Calculo Real´giommi/texto-calculo.pdf · 1.1 Axioma del Supremo 3 Observacion 1.4.´ Es posible...

Godofredo Iommi

Calculo Real

Prefacio

Estas son notas construıdas a partir de diversos cursos de calculo dictados en la Pontificia UniversidadCatolica de Chile entre 2008 y 2014. Los contenidos incluıdos corresponden aproximadamente a aquellosde los programas de dichos cursos. Existe una gran cantidad de muy buenos textos de calculo y de analisisen una variable y estas notas estan basadas en parte en dichos textos. He incluıdo listas de ejercicios alfinal de cada capitulo. Varios de los problemas propuestos estan basados en artıculos publicados en diversasrevistas especializdas. El objetivo es que los estudiantes se familiaricen cuanto antes con la lectura de laliteratura cientıfica.

Agradezco a Bastian Galasso por transcribir parte de estas notas y por hacer los graficos que aquı apare-cen.

Especiales agradecimientos a Felipe Molina y Antonia Lopez por corregir algunos de los muchos erroresque se encuentran en el texto.

Este texto fue escrito utlizando el software svmono de Springer y fue parcialmente financiado por Cen-ter of Dynamical Systems and Related Fields codigo ACT1103 y por los proyectos Fondecyt 1110040 y11070050.

Godofredo IommiSantiago,

Agosto 2014.

V

Indice general

1. Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Axioma del Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Lımite de Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. Subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.2. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.3. Lımites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2. Funciones Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1. Lımite de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2. Lımites Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3. Lımites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.4. Funciones Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.5. Discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.6. Funciones Continuas en el Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3. La Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.1. Definicion y Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2. Interpretaciones de la Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2.1. Aproximacion lineal de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.2.2. Interpretacion geometrica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.2.3. Interpretacion fısica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3. Tecnicas de derivacion y derivadas de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.4. Funciones derivables en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.5. Derivadas de Orden Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.6. Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.6.1. Regla de L’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.6.2. Maximos y Mınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.6.3. Funciones concavas y convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.7. Asıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.8. Grafico de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.9. Funciones continuas no diferenciables en ningun punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

VII

VIII Indice general

4. La Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.1. La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.1.1. Sumas de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.1.2. La integral superior y la integral inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.2. Funciones Integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.2.1. La definicion de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.3. Teorema Fundamental del Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.4. Tecnicas de integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.4.1. Integracion por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1604.4.2. Cambio de Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.4.3. Sustituciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.4.4. Fracciones Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4.5. Logaritmo y Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1764.6. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4.6.1. Integrales Impropias de tipo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.6.2. Integrales impropias de tipo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1864.6.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

A. Numeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205A.1. Induccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205A.2. Progresiones Aritmeticas y Geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209A.3. Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212A.4. Teorema del Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

B. Conjuntos numerables y no numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

C. Continuidad Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Capıtulo 1Numeros Reales

1.1. Axioma del Supremo

El conjunto de los numeros reales, que denotaremos por R, satisface diversas propiedades. Desde laperspectiva algebraica es un cuerpo. Es decir, (R,+, ·), satisface todos los axiomas de cuerpo, por ejemplo,ambas operaciones son asociativas, conmutatitivas, poseen inversos y ademas son distributivas. El conjuntode los numeros racionales, que denotaremos por Q, tambien posee estructura de cuerpo. Es posible, ademas,dotar al conjunto de los reales de un orden. En efecto, para ello basta definir la clase de numeros positivos P .Ası, diremos que a es mayor que b si b!a " P . Notemos que los numeros racionales tambien poseen unaestructura de orden, de hecho es la misma que se hereda de los numeros reales. En esta seccion estudiaremosuna propiedad que es exclusiva de los numeros reales y que no la satisface el conjunto de los numerosracionales, a saber, la completitud.

Los axiomas son postulados que asumiremos y a partir de los cuales se deben probar todas las propie-dades de los numeros reales. Como mencionamos en el parrafo anterior, asumiremos tres tipos de axiomas:los de cuerpo (que describen la estructura algebraica de los numeros relaes), los de orden y finalmenteel axioma del supremo. Una pregunta natural es la existencia de un conjunto que satisfaga los axiomasantes enumerados. Este problema fue abordado durante el siglo XIX. Existen diversas construcciones delos numeros reales. Tres construcciones distintas fueron propuestas por Dedekind, Cantor y Weierstrass.A partir de los numeros naturales ellos fueron capaces de construir un conjunto que satisface los axiomasantes mencionados. Por su puesto, cabe la pregunta de si existe unico conjunto que satisface estos axiomas(y por lo tanto las tres construcciones producen esencialmente el mismo conjunto). La respuesta es afirma-tiva, existe (esencialmente) un unico conjunto que satisface los axiomas de cuerpo, orden y completitud.Tal conjunto se denomina conjunto de los numeros reales. En esta seccion describiremos y discutiremos elaxioma del supremo que describe la completitud del conjunto de los numeros reales.

Definicion 1.1. Sea A subconjunto de R. Diremos que b " R es cota superior de A si para todo a " A, setiene que a # b. Si A es un conjunto que posee cotas superiores diremos que A acotado superiormente.

Ejemplo 1.1. El numero x = 5 es cota superior para el conjunto

A = {x " R : x < 2}.

Ejemplo 1.2. El conjunto (0,!) no posee cota superior.

Definicion 1.2. Analogamente definimos cota inferior. Diremos que b "R es cota inferior de A si para todoa " A, se tiene que b # a, en tal caso diremos que A es acotado inferiormente.

Ejemplo 1.3. El numero x = 0 es cota inferior para el conjunto!

1n, n " N

".

1

2 1 Numeros Reales

Definicion 1.3. Diremos que el conjunto A es acotado si es acotado superior e inferiormente.

Observacion 1.1. Las cotas superiores e inferiores no son unicas, en efecto si b es cota superior para elconjunto A, entonces b+n es cota superior de A para todo n > 0.

Definicion 1.4. Sea A un conjunto acotado superiormente (resp. inferiormente) de modo tal que b es cotasuperior (resp. inferior). Si b " A entonces diremos que b es maximo (resp. mınimo) de A.

Ejemplo 1.4. El conjunto !1n

: n " N",

no posee mınimo, pero el maximo es igual a 1.

Ejemplo 1.5. El conjuntoA = {x " R : x $ 2},

posee mınimo y es igual a 2, mientras que

B = {x " R : x > 2},

no posee mınimo.

Ejemplo 1.6. El conjunto (2,3] posee maximo igual a 3 y no posee mınimo.

Definicion 1.5. Sea A un conjunto no vacıo acotado superiormente. Diremos que el numero a " R es elsupremo de A, que denotaremos por supA = a, si satisface las siguientes propiedades:

1. El numero a es cota superior de A;2. Si b es cota superior de A, entonces a # b.

Es decir, a es el supremo de A si es la menor de las cotas superiores.

Observacion 1.2. Una condicion equivalente a la segunda parte de la definicion es,

1. Si b < a, entonces existe x " A tal que b < x.

Otra forma de expresar la condicion anterior es que para todo ! > 0, existe x " A tal que a! ! < x # a.

Analogamente podemos definir el ınfimo.

Definicion 1.6. Sea A un conjunto no vacıo acotado inferiormente. Diremos que el numero real a es elınfimo de A, que denotaremos por ınfA = a, si

1. El numero a es cota inferior de A.2. Si b es cota inferior de A, entonces b # a.

Es decir, a es el ınfimo de A si es la mayor de las cotas inferiores. Al igual que en la definicion de supremo,tenemos una condicion equivalente a la segunda parte de la definicion,

1. Para todo ! > 0, existe x " A tal que a # x < a+ ! .

El siguiente es el ultimo axioma que asumiremos (ademas de los de cuerpo y orden). Existe un unicoconjunto que satisface estos tres conjuntos de axiomas, tal conjunto es el que denominamos de los numerosreales.

Axioma del Supremo. Todo subconjunto A de R, no vacıo y acotado superiormente posee supremo.

Observacion 1.3. Un conjunto que satisface el Axioma del supremo se dice completo. Ası el conjunto delos numeros reales es un cuerpo ordenado y completo.

1.1 Axioma del Supremo 3

Observacion 1.4. Es posible deducir directamente a partir del Axioma del supremo que todo subconjunto Ade R, no vacıo y acotado inferiormente posee ınfimo.

Ejemplo 1.7. Pruebe que si A = (a,b), entonces ınfA = a.

Solucion. De la definicion del conjunto A, tenemos que x = a es cota inferior de A. Probaremos ahora quees la mayor de las cotas inferiores. Dado 0 < ! < b!a, notamos que el numero

c = a+!2

es tal que a < c y ademasc < a+ ! < a+b!a = b,

es decir c " A y por lo tanto a+ ! no es cota inferior de A. Por lo otra parte, si suponemos que ! $ b! a,entonces b # a+ ! . Luego, por la caracterizacion del ınfimo tenemos que ınfA = a.

Durante el siglo XIX varias construcciones de los numeros reales fueron exhibidas. La idea es comenzan-do con el conjunto de los numeros naturales, N, llegar a construir el conjunto de los reales. Son conocidasciertas extensiones de naturaleza algebraica que permiten extender el conjunto de los numeros naturalesal conjunto de los numeros enteros, Z, agregando los inversos aditivos de todo elemento en N. Agregan-do ahora los inversos multiplicativos de Z y completando algebraicamente obtenemos el conjunto de losnumeros racionales Q. Los trabajos de Cantor, Dedekind y Weierstrass permiten a partir de los numeros ra-cionales construir los reales. Notemos que N% Z%Q%R. El siguiente teorema, consecuencia del axiomadel supremo, describe la contencion N% R.

Teorema 1.1 (Propiedad Arquimidiana). Dado un numero real x "R, existe un numero natural n "N talque x < n.

Demostracion. Cabe notar que la afirmacion anterior es equivalente a decir que el conjunto de los numerosnaturales no es acotado superiormente. Ahora, supongamos por el contrario que si lo es y que c = supN.Entonces c!1 no es cota superior de N, es decir, existe n " N tal que

c!1 < n.

Asıc < n+1,

pero n+1 " N y c = supN, lo que es una contradiccion. Por lo tanto, N no es acotado superiormente. &'

Ejemplo 1.8. Pruebe que el ınfimo del conjunto

A =

!1n

: n " N"

es igual a cero.

Demostracion. El numero x = 0 es cota inferior del conjunto ya que todos los elementos de este son posi-tivos. Supongamos que a = ınfA > 0. Es decir, para todo n " N se tiene que

0 < a <1n.

Tenemos entonces que para todo n " N se cumple n < 1/a contradiciendo la propiedad arquimideana.

Ejemplo 1.9. Demuestre que el ınfimo del conjunto

A =

!|sin(n)|

n: n " N

"

4 1 Numeros Reales

es igual a cero.

Solucion. Notemos que el numero x = 0 es cota inferior para el conjunto A, ya que |sin(n)| $ 0 y n > 0.Probaremos ahora que x = 0 es la mayor de las cotas inferiores. Dado ! > 0, debemos probar que existen " N tal que

0 <|sin(n)|

n< !.

Recordemos que |sin(n)|# 1, luego|sin(n)|

n# 1

n.

En virtud del Ejemplo 1.8 existe n0 " N tal que 1/n0 < ! . Por lo tanto,

0 <|sin(n0)|

n0# 1

n0< !.

Es decir, el numero x = 0 es la mayor de las cotas inferiores.

Ejemplo 1.10. Pruebe que

ınf!#

12

$n

: n " N"= 0.

Solucion. Notemos que para cada n " N se tiene que (1/2)n > 0, por lo tanto x = 0 es una cota inferiordel conjunto. Notemos que para todo numero natural n " N se tiene que 2n > n, es decir, 1/2n < 1/n. Sea! > 0, como ınf{1/n : n " N}= 0 existe n0 " N tal que 1/n0 < ! y por lo tanto,

0 <1

2n0< !.

Es decir, x = 0 es la mayor de las cotas inferiores.

El siguiente teorema describe ahora la inclusion, Q % R. Mostraremos que que Q es denso en R. Esdecir, que todo intervalo de numeros reales contiene numeros racionales.

Teorema 1.2. Sean a,b " R tales que a < b, entonces existe r "Q tal que r " (a,b).

Demostracion. Sin perdida de generalidad asumamos que 0 # a < b. Para probar el resultado debemosencontrar m,n " N tales que a < m/n < b. Por la propiedad arquimidiana existe n " N tal que 1/n < b!a.Sea m " N tal que

m!1 # na < m.

Notemos que tenemos que a < m/n. Notando por otra parte que a < b!1/n tenemos que

m # na+1 < n#

b! 1n

$+1 = nb.

Como m < nb implica que m/n < b tenemos que el resultado.

Ejemplo 1.11. Consideremos el subconjunto de Q definido por

A = {x "Q : x2 < 2}

Determine el supremo de A.

Solucion. Como sub-conjunto de R tenemos que supA =(

2. Sin embargo,(

2 )" Q. Notemos que estoimplica que para todo p/q " Q cota superior de A existe un numero racional p*/q* " Q tal que p*/q* escota superior de A y p*/q* < p/q. En efecto, en virtud del Teorema 1.2, en el intervalo (

(2, p/q) existe

1.1 Axioma del Supremo 5

un numero racional p*/q*. De la discusion anterior tenemos que como subconjunto de Q el conjunto A noposee supremo. En particular tenemos que Q no es un cuerpo ordenado completo, ya que no satisface elaxioma del supremo. Desde la perspectiva del Analisis la mayor carencia de los racionales es que no escompleto. Es interesante notar que la construccion de los numeros reales llevada a cabo por Dedekind sebasa en conjuntos de la forma de A, a estos Dedekind les llama cortadura. Notemos que el conjunto A sedefine utilizando numeros racionales, pero se identifica de manera clara con un irracional. Esta es la ideaque desarrolla y formaliza Dedekind en su construccion.

Probaremos a continuacion algunas propiedades del supremo y el ınfimo.

Ejemplo 1.12. Sea A + B. Pruebe que supA # supB.

Solucion. Notemos que supB es cota superior de B, es decir, para todo x " B se tiene que x # supB. Enparticular, si y " A, como A + B, tenemos que y # supB. Luego como supA es la menor cota superior de A,concluimos que

supA # supB.

Ejemplo 1.13. Sea A %R un conjunto acotado inferiormente y sea !A = {!x : x " A}. Pruebe que !A esacotado superiormente y que sup{!A}=! ınf{A}.

Solucion. Sea a cota inferior de A, es decir, para todo x " A se tiene que x $ a. De donde !a $ !x.Recordemos que un elemento y " !A es de la forma y = !x. Es decir, para todo y " !A tenemos que!a $ y. De donde, el conjunto !A es acotado superiormente y por lo tanto, posee supremo, sup{!A}.Por otra parte, notemos que dado ! > 0, existe x* " A tal que sup{!A}! ! < !x* < sup{!A}, es decir,!sup{!A}< x* < ! ! sup{!A}. Por lo tanto !sup{!A}= ınf{A}.

Ejemplo 1.14. Sea A % R un conjunto no vacıo y acotado. Dado c > 0 considere el conjunto

cA := {cx : x " A} .

Pruebe que el conjunto cA es acotado (superior e inferiormente) y que sup(cA) = csupA.

Solucion. Sea a " R cota superior de A, es decir, para todo x " A se tiene que x # a. Como c > 0 tenemosque cx # ca. Es decir ca es cota superior de cA. Analogamente, sea b " R cota inferior de A, es decir, paratodo x " A se tiene que x $ b. Como c > 0 tenemos que cx $ cb. Es decir cb es cota inferior de cA. Ası elconjunto cA es acotado.

Notemos que como supA es cota superior de A tenemos que sup(cA) # csupA. En particular csupA escota superior de cA. Por otra parte, notemos que dado ! > 0, existe x " A tal que

supA! !c< x # supA.

Multiplicando por c > 0 obtenemos que

csupA! ! < cx # csupA.

Por lo tantosup(cA) = csupA.

Ejemplo 1.15. Sea X %R. Una funcion f : X ,R es acotada cuando f (X) es un conjunto acotado. Diremosque el supremo de una funcion f es sup f = sup{ f (x) : x " X}. Pruebe que si f ,g : X , R son acotadassuperiormente, entonces tambien lo es f +g y sup( f +g)# sup f + supg.

Solucion. Sea a1 cota superior de f y a2 cota superior de g, entonces es claro que para todo x " X setiene que f (x) + g(x) # a1 + a2, es decir, ( f + g)(x) es acotado superiormente y posee supremo. Comosup f + supg es cota superior tenemos que

sup( f +g)# sup f + supg. (1.1)

6 1 Numeros Reales

Observacion 1.5. Notemos que no siempre tenemos igualdad en la ecuacion (1.1). En efecto, sean f (x)= x yg(x) =!x donde f ,g : [!1,1],R. Tenemos que sup f = 1 y supg = 1, sin embargo ( f +g)(x) = x!x = 0,es decir, sup( f +g) = 0.

Ejemplo 1.16. Considere el conjunto

A =

!1+

11!

+12!

+ . . .+1n!

: n " N".

Pruebe que A posee supremo e ınfimo.

Solucion. Seaan = 1+

11!

+12!

+ . . .+1n!.

Claramente 0 < an para todo n " N, y ademas an # an+1. Mas aun

an < 1+1+122 + . . .+

12n < 3,

para todo n "N, es decir, el conjunto A es acotado. El resultado se sigue en virtud del axioma del supremo.

El siguiente teorema es consecuencia del axioma del supremo y permite dar una intucion geometrica ala idea de completitud.

Teorema 1.3 (Teorema de los Intervalos Encajados). Considere una sucesion decreciente de intervaloscerrados y acotados

I1 - I2 - I3 - . . .- In - . . .

con In = [an,bn], entonces existe c " R tal que

c "%

n$1In.

Demostracion. Las inclusiones In - In+1 significan que

a1 # a2 # a3 # . . .an # . . .# bn # . . .# b2 # b1

El conjunto A = {a1,a2, . . . ,an, . . .} es acotado y por lo tanto, posee supremo c = supA. Claramente an # cpara todo n " N, y ademas como cada bn es cota superior de A, entonces se tiene que c < bn, luego c " Inpara todo n " N. &'

1.2. Lımite de Sucesiones

Una sucesion es una funcion f : N,R cuyo dominio es el conjunto de los numeros naturales. En vez dela notacion usual, a saber f (n), utilizaremos la siguiente: (xn)n"N o a veces simplemente (xn). Ası xn = f (n).

Definicion 1.7. Sea (xn)n una sucesion real. Diremos que el lımite de (xn)n cuando n tiende a infinito esigual a a, lo que denotaremos por

lımn,!

xn = a,

si y solo si para todo ! > 0, existe N > 0 tal que para cada n $ N se tiene

|xn !a|< !.

Observacion 1.6. Una sucesion que posee lımite se dice convergente. En caso contrario, diremos que lasucesion es divergente.

1.2 Lımite de Sucesiones 7

Ejemplo 1.17. Sea (an)n = 1/n, demuestre que

lımn,!

an = lımn,!

1n= 0.

Solucion. Sea ! > 0. Como x = 0 es el ınfimo de (an)n tenemos que existe n0 "N tal que 1/n0 < ! . Ademascomo an+1 < an, tendremos que 1/n < ! para todo n $ n0, es decir,

&&&&1n!0

&&&&< !,

para todo n $ n0.

Ejemplo 1.18. La sucesion (an)n = a es claramente convergente con lımn,! an = a.

Teorema 1.4 (Unicidad del lımite). Sea (an)n una sucesion convergente. Si se tiene que

lımn,!

an = a y lımn,!

an = b.

Entonces a = b.

Demostracion. Supongamos que lımn,! an = a y b )= a. Sea ! = |b! a|/2, entonces los intervalos (a!!,a+ !) y (b! !,b+ !) son disjuntos. Como lımn,! an = a, existe n0 " N tal que an " (a! !,a+ !) paratodo n $ n0, es decir, an )" (b! !,b+ !). Luego,

lımn,!

an )= b.

&'

Ejemplo 1.19. La sucesion

(an)n =

!0 si n es par1 si n es impar

no es convergente.

Teorema 1.5. Toda sucesion convergente es acotada.

Demostracion. Sea lımn,! an = a y ! = 1. Existe n0 " N tal que para todo n $ n0 se tiene que an "(a! 1,a+ 1). Consideremos ahora el conjunto de elementos de la sucesion aun no estudiados, sea F ={a1,a2, . . . ,an0!1,a!1,a+1}, c = mınF y d = maxF , entonces c # an # d. Por lo tanto, {an}n es acotada.&'

Ejemplo 1.20. La sucesion (an)n = n es divergente.

Solucion. Es divergente pues no es acotada. En efecto, dado a " R y ! > 0 se tiene que an > a+ ! para nlo suficientemente grande.

Observacion 1.7. Existen sucesiones acotadas que no son convergentes. Por ejemplo,

(an)n =

!0 si n es par1 si n es impar

Diremos que la sucesion (an) es creciente si para todo n<m se tiene que an # am. Analogamente diremosque la sucesion (an) es decreciente si para todo n < m se tiene que an $ am. En caso que las desigualdadessean estrictas diremos que las sucesiones son estrictamente crecientes y estrictamente crecientes, respecti-vamente.Una sucesion se dice monotona si es creciente o decreciente.

Teorema 1.6. Toda sucesion monotona y acotada es convergente.

8 1 Numeros Reales

Demostracion. Probaremos el caso en que la sucesion es creciente, el caso decreciente es completamenteanalogo. Sea (an)n tal que a1 # a2 # a3 # . . . y sea a = sup{an : n " N}. Afirmamos que lımn,! an = a.En efecto, dado ! > 0 existe n0 " N tal que an0 " (a! !,a+ !). Como la sucesion es monotona, para todon $ n0 tenemos que a! ! < an0 # an < a, es decir, an " (a! !,a+ !) para n $ n0. &'

Ejemplo 1.21. Cuando a = 0 y a = 1, la sucesion (an)n es constante y en consecuencia, convergente. Cuan-do a = !1 la sucesion oscila y por tanto, no converge. Si a > 1 entonces la sucesion no es acotada y porlo tanto diverge, y lo mismo sucede cuando a < !1. Consideremos el caso en que a " (0,1). Entonces lasucesion 1,a,a2,a3, . . . es decreciente y acotada. Afirmamos que

lımn,!

an = 0.

En efecto, notemos que para b > 1 la sucesion xn = bn es creciente y no es acotada superiormente. Esto esconsecuencia de la desigualdad de Bernoulli (ver ejemplo A.3), si b = 1+d se tiene que para n "N tenemosque bn $ 1+nd. Ası para cada n " N existe N " N tal que

1aN $ n.

Luego, dado ! > 0 , existe n0 " N tal que si n > n0, entonces an < !.

Ejemplo 1.22. Sea 0 < a < 1 y an = 1+a+a2 + . . .+an. Pruebe que

lımn,!

an =1

1!a.

Solucion. Notemos que an =1!an+1

1!a , luego

&&&&an !1

1!a

&&&&=&&&&1!an+1

1!a! 1

1!a

&&&&=&&&&

an+1

1!a

&&&& .

En virtud del ejemplo 3.49 tenemos que dado ! > 0, existe n0 "N tal que si n> n0 entonces an+1 < !|1!a|.Luego, si n > n0 entonces an+1

1!a < ! , es decir,&&&&an !

11!a

&&&&< !.

Ejemplo 1.23. Demuestre que la siguiente sucesion es convergente:

an =1 ·3 ·5 · · ·(2n!1)

2 ·4 ·6 · · ·2n,

acote el valor de su lımite.

Solucion. La sucesion (an)n es decreciente y acotada inferiormente, en efecto:

1. Es claro que para todo n " N se tiene que 0 < an, ya que an es el cuociente de reales positivos. Por lotanto es acotada inferiormente.

2. Notemos que

an+1 = an ·2n

2n+1

y 2n2n+1 < 1, es decir an+1 < an. Por lo tanto la sucesion es decreciente.

Luego, la sucesion es convergente. Sea lımn,! an = L. Notemos que L = ınf{an : n " N}, a1 = 12 y que

todos los elementos de la sucesion son positivos, por lo tanto


0 # L # 12.

Ejemplo 1.24. Demuestre que la sucesion definida por

a1 = 2 an+1 =an +6

2para n > 1,

es convergente. Calcule su lımite.

Solucion. La sucesion es creciente. En efecto, probaremos el resultado por induccion. Notemos que elresultado es valido para los dos primeros terminos

a1 = 2 < 4 = a2.

Supongamos ahora que an < an+1. Entonces

an+1 =an +6

2<

an+1 +62

= an+2.

Por lo tanto la sucesion es creciente. Notemos ademas que es acotada superiormente. En efecto, a1 = 2 < 6.Supongamos que an < 6, entonces

an+1 =an +6

2<

6+62

= 6.

Hemos porbado que la sucesion es creciente y acotada superiormente. Por lo tanto es convergente. Denote-mos por L su lımite. Ası, por algebra de lımites,

L = lımn,!

an+1 = lımn,!

an+1 +62

=lımn,! an +6

2=

L+62

.

Luego

L =L+6

2De donde

L = 6.

Ejemplo 1.25. Sea a > 0. Definimos la siguiente sucesion

x1 = 1 , xn+1 =12

#xn +

axn

$.

Demuestre la sucesion es decreciente, acotada inferiormente y que

lımn,!

xn =(

a

Solucion. Probaremos que para n $ 2 la sucesion es acotada inferiormente por(

a. Es decir,

12

#xn +

axn

$$(

a.

Elevando al cuadrado, la expresion anterior es equivalente a#

xn +axn

$2$ 4a.

Tenemos que para todo x > 0

10 1 Numeros Reales

'x! a

x

(2$ 0,

es decir x2 !2a+ a2

x2 $ 0. Sumando 4a obtenemos que

x2 +2a+a2

x2 $ 4a.

Luego'

x+ax

(2= x2 +2a+

a2

x2 $ 4a = (2(

a)2.

De donde12

'x+

ax

($(

a.

Por lo tanto, para todo n $ 1 tenemos que

xn+1 =12

#xn +

axn

$$(

a.

Probaremos ahora que la sucesion es decreciente. Notemos que si x2 $ a entonces

14

'x+

ax

(2# 1

4

#x+

x2

x

$2

= x2.

En particular, como x2n $ a tenemos que x2

n+1 # xn. Como todos los terminos de la sucesion son positivospodemos conluir que

xn+1 # xn.

Hemos probado que la sucesion (xn) es decreciente y acotada inferiormente, por lo tanto es convergente.Sea L = lımn,! xn, entonces por algebra de lımites

L = lımn,!

xn = lımn,!

12

#xn +

axn

$=

12

#lımn,!

xn +a

lımn,! xn

$=

12

'L+

aL

(.

De donde2L2 = L2 +a,

Como L $ 0 concluimos que L =(

a.

Teorema 1.7. Sean (an)n,(bn)n dos sucesiones. Si (an)n es tal que

lımn,!

an = 0

y (bn)n es una sucesion acotada, entonces

lımn,!

anbn = 0.

(incluso si (bn)n no es convergente.)

Demostracion. Sabemos que existe C > 0 tal que |bn| < C para todo n " N. Dado ! > 0, como an , 0,existe n0 tal que si n > n0, entonces an < !/C. Luego, |anbn|= |an||bn|< !

CC = !. &'

Ejemplo 1.26. Sea x " R, entonces

lımn,!

sin(nx)n

= 0,

ya que la sucesion an = 1/n converge a 0 y |sin(nx)|# 1.


Ejemplo 1.27. Sea a " [0,1], entonces como la sucesion (an) es acotada y 1/n2 ., 0 tenemos que

lımn,!

an

n2 = 0.

Ejemplo 1.28. Sea an = (!1)n, entonces se sigue directamente del Teorema 1.7 que lımn,!(!1)n

n3 = 0.

Teorema 1.8. Sean (an)n,(bn)b dos sucesiones tales que lımn,! an = a y lımn,! bn = b. Entonces

1. lımn,!

(an +bn) = a+b.2. lım

n,!(anbn) = ab.

3. Si b )= 0 entonces lımn,!

an

bn=

ab

.

Demostracion. Probaremos solo el primer caso. Dado ! > 0 existen n1,n2 "N tales que si n > n1 entonces|xn!a|< !/2. Por otra parte, si n > n2 entonces |yn!b|< !/2. Sea n0 = max{n!1,n2}. Si n > n0 tenemosque

|(xn + yn)! (a+b)|# |xn !a|+ |yn !b|# !.

Observacion 1.8. Es importante notar que el teorema 1.8 solo es valido bajo la hipotesis de que tanto la su-cesion (an)n como la sucesion (bn)n convergen. De otro modo no es posible hacer ningun tipo de afirmacioncomo vemos en los siguientes ejemplos. Sea cn = 0 la sucsion constante igual a cero, entonces

0 = lımn,!

cn = lımn,!

(n!n) )= lımn,!

n+ lımn,!

(!n).

Sea dn = 1 la sucesion constante igual a uno. Enotnces

1 = lımn,!

dn = lımn,!

nn)= lımn,! n

lımn,! n.

Teorema 1.9 (Sandwich). Sean (xn)n,(yn)n,(zn)n tres sucesiones tales que xn # zn # yn para todo n " N.Si xn , a e yn , a cuando n , !, entonces zn , a cuando n , !.

Demostracion. Dado ! > 0, existen n1,n2 > 0 tales que si n > n1, entonces xn " (a! !,a+ !) y si n > n2,entonces yn " (a! !,a+ !). Si tomamos n0 = max{n1,n2}, entonces para todo n > n0 tendremos

a! ! # xn # zn # yn # a+ !.

&'

Ejemplo 1.29. La sucesion definida por

an =n

n2 +1+

nn2 +2

+ · · ·+ nn2 +n

,

para todo n " N, converge. En efecto, notemos que para todo n " N tenemos que

nn2 +n

+n

n2 +n+ · · ·+ n

n2 +n# an.

Luegon

n2 +n+

nn2 +n

+ · · ·+ nn2 +n

= n#

nn2 +n

$=

n2

n2 +n# an.

Por otra parte, para todo n " N tenemos que

an #n

n2 +1+

nn2 +1

+ · · ·+ nn2 +1

.

12 1 Numeros Reales

Ası

an #n

n2 +1+

nn2 +1

+ · · ·+ nn2 +1

# n#

nn2 +1

$=

n2

n2 +1.

Luego,

1 = lımn,!

n2

n2 +n# lım

n,!an # lım

n,!

n2

n2 +1= 1.

Por le Teorema del Sandwich (Teorema 1.9) tenemos que

lımn,!

an = 1.

Teorema 1.10. Sea (xn)n,(yn)n dos sucesiones convergentes. Si xn # yn para todo n " N, xn , x e yn , y,entonces x # y.

Demostracion. En efecto si x = lımn,! xn > lımn,! yn = y, entonces

0 < lımn,!

xn ! lımn,!

yn = lımn,!

(xn ! yn).

De donde podemos concluir que para n suficientemente grande xn > yn. Esta contradiccion prueba elresul-tado.

Observacion 1.9. Si solo suponemos xn < yn no es posible concluir que x < y. Basta considerar las sucesio-nes xn = 0 e yn = 1/n.

El resto de esta seccion esta dedicado a desarrollar ejemplos.

Ejemplo 1.30. Calcule

lımn,!

n+n2

n3 .

Solucion.

lımn,!

n+n2

n3 = lımn,!

#1n2 +

1n

$= 0.


lımn,!

1!)1! 1

n*4

1!)1! 1

n*3 .

Solucion.

lımn,!

1!)1! 1

n*4

1!)1! 1

n*3 = lım

n,!

n4 ! (n!1)4

n(n3 ! (n!1)3 = lımn,!

4n3 !6n2 +4n!1!3n3 +3n2 !n

=!43


lımn,!

n+1n

.

Solucion.lımn,!

n+1n

= lımn,!

#nn+

1n

$= lım

n,!

#1+

1n

$= 1.

Ejemplo 1.33. Demuestre que la sucesion definida por

a1 =(

2 , an+1 =+

2+an,

es convergente.


Solucion. Notemos que el lımite L buscado es,,

2+

-

2+.

2+(

2+ . . .= L.

En primer lugar probaremos que la sucesion es creciente, es decir que para todo n"N se tiene que an # an+1.Notemos que

(2 = a1 # a2 =

.2+

(2.

Supongamos que an # an+1. Tenemos que

an # an+1 si y solo si+

2+an #+

2+an+1 si y solo si an+1 # an+2.

Probaremos ahora que la sucesion es acotada superiormente por C = 10, es decir que para todo n " N setiene que an # 10. Notemos que a1 =

(2 # 10. Supongamos que an # 10. Tenemos que

an+1 =+

2+an #(

12 # 10.

Ası, la sucesion (an) es creciente y acotada superiormente, por lo tanto es convergente. Denotemos porL el valos del lımite. Si asumimos que lımn,!

(an =

(lımn,! an, lo que es cierto, pero aun no hemos

demostrado (ver Corolario 2.5). Entonces

L =(

1+L si y solo si L2 !L!1 = 0.

Luego, como an > 0, tenemos que

lımn,!

an = L =1+

(5

2.

Ejemplo 1.34. Calculelımn,!

(n+1!

(n.

Solucion.

lımn,!

((

n+1!(

n) = lımn,!

((

n+1!(

n)((

n+1+(

n)((

n+1+(

n)

= lımn,!

n+1!n(n+1+

(n

= lımn,!

1(n+1+

(n= 0

Ejemplo 1.35. Considere la sucesion

an =

#n+1

n

$n

.

Decida su convergencia.

Solucion. Tenemos que por la formula del binomio, tenemos#

n+1n

$n

= 1+n1n+

n(n!1)2

1n2 + . . .+

n(n!1)(n!2) · · ·1n!

1nn =

1+1+12!

#1! 1

n

$+

13!

#1! 1

n

$#1! 2

n

$+ . . .

. . .+1n!

#1! 1

n

$#1! 2

n

$. . .

#1! n!1

n

$.

14 1 Numeros Reales

Ası la sucesion {an}n es creciente ya que a medida que crece n no solo el numero de sumandos aumenta(estos son positivos) sino que ademas cada sumando crece. Probamos en el Problema 1.16 que la sucesion

1+1+12!

+ . . .1n!

es acotada. Como

1+1+12!

#1! 1

n

$+

13!

#1! 1

n

$#1! 2

n

$+ . . .

. . .+1n!

#1! 1

n

$#1! 2

n

$. . .

#1! n!1

n

$# 1+1+

12!

+ . . .1n!

obtenemos el resultado. Denotaremos por e el lımite de esta sucesion.

Ejemplo 1.36. Considere la sucesionan =

n(n

Decida su convergencia.

Solucion. Probaremos que la sucesion es decreciente, como todos sus terminos son positivos, esto implicasu convergencia. Notemos que n

(n > n+1(n+1 si y solo si

nn+1 > (n+1)n.

En efecto, basta elevar a la potencia n(n+1). Es decir,

n >

#1+

1n

$n

.

Como en virtud de los poblemas anteriores tenemos que

3 >

#1+

1n

$n

.

El resultado es valido a partir de n = 3. Ası hemos probado que an es decreciente (a partir de su tercertermino) y acotada por lo tanto converge.

Ejemplo 1.37. Si xn > 0 y lımn,!xn+1

xn= a < 1, entonces lımn,! xn = 0.

Solucion. En efecto, sea a < c < 1, entonces para n suficientemente grande, tenemos que

0 <xn+1

xn< c,

es decir,0 < xn+1 =

xn+1

xnxn < cxn < xn.

Luego, la sucesion (xn)n es monotona y acotada y por lo tanto convergente. Sea b = lımn,! xn. Como

xn+1 < cxn,

tenemos que si n , ! entoncesb # cb / (1! c)b # 0.

Pero como b $ 0 y 1! c > 0, concluimos que b = 0.

Ejemplo 1.38. Como aplicacion del ejemplo anterior, tenemos que si k " N, a > 1, entonces


lımn,!

nk

an = lımn,!

an

n!= lım

n,!

n!nn = 0.

Solucion. En efecto, si consideramos xn = nk/an, entonces tenemos que

xn+1

xn=

(n+1)k

a ·an :nk

an =(n+1)k

ank =1a

#n+1

n

$k

=1a

#1+

1n

$k

,

Asılımn,!

xn+1

xn=

1a< 1.

Si yn = an/n!, entoncesyn+1

yn=

an+1

(n+1)n!:

an

n!=

an+1

,

es decir,lımn,!

yn+1

yn= 0.

Si zn = n!/nn, entonces

zn+1

zn=

(n+1)!(n+1)(n+1) :

n!nn =

n!(n+1)nn

n!(n+1)(n+1)n =

#n

n+1

$n

,

luego

lımn,!

zn+1

zn= lım

n,!

#n

n+1

$n

=1e< 1.

1.2.1. Subsucesiones

Sea (an)n"N una sucesion y sea N0 %N un subconjunto de cardinalidad infinita de los numeros naturales.Llamaremos subsucesion de (an)n"N a la sucesion (an)n"N0 .

Ejemplo 1.39. Considere la siguiente sucesion

an =

/1 si n es par;0 si n es impar.

Las siguientes son algunas subsucesiones de (an). La sucesion formada por los numero pares (a2n)n"N y lasucesion formada por los numero impares (a2n!1)n"N. Ambas subsucesiones son convergentes, en efecto

lımn,!

a2n = 1 y lımn,!

a2n!1 = 0.

La demostracion del siguiente resultado es sencilla.

Teorema 1.11. Sea (an)n una sucesion convergente con lımite igual a b, entonces toda subsucesion conver-ge a b.

Demostracion. En efecto, sea (an)n"N0 us sub-subsucesion. Dado ! > 0 existe n0 " N tal que para todon > n0 se tiene que an " (b! !,b+ !). Como el subconjunto N0 es de cardinalidad infinita, existe n1 " N0tal que n1 > n0. Luego, para todo n " N0 tal que n > n1 se tiene que an " (b! !,b+ !).

Ejemplo 1.40. Consideremos la sucesion an = n(

a para a > 0. Demuestre que lımn,! n(

a = 1.

16 1 Numeros Reales

Solucion. Si a > 1 la sucesion es decreciente y si a " (0,1) la sucesion es creciente. En ambos casos esacotada, por lo que posee lımite. Sea L := lımn,! n

(a. Tenemos que L > 0, en efecto, si a " (0,1) entonces

a1/n > a para todo n " N, de donde L $ a. Si a > 1 entonces a1/n > 1, de donde L $ 1. Consideremos lasubseucesion a1/(n(n+1)). Notemos que

1n(n+1)

=1n! 1

n+1.

Luego

L = lımn,!

a1/(n(n+1)) = lımn,!

a1/n

a1/(n+1) =LL= 1.

Ejemplo 1.41. Demuestre que lımn,! n(

n = 1.

Solucion. Ya hemos probado que esta sucesion converge. Sea l = lımn,! n(

n. Notemos que l = ınf{n1/n :n " N}, por lo tanto l $ 1. Consideremos la subsucesion (2n)1/2n. Tenemos que

l2 = lımn,!

'(2n)

12n

(2= lım

n,!(2n)

1n = lım

n,!

'2

1n n

1n

(= lım

n,!2

1n lım

n,!n

1n = l.

Como l )= 0 tenemos que l = 1.

Ejemplo 1.42. Sea {bk} una sucesion acotada. Se define una sucesion {an} por medio de:

an = sup{bk; k $ n}.

Demuestre que {an} es convergente.

Solucion. Recordemos que si A % B entonces supA # supB. Como {bk : k $ n+1}% {bk : k $ n} tenemosque

an+1 = sup{bk : k $ n+1}# {bk : k $ n}= an,

es decir, la sucesion es decreciente. Por otro lado, como {bn}n es acotada inferiormente existe m " R talque para todo n " N se tiene que m # bn. Como ademas, para todo k $ n se tiene que an $ bn, obtenemosque para todo n " N se tiene que {an}n es acotada inferiormente. por lo tanto es convergente. Llamaremoslımite superior al numero

lımn,!

an := lımsupbn.

Teorema 1.12. Toda sucesion (an)n posee una subsucesion monotona.

Demostracion. Sean

A = {i " N : ai # a j excepto para un numero finito de ındices j}

B = {i " N : ai $ a j excepto para un numero finito de ındices j},

y consideremos ademas el complemento C = N\ (A0B).Si el conjunto A contiene infinitos elementos entonces para cada i " A existe j " A con j > i tal que ai # a j.Por lo tanto podemos definir una subsucesion monotona decreciente escogiendo los ındices del siguientemodo:

n1 = mınA y nk+1 = mın{i " A : nk+1 > nk y ank # ank+1}.

Si conjunto B contiene infinitos elementos entonces podemos construir una subsucesion no creciente demanera analoga.En caso que tanto A como B sean conjuntos finitos, entonces para cada i " C existen enteros j,k " C conj > i, k > i tal que ai < a j y ai > ak. Del mismo modo podemos construir subsucesiones decrecientes ycrecientes.


Corolario 1.1. Toda sucesion acotada posee una subsucesion convergente.

Demostracion. Basta notar que como toda sucesion (an)n posee una subsucesion monotona. Si suponemosademas que (an)n es acotada, entonces existe una subsucesion monotona y acotada.

Ejemplo 1.43. Demuestre que si (an)n es una sucesion acotada tal que an )= 0 entonces existe una subsuce-sion (bn)n de (an)n tal que la sucesion

'bn+1

bn

(

nconverge.

Solucion. Consideramos dos casos. Supongamos en primer lugar que existe ! > 0 tal que |ak| $ ! parainfinitos valores k " N. Sea (bn)n la subsucesion formada or dichos elementos. Entonces

&&&bn+1

bn

&&&#sup{|ak| : k " N}

!.

Como la sucesion de los cuocientes es acotada existe una subsucesion convergente. Consideremos ahora elcaso restante. Existe una subsucesion (bn)n tal que |bn+1|< |bn|. En este caso la sucesion del modulo de loscuocientes tambien es acotada, de donde se tiene el resultado.

Concluimos esta sub-seccion con el siguiente lema probado por Michael Fekete en 1939. Probaremosque una sucesion sub-aditiva converge.

Ejemplo 1.44. Demuestre que si la sucesion (an) es sub-aditiva, es decir, para todo n,m " N se tiene quean+m # an +am entonces el lımite

lımn,!

an

n,

existe o es igual a menos infinito.

Solucion. Supondremos que el lımite no es menos infinito. La prueba en ese caso es mas sencilla y sededuce de la que presentamos. Sea " = ınf

0 ann : n " N

1. Sea ! > 0 y m " N tal que

am

m< ! +".

Notenos que todo numero natural n, puede escribirse de la forma n = qm+ r donde r " Z es tal que o # r #m!1. Definimos a0 = 0. Tenemos entonces

an = aqm+r # am +am + . . .am +ar = qam +ar.

Ası

an

n=

aqm+r

qm+ r# qam +ar

qm+ r=

am

mqm

qm+ r+

ar

n.

El resultado se obtiene notando que

" # an

n< (" + !) qm

qm+ r+

ar

n.

1.2.2. Sucesiones de Cauchy

Es posible dar una defincion equivalente de convergencia para una sucesion. La ventaja de la siguientecaracterizacion de suscesion convergente es que no es necesario conocer el lımite. En efecto, basta probarque para para valores suficientemente grandes de los ındices n,m " N los valores de la sucesion xn y xmestan arbitrariamente cerca.

18 1 Numeros Reales

Definicion 1.8. Sea (xn)n una sucesion. Diremos que (xn)n es una sucesion de Cauchy si dado ! > 0, existen0 " N tal que para todo n,m > n0 se tiene que |xn ! xm|< ! .

Teorema 1.13. Una sucesion (xn)n es convergente si y solo si es una sucesion de Cauchy.

Demostracion. Probaremos en primer lugar que toda sucesion convergente es de Cauchy. Supongamos quelımn,! xn = a. Es decir, dado ! > 0 existe N " N tal que si n > N entonces |xn ! a| < !/2 y si m > Nentonces |xm !a|< !/2. Luego, si n,m > N tenemos que

|xm ! xn|# |xn !a|+ |xm !a|< !2+

!2= !.

Por lo tanto (xn)n es una sucesion de Cauchy.

Probaremos ahora que toda sucesion de Cauchy es acotada. Para ello consideremos ! = 1 y n0 " N talque para todo n,m> n0 se tiene que |xn!xm|< 1. Luego si n> n0 tenemos que |xn!xn0 |< 1. Considerandox1 :=max{x1,x2, . . . ,xn0 ,xn0 !1,xn0 +1} y x1 :=mın{x1,x2, . . . ,xn0 ,xn0 !1,xn0 +1} tenemos que para todon " N

xn " [x1,x1].

A continuacion probaremos que si una sucesion de Cauchy (xn)n posee una subsucesion que converge alpunto a entonces lımn,! xn = a. Dado ! > 0 existe N " N tal que si n > N entonces |xn !a|< !/2. Existetambien n1 > n0 tal que |xn1 !a|< !/2. Luego para n > n0 tenemos que

|xn !a|# |xn ! xn1 |+ |xn1 !a|< !.

Finalmente podemos probar que toda sucesion de Cauchy converge, Para ellos basta notar que es acotaday que por lo tanto posee una subsucesion convergente. En vista de lo anterior la sucesion converge.

1.2.3. Lımites Infinitos

Sea (xn)n una sucesion de numeros reales. Diremos que (xn)n tiende a mas infinito,

lımn,!

xn =+!,

si y solo si para todo A > 0, existe n0 " N tal que para todo n $ n0 se tiene que xn > A.

Ejemplo 1.45. El siguiente resultado es consecuencia directa de la propiedad arquimideana.

lımn,!

n =+!.

Ejemplo 1.46. Si a > 1, entonceslımn,!

an =+!.

Solucion. En efecto, si a > 1, entonces podemos escribir a = 1+ h con h > 0. Sea A > 0, entonces an =(1+h)n > 1+nh > A, siempre que n > (A!1)/h. Luego, basta escoger n0 > (A!1)/n.

Observacion 1.10. En general, una sucesion creciente es covergente si es acotada, y tiene lımite infinito sino es acotada.

Ejemplo 1.47.lımn,!

np =+!,

para p " N.


Analogamente diremos que la sucesion (xn)n tiende a menos infinito, y anotaremos lımn,! xn =!!, si

lımn,!

(!xn) = +!.

Ejemplo 1.48. La sucesion xn = (!1)nn no tiene lımite ni +! ni !!. En efecto la subsucesion (x2n) tiendea mas infinito y la subsucesion (x2n!1) tiende a menos infinito.

Ejemplo 1.49. La sucesion

an =

!0 si n = 2k+1,k " N,k si n = 2k,k " N

no posee lımite. En efecto, la subsucesion (a2n+1) converge a cero, mientras que la subsucesion (a2n) tiendea mas infinito.

Observacion 1.11. Los numeros +! y !! no son numeros reales. Por lo tanto si lımn,! an = ! la sucesion(an) no converge.

Teorema 1.14 (Operaciones Aritmeticas con Lımites Infinitos). Sean (xn)n,(yn)n dos sucesiones, enton-ces se tiene que

1. Si lımn,! xn =+! e (yn)n es acotada inferiormente, entonces

lımn,!

(xn + yn) = +!.

2. Si lımn,! xn =+! y existe c > 0 tal que yn > c para todo n " N, entonces

lımn,!

xnyn =+!.

3. Sea xn > 0 para todo n " N, entonces

lımn,!

xn = 0 2 lımn,!

1xn

=+!.

4. Si xn,yn $ 0, entonces

(a) Si existe c > 0 tal que xn > c para todo n " N y si lımn,! yn = 0, entonces

lımn,!

xn

yn=+!.

(b) Si (xn)n es acotada y lımn,! yn =+!, entonces

lımn,!

xn

yn= 0.

Observacion 1.12. No es posible decir nara en el caso que lımn,! xn =+! y lımn,! yn =!!


(n+1!

(n = 0.

lımn,!

n2 !n = lımn,!

n(n!1) = +!.

Observacion 1.13. Tampoco es posible hacer ninguna afirmacion general en el caso de un cuociente del tipoinfinito sobre infinito.


n+1n!1

= 1.

20 1 Numeros Reales

lımn,!

n2

n=+!.

Ejemplo 1.52. Sea a > 1, entonces

lımn,!

an

n=+!.

Solucion. En efecto, si tomamos a = 1+h con h > 0, luego si n $ 2

an = (1+h)n $ 1+nh+n(n!1)

2h2,

y por lo tanto,an

n$ 1

n+h+

n!12

h2,

y como

lımn,!

#1n+h+

n!12

h2$=+!,

se tiene el resultado.

Ejemplo 1.53. Sea a > 1, entonces

lımn,!

an

n2 =+!.

Solucion. En efecto, si tomamos a = 1+h con h > 0, luego si n $ 3

an = (1+h)n $ 1+nh+n(n!1)

2h2 +

n(n!1)(n!2)3!

h3,

y por lo tanto,an

n2 $ 1n2 +

hn+

n!12n

h2 +n3!

#1! 1

n

$#1! 2

n

$h3,

y por lo tanto,

lımn,!

an

n2 =+!.

Ahora, con esto podemos ademas deducir que dado p " N, se tiene que

lımn,!

an

np =+!.

Ejemplo 1.54. Para todo real a > 0, se tiene que

lımn,!

n!an =+!.

Solucion. En efecto, sea n0 " N tal que n0/a > 2, entonces si denotamos K = n0!/an0 tenemos que paratodo n > n0,

n!an = K · (n0 +1)

a(n0 +2)

a· · · n

a> K2n!n0 ,

luego

lımn,!

n!an =+!,

es decir,

lımn,!

an

n!=+!.

1.3 Series 21

1.3. Series

Una serie es una suma infinita. Para dar un sentido preciso a esta expresion consideramos una sucesionde numeros reales (an)n. Definimos la sucesion de sumas parciales (Sn)n por

Sn := a1 +a2 + · · ·+an =n

"i=1

ai.

Llamaremos serie al lımitelımn,!

Sn =!

"i=1

an.

Si tal lımite existe diremos que la serie converge (o que es convergente), caso contrario diremos que diverge.

Ejemplo 1.55. La siguiente serie converge y podemos calcular su suma,

!

"n=1

1n(n+1)

= 1.

En efecto, notemos que

!

"n=1

1n(n+1)

= lımM,!

M

"n=1

1n(n+1)

= lımM,!

M

"n=1

#1n! 1

n+1

$= lım

M,!

#1! 1

M+1

$= 1.

Otro ejemplo en el que es posible calcular la suma el de la serie geometrica (ver tambien Ejemplo 1.22).

Ejemplo 1.56. Sea a " R\{0} y r > 0 la serie geometrica

!

"n=1

arn!1,

converge si y solo si |r|< 1. En efecto, tenemos que

!

"n=1

arn!1 = lımM,!

M

"n=1

arn!1 = lımM,!

a#

1! rM

1! r

$.

Es decir, la serie converge solo si |r|< 1 y en tal caso

!

"n=1

arn!1 =a

1! r.

Una condicion necesaria para la convergencia es la siguiente,

Teorema 1.15. Si "!i=1 an es una serie convergente entonces lımn,! an = 0.

Demostracion. Como la serie es convergente, la sucesion de sumas parciales (Sn)n, donde Sn := a1 +a2 +· · ·+an, converge. En particular,

lımn,!

Sn = lımn,!

Sn!1.

Por lo tanto

0 = lımn,!

(Sn !Sn!1) = lımn,!

an.

El recıproco de este resultado es falso como se muestra en el siguiente ejemplo.

22 1 Numeros Reales

Ejemplo 1.57. La serie armonica se define por "!n=1 1/n. Tenemos que el termino general es tal que

lımn,!

1n= 0,

y sin embargo la serie diverge. En efecto, notemos que como los sumandos de la serie son positivos lasucesion de sumas parciales es creciente. Probaremos que no es acotada superiormente. Notemos que

S2k = 1+12+

#13+

14

$+

#15+

16+

17+

18

$+

#19+

110

+ · · ·+ 116

$+ · · ·+

#1

2k!1 +1+

12k!1 +2

+ · · ·+ 12k

$

Cada expresion1

2 j!1 +1+

12 j!1 +2

+ · · ·+ 12 j

contiene 2 j!1 terminos y cada termino es mayor que 1/2 j. Por lo tanto

S2k > 1+k2.

Ası, lımk,! S2k =!, y como la sucesion (Sn)n es monotona creciente tenemos que lımn,! Sn =!. Es decir,la serie armonica diverge.

Ejemplo 1.58. La serie!

"n=1

(!1)n =!1+1!1+1!1+ . . .

diverge ya que su termino general no tiende a cero.

El siguiente resultado es inmediato de las propiedades de sucesiones,

Teorema 1.16 (Algebra de series). Si "!n=1 an = A y "!

n=1 bn = B entonces

1. Para todo c " R se tiene que "!n=1 can = cA

2. "!n=1(an +bn) = A+B

El resultado anterior puede entenderse como que las series convergentes pueden sumarse de la manera usualy que satisface la propiedad distributiva. No hay, sin embargo, afirmacion alguna sobre el producto de series.Esto se debe a que la propiedad conmutativa es mas delicada como veremos mas adelante. En el siguienteTeorema se establece un criterio para determinar la convergencia de una serie.

Teorema 1.17 (Criterio de comparacion). Sean "!n=1 xn y "!

n=1 an series de terminos positivos.

1. Si "!n=1 an es convergente y existen N " N y k > 0 tales que para todo n > N se tiene que xn # kan

entonces "!n=1 xn converge.

2. Si "!n=1 an es divergente y existen N "N y k > 0 tales que para todo n > N se tiene que xn $ kan entonces

"!n=1 xn diverge.

Demostracion. Sea Sn := x1 + · · ·+ xn, la sucesion de terminos positivos (Sn)n converge si y solo si esacotada. El resultado ahora se deduce directamente de las hipotesis.

Ejemplo 1.59. Sea r > 0, la serie!

"n=1

1nr ,

converge si y solo si r > 1. En efecto, notemos que si r " (0,1] entonces

1.3 Series 23

1nr $ 1

n.

Como la serie "!n=1 1/n diverge tenemos que para r " (0,1) la serie "!

n=11nr tambien diverge. Consideremos

ahora el caso r > 1. Como los terminos de la serie son positivos, para probar la convergencia de la seriebasta probar que existe una subsucesion convergente. Sea m = 2n !1 entonces

Sm = 1+#

12r +

13r

$+

#14r +

15r +

16r +

17r

$+ · · ·+ 1

(2n !1)r #

# 1+22r +

44r + · · ·+ 2n!1

2(n!1)r =n

"i=0

#22r

$i

.

Como la serie geometrica "!i=0

) 22r*i converge, tenemos que para todo m = 2n !1

Sm #n

"i=0

#22r

$i

=C < !.

Por lo tanto la sucesion (Sm)m es mononotona y acotada, es decir converge. De donde se tiene el resultado.

El siguiente resultado es una version del Criterio de Cauchy para series,

Teorema 1.18 (Criterio de Cauchy). Una serie "!n=1 an es convergente si y solo si para todo ! > 0 existe

n0 " N tal que si n > n0 y p " N entonces

|an+1 +an+2 + · · ·+an+p|< !.

Demostracion. Basta notar que

|an+1 +an+2 + · · ·+an+p|= |Sn+p !Sn|

y aplicar el criterio de Cauchy de sucesiones (ver Teorema 1.13) a (Sn)n

Definicion 1.9. Diremos que una serie "!n=1 an es absolutamente convergente si "!

n=1 |an| es convergente.

Teorema 1.19. Toda serie absolutamente convergente es convergente.

Demostracion. Si "!n=1 |an| es convergente entonces dado ! > 0 existe n0 " N tal que si n > n0 entonces

pata todo p " N se tiene|an+1|+ · · ·+ |an+p|< !.

El resultado se sigue de la desigualdad triangular, ya que

|an+1 + · · ·+an+p|# |an+1|+ · · ·+ |an+p|< !.

Teorema 1.20 (El test de la razon). Sea "!n=1 an una serie de terminos positivos.

1. Si lımn,!(|an+1|/|an|)< 1 entonces la serie converge.2. Si lımn,!(|an+1|/|an|)> 1 entonces la serie converge.

Demostracion. Demostraremos el resultado suponiendo que todos los terminos son positivos. Suponga que

lımn,!

(an+1/an) = L < 1.

Sea ! > 0, entonces existe N " N tal que si n > N entonces

L! ! <an+1

an< L+ !.

24 1 Numeros Reales

Sea r = L+! , Entonces para n>N tenemos que an+1 < ran. Es decir, aN+2 < raN+1 < r2aN . Inductivamenteobtenemos

an < aN+1rn!N+1.

Como la serie geometrica converge el resultado se obtiene por el criterio de comparacion. Para probar lasegunda afirmacion basta notar que si

lımn,!

(an+1/an) = L > 1

entonces aN+2 > rAN+1 > r2aN+2. Es decir

lımn,!

an = !,

y por lo tanto la serie diverge.

Observacion 1.14. En caso quelımn,!

(an+1/an) = 1

nada podemos concluir con respecto a la convergencia de la serie. En efecto, note que para las siguientesseries el lımite es igual a uno,

!

"n=1

1n

y!

"n=1

1n2 ,

mientras que la primer diverge y la segunda converge.

Observacion 1.15. En interesante notar que una version mas fuerte del Teorema 1.20 es valido. En efectosea "!

n=1 an una serie de terminos positivos.

1. Si lımsupn,!(an+1/an)< 1 entonces la serie converge.2. Si lıminfn,!(an+1/an)> 1 entonces la serie converge.

Ejemplo 1.60. Sea a > 0 demuestre que la siguiente serie converge

!

"n=1

an

n!.

Notemos quean+1

(n+1)!an

n!=

an+1

.

Comolımn,!

an+1

= 0

el test de la razon nos permite concluir que la serie converge.

El siguiente es otro test de convergencia

Teorema 1.21 (El test de la raız). Sea "!n=1 an una serie de terminos positivos.

1. Si lımn,!n+

|an|< 1 entonces la serie converge.2. Si lımn,!

n+|an|> 1 entonces la serie converge.

Demostracion. Demostraremos el resultado suponiendo que todos los terminos son positivos. Sea

lımn,!

n(

an = # < 1

1.3 Series 25

y considere # * " (#,1). Para valores suficientemente grandes de n tenemos que an < # *n. Como "!n=1 # *n

converge, el criterio de comparacion nos permite concluir que la serie "!n=1 an converge. Del mismo modo

si lımn,! n(

an = # > 1 y considere # * " (1,#) tenemos que an > # *n. Como "!n=1 # *n diverge, el criterio de

comparacion nos permite concluir que, en este caso, la serie "!n=1 an diverge.

Observacion 1.16. En interesante notar que una version mas fuerte del Teorema 1.21 es valido. En efectosea "!

n=1 an una serie de terminos positivos.

1. Si lımsupn,! n(

an < 1 entonces la serie converge.2. Si lıminfn,! n

(an > 1 entonces la serie converge.

Notemos ademas que si lımsupn,! n(

an = 1 el test no nos permite concluir nada. En efecto note que paralas siguientes series

!

"n=1

1n

y!

"n=1

1n2 ,

tenemos que lımsupn,! n(

an = 1 y en un caso la serie diverge mientras que en le otro converge.

Ejemplo 1.61. Demuestre que la siguiente serie converge

!

"n=1

(3n

2n .

Aplicando el test de la raız tenemos que

lımn,!

n

,(3n

2n =

(3

2< 1.

Por lo tanto la serie converge.

Observacion 1.17. Es interesante notar que el test de la raız es mas fuerte que el de la razon. En efecto bastaobservar que para toda sucesion (an)n acostada de numeros reales tenemos que

lıminfn,!

an+1

an# lıminf

n,!n(

an # lımsupn,!

n(

an # lımsupn,!

an+1

an.

