1. 1. -ALALE1.l.0-. AZAMBARAAN oSOLUCIONARIO.1 FI s n cA VECTORIALhttp: //todoepn. blogspot. com HENRY ALVARADO
2. 2. li.sotticroninioi. .4.. -'i4.-:elsa/ zzclbnarz).nelA Subscribe RSS u Find cun Facebook;a F-Jlloir-i n13! t-JESEncuentra en nuestra pgina los Textos Universitarios que necesitas! Libros y Solucionarios en formato digital El complemento ideal para estar preparados para los exmenes! Los Solucionarios contienen TODOS los problemas del libro resueltos y explicados paso a paso de forma cIara. .Visitanos para descargarlos GRATIS!Descargas directas mucho ms fciles. ..WWWILSOLUCIONARIONETlv!il - i, Investigacin Operativa :1 I [m ' u i i i/ latcmaticas AvanzadasPhysics l '"'* Ch"5"Y GeometraMath.[I ' iii i IBusiness m wws Calculo ' I ', ,. .. .Economa sti 1| v|I"'| | . I. IL1CJIDCCI'IDCJ _ _ > .. .Ecuaciones Diferenciales _ Llcctrical Lnqineerinq lgebra LIECUOTBQDEIISTCI
3. 3. IntroduccinLa siguiente obra es una ayuda para cualquier estudiante del nivel medio,superior nivel universitario que brinda apoyo de gua en los ejercicios propuestos por el libro FISICA VECTORIAL l de los autores Vallejo-Zambrano. No hay explicaciones detalladas sobre los problemas,solo se sigue el camino de la razn y lgica para llegar a la solucin es por eso que se pide al estudiante tener conocimientos bsicos de lgebra,trigonometra y fsica vectorial. Las dudas o sugerencias sern aceptadas en la direccin que aparece a pie de pgina para poder conseguir un mejor entendimiento si es que le hace falta a laobra expuesta. Se considera esfuerzo al estudiante para poder desarrollar la capacidad del razonamiento matemtico en la solucin de problemas ms complejos sin embargo las dudas de cualquier procedimiento no entendible sern bienvenidas a las siguientes direcciones:wwwfacebookcorn/ todoepntodo epngghotmailcomhttpM/ todoepnblogspotcom
4. 4. NDICEEJERCICIO N9 3 . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .....4 EJERCICIO N9 4 . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . 16 EJERCICIO N95 . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . 37 EJERCICIO N96 . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . 59 EJERCICIO N9 7 . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . 66 EJERCICIO N98 . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . , 81 EJERCICIO N9 9 . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . .121 EJERCICIO N910 . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .134 EJERCICIO N911 . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . 143 EJERCICIO N912 . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .149 EJERCICIO N913 . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . 157 EJERCICIO N914 . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .186 EJERCICIO N9 15 . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .....193
