8/19/2019 Calculo_Julio_12_13

http://slidepdf.com/reader/full/calculojulio1213 1/4

CALCULO INFINITESIMAL

Examen Final 29-Junio-2013

E1.   (a) Calcula el area comprendido entre la grafica de la funcion   f (x) = e−|x| y su asıntota.   (4 p.)

(b) Sea   f (x) =   x

2

−x2cos(t2) dt. Halla el polinomio de Taylor de grado dos de la funcion  f   en  a = 0.

(6 p.)

E2.  Dada la funcion   f (x) = 2 − x

x  . Se considera el recinto plano acotado D  , limitado por la grafica de

la funcion, el eje OX  y las rectas   x = 1, x = 3.

(a) Calcula el area del recinto  D .   (5 p.)

(b) Calcula el volumen del solido de revolucion obtenido al girar D  alrededor del eje  OY  .   (5 p.)

E3.   1. Sea∞

n=1

an una serie y {S n}n∈IN la sucesion de sumas parciales asociada con   S n = 5−  2

n2

  n ≥  1.

a ) ¿A que es igual10n=1

an   y16n=5

an   ?   (2 p.)

b) ¿Cual es el valor de   a1  ? ¿ Y el de   a3 ?   (2 p.)

c ) Halla una formula general para   an .   (2 p.)

d ) Estudia la convergencia o divergencia de la serie∞n=1

an y en caso de ser convergente deter-

mina su suma.   (2 p.)

2. Estudia la convergencia de la serie de potencias∞

n=1

n2

n!xn (2 p.)

E4.   Sea   f (x, y) =

   x1

dt

t ,

   x+y

e−1

dt

t

  , A = Dom f . Se pide:

(a) expresa y dibuja A.   (2 p.)

(b) razona si  f  es diferenciable en su dominio.   (3 p.)

(c) calcula la matriz jacobiana de  f  en (1, 0).   (2 p.)

(d) sea g(u, v) =

3u − 2v, u3 − v2

  . Calcula la matriz jacobiana de g ◦  f   en (1, 0).   (3 p.)

1

8/19/2019 Calculo_Julio_12_13

http://slidepdf.com/reader/full/calculojulio1213 2/4

Solucion del EXAMEN

E1.   (a) Calcula el area comprendido entre la grafica de la funcion   f (x) = e−|x| y su asıntota.

f (x) =

  ex x <  0e−x x ≥  0

  lımx→±∞

e−|x| = 0

La asıntota es   y = 0, el eje OX , y la funcion es simetrica respecto el eje  OY , luego el area pedidose puede calcular como

Area =

   +∞

−∞e−|x| dx = 2

   +∞

0e−x dx = 2 lım

T →+∞

   T 

0e−x dx = 2 lım

T →+∞

−e−x

T 0   =

= 2 lımT →+∞

−e−T  + 1

= 2 unidades2

(b) Sea   f (x) =   x2−x2

cos(t2) dt. Halla el polinomio de Taylor de grado dos de la funcion  f   en a  = 0.

El polinomio de Taylor de grado dos de la funcion  f   en  a = 0 sera

P 2(x) = f (0) + f (0)

1!  (x − 0) +

 f (0)

2!  (x − 0)2 = 0 +

  0

1!x +

  4

2!x2 = 2x2

f (0) =   0

0cos(t2) dt = 0, f (x) = cos((x2)2) · 2x− cos((−x2)2) · (−2x) = 4x cos(x4) =⇒ f (0) = 0

f (x) = 4 cos(x4) − 4x · 4x3(− sen(x4)) =⇒ f (0) = 4

E2.  Dada la funcion   f (x) = 2 − x

x  . Se considera el recinto plano acotado D  , limitado por la grafica de

la funcion, el eje OX  y las rectas   x = 1, x = 3.

(a) Calcula el area del recinto  D .

