carga O2 = +10 lJ C. Dentro del condensador, y paralela a las armaduras, se coloca una placa metálica sin carga. ¿Oué magnitud de carga se inducirá en las superficies izquierda y derecha de la placa? ___ ~ a.

'" 104



5.

• Solución:

En prinCipio le daremos la forma "natural" de un condensador, mediante el siguiente artificio: a cada placa le añadimos la carga q' 0:= - (a, + Q2 )12 (semisuma de las cargas de las placas tomada con signo contrario ). Entonces el condensador resultará cargado

con la siguiente magnitud: Q ::: (a,; O 2) Y signos diferentes:

Luego: Q = 30 ~l e +Q ·0

-,

Sistema Equivalente Melal polarizado "± q"

Cuando colocamos el metal entre las placas del condensador, la placa metálica se polariza. por consiguiente:

Una partícula penetra en un condensador plano paralelamente a sus láminas con una velocidad igual a Vo = 1000 mis. La partícula tiene una masa m ::: lO-a kg y carga eléctrica q = 200 ~l C. Hal lar el ángulo" o: " que forma la velocidad de la particula. cuando sale del condensador. respecto de la horizontal; sabiendo que la intensidad del campo e léctrico es E '" 1 000 N/C , además: L '" 0,05 m. Desprecie el campo gravitatorio.

Solución:

+ -Vo +

I I I I El

I I

+ --L---I v

En el eje X, la fuerza resultante es igual a cero, sobre la partícula, entonces se cumple el M . R. U: e '" vx '!

t' = L Vo

.... . ( 1 )

Cálcu lo de la aceleración en el eje y, de la segunda Ley de Newton:

a " F (resultante)

masa

qE m

qE ay '" m

.... . ( 2 )

lO5



6.

7

106

, Cálculo de la velocidad final en el eje y: V Fy = Voy + a y '

Reemplazando ( 1 ) Y ( 2 ) en ( 3 ): VFV =

Cálculo del ángulo· el ": VFy q EL

Tg o: = -- • =-;;;-V~ m.Vo

o. = are Tg [~ l mV,

De los datos : ct = 45°.

Una eslerita de masa "m" y de carga "+q" está suspendida de un hilo delgado de longitud "l" dentro de un condensador plano de láminas horizontales. la intensidad del campo del condensador es igual a "E", las líneas de fuerza están dirigidas hacia abajo. Se pide encontrar el perrodo de oscilaciones de este péndulo.

Soluci6n:

q.E .l

mV,

. .. .. (3)

.. . .. ( 4 )

V, . v,

, .

i El periodo de un péndulo depende de la longitud del hilo y de la "gravedad electiva" del campo donde se encuentra oseilando.

---

La esferita se mueve por acción de dos fuerzas "mg" y "qE" conslantes en móduto, dirección y senlidO, por consiguiente se puede determinar un campo de fuerzas equivalente al sistema. Cálculo de la gravedad efectiva.

F (resultante) mg + qE 2"- Ley de Newton: g~ = :: ..... ( 2 )

masa m

Reemplazando ( 2 ) en ( 1 ):

Dentro de un condensador plano cuyo campo tiene una intensidad igual a -E-, gira uniformemente una eslenta de masa "m" y carga eléctrica • +q", suspendida de un hilo de T



8.

• longitud "l", El ángulo de inclinación del hilo respecto a la vertical es igual a • 0.", Hallar la velocidad angular de la esferita.

Solución:

/}-_/.\, ~u' ,

~. - --••

pero: A = L. sen a

En ( 1 ): T = m.úI.

• l:Fy = O

L

En principio la esferita se mueve en una superficie equipolencial eléctrica y gravitatoria, describiendo una trayectoria circular. Haciendo el D.C.L. de la esferita y aplicando las Leyes de Newton.

!F ( radiales) = m. 30

T.sen (l = m. or. A .... . ( 1 )

..... ( 2 )

"'> T. cos o: = m . 9 + q E ..... ( 3 )

Reemplazando ( 2) en (3): m úJ 2. l . cos o: = mg + q . E

Despejando tenemos:

En el circuito eléctrico mostrado, determinar la carga acumulada por el capacitor de 6 J.l F, sabiendo que la diferencia de potencial entre los axtremos A y B es 10 voltios .

