Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTE IBARRA - ECUADOR

2009

CÁLCULO VECTORIAL Louis Leithold-EC7; capítulos 9, 10 y 11

Arnaldo Pillajo y Ernesto Palacios

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(También hay disponible una versión .docx) [email protected]

EJERCICIOS 9.1

En los ejercicios 1 a 10, dibuje la gráfica de las ecuaciones para métricas y obtenga una ecuación cartesiana de la grafica.

1. 4 cos ; 4 sin ; 0, 2x t y t t

2 2 2 216 cos 16 sin 16x y t t

2. 4 cos ; 4 sin ; 0,x t y t t

2 2 2 216 cos 16 sin 16; 0x y t t y

3. 1 1

4 cos ; 4 sin ; ,2 2

x t y t t

2 2 2 216 cos 16 sin 16; 0x y t t x

4. 9 cos ; 4 sin ; 0, 2x t y t t

2 2

2 2cos sin 1

81 16

x yt t

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5. 4 cos ; 25 sin ; 0, 2x t y t t

2 2

2 2cos sin 1

16 625

x yt t

6. 1 1

4 cos ; 25 sin ; ,2 2

x t y t t

2 2

2 2cos sin 1; 0

16 625

x yt t x

7. 1 1

4 sec ; 25 tan ; ,2 2

x t y t t

2 2

2 2sec tan 1, 0

16 81

x yt t x

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8. 1 3

4 tan ; 9 sec ; 0, ,2 2

x t y t t

2 2

2 2sec tan 1, 0

81 16

y xt t x

9. 3 2 ; 4x t y t

2 3 2 8 2 11x y t t

10. 2 5; 1x t y t

2 2 5 2 2 7x y t t

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En los ejercicios 11 16, calcule

2

2;

dy d y

dx dx sin eliminar el parámetro.

11. 2

3 , 2x t y t

2

2

4 4;

3 9

dy dy

dy t d ydt dt

dx dxdx dx

dt dt

12. 2

1 , 1x t y t

2

2 3

1 1;

2 4

dy dy

dy d ydt dt

dx dxdx t dx t

dt dt

13. 2

, ln | |t

x t e y t t

ln | 1 |

2t

dy

dy tdt

dxdx te t

dt

22

32 3 2

2 ln | 1 | 4 2;

2t

dyt t t td y dt

dxdx t e t

dt

14. 2

, 1 cost

x e y t

2 2

4

2

sin sin cos;

2 2 4

t

t

dy dy

e t t tdy d ydt dte

dx dxdx dx

dt dt

15. cos , sinx a t y b t

2

2 2 3cot ;

csc

dy dy

dy b d y bdt dtt

dx dxdx a dx a t

dt dt

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16. cosh , sinhx a t y b t

2

3

2 2coth ; csc

dy dy

dy b d y bdt dtt h t

dx dxdx a dx a

dt dt

En los ejercicios 17 a 21, para la grafica de las ecuaciones para métricas (a), obtenga las rectas tangentes horizontales y verticales, y (b) determine la concavidad

17. 2 2

4 4 ; 1 4x t t y t

a)

8 4; 8

0; 4 0

1

dx dyt t

dt dt

dy dx

dt dt

x

b)

2

32

8 1;

8 4 11

2

dy

dy t d ydt

dxdx t dxt

dt

18. 2 2

,x t t y t t

a)

2 1; 2 1

0; 2 0

1

4

dx dyt t

dt dt

dy dx

dt dt

y

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b)

2

32

2 1 1;

2 1 12

2

dy

dy t d ydt

dxdx t dxt

dt

19. 3

2 , 4x t y t

2

8 4

6 3

0

dy

dy tdt

dxdx t t

dt

x

2

2 4

2

9

d y

dx t

20. 2 3

2 ; 3x t y t

2

2

2

4 ; 9

9

4

9

16

dx dyt t

dt dt

dyt

dx

d y

dx t

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21.

2

3 3

3 3, ; 1

1 1

t tx y t

t t

3 3

2 23 3

3 1 2 3 2;

1 1

t t tdx dy

dt dtt t

22. Trace la hoja de Descartes del ejercicio 21 en la graficadora y determine la

porción de la hoja generada cuando (a) 1t ;(b) 1 0t ;(c) 0t .

23. Obtenga una ecuación cartesiana de la hoja de Descartes del ejercicio 21.

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3 6 3 2

3 3

3 2 3 33 3

27 27 27 3 33 3

1 11 1

t t t t tx y xy

t tt t

24. Un proyectil se desplaza de modo que las coordenadas de su posición en

cualquier instante t están dadas por las ecuaciones para métricas 2

60 ; 80 16x t y t t . Dibuje la trayectoria del proyectil y verifique la gráfica en

la graficadora.

25. Obtenga una ecuación de la recta tangente en el punto de la curva definida por

las ecuaciones para métricas 2 sin ; 5 cosx t y t , para el cual 1

3t .

5 sin 5tan

2 cos 2

dy

tdy dtt

dxdx t

dt

5

32

dy

dx

26. Obtenga una ecuación de la recta tangente en el punto de la curva definida por

las ecuaciones para métricas 1 3 sin ; 2 5 cosx t y t para el cual

1

6t

5 sin 5tan

3 cos 3

1 51 3

2 2

1 52 5 3 ; 3

2 9

tdyt

dx t

x

dyy

dx

27. Calcule

2 3

2 3; ;

dy d y d y

dx dx dx en el punto de la cicloide que tiene ecuaciones (2) para el

cuál y alcanza su valor máximo cuando x esta en el intervalo cerrado 0, 2 a .

sin

1 cos

tdy

dx t

2

22

1

1 cos

d y

dx a t

3

33 2

2 sin

1 cos

td y

dx a t

28. Demuestre que la pendiente de la recta tangente a la cicloide que tiene

ecuaciones (2) en 1

t t es 1

1cot

2t Después, deduzca que la recta tangente

es vertical cuando 2t n , donde n es cualquier número entero.

1 cos ; sin

sin 1cot

1 cos 2

dx dya t a t

dt dt

tdyt

dx t

2

1lim cot

2t a

t

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29. Calcule el área de la región sombreada limitada por el eje x y un arco de la cicloide que tiene las ecuaciones (2).

22 2

2

0 0

22

0

2

1 cos

11 2 cos 1 cos 2

2

3

a a

A ydx a a t dt

a t t dt

a

30. Determine el centroide de la región del ejercicio 29.

32 2

3

0 0

32

2 3 3

0

1 11 cos

2 2

51 3 cos 3 cos cos

2 2

5

6

a a

x

x

M ydx a t dt

at t t dt a

My a

A

31. La ecuaciones para métricas para la trocoide son

sin ; cosx at b t y a b t (a) si a>b>0, demuestre que la trocoide no tiene

ninguna recta tangente vertical. Trace la trocoide en la graficadora para

,t si (b) a=3 y b=1, y (c) a=1, b=3. Dibuje la que muestra la pantalla de la

graficadora. Verifique que para el dibujo del inciso (b) donde a>b, la trocoide no tiene ninguna recta tangente vertical mientras que el inciso (c) donde a<b, la trocoide tiene dos rectas tangentes verticales.

32. Una hipocicloide es la curva descrita por un punto P de una circunferencia de radio B que rueda dentro de una circunferencia de radio b que rueda dentro de una circunferencia fija de radio a, a>b. Si el origen está en el centro de la circunferencia fija , A(a,0) es uno de los puntos en los que el punto P hace contacto con la circunferencia fija, B es el punto móvil de tangencia de las dos circunferencias, y el parámetro t es el numero de radianes del ángulo AOB, demuestre que las ecuaciones para métricas de la hipocicloide son

cos cosa b

x a b t b tb

y sin sina b

y a b t b tb

33. Trace en la graficadora la hipocicloide del ejercicio 32 si (a) a=6 y b=2 para

,t (b) a=12 y b=2 ,t . Dibuje lo que muestra la pantalla de la

graficadora. ¿Cuántas cúspides tiene la hipocicloide en cada caso?

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34. Trace en la graficadora la hipocicloide del ejercicio 32 si (a) a=8 y b=7 para

8 , 8t (b) a=8 y b=3 4 , 4t . Dibuje lo que muestra la pantalla de la

graficadora. ¿Cuántas cúspides tiene la hipocicloide en cada caso?

35. Si a=4b en el ejercicio 32, se tiene una hipocicloide de cuatro cúspides. (a)

Demuestre que las ecuaciones para métricas de esta curva son 3 3

cos ; sinx a t y a t . Trace en la graficadora la hipocicloide de cuatro

cúspides si (b) a=4 para ,t , y (c) a=8 para ,t . Dibuje lo que

muestra la pantalla de la graficadora.

3 3 3

3 3 3

3 cos cos 3 3 cos 4 cos 3 cos 4 cos cos

3 sin sin 3 3 sin 3 sin 4 sin 4 sin sin , ,

x b t t b t t t b t a t

y b t t b t t t b t a t t

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36. (a) A partir de las ecuaciones para métricas del ejercicio 35, obtenga una

ecuación cartesiana de la hipocicloide de cuatro cúspides. (b) Utilice la ecuación cartesiana del inciso (a) para dibujar la grafica de esta hipocicloide.

3 3

2 / 3 2 / 3 2 / 3 2 2 / 3 2

2 / 3 2 2 2 / 3

2 / 3 2 / 3 2 / 3

cos ; sin

cos sin

cos sin

x a t y a t

x y a t a t

a t t a

x y a

37. En el ejercicio 44 de la sección 7.3, se definió la tractriz como la curva tal que la

longitud del segmento de toda recta tangente desde el punto de tangencia al punto de intersección con el eje x es una constante positiva a. En ese ejercicio se obtuvo la ecuación cartesiana de la tractriz

2 2

2 2ln

a a yx a a y

y

(a) Demuestre que las ecuaciones para métricas de la tractriz son

tanh ; sect t

x t a y a ha a

a)

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

sec ; sec 1 sec tanh tanh

tanh

ln ln tanh ln cosh sinh tanh

sec

t t t t ty a h a y a a h a h a a

a a a a a

ta a

a a y t t t tax a a y a a a a

ty a a a aa h

a

/ln tanh tanh

t a t ta e a t a

a a

b) 4a

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38. Demuestre que el parámetro t de las ecuaciones para métricas de la tractriz ( vea el ejercicio 37) es la intercepción x de la recta tangente.

2 2

2

1

tanh ; sec

1 sec tanh

tanh

tanh sec

sec tanh

t tx t a y a h

a a

dx t th

dy a a

tdx

y t t adtx x x y t a a h t

dy dy t ta ah

dx dt a a

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EJERCICIO 9.2

En los ejercicios 1 a 14, calcule la longitud de arco exacta de la curva definida por el

conjunto dado de ecuaciones para métricas. Trace la curva en la graficadora y observe si

la longitud de arco aparente que se muestra en la grafica apoya la respuesta.

1. 2 21 1

, ; 0; ; 12 2

x t t y t t t a t

1 1 1 12 22 2 2 2

0 0 0 0

1

2 2

0

1 1 2 2 2 1

1 1 22 1 ln 1 1 ln 1 2

2 2 2

L x y dt t t dt t dt t dt

t t t t

2. 2

3 , 2 ; 0 3x t y t t a t

33 3 3 1 / 2 3 / 2

2 2 2 2 2

0 0 00

6 1 3 1 2 1

20 10 2

L x y dt t t dt t t

3. 2 2

2 , 2 ; 0 2x t t y t t t a t

2 2 12 22 2 2

0 0 0

2

2 2

0

2 2 2 2 2 2 1

1 12 2 1 ln 1 2 10 2 ln 2 5

2 2

L x y dt t t dt t dt

t t t t

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4. 3 2, 3 ; 2 0x t y t t a t

0 02 22 2

2 2

84 3 / 2

2 2

84

3 6 3 4

34 4 16 2 8

2

L t t dt t dt

L t dt t

5. 2 3

2 ; 2 ; 1 ; 2x t y t t t

22 2 2 3 / 2

2 2 2 4 2 2 3 / 2 3 / 2

0 0 00

216 36 2 4 9 4 9 40 13

2L x y dt t t dt t t dt t

; cosh ; 0 ; 3x t y t t t

3 3 3 32 2 2

00 0 01 sinh cosh sinh sinh 3L x y dt t dt t dt t

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6. 2 2

3 ; 4 ; 0; ln | 5 |t t

x e y e t t

ln 5 ln 5 ln 5 ln 52 2 4 4 2 2

00 0 036 64 10 5 120

t t t tL x y dt e e dt e dt e

7. 2 2

3; 3 1; 4x t y t t t

44 4 42 2 2 2 2 2

1 1 1 1

4 36 40 10 15 10L x y dt t t dt t dt t

8. cos ; sin ; 0; 1t t

x e t y e t t t

11 1 12 2 2 2 2

0 0 0 0

2 cos sin 2 2 2 1t t t

L x y dt t t e dt e dt e e

Page 18: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

9. ln sin ; 1; ;6 2

x t y t t t

/ 2/ 2 / 22 2

/ 6 / 6 / 6

csc ln csc cot ln 2 3L x y dt t dt t t

10. 1 21

tan ; ln 1 ; 0; 12

x t y t t t

2 11 1

2 2 2

20 0 2 0

1ln 1 ln 1 2

1

tL x y dt dt t t

t

11. 2 cos sin ; 2 sin cos ; 0;3

x t t t y t t t t t

2 / 32 2 2 2 2 2

0 0

12 cos sin

9L x y dt t t t dt

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12. 4 sin 2 ; 4 cos 2 ; 0;x t y t t t

2 2 2 2

00 0 064 cos 2 64 sin 2 8 8 8L x y dt t t dt dt t

13. cos ; sin ; 0;t t

x e t y e t t t

2 2

0 0 0

2 2 2 1t t

L x y dt e dt e e

En los ejercicios 15 a 22, utilice NINT en la graficadora para obtener un valor aproximado

con cuatro dígitos significativos de la longitud de arco de la curva definida por las

ecuaciones para métricas dadas.

14. 2

2, 4 ; 0 3x t y t t t a t

3 3 22 2

0 01 8 1 39.194 39.19L x y dt t dt

15. 2

2 3 , 2 1; 1 2x t t y t t a t

2 2 22 2

1 14 3 4 9.223L x y dt t dt

16. 3 cos , 2 sin ; 02

x t t t a t

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/ 2 / 2 2 22 2

0 03 sin 2 cos 3.966L x y dt t t dt

17. 2 sec , 3 tan , 04

x t y t t a t

/ 4 / 4 222 2 2

0 02 sec tan 3 sec 3.138L x y dt t t t dt

18. 3

8 tan , 6 sec ,4

x t y t t a t

/ 4 2 22 2 2

0 3 / 48 sec 6 sec tan 8.462L x y dt t t t dt

19. , ln , 1 5t

x e y t t a t

25 5 2

2 2

1 1

1145.8

tL x y dt e

t

20. 2 2

4 , 4 , 4 4x t y t t t a t

4 4 2 22 2

4 42 2 4 55.31L x y dt t t dt

21. 3

3 , 4 , 1 1x t y t t a t

1 12 2 4

1 19 144 10.96L x y dt t dt

22. Calcule la longitud de la hipocicloide completa de cuatro cúspides 3 3

cos ; sinx a t y a t

/ 2 / 2 / 22 2 2 2 2 2 2 2

00 04 9 cos sin cos sin 6 sin 6L x y dt a t t t t dt a t a

23. Calcule la longitud de un arco de la cicloide sin ; 1 cosx a t t y a t

2

2

2 22 2

0 0

0

14 sin 2 sin

2 2

2 sin 4 cos 82 2

ta t a

t tL x y dt a dt a a

24. Calcule la longitud de la tractriz tanh ; sect t

x t a y a ha a

desde t=a a

t=2ª

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2 2 222 2 2 2 2 2

1 1 11 sec sec tanh tanhL x y dt a h t t t dt a t dt

22

1 1

tanh ln cosh ln cosh 2 ln cosh 1a t dt a t a

25. Determine la distancia recorrida por una tachuela clavada en la llanta de una

rueda de bicicleta si su radio es de 40cm y la bicicleta recorre una distancia de 50

m.

2 22 2 2 2

0 0

2 2

0 0

2

0

62.5 62.5 0.4 1 2 cos cos sin

125 2 2 cos 25 2 1 cos

2

50 sin 2002

L x y dt t t t

t dt t dt

tdt

26. (a) Demuestre que la curva definida por las ecuaciones para métricas

sin ; cos ;x a t y b t a b es una elipse.

(b) Si C es la longitud de la elipse del inciso (a), demuestre que

/ 22 2

04 1 sinC a k tdt donde

2 2

2

21

a bk

a. Esta integral se denomina

integral elíptica y no puede evaluarse exactamente en términos de funciones

elementales.

a)

2 2

2 2

2 2

2 2

sin cos

1

x yt t

a b

x y

a b

b) / 2 / 2 / 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0

/ 2 / 22 2 2 2 2 2

0 0

2 2

2

2

4 4 cos sin 4 1 sin sin

4 sin 4 1 sin

1

C x y dt a t b t dt a t b t dt

a a b t dt a k t dt

a bk

a

27. (a) Utilice la fórmula del ejercicio 27(b) y NINT en la graficadora para determinar

la longitud de la elipse definida por las ecuaciones para métricas.

5 sin ; 4 cosx t y t

(b) Trace la elipse en la graficadora. Apoye la respuesta del inciso (a)

determinando los perímetros del rombo inscrito y del rectángulo circunscrito en

la elipse y mostrando que la longitud de la elipse está entre estos dos perímetros.

Page 22: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

a)

/ 22 2

0

2 2

2

2

2 2

2

/ 22

0

4 1 sin

5; 4

5 4 9

25 25

94 5 1 sin 28.36

25

C a k t dt

a bk

a

a b

k

C t dt

b)

16 25 41 4 41 25.6

4 5 9

4 * 9 36

Page 23: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

EJERCICIOS 9.3

En los ejercicios 1 a 4, ubique los puntos que tienen el conjunto dado de coordenadas polares.

1.

a) 3,6

b) 2

2,3

c) 1,

d) 5

4,4

e) 11

5,6

2.

a) 4,3

b) 3

3,4

c) 7

1,6

d) 3

2,2

e) 5

5,3

3.

a) 1,4

b) 5

3,6

c) 1,4

d) 5

3,6

e) 1

2,2

4.

Page 24: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

a) 2

5,3

b) 7

2,6

c) 2

5,3

d) 7

2,6

e) 5

4,4

En los ejercicios 5 y 6, obtenga las coordenadas cartesianas rectangulares de los puntos cuyas coordenadas polares se indican.

5.

a) 3,

3 cos , 3 sin º 3, 0 º

b) 3

2 ,4

3 3 2 22 cos , 2 sin , 1,1

4 4 2 2

c) 2

4,3

24 cos , 4 sin 2, 2 3

3 3

d) 7

1,6

3 1cos , sin ,

6 6 2 2

6.

a) 2,2

2 cos , 2 sin 0, 22 2

b) 1,4

1 1cos , sin 2 , 2

4 4 2 2

Page 25: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

c) 7

2,6

5 52 cos , 2 sin 3 ,1

6 6

d) 7

2,4

7 72 cos , 2 sin 2 , 2

4 4

En los ejercicios 7 y 8, obtenga un conjunto de coordenadas polares de los puntos cuyas

coordenadas cartesianas rectangulares se proporcionan. Considere r>0 y 0 2

7.

a) 1, 1

1

2

7tan 1 2

4

72 ,

4

r

b) 3 ,1

2

1 3tan

63

32,

6

r

c) 2, 2

1

2 2

tan 14

2 2 ,4

r

d) 5, 0

5,

8.

a) 3, 3

1

3 2

tan 1

73 2 ,

4

r

b) 1, 3

Page 26: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

2

2tan 3

3

22,

3

r

c) 0, 2

1

2

2 3tan

0 2

32,

2

r

d) 2, 2 3

1

4

4tan 3

3

44,

3

r

En los ejercicios 9 a 12, obtenga una ecuación cartesiana de la gráfica que tiene la ecuación polar indicada.

9. 2

2 sin 2r

22 sin 2 4 sin cosr r

24 2 2

4 sin cos 4r r r x y xy

10. 2

cos 2 10r

2 2 2

2 2

cos sin 10

10

r

x y

11. cos 1r

1x

12. 2 sin 3r

4 3 3 3

2 32 2

2 2 2

22 2 2 2 3

4 4 2 2 2 3 0

6 sin 8 sin 3

6 sin 8 sin

6 sin 8 sin

sin

6 8

2 6 2

r

r r r

r r r r

r x y

r y

x y x y y y

x y x y x y y

Page 27: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

EJERCICIOS 10.1 En los ejercicios 1 a 4, (a) dibuje la representación de posición del vector A y también la representación particular que pasa por el punto P, (b) Calcule el módulo de A.