5. 5. EJERCICIO N 3l.Expresar en coordenadas rectangulares los siguientes vectores:a) K = (152o])m SOLUCIN: A= (l5,-20)m= |Isen9 _ B (BwBy)Y E :l30Ncosl25" y =l30Nsenl25_ 1 (-74,56; l06,49)N Bx - -74,56N By =106,49Nc) 6 =(37 cm,N37E)
6. 6. y = |BIsen =Bicosqp(BVBY)(22,27; 29,55)cm22,27 Cm =29,55 cmx _ _ By =37 cmsen37 By =37 cmcos37 _ _ B B)d) =25 kgr(o,6 as) SOLUCIN: =25kgf(-0,6i-O,8j) = (152o)kgr B = (15,-20)kgf2. Expresar en coordenadas polares los siguientes vectores:a) K =(14+8])mSOLUCIN: II : _ 14 a = l809a =180 29, 74| K|= i6,12m asoywK= (i6,12m;15o,26)b) B: (s7, 91)Nmm: [B] =4 K872 +912)_ B (i25,90N;46,29) | B| =125,90N
7. 7. c) B =45kgf(o,707 10,707 ])SOLUCIN: tanal =0707 a =27o+9y49 =270 +45 0 =315491 =tanl[0,707 0,707 a =45d) B= (22N, s28o)SOLCKN: a =270w;a =27o23 B =(22 N,242) a =2423. Expresar en coordenadas geogrcas los siguientes vectores:a) K :(52, -25)NSOLUCIN: Wim _ _ A= (57,7N; S64,32E) | AI=57,7Nb) B = (47N,245) =270 245y _ 250 B =(47N,s25o)
8. 8. SOLUCIN:c) E =32m+21]mSOLUCIN: IB] =4/322 +212_ E= (38,2sm;N56,730) | CI =38,28mqi=56,73 d) D=35cm(0,866i+0,5j)SOLUCIN: B =(35 cm;N30E)0,866] q) =304. Exprese en funcin de sus mdulos y vectores unitarios los siguientes vectores:a) K =(44 m,340) SOLUCIN:Ay =IAIcos 6 Ay =IAISenAy =44mcos340 Ay =44msen340 A = (41,3515,05])m Ax =41,35m Ay = 15,05m
9. 9. T5235 imim K=44m(0,940,34])11A = (0,940,34]) b) B= (25km, Sl4"O)SOLUCIN: 6 =270+l4 49 =284By =IBICOS By =A| sen9 By =25krncos 284 By =25kmsen284 K :(6,051 24, 26])1qn BK =6, 05 km By =24,26km:3 UB m_(6,05i-24,26j)k1n213+ 25km B=25km(0,242i-0,97j)A,= (0,24 097]) c) E= (21,45)NSOLUCIN: EMEIBI =49,66N
10. 10. 1% ICI_ (2li+45j)N _ y __ , Ll= C=49,66N(-0,421+0,9Oj)22 :(o,42+0,90) d) B= (17+9])kgr SOLUCIN: IBI =V172 +92 | B| =19, 24 kgf-2 nyyA (l7i+9j)kgf 2 y __ 22D = A D= l9,24kgf(O,881+0,47j)22D = (O,88i+0,47j) 5. Expresar el vector R =(-13,-27)m en: a) Coordenadas polaresb) Funcin de los vectores basec) Coordenadas geogrcasd) Funcin de su modulo y unitarioSOLUCIN:B =(_13,_27)ma)
11. 11. IBI =i132 +272|1|= 29,97m6 t E27 9=64,29+180" =an 13 19=244,29a,= 64, 29b) B= (1327])m C)25 =270 244, 29 a=257nB = (29,97m;s25,71o)B=29,97m(0,430,9])22D = (0,430,9]) 6. Expresar el vector V =(200 km,318) en : a) Coordenadas geogrcasb) Coordenadas rectangularesc) Funcin de los vectores based) Funcin de su modulo y unitarioSOLUCIN:I= (200km,318)a) 25 =318 270y_ 480 V = (200km,s48E)