Teorema 1.22 (Test de Leibniz). Sea (an)n una sucesion no creciente tal que lımn,! an = 0 entonces laserie

!

"n=1

(!1)nan

es convergente.

Demostracion. Sea Sn = a1 ! a2 + · · ·+ (!1)n!1an. Tenemos que S2n = S2n!2 + a2n!1 ! a2n y S2n+1 =S2n!1 !a2n +a2n+1. Como a2n!1 !a2n $ 0 tenemos que la sucesion de sumas parciales pares (S2n)n es unasucesion no decreciente y (S2n+1)n es una sucesion no creciente. Por otra parte, como S2n = S2n!1 ! a2ntenemos que S2n!1 !S2n = a2n $ 0. Luego

S2 # S4 # · · ·# S2n # · · ·# S2n!1 # · · ·# S3 # S1.

Como lımn,! an = 0 tenemos que lımn,! S2n = lımn,! S2n!1. Luego, la sucesion (Sn)n converge.

Es importante notar que no toda serie convergente es absolutamente convergente.

Ejemplo 1.62. La serie!

"n=1

(!1)n

n

es convergente por el test de Leibniz, sin embargo no es absolutamente convergente.

26 1 Numeros Reales

Concluiremos la seccion de series estudiado reordenamientos.Definicion 1.10. Consideremos la serie "!

n=1 an. La serie "!n=1 bn es un reordenamiento de "!

n=1 an si existeuna biyeccion $ : N, N tal que para todo n " N tenemos que bn = a$(n).

Teorema 1.23. Si la serie "!n=1 an converge absolutamente entonces todo reordenamiento converge al mis-

mo lımite.

Demostracion. Supongamos en primer lugar que para todo n " N se tiene que an $ 0. Sea (bn) un reorde-namiento de (an) dado por la biyeccion $ . Sea m = max{$(i) : i " {1,2, . . . ,n}}. Entonces

n

"i=1

a$(i) #m

"i=1

ai.

Utilizando $!1 podemos notar que para todo m " N existe n " N tal que "ni=1 a$(i) $ "m

i=1 ai. Por lo quepodemos concluir que ambas sumas son iguales. El caso general se reduce separando la parte positiva de lanegativa de an.

Teorema 1.24 (Riemann). Sea "!n=1 an una serie convergente, pero no absolutamente convergente. Dado

c " R existe un reordenamiento "!n=1 bn de "!

n=1 an tal que

!

"n=1

bn = c.

Demostracion. Dado c " R, sume los terminos positivos de (an) hasta que la suma sea mayor que c. Estoes posible ya que la suma de los terminos positivos es igual a infinito. Sume ahora los terminos negativoshasta que la suma sea menor que c. Esto es posible ya que la suma de los terminos negativos es igual amenos infinito. Procediendo de esta manera obtenemos una nueva serie que es un reordenamiento de de laoriginal. Las sumas parciales no solo oscilan alrededor de c, sino que convergen a ese valor.

1.4. Ejercicios

Algunos de los siguientes ejercicios aparecen en los textos de Bonar y Khoury [1], Bressoud [3], Hardy[11], Lima [14] y del texto de Polya y Szego [15].

1. Demuestre que el ınfimo del conjunto

A :=!|cosn|

n: n " N

",

es igual a cero.2. Sea a " (0,1), demuestre que el ınfimo del conjunto

A := {an : n " N} ,

es igual a cero.3. Determine el ınfimo y el supremo del conjunto

A :=!

mn1+m+n

: m,n " N".

4. Determine el ınfimo y el supremo del conjunto

A :=!

m|m|+n

: m " Z y n " N".

1.4 Ejercicios 27

5. Determine el ınfimo y el supremo del conjunto

A :=!

mn4m2 +n2 : m,n " N

".

6. Sean A,B % R dos subconjuntos no vacıos y acotados de numeros positivos. Definimos el conjunto

AB := {xy : x " A,y " B} .

Demuestre que AB es un conjunto acotado y determine el supremo de AB.7. Dadas dos funciones f ,g : [0,1] .,R acotadas, demuestre que el producto f ·g : [0,1],R es una funcion

acotada consup( f ·g)# sup f supg y ınf( f ·g)$ ınf f ınfg.

8. Sea f una funcion positiva y acotada superiormente, demuestre que

sup( f 2) = (sup f )2.

9. De un ejemplo de una funcion acotada que no alcanza su supremo.10. Demuestre que, si A,B % R son dos conjuntos acotados tales que para todo s " A y S " B se tiene que

s # S, entonces supA = ınfB si y solo si para todo ! > 0 existen s1 " A y S1 " B tales que S1 ! s1 < !.11. Utilizando el Teorema de los intervalos encajados, demuestre que el conjunto de los numero reales es no

numerable.12. Sean (an)n,(bn)n dos sucesiones tales que lımn,! an = a y lımn,! bn = b. Demuestre que

a) lımn,!

(anbn) = ab.

b) lımn,!

an

bn=

ab

, si b )= 0.

13. De un ejemplo de una sucesion (an) tal que lımn,! |an|= a, pero la sucesion (an)n no converge.14. Pruebe que si lımn,!(xn ! yn) = 0 y lımn,! xn = a entonces lımn,! yn = a.15. Sea an =

(n2 +n!n. Demuestre que la sucesion es monotona decreciente y acotada. Calcule su lımite.

16. Determine si la sucesion definida por a1 = 3,

an+1 =12

#an !

1an!1

$,

converge.17. Pruebe que para todo numero racional r "Q se tiene que

lımn,!

'1+

rn

(n= er.

18. Calcule los siguientes lımites:

a)

lımn,!

#1+

12n

$n

,

b)

lımn,!

#1+

1n+1

$4n

,

c)

lımn,!

#n2 +2n+3n2 +2n+1

$(n+1)2

.

28 1 Numeros Reales

19. Sean a $ 0 y b $ 0. Demuestre que lımn,!n(an +bn = max{a,b}.

20. Demuestre que, si lımn,! xn = a entonces

lımn,!

x1 + x2 + . . .xn

n= a.

21. Demuestre que, si lımn,! an = a y todos los terminos de la sucesion son positivos entonces

lımn,!

n(

a1a2 . . .an = a.

22. Demuestre que

lımn,!

1n

n+(n+1)(n+2) . . .2n =

4e.

23. Calculelımn,!

#1n2 +

2n2 + · · ·+ n

n2

$.

24. Calcule el lımite de la sucesion definida por

an =1(

n2 +1+

1(n2 +2

+ · · ·+ 1(n2 +3

.

25. Calculelımn,!

#1n2 +

1(n+1)2 + · · ·+ 1

(2n)2

$.

26. Dado p " N fijo, calculelımn,!

n(1p +2p + · · ·+np.

27. Sean a,b,c > 0. Calcule

lımn,!

#an+ban+ c

$n

.

28. Calcule

lımn,!

nne!n(2n+12(n!)

.

29. Calcule los siguientes lımites

a)lımn,!

'3(n+1! 3(n

(,

b)

lımn,!

(n.

n+

n(

n,

c)

lımn,!

2n+1 +3n+1

2n +3n .

30. Demuestre que la sucesion definida por

an =1n+

1n+1

+1

n+2+ · · ·+ 1

2n,

es convergente y que su lımite pertence al intervalo [1/2,1].31. Demuestre que si (an)n es una sucesion de terminos no negativos tal que existe K " (0,1) de modo que

para todo n " N se tiene que an+1 # Kan. Entonces lımn,! an = 0.

1.4 Ejercicios 29

32. Sea B > 1. Demuestre que la sucesion definida por

an = n(B!1)n!1

converge.33. Sea (an) una sucesion creciente y (bn) una sucesion decreciente. Demuestre que si para todo n " N se

tiene que an < bn entonces las dos sucesiones convergen.34. Sea (an) una sucesion tal que

lımn,!

(an !an+1) = c.

Demuestre quelımn,!

an

n= c.

35. Sea r " N un numero natural y x " R un numero real. Estudie la convergencia de la sucesion definidapor an = nrxn.

36. Sea % > 1. Consideremos la sucesion definida por an = n( n+

% !1). Demuestre que la sucesion converge.Defina ademas la siguiente funcion, f : (1,!), R,

f (% ) := lımn,!

n( n+

% !1).

Demuestre que f (% )$ 1! (1/% ).37. Sea 0 < % < 1. Consideremos la sucesion definida por an = n( n

+% ! 1). Demuestre que la sucesion

converge. Pruebe que la funcion f : (0,!), R, definida por

f (% ) := lımn,!

n( n+

% !1),

satisface la siguiente propiedad f (1/% ) =! f (% ).38. Sea

an =(1! (!1)n)

2.

Demuestre que

lımn,!

a1 +a2 + · · ·+an

n=

12.

39. Sea x " R. Calcule el lımitelımn,!

2&

arctan(nx).

En teorıa de numeros la funcion definida por

f (x) = lımn,!

2&

arctan(nx),

es llamada signo de x.40. Sea x "Q un numero racional. Estudie la convergencia de la sucesion definida por an = sen(n!x&).41. Sea Sn := {(a,b) " N3N : a )= b y a+b = n}. Denotemos por

an =a1b1 +a2b2 + · · ·+ambm

m.

Donde (ai,bi) " Sn. Es decir an es el promedio aritmetico de los prductos de los todos los pares (a,b) "Sn. Demuestre que

lımn,!

an

n2 =16.

30 1 Numeros Reales

42. Sea (an)n una sucesion super-aditiva, es decir, existe una constante C > 0 tal que para todo m,n " N setiene

an +am < an+m +C.

Demuestre que el lımitelımn,!

an

no bien existe o bien es igual a infinito.

43. Todo numero x " (0,1) puede escribirse como fraccion continua de la forma

x =1

a1 +1

a2 +1

a3 + . . .

= [a1a2a3 . . . ], (1.2)

donde ai " N. Un resultado clasico en teorıa de numeros afirma que x " (0,1) es irracional si y solo sisu expansion en fracciones continuas es infinita, es decir x = [a1a2a3 . . . ]. Defina los siguientes numerosracionales pn

qn= [a1a2 . . .an].


pn

qn= x.

44. En [10] se sugiere una alternativa sencilla para demostrar que

lımn,!

#1+

1n

$n

= lımn,!

n

"r=0

1r!

= e.

Pruebe quen

"r=0

1r!

>

#1+

1n

$n

>n

"r=0

1r!

! 32n

,

y deduzca el resultado.45. Se define recursivamente la sucesion (an) por

a1 = 2; an+1 =1

3!an, para n = 1, 2, 3, . . . .

Demuestre que (an) es sucesion convergente y encuentre su lımite.46. La sucesion de Fibonacci se define recursivamente por

a1 = a2 = 1, y an+2 = an+1 +an.

Kepler noto la siguiente relacion:

lımn,!

an+1

an=

1+(

52

.

Demuestre la observacion de Kepler.47. Sean a,b " R con a < b. Definimos recursivamente las sucesiones (xn)n e (yn)n por

x1 =(

ab; y1 =a+b

2; xn+1 =

(xnyn; yn+1 =

xn + yn

2, para n > 1.

Demuestre que ambas sucsiones convergen al mismo lımite.48. Calcule los siguientes lımites

1.4 Ejercicios 31

a)lımn,!

(n(log(n+1)! logn)) .

b)

lımn,!

n+ sen(n&/2)2n+1

.

49. El siguiente resultado puede encontrarse en el artaculo de Jones [8, p.683]. Sea (an)N!1n=1 una sucesion de

numeros no negativos. Sea

a1n := sup

/1k

k!1

"j=0

an+ j : k " {1, . . . ,N !1}2.

Demuestre que

card{n " N : a1n $ '}# 1'

N!1

"n=1

an.

50. Sea (an) una sucesion tal quelımn,!

an+1

an= p.


n(

an = p.

51. En 1615 Galileo noto qua la sucesion de los numeros impares tiene la siguiente propiedad

13=

1+35+7

=1+3+57+9+11

= · · · .

Galileo observo que esta es la unica progresion aritmetica con esta propiedad. Determine si la afirmacionde Galileo es correcta. Considere sucesiones para las cuales la razon de la suma de los primeros nterminos sobre la suma de los siguientes n terminos es constante (ver [12]).

52. Sea (an)n una sucesion no creciente de numeros no negativos,

an $ an+1 $ 0 para todo n " N. (1.3)

Denotraremos por C la siguiente condicion: Para cada x > 1 y u " R el siguiente lımite existe

lımu,! "

u<n#uxan.

Sea (an)n tal que satisface 1.3. Demuestre que si (an)n tambien satisface C entonces lımn,! nan existe.El recıproco de este resultado tambien es valido (ver [14]).

53. J.H. Conway considero la siguiente sucesion (ver [11]),

1,1,2,2,3,4,4,4,5,6,7,7,8,8,8,8,9, . . .

definida recursivamente del siguiente modo, a1 = a2 = 1 y para n $ 3

an = aan!1 +an!an!1 .

Demuestre que

lımn,!

an

n=

12.

54. La sucesion de Golay-Rudin-Shapiro (ver [4]) se define recursivamente por

32 1 Numeros Reales

a0 = 1 , a2n = an y a2n+1 = (!1)nan.

Sea s(n) = "nk=0 ak. Demuestre que para todo n " N se tiene que s(n)> 0.

55. Dada una sucesion (an)n podemos construir una nueva sucesion (bm)m del siguiente modo (ver [14]).Sea d " N, para cada m " N definamos bm como el m!esimo termino de la sucesion que se construyeconcatenando nd veces el termino an, del siguiente modo:

a1, . . . ,a13 45 6d,a1 terminos

, a2, . . . ,a23 45 62d,a2 terminos

, a3, . . . ,a33 45 63d,a3 terminos

, . . .

Por ejemplo si an = n y d = 1 entonces (bm)m viene dada por

1,2,2,3,3,3,4,4,4,4, . . .

Demuestre que bm = a f (m). Donde f : N, N se define por

f (m) =

7,82md

9+

12

:!1 y 4x5= mın{n " Z : x # n}.

56. S. Ulam introdujo la siguiente sucesion, sean u1 = 1 y u2 = 2. Construimos una sucesion creciente deenteros. Un numero entero un pertenece a la sucesion si puede escribirse de manera unica como la sumade dos numeros pertenecientes a la sucesion, es decir un = um +uk con m,k < n. Los primeros terminosson

1,2,3,4,6,8,11,13,16,18,26,28,36,38,47,48,53,57, . . .

Aparte de 1+2= 3 puede la suma de dos elementos consecutivos de la sucesion pertenecer a la sucesion,un +un+1 = um? Existen gaps arbitrariamente largos en esta sucesion? (ver [16]).

57. Sean (an)n y (bn)n dos sucesiones tales que

lımn,!

an

a1 +a2 + . . .an= 0 y lım

n,!

bn

b1 +b2 + . . .bn= 0.

Demuestre que la sucesion definida por

rn = a1bn +a2bn!1 +a3bn!1 + · · ·+anb1,

es tal quelımn,!

rn

r1 + r2 + . . .rn= 0.

58. Sean a1,a2, . . . ,al enteros positivos distintos de uno y sin factores comunes. Denotemos por An el numerode soluciones enteras, no negativas de la ecuacion

a1x1 +a2x2 + · · ·+alxl = n.

Demuestre que

lımn,!

An

nl!1 =1

a1a2 · · ·al(l !1)!.

59. Demuestre que si (an)n es una sucesion tal que toda subsucesion (bn)n es tal que

lımn,!

&&&bn+1

bn

&&&# 1,

entonces existen a lo mas dos puntos a los que converge toda subsucesion convergente.

1.4 Ejercicios 33

60. De un ejemplo de una sucesion (an)n"N tal que para todo m " N existe una subsucesion (an)n"Nm , demodo esta que converja a m.

61. Sea (an)n una sucesion acotada tal que an )= 0, para todo n " N. Demuestre que existe una subsucesion(bn)n tal que la sucesion #

bn+1

bn

$,

converge (ver [5]).62. Utilizando la defincion de lımite superior dada en el ejemplo 1.42 demuestre que

a) lımsup(xn + yn)# lımsupxn + lımsupyn.b) lımsup(ynxn)# (lımsupxn)(lımsupyn).

Construya ejemplos donde las desigualdades son estrictas.63. Sea (an)n una sucesion de numeros positivos tal que

lımn,!

an = 0.

Demuestre que existen infinitos ındices ni " N para los que ani > am, donde m " N es tal que m > ni.64. Demuestre que

lımn,!

log(n+1)logn

= 1.

65. Demuestre quelımn,!

n(n! = !.

66. Sean (xn)n,(yn)n dos sucesiones, demuestre que

a) Si lımn,! xn =+! e (yn)n es acotada inferiormente, entonces

lımn,!

(xn + yn) = +!.

b) Si lımn,! xn =+! y existe c > 0 tal que yn > c para todo n " N, entonces

lımn,!

xnyn =+!.

c) Sea xn > 0 para todo n " N, entonces

lımn,!

xn = 0 2 lımn,!

1xn

=+!.

67. Sean (xn) e (yn) dos sucesiones tales que xn,yn $ 0. Demuestre que

(a) Si existe c > 0 tal que xn > c para todo n " N y si lımn,! yn = 0, entonces

lımn,!

xn

yn=+!.

(b) Si (xn)n es acotada y lımn,! yn =+!, entonces

lımn,!

xn

yn= 0.

68. Sea (an)n una sucesion tal que

am +an !1 < am+n < am +an +1.

Demuestre que el siguiente lımite existe

34 1 Numeros Reales

lımn,!

an

n.

Es mas, si denotamos por ( el valor del lımite entones

(n!1 < an < (n+1.

69. Sea (an)n una sucesion de numeros positivos y sea

tn =

-a1 +

.a2 + · · ·+

(an.

Sealımsup

n,!

log logan

n= ".

Demuestre que

a) si " < 2 entonces la sucesion (tn)n converge,b) si " > 2 entonces la sucesion (tn)n diverge.

70. Definimos el n-esimo iterado de la funcion seno por

sen1 x = senx y senn x = sen(senn!1 x).

Demuestre que si senx > 0 entonceslımn,!

senn x = 0.

Es mas

lımn,!

-n3

senn x = 1.

71. Sean (an)n y (bn)n dos sucesiones de numeros reales. Suponga que (bn)n es estrictamente creciente y noacotada y que el siguiente lımite existe

lımn,!

an+1 !an

bn+1 !bn= L.


an

bn= L.

72. Sea (an)n la sucesion definida por

an = 1+12+

13+ . . .

1n.

Demuestre que a pesar de que (an)n es divergente, para todo p " N tenemos que

lımn,!

(an+p !an) = 0.

73. El siguiente resultado lo utiliza P. Walters en su demostracion del Teorema de Oseledets [17, Lemma1].Demuestre que si an,bn > 0 para n $ 1 entonces

lımsupn,!

1n

log(an +bn) = max#

lımsupn,!

1n

logan, lımsupn,!

1n

logbn

$

y

lıminfn,!

1n

log(an +bn)$ max#

lıminfn,!

1n

logan, lıminfn,!

1n

logbn

$.

1.4 Ejercicios 35

74. Construya un sucesion de numeros naturales (an)n (cero no es considerado como numero natural) talesque

lımn,!

a1 +a2 + · · ·+an

n= !,

mientras quelımn,!

n(

a1a2 · · ·an < !.

Observe que a cada sucesion de numeros naturales se le puede asociar, mediante la descomposicion enfracciones continuas, un numero real en el intervalo [0,1]. Los ejemplos construıdos en este ejerciciopueden entenderse como ejemplos de numeros reales para los que su descomposicion en fraccionescontinuas posee las propiedades antes mencionadas. Es posible demostrar que casi todo numero real en[0,1] satisface las propiedades requeridas (ver [6, p.83]).

75. Construya un sucesion de numeros naturales (an)n tales que

lımsupn,!

a1 +a2 + . . .an

n< !,

y uno de los siguientes lımites exista mientras que el el otro no:

lımn,!

n(

a1a2 · · ·an y lımn,!

a1 +a2 + . . .an

n

76. El siguiente resultado aparece en [3, Lemma 3.1]. Sea (an)n una sucesion de numeros reales y sea

c = lımsupn,!

an

n.

Existe una sucesion (bn)n de numeros reales positivos tales que

!

"n=1

bn exp(an !ns) =

/finito s > c.! s # c,

y

lımn,!

bn

bn+1= 1.

77. Diremos que una sucesion (an)n converge en el sentido de Cesaro si el siguiente lımite existe:

lımn,!

1n

n

"i=1

ai.

a) Sea (an)n = (0,1,0,1,0,1,0, . . .). Calcule lımn,!1n "n

i=1 ai.b) Construya otros ejemplos de sucesiones que no convergen, pero que sean convergentes en el sentido

de Cesaro.c) Demuestre que si una sucesion (an)n converge entonces converge en el sentido de Cesaro y el lımite

es el mismo.

78. Sea (pn)N0{0} una sucesion de terminos positivos tales que

lımn,!

pn

p0 + p1 + · · ·+ pn= 0.

Sea (an)n una sucusion tal quelımn,!

(a1 +a2 + · · ·+an) = L.

Demuestre que la sucesion definida por

36 1 Numeros Reales

sn =pna0 + pn!1a1 + . . . p0an

p0 + p1 + · · ·+ pn

es tal quelımn,!

sn = A.

Construya sucesiones (an)n y (pn)n tales que

lımn,!

(a1 +a2 + . . .an) = !,

pero (sn)n converge. Este metodo de sumar se denomina Suma de Norlund y generaliza las sumas deCesaro.

79. Construya una sucesion (an)n tal que para todo k " N y todo b > 1 se tiene

lımn,!

nk

an= 0 y lım

n,!

an

bn = 0.

Considere, por ejemplo, an = 2(

n.80. Sea "!

n=1 an una serie de terminos positivos tales que la sucesion (an)n es eventualmente decreciente.Demuestre que las series

!

"n=1

an y!

"n=1

2na2n ,

convergen o divergen simultaneamente.81. (Criterio de Schlomilch) Sea "!

n=1 an una serie de terminos positivos tales que la sucesion (an)n eseventualmente decreciente. Sean n2 < n3 < .. . una sucesion de enteros positivos tales que, como funcionde k el siguiente cuociente es acotado

nk+1 !nk

nk !nk!1.

Demuestre que las series!

"n=1

an y!

"n=1

(nk+1 !nk)ank ,

convergen o divergen simultaneamente.82. Demuestre que la siguiente serie converge

!

"n=1

12(

n.

83. (Criterio de Kummer) Sea "!n=1 an una serie de terminos positivos y "!

n=11dn

una serie divergente determinos positivos. Asuma que el siguiente lımite existe

lımn,!

#dn !

an+1

andn+1

$:= #.

Demuestre que si # > 0 entonces la serie "!n=1 an converge.

84. (Test de Raabe) Sea "!n=1 an una serie de terminos positivos y supongamos que para todo n " N se tiene

quean+1

an= 1! %n

n,

dondelımn,!

%n = % .

Demuestre que si % > 1 entonces la serie "!n=1 an converge.

85. Demuestre que la siguiente serie converge

Referencias 37

!

"n=1

1 ·3 ·5 · · ·(2n!1)2 ·2 ·4 · · ·(2n)(n+1)

.

86. Demuestre que si las series "!n=1 an y "!

n=1 bn convergen entonces

!

"n=1

.a2

n +b2n

tambien converge.87. Demuestre que si

!

"n=1

.a2

n +b2n

converge, entonces "!n=1 an y "!

n=1 bn convergen absolutamente.88. Sea "!

n=1 an una serie convergente de terminos positivos. Demuestre que

!

"n=1

(anan+1

converge.89. Demuestre que existe una constante K " R tal que para toda sucesion (an)n se tiene

!

"n=1

na1 +a2 + · · ·+an

# K!

"n=1

1an

.

90. Demuestre que si la serie de terminos positivos "!n=1 1/an es convergente entonces

!

"n=1

n2

(a1 +a2 + · · ·+an)2 an

es convergente.

Referencias

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2. Bressoud, David M. A radical approach to real analysis. Second edition. Classroom Resource Materials Series. Mathe-matical Association of America, Washington, DC, 2007. xvi+323 pp.

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38 1 Numeros Reales

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15. Polya, G. and Szego, G. Problems and theorems in analysis. I. Series, integral calculus, theory of functions. Translatedfrom the German by Dorothee Aeppli. Reprint of the 1978 English translation. Classics in Mathematics. Springer-Verlag,Berlin, 1998. xx+389 pp.

16. Recaman, B. Questions on a Sequence of Ulam. The American Mathematical Monthly, Vol. 80, No. 8 (1973), pp. 919-920.

17. Walters, Peter A dynamical proof of the multiplicative ergodic theorem. Trans. Amer. Math. Soc. 335 (1993), no. 1,245–257.

Capıtulo 2Funciones Reales

2.1. Lımite de Funciones

En esta seccion estudiaremos una generalizacion de la nocion de lımite para funciones definidas ensub-conjuntos arbitrarios de los numeros reales, f : X % R , R. Si bien nociones informales de lımitese utilizaban en matematica desde antiguo, es quizas con Fermat que se hace evidente la necesidad deformalizar esta nocion. Cauchy en algunas demostraciones que aparecen su famoso texto Cours d’Analyseutiliza argumentos similares al metodo (!,) ). Es finalmente Bolzano en 1817 y luego Weierstrass quienes,por vez primera, formulan una definicion rigurosa de la nocion de lımite. Por cierto, esta se relaciona conla construccion formal del conjunto de los numeros reales.

Un punto a" X se dice punto de acumulacion de X si dado ! > 0 se tiene que X 6(a!!,a+!)\{a} )= /0.Es decir, es un punto que puede aproximarse por elementos, distintos del propio punto, pertencientes alconjunto X . En una primera lectura es quizas mas sencillo suponer que el conjunto X es un intervalo, encuyo caso, todos los puntos de X son puntos de acumulacion.

Definicion 2.1. Sea X % R, a " R un punto de acumulacion de X y f : X , R una funcion real. Diremosque el numero real L es el lımite de f (x) cuando x tiende a “a”, lo que denotamos por

lımx,a

f (x) = L,

si y solo si para todo ! > 0 existe ) > 0 tal que si x " X con 0 < |x!a|< ) , entonces | f (x)!L|< ! .

Observacion 2.1. Es importante recordar que si c,d " R son dos numeros reales entonces |c ! d| es ladistancia entre ambos puntos. Ası, la expresion |x! a| es la distancia entre x y a y la expresion | f (x)!L|es la distancia entre f (x) y L. Esta simple observacion permite generalizar la defincion de lımite que hemosdado a espacios metricos arbitrarios.

Observacion 2.2. Notemos que la condicion 0 < |x! a| < ) significa que el punto x este cerca de a, peroque es distinto de a.

Observacion 2.3. Notemos que en nuestra definicion no exigimos que el punto a pertenezca al dominio def . Podrıa suceder que lımx,a f (x) = L y a )" X .

Observacion 2.4. Incluso si a " X , la definicion lımx,a f (x) nada dice sobre el valor f (a). En efecto siconsideramos la funcion f : R, R tal que f (x) = 1 para todo x )= 0 y f (0) = 0, entonces

lımx,0

f (x) = 1 )= f (0).

Ejemplo 2.1. Demuestre quelımx,a

f (x) = c,

39

40 2 Funciones Reales

donde f : R, R es la funcion constante f (x) = c.

Demostracion. Sea ! > 0 y ) > 0. Si 0 < |x!a|< ) entonces | f (x)! c|= |c! c|= 0 < ! . Con lo que seprueba el resultado.


f (x) = a

donde f : R, R es la funcion definida por f (x) = x.

Demostracion. Sea ! > 0 y ) = ! . Si 0 < |x!a|< ) entonces | f (x)!a|= |x!a|< ) = ! . Con lo que seprueba el resultado.


f (x) = a2,

donde f : R, R se define por f (x) = x2.

Demostracion. Sea ! > 0, es necesario probar que existe ) > 0 tal que si 0 < |x!a|< ) , es decir, a!) <x < ) +a entonces a2 ! ! < x2 < a2 + ! . Notemos que

|x2 !a2|= |x!a||x+a|< ) |x+a| y |x+a|= |x!a+2a|# |x!a|+ |2a|< ) + |2a|,

ası |x2 ! a2| < ) () + |2a|) por lo que basta escoger ) > 0 tal que ) () + |2a|) < ! . Notemos que tal valorde ) existe por la propiedad arquimideana.

Ejemplo 2.4. Sea a > 0. Demuestre quelımx,a

(x =

(a.

Demostracion. Notemos que para todo x $ 0, se tiene que

(x!

(a =

((

x+(

a)((

x+(

a)((

x!(

a) =x!a

((

x+(

a).

Por lo tanto,

|(

x!(

a|=&&&&

x!a(x+

(a

&&&&# |x!a| 1(a.

Sea ! > 0 y ) =(

a! . Luego si |x!a|< ) , es decir, |x!a|<(

a! , es decir,

|x!a|(a

< !,

tenemos que|(

x!(

a|< !.

Teorema 2.1 (Unicidad del lımite). Sea X % R, a " R un punto de acumulacion de X y f : X , R. Si

lımx,a

f (x) = L1 y lımx,a

f (x) = L2,

entonces L1 = L2.

Demostracion. Sea ! > 0. Existe )1 > 0 tale que, si |x!a|< )1 entonces | f (x)!L1|< !/2. Existe tambien)2 > 0 tal que si |x! a| < )2 entonces | f (x)!L2| < !/2. Sea ) = mın{)1,)2}. Luego, si |x! a| < ) (enparticular menor que )1 y )2) , se tiene que

|L1 !L2|# | f (x)!L2|+ |L1 ! f (x)|< !.

Por lo tanto, L1 = L2.

2.1 Lımite de Funciones 41

Teorema 2.2. Sea f : X , R y a " R un punto de acumulacion de X. Si lımx,a f (x) existe, entonces f esacotada en una vecindad de a. Es decir, existe A > 0 y ) > 0 tal que si |x! a| < ) con x " X, entonces| f (x)|< A.

Demostracion. Sea L = lımx,a f (x). Sea ! = 1, luego existe ) > 0 tal que x " X , 0 < |x!a|< ) entonces| f (x)!L|< 1 y por lo tanto tendremos

| f (x)|< |L|+1.

Si f no esta definida en x = a, basta tomar A = |L|+1. Si f esta definida en x = a entonces basta escogerA = max{|L|+1, f (a)}. &'

Teorema 2.3. Sea X %R , a "R un punto de acumulacion de X y f ,g,h : X ,R. Si para todo x " X, x )= ase tiene que f (x)# g(x)# h(x) y lımx,a f (x) = lımx,a h(x) = L, entonces lımx,a g(x).

Demostracion. Sea ! > 0, entonces existen )1,)2 > 0 tales que si x " X , 0 < |x! a| < )1 entonces L!! < f (x) < L+ ! . Por otra parte si 0 < |x! a| < )2 entonces L! ! < h(x) < L+ ! . Luego, escogiendo) = mın{)1,)2} tenemos que

L! ! < f (x)# g(x)# h(x)< L+ !.

De dondelımx,a

g(x) = L.

&'

Teorema 2.4. Sea a " R un punto de acumulacion de X. Si f ,g : X , R son tales que lımx,a f (x) = L ylımx,a g(x) = M con L < M, entonces existe ) > 0 tal que si x " X, 0 < |x!a|< ) se tiene que f (x)# g(x).

Demostracion. Sea ! = (M !L)/2 > 0 entonces L+ ! = M ! ! y existe ) > 0 tal que si 0 < |x! a| < )entonces f (x) " (L! !,L+ !) y g(x) " (M! !,M+ !), luego

f (x)< L+ ! = M! ! < g(x).

&'

Corolario 2.1. Si lımx,a f (x) = L > 0, entonces existe ) > 0 tal que si x " X, 0 < |x! a| < ) entoncesf (x)> 0.

Corolario 2.2. Si f (x)# g(x) para todo x " X, lımx,a f (x) = L y lımx,a g(x) = M, entonces L # M.

Teorema 2.5. Sea X % R, a " R un punto de acumulacion de X y f : X , R. Tenemos que

lımx,a

f (x) = L,

si y solo si para toda sucesion (xn)n % X \{a} tal que xn , a cuando n , ! se tiene que

lımn,!

f (xn) = L.

Demostracion. Supongamos primero que lımx,a f (x) = L y xn , a cuando n , ! con (xn)n % X \ {a}.Dado ! > 0, existe ) > 0 tal que 0 < |x!a|< ) entonces | f (x)!L|< ! . Luego, existe n0 "N tal que paratodo n > n0, 0 < |xn !a|< ) , de donde si n > n0 entonces | f (xn)!L|< ! , es decir, lımn,! f (xn) = L.

Supongamos ahora por el contrario, que lımx,a f (x) )= L. Entonces existe ! > 0 tal que para todo n "N,existe xn "X tal que 0< |xn!a|< 1/n pero | f (xn)!L|$ ! . Luego, tenemos que xn , a y lımn,! f (xn) )= L,lo que es una contradiccion. &'

Corolario 2.3. Para que exista lımx,a f (x) es necesario que exista lımn,! f (xn) y que sea independientede la sucesion (xn)n % X \{a} con xn , a si n , !.


Notemos que en virtud del Teorema 2.5 podemos utilizar todos los resultados obtenidos en el capıtuloanterior concernientes a sucesiones. En efecto

Corolario 2.4. Sean f ,g : X , R y a " R un punto de acumulacion de X. Si existe C > 0 tal que para todox " X se tiene | f (x)|<C y lımx,a g(x) = 0 entonces

lımx,a

f (x)g(x) = 0.

Teorema 2.6 (Algebra de lımites). Sean f ,g : X , R con lımx,a f (x) = L y lımx,a g(x) = M. Entonces,

1. lımx,a

( f (x)±g(x)) = L±M.

2. lımx,a

( f (x) ·g(x)) = L ·M.

3. Si M )= 0, entonces

lımx,a

f (x)g(x)

=LM.

Demostracion. La demostracion de estos resultados en consecuencia del Teorema 2.5 y de las afirmacionesequivalanetes en el caso de sucesiones. En efecto, sea (xn) una sucesion tal que xn "X \{a} con lımn,! xn =a. Entonces

lımn,!

( f (xn)+g(xn)) = lımn,!

f (xn)+ lımn,!

g(xn) = L+M.

Luego lımx,a

( f (x)±g(x)) = L±M. La demostracion de las otas afirmaciones es analoga.

Ejemplo 2.5. En el Ejemplo 2.2 demostramos que si f :R,R es la funcion definida por f (x) = x, entonceslımx,a f (x) = a. En virtud del Teorema 2.6 tenemos que

lımx,a

( f (x) · f (x)) ='

lımx,a

f (x)('

lımx,a

f (x)(= a2,

es decir, lımx,a x2 = a2. Del mismo modo obtenemos que para todo n " N se tiene que lımx,a xn = an. Esmas, para todo polinomio p(x) = a0 +a1x+ . . .+anxn se tiene que

lımx,a

p(x) = p(a).

Ejemplo 2.6. Sea g : R \ {0} , R definida por g(x) = xsin(1/x). Como lımx,0 x = 0 y |sin(1/x)| < 1entonces por el Corolario 2.4 tenemos que

lımx,0

g(x) = 0.

Del mismo modo, si n " N entonces

lımx,0

#xn sin

1x

$= lım

x,0

#+|x|sin

1x

$= 0.

Ejemplo 2.7. Sea X = R\{0}. La funcion f : X , R definida por f (x) = sin(1/x) no posee lımite cuandox tiende a 0.

Solucion. En efecto, si existen dos sucesiones (xn)n,(yn)n tales que xn , 0, yn , 0 y lımn,! f (xn) )=lımn,! f (yn) entonces f no posee lımite. Para eso, basta escoger xn = 1/(&/2+2n&), ya que lımn,! xn = 0y f (xn) = 1 e yn = 1/(3&/2+2n&) ya que lımn,! yn = 0 y f (yn) =!1. Luego f no posee lımite.

Ejemplo 2.8. La siguiente funcion fue definida por Dirichlet alrededor de 1820. Sea

f (x) :=!

1 si x "Q0 si x " R\Q


y sea a " R, entonces lımx,a f (x) no existe.

Solucion. En efecto, sea (xn)n una sucesion tal que xn , a y para todo n "N se tiene que xn "Q, entonceslımn,! f (xn) = 1. Por otro lado, si (yn)n es una sucesion tal que yn , a pero para todo n " N se tieneyn " R\Q, entonces lımn,! f (yn) = 0.

Ejemplo 2.9. Sean f : X , R y g : Y , R funciones tales que la compuesta g 7 f este bien definida. Su-pongamos que

lımx,a

f (x) = b y lımy,b

g(y) = c,

construya un ejemplo de manera quelımx,a

g( f (x)) )= c.

Solucion. Consideremos las funciones f ,g : R, R tales que f (x)8 0 y

g(x) =!

1 si x )= 00 si x = 0

Es claro que lımx,0 f (x) = 0 y lımy,0 g(y) = 1, sin embargo

lımx,0

g( f (x)) = 0 )= 1.


cosx = cosa

Solucion. Sea x " (0,&/2) y considere los siguientes puntos en el plano O = (0,0),P = (cosx,sinx),B =(1,0). Notemos que los puntos P y B pertenecen a la circunferencia unitaria. Sea L el rayo que parte en elorigen O y que pasa por el punto P. Sea A el punto en el eje x que corresponde a la interseccion de la rectaperpendicular al eje x que pasa por el punto P. Sea C el punto en el rayo L que corresponde a la interseccioncon la recta perpendicular al eje x que pasa por el punto B. Notemos que

Area(9OPB)# Area(sector OPB)# Area(9OCB).

De la definicion de las funciones trigonometricas, tenemos que el largo del segmento PA = sinx y el largodel segmento CB = tanx. Por lo tanto

Area(9OPB) =sinx

2;

Area(sector OPB) =12

xr2 =x2

;

Area(9OCB) =tanx

2,

donde r es el radio de la circunferencia, en este caso r = 1. Ası

sinx2

# x2# tanx

2. (2.1)

Luego, si x " (0,&/2) entonces sinx # x # tanx. De manera analoga es posible probar que si x " (!&/2,0)entonces |sinx| # |x| # | tanx|. Como para todo x " R se tiene que |sinx| # 1 podemos concluir que paratodo x " R se tiene

|sinx|# |x|. (2.2)

Utilizando lo anterior probaremos el resultado,


|cosx! cosa|=&&&&!2sin

#x+a

2

$sin

#x!a

2

$&&&& =

2&&&&sin

#x+a

2

$&&&&

&&&&sin#

x!a2

$&&&& #

2&&&&sin

#x!a

2

$&&&&# 2|x!a|

2# |x!a|.

Leugo dado ! existe ) = ! tal que si x " R con 0 < |x!a|< ) entonces |cosx! cosa|< !.

Ejemplo 2.11. Demuestre que

lımx,0

sinxx

= 1.

Solucion. Para demostrar este resultados utilizaremos las desigualdades obtenidas en el ejemplo 2.10. Seax " (0,&/2). En virtud de las desigualdades en (2.1), tenemos que

sinxx

# 1 y cosx # sinxx

.

Asılımx,0

cosx # lımx,0

sinxx

# 1.

Como lımx,0 cosx = cos0 = 1 concluimos que

lımx,0

sinxx

= 1.

Solucion. Una demostracion alternativa se sugiere en [12]. En efecto, considere un cırculo de radio 1 decentrado en el orıgen del plano que denotaremos por A. Considere los radios AC y AD, donde este ultimoyace sobre el eje y, y donde el radio AC se ubica en el primer cuadrante. Sea E el punto de interseccion entrela recta perpendicular al segmento AD que pasa por C y AD. Si denotamos por x el angulo BAE entonces ellargo del trazo AE es igual a cosx y el largo del trazo CE es igual a senx. Tenemos que

sector ABE < triangulo ACE < sector ACD.

Por lo tantoxcos2 x

2<

senxcosx2

<x2.

De dondecosx <

senxx

<1

cosx.

Asılımx,0

sin(x)x

= 1.


lımx,0

1! cosxx

.

Solucion. Notemos que

lımx,0

#1! cosx

x

$#1+ cosx1+ cosx

$= lım

x,0

1! cos2 xx(1+ cosx)

= lımx,0

#senx

xsenx

1+ cosx

$= 0.


lımx,0

1x,


no existe.

Solucion. Si el lımite existe entonces la funcion es localmente acotada (ver Teorema 2.2). Es consecuen-cia de la propiedad arquimideana que la funcion 1/x no es acotada en ninguna vecindad que contiene alcero y por lo tanto el lımite no existe. Daremos ahora otro argumento que prueba que el lımite no existe.Supongamos que existe y que es igual a L. Como lımx,0 x = 0, tendremos que lımx,0

1x x existe. Ası,

1 = lımx,0

1 = lımx,0

1x

x =#

lımx,0

1x

$#lımx,0

x$= L ·0 = 0.

Esta contradiccion prueba que el lımite no existe.

Ejemplo 2.14. Calcular el lımite

lımx,0

(2!

+1+ cos(x)

sin2(x).

Solucion.

lımx,0

(2!

+1+ cos(x)

sin2(x)= lım

x,0

(2!

+1+ cos(x)

sin2(x)((

2++

1+ cos(x))((

2++

1+ cos(x))

= lımx,0

2! (1+ cos(x))sin2(x)(

(2+

+1+ cos(x))

= lımx,0

1! cos(x)sin2(x)(

(2+

+1+ cos(x))

= lımx,0

1! cos(x)(1! cos2(x))(

(2+

+1+ cos(x))

= lımx,0

1(1+ cos(x))(

(2+

+1+ cos(x)

=1

(1+1)((

2+(

2)=

14(

2


lımx,9

(x!3

3(x!1!2.


lımx,9

(x!3

3(x!1!2=

lımx,9

(x!3

3(x!1!2

#(x+3(x+3

$;3+(x!1)2 +2 3

+(x!1)+4

3+(x!1)2 +2 3

+(x!1)+4

<=

lımx,9

(x!9)( 3+(x!1)2 +2 3(x!1+4

(x!1!8)((

x+3)= lım

x,9

3+(x!1)2 +2 3(x!1+4(

x+3.

De donde

lımx,9

(x!3

3(x!1!2=

22 +2 ·2+43+3

= 2.


lımx,0

#3(cosx!1)3

tan2 x

'cot

x2

($.


Solucion.

lımx,0

#3(cosx!1)3

tan2 x

'cot

x2

($= lım

x,0

#!3(1! cosx)3

sen2 xsen(x/2)cos2 xcos

x2

$=

! lımx,0

3(1! cosx)3(1+ cosx)3

sen2 xsen(x/2)(1+ cosx)3

'cos2 xcos

x2

(=

! lımx,0

#3(1! cos2 x)3

sen2 xsen(x/2)cos2 xcos(x/2)(1+ cosx)3

$=

! lımx,0

#3(sen2 x)3

sen2 xsen(x/2)cos2 xcos(x/2)(1+ cosx)3

$=

! lımx,0

=

>x4'

3sen4 xx4

(

x2

sen(x/2)x/2

cos2 xcos(x/2)(1+ cosx)3

?

@ .

De donde

! lımx,0

6x3) senx

x*4

sen(x/2)x/2

#cos2 xcos(x/2)(1+ cosx)3

$=!6 ·0 · 1

11 ·123 = 0.

Ejemplo 2.17. Calculelımx,0

x tanx1! cosx

.

Solucion.

lımx,0

x tanx1! cosx

= lımx,0

x) senx

cosx*

1! cosx=

lımx,0

xsenxcosx(1! cosx)

= lımx,0

xsenx(1+ cosx)cosx(1! cosx)(1+ cosx)

=

lımx,0

xsenx(1+ cosx)cosxsen2 x

= lımx,0

x(1+ cosx)senxcosx

=

lımx,0

1+ cosxcosx senx

x= 2.

Ejemplo 2.18. Considere la siguiente funcion

f (x) =

ABC

BD

1 si x = 0,1q si x = p

q es un numero racional,0 si x es un numero irrracional.

En esta definicion asumimos siempre que el numero racional esta escrito como fraccion irreducible. Calculelımx,a f (x).

Solucion. Afirmamos que dado a " R se tiene que

lımx,a

f (x) = 0.

Debemos probar que dado ! > 0 existe ) > 0 de modo que si 0 < |x! a| < ) entonces | f (x)| < ! . Elresultado es claro para todo x "R irracional, pues en ese caso f (x) = 0 < ! . Consideremos entonces el casoen que x = p/q "Q. Ası

f (x) = f#

pq

$=

1q< !,

2.2 Lımites Laterales 47

es equivalente a q > 1/! . Sea S = {q " N : q $ !!1}. Para cada q " S fijo, las fracciones m/q con m " Zdescomponen la recta en intervalos de largo 1/q. Denotemos por mq " Z al mayor entero tal que mq/q < a.Como el conjunto S es finito, existe m/q* la mayor de las fracciones mq/q con q " S. Ası, m/q* es la mayorde las fracciones con denominador en S y que es menor que a. Del mismo modo existe n/q**, la menorfraccion con denominador en S tal que a < n/q**. Con la posible excepcion de a ningun numero racional enel intervalo (m/q*,n/q**) puede tener denominadror en S. Luego, tomando

) = mın!

a! mq*,

nq**

!a",

tenemos que si 0 < |p/q!a|< ) entonces q /" S. Por lo tanto q > 1/! . Con lo que se prueba el resultado.

2.2. Lımites Laterales

Utilizando la estructura de orden de los numeros reales definiremos nociones de lımite que dependen delmodo en que nos aproximamos al numero.

Definicion 2.2. Sea f : X %R,R una funcion y a "R un punto de acumulacion. Diremos que un numeroL " R es el lımite a la derecha de f (x) cuando x tiende a “a” y escribiremos

lımx,a+

f (x) = L,

si y solo si dado ! > 0, existe ) > 0 tal que si x " X , 0 < x!a < ) entonces | f (x)!L|< ! .

Del mismo modo, el lımite a la izquierda se define por

lımx,a!

f (x) = L,

si y solo si dado ! > 0, existe ) > 0 tal que si x " X , 0 < a! x < ) entonces | f (x)!L|< ! .

Todo lımite puede caracterizarse en virtud de los lımites laterales.

Teorema 2.7. Sea f : X % R, R una funcion y a " R un punto de acumulacion. Tenemos que

lımx,a

f (x) = L,

si y solo si los lımites laterales existen y son iguales a L,

lımx,a+

f (x) = lımx,a!

f (x) = L.

Demostracion. Si el lımite existe, en virtud del Teorema (2.5), es claro que los lımites laterales tambienexisten y son iguales a L.

Supongamos que lımx,a+ f (x) = lımx,a! f (x) = L. Entonces, dado ! > 0, existen )1 > 0 y )2 > 0 talesque si x " X 6 (a,a+ )1) entonces | f (x)!L| < !. Ademas si x " X 6 (a! )2,a) entonces | f (x)!L| < !.Sea ) = mın{)1,)2} entonces si x " X 6 (a!) ,a+) ) entonces | f (x)!L|< !.

Ejemplo 2.19. El siguiente lımite no existe

lımx,0

|x|x.


lımx,0+

|x|x

= lımx,0+

xx= 1,


pero

lımx,0!

|x|x

= lımx,0!

!xx

=!1.

Ejemplo 2.20. Sea f : R\{0}, R definida por x ., x+ x|x| , es claro que

lımx,0+

f (x) = 1 y lımx,0!

f (x) =!1,

luego el lımite no existe.

Ejemplo 2.21. Sea f : R\{0}, R definida por x ., e!1/x. Ası

lımx,0+

f (x) = 0 y lımx,0!

f (x) no existe,

luego el lımite no existe.

Ejemplo 2.22. Consideremos la funcion parte entera [·] : R,R definida por x ., max{n "Z : n # x}. Ası

lımx,n+

[x] = n y lımx,n!

[x] = n!1,

Luego el lımite no existe.

Ejemplo 2.23. Calcule, si existe, el lımite de f cuando x tiende a 1, donde

f (x) =

AC

D

(2x2+2!

(x2+3

x!1 si x < 1;x3!1

3(x2!1) si x > 1.

Solucion. Calcularemos los lımites laterales.

lımx,1!

f (x) = lımx,1!

(2x2 +2!

(x2 +3

x!1=

lımx,1!

(2x2 +2!

(x2 +3

x!1

(2x2 +2+

(x2 +3(

2x2 +2+(

x2 +3=

lımx,1!

(x!1)(x+1)(x!1)(

(2x2 +2+

(x2 +3)

=12.

Por otra parte,

lımx,1+

f (x) = lımx,1+

x3 !13(x2 !1)

= lımx,1+

(x2 + x+1)(x!1)3(x+1)(x!1)

=12.

De dondelımx,1

f (x) =12.

Observacion 2.5. Notemos que la validez del Teorema 2.7 depende crucialmente de la estructura de ordenla recta real. Dado un numero arbitrario podemos aproximarnos solo por dos direcciones, la izquierda y laderecha. En dimension superior, a saber en Rn, existen multiples formas de aproximarse a un vector a "Rn.En esos casos existen resultados analogos, pero en los que se deben considerar todas las posibles formas deaproximarse a un vector dado.

2.3 Lımites Infinitos 49

2.3. Lımites Infinitos

En esta seccion discutiremos las definiciones de lımite que involucran infinito. Recordemos que infinito noes un numero real y en tal sentido es necesario adaptar las definiciones a este nuevo contexto. En particulares preciso dar una nocion de vecindad de infinito.

Definicion 2.3. Sea f : X , R, donde X no es acotado superiormente. Diremos que

lımx,+!

f (x) = L,

si y solo si para todo ! > 0, existe A > 0 tal que si x " X y x > A entonces | f (x)!L|< ! .

Analogamente,lım

x,!!f (x) = L,

si y solo si para todo ! > 0, existe A > 0 tal que si x " X y x <!A entonces | f (x)!L|< ! .

Observacion 2.6. Es importante recalcar que esta definicion es completamente analoga a la de lımite cuandola variable tiende a un numero real. En efecto, en ese caso dado ! > 0 es necesario encontrar una vecindaddel punto a, lo que en el lenguaje de la defincion es x " (a!) ,a+) )\{a}. En este caso procedemos de lamisma manera, notando que una vecindad del infinito es un intervalo de la forma (A,!).

Ejemplo 2.24.

1. Notemos que lımx,+!

1x= lım

x,!!

1x= 0

2. El siguiente lımite lımx,+!

sin(x) no existe ya que la funcion oscila en el intervalo [!1,1].

3. Tenemos que lımx,+!

e!x = 0, pero notemos

lımx,!!

e!x,

no existe.

Como en el caso de las sucesiones, es posible definir la nocion de lımite igual a infinito.

Definicion 2.4. Diremos quelımx,a

f (x) = +!,

si y solo si para todo A > 0, existe ) > 0 tal que si x " X , 0 < |x!a|< ) entonces f (x)> A.

Ejemplo 2.25.lımx,a

1(x!a)2 =+!.

De modo similar,

Definicion 2.5. Diremos quelımx,a

f (x) =!!,

si y solo si para todo A > 0, existe ) > 0 tal que si x " X , 0 < |x!a|< ) entonces f (x)<!A.

Ejemplo 2.26.lımx,a

!1(x!a)2 =!!.


Observacion 2.7. Nada podemos decir de lımites en los que se tienen expresiones del tipo cero divididocero o infinito menos infinito. En efecto, consideremos c " R fijo.

1. Sea f (x) = xc y g(x) = x entonceslımx,0

f (x) = lımx,0

g(x) = 0,

pero

lımx,0

f (x)g(x)

= c.

2. Notemos que

lımx,0

xsin#

1x

$= 0 y lım

x,0x = 0,

pero

lımx,0

sin#

1x

$

no existe.3. Sean f (x) = c+ 1

(x!a)2 y g(x) = 1(x!a)2 , entonces es claro que

lımx,a

f (x) = lımx,a

g(x) = +!,

perolımx,a

( f (x)!g(x)) = lımx,a

c = c.

2.4. Funciones Continuas

Durante buena parte del siglo diecinueve no hubo una definicion formal de continuidad. La idea intuitivaera lo unico que se tenıa. Las razones para una falta de definicion formal son de diversa ındole, por unaparte el desarrollo de la matematica no habıa alcanzado el nivel que permitiese dicha formalizacion (noexistıa definicion de lımite) y por otra exisitıan dificultades de orden filosofico. Por ejemplo la idea de queel continuo puede formarse de puntos (por ejemplo la recta real) era una idea a la que Aristoteles se opu-so explıcitamente. Coincidentemente con la disminucion de la influencia del pensamiento Aristotelico seobtuvo una definicion formal de continuidad (vea [4] para una discusion detallada sobre los orıgenes de ladefinicion de continuidad). Notemos que la falta de una definicion formal hace imposible la caracteriza-cion y el estudio de las propiedades de continuidad. La definicion que hoy utilizamos de continuidad fuepropuesta por Bolzano en 1817, en un artıculo en el que demostraba el Teorema del Valor Intermedio (verseccion 2.5). Un punto interesante en este artıculo es que distinguıa la nocion de continuidad de la propiedaddel valor intermedio. Discutiremos estas ideas en detalle mas adelante. De momento daremos la definicionde continuidad.

Definicion 2.6. Sea f : X % R, R y a " X . Diremos que la funcion f es continua en el punto x = a si ysolo si dado ! > 0, existe ) > 0 tal que si x " X , |x!a|< ) entonces | f (x)! f (a)|< ! . Si f es continua entodos los puntos a " X , diremos que f es continua en X .

Observacion 2.8. Al contrario de la definicion de lımite, solo tiene sentido hablar de continuidad de lafuncion f es un punto de su dominio.

Observacion 2.9. Notemos que de la definicion de continuidad tenemos que la funcion f es continua en unpunto a " X donde a es un punto de acumulacion si y solo si

lımx,a

f (x) = f (a).

2.4 Funciones Continuas 51

Observacion 2.10. Sea a " X un punto aislado de X (es decir, un punto que no es de acumulacion), entoncesla funcion f es continua en a.

Ejemplo 2.27. La identidad f (x) = x es una funcion continua en todo punto a " R. Lo mismo ocurre conf (x) = xn. En particular, todo polinomio p(x) = a0 +a1x+ . . .+anxn es continuo en todo punto a " R. Siq(x) es un polinomio tal que q(a) )= 0 entonces la funcion racional p(x)/q(x) es continua en x = a.

Ejemplo 2.28. Las funciones sen : R,R y cos : R,R son continuas ya que para todo real a "R se tieneque lımx,a senx = sena y lımx,a cosx = cosa.

Ejemplo 2.29. Sea f : R, R, tal que

f (x) =!

16!2x si x < 5;x+1 si x $ 5.

Entonces f es continua en todo punto de R.

Solucion. En efecto, si a > 5 entonces lımx,a f (x) = a+ 1 = f (a). Del mismo modo, si a < 5 entonceslımx,a f (x) = 16! 2a = f (a). Si a = 5 entonces f (5) = 5+ 1 = 6. Para calcular el lımite utlizamos loslımites laterales,

lımx,5+

f (x) = lımx,5+

x+1 = 6.

Por otra partelım

x,5!f (x) = lım

x,5+16!2x = 16!2 ·5 = 6.

Es decir lımx,5 f (x) = f (5). De donde se obtiene el resultado.

Ejemplo 2.30. La funcion f : R,R definida por f (x) = x|x| para x )= 0 y f (0) = 1 no es continua en x = 0

ya que el lımite de f cuando x tiende a cero no existe. Sin embargo, es continua para todo x )= 0.

Ejemplo 2.31. La funcion

f (x) =!

1 si x "Q0 si x " R\Q

no es continua en ningun punto, pues el lımite no existe para ningun x " R.

Ejemplo 2.32. La siguiente funcion, definida en el Ejemplo 2.18

f (x) =

ABC

BD

1 si x = 0,1q si x = p

q es un numero racional,0 si x es un numero irrracional,

es continua en todo numero irracional y no es continua en todo numero racional. En efecto, el resultado sededuce del hecho que dado a " R se tiene

lımx,a

f (x) = 0.

Ejemplo 2.33. Sea f una funcion monotona cuyo dominio es el conjunto de los numeros reales positivos.Suponga que f satisface

f (xy) = f (x)+ f (y). (2.3)

Demuestre que f es continua en todo su dominio.

Solucion. La siguiente aporximacion al problema se encuentra en [2]. De la ecuacion (2.3) tenemos que

1. f (1) = 0,


2. f (x/y) = f (x)! f (y),3. para todo racional q "Q se tiene que f (xq) = q f (x).

De la segunda propiedad se deduce que la continuidad en x es consecuencia de la continuidad en 1. Debemospor lo tanto porbar que lımx,1 f (x) = 0. Para ello, escojamos a,b " R+ tal que a < x < b. De la tercerapropiedad tenemos que

lımn,!

f (a1/n) = 0 y lımn,!

f (b1/n) = 0.

Luego, dado ! > 0 existe n0 "N tal que | f (a1/n0)|< ! y | f (b1/n0)|< ! . Sea ) =mın{|a1/n0 !1|, |b1/n0 !1|}.Entonces |x!1|< ) implica | f (x)|< ! por la monotonicidad, de donde se obtiene el resultado.

Teorema 2.8. Sea f : X ,R un funcion continua en el punto a " X, entonces f es acotada en una vecindadde x = a.

Demostracion. Como la funcion f es continua en el punto a, dado ! > 0 existe ) > 0 tal que si x " (a!) ,a+) ) entonces f (x) " ( f (a)!!, f (a)+!). Es decir, la funcion es acotada en el intervalo (a!) ,a+) ).

Teorema 2.9. Sean f ,g : X , R funciones continuas en el punto a " X. Si f (a) < g(a), entonces existe) > 0 tal que si |x!a|< ) y x " X entonces f (x)< g(x).

Demostracion. Sea 0 < ! < (g(a)! f (a))/2. Como f es continua en el punto x = a existe )1 > 0 tal que six " X y |x!a|< )1 entonces f (x) " ( f (a)!!, f (a)+!). Del mismo modo, como g es continua en el puntox = a existe )2 > 0 tal que si x " X y |x!a|< )2 entonces g(x)" (g(a)!!,g(a)+!). Sea ) = mın{)1,)2}.Luego, si x " X y |x!a|< ) tenemos que f (x)< f (a)+ ! < g(a)! ! < g(x).

Teorema 2.10. La funcion f : X , R es continua en el punto a " X si y solo si lımn,! f (xn) = f (a) paratoda sucesion (xn)n % X con xn , a cuando n , !.

Demostracion. Este resultado es consecuencia directa del hecho que f es continua en a " X si y solo silımx,a f (x) = f (a) y del Teorema 2.5 que relaciona lımite de funciones con lımite de sucesiones.

Teorema 2.11. Sean f ,g : X , R continua en el punto a " X, entonces f +g, f !g, f ·g son continuas ena. Si g(a) )= 0, entonces f (x)/g(x) es continua en a.

Demostracion. Este resultado es consecuencia directa de los Teoremas 2.10 y 1.8.

Ejemplo 2.34. La funcion tangente es el cuociente de dos funciones continuas, por lo tanto tan : (!&/2,&/2),R es una funcion continua.

Teorema 2.12. Sean f : X , R, g : Y , R continuas en a " X y en b = f (a) " Y respectivamente conf (X)% Y , entonces g7 f : X , R es continua en a.

Demostracion. Dado ! > 0, como la funcion g es continua en el punto y = b existe * > 0 tal que si y " Ycon |y! b| < * entonces |g(y)! g(b)| < !. Por otra parte, como la funcion f es continua en el puntox = a existe ) > 0 tal que si x " X con |x!a| < ) entonces | f (x)! f (a)| < * . Luego, si x " X es tal quex " (a!) ,a+) ) entonces |g( f (x))!g(b)|< !. &'

Notemos que el resultado anterior puede expresarse de la siguiente manera, si f y g son como en elTeorema 2.12 entonces

lımx,a

g( f (x)) = g'

lımx,a

f (x)(.