1. 3, 4 ; 2,1A P

a)

Sea ,Q x y2 3 5

1 4 5

x x

y y 5, 5Q

b) 2 2

3 4A2 2

3 4 9 16 25 5 5A A

2. 2, 5 ; 3, 4A P

a)

Sea ,Q x y3 2 5

4 5 9

x x

y y 5, 9Q

b) 2 2

2 5 4 25 29 29A A

3. 1

, ; 2,2

A e P e

Page 28: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

a) Sea ,Q x y

2 2

1 1

2 2

x e x e

y e y e

12,

2Q e e

b)

2

2 2 21 1 1

2 4 4A e e A e

4. 4, 0 ; 2, 6A P

a) Sea ,Q x y 2 4 6

6 0 6

x x

y y 6; 6Q

b) 2 2

4 0 16 4A A

En los ejercicios 5 y 6 obtenga la medida exacta en radianes del ángulo director del vector. En el inciso (c) aproximadamente la medida a centésimos del radian.

5. ( ) 1; 1a 3; 0b 5; 2c

(a)

Page 29: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

1 7

tan 1;1 4

(b)

0

tan 0;3

(c)

2 2

tan 0, 4; arctan 0.385 5

6. 3;1a 0; 4b 3; 2c

(a)

Page 30: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

1 1

tan ;63

(b)

4 1

tan ;0 2

(c)

2 2

tan ; arctan 2.553 3

En los ejercicios 7 a 10, obtenga el vector A que tiene al segmento dirigido PQ como

una representación. Dibuje PQ y la representación de posición de A

7. 3, 7 ; 5, 4P Q

5 3; 4 7 2, 3v PQ

8. 5, 4 ; 3, 7P Q

3 5; 7 4 2, 3A

Page 31: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

9. 5, 3 ; 0, 3P Q

0 5; 3 3 5, 6v PQ

10. 2 , 0 ; 0, 0P Q

0 2 ; 0 0 2 , 0v PQ

En los ejercicios 11 a 14 determine el punto S de modo que PQ y RS sean

representantes del mismo vector

11. 2, 5P ; 1, 6Q ; 3, 2R

1, 6 2, 5 3, 2 4, 3S

12. 2, 0P ; 3, 4Q ; 4, 2R

3 2 4, 4 0 2 3, 2S

13. 0, 3P ; 5, 2Q ; 7, 0R

5, 2 0, 3 7, 0 12, 5S

14. 1, 4P ; 2, 3Q ; 5, 2R

2, 3 1, 4 5, 2 2, 9S

En los ejercicios 15 y 16, calcule la suma del par de vectores e ilústrela geométricamente

15. 2, 4 , 3, 5a 3, 0 , 4, 5b

(a) 2, 4 3, 5 2 3, 4 5 1, 9

(b) 3, 0 4, 5 3 4, 0 5

16. 0, 3 , 2, 3a 2, 3 , 2 , 1b

(a) 0, 3 2, 3 0 2, 3 3 2, 6

(b) 2, 3 2 , 1 2 2 , 2

En los ejercicios 17 y 18, reste el segundo vector del primero e ilustre la diferencia geométricamente.

17. 3, 4 , 6, 0a 1, , 3, 2b e e

(a) 3, 4 6, 0 3 6, 4 0 9, 4

(b) 1, 3, 2 1 3, 2 4,e e e e e

18. 0, 5 , 2, 8a 3, 7 , 3, 7b

Page 32: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

(a) 0, 5 2, 8 0 2, 5 8 2, 3

(b) 3, 7 3, 7 0

En los ejercicios 19 y 20, determine el vector o escalar si

2, 4 , 4, 3 , 3, 2A B C

19. a A B b C B 7c A B

(a) 2, 4 4, 3 6,1A B

(b) 2 2

3, 2 4, 3 7, 5 7 5 74C B

(c) 2 2

7 7 2, 4 4, 3 14, 28 4, 3 10, 31 10 31 1061A B

20. a A B b C 2 3c A B

(a) 2, 4 4, 3 2 4, 4 3 2, 7A B

(b) 2 2

3, 2 3 2 13C

(c) 22

2 3 2 2, 4 3 4, 3 4,8 12, 9 16, 1 16 1 257A B

En los ejercicios 21 a 24, obtenga el vector o el escalar si 2i+3jA y 4i jB

21. 5a A 6b B c A B d A B

(a) 5 2i+3j 10i+15j

(b) 6 4i j 24i+6j

(c) 2i+3j 4i j 6i+2jA B

(d) 2 2

6i+2j 6 2 36 4 40 2 10d A B

22. 2a A 3b B c A B d A B

(a) 2 2i+3j 4i 6j

(b) 3 4i j 12i 3 j

(c) 2i+3j 4i j 2i+4jA B

(d) 2 2

2i+4j 2 4 4 16 20 2 5A B

23. a A B 5 6b A B 5 6c A B

5 6d A B

(a) 22 2 2

2i+3j 4i j 2 3 4 1 13 17A B

(b) 5 2i+3j 6 4i j 10i 15 j 24i+6j = 14i 21j

(c) 2 2

5 6 14i 21j 14 21 96 441 637 7 13A B

Page 33: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

(d) 22 2 2

5 6 5 2 3 6 4 1 5 13 6 17A B

24. a A B 3 2b B A 3 2c B A

3 2d A B

(a) 22 2 2

2i+3j 4i j 2 3 4 1 13 17A B

(b) 3 2 3 4i j 2 2i+3j 12i 3j 4i 6 j 8i 9 jB A

(c) 2 2

3 2 8i 9 j 8 9 64 81 145B A

(d) 2 2 2 2

3 2 12i 3j 4i+6 j 12 3 4 6 153 52 3 17 2 13A B

En los ejercicios 25 y 26 4i+2jA , i+3jB y C=5i j

25. Obtenga

(a) 5 2 2A B C

5 4i+2j 2 i+3j 2 5i j -20i+10j 2i 6 j 10 2 j

20 2 10 i+ 10 6+2 j 28i 6 j

(b) 5 2 2A B C

2 2

28 6 784 36 820 2 205

26. Determine

(a) 3 2B A C

3 i+3j 2 4i+2j 5i j 3i+9j 8i 4 j 5i+j 6 j

(b) 3 2B A C

2

6 j 6 6

En los ejercicios 27 y 28 A 8i+5j y B 3i j

27. Determine un vector unitario que tenga la misma dirección que A+B

A+B= 8i+5j 3i j 11i+4j

2 2

A+B 11 + 4 121 16 137

11 4

U= i j137 137

28. Obtenga un vector unitario que tenga la misma dirección que A B

A B= 8i+5j 3i j 5i+6j

2 2

A B 5 + 6 25 36 61

Page 34: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

5 6

U= i j61 61

En los ejercicios 29 a 32, exprese el vector dado en la forma cos i+sin jr ,

donde r es el modulo y es el ángulo director. También obtenga un vector unitario que

tenga la misma dirección.

29. 3i 4 ja 2i 2 jb

(a) 22

3 4 9 16 25 5r

3 4

U = i j5 5

(b) 2 2

2 i j 2 1 1 2 2r

2 2 1 1

2i 2 j=2 2 i+ j 2 2 cos i+sin j2 2 4 4

2 2

U= i j2 2

30. 8i 6 ja 2 5i 4 jb

(a) 8 6

8i 6 j=10 i+ j10 10

4 4

U = i j5 5

(b) 1 2

2 5i 4 j=6 5i+ j3 3

1 2

U = 5i+ j3 3

31. 4i 4 3 ja 16ib

(a) 2

2

4i 4 3 j 4 4 3 16 48 64 8r

1 1 2 2

4i 4 3 j=8 i+ 3 j 8 cos i+sin j2 2 3 3

1 1

U = i+ 3 j2 2

(b) 2

16i 16 16r

16i=16 i+0j 16 cos i+sin j

U = i

Page 35: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

32. 3i 3 ja 2 jb

(a) 22

3i 3 j 3 3 3 2r

1 1 7 7

3i 3 j=3 2 i j 3 2 cos i+sin j4 42 2

1 1

U= i j2 2

(b) 2

2j 2 2r

1 1

2 j=2 0i j 2 cos i+sin j2 2

U=j

33. Si A 2i j , B 3i 2 j y C 5i 4 j . Determine los escalares h y k tales que

C A Bh k

5i 4 j= 2i j 3i 2 j 2 3 i+ 2 jh k h k h k

Planteando un sistema de ecuaciones, y resolviendo el sistema

2 3 5

2 5

h k

h k

2

3

h

k

34. Si A 5i 2 j , B 4i 3 j y C 6i 8 j determine los escalares h y k tales

que B C Ah k

4i 3 j= 6i 8 j 5i 2 j 6 5 i+ 8 2 jh k h k h k

Planteando un sistema de ecuaciones, y resolviendo el sistema

6 5 4

8 2 3

h k

h k

1

4

1

2

h

k

35. Si A i 2 j , B 2i 4 j , C 7i 5 j , demuestre que C no puede expresarse en

la forma A + Bh k , donde h y k son escalares.

7i 5 j= i 2 j 2i 4 j 2 i+ 2 4 jh k h k h k

Planteando un sistema de ecuaciones, y resolviendo el sistema

2 7

2 4 5

h k

h k

2 4 14

2 4 5

h k

h k

36. Dos fuerzas de 340lb y 475lb forman entres si un ángulo de 34.6º y se aplican a

un objeto en el mismo punto. Calcule (a) el módulo o intensidad de la fuerza resultante, y (b) el ángulo que forma la resultante con la fuerza de 475lb con aproximación de decimos de grado.

Page 36: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

(a)

1 2

A 475, 0 475lb

B , 340lbb b el ángulo entre A y B es 34.6 º

1

340 cos 34.6 280b

2

340 sin 34.6 193b

A+B= 475, 0 280,193 755,193

2 2

A+B 755 193 779 lb

(b)

193

tan 0, 2556755

1

tan 0, 2556 14.3º

El ángulo y la resultante es 779 lb ; 14.3º

37. Dos fuerzas de 60lb y 80lb forman entre si un ángulo de 30º y se aplican a un

objeto en el mismo punto. Obtenga (a) el módulo o intensidad de la fuerza resultante, y (b) el ángulo que forma la resultante con la fuerza de 60 lb con aproximaciones en grados.

(a)

A 60, 0 La fuerza

1 2

B , 80lbb b

1

2

80 cos 30 69.3

80 sin 30 40

b

b

2 2

A+B= 60, 0 69.3, 40 129.3, 40

A+B 129.3 40 135.3

(b)

40

tan 0, 309129.3

1

tan 0, 309 17 º

38. Una fuerza de 22 lb y otra de 34 lb se aplican a un objeto en el mismo punto y

forman un ángulo entre si. Si la fuerza resultante es de 46 lb. Determine con

aproximación de grados.

A 34, 0

B 22 cos , 22 sin

2 2 22

46 A+B 34 22 cos 22 sin

2 2

34 2 34 22 cos 22

Page 37: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

2 2 246 34 22

cos2 34 22

cos 0, 3182 71, 4º

39. Una fuerza de 112 lb y otra de 84 lb se aplican a un objeto en el mismo punto, y la

fuerza resultante es de 162 lb. Determine el ángulo formado por la resultante y la fuerza de 112 lb con aproximación de decimos de grados.

112a A

84b B

162c A B

2 2 2 2 2 2112 162 84

cos 0.8742 2 112 162

a c b

ac

29 .6

40. Un avión tiene una velocidad al aire de 350 mi/h. Para que el curso real del avión

sea el norte, su enfilamiento debe ser 340º. Si el viento sopla del oeste, (a) ¿cuál es la rapidez del viento? (b) ¿Cuál es la velocidad a tierra del avión?

1 2

1

2

O B ;

450º 340º 110º

350 cos 110 119.7

350 sin 110 119.7

0.328, 9

b b

b

b

C

(a)

1

119.7BC b

(b)

2

O C 328.9b

41. En el avión que tiene una velocidad al aire de 250 mi/h, el piloto desea volar al

norte, si el viento sopla hacia el esta a 60 mi/h, (a) ¿Cuál debe ser el enfilamiento del avión? (b) ¿Cuál sería la velocidad a tierra si el avión volase en este grupo?

(a) 1 60

360º sin 360º 13.9º 346º .1250

(b) 2 2

250 60 242.7 /v mi hr

42. Una lancha puede desplazarse a 15 nudos con respecto al agua. En un río, cuya

corriente es de 3 nudos hacia el oeste la lancha tiene un enfilamiento hacia el sur. ¿Cuál es la velocidad de la lancha con respecto a tierra y cual es su curso?

2 2

15 3 15.30v Nudos

Curso 1 3

180 tan 191.3115

43. Un nadador con una velocidad de nado de 1.5 mi/h con respecto al agua, parte de

la rivera sur de un río y se dirige al norte directamente a través del río, si la corriente del rio fluye hacia el oeste a 0.8 mi/h. (a) ¿En que dirección va el

Page 38: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

nadador? (b) ¿Cuál es la velocidad del nadador con respecto a tierra? (c) Si la distancia a través del río es de 1 milla, ¿Qué tan lejos, rio abajo, el nadador alcanza la otra orilla?

(a) 1 0.8

tan 28.11.5

(b) 2 2

1.5 0.8 1.7v

(c) 0.8

0 .531.5

44. Suponga que el nadador del ejercicio 43 desea llegar al punto ubicado

directamente al norte a través del rio. (a) ¿En que dirección debe dirigirse el nadador? (b) ¿Cuál será la velocidad respecto a tierra del nadador si elige esta dirección?

Sea el punto 1 2

,OB b b

y la dirección

1

2

0.8 1.5 cos

0.8cos 0.5333

1.5

1.5 sin 122.2 1.27

b

b

(a) 450 122.2 327.8

(b) La velocidad relativa 1 .27

45. Demuestre que si A es cualquier vector y c es cualquier escalar, entonces 0(A)=0

y c(0)=0

1 2

A= ,a a

1 2 1 2

0A=0 , 0 , 0 0a a a a

0 0, 0 0, 0 0, 0 0c c c c

46. Demuestre el teorema 10.1.8(ii)

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2

A+ B+C = , , , , ,a a b b c c a a b c b c

1 1 1 2 2 2

,a b c a b c

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2

, , , A+Ba b c a b c a a b b c c C

47. Demuestre el teorema 10.1.8 (iii) y (viii).

1 2

A= ,a a

1 2 1 2 1 2

A+0= , 0, 0 0, 0 ,a a a a a a

1 2 1 2 1 2

1A=1 , 1 ,1 , Aa a a a a a

48. Demuestre el teorema 10.1.8 (iv).

Page 39: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

1 2

A= ,a a

1 2

-A= ,a a

1 1 2 2

A+ A , 0, 0 0a a a a

49. Demuestre el teorema 10.1.8 (v)

1 2

A= ,a a

1 2 1 2 1 2 1 2A= cd , cd , cd da , da da , da c dAcd a a a a c c c

50. Demuestre el teorema 10.1.8 (vii)

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2A= , , , , ,c d c d a a c d a c d a ca da ca da ca ca da da

1 2 1 2, , A+dAc a a d a a c

51. Sean A= 2,-5 , B = 3 ,1 y C= -4,2

(a) Calcule A+ B+C e ilustre geométricamente.

A+ B+C 2,-5 3,1 -4,2 2, 5 1.3 1, 2

(b) Calcule A+B C e ilustre geométricamente.

A+B 2,-5 3,1 -4,2 5, 4 4, 2 1, 2C

52. Se dice que dos vectores son independientes si y solo si sus representaciones

de posición no son colineales. Además, se dice que dos vectores A y B forman

una base para el espacio vectorial 2

V si y solo si cualquier vector de 2

V puede

expresarse como una combinación lineal A y B. Se puede demostrar un teorema

que establece que dos vectores forman una base para el espacio vectorial 2

V si

son independientes. Muestre que este teorema se cumple para los dos vectores

2, 5 y 3, 1 haciendo lo siguiente: (a) verifique que los vectores son

independientes mostrando que sus representaciones de posición no son colineales; y (b) verifique que los vectores forman una base al mostrar que

cualquier vector 1 2i+ ja a puede expresarse como 2i+5 j 3i jc d , donde c y

d son escalares. Sugerencia: exprese c y d en términos de 1

a y 2

a

(a) A= 2, 5 O A

B= 3, 1 OB

(b) 1 2

2 5 3 2 3 5a b c d c d c di j i j i j i j

Page 40: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

1

2

2 3

5

a c d

a c d

1 2

3 2 3 5 17a a c c c

1 2

5 2 5 3 2 17a a d d d

1 2

13

17c a a

1 2

15 2

17d a a

53. Consulte las dos primeras oraciones del ejercicio 52. Se puede demostrar un teorema que afirma que dos vectores forman un teorema que afirma que dos

vectores forman una base para el espacio vectorial 2

V solo si son

independientes. Muestre que este teorema se cumple para los vectores 3, 2 y

6, 4 efectuando lo siguiente: (a) verifique que los vectores son dependientes

(es decir no son independientes) probando que sus representaciones de posición son colineales; (b) verifique que los vectores no forman una base tomando un vector particular y demostrando que no puede expresarse en la

forma 3i 2 j 6i+4jc d , donde c y d son escalares (es decir, no generan el

espacio vectorial).

C i j

c dC A B

3 2 6 4 3 6 2 4c d c d c di j i j i j i j

3 6 1

2 4 1

c d

c d

6 12 2

6 12 3

c d

c d

54. Un conjunto de vectores 1 2 3

, , , ...,n

V V V V se dice que es linealmente

dependiente si y solo si existen escalares 1 2 3

, , , ...,n

k k k k no todos cero, tales

que

1 1 2 2 3 3

...n n

k k k kV V V V

Demuestre que si 1

3 2V i j , 2

4V i j , 3

2 5V i j , entonces 1 2

,V V

y 3

V Son linealmente dependientes.

3 2 4 2 5 3 2 2 4 5 0a b a b a bi j i j i j i j

3 2

2 4 5

a b

a b

3

14a ,

19

14b

55. Sean PQ

una representación del vector A , Q R

una representación del vector

B , RS

una representación del vector C . Demuestre que si PQ

, Q R

y RS

son

los lados de un triangulo, entonces 0A B C .

Page 41: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

PQA V

, Q RB V

, RSC V

PQ QR RSV V V

0PQ QR RS PR RS PSA B C V V V V V V

56. Demuestre analíticamente la desigualdad del triángulo para vectores:

A B A B

1 2

,a aA ; 1 2

,b bB ; 1 1 2 2

,a b a bA B

2 22 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 22 2a b a b a a b b a a b bA B

2 22 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 22 2a a b b a b a b a b a bA B

2 2

1 1 2 22 a b a bA B

2 2

1 2 20a x b a x b

2 2 2 2 2

1 2 1 1 2 2 1 22 0a a x a b a b x b b

1 1

0a k b 2 2

0a k b

1 1

b ka 2 2

b ka

1 1 2 2

2 a b a b 2 2 2 2

1 2 1 24 0a a b b

2

2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2a b a b a a b b

2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2a b a b a a b b

22 2 2 2 22 2 2 2

1 2 1 22 2a a b bA B A B A B A B A B

A B A B

57. Explique la diferencia entre magnitud vectorial y magnitud escalar.

Page 42: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

EJERCICIOS 10.2

En los ejercicios 1 a 5, los puntos A y B son vértices opuestos de un paralelepípedo que tiene sus caras paralelas a los planos coordenados. En cada ejercicio, (a) dibuje la figura, (b) obtenga las coordenadas de los otros seis vértices, (c) calcule la longitud de la diagonal AB.

1. 0, 0, 0 ; 7, 2, 3A B

7, 2, 0 , 0, 0, 3 , 0, 2, 0 , 0, 2, 3 , 7, 0, 3 , 7, 0, 0b

2 2 2

7 0 2 0 3 0 49 4 9 62c AB

2. 1,1,1 3, 4, 2A B

1,1, 2 , 1, 4,1 , 1, 4, 2 , 3,1,1 , 3,1, 2 , 3, 4,1b

2 2 2

3 1 4 1 2 1 4 9 1 14c AB

3. 1,1, 2 2, 3, 5A B

2,1, 2 , 1, 3, 2 , 1,1, 5 , 2, 3, 2 , 1, 3, 5 , 2,1, 5b

2 2 2

2 1 3 1 5 2 9 4 9 22c AB

4. 2, 1, 3 4, 0,1A B

2 2 2

4 2 0 1 1 3 3AB

5. 1, 1, 0 ; 3, 3, 5A B

3, 1, 0 , 3, 3, 0 , 1, 3, 0 , 1, 3, 5 , 1, 1, 5 , 3, 1, 5b

2 2 2

3 1 3 1 5 0 4 16 25 45 3 5c AB

6. El vértice opuesto al rincón de una sala está a 18 pie al este, 15 pie al sur y 12 pie

por arriba del primer. (a) Dibuje la figura; (b) determine la longitud de la diagonal que une dos vértices opuestos; (c) obtenga las coordenadas de los ocho vértices de la sala.

