Campos Escalares

Definicin-Ejemplos-Curvas de Nivel

1

2CAMPOS ESCALARES

Campos Escalares

En el campo de la qumica y la fsica (como as

tambin en otras disciplinas) existen muchas

aplicaciones en las cuales interactan varias

variables. Por ejemplo:

el volumen ocupado por un gas confinado es

directamente proporcional a su temperatura e

inversamente proporcional a su presin: V=

KT/P.

Podemos decir entonces que:

El volumen del gas depende de 2 variables: T y P,

por lo tanto V=f(T,P)

3Campos Escalares

La cantidad de energa calorfica (Q) que produce

una corriente elctrica de intensidad I que circula

durante un tiempo T a travs de una resistencia R

viene dada a travs de la Ley de Joule: Q=cI2RT, (c

es un constante)

Luego:

La cantidad de calor depende de 3 variables: I, Ry T. O sea: Q=f(I,R,T)

En las funciones de los ejemplos anteriores, elvalor de una variable depende del valor de variasvariables independientes.

4Campo escalar: funcin que transforma un

vector en un nmero real:

f: / f(x1,,xn)=z

Ej:

1. f(x1,x2)=x1+x2 R2->R

2. f(x1,x2, x3)= lnx1+sen(x2x3)

Campos Escalares

RRB n

RRB 3

Para simplificar trabajaremos con funciones

con dominio en R2 pero los resultados se

extienden a funciones de ms variables.

5Por lo tanto, usaremos la siguiente notacin:

f: / f(x,y)=z

Campos Escalares

RRB 2

Como estas funciones se aplican a vectores de

dos coordenadas, su dominio ser el plano o

un subconjunto de l.

Si f: / f(x,y)=z, entonces

Dom(f)={(x,y) R2 / un nico z tq z=f(x,y)}

RRB 2

Ejemplos:

1. el dominio es todo el plano

pues para cualquier par (x,y) existe x+y

f(x,y)=x+y

6Campos Escalares

f(x,y)= y/x En este caso el valor de y/x

no puede calcularse si x=0. Luego:

Dom(f)={(x,y) R2 / x0}

2 x

x

y

x

y

y

y

7Campos Escalares

4. f(x,y)= ln(y-x2) .En este caso el valor de f

se podr calcular cuando y-x2 >0. Luego:

Dom(f)={(x,y) R2 / y-x2 >0}={(x,y) R2 / y>x2 }

-10

-5

0

5

10

15

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Series1

8Campos Escalares

Qu tipo de grfico tendrn las funciones

escalares?

Debemos graficar las ternas (x,y,z) donde z=f(x,y);

por lo tanto necesitaremos 3 ejes: dos para el

dominio y uno para la imagen. Evidentemente no

podramos graficar una funcin de ms de dos

variables.

Mostraremos ejemplos de grficos de campos en

R2, pero obtenerlos no es sencillo.

9Campos Escalares

z=1-x-yz

x

y

z

El grfico de esta funcin es un plano, y en

general toda funcin de la forma

z=a(x-x0)+b(y-y0)+z0 representa a un

plano.

1

1

1

10Campos Escalares

z=x2+y2+1

El grfico de esta funcin es un paraboloide

11Campos Escalares

z=ln(x2+y2)

x

y

z

12Campos Escalares

z=x2-y2

x

y

z

13Campos Escalares

z=cos(xy)

x

y

z

14Campos Escalares

El grfico de un campo escalar es una

superficie

15Campos Escalares

Vemos que los grficos pueden muy

complejos de obtener. Un grfico til en

ciertas aplicaciones y menos complicado es el

de las Curvas de Nivel.

Consiste en graficar las proyecciones de la

superficie sobre distintos planos horizontales.