12. 12. Vy =IVlcos3l8 Vy =200 k1ncos3l8 Vy =l48,63kn1Vy = I7Isen318 Vy =200kmsen3l8 Vy = -l33,83kmV= (148,63;133,83)kn1V= (148,63133,83])1qnvIVI (l48,63i-133,83j)krn200m E (0,743 - 0, 669])v: 7. Expresar el vector =(20 N,N 47 O) en: a) b) c) d)Coordenadas polares Coordenadas rectangulares Funcin de su modulo y unitario Funcin de los vectores baseSOLUCIN: a)
13. 14. = (147cm;s71,57o)9=270+7L57 L =(147 cm;341,57) =341,57) =147cm(0,948;-0,3l6) = (139,36;-19,99)cm d)= (139,3619,99])cm9. Expresar el vector =(-29 1+ 35j)m/ s en: a) Coordenadas rectangularesb) Funcin de su modulo y unitario c) Coordenadas polaresd) Coordenadas geogrcasSOLUCIN: a)b)IB) =4292 +352| B| =45,45m/ s
14. 15. _ nyy_.> (-29i+35j)m/ s H _ 45,45m/ s = (0,64i+0,77j)B =45,45 m/s(-O,64i+O,77 j)0,64 0,77_1 0, 64 19 =90 +39, 73 =tan 0,77 19 =129,73 ( =39, 73B = (45,45m/s;129,73)B = (45,45m/s;N39,73o)tanq = d)lO.Expresar el vector E =(9i+l2j)m/ s2 en: a) Coordenadas rectangularesb) Coordenadas polaresc) Coordenadas geogrcasd) Funcin de su modulo y unitarioSOLUCIN: a)aimB= (152n/ s2;53,13)
15. 16. =90 -53,13{#360070 B= (15n1/s2;N36,87E)d)_ NE0-)_ _ (9i+12j)m/ s2 E T @= (0,6+0,83)B=15nvs2(0,6+0,83)11. Exprese en funcin de sus vectores base los siguientes vectores:a) K =(65k1n/ h, 121) SOLUCIN:Ay =jAicos H Ay =jAlsen HAy =651cm/ hcosl21 Ay =65km/ hsen12l A,=33,481qn/ h Ay =55,72km/ hA= (-33,48i+55,72j)kn1/hb) B =(70N,NE) SOLUCIN:By =IBI cos HBy =7ONcos45 B= (49,5+ 49,53)N By =49,5Nc) C=120krn(O,873i-O,488j)mis:
16. 17. E =(104,7658,563)16nd) B= (13,40)NSOLCKN: D= (13+403)NEJERCICIO N" 4l.Si la magnitud de los vectores E y O son 40m y 30m respectivamente,determinar: a) La magnitud mxima del vector resultante de la suma vectorial de 13+ C b) La magnitud minima del vector resultante de la surna vectorial de E +6c) La magnitud del vector resultante de la suma vectorial en caso de que E y Cr sean perpendicularesd) La magnitud mxima del vector resultante de la resta vectorial de E - BSOLUCIN: a) E= (40i+0j)mB (30T+03)m | B|=702=70mB (70+03)mE= (40i+0j)mG (30+03)m | B|=7W=10mB= (1003)mF= (40--03)m B (0+303)m | B|=7402 +302 =50mB (40+303)m
17. 18. =(40+0)m 13 =(40+03)m B =(30+03)m B= (30+03)mB = (70+03)m II =702 Z 70m 2. Dados los vectores E =41+ 63 y =-6 i-j ,encontrar: a) El ngulo formado por los vectores b) El rea del paralelogramo formado por los vectores E y Oc) El vector unitario en la direccin de- 2C)SOLUCIN: a) 29: 2 E11110_c0s_, (4>