Esta ecuacion da origen a una tecnica para calcular lımites denominada cambio de variable. A continuacionilustraremos esta idea con un par de ejemplos. Es importante notar que las funciones involucradas debenser continuas para poder aplicar esta tecnica, en efecto vea el Ejemplo 2.9.

Ejemplo 2.35. Calcular el lımite

lımx,&/2

sin(!cos2(x))1! sin(x)

.

2.4 Funciones Continuas 53

Solucion.

lımx,&/2


= lımx,&/2


(1+ sin(x))(1+ sin(x))

= lımx,&/2

sin(cos2(x))sin2(x)!1

(1+ sin(x))

= lımx,&/2

sin(cos2(x))!cos2(x)

(1+ sin(x)).

Pero notemos que lımx,&/2(1+ sin(x)) = 2 y sea u = cos2(x), entonces si x , &/2, tendremos que u , 0,por lo tanto

lımx,&/2

sin(cos2(x))cos2(x)

= lımu,0

sin(u)u

= 1.

Luego,

lımx,&/2

sin(cos2(x))!cos2(x)

(1+ sin(x)) = (!1) ·2 =!2.


lımx,1

(3+ x!2

3(3+ x! 3(4.

Solucion. Utilizaremos el siguiente cambio de variables, sea y6 = 3+ x. Luego si x tiende a 1 tenemos quey tiende a 3(2. Ası

lımx,1

(3+ x!2

3(3+ x! 3(4= lım

y, 3(2

y3 !2y2 ! 3(4

=

lımy, 3(2

(y! 3(2)(y2 + 3(2y+ 3(4)(y! 3(2)(y+ 3(2)

=23

3(2.

Corolario 2.5. El Teorema 2.12 nos permite calcular de modo sencillo ciertas sucesiones. En efecto, sif : X , R es una funcion continua y (xn)n es una sucesion convergente de elementos en X, tenemos que

lımn,!

f (xn) = f ( lımn,!

xn).

Ejemplo 2.37. La funcion exponencial es continua. En virtud del Teorema 2.12 tenemos que si f : X , Res continua en el punto x = a entonces la funcion g : X , R definida por

g(x) = e f (x),

es continua en el punto x = a.

Ejemplo 2.38. La funcion f : R, R definida por f (x) = sin(1/x) para x )= 0 y f (0) = a, no es continuaindependiente del valor de a. Ya que el lımite de f cuando x tiende a cero oscila en el intervalo [!1,1].

Ejemplo 2.39. Sea f : R,R definida por f (x) = 11+e1/x para x )= 0 y f (0) = 0. La funcion f es discontinua

en x = 0 ya que no existe el lımite.

Ejemplo 2.40. La funcion parte entera f (x) = [x] es discontinua en todo punto n "Z, ya que en esos puntosno existe el lımite.

Ejemplo 2.41. Determine los valores de A y B de modo que la funcion f sea continua,


f (x) =

AC

D

!2sin(x) si x #!&2 ;

Asin(x)+B si ! &2 < x < &

2 ;cos(x) si x $ &

2


lımx,!&/2!

f (x) = lımx,!&/2!

!2sin(x) =!2sin(!&/2) = 2,

ylım

x,!&/2+f (x) = lım

x,!&/2+Asin(x)+B =!A+B.

Luego como f (!&/2) = 2, entonces tendremos que para que f sea continua en !&/2 se tiene que cumplirque !A+B = 2.

Por otro lado, podemos notar que

lımx,&/2!

f (x) = lımx,&/2!

Asin(x)+B = A+B,

ylım

x,&/2+f (x) = lım

x,&/2+cos(x) = 0.

Ası tendremos que A+B = 0. Luego, tendremos un sistema dado por

!A+B = 2A+B = 0

&&&& ,

es decir, A =!1 y B = 1.

Ejemplo 2.42. Determine los valores de a y b de modo que

f (x) =

ABBBBBBC

BBBBBBD

1! x2 si x #!1

ax5 +bx4 !ax!bx2 !1

si !1 < x < 1

x2 si 1 # x

sea continua en todo R.

Solucion. Debemos entonces verificar la continuidad en x = 1 y en x =!1. Notemos que

lımx,!1!

f (x) = f (!1) = 0

Pero,

lımx,!1+

ax5 +bx4 !ax!bx2 !1

= lımx,!1

(ax+b)(x4 !1)x2 !1

=

lımx,!1

(ax+b)(x2 +1) = 2(b!a).

Por tanto, para que f sea continua en !1 debe tenerse que

2(b!a) = 0 equivalentemente a = b.

Por otra parte

2.5 Discontinuidades 55

lımx,1+

f (x) = f (1) = 1.

Ademaslımx,1

(ax+b)(x2 +1) = 2(a+b).

Por lo tanto,

a+b =12.

De las dos ecuaciones obtenidas deducimos que a = b =14.

Ejemplo 2.43. La siguiente funcion, f : R, R, es continua solo en un punto, a saber x = 0,

f (x) =

/x si x "Q;!x si x /"Q.

Para todo punto x )= 0 el lımite de f no existe.

2.5. Discontinuidades

Diremos que a " X es un punto de discontinuidad de la funcion f : X , R (o simplemente una disconti-nuidad) si f no es continua en x = a, es decir, existe ! > 0 tal que para todo ) > 0, existe x " X tal que|x!a|< ) y | f (x)! f (a)|$ ! .

Definicion 2.7. Diremos que el punto x = a es una discontinuidad de primera especie (o removible) para lafuncion f cuando lımx,a f (x) existe, pero f (a) )= lımx,a f (x).

En este caso la funcion es discontinua en x = a, sin embargo es posible redefinir la funcion en el punto x = ade modo tal que sea continua. En efecto, podemos redefinir f como

f (x) =!

f (x) si x )= a;lımx,a f (x) si x = a.

De este modo f es continua en a.

Ejemplo 2.44. Sea f : R, R definida por

f (x) =!

1 si x )= 0;0 si x = 0.

La funcion f no es continua en x = 0. La discontinuidad es removible y es posible redefinir f en el puntox = 0 de modo que sea continua. En efecto, la funcion f (x)8 1 es continua y coincide con f en R\{0}.


f (x) =

/x3!1x!1 si x )= 1;5 si x = 1

Notemos quelımx,1

f (x) = lımx,1

(x2 + x+1) = 3,

por lo que f es discontinua en x = 1. Sin embargo, la discontiuidad es removible y podemos redefinir fcomo


f (x) =

/x3!1x!1 Si x )= 13 Si x = 1

la que es continua en x = 1.

Definicion 2.8. Diremos que el punto x = a es un discontinuidad de segunda especie para f si no es posibleredefinir la funcion en un punto de manera de que la resultante sea continua.

Distinguimos los siguientes tipos,

1. Infinita. Si la funcion f no es acotada en una vecindad de x = a, tenemos una discontinuidad de segundaespecie en x = a.

Ejemplo 2.46. Sea f : R\{0}, R tal que x ., 1/x, f (0) = b y

lımx,0+

f (x) = +!.

Esta funcion posee una discontinuidad de segunda especie en x = 0.

2. Oscilacion. Diremos que la funcion f oscila alreadedor del punto a, si existe ) > 0 tal que para todo ! > 0se tiene que existen x1,x2 " (a!!,a+!) tales que | f (x1)! f (x2)|> ) . Si la funcion oscila alrededor dex0 no es posible redefinirla en ese punto de modo que sea continua.

Ejemplo 2.47. La funcion f : R,R definida por f (x) = sin(1/x) y f (0) = a posee una discontinuidadde segunda especie en x = 0.

3. Lımites laterales distintos. Sea f : X , R y a " X . Si

lımx,a!

f (x) )= lımx,a+

f (x),

entonces la funcion posee una discontinuidad de segunda especie en x = a.

Teorema 2.13. Suponga que f : X , R es una funcion monotona, entonces f no admite discontinuidadesde segunda especie del tipo Oscilacion ni Infinito.

Demostracion. Como f es monontona, tenemos que para todo a " X , al funcion es acotada en un intervalode la forma (a! !,a+ !). Ademas tenemos que como la funcion es monotona los lımites laterales existen(ver Ejercicio 8).

Dado un conjunto finito, D % R, es facil construir una funcion f : R , R que sea continua en R \D,pero discontinua en todo punto de D. Hemos visto, por otra parte, ejemplos de funciones definidas en losreales que no son continuas en ningun punto (ver Ejemplo 2.31). La situacion puede ser particularmentecomplicada, existen funciones que son continuas en todo punto irracional y discontinuas en todo puntoracional (ver Ejemplo 2.32). Sea f : R, R y denotemos por

D f := {x " R : la funcion f es discontinua en x},

el conjunto de puntos donde la funcion f es discontinua. Una pregunta natural es si dado un conjuntoarbitrario K % R existe una funcion f : R , R tal que D f = K. La respuesta a esta pregunta es negativa,no todo subconjunto de los reales es el conjunto de discontinuidad de una funcion f . La caracterizacion delos conjuntos que sı satisfacen esta propiedad excede el nivel de este texto, pero puede encontrarse en [1,Seccion 4.6]. Ver tambien el Ejercicio 51 donde se indica como caracterizar los conjuntos D f .

2.6 Funciones Continuas en el Intervalo 57

2.6. Funciones Continuas en el Intervalo

En esta seccion revisaremos una serie de propiedades de las funciones continuas definidas en intervaloscerrados y acotados. Las propiedades aquı discutidas dependen no solo de la continuidad de la funcion fsino que tambien de las caracterısiticas especiales de su dominio.

Teorema 2.14 (Teorema del Valor Intermedio). Sea f : [a,b],R una funcion continua. Si d " ( f (a), f (b)),entonces existe c " (a,b) tal que f (c) = d

Demostracion. Sea A = {x " [a,b] : f (x) < d}. El conjunto A es no vacıo, ya que f (a) < d (es decir,a " A), notemos ademas que b /" A. Afirmamos que A no posee maximo. En efecto, sea " " A, en particular" < b. Sea ! = d ! f ("). Como f es continua en " , existe ) > 0 tal que para todo x " ["," +) ] se tieneque f (x) < f (")+ ! , es decir, f (x) < d. Ası todos los puntos x " ["," + ) ] pertenecen a A. Es decir, elconjunto A no posee maximo. Sin embargo, como A es un conjunto acotado superiormente por b, poseesupremo. Sea c = supA, es decir, existe (xn)n % A tal que xn , c. Como f es continua y los elementosde las sucesion (xn)n pertenecen al conjunto A tenemos que f (c) = lımn,! f (xn) # d. Como A no poseemaximo, c )" A. Luego f (c)$ d, es decir, f (c) = d. &'

Corolario 2.6. Sea f : I , R una funcion continua, si I es un intervalo, entonces f (I) es un intervalo.

Demostracion. Si la funcion f es constante el resultado es obvio. Denotemos por I = [a,b]. Supongamosque f no es constante y sean " = ınf{ f (x) : x " I} y % = sup{ f (x) : x " I}. Si el conjunto f (I) no fueseacotado definimos " = !! y/o % = !. Para probar que f (I) es un intervalo cuyos extremos son " y %consideramos d " (",% ). De la definicion de supremo e ınfimo existen a,b " I tales que " # f (a) < d <f (b)# % . Por el Teorema del Valor Intermedio tenemos que existe c" [a,b] tal que f (c)= d. Luego d " f (I)y por lo tanto (",% )% f (I). De la definicion de supremo e ınfimo tenemos que f (I)% [",% ].

Hasta antes del artıculo de Bolzano mencionado al comienzo de esta seccion, se pensaba que la tesis delTeorema del valor Intermedio, a la que llamaremos propiedad del valor intermedio, era una buena definicionde continuidad. A continuacion veremos que existen una serie de dificultades cuando se adopta este puntode vista. La funcion, f : [0,1], R definida por

f (x) =

/sen(1/x)

x si x )= 0;0 si x = 0,

satisface la propiedad del valor intermedio, sin embargo no es acotada. Por otra parte, la propiedad del valorintermedio no se preserva por la suma. En efecto, sean

f (x) = sen2(1/x) si x )= 0 y f (0) = 0,g(x) = cos2(1/x) si x )= 0 y g(0) = 0.

Ambas funciones satisfacen la propiedad del valor intermedio, sin embargo su suma

f (x)+g(x) = sen2(1/x)+ cos2(1/x) = 1 si x )= 0 , f (0)+g(0) = 0,

calaramente no satisface dicha propiedad. La siguiente funcion satisface la propiedad del valor intermedio,independiente de como la definamos en x = 0,

f (x) = sen#

1x

$si x )= 0 , f (0) = a.

Nuestra definicion de continuidad nos permite aproximar el valor de una funcion en un punto x = x0 eva-luando la funcion en puntos suficientemente cercanos. La funcion anterior claramente no satisface esa pro-piedad.


Ejemplo 2.48. Sea p : R , R un polinomio, p(x) = anxn + . . .+ a1x+ a0 donde n es un numero impar,entonces p(x) posee una raız.

Solucion. En efecto, p(x) es una funcion continua. Podemos escribir p(x) = anxnr(x) donde

r(x) = 1+an!1

an

1x+ . . .+

a1

an

1xn!1 +

a0

an

1xn .

Notemos quelım

x,±!r(x) = 1.

Supongamos que an > 0 (el otro caso se trata de manera analoga). Como n es impar tendremos que

lımx,+!

anxn =+! y lımx,!!

anxn =!!,

y por lo tanto,lım

x,+!p(x) = +! y lım

x,!!p(x) =!!.

Es decir, existen a,b " R tal que f (a) > 0 y f (b) < 0, y por lo tanto por teorema del valor intermedioconcluimos que existe c " R tal que p(c) = 0.

Ejemplo 2.49. Sea n " N, la funcion f : [0,+!), [0,+!) definida por f (x) = xn es creciente con f (0) =0 y lımx,+! f (x) = +!. Su imagen es un intervalo en [0,+!), es decir, f ([0,+!)) = [0,+!) (Comoes creciente estrictamente, es inyectiva), entonces f es biyectiva, es decir, existe un unico b " R tal quea = f (b) = bn, es decir, n

(a = b.

Ejemplo 2.50. (Teorema del Punto Fijo) Sea f : [a,b], [a,b] continua tal que f (a)$ a y f (b)# b, entoncesexiste c " [a,b] tal que f (c) = c.

Solucion. Sea + : [a,b], R definida por +(x) = x! f (x), es continua, +(a) $ 0 y +(b) # 0. Lugo existec " [a,b] tal que +(c) = 0, es decir, f (c) = c.

Ejemplo 2.51. Sea f : [0,1] , R continua y tal que f (0) = f (1). Demuestre que existe x " [0,1] tal quef (x) = f (x+ 1

2 ).

Solucion. Considere la funcion $ : [0, 12 ],R definida por $(x) = f (x+ 1

2 )! f (x). La funcion $ es continuaya que es la compuesta y la diferencia de funciones continuas. Ademas $(0) = f ( 1

2 )! f (0) y

$(1/2) = f (1)! f (1/2) = f (0)! f (1/2) =!( f (1/2)! f (0)) =!$(0).

Si $(1/2) = 0 entonces x = 1/2 satisface f (x) = f (x+ 12 ). Caso contrario $(1/2) y $(0) poseen signos

opuestos. En virtud del teorema del valor intermedio existe c " (0,1/2) tal que $(c) = 0. Con lo que seprueba el resultado.

Ejemplo 2.52. Demuestre que la ecuacion 8xcos2(x) = 1 tiene una solucion positiva.

Solucion. Basta mostrar que la funcion m(x) = 8xcos2(x)! 1 tiene un cero en el intervalo J0 = [0,![.Notemos que la funcion m(x) es continua en la recta real, en particular en J0. Ademas

m(0) = !1 < 0m(&/4) = & !1 > 0.

Por el Teorema del Valor Intermedio, existe a " (0,&/4) tal que m(a) = 0, lo que demuestra la afirmacion.

Observacion 2.11. Notemos que si f : R , R es una funcion continua e I,J son dos intervalos cerradostales que J % f (I) entonces existe un intervalo cerrado I* % I tal que f (I*) = J.

2.6 Funciones Continuas en el Intervalo 59

Ejemplo 2.53. Sea f : [a,b], [a,b] una funcion continua. Supongamos que existe un punto x0 " (a,b) talque ( f 7 f 7 f )(x0) = x0 (es decir, posee un punto periodico de perıodo tres). Demuestre que dado n " Nexiste xn " (a,b) tal que f n(xn) = xn donde f n(x) = f 7 f 7 · · ·7 f (x)3 45 6

n!veces

. Es decir, si existe un punto periodico

de perıodo tres entonces existen puntos periodicos de todos los perıdos.

Solucion. Supongamos que f posee un punto periodico de perıodo tres. Utilizaremos la siguiente notacion,x0 , f (x0) = x1, f (x1) = x2. Notemos que f (x2) = x0. Sin perdida de generalidad supondremos que x0 <x1 < x2. Sean I0 = [x0,x1] y I1 = [x1,x2]. Tenemos que I1 % f (I0) y I0 0 I1 % f (I1) ya que f es continua.Probaremos, en primer lugar, que existen orbitas periodicas de perıodo n, para n > 3.

Como I1 % f (I1) existe A1 % I1 tal que I1 = f (A1). Ahora como A1 % I1 = f (A1), podemos encotrar A2 %A1 tal que f (A2) = A1. Repitiendo este proceso n!1 veces obtenemos la siguiente sucesion de conjuntos

An!2 % An!3 % · · ·% A2 % A1 % I1,

de modo que f (Ai) = Ai!1 y f (A1) = I1. Notemos que f n!2(An!2) = I1 y An!2 % I1- Ahora como An!2 %I1 % f (I0) existe un intervalo cerrado An!1 % I0 tal que f (An!1) = An!2 . Ası existe An % I1 tal que f (An) =An!1, De este modo obtenemos la siguiente sucesion

An !, An!1 !, An!2 !, · · ·!, A1 !, I1.

Ası f n(An) = I1. Como An % I1 existe un punto fijo x0 " An para f n. Es decir, existe un punto periodico deperıodo n para f .

Consideremos ahora los dos casos restantes. Como I1 % f (I1) la funcion f posee un punto fijo. Delmismo modo, como I1 % f (I0) y I0 % f (I1) existe un punto periodico de perıodo dos.

Proposicion 2.1. Si f : [a,b], R es una funcion continua entonces es acotada.

Demostracion. Supongamos por el contrario que la funcion no es acotada, demostraremos que esto implicaque existe un punto donde la funcion no es continua. Sean x1 = a e y1 = b denotemos por

c1 =x1 + y1

2.

La funcion f es no acotada en alguno de los intervalos [x1,c1] o [c1,y1]. Consideremos el intervalo dondeno es acotada y denotemos por x2 e y2 sus extremos derechos e izquierdos respectivamente. Ası

x1 # x2 < y2 # y1.

Repetimos el procedimiento definiendoc2 =

x2 + y2

2y escogiendo un intervalo donde f no es acotada. De este modo obtenemos una sucesion de intervalosencajados de largos arbitrariamente cortos [xk,yk] tales que

x1 # x2 < .. .xn < yn # · · ·# y2 # y1.

Ası la funcion f es no acotada en cada intervalo [xk,yk] . En virtud del Teorema de los intervalos encajados(ver Teorema 1.3) existe un punto c " R que pertenece a todos los intervalos. Probaremos que f no escontinua en x = c.

Supongamos que la funcion f es continua en el punto x = c. Es decir, dado ! > 0 existe ) > 0 tal que si|x!c|< ) entonces | f (x)! f (c)|< !. Notemos que existe k "N tal que yk !xk < ) y que f es no acotadaen el intervalo [xk,yk]. Por lo tanto existe x " [xk,yk] tal que f (x) > f (c)+ ! . Esta contradiccion prueba elresultado.


Teorema 2.15 (Teorema de Weierstrass). Sea f : [a,b], R continua, entonces f alcanza su mınimo y sumaximo, es decir, existen x1,x2 " [a,b] tal que

f (x1) = ınf{ f (x) : x " [a,b]} y f (x2) = sup{ f (x) : x " [a,b]}

Demostracion. Sea M = sup{ f (x) : x " [a,b]} y supongamos que para todo x " [a,b] , f (x) )= M. Entoncesla funcion

g(x) =1

M! f (x),

es continua en [a,b] y por lo tanto acotada. Ası, existe C " R tal que |g(x)|= 1/(M! f (x))#C para todox " [a,b]. Esto implica que para todo x " [a,b] se tiene que f (x)# M!1/C. Lo anterior contradice el hechoque M es el supremo de f .

Observacion 2.12. Notemos que la funcion puede alcanzar su maximo y su mınimo en mas de un punto,basta considerar f (x) = c que alcanza su maximo y mınimo en todo intervalo [a,b]% R.

Observacion 2.13. Es fundamental que el intervalo sea cerrado para la validez del Teorema anterior, bastaconsiderar la funcion f (x) = 1/x con dominio (0,1) o f (x) = x con dominio (0,1)

Diremos que una funcion f : [a,b], R posee un maximo local estricto en x = c si existe ! > 0 tal quef (c)> f (x) para todo x " (c!!,c+!) (analogamente podemos definir mınimo local estricto). Schoenflies[15] en 1900 demostro que el conjunto de puntos que son maximos locales estrictos de una funcion continuaes a lo mas numerable. No es difıcil construir una funcion continua que posea maximos locales en elconjunto {1/n : n " N}0{0}. Es posible construir una funcion continua f : R, R tal que posea maximoslocales estrictos en cada punto racional (ver [11]). En un sentido preciso, podemos afirmar que existe unagran cantidad de funciones continuas tales que el conjunto de puntos que son maximos locales estrictos esun conjunto denso (ver [6]).

2.7. Ejercicios

Algunos de los siguientes ejercicios aparecen en los textos de Bressoud [3], Courant y John [7], Gel-baum y Olmsted [10], Hardy [11], Lima [14], Shakarchi [21], y en el texto de la Universidad Catolica deValparaıso [23].

1. Sean f ,g : X , R con lımx,a f (x) = L y lımx,a g(x) = M. Demuestre que,

a) lımx,a

( f (x) ·g(x)) = L ·M.

b) Si M )= 0, entonces

lımx,a

f (x)g(x)

=LM.

2. Demuestre quelımx,a

senx = sena.

3. Calcular

a) lımx,0

tan(x) ! sen(x)sen3(x)

b) lımx,!

x23

'(x+2 !2

(x+1 +

(x(

4. Calcule los siguientes lımites, donde m,n " N y a,b " R con a > 0 y b > 0.

a)

lımx,0

3(1+ x2 ! 4(1!2xx+ x3 lım

x,a

(x!

(a

x!a.

2.7 Ejercicios 61

b)

lımx,1

xm !1xn !1

lımx,0

11! 1

x.

c)

lımx,0

sen2x3x

lımx,1

1! x2

sen&x.

d)

lımx,a

senx! senax!a

lımx,0

tan2xsen3x

.

e)

lımx,&/4

cosx! senxcos2x

lımx,0

1!(

cosxx2 .

f )lım

x,&/2

'&2! x

(tanx lım

x,0

cosmx! cosnxx2

g)

lımx,0

5x2 arcsenx/3sen3 2xcos2 x

lımx,&/2

senx+ senx!2sen2 x!4senx+3

.

h)

lımx,0

(5!

(4+ cos2 x

sen2 xlımx,0

'sen

+1+1/x! sen

+1/x

(.

i)

lımx,0

#1

senx! 1

tanx

$lımx,0

1! cosxx2 .

j)

lımx,1

xn+1 ! (n+1)x+n(x!12 lım

x,&/8

1!2cosxsen(x!&/8)

k)

lımx,0

sen(&x)! sen(&x)cos(&x)x2 senx

lımx,0

log(1+ x)x

.

l)

lımx,0

ax !bx

xlımx,0

ex ! esenx

x! senx.

m)lımx,0

)x x(a!1

*lımx,a

x!alogx! loga

.

n)

lımx,0

x

-a+ xa! x

lımx,0

#ax +bx

2

$1/x

.

5. Demuestre que los siguientes lımites no existen

a)

lımx,0

1x

lımx,0

cosxx

.

b)

lımx,0

#1x

sen2 1x

$lımx,0

tan1x.


6. Calcule

a)

lımx,!

'sen

(x+1! sen

(x(

lımx,!

ex ! e!x

ex + e!x .

b)

lımx,!

'cos

ax

(xlımx,!

#x+3x!3

$x+3.

c)

lımx,!

(x.

x++

x+(

xlımx,!

cos5x&x

7. Calcule el siguiente lımite,lım

x,0+

'(x ·2sin( &

x )(.

8. Sea f : R , R una funcion monotona y acotada. Demuestre que para todo a " R existen los lımiteslaterales.

9. Construya un ejemplo de una funcion monotona y acotada que no tenga lımite en un punto dado a " R.10. Sea a "R y sea f : (!!,a),R una funcion. Asuma que f es acotada superiormente y que si x < y < a

entonces f (x)# f (y). Demuestre quelımx,a

f (x)

existe.11. Determine para que valores a y b la funcion

f (x) =

ABBBBBC

BBBBBD

sen(ax)x si x < 0

x3!1x2+x!2 si 0 # x < 1

x2+(b!1)x!bx!1 si 1 # x

es continua en todo R12. Determine para que valores x " R la siguiente funcion es continua

f (x) =

/0 si x es irracional,senx si x es racional.

13. Determine para que valores x " R la siguiente funcion es continua

f (x) =

/x2 !1 si x es irracional,0 si x es racional.

14. Determine para que valores x " R la siguiente funcion es continua

f (x) =

/x si x es irracional o x = 0,0 si x = p/q es racional, p y q son relativamente primos y q > 0.

15. La funcion f : R, R definida por

f (x) =

/q si x "Q y x = p/q;0 si x /"Q.

2.7 Ejercicios 63

En esta defincion el numero racional p/q se asume escrito de modo que no tengan factores comunes p yq y tal que q > 0. Demuestre que f no es acotada en ningun intervalo y estudie su continuidad.

16. Determine para que valores de x " R la funcion definida por

f (x) = 1! lımn,!

n.

cos2(&x),

es continua.17. Construya una funcion continua que no es monotona en ningun intervalo (ver [10, p.29].)18. Sea f : X , R una funcion que solo posee discontinuidades de primera especie. Demuestre que el

conjunto de puntos donde f es discontinua es numerable.19. Sea f : X , R una funcion monotona, demuestre que el conjunto de puntos donde f es discontinua es

numerable.20. Sea A % R un conjunto numerable arbitrario. Construya una funcion monotona f : R, R de modo que

el conjunto de puntos donde f es discontinua sea igual a A.21. Sea f : R, R una funcion tal que para todo x, t " R se tiene que

f (tx) = t f (x). (2.4)

Demuestre que la funcion f es continua y describa todas las funciones satisfaciendo (2.4).22. Una funcion f : [a,b], R es monotona a pedazos si existe una particion del intervalo {a = x1 < x2 <

x3 < .. . < xn!1 < xn = b} tal que f es monotona en cada uno de los intervalos (xi,xi+1). Demuestre quesi f es monotona a pedazos y satisface la propiedad del valor intermedio entonces en continua.

23. Construya una funcion f : R, R que sea lineal, es decir que satisfaga la siguiente relacion f (x+ y) =f (x)+ f (y) para todo x,y " R y que no sea continua.

24. Demuestre el Teorema de Weierstrass utilizando el resultado que afirma que toda sucesion monotonay acotada es convergente. La idea de esta demotracion es debida a Fort y puede encontrarse en [7].Claramente la afirmacion utilizada es consecuencia del Axioma del supremo, es decir, la demostracionbuscada no es en estricto rigor del todo novedosa.

25. Construya una funcion continua que posea maximos locales estrictos en el conjunto {1/n : n "N}0{0}.26. Demuestre que el conjunto de maximos locales estrictos de una funcion continua f : R, R es a lo mas

numerable (ver [15]).27. Construya una funcion continua que posea maximos locales en el conjunto de los numeros racionales

(ver [6]).28. Sea f : [0,2],R una funcion continua. Demuestre que existen a,b " [0,2] tales que a!b = 1 y f (a) =

f (b),29. Pruebe que la ecuacion (1! x)cosx = senx posee al menos una solucion en (0,1).30. Demuestre que la funcion f : [1/2,!], R definida por

f (x) = [x]+ (x! [x])[x]

es continua.31. Para todo x )=!1 sea

f (x) = lımn,!

#xn !1xn +1

$2.

Determine los valores donde f es continua.32. La siguiente funcion f : [0,1], [0,1] es acotada, sin embargo no posee maximos (en particular no puede

ser continua)

f (x) =

/(!1)nn

n+1 si x "Q y x = mn ,n > 0;

0 si x " R\Q.

33. Construya una biyeccion f : R, R que sea discontinua en todos sus puntos.


34. Determine si existe una funcion continua que transforme todo numero racional en un irracional y vice-versa.

35. Demuestre que si f : [a,b], R es una funcion continua e inyectiva entonces f es monotona.36. Demuestre que si f : [a,b] , R es una funcion continua e inyectiva tal que f ([a,b]) = X entonces la

funcion inversa f!1 : X , [a,b] es continua.37. Considere el siguiente orden en los numeros naturales,

/3 : 5 : 7 : 9 : ·2 ·3 : 2 ·5 : 2 ·7 : 2 ·9 : 22 ·3 : 22 ·5 : 22 ·7 : 22 ·9 : ·· · ·: 2n ·3 : 2n ·5 : 2n ·7 : 2n ·9 : · · ·: 2n : 2n!1 : · · ·: 2 : 1.

Demuestre el siguiente resultado debido a Sarkovskii [14]. Si f : [a,b], [a,b] es una funcion continuatal que existe un punto periodico x " (a,b) de perıdo n0, es decir

f n0(x) = f 7 f 7 · · ·7 f (x)3 45 6n0!veces

= x

y esta propiedad no se tiene para m < n0. Entonces existe un punto periodico para f de perıodo k paratodo n0 : k.

38. Sean f ,g : A % R , R dos funciones continuas, demuestre que las siguientes funciones tambien soncontinuas

M(x) := max{ f (x),g(x)} m(x) := mın{ f (x),g(x)}.

39. Dado A % R no vacıo, defina f : R, R por f (x) = ınf{|x!a| : a " A}. Demuestre que dados x,y " Rse tiene

| f (x)! f (y)|# |x! y|,

en particular f es continua.40. Sean f ,g : R,R funciones continuas tales que si r "Q entonces f (r) = g(r). Demuestre que para todo

x " R se tiene que f (x) = g(x).41. Sea f : R, R. Para cada n " N defina el conjunto Cn formado por los puntos a " R tales que existe un

intervalo abierto I que contiene al punto x = a, de modo que si x,y " i se tiene que

| f (x)! f (y)|# 1n.

Demuestre que f es continua en x = a si y solo si a "Cn para todo n " N.42. Determine si existe una funcion continua en los numeros racionales y discontinua en los irracionales

(utlice el problema anterior).43. Sea p : R, R, definido por p(x) = a2nx2n + · · ·+ a1x+ a0 un polinomio de grado par. Demuestre que

existe x0 " R tal que p(x0)# p(x) para todo x " R.44. Sea f : R, R una funcion continua tal que

lımx,+!

f (x) = lımx,!!

f (x) = +!.

Demuestre que existe x0 " R tal que f (x0)# f (x) para todo x " R.45. Sea f : R, R una funcion tal que para todo ! > 0 existe una funcion continua g : R, R tal que

|g(x)! f (x)|# !.

Demuestre que f es continua.46. Sea f : R, R una funcion definida por f (x) = x+axsenx. Demuestre que si |a|< 1 entonces

lımx,+!

f (x) = +! y lımx,!!

f (x) =!!.

Referencias 65

47. Sea f : [0,1],R una funcion continua tal que para todo x " [0,1] se tiene que f (x) "Q y que f (1/2) =1/2. demuestre que f (x) = 1/2.

48. Demuestre que si f : [a,b], R es monotona y satisface la propiedad del valor intermedio entonces escontinua.

49. Considere las funciones

f (x) =

AC

D

|x!1|!2 si x # 4

(x!5)2 si x > 4y g(x) = |2x+1|

Discuta si los siguientes lımites existen y si existen calcule su valor:

i) lımx, 3

2

)f 7g

*(x).

ii) lımx,! 1

2

g(x)x+ 1

2

50. Sea g(x) una funcion positiva en R tal que lımx,0

g(x) = 1.

Calcule lımx,0

sen(g(x)!1)+g(x)!1

.

51. Sea f : R, R y " > 0. Diremos que la funcion f es "! continua en el punto x " R si existe ) > 0 talque para todo y,z " (x!) ,x+) ) se tiene que | f (y)! f (z)|< " . Sea

D f" = D" = {x " R : la funcion f no es " ! continua en x}.

a) Demuestre que si "1 < "2 entonces D"1 % D"2 .b) Demuestre que si f es continua en x " R entonces es "!continua en x, para todo " > 0.c) Demuestre que si f no es continua en x " R entonces existe " > 0 tal que f no es "!continua en x.

Deduzca que el conjunto de discontinuidades de una funcion f , denotado por D f , es tal que

D f = 0!n=1D1/n.

d) Demuestre que dado " > 0 el conjunto D" es cerrado, es decir, para cualquier sucesion (xn)n"N conxn " D" para todo n " N, se tiene que si (xn)n converge al punto x " R entonces x " D" .

e) Demuestre que el conjunto (0,1) no es cerrado.f ) En virtud de lo anterior se tiene que el conjunto D f es la union numerable de conjuntos cerrados.g) Exhiba un ejemplo de un conjunto que no es la union numerable de conjuntos cerrados.

Referencias

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Docent Press, 2012.5. Courant, R. and John, F. Introduction to calculus and analysis. Vol. I. Reprint of the 1989 edition. Classics in Mathematics.

Springer-Verlag, Berlin, 1999. xxiv+661 pp6. Drobot, V. and Morayne, M. Continuous Functions with a Dense Set of Proper Local Maxima. The American Mathema-

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8. Gelbaum, B. R. and Olmsted, J. M. H. Counterexamples in analysis. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2003.xxiv+195 pp.

9. Hardy, G. H. A course of pure mathematics. 10th ed. Cambridge University Press, New York 1958 xii+509 pp.10. Lima, E. L. Curso de analise. Projeto Euclides. Instituto de Matematica Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 1976. ix+344

pp11. Posey, E.E. and Vaughan, J. E. Functions with a Proper Local Maximum in Each Interval The American Mathematical

Monthly, Vol. 90, No. 4 (1983), pp. 281-282.12. Pease, D. K. Limits used in the Derivative of sinx. The American Mathematical Monthly, Vol. 60, No. 7 (1953), p. 47713. Shakarchi, R., Problems and solutions for Undergraduate analysis. Springer-Verlag, New York, 1998. xii+368 pp.14. Sarkovskii, O. M. Co-existence of cycles of a continuous mapping of the line into itself. Ukrain. Mat. Z. 16 1964 61–71.15. Schoenflies, A. Die Entwickelung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten, Bericht, erstattet der Deutschen

Mathematiker-Vereinigun1900.16. UCV Calculo Diferencial Tercera Edicion. Universidad Catolica de Valparaıso 1982.

Capıtulo 3La Derivada

3.1. Definicion y Ejemplos

A fines del siglo XV II se formalizo la nocion de derivada y se desarrollaron tecnicas para manipularlas.Newton en 1665 introdujo el concepto dederivada ligado estrechamente al concepto de volocidad. En 1675Leibniz redescubrio estos resultados, en su trabajo la derivada tiene un caracter mas bien geometrico. Sibien la defincion de derivada es del siglo XV II la defincion precisa se obtuvo durante el siglo diecinueve.Tanto Bolzano como Gauss, a comienzos del 1800, tenıan ya una idea bastante clara sobre como definirestos conceptos. Una de las mayores influencias en el desarrollo de estas ideas la tuvo el texto Coursd’analyse escrito por Cauchy en 1820. Sin embrago, no fue hasta 1850 en que tras los trabajos de Weierstrassy Riemann se obtuvo una definicion precisa de derivada. En este seccion estudiaremos esta definicion ydesarrollaremos algunos ejemplos.

Definicion 3.1. Sea f : A%R,R una funcion, a"A un punto de acumulacion. Diremos que f es derivable(o diferenciable) en el punto a " A si el siguiente lımite existe,

lımx,a

f (x)! f (a)x!a

,

y lo llamaremos derivada de f en el punto x = a.

Notacion. Existen multiples notaciones para la derivada de una funcion f en un punto x = a. La siguientenotacion es debida a Leibniz

ddx

f (x)&&&x=a

.

La ventaja de esta notacion es que especifica la variable con respecto a la cual se esta diferenciando ”dx”.Para funciones definidas en una variable, como las estudiadas en este texto, la notacion de Lagrange esmenos recargada:

f *(a).

Newton introdujo la siguiente notacion para la derivada de la funcion f :

f (x).

Finalmente, mencioanremos la notacion de Euler que tiene la ventaja de explicitar la naturaleza de operadorde la diferenciacion:

Dx f (x).

Observacion 3.1. Como la derivada es un lımite podemos definir los correspondiente lımites laterales. Seaf : A % R , R y a " A un punto de acumulacion. La derivada por la derecha de f en el punto x = a sedefine por

67

68 3 La Derivada

lımx,a+

f (x)! f (a)x!a

,

en caso que lımite exista. Del mismo modo la derivada por la izquierda de f en el punto x = a se define por

lımx,a!

f (x)! f (a)x!a

,

en caso que lımite exista. En virtud de los resultados para lımites, la derivada de f en el punto x = a existesi y solo si existen las derivadas laterales de f en x = a.

Observacion 3.2. Es importante recalcar el caracter local de la derivada. La diferenciabilidad es una propie-dad de la funcion en un punto. Por lo tanto, toda informacion que podamos deducir a partir de la derivadade una funcion sera local, es decir, valida en una vecindad del punto.

Ejemplo 3.1. Sea c " R y f : R, R la funcion definida por f (x) = c, entonces

lımx,a

f (x)! f (a)x!a

= lımx,a

c! cx!a

= lımx,a

0x!a

= 0,

es decir, f *(a) = 0 para todo a " R.

Ejemplo 3.2. Sea f : R, R definida por f (x) = x2 y a " R, entonces

lımx,a

f (x)! f (a)x!a

= lımx,a

x2 !a2

x!a= lım

x,a(x+a) = 2a,

es decir, f *(a) = 2a para todo a " R.

Ejemplo 3.3. Sea f : R, R definida por f (x) = sin(x) y a " R.

lımx,a

f (x)! f (a)x!a

= lımx,a

sin(x)! sin(a)x!a

= lımx,a

2sin) x!a

2*

cos) x+a

2*

x!a

= lımx,a

sin) x!a

2*

x!a2

cos#

x+a2

$

= 1 · lımx,a

cos#

x+a2

$= cos(a).

Luego, (sin(a))* = cos(a).


f (x) =!

x3 si x # 12! x si x > 1

Determine si existe la derivada de f en x = 1.

Solucion. Como la derivada es un lımite, para determinar si existe calcularemos los lımites laterales.

lımx,1!

f (x)! f (1)x!1

= lımx,1!

x3 !1x!1

= 3,

y

lımx,1+

f (x)! f (1)x!1

= lımx,1+

2! x!1x!1

=!1.

Por lo tanto, la derivada de f no existe en x = 1.

3.1 Definicion y Ejemplos 69

Observacion 3.3. Considerando el siguiente cambio de variable h = x!a tenemos que

f *(a) = lımx,a

f (x)! f (a)x!a

= lımh,0

f (a+h)! f (a)h

.

Ejemplo 3.5. Sea f : R, R definida por f (x) = cos(x) y a " R.

lımx,a

f (x)! f (a)x!a

= lımx,a

cos(x)! cos(a)x!a

= lımh,0

cos(a+h)! cos(a)h

= lımh,0

!2sen) 2a+h

2*)

sen h2*

h

= ! lımh,0

#sen

#2a+h

2

$sen(h/2)

h/2

$=!sena.

Luego, (cos(a))* =!sen(a).

Ejemplo 3.6. Sea f : R\{!2}, R definida por f (x) = 1!x2+x . Determine f *(x).

Solucion.

f *(x) = lımh,0

f (x+h)! f (x)h

= lımh ,0

1!(x+h)2+(x+h) !

1!x2+x

h

= lımh ,0

(1! x!h)(2+ x)! (1! x)(2+ x+h)h(2+ x+h)(2+ x)

= lımh ,0

(2! x!2h! x2 ! xh)! (2! x+h! x2 ! xh)h(2+ x+h)(2+ x)

= lımh ,0

!3hh(2+ x+h)(2+ x)

=!3

(2+ x)2

Ejemplo 3.7. Sea f : [0,+!), R definida por f (x) =(

x. Calcule su derivada en a " (0,+!).

Solucion. Notemos que(

a+h!(

ah

=h

h((

a+h+(

a)=

1(a+h+

(a.

Luego,

f *(a) = lımh,0

(a+h!

(a

h= lım

h,0

1(a+h+

(a=

12(

a.

Ejemplo 3.8. Sea f : R+ , R definida por f (x) = 3(

x. Para x > 0 determine f *(x).

Solucion. Notemos que u3 ! v3 = (u! v)(u2 +uv+ v2). Entonces

70 3 La Derivada

f *(x) = lımh,0

f (x+h)! f (x)h

= lımh,0

3(x+h! 3(

xh

= lımh,0

3(x+h! 3(

xh

3+(x+h)2 + 3

+(x+h)x+ 3(x2

3+(x+h)2 + 3

+(x+h)x+ 3(x2

= lımh,0

hh( 3+(x+h)2 + 3

+(x+h)x+ 3(x2)

=1

3+

(x)2 + 3+(x)x+ 3(x2

=1

3 3(x2

Es posible generalizar este ejemplo, en efecto,

Ejemplo 3.9. Sea n " N. Determine la derivada de la funcion f : R+ , R definida por f (x) = n(

x.

f *(x) = lımh,0

f (x+h)! f (x)h

= lımh,0

n(x+h! n(

xh

.

Consideremos el siguiente cambio de variables, u = n(x+h y v = n(

x. Tenemos entonces que un !vn = h ypor otra parte

un ! vn = (u! v)(un!1 +un!2v+ . . .uvn!2 + vn!1),

luegou! v

h=

1un!1 +un!2v+ . . .uvn!2 + vn!1 .

Ahora, comolımh,0

un! jv j!1 = x1!1/n,

tenemos que

f *(x) = lımh,0

f (x+h)! f (x)h

= lımh,0

n(x+h! n(

xh

=1

nx1!1/n =x1/n!1

n.

Ejemplo 3.10. La funcion f : R, R, definida por

f (x) =!

x2 sin(1/x) Si x )= 00 Si x = 0

es diferenciable en x = 0. En efecto,

f *(0) = lımx,0

f (x)! f (0)x!0

= lımx,0

xsin#

1x

$= 0.

Ejemplo 3.11. Sea " > 1. Sean f : R , R y # > 0 tales que si x " (!#,#) se tiene que | f (x)| #| x|" .Demuestre que bajo estas hipotesis la funcion f es diferenciable en cero.

Solucion. De la hipotesis tenemos que f (0) = 0. Es decir, debemos determinar si existe el siguiente lımite

3.1 Definicion y Ejemplos 71

lımx,0

f (x)x

.

Notemos que como

!&&&&

f (x)x

&&&&#f (x)

x#&&&&

f (x)x

&&&&

y como | f (x)|# |x|" tenemos que

0 #&&&&

f (x)x

&&&&# |x|"!1.

Por lo tantolımx,0

&&&&f (x)

x

&&&&= 0,

de donde se tiene el resultado.

Definicion 3.2. Sea f : A % R, R, la funcion derivada f * : D % A , R se define por f *(x) y esta definidaen el conjunto D de los puntos donde f es diferenciable.

Ejemplo 3.12. Si f (x) =(

x, entonces la funcion derivada f * : [0,+!),R se define por f (x) = 1/(2(

x).Notemos que D = (0,+!)% [0,+!) = A.

Daremos a continuacion algunos ejemplos de funciones no diferenciables en un punto.

Ejemplo 3.13. Sea f : R,R definida por f (x) = |x|. La funcion f no es diferenciable en x = 0. En efecto,

lımx,0+

f (x)! f (0)x!0

= lımx,0+

xx= 1,

y

lımx,0!

f (x)! f (0)x!0

= lımx,0!

!xx

=!1.

Luego, la derivada no existe.

Ejemplo 3.14. La funcion f : R, R, definida por

f (x) =!

xsin(1/x) Si x )= 00 Si x = 0

no es diferenciable en x = 0. En efecto,

lımx,0

f (x)! f (0)x!0

= lımx,0

sin#

1x

$,

luego el lımite no existe

El siguiente resultado relaciona las nociones de continuidad y de diferenciabilidad.

Teorema 3.1. Sea f : A % R, R y a " A. Si existe la derivada de f en el punto x = a, entonces la funcionf es continua en el punto x = a.

Demostracion. Si existe el lımitelımx,a

f (x)! f (a)x!a

,

tambien existe el lımitelımx,a

( f (x)! f (a)) = lımx,a

E( f (x)! f (a))

(x!a)(x!a)

F

72 3 La Derivada

= lımx,a

f (x)! f (a)x!a

lımx,a

(x!a) = f *(a) ·0 = 0,

luego f es continua en a.

Observacion 3.4. Si f no es continua en el punto a, entonces f no es diferenciable en el punto a.

Observacion 3.5. Notemos que existen funciones continuas que no son diferenciables. Por ejemplo la fun-cion f : R, R definida por f (x) = |x| es continua y no es diferenciable en x = 0.

Ejemplo 3.15. Sea f : (0,!), R definida por

f (x) =!

5+ 3(3x si x " (0,9];bx+a si x " (9,!).

Determinar a y b de modo que f sea diferenciable en (0,!).

Solucion. Notemos que una condicion necesaria para que la funcion f sea diferenciable es que sea continua.El unico punto donde puede no serlo es en x = 9. Calculemos,

lımx,9+

f (x) = lımx,9

bx+a = 9b+a,

ylım

x,9!f (x) = lım

x,95+ 3(3x = 8.

Luego para que f sea continua es necesario que 8 = 9b+a.

Ademas, para que sea diferenciable las derivadas laterales deben coincidir. Nuevamente el unico puntodonde esta condicion puede fallar es en x = 9,

lımx,9!

f (x)! f (9)x!9

= lımx,9

5+ 3(3x!8x!9

=1

3+(27)2

=19

y

lımx,9+

f (x)! f (9)x!9

= lımx,9

bx+a!8x!9

= b.

Luego

b =19

y a = 7.

3.2. Interpretaciones de la Derivada

3.2.1. Aproximacion lineal de una funcion

La interpretacion de la derivada que mejor se generaliza es la de aproximacion lineal. Toda funcion diferen-ciable en unpunto x= a puede aproximarse (localmente) por una recta. Como las rectas (o equivalentemente,los polinomios de grado uno) son las funciones reales mas sencillas esto nos permite deducir propiedadeslocales de la funcion original.

Observacion 3.6. Notemos que la idea de aproximar una funcion diferenciable por una funcion lineal, esalgo con lo que todos estamos familiarizados. En efecto, si bien la forma de la tierra corresponde masbien a una esfera. Localmente cuando medimos distancias no consideramos la curvatura de la tierra y laaproximamos por un plano. Esta idea intuitiva es la que desarrollamos a continuacion en funciones de unavariable.

3.2 Interpretaciones de la Derivada 73

Sea f : A % R, R una funcion diferenciable en el punto x = a. Dado h )= 0, definamos r(h) := f (a+h)! f (a)! f *(a)h. Notemos que como la funcion es diferenciable en le punto x = a tenemos que

f (a+h) = f (a)+ f *(a)h+ r(h) y lımh,0

r(h)h

= 0.

Si consideramos la recta La(h) := f *(a)h+ f (a), tenemos que para h = 0 las funciones La y f coinciden,en efecto La(0) = f (a). Es decir, la recta La es una aproximacion de la funcion f . Existen, sin embargo,infinitas rectas de la forma L(h) = mh+ f (a), tales que L(0) = f (a). La particularidad de la recta La es quees la que mejor aproxima la funcion f , en el sentido que el error, r(h), tiende a cero mas rapido que paracualquier otra recta L. En efecto, como

lımh,0

r(h)h

= 0

tenemos que lımh,0 r(h)= 0 y que tiende a cero mas rapido que lımh,0 h= 0. Notemos que si consideramosotra recta que aproxime f (x) en el punto x = a, por ejemplo L(h) = mh+ f (a), tenemos que el error,

RL(h) := f (a+h)! f (a)!mh

es tal que

lımh,0

RL(h)h

=!mhh

+ lımh,0

f (a+h)! f (a)h

= f *(a)!m.

Luego, si la pendiente de la recta (polinomio de grado uno) con que aproximamos la funcion no es igual ala derivada f *(a) entonces como

lımh,0

RL(h)h

)= 0.

el error en la aporximacion RL(h) tiende a cero a una velocidad menor que r(h).

Ejemplo 3.16. Sea f (x) =(

x para aproximar el valor de la raız en el punto x = 2, calculamos f *(2) =1/(2

(2). Luego, si h es un numero real cerca de cero tenemos que

(2+h ;

(2+

12(

2h.

Ejemplo 3.17. Notemos que si f (x) = x2, tenemos que f *(a) = 2a, es decir,

f (a+h) = (a+h)2 = a2 +2ah+h2,

donde f (a) = x2, f *(a) = 2a y r(h) = h2, es decir, f (a+h) = (a+h)2 ; a2 +2ah.

Ejemplo 3.18. Tenemos que si f (x) = sin(x), entonces f *(a) = cos(a). Luego sin(a + h) = sin(a) +cos(a)h+ r(h), es decir, sin(a+h); sin(a)+hcos(a).

Observacion 3.7. Notemos que de esta interpretacion podemos deducir propiedades locales de la funcion fde un modo directo. Por ejemplo, si f *(a) > 0 entonces la aproximacion lineal de la funcion es creciente,de donde podemos deducir que localmente f es creciente. Mas adelante desarrollaremos estas ideas.

3.2.2. Interpretacion geometrica de la derivada

Recordemos algunas nociones basicas de geometrıa. Sea f : R,R una funcion diferenciable, la pendientede la recta secante a f que pasa por los punto (x, f (x)),(a, f (a)) es

ml = ( f (x)! f (a))/(x!a).

74 3 La Derivada

La recta secante intersecta en dos puntos el grafico de la funcion f . Cuando el punto x se aproxima al puntoa, los puntos de interseccion de las correspondientes rectas secantes con el grafico de f se aproximan. En ellımite, la recta secante intersecta (localmente) en un solo punto el grafico de f , a saber, en el punto (a, f (a)).Esta nueva recta se denomina recta tangente. El problema de encontrar tangentes es uno de los principalesen la geometrıa del siglo XV II. De hecho, la defincion de derivada propuesta por Leibniz es de naturalezacompletamente geometrica y corresponde a la pendiente a de la recta tangente. En efecto,

Definicion 3.3. Supongamos que f : A % R, R es diferenciable en el punto a " A % R. La recta tangentea la curva f (x) en el punto (a, f (a)) es la recta que pasa por (a, f (a)) con pendiente igual a

m = lımx,a

f (x)! f (a)x!a

.

La ecuacion de dicha recta viene dada por

y = f *(a)(x!a)+ f (a).

Ası, la derivada de una funcion f en el punto x = a corresponde a la pendiente de la recta tangente a fen el punto (a, f (a)).

Ejemplo 3.19. Determine la ecuacion de la recta tangente a la curva y = 4x! x2, en el punto (2,4).

Solucion.

f *(2) = lımh,0

f (2+h)! f (2)h

= lımh,0

4(2+h)! (2+h)2 !4h

= lımh,0

8+4h!4!4h!h2 !4h

= ! lımh ,0

h2

h=! lım

h,0h = 0.

Luego, f *(2) = 0 y asıy = f *(2)(x!2)+4 = 4.

Definicion 3.4. La recta normal a f en el punto (a, f (a)) es la recta perpendicular a la tangente de f en(a, f (a)) que pasa por (a, f (a)). Luego, si f *(a) )= 0 entonces la pendiente de la normal es (!1)/( f *(a)).Por lo tanto la ecuacion de la recta normal viene dada por,

y =!1

f *(a)(x!a)+ f (a).

Ahora, si f *(a) = 0 entonces la recta normal tiene por ecuacion x = a.

Ejemplo 3.20. Dada la curva y = x+1/x, determine los puntos pertenecientes al grafico de la curva dondela normal a la curva es paralela a la recta y = 3x+5.

Solucion. Sea (a, f (a)) tal que la normal a la curva es paralela a la recta y= 3x+5, es decir, !1/( f *(a))= 3,pero

3.3 Tecnicas de derivacion y derivadas de funciones elementales 75

f *(a) = lımx,a

f (x)! f (a)x!a

= lımx,a

x+ 1x !a! 1

ax!a

= lımx,a

1+1x !

1a

x!a

= 1+ lımx,a

!x!aax

1x!a

= 1! 1a2 .

Luego, !11+!1

a2= 3, es decir, a =±

(3/2.

Observacion 3.8. De esta interpretacion tenemos que si las derivadas laterales de una funcion f en un elpunto x = a existen y son distintas, entonces el grafico de la funcion en el punto x = a posee punta. Porejemplo f (x) = |x| en x = 0. Ası, si el grafico de una funcion f en el punto x = a posee una punta entoncesla funcion no es diferenciable.

3.2.3. Interpretacion fısica de la derivada

Newton definio e interpreto la nocion de derivada en terminos fısicos. A saber, la velocidad de un movil.En efecto, la velocidad media de un movil en el intervalo de tiempo [t1, t2] se define por

Vm =f (t2)! f (t1)

t2 ! t1,

donde f (t) es la distancia recorrida por el movil en movimiento rectilıneo durante el tiempo t. La nocionde velocidad en un instante preciso (y no en un intervalo de tiempo) se denomina velocidad instantanea ent = t0 y se define por

V (t0) = lımt,t0

f (t)! f (t0)t ! t0

.

Ejemplo 3.21. La distancia recorrida por un cuerpo en caıda libre a tiempo t es proporcional a t2, es decirexiste una constante a > 0 tal que f (t) = at2. La velocidad instantanea viene dada por

f *(t) = 2at.

Luego, la velocidad de un cuerpo en caıda libre crece en proporcion al tiempo.

3.3. Tecnicas de derivacion y derivadas de funciones elementales

En esta seccion desarrollaremos tecnicas que nos permitiran calcular las derivadas de una gran cantidadde funciones. A modo de motivacion, recordemos que la derviada de una funcion es una aproximacion linealde esta. Por lo tanto si intentamos deducir formulas para la derivada de algunas operaciones (por ejemplo,el producto de funciones), es razonable estudiar el caso en que las funciones consideradas son lineas. Ası,si f (x) = ax+b y g(x) = cx+d, entonces

( f +g)*(x) = ((a+ c)x+b+d)* = a+ c = f *(x)+g*(x).

Por otra parte,

( f g)*(x) = 2acx+(ad +bc) = ag(x)+ c f (x) = f *(x)g(x)+g*(x) f (x).

76 3 La Derivada

En el siguiente resultado, demostraremos que efectivamente las formulas que obtuvimos para el caso linealcorresponden al caso general.

Teorema 3.2. Sean f ,g : A % R, R derivables en el punto a " A, entonces f ±g, f ·g y f/g (si g(a) )= 0)son derivables en el punto x = a. Ademas

1. ( f ±g)*(a) = f *(a)±g*(a).2. ( f g)*(a) = f *(a)g(a)+ f (a)g*(a).3. #

fg

$*(a) =

f *(a)g(a)! f (a)g*(a)g(a)2 .

Demostracion. Comenzaremos probando la parte (1).

( f +g)*(a) = lımx,a

( f +g)(x)! ( f +g)(a)x!a

= lımx,a

f (x)+g(x)! f (a)!g(a)x!a

= lımx,a

#f (x)! f (a)

x!a+

g(x)!g(a)x!a

$

= f *(a)+g*(a).

La demostracion de la parte (2) es la siguiente:

( f ·g)*(a) = lımx,a

f g(x)! f g(a)x!a

= lımx,a

f (x)g(x)! f (a)g(a)x!a

= lımx,a

f (x)g(x)! f (a)g(x)+ f (a)g(x)! f (a)g(a)x!a

= lımx,a

#Ef (x)! f (a)

x!a

Fg(x)+ f (a)

Eg(x)!g(a)

x!a

F$

= f *(a)g(a)+ f (a)g*(a).

Finalmente, para probar la parte (3) calcularemos en primer lugar

#1g

$*(a) = lım

x,a

1g(x) !

1g(a)

x!a

= ! lımx,a

g(x)!g(a)x!a

1g(x)g(a)

= ! g*(a)(g(a)2 .

Luego#

fg

$*(a) =

#f · 1

g

$*(a)

= f *(a)1

g(a)+ f (a)

#1g

$*(a) =

=f *(a)g(a)

! f (a)g*(a)g(a)2 =

f *(a)g(a)! f (a)g*(a)g(a)2 .


Ejemplo 3.22. Demuestre que la derivada de f (x) = xn viene dada por f *(x) = nxn!1.

Solucion. Demostraremos este resultado por induccion. Recordemos que si f (x) = x entonces f *(x) = 1 yque si f (x) = x2 entonces f *(x) = 2x. Supongamos que la formula es valida para n. Entonces, en virtud dela formula para derivar el producto, tenemos que

(xn+1)* = (xnx)* = (xn)*x+ xn = nxn!1x+ xn = (n+1)xn.

Ejemplo 3.23. Determine la derivada del polinomio

f (x) = anxn +an!1xn!1 + · · ·+a1x+a0.

Una aplicacion directa del Teorema 3.2 y del ejemplo 3.22 nos permiten hacer el calculo:

f *(x) = nanxn!1 +(n!1)an!1xn!2 + . . .2a2x+a1.

Ejemplo 3.24. Sea f (x) = 4x3 +5sin(x), calcule f *(x). En virtud del Teorema 3.2 tenemos que

f *(x) = 12x2 +5cos(x).

Ejemplo 3.25. Sea f (x) = tan(x), determine f *(x).

Solucion. Notemos que tan(x) = sin(x)cos(x) , luego aplicando la regla de derivacion del cuociente (Teorema 3.2)

tenemos

f *(x) =cos(x)cos(x)+ sin(x)sin(x)

cos2(x)

=cos2(x)+ sin2(x)

cos2(x)

=1

cos2(x)= sec2(x).

Del mismo modo es posible calcular las derivadas de todas las funciones trigonometricas elementales,

1. (tan(x))* = sec2(x).2. (cot(x))* =!csc2(x).3. (sec(x))* = sec(x) tan(x).4. (csc(x))* =!csc(x)cot(x).

Dado que la composicion de funciones es una operacion fundamental en funciones, es natural intentardescribir la derivada de la compuesta de dos funciones. Ası como en le caso de las operaciones algebraicas,intentaremos deducir una formula para el caso lineal. Si f (x) = ax+b y g(x) = cx+d, entonces

(g7 f )*(x) = (c(ax+b)+d)* = ca = g*(x) · f *(x).

Esta formula es correcta, aunque esconde parte de la complejidad del caso general.

Teorema 3.3 (Regla de la Cadena). Sean f : X , R, g : Y , R, f (X) % Y . Sea a " X. Si existen f *(a) yg*( f (a)) entonces g7 f : X , R es diferenciable en el punto x = a y

(g7 f )*(a) = g*( f (a)) f *(a).