(a) (b)

2 2 2 2 2 2

18 15 12 3 6 5 4 3 77d

En los ejercicios 7 a 11, determine (a) la distancia no dirigida entre los puntos A y B, y (b) el punto medio del segmento de recta que une a A con B

Page 43: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

7. 3, 4, 2 ; 1, 6, 3A B

(a) 2 2 2

3 1 4 6 2 3 4 4 1 9 3AB

(b) 1

3 1 2;2

x 1

4 6 5;2

y 1 5

2 32 2

z

8. 4, 3, 2 ; 2, 3, 5A B

(a) 2 2 2 2 2 2

2 4 3 3 5 2 6 6 7 11AB

(b) 1

4 2 12

x ; 1

3 3 02

y ; 1 3

2 52 2

z

9. 1

2, 4,1 ; , 2, 32

A B

(a)

2

2 21 9 1 132 4 2 1 3 36 4 169

2 4 2 2AB

(b) 1 1 1 1 5

2 , 4 2 , 1 3 , 1, 22 2 2 2 4

10. 1

2, , 5 ; 5,1, 42

A B

(a)

2

2 21 9 1 235 2 1 4 5 49 81 529

2 4 2 2AB

(b) 1 1 1 1 3 1 1

2 5 , 1 , 5 4 , ,2 2 2 2 2 4 2

11. 5, 2,1 ; 3, 7, 2A B

(a) 2 2 2

5 3 2 7 1 2 64 25 9 98 7 2AB

(b) 1 1 1 9 1

5 3 , 2 7 , 1 2 1, ,2 2 2 2 2

12. Demuestre que los tres puntos 1, 1, 3 ; 2,1, 7 y 4, 2, 6 son los vértices de

un triangulo, y calcule su área.

2 2 2

2 1 1 1 7 3 21AB

Page 44: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

2 2 2

4 2 2 1 6 7 6BC

2 2 2

4 1 2 1 6 3 27AC

2 2 2

AB BC AC 21 6 27

Área 2

bh

21 6 3 14

2 2

13. Se dibuja una recta que pasa por el punto 6, 4, 2 y que es perpendicular al

plano yz . Obtenga las coordenadas de los puntos de la recta que estan a una

distancia de 10 unidades del punto 0, 4, 0 .

, 4, 2x

2 2 2

0 4 4 2 0 10x

2

4 100x

2

96x

4 6x 4 6 , 4, 2 y 4 6 , 4, 2

14. Resuelva el ejercicio 13 si la recta se dibuja perpendicularmente al plano xy .

El punto 6, 4, z es 10 unidades de 0, 4, 0

2 2 2 26 0 4 4 0 10z

236 100z

264z

8z 6, 4, 8 y 6, 4, 8

15. Demuestre que los tres puntos 3, 2, 4 , 6,1, 2 y 12, 3, 6 son colineales

empleando la fórmula de la distancia

3, 2, 4A 6,1, 2B 12, 3, 6C

2 2 2

6 3 1 2 2 4 81 1 4 86AB

2 2 2

12 3 3 2 6 4 81 1 4 86AC

2 2 2

12 6 3 1 6 2 324 4 16 344 2 86BC

16. Determine los vértices del triángulo cuyos lados tienen los puntos medios en

3, 2, 3 , 1,1, 5 , 0, 3, 4

Sean los puntos medios 3, 2, 3D 1,1, 5E 0, 3, 4F

Los puntos vértices del triangulo 3, 2, 3 , 1,1, 5 , 0, 3, 4A B C

FA DE

a f e d

Page 45: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

3, 2, 3 0, 3, 4 1,1, 5 4, 2, 6a d e f

3, 2, 3 0, 3, 4 1,1, 5 2, 0, 4b d e f

3, 2, 3 0, 3, 4 1,1, 5 4, 4, 2c d e f

4, 2, 6 2, 0, 4 4, 4, 2A B C

17. Para el triángulo que tienen vértices 2, 5, 3 1, 7, 0A B y

4, 9, 7C calcule (a) la longitud de cada lado, y (b) los puntos medios de

cada lado.

(a)

2 2

2 1 5 7 3 0 9 144 9 162 9 2AB

2 2 2

2 4 5 9 3 7 36 196 16 248 2 62AC

2 2 2

1 4 7 9 0 7 9 4 49 62BC

(b)

1 1 1 1 3

2 1 , 5 7 , 3 0 ,1,2 2 2 2 2

AB

1 1 1

2 4 , 5 9 , 3 7 1, 2, 52 2 2

AC

1 1 1 5 7

1 4 , 7 9 , 0 7 , 8,2 2 2 2 2

BC

18. Demuestre el teorema 10.2.6.

1 1 2

P P P P

1 2 1

p p w p p

1 2

1p w p wp

Sea 1

2w

1 2 1 2 1 2

1 2

1, ,

2 2 2 2

x x y y z zp p p

19. Demuestre que cualquier ecuación de la forma

2 2 20x y z Gx Hy Iz J puede expresarse en la forma

2 2 2

x h y k z l k .

2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1

44 4 4 4

x Gx G y Hy H z lz l G H I j

Page 46: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

2 2 2

2 2 21 1 1 14

2 2 2 4x G y H z L G H I J

2 2 2

1x h y k z K

Cuando

1 1 1

, ,2 2 2

h G k H L

2 2 21

44

K G H L J

En los ejercicios 20 a 25, determine la gráfica de la ecuación.

20. 2 2 2

8 6 25 0x y z y z

2 2 2

8 16 6 9 25 16 9x y y z z

2 22

4 3 50x y z

21. 2 2 2

8 4 2 4 0x y z x y z

2 2 2

8 16 4 4 2 1 4 16 4 1x x y y z z

2 2 2

4 2 1 25x y z

Page 47: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

22. 2 2 2

3 2 0x y z x y z

2 2 21 1 9 1 1 9

3 24 4 4 4 4 4

x x y y z z

2 2 2

1 1 3 3

2 2 2 4x y z

23. 2 2 2

6 9 0x y z z

22 2

3 0x y z

24. 2 2 2

8 10 4 13 0x y z x y z

2 2 2

8 16 10 25 4 4 13 16 4x x y y z z

2 2 2

4 5 2 32x y z

Page 48: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

25. 2 2 2

6 2 4 19 0x y z x y z

2 2 2

6 9 2 1 4 4 19 9 1 4x x y y z z

2 2 2

3 1 2 5x y z

En los ejercicios 26 a 28, obtenga una ecuacion de la esfera que satisfase las condiciones iniciales.

26. Uno de los diámetros es el segmento de la recta que tiene extremos en 6, 2, 5

y 4, 0, 7 .

1 1 1

, ,A h k l y 2 2 2

, ,B h k l

, ,P x y z

APB

2 2 2

AP BP AB

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1x h y k z l x h y k z l h h k k l l

Page 49: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 0x h h x h h y k k y k k z l l z l l

6, 2, 5 4, 0, 7 6 4 2 0 5 7 0x x y y z z

27. Es concéntrica con la esfera que tiene la ecuación 2 2 2

2 8 9 0x y z y z ,

y tiene radio 3.

2 2 2

2 1 8 16 9 1 16x y y z z

2 22

1 4 26x y z

28. Contiene los puntos 0, 0, 4 , 2,1, 3 y 0, 2, 6 y su centro se encuentra en el

plano yz .

2 2 2

Gx Hy Lz J x y z

El centro es en el plano yz entonces 0G

2 2 2

Hy Lz J x y z

0, 0, 4 4 16

2,1, 3 3 14

0, 2, 6 2 6 40

I J

H I J

H I J

Resolviendo el sistema

12J 7I 5H

2 2 2

5 7 12x y z y z

En los ejercicios 29 a 34, 1, 2, 3A , 4, 3, 1B , 5, 3, 5C , y 2,1, 6D .

29. Calcule

a. 5A B

1, 2, 3 5 4, 3, 1 1, 2, 3 20, 15, 5 21, 13, 2

b. 7 5C D

7 5, 3, 5 5 2,1, 6 35, 21, 35 10, 5, 30 25, 26, 5

c. 7 5C D

7 5, 3, 5 5 2,1, 6 7 25 9 25 5 4 1 36 7 59 5 41

30. Calcule

a. 2 A C

2 1, 2, 3 5, 3, 5 2, 4, 6 5, 3, 5 7, 7,1

b. 2A C

Page 50: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

2 2 2 2 2 22 1 2 3 5 3 5 2 14 59

c. 4 6 2B C D

4 4, 3, 1 6 5, 3, 5 2 2,1, 6 16, 12, 4 30, 18, 30 4, 2, 12 10, 32,14

d. 4 6 2B C D

2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 4 3 1 6 5 3 5 2 2 1 6 4 26 6 59 2 41

31. Calcule

a. 3 8C D A

5, 3, 5 3 2,1, 6 8 1, 2, 3

5, 3, 5 6, 3,18 8, 16, 24 19, 16, 1

b. A B C D

1 4 9 16 9 1 3, 4, 1

2

14 26 3, 4, 1 2 7 13 3, 4, 1

2 91 3, 4, 1 6 91, 8 91, 2 91

32. Calcule

a. 3 2 12A B C D

3 1, 2, 3 2 4, 3, 1 5, 3, 5 12 2,1, 6

3, 6, 9 8, 6, 2 5, 3, 5 24, 12, 72

14, 3, 56

b. A C B D

2 2 2

1 2 3 14A 2 22

4 3 1 26B

14 5, 3, 5 26 2,1, 6 5 14 2 26 , 3 14 26 , 5 14 6 26

33. Determine los escalares a y b tales que

0a bA B C D

1, 2, 3 4, 3, 1 5, 3, 5 2,1, 6 0, 0, 0a b

5, 1, 2 7, 2,11 0, 0, 0a b

Formando un sistema

5 7 0

2 0

2 11 0

a b

a b

a b

Resolviendo el sistema se tienen 0 0a b

34. Determine los escalares a, b y c tales que

a b cA B C D

Page 51: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

1, 2, 3 4, 3, 1 5, 3, 5 2,1, 6a b c

Formando un sistema

4 5 2

2 3 3 1

3 3 5 6

a b c

a b c

a b c

Resolviendo el sistema se tienen

141 16 67, ,

129 129 129a b c

En los ejercicios 35 a 38, determine los cosenos directores del vector 1 2

P PV

y

verifique las respuestas al mostrar que la suma de sus cuadrados es 1.

35. 1 2

3, 1, 4 ; 7, 2, 4P P

1 2

7 3, 2 1, 4 4 4, 3, 8P PV

1 2

16 9 64 89P PV

4 3 8

cos , cos , cos89 89 89

2 2 2

cos cos cos 1

16 9 64

189 89 89

36. 1 2

2, 6, 5 ; 2, 4,1P P

1 2

2 2, 4 6,1 5 4, 2, 4P PV

1 2

16 4 16 6P PV

2 1 2

cos , cos , cos3 3 3

2 2 2

cos cos cos 1

4 1 4

19 9 9

37. 1 2

4, 3, 1 ; 2, 4, 8P P

1 2

2 4, 4 3, 8 1 6, 1, 7P PV

1 2

36 1 49 86P PV

6 1 7

cos , cos , cos86 86 86

2 2 2

cos cos cos 1

Page 52: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

36 1 49

186 86 86

38. 1 2

1, 3, 5 ; 2, 1, 4P P

1 2

2 1, 1 3, 4 5 1, 4, 1P PV

1 2

1 16 1 18 3 2P PV

1 2 1

cos 2 , cos 2 , cos 26 3 6

2 32 2

136 36 36

39. Utilice los puntos 1

P y 2

P del ejercicio 35 y obtenga el punto Q tal que

1 2 13P P P QV V

.

1 2 1

3 4, 3, 8 3 3, 1, 4P P P Q x y zV V

133 9 4

3

3 3 3 0

43 2 8

3

x x

y y

z z

El punto es 13 4

, 0,3 3

Q

40. Utilice los puntos 1

P y 2

P del ejercicio 38 y obtenga el punto R tal que

1 22P R P RV V

1 2 2

2 2 2r P r P r P

1 2

3 2 1, 3, 5 2 2, 1, 4 5,1,13r P P

5 1 13

, ,3 3 3

R

41. Dados 1

3, 2, 4P y 2

5, 4, 2P , determine el punto 3

P tal que

1 2 2 34 3P P P PV V

3

, ,P x y z

1 2 2 3

4 3P P P PV V

4 5 3, 4 2, 2 4 3 5, 4, 2x y z

32, 8, 24 3 15, 3 12, 3 6x y z

Formando un sistema

Page 53: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

3 15 32

3 12 8

3 6 24

x

y

z

Se tiene 17

3x ,

4

3y , 6z

3

17 4, , 6

3 3P

42. Dados 1

7, 0, 2P y 2

2, 3, 5P , determine el punto 3

P tal que

1 3 2 35P P P PV V

3 1 3 2

5P P P P

3 2 1

4 5P P P

3 2 1

1 15 3, 15, 27

4 4P P P

3

3 15 27, ,

4 4 4P

En los ejercicios 43 y 44, exprese el vector en términos de su modulo y de sus cosenos directores.

43. 6 2 3a i j k

Sea , , la dirección del ángulo del vector. a b cV i j k

cosa

V cos

b

V cos

c

V

cos cos cosV V i j k

36 4 9 49 7A

6 2 3

cos cos cos7 7 7

6 2 3

77 7 7

A i j k

2 3b i j k

4 1 9 14A

2 1 3

1414 14 14

A i j k

44. 2 2a i j k

4 4 1 9 3A

Page 54: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

2 2 1

33 3 3

A i j k

3 4 5b i j k

9 16 25 50 5 2A

3 4 5

5 25 2 5 2 5 2

A i j k

En los ejercicios 45 y 46, obtenga el vector unitario que tiene la misma dirección de

1 2P PV

45. 1

4, 1, 6a P y 2

5, 7, 2P

1 2

5 4, 7 1, 2 6 1, 8, 4P PV

1 2

1 64 16 81 9P PV

1 8 4

, ,9 9 9

U

1

2, 5, 3b P y 2

4, 7, 5P

1 2

4 2, 7 5, 5 3 2, 2, 2P PV

1 2

4 4 4 12 2 3P PV

1 1 1

, ,3 3 3

U

46. 1

3, 0, 1a P y 2

3, 8, 1P

1 2

3 3, 8 0, 1 1 6, 8, 0P PV

1 2

36 64 0 100 10P PV

3 4

, , 05 5

U

1

8, 5, 2b P y 2

3, 9, 4P

1 2

3 8, 9 5, 4 2 5, 4, 2P PV

1 2

25 16 4 45 3 5P PV

Page 55: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

5 4 2

, ,3 5 3 5 3 5

U

En los ejercicios 47 y 48, demuestre la propiedad si ,A B y C son tres vectores

cualesquiera de 3

V y c es cualquier escalar.

47.

1 2 3, ,a a aA

1 2 3, ,b b bB

a) A B B A

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

, , , ,a b a b a b b a b a b aA B B A

b) Existe un vector 0 en 3

V para el cual 0A A

0 0, 0, 0

1 2 3 1 2 3

0 0, 0, 0 , ,a a a a a aA A

c) Existe un vector A en 3

V tal que 0A A

1 1 2 2 3 3

, , 0, 0, 0 0a a a a a aA A

d) c c cA B A B

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

, , , ,c c a b a b a b c a b c a b c a bA B

1 1 2 2 3 3

, ,ca cb ca cb ca cb

1 2 3 1 2 3

, , , ,ca ca ca cb cb cb c cA B

48.

1 2 3

, ,a a aA 1 2 3

, ,b b bB 1 2 3

, ,c c cC

a) A B C A B C

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3, , , , , , , , , ,a a a b b b c c c a a a b c b c b cA B C

1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3, , , ,a b c a b c a b c a b c a b c a b c

1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , , , , ,a b a b a b c c c a a a b b b c c c

A B C

b) cd c dA A

1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , ,cd cd a a a cd a cd a cd a c da c da c daA

1 2 3, ,c da da da c dA

Page 56: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

c) c d c dA A A

1 2 3 1 2 3, , , ,c d c d a a a c d a c d a c d aA

1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3, , , , , ,ca da ca da ca da ca ca ca da da da

1 2 3 1 2 3, , , ,c a a a d a a a c dA A

49. Demuestre mediante geometría analítica que las cuatro diagonales que unen los

vértices opuestos de un paralelepípedo se bisecan mutuamente.

50. Si P, Q, R y S son cuatro puntos del espacio tridimensional y A, B, C y D son los

puntos medios de PQ , QR , R S y SP , respectivamente, demuestre mediante

geometría analítica que ABC D es un paralelogramo.

Si , , ,P Q R S

3R

, , ,A B C D corregir

PQ , QR , R S y SP

1 1 1 1, , ,

2 2 2 2a b c dp q q r r s s p

1

2A B b a r p c d D C

51. Demuestre mediante geometría analítica que las cuatro diagonales de un

paralelepípedo rectangular tienen la misma longitud.

0, 0, 0 , , , , , , 0 , , 0, 0 , 0, , , , 0, , 0, , 0a b c a b a b c a c bA B C H G E F

2 2 2 2 2 20 0 0a b c a b cAB

2 2 2 2 2 20 0 0a b c a b cCH

2 2 2 2 2 20 0 0a b c a b cDG

2 2 2 2 2 20 0 0a b c a b cEF

52. Se dice que tres vectores en 3

V son independientes si y solo si sus

representaciones de posición no están en un plano; también se dice que tres

vectores 1 2,E E y

3,E forman una base para el espacio vectorial si y solo si

cualquier vector de 3

V puede expresarse como una combinación lineal de 1 2,E E

y 3,E . Se puede transformar un teorema que establece que tres vectores

Page 57: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

forman una base para el espacio vectorial 3

V si son independientes. Muestre que

este teorema se cumple para los tres vectores 1, 0, 0 , 1,1, 0 y 1,1,1 haciendo

lo siguiente:

a Verifique que los vectores son independientes demostrando que sus

representaciones de posición no son coplanares; b verifique que los vectores

forman una base probando que cualquier vector A puede expresarse como

1, 0, 0 1,1, 0 1,1,1r s tA 10

Donde ,r s y t son escalares. c Si 6, 2, 5A determine los valores

particulares de ,r s y t , tales que cumple (10)

53. Consulte el ejercicio 52. (a) Verifique que los vectores 2, 0,1 , 0, 1, 0 y

1, 1, 0 forman una base para 3

V al demostrar que cualquier vector puede

expresarse como

2, 0,1 0, 1, 0 1, 1, 0r s tA 11

Donde ,r s y t son escalares. (b) Si 2, 3, 5A determine los valores

particulares de ,r s y t , tales que cumple (11)

a)

Sea , ,a b cA

2, 0,1 0, 1, 0 1, 1, 0 , ,r s t a b c

2

2

2

r t a

s t b

r c

t a c

s c a b

, , 2, 0,1 2 0, 1, 0 2 1, 1, 0a b c c c a b a c

b)

2, 3, 5a b c

5

2 5 2 3 9

2 2 5 12

r

s

t

54. Refiérase al primer enunciado del ejercicio 52. Se puede demostrar un teorema

que afirma que tres vectores de 3

V forman una base para el espacio 3

V solo si

son independientes. Muestre que este teorema es válido para los tres vectores

1 21, 0,1 , 1,1,1F F y

32,1, 2F realizando lo siguiente: (a) Verifique

que 1 2 3

, ,F F F no son independientes al demostrar que sus representaciones de

posición son coplanares: (b) verifique que los vectores no forman una base

Page 58: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

probando que no todo vector de 3

V puede expresarse como una combinación

lineal de 1 2 3

, ,F F F (es decir no generan el espacio vectorial)

a) 3 1 2

F F F

b) 1, 0,1 1,1,1 1,1,1 , ,r s t a b c

2

2

r s t a

s t b

r s t c

55. Demuestre el teorema 10.2.14

31 21 1

1aa a

U i j k A U AA A A A A

Por que 1

0A

56. Si las medidas en radianes de los ángulos directores de un vector son iguales, ¿cuál es la medida de cada uno? Explique como llego la respuesta.