18. 20. Qx icos Qy =16)sen0 Q,=15m/ scos120 Q,=15m/ ssen120 Q= (7,5+12,99])n1/s Q,=7,5m/ s Q,=12,99m/ sa) 13=(12 8])m/ s Q= (7,512,99)m/ sQ= (19,52o,99])m/ s+13=(4,5+4,99])rn/ s C) 3 T =5(121-8])m/ S F= (1s12])m/ s= (-7,5>< 25) X[(37+25])m]=33,972 +22,952[372 +252 4372 +252:4o,99mNM = (33,9722,95])m ) rea = 37=(-826,21+934,75) =33,54 m2 34,39 22,336. Dados los Vectores =15N(m+ 0,48);I= (21N,SE) y 13 = (12N,312),hallar: a) ++Fb) 2/33+5/2= c) 2/5(F-)d) (3x213)e) La proyeccin de sobre el vector resultante de (+3)f) El ngulo comprendido entre los Vectores " y SOLUCIN: =15N(m+0,48]) = (2lN,SE)49 =270+45 49 =3l5IX =|Icos49 IY =I| sen19 Ix=21Ncos315 Iy=21Nsen315 I,=14,85 I,= 14,85:15N(0,33+o,48) = >= (13,2+7,2]): (14,8514,85])N
19. 23. F= (12N,312)F,=I13Icos9 F,= senc9 F,=12Ncos312 F,= 12 Nsen312 F,=8,o3 1:,=-15,60F= (8,o315,6o])Na) = (13,2+7,2])N = (14,8514,85])N = (8,o315,6o])N++i= (36,o823,25])N2/3= %(14,85-14,85])N 3= 3(13,2+7,2])N23= < 52, 9848, 42 x 87,44 (772,482 +18,422 )(752,982 +87,442)9 =73, 059 =cos10. Dados los vectores D =(Skin,63),B =(-7, -1)km y T3 =(4 km;S70E) ,calcular: a) 2B++32b) -213c) -d) e) La proyeccin de sobre f) El ngulo comprendido entre y ? g) El rea del paralelogramo formado por los vectores B y SOLUCIN:a)
20. 35. D,= )D)cos9 D,= Skmcos 63 D,= 2,27kmD,=| D)sen9 D,=5kmsen63 D,=4,46kmB = (-7T-l)k1n9 =270 +70 9 =340F,= cos9 F,= 4kmcos 340 F,= 3,76kmF,=IF)sen9 F,= 1,37km2B=2(2,27+4,463)12m 2B= (4,54+8,923)1qn31= =3(3,761,373)12m 313=(11,284,113)12m2 = (4,54+8,923)1qn 73 43)12m( = (11,284,1 13)12m (2B+E+313= 8,82+3,813)12rrr B2F-21"= =2(3,764,373)12m _2F= (7,52+2,743)12mF,= 4 kmsen 340B= (2,27+4,463)12mT= (3,764,373)12m
21. 36. , ,3)( (2,27 3- 4,463)12m ( ) -B 2=7,523+2,743 km3- -21?= (46,7932,723)12m c) B- (2,27> Ay =16 Calculando Axtan 37 =Ax 16 tan 37 AX =21,24 como esta en X(-) : > -21,24AxA= (-21,24+16])N W :421,242 +162Para que X=0 BX = -Ax PBX =21,24: (21,24+o])NEJERCICIO N5
22. 39. 1. En el reloj de una iglesia el minutero mide 1,2 m y el horero 80 cm determinar la posicin relativa del extremo del horero respecto al extremo del minutero,en las siguientes horas: a) 10H10 b) 12H35 c) 5H40 d) 8H20 e) 9H10 ) 6H50 g) 2H40 h) 11H05 i) 4H00SOLCKN: Basados en el siguiente graco para determinar los vectores: rnn =(1,2m;30)rxmin =1, 2 mcos 30rYmin =1,2 msen 30 =O,6mrYmin rxmin 1, 04 m(1,o4+o, )mrmin i
23. 40. = (o, sm;15o)rYhm =O,8 msen150 rxhm =0, 8 mcos 1 5 0=o,4 rx, =o,69 m IY m= (o,69+o,4j)mthor/ min =rhor _ rminrhmm =(o,69+ o,4])m(1,o4+o,6])m; =(1,2m;30)=1, 2 msen 240 rxmm =l,2 mcos 240rYmin rxmn =-O,6 mrm, = (o,61,04j)mQ= (o+o, s])mIrhor/ mixi =Thor - min= (0+o, s])m(o,61,o4])mrhor/min1mm,= (o,6+1,34])mQ= (1,2m;210)=1,2msen30" rxmin =1,2 mcos 210= -0,6mrYrninI .rx,=-1,04m Yrm = (1,o4o,6])m