Demostracion. Sea b = f (a) entonces existen funciones # y , tales que

f (a+h) = f (a)+( f *(a)+#(h))h

78 3 La Derivada

g(b+ k) = g(b)+(g*(b)+,(k))k

dondelımh,0

#(h) = lımh,0

,(h) = 0.

Si k = f (a+h)! f (a) = ( f *(a)+#(h))h, tenemos que

f (a+h) = b+ k,

y(g7 f )(a+h) = g( f (a+h)) = g(b+ k) = g(b)+(g*(b)+,(h))k

= g(b)+(g*(b)+,(h))( f *(a)+#(h))h = g(b)+(g*(b) f *(a)+-(h))h,

donde -(h) = ,( f (a+ h)! f (a))( f *(a)+ #(h))+ g*(b)#(h). Como la funcion f es continua en el untox = a y la funcion , es continua en el punto h = 0, tenemos que lımh,0 ,( f (a+h)! f (a)) = 0, luego

lımh,0

-(h) = 0.

Ası(g7 f )(a+h) = g( f (a))+

)g*( f (a)) f *(a)

*h+h-(h),

dondelımh,0

h-(h)h

= 0.

Es decir(g7 f )*(a) = g*( f (a)) f *(a).

Demostracion. La siguiente es una demostracion alternativa de la regla de la cadena. Es mas simple, perono se generaliza a otros contextos. Sea

Q(x) :=

/g(x)!g( f (a))

x! f (a) si x )= f (a)g*( f (a)) si x = f (a).

Notemos que para todo x " dom f se tiene que

g( f (x))!g( f (a))x!a

= Q( f (x))f (x)! f (a)

x!a.

Por otra parte, como la funcion f es diferenciable en x = a, tenemos que

lımx,a

f (x)! f (a)x!a

= f *(a).

Notemos ademas que como la funcion g es diferenciable en f (a), la funcion Q es continua en f (a), enefecto, esto se sigue de la defincion de la derivada de g en f (a). Luego Q7 f es continua en x = a y por lotanto

lımx,a

Q( f (x)) = Q( f (a)) = g*( f (a))

Ası

(g7 f )*(a) = lımx,a

g( f (x))!g( f (a))x!a

= lımx,a

#Q( f (x))

f (x)! f (a)x!a

$=

='

lımx,a

Q( f (x))(#

lımx,a

f (x)! f (a)x!a

$= g*( f (a)) f *(a).


Notemos que en esta demistracion es necesario definir la funcion auxiliar Q(x) pues es posible que para xarbitrariamente cerca de a se puede tener que f (x) = f (a).

Ejemplo 3.26. Sea f (x) = (5x2 +10)20, entonces si g(x) = x20 y h(x) = 5x2 +10, tenemos que

f (x) = g(h(x)).

Luego,f *(x) = g*(h(x))h*(x) = 20(5x2 +10)1910x.

Ejemplo 3.27. Sean m,n " N y considere la funcion definida por h(x) = xm/n. Notemos que si f (x) = n(

xy g(x) = xm entonces h(x) = f 7g y por lo tanto

h*(x) =mn

xmn !1.

Ejemplo 3.28. Sea f : R, R una funcion diferenciable y sea n " N. Calcule la derivada de f (x)n. Utiliza-remos la regla de la cadena. Sea h(x) = xn entonces f (x)n = h7 f , de donde

ddx

( f (x))n = n( f (x))n!1 f *(x).

Utilizando este resultado podemos calcular la derivada de la funcion f (x) = (sin(x))n. En efecto,

f *(x) = nsinn!1(x)cos(x).

Observacion 3.9. Notemos que si la funcion f es diferenciable en el punto x = h(g(a)), la funcion h esdiferenciable en el punto g(a) y la funcion g es diferenciable en el punto a entonces

( f 7h7g)* = f *(h(g(a))h*(g(a)g*(a).

Claramente un resultado analogo es valido para la composicion de un numero finito de funciones diferen-ciables.

Ejemplo 3.29. Sea f (x) = 3+

cos(x2 +3), luego la derivada de f viene dada por

f *(x) =13(cos(x2 +3))!2/3(!sin(x2 +3))2x.

Ejemplo 3.30. Sea f (x) = tan4(x4 + xsin(x2)). La derivada de la funcion f viene dada por

f *(x) = 4tan3(x4 + xsin(x2))sec2(x4 + xsin(x2))(4x3 + sin(x2)+ xcos(x2)2x).

Ejemplo 3.31. Sea

f (x) =! (

3x2 +4 Si x # 23x2 !8x+8 Si x > 2

Determinar, si existe, la derivada de f en x = 2.

Solucion. Si x # 2, entonces la derivada de f viene dada por

f *(x) =1

2(

3x2 +46x =

3x(3x2 +4

.

Si x > 2, entonces la derivada de f viene dada por f *(x) = 6x!8. Como

lımx,2!

f *(x) =32

y lımx,2+

f *(x) = 4,

80 3 La Derivada

la funcion no es diferenciable en el punto x = 2.

Ejemplo 3.32 (Derivada del Arcoseno). La funcion sen(y)= x posee inversa en (!&/2,&/2). Llamaremosarcoseno a dicha funcion. Utilizando la formula de la funcion inversa tenemos que

sin(arcsin(x)) = x,

luego por la regla de la cadena obtenemos,

cos(arcsin(x))(arcsin(x))* = 1.

Ası(arcsin(x))* =

1cos(arcsin(x))

=1.

1! sin2(arcsin(x))=

1(1! x2

.

Las derivadas de las otras funciones trigonometricas inversas vienen dadas por

1. (arccosx)* =! 1(1!x2

,

2. (arctanx)* = 11+x2 ,

3. (cot!1 x)* =! 11+x2 ,

4. (sec!1 x)* = 1|x|(

x2!1,

5. (csc!1 x)* =! 1|x|(

x2!1.

Ejemplo 3.33. Notemos que las misma idea utilizada en el Ejemplo 3.32 nos permite calcular de una ma-nera mas sencilla la derivada de la raız cuadrada (obtenida en el Ejemplo 3.7). En efecto, como

)(x*2

= x.

Utilizando la regla de la cadena obtenemos

2(

x((

x)* = 1.

Luego

((

x)* =1

2(

x.

El siguiente resultado nos permite calcular de un modo sistematico las derivadas de las funciones inver-sas.

Corolario 3.1 (Derivada de una Funcion Inversa). Sea f : X , Y % R una funcion que posee inversaf!1 : Y , X. Si f es diferenciable en a " X y f!1 es continua en b = f (a). Entonces f!1 es diferenciableen b si y solo si f *(a) )= 0. En tal caso

( f!1)*(b) =1

f *(a).

Demostracion. Como la funcion f!1 es continua en el punto y = b tenemos que

lımy,b

f!1(y) = f!1(b) = a.

Luego, como f!1(y) )= a para y )= b tenemos que

lımy,b

f!1(y)! f!1(b)y!b

= lımy,b

f!1(y)!af ( f!1(y))! f (a)

= lımy,b

#f ( f!1(y))! f (a)

f!1(y)!a

$!1

=1

f *(a).


Observacion 3.10. Probaremos una version mas fuerte de este resultado en el Teorema 3.10.

Ejemplo 3.34. Defina h(x) = x2 arctan(x). Calcule la derivada de la funcion inversa de h en el punto &/4.Aplicamos la forumla para la derivada de la funcion Inversa,

(F!1)*(b) =1

F *(a), con F(a) = b.

siempre que F *(a) )= 0. En nuestro caso, F(x) = x2 arctan(x) y F(1) = &4 . Ademas,

F *(x) = 2xarctan(x)+x2

1+ x2

y

F *(1) = 2arctan(1)+12= 2

&4+

12)= 0.

Por lo tanto,

(F!1)*'&

4

(=

2& +1

.

Estudiaremos a continuacion la derivada de funciones exponenciales.

Ejemplo 3.35. Dado a > 0 sea f (x) = ax. Notemos que

f *(x) = lımh,0

f (x+h)! f (x)h

= lımh,0

ax+h !ax

h

= lımh,0

axah !ax

h= lım

h,0

ax(ah !1)h

= ax lımh,0

ah !1h

= ax lımh,0

ah !a0

h= ax f *(0).

Es decir, f *(x) = ax f *(0). Notemos que a partir de la definicion dada en al Capıtulo 1 del numero e, esposible demostrar (llevaremos a cabo dicha demostracion en el Capıtulo 4) que

lımh,0

eh !1h

= 1.

Luego,

ddx

ex = ex.

Por otra parte, haciendo un cambio de base tenemos que

ddx

ax =ddx

ex ln(a) = ex ln(a) ddx

(ln(a)x) = ax ln(a),

es decir,ddx ax = ax ln(a).

Utilizando la formula para la derivada de la funcion inversa obtenemos ademas

ddx

ln(x) =1x.

82 3 La Derivada

Ejemplo 3.36. Sea f (x) = esin(x), utilizando la regla de la cadena y la derivada de la exponencial obtenemos

f *(x) = esin(x) cos(x).

Ejemplo 3.37. Sea

f (x) =

/e!1/x2 si x )= 0,0 si x = 0.

La derivada de esta funcion en x )= 0 viene dada por

f *(x) =2x3 e!1/x2

.

En x = 0 tenemos que f *(0) = 0. En efecto, recordemos que si x )= 0 entonces ex > 1+ x, es decir

x2e1/x2> x2

#1+

1x2

$= x2 +1 > 1,

luego

|x|> 1|x|e1/x2 =

&&&x!1e!1/x2&&& .

Ası, dado ! > 0 existe ) = ! tal que si |x|< ) entonces&&&x!1e!1/x2

&&&< |x|< !.

De donde se obtiene el resultado.

Ejemplo 3.38. Sea f (x) = ln(cos(x2)), utilizando la regla de la cadena y la derivada del logaritmo obtene-mos

f *(x) =1

cos(x2)(!sin(x2))2x.

Ejemplo 3.39. Sea f (x) = 2sin(x), entonces

f *(x) = 2sin(x) ln(2)cos(x).

Ejemplo 3.40. Calcule la derivada de f (x) = 2tan(x). Aplicando la regla de la cadena y la formula de deri-vacion de la exponencial tenemos que

f *(x) = 2tan(x) sec2(x) ln(2).

Ejemplo 3.41. Sea f (x) = loga(x), entonces f (x) = ln(x)ln(a) . Luego,

f *(x) =1

x ln(a).

Ejemplo 3.42. Si g : R, R+ es una funcion diferenciable y f (x) = eg(x) de la regla de la cadena tenemosque

f *(x) = eg(x) ·g*(x).

Ejemplo 3.43. Si g : R, R+ es una funcion diferenciable y f (x) = ln(g(x)), entonces

f *(x) =g*(x)g(x)

.


Ejemplo 3.44. Sean g :R,R+ y h :R,R funciones diferenciables. Considere la funcion f (x) = g(x)h(x).Determine f *(x).

Solucion. Tenemos que f (x) = eln(g(x))h(x), luego

f *(x) = eh(x) ln(g(x))#

h*(x) ln(g(x))+h(x)g*(x)g(x)

$

= g(x)h(x)#

h*(x) ln(g(x))+h(x)g*(x)g(x)

$.

Ejemplo 3.45. Sea f : R+ , R definida por f (x) = xx, determine f *(x).

Solucion. Si f (x) = xx, entonces ln( f (x)) = x ln(x). Luego

f *(x)f (x)

= ln(x)+xx,

entoncesf *(x) = xx(ln(x)+1).

Hemos probado que toda funcion diferenciable es continua, sin embargo la funcion derivada puede serirregular. En efecto, ya poseemos las herramientas para dar ejemplos donde mostramos como puede fallarla continuidad de la funcion derivada.

Ejemplo 3.46. Sea

f (x) =

/x2 sen(1/x2) si x )= 0;0 si x = 0.

La funcion f es diferenciable en toda la recta real

f *(x) =

/2xsen(1/x2)! (2/x)cos(1/x2) si x )= 0;0 si x = 0.

Notemos entonces que f * restringida al intervalo [!1,1] es finita y no acotada (recordemos que toda funcioncontinua definida en un intervalo cerrado es acotada, por lo tanto f * no es continua).

Ejemplo 3.47. El siguiente es un ejemplo de una funcion cuya derivada existe y es finita, pero que noposee maximos ni mınimos locales en un intervalos cerrado (recordemos que el Teorema de Weierstrassafirma que toda funcion continua en un intervalo cerrado posee maximos y mınimos locales, por lo tanto laderivada de esta funcion no es continua). Sea

f (x) =

/x4e!x2/4 sen(8/x3) si x )= 0;0 si x = 0.

La derivada viene dada por

f *(x) =

/e!x2/4 )(4x3 ! x5/2)sen(8/x3)!24cos(8/x3)

*si x )= 0;

0 si x = 0.

Sea ! > 0 entonces

sup f *(x) = sup{ f (x) : x " [!!,!]}= 24 yınf f *(x) = ınf{ f (x) : x " [!!,!]}=!24.

Sin embargo para todo x " [!!,!] se tiene que f (x) )= 24 y f (x) )=!24.

84 3 La Derivada

3.4. Funciones derivables en un intervalo

Una propiedad fundamental de la derivada es la relacion que existe con el crecimiento local de unafuncion. Esta relacion fue notada por Fermat en 1637 y en modo menos preciso por Kepler en 1615 (notemosque Newton nacio en 1642).

Teorema 3.4. Sea f : A % R, R una funcion diferenciable en le punto a " A tal que f *(a) > 0 entoncesexiste ) > 0 tal que si x " (a,a+) ) entonces f (a)# f (x) y si y " (a!) ,a) entonces f (a)$ f (y).

Demostracion. Comolımx,a

f (x)! f (a)x!a

= f *(a)> 0,

existe ) > 0 tal que si x " (a!) ,a+) ) entonces

f (x)! f (a)x!a

> 0.

Por lo tanto si x > a entonces f (x)> f (a) y si y " (a!) ,a) entonces f (a)$ f (y).

Observacion 3.11. Notemos el caracter local del resultado. Solo podemos describir la funcion en una ve-cindad del punto x = a.

Observacion 3.12. Notemos que este resultado no nos dice como se compra la imagen de dos puntos x,y "(a!) ,a). En efecto, consideremos la funcion

f (x) =

/x2 sen

) 1x*+ x

2 si x )= 0,0 si x = 0.

Entonces f diferenciable en todos los numeros reales y

f *(x) =

/2xsen 1

x ! cos 1x +

12 si x )= 0,

12 si x = 0.

Si escogemos x0 " (0,0+) ) de modo que sen(1/x0) = 0 y cos(1/x0) = 1 entonces f *(x0)< 0. Del mismomodo si escogemos x1 " (0,0+) ) de modo que sen(1/x1) = 1 y cos(1/x1) = 0 entonces f *(x1)> 0. Por lotanto la funcion f no es monotona en ningun intervalo que contiene a cero.

Teorema 3.5. Sea f : [a,b],R una funcion diferenciable. Si para todo x" [a,b] se tiene f *(x)> 0 entoncesf es estrictamente creciente en [a,b].

Demostracion. Asuma por contradiccion que existe un punto p " (a,b) tal que el conjunto

S := {x " (a, p) : f (x)$ f (p)}

es no vacıo. Sea q := supS. Notemos que q < p. En efecto, si q = p entonces existe una sucesion (xn)n "(a, p) tal que lımn,! xn = p y f (xn)$ f (p). Por lo tanto

f *(p) = lımn,!

f (p)! f (xn)

p! xn# 0.

Como f *(p)> 0 se tiene que q < p.Recordemos que de la definicion de derivada se deduce (Corolario 3.4) que si una funcion diferenciable

en x = c es tal que f *(c)> 0. Luego, existe ) > 0 tal que si x " (c,c+) ) entonces f (c)# f (x).Ası, si f (q)$ f (p) entonces, como f *(q)> 0, existe x > q tal que f (q)# f (x). En particular x " S, pero

q es el supremo de S. Por lo tanto f (q)< f (p).

3.4 Funciones derivables en un intervalo 85

Sin embargo, si f (q)< f (p) tenemos que q /" S y por continuidad de f existe ) > 0 tal que S6(q!) ,q] =/0. Esto contradice el hecho que q sea el supremo de S.

Luego, tenemos que ninguna de las siguientes afirmaciones es verdadera f (q)$ f (p), f (q)< f (p). Estacontradiccon prueba el resultado.

Corolario 3.2. Sea f : [a,b],R una funcion diferenciable. Si para todo x " [a,b] se tiene f *(x)$ 0 enton-ces f es creciente en [a,b].

Demostracion. Sea ! > 0 y aplique el Teorema 3.5 a la funcion g(x) = f (x) + !x. En efecto, para todox " [a,b] se tiene que g*(x)> 0. Luego, si x < y entonces f (x)+ !x < f (y)+ !y. Es decir,

f (x)! f (y)< !(y! x).

Asıf (x)! f (y) = lım

!,0( f (x)! f (y))# lım

!,0(!(y! x)) = 0.

Con lo que se tiene el resultado.

Los dos resultados anteriores pueden deducirse del Teorema del Valor Medio, hemos incluido estasdemostraciones ya que son independientes de dicho resultado.

Al final del Capıtulo 2 definimos las nociones de maximo y mınimo local (ver la seccion 2.6). En virtuddel Teorema 3.4 tenemos

Corolario 3.3. Sea f : A % R, R una funcion diferenciable en el punto a " A y f posee un maximo (o unmınimo) local en x = a entonces f *(a) = 0.

Demostracion. Notemos que f (c)$ f (c+h), es decir, f (c+h)! f (c)# 0.

Ası,

lımh,0+

f (c+h)! f (c)h

# 0,

y por las mismas razones, tomando h # 0 tendremos que

lımh,0!

f (c+h)! f (c)h

$ 0,

luego como f es diferenciable, los lımites laterales anterior deben ser iguales, es decir,

f *(c) = lımh,0

f (c+h)! f (c)h

= 0.

La demostracion en el caso del mınimo es analoga.

Observacion 3.13. Notemos que la recıporca no es valida, en efecto f (x) = x3 es tal que f *(0) = 0 y x = 0no es ni maximo ni mınimo local.

En lo que sigue probaremos resultados que no solo dependen de la diferenciablidad de la funcion consi-derada sino que tambien del dominio en que estan definidas. Sea f : [a,b], R una funcion diferenciable.Recordemos que f es continua, sin embargo su derivada puede no serlo, en efecto


f (x) =

/x2 sen(1/x) si x )= 0,0 si x = 0.

Entonces f diferenciable en todos los numeros reales y

86 3 La Derivada

f *(x) =

/2xsen 1

x ! cos 1x si x )= 0,

0 si x = 0.

La funcion f * no es continua en x = 0.

El siguiente teorema establece la propiedad del valor intermedio para f *. Lo sorprendente es que esta pro-posicion se satisface a pesar de que f * no sea necesariamente continua.

Teorema 3.6 (Darboux). Sea f : [a,b], R diferenciable. Si d " ( f *(a), f *(b)), entonces existe c " [a,b]tal que f *(c) = d.

Demostracion. Consideremos en primer lugar, el caso en que d = 0, es decir, f *(a) < 0 < f *(b). Como lafuncion f es continua en [a,b], por Teorema de Weierstrass (2.15), el mınimo de f se alcanza en un puntoc " [a,b]. Probaremos que c )= a y c )= b. Como f *(a)< 0 existe ) > 0 tal que si x " (a,a+!) tenemos quef (a)> f (x). Por otra parte, existe ) > 0 tal que si x " (b!!,b) tendremos que f (b)> f (x) Luego c " (a,b)y en virtud del Croloario 3.3 tenemos que f *(c) = 0. En el caso general, basta considerar la funcion auxiliarg(x) = f (x)!dx y aplicar el argumento anterior, ası g*(c) = 0, es decir, f *(c) = d.

El Teorema de Darboux describe el tipo de discontinuidades que puede poseer una funcion derivada. Enparticular no puede suceder que los lımites laterales existan y sean distintos. Es decir, las discontinuidadesson de naturaleza mas bien complicada.

Corolario 3.4. Sea f : [a,b] , R una funcion diferenciable y sea c " (a,b), si lımx,c f *(x) = L entoncesf *(c) = L.

Demostracion. Supongamos que L > f *(c) y sea d " ( f *(c),L). Si este es el caso, existe ) > 0 tal que sic < x < c+) entonces d < f *(x). En particular

f *(c)< d < f *(c+)/2).

Lo que contradice el teorema de Darboux, pues no existirıa x " (c,c+)/2) tal que f *(x) = d.

Teorema 3.7 (Rolle). Sea f : [a,b] , R continua y diferenciable en (a,b) tal que f (a) = f (b), entoncesexiste c " (a,b) tal que f *(c) = 0.

Demostracion. Si f es constante, entonces f *(c) = 0 para todo c " [a,b]. Caso contrario, sabemos quealcanza su maximo o su mınimo M en c " (a,b), luego f *(c) = 0.

Observacion 3.14. Notemos que el teorema no es cierto en caso que la funcion no sea continua sobre elintervalo, para ello basta tomar la funcion f (x) = x si x " [0,1) y f (1) = 0. Es claro que f (0) = f (1) = 0 yque f *(x) = 1 si x " (0,1) pero no existe c " (0,1) tal que f *(c) = 0 ya que f (x) no es continua en [0,1].

Teorema 3.8 (Valor Medio de Lagrange). Sea f : [a,b], R continua y diferenciable en (a,b), entoncesexiste c " (a,b) tal que

f *(c) =f (b)! f (a)

b!a.

Demostracion. Consideremos la recta g : [a,b] , R que pasa por lo puntos (a, f (a)) y (b, f (b)). Es decir,g*(x) es constante y

g*(x) =f (b)! f (a)

b!a.

Considere la funcion +(x) = f (x)! g(x). Luego, +(a) = f (a)! g(a) = 0 y +(b) = f (b)! g(b) = 0. Esconsecuencia directa del Teorema de Rolle (Teorema 3.7) que existe c " (a,b) tal que + *(c) = 0. Por lotanto.

f *(c) = g*(c) =f (b)! f (a)

b!a.


Observacion 3.15. Geometricamente este resultado establece que la tangente en el punto c tiene la mismapendiente que la secante que pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)).

Observacion 3.16. Lipman Bers en una nota publicada en el American Mathematical monthly en 1967llamada On avoiding the Mean Value Theorem [2] argumenta que el resultado que uno necesita en calculodiferencial es un resultado mas debil que el teorema del valor medio. Segun Bers la hipotesis que se debeasumir es que la funcion sea diferenciable con derivada continua. Recordemos que el resultado que hemosprobado es valido solo con la hipotesis de diferenciabilidad. Es posible bajo las hipotesis propuestas porBers deducir la tesis del teorema del valor medio del teorema a partir del teorema del valor intermedio.Leon Cohen en una nota llamada On Being mean to the mean value theorem tambien discute este tipo deproblema [5]. A continuacion formalizamos la idea de Bers.

Lema 3.1. Sea f : [a,b] , R una funcion diferenciable. Si para todo x " [a,b] se tiene m # f *(x) # Mentonces

m(x!a)# f (x)! f (a)# M(x!a).

Demostracion. La demostracion de este Lema se basa en el Corolario 3.2. Notemos que si h,g : [a,b], Rson dos funciones diferenciables tales que para todo x " [a,b] se tiene h*(x) # g*(x) entonces para todox " [a,b] se tiene h(x)!h(a)# g(x)!g(a). En efecto, basta aplicar el Teorema 3.2 a la funcion $ : [a,b],R definida por $(x) := g(x)! h(x). Como $ *(x) > 0 tenemos que $(a) $ $(x). Es decir, g(a)! h(a) #g(x)!h(x), por lo tanto h(x)!h(a)# g(x)!g(a).

Considere ahora las funciones f (x) y Mx. Aplique el resultado que acabamos de mostrar para obtenerf (x)! f (a) # M(x ! a). Del mismo modo, aplique el resultado a f (x) y mx para obtener m(x ! a) #f (x)! f (a).

Teorema 3.9 (Teorema del Valor Medio con hipotesis adicionales). Sea f : [a,b], R una funcion dife-renciable tal que f * : [a,b], R es una funcion continua. Entonces existe c " [a,b] tal que

f *(c) =f (b)! f (a)

b!a.

Demostracion. Sean m := ınf{ f *(x) : x " [a,b]} y M := sup{ f *(x) : x " [a,b]}. Haciendo x = b en el Lema3.1 obtenemos

m # f (b)! f (a)b!a

# M.

Como la funcion f * es continua, por el Teorema del Valor Intermedio tenemos que existe c " [a,b] tal que

f *(c) =f (b)! f (a)

b!a.

Notemos que el Teorema 3.9 no solo es tal que sus hipotesis son mas fuertes que el Teorema , tambienlo es su cnslusion. En efecto, en Teorema tenemos que c " (a,b), es decir c )= a y c )= b y ademas puedeaplicarse a funciones que son diferenciables en (a,b), continuas en [a,b] y no diferenciables en x = a ox = b, como por ejemplo f : [0,1], R,

f (x) :=

/xsen(1/x) si x " (0,1];0 si x = 0.

Observacion 3.17. Una demostracion similar a la que hemos dado del Teorema 3.16 puede obtenerse apli-cando el Teorema de Rolle a la funcion h definida por la distancia entre el grafico de la funcion y la rectaque pasa por los puntos (a, f (a)) y(b, f (b)). Para ello basta notar que la distancia entre un punto (x1,y2) yuna recta de la forma y = mx+b viene dado por

y1 !mx1 !b(m2 +1

.

88 3 La Derivada

Ver el trabajo de Poliferno [18] donde se desarrollan los detalles de este argumento.

Corolario 3.5. Sea f : [a,b], R una funcion continua y derivable en (a,b) tal que para todo x " (a,b) setiene que f *(x) = 0. Entonces existe c " R tal que para todo x " [a,b] se tiene que f (x) = c.

Demostracion. Sea x " (a,b). Entonces

f (x)! f (a)x!a

= f *(c) = 0,

es decir, f (x) = f (a) para todo x " [a,b]. &'

Corolario 3.6. Sean f ,g : [a,b], R funciones continuas y derivables en (a,b). Si f *(x) = g*(x) para todox " (a,b), entonces existe c " R tal que f (x) = g(x)+ c para todo x " [a,b].

Demostracion. Basta aplicar el corolario 3.5 para la funcion h(x) = f (x)!g(x). &'

Corolario 3.7. Sea f : [a,b],R una funcion continua y derivable en (a,b). Si existe K "R tal que | f *(x)|<K para todo x " (a,b), entonces para todo x,y " (a,b) se tiene que

| f (x)! f (y)|< K|x! y|.

Demostracion. Del Teorema del valor medio tenemos que dados x,y " (a,b) existe x < c < y de modo que

| f (x)! f (y)|# | f *(c)||x! y|< K|x! y|.

&'

El siguiente resultado lo probamos en Corolario 3.2 sin utilizar el Teorema del Valor Medio, la siguientees la sencilla demostracion que es posible dar utilizando dicho Teorema.

Corolario 3.8. Sea f : [a,b], R una funcion continua y derivable en (a,b). La funcion f es monotona nodecreciente si y solo si para todo x " (a,b) se tiene f *(x)$ 0.

Demostracion. Probamos en el corolario 3.2 que si f es mononotona no creciente entonces f *(x) $ 0.Probaremos la recıproca. Sean x,y " (a,b) con x < y. Por el Teorema del Valor Medio existe c " (x,y) talque

f (y)! f (x) = f *(c)(y! x).

Como f *(c)$ 0 y ademas y! x > 0 tenemos que f (y)$ f (x).

Observacion 3.18. Notmemos que de manera analoga podemos probar que la funcion f es monotona nocreciente si y solo si para todo x " (a,b) se tiene f *(x) # 0. Resultados analogos tambien se obtienenutilizando desigualdades estrictas, en cuyo caso la funcion es creciente o decreciente.

Ejemplo 3.49. Sea f : [a,b] , [a,b] una funcion diferenciable con derivada continua. Sea p " (a,b) talque f (p) = p y | f *(p)| < 1. Demuestre que existe un intervalo (p!) , p+) ) tal que si x " (p!) , p+) )entonces

lımn,!

f n(x) = p,

donde f n(x) = f 7 f 7 · · ·7 f (x)3 45 6n!veces

.

Solucion. Como f * es una funcion continua y | f *(p)|< 1 existen 0# ' < 1 y ) > 0 tal que si x" (p!) , p+) ) entonces | f *(x)| # ' . Sea x " (p!) , p+) ), por el Teorema del Valor Medio existe c " (p!) , p+) )tal que

| f (x)! p|= | f (x)! f (p)|= | f *(c)||x! p|< ' |x! p|.


Luego| f 2(x)! p|= | f ( f (x))! f ( f (p))|< ' | f (x)! f (p)|< ' 2|x! p|.

En general obtenemos que | f n(x)! p|< ' n|x! p|. Como ' " (0,1) tenemos que

lımn,!

f n(x) = p.

Ejemplo 3.50 (Principio de contraccion). Sea f : [a,b] , [a,b] una funcion tal que existe ' " (0,1) demodo que si x,y " [a,b] entonces

| f (x)! f (y)|# ' |x! y|.

Entonces f posee un unico punto fijo x0 y para todo x " (a,b) se tiene que lımn,! f n(x) = x0,

Solucion. Sea x " [a,b] un punto arbitrario, probaremos que la sucesion

{x,T x,T 2x, . . . ,T nx, . . .},

donde T nx = T 7 · · ·7T (x) es una sucesion de Cauchy. Notemos que

| f n(x)! f n!1(x)|# ' | f n!1(x)! f n!2(x)|# · · ·# ' n!1| f (x)! f n!1(x)|. (3.1)

Ahora si n $ N entonces

| f n(x)! f N(x)|# ' | f n!1(x)! f N!1(x)|# · · ·# ' N | f n!N(x)! x|.

Por la desigualdad triangular y ecuacion (3.1)

| f n(x)! f N(x)|# ' Nn!N

"j=1

| f n!N! j+1(x)! f n!N! j(x)|#

' Nn!N

"j=1

' n!N! j| f (x)! x|# ' N

1!'| f (x)! x|.

Sea ! > 0 y N " N tal que' N

1!'| f (x)! x|< !

Luego si n,m $ N tenemos que

| f n(x)! f m(x)|# | f n(x)! f N(x)|+ | f N(x)! f m(x)|< 2' N

1!'| f (x)! x|< !.

Ası hemos probado que la sucesion {x,T x,T 2x, . . . ,T nx, . . .} es de Cauchy y por lo tanto existe el lımitelımn,! f n(x) := x0. Como la funcon f es continua tenemos que

lımn,!

f ( f nx) = f ( lımn,!

f nx) = f (x0).

Pero, por otra parte, lımn,! f ( f nx) = lımn,! f n+1x = x0. Por lo tanto f (x0) = x0. Finalmente, supongamosque existe otro punto fijo y " [0,1], y )= x0. Como

|x0 ! y|= | f (x0)! f (y)|# ' |x0 ! y|

Como ' " (0,1) concluımos que x0 = y.

Ejemplo 3.51. Sea f : [a,b] , [a,b] una funcion diferenciable. Si f *(x) es monotona creciente entoncespara todo c " (a,b) se tiene

90 3 La Derivada

(b!a) f (c)+(c!b) f (a)$ (c!a) f (b). (3.2)

Concluya que si 0 < m < n y " > 0 entonces'

1+"m

(m<'

1+"n

(n.

Solucion. La solucion aquı presentada es debida a Bush [4]. Por el Teorema del valor Medio tenemos que

f (c)! f (b)c!b

= f *(% )$ f *(") =f (b)! f (a)

b!a.

A partir de este simple resultado es posible deducir algunas interesantes desigualdades. En efecto, seaf (x) = ln(1 + x). Entonces f * es una funcion monotona decreciente para x $ 0. Sea " > 0 y sean0,"/n,"/m, con 0 < m < n los valores correspondientes a a,b,c en la ecuacion 3.2. Entonces

"n

ln'

1+"m

(<

"m

ln'

1+"n

(.

De donde obtenemos que para m < n,'

1+"m

(m<'

1+"n

(n.

Ejemplo 3.52. Un numero x " R se dice algebraico si existen numeros enteros a0,a1, . . .an " Z tales que

a0 +a1x+a2x2 + . . .anxn = 0. (3.3)

El grado de un numero algebraico es el menor entero n " N para el que x satisface una ecuacion del tipo(3.3). Demuestre que si x " R es un numero algebraico de grado n > 1 existe un entero positivo M tal quepara cualquier par de enteros p,q " Z con q > 0 se tiene

&&&&x!pq

&&&&>1

Mqn .

Solucion. Sea f (z) un polinomio de grado n con coeficientes enteros para el que f (x) = 0. Sea M unentero positivo tal que si |z! x|# 1 entonces | f *(z)|# M. Por el Teorema del Valor Medio tenemos que, si|z! x|< 1

| f (x)|= | f (z)! f (x)|# M|x! z|.

Considee ahora dos enteros p,q con q > 0. Si |z! p/q|> 1 el resultado se obtiene de inmediato. Suponga-mos entonces que |z! p/q|# 1. Entonces

f#

pq

$# M

&&&&z!pq

&&&& ,

y por lo tanto|qn f (p/q)|# Mqn|z! p

q|.

La ecuacion f (z) = 0 no posee raıces racionales (en tal caso el grado de x serıa menor). Ademas qn f (p/q)es un numero enetro. De donde se obtiene el resultado.

Ejemplo 3.53. Existe una demostracion alternativa del Teorema de Darboux (ver Teorema 3.6) descubiertapor Lars Olsen [17] en la que se utiliza el Teorema del valor medio. Definamos una nueva funcion g :[a,b], R,


g(x) =

ABBBC

BBBD

f *(a) si x = a,f (2x!a)! f (a)

2x!2a si a < x # (a+b)/2,f (b)! f (2x!b)

2b!2x si (a+b)/2 < x < b,f *(b) si x = b.

La funcion g es continua. Dado d " ( f *(a), f *(b)), entonces existe c " [a,b] tal que g(c) = d. Para x " (a,b)tenemos que

g(x) =f (t)! f (s)

t ! s,

para a # s < t # b. Por el Teorema del Valor Medio cualquier valor de g es el valor de la derivada de f enalgun punto de [a,b].

Ejemplo 3.54. La siguiente igualdad es consecuencia del Teorema del Valor Medio

lımx,!

xn

ex = 0.

En efecto, notemos que f (x) = ex y f *(x) = ex. Dado x > 0, por el Teorema del Valor Medio tenemos queexiste c " (0,x) tal que f (x)! f (0) = f *(c)(x!0). Es decir, ex = 1+ecx. Como c > 0, entonces ec > 1. Esdecir, ex > 1+ x, ası

ex

n+1 > 1+x

n+1>

xn+1

.

De donde

ex >xn+1

(n+1)(n+1) lo que implica queex

xn >x

(n+1)(n+1) .

Asıxn

ex <(n+1)(n+1)

x.

Por lo tanto,

lımx,!

xn

ex # lımx,!

(n+1)(n+1)

x= 0.

Ejemplo 3.55. Toda funcion f : [a,b], R diferenciable es continua. Supongamos ademas que su derivadaes acotada, es decir que existe M $ 0 tal que para todo x " [a,b] se tiene que | f *(x)| # M. En este caso,podemos obtener una descripcion mas precisa de la continuidad de la funcion. En efecto, por el Teoremadel Valor Medio tenemos que si x,y " (a,b) entonces

| f (x)! f (y)|# f *(c)|x! y|# M|x! y|.

Luego, dado ! > 0, si considermos ) = !/M y |x! y|< ) entonces | f (x)! f (y)|< !. Es decir, el valor de) > 0 no de pende del punto x " [a,b]. Hemos probado en particular que la funcion f es uniformementecontinua (ver apendice C).

Ejemplo 3.56 (Teorema del binomio). Utilizando el Teorema del Valor Medio es posible probar la formuladel binomio. El argumento aquı presentado es debido a J. Singh. Probaremos que dado n " N y x,y " R setiene que

(x+ y)n =n

"k=0

n!(n! k)!k!

xkyn!k.

Sea t " R\{!1,0}. Para todo k " N, utilizando la formula de la derivada del cuociente, tenemos que

ddt

#tk

(1+ t)n

$=

ktk!1 ! (n! k)tk

(1+ t)n+1 .

92 3 La Derivada

Multiplicando por n!(n!k)!k! y sumando sobre k = 0, . . . ,n obtenemos

ddt

n

"k=0

n!(n! k)!k!

tk

(1+ t)n =n

"k=0

n!(n! k)!k!

#ktk!1 ! (n! k)tk

(1+ t)n+1

$=

n

"k=1

kn!(n! k)!k!

tk!1

(1+ t)n !n

"k=0

(n! k)n!(n! k)!k!

tk

(1+ t)n =

n

"k=1

n!(n! k)!(k!1)!

tk!1

(1+ t)n+1 !n!1

"k=0

n!(n! k!1)!k!

tk

(1+ t)n+1 =

n

"k=1

n!(n! k)!(k!1)!

tk!1

(1+ t)n+1 !n

"k=1

n!(n! k)!(k!1)!

tk!1

(1+ t)n+1 = 0.

Por el Teorema del Valor Medio existe c " R tal que

n

"k=0

n!(n! k)!k!

tk

(1+ t)n = c.

Tomando lımite t ., 0 tenemos que c = 1. Luego

n

"k=0

n!(n! k)!k!

tk

(1+ t)n = 1,

o equivalentementen

"k=0

n!(n! k)!k!

tk = (1+ t)n.

Tomando lımite en las ecuaciones anteriores con t ., !1 obtenemos

n

"k=0

n!(n! k)!k!

(!1)k = (1!1)n = 0.

Luego,n

"k=0

n!(n! k)!k!

tk = (1+ t)n

para todo t " R\{0}. Para completar la demostracion basta hacer t = x/y.

Concluimos esta seccion probando uno de los resultados fundamentales en analisis. En el corolario 3.1suponiendo que la funcion tiene inversa y que es deiferenciable hemos calculado la derivada de la inversa.Es posible, probar un resulatdo mucho mas fuerte. A saber

Teorema 3.10 (Teorema de la funcion inversa). Sea f : [a,b],%R una funcion diferenciable. Si c" (a,b)es tal que f *(c) )= 0 y f * es una funcion continua en x = c entonces f es invertible en un intervalo de laforma (c! !,c+ !) y ( f!1)*(y) = 1/ f *(x), donde f (x) = y.

Lo notable de este resultado es que a partir de informacion sobre la derivada de la funcion en un unicopunto podemos concluir que la funcion es invertible en una vecidad del punto. La formula de la derivadade la inversa es una consecuencia relativamenete sencilla, como vimos en el Corolorario 3.1. Es decir,informacion sobre la derivada en un punto nos permite deducir una gran cantidad de informacion localsobre la funcion.

Demostracion. Notemos que dado y " R queremos resilver la ecuacion f (x) = y. esto es equivalente aencontrar una raız de Fy(x) = y! f (x). Consideremos la funcion $y : [a,b], R definida por

3.5 Derivadas de Orden Superior 93

$y(x) := x+y! f (x)

f *(c).

Notemos que x " [a,b] es un punto fijo de $y, es decir $y(x) = x si y solo si f (x) = y. Probaremos que$y posee un unico punto fijo. Sea A := f *(c) y " = |A|/2. Como f * es continua en x = a existe ! > 0 yW := (c! !,c+ !) % [a,b] de modo que si x " [c! !,c+ !] entonces | f *(x)!A| < " . Notemos que six " [c! !,c+ !] entonces

|$ *y(x)|=

&&&&1!f *(x)

A

&&&&==

&&&&A! f *(x)

A

&&&&<"|A| =

12.

Por el teorema del valor medio tenemos que si x*,x "W entonces

|$y(x)!$y(x*)|#|x! x*|

2.

Probaremos ahora que $y([c!!,c+!])% [c!!,c+!] para valores de y suficientemente cerca de d = f (c).Sea ) = A!/2 y V = (d !) ,d +) ). Luego si y "V tenemos que

|$y(c)! c|=&&&&c+

y! f (c)A

! c&&&&=

&&&&y!d

A

&&&&=&&&&)c

&&&&=!2.

Luego si x " [c! !,c+ !] entonces

|$y(x)! c|= |$y(x)!$y(c)|+ |$y(c)! c|< x! c2

+!2# !.

Por lo tanto $y(x) " W. Por lo tanto, en virtud del principio de contraccion (Ejemplo 3.50) la funcion$y(x) : [c! !,c+ !], [c! !,c+ !] posee un unico punto fijo, g(y), que depende continuamente de y.

Debemos probar ahora que la inversa es diferenciable. Es decir, para y = f (x) "V queremos probar queg*(y) existe. Sea U = g(V ) =W 6 f!1(V ). Sea y+ k = f (x+h) "V . Entonces

|h|2

$ |$y(x+h)!$y(x)|=&&&&h+

f (x)! f (x+h)A

&&&&=&&&&h!

kA

&&&&$ |h|!&&&&

kA

&&&& ,

y luego|h|2

#&&&&h!

kA

&&&&<|k|"

y1|k| <

2"|h| .

Como g(y+ k)!g(y)! k/B = h! k/B =!( f (x+h)! f (x)!Bh)/B tenemos que

|g(y+ k)!g(y)! kk/B|k| <

2|B|"

| f (x+h)! f (x)!Bh||h| ,

converge a cero si |h|# 2|k|/" , 0. De donde g*(y) = 1/B = 1/ f *(g(y)).

Observacion 3.19. Es posible dar una demostracion mas sencilla de este resultado, sin embargo hemosescogido esta demostracion pues se generaliza de un modo elemental en dimension superior.

3.5. Derivadas de Orden Superior

Esta secion esta dedicada al estudio de las derivadas de orden superior de una funcion. Ası como laprimera derivada nos permite construir una buena aporximacion lineal de una funcion diferenciable, las

94 3 La Derivada

derivadas de orden superior nos permiten construir una buena aproximacion polinomial de una funcionvarias veces diferenciable.

Definicion 3.5. Sea f : [a,b], R una funcion diferenciable en x = c. Denotaremos por f (1) la derivada def en x = c. Inductivamente definimos la n-esima derivada de la funcion f en el punto c " (a,b) por

f (n)(c) :=dn

dxn ( f (x))&&&x=c

:= lımx,c

f (n!1)(x)! f (n!1)(c)x! c

.

Diremos que f es n!veces diferenciable en c " (a,b) si existen los lımites

{ f (1)(c), f (2)(c), . . . , f (n)(c)}.

Ejemplo 3.57. Sea f (x) = xn +1, entonces f (1)(x) = nxn!1, f (2)(x) = n(n!1)xn!2, . . ., f (n!1)(x) = n!x ,f (n)(x) = n! y f (n+1)(x) = 0. En general, todo polinomio posee derivadas de todos los ordenes.

Ejemplo 3.58. Sea f (x) = cos(x), entonces para todo n " N tenemos que

f (4n)(x) = cos(x), f (4n+1)(x) =!sin(x), f (4n+2)(x) =!cos(x), f (4n+3)(x) = sin(x).

Ejemplo 3.59. Si f (x) = x2 sin(x), entonces

f (1)(x) = f *(x) = 2xsin(x)+ x2 cos(x),

y la segunda derivada de f viene dada por

f (2)(x) = f **(x) = 2sin(x)+4xcos(x)! x2 sin(x).

Ejemplo 3.60. La funcion f : R, R definida por

f (x) =!

x2 sin) 1

x*

x )= 00 x = 0

es diferenciable en toda la recta real con

f *(x) =!

2xsin) 1

x*! cos

) 1x*

x )= 00 x = 0

Sin embargo, la segunda derivada no existe en x = 0 ya que f * no es continua en x = 0.


f (x) =!

3sin)&x

3*+ cos

)&x3*

si x # 2;a(x!2)2 +b(x!2)+ c si x > 2.

Determine a,b,c " R de modo que f sea dos veces diferenciable.

Solucion. Notemos que si x )= 2 entonces claramente la funcion es dos veces diferenciable. Debemos de-terminar condiciones de modo que f sea continua en x = 2. Por una parte

f (2) =3(

32

! 12= lım

x,2!f (x),

mientras quelım

x,2+f (x) = c.

Entonces

3.5 Derivadas de Orden Superior 95

c =3(

32

! 12.

Analicemos la primera derivada,

lımx,2+

f (x)! f (2)x!2

= lımx,2+

a(x!2)2 +b(x!2)+ c! cx!2

= lımx,2+

a(x!2)+b = b.

Por otra parte la derivada por la derecha puede calcularse utilizando tecnicas de diferenciacion

lımx,2!

f (x)! f (2)x!2

= f *!(2) = 3cos#

2&3

$&3! sin

#2&3

$&3

= & cos#

2&3

$! &

3sin

#2&3

$

= !&2! &

(3

6.

Luego,

b =!&2! &

(3

6.

Ası

f *(x) =!

& cos) x&

3*! &

3 sin) x&

3*

x # 2;2a(x!2)! &

2 ! &6

(3 x > 2.

Notemos quelımx,2

f *(x) = f (2).

Es decir f * es continua en la recta real y diferenciable en R\{x}, con

f **(x) =!!&2

3 sin) x&

3*! &2

9 cos) x&

3*

x < 22a x > 2

Luego, las condiciones necesarias y suficientes para que f sea doa veces diferenciable en x = 2 son

lımx,2!

f *(x) = 2a,

es decir,

a =&2

36! &2(3

12.

Ejemplo 3.62 (Derivada Schwarziana). Sea f : [a,b],R una funcion tres veces diferenciable. Si f *(x) )=0 definimos la derivada Schwarziana por

S f (x) :=f ***(x)f *(x)

! 32

#f **(x)f *(x)

$2.

Notemos que si f ,g : [a,b], R son funciones tres veces diferenciables entonces,

S( f 7g)(x) = ((S f 7g)(x)))(g*(x))2 +Sg(x).

En efecto, si denotamos por h = f 7g entonces h* = ( f * 7g)g*, de donde

h**(x) = ( f ** 7g(x))(g*(x))2 +( f * 7g(x))g**(x).

96 3 La Derivada

Derivando una vez mas obtenemos

h***(x) = ( f *** 7g(x))(g*(x))3 +3( f ** 7g(x))g*(x)g**(x)+( f * 7g(x))g***(x).

Reemplazando esta igualdades en la formula para S( f 7 g)(x) se obtiene el resultado. En particular, ob-tenemos que si S f < 0 entonces S( f 7 f ) < 0. El siguiente resultado se sigue de la hipotesis de derivadaSchwarziana negativa.

Si f : R , R es tal que S f (x) < 0 para todo x " R y la funcion derivada f * posse un mınimo local enx1 " R entonces f *(x1) < 0 (analogamente si f * posee un maximo local en x1 entonces f *(x1) > 0). Enefecto, como x1 es un valor crıtico de f * tenemos que f **(x1) = 0, luego

S f (x1) =f ***(x1)

f *(x1).

En un mınimo local de f * tenemos que f ***(x1)> 0, luego la hipotesis S f (x)< 0 implica que f *(x1)< 0 (unargumento anaologo pruba el otro caso). Una serie de resultados que involucran la derivada Schwarzianapueden encontrarse en seccion de ejercicios.

Ejemplo 3.63. Sea f : [a,b],R una funcion dos veces diferenciable con segunda derivada continua. Apli-cando el teorema del valor medio a la primera derivada de f es posible estimar la magnitud del error en laaproximacion de f por una recta de pendiente f *. En efecto, existe c " R tal que |x! c|< h de modo que

f (x+h)! f (x)h

! f *(x) = f *(c)! f *(x).

Como la funcion posee segunda derivada, existe d " R tal que

f *(c)! f *(x) = f **(d)(c! x).

Como la segunda derivada es continua existe M " R de modo que si y " [x,x+h] entonces | f **(y)|< M (lomsimo es valido para y " [x!h,x]). Ası

|!| := |c! x|| f **(d)|# hM.

Luego |!h|, que mide la diferencia entre f (x+h) y f (x)+h f *(x) es a lo mas Mh2 (magnitud menor a f *(x)hsi f *(x) )= 0.)

Ejemplo 3.64 (El metodo de Newton-Raphson). . El problema de encontrar soluciones a ecuaciones dela forma f (x) = 0 es antiguo, metodos para resolver ecuaciones de la forma p(x) = 0 donde p(x) es unpolinomio de grado menor que cinco, se conocen desde el siglo dieciseis. Sin embargo, durante el siglodiecinueve se demostro que no existe una forma general de resolver dicha ecuacion para polinomios degrado mayor que cinco. Por lo tanto, los metodos para aporximar raıces son importantes. Presentamosahora uno de ellos, el llamado metodo de Newton-Raphson. Sea f : R, R una funcion diferenciable. Latransformacion de Newton se define por

Nf (x) = x! f (x)f *(x)

.

Notemos que si x0 " R es una raız de f cuya derivada no es nula, es decir f (x0) = 0 entonces Nf (x0) = x0.La recıproca tambien es valida. Por lo tanto la busqueda de raıces de f es equivalente (con la excpecion delas raıces con derivada cero) a la busqueda de puntos fjos para la transformacion de Newton. Notemos que

N*f (x) = 1! ( f *(x))2 ! f (x) f **(x)

( f *(x))2 =f (x) f **(x)( f *(x))2 .

Luego, si x0 " R es una raız de f cuya derivada no es nula

3.6 Formula de Taylor 97

Nf (x0) = x0 y |N*f (x0)|= 0.

En virtud del resultado obtenido en el Ejemplo 3.49 tenemos que existe una vecindad (x0 !L,x0 +L) talque si x " (x0 !L,x0 +L) entonces

lımn,!

Nnf (x) = x0,

Donde Nnf (x) = Nf 7Nf 7 · · ·7Nf (x)3 45 6

n!veces

. Es decir, el metodo de Newton-Raphson nos entrega un algoritmo

para aproximar raıces. La idea de la defincion de la transformacion de Newton es simple. Tome un puntoarbitrario, digamos x1 " R, y aproxime la funcion f en el punto x1 por su recta tangente. Es decir pory = f *(x1)(x! x1)+ f (x1). Determine el punto donde esa recta se anula, es decir resuelva f *(x1)(x! x1)+f (x1) = 0. Obtenemos como solucion

x2 := x1 !f (x1)

f *(x1).

Repita el proceso ahora considerando x2. El metodo afirma que si x1 esta suficientemente cerca de x0entonces la sucesion (xn)n definida inductivamente converge a x0.

3.6. Formula de Taylor

En la seccion 3.2.1 probamos que una funcion diferenciable puede, localmente, aproximarse por una rectacuya pendiente viene dada por la derivada de la funcion. En esta seccion generalizaremos este resultadoen la siguiente direccion: si una funcion es n!veces diferenciable entonces puede aproximarse por unpolinomio de grado n, cuyos coeficientes pueden calcularse a partir de las derivadas de orden superior.Probaremos que las aproximaciones por polinomios de grado mayor son mejores que aquella de gradoinferior. Es ası como, dependiendo del problema que se queira estudiar, la aproximacion optima dependepor un lado la complejidad del polinomio y por otro la velocidad de la aproximacion. A partir de este metodode aproximacion es posible deducir una gran cantidad de resultados interesantes. El teorema principal queprobaremos en esta seccion se debe al estudiante de Newton llamado Brook Taylor quien publico esteresultado en 1715. La demostracion de este resultado se basa en el Teorema del Valor Medio.

Definicion 3.6. Sea f : I , R una funcion n!veces dieferenciable definida en el intervalo I. El polinomiode Taylor de grado n de la funcion f en e punto a " I se defne por

p(h) := f (a)+ f *(a)h+f **(a)

2!h2 + · · ·+ f (n)(a)

n!hn.

Observacion 3.20. Notemos que p(0) = f (a), es decir, el polinomio aproxima localmente la funcion f . Porotra parte, el polinomio de Taylor de grado uno coincide con la recta tangente discutida en la seccion 3.2.1.

El error en la aproximacion viene dado por

r(h) := f (a+h)! p(h), (3.4)

donde la funcion r(h) esta definida en el conjunto J = {h " R : a+ h " I}. Notemos ademas que r(h) es,por definicion, n!veces diferenciable en el punto x = 0. Es mas

r(0) = r*(0) = r**(0) = · · ·= r(n)(0) = 0.

En efecto r(0) = 0 por defincion y si 0 < k # n entonces

98 3 La Derivada

r(k)(h) = f (k)(a+h)! p(k)(h) =

f (k)(a+h)! f (k)(a)! k! f (k+1)(a)k+1!

h! · · ·! k! f (n)(a)n!

hn!k

Haciendo h = 0 obtenemos el resultado.

Teorema 3.11 (Formula de Taylor infinitesimal). Sea f : I , R una funcion n!veces diferenciable defi-nida en el intervalo I. La funcion r : J , R definida por

f (a+h) = f (a)+ f *(a)h+f **(a)

2!h2 + · · ·+ f (n)(a)

n!hn + r(h)

es tal que

lımh,0

r(h)hn = 0.

Reciprocamente, si p(h) es un polinomio de grado menor o igual a n tal que r(h) = f (a+h)! p(h) satisface

lımh,0

r(h)hn = 0,

entonces p(h) es el polinomio de Taylor de f .

Observacion 3.21. Notemos que este teorema establece que el polinomio de Taylor es la mejor aproxima-cion posible de f por un polinomio de gardo menor o igual a n. Es mas, nos entrega una estimacion delerror. En efecto, el error r(h) converge a cero a una velocidad mayor que hn.

Observacion 3.22. La siguiente observacion sera relevante en la demostracion de la formula de Taylor. Unpolinomio de grado n, a saber q(x) = bnxn + · · ·+ b1x+ b0, queda completamente determinado por susderivadas de orden n en el punto x = 0. En efecto,

b0 = q(0), b1 = q*(0), b2 =q**(0)

2, . . . ,bn =

q(n)(0)n!

.

Para probar el Teorema 3.11 estableceremos en primer lugar que la propiedad que las derivadas de f (x)y p(x) coincidan hasta orden n es equivalente al hecho que p(x) aproxime a f (x) en una vecindad del puntox = a con una velocidad de aproximacion de orden mayor que hn.

Lema 3.2. Sea r : I , R una funcion n!veces diferenciable en el punto h = 0. Tenemos que r(i)(0) = 0para i " {0,1, . . . ,n} si y solo si

lımh,0

r(h)hn = 0.

Demostracion. Demostraremos en primer lugar que la condicion es necesaria, es decir probaremos que sir(i)(0) = 0 para i " {0,1, . . . ,n} entonces lımh,0 r(h)/hn = 0 . Lo haremos por induccion. Supongamos quer(0) = r*(0) = 0, entonces

lımh,0

r(h)h

= lımh,0

r(h)! r(0)h!0

= r*(0) = 0.

Esto prueba el resultado para n = 1. Supongamos que la propiedad es valida para n! 1 y consideremosuna funcion r tal que r(0) = r*(0) = · · · = r(n)(0) = 0. La hipotesis de induccion aplicada a la derivada r*implica

lımh,0

r*(h)hn!1 = 0.

Ası, dado ! > 0 existe ) > 0 de modo que si 0 < |h|< ) entonces&&&&r*(h)hn!1

&&&&< !.


Por el teorema del valor medio, si 0 < |h|< ) entonces existe 0 < |c|< |h| tal que&&&&r(h)hn

&&&&=&&&&r(h)! r(0)

hn

&&&&=&&&&r*(c)h

hn

&&&&=&&&&r*(c)hn!1

&&&&=&&&&r*(c)cn!1

&&&&&&&ch

&&&n!1

< !,

ya que 0 < c/h < 1. Luego

lımh,0

r(h)hn = 0.

Probaremos ahora que la condicion es suficiente, es decir, si lımh,0 r(h)/hn = 0 entonces r(i)(0) = 0 parai " {0,1, . . . ,n}. Nuevamente utilizaremos induccion. Si

lımh,0

r(h)h

= 0

entoncesr(0) = lım

h,0r(h) = lım

h,0

#hr(h)

h

$=

#lımh,0

r(h)h

$#lımh,0

h$= 0

y

r*(0) = lımh,0

r(h)! r(0)h!0

= lımh,0

r(h)h

= 0.

Esto prueba el resultado para n = 1. Supongamos ahora que el resultado es valido para n! 1, es decirsi una funcion es (n! 1)-veces diferenciable y lımh,0

r(h)hn!1 = 0 entonces sus (n! 1)!primeras derivadas

evaluadas en cero se anulan. Probaremos ahora el resultado para n. Es decir, consideremos una funcion rque sea n!veces diferenciable en el punto h = 0 tal que

lımh,0

r(h)hn = 0.

Debemos mostrar que r(0) = r(1)(0) = · · · = r(n)(0) = 0. Consideremos la funcion auxiliar $ : I , Rdefinida por

$(h) := r(h)! r(n)(0)hn

n!.

La funcion $ es n!veces diferenciable en el punto h = 0 y ademas

lımh,0

$(h)hn!1 = lım

h,0

#r(h)hn!1 ! rn(0)h

n!

$= 0,

por la hipotesis de induccion concluimos que $(0) = $ *(0) = · · · = $ (n!1)(0) = 0. Lo que es equivalentea r(i)(0) = 0 para todo 0 # i # n!1. Es mas $ (n)(0) = r(n)(0)! r(n)(0) = 0. En la prueba de la necesidadestablecimos que si una funcion era tal que sus derivadas hasta orden n evaluadas en cero se anulabanentonces el lımite de la funcion evaluada en h dividido por hn tiende a cero cuando h tiende a cero. Como$(0) = $ *(0) = · · ·= $ (n!1)(0) = $ (n)(0) = 0 tenemos que

lımh,0

$(h)hn = 0.

Ası, de la definicion de $ tenemos que

lımh,0

;r(h)hn ! r(n)(0)

n!

<= 0.

Pero por hipotesis tenemos que lımh,0r(h)hn = 0. Luego r(n)(0) = 0.

100 3 La Derivada

Demostracion (Demostracion del Teorema de Taylor). La funcion r(h) definida por la formula de Taylor esn veces diferenciable en h = 0 y todas sus derivadas hasta orden n son nulas. Por el Lema 3.2 tenemos que

lımh,0

r(h)hn = 0.

Reciprocamente, si r(h) = f (a+h)! p(h) es tal que

lımh,0

r(h)hn = 0,

entonces por el Lema 3.2, las derivadas de r(h) en cero son todas nulas hasta el orden n es decir p(i)(0) =f (i)(a). De donde tenemos, por la Observacion 3.22, que los coeficientes {b0, . . . ,bn} del polinomio pvienen dados por

bi =p(i)(0)

i!=

f (i)(a)i!

,

para todo i " {0,1, . . . ,n}. Luego p(h) es el polinomio de Taylor.

Ejemplo 3.65. Sea f (x) =(

x. El polinomio de Taylor de orden 2 alrededor de x = 2 viene dado por

p(h) =(

2+1

2(

2h! 1

8(

2h2.

Notemos que p(h) es una aproximacion de(

2+h.

Ejemplo 3.66. Sea f (x) = senx. El polinomio de Taylor de orden 2n+1 alrededor de x = 0 viene dado por

p(h) = h! h3

3!+

h5

5!+ · · ·+ (!1)nh2n+1

(2n+1)!.

Tenemos por lo tanto que exite ) > 0 tal que si |h|< ) entonces

sen(h) = h! h3

3!+

h5

5!+ · · ·+ (!1)nh2n+1

(2n+1)!+ r2n+1(h).

Notemos entonces que

sin(h)h

= 1! h2

3!+

h4

5!! h6

7!+ . . .+

(!1)nh2n

(2n+1)!+

r2n+1(h)h

.

Luego, como

lımh,0

r2n+1(h)h2n+1 = 0,

tenemos que lımh,0r2n+1(h)

h = 0. Por lo tanto, obtenemos una nueva demostracion de

lımh,0

sin(h)h

= 1.