2 2 2cos cos cos 1

2 1cos

3

1cos

3

1 1cos

3

Page 59: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

EJERCICIOS 10.3

En los ejercicios 1 a 4 calcule A B

1.

a) 1, 2 , 4, 3A B

1, 2 4, 3 1 4 2 3 10

b) 2 , 3A i j B i j

2 3 2 1 1 3 1i j i j

2.

a) 1 1 5 4

, , ,3 2 2 3

A B

1 1 5 4 1 5 1 4 1, ,

3 2 2 3 3 2 2 3 6

b) 2 ,A i B i j

2 2 1 0 1 2i i j

3.

a) 2 1 3 1 3 1

, , , , ,5 4 2 2 5 2

A

2 1 3 1 3 1 2 1 1 3 3 1 2, , , ,

5 4 2 2 5 2 5 2 4 5 2 2 5

b) 3 2 , 3A j k B i j k

3 2 3 0 1 3 1 2 3 9j k i j k

4.

a) 4, 0, 2 , 5, 2, 1A B

4, 0, 2 5, 2, 1 4 5 0 2 2 1 18

b) 3 2 , 6 7 2A i j k B i j k

3 2 6 7 2 3 6 2 7 1 2 6i j k i j k

5. Demuestre que 1, 0i i i k y 0j k

1, 0, 0 1, 0, 0 1 1 0 0 0 0 1

1, 0, 0 0, 0,1 1 0 0 0 0 1 0

0,1, 0 0, 0,1 0 0 1 0 0 1 0

i i

i k

j k

6. Demuestre que 1, 0j j k k e 0i j

0,1, 0 0,1, 0 0 0 1 1 0 0 1

0, 0,1 0, 0,1 0 0 0 0 1 1 1

1, 0, 0 0,1, 0 1 0 0 1 0 0 0

j j

k k

i j

Page 60: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

En los ejercicios 7 a 10, demuestre el teorema para vectores de 3

V

Sea 1 2 3 1 2 3 1 2 3

, , , , , , , ,a a a b b b c c cA B C

7. Teorema 10.3.2(i)

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , , ,a a a b b b a b a b a b b a b a b a b b b a a aA B B A

8. Teorema 10.3.2(ii)

1 2 3 1 1 2 2 3 3, , , ,a a a b c b c b cA B C

1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

a b c a b c a b c

a b a c a b a c a b a c

a b a b a b a c a c a c

A B A C

9. Teorema 10.3.3(i)

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3, , , ,c c a a a b b b c a b a b a bA B

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 2 3, , , ,

c a b c a b c a b

ca b ca b ca b

ca ca ca b b b cA B

10. Teorema 10.3.3(ii), (iii)

Teorema 10.3.3 (ii) 0 0A

1 2 3 1 2 30 0, 0, 0 , , 0 0 0 0a a a a a aA

Teorema 10.3.3 (iii) 2

A A A

22 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , ,a a a a a a a a aA A A

En los ejercicios 11 y 12, si es el ángulo entre A y B , calcule cos

11.

a) 4, 3 , 1, 1A B

4 3 1A B

16 9 5

1 1 2

A

B

Page 61: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

1 1cos 2

105 2

A B

A B

b) 5 12 , 4 3A i j B i j

20 36 16

25 144 13

16 9 5

16 16cos

13 5 65

A B

A

B

A B

A B

12.

a) 2, 3 , 3, 2A B

2 3 3 2 6

4 9 13

9 4 13

6 6cos

1313 13

A B

A

B

A B

A B

b) 2 4 , 5A i j B j

2 0 4 5 20

4 16 20 2 5

0 25 5

20 2cos 5

52 5 5

A B

A

B

A B

A B

13. Determine el valor de k tal que la medida en radianes del ángulo entre los

vectores del ejemplo 2 sea 1

4

3 2 , 2 kA i j B i j

1

cos4

A B A B

2

2 2

2

16 2 13 4 2

2

72 48 8 52 3

5 48 20 0

5 2 10 0

210

5

k k

k k k

k k

k k

k k

14. Sean 2kA i j y 6kB i j , donde k es un escalar. Obtenga el valor de k tal

que A y B sean ortogonales.

Page 62: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

A y B son ortogonales 2

0 2 6 12k k ki j i j

12 2 3

15. Sean 5 kA i j y 6kB i j , donde k es un escalar. Obtenga el valor de k tal

que (a) A y B sean ortogonales, y (b) A y B sean paralelos.

a)

A y B son ortogonales 0 5 6 0 0k k k

b)

2

5 6

5

6

5 6

a

a k k

a k

ak

a

A B

i j i j

Ningún valor de k

16. Determine el valor de k tal que los vectores del ejercicio 14 tengan direcciones

opuestas.

2 , 6k kA i j B i j

2 6 6

16 2

3

1 0

1 0 0

c

k c k ck c

c c

k ck

c k

c k

A B

i j i j i j

17. Si 8 4A i j y 7 6B i j , calcule (a) la proyección escalar de A sobre B , y

(b) el vector proyección de A sobre B .

8 7 4 6 80

64 16 4 5

49 36 85

A B

A

B

a) 80

85B

A BA

B

b) 2

80 112 907 6

85 17 17B

A BA B i j i j

B

18. Para los vectores del ejercicios 17, (a) obtenga la proyección escalar de B sobre

A y, (b) el vector proyección de B sobre A .

a) 80

4 54 5

A

A BB

A

Page 63: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

b) 80

8 4 8 480

A

A BB A i j i j

A

19. Determine la componente del vector en la dirección del vector 5 6A i j en la

dirección del vector 7B i j

BA

35 6 29 292

1049 1 50

A B

B

20. Para los vectores A y B del ejercicio 19, calcule la componente de en la

dirección de B en dirección de A .

5 6 7 5 7 6 1 29

5 6 25 36 61A

i j i jA BB

A i j

En los ejercicios 21 a 26, 4, 2, 4 ; 2, 7, 1 ; 6, 3, 0A B C y 5, 4, 3D

21. Obtenga

a) A B C

4, 2, 4 2, 7, 1 6, 3, 0 4, 2, 4 8, 4, 1 32 8 4 44

b) A B C D

4, 2, 4 2, 7, 1 6, 3, 0 5, 4, 3 8 14 4 30 12 0

26 18 468

c) A D B C

4, 2, 4 5, 4, 3 2, 7, 1 6, 3, 0

20 8 12 12 21 0 40 9 31

d) D B A D A B

5, 4, 3 2, 7, 1 4, 2, 4 5, 4, 3 4, 2, 4 2, 7, 1

10 28 3 4, 2, 4 20 8 12 2, 7, 1

41 4, 2, 4 40 2, 7, 1

164, 82,164 80, 280, 40 84,198,124

22. Obtenga

a) A B A C

4, 2, 4 2, 7, 1 4, 2, 4 6, 3, 0

8 14 4 24 6 0 44

b) A B B C

4, 2, 4 2, 7, 1 2, 7, 1 6, 3, 0

8 14 4 12 21 0 26 9 234

Page 64: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

c) A B C B C D

4, 2, 4 2, 7, 1 6, 3, 0 2, 7, 1 6, 3, 0 5, 4, 3

26 6, 3, 0 9 5, 4, 3 201, 42, 27

d) 2 3 4A B C D

8, 4, 8 6, 21, 3 24, 12, 0 5, 4, 3 2,17, 5 19, 16, 3 295

23. Calcule (a) cos si es el ángulo entre A y C ; (b) la componente de C en la

dirección de A ; (c) el vector proyección de C sobre A

4, 2, 4 6, 3, 0 24 6 0 18

16 4 16 6

36 9 0 45 3 5

A C

A

C

a) 18 1

cos56 3 5

A C

A C

b) 2

184, 2, 4 2,1, 2

36A

A CC A

A

24. Determine (a) cos si es el ángulo entre B y D ; (b) la componente de B

en la dirección de D ; (c) el vector proyección de B sobre D .

2, 7, 1 4 49 1 54

5, 4, 3 25 16 9 50

2, 7, 1 5, 4, 3 2 5 7 4 2 1 1 41

B

D

B D

a) 41 41

cos 39054 50

B D

B D

b) 41 41

21050

D

B DB

D

c) 2

41 41 82 1235, 4, 3 , ,

50 10 25 50D

B DB D

D

25. Obtenga (a) la proyección escalar de A sobre B ;(b) el vector proyección de A

sobre B .

4, 2, 4 2, 7, 1 8 14 4 26

4 49 1 54 3 6

A B

B

a) 26 13

693 6

B

A BA

B

Page 65: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

b) 2

26 26 91 132, 7, 1 , ,

54 27 27 27B

A BA B

B

26. Calcule (a) la proyección escalar de D sobre C ; (b) el vector proyección de D

sobre C .

6, 3, 0 5, 4, 3 30 12 0 18

36 9 0 3 5

C D

C

a) 18 6

553 5

C

C DD

C

b) 2

18 12 66, 3, 0 , , 0

45 5 5C

C DD C

C

27. Calcule la distancia del punto 2, 1, 4 a la recta que pasa por los puntos

3, 2, 2 y 9, 6, 6 .

2

1,1 6

1 1 36 38

V AP

V AP

2

12, 4, 4

144 16 16 176

V AB

V AB

12 4 24 16V AP V AB

2

2

256 402 138 4422

176 11 11d

V AP V AB

V AB

V AB

28. Determine la distancia del punto 3, 2,1 a la recta que pasa por los puntos

1, 2, 9 y 3, 6, 3 .

3, 2,1 1, 2, 9 2, 0, 8

4 0 64 68

3, 6, 3 1, 2, 9 4, 8, 12

c

A P

A P

A B

8 0 96 88 22

16 64 144 4 14 14AB

AP AB

AD AP

AB

2 2 484 234 168 1638

14 7 2d c a

Page 66: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

29. Pruebe, empleando vectores, que los puntos 2, 2, 2 , 2, 0,1 , 4,1, 1 y

4, 3, 0 son vértices de un rectángulo.

2,1, 2

0, 2, 1 2,1, 2 0

V BC V AD

V AB V AD

30. Demuestre, utilizando vectores que los puntos

2, 2, 2 , 0,1, 2 , 1, 3, 3 , 3, 0,1 son los vértices de un paralelogramo.

1, 2, 1AD CB

A D B C es paralelogramo

31. Determine el área del triangulo cuyos vértices son 2, 3,1 , 1, 2, 3 , 3, 1, 2

2

2

22

3, 1, 2 9 1 4 14

5, 4,1 25 16 1 42

15 4 2 21

V AB

V AP

V AP V AB

2

2

2

1

2 2

bhV AP V AB

A V AB V AP

V AB

2 2 21

2V AP V AB V AP V AB

21 7 714 42 21 2 6 9 3

2 2 2

32. Demuestre, empleando vectores, que los puntos 2,1, 6 , 2, 4, 5 , 1, 2,1

son los vértices de un triángulo rectángulo, y determine el área del triángulo.

2, 4, 5 2,1, 6 4, 3, 1

1, 2,1 2,1, 6 1, 3, 5

AB

AC

4 1 3 3 1 5 0AB AC

Área 1 1 1 1

16 9 1 1 9 25 26 35 9102 2 2 2

A B A C

33. Determine dos vectores unitarios que tengan una representación cuyo punto

inicial sea el punto 2, 4 , y que sean tangentes a la parábola 2

y x en ese

punto.

Page 67: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

2

2

2 4

y x

y x

y

1, 4 1, 4

1 16 17U

34. Determine dos vectores unitarios que tengan una representación cuyo punto

inicial sea el punto 2, 4 , y que sean normales a la parábola 2

y x en ese

punto.

2

2

y x

y x

1tan

4

cos sini j

4 1 4 1

17 17 17 17i j i j

35. Si 3 5 3 , 2 3 , 2 4A i j k B i j k C i j k , obtenga la componente de

B en la dirección 2A C .

2 3 5 3 2 2 4 7 11A C i j k i j k i j k

2 1 14 33 46 4619

2 571 49 121 171

B A C

A C

36. Calcule los cosenos de los ángulos del triángulo que tiene vértices en

0, 0, 0 , 4, 1, 3 , 1, 2, 3A B C .

3, 3, 0 9 9 0 3 2

1, 2, 3 1 4 9 14

4, 1, 3 16 1 9 26

a

b

c

BC

AC

AB

2 2 2

14 26 18 11 11cos 91

2 1822 14 26 14 26

b c a

bcA

2 2 218 26 14 5 5

cos 132 262 132 3 2 26

a c b

acB

2 2 218 14 26 1 1

cos 72 142 72 3 2 14

a b c

abC

37. Un vector F representa una fuerza que tiene una intensidad de 8lb y su

dirección esta determinada por el ángulo cuya medida en radianes es1

3.

Determine el trabajo realizado por la fuerza al desplazar un objeto (a) a lo largo

del eje x desde el origen hasta el punto 6, 0 , y (b) a lo largo del eje y desde el

origen hasta el punto 0, 6 . La distancia se mide en pies.

Page 68: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

1 18 cos sin 4 4 3

3 3F i j i j

a) 1

6, 0 4, 4 3 6, 0 24W F

b) 2

0, 6 4, 4 3 0, 6 24 3W F

38. Un vector F representa una fuerza una intensidad de 10 lb y su dirección esta

determinada por el ángulo cuya medida en radianes es 1

4. Calcule el trabajo

realizado por la fuerza al desplazar un objeto desde el punto 0, 2 hasta el

punto 0, 5 . La distancia se mide en pies.

1 1 110 cos sin 5 2 10 2 7 35 2

4 4 2W F D i j j

39. Un vector F representa una fuerza una intensidad de 9 lb y su dirección esta

determinada por el ángulo cuya medida en radianes es 2

3. Determine el trabajo

realizado por la fuerza al desplazar un objeto desde el origen hasta el punto

4, 2 . La distancia se mide en pies.

2 2 9 99 cos sin 3

3 3 2 2F i j i j

9 94, 2 , 3 4, 2 18 9 3 2.41

2 2W F

40. Dos fuerzas representadas por los vectores 1 2

F F actúan sobre una partícula

ocasionando que se desplace a lo largo de una recta desde el punto 2, 5 hasta

el punto 7, 3 . Si 1

3F i j 2

4 5F i j , y si las intensidades de las fuerzas

se miden en libras y la distancia en pies, calcule el trabajo realizado por las dos fuerzas al actuar juntas.

7, 3 2, 5 5 2D b a i j

1 23 4 5 4 5 2 1 5 4 2 13W F F D i j i j D i j i j

41. Si una fuerza tiene la representación vectorial 3 2F i j k , calcule el trabajo

realizado por la fuerza al desplazar un objeto a lo largo de una recta desde el

punto1

2, 4, 3P hasta 2

1, 3, 5P . La intensidad de la fuerza se mide en libras

y la distancia en pies.

Page 69: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

1 23 2 3 7 2 9 14 2 25P PW F V i j k i j k

42. Si una fuerza tiene la representación vectorial 5 3F i k , calcule el trabajo

realizado por la fuerza al desplazar un objeto a lo largo de una recta desde el

punto 1

4,1, 3P hasta el punto 2

5, 6, 2P . La intensidad de la fuerza se mide

en libras y la distancia en pies.

5 3 5, 6, 2 4,1, 3 5, 0, 3 9, 5, 1 42W F D i k

43. Un vector F representa una fuerza que tiene una intensidad de 10 lb , y los

cosenos directores de F son1

cos 66

y 1

cos 63

. Si la fuerza desplaza

un cuerpo a lo largo de una recta desde el origen hasta el punto 7, 4, 2 ,

calcule el trabajo realizado. La distancia se mide en pies.

1 1cos 6 , cos 6

6 3

2 2

21 16 6 cos 1

6 3

21 2 1cos 1 cos 6

6 3 6

1 1 110 6 6 6

6 3 6F i j k

44. Si A y B son vectores diferentes del vector cero, demuestre que el vector cA B

es ortogonal a B si 2

cA B

B.

2

0

0

0

c

c

c

A B B

A B B B

A B B

2c

A B

B

45. Si 12 9 5A i j k 4 3 5B i j k , emplee el resultado del ejercicio 44 para

determinar el valor del escalar c de modo que el vector cB A sea ortogonal a

A .

2

4 3 5 12 9 5 48 27 25 100 2

144 81 25 250 250 5c

i j k i j kB A

A

Page 70: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

46. Para los vectores del ejercicio 45, utilice el resultado del ejercicio 44 a fin de

calcular el valor del escalar d de modo que el vector dA B sea ortogonal a B

2

4 3 5 12 9 5 48 27 25 1002

16 9 25 50 50c

i j k i j kB A

B

47. Demuestre que si A y B son dos vectores cualesquiera, entonces los vectores

B A A B y B A A B son ortogonales.

2 2 2 2

0

B A A B B A A B B A B A A B A B

B A A B

48. Demuestre que si A y B son dos vectores cualesquiera diferentes del vector cero

y C B A A B , entonces el ángulo entre A y C tiene la misma medida en

radianes que el ángulo entre B y C

A BU V

A B

C A BD

A B A B

1

2

1cos

1cos

U U VUD UV

U D D D

V U VVD UV

V D D D

49. Demuestre que dos vectores diferentes del vector cero son paralelos si y solo si

la medida en radianes del ángulo entre ellos es 0 o .

kB A 2

2 2cos 1

0

kk k

k k k

a a

AA A A AA B

A B A A A A

2

2 2

cos 1

2 1 2 1 0

0

A B

A B

A B A A A B B B

A B A BA B

A B

A B

BB A

A

Page 71: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

50. Demuestre, mediante análisis vectorial, que las medianas de un triangulo son concurrentes, es decir coincides en un punto.

Las medianas del triangulo ABC en el punto.

2 2 1 1 1 1 11

3 3 2 2 3 3 3g a b c a b c

51. Demuestre, mediante análisis vectorial, que el segmento de recta que une los

puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y su longitud es la mitad de la longitud del tercer lado.

1 1 1 1

2 2 2 2PQ q p a c a b c b B C

52. Demuestre, mediante análisis vectorial, que el segmento de recta que une los

puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es paralelo a los lados paralelos del trapecio y su longitud es la mitad de la suma de las longitudes de los lados paralelos.

1 1

2 2O E O A O D

y 1 1

2 2O F O B O C

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1

2 2 2

EF OF OE OB OC OA OD

OB OA OC OD

1 1

2 2A B D C

kDC AB

1 1 11

2 2 2k kE F A B A B A B

1 11 1

2 2

1 1

2 2

1

2

k k

k k

EF AB AB

AB AB AB AB

AB DC

53. La ley de refracción de Snell trata sobre la luz que atraviesa de un medio, tal

como el aire, a otro medio más denso, tal como el agua. La ley establece que la parte del rayo luminoso que pasa por el medio más denso será refractado

(“desviado”) hacia la normal. Observe la figura adjunta donde 1

es el ángulo de

incidencia y 2

es el ángulo de refracción. De la ley de Snell.

1 2sin sin

Donde es el índice de refracción del medio más denso. Demuestre que si A es

un vector unitario a lo largo del rayo incidente, B es un vector unitario a lo largo del rayo refractado, F es un vector unitario en la interface y N es el vector normal unitario en la interface como se muestra en la figura, entonces

0A F B F

Page 72: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

54. Demuestre la desigualdad de Cauchy-Schwarz: Si A y B son dos vectores cualesquiera, entonces

A B A B

Donde la igualdad se cumple si y solo si existe un escalar c tal que cA B , es

decir, A y B son paralelos.

0xA B

xB A 2 2

2 22

2 2 2 22 2

0 2

2

2 4 0

x x x x x

x x

A B A B A B A A A B B B

A A B B

A B A B A B A B A B A B

55. Demuestre el siguiente teorema: si A y B son dos vectores cualesquiera,

entonces 2 2 2

2A B A A B B

2 2 2

2 2A B A B A B A A A B B B A A B B

56. Demuestre el teorema de Pitágoras:

2 2 2

A B A B

Si y solo si A y B son ortogonales.

2 2 2 2 2 2

0 2A B A A B B A B A B A B

57. Demuestre la ley del paralelogramo: si A y B son dos vectores cualesquiera, entonces

2 2 2 2

2 2A B A B A B

¿Cuál es la interpretación geométrica de esta identidad? Sugerencia: observe la figura adjunta que muestra el paralelogramo determinado por las representaciones de los vectores A y B.

Page 73: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

A B A B A B A B A B A B

A A A B B B A A A B B B A A B B A B

58. Demuestre la identidad de polarización: si A y B son dos vectores cualesquiera,

entonces 2 2

4A B A B A B

¿Cuál es la interpretación geométrica de esta identidad? Sugerencia: consulte la figura del ejercicio 57.