Definicin:

Dada z=f(x,y) se llama Curva de nivel k para

f(x,y) a Ck(f) ={(x,y) R2 / (x,y,k) graf(f)}

={(x,y) R2 / f(x,y)=k)}

16Campos Escalares

Por ejemplo, hallemos C1(f) para:

f(x,y)=x+y+1

1=x+y+1 -> y=-x

x

y

f(x,y)=x2+y2

1=x2+y2

x

y

1

1

17Campos Escalares

Considerando diferentes valores para k se

obtiene un grfico, a veces llamado mapa de

contornos, que muestra las curvas

resultantes de intersecar la superficie con

planos horizontales a distintos niveles

Para f(x,y)=x+y+1y

C-2C-1

C0

C1

C2

18Campos Escalares

Para z=x2+y2

x

y

19Campos Escalares

Veamos la grfica de z=x2+y2 junto con las

curvas interseccin con los planos

horizontales

xy

20Campos Escalares

Isotermas: supongamos que se tiene una

placa metlica plana y que la temperatura

en cada punto est dada por una funcin

T=f(x,y); entonces las curvas de nivel k van

mostrando las curvas sobre la placa en que la

temperatura es constante e igual a k.

Una aplicacin de las curvas de nivel:

Campos Escalares

Derivada Direccional y parcial- Definicin

22Campos Escalares

Para las funciones cuyo dominio pertenece a

R, incrementar el punto significa mirar

hacia la derecha o la izquierda del mismo:

DERIVADA DE UN CAMPO ESCALAR

x0x0+h x0+h

El concepto de derivada es el mismo para

cualquier tipo de funcin pero Qu significa

un incremento de un punto del dominio en

R2?

*

23Campos Escalares

Grafiquemos en R2 y veamos cmo podemos

escribir entonces al punto incrementado

Para incrementar el punto en R2 tenemos infinitas direcciones en las cuales podemos movernos: por todas las rectas que pasan por dicho punto.

P0

x0y0

24Campos Escalares

Analicemos el conjunto de puntos incluidosen el siguiente conjunto:L={(x,y) R2 / (x,y)=k +(x0,y0), k R }

Consideremos un vector de mdulo 1 (versor)que sea paralelo a la recta en la cual estaracontenido el punto incrementado.

P0

x0y0x0

y0

x0

y0

U

U

25Campos Escalares

Definicin:

Dada f, un campo escalar en R2, y P0 un punto

de su dominio. Se define la derivada

direccional de f segn la direccin del versor

U=u1I+u2J, como:

t

)y,x(f)uty;utx(flim

t

)P(f)UtP(flim)P(fD

002010

0t

00

0t0U

26Campos Escalares

Clase 1

Ejemplo:Hallar la derivada direccional de f(x,y)=5x2+yen el punto (1,2) segn la direccin del versor

J5

3I

5

4

Siempre se debe verificar que el vector dadosea un versor, o sea que tenga mdulo 1, sinodebe elegirse el versor correspondiente

27Campos Escalares

5

43t

5

16

5

43lim

t

tt5

16

5

43

limt

t5

16t

5

43

lim

t

7t5

32)t

25

16t

5

81(5

lim

t

7)5

3t2()

5

4t1(5

lim

t

)2;1(f)5

3t2;

5

4t1(f

lim

t

)y,x(f)uty;utx(flim)P(fD

0t

0t

2

0t

2

0t

2

0t

0t

002010

0t0U

28Campos Escalares

Interpretacin geomtrica de la Derivada Direccional

Sea S la grfica de la funcin y el versor en la

direccin en que se busca la derivada. Levantemos un

plano vertical que contenga a la recta en direccin

que pasa por P0. Este plano corta a la superficie S en

una curva C. La derivada direccional representa la

pendiente de la recta tangente a dicha curva C, en el

punto (x0,y0,z0).

U

P0

C

U

z=f(x,y)

29Campos Escalares

Calculemos la derivada en la direccin de los

versores fundamentales:

t

)y,x(f)y;tx(flim

t

)y,x(f)0ty;1tx(flim

t

)P(f)ItP(flim)P(fD

0000

0t

0000

0t

00

0t0U

Segn el versor J:

t

)y,x(f)ty;x(flim

t

)y,x(f)1ty;0tx(flim

t

)P(f)JtP(flim)P(fD

0000

0t

0000

0t

00

0t0U

Segn el versor I:

30Campos Escalares

Observemos que al escribir la expresin de la

derivada en la direccin de I, en el cociente

incremental slo queda incrementada la variable x;

mientras que al utilizar el vector J slo resulta

incrementada la variable y. Estas derivadas,

que consideran la funcin incrementando slo una

de las variables se las llama derivadas parciales de

la funcin en el punto P0.

