Campos_1

Escuela Politécnica del Ejército Facultad de Ingeniería Mecatronica

Análisis Matemático

Campos Direccionales

e Isóclinas

Alumno: Marco De la Cruz

Ing. Ibeth Delgado

Mar-Agt

Latacunga,, 27 de Abril del 2010

Campos Direccionales y E.D.O.

Ing. Mecatrónica- ESPE

Campos de pendientes y curvas solución Las curvas solución de una ecuación diferencial dy/dx=f(x,y) son las graficas, en el plano

xy de las soluciones. Las ecuaciones diferenciales dan información indirecta acerca de una

familia de funciones proporcionado información directa acerca de la relación entre las

funciones y sus derivadas. Esta información directa se puede usar para bosquejar curvas

solución sin necesidad de una formula de solución.

Antes de enfocarnos en métodos analíticos para la solución de ED, veremos un par de

métodos gráficos cuyo objetivo es el de investigar en forma cualitativa el comportamiento

de las posibles soluciones para un problema de valor inicial de la forma:

La idea básica es la de interpretar el significado de la ED la solución a esta

ED es una función y (x) cuya pendiente en un punto (x0, y0) en el plano cartesiano está

dada por la función f ( x0,y0) es decir

Esta función es conocida como curva solución.

Método de campos de dirección: Para conocer el comportamiento cualitativo de las

soluciones para un PVI.

de manera gráfica, siga los siguientes pasos:

1.-Tome una colección o muestra de puntos (x, y) ∈ y dibuje un segmento de recta que

tenga pendiente m = f (x, y). El conjunto de estos segmentos de recta se conoce como

Campo de Direcciones.

2.-Trazar la curva solución haciéndola pasar por los puntos de tal manera que los

segmentos de recta sean tangentes a esta curva.



Ejemplos- Considere el PVI (problema de valor inicial)

Paso 1: Colección de puntos y pendientes.

Paso 2.- Trazado de curvas solución.

Otro método gráfico es el de las Isóclinas. Una Isóclinas (igual inclinación o

pendiente) de la ED y0 = f (x, y) es una curva de la forma:

f (x, y) = c

la cual nos indica el comportamiento de los campos direccionales, es decir nos permite

localizar los campos de dirección con la misma inclinación.



Problema de valor inicial (Cauchy)

Sujeta a la condición: y(x0)= y0

:.Esta es la condición de valor inicial

Teorema de Picard Teorema de existencia y unicidad de Picard Sea (x0; y0) un punto de un dominio D .

y sea f : D R una función real continua. Si (x0; y0) posee un entorno U D en el cual se

verifica la condición inicial, existe entonces un número positivo tal que el problema de

Cauchy tiene solución única(x0- )

Este teorema da condiciones suficientes para la existencia de una única solución. Si la

derivada f(x,y) y la derivada df/dy son continuas en R existe un intervalo con centro x0 y

única función única y(x) definido en I que satisface el problema de valor inicial.

Teorema de Peano Teorema de existencia de Peano Sea (x0; y0) un punto de un dominio (es decir, en un

conjunto abierto conexo) D . Si f(x; y) es una función real continua definida en D,

existe entonces un número positivo tal que el problema de Cauchy o de valor inicial tiene

solución en (x0- )

Esto esta garantizando la existencia de al menos una solución de dy/dx =f(x,y) por cada

punto (x0; y0) interior a una región R.



Teorema de existencia y unicidad de soluciones Consideramos la ecuación y’ = f(x) y vimos que el hecho de que f sea continua nos garantiza

que, dado x0 en el dominio de continuidad de f y y0 un real arbitrario, existe una solución de

la ecuación diferencial que pasa por el punto (x0, y0) y esta es única. De acuerdo al teorema

de Peano, la continuidad de f(x, y) en una región R también garantiza que por cada punto

(x0, y0) de R pasa una solución de la ecuación y’= f(x, y). ¿Será cierto que la continuidad de

f(x, y) garantiza también que por cada punto de R pasa una única solución? El análisis del

siguiente ejemplo nos dará la respuesta.