Ejemplo 3.67. Sea f (x) = cosx. El polinomio de Taylor de orden 2n alrededor de x = 0 viene dado por

p(h) = 1! h2

2!+

h4

4!+ · · ·+ (!1)nh2n

(2n)!.

Ejemplo 3.68. Sea f (x) = ex. El polinomio de Taylor de orden n alrededor de x = 0 viene dado por


p(h) = 1+h1!

+h2

2!+ · · ·+ hn

n!.

Recordemos que

e = e1 = 1+1+12+ . . .+

1n!

+ . . .

Este resultado sugiere que el intervalo en el que la formula de Taylor es valida contine a x= 1. Efectivamenteesta formula es valida en todo R, la demostracion de ese resultado, sin embargo, no se incluye en estas notas(ver por ejemplo [14, Capıtulo VIII].)

Ejemplo 3.69. El teorema de Taylor nos permite generalizar la formula del binomio de Newton a potenciasarbitrarias. En efecto, sea " " R el teorema de Taylor aplicado a la funcion f (x) = (1+ x)" nos entrega

(1+ x)" = 1+"x+"(" !1)

2!h2 + · · ·+ "(" !1)(" !2) · · ·(" !n+1)

n!hn + rn(0),

donde rn es el resto.

Observacion 3.23. Determinar el maximo intervalo donde estas formulas son validas es claramente de im-portancia no solo teorica sino que tambien en aplicaciones.

Ejemplo 3.70. El siguiente es un ejemplo construido en 1821 por Cauchy. En el se demuestra que dosfunciones distintas infinitamente diferenciables puden tener el mismo polinomio de Taylor de todos losordenes. Sea

f (x) =

/e!1/x2 si x )= 0;0 si x = 0.

Las derivadas de todos los ordenes de f son iguales a cero, f (n)(0) = 0. Por lo tanto el polinomio de Taylorde cualquier orden alrededor de cero es la funcion constante igual a cero. Del mismo modo la funciong(x) = 0 es tal que su polinomio de Taylor de cualquier orden es igual a cero.

Utilizando el Teorema del Valor Medio es posible estimar el error en la aproximacion del polinomio deTaylor para un valor fijo h. Notemos que el Teorema de Taylor solo nos entrega una estimacion del errorcuando h tiene a cero. Las hipotesis en este caso son un tanto mas fuertes.

Teorema 3.12. Sea f : [a,b],R una funcion n!veces diferenciable de modo que f n!1 sea continua. Existe- " (0,1) tal que

f (a+h) = f (a)+ f *(a)h+f **(a)

2!h2 + · · ·+ f (n!1)(a)

(n!1)!hn!1 +

f (n)(a+-h)n!

hn.

Demostracion. Consideremos la funcion auxiliar $ : [a,b], R definida por

$(x) = f (b)! f (x)! f *(x)(b! x)! · · ·! f (n!1)x(n!1)!

(b! x)n!1 ! Kn!(b! x)n,

donde la constante K se escoje de modo que $(a) = 0. La funcion $ es continua en [a,b] y diferenciable en(a,b) con $(a) = $(b) = 0. Ademas

$ *(x) =K ! f (n)(x)(n!1)!

(b! x)n!1.

Por el teorema de Rolle existe c " (a,b) tal que $ *(c) = 0. De donde K = f (n)(c). Haciendo x = a yrecordando que $(a) = 0, tenemos que

102 3 La Derivada

f (b) = f (a)+ f *(a)(b!a)+ · · ·+ f (n!1)(a)(n!1)!

(b!a)n!1 +f (n)(c)

n!(b!a)n.

Finalmente basta escoger b = a+h y notar que podemos escribir c = a+-h.

Observacion 3.24. Notemos que esta version del Teorema de Taylor es una generalizacion del Teorema delValor Medio. En efecto para n = 1 obtenemos exactamente el Teorema del Valor Medio. Existe - " (0,1)tal que

f (a+h)! f (a) = f *(a+-h)h,

equivalentemente, existe c " (a,a+h) (con c = a+-h) tal que

f (a+h)! f (a)h

= f *(c).

Historicamente la demostracion de este teorema es interesante. Cauchy propuso una demostracion en la queimplıcitamente se asumıa que la derivada era una funcion acotada (lo que sabemos no es siempre cierto).Pero no solo eso, es interesante notar que su demostracion sugiere la pregunta por la diferencia entre lasfunciones continuas y aquellas que satisfacen la propiedad del valor intermedio. Aparentemente quien diola primera demostracion (correcta) del teorema anterior fue Ossain Bonnet.

3.6.1. Regla de L’Hopital

La siguiente es un aplicacion directa del teorema de Taylor. Es ampliamente conocida la historia de esteresultado, en efecto el Marques de L’Hopital (1661!1704) publico bajo su nombre el siguiente resultadoobtenido por Johann Bernoulli en 1694.

Teorema 3.13 (Regla de L’Hopital). Sean f ,g : I , R dos funciones n-veces diferenciables tales que

f (a) = f *(a) = . . .= f (n!1)(a) = g(a) = g*(a) = . . .= g(n!1)(a) = 0,

y f (n)(a) )= 0 y g(n)(a) )= 0 (g(x) )= 0, x )= a). Entonces,

lımx,a

f (x)g(x)

=f (n)(a)g(n)(a)

.

Demostracion. Las hipotsies y el teorema de Taylor nos permiten escribir

f (x)g(x)

=f (a+h)g(a+h)

=f (a)+ f *(a)h+ f **(a)

2! h2 + . . .+G

f (n)(a)n! +#(h)

Hhn

g(a)+g*(a)h+ g**(a)2! h2 + . . .+

Gg(n)(a)

n! +,(h)H

hn

=f (n)(a)+n!#(h)g(n)(a)+n!,(h)

,

donde #(h) = r(h)/hn y ,(h) = r(h)/hn. Es decir,

lımh,0

#(h) = lımh,0

,(h) = 0.

Luego,

lımx,a

f (x)g(x)

=f (n)(a)g(n)(a)

.


Existe una amplia variedad de lımtes que es posible calcular utlizando este metodo. A continuacion desa-rrollaremos algunos ejemplos. Notemos que en varios de ellos las hipotesis de la regla de l’Hopital no sesatisfacen directamente y es necesario hacer modificaciones algebracias para poder utilizarlo.

Observacion 3.25. El teorema de L’Hopital tambien se puede aplicar si

lımx,a

f (x) = lımx,a

g(x) = !,

en efecto

lımx,a

f (x)g(x)

= lımx,a

1g(x)

1f (x)

.

Otras manipulacion algebraica util es

f (x)g(x) =f (x))

1g(x)

.

El caso de una potenciah(x) = f (x)g(x),

puede estudiarse utilizando logaritmos

logh(x) = g(x) log f (x).

Ejemplo 3.71. Calcular

lımx,0

2x !3x

x.

Solucion. Notemos quelımx,0

2x !3x = lımx,0

x = 0.

Ademas,ddx

(2x !3x) = 2x ln(2)!3x ln(3) yddx

(x) = 1.

Comolımx,0

2x ln(2)!3x ln(3)1

= ln(2)! ln(3),

entonceslımx,0

2x !3x

x= ln(2)! ln(3).


lımx,&/2

2 tan(x)!10sec(x)+4

.

Solucion. Notemos quelım

x,&/2(2tan(x)!10) = lım

x,&/2(sec(x)+4) = +!.

Ademasddx

(2tan(x)!10) = 2sec2(x) yddx

(sec(x)+4) = sec(x) tan(x),

de donde

lımx,&/2

2sec2(x)sec(x) tan(x)

= lımx,&/2

2sin(x)

= 2.

Por lo tantolım

x,&/2

2 tan(x)!10sec(x)+4

= 2.

104 3 La Derivada


lımx,!

ex

x2 .

Solucion. Notemos quelımx,!

ex = lımx,!

x2 = !.

Ademas,ddx

(ex) = ex yddx

(x2) = 2x,

entonceslımx,!

ex

x2 = lımx,!

ex

2x.

Aplicando nuevamente la regla de L’Hopital,

lımx,!

ex

x2 = lımx,!

ex

2x= lım

x,!

ex

2= !.


lımx,1

ln(x)x!1

.


ln(x) = lımx,1

(x!1) = 0.

Ademasddx

ln(x) =1x

yddx

(x!1) = 1.

Asılımx,1

ln(x)x!1

= lımx,1

1x= 1.


lımx,0

tan(x)! xx3 .


(tan(x)! x) = lımx,0

x3 = 0.

Ademaslımx,0

sec2(x)!1 = lımx,0

3x2 = 0,

y tambienlımx,0

2sec2(x) tan(x) = lımx,0

6x = 0.

Luego aplicando la regal de L’Hopital una vez mas obtenemos

lımx,0

4sec2(x) tan2(x)+2sec4(x)6

=13.

Observacion 3.26 (Productos indeterminados). Si

lımx,0

f (x) = 0 y lımx,0

g(x) = +!,

para determinarlımx,0

f (x) ·g(x),

podemos escribir


lımx,0

f (x) ·g(x) = lımx,0

f (x)1

g(x)lımx,0

g(x)1

g(x).

Ejemplo 3.76. Calculelımx,0

x ln(x).


lımx,0

x ln(x) = lımx,0

ln(x)1x

= lımx,0

1/x!1/x2 = lım

x,0(!x) = 0.

Ejemplo 3.77. Calculelım

x,&/2(sec(x)! tan(x)).


lımx,&/2

(sec(x)! tan(x)) = lımx,&/2

#1

cos(x)! sin(x)

cos(x)

$= lım

x,&/2

1! sin(x)cos(x)

= lımx,&/2

cos(x)sin(x)

= 0.


lımx,0+

#1x

$tan(x).

Solucion. Sea y =) 1

x*tan(x) entonces ln(y) = tan(x) ln

) 1x*= ! tan(x) ln(x) = ! ln(x)

cotg(x) . Aplicando ahora laregla de L’Hopital obtenemos que

ddx

(! ln(x)) =!1x

yddx

(cotg(x)) =!cosec2(x),

luego,

lımx,0+

!1/x!cosec2(x)

= lımx,0+

sin2(x)x

= lımx,0+

sin(x)sin(x)

x= 0.

Luego,lım

x,0+ln(y) = 0,

pero

lımx,0+

y = lımx,0+

eln(y) = e

;lım

x,0+ln(y)

<

= e0 = 1.


lımx,1!

(1! x ln

#ln#

1x

$$

Solucion. Sea y =(

1! x ln)ln) 1

x**

= ln(! ln(x))(1!x)!1/2 . Notemos que

ddx

(ln(! ln(x))) =1

x ln(x)y

ddx

((1! x)!1/2) =12(1! x)!3/2.

Ası

lımx,1

1x ln(x)

12 (1! x)!3/2

= lımx,1

2(1! x)3/2

x ln(x)= 2 lım

x,1

(1! x)3/2

x ln(x).

106 3 La Derivada

Aplicando nuevamente la regla de L’Hopital obtenemos

ddx

(x ln(x)) = ln(x)+1 yddx

((1! x)3/2) =!32

(1! x)1/2.

Como

lımx,1

!3/2(1! x)1/2

ln(x)+1= 0,

tenemos que

lımx,1

(1! x)3/2

x ln(x)= 0.

Por lo tanto

lımx,1

1x ln(x)

12 (1! x)!3/2

= 0,

asılım

x,1!

(1! x ln

#ln#

1x

$$= 0.

Ejemplo 3.80. Calculelım

x,0+xx.

Solucion. Notemos que xx = ex ln(x) y ademas

lımx,0

x ln(x) = lımx,0

ln(x)1/x

= lımx,0

1/x!1/x2 = 0.

Ası,

lımx,0

xx = lımx,0

ex ln(x) = e

;lım

x,0+x ln(x)

<

= e0 = 1.


lımx,2

#3(x!1)

x!2! 3

ln(x!1)

$.


lımx,2

#3(x!1)

x!2! 3

ln(x!1)

$= lım

x,2

3(x!1) ln(x!1)!3(x!2)(x!2) ln(x!1)

= 3 lımx,2

(x!1) ln(x!1)! x+2(x!2) ln(x!1)

.

Derivandolımx,2

ln(x!1)+1!1ln(x!1)+ x!2

x!1= lım

x,2

(x!1) ln(x!1)(x!1) ln(x!1)+ x!2

,

pero

lımx,2

ln(x!1)+1ln(x!1)+1!1

=12,

luego

lımx,2

#3(x!1)

x!2! 3

ln(x!1)

$=

32.



lımx,0

ax !bx

x(1! x2,

para a,b " R+.


(ax !bx) = 0,

El denominador es tal que que

lımx,0

x+

1! x2 = lımx,0

(1! x2)1/x = lımx,0

e1x ln(1!x2),

pero aplicando la regla de L’Hopital a

lımx,0

ln(1! x2)

x,

obtenemoslımx,0

!2x1! x2 = 0.

Por lo tantolımx,0

x+

1! x2 = e0 = 1,

y

lımx,0

ax !bx

x(1! x2=

01= 0.

Ejemplo 3.83. Demuestre que la siguiente serie converge,

!

"n=1

arc tge!n.

Aplicando el test de la razon (ver Teorema 1.20) debemos calcular el siguinete lımite

lımn,!

arc tge!(n+1)

arc tge!n .

Utilizando la regla de LHopital calcularemos

lımx,!

arc tge!(x+1)

arc tge!x =1e

lımx,!

e!2x +1e!2(x+1) +1

=1e< 1.

Por lo tanto la serie converge.

Observacion 3.27. Es necesario recalcar que la regla de L’Hopital no puede aplicarse a todos los cuocientesde las formas consideradas. Una hipotesis fundamental en el Teorema es que existe n " N de modo tal quela derivada del denominador g(n)(a) )= 0. Sin embargo hemos visto funciones no constantes tales que todaslas derivadas en un punto son iguales a cero, en el Ejemplo 3.70 consideramos la funcion

g(x) =

/e!1/x2 si x )= 0;0 si x = 0.

Esta funcion es tal que para todod n " N se tiene que g(n)(0) = 0. Por lo tanto si en una expresion indeter-minada tenemos por denominador a la funcion g, no podemos utilizar la regla de L’Hopital.

108 3 La Derivada

3.6.2. Maximos y Mınimos

Una aplicacion bastante directa de la formula de Taylor nos permite determinar un criterio para establecerla existencia de maximos y mınimos de funciones diferenciables.

Teorema 3.14. Sea f : I , R una funcion n-veces diferenciable en x = a. Supongamos

f *(a) = f **(a) = . . .= f (n!1)(a) = 0,

pero f (n)(a) )= 0, entonces

1. Si n un numero par tenemos que

a) Si f (n)(a)< 0 entonces x = a es un maximo local.b) Si f (n)(a)> 0 entonces x = a es mınimo local .

2. Si n es impar, entonces a no es ni maximo ni mınimo.

Demostracion. De la hipotesis y el teorema de Taylor tenemos que

f (a+h) = f (a)+

If (n)(a)

n!+#(h)

Jhn,

donde #(h) = r(h)/hn. Asılımh,0

#(h) = 0.

De este modo, para h suficientemente pequeno el signo de la expresion dentro del parentesis es el de f (n)(a).Cuando n es par el factor hn es siempre positivo (h )= 0), luego

i) si f (n)(a)< 0 entonces f (a+h)< f (a);ii) si f (n)(a)> 0 entonces f (a+h)> f (a).

Ahora si n es impar, el factor hn tiene el signo de h. Ası para un intervalo suficientemente pequeno ladiferencia f (a+h)! f (a) no tiene signo constante. &'

Ejemplo 3.84. Sea f (x) = x2, esta funcion posee un mınimo en x = 0 ya que f *(0) = 0 y f **(0) = 2 > 0.

Ejemplo 3.85. Sea f (x) = x3, esta funcion es tal que para x = 0 tenemos que f *(0) = f **(0) = 0 y f ***(0) =6 > 0. Por lo tanto no posee ni maximo ni mınimo en x = 0.

Ejemplo 3.86. Notemos que una version simplificada del resultado anterior es la siguiente, si f : [a,b],Res dos veces diferenciable y c " (a,b) es tal que f *(c) = 0, entonces

1. si f **(c)< 0 enotnces el punto x = c es un maximo local,2. si f **(c)> 0 enotnces el punto x = c es un mınimo local.

En la siguiente observacion establecemos un procedimiento para buscar maximos o mınimos locales deuna funcion. Es necesario precisar que este criterio es util solo para funciones que son diferenciables entodos los puntos del dominio, con la excepcion quizas de un numero finito de ellos. Recordemos que esposible construir funciones continuas que poseen maximos y mınimos locales en todos los puntos raciona-les. Para esos ejemplos, claramente la estrategia aqui sugerida no es eficiente. Sucede, sin embargo, que lasfunciones utilizadas en aplicaciones son en general bastante regulares.

Observacion 3.28. Sea f : [a,b], R una funcion continua. Si el punto c " [a,b] es un maximo (o mınimo)local entonces

1. El punto x = c esta en la frontera del dominio, es decir c = a o c = b.2. La funcion f no es diferenciable en x = c.


3. El punto x = c es un punto crıtico, es decir f *(c) = 0.

Ejemplo 3.87.

Ejemplo 3.88. Sea

f (x) =

ABBC

BBD

0 Si x #!1(1! x2 Si x " (!1,1]x!1 Si x " (1,2]3! x Si x > 2

El grafico de esta funcion viene dado por

110 3 La Derivada

Notemos el punto x = 0 es un maximo local y f *(0) = 0. El punto x = 2, donde la derivada no esta definida,tambien es un maximo local. El punto x =!1 es un punto de frontera que es un mınimo local. Finalmente,el punto x = 1 es un mınimo local para el que no existe la derivada.

Ejemplo 3.89. Sea f : R, R, tal que x ., f (x) = 1! x2/3. Determine el maximo de f .


f *(x) =!2

3 3(

x,

si x )= 0. Es decir la ecuacion f *(x) = 0 no tiene solucion. Sin embargo x = 0 es un maximo local ya quef *(x)< 0 si x < 0 y f *(x)> 0 si x > 0.

3.6.3. Funciones concavas y convexas

Hemos visto que en el caso de funciones cuya derivada es continua, a partir del signo de esta derivadaes posible determinar si la funcion es creciente o decreciente. En este seccion daremos una interpretaciongeometrica de la segunda derivada.

Definicion 3.7. Sea f : I , R. Diremos que f es convexa ( o concava hacia arriba ) si para todo a,b " Icon a < b y para todo x " (a,b) se tiene

f (x)! f (a)x!a

# f (b)! f (a)b!a

# f (b)! f (x)b! x

.

Observacion 3.29. La defincion 3.7 es equivalente a afirmar que para todo a,b " I con a < b y para todox " (a,b), el punto (x, f (x)) esta situado bajo la secante que une el punto (a, f (a)) con el punto (b, f (b)).En efecto, como existen dos formas de escribir la recta secante, tenemos

f (x)# f (b)! f (a)b!a

(x!a)+ f (a) o f (x)# f (b)! f (a)b!a

(x!b)+ f (b).

Por lo tanto, afirmar el punto (x, f (x)) esta situado bajo la secante que une el punto (a, f (a)) con el punto(b, f (b)) es equivalente a afirmar que

f (x)! f (a)x!a

# f (b)! f (a)b!a

# f (b)! f (x)b! x

.

Observacion 3.30. Todo punto x " [a,b] puede escribirse de manera unica como x = (1! t)a+ tb dondet " [0,1], en efecto basa tomar

t =x!ab!a

.

Notemos que la recta secante que une el punto (a, f (a)) con el punto (b, f (b)) es tal que la imagen dex = (1! t)a+ tb es igual a (1! t) f (a)+ t f (b). Por lo tanto la funcion f : I , R es convexa ( o concavahacia arriba) si para todo a,b " I con a < b y todo t " [0,1] se tiene

f ((1! t)a+ tb)# (1! t) f (a)+ t f (b).

Inductivamente es posible mostrar que si f : I , R es convexa y a1, . . . ,an " I y t1, . . . , tn " [0,1] cont1 + . . . tn = 1 entonces

f (t1a1 + . . . tnan)# t1 f (a1)+ . . . tn f (an).

Teorema 3.15 (Concavidad). Sea f : I , R una funcion diferenciable. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:


1. La funcion f es convexa.2. La derivada f * : I , R es no decreciente.3. Para todo a,x " I se tiene f (x) $ f (a)+ f *(a)(x!a), es decir el grafico de f esta sobre cualquiera de

sus tangentes.

Demostracion. Sean f convexa, a,b " I y x " (a,b). Tenemos que

f (x)! f (a)x!a

# f (b)! f (a)b!a

# f (b)! f (x)b! x

.

Luego

f *+(a) := lımx,a+

f (x)! f (a)x!a

# f (b)! f (a)b!a

,

yf (b)! f (a)

b!a# lım

x,b!

f (b)! f (x)b! x

= f *!(b).

Ası, si a < b entonces f *(a)# f *(b). Es decir la derivada es monotona no decreciente.Supongamos ahora que f * : I , R es no decreciente y sean a,x " I tales que a < x. Por el Teorema del

Valor Medio existe c " (a,x) tal que f (x)! f (a) = f *(c)(x! a). Como f * es no decreciente, tenemos quef *(c)$ f *(a). Luego,

f (x)$ f (a)+ f *(a)(x!a).

Finalmente, asumamos que para todo a,x " I se tiene f (x) $ f (a)+ f *(a)(x!a) y sean a,c,b " I talesque a < c < b. Sean "(x) = f (c)+ f *(c)(x! c) y H := {(x,y) " R2 : y $ "(x)}. es decir, H es el semi-plano superior determinado por la recta y = "(x) tangente al grafico de f en el punto (c, f (c)). Notemosque para cualquier par de puntos en H la recta que los une esta contenida en H. De la hipotesis tenemos que(a, f (a)) y (b, f (b)) pertenecen a H y en consecuencia la secante que los une tambien esta contenida en H.En particular, el punto de esa secante que tiene primera coordenada x = c pertenece a H. Es decir

f (c)# f (a)+f (b)! f (a)

b!a(c!a).

Como a < c < b son puntos arbitrarios tenemos que f es convexa (la otra desigualdad se obtiene utilizandola otra representancion de la recta que une (a, f (a)) y (b, f (b))) .

Corolario 3.9. Sea f : I ,R una funcion dos veces diferenciable. La funcion f es convexa. si y solo si paratodo x " I se tiene f **(x)$ 0.

Observacion 3.31. Notemos que si f : I , R es convexa entonces puede aproximarse en todo punto a " Ipor una parabola de la forma

f (a)+ f *(a)h+f **(c)

2h2.

Esta parabola es convexa ya que f **(c)> 0.

Analogamente definimos una funcion concava ( o concava hacia abajo). En este caso es posible probarque si f : [a,b],R una funcion dos veces diferenciable, tal que para todo x " (a,b) se tiene que f **(x)# 0,entonces f es concava.

Ejemplo 3.90. Las funciones f (x) = x2, g(x) = ex son convexas, mientras que h(x) = !x2 y el logaritmolog : R+ , R son funciones concavas.

Observacion 3.32. La desigualdad de los promedios artimeticos y geometricos es consecuencia de las pro-piedades de convexidad del la exponencial. En efecto, sea f (x) = ex, t1 = t2 = · · · = tn = 1/n, a1 =logx1, . . . ,an = logxn. Utilizando la caracterizacion de fucniones concavas hacia arriba en Observacion3.30 tenemos que

112 3 La Derivada

n(

x1x2 · · ·xn =n(ea1 · · ·ean = exp

#a1 + · · ·+an

n

$=

f (t1a1 + . . . tnan)# t1 f (a1)+ · · ·+ tn f (an) =ea1 + · · ·+ ean

n=

x1 + · · ·+ xn

n.

Definicion 3.8. Sea f : [a,b] , R una funcion continua. Diremos que el punto c " (a,b) es un punto deinflexion si en el intervalo (a,c) la funcion es convexa (resp. concava) y en el intervalo (c,b) la funcion esconcava (resp. convexa).

De especial interes son aquellos puntos c " [a,b] tales que f **(c) = 0, ya que si la segunda derivada esuna funcion continua, es posible que el signo de la misma cambie en ese punto. Por lo tanto, de ser ese elcaso, el punto c corresponderıa a un punto de inflexion.

Lema 3.3. Sea f : [a,b],R una funcion tres veces diferenciable y c " (a,b) tal que f **(c) = 0 y f ***(c) )= 0entonces c es un punto de inflexion.

Demostracion. Sin perdida de generalidad supongamos que f ***(c)> 0. Luego

f ***(c) = lımx,c

f **(x)! f **(c)x! c

= lımx,c

f **(x)x! c

> 0.

Pero por otra parte tenemos que

lımx,c+

f **(x)x! c

> 0,

es decir, para suficientemente cerca de c y tal que x > c entonces f **(x)> 0. Pero del mismo modo,

lımx,c!

f **(x)x! c

> 0,

es decir, para suficientemente cerca de c y tal que x < c entonces f **(x) < 0. Es decir, la concavidad de lafuncion cambia en el punto x = c.

Observacion 3.33. Es posible construir ejemplos de funciones infinitamente diferenciables tales que suspuntos de inflexion no satisfacen el Lema anterior. Por ejemplo, la funcion f (x) = x5, pose un punto deinflexion en x = 0, sin embargo f ***(x) = 0. En el ejercicio 87 se pide establecer un resultado analogo al delos maximos y mınimos (Teorema 3.14) donde se involcucran las derivadas de orden superior, para puntosde inflexion.

Los maximos y mınimos de funciones convexas poseen propiedades especiales que hacen que estasfunciones sean de particular interes y utilidad es problemas de optmizacion. Por ejemplo,

Teorema 3.16. Si f : [a,b], R es una funcion convexa no constante entonces el maximo de f se alcanzaen x = a o en x = b

Demostracion. Supongamos que f es una funcion convexa no constante que alcanza su maximo en el puntoc " (a,b). Sea x " [a,b] tal que f (x)< f (c) y ! " (0,1) tal que y = c+ !(c! x) " [a,b]. Entonces

c = y/(1+ !)+ !x/(1+ !)

lo que produce la siguiente contradiccion

f (c)# 11+ !

f (y)+!

1+ !f (c)<

11+ !

f (c)+!

1+ !f (c) = f (c).

Teorema 3.17. Sea f : [a,b],R una funcion continua y convexa entonces todo mınimo local es un mınimoglobal.

3.7 Asıntotas 113

Demostracion. Si c " [a,b] es un mınimo local entonces para todo x " [a,b] existe ! > 0 tal que

f (c)# f (c+ !(x! c)) = f ((1! !)c+ !x)# (1! !) f (c)+ ! f (x).

Luego f (c)# f (x) y por lo tanto c es un mınimo global.

3.7. Asıntotas

Una asıntota es una recta a la que tiende el grafico de una funcion. Existen de tres tipos distintos.

1. Asıntotas Horizontales. Silımx,!

f (x) = L o lımx,!!

f (x) = L,

entonces la recta y = L es una asıntota horizontal de f .2. Asıntotas Verticales. La recta x = a es una asıntota vertical de f si alguna de las siguientes afirmaciones

es verdaderalım

x,+af (x) = ! lım

x,!af (x) = !

lımx,+a

f (x) =!! lımx,!a

f (x) =!!

3. Asıntotas Oblıcuas. La recta y = mx+n es una asıntota oblıcua de f si

lımx,!

( f (x)! (mx+n)) = 0.

Para determinar la pendiente de una asıntota oblıcua debemos calcular alguno de los siguientes lımites:

m := lımx,!

f (x)x

, m := lımx,!!

f (x)x

.

Por otra parte el intercepto n es obtiene calculando alguno de los siguientes lımites

n := lımx,!

( f (x)!mx) , n := lımx,!!

( f (x)!mx)

En el siguiente ejemplo calcularemos una asıntota.

Ejemplo 3.91. Determine las asıntotas de

f (x) =x3

x2 +1.

Solucion. Como x2 +1 )= 0 para todo x " Dom( f ) (no hay asıntota vertical). Por otra parte,

f (x) =x3

x2 +1= x! x

x2 +1,

asıf (x)! x =! x

x2 +1,

por lo tantolımx,!

( f (x)! x) = 0.

Ası y = x es asıntota oblıcua.

Ejemplo 3.92. Encuentre las asıntotas oblicuas de f (x) =2x3 +3x+2x2 + x+1

.

114 3 La Derivada

Solucion: Para determinar la pendiente de las asıntotas oblicuas debemos calcular los siguientes lımites,

lımx,!

f (x)x

y lımx,!!

f (x)x

Notemos que

m1 := lımx,!

f (x)x

= lımx,!

2x3 +3x+ xx3 + x+1

= 2 ;

m2 := lımx,!!

f (x)x

= lımx,!!

2x3 +3x+ xx3 + x+1

= 2

Por otra parte para determinar el valor del intercepto de las asıntotas con el eje x debemos calcular lossiguientes lımites:

lımx,!

( f (x)!2x) y lımx,!!

( f (x)!2x)

Notemos que

n1 := lımx,!

( f (x)!2x) = lımx,!

!2x2 + x+2x2 + x+1

=!2;

n2 := lımx,!!

( f (x)!2x) = lımx,!!

!2x2 + x+2x2 + x+1

=!2

Por lo tanto la asıntotas obıcua viene dada por y = 2x!2.

3.8. Grafico de Curvas

Esta seccion esta dedicada a aplicar los resultados obtenidos en las secciones previas para esbozar el garficode funciones diferenciables. Para llevar a acabo esto es necesario considerar:

1. Dominio y recorrido de f .2. Interceptos con los ejes.3. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.4. Maximos y mınimos (globales y locales).5. Puntos de inflexion.6. Asıntotas.7. Valores crticos (puntos donde las derivadas se anulan o no estan definidas)

Una vez que lo anterior se ha determinado es posible determinar el gafico de una funcion. En efecto,

Ejemplo 3.93. Grafique la funcion definida por

f (x) =x

(x+1)(x!2)2 .

Solucion.

1. El dominio de la funcion viene dado por Dom( f )= R\{!1,2}. El recorrido por Rec( f )=R.2. Notemos que f (x) = 0 si y solo si x = 0. Luego la curva intercepta el eje de coordenadas en (0,0).3. La derivada de f es

f *(x) =!(2x2 + x+2)(x+1)2(x!2)3 .

3.8 Grafico de Curvas 115

Notemos que 2x2 + x+2 > 0 para todo x " R\{!1,2} y (x+1)2 > 0 para todo x " R\{!1,2}. Luegof *(x)> 0 si y solo x < 2. Luego f es creciente en (!!,2)\{!1} y decreciente en (2,!).

4. Como f *(x) )= 0 para todo x " R\{!1,2}, no hay extremos relativos.5. La segunda derivada de f viene dada por

f **(x) =6x(x2 + x+3)(x+1)3(x!2)4 .

Notemos que x2 + x+3 > 0 para todo x " R\{!1,2} y (x!2)4 > 0 para todo x " R\{!1,2}. Luegof **(x)> 0 si y solo si 6x

(x+1)3 > 0. Es decir, solo si xx+1 > 0. Por lo que f **(x)> 0 si x " (!!,!1)0 (0,!)

y f **(x) < 0 si x " (!1,0). Luego, f es concava hacia arriba en (!!,!1)0 (0,!) \ {!2} y concavahacia abajo en (!1,0).

6. Notemos que f **(x) = 0 si y solo si x = 0. Es decir x = 0 es punto de inflexion.7. Por otra parte,

lımx,!1!

x(x+1)(x!2)2 =+!,

lımx,!1+

x(x+1)(x!2)2 =!!,

ylımx,2

x(x+1)(x!2)2 =+!.

Resumiendo,x (!!,!1) (!1,0) (0,2) (2,!)f + - + +f * < < < =f ** 0 6 0 0

Luego, el grafico de la funcion viene dado por

Ejemplo 3.94. Grafique la siguiente funcion

f (x) =2(x!2)

x2 .

116 3 La Derivada

Solucion.

1. El dominio de f viene dado por Dom( f )=R\{0}2. La funcon intercepta al eje x e el punto x = 2.3. La derivada de f viene dada por

f *(x) =!2(x!4)x3 .

El signo de esta puede obtenerse con la siguiente tabla,

(!!,0) (0,4) (4,!)x - + +

x!4 - - +!2 - - -f * - + -

De donde obtenemos que f es creciente en (0,4) y decreciente en el complemento.4. Notemos que f posee un maximo en x = 4.5. La segunda derivada de f viene dada por

f **(x) =4(x!6)

x4 .

El signo de esta puede obtenerse con la siguiente tabla,

(!!,0) (0,6) (6,!)f ** - - +

Luego f es concava hacia abajo en (!!,6)\{0} y concava hacia arriba en (6,!). Es decir, x = 6 es unpunto de inflexion.

6. Notemos ademas que

lımx,0!

2(x!2)x2 =!!,

y

lımx,0+

2(x!2)x2 =!!.

Resumiendo,

x (!!,0) (0,2) (2,4) (4,6) (6,!)f - - + + +f * = < < = =f ** 6 6 6 6 0

Luego, el grafico de la funcion es

3.8 Grafico de Curvas 117

Ejemplo 3.95. Graficarf (x) = x2/3(6! x)1/3.


f *(x) =4! x

x1/3(6! x)2/3 y f **(x) =!8

x4/3(6! x)5/3 .

Los valores crıticos de f son x =0 y x = 6 (la funcion f ** no esta definida para esos valores) y x = 4 puesf *(4) = 0. La siguiente tabla resume los signos de la primera y segunda derivadas:

x (!!,0) (0,4) (4,6) (6,!)f * -= +< -= -<f ** -6 -6 -6 +0

Notemos que f (0) = 0 es un mınimo local y f (4) es un maximo local. Ası el grafico de f viene dado por

118 3 La Derivada

Ejemplo 3.96. Grafique

f (x) =x3

x2 +1.

Solucion.

1. Dom( f )=(!!,0).2. (0,0) " Graf( f ).3. f (!x) =! f (x), por lo que f es impar (grafico simetrico con respecto al origen).4. x2 +1 )= 0 para todo x " Dom( f ) (no ay asıntota vertical).5.

f (x) =x3

x2 +1= x! x

x2 +1,

asıf (x)! x =! x

x2 +1,

por lo tantolımx,!

( f (x)! x) = 0.

Ası y = x es asıntota oblıcua.6.

f *(x) =x2(x2 +3)(x2 +1)2 ,

por lo que f * > 0 para todo x " R ( f *(0) = 0 pero no hay cambio de signo).7.

f **(x) =2x(3! x2)

(x2 +1)3 ,

donde f **(0) = 0 si y solo si x = 0 y x =±(

3.

3.9 Funciones continuas no diferenciables en ningun punto. 119

3.9. Funciones continuas no diferenciables en ningun punto.

En las secciones anteriores hemos probado que toda funcion diferenciable es continua y hemos exhibidoejemplos de funciones continuas que no son diferenciables. Hasta antes de 1850 la idea de que las funcionescontinuas eran diferenciables excepto, a lo mas, en un numero finito de puntos, estaba absoltamente exten-dida. Por ejemplo, en el texto de Calculo de J.L. Raabe, Die Differential-und Integralrechning, publicadoen 1839, la afirmacion anterior aperece como Teorema. En 1861 Reimann propuso la siguiente funcion comcontraejemplo

f (x) =!

"n=1

sen(n2x)n2 .

Afirmo que dicha funcion es continua en toda la recat real, sin embargo no es diferenciable en un conjuntoinfinito de puntos. En 1916 G.H. Hardy parobo que en cualquier intervalo esta funcion no es diferenciableen infinitos puntos. Sin embargo, es posible demostrar que esta funcion es efectivamente diferenciable eninfinitos puntos. En 1872 Karl Weiestrass probo que la funcion

f (x) =!

"n=0

bn cos(an&x),

donde a " N es impar, b " (0,1) y ab > 1+3&/2 es continua en toda la recta real y no es diferenciable enningun punto. Es posible demostrar que en un sentido preciso la mayorıa de las funcions continuas nos sondiferenciables en ningun punto. Las dos funciones aquı propuestas se definen utlizando series de funciones.En esta seccion presentamos una funcion continua que no es diferenciable en ningun punto y que podemosdefinir con la matematica desarrollada en este texto. El ejemplo es debido a Lui Wen y aparecio publicadoen el American Mathematical Monthly en 2000 [24].

Sea x " [0,1] y b " N un entero mayor que uno. La expansion en base b de x se define por

x = (x1x2x3, . . .) = lımk,!

k

"n=1

xn

bn ,

120 3 La Derivada

donde S = {0,1,2, . . . ,b! 1}. Sea ' > 1 una constante y $(t) una funcion que determinaremos mas ade-lante. Definimos

f (x) = lımk,!

un

' n ,

donde u1 = 1 y

un =

/un!1, si xn = xn!1;$(un!1) si xn )= xn!1

Como uk solo depende de los primeros k dıgitos de la expansion en base b de x. Exsite un conjunto nume-rable de puntos que posee dos expansiones en base b. para asegurarnos que la funcion f esta bien definidanecesitamos que

un +$(un)

' !1= u*n +

$(u*n)' !1

, (3.5)

donde un y u*n son los numeros que se obtienen con las distintas expansiones. Sea g(u) = u+ $(u)'!1 una forma

sencilla de aseguar que se tiene la igualdad en (3.5) es asumiendo g constante. Es decir,

$(u) := (1!' )(u! c).

Si xk!1 )= xk diremos que existe un cambio de dıgito en la posicion k-esima. Denotaremos por ,n(x) elnumero de cambios de dıgito en las n primeras posiciones. Tenemos entonces que

un = (!1),n(x)(' !1),n(x) + c,n(x)

"k=1

(!1)k!1(' !1)k =

(!1),n(x)(' !1),n(x) + c' !1

'

'1! (!1),n(x)(' !1),n(x)

(=

(!1),n(x)(' !1),n(x) ' ! c(' !1)'

+c(' !1)

'.

Como ,n(x)< n tenemos que

&&&un

' n

&&&# Mn(' ,c) =

/(1+ |c|)'!1

' + |c|' n , ' $ 2;

1+2|c|' n 1 < ' # 2.

Como ' > 1 tenemos que

lımk,!

k

"n=1

Mn(' ,c)< !. (3.6)

Por lo tanto la funcion f esta bien definida. Es claro de la ecuacion (3.6) que dado ! > 0 existe n " N talque

2 lımk,!

k

"i=n+1

Mi(' ,c)< !.

A continuacion probaremos que la funcion f es continua. Sea x " [0,1), en caso x posea dos expansionesescigeremos aquella con infinitos ceros. Sea

x1 = (x1 . . .xnddd . . .),

donde d = b!1. Entonces x1 > x y para x* " (x,x1) tenemos que

x* = (x1 . . .xnx*n+1 . . .x*n+k . . .)

y

3.9 Funciones continuas no diferenciables en ningun punto. 121

f (x*) =n

"k=1

k = 1n

+ lımj,!

j

"k=n+1

u*k' k .

Por lo tanto

| f (x*)! f (x)|# lımj,!

j

"k=n+1

|u*k !uk|' k # 2 lım

j,!

j

"k=n+1

Mk(' ,c)< !. (3.7)

Por lo tabto la funcion f es continua por la derecha. Un argumento similar muestra que la funcion escontinua por la izquierda para cada x " (0,1].

Asumiremos ahora que b $ 3. Si b/(b!1)< ' < b y c )= '/(' !1) entonces f (x) no posee derivadaslaterales finitas. Para probar esta afirmacion utilizaremos el siguiente Lema,

Lema 3.4. Si g : [0,1], R posee una derivada lateral por la derecha g*+(x0) = A en x0 " [0,1) entonces

para cada par de sucesiones (an),(bn) tales que ambas convergen a x0 con x0 # an < bn y tales que existe% > 0 de modo tal que

bn !an $ % (bn ! x0),

entonceslımn,!

g(bn)!g(an)

bn !an= A.

Probaremos ahora que la funcion f no es diferenciable. Sea x0 " [0,1) Sean

an = (x1 . . .xnd000 . . .)bn = (x1 . . .xndd000 . . .).

Entonces

x < an < bn bn ! x <1bn ;

1bn+2 # bn !an <

1bn+1 .

Luego

bn !an >bn ! x

b2 .

Tenemos entonces que

f (an) =n

"k=1

uk

' k +c

' n+1 ,

f (bn) =n

"k=1

uk

' k +u*n+1' n+1 +

c' n+2 .

Luego

f (bn)! f (an) ='(!1),n+1(an)(' !1),n+1(an)

( ' + c(' !1)' n+2 .

Como 0 # ,n+1(an)< n+2 tenemos que

| f (bn)! f (an)|bn !an

$/

b!1|' ! c(' !1)|(b(' !1)/' )n+2 , 1 < ' # 2;b!1|' ! c(' !1)|(b/' )n+2, ' $ 2.

Por lo tantolımsup

n,!

| f (bn)! f (an)|bn !an

= !.

122 3 La Derivada

Por lo tanto la funcion f no posee derivada derecha en ningun punto x0 " (0,1].

3.10. Ejercicios

Algunos de los siguientes ejercicios aparecen en los textos de Bressoud [3], Courant y John [7], Gelbaumy Olmsted [10], Hardy [11], Lima [14], Rudin [19], Shakarchi [21] y en el texto de la Universidad Catolicade Valparaıso [23].

1. Determine, en los puntos en que existen, las derivadas de las siguientes funciones

f (x) = |x|x, f (x) =+|x|, f (x) = logx 3, f (x) = logx(cosx).

2. Demuestre que la funcion definida por

f (x) =

/x2|cos(&/x)| si x )= 0,0 si x = 0.

no es diferenciable en los puntos xn = 2/(2n+ 1) donde n " Z, pero es diferenciable en x = 0 que eslımite de la sucesion (xn)n.

3. Suponga que las funciones f y g son diferenciables en el punto x = a. Determine

a)

lımx,a

x f (a)!a f (x)x!a

,

b)

lımx,a

f (x)g(a)! f (a)g(x)x!a

.

4. Sea f una funcion diferenciable en x = 0 con f *(0) )= 0. Determine

lımx,0

f (x)ex ! f (0)f (x)cosx! f (0)

.

5. Sea f una funcion diferenciable en x = a con f (a)> 0. Determine

lımx,a

#f (x)f (a)

$1/(lnx!lna)

.

6. Sea f una funcion diferenciable en x = 0 con f (0) = 0 y sea k " N. Determine el valor de

lımx,0

1x

'f (x)+ f

' x2

(+ f

' x3

(+ · · ·+ f

'xk

((.

7. Funciones hiperbolicas. La funcion coseno hiperbolico se define por

cosh(x) =ex + e!x

2,

y la funcion seno hiperbolico se define por

senh(x) =ex ! e!x

2.

Demuestre que cosh2 x! senh2 x = 1 y calcule las derivadas de ambas funciones.

3.10 Ejercicios 123

8. Calcule la derivada de las siguientes funciones

a)

f (x) = arccos(lnx), f (x) =

-

2x+.

2x+(

2x, f (x) =tan2x

1! cot3x.

b)

f (x) = sen

;-1! x1+ x

<3

, f (x) =sec(x2 senx

cosec(x2 +1), f (x) = sen(x3)arctanx2

.

c)f (x) = xxx

, f (x) = ex arcsenx, f (x) = ln'

cosarcsen32!x(.

d)

f (x) = (senx)cosx +(cosx)senx , f (x) = arctan.(

x+ arccosx

e)

f (x) =1

(sec2x!1)3/2 , f (x) = (lnx)(sen(ex)), f (x) = x5 cos(lnx2).

9. Sea f : R, R una funcion diferenciable y periodica, es decir, tal que existe A " R de modo que f (x+A) = f (x) para todo x " R. Demuestre que f * tambien es periodica.

10. Sea f : [a,b] , R diferenciable excepto quizas en c " (a,b) donde f es continua. Demuestre que sif *(x), L cuando x , c, entonces f *(c) = L.

11. Sea f : [a,b], R una funcion diferenciable con derivada continua y decreciente tal que f *(b) > 0. Seab0 = b. Demuestre que los numeros

bn = f!1 ) f (bn!1)! f *(bn!1)(bn!1 !a)*

estan bien definidos y son tales que a < bn < bn!1. Demuestre que la sucesion { f (bn)}n converge alpunto x = a (ver Evans [9]).

12. Sea f : R , R la funcion definida por f (x) = x|x|, demuestre que es derivable en todo R y calcule suderivada.

13. Sean f ,g : [a,b],R dos funciones diferenciables. Determine la derivada de f g utilizando en el teoremadel valor medio (sin utilizar el logaritmo). Ver [25].

14. El siguiente ejercicio fue propuesto por Longley [15] en 1937. Sea a > 0 y " " (0,&). Definimos

b =asen"

1+ sen"c =

asen"cos2 "

.

La funcion f : (0,!) se define por partes,

f (r) =

ABC

BD

43 &r3 si 0 < r # b,

&3sen3 " (r(sen" !1)+asen")2 (r(2sen" +1)!asen") si b < x # c,&3 (2r3 ! (2r2 +a2 tan2 ")

(r2 !a2 tan2 ") si c < x.

Demuestre que la funcion f es diferenciable en todo su dominio y que su derivada es continua, sinembargo su segunda derivada posee discontinuidades.

15. Sean f ,g,h : R,R tres funciones diferenciables tales que g = f ·h. Demuestre que la n!esima derivadade g viene dada por

g(n) = h(n) f +'n

1

(h(n!1) f *+

'n2

(h(n!2) f **+ · · ·+h f (n).

124 3 La Derivada

A partir de este resultado, deducir una formula general para la n!esima derivada del cuociente f = g/h.Ver el artıculo de Ivanov [13].

16. En el ejercicio anterior se pide probar la regla de Leibniz para la n!esima derivad de un producto dedos funciones. Determine una formula anaologa para el producto de n! funciones diferenciables. Ver elartıculo de Mazkewitsch [16].

17. Construya una funcion diferenciable f : R , R tal que para todo numero racional r " Q se tiene quef (r) "Q es racional y f *(r) /"Q es irracional. (ver [20] y las referencias que ahı aparecen).

18. Sea f : R " R definida por f (x) = x2. Dados x,y " R calcule explıcitamente el punto que satisface elteorema del valor medio, es decir, determine c " (x,y) tal que

f (x)! f (y)x! y

= f *(c).

19. Calcule la derivada Schwarziana (ver ejemplo 3.62) de f (x) = 'x(1! x).20. Sean f : [a,b], R y sea S f su derivada Schwarziana (ver ejemplo 3.62). Demuestre que si S f (x) < 0

para todo x " [a,b] entonces | f *(x)| no alcanza su mınimo en (a,b).21. Sea f : [a,b], [a,b] una funcion tres veces diferenciable. Demuestre que la derivada Schwarziana de f ,

definida por S( f ) en el ejemplo 3.62, tiene signo opuesto de (1/+

| f *|)**.22. Sea f : [a,b], [a,b] una funcion tres veces diferenciable tal que S f (x) < 0 para todo x " [a,b] (donde

S( f ) esta definida como en el ejemplo 3.62). Demuestre que si f posee un numero finito de puntoscrıticos (es decir, de puntos donde se anula la derivada) entonces f posee un numero finito de puntosperiodicos. El resultado anterior es conocido como Teorema de Singer (1978). Una demostracion puedeencontrarse en [22, p.69].

23. Sea p(x) = ax3 +bx2 + cx+d. Estudie la convergencia del metodo de Newton-Raphson, Np.24. Sea

f (x) =

/e!1/x2 si x )= 0;0 si x = 0.

Demuestre que la n-esima derivada de f en x = 0 es nula.25. Sean f ,g : I , R funciones dos veces diferenciables tales que f (a) = g(a), f *(a) = g*(a). Demuestre

que si para todo x " I se tiene f (x)$ g(x) entonces f **(a)$ g**(a).26. Construya, si existe, una funcion f (x) infinitamente diferenciable, distinta a la exponencial, ex, tal que

f (0) = 1 y para todo n $ 1 se tiene que f (n)(0) = 1.27. Sea f : R, R una funcion tal que para todo x,y " R se tiene que

| f (x)! f (y)|# (x! y)2.

Pruebe que f es constante.28. Sea f : (0,!), R una funcion dos veces diferenciable. Suponga que la segunda derivada es acotada y

quelımx,!

f (x) = 0,

demuestre quelımx,!

f *(x) = 0.

29. Demuestre que la siguiente funcion positiva en el intervalo unitario y nula fuera de el es infinitamentediferenciable

f (x) =

/e!1/(x2(1!x)2 si x " (0,1)0 caso contrario.

30. Sea f una funcion diferenciable con derivada acotada (es decir, existe M > 0 tal que para todo x " Rse tiene que | f *(x)| # M). Fije ! > 0 y defina g(x) = x+ ! f (x). Demuestre que g es inyectiva para !suficientemente cercano a cero.

31. Supongamos que f es una funcion diferenciable para todo x > 0 tal que

3.10 Ejercicios 125

lımx,!

f *(x) = 0.

Sea g(x) = f (x+1)! f (x). Demuestre que

lımx,!

g(x) = 0.

32. Sea f : (a,!), R una funcion dos veces diferenciable tales que

sup | f (x)|= M1 , sup | f *(x)|= M2 , sup | f **(x)|= M3.

Demuestre queM2

2 # 4M1M3.

33. Derivando verifique que si x " (0,&/2) entonces

arcsenx+ arccosx

es constante.34. Dietermine maximos y mınimos de la funcion

p(x)q(x)

=(x!1)2(3x2 !2x!37)(x+5)2(3x2 !14x!1)

.

Para resolver este problema puede ser util estudiar p*q! pq*.35. Si

f (x) =1

senx! sena! seca

x!a,

demuestre qued

da

'lımx,a

f (x)(! lım

x,af *(x) =

34

sec3 a! 512

seca.

36. Graficando las siguientes funciones, determine el numero de raıces reales de los polinomios

a) p(x) = 3x4 !8x3 +6x2 !5,b) q(x) = x3 +2x2 +1.

37. Sean a,b " R con a )= b. Definimos f (x) = (x!a)m(x!b)n. Demuestre que existe c " R tal que

mn=

c!ab! c

.

38. Determinar las asıntotas de

f (x) =x2 !4x+1

.

39. Grafique la funcion f (x) = 2!+|x!3|.

40. Demuestre que si x > 3 entonces

e3(x!3)< ex ! e3 < ex(x!3).

41. Demuestre que si x > 0 entoncesx

1+ x2 < arctanx < x.

42. Determine los maximos y mınimos (si existen) de las siguintes funciones

f (x) =10

1+ sen2 xy g(x) = |x|e!|x!1|.

126 3 La Derivada

43. Determine el mınimo de la funcion f : (!1,!), R definida por

1x3 +1

+ ln(x3 +1).

44. Grafique las siguientes funciones

a) f (x) = 5x3 +2x2 !5x+7 , g(x) = x2+x!6x2!6x+9 .

b) f (x) = senxx , g(x) = 4!

+|2x!1|.


a) lımx,0+(cotgx)senx , lımx,0+(1/x)ln(x+1),b) lımx,0+

(x ln(ln(1/x)) lımx,! | lnx|ln(1!1/x).

46. Utilizando la expansion en serie de Taylor del numero e, pruebe que es irracional.47. Demuestre que existe c " (a,b) tal que

cotc =senb! senacosa! cosb

.

48. Determine maximos y mınimos de f (1,!), R definida por f (x) = xx.49. Sea f : (a,b), R una funcion dos veces diferenciable tal que f *(a) = f *(b) = 0. Demuestre que existe

c " (a,b) tal que

| f **(c)|$ 4(b!a)2 ( f (b)! f (a)) .

50. Sea f : [0,!), R una funcion diferenciable tal que lımx,! f *(x) = L. Demuestra que

lımx,!

f (x)x

= L,

y para cada c > 0lımx,!

( f (x+ c)! f (x)) = cL.

51. Sea {a1,a2, . . . ,an}% R. Determine el mınimo de la funcion f : R, R definida por

f (x) =n

"i=1

(ai ! x).

52. Sea f (x) = x5

1+x6 calcule la derivada de orden 2001 en el punto x = 0.53. Demuestre que si f : [a,b],R es una funcion continua, diferenciable en (a,b) y tal que f (a) = f (b) = 0.

Entonces, para todo " " R existe x " (a,b) tal que

" f (x)+ f *(x) = 0.

54. Sea P(x) un polinomio de grado al menos dos cuyas raıces son reales y distintas. Pruebe que todas lasraıces de P*(x) son reales.

55. Construya una funcion f : R , R tal que para todo r " Q se tiene que f (r) " Q, pero f *(r) /" Q. W.Knight cosntruyo el primer ejemplo de este tipo de functiones, ver el trabajo de Rudin [20] donde seestudia un problema similar.

56. El siguiente ejemplo fue considerado por Cohen en [6]. Sea f : R,R una funcion real y g : R,R unafuncion creciente. Definamos

d fdg

:= lımh,0

f (x+h)! f (x)g(x+h)!g(x)

.

3.10 Ejercicios 127

Si g(x) = x recuperamos la defincion clasica de derivada. Determine funciones crecientes f y g de modoque para x = 0 se tiene que

lımh,0+


= ! y lımh,0!


=12.

57. Sea f : R, R una funcion diferenciable. Diremos que el punto x0 " R es un cero denso de f , si paratodo ! > 0 el conjunto (x0 ! !,x0 + !)\{x0} contiene un cero de la funcion f .

a) Construya una funcion f que posea un cero denso.b) Suponga que la segunda derivada de f es continua. Demuestre que en tal caso si x0 " R es un cero

denso de f entonces x0 " R es un cero denso de f *(x).

El resultado anterior fue probado por Creighton en [8].58. Siguiendo la sugerencia de L. Bers [2] demuestre esta version del Teorema del Valor Medio. Si f :

[a,b] , R es una funcion icontinua y diferenciable en (a,b) con derivada continua, entonces existec " (a,b) tal que

f *(c) =f (b)! f (a)

b!a.

59. Determine maximos y mınimos de la funcion f (x) = e!1/x2 .60. Grafique la funcion

f (x) =

/e!1/x2 sen(1/x) si x )= 0,0 si x = 0.

61. Sea f : R, R una funcion diferenciable tal que para todo x " R se tiene

f *(x) =!2x f (x).

Demuestre que existe una constante C " R tal que f (x) =!2x f (x).62. Sea n " N y f0, . . . , fn polinomios tales que para x " R suficientemente grande se tiene que

fn(x)enx + fn!1(x)e(n!1)x + · · ·+ f0(x) = 0.

Demuestre que los polinomios f0, . . . , fn son identicamente nulos.63. Sean f ,g,h : (0,1) , R funciones tales que para todo x " (0,1) se tiene que f (x) # h(x) # g(x). Si

f y g son diferenciables en el punto a " (0,1) con f (a) = g(a) y f *(a) = g*(a), demuestre que h esdiferenciable en x = a con h*(a) = f *(a).

64. Sea f : [!a,a],R. La funcion f se dice par si para todo x " [!a,a] se tiene que f (!x) = f (x) e imparsi para todo x " [!a,a] se tiene que f (!x) =! f (x).

a) De ejemplos de funciones pares e impares.b) Suponga que f es infinitamente diferenciable. Si f es par entinces todas sus derivadas de orden par

son funciones pares y todas sus derivadas de orden impar son funciones impares.

65. Sean f y g dos funciones diferenciables en el punto x = a.66. Determine si el producto y la suma de funciones concavas hacia arriba es concavas hacia arriba.67. Sea f : [a,b],R una funcion concava hacia arriba tal que f (a)< 0 < f (b). Pruebe que existe un unico

c " (a,b) tal que f (c) = 0.68. Una funcion f : [!b,b], [!b,b] es super-aditiva si para todo x,y " [!b,b] se tiene que f (x)+ f (y)#

f (x+ y). Demuestre que si f es una funcion convexa tal que f (0)# 0 entonces es super-aditiva.69. Pruebe que p(x) = x3 +2x+5 es estrictamente creciente. Calcule la derivada de la funcion inversa en el

punto p(!2).70. Resuelva los siguientes problemas, que corresponden a un caso especıfico de la regla de Leibniz.

a) Demuestre que la segunda derivada del producto de f con g en el punto x = a es tal que

128 3 La Derivada

( f g)**(a) = f **(a)g(a)+2 f *(a)g*(a)+ f (a)g**(a).

b) Sean f (x) = sin(x) y g(x) = cos(x). Demuestre que

(senxcosx)**=!2sen(2x).

71. Los siguientes polinomios representan los polinomios de Taylor de orden 3 en torno a x = 0 de lasfunciones f y g:

p f (x) = 1+2x! x2 +4x3 ; pg(x) = x! x2 +2x3 .

a) Determine el polinomio de Taylor de orden 3 en torno al origen de f (x)g(x) y de f (g(x)).b) Calcule

lımx,0

f (x)!1!2xg(x)! x

.

72. Sea f :R,R una funcion derivable, positiva y creciente y sea g :R,R una funcion derivable, negativay decreciente. Pruebe que la funcion h : R, R, definida por

h(x) =f (g(x))

g(x),

es creciente.73. Sea f (x) = ex senx. Determine el polinomio de Taylor de f de grado cuatro alrededor del punto x = 0.74. Sea n " N, n > 0. Considere la funcion

f (x) =(x+n)2

x.

a) Determine los intervalos de crecimiento (y decrecimiento) de f .b) Determine los maximos y mınimos de f .

75. Sea

f (x) =

AC

D

x2 sen) 1

x*

sen(x)si x )= 0

0 si x = 0

Demuestre que f es contınua en x = 0 y determine si es derivable en este punto.

76. Sea n " N. Calcule la derivada con respecto a x de y(x) = arctan#

ex

xn

$.

77. Sea f (x) = x5 + x3 + x+1. Demuestre que f tiene exactamente una raız real.78. Sea f : [a,b], R una funcion continua en [a,b] y derivable en (a,b) que satisface f (a) = a, f (b) = b y

| f *(x)|< 1. Demuestre que f (x) = x.79. Sea f : R, R una funcion diferenciable. Estudie la diferenciabilidad de la funcion g(x) := | f (x)|.80. Sea f (x) derivable en (0,!) tal que

f (2x) = 2 f (x),

Demuestre que para todo x " (0,!) existe c > x tal que

f *(c) =f (x)

x.

81. Seaf (x) =

!(x+2)2 +1 si x # 03x3 +7x+5 si x > 0

Demuestre que la funcion no tiene rectas tangentes paralelas a la recta y = 4x.

3.10 Ejercicios 129

82. Sea f : [a,b] , R una funcion continua en [a,b] y dos veces derivable en (a,b) que satisface f (a) =f (b) = 0 y f (c)> 0 para algun a < c < b. Demuestre que existe . " (a,b) tal que

f **(. )< 0.

83. Sea f la funcion definida por:f (x) = e3x!3x2!sin(x!x2) ,

para todo x " R. Mostrar que su derivada tiene un cero en el intervalo [0,1].84. Sea f una funcion diferenciable en (!!,!) tal que

x2 f (x)+f (x)3

3= 9.

Verifique que la funcion f posee un unico mınimo.85. Sea g la funcion definida por:

g(x) =|sinx|(x2 !1

.

Determine los puntos donde g es derivable y calcule la derivada en esos puntos.86. Demuestre que si g : [0,1] , R posee una derivada lateral por la derecha g

*+(x0) = A en x0 " [0,1)

entonces para cada par de sucesiones (an),(bn) tales que ambas convergen a x0 con x0 # an < bn y talesque existe % > 0 de modo tal que

bn !an $ % (bn ! x0),

entonceslımn,!

g(bn)!g(an)

bn !an= A.