Dxf(P0) = =fx(P0)

x

)P(f 0

Dyf(P0) = =fy(P0)y

)P(f 0

31Campos Escalares

Grficamente la derivada respecto de x representa

la pendiente de la recta tangente en (x0;y0;z0) a la

curva interseccin de la superficie con el plano

vertical paralelo al plano x0z y que pasa por el punto

(x0;y0;0). Anlogamente, para la derivada respecto

de y

32Campos Escalares

Ejemplos

y8x)y,x(f 2 1. en el punto (1,2)

t

)2,1(f)2,t1(flim)2;1(

x

f

0t

t

1716t1lim)2;1(

x

f 2

0t

t

1tt21lim

x

f 2

0t

2

t

t2tlim

t

tt2lim

x

f

0t

2

0t

33Campos Escalares

t

)2;1(f)t2;1(flim

y

f

0t

t

17t281lim

y

f

0t

8t

t8lim

t

17t8161lim

0t0t

34Campos Escalares

Hallar por definicin las funciones derivadasparciales respecto a x e y:

t

)y,x(f)y,tx(flim)y,x(

x

f

0t

t

y8xy8txlim)y;x(

x

f 22

0t

t

y8xy8ttx2xlim)y;x(

x

f 222

0t

x2tx2limt

ttx2lim)y;x(

x

f

0t

2

0t

35Campos Escalares

Ejercicio:demostrar a partir de la definicin de

derivada parcial que

Ejemplos de derivada parcial utilizando las reglas:

)y;x(8)y;x(y

f

seny8x)y,x(f 2

x2x

f

ycos8y

f

36Campos Escalares

senyx)y,x(f 2

senyx2x

f

ycosxy

f2

)xy(sen)y,x(f 2

22 yxycosx

f

xy2xycosy

f2

37Campos Escalares

)yxln()yx(tg)y,x(f 4537

445

37

45232

36

x5yx

1)yx(tg

)yxln(yx3)yx(cos

1)yx(tg7)y;x(

x

f

3y44y5x

1)y3x(7tg

)4y5xln(3x)y3x(2cos

1)y3x(6tg7)y;x(

y

f

38Campos Escalares

Derivadas de orden superior de un campo escalar

As como para una funcin escalar podamos

derivar a la derivada primera y obtener la derivada

segunda y as sucesivamente para las derivadas de

orden 3, 4 etc; tambin para un campo escalar

podemos derivar a las derivadas parciales de

orden 1 y obtener derivadas de orden superior,

slo que la cantidad de derivadas de cada orden

va a ir aumentando ya que a cada derivada la

podemos derivar respecto a x y respecto a y.

39Campos Escalares

Derivadas Derivadas Derivadas

de 1 orden de 2 orden de 3 orden

f '''xxx . . . . . .

f ''xxf '''xxy . . . . . .

f 'xf '''xyx . . . . . .

f ''xyf '''xyy . . . . . .

f(x;y)

f '''yxx . . . . . .

f ''yxf '''yxy . . . . . .

f 'yf '''yyx . . . . . .

f ''yyf '''yyy . . . . . .

40Campos Escalares

2

2

xxx

f''f

xy

f''f

2

xy

yx

f''f

2

yx

2

2

yyy

f''f

Notacin:

)yx(ey)xycos(x

f

)1(ex)xycos(y

f )yx(

)yx(22

2ey)xy(sen

x

f

)yx(22

2ex)xy(sen

y

f

Ejemplo:

f(x;y)= sen(xy)+e(x-y)

41Campos Escalares

)1(e1)xycos(yx)xy(senxy

f )yx(2

)1(e1)xycos(yx)xy(senyx

f )yx(2

yx

f

xy

f 22

Observemos que para esta funcin

Ser casualidad??

42Campos Escalares

Teorema de Schwartz

Si f: es un campo escalar tal que sus

derivadas segundas existen y son continuas en un

U A , entonces

RRA 2

Uy)(x; )y;x(yx

f)y;x(

xy

f 22

(Sin demostracin)

Campos Escalares

Regla de la Cadena-Frmula de clculo

Derivada Direccional

44Campos Escalares

Clase 3

REGLA DE LA CADENA

Supongamos que f(u,v) es una funcin diferenciable

y que a su vez, u y v tambin son campos escalares

continuos, llammoslos: u=g(x,y) y v=h(x,y).

f depende de x e y a travs de la expresin:f(g(x,y),h(x,y)).