SolucIón:

.. ' .. ,

sec (l

L

'" 11 ,,--1 3~F a"F L-..a

L...:if-I ---II'f':--.-J

Los condensadores de capacidad

'--1 ! f-.. '--1 1 ~. 3}1 F Y 6).1 F están instalados en se·

• • rie, por consiguiente almacenan igual I B ", .,' cantidad de carga "q",

Los condensadores de capacidad 2 1.1 F Y 8 1.1 F están instalados en paralelo, por consi· guiente las cargas acumuladas serán q y 4q respectivamente,

Analizando el condensador equivalente:

q~. = VAB,Ctq 'O~ F , I " .. 5q = (10 V )( 10.F)

q = 20 1.1 C

Luego, la carga acumulada en cada placa, por el condensador de 6 1.1 F es 20 1.1 C.

107



9.

10.

108

• En el circuito eléctrico mostrado, determinar la carga acu· mulada por el capacitar de 3 ~l F, sabiendo que la diferencia de potencial entre los puntos A y B es 30 voltios .

,,' ,-Ci +--=:J1-":'-.:' ,

Solución: ",

." Cuando dos ( o más ) condensadores están instalados en paralelo, las cargas acumuladas son directamente proporcionales a sus capacidades.

Cuando dos ( o más) condensadores están instalados en 6 ¡,F 3~F serie, todos los condensadores en serie almacenan igual A -----:<,0-----:',---cantidad de carga independientemente de sus capacidades. 3'1 3q

Luego la capacidad equivalente, C&q = 2).l F, almacena en cada placa una carga de magnitud "3q" .

qnela = V AB . Ceq

3q=60).lC

3q = (30V)(2).lF)

q=20j.lC

Finalmente. el condensador de 3 ~l F almacena en cada placa una carga de magnitud 60 ¡l C.

+q +

Entre las placas de un condensador plano de área • A" Y distancia de separación "a" entre las placas. Existe un perfil metálico de altura "b" cuyas bases tienen igual área que las placas del condensador, dicho perfil se desplaza verticalmente sin ponerse en contacto con ninguna de las placas. Dete rminar la capacidad equivalente del sistema así formado.

,-t , -q , --, -

\.. b a -"E--- ----------' ¡-

-., .... +++ ~. + +++ .. ++++ rL I

Solución:

¡ (A ']X ~] ! e, !

I donde:

yJ , I +q _J L ___ - - - - - - - - - -- -- - - - - - --

-q

El sistema equivalente es igual a la asociación de dos condensadores instalados en se rie. El pérfil metálico se polariza, tal que, en su interior el potencial eléctrico es constante y el campo eléctrico es nulo.

A ,

Cl C2 C8q =

C l + C 2

y A

Y

. . ... ( 1 )

x+y = (a-b)

Reemplazando en ( 1 ): c", A = t .~~

o (x + y)

Luego: A

Ceq=Eo (a b )



1 1.

, Un condensador de placas paralelas de capacidad 611 F es cargado con 1211 C. Este condensador se conecla a un condensador de capacidad 2 )1 F descargado. como indica la figura. La carga que al ¡inal adquiere el condensador de 2 I..L F será:

Solución:

1 T

'r-_____ ---,A

1 ,1 ~ 3q ~ 2~F "'-----------',,

Al cerrar los interruptores. se establece un flujo de cargas eléctricas entre las armaduras de los con· densadores, debido a la dilerencia de potencial. El flujo de cargas cesa cuando las armaduras alcanzan igual potencial eléctrico. Por consiguiente los condensadores están sometidos a la misma diferencia

de potencial ·V", Entonces las cargas almacenadas por cada condensador serán directamente proporcional a sus capacidades.

Principio de conservación de las cargas eléctricas:

carga almacenada por el capacltor 2 J.I F:

1 2~c= q+3 q

lq=3~'C ,

12. l a capacidad equivalente entre los puntos X é Y es 14 J.I F. , '. ' Calcular la capacidad equivalente entre los puntos Y é Z.

Solución: "---¿.,-- - -' , , .'