2 21 1

4 4A B A B A B A B A B A B

1 1

2 2 44 4

A A A B B B A A A B B B A B A B

59. En la teoría electromagnética, en ocasiones es necesario realizar lo siguiente: si

E y H son dos vectores dados, escriba E como la suma de dos vectores 1

E y 2

E

tales que 1

E sea paralelo a H y 2

E sea ortogonal a H. Defina y 2

E en esta

situación.

1 2H

E HE E H

H

Es paralelo a H

2 HE E E Es ortogonal a H

60. La notación vectorial junto con el producto punto pueden emplearse para almacenar datos. Por ejemplo, suponga que una compañía de inversiones vende

acciones de los tipos X, Y y Z. Sean 1 2 3

, ,a a a las componentes del vector A,

respectivamente, las cantidades de acciones X, Y y Z vendidas un día específico.

Sean 1 2 3

, ,s s s las componentes del vector S, respectivamente, las cantidades de

dólares de los precios de venta de las acciones X, Y y Z en ese día. Entonces, si

R dólares es el ingreso total obtenido por las tres acciones en ese día, R A S .

Calcule el ingreso total obtenido por la venta de las tres acciones cada día de la semana, donde A y S se proporcionan en la tabla 1. Nota: puesto que una compañía no esta limitada a comerciar solo tres acciones, este ejemplo puede generalizarse para comercializar n acciones donde los vectores A y S tiene cada uno n componentes, de modo que

1 2 3 1 2 3, , , ..., , , , ...,

n na a a a s s s sA S , y

1 1 2 2 3 3...

n na s a s a s a sA S

Page 74: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

Lunes 250,180, 310 25.50,16.80, 54.55 $26, 309.50

Martes 185, 210, 215 27.50,14.60, 61.25 $21, 322.25

Miercoles 400,120,180 21.20, 21.50, 66.50 $23, 030.00

Jueves 355,165, 200 23.40,18.50, 62.30 $23, 819.50

Viernes 370,145, 240 22.60,19.10, 61.75 $25, 951.50

Page 75: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

EJERCICIOS 10.4

En los ejercicios 1 a 6, obtenga una ecuación del plano que contenga al punto P y tenga al vector N como vector normal.

1. 3,1, 2 ; 1, 2, 3P N

1 3 2 1 3 2 0

3 2 2 3 6 0

2 3 1 0

x y z

x y z

x y z

2. 3, 2, 5 ; 6, 3, 2P N

6 3 3 2 2 5 0

6 18 3 6 2 10 0

6 3 2 34 0

x y z

x y z

x y z

3. 0, 1, 2 ; 0,1, 1P N

0 0 1 1 1 2 0

1 2 0

3 0

x y z

y z

y z

4. 1,8, 3 ; 7, 1,1P N

7 1 8 3 0

7 2 0

x y z

x y z

5. 2,1, 1 ; 3 4P N i j k

1 2 3 1 4 1 0

2 3 3 4 4 0

3 4 3 0

x y z

x y z

x y z

6. 1, 0, 0 ;P N i k

1 1 0 0 1 0 0

1 0

x y z

x z

En los problemas 7 y 8, determine una ecuación del plano que contenga los tres puntos.

7. 3, 4,1 ; 1, 71, ; 1, 2, 5

1

1 1 3

2

2 2 3

3

:

3

: 7

:

a b c d

E

F E E

E

F E E

E

3 4

2 16 4

92 24

5 2

2 5

a b c d

b c d

c d

b c d

a b c d

3 2 6; ;

23 23 23

d d da b c

Page 76: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

3 2 60

23 23 23

3 2 6 23 0

d d dx y z d

x y z

8. 0, 0, 2 ; 2, 4,1 ; 2, 3, 3

10 2 1 0 2 1 0 0 1 0 0 2

0 0 2 14 1 1 2 1 1 2 4 1 2 4 1

0 4 1 13 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3

2 3 3 1

x y z

x y z

7 14 28 0x z 2 4 0x z

En los ejercicios 9 a 14, dibuje el plano y obtenga dos vectores unitarios normales al plano.

9. 2 2 6 0x y z

El vector normal del plano es 2 1, 2 4 1 4 3

Los vectores unitarios 2 1 2 2 1 2

, , ; , ,3 3 3 3 3 3

10. 4 4 2 9 0x y z

4, 4, 2 16 16 4 6

2 1 2 2 1 2, , ; , ,

3 3 3 3 3 3

11. 4 3 12 0x y z

4, 3, 12 16 9 144 13

4 3 12 4 3 12, , ; , ,

13 13 13 13 13 13

12. 2 4 0y z

0,1, 2 0 1 4 5

1 5 2 50,1, 2 0, ,

5 55

13. 3 2 6 0x z

3, 0, 2 9 0 4 13

3 2 3 2, 0, ; , 0,

13 13 13 13

14. 5z

5z

0, 0,1 ; 0, 0, 1

Page 77: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

En los ejercicios 15 a 20, obtenga una ecuación del plano que satisfaga las condiciones indicadas.

15. Perpendicular a la recta que pasa por los puntos 2, 2, 4 ; 7, 1, 3 , y contiene

al punto 5,1, 2 .

2, 2, 4 ; 7, 1, 3A B

5, 3, 7V AB

5,1, 2

5 3 1 7 2 0

5 3 7 14 0

x y z

x y z

16. Paralelo al plano 4 2 1 0x y z y contiene al punto 2, 6, 1 .

4 2 0x y z d

4 2 2 6 1 0 5

4 2 5 0

d d

x y z

17. Perpendicular al plano 3 7 0x y z y contienen los puntos

2, 0, 5 0, 2, 1

El vector normal al plano es 1, 3, 1

, , 1, 3, 1 0a b c

3 0

2, 0, 5 ; 0, 2, 1

2, 2, 6

a b c

A B

V AB

2 2 6 0a b c

Resolviendo el sistema 3 0

2 2 6 0

a b c

a b c se tiene 2a c b c

2 2 0 5 0

2 1 0

c x c y c z

x y z

18. Perpendicular a cada uno de los planos 0; 2 4 5 0x y z x y z y

contiene al punto 4, 0, 2 .

, ,

1, 1,1 , , 0 0

2,1, 4 , , 0 2 4 0

a b c

a b c a b c

a b c a b c

N

A

B

3 3 0

2 3 6 0

a c

b c

A B

B A

1, 1, 2

1 4 2 0 1 2 0

2 2 0

c a b

x y z

x y z

Page 78: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

19. Perpendicular al plano yz , contiene al punto 2,1,1 y forma un ángulo de

1 2cos

3 rad con el plano 2 2 3 0x y z

Como es perpendicular al plano yz 0, ,b cN

0, , 2, 1, 2 2

30, , 2, 1, 2

b c

b c

2 2

2 2 2 2

2

2 2

4 4 4 4

0 3 4

b c b c

b bc c b c

b bc

40;

3b b c

Cuando 0; 0, 0,b cN

0 2 0 1 1 0 1x y c z z

Cuando 4 4

; 0, ,3 3

b c cN

40 2 1 1 0

3x c y c z 4 3 1 0y z

20. Contiene al punto 3, 5, 2P y es perpendicular a la representación del vector

OPV

3, 5, 2

3 3 5 5 2 2 0

3 5 2 38 0

x y z

x y z

N

En los ejercicios 21 a 23, determine el ángulo agudo entre los dos planos

21. 2 2 5 0; 6 2 3 8 0x y z x y z

2, 1, 2 6, 2, 3 12 2 6 8 8cos

3 7 214 1 4 36 4 9 9 49

22. 2 5 3 1 0; 5 3 0x y z y z

2, 5, 3 0,1, 5 20cos

4 25 9 0 1 25 38 26

50.5º

23. 3 4 0; 4 7 4 6 0x y x y z

Page 79: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

3, 4, 0 4, 7, 4 12 28 0 16cos

459 16 0 16 49 16 25 81

69.2º

24. Calcule la distancia del plano 2 2 6 0x y z al punto 2, 2, 4 .

0 0 0

2 2 2

2 2 2 2 4 6 62

34 4 1

ax by cz dd

a b c

25. Obtenga la distancia del plano 5 11 2 30 0x y z al punto 2, 6, 3 .

El vector normal al plano es 5,11, 2N

6, 0, 0 ; 2, 6, 3 8, 6, 3

5,11, 2 8, 6, 3 40 66 6 32 16 6

155,11, 2 25 121 4 150d

Q P V PQ

N V PQ

N

26. Calcule la distancia perpendicular entre los planos paralelos

4 8 9; 4 8 6x y z x y z

4 0 8 0 9 6 15 5

9 316 81 1d

27. Determine la distancia perpendicular entre los planos paralelos

4 3 6 0; 8 6 27 0y z y z .

90, 0,

2P

0, 0, 2 ; 0, 4, 3

50, 4, 3 0, 0,

32

20, 4, 3

Q Pd

Q N

N V

N

28. Si a, b y c son diferentes de cero, y son las intercepciones x, y, z

respectivamente, de un plano, demuestre que una ecuación del plano es

1x y z

a b c

Ésta es la forma de intercepción de la ecuación de un plano

, 0, 0 ; 0, , 0 ; 0, 0,a b c Estos puntos reemplazando en la ecuación

1x y z

a b c

1 0 0 1; 0 1 0 1; 0 0 1 1

En los ejercicios 29 a 36, obtenga ecuaciones para métricas y simétricas para la recta que satisface las condiciones indicadas.

Page 80: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

29. Pasa por los puntos 1, 2,1 ; 5, 1,1 .

1 21, 2,1 ; 5, 1,1P P

1 24, 3, 0P PV V

1 4

2 3

1

x t

y t

z

1 2

; 14 3

x yz

30. Pasa por el punto 5, 3, 2 con números directores 4,1, 1

5, 3, 2P 4,1, 1V

5 4

3

2

x t

y t

z

5 3 2

4 1 1

x y z

31. Pasa por el origen y es perpendicular a la recta 1 1 1

104 3 2

x y z en su

intersección.

1 1 110

4 3 2

10 4

3

2

4 10, 3 , 2

x y z t

x t

y t

z t

P t t t

4 10, 3 , 2

4, 3, 2 4 10, 3 , 2 0

16 10 9 4 0

40

29

130 120 80, ,

29 29 29

t t t

t t t

t t t

t

P

V O P

13 ; 12 ; 813 12 8

x y zx t y t z t

32. Pasa por el origen y es perpendicular a las rectas que tienen números directores

4, 2,1 3, 2,1

, , 4, 2,1 0

4 2 0

a b c

a b c

, , 3, 2,1 0

3 2 0

a b c

a b c

2 0

2 7 0

a c

b c

72 ; ; 2

2a c b c c

0 0 0, , 0, 0, 0x y z

4 7 2x t y t z t

Page 81: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

4 7 2

x y z

33. Perpendicular a las rectas que tiene números directores 5,1, 2 2, 3, 4 en

el punto 2, 0, 3

, , 5,1, 2 0

5 2 0

2 5

a b c

a b c

b c a

, , 2, 3, 4 0

2 3 4 0

3 4 2

a b c

a b c

b c a

138 ;

2

13, 8 ,

2

b a c a

a a a

2 2

16

3 13

x t

y t

z t

2 3

2 16 13

x y z

34. Pasa por el punto 3,1, 5 y es perpendicular al plano 4 2 7 0x y z

3,1, 5 ; 4, 2,1P V

3 4

1 2

5

x t

y t

z t

3 1 5

4 2 1

x y z

35. Pasa por el punto 4, 5, 20 y es perpendicular al plano 3 6 8 0x y z

1, 3, 6N

: 4 ; 5 3 ; 20 6L x t y t z t

4 5 20

1 3 6

x y z

36. Pasa por el punto 2, 0, 4 y es paralela a cada uno de los planos

2 0 3 5 0x y z x y z

2 4

8 11 5

x y z

37. Obtenga un conjunto de ecuaciones simétricas para la recta

4 3 2 0

2 5 3 4 0

x y z

x y z

4 3 2 0 4 3 2

2 5 3 4 0 2 3 5 4

x y z x z y

x y z x z y

2 1 13 10

;7 7 7 7

x y z y

Page 82: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

1 10 1 10

7 7 7 7;

2 13 2 7 13

7 7

x z x zy

y

1 3 7

2 7 13

x y z

38. Demuestre que las rectas

1 4 2

2 5 3

3 14 8

2 5 3

x y z

x y z

Coinciden.

2 1 2 3; 2 2 4

5 4 5 14; 5 5 10

3 2 3 8; 3 3 6

x s t s t

y s t s t

z s t s t

Coinciden cuando 2t s

39. Demuestre que la recta 1 1 1

3 2 12 3 4

x y z esta contenida en el plano

2 6x y z

3 2 ; 2 3 ; 1 4x t y t z t

3 2 2 2 3 1 4 6t t t

40. Demuestre que la recta 1

1 62

x y z esta contenida en el plano

3 3x y z

1; 2 6;x t y t z t

3 1 2 6 3t t t 3 3

Los planos que pasan por una recta y son perpendiculares a los planos coordenados se denominan planos de proyección de la recta. En los ejercicios 41 a 44, determine las ecuaciones de los planos de proyección de la recta y dibuje la recta.

41. 3 2 5 30 0

2 3 10 6 0

x y z

x y z

0 13 40 42 0

0 13 5 102 0

0 8 66 0

x y z

y x z

z z y

Page 83: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

42. 3 1 0

2 3 14 0

x y z

x y z

: 3 1 0

: 2 3 14 0

x y z

x y z

A

B

2 : 3 3 12 0; 4 0

: 3 6 15 0; 2 5 0;

: 2 13 0

y z y z

x z x z

x y

A B

A B

A B

43. 2 3 6 0

1 0

x y z

x y z

0 3 4 7 0

0 3 4 0

0 4 3 0

x y z

y x z

z x y

Page 84: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

44. 2 7 0

4 3 13 0

x y z

x y z

: 2 7 0

: 4 3 13 0

x y z

x y z

A

B

2 : 1 0y zB A

: 2 2 6 0

3 : 2 2 8 0

x z

x y

B A

A B

3 0

4 0

x z

x y

45. Calcule el coseno del ángulo menor entre el vector cuya representación es

paralela a la recta 2 4; 4x y z y , y el vector cuya representación es

paralela a la recta 7; 2 2x y z y .

2 4; ; 4

7; ; 12

x y y y z y

yx y y y z

12,1, 1 1,1,

2

1 1 52,1, 1 1,1, 2 1

5 62 2 2cos3 181 1

62,1, 1 1,1, 4 1 1 1 122 4

46. Obtenga una ecuación del plano que contiene al punto 6, 2, 4 y a la recta

1 1 11 2 3

5 6 7x y z

1

1 2 3 122 30 10 112 0

6 4 10 1

6 2 4 1

x y z

x y z 11 15 5 56 0x y z

En los ejercicios 47 y 48, determine una ecuación del plano que contiene a las rectas indicadas que se interceptan.

Page 85: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

47.

2 3 2

4 1 3

3 2 2 0

2 1 0

x y z

x y z

x y z

4 2; 3; 3 2x t y t z t

0 2, 3, 2

1 6, 4,1

t

t

3 2 2 2 1 0

3 6 2 4 1 2 6 4 2 1 1 0

13 11 0

x y z k x y z

k

k

13

11k

133 2 2 2 1 0

11

4 7 3 7 0

x y z x y z

x y z

48. 2 1 2 1

;2 3 1 1 1 1

x y z x y z

4 5 0x y z

49. Demuestre que las rectas

3 0

8 2 3 1 0

x y z

x y z

3 3 0

3 5 0

x y z

x y z

Son paralelas, y obtenga una ecuación del plano determinado por estas rectas.

1 3 3 1

0 02 2 2 2;1 1 1 11 1

2 2 2 2

x y x yz z

Page 86: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

8 2 3 1 3 0x y z k x y z

3 1

, , 02 2

3 1 3 18 2 3 0 1 3 0 0

2 2 2 2

12 5 0

12

5

k

k

k

128 2 3 1 3 0

5

4 2 3 5 0

x y z x y z

x y z

50. Demuestre que las rectas

2 14

5 2

3 4 3

5 2 1

x yz

x y z

Son paralelas, obtenga una ecuación del plano determinado por estas rectas

2 5 20; 5 18 0

1 2 8; 2 7 0

x z x z

y z y z

5 18 2 7 0x z k y z

3, 4, 3

3 5 3 18 4 2 3 7 0

30 9 0

10

3

k

k

k

105 18 2 7 0

3

3 10 5 16 0

x z y z

x y z

51. Calcule las coordenadas del punto de intersección de la recta

1 1 12 3 1

4 2 7x y z y el plano 5 2 12 0x y z

2 3 11

4 2 7

4 2; 2 3; 7 1

5 4 2 2 3 2 7 1 12 0

136 3 0;

12

1 1 7 5 17 52, 3, 1 , ,

3 6 12 3 6 12

x y z

x t y t z t

t t t

t t

Page 87: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

52. Determine ecuaciones de la recta que pasa por el punto 1, 1,1 , es

perpendicular a la recta 3 2x y z , y es paralela al plano 0x y z

1 9 ; 1 8 ; 1x t y t z t

53. Obtenga ecuaciones de la recta que pasa por el punto 3, 6, 4 , que interseca al

eje z y es paralela al plano 3 5 6 0x y z .

0

0

0

0

0, 0,

3, 6, 4 1, 3, 5 0

3 18 5 4 0

1

z

z

z

z

3 6 4

1 2 1

x y z

54. Calcule la distancia perpendicular del origen a la recta

6 2 32 ; 7 ; 4

7 7 7x t y t z t

2 2

2, 7, 4 ; 6, 2, 3

4 49 16 69

2, 7, 4 6, 2, 3 172

736 4 9

69 4 65

V

Q

c

a

d c a

V

O Q

O Q VO Q

V

55. Calcule la distancia perpendicular del punto 1, 3, 1 a la recta

2 7; 1x z y

2 2

77,1, 0 ;

2 1

2, 0,1 ; 1, 3, 1

8, 2,1 64 4 1 69

8, 2,1 2, 0,1 17

4 0 1 5

289 56 2 7069

5 5 5

V

x zQ

c PQ

PQ

d c a

V P

PQ V

V

56. Obtenga ecuaciones de la recta que pasa por el origen, y es perpendicular a la

recta 5; 2 3;x y z y e interseca a la recta 2 1; 2y x z x

Page 88: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

1,1, 2 , , 0

2 0

2 1 2 2 0

1; 1; 1

1, 1,1

1 1 1

a b c

a b c

a a a

a b c

x y z

57. Demuestre que las rectas son oblicuas.

1 2 1

5 2 3

2 1 3

1 3 2

x y z

x y z

1

2

5, 2, 3 ; 1, 3, 2

: 5 1; 2 2; 3 1

: 2; 3 1; 2 3

L x t y t z t

L x s y s z s

5 1 2; 2 2 3 1; 3 1 2 3t s t s t s

0; 1t t

58. Obtenga ecuaciones de la recta que pasa por el punto 3, 4, 5 y que interseca

a cada una de las rectas oblicuas del ejercicio 57

1

1 2 1 110 14 26 44 0

6 0 4 1

3 4 5 1

x y z

x y z

5 7 13 22 0x y z

5 2 7 3 1 13 2 3 22 0

52 0 0

2, 1, 3 ; 1, 3, 2

3 4 5

1 5 2

s s s

s s

x y z

Q V P Q

59. Demuestre que la distancia perpendicular entre los planos paralelos

1 20; 0ax by cz d ax by cz d esta dada por

1 2

2 2 2

d d

a b c

20, 0, ; , ,d

Q a b cc

N

Page 89: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

1 2

1 2

2 2 2

, , 0, 0,

, ,

d da b c

cQP d dd

a b c a b c

N V

N

60. Demuestre que la distancia no dirigida del plano 0ax by cz d al punto

0 0 0, ,x y z esta determinada por 0 0 0

2 2 2

| |ax by cz d

a b c

0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0

2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

2 2 2 2 2 2

, , ; ;

N

P P a b c x x y y z z ax by cz ax by czPQ

a b c a b c

d ax by cz ax by cz d

a b c a b c

N

N

61. ¿Cuáles son las ecuaciones para métricas de una recta si los dos números

directores a y b son cero? 62. Describa como se emplean los vectores para determinar la distancia de un punto

a un plano 63. Describa como se emplean los vectores para determinar la distancia de un punto

a una recta en 3

R .

Page 90: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

EJERCICIOS 10.5

En los ejercicios 1 a 12,

1, 2, 3 , 4, 3, 1, , 5, 3, 5 , 2,1, 6 ,

4, 0, 7 , 0, 2,1 .

1. .