Ejemplo:f(u,v)=u2v , siendo u=x3+y2, v=ln(x+3y)

f(x,y)=(x3+y2)2 ln(x+3y)

45Campos Escalares

Clase 3

Podramos entonces hallar las derivadas parciales de

f respecto de x e y y el diferencial de f dependiendo

de x e y (diferencial total de f).

Queremos hallar una frmula general para dichas

derivadas y dicho diferencial:

Aceptaremos sin demostrar que:

x

v

v

f

x

u

u

f

x

f

y

v

v

f

y

u

u

f

y

f

;

46Campos Escalares

Clase 3

Para el ejemplo dado:

f(u,v)=u2v , siendo u=x3+y2, v=ln(x+3y)

Verifiquemos que en efecto las derivadas coinciden

si derivamos la composicin:

[(x3+y2)2 ln(x+3y)]x=2(x3+y2)3x2 ln(x+3y)+ (x3+y2)2

1/(x+3y)

Ejercicio: hallar la derivada respecto de y.

Verificarla.

y3x

1)yx(x)y3xln()yx(61

y3x

1ux3uv2

x

f 22322322

47Campos Escalares

Clase 3

Caso particular: u y v son funciones de una

sola variable.

f=f(u,v) y u=u(t); v=v(t)

Luego, f=f(t) y por lo tanto buscamosf(t)=df/dt. Como caso particular de la reglade la cadena, podemos escribir:

)t('vv

f)t('u

u

f

dt

df

Ejemplo: f(u,v)=v2lnu ; u=t3+4 ; v=sent

48Campos Escalares

Clase 3

Utilizando la regla de la cadena podemos escribir el

diferencial de f en funcin de los diferenciales de

las variables independientes de la siguiente forma:

Para el caso f(u,v) con u=g(x,y) y v=h(x,y):

Para el caso f=f(u,v) y u=u(t); v=v(t):

dyy

v

v

f

y

u

u

fdx

x

v

v

f

x

u

u

fdf

dt)t('vv

f)t('u

u

fdf

Es comn en las aplicaciones fsicas utilizar lasiguiente notacin:

49Campos Escalares

Clase 3

Esquema de rbol para aplicar la regla de lacadena:

dyy

v

v

f

y

u

u

fdx

x

v

v

f

x

u

u

fdf

xuxvyuyv

xu

yf

xv

y

Para hallar una derivada parcial basta conconsiderar las ramas que terminan en la variabley luego sumar los productos que se obtienen de irderivando dentro de cada rama.

50Campos Escalares

Clase 3

un caso ms complejo:

f=f(u,v) ; u=u(x,t) ; v=v(u,t)

xu

tf x

uv t

t

ttutvt x

u

u

v

v

f

x

u

u

f

x

f

uuxtuxvx t

v

v

f

t

u

u

v

v

f

t

u

u

f

t

f

51Campos Escalares

Clase 3

Gradiente de un campo escalar:

Dada f: llamamos gradiente de f y lo

anotamos grad(f) o bien , al campo vectorial

que en cada componente contiene las derivadas

parciales de f; o sea:

grad(f)(x,y)=

FRMULA DE CLCULO PARA LA DERIVADA

DIRECCIONAL

RRA 2

f

J)y,x(y

fI)y,x(

x

f)y,x(f

Definicin:

52Campos Escalares

Clase 3

Sea f diferenciable en P0=(x0,y0), y U=(u1,u2) un

versor. Entonces la derivada de f en P0 segn la

direccin de U puede calcularse como:

2u)0y,0x(yf

1u)0y,0x(x

fU0y,0xf)0P(fU

D

Dem:Por definicin de derivada direccional sabemos que:

t

)y,x(f)uty;utx(flim)P(fD 002010

0t0U

53Campos Escalares

Clase 3

Definimos la funcin g(t)= f(x, y) dondex=x0+t u1 ; y= y0+t u2

Entonces,

g(t)=f(x0+t u1 ; y0+t u2) y g(0)=f(x0,y0)

Luego, por definicin de derivada para una funcinde una variable:

)P(fDt

)y,x(f)uty;utx(flim

t

)0(g)t(glim)0('g 0U

002010

0t0t

2201012010

20102010

utuy;tuxy

futuy;tux

x

f

)t('y)tuy;tux(y

f)t('x)tuy;tux(

x

f)t('g

Pero por regla de la cadena:(1)

