Modulo de Fisica i - Analisis Vectorial do

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Anlisis Vectorial 1

Anlisis VectorialEl anlisis vectorial, que se inici a mediados del siglo pasado, constituye hoy da una parte esencial de las matemticas necesaria para matemticos, fsicos, ingenieros y dems cientficos y tcnicos. Esta necesidad no es casual; el anlisis vectorial no solo constituye una notacin concisa y clara para presentar las ecuaciones del modelo matemtico de las situaciones fsicas y problemas geomtricos, sino que, adems, proporciona una ayuda inestimable en la formacin de las imgenes mentales de los conceptos fsicos y geomtricos. En resumen, el anlisis vectorial puede considerarse, sin lugar a dudas, como el ms rico lenguaje y forma del pensamiento de las ciencias fsicas.

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Captulo

M. R. Spiegel

1. SISTEMAS DE COORDENADAS1.1. INTRODUCCIN:Muchos aspectos en fsica se relacionan de una u otra forma con posiciones en el espacio. P.e. para describir el movimiento de un objeto requiere un mtodo para describir la posicin del objeto en diferentes tiempos. Esta descripcin se hace mediante el uso de coordenadas.

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir unvocamente la posicin de cualquier punto de un espacio eucldeo o ms generalmente variedad diferenciable. En fsica se usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales. Un sistema de referencia viene dado por un punto de referencia u origen y una base vectorial ortonormal, quedando as definidos los ejes coordenados. * Los sistemas de coordenadas se utilizan para describir la posicin de un punto en el espacio. Un sistema de coordenadas consiste en: Un punto de referencia que llamaremos origen Ejes especficos con escalas y etiquetas Instrucciones de cmo designar un punto relativo al origen y a los ejes

*

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Fsica I

1.2. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS La coordenadas ms utilizadas como sistema de referencia en fsica es el sistema de coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares. En un espacio eucldeo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional (anlogamente en se pueden definir sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto (P) es igual a la proyeccin ortogonal de la recta OP de dicho punto sobre un eje determinado: P(X,Y,Z).

En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.

1.3. SISTEMAS DE COORDENADAS POLARESEn ocasiones es ms conveniente representar un punto en el plano por medio de sus coordenadas polares planas (r,) como se muestra en la figura. De manera ms precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y es el ngulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la coordenada radial o radio vector mientras que el ngulo es la coordenada angular o ngulo polar. En el caso del origen de coordenadas, el valor de r es cero, pero el valor de es indefinido. En ocasiones se adopta la convencin de representar el origen por (0,0).

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Anlisis Vectorial 3

1.3.1.

Representacin de puntos con coordenadas polaresEn la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la lnea OL sobre la que se miden los ngulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ngulo sobre el eje OL.

El punto (3, 60) indica que est a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ngulo de 60 sobre OL. El punto (4, 210) indica que est a una distancia de 4 unidades desde O y un ngulo de 210 sobre OL.

Un aspecto importante del sistema de coordenadas polares, que no est presente en el sistema de coordenadas cartesianas, es que un nico punto del plano puede representarse con un nmero infinito de coordenadas diferentes. Se puede decir entonces que en el sistema de coordenadas polares no hay una funcin biyectiva entre los puntos del espacio y las coordenadas. Esto ocurre por dos motivos:

Un punto, definido por un ngulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ngulo ms un nmero de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto (r, ) se puede representar como (r, n360) o (r, (2n + 1)180), donde n es un nmero entero cualquiera.[4] El centro de coordenadas est definido por una distancia nula, independientemente de los ngulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ngulo , un punto con radio 0 se encuentra siempre en el polo.[5] Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una nica representacin de un punto, se suele limitar r a nmeros no negativos r 0 y al intervalo [0, 360) o (180, 180] (en radianes, [0, 2) o (, ]).[6]

Los ngulos en notacin polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendo del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegacin martima utilizan las medidas en grados, mientras que algunas aplicaciones fsicas (especialmente la mecnica rotacional) y la mayor parte del clculo matemtico expresan las medidas en radianes.[7

1.3.2.