2.

y

Obtenga

Calcule

A B C D

E F

A B

D E

1 2 3 2 9 1 12 3 8 7,13, 11

4 3 1

i j k

A B i j k

2 1 6 7 14 24 4 7,10, 4

4 0 7

i j k

D E i j k

3.Determine C D E F

. 5 3 5 4 0 7 18 5 30 10 5 6 14 4 8 23, 20,11 14, 4, 8 322 80 88 490

2 1 6 0 2 1

i j k i j k

C D E f i j k i j k

4.Obtenga C E D F

3 5 5 5 5 35 3 5

0 7 4 7 4 04 0 7

3 7 0 5 5 7 4 5 5 0 4 3 21 15 12

1 6 2 6 2 12 1 6 11 2 4

2 1 0 1 0 20 2 1

,

21 15 12 11 2 4 21 11 15 2 12 4 309

entonces

i j k

C E i j k

i j k i j k

i j j

D F i j k i j k

C E D F i j k i j k

5.Verifique el teorema 10.5.3 para los vectores yA B .

4 3 1 7, 13, 11 ,

1 2 3

i j k

B A A B el resultado del ejercicio es 1

Page 91: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

6. Verifique el teorema 10.5.4 para los vectores A B y C .

1, 2, 3 1, 6, 4 1 2 3 26 7 4

1 6 4

1 2 3 1 2 3 7 13 11 19 20 7

4 3 1 5 3 5

26 7 4

i j k

A B C i j k

i j k i j k

A B A C i j k i j k

i j k

7. Verifique el teorema 10.5.5 (i) para yA B , y c = 3

3, 3 6 9 6 27 3 36 9 24 21, 39, 33

4 3 1

1 2 3 6 27 3 36 9 24 21, 39, 33

12 9 3

Ifc c

c

i j k

A B i j k

i j k

A B i j k

8. Verifique el teorema 10.5.5 (ii) para yA B , y c = 3

3 1, 2, 3 4, 3, 1 3, 6, 9 4, 3, 1

6 9 3 9 3 63 6 9 21 39 33

3 1 4 1 4 34 3 1

3 1, 2, 3 4, 3, 1

2 3 1 3 1 23 1 2 3 3

3 1 4 1 4 34 3 1

3 7 13 11 21 39 33

c

c

c

A B

i j k

i j k i j k

A B

i j k

i j k

i j k i j k A B

9. Verifique el teorema 10.5.6 para los vectores A B y C

1, 2, 3 4 3 1 1, 2, 3 15 3, 20 5 , 12 15 1, 2, 3 18, 15, 27

5 3 5

18 30 81 129, 1, 7,13, 11 5, 3, 5 36 39 55 129delejercicio

i j k

A B C

A B C

Page 92: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

10. Verifique el teorema 10.5.7 para los vectores A B y C

4 3 1 1, 2, 3 18, 15, 27 1 2 3 9, 27, 21

5 3 5 18 15 27

1, 2, 3 5, 3, 5 1, 2, 3 4, 3, 1 4 4, 3, 1 5 5, 3, 5 9, 27, 21

i j j i j k

A B C A

A C B A B C B

11. Calcule ,yA B C D D C A B y verifique que son iguales.

1, 2, 3 4, 3, 1 5, 3, 5 2,1, 6

5 1 2 1 8, 5 6 , 20 3 9 1, 23

3 4 1

2,1, 6 5, 3, 5 5, 1, 2 3 4 1 8 1, 6 5 , 3 20 9, 1, 23

5 1 2

A B C D

i j k

i j k

D C A B

12. Determine A B C D

Encontrar

A B C D

2 2 2 2 2 2

2 3 1 3 1 21, 2, 3 4, 3, 1 1 2 3 7 13 11

3 1 4 1 4 34 3 1

3 5 5 5 5 35, 3, 5 2,1, 6 5 3 5 23 20 11

1 6 2 6 2 12 1 6

7 13 11 23 20 11 339 1050 15 1582

i j k

A B i J k i j k

i j k

C D i j k i j k

A B C D

13. Demuestre el teorema 10.5.2 (ii) y ( iii).

1 2 3

1 2 3 3 2 1 3 2 1

1 2 3 2 3 3 1 1 2

, .

0, 0, 0 , , 0. 0. , 0 0. , 0. , 0. 0, 0, 0 0

, , 0, 0, 0 .0 .0, .0 .0, .0, .0 0, 0, 0 0

Dejando a a a Entonces

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

A

O A

A O

Page 93: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

14. Sean los vectores unitarios 4 7 4

9 9 9A i j k y

2 2 1

3 3 3B i j k . Si es el

ángulo entre A y B ,calcule sen en dos formas: (a) utilice el producto cruz (teorema

10.5.8); (b)emplee el producto punto y una identidad trigonométrica.

4 7 4 15 4 22 1 1 5. , 225 16 474 725 29

9 9 9 27 27 27 27 27 27

2 2 1

3 3 3

a sen

i j k

A B i j k A B A B

15. Siga las instrucciones del ejercicio 14 para los dos vectores unitarios

1 1 1

3 3 3

1 5 1

3 3 3 3 3 3

A i j k

B i j k

1 1 1 1 5 1.

3 3 3 3 3 3 3 3 3yi j k B i j k

Porque A y B son vectores unitarios

1 1 1 2 2 4 4 22

3 3 9 9 33 3 3

1 5 1

3 3 3 3

a sen

i j k

A Bi k

A B

16. Demuestre que el cuadrilátero que tiene vértices es (-2,1,-1), (1,1,3), (-5,4,0)y (8,4,-4)es

un paralelogramo y calcule su área.

2,1, 1 1,1, 3 3, 0, 4

5, 4, 0 1,1, 3 6, 3, 3

8, 4, 4 5, 4, 0 3, 0, 4

PQ q p

PR p r

RS s r

Porque ,PQ R S

entonces PQRS es un paralelogramo, además

Page 94: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

0 1 0 12 15 9

0 0 1

12 15 9 144 225 81 450 15 2

Y

i j k

PQ PR i j k

PQ PR i j k

Por tanto el área del paralelogramo PQSR es 15 2

17. Demuestre que el cuadrilátero que tiene vértices es (1,-2,3),(4,3,-1), (2,2,1) y (5,7,-3) es

un paralelogramo y calcule su área.

P= (1,-2,3), Q=(4,3,-1), R=(2,2,1), S=(5,7,-3).Porque V ( P Q

)=(3,5,4)=V( R S

).PQRS es un

paralelogramo. Las medidas del área PQRS son

3 5 4 6 2 7 36 4 49 89

1 4 2

i j k

V PQ V PR i j k

18. Obtenga el área del paralelogramo PQRS si V ( P Q

) 3 2i j y V PS

= 3 4j k .

Área= 3 2 0 8 12 9 64 144 81 17

0 3 4

i j k

PQ PS i j k

19. Determine el área del triángulo que tiene vértices en (0,2,2),(8,8,-2)y (9,12,6).

1 1 13 5 4 64, 68, 26 32. 34,13 1024 1156 169 2349 9 29

2 2 21 4 2

i j k

V AB V BC

20. Calcule el área del triángulo que tiene vértices en (4,5,6), (4,4,5) y (3,5,5).

El área del triángulo PQR es 1

2Q P Q R

0,1,1 ( 1,1, 0) 0 1 1

1 1 0

i j k

Q P Q R p q r q i j k

En los ejercicios 21 y 22, utilice el producto cruz para obtener una ecuación del plano

que pasa por los tres puntos indicados.

21. (-2,2,2), (-8,1,6), (3,4,-1)

Page 95: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

6 1 4 5, 2, 7

5 2 3

i j k

V AB V AC

porque el punto A esta en el plano, su

ecuación es: 5 2 2 2 7 2 0; 5 2 7 0x y z x y z

22. (2,3,0), (2,0,4), (0,3,4).

10 3 4 12, 8, 6 , 6, 4, 3

22 0 4

6 2 4 3 3 0 0; 6 4 3 24 0x y z x y z

i j k

N A B A C N

23. Realice el ejercicio 18 de la sección 10.4 empleando el producto cruz.

1 1 1 3, 6, 3

2 1 4

i j k

A B porque C contiene los puntos (4,0,-2) su ecuación es

3 4 6 0 3 2 0; 3 6 3 6 0; 2 2 0x y z x y z x y z

24. Determine un vector unitario cuyas representaciones sean perpendiculares al plano

que contiene a P Q

y PR

si P Q

es una representación del vector 3 2i j k y PR

es

una representación del vector 2i j k .

3 2 2 1 3 2 5 3 7

2 1 1

i j k

N i j k i j k i j k

Por el teorema 10.5.10 el vector N es normal, por lo que P Q

y PR

vectores unitarios son

1 15 3 7 5 3 7

25 9 49 83

NU i j k i j k

N

En los ejercicios 25 a 27 obtenga un vector unitario cuyas representaciones sean

perpendiculares al plano que pasa por los puntos P,Q y R.

25. 5, 2, 1 , 2, 4, 2 , 11,1, 4P Q R

3 2 1 9 9 9 ; 9 9 1 1 1 9 3

6 1 5

i j k

N V PQ V PR i j k N i j k

Page 96: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

Por lo tanto vectores unitarios normales son1 1

9 9 99 3 3

i j k i j k

26. 2,1, 0 , 2, 2, 1 , 5, 0, 2P Q R

4 3 1 7, 5, 13

3 1 2

7 5 1349 25 169 243 9 3. 3, 3, 3

27 27 27

i j k

N PQ PR

N U

27. 1, 4, 2 , 3, 2, 4 , 4, 3,1P Q R

Un vector normal en le plano de P, Q y R es

2 2 2 4 8 4 ; 4 2 4 1 4 1 4 6

3 1 1

i j k

N V PQ V PR i j k N i j k

así pues los vectores unitarios normales son1 1

4 8 4 24 6 6

i j k i j k

28. Obtenga el volumen del paralelepípedo que tiene aristas P Q

y PR

y PS

si los puntos

P , ,Q R S son, respectivamente, (1,3,4),(3,5,3),(2,1,6) y (2,2,5).

3, 5, 3 1, 3, 4 2, 2, 1

2,1, 6 1, 3, 4 1, 2, 2

2, 2, 5 1, 3, 4 1, 1,1

A PQ

B PR

C PS

El número de la unidad cúbica del volumen del paralelepípedo es .A B C

. 1

2 2 1

A B C 1 2 2

1 1 1

Así de esta manera el volumen del paralelepípedo es una unidad cúbica

29. Calcule el volumen del paralelepípedo PQRS si los vectores ,V PQ V PR

y

V PS

son respectivamente 3 2 , 2i j k i j k e 2i j k

Page 97: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

. 1 3 2 . 5 5 5 . 2 5 10 5 20

2 1 1

i j k

A B C C i j k i j k

30. Obtenga una ecuación del plano que contenga a los puntos terminales de las

representaciones de posición de los vectores 2 3 , 2i j k i j k y 5i j k

La ecuación plana tiene

1

2 1 3 16 15 12 33 0; 2 5 4 11 0

1 1 2 1

5 1 1 1

x y z

x y z x y z

En los ejercicios 31 y 32, calcule la distancia perpendicular entre las dos rectas oblicuas

31.

1 2 1

5 3 2

2 1 3

4 2 3

x y z

x y z

5, 3, 2 4, 2, 3 5 3 2 13, 23, 2 . 169 529 4 702 3 78

4 2 3

i j k

N N

A= (1,2,-1)es el punto de la primera línea y B=(-2,-1,3) es el segundo punto.

Las distancias medidas entre as líneas de proyección escalar de V A B

es

. 3, 3, 4 . 13, 23, 2 38

3 78 3 78

V AB NN

N

32.

1 2 1

2 4 3

1 1 1

5 3 2

x y z

x y z

L1 =(2,-4,-3) y L2=(5,3,2)son vectores direccionales de la primera y segunda línea. El vector

1 22 4 3 1, 19, 26

5 3 2

L L

i j k

N

Page 98: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

Es perpendicular a cada una de las líneas. La primera línea contiene loa puntos P1

P (-1,-2,1) y

la segunda línea contiene los puntos 2

P (1,1,-1).La distancia de la perpendicular es de valor

absoluto en la proyección escalar de 1 2

2, 3, 2P P

tenemos:

1 2

2 2 2

. 1, 19, 26 . 2, 3, 2 . 107

10381 19 26

N P P

N

La distancia perpendicular de las líneas es 107

1038 unidades

33. En la figura adjunta, un tornillo en el punto Q se gira al aplicaren el punto P una

fuerza F de 25 lb en un ángulo de 0

70 con respecto a la llave, la cual mide 8 pulg de

longitud. Calcule la intensidad ( o módulo) del vector torque generado por la fuerza en el

tornillo.

025 8 70 187.9sen en lb.

34. Una fuerza F de 30 lb en la dirección hacia abajo se aplica en un punto P, que es el

extremo izquierdo de la palanca de la engrapadora mostrada en la figura adjunta. La

longitud de la palanca es de 6 pulg y en reposo,la palanca forma un ángulo de 0

10 con la

base horizontal de la engrapadora en el punto Q. Obtenga la intensidad ( o módulo) del

vector torque ejercido por F en Q .

Page 99: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

030 6 80 177.3sen

35. Si es el ángulo entre los vectores A y B de 3

V , demuestre que

tan.

A B

A B

tan. cos

senA B A B

A B A B

36. Si c son vectores de 3

V ,demuestre que . 0A A B

Supongamos que 1, 2, 3a a aA y 1, 2, 3b b bB porque una determinante es cero las dos

filas son iguales y

1 2 3

. 1 2 3 0

1 2 3

a a a

a a a

b b b

A A B

37. Si A y B son vectores de 3

V ,demuestre que 2A B A B A B

0 0 2

A B A B A B A A B B A A B A A B B B

A B A B A B

38. Sean ,P Q y R tres puntos no colineales de 3

R y sean , ,O P O Q

y OR

las

representaciones de posición de los vectores ,A B y C , respectivamente. Demuestre que las

representaciones del vector A B B C C A son perpendiculares al plano que contiene

a los puntos ,P Q y R .

, ,A V O P B V O Q

y C V O R

El V PQ B A

y ,V PR C A

Los

vectores normales del plano son ,P Q y R es V PQ V PR

B A C A B A C B A A B C A C B A A A B C C A A B

En ejercicios del 39-42 dejar A = 1, 2, 3 , 1, 2, 3 ,a a a b b bB y 1, 2, 3c c cC

39. Demuestre el teorema 10.5.4.

Page 100: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

1 2 3 1 1 2 2 3 3

2 3 3 3 2 2 3 1 1 1 3 3 1 2 2 2 1 1

2 3 3 2 2 3 3 2 3 1 3 1 1 3 1 3 1 2 1 2 2 1 2 1

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

, , , ,

, ,

, ,

, , , ,

a a a b c b c b c

a b c a b c a b c a b c a b c a b c

a b a b a c a c a b a c a b a c a b a c a b a c

a b a b a b a b a b a b a c a c a c a c a c a c

A B C

yA B A C

B C A A B C A B A C A B A C B B C A

40. Demuestre el teorema 10.5.5.

Si 1 2 3

, ,a a aA y 1 2 3

, ,b b bB ninguno de los dos vectores en 3

V y sin ningún escalar.

Nosotros utilizamos la tabla de multiplicar los elementos, con una fila de números utilizamos los

valores en ellos determinados por C, entonces,

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

, , , ,c ca ca ca b b b ca ca ca c a a a

b b b b b b

i j k i j k

A B

De 1 sacamos inmediatamente,

1 2 3 1 2 3, , , ,c c a a a b b b cA B A B

Aplicando la regla de determinantes de la tercera fila tenemos en (1)

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3

, , , ,c a a a a a a cb cb cb c

cb cb cb

i j k

A B A B

41. Demuestre el teorema 10.5.6.

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 2 2 2 1

1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1

. , , . , , , , , , , ,a a a b b b c c c a a a b c b c b c b c b c b c

a b c b c a b c b c a b c b c

A B C

1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 1 2 3

2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3

1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1

. , , , , . , , , , . , ,

.

a a a b b b c c c a b a b a b a b a b a b c c c

a b a b c a b a b c a b a b c

a b c b c a b c b c a b c b c

A B C

A B C

42. Demuestre el teorema 10.5.7.

Seleccione el acceso de tal manera que1 1 2 1 2 3

, ,b c c a a aB i C i j A i j k

Y 1 2

b cB C k y 1 2 3 1 2 1 1 2 2 1 2

a a a b c a b c a b cA B C i j k k j i mientras

Page 101: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

1 1 2 2 1 1 1 1 3 2 1 2 1 1 2. . a c a c b a b c c a b c a b cA C B A B C i i j i j demostrando(i)

43. Sean ,P Q y R . Tres puntos no colineales de 3

R y sean , ,O P O Q

y OR

las

representaciones de posición de los vectores ,A B y C ,respectivamente. Demuestre que

la distancia del origen al plano determinado por los tres puntos está dada por

.A B C

B A C A

Para un paralelepípedo, el volumen =base x altura= volumen/área de la base=

.A B C

B A C A

44. Sean OP

la representación de posición del vector ,A O Q

la representación de

posición de , yB O R

la representación de posición de C . Demuestre que el área del

triángulo PQR es1

2B A C A

, , .A V O P B V O Q C V O R

El área del triángulo PQR es la mitad del área de

un paralelogramo con PQ y PR sus lados adyacentes son:

1 1

2 2V PR V PQ B A C A

45. Si ,A B y C ,son vectores de 3

V , demuestre que

. .A B C C A B C B A ;

. . . .A B C C A B C B A C A B C A B C B B C A A

46. Si ,A B y C ,son vectores de 3

V , demuestre la identidad de jacobi

0A B C B C A C A B

Sugerencia: aplique el teorema 10.5.7 a cada término.

. . . . . .

. . . . . . 0 0 0 0,

A B C B C A C A B B A C B A B C B A C C A B C B A C A B

B C C B A A C C A B A B B A C A B C

Probada la identidad de Jacobi

47. . Si ,A B y C ,son vectores de 3

V , demuestre que

A B C A B C

Page 102: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

si y solo si 0B C A

Del ejercicio 47, B C A C A B A B C B C A

La identidad dada es verdadera si solamente si el último término es el vector cero.

48. Describa las interpretaciones geométricas del producto cruz, del triple producto

escalar y el triple producto vectorial

Page 103: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

Ejercicios 10.6

1. 2 2

4 16; plano xyx y

Rta =

2 2

14 16

x y (Elipse)

2. 2 2

4 4; plano yzz y

Rta =

2

21

4

yz (Hiperbola)

Page 104: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

3. ; plano xzx

z e

4. ; plano xzx y

En los ejercicios 5 a 12, dibuje el cilindro que tiene la ecuación indicada

5. 2 2

4 9 36x y

2 24 9 36x y tiene los reglajes paralelos al plano al eje z, la directriz en el plano zy

es la elipse 2 2

4 9 36x y

Page 105: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

6. sen ( )z y

El cilindro sen ( )z y tiene los reglajes paralelos al eje z; la directriz en el plano

yz es la misma curva del seno

7. y z

8. 2 2

4x z

9. 2

2z x

Page 106: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

10. 2 2

4z y

11. cosh( )y x

12. 2 3

x y

Page 107: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

En los ejercicios 13 a 20, obtenga una ecuación de la superficie de revolución generada

al girar la curva plana alrededor del eje indicado. Dibuje la superficie

13. 2

4x y en el plano xy, alrededor del eje y

Reemplazamos 2

x con 2 2

x z : y obtenemos 2 2

4x z y

14. 2 2

4 16x z en el plano xz, alrededor del eje z

Reemplazamos 2

x con 2 2

x y y obtenemos 2 2 2

4 16x y z

15. 2 2

4 16x z en el plano xz, alrededor del eje x

Reemplazamos 2

x con 2 2

x y y obtenemos 2 2 2

4 4 16x y z

Page 108: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

16. 2

4x y en el plano xy, alrededor del eje x.

Porque deseamos reemplazar 2

y con 2 2

y z , primero elevamos la ecuación al

cuadrado obteniendo: 4 2

16x y

La ecuación de la superficie de revolución es: 4 2 2

16( )x y z

17. 3y z en el plano yz, alrededor del eje y.

Elevamos al cuadrado para obtener: 2 2

9y z y reemplazamos 2

z con 2 2

( )x z

para obtener: 2 2 2

9( )y x z

18. 2 2

9 4 144y z en el plano yz, alrededor del eje z

Reemplazamos 2

y con 2 2

x y para obtener:

2 2 29( ) 144x y z

Page 109: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

19. sin( )y x en el plano xy, alrededor del eje x

Elevamos al cuadrado: 2 2

sin ( )y x y reemplazamos 2

y con2 2

y z obtenemos

2 2 2sin ( )y z x

20. 2 3

y z en el plano yz, alrededor del eje z

Reemplazamos 2

y con 2 2

x y y obtenemos:

2 2 3x y z

En los ejercicios 21 a 28, obtenga una curva generatriz y el eje para la superficie de

revolución dada. Dibuje la superficie.