54Campos Escalares

Clase 3

(2)

De (1) y (2) resulta

200100 uy;xy

fuy;x

x

f)0('g

Uy,xfu)y,x(y

fu)y,x(

x

f)P(fD 002001000U

Ejemplo: hallar utilizando la frmula de clculo la

derivada direccional de f(x,y)=5x2+y en elpunto (1,2) segn la direccin del versor

J2

1I

2

3

55Campos Escalares

Clase 3

Como la frmula de clculo que se deriv para laderivada direccional involucra un productoescalar, podemos escribir otra expresin paraella:

Derivada direccional mxima y mnima

cosUy,xf)P(fD 000U

siendo el ngulo que forman el gradiente y elversor.

Como U es un versor, su mdulo vale 1 y por lotanto:

cosy,xf)P(fD 000U

56Campos Escalares

Clase 3

y el valor de esa derivada mxima resulta ser

La derivada direccional en un punto P0 es

mxima cuando el versor tiene la misma

direccin y sentido que ; por lo tanto

)P(fD 0U

1cos

)y,x(f o0

)y,x(f

)y,x(fU

00

00

)y,x(f o0

Si consideramos todas las direcciones en que

podemos incrementar el punto P0, aquella en la

cual ser mxima es aquella para la cual

Luego:

57Campos Escalares

Clase 3

La direccin en la cual ser mnima es

aquella para la cual . Luego:

La derivada direccional en un punto P0 es

mnima cuando el versor tiene la misma

direccin pero sentido opuesto que ;

por lo tanto

)P(fD 0U

1cos

)y,x(f o0

)y,x(f

)y,x(fU

00

00

)y,x(f o0

y el valor de esa derivada mnima resulta ser

58Campos Escalares

Clase 3

Suponga que la temperatura en un punto (x,y,z)

en el espacio est dada por

donde T est medida en grados centgrados y

x,y,z estn en metros. En qu direccin

aumenta ms rpido la temperatura respecto

al punto(1, 1, -2)? Cul es la mxima tasa de

incremento?

222 z3y2x1

80)z,y,x(T

59Campos Escalares

Clase 3

Considere la placa rectngular que se muestra

en la figura siguiente. La temperatura en un

punto de la placa est dada por

22 yx25)y,x(T

Determine la direccin en la que se

debe mover un insecto que est en el punto

(4,2) , para que se enfre lo ms rpido posible.

Campos Escalares

Diferencial y Plano Tangente

61

Funcin diferenciable-Plano tangente

Para una funcin escalar se defini como derivable

a aquella que tiene recta tangente no vertical en

todos sus puntos.

De una funcin de dos variables diremos que es

diferenciable si su imagen est dada por una

superficie suave, que admita plano tangente encada punto.

Funcin diferenciable

Funcin no diferenciable en

los puntos del doblez

62

Plano tangente a un campo escalar en un punto

Sea f: un campo con derivadas parciales

primeras continuas y cuya grfica viene dada por la

superficie S.

RRA 2

Sea P0=(x0,y0,z0),un punto de S. Llamemos C1 a la

curva interseccin de S con el plano vertical, paralelo al

plano y0z que pasa por x0y C2 a la curva interseccin de

S con el plano vertical, paralelo al plano x0z que pasa

por y0.El plano tangente a la superficie S en P0 es aqul que

contiene a las rectas tangentes a ambas curvas en el

P0.

63

xy

z

xy

z

64

La ecuacin de un plano viene dada por:

z-z0= (x- x0)+ (y-y0)

Considerando que las derivadas parciales son las

pendientes de las rectas tangentes a las curvas

interseccin con el plano, se puede demostrar

que

)y;x(y

f00

)y;x(

x

f00

y

Por lo tanto:

z-z0= (x- x0)+ (y-y0))y;x(x

f00

)y;x(

y

f00

65

como el punto P0 pertenece a la superficie,

z0=f(x0;y0), el plano tangente se obtiene como:

z- f(x0;y0)= (x- x0)+ (y-y0))y;x(x

f00

)y;x(

y

f00

66

Ejemplo:

Hallar la ecuacin del plano tangente a la superficieimagen de f(x;y)=2x3-y2 en el punto P(1,2,-2).