Conversin de coordenadasEn el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ngulo del vector de posicin sobre el eje x. A. Conversin de coordenadas polares a rectangulares Definido un punto en coordenadas polares por su ngulo sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

B. Conversin de coordenadas rectangulares a polares

Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es: Pitgoras) Para determinar la coordenada angular , se deben distinguir dos casos: (aplicando el Teorema de

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Fsica I

Para r = 0, el ngulo puede tomar cualquier valor real. Para r 0, para obtener un nico valor de , debe limitarse a un intervalo de tamao 2. Por convencin, los intervalos utilizados son [0, 2) y (, ]. Para obtener en el intervalo [0, 2), se deben usar las siguientes frmulas (arctan denota la inversa de la funcin tangente):

Para obtener en el intervalo (, ], se deben usar las siguientes frmulas:

Ejemplo: 1) Las coordenadas cartesianas de un punto en el plano xy son (x,y)=(-3.50; -2.50)m como se muestra en la figura. Encuentre las coordenadas polares de este punto: SOLUCION: debe usar los signos para determinar que el punto se encuentra en el tercer cuadrante. Es decir que =216 y no 35,5 (se debe sumar 180 ms), y r=4,30m. En el mundo de las abejas. Cuando una abeja sale a explorar y encuentra alimento en una flor, esta de inmediato regresa a su panal para informarle a las dems cmo llegar a la comida que acaba de encontrar. Esto lo hace movindose mediante un patrn especial, definido con mucha precisin. Este lenguaje debe ser de tipo vectorial Qu debe decir la abeja a sus compaeras para especificar dnde se encuentra la flor en relacin con el panal?.empleara coordenadas cartesianas o polares?porqu?qu usara la abeja como origen de sus coordenadas? - La abeja debe comunicar a sus compaeras cun lejos est la flor y en qu direccin deben volar. sta es exactamente la clase de informacin que proporcionan las coordenadas polares, siempre que el origen de las coordenadas sea el panal.

Muchos lenguajes de programacin modernos evitan tener que almacenar el signo del numerador y del denominador gracias a la implementacin de la funcin atan2, que tiene argumentos separados para el numerador y el denominador. En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la funcin atan puede recibir como parmetro la coordenada x (como ocurre en Lisp).

1.4. COORDENADAS CILNDRICAS Las coordenadas cilndricas son un sistema de coordenadas para definir la posicin de un punto del espacio mediante un ngulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la direccin del eje. El sistema de coordenadas cilndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetra de tipo cilndrico o acimutal. Se trata de una versin en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometra analtica plana. Un punto P en coordenadas cilndricas se representa por (,,z), donde: : Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyeccin del radiovector sobre el plano XY

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: Coordenada acimutal, definida como el ngulo que forma con el eje X la proyeccin del radiovector sobre el plano XY. z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.

1.5. COORDENADAS ESFRICAS **El sistema de coordenadas esfricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posicin espacial de un punto mediante una distancia y dos ngulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r, el ngulo polar o colatitud y el azimut . Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90 a -90 (de -/2 a /2 radianes), siendo el cero el plano XY. Tambin puede variar la medida del acimut, segn se mida el ngulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0 a 360 (0 a 2 en radianes) o de -180 a +180 (- a ). Se debe tener en cuenta qu convencin utiliza un autor determinado.

2. VECTORES.

2.1. DEFINICIONES. El trmino vector tiene distintos significados de acuerdo al contexto:

2.1.1.

En matemticaVector, en lgebra lineal, es todo segmento de recta dirigido en un espacio vectorial. Vector (espacio eucldeo) un conjunto ordenado de nmeros reales, o elementos de un cuerpo.

2.1.2.

