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Calculo Vectorial. Examen Sustitutorio y Solucionario 2010-1
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA 21/07/2010 FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA P.A. 2010-I DPTO. DE CIENCIAS BÁSICAS Y HUMANIDADES MB148 A, C, D, E
1
EXAMEN DE SUBSANACIÓN DE CÁLCULO VECTORIAL PROBLEMA 1
Evalúe la integral doble ∫∫ +
−
R
xydA
xye
2
4, donde R es la región limitada por las
rectas y = 4x + 2, y = 4x + 5, y = 3 – 2x, y=1 - 2x. Solución:
5,2,4 ==−= uuxyu
1,3,2 ==+= vvxyv
∫ ∫∫∫
−==
+
− 3
1
5
2
25
)3ln(66
12
4 eedvduv
edAxy
e u
R
xy
PROBLEMA 2 Evalúe ∫
C
drF. donde
a) C es el triángulo de (0,1,0) a (0,0,4), a (2,0,0) y
( ) ( ) kjiF 322232 32),,( yxyzyxzxyxzyx +−++=
b) C es el cuadrado de (0, 2, 2) a (2, 2, 2) a (2, 2, 0) a (0, 2, 0)
( ) kjiF zyxyxzyx cos3),,( 232 +++=
Solución
a) 0=),,( zyxrot F y la curva C es cerrada
∫ =C
d 0rF.
b) ( )1,0,cos6),,( zyzyxrot =F , la curva C es cerrada
Usando el Teorema de Stokes
0)0,1,0( === ∫∫∫∫∫ dSrotdSrotdSSC
.. FNFrF.
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA 21/07/2010 FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA P.A. 2010-I DPTO. DE CIENCIAS BÁSICAS Y HUMANIDADES MB148 A, C, D, E
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PROBLEMA 3 Calcule el flujo del campo vectorial
++++++
= 222222222 .,zyx
zzyx
yzyx
xF
a través de la superficie esférica 4222 =++ zyx
Solución Por teorema de la divergencia
π8.. === ∫∫∫∫∫VS
divFdVNdsFI
usar coordenadas esféricas. PROBLEMA 4 Calcule la integral de superficie ∫∫
S
dSyz , donde S es la porción de la
esfera 4222 =++ zyx , que se encuentra arriba del cono 22 yxz += Solución:
S: 4222 =++ zyx dAyx
dS224
2−−
=
0=∫∫ dSzy
S
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