87. Formule y pruebe un criterio que involucre derivadas de orden supeiror para determinar si un punto esde inflexion. Este criterio debe permitirle determinar que x = 0 es un punto de inflexion de f (x) = x2n+1

para todo n " N.88. Demuestre el teorema del valor medio generalizado. Sean f ,g : [a,b],R dosn funciones diferenciables

tales que g es creciente. Demuestre que existe c " [a,b] tal que

f (b)! f (a)g(b)!g(a)

=f (c)g(c)

.

89. De un ejempo de una funcion f y un intervalo [a,b], de modo que f sea continua en [a,b], diferenciableen todo el intervalo (a,b) con la excpecion de un punto y tal que no existe c " (a,b) de modo que

f (a)! f (b)a!b

= f *(c).

90. Demuestre la que derivada del area de un cırculo con respecto al radio es igual al perimetro del cırculo.91. (Funciones convexas). Sea f : [a,b] ., R una funcion convexa.

a) Demuestre que para todo x " (a,b) las derivadas laterales existen.b) Demuestre que las funciones x , f *+(x) y x , f *!(x) son crecientes.c) Sean a # x < y # b, demuestre que

f *+(x)#f (y)! f (x)

y! x# f *!(y).

d) Para todo x " (a,b) se tiene que f *!(x)# f *+(x).

92. Demuestre que toda funcion convexa no es diferenciable en a lo mas un conjunto numerable de puntos.

130 3 La Derivada

93. Sea f : R, R una funcion convexa tal que sup{| f *(x)| : x " R}< !. Demuestre que

lımx,!

f (x)x

= sup{ f *(x) : x " R}.

Referencias

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McGraw-Hill Book Co., New York-Auckland-Dusseldorf, 1976. x+342 pp20. Rudin, W. Restrictions on the Values of Derivatives The American Mathematical Monthly, Vol. 84, No. 9 (1977), pp.

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p. 427

Capıtulo 4La Integral

4.1. La integral de Riemann

La idea de integracion es de las mas antiguas en calculo y analisis, Arquımides (287! 212 AC) utilizabauna tecnica para calcular areas que en lenguaje moderno podrıa entenderse como integracion. La nocionde intregral historicamente ha estado ligada al calculo de areas. La idea basica ha sido siempre la misma,para evaluar el area la dividimos en rectangulos o polıgonos de area conocida. Si considermos polıgonoscada vez de menor area y por lo tanto un mayor numero de ellos la aproximacion mejora. Finalmente algunargumento que involucre un lımite se utiliza para obtener el resultado exacto. Esta idea fue utilizada no solopor Arquımides sino tambın por Lui Hui (siglo tercero), ibn al-Haytham (965-1039), Kepler (1571-1630),entre otros. Si f : [a,b] , R una funcion no negativa podemos considerar el conjunto A = {(x,y) " R2 :a # x # b, 0 # y # f (x)}

Para determinar el area del conjunto A podemos considerar las siguientes aproximaciones por polıgonosinscritos en A o bien por polıgonos que contienen al conjunto A,

areai(A) = sup{area(P) : P polıgono tal que P % A},

o bienareae(A) = sup{area(P) : P polıgono tal que A % P}.

Newton en Mathematical principles of natural philosophy utiliza el metodo recien mencionado, restringirnuestro estudio a una clase particular de polıgonos, a saber, polıgonos rectangulares.

131

132 4 La Integral

Para calcular el area bajo la curva Newton propone subdividir el dominio [a,b] en intervalos del mismolargo. Sobre cada uno de estos intervalos contruye dos rectangulos. Uno cuya altura corresponde al maximode la funcion en dicho intervalo y otro cuya altura corresponde al mınimo. El area bajo la curva esta acotadapor la suma de las areas de los rectangulos inscritos y la de los circunscritos. A medida que el largo de losintervalos se aporxima a cero, en principio obtenemos el area buscada. Leibniz, considerando una defincionde area bajo la curva en el mismo espıritu que Newton introdujo la actual notacion de integral

Kf (x) dx,

DondeL

simboliza la S de suma y f (x)dx representa el producto del largo del intervalo dx y el valor dela funcion en dicho intervalo f (x). Es decir, la integral corresponderıa a la suma de productos. Siguiendocon la misma linea de pensamiento Cauchy definio una nocion de integral similar a la que presentaremosen este capıtulo.

Bernard Riemann (1826-1866), estudiante de Gauss, en tu tesis de Habilitacion definio lo que hoy co-nocemos como integral de Riemann. Su tesis fue publicada en 1868, luego de su muerte. En este capıtuloestudiaremos esta definicion y sus consecuencias. Comenzaremos, sin embargo, estudiando una definicionsimilar formulada por Gaston Darboux (1842-1917), inspirada en el trabajo de Riemann.

4.1.1. Sumas de Darboux

En esta seccion estudiaremos la defincion de integral propuesta por Darboux.

Definicion 4.1. Una particion del intervalo [a,b] es un subconjunto finito P % [a,b] tal que a " P yb " P . Escribiremos P = {t0, t1, t2, . . . , tn} donde a = t0 < t1 < .. . < tn!1 < tn = b. Los intervalos [ti!1, ti],i " {1, . . . ,n} son llamados intervalos de la particion.

Consideremos ahora una funcion acotada f : [a,b] , R, es decir, tal que existen m,M " R de modo quepara todo x " [a,b] se tiene

m # f (x)# M.

Notemos que esta hipotesis sobre la funcion a considerar es notablemente mas debil que las utilizadas enlas secciones anteriores. Ni si quiera asumimos que la funcion sea continua.

Definicion 4.2. Sea f : [a,b], R una funcion acotada y P una particion de [a,b], definimos

mi := ınf{ f (x) : x " [ti!1, ti]} y Mi := sup{ f (x) : x " [ti!1, ti]}.

4.1 La integral de Riemann 133

Definicion 4.3. Sea f : [a,b], R una funcion acotada y P una particion de [a,b]. La suma superior de fcon respecto a P , se define por

S( f ,P) := M1(t1 ! t0)+ . . .+Mn(tn ! tn!1) =n

"i=1

Mi(ti ! ti!1).

Del mismo modo, la suma inferior de f con respecto a P se define por

s( f ,P) = m1(t1 ! t0)+ . . .+mn(tn ! tn!1) =n

"i=1

mi(ti ! ti!1).

Ejemplo 4.1. Sea f : [0,1], R, la funcion definida por f (x) = x2. Sea P = {0,1/3,2/3,1} un particiondel intervalo [0,1]. Entonces

s( f ,P) = 0(1/3!0)+1/9(2/3!1/3)+4/9(1!2/3),

yS( f ,P) = 1/3(1/3!0)+4/9(2/3!1/3)+1(1!2/3).

Observacion 4.1. Sean m = ınf f y M = sup f entonces

m(b!a)# s( f ,P)# S( f ,P)# M(b!a).

Observacion 4.2. Cuando la funcion f es positiva, podemos interpretar las sumas s( f ,P) y S( f ,P) comoareas de polıgonos inscritas y circunscritas al grafico de f .

Definicion 4.4. Sean P y Q dos particiones de [a,b]. Diremos que la particion Q es mas fina que P siP % Q.

Teorema 4.1. Sean f : [a,b],R una funcion acotada y P,Q dos particiones de [a,b] tales que Q es masfina que P . Entonces

s( f ,P)# s( f ,Q) y S( f ,Q)# S( f ,P).

134 4 La Integral

Demostracion. Sea P = {t0, t1, . . . , tn} un particion de [a,b]. Como P % Q tenemos que la particion Qposee al menos un punto mas que P . Es decir, existe r " [a,b] con ti!1 < r < ti, tal que r "Q. Supongamosen primer lugar que Q = {t0, t1, . . . , ti,r, ti+1 . . . , tn}. Sean

mi := ınf{ f (x) : x " [ti!1, ti]} , m*i := ınf{ f (x) : x " [ti!1,r]}} y m**

i := ınf{ f (x) : x " [r, ti]}.

Notemos que mi # m*i y mi # m**

i . Como ti ! ti!1 = (ti ! r)+(r! ti!1), tenemos que

s( f ,Q)! s( f ,P) = m**(ti ! r)+m*(r! ti!1)!mi(ti ! ti!1) =

(m** !mi)(ti ! r)+(m* !mi)(r! ti!1)$ 0.

Luegos( f ,P)# s( f ,Q).

El caso general claramente se deduce de la observacion anterior. En efecto, si la particionQ contiene mpuntos mas que la particion P , basta repetir m veces el argumento anterior, agreandole a P cada vez unnuevo punto.

La desigualdad S( f ,Q)# S( f ,P) se deduce de manera analoga. &'

Corolario 4.1. Sea f : [a,b],R una funcion acotada y sean P,Q particiones arbitrarias de [a,b], enton-ces s( f ,P)# S( f ,Q).

Demostracion. Notemos que la particion P 0Q es mas fina que la particion P y es mas fina que laparticion Q, luego

s( f ,P)# s( f ,P 0Q)# S( f ,P 0Q)# S( f ,Q).

Ejemplo 4.2. Sea f : [0,1], R la funcion definida por

f (x) =

/0 si x " [0,1]6Q;1 si x " [0,1]6Qc.

Sea P = {0,1/2,1}, entoncess( f ,P) = 0 y S( f ,P) = 1.

Ya que hay tanto numeros racionales como irracionales en los intervalos [0,1/2] y [1/2,1]. Notemos queeste argumento es valido para cualquier particion P , es decir para toda particion tenemos que s( f ,P) = 0y S( f ,P) = 1.

Ejemplo 4.3. Sea f : [a,b] , R la funcion definida por f (x) = x. Sea h = (b! a)/n y consideremos laparticion en intervalos de igual largo definida por P = {a,a+h,a+2h, . . . ,a+(n!1)h,b}. Notemos queMi = a+ ih, luego

S( f ,P) = (a+h)h+(a+2h)h+ . . .(a+nh)h = nah+(1+2+3+ · · ·+n)h2 = nah+n(n+1)

2h2.

Reemplazando h = (b!a)/n obtenemos

S( f ,P) = a(b!a)+12

#1+

1n

$(b!a)2.

Si denotamos por Pn la particion de [a,b] definida por Pn = {a,a+h,a+2h, . . . ,a+(n!1)h,b} obtene-mos cuando el largo de los intervalos tiende a cero que

lımn,!

S( f ,Pn) =b2 !a2

2.


Ejemplo 4.4. Sean a > 0 y f : [a,b], R la funcion definida por f (x) = x2. Sea h = (b!a)/n donde

P = {a,a+h,a+2h, . . . ,a+(n!1)h,b}

es la misma particion que utilizamos en el ejemplo 4.3. Notemos que Mi = (a+ ih)2, luego

S( f ,P) = (a+h)2h+(a+2h)2h+ · · ·+(a+nh)2h =

na2h+2ah2(1+2+3+ · · ·+n)+h3(12 +22 +32 + . . .n2) = na2h+ahn(n+1)+n(n+1)(2n+1)

6h3 =

a2(b!a)+#

1+1n

$a(b!a)2 +

16

#1+

1n

$#2+

1n

$(b!a)3

Si denotamos por Pn la particion de [a,b] definida por Pn = {a,a+h,a+2h, . . . ,a+(n!1)h,b} obtene-mos cuando el largo de los intervalos tiende a cero que

lımn,!

S( f ,Pn) =b3 !a3

3.

4.1.2. La integral superior y la integral inferior

Inspirado por el trabajo de Darboux, en 1881 Vito Volterra definio las nociones de integral superior einferior. Estas integrales estan bien definidas para cualquier funcion acotada.

Definicion 4.5. Sea f : [a,b] , R una funcion acotada. La integral inferior de f se define porK

a

bf (x)dx := sup{s( f ,P) : P particion de [a,b]} ,

y la integral superior se f por

K b

af (x)dx := ınf{S( f ,P) : P particion de [a,b]} .

Notemos que en virtud del Corlario 4.1 tenemos que ambas integrales estan bien definidas. En efecto, elconjunto {s( f ,P) : P particion de [a,b]} esta acotado superiormente por S( f ,Q) para cualquier particionQ de [a,b]. Del mismo modo el conjunto {S( f ,P) : P particion de [a,b]} esta acotado inferiormente porcualquier suma inferior. Las siguientes propiedades se deducen de manera inmediata de la definicion. Seaf : [a,b], R una funcion acotada entonces,

1. Para cualquier particion P de [a,b] se tiene que s( f ,P)#K b

af (x)dx.

2. Para todo ! > 0, existe una particion P de [a,b] tal queK b

af (x)dx! ! < s( f ,P).

3. Para cualquier particion P de [a,b] se tiene queK b

af (x)dx # S( f ,P).

4. Para todo ! > 0, existe una particion P en [a,b] tal que

S( f ,P)<K b

af (x)dx+ !.

136 4 La Integral

5. Si m # f (x)# M, entonces

m(b!a)#K b

af (x)dx #

K b

af (x)dx # M(b!a).

Ejemplo 4.5. Sea f : [0,1], R la funcion definida por

f (x) =

/0 si x " [0,1]6Q;1 si x " [0,1]6Qc.

En virtud de los resultados obtenidos en el Ejemplo 4.2 tenemos que

K b

af (x)dx = 0 y

K b

af (x)dx = 1.

Ejemplo 4.6. Sea f : [a,b], R una constante f (x) = c, entonces

K b

af (x)dx =

K b

af (x)dx = c(b!a).

El siguiente resultado simplifica el calculo de las integrales superiores e inferiores en el caso de funcionesconstantes en intervalos.

Teorema 4.2. Sea f : [a,b] , R una funcion acotada y c " (a,b), entonces

K b

af (x)dx =

K c

af (x)dx+

K b

cf (x)dx,

K b

af (x)dx =

K c

af (x)dx+

K b

cf (x)dx.

Demostracion. Recordemos que si A,A*,B,B* son conjuntos acotados tales que A* % A y B* % B tenemosque la siguiente propiedad: Si para todo a " A y cada b " B, existe a* " A*, b* " B* tales que a # a*, b* # bentonces

supA* = supA y ınfB* = ınfB.

Sea P una particion de [a,b] y consideramos la particion P * = P 0{c}, entonces por el Teorema 4.1

s( f ,P)# s( f ,P*) y S( f ,P*)# S( f ,P).

En virtud de la propiedad de supremos e ınfimos recordada tenemos queK b

af (x)dx = sup{s( f ,P) : P particion de [a,b]}= sup{s( f ,P) : P particion de [a,b] tal que c " P} ,

K b

af (x)dx = ınf{S( f ,P) : P particion de [a,b]}= ınf{S( f ,P) : P particion de [a,b] tal que c " P} .

Hemos probado que tanto la integral inferior como la superior pueden calcularse considerando particionesque contienen un punto pre fijado. Recordemos ahora que dados A,B conjuntos no vacıos y acotados,tenemos que si A+B := {a+b : a " A, b " B}, entonces

ınf(A+B) = ınfA+ ınfB y sup(A+B) = supA+ supB.

Luego,


K b

af (x)dx = sup{s( f ,P) : P particion de [a,b] tal que c " P}=

sup{s( f ,P!)+ s( f ,P+) : P! particion de [a,c] yP+ particion de [c,b]}=

sup{s( f ,P) : P particion de [a,c]}+ sup{s( f ,P) : P particion de [c,b]}=K c

af (x)dx+

K b

cf (x)dx

Del mismo modo,

K b

af (x)dx = ınf{S( f ,P) : P particion de [a,b] tal que c " P}=

ınf{S( f ,P!)+S( f ,P+) : P! particion de [a,c] yP+ particion de [c,b]}=

ınf{S( f ,P) : P particion de [a,c]}+ ınf{S( f ,P) : P particion de [c,b]}=K c

af (x)dx+

K b

cf (x)dx

&'

Ejemplo 4.7. Sea f : [0,1], R definida por

f (x) =

AC

D

1 si x " [0,1/2);5 si x = 1/2;1 si x " (1/2,1].

Determine K 1

0f (x)dx y

K 1

0f (x)dx.

Solucion. Sea ! > 0 y consideremos la particion de [0,1] dada por P = {0,1/2 ! !/2,1/2 + !/2,1}.Tenemos que

s( f ,P) = 1 ·#

12! !

2

$+1 · ! +1 ·

#1! 1

2! !

2

$= 1.

Si Q es una particion de [0,1] tal que 1/2 " Q un calculo similar al anterior muestra que s( f ,Q) = 1, asıK 1

0f (x)dx = 1.

Por otra parte

S( f ,P) = 1 ·#

12! !

2

$+5 · ! +1 ·

#1! 1

2! !

2

$= 1+4!.

Ası, para cada particion Q conteniendo a 1/2 tenemos que

1 =K 1

0f (x)dx # S( f ,Q) = 1+4!.

Como el valor de ! es arbitrario tenemos que

ınf{S( f ,Q) : P particion de [0,1]}= 1.

Por lo tanto K 1

0f (x)dx = 1.

138 4 La Integral

Un calculo similar al desarrollado en el ejemplo anterior nos permite deducir que

Ejemplo 4.8. Sea f : [0,1],R tal que f (x) = c excepto en el conjunto {r0, . . . ,rn}% [0,1], donde f asumeotros valores. Entonces K 1

0f (x)dx =

K 1

0f (x)dx = c.

Ejemplo 4.9. Diremos que una funcion f : [a,b] , R es una funcion escalonada si existe una particionP = {t0, . . . , tn} de [a,b] y {c1,c2, . . . ,cn} % R tal que f |(ti!1,ti) = ci. Ası, si f : [a,b] , R es una funcionescalonada tenemos que la integral superior e inferior coinciden. Es mas en virtud del Teorema 4.2 esposible calcular su valor,

K b

af (x)dx =

K b

af (x)dx =

n

"i=1

ci(ti ! ti!1).

Teorema 4.3. Sean f ,g : [a,b], R funciones acotadas. Entonces

1. las siguientes desigualdades se satisfacen,

K b

af (x)dx+

K b

ag(x)dx #

K b

a( f (x)+g(x))dx #

K b

a( f (x)+g(x))dx #

K b

af (x)dx+

K b

ag(x)dx.

2. Si c > 0, entonces

K b

ac f (x)dx = c

K b

af (x)dx y

K b

ac f (x)dx = c

K b

af (x)dx.

Si c < 0, entonces

K b

ac f (x)dx = c

K b

af (x)dx y

K b

a! f (x)dx =!

K b

af (x)dx.

3. Si f (x)# g(x), entonces

K b

af (x)dx #

K b

ag(x)dx y

K b

af (x)dx #

K b

ag(x)dx

Demostracion.

1. Comenzaremos demostrando el item (1). Notemos que la segunda desigualdad es conocida. Recordemosque ınf( f +g)$ ınf f + ınfg, por lo tanto mi( f +g)$ mi( f )+mi(g). Luego

s( f ,P)+ s(g,P)#K b

a( f (x)+g(x))dx.

En general dadas dos particiones P y Q de [a,b] tenemos que

s( f ,P)+ s( f ,Q)# s( f ,P 0Q)+ s(g,P 0Q)#K b

a( f (x)+g(x))dx.

Por lo tanto K b

af (x)dx+

K b

ag(x)dx #

K b

a( f (x)+g(x))dx.

El caso de las sumas superiores se obtiene de manera analoga notando que sup( f +g)# sup f + supg.2. La demostracin del segundo item se deduce de la siguiente propiedad. Sea c"R y A un conjunto acotado,

definimos cA := {cx : x " A}. Si c > 0 entonces sup(cA) = csupA y ınf(cA) = c ınfA. Si c < 0 entonces

4.2 Funciones Integrables 139

sup(cA) = c ınfA y ınf(cA) = csupA. Luego, si c > 0 entonces mi(c f ) = cmi( f ) y Mi(c f ) = cMi( f ), ysi c < 0 entonces mi(c f ) = cMi( f ) y Mi(c f ) = cmi( f ).

3. Finalmente la demostracion del item (3) se obtiene notando que si para odo x " [a,b] se tienen f (x) #g(x) entonces mi( f )# mi(g) y Mi( f )# Mi(g). Luego si P es una paraticion de [a,b] tenemos que

s( f ,P)# s(g,P) y S( f ,P)# S(g,P).

Corolario 4.2. Sea f : [a,b] , R una funcion acotada tal que para todo x " [a,b] se tiene que f (x) $ 0entonces K b

af (x)dx $ 0.

4.2. Funciones Integrables

La siguiente definicion de funcion integrable fue propuesta por G. Darboux basandose en una definicionsimilar propuesta anteriormente por B. Riemann.

Definicion 4.6. Una funcion acotada f : [a,b], R es integrable si

K b

af (x)dx =

K b

af (x)dx.

En tal caso anotaremos,K b

af (x)dx =

K b

af (x)dx =

K b

af (x)dx.

Ejemplo 4.10.

1. La funcion constante f : [a,b], R definida por f (x) = c es integrable yK b

af (x)dx = c(b!a).

2. Las funciones escalonadas f : [a,b], R son integrables con

K b

af (x)dx =

n

"i=1

ci(ti ! ti!1).

3. Las funciones f : [a,b], R constantes excepto en un numero finito de puntos son integrables.


f (x) =!

0 si x "Q6 [0,1];1 si x )"Q6 [0,1].

Hemos probado que,K 1

0f (x)dx = 0 y

K 1

0f (x)dx = 1.

Por lo tanto la funcion f no es integrable.

Definicion 4.7. Sea f : [a,b],R una funcion acotada. La oscilacion de f en el conjunto X % [a,b] se definepor

w( f ,X) = sup{| f (x)! f (y)| : x,y " X}.

140 4 La Integral

Si P es una particion de [a,b], anotaremos por wi = Mi !mi, la oscilacion de f en [ti!1, ti].

Teorema 4.4. Sea f : [a,b], R una funcion acotada, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. La funcion f es integrable.2. Para todo ! > 0, existen particiones P,Q de [a,b] tal que

S( f ,Q)! s( f ,P)< !.

3. Para todo ! > 0, existe P particion de [a,b] tal que

S( f ,P)! s( f ,P)< !.

4. Para todo ! > 0, existe P = {t0, . . . , tn} tal que

n

"i=1

wi(ti ! ti!1)< !.

Demostracion. Recordemos que si A,B % R son dos conjuntos acotados tales que para todo s " A y S " Bse tiene que s # S, entonces supA = ınfB si y solo si para todo ! > 0 existen s1 " A y S1 " B tales queS1 ! s1 < !. Esta afirmacion prueba la equivalencia entre (1) y (2).

Por otra parte de la definicion de oscilacion tenemos que

n

"i=1

wi(ti ! ti!1) = S( f ,P)! s( f ,P).

De donde se tiene la equivalencia entre (3) y (4).La implicancia de (3) a (2) es clara. Por otra parte si suponemos (2) entonces la particion P0 :=P0Q

satisface (3). Por lo tanto tenemos la implicancia de (2) a (3).

Ejemplo 4.12. Sean f ,g : [a,b], R dos funciones acotadas que difieren a lo mas en un subconjunto finitode [a,b]. Entonces f es integrable si y solo si g es integrable. En efecto, la funcion f ! g es igual a cero,excepto en un numero finito de punto, por lo tanto

K b

a( f (x)!g(x))dx = 0.

AsıK b

af (x)dx =

K b

a(g(x)+( f (x)!g(x)))dx =

K b

ag(x)dx+

K b

a( f (x)!g(x))dx =

K b

ag(x)dx.

Teorema 4.5. Sean f ,g : [a,b], R funciones integrables.

1. Si a < c < b, entonces K b

af (x)dx =

K c

af (x)dx+

K b

cf (x)dx.

2. Si c " R entonces K b

ac f (x)dx = c

K b

af (x)dx.

3. La funcion f +g es integrable yK b

a( f (x)+g(x))dx =

K b

af (x)dx+

K b

ag(x)dx.

4. f (x)# g(x), entonces


K b

af (x)dx #

K b

ag(x)dx.

5. La funcion f ·g es integrable.6. La funcion | f (x)| es integrable y &&&&

K b

af (x)dx

&&&&#K b

a| f (x)|dx.

Demostracion. Las demostraciones de los cuatro primeros puntos se siguen directamente del Teorema 4.3.Probaremos el punto (5). Notemos que existe K " R tal que para todo x " [a,b] se tiene que | f (x)| # K y|g(x)| # K. Sea ! > 0. Como las funciones f y g son integrables existen P f = {a, t1, . . . tm!1,b} y Pg ={a, t1, . . . tl!1,b} particiones de [a,b] tales que

m

"i=1

wi( f )(ti ! ti!1)<!2

yl

"i=1

wi(g)(ti ! ti!1)<!2.

La particion P := P f 0Pg = {a, t1, . . . tn!1,b} es tal que

n

"i=1

wi( f )(ti ! ti!1)<!2

yn

"i=1

wi(g)(ti ! ti!1)<!2.

Sean x,y " [ti!1, ti], entonces

| f (x)g(x)! f (y)g(y)|# | f (x)||g(x)!g(y)|+ |g(y)|| f (x)! f (y)|# K[wi(x)+wi(y)].

Luegowi( f g)# K[wi( f )+wi(g)],

y por lo tanton

"i=1

wi( f g)(ti ! ti!1)# K

;n

"i=1

(wi( f )+wi(g))(ti ! ti!1)

<# !.

Luego la funcion f g es integrable. A continuacion probaremos el punto (6). Notemos en primer lugar que

|| f (x)! | f (y)||# | f (x)! f (y)|.

Por lo tanto w(| f |,X)# w( f ,X), de donde obtenemos que la funcion | f | es integrable. Por otra parte como!| f (x)|# f (x)# | f (x)| tenemos que

!K b

a| f (x)|dx #

K b

af (x)dx #

K b

a| f (x)|dx.

Por lo tanto &&&&K b

af (x)dx

&&&&#K b

a| f (x)|dx.

&'

Observacion 4.3. Las afirmaciones (2) y (3) prueban que la integral es una transformacion lineal cuando sedefine sobre un espacio vectorial.

Lema 4.1 (Desigualdad de Schwarz). Sean f ,g : [a,b], R dos funciones integrables. Entonces

#K b

af (x)g(x)dx

$2

##K b

af 2(x)dx

$#K b

ag2(x)dx

$

Demostracion. Sea ' " R, como ( f (x)+'g(x))2 $ 0 tenemos queL( f (x)+'g(x))2dx $ 0, por lo tanto

142 4 La Integral

' 2K b

ag2(x)dx+2'

K b

af (x)g(x)dx+

K b

af 2(x)$ 0.

La expresion anterior es una parabola de varaible ' que a lo mas interesecta el eje x en un punto. Por lotanto su discriminante no es positivo. Ası

4#K b

af (x)g(x)dx

$2

!4#K b

af 2(x)dx

$#K b

ag2(x)dx

$# 0.


Notacion. En lo que sigue utilizaremos las siguientes convenciones,K a

af (x)dx = 0 y !

K b

af (x)dx =

K a

bf (x)dx.

Teorema 4.6. Toda funcion monotona es f : [a,b], R es integrable.

Demostracion. Sin perdiada de generalidad supongamos que la funcion f es no-decreciente. Sea ! > 0 yP = {t0, . . . , tn} una particion de [a,b] tal que para todo i " {1, . . . ,n} se tiene que

|ti ! ti!1|<!

f (b)! f (a).

Como la funcion es no decreciente, para todo i " {1, . . . ,n} tenemos que wi = f (ti)! f (ti!1), por lo tanto

n

"i=1

wi(ti ! ti!1)<!

f (b)! f (a)

n

"i=1

wi = !.

Luego, la funcion f es integrable. &'

Probaremos ahora que toda funcion continua en [a,b] tambien es integrable.

Teorema 4.7. Toda funcion continua f : [a,b], R es integrable.

La primera demostracion que daremos de este resultado utiliza el hecho que toda funcion continua definidaen un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua (ver Apendice C) y es debida a Cauchy.

Demostracion. Sea ! > 0, como la funcion es uniformente continua existe ) > 0 tal que si x,y " [a,b] con|x! y|< ) , entonces

| f (x)! f (y)|< !b!a

.

Sea P una particion de [a,b] cuyos intervalos tengan largo menor que ) . Entonces si f (xi) = mi, f (yi) = Mitenemos que

wi = f (yi)! f (xi)<!

b!a.

Luego,n

"i=1

wi(ti ! ti!1)<!

b!a

n

"i=1

(ti ! ti!1) = !.

De donde obtenemos que la funcion f es integrable. &'

Ejemplo 4.13. La funcion f : [!1,1] definida por

f (x) =

/xsen

) 1x*

si x )= 0;0 si x = 0.

Es una funcion integrable ya que es una funcion continua.


Teorema 4.8. Si f : [a,b], R es una funcion acotada con un numero finito de discontinuidades, entonceses integrable.

Demostracion. Denotemos por {t1, t2, . . . , tn} los puntos de discontinuidad de f . Notemos que

K b

af (x)dx =

K t1

af (x)dx+

K t2

t1f (x)dx+ · · ·+

K b

tn!1f (x)dx.

Por lo tanto, basta probar que para cada i " {1,2, . . . ,n} tenemos que

K ti

ti!1f (x)dx =

K ti

ti!1f (x)dx.

Recordemos que la funcion f es continua en (ti!1, ti). Sea ! > 0. Como las funciones continuas definidasen intervalos cerrados son integrables, existe ) > 0 y una particion P = {q1 = ti!1 + ) , . . . ,qm = ti ! )}tal que "m

j=1 w j(q j+1 !q j)< !/4. Notemos que la siguiente constante es independiente del valor de ! ,

K := max{w( f , [ti!1,q1]),w( f , [qm, ti])}= max{| f (ti!1)! lımx,t!i!1

f (x)|, | f (ti)! lımx,t!i

f (x)|}.

Sean q0 = ti!i y qm+1 = ti. Considerando la particion P * = P 0{q0,qm+1}. Tenemos que

m

"j=1

w j(q j !q j+1)<!4+2K!.

Como la constante K no depende de ! , podemos hacer este valor tender a cero, obteniendo el resultado.

Ejemplo 4.14. La funcion

f (x) =!

sin(1/x) Si x " [!1,1]\00 Si x = 0

es integrable ya que es acotada y discontinua solo en el punto x = 0.

Ejemplo 4.15. Existen funciones discontinuas en un conjuntos numerable (infinito) que son integrables. Enefecto, sea f : [0,1], R definida por

f (x) =

ABC

BD

1 si x = 0,1q si x = p

q es un numero racional,0 si x es un numero irrracional.

En esta definicion asumimos siempre que el numero racional esta escrito como fraccion irreducible. En elEjemplo 2.32 probamos que esta funcion es discontinua en todo punto racional y continua en todo puntoirracional. Es ademas una funcion acotada. Probaremos que es integrable y que

K 1

0f (x)dx = 0.

Sea ! > 0. El conjunto C := {x " [0,1] : f (x)$ !} es finito. Sea P = {0, t1, . . . , tn!1,1} una particion de[0,1] tal que las suma de los largos de los intervalos que contienen algun punto perteneciente a C sea menorque ! . Por otra parte si [ti!1, ti]6C = /0 entonces para todo x " [ti!1, ti] se tiene que

0 # f (x)# !.

Por lo tanto Mi # ! . Ası la suma superior con respecto a la particion P es tal que

S( f ,P) = SC( f ,P)+SNC( f ,P),

144 4 La Integral

donde la suma del largo del area de los rectangulos donde los intervalos [ti!1, ti] continene algun punto enC y la suma SNC( f ,P) corresponde a los sumandos restantes. Tenemos que

SC( f ,P) = "Mi(ti ! ti!1)# "(ti ! ti!1)< !.

Por otra parteSNC( f ,P) = "Mi(ti ! ti!1)# ! "(ti ! ti!1)< !.

Luego0 # S( f ,P)# 2!.

Como el valor de ! es arbitrario obtenemos queK 1

0f (x)dx = 0.

Ejemplo 4.16 (Compuesta de funciones integrables no integrable). Sea f : [0,1], [0,1] la funcion de-finida en el ejemplo anterior (Ejemplo 4.15) y sea g : [0,1], [0,1] la funcion definida por

g(x) =

/0 si x = 0,1 si x " (0,1].

Ambas funciones son integrables, sin embargo la funcion g7 f : [0,1], [0,1] definida por

g( f (x)) =

/0 si x es un numero irracional o x = 1,1 si x es un numero racional.

no es integrable (ver Ejemplo 4.11). Por lo tanto en general, la compuesta de funciones integrables no esintegrable. Sin embargo, si g : [c,d],R es continua y f : [a,b], [c,d] es integrable entonces la compuestag7 f : [a,b], R es integrable (ver Ejercicio 18).

El siguiente resultado tiene por corolario los siguientes resultados: Teorema 4.6 y Teorema 4.7. Ademastiene la virtud de que su demostracion no se utiliza la nocion de continuidad uniforme. Este resultado esdebido a Metzler [13].

Teorema 4.9. Sea f : [a,b] , R una funcion acotada. Si f posee lımite por la derecha en cada punto de[a,b) entonces f es integrable en [a,b].

Demostracion. Para cada / > 0 sea

h/(x) :=

/L xa f (t)dt !

L xa f ( f )dt ! /(x!a) a < x # b;

0 x = a.

Basta demostrar que para todo / > 0 se tiene que h/(b)# 0, ya que esto implica que

K x

af (t)dt #

K x

af ( f )dt.

Supongamos por el contrario que existe " > 0 tal que h"(b)> 0. Sea x = ınf{t " [a,b] : h"(t)> 0}.Si h"(x)> 0 sea M = sup{| f (t)| : a # t # b} y escojamos ) " (0,x!a) tal que 2)M < h"(x). Entonces

K x!)

af (t)dt =

K x

af (t)dt !

K x

x!)f (t)dt $

K x

af (t)dt !M) ,

K x!)

af (t)dt =

K x

af (t)dt !

K x

x!)f (t)dt #

K x

af (t)dt +M) .


Luego

h"(x!) ) =K x!)

af (t)dt !

K x!)

af (t)dt !"(x!) !a)$ h"(x)! (2M!")) > 0.

Lo que contradice el hecho de que x sea una cota inferior. Como por hipotesis los lımites por la izquierdaexisten tenemos que

lımt,x+

f (t) := f+(x).

Supongamos que h"(x)# 0 entonces, existe ) > 0 tal que 0< ) < b!x y | f+(x)! f (t))/2 para 0< t!x<) . Como las integrales superiores e inferiores no cambian si la funcion f se reemplza por una nueva funcionque difiere de f en un solo punto (Ejercicio 4), podemos asumir que f (x) = f+(x). Luego, si x < t < x+)tenemos que

K t

af (y)dy =

K x

af (y)dy+

K t

xf (y)dy #

K x

af (y)dy+

'f+(x)+

"2

((t ! x),

K t

af (y)dy =

K x

af (y)dy+

K t

xf (y)dy $

K x

af (y)dy+

'f+(x)+

"2

((t ! x).

Por lo tanto

h"(t)#K x

af (y)dy+

'f+(x)+

"2

((t ! x)!

K x

af (y)dy+

'f+(x)+

"2

((t ! x)!"(t !a) = h"(x)# 0.

Este resultado contradice el hecho de que x es el ınfimo.

Ejemplo 4.17. Sea f : [a,b], R una funcion continua, no negativa y no identicamente nula. Entonces,K b

af (x)dx > 0.

En efecto, sea c " (a,b) tal que f (c) > 0. Como la funcion es continua existe ! > 0 y A > 0 tal que six " (c! !,c+ !)6 [a,b] entonces f (x)> A. Considerando ! > 0 tal que (c! !,c+ !)% [a,b] tenemos que

K b

af (x)dx = sup{s( f ,P) : P particion de [a,b]}=

sup{s( f ,P) : P particion de [a,b] que contine los puntos c! ! y c+ !}$ 2A! > 0.


lımn,!

1n

K 2n

n

dx(1+ x4

= 0 .

Solucion:. Notemos que si x " [n,2n] entonces

1(1+ x4

# 1(1+n4

.

Por lo tanto K 2n

n

1(1+ x4

dx # n(1+n4

.

Es decir,

lımn,!

1n

K 2n

n

1(1+ x4

dx # lımn,!

1n

n(1+n4

= 0.

Concluimos esta sub-seccion con la demostracion de un caso particular del importante Lema deRiemann-Lebesgue. Daremos algunas aplicaciones de este resultado en el estudio de integrales impropias.

146 4 La Integral

Teorema 4.10 (Riemann-Lebsgue). Si f : [a,b], R es continua entonces

lımk,!

K b

af (x)sen(kx)dx = 0.

Demostracion. Sea n " N y P = {t0, t1, . . . , tn} una particion de [a,b]. Tenemos que

K b

af (x)sen(kx)dx =

n

"i=1

K i

ti!1f (x)sen(kx)dx =

n

"i=1

K i

ti!1( f (x)! f (ti))sen(kx)dx+

n

"i=1

f (ti)K i

ti!1sen(kx)dx.

Como f es continua en [a,b] es por lo tanto uniformemente continua en [a,b]. Dado ! > 0, existe ) > 0 talque para todo z,y " [a,b] tal que |z! y|< ) se tiene que

| f (z)! f (y)|< !2(b!a)

.

Si n > (b!a)/) entonces si x " [ti!1, ti] tenemos que |x! ti|# |ti ! ti!1|= (b!a)/n < ) . Por lo tanto

| f (x)! f (ti)|<!

2(b!a).

Ası&&&&&

n

"i=1

K i

ti!1( f (x)! f (ti))sen(kx)dx

&&&&&#n

"i=1

K i

ti!1| f (x)! f (ti)| |sen(kx)|dx #

n

"i=1

K i

ti!1| f (x)! f (ti)|dx <

!2(b!a)

(b!a) =!2.

Por otra parte tenemos que&&&&K ti

ti!1sen(kx)dx

&&&&=&&&&!

1k(cos(kti)! cos(kti!1)

&&&&#|cos(kti)|+ |cos(kti!1|

k# 2

k

Como la funcion f es continua en [a,b] es acotada superiormente, es decir, existe M " R tal que para todox " [a,b] se tiene que | f (x)|# M. Luego

&&&&&

n

"i=1

f (ti)K ti

ti!1sen(kx)dx

&&&&&# Mn

"i=1

f (ti)&&&&K ti

ti!1sen(kx)dx

&&&&# Mn

"i=1

2k=

2Mnk

.

Sea R " R tal que R > 4Mn! . Si k > R entonces

&&&&K b

af (x)sen(kx)dx!0

&&&&#

&&&&&

n

"i=1

K ti

ti!1( f (x)! f (ti))sen(kx)dx

&&&&&+

&&&&&

n

"i=1

f (ti)K ti

ti!1sen(kx)dx

&&&&&<

!2+

2Mnk

<!2+

!2= !.

como ! es arbitrario tenemos que

lımk,!

K b

af (x)sen(kx)dx = 0.


4.2.1. La definicion de Riemann

En esta seccion daremos la definicion de integral propuesta por Riemann. Esta aperece en cuatro paginasde su tesis de habilitacion. Esta defincion es equivalente a la que hemos desarrollado hasta ahora utilizandolas sumas de Darboux. La incluimos porque nos permite calcular ciertos lımites de una manera relativamentesencilla y porque admite generalizaciones interesantes. Comenzamos con la siguiente definicion,

Definicion 4.8. Sea P = {a = t0, t1, . . . , tn = b} una particion de [a,b] y sea E = {e1, . . . ,en} % [a,b] unconjunto tal que ei " [ti!1, ti]. Una particion marcada de [a,b] es un par P1 = (P,E ).

Definimos la suma de Riemann de f con respecto a P1 por

"( f ,P1) :=n

"i=1

f (ei)(ti ! ti!1).

Es claro ques( f ,P)# "( f ,P1)# S( f ,P). (4.1)

Definicion 4.9. Sea P = {a = t0, t1, . . . , tn = b} una particion de [a,b]. La norma de la particion se definepor |P|= sup{|ti ! ti!1| : ti " P}.

Proposicion 4.1. Sea f : [a,b], R una funcion integrable, entonces

K b

af (x)dx = lım

|P|,0"( f ,P1).

Demostracion. La demostracion se obtiene de las desigualdades (4.1).

Observacion 4.4. Es necesario remarcar que para que la definicion de Riemann tenga sentido es necesariodefinir precisamente lo que se entiende por lımite cuando el largo de la particion tiende a cero. Si bien,intuitivamente la idea es clara, un ejercicio importante es dar una definicion en terminos del sistema ! !) .Ver Ejercicio 24.

Ejemplo 4.19. Sea f : [a,b], R la funcion definida por f (x) = senx. Sea

P = {a,a+h,a+2h, . . . ,a+(n!1)h,b}

la misma particion que utilizamos en el ejemplo 4.3. Escojamos el conjunto

E = {a+h,a+2h, . . . ,a+(n!1)h,b}

y consideremos la particion marcada P1 = (P,E ). Notemos que

"( f ,P1) = h(sen(a+h)+ sen(a+2h)+ . . .sen(a+nh))

donde h = (b!a)/n. Multiplicando la igualdad por (2sen(h/2)/2sen(h/2)) y recordando la identidad

2senusenv = cos(u! v)! cos(u+ v),

obtenemos, si h no es un multiplo de 2& , la siguiente formula

"( f ,P1) =h

2sen h2

#cos

#a+

h2

$! cos

#a+

3h2

$+ · · ·! cos

#a+

(2n+1)h2

$$=

=h

2sen h2

#cos

#a+

h2

$! cos

#a+

(2n+1)h2

$$

148 4 La Integral

Como a+nh = b tenemos que

"( f ,P1) =h

2sen h2

#cos

#a+

h2

$! cos

#b+

h2

$$.

Luegolımh,0"( f ,P1) =!(cosb! cosa).

Ejemplo 4.20 (La integral como promedio de una funcion). . Sea f : [a,b],R una funcion integrable ysea P = {a,a+h, . . . ,a+(n!1)h,b} una particion de [a,b] donde h = (b!a)/n. Sea E = {a+h, . . . ,a+(n!1)h,b} y consideremos la particion marcada P1 = (P,E ). La media aritmetica de los numeros { f (a+h), f (a+2h), . . . , f (b)} sera denotada por

M( f ,n) :=1n

n

"i=1

f (a+ ih).

Definimos el valor medio de f en [a,b] por

M( f ) := lımn,!

M( f ,n).

Notemos que

M( f ,n) =1

b!a "( f ,P1).

Por lo tanto

M( f ) = lımn,!

1b!a "( f ,P1) =

1b!a

K b

af (x)dx.

Es decir, el numero1

b!a

K b

af (x)dx

puede entenderse como el promedio de la funcion f en el intervalo [a,b].

Ejemplo 4.21 (Calculo de lımites utilzando integracion). Sea f : [a,b], R una funcion continua. Comoes integrable, utilizando la definicion de Riemann tenemos que

lımn,!

b!an

n

"k=1

f#

a+k(b!a)

n

$=

K b

af (x)dx.

En el caso mas sencillo en que a = 0 y b = 1 obtenemos

lımn,!

1n

n

"k=1

f#

kn

$=

K 1

0f (x)dx.

Mediante esta observacion podemos calcular la integral de la funcion f : [0,1], R definida por f (x) = x2.En efecto, como f (k/n) = k2/n2 obtenemos

K 1

0x2dx = lım

n,!

1n

n

"k=1

k2

n2 .

Pero

lımn,!

1n

n

"k=1

k2

n2 = lımn,!

1n

#12

n2 +22

n2 + · · ·+ n2

n2

$= lım

n,!

12 +22 + · · ·+n2

n3 = lımn,!

n(n+1)(2n+1)6n3 =

13.

Luego

4.3 Teorema Fundamental del Calculo 149

K 1

0x2dx =

13.

4.3. Teorema Fundamental del Calculo

A comienzos del siglo XIX el calculo integral solıa entenderse como el inverso del calculo diferencial.Esta idea extendida ampliamente en la epoca adolece una serie de problemas cuando se intenta formalizar.Tanto Fourier como Cauchy notaron que esta aproximacion al calculo integral era demasiado restrictiva.Veremos en esta seccion que no todas las funciones integrables pueden escribirse como la derivada deotra funcion. Sin embargo, la relacion entre derivada e integral (definida como lımite de sumas) siguesiendo valida. Probaremos dos Teoremas que relacionan derivada e integral, en el primero calcularemos laderivada de la integral de una funcion, mientras que en el segundo calcularemos la integral de la derivadade una funcion. Probaremos que cuando restringimos nuestra atencion a la clase de funciones continuas, enefecto, la integral y la derivada son operaciones inversas.

Definicion 4.10. Sea f : [a,b], R una funcion integrable. La funcion F : [a,b], R definida por

F(x) =K x

af (t)dt

se denomina integral indefinida de f .

Lema 4.2. Sea f : [a,b], R una funcion integrable, la integral indefinida de f es una funcion continua.

Demostracion. Como la funcion f es integrable es acotada. Es decir, existe K $ 0 tal que | f (t)| # K paratodo t " [a,b]. Ası dados x,y " [a,b] se tiene que

|F(y)!F(x)|=&&&&K y

xf (t)dt

&&&&# KK y

x1dt = K|y! x|.

En particular, la funcion F es continua en el intervalo [a,b]. De hecho la funcion F es Lipschitz.


f (t) :=

/0 si t " [0,1);1 si t " [1,2].

Entonces la integral indefinida de f es la funcion F : [0,2], R que viene dada por

F(x) =

/0 si x " [0,1);x!1 si x " [1,2].

Notemos que la funcion F es continua, sin embargo no es diferenciable en el punto x = 1, que correspondea una discontinuidad de f .

El siguiente resultado es debido a Paul du Bois-Reymond quien lo publico en un apendice de un artıculosobre series trigonometricas en 1876. Por su puesto, este es un resultado conocido desde mucho antes, sinembargo la formulacion precisa aparece por vez primera en el artıculo mencionado.

Teorema 4.11. Sea f : [a,b], R una funcion integrable. Si f es continua en el punto c " [a,b], entoncesla funcion F : [a,b],R definida por F(x) =

L xa f (t)dt es diferenciable en el punto c y se tiene que F *(c) =

f (c).

150 4 La Integral

Demostracion. Como la funcion f es continua, dado ! > 0, existe ) > 0 tal que si t " [a,b] y |t ! c| < )entonces | f (t)! f (c)|< ! . Luego si 0 < h < ) y c+h " [a,b] tenemos que

&&&&F(c+h)!F(c)

h! f (c)

&&&&=1h

&&&&K c+h

cf (t)dt !h f (c)

&&&&=1h

&&&&K c+h

c[ f (t)! f (c)]dt

&&&&

# 1h

K c+h

c| f (t)! f (c)|dt # 1

h!h = !.

Luego F *+(c) = f (c). De modo analogo se prueba que F *

!(c) = f (c), es decir, F *(c) = f (c). &'

Observacion 4.5. De la demostracion del Teorema 4.11 podemos observar que la derivada de la integralcorresponde a

lımh,0

1h

K c+h

cf (t)dt,

es decir, la derivada es el promedio de la funcion en bolas cuyo radio tiende a cero. Este punto de vista segeneraliza de manera natural en dimension superior y es el punto de vista adecuado para formular y probargeneralizaciones del teorema anterior como el teorema de diferenciacion de Lebesgue.

Corolario 4.3. Sea f : [a,b], R una funcion continua entonces existe F : [a,b], R diferenciable tal queF * = f .

Demostracion. Basta tomar la integral indefinida de f , es decir, F(x) =L x

a f (t)dt. &'

Definicion 4.11. Sea f : [a,b],R una funcion. Si F : [a,b],R es una funcion tal que para todo x " (a,b)se tiene F *(x) = f (x), diremos que F es una primitiva de f .

Probamos en el Corolario 4.3 que toda funcion continua posee primitiva. Sin embargo, no toda funcionintegrable posee primitiva. En efecto si F * = f , entonces en virtud del Teorema de Darboux (ver Teorema3.6) la funcion f satisface la propiedad del valor intermedio y en particular no posee discontinuidades deprimera especie.

Ejemplo 4.23. La funcion f : [0,2], R definida por

f (x) :=

/0 si x " [0,1];1 si x " (1,2].

Es una funcion escalonada y por lo tanto integrable. Sin embargo no satisface la propiedad del valor inter-medio y por lo tanto no posee primitiva.

Ejemplo 4.24. Por otra parte, la funcion discontinua

f (x) =!

2xsin 1x ! cos 1

x si x )= 0;0 si x = 0.

Posee primitiva

F(x) =!

x2 sin 1x si x )= 0;

0 si x = 0.

Ejemplo 4.25. La siguiente funcion f : [!1,1],R posee primitiva y sin embargo no es integrable, ya queno es acotada.

f (x) =

/2xsen 1

x !2x cos 1

x2 si x " [!1,1]\{0};0 si x = 0.

En efecto la siguiente funcion F : [!1,1], R es una primitiva de f ,


F(x) =

/x2 sen 1

x2 si x " [!1,1]\{0};0 si x = 0.

Observacion 4.6. Notemos que si f posee una primitiva, entonces posee una infinidad de ellas. En efecto,si F * = f , entonces para todo C " R se tiene que F +C tambien es primitiva e f .

Notemos que el Teorema 4.11 muestra que toda funcion continua posee primitiva, sin embargo no sabe-mos is todas las primitivas de la funcion f son de la forma

K x

af (t)dt +C.

En el siguiente resultado mostramos que efectivamente todas las primitivas posee esa forma.

Teorema 4.12. Sea f : [a,b] , R una funcion integrable y sean F1,F2 : [a,b] , R dos primitivas de f ,entonces existe C " R tal que

F1(x)!F2(x) =C.

En particular todas las primitivas de la funcion f son de la forma F(x)+C, donde F es una primitiva de f .

Demostracion. Sea G : [a,b], R la funcion definida por

G(x) = F1(x)!F2(x).

Derivando obtenemos queG*(x) = F *

1(x)!F *2(x) = f (x)! f (x) = 0.

Por lo tanto, como dos funciones que tienen la misma derivada solo diferen en una constante (ver corolario3.6), se obtiene el resultado.

Ejemplo 4.26. (Primitivas). Los siguientes son algunos ejemplos de primitivas.

1. Si f (x) = c, entonces F(x) = xc+K, K " R es una primitiva de f .2. Si f (x) = xn entonces F(x) = xn+1

n+1 +K, K " R es una primitiva de f .3. Si f (x) = ex entonces F(x) = f (x)+K, K " R es una primitiva de f .4. Si f (x) = sin(x) entonces F(x) =!cos(x)+K, K " R es una primitiva de f .5. Si f (x) = cos(x) entonces F(x) = sin(x)+K, K " R es una primitiva de f .6. Si f (x) = 1

x entonces F(x) = ln(x)+K, K " R es una primitiva de f .7. Si f (x) = 1/

(1! x2 entonces F(x) = arcsin(x)+K, K " R es una primitiva de f .

Observacion 4.7. Existen funciones f : [a,b], R que aunque poseen primitivas no es posible expresarlasen terminos de funciones elementales. Es decir funciones que se forman utilizando un numero finito deexponenciales, logaritmos, constantes, raıces n-esimas, composicion, opraciones elementales (suma, resta,producto y division) ademas de funciones trigonometricas. Como por ejemplo

f (x) = e!x2, f (x) = xx, f (x) =

senxx

.

Observacion 4.8. Hemos visto que

arcsin(x) =K x

0(arcsin t)*dt =

K x

0

dt(1! t2

.

Muchas de las propiedades de esta funcion pueden obtenerse ya que sabemos es la inversa de la funcionseno. Durante un largo perıodo se busco una primitiva conocida para la funcion

K x

0

dt(1! t4

. (4.2)

152 4 La Integral

Con el paso del tiempo se llego a la conviccion de que se trataba de una nueva funcion. Es una de lasllamadas integrales elıpticas porque algunas de ellas definen la longitud de arco de una elipse. La funciondefinida en (4.2) define la longitud de arco de la lemniscata, que es una curva con la forma de un ocho.Las integrales elıpticas comenzaron a estudiarse rigurosamente a fines de 1700 y comienzos del 1800 conlos trabajos de Fagnano, Euler y Legandre. Poco despues, para comprender mejor estas integrales Gausspropuso, en analogıa con la funcion arcoseno, estudiar la inversa de

L x0

dt(1!t4

. Abel y Jacobi, alrededor

de 1820, redescubrieron los resultados de Gauss y los expandieron. Utilizando este punto de vista se hadesarrollado una teorıa para estudiar las propiedades de funciones de la forma

K x

0

dt+p(t)

,

donde p(t) es un polinomio y mas generalmente funciones de la formaK x

0R(t,

+p(t)),

donde R es una funcion racional. Es interesante notar el punto de vista utilizado es equivalente a describirlas propiedades de la funcion arcoseno sin conocer la funcion seno.

El siguiente resultado nos permite evaluar una integral cuando conocemos una primitiva. Una de lasprimeras referencias a este resultado aparece en un texto de Poisson de 1820. La formulacion precisa y lademostracion aparecen en un texto de Cauchy de 1823. Este resultado se deduce del Teorema del ValorMedio.

Teorema 4.13 (Teorema Fundamental de Calculo). Sea f : [a,b], R una funcion integrable que poseeuna primitiva F : [a,b], R, entonces

K b

af (x)dx = F(b)!F(a).

Demostracion. Para cualquier particion P = {t0, . . . , tn} de [a,b], por el Teorema del valor medio (verTeorema 3.16), tenemos que

F(b)!F(a) =n

"i=1

[F(ti)!F(ti!1)] =n

"i=1

F *(.i)(ti ! ti!1),

donde .i " (ti!1, ti). Si

m*i = ınf{F *(x) : x " [ti!1, ti]} y M*

i = sup{F *(x) : x " [ti!1, ti]},

tenemos que m*i # F *(.i)# M*

i . Por lo tanto

s(F *,P)# F(b)!F(a)# S(F *,P).

Luego, K b

aF *(t)dt = F(b)!F(a).

&'

Observacion 4.9. Es particularmente interesante notar que el Teorema fundamental del Calculo 4.13 indicaque la integral de f en el intervalo [a,b] puede calcularse evaluando F en el borde del intervalo, es decir enlos puntos {a,b}. Esta observacion se generaliza de manera notable en dimension superior en los Teoremasde Green y de Stokes.


Observacion 4.10. Otro modo de formular el Teorema 4.12 es el siguiente, si F posee una derivada integra-ble entonces

F(b)!F(a) =K b

aF *(t)dt.

Notemos ademas que en virtud del Teorema 4.11 toda funcion continua satisface las hipotesis del Teorema4.12.

Observacion 4.11. Notemos que si en el Teorema 4.13 asumimos que la funcion f es continua en vez deintegrable. Entonces, en virtud del Teorema 4.11, la funcion

g(x) :=K x

af (t)dt,

es una primitiva de f . Ademas, de acuerdo al Teorema 4.12, si F(x) es otra primitiva de f entonces existeC " R tal que F(x)!g(x) =C. Notemos que g(a) = 0. Ası

F(b)!F(a) = g(b)+C!g(a)!C = g(b) =K b

af (t)dt.

Con lo que se demuestra el teorema. Esta demostracion es posible solo bajo la hipotesis que f es continua,ya que esto nos permite asegurar que la funcion g es una primitiva. Este argumento no es valido bajo lahipotesis mas general que f sea integrable.

Ejemplo 4.27. Suponga que la funcion derivable f : R+ !, R tiene un unico punto crıtico, x0 " R+, elcual es un mınimo global y el unico mınimo local. Determine los intervalos de concavidad y los puntos deinflexion de la funcion F : R+ , R definida por F(x) =

L x0 f (t)dt .

Solucion. Como el punto crıtico x0 es un mınimo local tenemos que f *(x0) = 0 y ademas:

f *(x) =

/negativo si 0 # x < x0;positivo si x > x0.

(4.3)

Notemos ademas que por el Teorema fundamental del Calculo F *(x) = f (x) y por lo tanto F **(x) = f *(x).La ecuacion

F **(x) = f *(x) = 0,

tiene por lo tanto una unica solucion, a saber x = x0. Es decir la funcion F posee unico punto de inflexion yeste es x0. En virtud de la ecuacion (4.3) tenemos que si 0 # x < x0 entonces F **(x)< 0 y si x > x0 entoncesF **(x) > 0. Luego F es concava hacia abajo en el intervalo [0, ,x0) y concava hacia arriba en el intervalo(x0,!).

Ejemplo 4.28 (Toda potencia racional de e es irracional). El siguiente resultado es debido a Hermite, lapresentacion que aquı hacemos sigue la de [1, p.38]. Notemos en primer lugar que dado n $ 1 si considera-mos la funcion definida por

f (x) =xn(1! x)n

n!, (4.4)

entonces

1. la funcion f (x) es un polinomio de la forma f (x) = (n!)!1 "2ni=n cixi donde los coeficientes ci son enteros.

2. Para 0 < x < 1 tenemos que 0 < f (x)< (n!)!1,3. Las derivadas f (k)(0) y f (k)(1) son numeros enteros para todo k $ 0.

En efecto, basta notar que f (k)(0) = 0 a menos que n < k < 2n en cuyo caso f (k)(0) = k!n! ck que es un entero.

Como f (x) = f (1! x) obtenemos que f (k)(1) = (!1)k f (k)(0). Para probar que er es irracional para todor "Q\{0} basta probar el resultado para r " Z. Asumamos que er = a/b con a,b " N y sea n " N tal quen! > ar2n+1. Sea

154 4 La Integral

F(x) = r2n f (x)! r2n!1 f *(x)+ r2n!2 f **(x)! · · ·+ f (2n)(x),

donde f (x) es la funcion definida en la ecuacion (4.4). Como las derivadas de orden superior son iguales acero podemos escrbir

F(x) = r2n f (x)! r2n!1 f *(x)+ r2n!2 f **(x)! . . .

De donde vemos que F(x) satisface la identidad

F *(x) =!rF(x)+ r2n+1 f (x).

Asıddx

(erxF(x)) = rerxF(x)+ erxF *(x) = r2n+1erx f (x),

luego

N := bK 1

0r2n+1erx f (x) dx < aF(1)!bF(0).

Este numeor es un entero ya que F(0) y F(1) lo son. Sin embargo tenemos que

0 < N = bK 1

0r2n+1erx f (x) dx < br2n+1er 1

n!<

ar2n+1

n!< 1,

es decir N no puede ser un entero. Esta contradiccion prueba el resultado.

Ejemplo 4.29 (El numero & es irracional). Utilizando el metodo de Hermite expuesto en el ejemplo an-terior, Niven [14] produjo la siguiente demostracion de que & es un numero irracional. Supongamos por elcontrario que & = a/b es el cuociente de dos numeros enteros. Definimos los siguientes polinomios:

f (x) =xn(a!bx)n

n!,

F(x) = f (x)! f **(x)+ f (4)(x)! · · ·+(!1)n f (2n)(x).

Como los coeficientes de n! f (x) son enteros y las potencias de x son de grado no mayor que n, tenemos quetanto f (x) como sus derivadas f (i)(x) toman valores enteros cuando x = 0. Como f (x) = f (a/b! x) estotambien sucede para x = & = a/b. Tenemos entonces que

ddx

)F *(x)sinx!F(x)cosx

*= F **(x)sinx+F(x)sinx = f (x)sinx.

Ademas K &

0f (x)sinxdx =

)F *(x)sinx!F(x)cosx

*|&0 = F(&)+F(0). (4.5)

Como f (i)(&) y f (i)(0) son enteros tenemos que F(&)+F(0) es un entero. La derivada de f viene dada por

f *(x) = nxn!1(a!bx)n!1(a!2bx)

En particular la funcion alcanza su maximo en x = a/2b, donde

f (a/2b) =an

(2b)nan

2n

n!.

La funcion f es creciente en [0,a/2b] y decreciente en [a/2b,a,/b]. Ası para 0 < x < & , tenemos que

0 < f (x)sinx <&nan

n!.


Luego la integralL &

0 f (x)sinxdx es positiva, pero arbitrariamente cercana a cero para n suficientementegrande. Luego la igualdad (4.5) es falsa y por lo tanto & es irracional.

