----------------------- Page 1----------------------UNIVERSIDADTCNICA DEL NORTEIBARRA - ECUADORCLCULO VECTORIALLouis Leithold-EC7; captulos 9, 10 y 11Arnaldo Pillajo y Ernesto Palacios2009----------------------- Page 2----------------------(Tambin hay disponible una versin .docx)lad_palacios@hotmail.comvEJERCICIOS 9.1En los ejercicios 1 a 10, dibuje la grfica de las ecuaciones para mtricas y obtenga unaecuacin cartesiana de la grafica.1.x4 cos216 cos4 cos216 sint ; y4 sintt ; t2y0, 22t2xt ; t2yx4 sin2x2.t ; y160,216 cost16 sint16;y013.x4 cost ; y4 sin1t ; t,222x4.2yx216 cos9 cos22tt ; y16 sin4 sintt ; t16;x00, 22xy22cos81tsint116----------------------- Page 3----------------------5.x4 cos2tx; yt ; t0, 22y2cos1625 sin2tsint162516.x4 cost; y25 sint ; t1,2222xy22cos16tsint1;x062517.x4 sect ;y25 tant; t1,2222xy22sec16ttant1,x081----------------------- Page 4----------------------18.x4 tant; y9 sect ; t30,,222yx22sec819.ttant1, x016x32t ; yx2 y310. x2tx2t2t5;2 y48y2tt2t11152t27----------------------- Page 5----------------------2dydEn los ejercicios 11 16, calculearmetro.y;sin eliminar el p2dxdx211. x3t , y2tdydy2dydt4tdydt4dx9;dxdx3dx 2dt12. xdt2t , y11tdydy2dydt1dydt1;dxdx2tdx 2dxdtdt2 tt e , y13. x4t 3t ln |t |dydy2dy1 |ln | tdtln | tt4t1 |d 2 ydtdx 22tdx2;dxdx3 2 tt etet2t32tdtdt2 t14. xe, ydydt4 tdytcos1costd 2 ydxtdydtdx 2e 2 t sinsint;edxdx224dt15. xdta cost , yb sintdydy2dydtbdcotdxdxydtbt ;adx 2dxa 2 csc3tdtdt----------------------- Page 6----------------------16. xa cosht , yb sinhtdydy2dydtbdcothdxdxdtaydtbt ;3csc hdx 2dxta 2dtEn los ejercicios 17 a 21, para la grafica de las ecuaciones para mtricas (a), obtenga lasrectas tangentes horizontales y verticales, y (b) determine la concavidad217. xa)24t4t ; y14tdxdy8t4;dtdy8tdtdx0;dtx40dt1dy2dydt8tdb)y2;dxdx8t413dx11 tdt2218. xa)2tt , yttdxdy2tdtdy1;2t1dtdx0;2dt0dt1y4----------------------- Page 7----------------------dy2dydt2t1b)dy2;dxdx2t113dx12tdt2319. x2t, y4tdydtdy8t42ddxdx6t 23tdxdtx0x2t220.3;dxy3tdy4t;dtdydt929ty2249ttdx42dy92dx16t----------------------- Page 8----------------------23t21.3tx3 , y13 ; tt11t3dx3 132tdy3t2t;2dt12t3dt1t322. Trace la hoja de Descartes del ejercicio 21 en la graficadora y determine laporcin de la hoja generada cuando (a) tt0 ;(c) t0 .11 ;(b)23. Obtenga una ecuacin cartesiana de la hoja de Descartesdel ejercicio 21.----------------------- Page 9----------------------3627t3x327t227t3t3t3y312t313t33t 1133xyt24. Un proyectil se desplaza de modo que las coordenadas de su posicin encualquier instante t estn dadas por las ecuaciones para mtricas2x60t ; y80tfique la grfica enla graficadora.16t. Dibuje la trayectoria del proyectil y veri25. Obtenga una ecuacin de la recta tangente en el punto de la curva definida por1las ecuaciones para mtricas xpara el cualt.2 sin t ; y5 cos3dydydt5 sint5dytandxdxdt2 cost25dx2t3t,26. Obtenga una ecuacin de la recta tangente en el punto de la curva definida portlas ecuaciones para mtricas xpara el cual13 sin t ; y25 cos1t6dy5 sin t5dx3 cos t3tan1152x231yt2dy332d y27. Calculenes (2) para el9;2dy5dx53d y;;en el punto de la cicloide que tiene ecuacio2dx3dxdxcul y alcanza su valor mximo cuando x esta en el intervalo cerrado0, 2 a .dysin td 2 y1d 3 y2 sin t2233dxa 2 11 cos tcos tdxa 1costdx28. Demuestre que la pendiente de la recta tangente a la cicloide que tiene1ecuaciones (2) en tt1 es cott1Despus, deduzca que la recta tangente2es vertical cuandot2 n , donde n es cualquier nmero entero.dxdya1dtdycost;a sinsin t1cotdxtdt1costt21lim cott 2 at2----------------------- Page 10----------------------29. Calcule el rea de la regin sombreada limitada por el eje x y un arco de lacicloide que tiene las ecuaciones (2).22 a2 a2Aydxaa01cos tdt0212a12 cost10cos2tdt223a30. Determine el centroide de la regin del ejercicio 29.312 a12 a3M xydxa2 012costdt03a252123 cost3 cos3tcos03tdta2M5xyaA631. La ecuaciones para mtricas para la trocoide sonxatb sine la trocoide no tienet; yab cost(a) si a>b>0, demuestre quninguna recta tangente vertical. Trace la trocoide en la graficadora parat,pantalla de lasi (b) a=3 y b=1, y (c) a=1, b=3. Dibuje la que muestra lagraficadora. Verifique que para el dibujo del inciso (b) donde a>b, la trocoide notiene ninguna recta tangente vertical mientras que el inciso (c) donde ab. Si el origen est en el centro de lacircunferencia fija , A(a,0) es uno de los puntos en los que el punto P hacecontacto con la circunferencia fija, B es el punto mvil de tangencia de lasdoscircunferencias, y el parmetro t es el numero de radianes del ngulo AOB,demuestre que las ecuaciones para mtricas de la hipocicloide sona babxab cos tb cost y yab sin tb sintbb33. Trace en la graficadora la hipocicloide del ejercicio 32 si (a) a=6 y b=2 parat,(b) a=12 y b=2tra la pantalla de lat,. Dibuje lo que muesgraficadora. Cuntas cspides tiene la hipocicloide en cada caso?----------------------- Page 11----------------------34. Trace en la graficadora la hipocicloide del ejercicio 32 si (a) a=8 y b=7 parat8 , 8(b) a=8 y b=3muestra la pantalla de lat4, 4. Dibuje lo quegraficadora. Cuntas cspides tiene la hipocicloide en cada caso?35. Si a=4b en el ejercicio 32, se tiene una hipocicloide de cuatro cspides. (a)Demuestre que las ecuaciones para mtricas de esta curva son3xa cosicloide de cuatro3t ; ya sint . Trace en la graficadora la hipoccspides si (b) a=4 para t,. Dibuje lo que,, y (c) a=8 para tmuestra la pantalla de la graficadora.33xtb 3 cost4b cosycosb33tcos3ta cost33 sin t4b sintb3 cost4 cost3t3sin 3ta sinb 3 sin tt ,t,3 sint4 sin----------------------- Page 12----------------------36. (a) A partir de las ecuaciones para mtricas del ejercicio 35, obtenga unaecuacin cartesiana de la hipocicloide de cuatro cspides. (b) Utilice la ecuacincartesiana del inciso (a) para dibujar la grafica de esta hipocicloide.3xa cos3t; ya sint2 / 32 / 3x2 / 3y2acost2 / 32a2 / 3t2cos2 / 3x2 / 32sinat2 / 3sinta2 / 3ya37. En el ejercicio 44 de la seccin 7.3, se defini la tractriz como la curva talque lalongitud del segmento de toda recta tangente desde el punto de tangencia alpunto de interseccin con el eje x es una constante positiva a. En ese ejercicio seobtuvo la ecuacin cartesiana de la tractriz22a2ay2xaa lnyy(a)Demuestre que las ecuaciones para mtricas de la tractriz sonttxta tanh;ya sec haaa)tttt2221yseca sechh; atanhaa2t22y2aaa tanhsechaaaaata2aay2txa lna tanhtaa lnya tanh2cosh2atysinhta lna tanhtaaaaa sec hattt / aa ln ea tanhtaa tanhab)a4----------------------- Page 13----------------------38. Demuestre que el parmetro t de las ecuaciones para mtricas de la tractriz ( veael ejercicio 37) es la intercepcin x de la recta tangente.txtta tanh; ya sec haadxtt212sechtanhdyaadx2ttanhydtttax1xxyta tanha sec htdydytaatsec htanhdxdtaa----------------------- Page 14----------------------EJERCICIO 9.2En los ejercicios 1 a 14, calcule la longitud de arco exacta de la curva definida por elconjunto dado de ecuaciones para mtricas. Trace la curva en la graficadora y observe sila longitud de arco aparente que se muestra en la grafica apoya la respuesta.1121.x2tt , yt2112220;a ;t11L2ttt ; t12xy22dt222dttt1t1d1dt0000111222ln 12tt21ln tt11222022.x3t, y2t ; t0 a t33331 / 233 / 2222L2xt2y2 10dt6t1t dt31t0002010223.x2t2t , yt222221L2dt2t ; t0 a t2222xt2y1dtdt2t022t00211222102t2 ln 22t1ln tt15220----------------------- Page 15----------------------4.3t ,x2y3t02L; t2 a t2023t6t0dt23t24dt28343 / 22L22t4t416828425.dtx2t3; y2t; t1 ;t2222223 / 2222243 / 223 / 2Lt4xdt9t0ydt416t36t409t213002xdtt ; y0cosht; t0 ;t1sinh33sinh3ttln | 5 |3332Lcosh2xt2ysinhdtdtt0dt000----------------------- Page 16----------------------6.x3e 2 t ;y4e 2 t ;t0;ln 5ln 5ln 5ln 522 t4 tL2xdt4 t2 ty10edt5edt36e120000027.x2t3;y3tt1;t444442222x40tydtdt4t10t36t151dt10111txetcos t ;yesin t ;t10;2 tLe1122t11t22L8.64e22txy2e dtdttdt2cos2e1000----------------------- Page 17-----------------------0t2sine9.xln sin t ;yt1; t; t62/ 2/ 2/ 22Ln csc t2xydtcot t/ 6lncsc2tdtl3/ 6/ 61110. x2tant ; ylnt1; t0;t12211121t22Lx1ytdtln2 dt1ln t20021t2sin t011. x; t2t0;cos tt sin t; yt cos t32/ 31222222Ldttxydt20tcostsin09----------------------- Page 18----------------------12. x4 sin2t; y24 cos2t; t20;t22Ldt2txdt8y dt8t0et cosLx1t; ye t sint ; t2y0;ttdt2ee0064 sin0222t0013. x64 cos80tdt2eEn los ejercicios 15 a 22, utilice NINT en la graficadora para obtener un valoraproximadocon cuatro dgitos significativos de la longitud de arco de la curva definida porlasecuaciones para mtricas dadas.214. xt2,y2234tL39.19194xt ; t0 a t33y2dt108t1dt39.4dt9.0215. x2t3t , y22t2L1; t2xy1 a t222dt4t3223116. x13 cos t ,2 sin t ; t0 a t2----------------------- Page 19----------------------/ 222/ 222Lcostxdtydt3 sin t017. x23.96602 sec t ,y3 tan t ,t0a t4/ 42L3 sec22/ 422xtdtydt2 sec t tan t3.13800318. x8 tan t ,y6 sec t ,ta t4/ 42Lsect tan t2xdt2yte , ydt8 sec8.462019. x23ln t , t/ 41 a t52t62552L2xdte4t2t, y4t4t , t2L4 a t422xdt145.812x1ty120.2ydt422t2t455.3144321.x3t ,y4t,t1 a t1112L2xy4dt91144tdt10.96122. Calcule la longitud de la hipocicloide completa de cuatro cspides3x3a cost ; ya sint/ 2/ 2/ 2222Lcost222xt22ysindt46a sint dt09atcost sin6a0023. Calcule la longitud de un arco de la cicloide xa tsin t; ya 1cost1t2a4 sint2asin22222tt2L2x4a cosydt2asindt8a00202tt24. Calcule la longitud de la tractriz x; ya sec hdesde t=a aata tanhat=2----------------------- Page 20----------------------222222222Lt tanh2xyt dt1dttanhaat dt1sechtsec1122aln cosh 1tanht dtaln cosh ta1ln cosh 2125. Determine la distancia recorrida por una tachuela clavada en la llanta de unarueda de bicicleta si su radio es de 40cm y la bicicleta recorre una distancia de 50m.222Ls t262.5cost22xsin0ydt62.50.4t2 co02251t222 cost dt25121cosdt025002tsin0dt200226. (a) Demuestre que la curva definida por las ecuaciones para mtricasxa sin t ;yb cost ;ab es una elipse.(b) Si C es la longitud de la elipse del inciso (a), demuestre que2/ 22a2C4a1k sin1 . Esta integral se denomina02b2t dtdonde k2aintegral elptica y no puede evaluarse exactamente en trminos de funcioneselementales.a)22xy22sinatcostb22xy122abb)/ 2/ 2/ 222222C4t dtinxy4024dta1sin22tasinbtbst dt00/ 2/ 22222cos22224t dtsinaabsint dt04a1k022ab2k12a27. (a) Utilice la frmula del ejercicio 27(b) y NINT en la graficadora para determinarla longitud de la elipse definida por las ecuaciones para mtricas.x5 sin t ;y4 cost(b) Trace la elipse en la graficadora. Apoye la respuesta del inciso (a)determinando los permetros del rombo inscrito y del rectngulo circunscrito enla elipse y mostrando que la longitud de la elipse est entre estos dos permetros.----------------------- Page 21----------------------a)/ 222C4a1ksint dt022ab2k2aa5;b4225492k25/ 22592C451sin0t dt28.3625b)16454 * 9254144125.6936----------------------- Page 22----------------------EJERCICIOS 9.3En los ejercicios 1 a 4, ubique los puntos que tienen el conjunto dado de coordenadaspolares.1.a)3,62b)2,3c)1,5d)4,411e)5,62.a)4,33b)3,47c)1,63d)2,25e)5,33.a)1,45b)3,6c)1,45d)3,61e)2,24.