Capacidad equivalente entre los puntos X é Y:

C.y = C+2~F = 1 4~F

Capacidad equivalente entre los puntos Y é Z:

13. Determinar la capacidad equivalente, de los condensadores idénticos de capacidad "C~

cada uno, entre los puntos 1 y 2.

., , I , "

, ¡ , , ¡ " Solución:

Todos los puntos de un alambre conductor poseen el mismo potencial eléctrico.

109



Se puede observar que la diferencia de potencial entre las placas del condensador es constante, esto quiere decir que están instalados en paralelo.

I c~ = 3 e I

, ,

, ,

14. Determinar la capacidad equivalente, de los condensadores idénticos de capacidad uC~ cada uno, entre los puntos 1 y 2.

, j , , l , j , , l , •

1 , , , ¡ , •

Solución:

Todos los puntos de un alambre conductor poseen el mismo potencial eléctrico.

, , , ,

I , , , ¡ , ¡ , , , I , • ,

J , , ,

L , • , , ,

Analizando la diferencia de potencial entre las placas de cada condensador. , , , , ,

~~----1r---~--~~----4r----7--- ' ,

" I , ,

<> -"' ~~~--~,f----~~'

Finalmente: I C~ = 2 e

11 0



,

15. Hallar la capacidad del sistema de condensadores idénticos entre los puntos 1 y 2_ Las cualro láminas son idénticas de área -N y separadas la misma distancia ud".

Además:

Solución:

A

d

Analizando la diferencia de potencial entre las placas.

' ~----~¡~ ........ ~~~:

,~---

, ,

Con cuatro láminas se puede formar Ires ( 3 ) capaci tares

e la capacidad equivalente: Coq ="2 + e

Luego:

~--------_r~, ""'----oi-, ~ ,

16. Hallar la capacidad del sistema de condensadores Idénticos entre los puntos 1 y 2. las cuatro láminas son idénticas de área -A" y separadas la misma distancia "do.

~!~ .......... *i~ l ,

A

d

---_ ..... '~, Además:

Solución:

Analizando la diferencia de potencial entre las placas

~~! ---------i~' , ' .' _______ ',,~ 2

e Con cualro láminas se pueden formar ( 3 ) condensadores. "

,e , e n • 2

Luego, la capacidad equivalente: _'_=_'_+_~ -> ICeq : 3.3 C I Ceq 2C C

17. Hallar la diferencia de potencial entre los puntos 1 y 2 del circUi to, si la I.e . m, es E = 110V.

e e

{JI: 1I 1



,

Solución:

al la diferencia de potencial entre 1 y 2 es:

1 V'2:: 26 1 .. · ,( 1 )

b) Los condensadores en serie, acumulan igual cantidad de carga. Los condensadores en paralelo, acumulan cargas cuya magnitud es directamente proporcional a sus capacidades.

el

di

La capacidad equivalente es: Ceq

Luego: 4q

e =--c~

8 = - e

11

110V = ~q ""'-i> I ~ = 20V I -c 11

Reemplazando ( 2 ) en ( 1 ):

Iv" =10V I

. ( 2 I

18. Un condensador de capacidad el = 3!1 F se conecta, por medio del conmutador K, primero con una batería de f . e . m E = 7 V Y después, con un condensador sin carga de capacidad C2 = 6 Il F. Hallar la ca rga final acumulada por cada condensador.

Solución:

1) Primer caso: el instalado con la bate ria E = 7 V. Cálculo de la carga acumulada.

q = E. el

q = 7 V.3 ~l F = 21 ¡.t e . . .. ( 1 I

2) Segundo caso: el instalado con el condensador C2. La carga "q" se reparte directamente proporcional a las capacidades C, y C2, debido a que la diferencia, de potencial entre las placas es el mismo para ambos capacitares.

3) Por principio de conservación de las cargas eléctricas.

112

,

n-:-l r r r ~ 7 V

UJ I'F

. . (2 I



• q = q1 + q2 --"C> 2 1 ~I e = q, + 2 q,

Luego: q, ::: 7~C y q2 = 141lC

19. la figu ra muestra un exágono regular junto con sus diagonales, en cada segmento se instala un condensador de capacidad igual a "G". El exágono se conecta a un circuito entre los puntos 1 y 2 como se indica en la figura. Encontrar la capacidad equivalente al sistema.

