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Campo eléctrico II: Campo eléctrico II: Ley Ley de Gaussde Gauss

1. Introducción

pp yy

2. Distribuciones continuas de carga.

3. Campo eléctrico de distribuciones continuas de carga.

4. Flujo del campo eléctrico.

5. Ley de Gauss.

6. Aplicaciones de la ley de Gauss.

BIBLIOGRAFÍA:

-Tipler. "Física". Cap. 22. Reverté.-Serway. "Física". Cap. 19. McGraw-Hill.

TAREAS:• Estudio del tema expuesto en clase con ayuda de de la bibliografía.• Tened presente que no se va a tratar todo lo expuesto en los capítulos de la bibliografía

recomendada.• Realización de los ejercicios y problemas propuestos. Realización de los ejercicios y problemas propuestos.

M.A.Monge / B. Savoini 1Dpto. Física UC3M

IntrucciónIntrucción

Tras el descubrimiento de la ley de Coulomb, la nueva rama de la Física se desarrollo rápidamente.

• Michael Faraday (1791-1867) inicio la idea del campo eléctrico ydescubrió la inducción electromagnética.

• James Clerk Maxwell (1831 1979) desarrolló la teoría del• James Clerk Maxwell (1831-1979) desarrolló la teoría delelectromagnetismo tal y como se encuentra actualmenteestablecida. Uno de los mayores genios teóricos de lahistoriahistoria.

• Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) sus desarrollos enmatemáticas permitieron formalizar las leyes delelectromagnetismo.


Distribuciones continuas de carga eléctrica.Distribuciones continuas de carga eléctrica.

En este caso dividimos la distribución enpequeños elementos diferenciales de carga,dq, de forma que la carga total es la integral:

Z

QTotal

dq, de forma que la carga total es la integral:

dq Q dq= ∫Y

X

Y

Dependiendo de la forma de la distribución, se definen las siguientesdistribuciones de carga

Lineal Superficial Volumétricadqdl

λ =

Linealdqds

σ =

Superficialdqdv

ρ =

Volumétrica

dl ds dv


EjemploEjemplo 11:: Calcule la carga eléctrica total de una línea de longitud L cargada conEjemploEjemplo 11:: Calcule la carga eléctrica total de una línea de longitud L cargada conuna densidad de carga de 3x C/m.

YY

dqX

Lx

dx


Campo eléctrico de una distribuciones continuas de cargaCampo eléctrico de una distribuciones continuas de carga

El campo eléctrico creado por una distribución continua de carga será como el de una discreta, aplicando el principio de superposición, pero el sumatorio se transforma en una integral. Se calcula integrando vectorialmente los campos eléctricos creados por

Z

cada una de las cargas diferenciales, dq, que componen la distribución de carga en el punto donde se desea calcular E.

1 dq∫

Q

Z2

1( )4 r r

o

dqE r ur rπε ′−=

′−∫ v vv rv

v v

( )v vTotalE r

dqQTotal P

( )Total

rr r′−v v

dEv

Si en el punto P se coloca una carga q, esta experimentara una fuerza ya vista:

rrr′r

Y

X( ) ( )=v vv vF r q E r


Flujo del campo eléctricoFlujo del campo eléctricoFlujo del campo eléctricoFlujo del campo eléctricoEl flujo eléctrico da idea de la cantidad de campo eléctrico (se puede imaginar como si laslíneas o vectores del campo fluyeran como un líquido a través de la superficie) que atraviesacierta superficie. Si la superficie considerada encierra una carga, el número de líneas de

fcampo eléctrico que atraviesa dicha superficie es proporcional a la carga neta.X r

E ( )∫∫ •== dSnEESdEΦ rrrrrcos

Siendo n un vector unitario perpendicular

ESS

Siendo n un vector unitario perpendiculara la superficie.

Para una superficie cerrada el flujo seránegativo si la línea de campo entra y

Z

vnrE

negativo si la línea de campo entra ypositivo si sale. En general, el flujo netopara una superficie cerrada será:

Y

( )∫∫ •==ss

dSnEESdEΦ rrrrrcos

vdS

vdS


vdS

Supongamos ahora una carga q próxima a una superficie cerrada de forma arbitraria.En este caso el número neto de líneas de campo que atraviesa la superficie es cero(entran el mismo número de líneas que salen), por lo tanto

rE

∫ drr

0== ∫s

SdEΦrr

q

s

qEl flujo del campo eléctrico a través deuna superficie que no encierra carga essiempre nulosiempre nulo.


Dipolo eléctrico encerrado en una superficie de forma arbitraria S. La carga totalencerrada es cero.