= = (3 )=1 =x+c

y= ,k =cte

Las funciones de esta familia definidas en todo R son soluciones, pero la expresión

y= no es la solución general de la ecuación pues y(x) = 0, ∀x ∈ R es solución y no

es elemento de la familia. Por otra parte cada una de las funciones de la familia se anula en

el correspondiente valor x = −3k

Esto quiere decir que, para cualquier número k, por el punto (−3k, 0) del plano pasan al

menos dos soluciones: y = 0; y = Si analizamos con más cuidado situación,

notamos que realmente por cada punto del plano pasan infinitas soluciones, curvas como

ABCE o ABCDF también son soluciones que tienen muchos puntos en común.

El análisis de este ejemplo nos ha mostrado una ecuación diferencial cuyo campo

direccional es continuo y sin embargo no satisface la condición de unicidad. Esto quiere

decir que para garantizar esta condición es necesario hacer hipótesis adicionales sobre la

función f. Puede demostrarse que una condición suficiente (pero no necesaria) para que por

un punto (x0, y0) ∈ R pase una única solución, es que exista ∂f/∂y en R y sea continua



Procedimientos Maple para las iteraciones de Picard Vamos a escribir un procedimiento, denominado Picard, que calcule y represente

gráficamente las iteraciones de Picard relativas a la E.D.O. , =f(t,y)

con la condición inicial. y(t0)= y0

Los parámetros de entrada serán la función f, definida como función, los valores (t0, y0 ) , que ponemos de tipo numérico, el número de iteraciones (entero positivo) y el extremo

superior del intervalo en el que deseemos la representación gráfica.

> restart:

> Picard:=proc(f::procedure,t0::numeric,y0::numeric, niterac::posint,t1::numeric)

local _y,nueva,n;

print(y0);

_y[0]:=y0;

for n to niterac do

nueva:=_y[0]+int(f(t,_y[n-1]),t=t0..c);

nueva:=simplify(nueva, assume=(c>t0));

_y[n]:=sort(subs(c=t,nueva));

print(_y[n])

od;

print(plot({seq(_y[i],i=0..niterac)},t=t0..t1,title=`Iteraciones de Picard`))

end:

Veamos unos ejemplos de ejecución.

Calculamos cuatro iteraciones para el problema =y, =1

> f:=(t,y)->y:

> Picard(f,0,1,4,2);



Método de las Isóclinas: Para conocer el comportamiento cualitativo de las soluciones para un PVI

de manera gráfica, siga los siguientes pasos:

1 .con el campo de dirección realizado anteriormente

2. Tarazar las isóclinas graficando f (x, y) = c, variando los valores de c.

3. Trazar la curva solución correspondiente al PVI a partir del punto inicial (x0, y0)

siguiendo la dirección que indica la pendiente en ese punto, hasta la siguiente isóclina en

donde se cambia la dirección del trazado de acuerdo con la dirección y pendiente de la

isóclina.

Ejemplo 2 Considere el PVI



Pasó 2: Trazado de Isóclinas -y = c

Que son líneas rectas horizontales.

Paso 3 Trazado de curvas solución.

Los campos de pendiente a menudo se denominan campos de dirección o campos

direccionales



La Isóclina Cero (Nuclina) Considere la ecuación.-

Supóngase que la derivada se iguala a cero el resultado es la curva ( y = x ). Esta curva

consta, precisamente, de todos aquellos puntos en los que la curva de solución tiene

tangente horizontal. Además dy/dx > 0 ; si dy/dx<0; si la curva y >x . la curva ( y = x) no es

una solución de la ecuación horizontal, pero tiene importancia porque divide el plano en

regiones donde las soluciones son crecientes y regiones son decrecientes La isóclina cero

es una curva que consta de los puntos en que las pendientes de las curvas de solución son

cero. La curva ( y = x )es la isóclina cero de la ecuación diferencial

Curvas de solución e isóclina cero (línea azul) para la ecuación dx/dy=(x-y)/2,

Algunos autores emplean el término nuclina o isóclina nula



Ejercicios 1 - 10

Dibuje una curva solución diferente para cada uno de los campos de direcciones

dados.