En fsica

En fsica, un vector es una herramienta geomtrica utilizada para representar una magnitud fsica del cual depende nicamente un mdulo (o longitud) y una direccin (u orientacin) para quedar definido.[1] [2] [3] [4] Los vectores se pueden representar geomtricamente como segmentos de recta dirigidos o flechas en planos o ; es decir, bidimensional o tridimensional. Ejemplos La velocidad con que se desplaza un mvil es una magnitud vectorial, ya que no queda definida tan slo por su mdulo (lo que marca el velocmetro, en el caso de un automvil), sino que se requiere indicar la direccin hacia la que se dirige. La fuerza que acta sobre un objeto es una magnitud vectorial, ya que su efecto depende, adems de su intensidad o mdulo, de la direccin en la que opera. El desplazamiento de un objeto.

**

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricas http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/coordenadas-rectangulares/coordenadas-rectangulares.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Vector http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_%28f%C3%ADsica%29Separatas para el curso De Fsica

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Fsica I

2.2. ELEMENTOS DE UN VECTOR .

yA

Punto de aplicacin.- est dado por el origen del vector. Intensidad, mdulo o magnitud.- es el valor del vector y generalmente, est dado en escala. Pe. 5 unidades de longitud equivale a 5n (si se tratase de fuerza). Sentido.- es la orientacin del vector. Direccin.- est dada por la lnea de accin del vector o por todas las lneas rectas paralelas a l. La direccin del vector se puede identificar con un ngulo () antihorario medido desde el eje positivo x hasta la ubicacin del vector.

o

x

Todo vector queda bien definido conociendo su mdulo y su direccin (y sentido) siendo stos sus elementos.

2.3. Notacin

Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flecha sobre la letra que designa su mdulo (el cual es un escalar). Ejemplos: ... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de mdulos A, a, , ... El mdulo de una magnitud vectorial tambin se representa encerrando entre barras la notacin correspondiente al vector:

...

En los textos manuscritos se escribe: ... para los vectores y ... o ... para los mdulos. Cuando convenga, se representan la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado que la representa geomtricamente; as, se designan los vectores representados en la Figura 2 en la forma , ... resultando muy til esta notacin para los vectores que representan el desplazamiento. Adems de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo mdulo es la unidad, se representan frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo NOTACIN GENERAL: A = A .

2.4. CLASES Y RELACIONES ENTRE VECTORES :a) Vectores colineales.son aquellos vectores que estn contenidos en una misma lnea de accin. c) Vectores coplanares.- son aquellos vectores que estn contenidos en un mismo plano. d) Vectores iguales.- son aquellos vectores que tienen la misma intensidad, direccin y sentido. e) Vectores equipolentes.- Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual mdulo, direccin y sentido.

b) Vectores concurrentes.- son aquellos vectores cuya lneas de accin, se cortan en un solo punto. Los vectores concurrentes tienen el mismo origen. sus rectas de accin concurren en un punto propio o impropio (paralelos).

f)

Vectores libres.- [email protected]

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conjunto de todos los vectores equipolentes entre s se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo mdulo, direccin y sentido. no estn aplicados en ningn punto en particular.

j)

g) Vectores opuestos (- A ).- se llama vector opuesto (- A ) de un vector cuando tienen el mismo mdulo, la misma direccin, pero sentido contrario.

Vectores linealmente independientes.- Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinacin lineal de los otros a1 = a2 = = an =0

h) Vector de posicin.- El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posicin del punto P.

k) Vectores ortogonales.- Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto

i)

Vectores linealmente dependientes.- Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinacin lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinacin lineal:

escalar es cero l) Vectores ortonormales.- Dos vectores son ortonormales si: Su producto escalar es cero. Los dos vectores son unitarios.

2.5. Vector posicin. Coordenadas de un Vector

A. Vector de posicin de un punto en el plano de coordenadas El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posicin del punto P.

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Fsica I

B. Coordenadas o componentes de un vector en el plano Si las coordenadas de A y B son: Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

EJEMPLO 2.1.