Ejemplo 4.30 (Si r es racional entonces tanr es irracional). Probaremos el resultado siguiendo la demos-tracion de Zhou y Markov [23]. Supongamos que r "Q\{k& : k " Z}, ası r = a/b con a,b "Z. Asumamosque tan(r/2) = p/q con p,q " Z. Para n $ 0 sean

fn(x) =(rx! x2)n

n!y In =

K r

0fn(x)sinxdx.

Notemos que utilizando los resultados del ejemplo anterior tenemos que

bnIn = bn

K a/b

0fn(x)sinxdx =

K a/b

0bn (

ab x! x2)n

n!sinxdx #

K a/b

0

(ax!bx2)n

n!=

K a/b

0

xn(a!bx)n

n!# (a/2b)n

n!.

Es decir, lımn,! bnIn = 0. Sean I0 := 1! cosr, I1 = 2(1! cosr)! r sinr. Integrando por partes dos veces,obtenemos que para n $ 2

In :=!K r

0f **n (x)sinxdx = (4n!2)In!1 ! r2In!2.

Utilizando la recurrencia anterior obtenemos que para todo n $ 0 se tiene In = un(1!cosr)+vn sinr, dondeun y vn son polinomios en r con coeficientes enteros y de grados a lo mas n. Notemos que si dos terminosconsecutivos de la sucesion (In)n son cero, entonces todos los terminos son iguales a cero. En particularI0 = 0 lo que es una contradiccion. Luego la sucesion (In)n posee infinitos terminos no nulos. Por lo tantopodemos escoger n suficientemente grande tal que

bnqcscrIn = bnq(un tan(r/2)+ vn)

es un entero no nulo en (!1,1), lo que es una contradiccion. Notemos que tan(&/4) = 1, luego &/2 no esracional. Esto implica que Q\{k& : k " Z}=Q\{0}.

Utilizando el resultado anterior es posible obtener una demostracion mas sencilla del hecho que & isirracional, incluso se puede demostrar que &2 es irracional. Es mas, podemos deducir que si r2 " Q \ {0}entonces cosr es irracional.

Ejemplo 4.31 (La Regla de L’Hopital). Daremos una demostracion de la Regal de L’Hopital utilizando laspropiedades elementales de la integral y el Teorema Fundamental del Calculo. Esta demostracion es debidaa Harting [6]. Sean f ,g : R , R funciones diferenciables tales que su derivada es una funcion contiunuacon g*(x) )= 0. Si

lımx,!

f (x) = lımx,!

g(x) = ! y lımx,!

f *(x)g*(x)

= L,

entonceslımx,!

f (x)g(x)

= L.

De acuerdo a las hioptesis podemos asumir que tanto g como g* son funciones positivas. Sea ! > 0 y M > 0tal que para todo x > M se tiene que &&&&

f *(x)g*(x)

!L&&&&< !.

Como g*(x)> 0 tenemos que| f *(x)!Lg*(x)|< !g*(x).

Luego, para M < a < b tenemos que

156 4 La Integral&&&&K b

a( f (x)!Lg*(x))dx

&&&&#K b

a

&& f *(x)!Lg*(x)&&dx <

K b

a!g*(x)dx.

Luego por el teorema fundamental del Caculo (notando que conocemos las primitivas)

| f (b)! f (a)!L(g(b)!g(a))|< !(g(b)!g(a)).

De donde &&&&f (b)g(b)

! f (a)g(b)

!L#

1! g(a)g(b)

$&&&&< !#

1! g(a)g(b)

$< !.

Ası &&&&f (b)g(b)

!L&&&&< ! + | f (a)|

g(b)+ |L|g(a)

g(b).

Luego

lımb,!

&&&&f (b)g(b)

!L&&&&< !.

De donde se tiene el resultado.

Ejemplo 4.32. Calcule la derivada de la funcion f : [3,10], R definida por

f (x) =)

1+ sen2 x*K x

2

+1+ t3 dt

.

Solucion. Tenemos que

f (x) =)

1+ sen2 x*K x

2

+1+ t3 dt

de donde ln f (x) = ln)

1+ sen2 x*K x

2

+1+ t3 dt.

Derivando esta ultima igualdada con respecto a x,

f *(x)f (x)

=2senxcosx1+ sen2 x

K x

2

+1+ t3 dt +

+1+ x3 ln

)1+ sen2 x

*

de donde,

f *(x) =)

1+ sen2 x*K x

2

+1+ t3 dt # 2senxcosx

1+ sen2 x

K x

2

+1+ t3 dt +

+1+ x3 ln

)1+ sen2 x

*$.

Ejemplo 4.33. Sea

F(x) =K x

0

;K t2

0eu2

du

<dt.

Determine F **(x).

Solucion. Por el Teorema Fundamental del Calculo obtenemos

F *(x) =K x2

0eu2

du.

Notemos que F * es la compuesta de dos funciones. En efecto, si g(x) = x2 y h(x) =L x

0 eu2du entonces

F *(x) = h(g(x)). Luego, por la regla de la cadena


F **(x) = h*(g(x))g*(x).

Tenemos, por el Teorema Fundamental del Calculo, que h*(x) = ex2 , luego

F **(x) = 2xex4.

Ejemplo 4.34. Sea x > 0 y consideremos la funcion definida por

F(x) =K x

1

dt1+ t2 !

K 1

1x

dt1+ t2 .

Demuestre que F es constante y determine su valor.

Solucion. Basta probrar que en todo punto se tiene que F *(x) = 0. Por el Teorema Fundamental del Calculoobtenemos que

ddx

#K x

1

dt1+ t2

$=

11+ x2 .

Por otra parte, si

G(x) =!K x

1

dt1+ t2 ,

entoncesddx

G(1/x) =!G*(1/x)1x2 .

Pero por el Teorema Fundamental del Calculo obtenemos que

ddx

G(1/x) =1x2

11+(1/x)2 =

11+ x2 .

LuegoF *(x) = 0

y por lo tanto F es una funcion constante. Para determinar su valor basta evaluar la funcion en un puntoarbitrario, en particular para x = 1 tenemos que

F(1) =K 1

1

dt1+ t2 !

K 1

1

dt1+ t2 = 0.

Es decir F(x) = 0.

Ejemplo 4.35. Sea f : [0,1], [0,!) una funcion continua tal que para todo x " [0,1] se tiene f (x)# 2!1.Definamos

T (x) =K x

0f (t)dt, 0 # x # 1

Si T n = T 7T n!1 la n-esima composicion de la funcion T , demuestre que

lımn,!

T n(x) = 0.

Solucion. Probaremos en primer lugar que existe una constante 0 <C < 1 tal que&&&&T (x)!T (y)

x! y

&&&&#C, 0 # x,y # 1.


158 4 La Integral&&&&K x

0f (t)dt !

K y

0f (t)dt

&&&&=&&&&K x

0f (t)dt +

K 0

yf (t)dt

&&&&=&&&&K x

yf (t)dt

&&&& .

Por otra parte K x

yf (t)dt #

K x

y2!1dt =

x! y2

.

Ası|T (x)!T (y)|#

&&&&x! y

2

&&&& .

Es decir, &&&&T (x)!T (y)

x! y

&&&&#12.

Probaremos por induccion que |T n(x)|# (1/2)!n para todo natural n "N. Notemos que para n = 2 tenemos

|T 2(x)!T 2(y)|= |T (T (x))!T (T (y))|# 12|T (x)!T (y)|# 1

22 |x! y|.

Inductivamente, si la afirmacion es valida para n " N tenemos que

|T n+1(x)!T n+1(y)|= |T n(T (x))!T n(T (y))|# 12n |T (x)!T (y)|# 1

2n+1 |x! y|.

De donde se obtiene el resultado. Hemos probado que para todo n " N tenemos que |T n(x)| # C!n. Asıdado ! > 0 existe N " N tal que CN < ! . Luego, si m " N es tal que m > N tenemos que

|T n(x)!0|# 12

m< !.

Es decir,lımn,!

T n(x).

Ejemplo 4.36. Sea f : [0,!), R una funcion continua tal que

f (x) =K x

0f (t)dt.

Demuestre que la funcion f es identicamente nula.

Solucion. Por el Teorema Fundamental del Calculo tenemos que para todo x " [0,!) la igualdad f *(x) =f (x). Ahora

f *(x)e!x ! f (x)e!x = 0.

Por lo tanto ( f (x)e!x)* = 0. Es decir, exite una constante C " R tal que f (x)e!x = C. Luego, para todox " [0,!),

f (x) =Cex.

En particular la relacion anterior se cumple para x = 0. Pero

f (0) =K 0

0f (t)dt = 0 =Ce0.

Es decir, C = 0, de donde se obtiene el resultado.

Ejemplo 4.37. El siguiente es un ejemplo donde utilizamos las tecnicas desarrolladas en el Ejemplo 4.21.Calcularemos el siguiente lımite


lımn,!

3e2

n

n

"i=1

'e

in

(3sen

'e

3in +2

(.

Notemos quen

"i=1

'e

in

(3sen

'e

3in +2

(=

n

"i=1

e3in +2 sen

'e

3in +2

( 3n.

Esta es una suma de Riemann para la particion definida por xk = 2+ 3kn , donde k " {0, . . . ,n} y para la

funcion f (x) = ex senx. Como la funcion es continua la suma de Riemann converge a la integral, es decir

lımn,!

3e2

n

n

"i=1

'e

in

(3sen

'e

3in +2

(=

K 5

2ex sen(ex)dx.

Claramente la funcion F(x) =!cos(ex) es una primitiva de f (x). Por lo tanto,

lımn,!

3e2

n

n

"i=1

'e

in

(3sen

'e

3in +2

(=

K 5

2ex sen(ex)dx = cos(e2)! cos(e5).


lımn,!

#1

n+1+

1n+2

+ · · ·+ 1n+n

$.

Notemos que este lımite puede escribirse como

lımn,!

1n

;1

1+ 1n+

11+ 2

n+ · · ·+ 1

1+ nn

<= lım

n,!

1n

n

"k=1

11+ k

n=

K 1

0

dx1+ x

.

Por lo tanto el lımite buscado es igual aK 1

0

dx1+ x

= ln(1+1)! ln(1+0) = ln2.


lımn,!

1n

#sen

tn+ sen

2tn+ . . .sen

(n!1)tn

$.

Sea a = 0 y b = t. En virtud del ejemplo 4.21 tenemos que este lımite es igual

lımn,!

tn

n

"k=1

senktn=

K t

0senxdx = 1! cos t,

y por lo tanto

lımn,!

1n

n

"k=1

senktn=

1! cos tt

.

Teorema 4.14 (Formula del Valor Medio para Integrales). Sea f : [a,b], R continua, entonces existec " (a,b) tal que K b

af (x)dx = f (c)(b!a).

Demostracion. Sea F una primitiva de f , por el teorema del valor medio existe c " (a,b) tal queK b

af (x)dx = F(b)!F(a) = F *(c)(b!a) = f (c)(b!a).

160 4 La Integral

Observacion 4.12 (Integracion y derivacion). Al terminar esta seccion es quizas importante volver a enfa-tizar la relacion entre derivada e integral. Para ello asumiremos que f : [a,b], R es una funcion continua.En tal caso los Teoremas 4.11 y 4.13 implican que

ddx

K x

af ( f )dt = f (x)

y que si F : [a,b], R es una primitiva de f entoncesK b

af (x)dx =

K b

aF *(x)dx = F(b)!F(a).

Observacion 4.13 (Extensiones del Teorema Fundamental del Calculo). Parte importante del desarrolloposterior a Riemann en la teorıa de integracion tiene que ver con precisar cuales son las hipotesis masdebiles bajo las cuales se siguen teniendo las conclusiones de los Teoremas 4.11 y 4.13. Fue Henri Lebes-gue quien probo, lo que hoy llamamos teorema de diferenciacion de Lebesgue, que en un sentido precisotoda funcion integrable es tal que su integral indefinida es derivable en casi todo punto. Por otra parte exis-ten funciones continuas F que admiten derivadas f en casi todo punto para las que el Teorema 4.13 no sesatisface. El lector notara que para que las anteriores afirmaciones tengan sentido una definicion precisa dela frase casi todo punto (o equivalentemente de conjunto de medida cero) es necesario. Henri Lebesgue acomienzos del 1900 produjo tal definicion.

4.4. Tecnicas de integracion

El Teorema fundamental del Calculo afirma que para evaluar una integral es suficiente determinar unaprimitiva, evaluarla en los lımites de integracion y restar (ver Teorema 4.12). Por lo tanto el problemade encontrar primitivas es relevante al momento de calcular. Esta seccion esta dedicada basicamente adesarrollar tecnicas que nos permiten encontrar primitivas. Utilizaremos en general la siguiente notacionpara una primitiva

F(x) =K

f (x)dx. (4.6)

Notemos que es solo una notacion ya que la integral solo tiene sentido si establecemos los lımites deintegracion. Por otra parte existe una ambiguedad en el uso de la letra x como variable de la funcion F y f .Nuestra notacion de primitiva puede formalizarse del siguiente modo

F(x) =C+K x

af (t)dt,

para constantes C y a apropiadas. Por lo tanto la notacion utilizada en la ecuacion (4.6) denota una de lasprimitivas de f . Es decir

ddx

F(x) = f (x).

4.4.1. Integracion por Partes

El siguiente resultado es consecuencia directa de la regla de derivacion del producto y del teoremafundamental del calculo.

Teorema 4.15 (Integracion por Partes). Sean f ,g : [a,b], R funciones acotadas con derivadas integra-bles, entonces

4.4 Tecnicas de integracion 161

K b

af (x)g*(x)dx = f (b)g(b)! f (a)g(a)!

K b

af *(x)g(x)dx

Demostracion. Basta notar que la funcion f (x)g(x) es una primitiva de f (x)g*(x)+ f *(x)g(x). LuegoK b

a( f (x)g*(x)dx+ f *(x)g(x))dx = f (b)g(b)! f (a)g(a).

Ejemplo 4.40. Determine Kxsin(x)dx.

Solucion. Sean f (x) = x y g*(x) = sin(x), entonces f *(x) = 1 y g(x) =!cos(x). LuegoK

xsin(x)dx = x(!cos(x))!K(!cos(x))dx

= !xcos(x)+K

cos(x)dx

= !xcos(x)+ sin(x)+C.

En la solucion de este problema escgimos arbitrariamenete una primitiva de la funcion g*(x) = sin(x).Notemos que si hubiesemos escogido otra primitiva, a saber g(x) =!cos(x)+C entonces

Kxsin(x)dx = x(!cos(x)+C)!

K(!cos(x)+C)dx

= !xcos(x)+ xC! xC+K

cos(x)dx

= !xcos(x)+ sin(x)+C.

Es decir, obtenemos el mismo resultado. Claramente este es un resultado de caracter general.

Ejemplo 4.41. Determine Kln(x)dx.

Solucion. Sean f (x) = ln(x) y g*(x) = 1, entonces f *(x) = 1/x y g(x) = x. LuegoK

ln(x)dx = x ln(x)!K

x · 1x

dx

= x ln(x)! x+C.

Ejemplo 4.42. Determine Kx2exdx.

Solucion. Sean f (x) = x2 y g*(x) = ex, entonces f *(x) = 2x y g(x) = ex. LuegoK

x2exdx = x2ex !2K

xexdx.

Aplicando nuevamente integracion por partes, sean f (x) = x y g*(x) = ex, entonces f *(x) = 1 y g(x) = ex.Luego

Kx2exdx = xex !

Kexdx = xex ! ex +C.

Luego Kx2exdx = x2ex !2xex +2ex +C.

162 4 La Integral

Es interesante notar que si en este ejemplo nuestra eleccion hubiese sido f (x) = ex y g(x) = x2, entoncesf *(x) = ex y g(x) = x3/3. Luego

Kx2exdx =

x3

3ex ! 1

3

Kx3exdx.

Con esta eleccion de funciones f y g el calculo de la primitiva no se simplifica. En general, el modo en queaplique el teorema de integracion por partes determinara si se simplifica o no el calculo.

Ejemplo 4.43. Determine Kex sin(x)dx.

Solucion. Sean f (x) = ex y g*(x) = sin(x), entonces f *(x) = ex y g(x) =!cos(x). AsıK

ex sin(x)dx = !ex cos(x)+K

ex cos(x)dx

Aplicando nuevamente integracion por partes, Sea f (x) = ex y g*(x) = cos(x), entonces f *(x) = ex y g(x) =sin(x). Luego

Kex cos(x)dx = ex sin(x)!

Kex sin(x)dx.

Luego Kex sin(x)dx =!ex cos(x)+ ex sin(x)!

Kex sin(x)+C,

es decir, Kex sin(x)dx =

12(ex sin(x)! ex cos(x))+C.

Ejemplo 4.44. Determine Karctan(x)dx.

Solucion. Sea f (x) = arctan(x) y g*(x) = 1, entonces f *(x) = 11+x2 y g(x) = x. Ası

Karctan(x)dx = xarctan(x)!

K x1+ x2 dx.

Pero, K x1+ x2 dx =

12

ln(1+ x2).

Ası, Karctan(x)dx = xarctan(x)! 1

2ln(1+ x2).

Ejemplo 4.45. Determine K3xxdx.

Solucion. Sea f (x) = x y g*(x) = 3x, entonces f *(x) = 1 y g(x) = 3x

ln(3) . Ası

K3xxdx =

3xxln(3)

!K 3x

ln(3)dx

=x3x

ln(3)! 3x

ln2(3)+C.


Ejemplo 4.46. Determine Kearcsenxdx.

Solucion. Sea f (x) = earcsenx y g*(x) = 1, entonces

f *(x) =earcsenx(

1! x2y g(x) = x.

AsıK

earcsenxdx = xearcsenx !K

xearcsenx(

1! x2dx.

Integrando por partes nuevamente obtenemos que si h(x) = earcsenx y r*(x) = x(1!x2

entonces

h*(x) =earcsenx(

1! x2y r(x) =!

+1! x2.

LuegoK

earcsenxdx = xearcsenx !#!+

1! x2 +K +

1! x2 earcsenx(

1! x2dx$.

De donde obtenemos Kearcsenxdx =

xearcsenx

2+

(1! x2earcsenx

2+C.

Ejemplo 4.47. Demuestre que si n " N es tal que n > 2 entoncesK

sinn(x)dx =!1n

cos(x)sinn!1(x)+n!1

n

Ksinn!2(x)dx.

Solucion. Sea f (x) = sinn!1(x) y g*(x) = sin(x), entonces f *(x) = (n!1)sinn!2 cos(x) y g(x) =!cos(x).Ası

Ksinn(x)dx = !sinn!1(x)cos(x)+(n!1)

Ksinn!2(x)cos2(x)dx.

Como cos2(x) = 1! sin2(x), obtenemosK

sinn(x)dx = !sinn!1(x)cos(x)+(n!1)K

sinn!2(x)dx! (n!1)K

sinn(x)dx,

es decir,

nK

sinn(x)dx = !sinn!1(x)cos(x)+(n!1)K

sinn!2(x)dx,

luego, Ksinn(x)dx =!1

ncos(x)sinn!1(x)+

n!1n

Ksinn!2(x)dx.

Aplicando el resultado anterior obtenemos la formula de Wallis. A saber

Corolario 4.4 (Formula de Wallis).

lımn,!

#21

23

43

45

65

67. . .

2n2n!1

2n2n+1

$=

&2.

164 4 La Integral

Demostracion. Utilizando la formula obtenida en el Ejemplo 4.47, tenemos queK &/2

0sinn(x)dx =

n!1n

K &/2

0sinn!2(x)dx.

Aplicando esta formula reiteradamente podemos distinguir dos casos, cuando n = 2m y n = 2m+1,K &/2

0sin2m(x)dx =

#2m!1

2m2m!32m!2

. . .12

K &/2

01dx

$,

y por otra parte K &/2

0sin2m+1(x)dx =

#2m

2m+12m!22m!1

. . .23

K &/2

0sen(x)dx

$.

Por lo tanto K &/2

0sin2m(x)dx =

#2m!1

2m2m!32m!2

. . .12

&2

$,

y K &/2

0sin2m+1(x)dx =

#2m

2m+12m!22m!1

. . .23

$.

Haciendo el cuociente obtenemos

&2=

#21

23

43

45

65

67. . .

2m2m!1

2m2m+1

$ L &/20 sin2m(x)dx

L &/20 sin2m+1(x)dx

.

Notemos que en el intervalo 0 < x < & tenemos que 0 < sin(x)< 1 y

0 < sen2m+1(x)# sen2m(x)# sen2m!1(x).

Ası

0 <K &/2

0sin2m+1(x)dx #

K &/2

0sin2m(x)dx #

K &/2

0sin2m!1(x)dx.

De donde L &/20 sin2m!1(x)dxL &/2

0 sin2m+1(x)dx=

2m+12m

= 1+1

2m.

Ası

1 #L &/2

0 sin2m(x)dxL &/2

0 sin2m+1(x)dx=

2m+12m

# 1+1

2m.

Por lo tantolımn,!

#21

23

43

45

65

67. . .

2n2n!1

2n2n+1

$=

&2.

Ejemplo 4.48. Del Corolario 4.4 tenemos, simplemente reescribiendo, que

lımn,!

#24n(n!)4

(2n)!)2(2n+1)

$= lım

n,!

24n

'2nn

(2(2n+1)

=&2

Lo anterior equivale, informalmente, a decir que el termino central en el desarrollo del binomio tiene unaexpresion asintotica de la forma


122n

#2nn

$;

,2

(2n+1)&.

Una consecuencia importante del Teorema de Integracion por partes es la Formula de Taylor con restointegral (vea el Ejemplo 4.61 para otra version del mismo resultado).

Teorema 4.16 (Formula de Taylor con resto integral). Sea f : [a,a + h] , R una funcion que poseederivada de orden n+1 y tal que esta derivada es integrable, entonces

f (a+h) = f (a)+ f *(a)h+ · · ·+ f (n)(a)n!

hn +

#K 1

0

(1! t)n

n!f (n+1)(a+ th)dt

$hn+1.

Demostracion. Notemos en primer lugar que si $ : [0,1], R es una funcion que posee derivada de ordenn+1 y tal que esta derivada es integrable, entonces

$(1) = $(0)+$ *(0)+$ **(0)

2!+ · · ·+ $ (n)(0)

n!+

K 1

0

(1! t)n

n!$ (n+1)(t)dt.

En efecto, esta formula se deduce integrando por partes. Probaremos el resultado por induccion. Suponga-mos que $ posee segunda derivada integrable. Notemos que si u(t) = 1! t y v(t) = $ *(t) entonces

K 1

0$ *(t)dt =!

K 1

0u*(t)v(t)dt.

Integrando por partes obtenemos queK 1

0$ *(t)dt =!

K 1

0u*(t)v(t)dt =!

#u(1)v(1)!u(0)v(0)!

K 1

0u(t)v*(t)dt

$= $ *(0)+

K 1

0(1! t)$ **(t)dt.

Por el Teorema Fundamental del Calculo tenemos ademas que

$(1) = $(0)+K 1

0$ *(t)dt.

Luego

$(1) = $(0)+$ *(0)+K 1

0(1! t)$ **(t)dt.

Supongamos ahora que la formula es valida para n y deduzcamos que vale para n+1. Es decir, supongamosque $ : [0,1], R es una funcion que posee derivada de orden n+2 y tal que esta derivada es integrable yque

$(1) = $(0)+$ *(0)+$ **(0)

2!+ · · ·+ $ (n)(0)

n!+

K 1

0

(1! t)n

n!$ (n+1)(t)dt.

Notemos que si u(t) = (1!t)n+1

(n+1)! y v(t) = $ (n+1)(t) tenemos que

K 1

0

(1! t)n

n!$ (n+1)(t)dt =

K 1

0u*(t)v(t)dt.

Integrando por partes obtenemos queK 1

0

(1! t)n

n!$ (n+1)(t)dt =!

#u(1)v(1)!u(0)v(0)!

K 1

0u(t)v*(t)dt

$=

$ (n+1)(0)(n+1)!

+K 1

0

(1! t)n+1

(n+1)!$ (n+2)(t)dt

166 4 La Integral

Para demostrar el Teorema basta definir $ : [0,1], R por $(t) = f (a+ th). Ası $ (i)(0) = f (i)(a)hi.

Observacion 4.14. Note que en el Teorema anterior obtenemos una formula explıcita para el resto en elTeorema de Taylor. Ası si

r(h) :=#K 1

0

(1! t)n

n!f (n+1)(a+ th)dt

$hn+1

Entonceslımh,0

r(h)hn = 0

4.4.2. Cambio de Variable

El siguiente resultado es consecuencia directa de la regla de la cadena y del teorema fundamental delcalculo.

Teorema 4.17 (Cambio de Variable). Sean f : [a,b],R na funcion continua y g : [c,d],R una funciondiferenciable tal que g* es integrable y g([c,d])% [a,b]. Entonces

K g(d)

g(c)f (x)dx =

K d

cf (g(t))g*(t)dt.

Demostracion. Como f es continua, posee primitiva F : [a,b] , R, el teorema fundamental del calculoobtenemos que K g(d)

g(c)f (x)dx = F(g(d))!F(g(c)).

Por otro lado, la regla de la cadena

(F 7g)*(x) = F *(g(x))g*(x) = f (g(x))g*(x),

para todo x " [c,d]. Por lo tanto F 7g : [c,d], R es una primitiva de la funcion t ., f (g(x))g*(x). LuegoK d

cf (g(x))g*(x)dx = F(g(d))!F(g(c)).

&'

Observacion 4.15. Cuando calculamos primitivas es a veces mas sencillo, pensar del siguiente modo. Siµ = g(x), entonces K

f (g(x))g*(x)dx =K

f (µ)dµ,

ya que dµ = g*(x)dx.

Ejemplo 4.49. Determine Ksec(x)dx.


sec(x) =sec(x) tan(x)+ sec2(x)

sec(x)+ tan(x).

Ası Ksec(x)dx =

K sec(x) tan(x)+ sec2(x)sec(x)+ tan(x)

dx.


Sea u = sec(x)+ tan(x) entonces du = sec(x) tan(x)+ sec2(x). LuegoK

sec(x)dx =K du

u= ln |u|+C,

es decir, Ksec(x)dx = ln |sec(x)+ tan(x)|+C.

Ejemplo 4.50. Determine K (2x+1dx.

Solucion. Sea u = 2x+1, entonces du = 2dx, es decir, dx = du2 . Ası

K (2x+1dx =

K (u

2du =

12

Ku1/2du =

12

u3/2

3/2+C =

13(2x+1)3/2 +C.

Ejemplo 4.51. Determine K x(1!4x2

dx.

Solucion. Sea u = 1!4x2, entonces du =!8xdx. AsıK x(

1!4x2dx =!1

8

K du(u=!1

8(2(

u)+C =!14

+1!4x2 +C.

Ejemplo 4.52. Determine K dx(2x! x2

.


+2x! x2 =

.!(x2 !2x) =

.!(x2 !2x+1)+1 =

.1! (x!1)2.

Sea u = x!1, du = dx entoncesK dx(

2x! x2=

K du(1!u2

= arcsin(u)+C,

es decir, K dx(2x! x2

= arcsin(x!1)+C.

Ejemplo 4.53. Determine K dx4x2 +4x+2

.


4x2 +4x+2 = 4(x2 + x+1/4)+(2!4/4) = 4(x+1/2)2 +1.

Sea u = x+1/2, du = dx entoncesK dx

4x2 +4x+2=

K du4u2 +1

=12(arctan(2u))+C

=12

arctan(2x+1)+C.

168 4 La Integral

Ejemplo 4.54. Determine K (xdx

1+ 4(

x.

Solucion. Sea x = z4, dx = 4z3dz entoncesK (

xdx1+ 4

(x=

K z24z3dz1+ z

= 4K E

z4 ! z3 + z2 ! z+1! 1z+1

Fdz

= 4E

z5

5! z4

4+

z3

3! z2

2+ z! ln |z+1|

F

=C+

I4x5/4

5! x+

4x3/4

3!2x1/2 +4x1/4 !4ln | 4(x+1|

J.

Ejemplo 4.55. Determine Ksinm(x)cosn(x)dx.

Solucion. Separaremos la solucion en tres casos,

a) Si la potencia del coseno es impar (n = 2k+1), note que cos2(x) = 1! sin2(x). AsıK

sinm(x)cos2k+1(x)dx =K

sinm(x)(1! sin2(x))k cos(x)dx.

Luego haciendo la sustitucion u = sin(x) tenemos queK

sinm(x)(1! sin2(x))k cos(x)dx =K

um(1!u2)kdu.

Pero esta es la integral de un polinomio. Con lo que se tiene el resultado.b) Si la potencia del seno es impar (m = 2k+1), utilice sin2(x) = 1! cos2(x). Ası

Ksin2k+1(x)cosn(x)dx =

K(1! cos2(x))k cosn(x)sin(x)dx,

Luego haciendo la sustitucion u = cos(x) tenemos queK(1! cos2(x))k cosn(x)sin(x)dx =!

K(1!u2)kundu,

Pero esta es la integral de un polinomio. Con lo que se tiene el resultado.c) Si ambos potencias son pares la situacion es mas compleja. Utilice las identidades

sin2(x) =12(1! cos(2x)) y cos2(x) =

12(1+ cos(2x)).

Ademas note que sin(x)cos(x) = 12 sin(2x). En este caso, tras hacer la primera sustucion es necesario

decidir cual es el paso siguiente. De modo que solo es posible indicar la estrategia y no el resultado.

Ejemplo 4.56. Determine Ksin2(x)cos2(x)dx.

Solucion. Utilizaremos la identidades sugeridas. AsıK

sin2(x)cos2(x)dx =K 1

2(1! cos(2x))

12(1+ cos(2x))dx =

14

K(1! cos2(2x))dx.


Volviendo a utilizar las identidades sugeridas,

14

K(1! cos2(2x))dx =

14

K(1! 1

2(1+ cos(4x))dx =

14

K #12! cos(4x)

2

$dx =

14

#x2! sen(4x)

8

$.

Ejemplo 4.57. Determine Ksin4(x)dx.

Solucion.K

sin4(x)dx =K(sin2(x))2dx =

K #1! cos(2x)

2

$2dx =

14

K(1!2cos(2x)+ cos2(2x))dx.

Notemos que cos2(2x) = 12 (1+ cos(4x)), ası

Ksin4(x)dx =

14

K(1!2cos(2x)+

12(1+ cos(4x)))dx =

14

K #32!2cos(2x)+

12

cos(4x)$

dx

=14

#32

x! sin(2x)+18

sin(4x)$+C.

Ejemplo 4.58. Determine Kcos2/3(x)sin5(x)dx.

Solucion. Notemos quesin4(x) = (sin2(x))2 = (1! cos2(x))2.

Sea u = cos(x), entonces du =!sin(x)dx por lo queK

cos2/3(x)sin5(x)dx =K

cos2/3(x)(1! cos2(x)))2 sin(x)dx =!K

u2/3(1!u2)2du

=!K(u2/3 !2u8/3 +u14/3)du =!

E35

u5/3 ! 611

u11/3 +317

u17/3F+C

=!cos5/3(x)E

35! 6

11cos2(x)+

317

cos4(x)F+C.

Ejemplo 4.59. Determine Ktanm(x)secn(x)dx.

Solucion. Para evaluar, separaremos en dos casos

a) Si la potencia de la secante es par, n = 2k, utilice sec2(x) = 1+ tan2(x). AsıK

tanm(x)sinn(x)dx =K

tanm(sec2(x))k!1 sec2(x)dx

=K

tanm(x)(1+ tan2(x))k!1 sec2(x)dx.

Utilice el cambio de variable u = tan(x).b) Si la potencia de tangente es impar m = 2k+1, use tan2(x) = sec2(x)!1. Ası

170 4 La IntegralK

tan2k+1(x)secn(x)dx =K(sec2(x)!1)k secn!1(x)sec(x) tan(x)dx.

Utilice el cambio de variable u = sec(x).

Observacion 4.16. Para evaluar

1.L

sin(mx)cos(nx)dx, note que

sin(A)cos(B) =12(sin(A!B)+ sin(A+B)).

2.L

sin(mx)sin(nx)dx, note que

sin(A)sin(B) =12(cos(A!B)! cos(A+B)).

3.L

cos(mx)cos(nx)dx, note que

cos(A)cos(B) =12(cos(A!B)+ cos(A+B)).

Ejemplo 4.60. Determine Ksin(4x)cos(5x)dx.

Solucion.K

sin(4x)cos(5x)dx =12

K(sin(!x)+ sin(9x))dx =

12

#cos(x)! 1

9cos(9x)

$+C.

Ejemplo 4.61 (Formula de Taylo con resto Integral). En el Ejemplo 4.16 probamos que si f : [a,a+h],R una funcion que posee derivada de orden n+1 y tal que esta derivada es integrable, entonces

f (a+h) = f (a)+ f *(a)h+ · · ·+ f (n)(a)n!

hn +

#K 1

0

(1! t)n

n!f (n+1)(a+ th)dt

$hn+1.

Notemos que podemos considerar b = a+h, es decir h = b!a. Haciendo el cambio de variable x = a+ thtenemos que

f (b) = f (a)+ f *(a)(b!a)+ · · ·+ f (n)(a)n!

(b!a)n +K b

a

(b! x)n

n!f (n+1)(x)dx.

4.4.3. Sustituciones Trigonometricas

Existen ciertos cambios de variables que simplifican enormemente el calculo de una primitiva. La si-guiente es una tabla que nos indica que cambio de variable es adecuado cuando en el integrando aparecenciertas funciones. En la tabla tambien se incluye la identidad trigonometrica que utilizaremos al calcular laprimitiva.

Expresion Sustitucion Identidad(a2 ! x2 x = asin(-), !&/2 # - # &/2 1! sin2(-) = cos2(-)(a2 + x2 x = a tan(-), !&/2 # - # &/2 1+ tan2(-) = sec2(-)(x2 !a2 x = asec(-), 0 # - # &/2 o & # - # 3&/2 sec2(-)!1 = tan2(-)


Ejemplo 4.62. DetermineK (

9! x2

x2 dx.

Solucion. Sea x = 3sin(-), !&/2 # - # &/2, dx = 3cos(-)d- y

+9! x2 =

.9!9sin2(-) =

.9cos2(-) = 3cos(-).

Luego,K (

9! x2

x2 dx =K 3cos(-)

9sin2(-)3cos(-)d- =

K cos2(-)sin2(-)

d-

=K

cotan2(-)d- =K(cosec2(-)!1)d- =!cotan(-)!- +C.

Notemos que arcsin) x

3*= - . Por otra parte como sin- = x/3, tenemos que en el triangulo rectangulo de

cateto igual a x, hipotenusa igual a 3 y uno de los angulos igual - . Tenemos por el teorema de Pitagoras queel cateto restante mide

(9! x2. En particular

cotan(-) =(

9! x2

x.

Luego, obtenemos finalmente

K (9! x2

x2 =!(

9! x2

x! arcsin

' x3

(+C.

Ejemplo 4.63. Determine K dxx2(

x2 +4dx.

Solucion. Sea x = 2tan(-), !&/2 # - # &/2, dx = 2sec2(-)d- y

+x2 +4 =

.4(tan2(-)+1) =

.4sec2(-) = 2sec(-).

Luego, K dxx2(

x2 +4=

K 2sec2(-)d-4tan2(-)2sec(-)

=14

K sec(-)tan2(-)

d- =14

K cos(-)sin2(-)

d- .

Luego haciendo u = sin(-), obtenemosK dx

x2(

x2 +4=

14

K cos(-)sin2(-)

d- =14

K duu2 =

14

#!1

u

$+C =! 1

4sin(-)+C =!cosec(-)

4+C.

Luego como tan(-) = x/2, tenemos que en el triangulo rectangulo con catetos iguales a x y a 2 y uno de losangulos igual - . La hipotenusa, por el Teorema de Pitagoras, viene dada por

(x2 +4. Por lo tanto

sen- =x(

x2 +4.

Ası K dxx2(

x2 +4=!

(x2 +44x

+C.

172 4 La Integral

4.4.4. Fracciones Parciales

Denotemos por R[x] el conjunto de los polinomios. Es decir, el conjunto formado por las funciones dela forma p(x) = anxn + an!1xn+1 + · · ·+ a1x+ a0, con ai " R para i " {0,1, . . . ,n}. Dos polinomios soniguales si poseen el mismo grado y los mismos coeficientes. Recordemos que el conjunto de los polinomiosdotado con la suma y el producto (R[x],+, ·), tiene la misma estructura algebraica que los enteros con lasoperaciones de suma y producto (Z,+, ·). En particular existe un algoritmo de la division de polinomiosanalogo al algoritmo de Euclides. Es mas, existe una clase de polinomios con propiedades analogas a las delos numeros primos. Estos son los llamados polinomios irreducibles, que son los polinomios de la forma

p(x) = cx+d y q(x) = ax2 +bx+ x,

donde b2 !4ac < 0. Estos polinomios tienen la propiedad que cualquier polinomio puede escribirse comoel producto de polinomios irreducibles (asi como todo entero puede escribirse como el producto de primos).El metodo de las fracciones parciales se utiliza para calcular las primitivas de funciones racionales, es decirde funciones de la forma

R(x) =p(x)q(x)

,

donde p(x),q(x) " R[x]. El metodo de fracciones parciales se aplica cuando el grado de p(x) es menor queel grado de q(x). Si este no es el caso, entonces lo primero que debe hacerse es dividir p(x) y q(x), es decir,escribimos

R(x) =p(x)q(x)

= s(x)+k(x)q(x)

,

donde el grado de k(x) es menor que el de q(x). Supongamos ahora que tenemos una funcion racional

R(x) =p(x)q(x)

,

tal que el grado de p(x) es estrictamente menor que el de q(x). Factoricemos el polinomio q(x) en elproducto de polinomios irreducibles. Notemos que este paso puede ser particularmente difıcil ya que engeneral no es posible determinar las raıces de un polinomio a partir de sus coeficientes. Dependiendo deltipo de polinomios irreducibles en los que se descompone q(x) aplicaremos tecnicas distintias.

Caso 1. El polinomio q(x) puede escribirse como el producto de factores lineales no repetidos

q(x) = (a1x+b1)(a2x+b2) · . . . · (akx+bk).

En este caso es posible escribir la funcion racional del siguiente modo

R(x) =p(x)q(x)

=A1

a1x+b1+ . . .+

Ak

akx+bk.

Por lo tanto la integral de R(x) se reduce a la suma de integrales de la formaK A

ax+bdx =

Aa

ln(ax+b)+C.

Ejemplo 4.64. Determine K x2 +2x!12x3 +3x2 !2x

dx.

Solucion. En primer lugar notemos que el grado del numerador es menor que el del denominador por lotanto podemos proseguir sin necesidad de dividir ambos polinomios. Ahora factorizando el denominadorobtenemos


2x3 +3x2 !2x = x(2x!1)(x+2).

Ası es posible escribirx2 +2x!1

x(2x!1)(x+2)=

Ax+

B2x!1

+C

x+2.

Para determinar las constantes A,B,C basta recordar que dos polinomios del mismo grado son iguales siposeen los mismos coeficientes,

x2 +2x!1 = A(2x!1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(2x!1)

= (2A+B+2C)x2 +(3A+2B!C)x!2A.

Es decir, basta resolver el siguiente sistema de ecuaciones

2A + B + 2C = 13A + 2B - C = 2-2A = 1

Luego, A = 1/2, B = 1/5, C =!1/10. Tambien es posible determinar las constantes notando que comofunciones x2 +2x!1 = A(2x!1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(2x!1). Por lo tanto deben coincidir cuandoson evaluadas en cualquier punto. Por ejemplo si evaluamos en x = 0, obtenemos !1 = !2A y por lotanto A = 1/2. De este modo tambien pude determinarse el valor de las contantes. Ası

K x2 +2x!12x3 +3x2 !2x

dx =K E

12x

+1

5(2x!1)! 1

10(x+2)

Fdx

=12

ln |x|+ 110

ln |2x!1|! 110

ln |x+2|+C.

Caso 2. El polinomio q(x) puede escribirse como el producto de factores lineales, algunos de los cualesse repiten, es decir,

p(x)q(x)

=A1

a1x+b1+

A2

(a1x+b1)2 + . . .+Ar

(a1x+b1)r + · · ·+ Ak

aix+bi+

Ak+1

(aix+bi)2 + . . .+Ak+s

(aix+bi)s .

En este caso la integral se reduce a calcular primitivas de la formaK A

ax+bdx =

Aa

ln(ax+b)+C yK A

(ax+b)r =A

a(1! r)(ax+b)1!r.

Ejemplo 4.65. Determine K x4 !2x2 +4x+1x3 ! x2 ! x+1

dx.

Solucion. Notemos que en este caso el grado del numerador es mayor que el del denominador. Por lotanto dividimos,

x4 !2x2 +4x+1x3 ! x2 ! x+1

= x+1+4x

x3 ! x2 ! x+1.

Factorizando ahora q(x) = x3 ! x2 ! x+1 obtenemos

Q(x) = (x!1)2(x+1).

Luego4x

x3 ! x2 ! x+1=

Ax!1

+B

(x!1)2 +C

x+1.

El sistema de ecuaciones que obtenemos es

174 4 La Integral

A + C = 0B - 2C = 4

-A + B + C = 0

Las soluciones vienen dadas por A = 1, B = 2, C =!1. Luego

K x4 !2x2 +4x+1x3 ! x2 ! x+1

dx =K E

x+1+1

x!1+

2(x!1)2 ! 1

x+1

Fdx

=x2

2+ x+ ln |x!1|! 2

x!1! ln |x+1|+C.

Caso 3. La factorizacion de el polinomio q(x) contiene factores cuadraticos de modo que ninguno deellos se repite. Por lo tanto la funcion racional R(x) puede escribirse de la forma

p(x)q(x)

=A1

a1x+b1+

A2

(a1x+b1)2 +Ax+B

ax2 +bx+ c+ · · ·+ Cx+D

dx2 + ex+ f.

En este caso el calculo de la primitiva contiene integrales como las estudiadas en los dos casos anterioresy ademas integrales de la forma K Ax+B

ax2 +bx+ cdx.

Para calcular estas integrales es necesario recordar queK dx

x2 +a2 =1a

arctan' x

a

(+C.

Ejemplo 4.66. Determine K 2x2 ! x+4x3 +4x

dx.

Solucion. En primer lugar notemos que el grado del numerador es menor que el del denominador por lotanto podemos proseguir sin necesidad de dividir ambos polinomios. Ahora factorizando el denominadorobtenemos x3 +4x = x(x2 +4). Ası

2x2 ! x+4x3 +4x

=Ax+

Bx+Cx2 +4

.

Luego el sistema de ecuaciones que obtenemos es

A + B = 2C = -1

4A = 4

Las soluciones de este sistema son A = 1,B = 1 y C =!1. Ası

K 2x2 ! x+4x3 +4x

dx =K E

1x+

x!1x2 +4

Fdx.

Notemos queK x!1

x2 +4dx =

K xx2 +4

dx!K 1

x2 +4dx =

12

ln |x2 +4|! 12

arctan' x

2

(.

Por lo tanto K 2x2 ! x+4x3 +4x

dx = ln |x|+ 12

ln |x2 +4|! 12

arctan' x

2

(+C.


Observacion 4.17. En general para integrarK Ax+B

ax2 +bx+ cdx,

con b2 !4ac < 0 se completa cuadrado en el denominador y se efectua la sustitucionK Cu+D

u2 +a2 du =CK u

u2 +a2 du+DK 1

u2 +a2 du.

Ejemplo 4.67. Determine K ex

e2x + ex +1dx.

Solucion. Consideremos el siguiente cambio de variable, sea u = ex y du = exdx. Tenemos que

K ex

e2x + ex +1dx =

K duu2 +u+1

=K du

(u+1/2)2 +3/4=

(3

2arctan

#u+1/2(

3/2

$+C.

Por lo tanto K ex

e2x + ex +1dx =

(3

2arctan

#2ex +1(

3

$+C.

Caso 4. El polinomio q(x) contiene un factor cuadratico repetido r veces. En tal caso en la descompisi-cion de R(x) aparecen los siguientes sumandos:

A1x+B1

ax2 +bx+ c+ . . .+

Arx+Br

(ax2 +bx+ c)r .

Ejemplo 4.68. Determine K 1! x+2x2 ! x3

x(x2 +1)2 dx.


1! x+2x2 ! x3

x(x2 +1)2 dx =Ax+

Bx+Cx2 +1

+Dx+E(x2 +1)2 .

El sistema de ecuaciones que obtenemos es

A + B = 0C = -1

2A + B + D = 2C + E = -1

A = 1

Las soluciones son A = 1,B =!1,C =!1,D = 1 y E = 0. Por lo tanto

K 1! x+2x2 ! x3

x(x2 +1)2 dx =K E

1x! x+1

x2 +1+

x(x2 +1)2

Fdx

= ln |x|!K xdx

x2 +1!

K dxx2 +1

+K xdx

(x2 +1)2

= ln |x|! 12

ln |x2 +1|! arctan(x)! 12(x2 +1)

+C.

176 4 La Integral

4.5. Logaritmo y Exponencial

Hasta ahora hemos definido el logaritmo como la funcion inversa de la exponencial. Es decir, el logaritmode un numero real x > 0 en base a > 0 se define por

loga(x) = y si y solo si ay = x.

Para hacer esto es necesario definir de un modo riguroso la funcion exponencial y ., ay para todo numeroreal. En el Capıtulo 1 se indica como, utilizando sucesiones y el hecho que los numeros racionales sondensos, es posible efectivamente definir la exponencial rigurosamente. Sin embargo, ahora que tenemos anuestra disposicion la integral de Riemann, es posible definir en primer lugar el logaritmo y luego definir laexponencial como la funcion inversa.

Definicion 4.12. Sea log : R+ , R la funcion definida por

log(x) =K x

1

dtt.

Una serie de propiedades elementales pueden deducirse directamente de esta definicion. En efecto,

Proposicion 4.2. La funcion logaritmo satisface las siguientes propiedades:

1. Tenemos que log(1) = 0.2. Si x " (0,1), entonces log(x)< 0.3. La funcion logaritmo es monotona creciente y concava.4. La funcion logaritmo es infinitamente diferenciable.

Demostracion. La primera propiedad es directa de la definicion. Para demostrar la segunda basta notar quesi x " (0,1) entonces K x

1

1t

dt =!K 1

x

1t

dt < 0.

Es una consecuencia inmediata del Teorema Fundamental del Calculo que la funcion logaritmo es monotonacreciente. Basta notar que

(log)*(x) =1x> 0.

Derivando una vez mas obtenemos(log)**(x) =! 1

x2 ,

por lo tanto la funcion logaritmo es concava. Como la funcion 1/x definida en R+ es infinitamente diferen-ciable, tenemos que la funcion logaritimo es infinitamente diferenciable.

En el siguiente resultado probamos una de las propiedades fundamentales del logaritmo, a saber, trans-forma productos en sumas.

Teorema 4.18. Si x,y > 0 entonceslog(xy) = log(x)+ log(y).

Demostracion.log(xy) =

K xy

1

1t

dt =K x

1

1t

dt +K xy

x

1t

dt = log(x)+K xy

x

1t

dt.

Debemos probar queL xy

xdtt = log(y). Consideremos el cambio de variable s " [1,y] t = xs, dt = xds obte-

niendo K xy

x

1t

dt =K y

1

xdsxs

=K y

1

dss

= log(y).

4.5 Logaritmo y Exponencial 177

Corolario 4.5. Si x > 0 entonces log(1/x) =! logx.

Demostracion. Basta notar que

0 = log1 = log'x

x

(= logx+ log(1/x).

Corolario 4.6. Sea x > 0. Si r es un numero racional se tiene que

log(xr) = r log(x).

Demostracion. Sea n " N, entonces por el Teorema 4.18

log(xn) = log(x)+ . . .+ log(x) = n log(x).

Por otra parte, como xnx!n = 1, tenemos que

0 = log(1) = log(xnx!n) = n log(x)+ log(x!n).

Luego log(x!n) = !n log(x). Ası el resultado es valido para n " Z. Consideremos ahora el caso general,sea r = p/q "Q, tenemos que (xp/q)q = xp. Luego

p log(x) = log(xp) = log((xp/q)q) = q log(xp/q),

es decir,log(xp/q) =

pq

log(x).

Corolario 4.7. La funcion log : R+ , R es una biyeccion continua con inversa continua.

Demostracion. En efecto, log(x) es continua y creciente, por lo tanto la inversa es continua donde estadefinida. Basta entonces probar que esta definida en R, es decir, lımx,! log(x) = ! y lımx,0 log(x) =!!.Notemos que log(2n) = n log(2), entonces

lımn,!

log(2n) = !.

analogamente log(2!n) =!n log(2), luego

lımn,!

log(2!n) =!!.


Observacion 4.18. La propiedad probada en el Teorema 4.18 escencialmente define el logaritmo, en elsentido siguiente: si f : R+ ,R es una funcion continua tal que f (xy) = f (x)+ f (y) entonces existe c "Rtal que f (x) = c logx. Con la normalizacion f (1) = 0 tenemos que c = 1.

Observacion 4.19. El Teorema 4.18 en conjunto con el Corolario 4.7 establecen que la funcion logaritmoes un isomorfismo continuo del grupo multiplicativo R+ sobre el grupo aditivo R. Esto significa que ambosgrupos (uno con la operacion producto y el otro con la operacion suma) son basicamente el mismo grupo.La funcion que establece esta relacion es el logaritmo.

Observacion 4.20. Hemos probado que todo numero real y " R es el logaritmo de un numero real positivox > 0. En particular existe un unico numero real tal que su logaritmo es igual a 1. Sea e " R tal numero, esdecir log(e) = 1. Probaremos que esta defincion del numero e es consistente con aquella dada en el Capıtulo1. Pero antes definiremos la funcion inversa del logaritmo.

178 4 La Integral

Definicion 4.13. La funcion exponencial exp : R, R+ se define como la inversa del logaritmo

exp(x) = y si y solo si log(y) = x.

Teorema 4.19. La funcion exponencial es una biyeccion creciente de R sobre R+, es infinitamente diferen-ciable con exp*(x) = exp(x). Ademas exp(x+ y) = exp(x)exp(y).

Demostracion. Como exp : R,R+ es la inversa de una biyeccion creciente, tambien lo es. Por la regla dederivacion de la funcion inversa tenemos que si exp(x) = y, entonces

exp(x)* =1

(log(y))*=

11y= y = exp(x).

Como (exp(x))* = exp(x) tenemos que la funcion exponencial es infinitamente diferenciable. Para probarque exp(x+ y) = exp(x)exp(y), consideremos x* = exp(x), y* = exp(y) entonces x = log(x*), y = log(y*).Luego

exp(x+ y) = exp(log(x*)+ log(y*)) = exp(log(x*y*)) = x*y* = exp(x)exp(y).

El siguiente resultado muestra que el numero e que hemos definido en esta seccion coincide con aqueldefinido por medio de sucesiones en el Capıtulo 1.

Proposicion 4.3. El numero e definido por

e = lımn,!

#1+

1n

$n

es tal que loge = 1.

Demostracion. Como la funcion logx es continua tenemos que

loge = log#

lımn,!

#1+

1n

$n$= lım

n,!log

#1+

1n

$n

= lımn,!

n log#

1+1n

$.

Por el Teorema del Valor Medio para Integrales tenemos que existe !(n) " (1,1+1/n) tal que

log#

1+1n

$=

K 1+1/n

1

1x

dx =1

!(n)1n.

Como lımn,! !(n) = 1 tenemos que

loge = lımn,!

1!(n)

= 1.

Podemos probar aun mas,

Teorema 4.20.lımn,!

'1+

xn

(n= ex = exp(x).

Demostracion. Para x = 0 el resultado es inmediato. Supongamos que x )= 0,y definamos la funcion f por

f (t) = log(1+ xt).

El dominio de esta funcion si x > 0 es (!1/x,!) y si x < 0 es igual a (!!,!1/x). En cualquier caso x = 0pertenece al dominio. Como

f *(t) =x

1+ xttenemos que f *(0) = x. Esto es

4.5 Logaritmo y Exponencial 179

lımh,0

log(1+ xh)h

= x.

Reemplazando ahora h por 1/n tenemos que

x = lımn,!

n log'

1+xn

(= lım

n,!log

''1+

xn

(n(.

Como la funcion exp(x) es continua obtenemos que

lımn,!

'1+

xn

(n= ex.

Observacion 4.21. Notemos que es posible definir funciones exponenciales y logaritmos en diferentes ba-ses. En efecto si a > 0 entonces

ax = y si y solo si loga x = y.

La funcion loga x se denomina logaritmo en base a. Tanto la exponencial como el logaritmo en distintasbases poseen las mismas propiedades que las funciones exp y log. Existe ademas una formula que nospermite pasar de una base a otra en las funciones logaritmo:

loga x =logxloga

.

Observacion 4.22. Debido a que tanto la funcion exponencial y el logaritmo son continuas en cualquierbase tenemos lo siguiente: para todo s " R

logxs = s logx.

En efecto, sea (pn/qn)n una sucesion de numeros racionales que convergen a s. En virtud del corolario 4.6y de la continuidad de las funciones logx y ax tenemos que

logxs = logxlımn,! pn/qn = log lımn,!

xpn/qn = lımn,!

logxpn/qn = lımn,!

(pn/qn) logx = s logx.

Ejemplo 4.69. Pruebe que la sucesion {xn }n"N definida por

xn = 1 +12+

13+ · · · + 1

n! log(n),

es convergente.

Solucion: Probaremos en primer lugar que la sucesion es decreciente.

xn ! xn+1 = 1+12+

13+ · · ·+ 1

n! (logn)!1! 1

2! 1

3+ · · ·! 1

n! 1

n+1+ log(n+1) =

log#

1+1n

$! 1

n+1.

Por otra parte,

log#

1+1n

$=

K 1+ 1n

1

dxx

>1n

nn+1

=1

n+1,

ya que el mınimo de la funcion 1/x en el intervalo [1,1+1/n] es n/(n+1). Ası

xn ! xn+1 > 0,

180 4 La Integral

por lo tanto la sucesion es decreciente. Probaremos ahora que la sucesion es acotada infreriormente. Note-mos que

logn =K n

1

dxx

=K 2

1

dxx+

K 3

2

dxx+

K 4

3

dxx+ · · ·+

K n

n!1

dxx.

Ahora como el maximo de la funcion 1/x en el intervalo [m! 1,m] es 1/m! 1 y el largo del intervalo esuno tenemos que: K m

m!1

dxx

# 1m!1

.

Ası

logn =K n

1

dxx

=K 2

1

dxx+

K 3

2

dxx+ · · ·+

K n

n!1

dxx

# 1+12+

13+ · · ·+ 1

n!1<

1+12+

13+ · · ·+ 1

n.

Por lo tantoxn = 1+

12+

13+ · · ·+ 1

n! logn $ 0.

Es decir, la sucesion es acotada y inferiormente y como es decreciente es acotada. El numero lımn,! xn = "se denomina constante de Euler y aun no se sabe si es un numero racional o irracional.

Ejemplo 4.70. Demuestre que!

"n=1

(!1)n+1 1n= log2.

Solucion: Utilizaremos el resultado del Ejemplo 4.69. Sea

xn = 1+12+

13+ · · ·+ 1

n! logn.

Notemos que la suma de los 2n primeros terminos de la serie armonica alternante es tal que

2n

"i=1

(!1)i+1 1i= 1! 1

2+

13! · · ·! 1

2n

11+

#12! 1

1

$+

13+

#14! 1

2

$+

12n!1

+

#1

2n! 1

n

$

=

#1+

12+

13+ · · ·+ 1

2n

$!#

1+12+

13+ · · ·+ 1

n

$

= (log(2n)! x2n)! (logn! xn) = log2+ x2n ! xn.

Haciendo n tender a infinito se tiene el resultado.

Concluiremos esta seccion probado que el numero e es irracional (en el Ejemplo 4.28 esto ya fue demos-trado, sin embargo la prueba que presentamos a continuacion es mas simple).

Ejemplo 4.71 (El numero e es irracional). Probaremos que e es irracional. Supongamos por contradiccionque e " Q, es decir e = p/q, con p,q " N. Sea n " N tal que n > max{q,3}. Es decir, n!e es un numeronatural. Por la formula de Taylor tenemos que

e = 2+12!

+ · · ·+ 1n!

+1

(n+1)!e- ,

donde - " (0,1). Luego

4.6 Integrales impropias 181

e-

n+1= n!e!2n!! n!

2!! · · ·! n!

n!,

es un numero entero. Por otra parte 1 < e- < e < 3, luego

0 <e-

n+1<

3n+1

< 1.

Esta contradiccion prueba que e es irracional.

4.6. Integrales impropias

La integral de Riemann posee algunas limitaciones bastante serias, por ejemplo no podemos integrarfunciones no acotadas ni tampoco podemos integrar sobre intervalos no acotados. Un problema mas pro-fundo y de mas difıcil solucion es que existen sucesiones de funciones integrables que convergen (en unsentido preciso) a una funcion no integrable. Fue el mismo Riemann quien propuso la solucion que aquıpresentamos a los dos primeros problemas mencionados. Diremos que una integral es impropia si es queel dominio de integracion es un intervalo no acotado o bien si es que la funcion integrada es no acotada.Consideraremos en primer lugar el caso en que el intervalo de integracion es no acotado.

4.6.1. Integrales Impropias de tipo 1.

Definicion 4.14. Sea f : [a,!),R una funcion tal que para todo b "R con b > a se tiene que la restriccionf : [a,b], R es una funcion integrable. Diremos que la integral impropia (llamada de primer tipo)

K !

af (x)dx

es convergente si el siguiente lımite existe

lımb,!

K b

af (x)dx. (4.7)

En tal caso, definimos K !

af (x)dx := lım

b,!

K b

af (x)dx.

Si el lımite en (4.7) no existe, diremos que la integral impropia diverge. De manera analoga definimos laintegral impropia

L a!! f (x)dx.

La integral sobre la recta real se define del siguiente modo

Definicion 4.15. Sea f : R,R tal que dado cualquier intervalo acotado [a,b]%R la funcion f : [a,b],Res integrable. Diremos que la integral impropia

L !!! f (x)dx converge si

K !

0f (x)dx y

K 0

!!f (x)dx (4.8)

convergen. En tal caso definimosK !

!!f (x)dx :=

K 0

!!f (x)dx+

K !

0f (x)dx.

182 4 La Integral

En caso que alguna de las integrales impropias en (4.8) diverja diremos queL !!! f (x)dx diverge.

Observacion 4.23. Notemos que la condicion de que ambas integralesK !

0f (x)dx y

K 0

!!f (x)dx (4.9)

existan, es una condicon mas fuerte que la existencia del siguiente lımite

lıma,!

K a

!af (x)dx.

En efecto, note que

lıma,!

K a

!axdx = 0.

Sin embargo la integral impropiaL !!! xdx no existe ya que

K 0

!!xdx =!! y

K !

0xdx = !.

Ejemplo 4.72. La siguiente es una integral impropia que convergeK !

1

dxx2 = lım

b,!

K b

1

dxx2 = lım

b,!

#1! 1

b

$= 1.

El ejemplo a continuacion no converge,K !

1

dxx

= lımb,!

K b

1

dxx

= lımb,!

lnb = !.

Ejemplo 4.73. Para " > 0, estudie la convergencia de la integralK !

1

dxx" .

Notemos que K b

1

dxx" =

11!"

(b1!" !1).

Por lo tanto podemos distinguir los siguientes cases:

1. Si " > 1 entoncesL !

1dxx" = (" !1)!1.

2. Si " " (0,1) entonces la integral no existe.3. Si " = 1 la integral no existe ya que lımx,! logx = !.

Ejemplo 4.74. CalculeL !