24. 41. E= (08m;3000) r = o 8msen300 Yhor rm,= 0,8mcos 300=o,69 rxm =-0, 4m YY mrm =(0,41 0,69 ])mrhor/ min Z rhor _ rmin1km, = (1,o4o,6)m(o,40,69)mIher/ min= (o,640,o9])m = (1,2m;30) =1,2 mcos 330 rYmi"=1,04 m m=1,2 msen 330 =-0,6mrXmin rXminrm, = (1,040,6])mQ= (0,3m;21o)rYhor =0, 8 msen 210 rxhor =O,8 mcos 210=0,4 rm =o,69m IY mrm :(0,69o,4)mthor/ min hor _ rminI' rhmmm (0,690,4])m(1,040,6])m (-1,73+0,2])mrhor/minQ= (1,2m;30)r .rxm =l ,2 mcos 30 rm Ymin=1,2msen30= O,6m rxmm =1,04m
25. 42. rhor/minrhor/minrhor/minrhor/minrhor/minrhor/min; =(1,o4+o,6])mrm =(-0,8i+0)m=11m mm = (o,8+o)m(1,o4+0,6)m= (-1,s40,6])mQ= (1,2m;15o)rYmm =1,2 msen 30=1,2mcos150" = -1,04mQ= (1,o40,6])mrXmin2 rXmin=Thor - rmin= (o-0,8])m(1,04o,6])m= (1,040,2])mQ= (1,2m;210) rxm =1,2mcos210 rYmmr .rxmn = -1,04m Yrm, = (1,04o,6])mrYmm =-0, 6 m=1,2msen210 = -0,6m
26. 43. g = (0,8m;30)rYhm =0, 8msen 30 rxm =0, 8 mcos 3 0=o,4 rx, =o,69 m rm mrm = (o,69+o,4])mrhor/ mixi =rhor _ rminMmm = (0,69+0,4])m. (-1,040,6)m= (1,73+])mrhor/mina =(1,2m;60)rmn =1,2msen30 rxmn =1, 2 mcos 60rmjn =1, 04m rxm =O,6 mrm = (o,6+1,04)ma =(0,8m;120)rn, =0,8msen120 rxhm =0, 8 mcos 120rxhor Z 074m rm =0,69mQ= (0,4+o,69])mIrhor/ mixi =rhor - min111mm, = (0,4+0,69)m(0,6+1,04])m= (0,35])mrhor/min
27. 44. Q = (0,8m;330)rYhm =0, 8 msen 330 rxho,= 0, 8 mcos 1 5 0=o,4 rx, =o,69m IY mQ = (o,69o,4])mrhor/ min =rhor ' Buin rhm/ mm = (0,69o,4])m(o+1,23)m = (0,691,6])mrhor/min2. Una persona vive a 2km en direccin NE del centro de 1a ciudad,si para ir a 1a tienda mas cercana camina 200m al este y luego 100m a1 sur,determinar: a) La posicin de 1a tienda respecto a 1a ciudad b) La posicin de 1a tienda respecto a 1a casa de 1a persona c) La distancia en lnea recta de la casa a la tiendaSOLUCIN: Datos:Ciudad= origenT= (21qn; NE): >(1,41+1,41])1qncasar = (0,2i-0,1j)kmtenda/casaa)= (200i-100j)m3r. nenda/casar' . a/casa :rtenda _rcasar.=r.+rtien ,3 tienda/casa casar.,= (1,41--1,41])1qn+(o,210,1j)1qntien, r = (1,61--1,31])1qntienda=(200i-100j)m: > r. r tienda/ casa =tienda/casa
28. 45. rtenda/ casa :u+ r =223,60m30,223kmtenda/casa3. Los vrtices de un triangulo son 10s puntos P1(0,5),2(2,-1) y P3 (3,6), determinar: a) El Valor de los ngulos internos del triangulo b) El tipo de triangulo en funcin de sus ladosSOLUCIN:
29. 46. A 1 2> =90 f3 =63, 43A =cos'63,43+90+:=180=180 -90 -63, 43=26,57 b) Triangulo rectngulo4. Los vrtices de un triangulo son los puntos A(8,9)m,B(-6,1)m ,C(0,-5 m), detenninar: a) El valor de los ngulos internos del triangulo b) El rea del triangulo ABCSOLUCIN:
30. 47. mmgmwgammamm Ham EmIle q,.7 7 ' A A _ V w " i , 1 y:. 4 , .a - _ y _ e'. . a u.4 ,22, . .- n r1 '. _ 7 L1!, aH%1q;EEE? Lg:_, ko.1i 9.. .., . 1ye 11:1E ELEIM._ - v y A .kr h"., 1 1 1. H a _ .1 t .w r o 3.v 1.. .:1 y _ a 5 * .. . l h1; 1 r r 3 _ 4 q,1 1 y 4 ._,, 1 a t" E1! um4mO1v;t.t. 5,] j._ ga 1.El llQllll, LHfmfCm . mm9mm1u, ;,9,, a,3mamm . ;.1m9 "14 rv/ i/ )ivii l1,2l
31. 48. b) rea = IBX1- -8rea= = |19664|=132m22) s 145. Una ciudad est delimitada por las rectas que unen los vrtices:P(4,5)km,Q(0,4)kn1 ,R(1,1)kn1 ,S(5,2)kIn,determinar:a) La forma geomtrica de la ciudad b) El rea de la ciudadc) La posicin relativa del punto R respecto del punto P d) La posicin relativa del punto S respecto del punto R a) Paralelo gramo b) ) =(0+4])lcn1(+])kmRQ= (-+3])km
32. 49. Q= (5+2])1qn-(+])km @= (4+])km6. tiene las ciudades P,Q y R;determine la posicin relativa de 1a ciudad P respecto a R para los siguientes casos: a) rQ(50km; s60E) y Qokm No)b) Qgsokm;so) y Q(251qn; N70o)c) Q(651qn; N15o) y Qmkm,s30o) d) Q, '(40km; N75E) y Q(100km; s25E)SOLUCIN: WQ =IP - IQ= > PQ =r,4m . ... ... ... ... ... . . .(1)Q =P q:.. ... ... ... . . .(3)Igualando (l) y (2)rP-IP/ Q: ' (3) en (4)rP/ R =rP/ Q ' rR/ Qr -rR =rm -rR, Q . ... ... ... ..... (4) a) Q(501an;S60E)0 =270 +60 0 =330
33. 50. rwQx =IE, cos9 rwQy =IE sen9 rWQx =50 kmcos330 rwQy =50kmsen 330 rwQx =43,30km rwQy =-25kmrm = (43,3025])km Qmokm;NO)9=90+45 9=l35rmx =lrR/ Q cos 9 rwQy =lrR/ Q sen 9rR/ Qx =70kmcos135 rmy =70 kmsen135 rR/ Qx =-49, 50km rwqy =49, 50kmrm,=(49,50+49,503)k1nrpm =rP/ Q ' NoQ =(43,30125])k1n(49,50+49,50])kmQ =(92, 50 - 74,50])k1n Qasokm;so)9 =27045 9 =225rwQx =rm cos9 rwQy =rm sen9 rWQx =80 kmcos 225 rwQy =80 kmsen315rm x =57, 57 km rP/ Qy =-56, 57 kmrm =(56,5756,57 j)kmQ(25km; N70o)9 =90 +70 9 =160
34. 51. rwQx =1 cos 9 rWQy =1Q sen 9 rR/ Qx =25 kmcos 160 rwQy =25 kmsen160 rNQx= -23,49kn1 rwQy=8,55k1nQ,=(_23,49+8,55)kn1rP/ R =rP/ Q ' rR/ QQ = (56,5756,57])k1n. (.23,49+s,55])kmQ =(33,084s,02)kmQ(65kn1;N15o)9 =90+15 9=105rmx =1 cos 9 rwQy =1 sen 9 rwQx =65 kmcos105 rwQy =65 kmsen105 rwQx =-16,82km rwQy =62, 79kmQ =(16, 821+ 62,79])kn1Q(90km;s30o)9 =270 30 9 =240rR/ Qx =1r7 cos9 rmqy=1 sen9 rmx =90 kmcos 240 rwQy =90 kmsen 240 rR/ Qx =-45 km rR/ Qy =-77, 94kmQ =(-451 77,94})k1n Q =(-16,82+62,79])km(45 77,943)kmQ = (28,18+140,73})kn1