21. 2 2 2

16x y z

Como es una esfera existen muchas seis formas en las que las podemos obtener

una es por ejemplo:

Revolver 2 2

16x y en el plano xy alrededor del eje z

Page 110: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

22. 2 2

x z y

Revolucionamos 2

x y en el plano xy

23. 2 2 2

4x y z

Revolucionamos 2 2

4x z en el plano xz

24. 2 2 2 x

y z e

El eje de revolución es el eje x . Podemos empezar tanto como por 2 2 x

y e ó

xy e el plano xy

Page 111: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

25. 2 2

x z y

La ecuación 2 2

x z y tiene como eje y como su eje de revolución y como

curva de generación 2

x y en el plano xy

26. 2 2 2

4 9 4 36x y z

El eje de revolución es el y y su curva es 2 2

4 9 9x y

Page 112: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

27. 2 2 2

9 9 0x y z

El eje de revolución es el y ; la curva de generación es 2 21

9x y en el plano xy

28. 2 2

4 4 9x y z

Podemos reescribir la ecuación como: 2 2

4( ) 9x y z

El eje de revolución es el eje z . La curva puede ser 2

4 9x z

29. En los incisos (a) – (f), relacione la ecuación con la superficie correspondiente,

generada en computadora (i) – (vi) e identifique la siguiente superficie.

(a) 2 2

9 4 36 36x y z

(b) 2 2

5 2 3x z y

(c) 2 2 2

9 4 36 36x y z

(d) 2 2

5 2 3x z y

(e) 2 2 2

9 4 36 36x y z

(f) 2 2 2

9 4 36 36x y z

Page 113: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

(a) = (v) Hiperboloide de una hoja (b) = (iii) Paraboloide Hiperbólica

(c) = (vi) cono elíptico (d) = (i) Paraboloide elíptica

(e) = (ii) Elipsoide (f) = (iv) Hiperboloide de dos hojas

30. En los incisos (a) – (f), relacione la ecuación con la superficie correspondiente,

generada en computadora, (i) – (vi) e identifique la superficie.

(a) 2 2 2

4 16 9 0x y z

(b) 2 2

3 7 6y z x

(c) 2 2 2

25 4 100x y z

(d) 2 2

3 7 6y z x

(e) 2 2 2

25 4 100x y z

(f) 2 2 2

25 100 4x y z

Page 114: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

a) = (iii) es un cono elíptico b) = (v) Paraboloide elíptico

c) = (i) Hiperboloide de dos hojas d) = (vi) Paraboloide hiperbólica

e) = (iv) Hiperboloide de una hoja f) = (ii) Es una elipsoide

En los ejercicios 31 a 42, dibuje la grafica de la ecuación e identifique la superficie

31.

2 2 24 9 36x y z

Page 115: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

La superficie es un elipsoide con semiejes 3,2 y 6

32. 2 2 2

4 9 36x y z

Dividiendo la ecuación para 36, tenemos:

2 2 2

19 4 36

x y z

Comparando la ecuación con el tipo (I), podemos concluir que la grafica será una

hiperboloide elíptica

33. 2 2 2

4 9 36x y z

Simplificando:

2 2 2

19 4 36

x y z

Comparando con (I), podemos concluir que la superficie es una hiperboloide elíptica de

una cara cuyo eje es el eje x

34. 2 2 2

4 9 36x y z

Page 116: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

La superficie es una Hiperboloide elíptica de una hoja cuyo eje es el y

35. 2 2 2

x y z

Igualamos a cero: 2 2 2

0x y z

Es del tipo (III) con A = B = 1. La superficie es un cono circular con eje Y

36. 2 2 2

x y z

La ecuación es del tipo (III) Con A = B = 1 por lo tanto, es un cono circular con el eje

en x

37.

2 2

436 25

x zy

Es del tipo (II) una paraboloide elíptica con el eje en y

Page 117: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

38.

2 2

425 36

y xz

Es del tipo (II), una paraboloide elíptica cuyo eje es el Y

39.

2 2

936 25

x zy

Es una gráfica del tipo (II) una paraboloide hiperbólica cuyo eje es el Y

40. 2

2 4x y z

Page 118: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

Como 2 22 4 20 2 5 , podemos escribir la ecuación como

2 1 22 5

5 5x y z

Si 1

cos( )5

y 2

( )5

sen sustituimos y hacemos

1 2

5 5y y z

2 1

5 5z y z

Representa una rotación del eje ‘ y ’ y del eje z en el plano yz por lo que la ecuación

(1) se convierte en: 2

2 5x y que es un paraboloide cilíndrico.

41. 2 2

16 4 16x z y

Tipo (I) una hiperboloide elíptica con eje en Y

42. 2 2

9 4 18 0y z x

2 2

9 / 2 2

x yz Es del tipo (II), un paraboloide hiperbólico con el eje en z

Page 119: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

43. Obtenga los valores de k para los cuales la intersección del plano 1x ky y el

hiperboloide elíptico de dos hojas 2 2 2

1y x z sea (a) una elipse, y (b) una

hipérbola.

Sustituyendo en la ecuación 1x ky del plano en la ecuación 2 2 2

1y x z de la

hiperboloide, obtenemos la proyección de la intersección en el plano zy .

2 2 2 2 2 2(1 ) 1; ( 1) 2 2y ky z k y ky z

(a) La intersección será una elipse si su proyección es 2

1 0k . Por lo que una

ecuación equivalente será:

2 2

2 2 2

2 2 2 2

2( 1) 2

1 ( 1) 1

k k kk y y z

k k k. Esta gráfica tendrá puntos

reales si

2

22 0

1

k

k;

2 22 2; 2k k k

(b) La intersección es una hipérbola si 2 2

1 0; 1; 1.k k k

44. Determinar el vértice y el foco de la parábola que es la intersección del plano

2y y el paraboloide hiperbólico

2 2

16 4 9

y x z.

Sea 2y en la ecuación dada, reescribimos la ecuación en su forma normal:

21

4 4 9

x z;

2 1 94

9 4x z

Page 120: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

El cruce de la sección dada en el plano 2y es una parábola con el vértice en

90, 2,

4. La parábola tiene su eje paralelo al z y se abre hacia abajo. Como

1

9p entonces el foco de la parábola es

9 10, 2,

4 9=

770, 2,

36. La figura

muestra el paraboloide hiperbólico resultante.

45. Obtenga el vértice y el foco de la parábola que es la intersección del plano 1x

y el paraboloide hiperbólico

2 2

4 9 3

z x y.

Sustituimos la ecuación del plano 1x en la ecuación del paraboloide hiperbólico,

obteniendo

21

4 9 3

z y;

2 1 14

3 3z y . Como 1x es paralelo a la proyección,

encontramos los vértices en 1

1, ; 03

. El eje es paralelo al y además la parábola se

abre en la dirección positiva del eje, 1

3p entonces el foco se encuentra en 1, 0, 0

Page 121: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

46. Calcule el área de la sección plana formada por la intersección del plano 3y y

el sólido limitado por el elipsoide

2 2 2

19 25 4

x y z.

Siguiendo el mismo procedimiento obtenemos la ecuación

2 29

19 25 4

x z,

2 216

9 4 25

x z,

2 2

1144 64

25 25

x z, Área =

12 8

5 5 =

96

25

47. Demuestre que la intersección de la superficie 2 2 2

4 9 36x y z y el plano

9x z es una circunferencia.

Cualquier punto en 2 2 2

4 9 36x y z2 2 2 2 2

; 4 4 4 5 5 36x y z x z

5 ( ) 36x z x z y un plano de la forma x z k debe caer en la esfera

2 2 24 4 4 5x y z k x y , y la intersección de un plano y una esfera es un circulo.

Similar respuesta para planos x z k

48. Pruebe que la intersección del paraboloide hiperbólico

2 2

2 2

y x z

b a c y el

hiperboloide elíptica de una hoja

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c es la intersección de dos líneas

que se encuentran en su superficie.

Page 122: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

Factorando la ecuación dada:

y x y x z

b a b a c

Para cualquier valor de k , cada punto de la línea de intersección de los planos

y x zk

b a c y

1y x

b a k

Satisface la ecuación del hiperboloide de una hoja, y por lo tanto la línea debe estar

contenida enteramente en ella. De la misma manera cada punto de la paraboloide

determina un valor de k . De manera similar, para cualquier k , cada punto de la línea

de intersección de los planos y x z

kb a c

y y x z

kb a c

cae dentro de la

paraboloide hiperbólica

En los ejercicios 49 a 51, utilice el método del rebanado para calcular el volumen del

sólido. La medida del área de la región limitada por la elipse que tiene semiejes a y b es

ab .

49. El sólido limitado por el elipsoide 2 2 2

36 9 4 36x y z

La elipsoide se puede expresar como:

2 2

21;

4 9

y zx

2 2

21

4 9

y zx un plano

de sección de la elipsoide en , 0 1,i i

x es una región delimitada por una

elipse de semiejes 2

2 1i

y 2

3 1i

, por lo tanto, sea V es volumen:

2 2

01

2 lim 2 1 3 1

n

i i i

i

V x x = 1

2

012 1 8x x

50. El sólido limitado por el elipsoide

2 2 2

2 21

x y z

a b c

Definiendo , , 0a b c . El área del corte en x es

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 21 1

1 / 1 /

x y z x y

a b c a z c b z c, la cual es una elipse de

semiejes 2 2

' 1 /a a z c y 2 2

' 1 /b b z c y área

2 2' ' (1 / )A a b ab z c .

Por lo tanto su volumen será:

2 3

2 20

0

42 1 2

3 3

c

c z zV ab z ab z abc

c c

Page 123: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

51. En el sólido limitado por el plano z h , donde 0h , y el paraboloide elíptico

2 2 2

2 2donde 0

x y zc

a b c

Una sección plana de la superficie en , 0 ,i i

z h es una elipse de semiejes

,i i

a bc c

. Sea V el volumen cúbico del sólido, entonces:

01

lim

n

i i

i

i

V a b zc c 0

h

ab z z

2abh

c

52. Dibuje la superficie de revolución generada al girar la generatriz

2

23 9

3 ln 9y

x yy

alrededor del eje x.

Cuando 3, 0y x y a medida que 0 , y x . La figura muestra la

superficie, llamada seudo-esfera, la cual tiene aplicación en la geometría no euclidiana

Page 124: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

Ejercicios 11.1

En los ejercicios 1 a 8 determine el dominio de la función vectorial.

1. 1

R ( ) i 4 jt tt

1 / i 4 j (1 / ) 4Dom t t Dom t Dom t

0 4 , 0 0, 4t t

2. 2 1

R ( ) +3 i j1

t tt

-1 -12 23 i 1 j 3 1Dom t t Dom t Dom t

1 1t t

3. 1

R( ) t i ln( 1) jt sen t

1 1sin i ln 1 j sin ln 1Dom t t Dom t Dom t = 1,1

4. 1 1

R( ) cos t i (sec ) jt t

Como 1

cos [ 1,1]Dom t y 1

sec ,1 1,Dom t

El dominio de la función es su intersección es decir los números -1 y 1

5. R ( ) 2 i 4 j + cot( ) kt t t t

2 i 4 j cot ( ) k =Dom t t t 2, , 4 t kx

2, 0 0, , 4

6. 2

R( ) 9 i ln 3 j + ( 8) kt t t t t

29 i ln 3 j ( 2 8) k = , 3 3, 3Dom t t t t t

= , 3 3,

7. 2

R( ) ln sin( ) i 16-t j + ln 4 kt t t

2ln sin i 16 j ln 4 k = [ 4, 4] 4Dom t t t t kx t

Page 125: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

4, , 0 0, , 4

8. 2 1

R ( ) tan( ) i 4 - j + k2

t t tt

Tenemos 2 1

4 [ 2, 2] y 22

Dom t Dom tt

Como 1

1.572

entonces 1 1 1 1

( ) 2, , , 22 2 2 2

Dom R

En los ejercicio 9 -12, encuentre (a) (F + G) (b) (F - G) (c) (F.G) (d) (FxG)

9.

2F( ) 1 i 1 j + 1 k

G ( ) 1 i j + 1 k

t t t t

t t t

(a) 2

(2 , , 2 )F G t t t

(b) 2 2 2 2

( 1) ( 1) ( 1) 3 3F G t t t t

(c) 2

(2, 2, 2)F G t

(d) 2 3 2 3 2

1 1 1 ( 2 ) i 4 j (2 ) k

1 1 1

i j k

F G t t t t t t t t t t

t t

10.

2 2

2 2

F( ) 4 i 4 j 4 k

G ( ) i 4 j 4 k

t t t

t t t

(a) 2 2

(4 , , 8)F G t t

(b) 2 2 2

(4 2 , 8 , )F G t t t

(c) 2 4 2 2 2 4

4 4 16 4 16 4F G t t t t t t

(d) 2 2 2 4 2 4 2

2 2

4 4 4 ( 4 8 32) i + 8 +16 j ( 4 16) k

4 4

i j k

F G t t t t t t t t

t t

11. F( ) cos( ) i sin( ) j k

G( ) sin i cos j k

t t t t

t t t t

(a) (cos sin , cos sin , 0)F G t t t t

(b) (cos sin , (cos sin ), 2 )F G t t t t t

(c) 2 2

cos sin sin cosF G t t t t t t

Page 126: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

(d) cos sin (sin cos ) i + sin cos j k

sin cos

i j k

F G t t t t t t t t t

t t t

12. F( ) sec( ) i tan( ) j 2 k

G( ) sec( ) i tan( ) j k

t t t

t t t t

(a) (2 sec , 0 , 2)F G t t

(b) (2 tan , 0, 2 )F G t t

(c) 2 2

sec tan 2 2 1F G t t t t

(d) sec tan 2 ( 2) tan i + sec 2 j 2 tan sec k

sec tan

i j k

F G t t t t t t t t

t t t

13. F y G son las mismas funciones del ejercicio 9

( ) 1; ( ) 1f t t g t t

En los ejercicios 13-16 calcule (a) ( )( )fF t (b) ( )( )fG t (c) ( )F g t (d) ( )G g t

14. F y G son las mismas funciones del ejercicio 10

( ) 1 / 2 ; ( ) 2f t t g t t

(a) 2 3 2 2

( ) ( ) ( 1, 1, 2 1)f t F t t t t t t t

(b) 2 2

( ) ( ) ( 2 1, 1, 1, )f t G t t t t t

(c) 2

( ( )) ( 2, 2 , )F g t t t t t

(d) ( ( )) ( ,1, 2)G g t t t

15. F y G son las mismas funciones del ejercicio 11

1( ) sin ; ( ) sin ( )f t t g t t

(a) 2

( ) ( ) sin cos i sin j sin kf t F t t t t t t

(b) 2

( ) ( ) sin i + sin cos j sin kf t G t t t t t t

(c) 2 1

( ( )) 1 i j sin kF g t t t t

(d) 2 1

( ( )) i 1 j sin kG g t t t t

16. F y G son las mismas funciones del ejercicio 12 1

( ) cos ; ( ) cos ( )f t t g t t

Page 127: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

(a) ( ) ( ) i sin j 2cos kf t F t t t

(b) ( ) ( ) i sin j cos kf t G t t t t

(c) 1 1

( ( )) sec(cos ) i tan(cos ) j 2 kF g t t t

21

1 / i j 2 kt

tt

(d)

2

11( ( )) 1 / i j cos k

tG g t t t

t

En los ejercicios 17- 24 calcule los límites indicados si es que existen

17.

2

2

4( ) ( 2) i j k; lim ( )

2 t

tt t t t

t

2

2

4lim ( 2)i j k 0i 4 j + 2k

2t

tt t

t

18.

2

1

1 1( ) i j 1 k; lim ( )

1 1 t

t tt t t

t t

2

1

( 1) 1lim i j 1 k 2i

1 1t

t tt

t t

19. 0

sin( ) sin i cos j k ; lim ( )

t

tt t t t

t

0

sinlim sin i cos j k j + kt

tt t

t

20. 0

1 cos( ) i j k ; lim ( )

t t

t

tt e e t

t

Como 0 0

1 cos sinlim lim 0t t

t t

t t y

0

0 0

lim lim 1t t

t t

e e e

Entonces 0

lim ( ) j + kt

r

21. 2

1

2 sin tan( ) i j k; lim ( )

2 1 1 t

t t tt t

t t t

21

2 sin tan 1lim i j k i j + k

2 1 1 2t

t t t

t t t

Page 128: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

22.

2 2

0

1 cos 1 cos( ) i j k; lim ( )

1 sin 1 cos sin t

t t tt t

t t t

2

1

1 cos 1 cos 1lim i j k 2i 2 j

1 sin 1 cos sint

t tt

t t t

23. 1/t1 1

0

( ) i j 1 k; lim ( )t t

t

t e e t t

1 1 1 /

0

lim i j (1 ) k (i +j + k)t t t

t

e e t e

24. 0

ln( 1)( ) i sinh j cosh k; lim ( )

t

tt t t t

t

Como 0 0

ln( 1) 1 /( 1)lim lim 1

1t t

t t

t

Luego

0

lim ( ) 1 i + sinh 0 j + cosh 0 k i + kt

r

En los ejercicios 25-30, determine los números para los que la función vectorial es continua

25. 2 1

( ) i ln( 1) j k2

t t tt

1, 2 2,

26. 11

( ) ( 1) i j k1 1

t

tt t

e t

0,1t

27. ( ) cos i sec j tan kt t t t

1( ) , siendo k cualquier entero

2t k

28. ( ) sin i tan j cot kt t t t

La función tangente es continua excepto en los múltiplos impares de 1

2, la función

cotangente es continúa excepto en los múltiplos pares de 1

2. Por lo tanto la función

es continua en todos los números reales excepto 1

2k donde k es cualquier entero

Page 129: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

29.

21 / 2

i j k si 0( )

0 si 0

te t t

tt

Es continua para todos los números reales

30.

sin 1 cos 1 i j k si 0

( )

i k si 0

tt t e

tt t t t

t

Es continua para todos los números reales

En los ejercicios 31 a 42, dibuje la gráfica de la función vectorial.

31. 2

( ) i 1 jt t t

32. 2

4 4( ) i jt

t t

33. 2

( ) 2 i +4 jt t t

Page 130: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

34. ( ) 3 cosh i 5 sinh jt t t

35. ( ) i 6 4 j 5 2 kt t t t

36. ( ) 1 i 2 3 j 2 3 kt t t t

37. ( ) cos i sin j k 0 2t t t t t

Page 131: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

38. ( ) 3 cos i 3 sin j 2 k 0 4t t t t t

39. ( ) 2 cos i 3 sin j 4 k 0 4t t t t t

40. 1

( ) 4 cos i sin j k 0 22

t t t t t

Page 132: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

41. 2

( ) 3 i 2 j k 0 2t t t t t

42. 2 33

( ) i j k 0 22

t t t t t

En los ejercicios 43 a 46, las figuras (a) – (c) son gráficas, generadas en computadora, de

la curva del ejercicio indicado, vista desde tres puntos diferentes del espacio. Relacione

la gráfica con uno de los puntos de vistas dados.

Page 133: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

43. Ejercicio 37; (0,0,8), (0,8,0) y (4,8,4)

(a) (0,8,0) (b) (4,8,4) (c) (0,0,8)

44. Ejercicio 38; (0, 0, 28), (0, 28, 0) y (14, 28, 14).

(a) (14, 28, 14) (b) (0, 0, 28) (c) (0, 28, 0)

45. Ejercicio 41; (10,0,0), (-10,0,0) y (0,0,10)

(a) (0, 0, 10) (b) (-10, 0, 0) (c) (10, 0, 0)

46. Ejercicio 42; (15,0,0)

Page 134: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

(a) (-15, 0, 0) (b) (0, 0, 15) (c) (15,0,0)

En los ejercicios 47 a 49 demuestre el teorema de los límites si ( ) y ( )U t V t son

funciones vectoriales tales que lim ( ) y lim ( )t a t a

U t V t existen.

47. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )t a t a t a

U t V t U t V t

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 2

lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( )

lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )

lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) (

t a

t a t a t a

t a t a t a t a t a t a

t a t a

U t V t U t V t U t V t

U t V t U t V t U t V t

U t V t U t V t U t V t

U t U t U t V t V t3

) ( )

lim ( ) lim ( )t a t a

V t

U t V t

48. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )t a t a t a

U t V t U t V t

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 2 3

lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( )

lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )

lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )

t a t a t a

t a t a t a t a t a t a

t a t a t a t a t a t a

U t V t U t V t U t V t

U t V t U t V t U t V t

U t U t U t K V t V t V t K

lim ( ) lim ( )t a t a

U t V t

49. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )t a t a t a

U t V t U t V t

Page 135: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

lim

lim lim lim

t a

t a t a t a

U V U V i U V U V j U V U V k

U V U V i U V U V j U V U V k

2 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

1 2 3 1 2 3

lim lim 3 lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim

lim lim lim lim lim lim

lim ( )

t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a

t a t a t a t a t a t a

t a

U V U V i U V U V j U V U V k

U i U j U j V i V j V k

U t lim ( )t a

V t

50. Si f es una función real tal que lim ( )x a

f t existe y V es una función vectorial tal

que lim ( )x a

V t existe, demuestre que lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f t V t f t V t

1 2 3 1 2 3lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim( ) lim( ) lim( )x a x a x a x a x a

f t V t fV i fV j fV k fV i fV j fV k

Utilizando el teorema 11.1.3

1 2 3

1 2 3

lim lim ) lim lim ) lim lim )

lim lim lim lim

lim lim

x a x a x a x a x a x a

x a x a x a x a

x a x a

f V i f V j f V k

f V i V j V k

f V

51. Demuestre que si la función vectorial V es continua en un número a, entonces

( )V t es continua en a.

Si V es continua, entonces por el ejercicio 48, V V es continua y también por LT 10,

entonces es V V V

Page 136: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

Ejercicios 11.2

En los ejercicios del 1 al 10 calcule '( )tR ''( )tR

1. 1( ) t t tR i j

2

'( ) t tR i j

3''( ) 2t tR j

2. 2

( ) -3 1t t tR i j

'( ) 2 2t tR i j

''( ) 2tR i

3. 2

1 2( )

1

t tt

t tR i j

2 2'( ) 2 1 2t t tR i j

3 3''( ) 4 1 4t t tR i j

4. 1

2( ) 4 1 5t t tR i j

2 1 / 22 5'( ) 2 4 1 5

2t t t tR i j

3 3 / 22 2 25''( ) 6 8 4 1 5

4t t t tR i j

5. 2 2( ) ln

tt e t tR i j k

2 1'( ) 2 2

tt e t tR i j k

2 2''( ) 4 2

tt e tR i j k

6. ( ) cos 2 tan t t t tR i j k

'( ) 2 2 sec t sen t tR i j k

2''( ) 4 cos 2 2 sec tant t t tR i j

7. 1 1 -1( ) tan sin cos t t t tR i j k

2 2 2

1 1 1'( )

1 1 1

tt t t

R i j k

Page 137: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

2 2 3 / 2 2 3 / 22

2''( ) +

(1 ) (1 )1

t t tt

t tt

R i j k

8. 3 3

( ) +2 2 3 2 t t t

t e eR i j k

3 3 t

'( ) 3 6 3 ln 2 2 t t

t e eR i j k

23 3 t''( ) 9 +18 +3 ln 2 2

t tt e eR i j k

9. ( ) 5 sin 2 sec 4 4 cos 2 t t t tR i j k

'( ) 10 cos 2 4 sec 4 tan 4 8sin 2 t t t t tR i j k

3''( ) 20 sin 2 + 16 sec 4 32 sec 4 16 cos 2 t t t t tR i j k

10. 1( ) tan 3 ln sin t t t tR i j k

2 2

'( ) 3 sec 3 3 cot 3 t t t tR i j k

2 2 3''( ) 18 sec 3 tan 3 csc t 2 t t t tR i j k

En los ejercicios del 11 -14 encontrar 1( )D tR

11. ( ) 1 2 t t t tR i j

2 2 2( ) 1 2 2 6 5t t t t tR

2 2

4 6 2 3( )

2 2 6 5 2 6 5t

t tD t

t t t t

R

12. ( ) 1 1 t t

t e eR i j

2 22 2 2

( ) 1 2 1 2 1 2 2t t t t t t t

t e e t e e e e eR

21 / 2

2 2

2

1 2( ) 2 2 4

2 2 2

t

t t

tt

eD t e e

e

R

13. ( ) sin 3 cos 3 t t tR i j

2 2 6 6( ) sin 3 cos 3 4 1 4

t tt t t e eR

6

6

12( )

1 4

t

tt

eD t

e

R

14. 2 2( ) 1 1 t t tR i j

Page 138: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

2 2 2( ) 1 1 3t t t t tR

( ) 3 sgn( )t

D t tR

En los ejercicios 15 a 18 verifique el teorema 11.2.4 para las funciones vectoriales

indicadas

15. 2 2( )

t tt t e t eR i j

3 2( ) 2 3

t tt t e t eQ i j

2 3 2

2 2

( ) ( ) 3 2 2

( ) ( ) 2 3 3 2 4

t t

t t

t t

t

D t t D t t e t e

D t t t t e e

R Q i j

R Q i j

2 2 2( ) ( ) 2 1 2 3 2 3 2

t t t t

t tD t D t t e e t e eR Q i j i j

2 2( ) ( ) 2 3 3 2 4

t t

t tD t D t t t e eR Q i j

16. 2( ) cos 2 sin 2 ; ( ) sin cos 2 t t t t t tR i j Q i j

2( ) ( ) cos 2 sin 2 sin cos 2

t tD t t D t t t tR Q i j i j

2( ) ( ) cos 2 sin sin 2 cos 2

t tD t t D t t t tR Q i j

( ) ( ) 2 sin 2 2 sin cos 2 cos 2 2 sin 2 t

D t t t t t t tR Q i j

2( ) ( ) cos 2 sin 2 sin cos 2

t t t tD t D t D t t D t tR Q i j i j

( ) ( ) 2 sin 2 2 cos 2 2 sin cos 2 sin 2 t t

D t D t t t t t tR Q i j i j

( ) ( ) 2 sin 2 2 sin cos 2 cos 2 22 sin 2 t t

D t D t t t t t tR Q i j

17. ( ) 2 sin cos sin 2 ;

( ) cos 2 sin

t t t t

t t t

R i j k

Q i j k

( ) ( ) 2 sin cos cos 2 sin sin 2 1t t

D t t D t t t t tR Q i j k

( ) ( ) 2 cos sin 2 cos 2 sin 2 cost

D t t t t t t tR Q i j k i j

( ) ( ) 2 cos sin 2 cos 2 sin 2 cost t

D t D t t t t t tR Q i j k i j

18.

3 3

4

( ) 4 2 ;

( ) 2

t t

t t t

t e e

t e e e

R i j k

Q i j k

Page 139: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

3 3 43 12 8

t t t t t

t t tD D D e e e e eR Q R Q i j

19. Ejercicio 15

2 3 2( ) ( ) t 2

t t t

t tD t t D t e e t eR Q

3 2 2 2 2

2

( ) ( ) (2 )( 2 ) ( )(3 2 ) (1 2 )(3 )

( )(3 2 )

t t t t t t

t

t t

D t t t e t e t e t e e t e

t e e

R Q

( ) ( ) ( ) ( )t t

D t t t D tR Q R Q

2 3 2

2 2 2 2

2 1 2 2 3

3 2 3 2

t t t t

t t t t

t e e t e t e

t e t e t e e

i j i j

i j i j

3 2 2 2 2 2 22 2 1 2 3 3 2 1 3 2

t t t t t t t tt e t e e t e t e t e e e

20. Ejercicio 16

( ) ( ) ( ) ( )t t

D t t t D tR Q R Q

sin 2 sin 2 cos 2 2 sin cos sin 2 2 sin 2 cos 2 2 cos 2tt t t t t t t t t

2 2 22 sin sin 2 sin cos cos 2 2 sin 2 2 cos 2t t t t t t t

Como

( ) cos 2 sin 2

2 sin 2 2 cos 2

t tD t D t t

t t

R i j

i j

Entonces

2

2 2

( ) ( ) 2 sin 2 2 cos 2 sin cos 2

2 sin sin 2 2 cos 2

tD t t t t t t

t t t

R Q i j i j

Además

2( ) sin cos 2

2 sin cos 2 sin 2

t tD t D t t

t t t

Q i j

i j

Por lo tanto

2

( ) ( ) cos 2 sin 2 2 sin cos 2 sin 2

2 sin cos cos 2 2 sin

tt D t t t t t t

t t t t

R Q i j i j

Al sumar ambas partes de las ecuaciones resultantes tenemos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t

D t t D t t t D tR Q R Q R Q

21. Ejercicio 17

Page 140: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

( ) ( ) 2 sin cos 2 sin cos sin 2 2 cos 2t t

D t t D t t t t t tR Q

2 2 2 2' ' (2 cos 2 sin 2 cos 2 ) ( 2 sin 2 cos ) 2 cos 2t t t t t tR Q R Q

22. Ejercicio 18

4

' ' 36t

tD eR Q R Q RQ

23. ( ) cos 2 ; es la función del ejercicio 9f t t R

25 sin 2 cos 2 cos 2 sec 4 4 cos 2

t tD f D t t t t tR i j k

2 210 cos 2 sin 2 2 sin 2 sec 4 4 cos 2 sec 4 tan 4 ' 't t t t t t t f fi j R R

24. ( ) ; es la función del ejercicio 8t

f t e R

4 4

4 4

( ) 2 2 3 2

4 2 8 3 1 ln 2 2

t t t t

t t

tt t t

D f t t D e e e e

e e e e

R i j k

i j k

3 3 4 2 3'( ) ( ) ( ) '( ) 2 2 3 2 4 2 6 3 ln 2 2

t t t t t t t tf t t f t t e e e e e e eR R i j k i j k

4 44 2 8 3 1 ln 2 2

tt t te e e ei j k

25. Ejercicio 17

( ) ( ) 2 sin cos sin 2

cos 2 sin 1

t tD t t D t t t

t t

i j k

R Q

2 2cos 2 sin sin 2 2 sin sin 2 cos 4 sin cos

tD t t t t t t t ti j k

=

sin 4 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin 10 sin cost t t t t t t t t t t ti j

2 cos sin 2 cos 2 2 cos sin 2 cos 2

cos 2 sin 1

tD t t t t t t

t t

i j k

R Q i j k Q

=

sin 4 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin 10 sin cost t t t t t t t t t t ti j

26. Ejercicio 18

7 7 4' ' 56 2 14 2 12

t t t t t

tD e e e e eR Q R Q R Q i j k

Page 141: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

En los ejercicios 27 y 28 verifique el teorema 11.2.8 para las ecuaciones dadas

27. 2( ) ln y ( )

th t eF i j k

1 2'( ) 2 . ' ( ) '( ) 2 2

t t t t th t h t e e e e eF i j k F i j k i j k

28. 1( ) sin cos y ( )h t sen tF i j k

2 1

2 2

1( ( )) 1 sin

1 1t t

tD h t D t t t

t t

F i j k i j k

2

2 2 2

1 1'( ( )) '( ) 1

1 1 1

th t h t t t

t t t

F i j k i j k

29. Demuestre el teorema 11.2.4

1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t tD t t D f t g t h t f t g t h tR Q i j k i j k

1 1 1 2 1 2'( ) '( ) '( ) '( ) '( ) '( )f t f t g t g t h t h ti j

1 1 1 2 2 2'( ) '( ) '( ) '( ) '( ) '( ) ( )

t tf t g t h t f t g t h t D t D ti j i j R Q

30. Demuestre el teorema 11.2.6

1 1 1 1 1 1 1 1 1' ' ' ' '

t tD f t D f f f g f h f f f f f g f f f h f fR i j k i j k

1 1 1 1 1 1' ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( ) '( )f f t g t h t f f t g t h t f t f ti j k i j k R R

31. Demuestre el teorema 11.2.7

1 1 1 1 1 1

1 1 1

2 2 2 2 2 2

2 2 2

t t

f g hg h f h f g

D f g h D f g hg h f h f g

f g h

1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1

1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1

1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1

' '

' ' '

' ' '

f g h f g h f g h f g h f g h f g h f g h

f g h f g h f g h f g h f g h f g h f g h

f g h f g h f g h f g h f g h f g h f g h

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

' ' '

' ' '

' ' '

f g h f g h f g h

f g h f g h f g h

f g h f g h f g h

32. Demuestre el teorema 11.2.8

Tenemos y ( )h t h t f g hF i j k

Page 142: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

Aplicando la regla de la cadena para funciones de valores reales, tenemos

( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t t

D h t D f g h D f D g D hF i j k i j k

( ) ( ) ( ) '( ( ))t t

D f g h D h t Di j k F

En los ejercicios 33 a 40 encontrar la ecuación más general cuya derivada tenga el valor

de función indicada

33. 1

tan tt

i j

1 2

1tan ln sec ln ln sec lnt t t t C t C t t C

ti j i j i

34. 2( ) 9 2 5 t t tR i j

2 3 219 2 5 9 5

3t t t t t t t Ci j i j

35. 2( ) ln t t tR i j

Sea 3 1

'( )1

tt e

tR i j entonces

3 31( ) ln 1

1 3

t ttt e t e t C

tR i j i j

36. 2 2

1 4

4 1t ti j

2 2

1 4( )

4 1t t t

t tR i j =

1arctan 4 arc tanh

2 2

tt Ci j

37. 3 3 3

t t te e tei j k

3 3 3 3 3 31 1 1 1

3 3 3 9

t t t t t t te e e t e e te e Ci j k i j k

38. ( ) 3 2 + t t t

t eR i j k

3 23 2

ln 3 ln 2

t

t t t tte t e Ci j k i j k

39. 1

tan + sec t tt

i j k

Page 143: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

1tan sec ln sec ln sec tan lnt t t t t t t C

ti j k i j k

40. sin cos t t t t ti j k

21sin cos cos sin sin cos

3t t t t t t t t t t t t Ci j k i j k

41. 2 1Si '( ) y (3) 2 5 , calcule ( ).

2t t t

tR i j R i j R

11

2 3 3

33

1 1 1(3) '( ) 2 5 2 5 ln 2 7 ln 2 5

2 3 3t t t t t t t t

tR R i j i j i j i j i j

42. 2 2Si '( ) sin 2 cos y ( ) 0, calcule ( ).t t t tR i j R R

1 1( ) 0 0 ;

2 2C CR i j i j

1 1 1( ) sin 2 1 sin 2

2 2 2t t t tR i j

43. Si '( ) sin cos y (0) , calcu le ( ).t t

t e t t e tR i j k R i j k R

0 0(0) '( ) ( ) sin cos

1 3sin cos sin 1 2

2 2

t tt t

t t

t t e t t e t

e t t t e

R R i j k i j k

i j k

44. 2

1Si '( ) tan y (0) 4 3 5 , calcu le ( ).

1 1

tt t t

t tR i j k R i j k R

20 0

2

1 1( ) (0) '( ) (0) tan

1 1

1ln 1 4 ln cos 3 ln 1 5

2

t t

t t t t tt t

t t t

R R R R i j k

i j k

En los ejercicios 45 y 46 haga lo siguiente: (a) obtenga una ecuación cartesiana de la

curva descrita por el punto terminal de la representación de posición de '( )tR ; (b)

Calcule ( ) '( )t tR R e interprete el resultado

Page 144: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

45. ( ) cos sin t t tR i j

'( ) sin cost t tR i j Parametrizando 'R tenemos sin y cosx t y t una

ecuación cartesiana sería 2 2 2 2

sin cos 1x y t t , un circulo unitario.

( ) '( ) cos sin cos sin 0t t t t t tR R La representación de 1

'( )tR con un

punto inicial en 1

( )tR se encuentra a lo largo de la línea de tangente al circulo en

1( )tR .

46. ( ) cosh sinh t t tR i j

'( ) sinh cosh .t t tR i j Parametrizando estas ecuaciones tenemos

cosh , sinh ;x t y t una ecuación cartesiana es

2 2 2 2cosh sinh 1, 1x y t t x , un hipérbola.

47. 2 2 3( ) 3 4 y ( ) 6

t t tt e e t eR i j Q j

( )tR tiene la misma dirección que 3 +4i j y ( )tQ tiene la misma dirección que j .

Por lo tanto ( )a t es una constante y ( ) 0t

D a t

48. 2( ) 2 1 y ( ) 3t t t t tR i j Q i

En los ejercicios 49 a 52 encuentre el valor exacto de L desde 1 2 a t t

49. 2

1 2( ) 1 1 2 ; 1; 2t t t t t tR i j k

22

1

3 35 4 21 ln 4 21

2 4L t t

50. 3 / 2

1 2( ) sin 2 cos 2 2 ; 0; 1t t t t t tR i j k

1 1 / 2 3 / 2

0

24 9 13 8

27L t t

51. 3 / 2

1 2( ) 4 3 sin 3 cos ; 0; 2t t t t t tR i j k

2 1 / 2

0

13 4 1 27 1 13

2L t t

52. 2 3 3

1 2

1 1( ) ; 0; 1

3 3t t t t t t t tR i j k

Page 145: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

12

0

42 1 2

3L t t

53. La cubica albeada 2 3

1 2( ) ; 0; 2t t t t t tR i j k

22 2

01 4 9 9.571L t t t

54. 1 2

( ) ln ; 1; 2t t

t e e t t tR i j k

22 2

12 6.651

tL e t t

55. 3

1 2( ) cos sin ; 1; 1t t t t t tR i j k

14

11 9 3.096L t t

56. 1 / 2

1 2( ) sin 2 cos 2 ; 0; 4t t t t t tR i j k

22

016 1 8.409L t t

57. Suponga que R y 'R son funciones vectoriales definidas en un intervalo y

que 'R es diferenciable en un intervalo. Demuestre que

2

'( ) '( ) '( ) ( ) ''( )t

D t t t t tR R R R R.

2

'( ) '( ) ''( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ''( )t

D t t t t t t t tR R R R R R R R

58. Si ( ) ( ),t h tR demuestre que

( ) '( ) ( ) '( )t t h t h tR R

Diferenciando '( ) ( ) ( ) '( ) 2 ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) '( )t t t t h t h t t t h t h tR R R R R R

59. Si la función vectorial R y la función real f son diferenciables en un

intervalo y ( ) 0f t en el intervalo, demuestre que / fR es también

diferenciable en el intervalo y

2

( ) ( ) '( ) '( ) ( )

( ) ( )t

t f t t f t tD

f t f t

R R R

Page 146: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

Del teorema 11.2.6

2 1

2

( ) ( ) '( ) '( ) ( )( ) '( ) ( ) ( ) '( )

( ) ( )t

t f t t f t tD f t f t t f t t

f t f t

R R RR R

60. Demuestre que si y A B son vectores constantes y y f g son funciones

integrables, entonces

( ) ( ) ( ) ( )f t g t dt f t dt g t dtA B A B

61. Emplee el teorema del ejercicio 61 para demostrar el siguiente teorema que

corresponde al teorema 4.1.3 para funciones reales: si ( )tF es una

antiderivada particular de R en I está dada por ( )tF C , donde C es un

vector constante arbitrario.

Sea ( )tG cualquier antiderivada de R entonces '( ) '( )t tG F y por el ejercicio

62 ( ) ( )t t CG F

62. De una definición de la integral definida de una función vectorial de manera

semejante a la de integral indefinida. Después utilice el primer teorema

fundamental del cálculo (4.7.1) para demostrar el siguiente teorema que

corresponde a funciones vectoriales: si la función R es continua en el

intervalo cerrado ,a b y t es cualquier numero de ,a b entonces

( ) ( )

t

t

a

D u du tR R

Sea ( ) ( ) ( ) ( )t f t g t h tR i j k , entonces

( ) ( ) ( ) ( )t t

t ta a

D u u D f u g u h u uR i j k

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t

t ta a

D u u D f u g u h u u f t g t h t tR i j k i j k R

63. Utilice los teoremas de los ejercicios 62 y 63 para demostrar el teorema

siguiente que corresponde al segundo teorema fundamental del cálculo

(4.7.2): si la función R es continua en el intervalo cerrado ,a b y si ( )tF es

cualquier antiderivada de

R en ,a b , entonces

( ) ( ) ( )

b

a

t dt b aR F F

Como por hipótesis

'( ) ( ), y segú el ejercicio 63. ( ) ( ), se s igue del ejercicio 62 quet

ta

t t D u u tF R R R

Page 147: Solucionario Cap (7-8-9) Cálculo Vectorial - Leithold 7Ed

( ) ( )t

at u u CF R donde C es un vector constante. Como ( ) 0

a

au uR se

sigue que ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a b

a a ab a u u C u u C u uF F R R R