----------------------- Page 23----------------------2a)5,37b)2,62c)5,37d)2,65e)4,4En los ejercicios 5 y 6, obtenga las coordenadas cartesianas rectangulares de los puntoscuyas coordenadas polares se indican.5.a)3,3 cos, 3 sin3, 0 3b)2 ,4332 cos2, 2 sin2,1,144222c)4,324 cos, 4 sin2,32 337d)1,63cos1, sin,66226.a)2,2 cos, 2 sin20, 2221b)1,cos4, sin412 ,4222----------------------- Page 24----------------------7c)52,, 2 sin6672,3 ,167d)52 cos2 cos72 ,244En los ejercicios 7 y 8, obtenga un conjunto de coordenadas polares de los puntos cuyascoordenadas cartesianas rectangulares se proporcionan. Considere r>0 y 0247.a)1,1, 2 sinr271tan12472 ,4b)3 ,1r213tan3632,6c)2, 2r221tan1422 ,4d)5, 05,8.a)3,3r321tan1732 ,4b)1, 3----------------------- Page 25----------------------r22tan3322,3c)0,2r2231tan0232,2d)2,r23441tan3344,3En los ejercicios 9 a 12, obtenga una ecuacin cartesiana de la grfica que tiene laecuacin polar indicada.29.r2 sin22 sin22rr4 sincos242r4 r sinr cosx2y4 xy210. rcos22102r2cossin22xy11. r cosx12. rr10112 sin 36 sin48 sin 33r6r3sin2 2r108r3sin26r3r sin8 r sin22rxr sin2yy222x2y44x26 xy2 2y2x3yy8 y23 06xy2 y----------------------- Page 26----------------------EJERCICIOS 10.1En los ejercicios 1 a 4, (a) dibuje la representacin de posicin del vector A y tambin larepresentacin particular que pasa por el punto P, (b) Calcule el mdulo de A.1.A3, 4 ; P2,1a)xSea Q23x5x, yQ5, 5y2b)25A52.A4y23A124A523491652, 5 ; P3, 4a)xSea Q32x5x, yQ5, 9y2b)A45y922542529A2913.Ae ,;P2, e2----------------------- Page 27----------------------xQ1a) Sea Qe 2,e2x, yexe21ye1ye22222b)A12e1A24.A2e4, 0 ;P442, 6xQ4x660y6x, y2b)2ya) Sea Q6; 61eA24016A4En los ejercicios 5 y 6 obtenga la medida exacta en radianes del ngulo director delvector. En el inciso (c) aproximadamente la medida a centsimos del radian.5.(a ) 1;1b3; 0c5; 2(a)----------------------- Page 28----------------------17tan1;14(b)0tan0;3(c)22tan0, 4;arctan56.a0.3853;1b0; 4c3; 2(a)----------------------- Page 29----------------------11tan;36(b)4tan0(c)21;22tan;arctan2.5533En los ejercicios 7 a 10, obtenga el vector A que tiene al segmento dirigido PQcomouna representacin. Dibuje7.P3, 7 ; Qv PQ8.PQy la representacin de posicin de A5, 45 3; 4P5, 4 ; QA372, 33, 75; 7 42, 3----------------------- Page 30----------------------9.P5,3 ; Q03v PQ0, 310. P5; 32 , 0 ; Qv PQ5, 60, 002 ; 0 02 , 0En los ejercicios 11 a 14 determine el punto S de modo que PQy RS seanrepresentantes del mismo vector11. P2, 5 ;S1, 6Q12. P2, 53, 22, 0 ;S24, 4S0, 3S2,12,1, 44, 2R7, 0R5,25, 2 ;Q33, 2R3,7, 01, 4 ;4 ;2Q5, 214. P3,00, 3 ;R4, 3Q313. P1, 6 ;52, 3 ;5, 22,29En los ejercicios 15 y 16, calcule la suma del par de vectores e ilstrela geomtricamente15.a(a)(b)16.a(a)2, 4 ,3, 52, 43, 53, 00, 3 ,0, 3b24, 53, 0 , 4,3, 4352, 34, 0b2, 302, 31, 952, 3 ,352, 62 , 1(b)2, 32 , 122 , 2En los ejercicios 17 y 18, reste el segundo vector del primero e ilustre la diferenciageomtricamente.17.a3, 4 , 6, 0(a)3, 4(b)18.6, 01,eab33, 2e1,e ,6, 413,e03, 2e2e9,44, e0, 5 , 2, 8b3, 7 , 3, 7----------------------- Page 31----------------------(a)0, 52, 8(b)3, 703, 72, 582,30En los ejercicios 19 y 20, determine el vector o escalar siA2, 4 , B4,3 , C3,219.aABbCBc7 AB(a)AB2, 44,36,122(b)745CB3, 22(c)10, 3120.3B7 AA(a)A37, 572, 4314, 3BbB14, 282, 4C4,3, 22(c)2A16, 14,C3c221.a5 AAbB(a)5 2i+3j10i+15j6B2 A32, 74,812,2322 2, 413B164, 423 4,257133En los ejercicios 21 a 24, obtenga el vector o el escalar si2i+3j yB4ijd310612(b)72B10a4,c9AAB(b)6 4i(c)AjB24i+6j2i+3j4ij6i+2j2(d)2 10022.dAadB6i+2j2 AAb2623B36cA44BB(a)22i+3j(b)3 4i(c)A4ij6j12iB3 j2i+3j4ij2i+4j2(d)2AB2i+4j22441620523.6BaABbd5 A5 A6Bc5 A6B2222(a)131AB2i+3j4ij23417(b)5 2i+3j6 4ij10i15 j24i+6j=14i21j2(c)5A6B6377 1344114i21j2142196----------------------- Page 32----------------------2(d)5A6BaA5B222326 415 1361724.b3B2 Ac3B2 Ad3A2B2(a)13A2i+3j4ij22324117(b) 3B8iB22 A3 4ij2 2i+3j9 j812i3j4i6 j9 j2(c)3B2 A8i2964811452222(d)15363A2B12i523j2 133 17En los ejercicios 25 y 26 A25. Obtenga(a) 5A6 j4i+2j , B2B52i220(b)5Ai+3j10i+ 1022B2(b)i+3j y C=5ij2 5ij6+2-20i+10jj28i6 j784368202205Ci+3j5i+j4262 A34 j32C2826. Determine(a) 3B122C4i+2j2 j104i+6 j24i+2j5ij3i+9j6 j3B2 AC26 j66En los ejercicios 27 y 28A8i+5j y B3ij27. Determine un vector unitario que tenga la misma direccin que A+BA+B=8i+5j3ij2A+B11i+4j211+114121161374U=ij13713728. Obtenga un vector unitario que tenga la misma direccin que ABAB=8i+5j3ij2AB55i+6j2+6253661----------------------- Page 33----------------------5U=6i61j61En los ejercicios 29 a 32, exprese el vector dado en la forma r8icosi+sinj ,donde res el modulo ynitario quetenga la misma direccin.29.a3ies el ngulo director. Tambin obtenga un vector u4 jb2(a) r2 j23439162554U =ij552(b) r2i2 ij22 112 222112i2 j=22i+j22cosi+sinj224422U=ij230.a8i26 jb8(a) 8ii+10ij10j551(b) 2 5i4 j=625i+31j32U =5i+j3a4 j4U =31.5i66 j=104234i43 jb16i22(a) r44i43 j44316486811224i43 j=8i+3 j8 cosi+sinj223311U =i+3 j222(b) r16i1616i=16U =16i+0j16cosi+sinji----------------------- Page 34----------------------32.a3i3 jb2(a) r3i3 j23313i3 j=332127ij212 j3 27cosi+sin2j441U=ij222(b) r2j2212 j=20ij12 cosi+sinj22U=j33. Si A2iy k tales queChA5ij , B4 j=h3i2 j y C 5i4 j . Determine los escalares hkB2ijk 3i2 j2h3ki+ h2kjPlanteando un sistema de ecuaciones, y resolviendo el sistema2h3k52k52 j , B4ih34. Si Ah y kque B4i5italeshC3 j=h3 j y Ch2k36i 8 j determine los escalareskA6i8 jk 5i2 j6h5ki+ 8h2kjPlanteando un sistema de ecuaciones, y resolviendo el sistema1h6h8h5k2k4413k235. Si Aixpresarse en2 j , B2i4 j ,Cla forma hA + kB , donde h y k7i7i5 j=h i2 jk5 j , demuestre que C no puede e2ison escalares.4 jh2k i+2h4kjPlanteando un sistema de ecuaciones, y resolviendo el sistemah2h2k4k72h2h54k4k14536. Dos fuerzas de 340lb y 475lb forman entres si un ngulo de 34.6 y se aplican aun objeto en el mismo punto. Calcule (a) el mdulo o intensidad de la fuerzaresultante, y (b) el ngulo que forma la resultante con la fuerza de 475lb conaproximacin de decimos de grado.----------------------- Page 35----------------------(a)A475, 0Bb1 , b2475lbel ngulo entre A y B es 34.6 b340lb340 cos34.6340 sin28034.61b1932A+B=475, 0280,1932A+B755,1932755193779lb(b)193tan0, 25567551tan0, 2556El ngulo y la resultante es 779 lb ;14.314.337. Dos fuerzas de 60lb y 80lb forman entre si un ngulo de 30 y se aplican a unobjeto en el mismo punto. Obtenga (a) el mdulo o intensidad de la fuerzaresultante, y (b) el ngulo que forma la resultante con la fuerza de 60 lb conaproximaciones en grados.(a)A60, 0Bb1 , b2La fuerza80lbb80 cos3069.380 sin30401b2A+B=60, 069.3, 40129.3, 402A+B2129.340135.3(b)40tan0, 309129.31tan0, 30917 38. Una fuerza de 22 lb y otra de 34 lb se aplican a un objeto en el mismo puntoyforman un nguloentre si. Si la fuerza resultante es de 46 lb. Determineconaproximacin de grados.A34, 0B22 cos, 22 sin22462A+B34222 cos222 sin2342 3422 cos22----------------------- Page 36----------------------224623422cos2 340, 3182cos2271, 439. Una fuerza de 112 lb y otra de 84 lb se aplican a un objeto en el mismo punto, y lafuerza resultante es de 162 lb. Determine el ngulo formado por la resultantey lafuerza de 112 lb con aproximacin de decimos de grados.aA112bB84cAB1622a2c2b21122162284cos0.8742ac29.62 11216240. Un avin tiene una velocidad al aire de 350 mi/h. Para que el curso real del avinsea el norte, su enfilamiento debe ser 340. Si el viento sopla del oeste, (a) cules la rapidez del viento? (b) Cul es la velocidad a tierra del avin?O B450b1 ; b2110350 cos110350 sinb340110119.71b119.72C0.328, 9(a)BCb119.71(b)O Cb328.9241. En el avin que tiene una velocidad al aire de 250 mi/h, el piloto desea volaralnorte, si el viento sopla hacia el esta a 60 mi/h, (a) Cul debe ser el enfilamientodel avin? (b) Cul sera la velocidad a tierra si el avin volase en este grupo?601(a) 360sin36013.9346 .1250(b) v2502602242.7mi / hr42. Una lancha puede desplazarse a 15 nudos con respecto al agua. En un ro, cuyacorriente es de 3 nudos hacia el oeste la lancha tiene un enfilamiento hacia elsur. Cul es la velocidad de la lancha con respecto a tierra y cual es su curso?v1523215.30 Nudos31Curso 180tan191.311543. Un nadador con una velocidad de nado de 1.5 mi/h con respecto al agua, partedela rivera sur de un ro y se dirige al norte directamente a travs del ro, si lacorriente del rio fluye hacia el oeste a 0.8 mi/h. (a) En que direccin va el----------------------- Page 37----------------------nadador? (b) Cul es la velocidad del nadador con respecto a tierra? (c) Si ladistancia a travs del ro es de 1 milla, Qu tan lejos, rio abajo, el nadadoralcanza la otra orilla?0.8(a) tan128.11.52(b) v21.50.81.70.8(c)0.531.544. Suponga que el nadador del ejercicio 43 desea llegar al punto ubicadodirectamente al norte a travs del rio. (a) En que direccin debe dirigirse elnadador? (b) Cul ser la velocidad respecto a tierra del nadador si elige estadireccin?Sea el punto OBb0.8b1 , b2 yla direccin1.5 cos10.8cos0.53331.5b1.5 sin122.21.272(a) 450122.2327.8(b) La velocidad relativa 1.2745. Demuestre que si A es cualquier vector y c es cualquier escalar, entonces 0(A)=0y c(0)=0A=a1 , a20A=0a1 , a2c0c 0, 00a1 , 0a2c0, c000, 0046. Demuestre el teorema 10.1.8(ii)A+c1 , b2B+Cc 2a1a1c2A+B=b1b1Ca1 , a 2c1 , a 2b1 , b2b2c1 , a 2 b2c1 , c2a1 , a 2b1c2c2a1a1 ,b2b2c1 ,47. Demuestre el teorema 10.1.8 (iii) y (viii).A=a1 , a2A+0=a1 , a21A=1 a10, 0,a2a11a1 ,1a20, a20a1 ,a2a1 , a2A48. Demuestre el teorema 10.1.8 (iv).----------------------- Page 38----------------------A=a1 , a2-A=a1 , a2A+Aa1a1 , a 2a 20, 0049. Demuestre el teorema 10.1.8 (v)A=a1 , a2cd A= cda1 , a 21 , da 2 c dAcd a1 , cda 2c da 1 , c da 2c da50. Demuestre el teorema 10.1.8 (vii)c d A= c da 2ca1 , ca 2c a1 , a2a1 , a2c dda1 , da 2da1 , a251. Sean A=2,-5 , B =A+d a2ca1da1 , ca2dcA+dA(a) Calcule A+3a1 , cB+CB+C3 ,1 y C = -4,2e ilustre geomtricamente.2,-53,1-4,22, 51.5, 441, 2(b) CalculeA+BA+B, 2C e ilustre geomtricamente.C2,-53,1-4,21, 252. Se dice que dos vectores son independientes si y solo si sus representacionesde posicin no son colineales. Adems, se dice que dos vectores A y B formanuna base para el espacio vectorial V2si y solo si cualquier vector de V2puedeexpresarse como una combinacin lineal A y B. Se puede demostrar un teoremaV2que establece que dos vectores forman una base para el espacio vectorialsison independientes. Muestre que este teorema se cumple para los dos vectores2, 5 y3, 1haciendo lo siguiente: (a) verifique que los vectoressonindependientes mostrando que sus representaciones de posicin no soncolineales; y (b) verifique que los vectores forman una base al mostrarquecualquier vector a1 i+a 2 j puede expresarse como cd 3ij , donde c y2i+5 jd son escalares. Sugerencia: exprese c y d en trminos de a1y a2(a) A=2, 5B=O A3,1(b) a i b jOBc 2i5 jd 3ij2c3d i5cdj12----------------------- Page 39----------------------a2c3d5cd1a2a3a15a2a12c3 5c17c25 3d2d17d211c5aa3ad2a1122171753. Consulte las dos primeras oraciones del ejercicio 52. Se puede demostrar unteorema que afirma que dos vectores forman un teorema que afirma que dosvectores forman una base para el espacio vectorial V2solo si sonindependientes. Muestre que este teorema se cumple para los vectores3, 2 y6, 4 efectuando lo siguiente: (a) verifique que los vectores son dependientes(es decir no son independientes) probando que sus representaciones deposicin son colineales; (b) verifique que los vectores no forman una basetomando un vector particular y demostrando que no puede expresarse enlaforma c 3iecir, no generan el2 jd6i+4j, donde c y d son escalares (es despacio vectorial).CiCcAijdBjc 3i2 jd6i4 j3c6di2c4dj3c2c6d4d116c6c54. Un conjunto de vectores V1linealmente12d12d23, V 2 , V3 ,..., Vn se dice que esdependiente si y solo si existen escalares k1,..., kn no todos cero, talesquek V1 1ik V2 2k V3 3Demuestre que si V1, entonces V1, V25jy3i, k 2 , k 3... k Vn n2j, V2i4 j , V32V3 Son linealmente dependientes.4ba 3i5 j 02 j3ab ib4 j2i5j3ab22i32a19ab,2a4b55. Sean PQl vector51414una representacin del vector A , Q R una representacin deB , RS una representacin del vector C . Demuestre que si PQ ,Q R yRS sonlos lados de un triangulo, entonces ABC0 .