6)2;1(x

fx6)y;x(

x

f 2

4)2;1(y

fY2)y;x(

y

f

2)2;1(f

Ecuacin del plano:

z+2= 6 (x- 1)-4 (y-2)

z=6x-6-4y+8-2

z=6x-4y

67

Campo escalar diferenciable

Extenderemos a campos escalares los conceptos

de incremento de funcin y diferencial, teniendo

en cuenta que incrementar un punto significa

incrementar dos variables.

Definicin 1:

Sea f una funcin de dos variables x e y; se

llama incremento de f en el punto (x0;y0) a:

f(x0;y0;x;y)=f(x0+x; y0+y)-f(x0;y0).

68

Definicin 2:

f: se dice diferenciable en (x0;y0) A

si existen y si el incremento

de f puede escribirse como:

donde son funciones de que

tienden a 0 cuando

RRA 2

)y;x(y

fy)y;x(

x

f0000

yxyy

)y,x(fx

x

)y,x(f)y,x,y,x(f 21

0000

00

21 y yyx

)0,0(y,x

(1)

69

De la igualdad (1) de la definicin 2 :

yxyy

)y,x(fx

x

)y,x(f)y,x(f)yy,xx(f 21

00000000

Si llamamos:

resulta

y podemos reescribir a (1) como:

yyy,xxx 00

00 yyy,xxx

)yy()xx()yy(y

)y,x(f)xx(

x

)y,x(f)y,x(f)y,x(f 02010

000

0000

70

Como: equivale a )0,0(y,x )y,x(y,x 00

entonces, que tiendan a 0 equivale a que

el valor de la funcin en el punto incrementado

es prximo al valor del plano tangente en el

punto.

21 y

71

Llamamos diferencial de f en (x0,y0) a:

Como x=dx y y=dy ; por (1) podemos decir que,

f(x0,y0,dx,dy)= df(x0,y0,dx,dy)+ dx+ dy

y por lo tanto, para (x,y)cercano a (x0,y0) podemos

aproximar el incremento de f como:

f(x0,y0,dx,dy) df(x0,y0,dx,dy)

dyy

)y,x(fdx

x

)y,x(f)y,x(df 000000

21

72

O bien:

f(x,y)f(x0,y0)+ df(x0,y0,dx,dy)

f(x0+x,y0+y)f(x0,y0)+ df(x0,y0,x,y)

73

Ejemplo:

Hallar, utilizando diferenciales, una valor

aproximado para ln1,2+e0.1

Consideramos entonces: f(x,y)=lnx+ey x0=1;

y0=0; x=0.2 ; y=0.1

Luego: f(x0+x,y0+y)f(x0,y0)+df(x0,y0,x,y)

Debemos pensar a ln1,2+e0.1 como

f(x0+x,y0+y) para alguna f y algn x0,y0,x,y

adecuado.

74

f(x0,y0)= ln1+e0 =1

El siguiente teorema nos provee de una condicin

suficiente que nos permite asegurar la

diferenciabilidad de una amplia variedad de

funciones, sin utilizar la definicin:

fx=1/x -> fx(1;0)=1

fy=ey -> fy(1;0)=1

Luego: ln1,2+e0.1 1 + (1. 0.2 + 1. 0.1)

-> ln1,2+e0.1 1.3

75

Teorema:

Si f: tiene sus derivadas parciales

continuas en los puntos cercanos a P0(x0,y0)

entonces f es diferenciable en P0.

(sin demostrar)

RRA 2

Otro teorema importante:

RRA 2

Teorema:

Si f: es diferenciable en P0(x0,y0)

entonces f es continua en P0.

76

Dem:

Si f es diferenciable en (x0,y0) entonces

)y,x(f)y,x(flim 00)y,x()y,x( 00 Debemos demostrar que

yxyy

)y,x(fx

x

)y,x(f)y,x,y,x(f 21

000000

equivalentemente :

yxyy

)y,x(fx

x

)y,x(f)y,x(f)yy,xx(f 21

00000000

)y,x(f)yy,xx(flim 0000)0,0()y,x(

)0,0(y,x Debido a que, cuando :

Luego:

2) 3) 4) 5)

(*)

77

21 y

)0,0(y,x )y,x(y,x 00

)y,x(f)y,x(flim 00)y,x()y,x( 00

Si llamamos x=x0+x e y= y0+y :

es equivalente a : . Luego en :

y

)y,x(f

x

)y,x(f 0000

y

y ni x

son constantes porque no

dependen de . Al estar multiplicados por

dichos incrementos que tienden a 0, tienden a 0 los

trminos 2) y 3).