Solución:

En el caso dado es fácil observar que el esquema posee un eje de simetría. En la figura se representa por medio de línea punteada. Según el criterio de simetría, todos los puntos contenidos en el eje (J plano de simetría se encuentran a igual potencial eléctrico. Por consiguiente los puntos MI' M2 Y M3 tienen igual polencia e igual semisuma de los potenciales de los puntos 1 y 2.

De acuerdo a la regla establecida estos tres puntos M" M2 Y MJ: se pueden unir en uno solo llamado, "M", como resultado de esto la asociación de condensadores considerado se descompone en dos sectores unidos en serie uno de los cua les se indica en la figu ra (al ·

Cálculo de la capacidad equivalente entre los puntos 1 y 2:

" , , ~c ~c " "

I C~ = 20 C 11

,

20, Determinar la capacidad entre los puntos A y B de un circuito ilimitado formado por la sucesión de una cadena de condensadores idénticos de capacidad "C· cada uno:

Solución:

j ' j '1] ~ ~ 1 1 ... 00

c~

11 3



2 1.

22.

Luego: 1 1

- : - + -;c--';cC&q C C + C&q

Resolviendo la ecuación de 2do. grado:

C~ + C Ceq - C 2 :: O

La figura muestra dos capacitares en serie. en donde la sección rígida central de longitud "b" se puede desplazar verticalmente. Demostrar que la capacitancia equivalente de la combinación en serie es independiente de la posición de la sección central y está dado por:

Solución:

CO .A e : -a - b

Para capacitares planos se tiene que:

Pero la capacidad equivalente C del sistema es:

En la figura tenemos:

De donde: e :

1 c+e a-b -:--:--C co.A to. A

co ' A a - b

que es independiente de la posición.

.<'

lrJ:bT , 1

J -- T _ _ _ 1

Entre las placas de un capacitar de placas paralelas se induce una placa de cobre cuyo espesor es "b", tal como se muestra en la figura. La placa de cobre está justamente a la mitad entre las placas del capacitar. ¿Cuál es la capaci tancia:

1 {' a) antes y b ) después de introducir el cobre?

Solución: 1 ¡

" ~ffM :

" T f

1 ¡ , , 10 Cobre

p T

al Para capacitares de placas parale las sin dieléctrico se tiene:

A C ::: Ca d



• b) Cuando se introduce el dieléctrico de cobre se forma en este caso dos capacitares

iguales en serie cada una con una capacidad de:

A el "" [o d ,

Luego la capacidad equivalente es: el' el el A e = -;c-'---;o:- = - =, ~ C , +C,2°2d,

d, -_( d-2b) Pero en la figura tenemos que

23. Cuando el interruptor S de la figu ra se mueve hacia la izquierda, las placas del capaci tor el adquieren una diferencia de potencial Vo ' Los capaci tares C2 y C3 están inicialmente descargados. A continuación se mueve el interruptor hacia la derecha. ¿Cuáles son las cargas finales q" q2 Y Q3' en los capaci tares correspondientes?

Solución: ,

,·1:l

,jll al Al mover el interruptor S hacia la izquierda el condensador el adquiere la carga O, o:: e, Vo mientras que C2 y Ca están descargados.

JI" Siendo V el potencial común:

Entonces:

b) En seguida movemos el interruptor S hacia la derecha. Entonces la carga se reordena en los "3" condensadores asi se tiene que:

(c,.c,] e,. Vo = e, v + e

2 + ea V

Entonces la nueva carga q, es: q, = e, . V

11 5



, 24. Dos capaci!ores C, (1, O ).t F) Y C2 (3.011 F) se

cargan al mismo potencial V ( 100 V) pero con la polaridad opuesta, de tal forma que los puntos ~a" y ·c· se encuentren del mismo lado de las respectivas placas positivas de el y e 2 y los puntos "b" y "cr están del mismo lado de las respectivas placas negativas ( véase la figura l. A continuaciÓn se c ierran los interruptores SI y S,_

25.

Il e

e) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los puntos e y I? b) ¿Cuál es la carga el? " c) ¿Cuál es la carga C2?