----------------------- Page 40----------------------AVVPQARVPQBRS, BVCVVQ RVPSQ RVPQVRSVRSRSV0, CQRVP56. Demuestre analticamente la desigualdad del tringulo para vectores:ABAAa2Ba1 , a2 ;Bb1 ,b2; ABa1b1 ,b22222ABbaab2a b12a212 22ba2a bb11222211222222aBa2ba bb21212 21 1221 1B2 a b1 1a x1axb2022212x2 a b1 12b122aa bx2 20a k21b22bkAa b2 22aa b2Aaa ba bka12a b1 10ka2240222a b2 2b1bb12b2a2a12b2b10222a b1 1a b2 22a1a b2 22aBA2A2BB2ab1222A222AB2b12b12a2b22a b1 12a22a2b2bAB12122ABAB57. Explique la diferencia entre magnitud vectorial y magnitud escalar.----------------------- Page 41----------------------EJERCICIOS 10.2En los ejercicios 1 a 5, los puntos A y B son vrtices opuestos de un paraleleppedoquetiene sus caras paralelas a los planos coordenados. En cada ejercicio, (a) dibuje lafigura, (b) obtenga las coordenadas de los otros seis vrtices, (c) calcule la longitud de ladiagonal AB.1.A0, 0, 0 ;bB7, 2, 37, 2, 0 , 0, 0, 3 , 0, 2, 0 , 0, 2, 3 , 7, 0, 3 , 7, 0,02c9AB72022030494622.A1,1,1bB3, 4, 21,1, 2 , 1, 4,1 , 1, 4, 2 , 3,1,12cAB3, 3,1, 2 , 3, 4,12142121491143.A1,1, 2bB2,1, 2 ,2, 3, 51, 3, 2 ,1,1, 5 , 2, 3, 2 ,1, 3, 5 , 2,1, 52cAB22132152949224.A2,1,3B4, 0,12AB5.A41,b221, 0 ;0B211333, 3, 53, 1, 0 , 3, 3, 0 , 1, 3, 0 , 1, 3, 5 , 1, 1, 5 , 3,1, 52c2545AB3 5312312504166.El vrtice opuesto al rincn de una sala est a 18 pie al este, 15 pie al sur y 12 piepor arriba del primer. (a) Dibuje la figura; (b) determine la longitud de la diagonalque une dos vrtices opuestos; (c) obtenga las coordenadas de los ocho vrticesde la sala.(a)(b)2d218215212326254377En los ejercicios 7 a 11, determine (a) la distancia no dirigida entre los puntos A y B, y (b)el punto medio del segmento de recta que une a A con B----------------------- Page 42----------------------7.A3, 4, 2 ;B 1, 6, 32(a)AB32142623441931115(b) x312;y4265;z223228.A4, 3, 2 ;B2, 3, 52(a)AB22432352226267111113(b) x421 ; y3230 ;z2252219.A2, 4,1;B, 2, 3221122913(a)169AB242133622421(b)11221,242 ,22110. A2,, 5 ;B5,1,4513, 1, 244222112923(a) AB529521454981224211(b)2125, 2,1 ;52B52312126413 ,22715,22AB7 2(b)1 1,2 4 243, 7, 2(a)9831 ,211. A15 ,297 ,1225211,2,212. Demuestre que los tres puntosson los vrtices de1,91, 3 ;22,1, 7 y4, 2, 6un triangulo, y calcule su rea.2AB2211217321----------------------- Page 43----------------------2BC4AC422216226BC76222AB27212163272AC21bh2163 14rea22213. Se dibuja una recta que pasa por el puntoes perpendicular al6, 4, 2y queplano yz . Obtenga las coordenadas de los puntos de la recta que estan aunadistancia de 10 unidades del punto0, 4, 0x , 4, 22x024422010.2x41002x96x4646 , 4, 2 y46 , 4, 214. Resuelva el ejercicio 13 si la recta se dibuja perpendicularmente al planoxy .El punto6, 4, zes 10 unidades de262040, 4, 024z2010236z1002z64z86, 4, 8y6, 4,15. Demuestre que los tres puntos12, 3, 6 son colineales83, 2, 4 ,6,1, 2yempleando la frmula de la distanciaA3, 2, 4B6,1, 2C12, 3, 62AB62312222AC12481233148622648114862BC34412262312623244168616. Determine los vrtices del tringulo cuyos lados tienen los puntos medios en3, 2, 3 ,1,1, 5, 0, 3, 4Sean los puntos medios D0, 3, 4Los puntos vrtices del triangulo0, 3, 43, 2, 3 EA, CFAafDEed----------------------- Page 44-----------------------1,1, 53, 2, 3 , BF1,1, 5adef3, 2, 30, 3, 4bdef3, 2, 30, 3, 4cdef3, 2, 31,1, 50, 3, 4A4, 2, 6B2, 0, 41,1, 52, 0, 41,1, 5C4, 4, 24, 4, 217. Para el tringulo que tienen vrtices A7, 0 yCdios de4, 2, 62, 5, 3B1,4, 9, 7 calcule (a) la longitud de cada lado, y (b) los puntos mecada lado.(a)2AB92221547309144916222AC248225729397036719616622BC12429449(b)1AB125217 ,321AC11 ,259 ,314 ,21, 2, 57211702BC214 ,23,1,2120179,257, 8,222z1z 218. Demuestre el teorema 10.2.6.P P1pP P1 2p 1pw1 wp 2p 1p 1wp 21Sea w21px1p 12x 2p 2y1y 2,2,226219. Demuestre que cualquier ecuacin de la forma22x2yzGxHy2xIzJ2hy0 puede expresarse en la forma2kzlk .112222x1222GxG12HG4 jIyHyH4zlzl444----------------------- Page 45----------------------2212111222x4JIGyH2L22xz22hyGH42kz1KCuando11hG ,1kH ,2L2212K2G2HL4 J4En los ejercicios 20 a 25, determine la grfica de la ecuacin.2220. x2yz28y6z2x8y162z2y26z925z3z8x504y22z4028x162y4y4z12x492yx1624221. x02yx4252y22z125----------------------- Page 46-----------------------2z141622. x 2y 2z 2xy3z21119292xx12yyz4403z2444422121x32222yz26z92xz202y224. x4z223. x32y302yz8x10y24z1302x8x16162y10y25z4z41342x24y25z232----------------------- Page 47----------------------2225. x2yz6x2 y26x11902x94z92y2y1z4z41942x23y21z25En los ejercicios 26 a 28, obtenga una ecuacion de la esfera que satisfase lascondiciones iniciales.26. Uno de los dimetros es el segmento de la recta que tiene extremos en6, 2, 5yAP4, 0, 7.h1 ,k 1 ,l1 y Bh2 ,k 2 ,l2x , y , zAPB2AP2BP2AB2222x h1l 2z22y k 1h1h 222zk 22l1xh 2l 2 l1k 1yk 2----------------------- Page 48----------------------2222xzhllhl lzx11zy 222ykkyk k1 2121 21 26, 2, 5z 75h h04, 0, 7x6x4y2y0027. Es concntrica con la esfera que tiene la ecuacin x 2z 2 2 y 8z90 ,y tiene radio 3.22x2y2 y21z28zxy1691162,1, 3y0, 2, 6 y su c21z42628. Contiene los puntosentro se encuentra en el0, 0, 4 ,plano yz .2GxHyLzJ2xEl centro es en el plano yzLzJ2x0, 0, 4zentonces G2HyzJ163IJ14J40H0, 2, 62H02y4I2,1, 32y6IResolviendo el sistemaJ122xI2752yz5yEn los ejercicios 29 a 34, A5, 3, 5 , y D2,1, 6 .29. Calculea.HA5B7z121, 2, 3 , B4,3, 1, C1, 2, 321,13,b.5,7C5, 3, 526, 57C11, 2, 320,15,5365,730. Calculea.52,1, 635,21, 3510,5D743, 15D725,30c.55 4,2593, 54152 A52,1, 6725925C2 1, 2, 35,3, 52, 4, 65, 3, 57, 7,1b.2AC----------------------- Page 49----------------------222 1c.4Bd.6C623213D62 14592,1, 616, 12,452232522212648A5, 3, 532,1, 65, 3, 5,52D2441C235, 3, 5 21 0, 32,146C231. Calculea.252 D4B426 59234 4, 3, 14, 2, 1230, 18, 3026228 1, 2, 36, 3,188, 16,2419,1b.AB1C4D9 16913, 4, 1214262 9132. Calculea.3A2B3 1, 2, 33, 4, 13, 4, 1C227 136 91,83, 4, 191,2 9112D4, 3, 15,3, 5122,1, 6163, 6, 98, 6, 214,b.72B DA2224, 12,3, 56C5, 3, 52222A114415, 3, 52662314B4326262,1, 65 14226 , 3 1426 , 5 133. Determine los escalares a y b tales quea ABab C1, 2, 3a 5,D04, 3,1, 2b17,b2,115, 3, 52,1, 60, 0, 00, 0, 0Formando un sistema5a7b2bab02a0011bResolviendo el sistema se tienen034. Determine los escalares a, b y c tales queaAbBcCD----------------------- Page 50----------------------a 1, 2, 3ab 4,3, 1Formando un sistemaa4b5c22a3b3c13a3b5c614116, b, c129129c5, 3, 52,1, 6Resolviendo el sistema se tienen67129En los ejercicios 35 a 38, determine los cosenos directores del vector VP1 P2 yverifique las respuestas al mostrar que la suma de sus cuadrados es 1.35. P1V3,1, 4 ; P2P1 P2VP P1 277, 2, 43, 2161, 496444, 3, 889a043cos8, cos, cos898922cos2cos169898989cos164136. P1892, 6, 5 ; P2VP1 P2V22, 4,12, 4P P1 2166,145162, 4621cos, cos2, cos3322cos4,32coscos4149994,3, 1 ; P21137. P1VP1 P2V22, 4,P P1 24, 436183, 84916,8661cos, cos27, cos86862cos862coscos1----------------------- Page 51----------------------36149868686138. P1V1, 3, 5 ; P2P1 P2VPP22,1, 41, 11163, 411, 75181, 4,3211 212cos12 , cos2 , cos62323223636636139. Utilice los puntos P1tal queVVP P1 2Py P2 del ejercicio 35 y obtenga el punto Q3V3VP1 2P Q1.P Q14, 3, 83 x3, y1, z4133x94x31343y33y0El punto es Q, 0,3343z28z340. Utilice los puntos P1tal queVP R1rPy P2 del ejercicio 38 y obtenga el punto R2V2rP R2P2r13rP2P121, 3, 52 2,1, 45,1,1325 1 13, ,3 33R41. Dados P1tal que4VPP33, 2, 4P1 2y P23VP3V5, 4, 2, determine el punto P3P2 3P P2 3x , y , z4V42P2P P1 253, 42, 243 x5, y4, z232, 8, 243x15,3y12,3z6Formando un sistema----------------------- Page 52----------------------3x1532173y123z86Se tiene x4, y3, z6324174, , 63 3P342. Dados P1al queV7, 0, 2P P1 3P5VP14PtP35P3, 5 , determine el punto P3P P2 35 P3y P2 2,2P3215PP11P33, 15, 272144315P327,,444En los ejercicios 43 y 44, exprese el vector en trminos de su modulo y de sus cosenosdirectores.43.a6iSea2 j, ,3kla direccin del ngulo del vector. VacosVAVcosi364cos927i73j7cosk3cos72V7cos7Aj496cos6ckccosVbjbcosVaik77b2iAj3k4 19142A114j1444.a3i2ik14142 j kA44193----------------------- Page 53----------------------2A23j3b1ik3i334 j 5kA91625503A4225k5 25 25 2En los ejercicios 45 y 46, obtenga el vector unitario que tiene la misma direccindeV55ijP P1 245.aP4,1,6y P1VVP1 P2P54, 7P1 2118U64P2, 5, 3161, 8, 4819y P4, 7, 52P1 P2P691V1, 2,9 9V24,b5, 7,24P1 2411U41,32, 7,335, 543122, 2, 22346.aP3, 0,1y P3, 8, 11V2P1 P2VP3P1 23630,64,08,5, 2100y P3,1109, 42P1 P2P6, 8, 05PV1, 05V14Ub3, 83P1 28,2595, 441625,4534, 25----------------------- Page 54----------------------54U2,35,3 535En los ejercicios 47 y 48, demuestre la propiedad si A ,Bon tres vectorescualesquiera de V3y C sy c es cualquier escalar.47.Aa1 , a2 , a3a)a2 ,b3AABBAa3BBb)Bb1 ,b2 ,b3Aa1b1 , a2 b2 , a3Existe un vector 00c)0b1a1 ,b2para el cual A0A0, 0, 0Aen V3b3a10, a2Existe un vector0, a3A0en V3a1 , a2 , a3tal que AAA0A0, 0, 0Ac ABd)2 b2a1a1 , a 2a 2 , a3a30c A, c a3Bc a1b3cAcBb1 , a 2 b2 , a3b3c a1b1, c aca1cb1 , ca2ca1 , ca2 , ca3cb2 , ca3cb3cb1 , cb2 , cb3cAb1 ,b2 ,b3CcB48.Aa1 , a2 , a3Bc1 , c2 , c3a)ABABa1 , a 2 , a3 b11CABCCa1 , a 2 , a3c1 ,b2 c2 ,b3c3b1 ,b2 ,b3a1b1c1 , a 2 b2c2 , a3c1 , a 2 b2c2 , a3b3c3a1b1 , a 2 b2 , a3c1 , c2 , c3b1 ,b2 ,b3ABb)b3c1 , c2 , c3c3a1ba1 , a 2 , a3CcdAc dAcd Acda1 , a 2 , a3,c da 2 ,c da 3c da1b3c1 , c2 , c3c da1 , da2 , da3ccda1 , cd a 2 , cd a3dA----------------------- Page 55----------------------c)cdAcAcdAdAcda1 , a2 , a3cda1 , c d a2 , cd a3ca1da1 , ca2da2 , ca3da3ca1 , ca2 , ca3da1, da2 , da3c a1 , a2 , a3 d a1 , a2 , a3cAdA49. Demuestre mediante geometra analtica que las cuatro diagonales que unen losvrtices opuestos de un paraleleppedo se bisecan mutuamente.50. Si P, Q, R y S son cuatro puntos del espacio tridimensional y A, B, C y D son lospuntos medios de PQ , QR , R Sy SP , respectivamente, demuestre mediantegeometra analtica que A B C Des un paralelogramo.Si P ,Q , R ,S3RA ,B ,C ,DPQ , QR , R ScorregirySP1a1p1q , bq21r , cr2s , ds2p21A BbarpcdD C251. Demuestre mediante geometra analtica que las cuatro diagonales de unparaleleppedo rectangular tienen la misma longitud.A 0, 0, 0 , B a, b, c , Ca, 0, c , F 0, b, 02ABa0CHa0DGaa, b, 0 , H2b20c2b0000ac052. Se dice que tres vectores en V3c2c22cb2a202222b2cba22EFc0, b, c , E2a2b202020a, 0, 0 , G2ab2b2cson independientes si y solo si susrepresentaciones de posicin no estn en un plano; tambin se dice que tresvectores E 1 , E 2 yy solo sicualquier vector de V31 , E 2E 3 , forman una base para el espacio vectorial sipuede expresarse como una combinacin lineal de Ey E 3 , . Se puede transformar un teorema que establece que tres vectores----------------------- Page 56----------------------forman una base para el espacio vectorial V3es. Muestre quesi son independienteste teorema se cumple para los tres vectores1,1,1 haciendo1, 0, 0 , 1,1, 0ylo siguiente:aVerifique que los vectores son independientes demostrando que susrepresentaciones