Hallar las componentes de un vector cuyos extremos son:

EJEMPLO 2.2.

Un vector

tiene de componentes (5, 2). Hallar las coordenadas de A si se conoce

el extremo B(12, 3).

Las componentes ms usadas son las rectangulares, es decir expresado en la suma de vectores mutuamente perpendiculares, del mismo modo que se defini para las coordenadas polares. demostrar que: u = u x cos + u y sen .

V = Vx i + V y o tambin V = u xVx + u yV y , en trminos de sus vectores unitarios. Adems se puede j

Ntese que las componentes de un vector en una direccin son iguales a las proyecciones del vector en esa misma direccin ( una paralela al eje de referencia y otra perpendicular).

2.6. MDULO DE UN VECTOR EN EL PLANOEl mdulo del vector es la longitud del segmento AB, se representa por . El mdulo de un vector es un nmero siempre positivo o cero.

Mdulo de un vector a partir de sus componentes :

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EJEMPLO 2.3. Mdulo a partir de las coordenadas de los puntos

EJEMPLO 2.4. Propiedades del mdulo: 1. El mdulo del vector nulo es cero y el vector nulo es el nico vector cuyo mdulo es cero. 2. 3. Donde K es un nmero cualquiera y u es un vector cualquiera. . Para cualquier pareja de vectores.

2.7. VECTOR UNITARIO:

V dividiendo el vector entre su respectivo mdulo. = . VEJEMPLO 2.5. Si

Un vector unitario es un vector cuya magnitud es uno y es til para indicar el sentido y la direccin de un determinado vector. Matemticamente el vector unitario se halla

es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma

direccin y sentido.

2.8. VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS EN EL PLANO:

En cualquier direccin es posible determinar el respectivo vector unitario (Tambin se llama versor), en el plano cartesiano, en las direcciones x y y, los vectores unitarios reciben nombres especiales, estos son i y j respectivamente. Cualquier vector puede ser expresado en el plano cartesiano en funcin de los vectores unitarios principales i y j.

2.9. METODOS DE ADICIN DE VECTORES COPLANARESi. METODO DEL PARALELOGRAMO

ii. METODO DEL TRINGULO Y DEL POLGONO

iii. RESTA DE VECTORES

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10 Fsica I

Para restar dos vectores libres con el opuesto de .

y

se suma

Dados dos vectores: b, el vector combinacin lineal de

y y

, y dos nmeros: a y se dice que es una .

Una combinacin lineal de dos o ms vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares. Cualquier vector se puede poner como combinacin lineal de otros dos que tengan distinta direccin Por ejemplo: Esta combinacin lineal es nica

iv. PRODUCTO DE UN NMERO POR UN VECTOR El producto de un nmero k por un vector otro vector: De igual direccin que el vector Del mismo sentido que el vector positivo. De sentido contrario del vector negativo De mdulo Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector. . si k es si k es es

EJEMPLO 2.6.

Dados los vectores: , hallar el vector lineal

combinacin

El vector , se puede expresar como combinacin lineal de los vectores

v. COMBINACIN LINEAL DE VECTORES

2.10. MTODO ANALITICO PARA LA ADICIN DE VECTORES

(EN EL PLANO) . ***

Para comprender la regla de adicin de vectores consideremos primero el caso de los desplazamientos.

***

Alonso-Finn: Fisica, tomo I, [email protected]

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Si una partcula se desplaza primero de A a B, y se representa por el vector d1 , y de la misma forma de de B a C, representada por d2 , el resultado ser equivalente a un desplazamiento nico de A a C, representado por d , de modo que escribiremos simblicamente d=d1+d2 . Esto no es lo mismo que d=d1+d2, que se refiere solamente a las magnitudes y no valen para este caso. Ahora generalicemos el procedimiento para cualquier clase de vectores. Decimos entonces que: V =V1+V2 si se obtiene como en la figura, adems se observa que la suma vectorial es conmutativa, consecuencia directa de la geometra del mtodo. Para calcular la magnitud del vector resultante V vamos a deducir la conocida ley de los cosenos: La figura muestra la operacin de adicin donde se cumple V=V1+V2 , para calcular su magnitud utilizamos el teorema de pitgoras. (AC)2=(AD)2+(DC)2. Pero AD=AB+BD= V1+V2 cos y DC= V2 sen, por consiguiente: V2=(V1+V2 cos)2 + (V2 sen)2= = V12 +V22+2 V1V2 cos .