Solución:

Como ambos se cargan a 100 V Y conocemos sus capacidades podemos hallar sus cargas:

a, = C, . V = 10 6 ( 100) -v a,::;: 1O-4 C

o. = c2" V = 3.10-6 ( 100) _'> Q2 = 3.10··C

Al cerrar los interruptores existe reordena miento de cargas. hasta que los potenciales se Igualan. Pero hay que tener presente que se ponen en contaclo dos conductores de signos opuestos.

El potencial común es:

De donde: q2 = 3. ql ... . . ( 1 )

Además por conservación de la carga

De (1) Y ( 11 ):

y el potencial común es:

ql + q. = Q;> - a l = 2 10.4 ..... ( II )

1 q2 = 1 .5. 1O ~cl y

Determinar la capacitancia equivalente 1 C'u 1 entre los puntos X a Y de la figura. X<;1---'----,';!'r-"1.-''''ifn-... --~ulc'',--.l--~' ' Supóngase qua C;, = 1 O ~l F Y que to- - c,1! -dos los demas capaci tares son de 4.0 ~ F. ( Sugerenciél: aphcar una diferencia de potencial V entre X e Y. y escribir todas fas relaciones en la que Interv~ngan las cargas y las diferenCia de potencial de los capacitares por separado l.

Solución:



• Redibujando la red tenemos:

,

Si aplicamos una diferencia de potencial V entre X e Y, tenemos que Va = V~ ya que las caidas de voltaje por la rama C

I - es es igual a la de la rama C4 - C

3 ( conexión tipo "PUENTE

DE WHEATSTONE") por lo que V. - Vb = O, entonces C2 queda anulada.

Por lo tanto la red equivalente será:

Operando co n los capacitares en serie de cada rama tenemos:

= 2 !1 F

Luego tenemos: Ce = Ce, + Ce2

Ce=4pF

26. Un capacitar esférico consta de dos esferas huecas concéntricas de radios a y b, en donde b > a.

a) Demostrar que su capacitancia es: ab

C= 4 Tt€:-o b _ a

b) ¿Se reduce este resultado ( con a = R) a C = 4 Tt Co R cuando b ..... DO ?

Solución:

a) De la figura tenemos que: VI)/:) = V. - Vb -- -. ( 2 ) , Pero: V. = K

q , a

V. = K .'l b

. .... (3)

Reemplazando ( 2 ) Y ( 3 ) en ( 1 ) tenemos que:

Además sabemos que:

C = ...9... V ..

Reemplazando ( 5 ) en ( 4): C = --,-~q,-"", kq U -~ ) ~~a~.~b~ e = e

k lb - a) =>

.. (4)

.... I 5)

. .. . . ( 1 )

117



• ti) Cuando b ~ - Vb = 0, entonces:

V'" = Kq. a

Luego: e q =

kqU 1 27. Dos esferas metálicas de radios a y b se interconectan con un alambre delgado. Su

separación es grande comparada con sus dimensiones. Al sistema se le suministra una carga Q y entonces se desconecta el alambre.

a) ¿Cuál es la carga sobre cada esfera?

b) Demostrar que la capacidad del sistema es e = 4 11: eo ( a + b l.

Solución:

a) Al sum inistrar una carga Q al sistema ésta se distribuye en las dos esferas por intermedio del alambre.

Entonces: Q = q, + q2 . ( o: )

Además el flujo de cargas termina cuando los potenciales son iguales, luego:

VI = V2

K~ = K a q,

b ... .. ( ~ )

Ahora reemplazando ( I~ ) en ( a ) se obtiene:

y I q, = ah Q I b) Por defmición, la capacidad del sistema es:

Q c= -v

Reemplazando valores: Q

e = -----¡{Q

a + b

e a+ b =

K -" le ", 4 It [o (a + b)

NOTA: V = V, = V'l o::

Q = Voltaje del Sistema.

4 It Ea a + b

28. Un capacitar de placas paralelas tiene placas de área A, separadas por una distancia d y se carga hasta una diferencia de potencial V. A a continuac ión se desconecta la batería

L18



• de carga y las placas se separan hasta una distanCia 2 d. Encontrar una expresión en términos de A. d Y V para:

a) la nueva dilerencia de potencial. b) la energía inicial y linal almacenada. e) el trabajo necesario para separar a las placas.