de posicin no son coplanares;ue los vectoresbforman una base probando que cualquier vector Asarse comoAr 1, 0, 0verifique qpuede expres 1,1, 0t 1,1,1c Si A6, 2, 510Donde r , s y t son escalares.determine losvaloresparticulares de r , s y t , tales que cumple (10)53. Consulte el ejercicio 52. (a) Verifique que los vectores, 0, 1, 0 y1, 1, 0 forman una base para V3pueder2, 0,1al demostrar que cualquier vectoexpresarse comoAr 2, 0,1s 0,1, 0t 1, 1, 011Donde r , s y t son escalares. (b) Si Avalores2, 3, 5 determine losparticulares de r , s y t , tales que cumple (11)a)Sea Aa ,b, cr 2, 0,12rttsrtss 0, 1, 0t 1, 1, 0a, b, cabca 2c2caa ,b, cbc 2, 0,12cab0, 1, 0a2c1,1, 0b)a2, brst3, c5525222 5391254. Refirase al primer enunciado del ejercicio 52. Se puede demostrar un teoremaV3que afirma que tres vectores de V3solo siforman una base para el espacioson independientes. Muestre que este teorema es vlido para los tres vectoresF11, 0,1 , F2(a) Verifique1,1,1y F32,1, 2 realizando lo siguiente:que F1 , F2 , F3 no son independientes al demostrar que sus representaciones deposicin son coplanares: (b) verifique que los vectores no forman una base----------------------- Page 57----------------------probando que no todo vector de V3nacinpuede expresarse como una combilineal de F1 , F2 , F3 (es decir no generan el espacio vectorial)a)F3F1b)r 1, 0,1rsrstsF2s 1,1,12tt 1,1,1a ,b ,cab2tc55. Demuestre el teorema 10.2.14aaUa1 i12 jA3 kA1AAUAA1A1Por que0A56. Si las medidas en radianes de los ngulos directores de un vector son iguales,cul es la medida de cada uno?Explique como llego la respuesta.22cos2coscos112cos31cos311cos3----------------------- Page 58----------------------EJERCICIOS 10.3En los ejercicios 1 a 4 calcule AB1.a)A1, 2 , B1, 2b)A2i4, 34, 3j, B1i3j42 3102iji3j2 11 312.1a)1A5,312 354,15132421,3b),214, B2A232i, B2iii36jj210 123.a)2 13, ,5 42A2 113 1, ,2 5 23,13 12113312, ,5 25245222,5,425b)A3j3j2k , Bii3k2kjj3k0 13 12394.a)A4, 0, 2 , B4, 0, 2b)A5, 2, 15, 2, 14 50 27 j 2k3ik , B6i2 j3i2jk6i7 j 2k213 6182 765.Demuestre que ii i1, 0, 0i1, i k1, 0, 00 y j k1 10 000 01i k0, 0,11 00 00 10j k6.1, 0, 00,1, 00, 0,10 01 00 10Demuestre que jj jk ki j0,1, 00, 0,11, 0, 0j0,1, 00, 0,10,1, 01, k k0 e i j0 001 01 10000 00 10----------------------- Page 59-----------------------11 10 0101 2En los ejercicios 7 a 10, demuestre el teorema para vectores de V3Sea Aa1 , a2 , a3 , Bb1 ,b2 ,b3, Cc1 , c2 , c37.Teorema 10.3.2(i)AaBb aa , a , ab ,b ,ba ba bb ,b ,ba , a , aB A12 312 31 12 23 31 2 31 2 3b a1 12 28.a bb3 3Teorema 10.3.2(ii)ABCa1 , a2 , a3abb1c1 ,b2cabc2 ,b3cc3abc111222333a ba ca ba ca ba c1 131 12 22 233 3a ba ba ba ca ca c1 12 23 31 12 23 3A9.ABca, a , ab ,b2112 2CTeorema 10.3.3(i)c Aa bbB3,b2c a b3a1 13 3c a b1 1cac a b2 2b1cacb12ca1 , ca 2 , ca3a b3 3cab233b1 ,b2 ,b3cAB10. Teorema 10.3.3(ii), (iii)Teorema 10.3.3 (ii)0A0, 0, 00 A0a1 , a2 , a30a10a20a302Teorema 10.3.3 (iii)AAA2AAa1 , a2 , a3a1 , a2 , a322a1 , a 2 , a32AEn los ejercicios 11 y 12, siB , calcule coses el ngulo entre A11.a)A4, 3 , BAB41,3A1116B19512----------------------- Page 60----------------------ABA1B1cosb)A255i 12j, BA B20A4i103j36161441325B21695AB1616AB13 565cos12.a)A2, 3 , BA B3, 22 3A3 24 9B9613413ABA6B6cosb)A2i134 j, BA B2 0A0135 j4 16B1345202025255ABAB202cos525 5513. Determine el valor de k tal que la medida en radianes del ngulo entre los1yvectores del ejemplo 2 sea4A3i 2j, B2i kj1ABAB cos41262k134k2227248k28k523k25k48k5k220k01002kk10514. SeanAlor de k talque Aki 2 j y Bki6j , donde k es un escalar. Obtenga el vay B sean ortogonales.----------------------- Page 61----------------------2A y B son ortogonales120ki 2 j ki6 jk122 315. Sean Ade k tal5ikj y Bque (a) A y Bki 6j , donde k es un escalar. Obtenga el valorsean ortogonales, y (b) A y Bsean paralelos.a)A y B son ortogonales05k6k0k0b)aABa 5ikj5akakki6 jNingn valor de k625a616. Determine el valor de k tal que los vectores del ejercicio 14 tengan direccionesopuestas.Aki 2 j, BAcBki2 jkic ki6 j6 jcki6cj16c2c3kckc 1 kc100k17. Si Aobre B , y8i04j y B7i6j , calcule (a) la proyeccin escalar de A s(b) el vector proyeccin de A sobre B .A B8746A64164 5B49368085A Ba)80A BB85A Bb)80A B1122 B907i 6 jBi8517j1718. Para los vectores del ejercicios 17, (a) obtenga la proyeccin escalar de BsobreA y, (b) el vector proyeccin de Bsobre A .A B80Aa)4 5B A45----------------------- Page 62----------------------A Bb)B A80A8iA4 j8i4 j8019. Determine la componente del vector en la direccin del vector A5i 6j en ladireccin del vector BA B357i629j29A2BB49120. Para los vectores A y B5010del ejercicio 19, calcule la componente deen ladireccin de BAen direccin de A .B5i6 j 7ij5 76 129BAA5i6jEn los ejercicios 21 a 26, Ay D5, 4, 325364, 2, 4 ; B612, 7, 1 ; C6, 3, 021. Obtengaa)32ABC4, 2, 4448 4b)A B2, 7, 14, 2, 48, 4, 1C D4, 2, 4126, 3, 02, 7, 16, 3, 05, 4, 3814426c)AD18468B C4, 2, 420d)D B5, 4, 3812A5, 4, 312D A2, 7, 1216, 3, 0B2, 7, 10404, 2, 49315, 4, 34, 2, 47, 110284134, 2, 44, 2, 4164,22. Obtengaa) A B4082,1648 122, 7, 180, 280,4084,198,124A C8 14b)202, 7, 14, 2, 4 2, 7, 1A B4244, 2, 4 6, 3, 06044B C4, 2, 4 2, 7, 18144 122, 7, 12106, 3, 0269234----------------------- Page 63----------------------c)300A B CB C D4, 2, 4 2, 7, 16, 3, 02, 7, 1 6, 3, 05, 4, 32,26 6, 3, 0d)2A3B9 5, 4, 34CD8, 4, 829516, 3201, 42, 276, 21, 323. Calcule (a) cosC en lasi24, 12, 05, 4, 3C4, 2, 4 6, 3, 0A164C369 016246sobre A0186453 5AC181Aa)19,es el ngulo entre A y C ; (b) la componente dedireccin de A ; (c) el vector proyeccin de CA2,17, 5C6 3 55cosA Cb)18CA2 A4, 2, 4A2,1, 23624. Determine (a) cose de Bsies el ngulo entre By D ; (b) la componenten la direccin de D ; (c) el vector proyeccin de B sobre D .B2, 7, 14 49D5, 4, 325BD11692, 7, 1 5, 4, 3B502 5DBa)54D7 4412413B D5441509041B D2D50B Dc)141cosb)1B D10412 DD41 82123, ,10 25505, 4, 35025. Obtenga (a) la proyeccin escalar de A sobre B ;(b) el vector proyeccin deAsobre B .AB4, 2, 4 2, 7, 1B4 49Aa)A B1B8 14543 626136426B3 69----------------------- Page 64----------------------Ab)B26A B262 BB,54D6,C3, 0369Ca)5, 4, 303D301827sobre C ; (b) el vector pro1201863 555CCD2 CD C18126,C3, 02, 2 y6,45, 0527. Calcule la distancia del puntolos puntos3,275D Cb)13,2726. Calcule (a) la proyeccin escalar de Dyeccin de Dsobre C .C912, 7, 12, 1,54a la recta que pasa por9, 6, 6 .V A P4, 41,16VA B2VA P1616V12,2113638V12424A PVA B144176A PVA B2V16A B256VA B4021176d11113844222VA B28. Determine la distancia del puntolos puntos1, 2, 9 yA Pc3, 6,3, 2,1A P3 .1, 2, 9403, 2,1 a la recta que pasa por642, 0, 868A B3, 6, 31, 2, 94, 8, 12A P A B8A D0968822A PA BA B1664144484d234714141142422ca681638----------------------- Page 65----------------------29. Pruebe, empleando vectores, que los puntos0,1 , 4,1, 1 y2, 2, 2 ,2,4, 3, 0 son vrtices de un rectngulo.VBC2,1, 2VA BVV0,A DA D2, 12,1,2030. Demuestre, utilizando vectores que los puntos2, 2, 2 ,elogramo.A D0,1, 2 ,1,2, 11, 3, 3 ,C B3, 0,1A D B Cson los vrtices de un parales paralelogramo31. Determine el rea del triangulo cuyos vrtices son1, 2, 3 , 3, 1, 22, 3,1 ,22VA B3, 1, 29141422VVA P5, 4,1A PVA B251516221414222bhVAPVAB1AVABVAP222V2AB221V21APVAB2V7APVAB7144221226932232. Demuestre, empleando vectores, que los puntos, 2, 4, 5 ,1, 2,12,1, 6son los vrtices de un tringulo rectngulo, y determine el rea del tringulo.A B2, 4, 5A C2,1, 61, 2,1ABAC2,1, 64 1311rea9104, 3, 1A B31, 3,55011A C16291 19125262352233. Determine dos vectores unitarios que tengan una representacin cuyo punto2inicial sea el puntoxen ese2, 4 , y que sean tangentes a la parbola ypunto.----------------------- Page 66----------------------2yyx1, 42x1, 4U1y21617434. Determine dos vectores unitarios que tengan una representacin cuyo puntoinicial sea el punto2, 4 , y que sean normales a la parbola yx 2 en esepunto.1214ytan41x4iy172x1735. Si A3i 5jla componente deAj17cosBij3k , Ben la direccin A2C3i5jisini17j2j3k , C2ij4k , obtenga2C .3k2 2ij4ki7 j 11kBA2C11433464614912117119A2C5736. Calcule los cosenos de los ngulos del tringulo que tiene vrtices enA0, 0, 0 , B 4,1, 3 , CaB C3, 3, 0bA C1, 2, 3cA B4,1, 2, 3 .912041, 32b993 2161149262ca1426181111cos A912bc222a142614261822cb1826142 3226142625145cos B132ac22ab213262c1811cos C72ab37. Un vector Fy su2 32714representa una fuerza que tiene una intensidad de 8lb1direccin esta determinada por el ngulo cuya medida en radianes es.3Determine el trabajo realizado por la fuerza al desplazar un objeto (a) a lo largodel eje x desde el origen hasta el puntoo del eje y desde elorigen hasta el punto6, 0 , y (b) a lo larg0, 6 . La distancia se mide en pies.----------------------- Page 67----------------------1F18 cosi3sinj4i4 3j3a)W1F6, 04, 4 36, 024b)W2F0, 64, 4 30, 62438. Un vector Fccin esta3representa una fuerza una intensidad de 10lby su dire1determinada por el ngulo cuya medida en radianes es. Calculeel trabajo4realizado por la fuerza al desplazar un objeto desde el puntohasta elpunto0, 5 . La distancia se mide en pies.1W350, 2FD101cosi1sinj52j 102 72439. Un vector Fcin esta42representa una fuerza una intensidad de 9lby su direc2determinada por el ngulo cuya medida en radianes ese el trabajo. Determin3realizado por la fuerza al desplazar un objeto desde el origen hasta el punto4, 2 . La distancia se mide en pies.2F92cos9i sin3Fi39W9j23j294, 2,324, 2189 32.41240. Dos fuerzas representadas por los vectores F1rtculaF2 actan sobre una paocasionando que se desplace a lo largo de una recta desde el punto2, 5 hastael puntoe las fuerzas7, 3 . Si F13ij F24i5 j , y si las intensidades dse miden en libras y la distancia en pies, calcule el trabajo realizado porlas dosfuerzas al actuar juntas.DbW1 5a4F17, 3F22D2, 53i5ij2 j4i5jDi4j5i2j1341. Si una fuerza tiene la representacin vectorial F3i 2j k , calcule el trabajorealizado por la fuerza al desplazar un objeto a lo largo de una recta desdeelpuntoP1de en libras2, 4, 3 hasta P2y la distancia en pies.1, 3, 5 . La intensidad de la fuerza se mi----------------------- Page 68----------------------WFVP1 P23i2jk3i7 j 2k91422542. Si una fuerza tiene la representacin vectorial F5i 3k , calcule el trabajorealizado por la fuerza al desplazar un objeto a lo largo de una recta desde elpunto P14,1, 3 hasta el punto P2a fuerza se mide5, 6, 2 . La intensidad de len libras y la distancia en pies.W1FD5i3k5, 6, 24,1, 35, 0, 39, 5,4243. Un vector Flosrepresenta una fuerza que tiene una intensidad de 10lb , y1cosenos directores de FSi la fuerza desplazason cos16 y cos66 .3un cuerpo a lo largo de una recta desde el origen hasta el punto7, 4, 2 ,calcule el trabajo realizado. La distancia se mide en pies.11cos6 , cos66322112666cos131212cos6F110cos636116i616j36k644. Si A y B son vectores diferentes del vector cero, demuestre que el vectorAcBA Bes ortogonal a B si c2 .BAABcBBcBABc B0B020A Bc2B45. Si A12icicio 44 para9j5kB4i3 j 5k , emplee el resultado del ejerdeterminar el valor del escalar c de modo que el vector Bsea ortogonal aA .B A4i3 j 5k12i9 j5k48cA27251002c2A14481252502505----------------------- Page 69----------------------46. Para los vectores del ejercicio 45, utilice el resultado del ejercicio 44 afin decalcular el valor del escalar d de modo que el vector AdB sea ortogonal a BB A4i3 j 5k12i9 j 5k482725100c22B16925505047. Demuestre que si A y B son dos vectores cualesquiera, entonces los vectoresBAA