(b) Calcula el volumen del solido de revolucion obtenido al girar D  alrededor del eje  OY 

2

8/19/2019 Calculo_Julio_12_13

http://slidepdf.com/reader/full/calculojulio1213 3/4

(a)  Area(D) =

   21

2 − x

x  dx +

   32

2 − x

x  dx

=

   21

2

x − 1

 dx +

   32

2

x −  1

 dx

=

= (2 lnx − x]21 +(2ln x − x]32

 = 2ln2 − 1 + |2 l n 3 − 2 ln 2 − 1| =

= 2ln2 − 1 + 1 + 2 ln2  − 2 ln3 = 4ln2 − 2 ln 3 unidades2

(b) VolOY    =   21 2πx ·

 2 − x

x   dx +   3

2 2πx ·

 2 − x

x   dx = π

   21 2(2 − x) dx + π

   32 2(2 − x) dx

=

= π

−(2 − x)2

21

+

−(2 − x)232

 =  π (1 + |−1|) = 2π unidades3

E3.   1. Sea∞n=1

an   una serie y   {S n}n∈IN   la sucesion de sumas parciales asociada con   S n   = 5  −

2

n2  n ≥  1.

a ) ¿A que es igual10

n=1

an   y16

n=5

an   ?

b) ¿Cual es el valor de   a1  ? ¿ Y el de   a3 ?

c ) Halla una formula general para   an .

d ) Estudia la convergencia o divergencia de la serie∞n=1

an   y en caso de ser convergente

determina su suma.∞n=1

an   ,  {S n}n∈IN  la sucesion de sumas parciales asociada   S n = 5 −  2

n2  n ≥  1

a )10n=1

an =  S 10 = 5 −  2

102,

16n=5

an =  S 16 − S 4 = 5 −  2

162 −

5 −

  2

42

b)   a1 =  S 1 = 5 −   212

  = 3, a3 =  S 3 − S 2 = 5 −   232 −

5 −   222

c )   an =  S n − S n−1  = 5 −  2

n2 −

5 −

  2

(n − 1)2

 =

  4n − 2

n2(n − 1)2  n ≥  2

d ) La serie es convergente ya que la sucesion de sumas parciales asociada a la serie es convergentey su suma es

∞n=1

an = lımn→∞

S n = lımn→∞

5 −

  2

n2

 = 5

2. Estudia la convergencia de la serie de potencias∞n=1

n2

n!xn

Utilizamos el  criterio del cociente

lımn→∞

(n+1)2

(n+1)! xn+1

n2

n! xn

= lımn→∞

(n + 1)2 n! |x|

n2 (n + 1)!  = |x|   lım

n→∞

(n + 1)2

n2 (n + 1) = |x|   lım

n→∞

n + 1

n2  = 0 <  1

Por tanto, la serie∞n=1

n2

n!xn es  convergente en IR.

E4.   Sea   f (x, y) =

   x1

dt

t ,

   x+y

e−1

dt

t

  , A = Dom f . Se pide:

3

8/19/2019 Calculo_Julio_12_13

http://slidepdf.com/reader/full/calculojulio1213 4/4

(a) expresa y dibuja A.

(b) razona si  f  es diferenciable en su dominio.

(c) calcula la matriz jacobiana de  f  en (1, 0).

(d) sea g(u, v) =

3u − 2v, u3 − v2

  . Calcula la matriz jacobiana de g ◦  f   en (1, 0).

(a)   A = Dom f  =

(x, y) ∈  IR2 / x >  0, x + y > 0

 (A es ABIERTO).

(b) Existen las derivadas parciales de sus componentes y son continuas en A, abierto, aplicando la Condi-cion suficiente de diferenciabilidad podemos afirmar que  f  es diferenciable en su dominio.

f (x, y) =

∂f 1∂x

∂f 1∂y

∂f 2∂x

∂f 2∂y

=

1

x  0

1

x + y

1

x + y

(c)

f (1, 0) =

1

x  0

1x + y

1x + y

(1,0)

=   1 0

1 1

(d) g  es diferenciable en IR2 ya que existen las derivadas parciales de sus componentes y son continuas :

g(u, v) =

D1g1   D2g1

D1g2   D2g2

=

3   −2

3u2 −2v

(g ◦  f )(1, 0) = g( f (1, 0)) ·  f (1, 0) = g(0, 1) ·  f (1, 0) =

3   −2

0   −2

1 0

1 1

=

1   −2

−2   −2

4