Solución:

a) Parar hallar la relacIón entre V I Y VI relacionamos la:

Ahora como 1) I :: ", tenemos que:

b) Inicialmente la energía almacenada es: ' v' U Ad "'~ Ad , = lJ ,.. 2 (i2 .

1 UI "'-2

la energía almacenada final es:

100 A 2 --v d

v' , dj A. d,

el El trabajo necesano para separar a las placas es: W = ó.U = UI - UI

29. Una esle ra metálica aislada de 10 cm de diámetro tiene un potencial de 8 000 V. ¿Cuál es la densidad de energra en la superf icie de la esfera?

Solución:

volumen A . d U U

.... . ( 1 ) La densidad de energfa está dado por: \J = :--

Pero: U =..:!. CV 2 ..... (21

2

Además: e A :::: eo -d

.. . .. ( 3 )

Reemplazando ( 3 ) en ( 2 ) tenemos: 1::0 AV 2

U= 2d .. . .. (4)

11 9



•

Reemplazando ( 4 ) en ( 1 ). obtenemos: u =

Reemplazando valores tenemos: u =

t v' -'--2 d '

8,85.1O-!2 ( 8000)2

2(5.10 2 ) 2

'u-=-o-,-'-' -J-1m-C'''1

30. al Si la diferencia de potencial a través de un capaci tor cilíndrico se duplica, ¿por qué factor cambia la energía almacenada en el capacitar?

120

b) Si se duplican los radios de los cilindros interno y externo, manteniendo constante la carga almacenada. ¿Cómo cambia la energía almacenada?

Solución: 'q

q al Sabemos que el campo es : E = -;c---"---;-

2ltEo f r

entonces tenemos que: V2

' VI = J,2E. d ¡:

- q dr '" q ~ J' [ 1 J' - . 2nEof r 2nEo ' a r

=q rn(b / 8 ) ~ 2JtEo I

~ = 2lt:E9( 6. V I n (b / a)

-q

Capacidad = e = _ q_ '" 2 1t Ea ¡ (condensador ci líndrico) 6V t n ( b /a)

Entonces si la diferencia de potencial se duplica:

Se liene:

Se observa que: IlU C(ÓV)2 ='>

Luego el cambio de eryergra almacenada es "3" veces la inicial.

b) Si se duplican los dos radios entonces la capacidad es constante y si además la carga no cambia, entonces el potencial no cambia.

l uego NO exisle variación de la energía almacenada.



31.

, Los radios de las placas de un capac itor cilíndrico, come el mostrado en la figura, son a y b. Demostrar que la mitad de la energía potencial eléctrica almacenada se encuentra dentro de un cilind ro cuyo radio es:

Solución:

v.;c:-;- - - - - - - - - -

\.>:'~"I- -- - - - - - -

lO

-.,. - , ;';-, \

" " " " " '1

-'-'-' , , --,-

' 1

Por fórm ula sabemos que la capacidad para capacitares cilíndricos es:

e = 21tE" l' b r n(b/a) ( >a)

También se sabe que: q=C.VyU

Luego para el capacitor formado por los ci li ndros de radios a y b.

'[2/tCo t] q ' 2" f n(b/a) ( 2I1:C9 t ]'

f n (b/a)

. . ( 1 )

y para el capacitor que se formaría con cilind ros de radios a y r:

1 q' =2""2rcco P

f n( r /a) ..... (2)

Ahora por condición: . .. . (3)

Reemplazando ( 1 ) Y ( 2 ) en ( 3 ):

1 q ' 221tEo f

1 [ 1 f n(r/a) = - -2 2

q'

1. 2 1



, 32. Demostrar que las placas de un capacltor de placas paralelas se atraen con una fuerza

dada por la expresión:

q' F=--

2 tQ

A

Probar esta fórmula calculando el trabajo necesario para aumentar la separación entre las placas de x hasta x ... d x.