35. 52. Q(40km;N75"E)a =9075 a =15rP/ Qx =1rP, Q cos 9 rWy =1rP, ,Q sen 9rP/ Qx =40 kmcos 1 5 rwQy =40 kmsen 1 5 rwQx =38, 64 km rwQy =16,82 kmQ= (38,64+16,82)1qn Q(100k1n; s25E)9 =270 +259 =295rR/ Qx =1 cos9 rwQy =1E sen9rmQx =100 kmcos 295 rwQy =100 kmsen 295 rmQx =42, 26km rR/ Qy =-90,63kmQ,=1-45i-77,94j)kmQ= (33,64+16,s2])k1n(4577,94])kmr = (83,64+94,76j)k1nP/ R7. Para los casos del ejercicio anterior.Si se construye una carretera directa en lnea recta desde 1a ciudad P hacia ciudad R,determine el ahorro de combustible para un auto que consume 1 galon de gasolina por cada 45 km,si se compara el nuevo camino con la ruta que une las ciudades P hacia Q y Q hacia R en lnea recta. .Dados los puntos L(8, - 6)m y J (4, 3)m ,determinar: a) Los vectores posicin de E y respecto al origenb) La posicin relativa de E con respecto a
36. 53. c) La distancia entre los puntos E y SOLUCIN:a){= (86)mb)E-r Q= (86])m(4+3])mQ (129])m c) Q = /l22 +92rm = l5m9. La cumbre de la montaa A est a 3km del suelo y la cumbre de la montaa B a 2km del suelo.Si las montaas se unen como indica el siguiente graco: "A AADeterminar: a) La posicin relativa de la cumbre de la montaa B respecto a la cumbre de la montaa Ab) La longitud del cable para instalar un telefrico de la cumbre de la montaa A a la cumbre de la montaa BSOLUCIN:
37. 54. tan 60 Z 3kmtan 60 rAy =l,73kmAy= (-1,731+3j)kma)rB/A(2,38i+2j)km-(-l,73i+3j)k1nQ (4,11J)k1nb)1Q = ,/4,112+1Q =4, 23 kmConsiderando ida y vuelta por cables independientes 4,23 km>< 2 =8, 4610. Las coordenadas de los puntos inicial y nal de un vector E son (5, -2)1n y(-4, 7)m respectivamente,determinar: a) Las componentes rectangulares del Vector E b) La magnitud del vector Ec) El vector unitario del vector E351x12a)
38. 55. Ezm_ (9i+9j)m E7127p,:(-0,706i+0,706j)m11. Un avin de aeromodelismo est a (4 km,SO) de la torre de control.En esemomento,su dueo desea impactar en un blanco que esta ubicado en el punto (6, - 4) km ,determinar: a) La posicin del avin respecto al blanco b) La direccin que debe tomar el avin para lograr su propsito c) La distancia del avin al blancoSOLUCIN: a)(4 km,SO)Ax =1A1cos9 Ay =sen9A,= 4kmcos225 A,= 4kmsen 225 A =(2,83 2,33])km A,=-2,83km A,=-2,83km
39. 56. Q (-2,83i-2,83j)km-(6i-4j)kmQ (8,83+1,17j)k1nb) =tan =82, 45S82,45Ec) Q = y(8,832+l,17ZQ,1=8,91km12. En un aeropuerto,un avin B se halla parqueado en 1a posicin (200 m,N 28E)respecto a la torre de control.En ese instante otro avin A se encuentra en laposicin (200 m,SO) respecto a la misma torre de control,determinar: a) La posicin relativa de B respecto de A b) La distancia que existe entre los dos avionesSOLUCIN:a)(200m,N28E)Bx =1B1cos9 By =1B1sen9 B,= 200 mcos62 By =200 msen 62 B =(93,89i+176,59j)m B,=93,89m By=176,59m(200 m,so)