(I.1)

Para conocer la direccin del vector necesitamos hallar un ngulo medido de un punto de referencia cualquiera, si por el contrario deseamos conocer su sentido debemos hacerlo desde un sistema de coordenadas que es un marco referencial general. Deduciremos entonces la ley de Senos: De la figura vemos en el tringulo ACD, que CD=ACsen , y que en el tringulo BCD, que CD=BCsen. Por consiguiente : Vsen =V2 sen.

Anlogamente, en el tringulo ABE, que BE=V1sen , y que en el tringulo BCE, que BE=V2 sen. Por consiguiente : V1sen=V2 sen. Y combinando ambos resultados, obtenemos.

V V = 2 . sen sen

V V V = 1 = 2 . sen sen sen

(I.2)

Ntese que en el caso particular cuando V1 y V2 son perpendiculares que se cumple nuevamente el teorema de Pitgoras. Propiedades de la suma de vectores Asociativa +( + )=( Conmutativa + = + Elemento neutro + = Elemento opuesto

+

)+

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12 Fsica I

+ (

)= y se suma con el opuesto de .

Para restar dos vectores libres

Se puede demostrar tambin que para la diferencia de vectores se cumple que: V2=(V1+V2 cos)2 - (V2 sen)2= V12 +V22-2 V1V2 cos . y adems esta diferencia es anticonmutativa (figura 3-11) EJEMPLO 2.7. (P.36-37)(Alonso Finn)

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EJEMPLO 2.8.

(P.64)(Serway): UN VIAJE DE VACACIONES

EJEMPLO 2.9.

(P.42)(Alonso-finn)

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14 Fsica I

EJEMPLO 2.10.

EJEMPLO 2.11. EJEMPLOS I.6.(P.22-23)(Sears-Zemansky)

A partir de esta generalizacin se han deducido los mtodos grficos para la adicin y sustraccin de vectores que comnmente conocemos. Si le resulta complicado al alumno entender el proceso realizado, la respuesta la encontraremos en el hecho de que hasta ahora se han trabajado los problemas mecnicamente sin caer en la cuenta de los principios matemticos que determinan su comportamiento.

2.11. APLICACIONES EN EL PLANO EJEMPLO 2.12. (FISICA I-LUIS RODRIGUEZ VALENCIA-U.SANTIAGO)Para la situacin indicada en la figura, determine la altura del punto P en trminos de los ngulo , y la distancia d.

de donde

y restando

de donde sigue el resultado

Solucin. Podemos escribir

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2.12. VECTORES EN EL ESPACIO

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro. Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z). Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro

2.13. NOTACIN A TRAVS DE SUS COMPONENTES

Un vector en el espacio se puede expresar como una combinacin lineal de tres vectores unitarios o versores perpendiculares entre s que constituyen una base vectorial. En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por , , , paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las siguientes notaciones son las mas tpicas para representar a los vectores:

Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse tambin entre parntesis y separadas con comas: o expresarse como una combinacin de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. As, en un sistema de coordenadas cartesiano, ser Estas representaciones son equivalentes entre s, y los valores ax, ay, az, son las componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son nmeros reales. Una representacin conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando estn implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:

Con esta notacin, los vectores cartesianos quedan expresados en la forma:

2.14. COSENOS DIRECTORES Y COMPONENTES DE UN VECTOR Hasta ahora hemos hablado de dos componentes, correspondientes al plano xy, sin embargo en el espacio las componentes respectivas sern: Vx , Vy, y Vz. se puede verificar que sus componentes se calculan as: Vx=V sen cos , Vy=V sen sen , ..........................................................I.3)

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16 Fsica I

Vz=V cos , Donde ( ) es el ngulo que hace el vector con el eje Z, y donde es el ngulo que hace la proyeccin del vector en el plano XY con el eje X

j De modo que vectorialmente V = Vx i + V y + Vz k o tambin V = u xVx + u yV y + u zVz ; adems :Vx=V cos , Vy=V cos , .................................................................... (I.4) Vz=V cos , Donde es el ngulo que hace el vector con el eje -X, y donde es el ngulo que hace el vector con el eje -Y. aclaremos que en este caso especial los valores X y Y ser positivos en las direcciones de la figura. Se cumple, por clculo directo: V2 =Vx2+Vy2+Vz2 , ................................................. (I.5) Vx y de esta relacin se obtienen los cosenos directores. cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 ................................................................................................. (I.6)

Vz

Vy

2.15. MODULO DE UN VECTOR EN EL ESPACIO

El mdulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define. El mdulo de un vector es un nmero siempre positivo y solamente el vector nulo tiene mdulo cero.

Clculo del mdulo conociendo sus componentes EJEMPLO 2.13. Dados los vectores y , hallar los mdulos de y

Clculo del mdulo conociendo las coordenadas de los puntos

2.16. Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos es igual al mdulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

EJEMPLO 2.14. Hallar

la

distancia

entre

los

puntos

A(1,

2,

3)

y

B(1,

2,

0).

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EJEMPLO 2.15. (P.40)(Alonso Finn)

EJEMPLO 2.16. (P.40-41)(Alonso Finn)

EJEMPLO ADICIONAL(P.41)(Alonso Finn): expresar la ecuacin de una lnea recta paralela al vector V=uxA+uyB+uzC y que pasa por el punto P0. Es una de las formas usadas en geometra analtica para expresar una lnea recta. 2.17. ADICION DE VARIOS VECTORES

Para la adicin de varios vectores, sean estos V1 , V2 , V3 , , no hay ms que extender el procedimiento anterior de la figura 3.18, de modo que, conocidas los vectores en sus componentes rectangulares, se procede a sumar los mdulos correspondientes:Separatas para el curso De Fsica

18 Fsica I

V = V1x i + V1 y + V1z k + V2 x i + V2 y + V2 z k + V3 x i + V3 y + V3 z k + ... j j j V = (V1x + V2 x + V3 x + ...)i + (V1 y + V2 y + V3 y + ...) + (V1z + V2 z + V3 z + ...)k ............................. (I.7) jDe modo que:

(

) (

) (

)

V y = (V1 y + V2 y + V3 y + ...) = i Viy sen i .................................................................................. (I.8)Donde i es el gulo que hace con el semieje positivo X .EJEMPLO 2.17. Obtener la suma de los vectores A(-5, 2, 3) y D(2, 3, -1) con modulo resultante. Hacemos la grafica primero, dndole valores a los puntos con i, j, k por ejemploA = -5i + 2j + 3k B = 2i + 3j -1k Hacemos la grafica Ya teniendo la grafica con puntos vectoriales y su rectngulo sigue sacar el modulo del vector resultante. La formula es: Vector Resultante = (-3)2 + ( 5)2 + (2)2 Vector Resultante = 9 + 25 + 4 Vector Resultante = 38 Vector Resultante = 6.16

Vx = (V1x + V2 x + V3 x + ...) = i Vix cos i

Teniendo los puntos A, B se crea un rectngulo paralelo a los puntos, se toman los puntos A y B y se realiza una suma. (-5i + 2j + 3k) + (2i + 3j -1k) = -3i + 5j + 2k El punto del rectngulo a trazar es C (-3i + 5j + 2k). La grafica queda as

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EJEMPLO 2.18.