+ -

El flujo eléctrico total es cero ya que entran tantas líneas de campo como salen

∫¿Qué sucederá en un caso general?

0== ∫s

SdEΦrr


Ejemplo 2: Una carga puntual q está situada en el centro de una superficie esférica de radioR. Calcule el flujo neto del campo eléctrico a través de dicha superficie.

dSEr

dS

qR

El resultado es independiente del radio de la esfera

Φqε

Φ =o

q


Ley de GaussLey de GaussLey de GaussLey de Gauss

Este teorema establece una relación general entre el flujo de campo eléctrico a través deuna superficie cerrada y la carga encerrada por ella.

Ley de Gauss: El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada cualquiera esigual a la carga neta que se encuentre dentro de dicha superficie dividida por la permitividadeléctricaeléctrica.

S enencerrada TotalQSdEΦ == ∫rr

A S se le llama superficie gaussiana (solo es un nombre)

0εs∫

De forma mas explicita:

A S se le llama superficie gaussiana (solo es un nombre).

( )0

S enencerrada Totalcosε

QSdEdSnEEΦss

==•= ∫∫rrrrr

ss


Esta ley se puede aplicar de forma sencilla al calculo del campo eléctrico en problemas con gran simetría.Procedimiento para aplicar el teorema de Gauss en casos senccillosProcedimiento para aplicar el teorema de Gauss en casos senccillos

Se debe elegir unasuperficie que tenga la

Paralelo es a E n

Perpendicular⎧ ⎫⎧ ⎫

⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

r vp q g

simetría adecuada para ladistribución de carga cuyocampo E se desea calcular.La superficie debe cumplir

en todos los puntos de la superficie

es constante en módulo

Perpendicular

E

⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪

⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪r

La superficie debe cumplir ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

De esta forma se cumple que:

( ) 0 si es paralelo a la superficie gaussiana

cosE ds E En ds

=

Φ = ⋅ = ⋅ =∫ ∫r r rr v

p q

( ) =

s

E S

∫ ∫r

si es perpendicular a la superficie gaussianaPor lo tanto

Total en el interior de S Sε

=v

o

QE S es el área de la superficie gaussiana

o


EjemploEjemplo 33:: Calcule el campo eléctrico producido por una esfera cargada uniformementede radio R con una carga Q distribuida en todo el volumen de la esfera.

ZZ

+Y

R

++

++

++ +

+

X R+ +

+


EjemploEjemplo 44:: Calcule el campo eléctrico producido por un casquete esférico de radio R (lacarga solo esta en la superficie) cargado uniformemente con una carga Q distribuida encarga solo esta en la superficie) cargado uniformemente con una carga Q distribuida entoda la superficie.

ZZ

+Y

R

++

++

++ +

+

X R+ +

+


Un caso de gran interés es el campo eléctrico producido por un plano infinito de densidad de carga σ,como el de la figura. Este caso será útil para el estudio de dispositivos eléctricos como elcondensador Si suponemos que la carga es positiva el campo eléctrico por simetría es el de lacondensador. Si suponemos que la carga es positiva, el campo eléctrico por simetría es el de lafigura.

Z Para poder aplicar el teorema de Gauss de forma sencilla sedebe complir:

Y

1) el campo eléctrico E es paralelo la normal n a lasuperficie en cada punto.

2) El módulo de E es constante sobre la superficie.

X

Y Para cumplir lo anterior elegimos una superficie gaussianacilíndrica como la de la figura

Ev Z

Ev

Y

Aplicamos el teorema de Gauss a la superficie gaussianacilíndrica. El resultado es que el campo eléctrico es de móduloconstante y perpendicular al plano de la distribución de carga.Su valor es:

X

0

( )2σε

=r vE r

02εM.A.Monge / B. Savoini 14Dpto. Física UC3M

En muchos casos el campo E es complicado y no sabemos encontrar una superficie gaussiana que nospermita aplicar el teorema de Gauss de forma sencilla Por ejemplo si tenemos una línea cargada

Y

permita aplicar el teorema de Gauss de forma sencilla. Por ejemplo, si tenemos una línea cargadapositivamente de longitud L y carga total Q, el campo eléctrico tiene la forma de la figura.

YEv

EnEn unun casocaso comocomo esteeste parapara calcularcalcular elelEnEn unun casocaso comocomo este,este, parapara calcularcalcular elelcampocampo eléctricoeléctrico deberemosdeberemos solucionarsolucionar lalaintegralintegral concon queque lolo definimosdefinimos::

1( ) dqE r u= ∫v rv + + + + +

X2( )4 r r

o

E r ur rπε ′−=

′−∫ v vv v


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