Solución:

Sabemos que: - 2

q ' e

Cuando se separan las placas de x a x + d x, la carga no varia pero si la capacidad .

dW . . . . . ( 1)

Pero : dW = F . dx .... ( 2 )

De ( 1 ) Y ( 2 ) tenemos que:

33. Un capacitor de placas paralelas se llena con dos dieléctricos, tal como se muestra en la figura. Demostrar que la capacitancia equivalente está dada por

[22

c = ~ , A ( K1 + K2) d 2

Comprobar ésta formula en todos los casos Ifmites que pueden ocurrir. ( Sugerencia: ¿Se puede justificar este sistema como una combinación de dos capaci tares conectados en paralelo? ).

Solución:

,

Cálculo de el :

El sistema equivalente es igual a la asociación de dos condensadores en paralelo, siendo el área de las placas "A/2". En el sistema real se puede observar que la diferencia de potencial 'es el mismo para ambos dieléctricos.

Luego: e o; el + e2

e _ K1 Eo A 1 - 2d

. . ... ( a )

. ... ( ~ )



•

Cálculo de C2 : e _ K 2 10 0 A

2 - 2d - - _ .. (y)

Reemplazando ( ~ ) y ( y ) en ( a ):

S- K K K - C -_ rOdA ( K+2K) - , I C -- K oo Ad I 1 = 2 = , se ttene que: -v . ..

Luego:

34. Un capacitor de placas paralelas se llena con dos dieléctricos, como se muestra en la figura. Demostrar que su capacitancia está dada por:

Comprobar esta fórmula en todos [os casos límites posibles. ( Sugerencia: ¿Se puede justificar este sistema como la de dos capacitares conectados en serie? ).

SolucIón:

A

Cálculo de e, : C, =

Cálculo de C2: C, =

El sistema equivalente es igual a la asociación de dos condensadores en serie, siendo la distancia de separación entre las placas "d/2". En el sistema real se puede observar que en cada dieléctrico "resultante parcial" es diferente.

1 1 1 Luego: - = -+-

e el C2 ___ _ ( a )

K 1 Eo A

~ e, = 2 K, Ea A - - (~) d/2 d

K 2 Ea A . 2K2 Eo A

"d/2 ='> C2 ::: - - (y) d

2 K 1 Eo A 2 K 2 Eo A

Reemplazando ( 1} ) y ( y ) en ( (l ): C= d d A

2(K 1 +K 2) "(j

123



,

Si K K K · C-_2

'doA (_K21 \ = 2 = se llene que:

35, Un capacitar de placas paralelas tiene placas de 0,12 m2 de área, separadas una distancia de 1,2 cm. Una batería carga a las placas hasta una diferencia de potencial de 120 V Y después se desconecta. Entre las dos placas se coloca, de manera simétrica un material dieléctrico de 0,4 cm de espesor y conslante dieléctrica igual a 4.8.

l 24

a) Encontrar la capacitancia antes de introducir el dieléctrico. b) ¿Cuál es la capacitancia cuando se coloca el dieléctrico? e) ¿Cuál es la carga libre q antes y después de introduCir el dieléctrico? d) Determinar el campo eléctrico en el espacio intermedio entre las placas y el dieléctrico. e) ¿Cuál es 01 campo eléctrico en el dieléctrico? f) Al colocar el dieléctrico en su posición, ¿Cuál es la dllerencia de potencial entre las

dos placas? , g) ¿Cuál debe ser el trabajo externo real izado en el proceso de introducción del material

dieléctrico?

Solución:

a) La capacidad antes de introducir el dieléctrico es:

A Co = €o

d ~~~'¡i(~A ~I K ~;; (3)

Reemplazando valores: ( 0,12 1

Co =: 8,85.10"2 4 . 2 . 10-2

¡

b) Aplicando la Ley de Gauss se encuentra que:

E, _ q

'o A

En seguida aplicamos la integral de linea:

J" J"" J' tN = E , dx + E2 d~ + E3 dx o e, d, . ti

=-q-Id )+-q-Ib) t o A \ Keo A

+-q'o A

( d - d, - b)

Id



,

de donde: ~ = KeQA l! V Kd (K 1) b + - ( K - l) ( ~)l

Capacidad = Co

1-( y) (~ )

Reemplazando valores: e 88,5.10 12

= ---,-"""~~" 1 _ ( 4,:,; 1 ) ( ~:; ) le ,. 120,23.10 12 F I

e) La carga libre antes y después es la misma. puesto que es la carga en las placas del conduelor.