(P.23)(Sears-Zemansky)

2.18. PRODUCTO ESCALAR El producto escalar de dos vectores A y B se denota con A B . Por esta notacin, el producto escalar se denomina tambin producto punto. Para definir en producto escalar A B dibujamos A y B , nos valemos de las graficas, representando a los vectores unidos por su origen: Definimos A B como la magnitud de A multiplicada por la componente de B paralela a A , expresado de la siguiente manera: donde , el ngulo entre stos vectores, est entre 0 y 180. Tambin funciona a la inversa (conmutativa), es decir, como la magnitud de B multiplicada por la componente de A paralela a B .

A B = A B cos = A B cos ............................................................................................ (I.9)

El producto escalar es una cantidad escalar, no un vector, y puede ser positivo (si est entre 0 y 90, menos 90), negativo (si est entre 90 y 180), o cero (El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero). Obviamente A A = A2 , ya que el ngulo en este caso es cero. (alonso finn). Usaremos el producto escalar para definir el trabajo realizado por una fuerza, (el cual es una cantidad escalar). Podemos calcular el producto escalar de forma directa, conociendo las componentes rectangulares de cada vector, para lo cual es importante saber que: j j j j i i = = k k = (1)(1) cos 0 = 1 y que, i = k = i k = (1)(1) cos 90 = 0 ....... (I.10) De modo que: j A B = A i + A + A k B i + B + B k j

(

( ) + (A .B i + A .B + A .B k ) y por las relaciones de las ecuaciones (I.9): j j j j j + (A k .B i + A k .B + A k .B k ) j = Ax i .Bx i + Ax i .B y + Ax i .Bz ky x y y y z z x z y z z

x

y

z

)(

x

y

z

)

A B = Ax .Bx + Ay .B y + Az .Bz ................................................................................................. (I.11)Por lo tanto el producto escalar de dos vectores, es la suma de los productos de sus respectivas componentes. Este producto permite calcular directamente el ngulo entre dos vectores cuyas componentes conocemos, empleando las ecuaciones (I.11) y (I.9). Propiedades del producto escalar Conmutativa Asociativa Distributiva El producto escalar de un vector no nulo por s mismo siempre es positivo.Separatas para el curso De Fsica

20 Fsica I

EJEMPLO 2.19. (P.26)(Sears-Zemansky)

EJEMPLO 2.20.

(P.27)(Sears-Zemansky) CALCULO DE NGULOS CON EL PRODUCTO ESCALAR

2.19. PRODUCTO VECTORIAL

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Anlisis Vectorial 21

El producto vectorial de dos vectores A y B , tambin llamado producto cruz se denota con A B . (Usaremos este producto para describir el par o torque y la cantidad de movimiento angular, campos magnticos). Definimos el producto vectorial de dos vectores como un vector perpendicular al plano formado por A y B , con una magnitud igual a A Bsen .Es decir si A B = C ,entonces:

C = A B = ABsen

, ..................................................................... (I.12) que es la magnitud del producto vectorial. Y es un vector entre 0 y 180(0 180), de modo que el mdulo siempre es positivo como toda magnitud de vector. Si los vectores son paralelos (o antiparalelos) el producto vectorial ser cero (=0 =180). Obviamente el producto vectorial de un vector consigo mismo es cero.

Puesto que el producto vectorial A B = C es un vector perpendicular, es decir un vector en el espacio necesitamos encontrar su direccin (y sentido) Siempre hay dos direcciones perpendiculares a un plano dado. Pare determinar la direccin del producto vectorial A B imagine que gira el vector A hasta alinearlo con B , enroscando los dedos de su mano derecha con la perpendicular al plano en ese sentido, la direccin la dar el pulgar de su mano (figura). El producto vectorial no es conmutativo as: A B = B A , ...................................................................................................................................... (I.13) Su direccin se puede determinar por la regla de la mano derecha, o la regla del tornillo. Ntese que la magnitud del producto vectorial es igual al rea del paralelogramo formado por los dos vectores, o es igual al doble del rea del tringulo formado con su resultante (figura): El valor de su magnitud es igual a A Bsen ; pero Bsen = h que viene a ser la altura del paralelogramo de modo que

C = A B = ABsen = Ah = rea del paralelogramo.