Por definicin de funcin diferenciable,

tienden a 0 cuando tienden a 0. Luego,los trminos 3) y 4) tienden a 0

y y x

(*)

78

Este teorema nos indica que la caracterstica de

ser diferenciable es ms fuerte que la de

continuidad en el sentido que si una funcin es

diferenciable entonces es continua, mientras que

el recproco no es cierto (o sea que una funcin

puede ser continua pero no diferenciable)

79

y=2x+3 ; y=ln(x+3); y=x3 - sen(x)

FUNCIN IMPLCITA

Todas las funciones en las que se expresa el valor

de y a partir de una expresin de x tales como:

Se dicen que estn en forma implcita dado que

se est indicando explcitamente el valor de y a

partir del valor de la variable x.

80

y-2x-3=0 ; y-ln(x+3)=0; y-x3 + sen(x)=0

Sin embargo, en las mismas expresiones podemos

reunir en un mismo miembro ambas variables, y

en ese caso la funcin se dice en forma

implcita:

El nombre proviene del hecho de que existe una

funcin de y dependiente de x pero no se est

mostrando explcitamente como en la forma

anterior.

81

En muchos casos las funciones vienen dada en

forma implcita y no es posible pasar a la forma

explcita:

ey-ex+xy=0 ; x2y+y3-1=0

Cmo se puede obtener la derivada de y(x) cuando viene dada en forma implcita?

82

1. Podemos aplicar las reglas de clculo de

derivadas, recordando que y no es una variable

independiente sino una funcin de x

2xy+x2y+3y2y=0

2xy+y(x2+3y2)=0 y=-2xy/(x2+3y2)

Podemos hacerlo de dos formas:

ey y-ex+y+xy=0

y (ey+x)-ex+y=0 y= (ex-y)/(ey+x)

83

2. Podemos aplicar el TEOREMA DE LA

DERIVADA DE LA FUNCIN IMPLCITA

Sea y=y(x) una funcin continua definida

implcitamente por la ecuacin F(x,y)=0. Si en el

punto (x0,y0) F tiene derivadas parciales continuas en

un entorno de (x0,y0) y se verifica que Fy(x0,y0)0 ,

entonces:

)0

y,0

x(yF

)0

y,0

x(xF

)x(y

84

Volviendo a los dos ejemplos anteriores, podemos calcular la derivada usando el teorema:

Si llamamos F(x,y)=ey -ex+xy

Entonces F(x,y)=0 define implcitamente a y=y(x)

Luego, segn el teorema:

xe

ye

xe

ye

)y,x(F

)y,x(F)x(y

y

x

y

x

y

x

Que coincide con la hallada con el primer mtodo

85

Para el segundo ejemplo:

F(x,y)=x2y+y3-1

22y

x

y3x

xy2

)y,x(F

)y,x(F)x(y

Que tambin coincide con la hallada anteriormente

86

POLINOMIO DE TAYLOR PARA UN CAMPO

ESCALAR

De manera anloga que para funciones escalares, se

puede definir un polinomio de orden n para un campo

escalar que aproxime los valores de dicho campo para

valores de (x,y) cercanos a un punto (x0,y0). Tambin

lo llamaremos Polinomio de Taylor y se verificar que:

f(x,y) Pn(x,y)+Tn+1

siendo Tn+1 el trmino complementario o error, que

tiende a 0 cuando (x,y) se aproxima a (x0,y0) o

cuando n tiene a infinito.

87

Veremos la frmula del polinomio de orden 1 y el de

orden 2.

)0yy()0y,0x(yf)0xx()0y,0x(xf)y,x(f)y,x(P 001

)0yy()0y,0x(yf)0xx()0y,0x(xf)y,x(f)y,x(P 002

2)0yy()0y,0x(yyf

)yy)(0xx()0y,0x(xyf2)0xx()0y,0x(xxf21

02

Ejemplo: Aproximar el valor de 2,1sen(0,1)

utilizando un polinomio de Taylor de orden 2.