40. 57. Ay =1A1cos9 Ay =1A1sen9 Ay =200mcos225 Ay =200msen 225 A =(-l41,42i-14l,42j)m A,= 441,42 Ay =-141,42Q (93,89+176,59j)m-(-14l,42i-141,42j)m Q (235,31+318,01])mb)1Q1= . /235,312 +318,0l1Q1: 395,60m13. Un bote tiene 2 motores fuera de borda.El primer motor impulsa el bote en direccin NO con una velocidad de 20m/ s, el segundo motor impulsa al bote en direccin N25E con una velocidad de 15m/ s, detenninar: a) La velocidad resultante del bote en magnitud y direccinb) El vector unitario del vector velocidad resultante c) Los ngulos directores del vector velocidad resultanteSOLUCIN:a)A = (20m/s;NO)Ay =1A1cos9 Ay =1A1sen9 Ay =20mfscosl35 Ay =20n1/ssenl35 A =(-l4,l4i+l4,l4j)m/ s A,=-14,14na/ s Ay = l4,14m/ sB= (15m/ s;N25E)
41. 58. By =1B1cos9 By =1B1sen9 By=15m/ scos65 By= l5rr1/ssen65 B= (6,34i+13,59j)m/ s B, =6,34n1/s By= l3,59n1/sy (-14,l4i+l4,l4j)m/ s+(6,34+l3,59j)rn/ s y (-7,8i+27,73j)m/ s1711: 47,82 +27,732 y,= tan-I (Q27,73) V= (28,81n1/s; N15,71o)1v1=28,81n1/s b)a=15,71TV 171 __,8i+27,73j)m/ s "V 7Q y= (0,27+o,96])m/ sC)a =90+l5,7l=15,71 a= l05,7l 14. Una mesa de billar tiene las siguientes dimensiones: a) La posicin relativa de la buchaca F respecto a la buchaca A b) La posicin relativa de la buchaca C respecto a la buchaca Ec) El ngulo formado por los vectores EX y
42. 59. d) La posicin relativa de una bola ubicada en el punto Q respecto a la buchaca D e) La proyeccin del vector E sobre mSOLUCIN: Considerando A como origen: a)Q = (2,8i-1,5j)mb)= (2,8+0])m , =(1,41,5])m Q (2,8*+0])1n(1,41,5])m Q= (1,4+1,5])mc)A= A-E czag - --1,4i+1,5j)1n c= (1,4+1,5])ml,4>
43. 60. e)AQE= (1,41,5])m E= (2,10,75])m : .m Q X/ UAQ _1,4>< A tmmy . ... ... ... ..... (3) A rymm =Vymm,>< A tbyci . ... ... ... ..... (4)mo(3) y(4)en (1) E= V yyxAtmot+ QxAtm,.. ... ... ... ... .. . .(5)moto
44. 72. (2) en (5) A7 =vmot Vmotoy xAt +V. x(AtAtmyyyy)moto bici+V xAt-Txm :5moto bici bici motoT>
45. 76. 9. Dos puntos A y B estn separados 80m.Desde A parte hacia B un mvil con una rapidez constante de 3 in/s.Cinco segundos despus y desde B un mvil con lamisma direccin y sentido que el primero y con una rapidez constante de 2 m/s ; determinar: a) Analticamente y grcamente cuando y donde se encuentran b) En qu tiempo la distancia que los separa ser nuevamente 80mSOLUCIN: (3) Y (4) 611 (2) VBxtB= VAxtA-80m . ... ... .. (l)en (5) VB(tA-5s)= VA>
46. 78. (2)en(5) VAXtA = VB>
47. 80. b) ArA+ArB=134km . ... ... ... ..... (1)ArA = VA>
48. 81. a)ArA+ArB =3000m . ... ... ... ..... (1)ArA = VAXt1 . ... ... ... . . .(3) ArB = VB>< 300s_ 3O0Om-VAX300s _ VA+VBt z 3000m-2m/ s>VG = (0,26o,97])V0=8nvs(o,260,97])v0 =(2,os7,76j)m/ sa la 2 0>