-> I q :: 1,068. 1O-a C

d) El campo eléctrico entre el dieléctrico y la placa es:

El = E --q-3 - Eo A

el El campo eléctrico en el dieléctrico es:

:: 104 V/m I

~ = 2,083. 103 V/m

f) Al introducir el dieléctrico la diferencia de potencial ontre las placas es:

tJ.V = ~ e 1,068.10 -8

:: 120,23.10 -' 2 I óV :: 88,83 V

g) El Irabajo para introducir el dieléctrico es equivalente a:

oU 1 e, . V ' . 1 eVO = - -2

, 2

.. I w = OU = 1,7.10.7 J

36. la figura muestra a un dieléctrico de espesor b y constante dieléctrica K colocado dentro de un capacitor de, placas paralelas, cuyas placas están separadas una distancia d y tienen un área A. Cuando todavra no se ha introducido el dieléctrico, al capaci tor se le aplica una diferencia de potencial V 0) ' A continuación se desconecta la bateria y se introduce el dieléctrico. Suponiendo que A = 100 cor, d = 1 cm, b = 0,5 cm, K = 7 Y VO) = 100 V.

SG(!),. _________ ___ •

dI b 1, -;~-;/;-~-~-~ ;-~-' , ,

~' ~--- ----- -f 80..y.- ____ _ ______ •

J25



• al ¿Cuál es la energía que se almacena en los espacios con aire? b) ¿Cuál es la energía que se almacena en el dieléctrico?

Solución:

Sabemos que:

Pero:

u " = -c"--volumen

u = \) ( volumen)

1 U ='2kto E2( vOlumen) .. . . . ( 1 )

a) Calculamos primero E en el espacio vacio:

Por la Ley de Gauss. para S.G. CD . tenemos:

Luego reemplazando en ( 1 ) Y efectuando obtenemos: I Uo = 2,2125.1O·8J I Nótese que en este caso hemos trabajado con k = 1, debido a que la superficie sobre la cual se calcula la integral del flujo, no pasa a través del dieléctrico.

b) Para este caso se sabe que: E = Eol k . luego:

10 ' E = 7 --0- E = 0,142. 104 V/m

Luego, reemplazamos en ( 1 ) Y efectuando obtenemos: I U = 0. 132. I 0.8 J I De estos resultados es fácil comprobar que:

37. Entre las placas de un capacitor de placas paralelas, separadas una distancia d, se introduce un d ieléctrico de espesor b. Demostrar que la capacitancia queda determinada por:

126

Solución:

c = ;:-:;-,k:.;,:c,+.A'--,,, k d b(k 1)

En la práctica se trata de dos condensadores en serie, una dieléctrico y el otro en el vado; donde:

y - ~ - d - b c .. =~

d

1++++++++++1

1 ::::t::~::1 1--- -- mi



•

Luego: 1 1 1 -"-- + - -e C diel. C vac

1 d d - b -"--- + - -e k eo A teo A

1 b+ k d - k b c = kEoA - " '"" C 100 A k k d - b (k 1)

CASOS ESPECIALES: b " O'"" c" lOo A l d ($ dieléctrico)

k " 1 => c " f A /d (vacío)

b " d ,"" C" k Eo A /d (3 dieléctricq

38. Un capacitor de placas paralelas tiene placas de área A separadas una distanc ia d. Una batería carga a las placas hasta una diferencia de potencial Yo' A continuación se desconecta la balería y se introduce un malerial dieléctrico de ancho d. ¿Cómo se compara la densidad de energía \J entre las placas del capaci tor antes y después de introducir el material dieléctr ico?

Solución:

Antes de introducir el dieléctrico, tenemos:

u, u "-

o A .d . . ... ( 1 )

Después de introducir el dieléctrico tenemos:

u = ~ c. v =..!. (K e ) [ v, J' 2 2 o k

u _ k

De ( 1 ) Y (2)'

u = 2 . ~ k A. d

. .... (2)

Al introducir el dieléctrico, la densidad de energ ía se reduce en el factor 1/k.

127



Cap 5 Capacitores y Dielectricos

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