1)



2) x+y

3)



4)

5)



6)

7) (x)+sen(y)



8)

9)



10)

Ejercicios 11 -20

Identifique las isóclinas de las ecuaciones dadas.

11)

=c

c =1, 2,3.4

Cada isóclina es una línea recta vertical



12)

=c

C=1,2,3,4,-1-2-3-4

Isóclinas inclinadas

13)

Cada isóclina es una línea recta horizontal



14)

c= 1, 2,-1

Isóclinas horizontales

15)

C= 1,2,-1,-2

Isóclinas que pasan por el origen



16)

c=1,-1,2

Cada isóclina es una hipérbola

17)

C=1,-1

Isóclinas hipérbolas que se abren a lo largo de la recta y=x si c>0, a lo largo

De de la recta y= -x si c<0



18)

Cada Isóclinas es una parábola simétrica al eje x

19)

Cada Isóclinas es una parábola simétrica al eje y



20)

c =-1-2, 1,2

Cada isóclina se asimila la función exponencial simétrica que se abre al eje x

Teorema de unicidad de soluciones en maple Para representar el campo de direcciones de una ecuación diferencial se usa el comando

DEplot , cuya sintaxis es

DEplot(ecuaciones, variables, rango, opciones) o bien ,

DEplot(ecuaciones, variables, rango, [condiciones iniciales], opciones)

En el primer caso dibuja sólo el campo de direcciones. Para una parrilla de puntos, que por

defecto es 20 por 20, dibuja en cada punto una flecha indicando la pendiente que debe tener

la curva solución de la ecuación diferencial que pasa por ese punto.

Con la segunda instrucción, el sistema dibuja sobre el campo de direcciones las curvas

solución cuyas condiciones iniciales se indican. Las condiciones iniciales, que pueden ser

una o varias, se deben dar en forma de lista de pares.

Este comando forma parte de la librería DEtools , que se carga con la instrucción



Ejercicios 21 -30

Determine si el teorema 1 garantiza o no la existencia de una solución del problema

con la condición inicial dada. Si se garantiza la existencia determine si el teorema 1

garantiza o no la unicidad de la solución

21) ;

]

]

]

Para la condición dada:

[



22) ;

Derivando [>

[>

Evaluando en

Ln(1)=0

No garantiza la existencia de una solución con la condición dada.

23) ;

[

[>

[ >



24)

Para la condición

[ >

25) ;

[>

[>

[>



26) ;

Para la condición

[>

27) ;

[ >

[ >

[>



28) ;

Cannot evaluate the solution past the initial point

No existe una solución

para la condición dada

29) ;

Derivando

[>

[>

No garantiza la existencia de una solución con la condición dada.

30) ;

[>

[>



[>

Bibliografía: R. Borrelli, C.S. Coleman: Ecuaciones Diferenciales. Oxford University Press,

Méjico,2002.

Ecuaciones diferenciales y Modelado _ Dennis Zill 7 ED.

Ecuaciones diferenciales H. Edwards Penny 4ta ED/2004 M.W. Hirsch, S. Smale,

R.L. Devaney: Di¤erential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to

Chaos. Elsevier Academic Press, San Diego, 2004.

G.F. Simmons, Ecuaciones Diferenciales. McGrawHill, Madrid, 2000.

R. Bronson, G. Costa, Ecuaciones Diferenciales. McGraw-Hill, Méjico, 2008.

Software: Maple y modelado12V

Winplot 3.2V

Microsoft Encarta 2009

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