B y B AB AA B2B A2BAA B son ortogonales.2AA BB AB AA BA B2B048. Demuestre que si A y B son dos vectores cualesquiera diferentes del vectorceroy CB AA B , entonces el ngulo entre A y C tiene la misma medida enradianes que el ngulo entre B y CABUVABCABABDABU Dcos1UUV1 U VUDDV DVDUV1 U Vcos2VDDD49. Demuestre que dos vectores diferentes del vector cero son paralelos si y solo sila medida en radianes del ngulo entre ellos es 0Bo.kA2A BA kAk A Ak Acos12AaBAkAk2AkA0 aA Bcos1AB2ABAAABB B21 22ABA0AABBBA12B0BBAA----------------------- Page 70----------------------50. Demuestre, mediante anlisis vectorial, que las medianas de un triangulo sonconcurrentes, es decir coincides en un punto.Las medianas del triangulo ABC2g2 111ab33en el punto.21c1a231bc3351. Demuestre, mediante anlisis vectorial, que el segmento de recta que une lospuntos medios de dos lados de un tringulo es paralelo al tercer lado y sulongitud es la mitad de la longitud del tercer lado.1P Qqp1a2c1a2b1c2bB C252. Demuestre, mediante anlisis vectorial, que el segmento de recta que une lospuntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es paralelo a los ladosparalelos del trapecio y su longitud es la mitad de la suma de las longitudes delos lados paralelos.11O E1O D y O FO A2O FO E11211O B1O CO A2O D221O BO A2O C2221O B21EF1O CO D21A B2DCE FE FD C2k AB111A Bk A B1 k A B222111 k A B1 k A B2211A Bk A BA B221A BD C2k A B53. La ley de refraccin de Snell trata sobre la luz que atraviesa de un medio, talcomo el aire, a otro medio ms denso, tal como el agua. La ley establece que laparte del rayo luminoso que pasa por el medio ms denso ser refractado(desviado) hacia la normal. Observe la figura adjunta donde1 esel ngulo deincidencia y2 es el ngulo de refraccin. De la ley de Snell.sinsin12Dondees el ndice de refraccin del medio ms denso. Demuestre que si A esun vector unitario a lo largo del rayo incidente, B es un vector unitario alo largodel rayo refractado, F es un vector unitario en la interface y N es el vector normalunitario en la interface como se muestra en la figura, entoncesA FB F0----------------------- Page 71----------------------54. Demuestre la desigualdad de Cauchy-Schwarz: Si A y B son dos vectorescualesquiera, entoncesABABDonde la igualdad se cumple si y solo si existe un escalar c tal que AcB , esdecir, A y B son paralelos.xABBx A00xA2B2xABxABA2xABB B2A2xA22AB2x AB2xAB2B24 A2B0A2B2ABAB55. Demuestre el siguiente teorema: si A y B son dos vectores cualesquiera,entonces2A2B2A2ABB22AA2BBABABAA2ABB BA2B56. Demuestre el teorema de Pitgoras:2A2B2ABSi y solo si A y B son ortogonales.222222AB0A2ABBABABAB57. Demuestre la ley del paralelogramo: si A y B son dos vectores cualesquiera,entonces2A2BA2B22 A2 BCul es la interpretacin geomtrica de esta identidad?Sugerencia: observe la figura adjunta que muestra el paralelogramo determinadopor las representaciones de los vectores A y B.----------------------- Page 72----------------------2AB2ABABABABAB222AB2 BA A2 ABBAA2ABB B2AA2BB58. Demuestre la identidad de polarizacin: si A y B son dos vectores cualesquiera,entonces2A2BAB4ABCul es la interpretacin geomtrica de esta identidad?Sugerencia: consulte la figura del ejercicio 57.12A2BA1BABABABAB4141ABAA2ABB BA A2ABBB4AB4459. En la teora electromagntica, en ocasiones es necesario realizar lo siguiente: siE y H son dos vectores dados, escriba E como la suma de dos vectores E 1y E 2tales que E 1 sea paralelo a H y E 2 sea ortogonal a H. Definay E 2 en estasituacin.EE 1HE H2 HEs paralelo a HHE 2EE H Es ortogonal a H60. La notacin vectorial junto con el producto punto pueden emplearse paraalmacenar datos. Por ejemplo, suponga que una compaa de inversiones vendeacciones de los tipos X, Y y Z. Sean a1 , a 2 , a3 las componentes del vector A,respectivamente, las cantidades de acciones X, Y y Z vendidas un da especfico.Sean s1 , s 2 , s 3 las componentes del vector S, respectivamente, lascantidades dedlares de los precios de venta de las acciones X, Y y Z en ese da. Entonces, siR dlares es el ingreso total obtenido por las tres acciones en ese da, RA S .Calcule el ingreso total obtenido por la venta de las tres acciones cadada de lasemana, donde A y S se proporcionan en la tabla 1. Nota: puesto que unacompaa no esta limitada a comerciar solo tres acciones, este ejemplo puedegeneralizarse para comercializar n acciones donde los vectores A y S tiene cadauno n componentes, de modo queAa1 , a 2 , a3 ,..., an SASa s1 1a s2 2a s3 3s1 , s2 , s3 ,..., sn , y... a sn n----------------------- Page 73----------------------Lunes250,180, 310Martes185, 210, 215Miercoles25.50,16.80, 54.55$26, 309.5027.50,14.60, 61.25400,120,180$21, 322.2521.20, 21.50, 66.50$23, 030.00Jueves355,165, 20023.40,18.50, 62.30$23, 819.50Viernes370,145, 24022.60,19.10, 61.75$25, 951.50----------------------- Page 74----------------------EJERCICIOS 10.4En los ejercicios 1 a 6, obtenga una ecuacin del plano que contenga al punto P ytengaal vector N como vector normal.1.P3,1, 2 ; N1 xxx32.2 yP33183yP0,6yy1z1,8, 37 x7x1 xx200,1,111 z200;Nz7,282300i3 y31,1z1 ; N3 y1000y2,1,52zy1y22 z342000261z3PPy1, 2 ; N026, 3,3y2z0 x5.3 z3, 2, 5 ; N6x6x4.13 2 y 23z2 y 3z1 06 x3.1, 2, 33j14z4k4 z4010x6.3yP4z301, 0, 0 ; N1 x1xiz0 yk101 z000En los problemas 7 y 8, determine una ecuacin del plano que contenga los tres puntos.7.3, 4,1E; 1, 71, ;1, 2, 5:3a4bcd1FE3E12bE116c4 d: a37bcd92c24d2FEE25bE2c2d3:a2b5cd33d2da; b6d; c232323----------------------- Page 75----------------------3d2d6dx233x8.2 yyz236z23y000, 0, 2 ; 2, 4,1 ;xd23z2, 3, 3100411y 231210012241231111z10202021302x 4034327x311314z2311280x2z40En los ejercicios 9 a 14, dibuje el plano y obtenga dos vectores unitarios normales al plano.9.2xy2z60El vector normal del plano es21, 241432Los vectores unitarios1 2,3 3,310. 4x4 y4,4, 222z9311. 4x169144123130145150,1, 20,52z69024133, 0,13503, 0, 232 5,513. 3x1300,1, 214. zz,13412,132z134;1312. y30,133231633,312z,32,61,4, 3, 12442;3y1,0161 2,3 3,2;;132, 0,1313550, 0,1 ;0, 0, 1----------------------- Page 76----------------------En los ejercicios 15 a 20, obtenga una ecuacin del plano que satisfaga las condicionesindicadas.15. Perpendicular a la recta que pasa por los puntos4 ; 7, 1, 3 , y contieneal puntoA2, 2,VA B5,1, 2 .4 ; B7,1, 35, 3, 75,1, 2x53 y17 z202, 2,5x3y7z14016. Paralelo al plano 4x2, 6, 1 .4x2 y4 2z2 yd2 y1z10 y contiene al punto02 64xz5d0d5017. Perpendicular al plano x3yz70 y contienen los puntos2, 0, 50, 2, 1El vector normal al plano esa ,b, c1, 3, 1a3bcA2, 0, 5 ; BVA B1, 3, 1000, 2, 12, 2, 62a2b6c0a3bc0Resolviendo el sistemabse tiene a2cc2a2c x2x2ycz1y02bcz6c500018. Perpendicular a cada uno de los planos x4z50 yyycontiene al puntoN4, 0, 2.a , b , c1, 1,1a ,b ,c2,1, 4ABB2Aca, b, c3a1, ax2 y2zbB2a20cb02y2a01, b4A03c6c3b1 x001 z0----------------------- Page 77-----------------------04c0z0; 2x19. Perpendicular al plano yz , contiene al puntorma un ngulo de2,1,1y fo2cos 1rad con el plano 2xy2z303Como es perpendicular al plano yz0, b, c2,1, 22,1, 20, b, c20, b, cN32b2c22b2c2b4bc24c24b4c203bb4bc0;4bc3Cuando b0 x0; N20 y0, 0, c1c z14Cuando0z14b; N0,c , c3340 x2c y1c z104y3z10320. Contiene al punto Pntacin del vectorV3, 5, 2y es perpendicular a la represeO PN3, 5, 23 x3x355yy2z5382 z200En los ejercicios 21 a 23, determine el ngulo agudo entre los dos planos21. 2xy2z50;6x2, 1, 22 y3z81226, 2, 306883 721cos422. 2x5 y3z114360;y2, 5, 3cos45z90,1, 539490204259014x7 y254z382650.523. 3x4 y0;60----------------------- Page 78----------------------3, 4, 04,7, 41228016cos916016491625814569.224. Calcule la distancia del plano 2x2, 2, 4 .ax0by0cz0d2 y2 2z642 20 al punto66d2a 2 b2toc2425. Obtenga la distancia del plano 5x2, 6, 3 .6, 0, 0 ; PN16V32z300 al pun5,11, 22, 6, 3PQ111yEl vector normal al plano es NQ4V5,11, 2PQ8, 6, 38, 6, 340666326dN05,11, 2251214151526. Calcule la distancia perpendicular entre los planos paralelos4x8 yz9;4 08 04x98 y6z6155d168119327. Determine la distancia perpendicular entre los planos paralelos4y3z60; 8y6z270 .9P0, 0,2Q0, 0, 2 ; N0, 4, 350, 4, 3NV0, 0,Q P23dN0, 4, 3228. Si a, b y c son diferentes de cero, y son las intercepciones x, y, zrespectivamente, de un plano, demuestre que una ecuacin del plano esxyz1abcsta es la forma de intercepcin de la ecuacin de un planoa , 0, 0 ; 0,b, 0 ;0, 0, c Estos puntos reemplazando en la ecuacinxyz1abc1001; 0101; 00 11En los ejercicios 29 a 36, obtenga ecuaciones para mtricas y simtricas para la rectaque satisface las condiciones indicadas.----------------------- Page 79----------------------29. Pasa por los puntosP11, 2,1 ;1, 2,1 ; P2VVx1yP1 P225,5, 1,1.1,14, 3, 04tx1y23t; z4z130. Pasa por el puntoP135, 3, 25, 3, 2x5y3zV4,1,con nmeros directores4,1, 114t2x5y3z2t41111131. Pasa por el origen y es perpendicular a la rectayz en sux432interseccin.1x 104x104ty3tz2tP4tV1z3O P4, 3, 21yt210, 3t , 2t4t4t10, 3t, 2t10, 3t, 2t01016t10409t4t0t29130120P80,,2929xyz131229x13t ; y12t ; z8t832. Pasa por el origen y es perpendicular a las rectas que tienen nmeros directores4, 2,13,a ,b , c4, 2,14a2ba , b , c3ac003,2,1c02ba2,12c007a2b7c2c; bc; c022x0 , y0 , z 0 0, 0, 0x4ty7t z2t----------------------- Page 80----------------------xy724z33. Perpendicular a las rectas que tiene nmeros directores22, 3, 4 enel punto2, 0, 3a ,b, c5,1, 25,1,5abb2c2c0a , b, c02a3b5a2, 3, 43b4c4c2a0013b8a ; ca213a , 8a ,xa22t2xy22zyz316t3161313t34. Pasa por el punto2 y z7 03,1, 5y es perpendicular al plano 4xP3,1,x5 ; V34, 2,14txy13y14z5521t35. Pasa por el punto3y6z80Nz2t4, 5, 20y es perpendicular al plano x1, 3, 6L : xx4 t ; y4y551z3t ; z636. Pasa por el puntoyxz22, 0, 40y86t2032x20x3yzy es paralela a cada uno de los planos5z0411537. Obtenga un conjunto de ecuaciones simtricas para la recta4x2x3 y5 yz 203z4 04x2x3 y5 yz 203z4 021x4x2x13y3 y25 y410; z7z3zy777----------------------- Page 81----------------------110x1z771372y7;21z7yx10xy3727z71371338. Demuestre que las rectasx1y3y245x2145z23z 83Coinciden.x2sy12t5s43; 2s5t 14;2t5s45t10Coinciden cuando t2sz3s23t8; 3s3t61139. Demuestre que la rectacontenida en el planoxy2x2 yx32t ; y2t23z132z 13esta46223t ; z3t114t4t6140. Demuestre que la recta xen el plano1y6zesta contenida23xxyz3t 1; y2t3 t 12t6; z6tt333Los planos que pasan por una recta y son perpendiculares a los planos coordenados sedenominan planos de proyeccin de la recta. En los ejercicios 41 a 44, determine lasecuaciones de los planos de proyeccin de la recta y dibuje la recta.3x2 y5z3002x3y10z641.0x013y40zy013x5zz08z420102y0660----------------------- Page 82----------------------xy3z1042.2xyA : xB : 2x3zy143zy1B : 3yAA3z2AB : 3xB :xx2 y00143z6z2y3z1215136000;0;yx0z2z4050;43.xyz10x03y4z70y03xz40z04xy30----------------------- Page 83----------------------2xyz74xy3z044.A : 2xB : 4xyy130A :B :z2A :B3A7yBz3z0132x2x012z2 y06008xxzy340045. Calcule el coseno del ngulo menor entre el vector cuya representacin esparalela a la recta xresentacin es2 yparalela a la recta xx2 y4; y4; zyy ; zy7; 2zy4 , y el vector cuya repy2 .4yxy7; yy ; z1212,1,11,1,212,1, 111,1,2512225 6cos113182,1, 11,1,41 11 1264246. Obtenga una ecuacin del plano que contiene al punto4 y a la recta11x1x11y52z6y37z26, 2,13122x30 y10z112011x15y5z566401016241En los ejercicios 47 y 48, determine una ecuacin del plano que contiene a las rectasindicadas que se interceptan.