Si conocemos las componentes de A y B , podemos calcular las componentes del producto vectorial similarmente al procedimiento usado para el producto escalar. Deducimos entones la tabla de multiplicacin de los vectores unitarios. j j ; el cero en negritas nos i i = = k k = (1)(1) sen0 = 0 recuerda que cada producto es un vector cero, es decir uno con todas sus componentes igual a cero y direccin indefinida. Usando las ecuaciones anteriores (I.12) y (I.13) y la regla de la mano derecha:

j i = i = k j j k = k = i ................................................................................................................. (I.14) j j k i = i k = De modo que: A B = Ax i + Ay + Az k Bx i + B y + Bz k j j

(

)(

)

IMPORTANTE: una lnea orientada define una direccin. Las lneas paralelas orientadas en el mismo sentido definen la misma direccin, pero si tienen orientaciones distintas definen direcciones opuestas (o antiparalelos). Sentido define por tanto una orientacin arbitraria designada para distinguir una de otra, puede ser positiva o negativa; y no es tan importante al resolver un problema vectorial.

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22 Fsica I

( ) + (A B i + A B + A B k ) y por las relaciones de las ecuaciones (I.14): j j j j + (A k B i + A k B + A k B k ) j = Ax i Bx i + Ax i B y + Ax i Bz k jy x y y y z z x z y z z

A B = (Ay B z Az B y ).i + ( Az B x Ax Bz ) + (Ax B y Ay Bx )k ................................ (I.15) j Tambin puede determinarse utilizando matrices y determinantes.

i A B = Ax Bx

j Ay By

k Az ; si no ha estudiado matrices mejor no utilice sta forma. Bz

Nota: si decidisemos escoger un sistema coordenado cuyos ejes tienen una representacin distinta a las convencionales, entonces los valores de la tabla (I.10) cambiaran de signo. Cabe notar que el producto vectorial nos puede representar la orientacin de una superficie (y su correspondiente valor) en el espacio.

EJEMPLO 2.21. P.50)(Alonso-Finn)

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Anlisis Vectorial 23

EJEMPLO 2.22. (P.30)(Sears-Zemansky) CLCULO DE UN PRODUCTO VECTORIAL

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24 Fsica I

2.20. PRODUCTO MIXTO **** El producto mixto de los vectores, es igual al producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos. El producto mixto se representa por: El producto mixto de tres vectores es igual al determinante que tiene por filas las coordenadas de dichos vectores respecto a una base ortonormal.

EJEMPLO 2.23. Calcular el producto mixto de los vectores:

VOLUMEN DEL PARALELEPPEDO El valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paraleleppedo cuyas aristas son tres vectores que concurren en un mismo vrtice. EJEMPLO 2.24. Hallar el volumen del paraleleppedo formado por los vectores

Volumen de un tetraedro El volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del producto mixto, en valor absoluto

EJEMPLO 2.25. Obtener el volumen del tetraedro cuyos vrtices son los puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7).****

http://www.vitutor.com/analitica/vectores/[email protected]

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Anlisis Vectorial 25

PROPIEDADES DEL PRODUCTO MIXTO El producto mixto no vara si se permutan circularmente sus factores, pero cambia de signo si stos se trasponen.

Si tres vectores son linealmente dependientes, es decir, si son coplanarios, producto mixto vale 0 LINKS DE CONSULTA: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-054304/Distancia.html#1.1%20M%C3%B3dulo%20de%20un%20vector http://es.wikipedia.org/wiki/Categor%C3%ADa:Vectores http://www.monografias.com/trabajos64/vector/vector2.shtml

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