Campos en R3

Campos escalares y vectoriales

Concepto de campo rEs una función –una correspondencia- que a cada punto de un dominio de

un espacio (normalmente R3) le hace corresponder un valor.

Generalmente el espacio de definicion es R3, pero tambien hay campos que están definidos sobre superficies (2D) o lineas (1D)

Ejemplos: temperatura, presión, concentración de una disolucion, densidades, la función de onda en Mecánica Cuántica…

En R3 cualquier punto en el espacio se puede representar por un conjunto de 3 números, llamados coordenadas. Asi en coordenadas cartesianas donde ux, uy, y uz son los llamados vectores unitarios.

zyx uzuyuxr ++=

Campo escalar a cada punto de un dominio de un espacio le hace corresponder un valor escalar; es decir una magnitud que queda determinada por un número real (o complejo)

r

Pero igualmente se puede determinar en coordenadas polares mediante las coordenadas r, θ y φ.

f = f (!r ) = F

( p) (r,! , )

Aunque en muchos casos el espacio de definición es R3 en algunos casos puede ser una superficie (vgr: densidad superficial) o una linea (corriente en un hilo)

Por lo tanto cualquier campo escalar se puede escribir como

!

f = f(! r ) = F( c )( x , y ,z )

o en otros sistemas de coordenadas (cilíndricas, bipolares, etc)

Campo vectorial a cada punto de un dominio de un espacio (normalmente R3) le hace corresponder un valor vectorial; es decir una magnitud que queda determinada por su módulo, dirección y sentido.

r

Ejemplos: campos de fuerzas (gravitatoria, eléctrica), velocidad de un fluido, campo magnético…

En coordenadas cartesianas cualquier campo de fuerzas se puede escribir como: es decir por medio de tres funciones de , que son las componentes del campo.

!

! F =

! F (! r ) =

! F (x , y ,z ) = Fx(x , y ,z )

! u x + Fy(x , y ,z )

! u y + Fz(x , y ,z )

! u z

!

! r

y=f(x)

Representacion gráfica de un campo escalar definido en R (1 Dimension)

z=f(x,y)

Representacion cráfica de un campo escalar definido en el espacio R2 (2-Dimensiones)

Las curvas de nivel son el conjunto de puntos donde el campo toma los mismos valores. Si el campo esta definido por z=f(x,y),entonceslascurvasdenivelestándefinidaspor

Representacion gráfica de un campo escalar definido en el espacio R2 Curvas de nivel

Sicortamoslagráficadelafunciónz=f(x,y)porplanoshorizontales(z=kte)obtenemoscurvasadiferentesalturas(diferentesvaloresdez)

f(x,y)=k

Siproyectamoslascurvasf(x,y)=kenelplanoXY,obtenemoslascurvasdenivel

quequedancaracterizadasporelvalordezalquecorresponden(cota)

Ejemplo:planotopográfico

Ejemplo:losmapasdeisobaras.RealmentelapresionestadefinidaenR3,perolosmapasdeisobarasrepresentanisobarasaunaalJtuddada,deformaqueesuncampoendosdimensiones.

Ejemplo:losmapasdeisotermas.TambienaquílatemperaturaestadefinidaenR3,peroseuJlizanmapasaalturaconstante,reduciendoelproblemaadosdimensiones.

Aquíelcolorsirveparaindicarelvalordelcampoenlacurvadenivel.

ky (a.u.) ky (a.u.)

Mg

OMgO

Energ

y (

eV

)

Energ

y (

eV

)

Re!(ky,") Im#(ky,")a) b)

AlAl

!s

Entresdimensiones,elconjuntodepuntosdondeelcampotomaelmismovalorvienedadoporlaecuación:

f(x,y,z)=kquedefineunasuperficie:superficiedenivel

222),,( zyxzyxf ++=Ejemplo:seaelcampoescalar

222 zyxc ++=Lacondiciondesuperficiedeniveles

!

! F =

! F (! r ) =

! F (x , y ,z ) = Fx(x , y ,z )

! u x + Fy(x , y ,z )

! u y + Fz(x , y ,z )

! u z

Representar correctamente este campo supone representar en cadapunto del espacio unvector:noessencillo.

Representacion gráfica de un campo vectorial Lineas de campo

Hemosvisto

!

! F ("1,1) = "

! u x "

! u y

!

! F (1,1) = "

! u x +

! u y

!

! F ("1,"1) =

! u x "

! u y

!

! F (1,"1) =

! u x +

! u y

Representacion gráfica de un campo vectorial Ejemplo en 2D

!

! F =

! F (! r ) =

! F (x , y ) = "y

! u x + x

! u ySupongamosquequeremosrepresentarelcampo

Sivamosañadiendoelvalordelcampoenmáspuntos

dondehemosreescaladoelvalordelmoduloparaquelafigurasealegible

Generalmenteparavisualizaruncampovectorialseempleanlasllamadaslineasdecampo,queponenelénfasisenladireccióndelcampoencadapunto,másqueenlaintensidaddelcampo(modulodelcampo)

Laslineasdecamposedefinendeformaqueelcampoencadapuntoseatangentealalinea.

Ejemplo:Elcampoeléctrico

E ( r ) = kr

r3

Sepierdeinformaciónsobrelaintensidaddelcampo

Ejemplo:campocreadoporunsistemadedoscargas

Ejemplo:campomagnéJcocreadoporunimán

Ejemplo:campomagnéJcocreadoporunsolenoide

Ejemplo:campomagnéJcodelaJerra

Imágenesenunacámaradeniebla

enestecasoelcampo(velocidaddelasparJculascargadas)tambiendependedelJempo,yloqueserepresentaeselvalorenunintervalodeJempo.