----------------------- Page 84----------------------x2y43z21347.3x2 y z 2 0x y2z 1 0x4t2; yt02, 3, 2t16, 4,13x2 y3 613t 3; zz22k x411k133ty22k 612z1042 1100k11133x2 y4xz27 y 3zxyx72z 148.y2z10110xy2z1;234xy15z111049. Demuestre que las rectas3x8xy z 02y3z 1x 3y3xyzz35000Son paralelas, y obtenga una ecuacin del plano determinado por estas rectas.1x33yx22z1y022z0;1111112222----------------------- Page 85----------------------8x2y3z1k3xyz031, , 02 23183212 5k123 011222k 30200k5128x2 y3z13xyz054x2 y3z5050. Demuestre que las rectasx2y1z5x4z323y4521Son paralelas, obtenga una ecuacin del plano determinado por estas rectasx2y5z120; x188; y2z7x2z5z5z1800k y2z70k42 373, 4, 335 3189k030010k310x5z3x1810 yy5z3162z70051. Calcule las coordenadas del punto de interseccin de la recta111x2y 3z 1 y el plano 5xy2z427x2y3z11427120x4t2; y5 4t2t22t3; z37t2 7t11120136t30; t112712,533,16175,12,3612----------------------- Page 86----------------------52. Determine ecuaciones de la recta que pasa por el punto1, 1,1 , esperpendicular a la recta 3xyz0x19t ; y12y8t ; z1z , y es paralela al plano xt53. Obtenga ecuaciones de la recta que pasa por el punto6, 4 , que interseca aleje z y es paralela al plano x3y5z3,60 .0, 0, z 03, 6, 43z 01851, 3, 54z000z10x3y16z42154. Calcule la distancia perpendicular del origen a la recta623x2t ; y7t ; z 4t777Q2, 7, 4 ; VO Qc6,449O Qa2, 316V692, 7, 46,172V2dc3642z972a6946555. Calcule la distancia perpendicular del puntola rectax2, 3O Q V7; y11, 3, 1axQ7z7,1, 0 ;2V11, 3, 12, 0,1 ; PcPQ8,P Q2,1V648, 2,141692, 0,117PQ VV4015289d565227052ca69556. Obtenga ecuaciones de la recta que pasa por el origen, y es perpendicular alarecta xy1; zx25; z2 y3; e interseca a la recta y2x----------------------- Page 87----------------------1,1, 2aa ,b ,cb2ca02aa12 a21; c1; b1,0011,1xy1z1157. Demuestre que las rectas son oblicuas.x1y2525t1; y2t2; zL2 : xs2; y3s1; z5ts2;23st0; t133323, 2L1 : x1zy12, 3 ; 1,12x5,z2t3t2s1;133t12s3158. Obtenga ecuaciones de la recta que pasa por el punto4, 5y que interseca3,a cada una de las rectas oblicuas del ejercicio 57xy126z011110x4455x7y13z2752s222,x1s3001, 3 ; Vy132s3P Q414403s0Q26z135 s14y1z52201, 3, 25259. Demuestre que la distancia perpendicular entre los planos paralelosdd12axby22abczd10; axbyczd 20 esta dada por2cd0, 0, 2cQ; Na, b, c----------------------- Page 88----------------------dd1a , b, cNV20, 0,Q Pcddd12N2a , b , ca 2bc 260. Demuestre que la distancia no dirigida del plano axbyczd0 al punto| ax0by0cz0d|x0 , y0 , z0 esta determinada por2a2b2cNaxP Pa , b , c xczaxbycz0 111000by11x ; y0y ; z10z10PQ NNa 2dax0a 2b 2by02cz02aax0c 2by0 cz02bb 2c 22cd2a2bc61. Cules son las ecuaciones para mtricas de una recta si los dos nmerosdirectores a y b son cero?62. Describa como se emplean los vectores para determinar la distancia de un puntoa un plano63. Describa como se emplean los vectores para determinar la distancia de un punto3a una recta en R.----------------------- Page 89----------------------EJERCICIOS 10.5En los ejercicios 1 a 12,AE1, 2, 3 ,B4, 0,4, 3,7 , y F1.ObtengaA1, ,C3, 5 ,D2,1, 6 ,0, 2,1 .B .2.CalculeDEi3B7,13,j12Aj5,8 kk3243Di1121i7,10,91121607Ejk7i1424j4443.DetermineCiDEFj k i j kC D . E f5 3 5 4 0 718 5 i23, 20,11 14, 4, 8 322 80 88 49030 10 j5 6 k14i 4 j 8kk24.Obtenga1 6 0 2CEi1Djk3F53CE555040321ik7jiF2453k74074 5j5 043j1D5j770 515 j 12ki5i1266262i1jk11i2 j121114k201015 j3091012k2entonces ,CE15DF221i12411i2 j 4k5.Verifique el teorema 10.5.3 para los vectores Ay B .ijBA4del ejercicio es 131k127,13,11AB, el resultado3----------------------- Page 90----------------------6. Verifique el teorema 10.5.4 para los vectores AB y C .iABC1, 2, 3k11, 6, 4j23641iBA20j26iC124A9ijk3ij1231537j7i13j11k3364kk326i517k7 j 4k7. Verifique el teorema 10.5.5 (i) para Ay B , y c = 3iIfc3, cAB34 k21, 39, 33j6k9627 ij924iAj1cB21, 39,321k3627i336j924 k3312938. Verifique el teorema 10.5.5 (ii) para Ay B , y c = 3cABi3 1, 2, 3j4,69394, 3, 13i3c3943, 6, 9k633, 16j141k421i39 j1AB3ij3 11, 2, 324,3, 1k2331343 7i11k21439 j33kk143113j1j21i33i3cAB9. Verifique el teorema 10.5.6 para los vectores AiAB33k3jkC1, 2, 3 431, 2, 318, 15, 275183630398155B y C131, 2, 3153,205 , 12155129,delejercicio1,A129B C7,13,115, 3, 5----------------------- Page 91----------------------10. Verifique el teorema 10.5.7 para los vectores AijA49, 27, 213B y Cjij121815kAB3C5131, 2, 318, 15, 27527A C B4, 3, 1A B C1, 2, 35, 3, 5 B5, 3, 59, 27, 211, 2, 34, 3, 14511. CalculeAe que son iguales.BCDy DCAB, y verifiquABCDij124, 3, 18,5, 3, 56 , 202,1, 6k51, 2, 33415391, 231iDC81,A B5 , 362,1, 65, 3, 59, 1, 23205, 1, 2j34512. DetermineABCk112DEncontrarABCDijk21AJ31B1, 2, 34, 3, 1k7i 13j11k123i341311ijk35D35, 3, 5kj2,1, 620 j523i3555526i11k126122A434C32B15CD1582721312611222322011339105013. Demuestre el teorema 10.5.2 (ii) y ( iii).D ejando AA, 0.a1a1 a 2 ,a 3 .EntoncesO0, 0, 00, 0, 0a1 , a 2 , a30AO0, a 2 .0a1 , a 2 , a30, 0, 00, 0, 000.a30.a 2 , 0a10.a3 , 0.a 2a 2 .0a3 .0, a3 .0a1 .0, a1 .----------------------- Page 92----------------------42114. Sean los vectores unitarios Ajk . Si es el7i4j2k y Bi939933ngulo entre A y B ,calcule senen dos formas: (a) utilice el productocruz (teorema10.5.8); (b)emplee el producto punto y una identidad trigonomtrica.ij4k741154221a A B16 4745i72599j2927927k .sen A ,B27AB27225272722133315. Siga las instrucciones del ejercicio 14 para los dos vectores unitarios11A1ij3k3135B1i3j31k3 313 31i1jky B51i333vectores unitariosj3 333iAj11Porque A y Bsonk1Bk .3 322442a sen2iAB3333k3993135313316. Demuestre que el cuadriltero que tiene vrtices es (-2,1,-1), (1,1,3), (-5,4,0)y (8,4,-4)esun paralelogramo y calcule su rea.P QqpP RprR Ssr2,1, 15, 4, 08, 4,1,1, 31,1, 345, 4, 03, 0, 46, 3, 33, 0, 4Porque P QR S , entonces PQRS es un paralelogramo, adems----------------------- Page 93----------------------iP QP Rjk0100012i15 j9k1YP QP R12i15j9k14422581Por tanto el rea del paralelogramo PQSR es 15450152217. Demuestre que el cuadriltero que tiene vrtices es (1,-2,3),(4,3,-1), (2,2,1) y(5,7,-3) esun paralelogramo y calcule su rea.P= (1,-2,3), Q=(4,3,-1), R=(2,2,1), S=(5,7,-3).Porque V ( P Q )=(3,5,4)=V(R S ).PQRS es unparalelogramo. Las medidas del rea PQRS soniVPQV PRjk354146i2j7k3644928918. Obtenga el rea del paralelogramo PQRS si Vy V P S = 3j4k .irea=17P Q20038i12 ji1242j6414481en (0,2,2),(8,8,-k1A B V B C1156 16923499k419. Determine el rea del tringulo que tiene vrtices2)y (9,12,6).V2jk3P Sj(P Q ) 3i1359 29464, 68, 26232. 34,1310214220. Calcule el rea del tringulo que tiene vrtices en (4,5,6), (4,4,5) y (3,5,5).1El rea del tringulo PQR esQ P2Q RiQ PQ Ri j kpqrq0,1,1( 1,1, 0)j101k110En los ejercicios 21 y 22, utilice el producto cruz para obtener una ecuacin delplanoque pasa por los tres puntos indicados.21. (-2,2,2), (-8,1,6), (3,4,-1)----------------------- Page 94----------------------iVA BV A Cen el plano, suj615ecuacin es:k5 x4225, 2, 7porque el punto A esta23y27z20; 5x2 y7z022. (2,3,0), (2,0,4), (0,3,4).ijk1NA BA C03412, 8,6 ,N6, 4, 3226x24y3043 z00; 6x4 y3z24023. Realice el ejercicio 18 de la seccin 10.4 empleando el producto cruz.ijkAB1cuacin es1123 x42016 y3, 6, 3 porque C contiene los puntos (4,0,-2) su e403 z20; 3x6 y3z60; x2 yz24. Determine un vector unitario cuyas representaciones sean perpendiculares alplanoque contiene a P Q y PR si P Q3j 2k y PReses una representacin del vector iuna representacin del vector 2ijk .iNi3j2k2ij kj132k2115i3j7kPor el teorema 10.5.10 el vector N es normal, por lo que P Q y PRctores unitarios sonN11U5iN25ve93j7k5i493j7k83En los ejercicios 25 a 27 obtenga un vector unitario cuyas representaciones seanperpendiculares al plano que pasa por los puntos P,Q y R.25. P 5, 2, 1 ,Q2, 4, 2 , R 11,1, 4iNVPQ9 1kV11PR9j3k219i9 j 9k ; N9 ij3615----------------------- Page 95----------------------11Por lo tanto vectores unitarios normales soni j k9i99 j 9k3326. P2,1, 0 , Q 2, 2,iNP QP R41 , Rjk335, 0, 2117,5, 1327N4925169243953.U3,133,32727. P1, 4, 2 ,Q3, 2, 4 ,R27274, 3,1Un vector normal en le plano de P, Q y R esiNV2 j kP Q4V14P R12jk2424i8 j 4k ; N4 i631111as pues los vectores unitarios normales soni 2 j k4i468 j4k628. Obtenga el volumen del paraleleppedo que tiene aristas P Q y PR y PS si los puntosP Q, R ,S son, respectivamente, (1,3,4),(3,5,3),(2,1,6) y (2,2,5).AP Q3, 5, 31, 3, 42, 2, 1BP R2,1, 61, 3, 41, 2, 2CP S2, 2, 51, 3, 41, 1,1El nmero de la unidad cbica del volumen del paraleleppedo es.C2AB .C2A11221111As de esta manera el volumen del paraleleppedo es una unidad cbica29. Calcule el volumen del paraleleppedo PQRS si los vectores VP Q , V P RyVP S son respectivamente i3j2k , 2ijk e i2 j kk5----------------------- Page 96----------------------iA5B .C20j132k21.C5i5j5k. i2j10130. Obtenga una ecuacin del plano que contenga a los puntos terminales de lasrepresentaciones de posicin de los vectores 2ij 3k , i j 2ky 5i j kxy2z1131La ecuacin plana tienex5y4z 1106x1511215y12z330; 2111En los ejercicios 31 y 32, calcule la distancia perpendicular entre las dos rectas oblicuasx1y2z1B53231.x2y41z323i55, 3, 24, 2, 347023 78k324N529j213, 23,2 . N1693A= (1,2,-1)es el punto de la primera lnea y B=(-2,-1,3) es el segundo punto.Las distancias medidas entre as lneas de proyeccin escalar de VesVA B .N3, 3, 4 .13, 23,2A B38NNx13 78y22z3 7814332.x1y51z132L1 =(2,-4,-3) y L2=(5,3,2)son vectores direccionales de la primera y segunda lnea. El vectoriNL1L 2j2k45331, 19, 262----------------------- Page 97----------------------Es perpendicular a cada una de las lneas. La primera lnea contiene loa puntos PP1(-1,-2,1) yla segunda lnea contiene los puntos P2endicular es de valor(1,1,-1).La distancia de la perpabsoluto en la proyeccin escalar de P1 P2N .P1 P21,19, 26N. 2, 3, 22121922, 3, 2.tenemos:107103826107La distancia perpendicular de las lneas esunidades103833. En la figura adjunta, un tornillo en el punto Q se gira al aplicaren el punto P una0fuerza F de 25 lb en un ngulo de 70mide 8 pulg decon respecto a la llave, la cuallongitud. Calcule la intensidad ( o mdulo) del vector torque generado por la fuerza en eltornillo.025 8sen 70187.9 en lb.34. Una fuerza F de 30 lb en la direccin hacia abajo se aplica en un punto P, quees elextremo izquierdo de la palanca de la engrapadora mostrada en la figura adjunta.La0longitud de la palanca es de 6 pulg y en reposo,la palanca forma un ngulo de 10con labase horizontal de la engrapadora en el punto Q. Obtenga la intensidad ( o mdulo)delvector torque ejercido por F enQ .----------------------- Page 98----------------------0306 sen8035. Si177.3es el ngulo entre los vectores A y B de V3A, demuestre queBtanA .BABABsenA .BABcostan36. Si c son vectores de V3Supongamos que Anante es cero las dos,demuestre que A .a1,a 2,a 3 y BABb1,b 2,b 30porque una determifilas son iguales ya1a1Ba 3a 2a 3b1A . Aa 2b 2b 3037. Si A y B son vectores de2 A BABABABV3 ,demuestre queAABBAABAABBAABB0ABBAB02 AB338. Sean P,Q y R tres puntos no colineales de RO R lasy sean O P ,O Q , yrepresentaciones de posicin de los vectores A ,B y C , respectivamente. Demuestre que lasrepresentaciones del vector Al plano que contieneBBCCA son perpendiculares aa los puntos P,Q y R .AV O P ,BVO QV P RCA , Los, y C VO Rvectores normales del plano son P,Q y RBAABCCCAABAACBEl Ves VAAP QPQB CBVBAPRCA yAABEn ejercicios del 39-42 dejarc1,c 2,c 3A = a1,a 2,a 3,Bb1,b 2,b 3 , y C39. Demuestre el teorema 10.5.4.----------------------- Page 99----------------------ABCa1 , a 2 , a3a2b3c3, a1 b2c2a ba3a22B2 33 22 1BACBAAAc3a1b3c3a ca ba c ,3 13 113132 1Ca ba c2 1a c2 33 2yACc1, a ba ba b , a ba b , a b, a ca c , a ca c2 33 23 11 31 23 11 31 22 1Ac2 , b3a c3 21, a3 b1a ca b2 3c1 , b2c1a ca c1 2c2b1a ba bb2b1BBBCACBACA40. Demuestre el teorema 10.5.5.Si As en V3a1 , a2 , a3 y Bb1 ,b2 ,b3y sin ningn escalar.ninguno de los dos vectoreNosotros utilizamos la tabla de multiplicar los elementos, con una fila de nmerosutilizamos losvalores en ellos determinados por C, entonces,ikicAjBc a1jkbca1 , ca 2 , ca3a 2a3bbca1b1 ,b2 ,b3ca 2ba3bb13c1223De 1 sacamos inmediatamente,cABca1 , a 2 , a3b1 ,b2 ,b3cABAplicando la regla de determinantes de la tercera fila tenemos en (1)icAcb3ka1a 2a3BjAa1 , a 2 , a3cb1, cb2 ,cBcbcb1cb2341. Demuestre el teorema 10.5.6.A .BaCa , a , a . b ,bb c ,b cb c ,b1 2313 2 3 11 3b c32 3ab c2 31AB .Cb , a bb c3 23 2a b2 3aa bc3 2 1b ca1231a3b c1 2a bc1 32b cb c2b c2 1b ,b ,b. c , c , ca b. c ,c ,c12 312 32 112 3a, a ,2 1b c1 3a b3 1b cc , c , cb c2 32 2b c3 12a , a , aa b , a b1231 3 1 23 1.Ba,bca b2 3a b1 2aaa b2 1b cc3b cAC12 33 223 11 331 22 142. Demuestre el teorema 10.5.7.Seleccione el acceso de tal manera que Bc j, Aa ia ja kY Bc k21C2c i12b i,C13b c k y ABCa b c j a b c i mientras1 21 1 22 1 2a ia ja k123b1----------------------- Page 100----------------------A .C BA .B Ca b c j demostrando(i)a ca c1 1b i2 2a b1c i c j1 11a b c i32 1 21 1 2343. Sean P,Q y R . Tres puntos no colineales de R, y O R lasy sean O P ,O Qrepresentaciones de posicin de los vectores A ,B y C ,respectivamente. Demuestre quela distancia del origen al plano determinado por los tres puntos est dada porA .BABCCAPara un paraleleppedo, el volumen =base x altura= volumen/rea de la base=A .BABCCA44. Sean O P la representacin de posicin del vectortacin deposicin de B , yO RA ,O Q la represenla representacin de posicin de C . Demuestre que el rea del1tringulo PQR esBAO Q,CCA2AV O P ,Bad del rea deVVO R. El rea del tringulo PQR es la mitun paralelogramo con PQ y PR sus lados adyacentes son:11V P RV P QBACA2245. Si A ,B y C ,son vectores de V3ABCAC.BBBCCC.ABCAC.BA, demuestre queA ;BC.B46. Si A ,B y C ,son vectores de V3A0AC.ABC.ABAB, demuestre la identidad de jacobiCBCACABSugerencia: aplique el teorema 10.5.7 a cada trmino.AB CBC .B ABC ACC .A BB .C C .B AA B BA .C C .A BA .C BA .B B .A CA .B C0AB .A C0B0CC .A0,Probada la identidad de Jacobi47. . Si A ,B y C ,son vectores de V3ABCA, demuestre queBC----------------------- Page 101----------------------si y solo si BDel ejercicio 47,CAB0CACABABCBCALa identidad dada es verdadera si solamente si el ltimo trmino es el vector cero.48. Describa las interpretaciones geomtricas del producto cruz, del triple productoescalar y el triple producto vectorial----------------------- Page 102----------------------Ejercicios 10.621.24xy16; plano xy2x2yRta =1(Elipse)422.1624zy4; plano yz22Rta = z1(Hiperbola)4----------------------- Page 103----------------------3.ze x ; plano xz4.xy ; plano xzEn los ejercicios 5 a 12, dibuje el cilindro que tiene la ecuacin indicaday25.24x9 y36224x9 y36e z, la directriz en el plano zytiene los reglajes paralelos al plano al ej22es la elipse 4x9 y36----------------------- Page 104----------------------6.zsen(y )El cilindro zectriz en el planosen(y ) tiene los reglajes paralelos al eje z; la diryz es la misma curva del seno7.y8.x9.zz22z422x----------------------- Page 105----------------------2210. z4 y11. ycosh(x )2312. xy----------------------- Page 106----------------------En los ejercicios 13 a 20, obtenga una ecuacin de la superficie de revolucin generadaal girar la curva plana alrededor del eje indicado. Dibuje la superficie13. x 24 yen el plano xy,22alrededor del eje y222Reemplazamos x4 yz214. xcon xy162Reemplazamos x4z16215. x: y obtenemos x24zen el plano xz, alrededor del eje z22z2con x2y2y obtenemos x24z16en el plano xz, alrededor del eje x2222Reemplazamos x4z164 y2con x2yy obtenemos x----------------------- Page 107----------------------16. x 24 yen el plano xy, alrededor del eje x.Porque deseamos reemplazar y 2ro elevamos la ecuacin alcon y 2cuadrado obteniendo: x 4z 2 , prime16y 2La ecuacin de la superficie de revolucin es:42x216(y17. yz3z)en el plano yz, alrededor del eje y.2222Elevamos al cuadrado para obtener: yazamos zcon (xz )29zy reemplpara obtener:22y2z )9(x2218. 9y4z144en el plano yz, alrededor del eje z2Reemplazamos y229(x2con x2ypara obtener:2y)z144----------------------- Page 108----------------------19. ysin(x )en el plano xy, alrededor del eje x2222Elevamos al cuadrado: ycon yz obtenemosy2y2ysin(x ) y reemplazamos(x )3zen el plano yz, alrededor del eje z2Reemplazamos y2sin2z220.222con x32yy obtenemos:xyzEn los ejercicios 21 a 28, obtenga una curva generatriz y el eje para la superficie derevolucin dada. Dibuje la superficie.221.2x2yz16Como es una esfera existen muchas seis formas en las que las podemosobteneruna es por ejemplo:22Revolver xy16en el plano xyalrededor deleje z----------------------- Page 109----------------------2222. xzy2Revolucionamos x2y en el plano xy223. x2yz422Revolucionamos x2z224. y4en el plano xz2 xze22 xEl eje de revolucin es el eje x . Podemos empezar tanto como por yexyeel plano xy----------------------- Page 110----------------------2225. xzy22La ecuacin xeje de revolucin y comozytiene como eje ycomo su2curva de generacin x226. 4x29 yyen el plano xy24z3622El eje de revolucin es el yy su curva es 4x9y9----------------------- Page 111----------------------27.9x 2y 29z 20122El eje de revolucin es el yyen el plano xy; la curva de generacin es x9228.24x4 yz92Podemos reescribir la ecuacin como: 4(x2y)z92El eje de revolucin es el eje z . La curva puede ser 4xz929. En los incisos (a) (f), relacione la ecuacin con la superficie correspondiente,generada en computadora (i) (vi) e identifique la siguiente superficie.2(a)9x(b)5x(c)9x(d)5x(e)9x(f)9x24 y236z3622z23y224 y236z3622z23y224 y236z23624 y36z36----------------------- Page 112----------------------(a) = (v) Hiperboloide de una hojai) Paraboloide Hiperblica(b) = (ii(c) = (vi) cono elpticoaraboloide elptica(d) = (i) P(e) = (ii) Elipsoide) Hiperboloide de dos hojas(f) = (iv30. En los incisos (a) (f), relacione la ecuacin con la superficie correspondiente,generada en computadora, (i) (vi) e identifique la superficie.2(a)(b)3y(c)25x(d)3y(e)25x(f)24x25x216 y29z027z6x2224 y2z10027z6x2224 yz1002210024 yz----------------------- Page 113----------------------a)= (iii) es un cono elpticoParaboloide elpticob) = (v)c) = (i) Hiperboloide de dos hojasi) Paraboloide hiperblicad) = (ve) = (iv) Hiperboloide de una hojai) Es una elipsoidef) = (iEn los ejercicios 31 a 42, dibuje la grafica de la ecuacin e identifique la superficie231.24x29 yz36----------------------- Page 114----------------------La superficie es un elipsoide con semiejes 3,2 y 6232.24x29 yz36Dividiendo la ecuacin para 36, tenemos:22x2yz19436Comparando la ecuacin con el tipo (I), podemos concluir que la grafica ser unahiperboloide elptica233.4x29 y2z36222xyzSimplificando:19436Comparando con (I), podemos concluir que la superficie es una hiperboloideelptica deuna cara cuyo eje es el eje x234.24x29 yz36----------------------- Page 115----------------------La superficie es una Hiperboloide elptica de una hoja cuyo eje es el y2235. x2yz2Igualamos a cero: x2y2z0Es del tipo (III) con A = B = 1. La superficie es un cono circular con ejeY236. x22yzLa ecuacin es delcircular con el ejeen x2tipo (III) Con A = B = 1 por lo tanto, es un cono2xz362537.4yEs del tipo (II) una paraboloide elptica con el eje en y----------------------- Page 116----------------------22yx253638.4zEs del tipo (II), una paraboloide elptica cuyo eje es el Y22xz362539.9yEs una grfica del tipo (II) una paraboloide hiperblica cuyo eje es el Y240. x2 y4z----------------------- Page 117----------------------Como22422025 , podemos escribir la ecuacin como122x25yz551Sicos(2)ysen ()sustituimos y hacemos5152yy2z1zy55Representa una rotacin del eje yr lo que la ecuacinz55 y del ejez en el plano yz po2(1) se convierte en:x25 yque es un paraboloide cilndrico.241.2x16z4y16Tipo (I) una hiperboloide elptica con eje en Y242.29y4z18x202xyzEs del tipo (II), un paraboloide hiperblico con el ejeen z9 / 22----------------------- Page 118----------------------43. Obtenga los valores de kano xkypara los cuales la interseccin del pl1 y el2hiperboloide elptico de dos(a) una elipse, y (b) unahojas2yx2z1seahiprbola.y222Sustituyendo en la ecuacin xxz1 de la1kydel plano en la ecuacinhiperboloide, obtenemos la proyeccin de la interseccin en el plano zy .2y12(1ky )2z21; (k21)y22kyz(a) La interseccin ser una elipse si su proyeccin es k 20 . Por lo que unaecuacin equivalente ser:222k(k 2 1) y 22Estagrficatendrk2k2yk2puntos1(kz 221)2 .k12kreales si20 ; k 22k 22; k22k1(b) La interseccin es una hiprbola si k 21.10;k 21; k44. Determinar el vrtice y el foco de la parbola que es la interseccin del plano22yyxz2 y el paraboloide hiperblico.16Sea y492 en la ecuacin dada, reescribimos la ecuacin en su forma normal:21xz192;44x4z994----------------------- Page 119----------------------laEl cruce de la seccincon el vrtice enbre90, 2,. La parbolahacia abajo. Como4dadaentieneelsu ejeplano y2 esparalelounaal z y1parbosea914977p= 0, 2,entonces el. La figurafocodela parbolaes90, 2,36muestra el paraboloide hiperblico resultante.45. Obtenga el vrtice y el foco de la parbola que es la interseccin del plano x12z2xyy el paraboloide hiperblico.4Sustituimoslaecuacindelplano9x31 enlaecuacindelparaboloidehiperblico,2z1yobteniendoparalelo a la proyeccin,4921; z14y3. Como x31 es31encontramos los vrtices enadems la parbola se1,; 0 . El eje es paralelo al y31abre en la direccin positiva del eje, pentra en1, 0, 0entonces el foco se encu3----------------------- Page 120----------------------46. Calcule el rea de la seccin plana formada por la interseccin del plano y3 y22x2yzel slido limitado por el elipsoide1 .92x25429zSiguiendo el mismo procedimiento obtenemos la ecuacin1 ,925422x2z162xz12 8,941 , rea =25144642596=5 5252522247. Demuestre que la interseccin de la superficie x9z36 y el planoxz9 es una circunferencia.222Cualquier4y4zk24 y 22222punto5z5x5 xz (xdebe caer en4x 24 yenxz ) 36yla esfera4z 24 y9z36 ; 4x365kxunyplanodelaforma xz, y la interseccin de un plano y unaesfera es un circulo.Similar respuesta para planos x2zk2yxz48. Pruebe que la interseccin del paraboloide hiperblico22y elbac2xhiperboloide elptica de una hojanterseccin de dos lneas2y2a2z2b21 es la icque se encuentran en su superficie.----------------------- Page 121----------------------Factorando la ecuacin dada:yxyxzbabacPara cualquier valor de k , cada punto de la lnea de interseccin de los planosyxzkyx1ybacbakSatisface la ecuacindel hiperboloide de una hoja, y por lo tanto la lnea debe estarcontenida enteramente en ella. De la misma manera cada punto de la paraboloidedetermina un valor de k . De manera similar, para cualquier k, cada punto de la lneayyxdezinterseccinkcaexde los planosdentrode lazkbaycbacparaboloide hiperblicaEn los ejercicios 49 a 51, utilice el mtodo del rebanado para calcular el volumendelslido. La medida del rea de la regin limitada por la elipse que tiene semiejes a yb esab .49. El slido limitado por el elipsoide236x29 y24z3622222zyzLa elipsoide se1;y2puede expresar como: x1xun plano494de,es9seccin de laregin delimitadaunaelipsoidepor unaenxi , 02elipse de semiejes 2lo tanto, sea V es volumen:1iy3i12i , por1n1222V2 lim1xxx2131x = 128iii00i 150. El slido limitado por el elipsoide22x2yz12a2bcDefiniendo a,b, c20 . El rea del corte en x2x2yes2z2xy11 ,la cual22esunaelipse2de22222abca1z/ cb1z/ csemiejes ay reaa1z 2 / c22a bab (1 Azybc2b1z 2 /2/ c ) .c23czz4Por lo tanto su volumen ser: V2 abzz22ab1abc20c3c30----------------------- Page 122----------------------51. En el slido limitado por el plano z0 , y el paraboloide elptico22xh , donde h2yzdonde c202abcUna seccin plana de la superficie en zh , es una elipse de semiejesai , bi , 0ii . Sea V el volumen cbico del slido, entonces:ccn2habhVlimaibizabzzi0 i 1cc0c52. Dibuje la superficie de revolucin generada al girar la generatriz23x9y23 ln9yalrededor del eje x.yCuandox.yLa3, xfigura0ymuestraa medidalaquey0,superficie, llamada seudo-esfera, la cual tiene aplicacin en la geometra noeuclidiana----------------------- Page 123----------------------Ejercicios 11.1En los ejercicios 1 a 8 determine el dominio de la funcin vectorial.11.R (t)i4t jtDom4t1 /ti4tjDom (1 /t )Domt0t4, 00, 4122.R (t)t +3ijt2-1tDom3Domt-13it12jDomt1t3.11R(t)tsen11t iln(t1) j11DomtDomsintilnt 1=1,1lnt14.R(t)1jDomsin1cost iComo Dom,11,cos(sec1 tt) j[ 1,1]yDomsec 1 tEl dominio de la funcin es su interseccin es decir los nmeros -1 y 15.R (t)tDom=2 it2, 42,2, 04itt j + cot(t) k4tjcot (t ) kkx0,, 426.R(t)t9 iDomt9ln t 3 j + (tt8) k2k=, 3=i3,, 3ln tt3 j(t2t8)33,27.R(t)ln sin(t)i16-tj +ln t4k2=Domkxtln sin t[ 4, 4]it16tjln t4----------------------- Page 124----------------------4,, 00,, 4128.R (t)tan(t) i4 - tj +k4k2t12Tenemos Domt224t[2, 2]yDomt11111Como1.57entonces Dom (R ), 2,2,22222En los ejercicio 9 -12, encuentre (a) (F + G) (b) (F - G) (c) (F.G) (d) (FxG)2F(t)t1it1j +t1 k9.G (t )t(a)FG(b)F(c)F1ij +t1 k2(2t ,t2(tG, 2t )21)2(t1)2(t1)3t32G(2,t2,i2)jk23(d)4t j) i3FG(2tttt1 t) kt11tt11(t12F(t)224t2t2ti4 j4tk10.2G (t)t2it44 k2(a)FG(b)(c)FGF G2,t ,j(4t8)2222t , 8 t , t )t 4 4t 2164t 2(44t 2t 4ijk2242242164t 2(d)FG32) i +48t +16tt4j2tcos(t) iG(t)tsin t i44t(16) kt 48t2tF(t)t(44sin(t) jt k11.(a)F(b)(c)FFcos t jG(costG(costcost sin tGt ksin t , costsin t , 0)sin t , (costsin t cos tsin t ), 2t )t 2t 2----------------------- Page 125----------------------i(d)Fsin t+ tGcos tjcos tjksin ttt (sin tcos t ) iksin tcos tF(t)sec(t) itan(t) jG(t)sec(t) it2 ktan(t) j12.(a)FG(2 sect ,0(b)FG(2 tan t ,0,(c)F Gt ksec2 t(d)FGt22)ttan2 tiect,t2tj2tsec t1ksec ttan t2 tan t sec t kj2 )2tan t(t2) tan t i + st13. F y G son las mismas funciones del ejercicio 9f (t )t1; g (t )t1En los ejercicios 13-16 calcule (a) (fF )(t ) (b) (fG )(t )(c)Fg(t ) (d)G g(t)14. F y G son las mismas funciones del ejercicio 10f (t )1 /2t;g (t )2(a)f (t )F (t )f (t )G (t )3(t(b)2(tt221,ttt2t1,t1,t2F (g (t ))(t2t22(c)1,t2,t2t ,t )1, )1)(d)G( g(t))(t,1, t2)15. F y G son las mismas funciones del ejercicio 111f (t )sin t;g (t )sin(t )2(a) f (t )F (t )sint cost isint jt sint k2(b) f(t )G (t )sinti +sint cost jt sintk2(c) F (g (t ))1(d) G( g(t))1tit itjsint k211tjsint k16. F y G son las mismas funciones del ejercicio 121f (t )cos t;g (t )cos(t )----------------------- Page 126----------------------(a)f (t )F (t )isint j2cost k(b)f (t )G (t )isint jt cost k11(c)F (g (t ))2 kt ) jsec(cost ) itan(cos211 / ttij2 kt21t1(d)cosG ( g (t))1 / tijt ktEn los ejercicios 17- 24 calcule los lmites indicados si es que existen2t17.(t)(t)(t42) ijt2t42t k;limt2lim(t2)ijt k0i4 j +2kt2t22t18.(t)m1t(t)1itj1tt1 k;li1t12(t1)limt1t1t1itj1t1 k2isin t19.(t)(t )sin t icos t jk;limtt 0sin tlimt 0sin ticos tjkj + kt1cos tt20.(t)(t )itejek;limtt 01ttim eComolim et 0cos tsin t0limlimt 0et 0tEntonces limtyl0tj + k02(t)(t)sintittt(r )t21.lim01tan22tjtk;1t11t2sinttant1limj +kt 1ti22jtk1ti12----------------------- Page 127----------------------2122.lim(t)(t)cost1icos2ttjk;1sin t1costsin tt 021cost1limicost1ijtk22 jt 11sin t1t 123.(t )costsin t1 teie1/tj1tk;lim(t)t 0t 1limt 01 teijln(tm24.(t)1 /te(1t)ke(i +j + k)1)(t )isinh t jcosh t k;litt0ln(tComo1)limt 01 /(tlimt 0t1)11Luegolimt 0(r )1 i +sinh 0 j + cosh 0 ki + kEn los ejercicios 25-30, determine los nmeros para los que la funcin vectorial escontinua1225.(t )tiln(t1) jkt1, 22,126.2(t)(tt1) i1jktet1t127.0,1(t)cos t isec t jtan t k1t(k), siendo k cualquier entero228.(t)sint i1tant jcott kLa funcin tangente es continua excepto en los mltiplos impares de, la funcin21cotangente es contina excepto en los mltiplos pares de. Por lo tanto la funcin21es continua en todos los nmeros reales exceptok donde k es cualquier entero2----------------------- Page 128----------------------21 /t2e29.itjksi t0(t )0si t0Es continua para todos los nmeros realestsin t1cost1iksi t30.0(t )ttisi ttk0Es continua para todos los nmeros realesEn los ejercicios 31 a 42, dibuje la grfica de la funcin vectorial.31.(t)32.t2(t )it41j42ijtt233.(t)t2it+4j----------------------- Page 129----------------------34.35.(t)(t)3 cosh t it i5 sinh t j64tejj52tk36.(t)37.t(t)1i2tcos t i3jsin t j2tt k30tk2----------------------- Page 130----------------------38.(t)3 cos t i3 sin t j2t k0t439.(t)2 cos t i3 sin t j4t k0t440.(t )4 cos t isin t j0t21t k2----------------------- Page 131----------------------241.(t)3t i2tjt k 0t23242.(t )t it3t kj0t22En los ejercicios 43 a 46, las figuras (a) (c) son grficas, generadas en computadora, dela curva del ejercicio indicado, vista desde tres puntos diferentes del espacio.Relacionela grfica con uno de los puntos de vistas dados.----------------------- Page 132----------------------43. Ejercicio 37; (0,0,8), (0,8,0) y (4,8,4)(a) (0,8,0)(b) (4,8,4)(c) (0,0,8)44. Ejercicio 38; (0, 0, 28), (0, 28, 0) y (14, 28, 14).(a) (14, 28, 14)(b) (0, 0, 28)(c) (0, 28, 0)45. Ejercicio 41; (10,0,0), (-10,0,0) y (0,0,10)(a) (0, 0, 10)(c) (10, 0, 0)(b) (-10, 0, 0)46. Ejercicio 42; (15,0,0)----------------------- Page 133----------------------(a) (-15, 0, 0)0, 15)(b) (0,(c) (15,0,0)En los ejercicios 47 a 49 demuestre el teorema de los lmites si U (t)yV (t) sonfunciones vectoriales tales que lim U ( t) ylim V ( t) existen.ttaa47.limU ( t)V (t)lim U ( t)lim V (ttt)talimU( t)V ( t)aUa( t)V ( t)U( t)V ( t)112233tlimlimU( t)V ( t)( t)V ( t)1133t aUtalimUlimV ( t)( t)Ut2aV ( t)lim11tt3taatV ( t)limV ( t)12Ut( ttUaa( t)U( t)2lim3alimt alimU2attlim U ( t)t a48.limV ( t)3aU( t)V ( t)13talim V ( t)t aU ( t)V (t)lim U (t)t alimU ( t)V ( t)( t)V ( t)1133t alim V (t)t alimU( t)V ( t)2t2aalimV ( t)limU ( t)limU12ttaat( t)( t)( t)V ( t)2lim( t)2)Ualim)limKlimlimaU ( t)V ( t)limV ( t)( t) lim13t at alimlimlimV ( t)U( t23tU( t)V ( t)alimlimUVK113223ttaattaattaalim U ( t)t a49.limlim V ( t)t aU ( t)tV (t)lim U ( t)atlim V ( t)ata----------------------- Page 134----------------------limU VU V1 2U Vk2 3U VU VU V2 31 2iU VU V3 22 1U V3 2U V31j1 32 1atlimlimjttilimtlim Ulim V 3lim Vlim Ulim UjU V3 1aalim UU Vk13alim Vlim Vilim Ulim Vlim Ulim Vk211tti313aat at at at alim U1lim V2jt at alim U ( t)t ailim U 2lim V3kt at a2232t at aj1t at at alim U 3tajlim V1t at alim V ( t)t a50. Si fes una funcin real tal que lim fste y V es una funcin vectorial tal(t ) exixaque lim V ( t) existe, demuestre que lim f(t )V (t )lim f(t )limV (t )x ax ax alim f(t )V (t )lim(fV 1) ix ax alim(fV 1)ilim(fV 2 )x ax axa(fV 2 )j(fV 3 )klim(fV 3 )kjxaUtilizando el teorema 11.1.3falim flimV 1 )limV 3 )kx ax ax alim flimV 1ilimV 2 )xilim fxalimV 2jlimajxlimV 3kxaxlim fx aaxaxalimVx a51. Demuestre que si la funcin vectorial V es continua en un nmero a, entoncesV ( t)es continua en a.Si V es continua, entonces por el ejercicio 48, VV es continua y tambin por LT 10,entonces esVVV----------------------- Page 135----------------------Ejercicios 11.2R(tEn los ejercicios del 1 al 10 calcule R (t))11.R (t )t iR (t )tij2(t )j3j2tRt22.R (t)R (t)-3it2ti(t)1j2j2iRt2t3.1tR (t)2itj1t2R (t)2 t21i2tj3(t)4Rt13i4tj124.R (t )t4i125t2j51 / 2R (t )j2t t4i1223 / 223255t5tj(t )6tR18t4i42 t5.R (t)2eiln t jt2 tR (t)6.(t)R (t)12eRit2 ti4ej2t k2jtcos 2t iR (t)k2 ktan t j2sen2tit ksec tjk2(t)4 cos 2ti 2 secRt tan tj17.R (t)1tant isint j11R (t)12 ik1-1t kcosjt1t21t2----------------------- Page 136----------------------2tttR (t)2 3 / 2 k2 i +1(12t2(13 / 2 jt )t )3t8.3tR (t)e+2R (t)3ei3tit2ej32kR9.(t)k9e3t3ti +18eR (t)5sin 2t iR (t)t6e10 cos 2tij3 ln 23t22j +3ln 2sec 4t jt2k4 cos 2t k8sin 2tk4 sec 4t tan 4tj34tj(t)20 sin 2ti +16 cos 2t kRsec16 sec 4t32110.R (t)tan 3t iln sin t jtk2R (t)3 seck23t i3 cot 3t jt223k(t)18 secR2t3t tan 3t icsct jEn los ejercicios del 11 -14 encontrar D1 R (t )11.R (t)t1i2ttj2R (t)6tt2122t2t54t62t3DtR (t )226t122t6ti52t512.R (t)etet1j22t2 tt2e12 tR (t)ett2 te2e11et2ee22 t11 / 22e2 tD tR (t )2 t2e24e22e2 t213.R (t)sin 3t icos 3t j226 t6 tR (t)1sin3tcos4e6 t12eD tR (t )6 t14e3t4e214.R (t)2t1 it1 j----------------------- Page 137----------------------2R (t)2t12t1t3tDtR (t )3 sgn(t )En los ejercicios 15 a 18 verifique el teorema 11.2.4 para las funciones vectorialesindicadas215.R (t)tt2 tei3Q (t)tejtt2t2ei3tej2t32 tD t3eiR (t )2e2tQ (t )jD ttt2t2 tR (t )D tei2Q (t )4e2t3t3jt2 t2t2 ti1D R (t )j2eD Q (t )3t2e2tei32ejtt2t3e2 tD R (t )4etiD Q (t )22tt216.R (t)cos 2t it icos 2t jsin3tjsin 2t j ;Q (t)2Dtisin 2tjR (t )sinQ (t )t iDtcos 2tcos 2tj2DtR (t )Q (t )D tcos 2tsintisin 2tDt2 sin t cos tcos 2tR (t )jQ (t )2 cos 2ti2 sin 2t2 sin 2tj2D R (t )Dttsin 2t jiD Q (t )t itsinD R (t )j2 cos 2tDcos 2t jcos 2t itD Q (t )2 sin t cos t2 sin 2t2 sin 2tijttD R (t )it2 sin t cos tD Q (t )2 cos 2ttR (t)2 sin t iQ (t)2 sin 2t22 sin 2tcos t ijcos t jsin2t k ;17.costDtcostiR (t )2 sin t jQ (t )kDt2 sin t2 sin tjsin 2t1kDt2 cos 2tkin t jR (t )Q (t )sin tiD R (t )2 cos 2tktsin t j2 cost i2 cos tjD Q (t )sin tit2 cost i2 cos tj3tR (t)e3teQ (t)si4ej2 k ;18.tti4 tej2ek----------------------- Page 138----------------------3t3tDtRiQ12et4tD QD Rejt3ee8ett19. Ejercicio 152t2 tR (t )eDtt2t2Q (t )Dttttet2 t3t2e3t2 tDte(tR (t ))(3tQ (t )2e)te )(3(tD R (t )t(2te(12e)(t)(3t2e)e)2 t2e)Q (t )R (t )D Q (t )tt2 t3t2 t2t3tieei12ejt2e2jt2 t2t2 tt3ie2 eitt2 tej3t2ej32tt22 tt2 t2 t2tett2ee13t2e2e3t1ee32e20. Ejercicio 16D R (t )tQ (t )R (t )D Q (t )ttsinsin 2tt2 sin 2t2 sin 2tcos 2tcos 2t2 sin t cos t2 cos 2t222sin2 sin t sin2 cos2tt2 sin t cos t cos 2t22tComoD R (t )tDcos 2tisin 2tjt2 sin 2 ti2 cos 2 tjEntonces2DtsinR (t )tiQ (t )cos 2tj2 sin 2ti2 cos 2tj222 sin2 tAdemst sin 2 t2 cos2D Q (t )tDsint icos 2t jt2 sin t cos ti2 sin 2 tjPor lo tantoR (t )sin t cos tiD Q (t )2 sin 2tjtcos 2tisin 2tj222 sin t cos t cos 2t2 sinAl sumar ambas partes de las ecuaciones resultantes tenemosDD Q (t )R (t )Q (t )D R (t )ttQ (t )R (t )tt21. Ejercicio 17----------------------- Page 139----------------------DtR (t )sin 2tQ (t )2 cos 2tDt2 sin t cos t2 sin t cos t22Q(RQ2 sintR2 cos2(2 cost)2t2 sin2 cos 2tt2 cos 2t)22. Ejercicio 184 t(t )RQ36ecos 2t ; R es la funcin del ejercicio 92fRDt5 sin 2t cos 2ti2tsincos 2t sec 4tj2tk210cos4 cos 2t sec 4t tan 4t22tjifRDt4 cosR Q2 sin 2t sec 4tfRfQ23.RDtt24.f(t )e; Res la funcin del ejercicio 84 tt4 ttD tj3f2etR (t )D te2ei2ek4 t4et2e4 ti8etj31ln 22ektt4 t(t )R (t )2 kef (t )R (t )4e2e34 tt4e3t3t2eifjkt3tte6e23ji2eln 24 t2ei8e2tj31