0dx

x4+4 .

Solucion: Descomponiendo en fracciones parciales obtenemos queK dx

x4 +4=

18

K x+2x2 +2x+2

dx! 18

K x!2x2 !2x+2

dx =

116

ln)x2 +2x+2

*+

18

arc tg(x+1)! 116

ln(x2 !2x+2)+18

arc tg(x!1)+C.

Luego

lımb,!

K b

0

dxx4 +4

= lımb,!

#1

16ln#

b2 +2b+2b2 !2b+2

$+

18

arc tg(b+1)+18

arc tg(b!1)$=

&8.


Ası K !

0

dxx4 +4

=&8.

Ejemplo 4.75. Calcule K !

0xe!x2

dx.

Considere el cambio de variables u = x2. Obtenemos entoncesK !

0xe!x2

dx =12

K !

0e!udu = lım

b,!

12

'1! e!b

(=

12.

El siguiente es un criterio que nos permite establecer convergencia de integrales impropias.

Teorema 4.21 (Criterio de Weierstrass). Si para todo x $ a se tiene que 0 # f (x) # g(x) yL !

a g(x)dxconverge, entonces

L !a f (x)dx tambien converge y

K !

af (x)dx #

K !

ag(x)dx.

Demostracion. Este resultado se sigue del hecho que si F : [a,!), R es una funcion creciente y acotadaentonces lımx,! F(x) existe. La demostracion de esta afirmacion es consecuencia directa del criterio deconvergencia de Weierstrass para lımite de funciones. Ası denotando F(x) =

L xa f (t)dt tenemos que F es

acotada y como f $ 0 es ademas creciente. Con lo que concluye la demostracion.

Observacion 4.24. Es importante notar que no es necesario que lımx,! f (x) = 0 para que la integral impro-pia

L !a f (x)dx converja.

Observacion 4.25. Notemos que siL !

a f (x)dx es divergente y para x $ a se tiene que f (x)# g(x) entoncesL !a g(x)dx es divergente.

Observacion 4.26 (Criterio de comparacion). Sean f ,g : [a,!),R dos funciones positivas tales que existeK > 0 satisfaciendo

lımx,!

f (x)g(x)

= K.

Tenemos queL !

a f (x)dx converge si y solo siL !

a g(x)dx converge.

El siguiente es un ejemplo de como se aplica el criterio de comparacion.

Ejemplo 4.76 (Las integrales de Bertrand). Sean ",% "R+ dos parametros reales. Analizaremos la con-vergencia de la integral K !

2

1x" log% (x)

dx.

Sea µ = (1+")/2. Si " > 1 entonces 1 < µ < " . Como para todo % " R se tiene que

lımx,!

xµ

x" log% (x)= 0,

existe A > 0 tal que para todo x > A tenemos que

xµ

x" log% (x)# 1.

En particular1

x" log% (x)# 1

xµ .

184 4 La Integral

Como la integral K !

2

1xµ dx < !,

tenemos que K !

2

1x" log% (x)

dx

converge. Ahora, si " < 1 entonces 1 > µ > " . Como para todo % " R se tiene que

lımx,!

xµ

x" log% (x)= !,

existe A > 0 tal que para todo x > A tenemos que

xµ

x" log% (x)> 1.

Como la integral K !

2

1xµ dx = !,

tenemos que K !

2

1x" log% (x)

dx

diverge. Finalmente, consideremos el caso en que " = 1. Para todo A > 2, haciendo el cambio de variableu = logx, tenemos que K A

2

1x log% (x)

dx =K logA

log2

1u% du.

Como K !

log2

1x% dx

es convergente si y solo si % > 1 tenemos queK !

2

1x log% (x)

dx

es convergente si y solo si % > 1.

Teorema 4.22 (El test de la Integral). Sea $ : [1,!) , R una funcion positiva y decreciente. La serie"!

n=1 $(n) converge si y solo si la integralL !

1 $(x)dx converge.

Demostracion. Como $ es monotona entonces es integrable en todo intervalo de la forma [1,b]. Sea N "Npara todo k " N tal que k # N +1 tenemos que

$(k+1)#K k+1

k$(x)dx # $(k).

Por lo tanto$(2)+$(3)+ · · ·+$(N)#

K N

1$(x)dx # $(1)+$(2)+ · · ·+$(N !1)

De donde se deduce el resultado.

Observacion 4.27. Es una consecuencia directa del Teorema 4.22 que si f : [a,!), R es una funcion nonegativa entonces una condicion necesaria para la convergencia de la integral

4.6 Integrales impropias 185K !

af (x)dx,

es quelımx,!

f (x) = 0.

En efecto, caso contrario la serie "!n=1 f (n) diverge. Es importante recalcar que existen funciones cuyo

lımite no es cero y cuya integral converge, sin embargo estas funciones poseen imagenes tanto positivascomo negativas. Ver Ejemplo 4.83.

Ejemplo 4.77. Sea p > 0. Estudie la convergencia de la serie

!

"n=1

1n logp n

.

La funcion f (x) = (x logp x)!1 es decreciente en (2,!). El test de la integral (Teorema 4.22) implica que laserie

!

"n=1

1n logp n

converge si y solo si la integralL !

2 f (x)dx converge. Pero estas integrales las estudiamos en el Ejemplo 4.76.Luego la serie converge si y solo si p > 1.

Teorema 4.23 (El Criterio de Cauchy). Sea f : [a,!), R una funcion integrable en todo intervalo aco-tado. La integral K !

af (x)dx

converge si y solo si para todo ! > 0 existe A > a tal que para todo t1, t2 > A se tiene que&&&&K t2

t1f (x)dx

&&&&< !.

Demostracion. Sea F(t) =L t

a f (x)dx y supongamos que la integral impropiaL !

a f (x)dx existe. Entoncespara todo ! > 0 existe A > 0 tal que si t > A entonces

&&&&F(t)!K !

af (x)dx

&&&&<!2.

Luego si t1, t2 > A tenemos que

|F(t1)!F(t2)|#&&&&F(t1)!

K !

af (x)dx

&&&&+&&&&F(t2)!

K !

af (x)dx

&&&&<!2+

!2< !.

Lo que prueba una de las implicancias. Supongamos ahora que para todo ! > 0 existe A > a tal que paratodo t1, t2 > A se tiene que &&&&

K t2

t1f (x)dx

&&&&< !. (4.10)

Notemos que la integral converge si para todo sucesion (tn)n tal que lımn,! tn = ! se tiene que (F(tn))nes convergente, es decir si la sucesion (F(tn))n es de Cauchy. Pero nuestra suposicion en la ecuacion 4.10justamente es la definicion de suceson de Cauchy.

Teorema 4.24 (El Test de Abel). Sean f ,g : [a,!), R una funciones tales que

1. La funcion g es monotona y acotada en [a,!).2. La integral

L !a f (x)dx es convergente.

186 4 La Integral

Entonces la integral K !

af (x)g(x)dx

es convergente.

Demostracion. Utilizaremos el Criterio de Cauchy (Teorema 4.23). Sea ! > 0, como g(x) es acotada existeM " R tal que para todo x > a se tiene que |g(x)| < M. Por otra parte como la integral

L !a f (x)dx es

convergente, exista A > 0 tal que para todo t1, t2 > A se tiene que&&&&K t2

t1f (x)dx

&&&&<!

2M.

Por el segundo teorema del Valor medio para integrales (ver Ejercicio 32) tenemos que para todo t1, t2 > Aexiste c " (t1, t2) tal que

K t2

t1f (x)g(x)dx = g(t1)

K c

t1f (x)dx+g(t2)

K t2

cf (x)dx.

Luego &&&&K t2

t1f (x)g(x)dx

&&&&# |g(t1)|&&&&K c

t1f (x)dx

&&&&+ |g(t2)|&&&&K t2

cf (x)dx

&&&& .

Pero &&&&K c

t1f (x)dx

&&&&#!

2My

&&&&K t2

cf (x)dx

&&&&#!

2M

Es decir, &&&&K t2

t1f (x)g(x)dx

&&&&< !.

4.6.2. Integrales impropias de tipo 2

Consideraremos ahora el caso de una funcion no acotada definida en un intervalo acotado.

Definicion 4.16. Sea f : (a,b], R una funcion tal que para todo ! > 0 se tiene que f : [a+ !,b], R esintegrable. Diremos que la integral impropia (de tipo 2)

K b

af (x)dx

es convergente si el siguiente lımite existe

lım!,0

K b

a+!f (x)dx. (4.11)

En tal caso diremos queL b

a f (x)dx converge y definimos

K b

af (x)dx := lım

!,0

K b

a+!f (x)dx.

En caso que el ımite en (4.11) no exista, diremos que la integral diverge. De manera analoga definimos laintegral de una funcion f : [a,b),R. Finalmente si f : (a,b)\{c},R es una funcion tal que las integrales

K c

af (x)dx y

K b

cf (x)dx


existen, definimos K b

af (x)dx :=

K c

af (x)dx+

K b

cf (x)dx.

En caso que alguna de las integrales impropias en la suma no exista, diremos queL b

a f (x)dx diverge.

Ejemplo 4.78. Para " > 0, estudie la convergencia de la integralK 1

0

dxx" .

Notemos que el integrando 1/x" tiende a infinito cuando la variable x tiende a cero. Si " )= 1 entonces dado! > 0 tenemos que K 1

!

dxx" =

11!"

(1! !1!").

Luego

1. Si " > 1 entoncesL 1

0dxx" = !.

2. Si " < 1 entoncesL 1

0dxx" = 1/(1!").

3. Si " = 1 entoncesL 1

!dxx =! log! . Luego

L 10

dxx" = !.

Ejemplo 4.79. Calcule K 1

0

dx(1! x2

.

Notemos que si ! > 0 entonces

lım!,0

#K 1!!

0

dx(1! x2

$= lım

!,0arcsin(1! !) = &

2.

El siguiente resultado nos permite estudiar la convergencia de este tipo de integrales, es basicamente unaversion del criterio Weierstrass.

Teorema 4.25. Sean f ,g : [a,b), R una funciones tales que para todo c " (a,b) se tiene que son integra-bles en [a,c]. Si

lımx,b

f (x) = lımx,b

g(x) = !

y existe K > 0 tal que

lımx,b

f (x)g(x)

= K,

entoncesL b

a f (x)dx converge si y solo siL b

a g(x)dx converge.

Demostracion. Existe ) > 0 tal que si x " (b!) ,b) tanto f como g son positivas y&&&&

f (x)g(x)

!K&&&&<

K2.

Luego si x " (b!) ,b) entoncesK2# f (x)

g(x)# 3K

2.

El resultado se sigue entonces de las desigualdades

Kg(x)2

# f (x) y f (x)# 3Kg(x)2

.

188 4 La Integral

El resultado anterior puede adaptarse simplemente la caso en que la funcion que se integra tenga unasingularidad en un punto que no sea el extremo del intervalo.

Ejemplo 4.80. La integral K &/2

0

dxsenx

Diverge. En efecto, comolımx,0

senxx

= 1,

y K &/2

0

dxx

diverge. El Teorema 4.25 prueba la divergencia de la integral.

4.6.3. Ejemplos

En esta seccion trataremos algunos ejemplos importantes de integrales impropias.

Ejemplo 4.81 (La funcion Gamma). La funcion Gamma es una extension de la nocion de factorial. Sedefine por 0 : (0,!), R

0 (t) :=K !

0e!xxt!1dx. (4.12)

Comenzaremos probando que la funcion esta bien definida, es decir que la integral converge. Para elloprobaremos que las siguientes integrales existen para todo t > 0,

K 1

0e!xxt!1dx ,

K !

1e!xxt!1dx.

Una vez probado que ambas integrales existen tenemos que

0 (t) =K 1

0e!xxt!1dx+

K !

1e!xxt!1dx

esta bien definida. Consideramos en primer lugar la integralK 1

0e!xxt!1dx.

Notemos que si t $ 1 entonces la integral se reduce a la integral de Riemann de una funcion continua ypor lo tanto existe. El caso a considerar es aquel en que t ! 1 < 0. Es decir, cuando t " (0,1). En tal caso!1 < t ! 1 < 0 y 0 < !(t ! 1) < 1. En particular tenemos que 0 < e!xxt!1 < x(t!1). Luego, en virtud delEjemplo 4.78 tenemos que K 1

0e!xxt!1dx #

K 1

0

1x1!t < !.

Hemos probado que para t > 0 la integralL 1

0 e!xxt!1dx converge. Consideraremos ahora la integralK !

1e!xxt!1dx.

Notemos que para todo t > 0 tenemos que

lımx,!

x2e!xxt!1 = 0.


En particular, existe A > 0 tal que si x > A entonces x2e!xxt!1 < 1, es decir

e!xxt!1 <1x2 .

Notemos que la siguiente es la integral de Riemann de una funcion continua y por lo tanto esta bien definida:K A

1e!xxt!1dx.

Ası,K !

1e!xxt!1dx =

K A

1e!xxt!1dx+

K !

Ae!xxt!1dx #

K A

1e!xxt!1dx+

K !

1

1x2 < !.

Por lo tanto la funcion Gamma esta bien definida.Integrando por partes probaremos que efectivamente es una generalizacion del factorial en el siguiente

sentido, la funcion Gamma satisface la ecuacion funcional:

0 (t) = (t !1)0 (t !1). (4.13)

En particular, por recurrencia obtenemos que si n " N entonces

0 (n) = (n!1)(n!2) · · ·3 ·2 ·1K !

0e!xdx.

Como K !

0e!xdx = 1,

tenemos que0 (n) = (n!1)!.

De este modo hemos obtenido una expresion integral para el factorial. Probaremos ahora la ecuacion (4.13).Notemos, utilizando integracion por partes, que para 0 < a < b < !,

K b

ae!xxt!1dx =!e!xxt!1&&b

a +(t !1)K b

ae!xxt!2dx = e!bbt!1 + e!aat!1 +(t !1)

K b

ae!xxt!2.

De donde podemos deducir que, para todo t > 1,

0 (t) = (t !1)K !

0e!xxt!2dx = (t !1)0 (t !1).

Notemos que para t " [0,1] tenemos que e!1 # e!t , luego

0 (0) =K !

0e!xx!1dx $ e!1

K !

0

1x= !.

Utilizando la ecuacion funcional es posible extender la defincion de la funcion Gamma para t < 0, en estecaso la funcion es finita si t " R\Z!.

Ejemplo 4.82 (La integral de Dirichlet). En este ejemplo seguimos el artıculo de Kozakiewicz [11]. Es-tudiaremos la convergencia de una integral considerada por Dirichlet y probaremos que

K !

0

senxx

dx =&2.

190 4 La Integral

Comenzaremos probando la convergencia de esta integral. Notemos que la funcion f (x) := senx/x es con-tinua para todo valor finito de x (para x = 0 es igual a lımx,0(senx/x) = 1). Por lo tanto para todo b "R setiene que K b

0

senxx

dx

es convergente. En efecto, si consideramos la funcion

f (x) :=

/senx

x si x " (0,b];1 si x = 0.

Entonces f es una funcion continua (y por lo tanto integrable) en [0,b]. AsıK b

0

senxx

dx = lım!,0

K b

!

senxx

dx = lım!,0

K b

!f (x)dx =

K b

0f (x)dx.

Luego, para probar la convergencia basta probar que el siguiente lımite existe

lımb,!

K b

0

senxx

dx.

Notemos que

Iab :=K b

a

senxx

dx =!K b

a

1x(cosx)*dx.

Integrando por partes obtenemos que

Iab =!cosb

b! !cosa

a!

K b

a

cosxx2 dx

Ahoralımb,!

Iab =cosa

a!

K !

0

cosxx2 dx.

Notemos que por el Test de Weierstrass

!! <!K !

1

1x2 #

K !

1

cosxx2 dx #

K !

1

1x2 < !.

Luego, comoL !

acosxx2 dx converge tenemos que la integral de Dirichlet converge. Para calcular el valor de la

integral comencemos notando que para todo n " N0{0} se tiene queK &

0

sen((n+1/2)x)2sen(x/2)

dx =&2.

En efecto la relacion anterior se obtiene integrando los dos lados de la siguiente identidad

12+ cosx+ cos2x+ . . .cosnx =

sen((n+ 12 )x)

2sen x2

y recordando queL

cos(nx) = (1/n)sen(nx). Definimos ahora la funcion $ : (0,&], R por

$(x) = 1x! 1

2sen x2=

2sen x2 ! x

2xsen x2

.

Aplicando dos veces la regla de L’Hopital obtenemos que lımx,0 $(x) = 0. Definimos entonces $(0) = 0,de modo que la funcion $ : [0,&] , R es continua. Por lo tanto la funcion $ satisface las hipotesis del


Teorema 4.10. Haciendo en ese Teorema k = n+1/2 obtenemos

lımn,!

K &

0

#1x! 1

2sen x2

$sen((n+1/2)x)dx = 0.

Luego

lımn,!

#K &

0

sen((n+1/2)x)x

dx!K &

0

sen((n+1/2)x)2sen(x/2)

dx$=

lımn,!

#K &

0

sen((n+1/2)x)x

dx! &2

$= 0.

Es decirlımn,!

K &

0

sen((n+1/2)x)x

dx =&2.

Haciendo el cambio de variable u = (n+1/2)x tenemos que

lımn,!

K (n+1/2)&

0

sen(u)u

du =&2. (4.14)

Como K !

0

senxx

dx

es convergente, de la ecuacion (4.14) deducimos queK !

0

senxx

dx =&2.

Ejemplo 4.83 (La integral de Fresnel). Las integrales de Fresnel aparecen de modo natural en el estudiode difraccion de la luz. Se definen por

F1 =K !

0sen(x2)dx y F2 =

K !

0cos(x2)dx.

Utilizando el cambio de variables u = x2 obtenemos

F1 =12

K !

0

sen(u)(u

du y F2 =12

K !

0

cos(u)(u

du.

Integrando por partes obtenemos queK B

A

sen(u)(u

du =1! cosB(

B! 1! cosA(

A+

12

K B

A

1! cosuu3/2 .

Notando que

lımB,!

1! cosB(B

= lımA,0

1! cosA(A

= 0,

Tenemos que

F1 =14

K !

0

1! cosuu3/2 .

Pero la integral del lado derecho de la igualdad converge, en efecto la demostracion es analoga a la desarro-llada en ele Ejemplo 4.82. Un argumento similar prueba la convergencia de F2.

192 4 La Integral

Observacion 4.28. Hemos visto en el ejemplo 4.83 que a pesar de que existe una gran similitud en entreel estudio de series y el de las integrales impropias, existen funciones tales que

L !a f (x)dx converge, pero

lımx,! f (x) )= 0.

4.7. Ejercicios

Algunos de los siguientes ejercicios aparecen en los textos de Bressoud [3], Hardy [11], Lima [14],Thomas [21] y del texto de Polya y Szego [15].

1. Determine la integral superior y la integral inferior de la funcion

f (x) =

/x si x " [0,1]6Q;0 si x " [0,1]6Qc.

2. Demuestre que , si f : [0,2], R y g : [!1,1], R son funciones integrables entoncesK 2

0(x!1) f ((x!1)2)dx = 0 =

K &

0g(senx)cosxdx.

3. Sea f : [a,b],R una funcion no negativa y acotada. Sea E f = {g : [a,b],R : g funcion escalonada tal que g(x)#f (x),x " [a,b]}. Demuestre que

K b

af (x)dx = sup

!K b

ag(x)dx : g " E f

".

4. Sea f : [a,b],R una funcion no negativa y acotada. Demuestre que las integrales superiores e inferioresno cambian si la funcion f se reemplza por una nueva funcion que difiere de f en un solo punto.

5. Construya ejemplos de funciones no integrables que poseen primitivas.6. Sea f : [a,b], R una funcion integrable. Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes

a)K b

af (x)dx = 0.

b) Si f es continua en c, entonces f (c) = 0.

7. Sea f : R , R una funcion diferenciable tal que f (0) = 0 y para todo x " R se tiene f *(x) = ( f (x))2

Demuestre que para todo x " R se tiene que f (x) = 0.8. Sean f ,g : [a,b] , R dos funciones integrables. Demuestre que las siguientes funciones tambien son

integrablesM(x) := max{ f (x),g(x)} y m(x) := mın{ f (x),g(x)}.

9. Sea f : [a,b], R una funcion acotada. Denotemos por ((x) la oscilacion de f en x " [a,b]. Demuestreque

K b

af (x)dx!

K b

af (x)dx =

K b

a((x)dx.

10. Sea f : [a,b], R una funcion con derivada integrable. Denote por m = (a+b)/2. Demuestre que

f (a)+ f (b) =2

b!a

K b

a

)f (x)+(x!m) f *(x)

*dx.

11. Construya un ejemplo de una funcion integrable que sea discontinua en un conjunto infinito.12. Basandose en la formula de Wallis, demuestre que

4.7 Ejercicios 193

lımn,!

24n(n!)4

((2n)!)2(2n+1)=

&2.

13. Demuestre que K dx(x! p)

+(x! p)(x!q)

=2

q! p

-x!qx! p

.

14. Sea f : [0,1], R definida por

f (x) =

/1 si x = 1/n, n " N;0 caso contrario.

Pruebe que la funcion f es integrable y calcule su integral.15. Sea A := (an)n una sucesion definida en [0,1] tal que "!

n=1 an < !. Sea f : [0,1], R definida por

f (x) = "an"A:an#x

an.

Demuestre que f es integrable.16. Utilizando la definicion de integral dada por Riemann calcule los siguientes lımites

a)

lımn,!

1n

'e1/n + e2/n + e3/n + · · ·+ en/n

(.

b)

lımn,!

1n3

)12 +22 + · · ·+n2* .

c)

lımn,!

1nk+1

'1k +2k + · · ·+nk

(, k > 0.

d)

lımn,!

#1

n+1+

1n+2

+ · · ·+ 13n

$.

e)

lımn,!

n2#

1n3 +13 +

1n3 +23 + · · ·+ 1

n3 +n3

$.

f )

lımn,!

1n

n+(n+1)(n+2) · · ·(n+n).

g)

lımn,!

1(n

#1+

1(2+ · · ·+ 1(

n

$.

17. Determine las siguientes primitivas:

a) K senx2+ cosx

dx,K

x1/3+

x4/3 !1dx,K x(

1!4x2dx.

b)K

e3xdx,K

xe!x2dx,

K e(

x+1(

x+1dx.

c)

194 4 La IntegralK

senx(

1+ cosxdx,K

tg(3x)dx,K

sen2(3x)cos(3x)dx.

d) K cos3 xsen2 x

dx,K 1

x log3xdx,

K ex

1+ ex dx.

e) K dxcos2 x

,K

sen6(x)dx,K

sen4(ax)dx.

f ) K 1(1!4x2

dx,K x(

4+ x2dx,

K x4+ x2 dx.

g) K 1x(

x2 !a2dx,

K dx(2!5x2

,K x+1(

4! x2dx.

h) K 1(x2 !2x+5

dx,K

(2x+3)4x2 +4x+5

dx,K x

x2 +4x+5dx.

i) K xx2 !2x!3

dx,K 1

x(x+1)2 dx,K ex

e2x +3ex +2dx.

j) Kx logxdx,

Ksen(logx)dx,

Klog(a2 + x2)dx.

k) Kx(cos(2x+1))dx,

Kxarcsen(x)dx,

Kx2 arc tg(x)dx.

l) K 11! senx

dx,K cosx

2! cosxdx,

Kcos(3x)sen(2x)dx.

m)K 1!

(x

1+(

xdx,

K 1x(1! 4

(x

dx,K (

x3 !1x

dx.

18. Demuestre que si g : [c,d], R es integrable y f : [a,b], [c,d] es diferenciable con derivada continuatal que f *(x) )= 0 entonces la compuesta g7 f : [a,b], R es integrable.

19. Demuestre que si g : [c,d] , R es continua y f : [a,b] , [c,d] es integrable entonces la compuestag7 f : [a,b], R es integrable.

20. Sea f : [0,1], R una funcion monotona. Demuestre que&&&&&

K 1

0f (x)dx! 1

n

n

"i=1

f#

in

$&&&&&#f (1)! f (0)

n.

Este resultado fue probado en 1937 por Sewell y Wals [22].21. Sea f : [0,1], R una funcion Lipschitz, es decir, tal que existe una constante M > 0 de modo tal que si

x,y " [0,1] entonces| f (x)! f (y)|< M|x! y|.

Demuestre que &&&&&

K 1

0f (x)dx! 1

n

n

"k=1

f#

kn

$&&&&&<M2n

.

4.7 Ejercicios 195

22. Demuestre que si f ,g : [a,b],R son funciones tales que f *(x) =!g(x) y g*(x) = f (x) entonces f 2(x)+g2(x) es constante.

23. Sea f : [a,b], R una funcion continua y C > 0 una constante. Sea {x0,x1, . . . ,xn} un subconjunto (nonecesariamente ordenado) de [a,b] tal que x0 = a y xn = b y

n

"i=1

|xi ! xi!1|<C.

Sea )n = max{|xi ! xi!1| : i " {1, . . . ,n}} y considere la suma

Sn =n

"i=1

f (xi)(xi ! xi!1),

donde xi es un punto arbitrario en el intervalo de extremos xi y xi!1. Demuestre que para cualquiersucesion de sumas Sn tales que )n , 0, se tiene que

lımn,!

Sn =K b

af (x)dx.

Este resultado fue probado en 1943 por Robbins [17].24. De una definicion precisa de la nocion de lımite utilizada en la definicion de Riemann de integral (ver

Definicion 4.9).25. Demuestre que si k " N entonces

K &

!&cos(kx)dx =

K &

!&sen(kx)dx = 0.

26. Sea f : R, R una funcion impar y sea a > 0. DetermineK a

!af (x)dx.

27. Sean f ,g : [a,b], R dos funciones integrables tales que la funcion

t , f (t)g(t)

,

es integrable y decreciente. Demuestre que la funcion

r ,L r

a f (t) dtL r

a g(t) dt,

es decreciente. El resultado anterior es debido a M. Gromov y puede encontrarse en [3].28. Demuestre que si la funcion f : [a,b], R es integrable, entonces existe c " [a,b] tal que

K c

af (x)dx =

12

K b

af (x)dx.

29. Sea [x] la funcion parte entera. Demuestre que la transformacion de Gauss f : [0,1], R definida por

f (x) =

/0 si x = 0;1x !

M 1xN

caso contrario,

es tal que log |G*(x)| es integrable.

196 4 La Integral

30. Sean g : [a,b],R una funcion integrable y no negativa y f : [a,b],R una funcion integrable. Demues-tre que si K b

ag(x)dx = 0,

entonces K b

af (x)g(x)dx = 0.

31. Demuestre la desigualdad de Cauchy para integrales. Es decir, si f ,g : [a,b], R son funciones conti-nuas entonces #K b

a( f (x))2 dx

$#K b

a(g(x))2 dx

$$#K b

a( f (x)g(x))dx

$2

.

32. Pruebe que si f ,g : [a,b] , R son tales que f es positive e integrable, y g continua entonces existex0 " (a,b) tal que K b

af (x)g(x)dx = g(x0)

K b

af (x)dx.

Este resultado es conocido como el Segundo Teorema del Valor Medio para integrales.33. Demuestre que si f : [0,!), R es una funcion continua tal que para todo x > 0 se tiene que

f (x) =K x

0f (t)dt,

entonces f es identicamente nula.34. Recordemos (ver definicion A.5 ) que si n " N y 0 # k # n, el coeficiente binomial se define por

'nk

(=

n!k!(n! k)!

.

Demuestre que'n

k

(=

#(n+1)

K 1

0xk(1! x)n!kdx

$!1

.

35. Sea f : R , R una funcion tal que f **(x) $ 0 para todo x " R. Sea g : R , R una funcion continuaentonces

1a

K a

0f (g(t))dt $ f

#1a

K a

0g(t)dt

$.

36. Utilizando el Teorema de los intervalos encajados (Teorema 1.3) demuestre que si f : [a,b], R es unafuncion integrable entonces existe c " [a,b] donde la funcion es continua. (Ver el trabajo de Hirst [8]).

37. Sea 0 < q # p, demuestre quelog

pq# p!q

(pq.

38. Determine el menor valor de " " R tal que para todo x > 0 se tiene#

1+1x

$x+"> e

39. Sea f : [0,1], R una funcion continua. Demuestre que si para todo n " N se tiene queK 1

0f (x)xndx = 0

entonces f (x) = 0.40. Utilizando la formula de Wallis (Corolario 4.4), demuestre que

4.7 Ejercicios 197

lımn,!

(n!)222n

(2n)!(

n=(

&.

41. Calculelımx,0

1

1! ex22

K 3x

0xet2

dt.

42. Sea f : [a,b], R una funcion continua. Denotemos por M = sup{ f (x) : x " [a,b]}. Demuestre que

lımn,!

n

,K b

a( f (t))n dt = M.

43. Sean f ,g : [a,b], R funciones continuas. Demuestre la desigualdad de Schwarz, es decir

#K b

af (x)g(x)dx

$2

#K b

af (x)dx

K b

ag(x)dx.

44. Sea f : [a,b], R una funcion derivable con derivada integrable. Demuestre que si x,c " [a,b] entonces

f (x) = f (c)+K x

cf *(t)dt.

45. Sean f : [a,b],R una funcion continua y g,h : [c,d], [a,b] funciones diferenciables. Defina la funcion$ : [c,d], R por

$(x) =K g(x)

h(x)f (t)dt.

Demuestre que la funcion $ es diferenciable y

$ *(x) = f (g(x))g*(x)! f (h(x))h*(x).

46. Sea n " N con n > 2, demuestre que

Kcosn(x)dx =

cosn!1(x)sen(x)n

+n!1

n

Kcosn!2 xdx.

47. Para utilizar el Teorema fundamental del Calculo (Teorema 4.12) es necesario que la derivada de unafuncion sea integrable. El siguiente resultado debido a J. van de Lune [16] caracteriza las funciones condicha propiedad. Demuestre que si f : [a,b],R es una funcion diferenciable entonces la derivada f * esintegrable en [a,b] si y solo si existe una funcion integrable $ : [a,b], R tal que

f (x) = f (a)+K x

a$(t)dt.

Construya un ejemplo done $ no satisface el Teorema de Darboux (ver Teorema 3.6).48. Sea f : [a,b], R una funcion acotada. Sea D el conjunto de puntos de discontinuidad de f y L el con-

junto de puntos donde existe el lımite por la izquierda. Demuestre que D6L es un conjunto numerable.Este resultado es debido a Levine [12] y permite probar la equivalencia entre distintas caracterizacionesde integrabilidad.

49. Demuestre que K 1

0

'lımn,!

nxe!nx2(

dx )= lımn,!

K 1

0nxe!nx2

dx.

50. Demuestre que la funcion f : R, R definida por

198 4 La Integral

f (x) =K &

0

sen(xt)t

dt,

es continua.51. Sea f : [0,1], R una funcion diferenciable con derivada continua. Calcule

lımn,!

;n

"k=1

f#

kn

$!n

K 1

0f (x)dx

<.

52. Sea f : [0,1], R una funcion acotada tal que la funcion f 2(x) := f (x) f (x) es integrable. Determine sies que podemos concluir que la funcion f es integrable.

53. Sea f : [0,1],R una funcion dos veces diferenciable tal que su segunda derivada sea continua. Calcule

lımn,!

;n2

K 1

0f (x)dx!n

n

"k=1

f#

2k!12n

$<.

54. Demuestre que K &

0xesenxdx =

&2

K &

0esenxdx.

55. Sra f (x) = |x| y F(x) =L x!1 f (t)dt. Determine una formula para F y si es que se tiene que F * = f .

56. Sea f : [a,b], R. La variacion total de f se define por

V ( f ) := sup

/n

"k=1

| f (xk)! f (xk!1)|2

donde el supremo se toma sobre el conjunto de todas las particiones finitas de [a,b].

a) Si f posee derivada continua utilice en Teorema Fundamental del Calculo para probar que V ( f ) #L ba | f *(x)|dx.

b) Utilice el Teorema del Valor Medio para probar la otra desigualdad y concluir que V ( f )=L b

a | f *(x)|dx.

57. SeaPn(x) :=

12nn!

dn

dxn

')x2 !1

*n(.

Demuestre que si n )= m entonces K 1

!1Pn(x)Pm(x)dx = 0.

Demuestre que K 1

!1Pn(x)2dx =

22n+1

.

Demuestre que si m < n entonces K 1

!1xmPn(x)dx = 0.

58. Sea f : [a,b], R una funcion integrable. Demuestre que siL b

a f 2(x) = 0 entonces f (x0) = 0 para cadax0 " (a,b) donde la funcion f es continua.

59. Demuestre que para todo a > 0 se tiene que

lımn,!

n( n(a!1) = loga.

60. Sea f : [a,b], [c,d] una funcion diferenciable con derivada continua tal que f *(x) )= 0 y g : [c,d], Runa funcion integrable. Demuestre que g7 f es integrable.

4.7 Ejercicios 199


a)

lımn,!

K 1

0

xn

1+ xdx.

b)

lımn,!

K 1

0nx(1! x2)ndx.

c)

lımn,!

K 2

0

sin(nx)x

dx.

62. Sea f : R, R una funcion continua y F(x) :=L x3

0 f (y)dy. Demuestre que

F *(x) = 3x2 f (x3).

63. (La integral de Riemann–Stieljes.) Sea f : [a,b] , R una funcion continua y sea h : [a,b] , R unafuncion creciente. Dada una particion P := {a = t0, t1, . . . , tn = b} definimos la Suma superior RS por

Srs(P, f ) :=n

"i=1

Mi(h(ti)!h(ti!1)),

donde Mi := sup{ f (x) : x " [ti!1, ti]}. Analogamente definimos la Suma inferior RS por

srs(P, f ) :=n

"i=1

mi(h(ti)!h(ti!1)),

donde mi := ınf{ f (x) : x " [ti!1, ti]}.

Demuestre que si P,R son dos particiones de [a,b] entonces srs(R, f )# Srs(P, f ).

La integral inferior RS de f se define porK

a

bf (x)dh(x) := sup{srs( f ,P) : P particion de [a,b]} ,

y la integral superior RS de f por

K b

af (x)dh(x) := ınf{Srs( f ,P) : P particion de [a,b]} .

Diremos que la funcion f es integrable en le sentido de Riemann-Stieljes si

K

a

bf (x)dh(x) =

K b

af (x)dh(x) :=

K b

af (x)dh(x).

a) Demuestre que si f : [a,b] , R es una funcion continua entonces f es integrable en el sentido deRiemann-Stieljes.

b) Demuestre que si h1,h2 : [a,b],R son funciones crecientes y f : [a,b],R es una funcion continuaentonces K b

af (x)d(h1 +h2)(x)) =

K b

af (x)dh1(x)+

K b

af (x)dh2(x).

200 4 La Integral

c) Suponga que la funcion creciente h : [a,b], R es derivable y su derivada es una funcion continua.Demuestre que si f : [a,b], R es una funcion continua entonces

K b

af (x)dh(x) =

K b

af (x)h*(x)dx.

64. Sea f : [a,b], R una funcion continua. Demuestre que

lımn,!

K b

af (x)cos(nx)dx = 0.

Utilice lo anterior, ademas del resultado anaologo para lımn,!L b

a f (x)sen(nx)dx, probar que

lımn,!

K b

af (x)sen2(nx)dx.

65. Seaf (x) :=

K x+1

xsen(t2)dt.

a) Pruebe que si x > 0 entonces | f (x)|< 1/x.b) Pruebe que

2x f (x) = cos(x2)cos)(x+1)2*+ r(x),

donde |r(x)|< c/x y c es una constante.

66. Demuestre que si f : R+ ,R es una funcion continua tal que f (xy) = f (x)+ f (y) entonces existe c "Rtal que f (x) = c logx.

67. Demuestre que al funcion T : R, R definida por

T (x) :=K &

0

sen(xt)t

dt,

es continua.68. Sea f : [a,b], R una funcion con derivada continua tal que f (a) = f (b) = 0 y

K b

af 2(x)dx = 1.

Demuestre que K b

ax f (x) f *(x)dx =!1

2.

69. Demuestre que

lımn,!

#nn+1 +(n+1)n

nn+1

$n

= ee.

70. Sean p,q " N tales que1p+

1q= 1.

Demuestre que si f ,g : [a,b]|, R sin funciones integrales entonces

&&&&K b

af (x)g(x)dx

&&&&##K b

a| f (x)|pdx

$1/p#K b

a|g(x)|qdx

$1/q

.

71. Sea f : [a,b], R una funcion continua y M su valor maximo. Demuestre que

4.7 Ejercicios 201

M = lımn,!

n

,K b

a( f (x))ndx

72. Demuestre que si f : [a,b], R es una funcion integrable entonces

K b

af (x)dx = lım

n,!

n

"k=1

f#

a+(k!")b!a

n

$b!a

n

donde " = 0 o bien " = 1/2 (dependiendo si escojemos la defincion de N. Wiener o la de K. Menger).Demuestre que si g : [0,1],R es la funcion caracterıstica de los nmeros racionales el lımite existe (auncuando g no es Riemann integrable). Ver [20].

73. Para n " N con n $ 3 definamosKn =

13log3

+ · · ·+ 1n logn

.

Demuestre que el siguiente lımite existe

lımn,!

(Kn ! log logn) .

74. El siguiente resultado puede encontrarse en [5]. Demuestre que existe una funcion f (x, t) definida parat $ 0 tal que

L !0 f (x, t)dt converge uniformemente en x $ 0 ademas

L !0 | f (x, t)|dt converge en x $ 0,

pero la convergencia de la ultima integral no es uniforme.75. Determine la convergencia de K !

1f (x)dx.

donde la funcion f se define para x " [n!1,n) por

f (x) =(!1)n+1

n.

76. Sea f : (0,1], R una funcion tal que

f (x) = an si x "#

1n+1

,1n

F,

sonde (an)n es una sucesion real (no necesariamente acotada). Demuestre que si las siguientes sumas deRiemann

1n

n

"i=1

f (k/n),

convergen cuando n,! entonces la integral (impropia)L 1

0 f (x)dx converge al mismo lımite, (ver [2, 19]para la demostracion y la relacion de este resultado con el Teorema de los numeros primos).

77. Demuestre que siL !

a | f (x)|dx converge entoncesL !

a f (x)dx converge.78. Demuestre que K !

1

cosxx2 dx

converge.79. Estudie la convergencia de K !

1

&&&senx

x

&&&dx

80. Sean n,m " R+. Demuestre que la siguiente integral convergeK 1

0xm!1(1! x)n!1dx.

202 4 La Integral

81. Sea n " R. Estudie la convergencia de la integralK !

0xn!1e!xdx.

82. Demuestre que K &/2

0log(senx)dx =!&

2log2.

83. Demuestre que K &

0x log(senx)dx =!&2

2log2.

84. Demuestre que si " > 0 y r " R entoncesK !

0e!"x cos(rx)dx =

""2 + r2

85. Demuestre que si f ,g : [a,!] , R dos funciones positivas y acotadas tales que existe K " R+ satisfa-ciendo

lımx,!

f (x)g(x)

= K.

Tenemos queL !

a f (x)dx converge si y solo siL !

a g(x)dx converge.86. Demuestre que si f (x) es una funcion no creciente tal que

L !a f (x)dx converge entonces lımx,! x f (x) =

0. Este resultado fue obtenido por Norris en [15].87. La transformada de Laplace de una funcion F(x) se define por

L (F(x)) :=K !

0e!sxF(x)dx.

Esta transformacion es analoga a las series de potencias y se utiliza para resolver ecuaciones diferencia-les.

a) Demuestre que

L (eax) =1

s!ay L (cos(ax)) =

ss+a2

b) Suponiendo que lımM,! e!sMF(M) = 0, demuestre que

L (F *(x)) = sL (F(x))!F(0)

c) Suponiendo que lımM,! e!sMF *(M) = 0 y que lımM,! e!sMF(M) = 0, demuestre que

L (F **(x)) = s2L (F(x))! sF(0)!F *(0).

d) Aplicando la transformada de Laplace y asumiendo las hiotesis de los problemas anteriores, resulevala siguiente ecuacion diferencial

F **(x)+F(x) = x

donde F(0) = 0 y F *(0) = 2”.

88. El siguiente resultado aparece en [10]. Nos entrega condiciones para que el estudio de las integralesimpropias tenga propiedades similares al estudio de series. Suponga que

L !a f (x)dx converge. Demuestre

que lımx,! f (x) = 0 si y solo si

lım),0

lımt0,!

supt1,t2

{| f (t1)! f (t2)| : t1, t2 $ t0, |t1 ! t2|# )} .

Referencias 203

89. Demuestre que si f : [a,!),R es una funcion continua tal queL !

a f (x)dx converge entonces lımx,! f (x)=0 si y solo si f es uniformemente continua. Ver [10].

90. Sea f : [a,!),R, una funcion dos veces diferenciable. Demuestre que si f y f ** son acotadas entoncestambien los es f * (ver [10]).

91. Demuestre que siL !

a f (x)2dx yL !

a f **(x)2dx convergen entonces tambien convergeL !

a f *(x)2dx. Ademaslımt,! f (t) = 0 (ver [10]).

92. El siguiente resultado es debido a Sard [18]. Sea P = {t1, t11 , t2, . . .} una particion marcada de [a,!).Sea f : [a,!) , R una funcion no negativa y no creciente tal que

L !a f (x)dx converge. Entonces

"!i=1 f (t1i )(ti+1 ! ti) converge a

L !a f (x)dx .

Referencias

1. Aigner, M. and Ziegler, G. M. Proofs from The Book. Fourth edition. Springer-Verlag, Berlin, 2010. viii+274 pp.2. Byrnes, J. S.; Giroux, A. and Shisha, O. Riemann sums and improper integrals of step functions related to the prime

number theorem. J. Approx. Theory 40 (1984), no. 2, 180–192.3. Chavel, I. Riemannian geometry. A modern introduction. Second edition. Cambridge Studies in Advanced Mathematics,

98. Cambridge University Press, Cambridge, 2006. xvi+471 pp.4. Erdos, P. A theorem on the Riemann integral. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 55 = Indagationes Math. 14, (1952).

142–144.5. Hallenbeck, D. J. and Tkaczynska, K. The absolute and uniform convergence of infinite improper integrals. Amer. Math.

Monthly 95 (1988), no. 2, 124–126.6. Hartig, D. L’Hopital’s rule via integration. Amer. Math. Monthly 98 (1991), no. 2, 156G157.7. Haruki, H. Classroom Notes: On a Well-Known Improper Integral. Amer. Math. Monthly 74 (1967), no. 7, 846–848.8. Hirst,K. E. A Property of Riemann-Integrable Functions The American Mathematical Monthly, Vol. 75, No. 2 (Feb.,

1968), pp. 168-169.9. Kampen, E. R. Van; The Fundamental Theorem for Riemann Integrals. Amer. J. Math. 58 (1936), no. 4, 847–850.

10. Kelman, R. B. and Rivlin, T. J. Classroom Notes: Conditions for Integrand of an Improper Integral to be Bounded orTend to Zero. Amer. Math. Monthly 67 (1960), no. 10, 1019–1022.

11. Kozakiewicz, W. Mathematical Notes: A Simple Evaluation of an Improper Integral. Amer. Math. Monthly 58 (1951),no. 3, 181–182.

12. Levine, L. On a Necessary and Sufficient Condition for Riemann Integrability The American Mathematical Monthly, Vol.84, No. 3 (Mar., 1977), p. 205.

13. Metzler, R. C. On Riemann Integrability The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 10 (Dec., 1971), pp. 1129-1131

14. Niven, Ivan A simple proof that & irrational. Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 509.15. Norris, M. J. Some necessary conditions for convergence of infinite series and improper integrals. Amer. Math. Monthly

60, (1953). 96–97.16. van de Lune, J. A Note on the Fundamental Theorem for Riemann-Integrals The American Mathematical Monthly, Vol.

82, No. 9 (Nov., 1975), pp. 918-919.17. Robbins, H. E. A Note on the Riemann Integral The American Mathematical Monthly, Vol. 50, No. 10 (Dec., 1943), pp.

617-618.18. Sard, A. Discussions and Notes: A Theorem on Improper Integrals. Amer. Math. Monthly 49 (1942), no. 8, 536–537.19. Selvaraj, S. A note on Riemann sums and improper integrals related to the prime number theorem. J. Approx. Theory 66

(1991), no. 1, 106–108.20. Sklar, A. Classroom Notes: On the Definition of the Riemann Integral. Amer. Math. Monthly 67 (1960), no. 9, 897–900.21. Thomas, G. Calculus and Analytic Geometry. Addison-Wesley Publishing Company (1960).22. Wals, J. L. and Sewell, W. E. Note on Degree of Approximation to an Integral by Riemann Sums The American Mathe-

matical Monthly, Vol. 44, No. 3 (Mar., 1937).23. Zhou, Li, Markov, Lubomir Recurrent proofs of the irrationality of certain trigonometric values. Amer. Math. Monthly

117 (2010), no. 4, 360–362.

Apendice ANumeros Naturales

En este apendice presentamos algunas de las nociones y herramientas basicas del conjunto de los nume-ros naturales que utilizamos en el texto. Las ideas estan ilustradas con una serie de ejemplos. Denotaremosal conjunto de los numeros naturales por N, a saber N= {1,2,3, . . .}.

A.1. Induccion

El conjunto de los numeros naturales puede caracterizarse por medio de tres axiomas, los denominadosaxiomas de Peano. El tercer axioma es el denominado Principio de induccion, que si bien enunciamos aquıcomo Teorema, es un axioma y por lo tanto no require demostracion.

Teorema A.1 (Principio de Induccion). Supongamos que a cada numero natural le asociamos una ciertapropiedad que llamaremos P(n). Si

1. Existe n0 " N tal que P(n0) es valida.2. Para cualquier natural n $ n0 se tiene que P(n)/ P(n+1).

Entonces la afirmacion es valida para todo numero natural mayor o igual a n0.

Ejemplo A.1. Probar que para todo n " N se tiene que

1+2+3+ . . .+n =n(n+1)

2.

Solucion. La afirmacion es valida para n = 1, en efecto

1 =1 · (1+1)

2.

Supongamos que la afirmacion se satisface para el natural n, es decir, P(n) es valida,

1+2+3+ . . .+n =n(n+1)

2.

Debemos probar P(n+1), es decir,

1+2+3+ . . .+n+(n+1) =(n+1)(n+2)

2.

Tenemos que

205

206 A Numeros Naturales

1+2+3+ . . .+n+(n+1) =n(n+1)

2+(n+1) =

n(n+1)2

+2(n+1)

2.

=(n+1)(n+2)

2.

Es decir, P(n)/ P(n+1). &'

Ejemplo A.2. Pruebe que1+3+ . . .+(2n!1) = n2.

Solucion. La afirmacion es valida para n = 1, en efecto, 1 = 12. Supongamos que la afirmacion se satisfacepara el natural n, es decir, P(n) es valida,

1+3+ . . .+(2n!1) = n2.

Debemos probar P(n+1), es decir,

1+3+ . . .+(2n!1)+(2n+1) = (n+1)2.

En efecto,1+3+ . . .+(2n!1)+(2n+1) = n2 +2n+1 = (n+1)2.

Es decir, P(n)/ P(n+1). &'

Ejemplo A.3. Pruebe la desigualdad de Bernoulli. Sea x >!1 y x )= 0, entonces para todo n "N con n $ 2se tiene que

(1+ x)n > 1+nx.

Solucion. Notemos que la proposicon es valida para n = 2, en efecto (1+ x)2 = x2 + 2x + 1 > 2x + 1.Supongamos que la afirmacion se satisface para el natural n, es decir,

(1+ x)n > 1+nx.

Debemos probar P(n+1). Notemos que

(1+ x)n+1 > (1+nx)(1+ x) = 1+ x+nx+nx2 = 1+(n+1)x+ x2 > 1+(n+1)x.

Por lo que, P(n)/ P(n+1). &'Una consecuencia notable de la desigualdad de Bernoulli es la desigualdad entre los promedios artimeti-

cos y geometricos. Probaremos que la desigualdad de Bernoulli implica que si (xi)i es una sucesion denumeros reales positivos entonces para todo n " N se tiene que

An :=x1 + x2 + · · ·+ xn

n$ n

(x1 · · · · · xn := Gn.

Como An/An+1 > 0 se sigue de la desigualdad de Bernoulli que#

An

An!1

$n

$ 1+n#

An

An!1!1

$=

An!1 +nAn !nAn!1

An!1=

nAn ! (n!1)An!1

An!1=

xn

An!1,

es decirAn

n $ xnAn!1n!1.

Utilizando reiteradamente la desigualdad anterior obtenemos

Ann $ xnAn!1

n!1 $ xnxn!1An!2n!2 $ · · ·$ xnxn!1 . . .x2A1

1 = xnxn!1 . . .x2x1 = Gnn.

A.1 Induccion 207

Es mas, es posible probar que la desigualdad de los promedios artimeticos y geometricos implica la de-sigualdad de Bernoulli. Es decir, ambas afirmaciones son equivalentes 1.

Ejemplo A.4. Pruebe que xn ! yn es divisible por x! y.

Solucion. La proposicion se cumple para n = 1, en efecto, x1 ! y1 = x! y. Supongamos que P(n) es ciertoy probemos P(n+1). Tenemos que

xn+1 ! yn+1 = xn+1 ! xny+ xny! yn+1 = xn(x! y)+ y(xn ! yn)

El primer miembro es divisible por x! y ya que es un multiplo de este y el segundo tambien lo es porhipotesis de induccion, por lo tanto P(n)/ P(n+1). &'

Ejemplo A.5. Pruebe que para todo n " N el numero 4n !1 es divisible por 3.

Solucion. La proposicion es valida para n = 1, en efecto, 41 ! 3 = 3. Supongamos que P(n) es cierto yprobemos P(n+1). Notemos que

4n+1 !1 = 44n !1 = 44n !4+4!1 = 4(4n !1)+3.

Por hipotesis existe K " N tal que 4n !1 = 3K. Por lo tanto,

4n+1 !1 = 3(4K)+3 = 3(4K +1).

Conlo que se tiene el resultado. &'

Ejemplo A.6. Pruebe que si un conjunto A posee n elementos, entonces posee 2n subconjuntos.

Solucion. Supongamos que el conjunto A = {a} posee un solo elemento. Entonces

P(A) = {$ ,{a}} > |P(A)|= 2 = 21

Supongamos que A posee n elementos y que |P(A)| = 2n. Consideremos el conjunto B = A 0 {n + 1},entonces los subconjuntos de B son

1. Todos los subconjuntos de A.2. Todos los subconjuntos de A unidos con el elemento {n+1}.

Luego por hipotesis,|P(B)|= 2n +2n = 2 ·2n = 2n+1

&'

Ejemplo A.7. Probar que

12 +22 +32 + . . .+n2 =n(n+1)(2n+1)

6

Solucion. Comenzamos verificando que P(1) es valido. En efecto,

12 =1(1+1)(2 ·1+1)

6=

2 ·36

= 1

Luego, suponemos que P(n) es valido y demostramos P(n+1). Ası

12 +22 +32 + . . .+n2 +(n+1)2 =n(n+1)(2n+1)

6+(n+1)2

1 Ver el artıculo: L. Maligranda The AM-GM inequality is equivalent to the Bernoulli inequality. Math. Intelligencer 34 (2012),no. 1, 1–2.


=(n2 +n)(2n+1)+6(n2 +2n+1)

6=

2n3 +n2 +2n2 +n+6n2 +12n+66

=2n3 +9n2 +13n+6

6=

(n+1)(n+2)(2n+3)6

&'

Ejemplo A.8. Sea X un conjunto de n elementos. Pruebe que el conjunto de biyecciones f : X , X tienen! elementos.

Solucion. Verificando P(1) que es valida f : {1}, {1}, entonces la cantidad de biyecciones es solo una y1 = 1!, por lo que P(1) es valida.

Supongamos que si |X | = n tenemos n! biyecciones. Consideremos el conjunto Y = X 0 {n+ 1}. Proce-diendo por conteo, notamos que si f (n+1) = 1 entonces tenemos n! biyecciones, si f (n+1) = 2 tenemosn! biyecciones,etc. Y ası obtenemos que tenemos n!(n+1) biyecciones, es decir, (n+1)!. &'

Teorema A.2 (Segundo Principio de Induccion). Supongamos que a cada numero natural le asociamosuna cierta propiedad que llamaremos P(n). Si

1. Existe n0 " N tal que P(n0) es valida.2. Para todo n $ n0 se tiene que

P(k) vale para k " {n0, . . . ,n})/ P(n+1).

Entonces la afirmacion es valida para todo numero natural mayor o igual a n0.

Ejemplo A.9. Pruebe que todo natural mayor que 2, puede escribrse como producto de numeros primos.

Solucion. Notemos que P(2) es verdadera, ya que 2 es un numero primo. Supongamos ahora que la pro-piedad es valida para todo m " {2,3, . . .n}. Entonces o bien el numero n+ 1 es primo, en cuyo caso nadahay que porbar, o bien se escribe como el producto de dos numeros n = m · k con m,k " {2,3, . . .n}. Comopor hipotesis tanto m como k se escriben como producto de primos, tenemos P(n+1).

Definicion A.1. Una sucesion se define como una funcion f : N , R. Al numero f (n) se le denominan-esimo termino de la sucesion (ver el Capıtulo 1).

Notacion. Usualmente el termino f (n) se denota por an y la sucesion f : N, R por {an}!n=1 o {an}n$1 o

{an}n"N.

Observacion A.1. Una sucesion es una lista ordenada de numeros.

Es posible definir una sucesion dando un termino general que no depende de los terminos anteriores de lasucesion, por ejemplo,

f (n) =n(n+1)

2.

o bien, definirla por recursividad. Esto es, definimos el primer termino de la sucesion a0 y obtenemos unaregla para definir an+1 a partir de los terminos anteriores.

Ejemplo A.10. Leonardo de Pisa (1170-1250), tambien conocido como Fibonacci, fue un matematico ita-liano de gran influencia. Entre otras cosas, a traves de su libro Liber Abaci divulgo el sistema numericoindo-arabico en Europa. Definio la siguiente sucesion, hoy denominada sucesion de Fibonacci. Sean a0 = 1,a1 = 1, los siguientes terminos de la sucesion se definen por

an+2 = an+1 +an.

Ası, los primero terminos son {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, . . .}. Las aplicaciones de esta sucesion son nu-merosas. Leonardo de Pisa la utilizo para calcular el crecimiento de poblaciones de conejos en condicionesideales.

A.2 Progresiones Aritmeticas y Geometricas 209

Ejemplo A.11. El factorial n!, se define por recursion. Sea 0! = 1definimos los siguientes terminos por

n! = (n!1)!n

Ejemplo A.12. Sean a0 = 0, a1 = 1 yan+2 =

an+1 +an

2.

Demuestre que para n > 0 se tiene que

an =23

#1!

#!1

2

$n$.

Solucion. Notemos que la formula es valida para n = 1. En efecto,

a1 =0+1

2=

23

;1!

#!1

2

$1<.

Supongamos que la porposicion es valida para todo m # n+2. Notemos que

an+3 =an+2 +an+1

2=

12

;23

;1!

#!1

2

$n+2<+

23

;1!

#!1

2

$n+1<<

=

13

;1!

#!1

2

$n+2+1!

#!1

2

$n+1<

=13

;2!

;#!1

2

$n+2+

#!1

2

$n+1<<

=

23

;1! 1

2

;#!1

2

$n+2+

#!1

2

$n+1<<

=23

;1! 1

2

#!1

2

$n+1#!1

2+1

$<=

23

;1! 1

22

#!1

2

$n+1<

=23

;1!

#!1

2

$2#!1

2

$n+1<

=23

;1!

#!1

2

$n+3<

Con lo que queda demostrada la afirmacion.

A.2. Progresiones Aritmeticas y Geometricas

Definicion A.2. Diremos que una sucesion {an}!n=0 es una progresion aritmetica si existe una constante

d " R tal quean+1 = an +d.

La constante d se denomina diferencia.

Observacion A.2. En general podemos dar una definicion no recursiva a saber, para todo n "N tenemos que

an = a0 +nd.

Ejemplo A.13. Deduzcamos la formula para la suma de los terminos de una progresion aritmetica.

Sea {a0,a1, . . . ,an} una progresion aritmetica con diferencia d. Entonces,

a0 +(a0 +d)+(a0 +2d)+ . . .+(a0 +nd) = (n+1)a0 +(1+2+ . . .+n)d

Pero recordamos que


1+2+3+ . . .+n =n(n+1)

2Ası obtenemos

n

"i=0

ai = (n+1)a0 +n(n+1)

2d

=(n+1)

2(2a0 +nd)

=(n+1)

2(a0 +(a0 +nd))

=(n+1)

2(a0 +an) ,

es decir, equivale al numero de sumandos multiplicado por el promedio entre el primer y ultimo termino.

Ejemplo A.14. Calcular la suma de los multiplos de 3 que son menores que 100. Notemos que estos formanuna progresion aritmetica de diferencia d = 3, por lo que tendremos

3+6+ . . .+99 = m#

3+992

$= 51m,

donde m es el numero de sumandos. Notemos ademas que an = 3n para n $ 1, por lo que podemos deducirque m = 33, ası

3+6+9+ . . .+99 = 51 ·33 = 1683.

El siguiente resultado es un ejemplo de un problema facil de formular, pero extremadamente difıcil deresolver. Es uno de los rsultados que la valio la medalla Fields a Terence Tao.

Teorema A.3 (Green-Tao 2008 2). En la sucesion de los numeros primos, existen progresiones aritmeticasarbitrariamente largas.

Definicion A.3. Diremos que una sucesion {an}!n=0 es una progresion geometrica si existe un numero cons-

tante r tal quean+1 = r ·an

La constante r se llama razon.

Ejemplo A.15. El producto de los primeros n terminos de la progresion geometrica es

n

#i=1

ai = an1 · r

n(n!1)2 = (a1 ·an)

n2 .

Lema A.1. La suma de una progresion geometrica viene dada por

a01+a0r+a0r2 + . . .+a0rn = a01! rn+1

1! r

Demostracion. Supongamos en primer lugar que a0 = 1. Sea 1,r, . . . ,rn una progresion geometrica. Deno-temos por S su suma, es decir,

1+ r+ r2 + . . .+ rn = S,

luego,r+ r2 + r3 + . . .+ rn+1 = rS.

2 La referencia precisa del resultado es Green, Ben; Tao, Terence The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions.Ann. of Math. (2) 167 (2008), no. 2, 481–547.

A.2 Progresiones Aritmeticas y Geometricas 211

Restando ambas igualdades obtendremos,

(1! r)S = 1! rn+1.

De donde

S =1! rn+1

1! r.

El resultado se obtiene notando que

a01+a0r+a0r2 + . . .+a0rn = a0(1+ r+ r2 + . . .+ rn).

&'

Ejemplo A.16. Sea r " R. Calculen

"i=1

iri.

Solucion. Sea S = "ni=1 iri. Haciendo un cambio de ındice (reemplazando i por i!1), obtenemos

S =n!1

"i=0

(i+1)ri+1.

Ademas, multiplicando la ecuacion original por r obtenemos

rS = rn

"i=1

iri =n

"i=1

iri+1.

Es decir,

S =n!1

"i=0

(i+1)ri+1.

rS =n

"i=1

iri+1.

Separando en la primera sumatoria el primer termino, y en la segunda el ultimo,

S = r+n!1

"i=1

(i+1)ri+1

rS =n!1

"i=1

iri+1 +nrn+1.

Restando estas dos ecuaciones, obtenemos

S! rS = r+n!1

"i=1

((i+1)ri+1 ! iri+1)!nrn+1 = r+n!1

"i=1

ri+1 !nrn+1.

Tenemos

S! rS = r+n!1

"i=1

ri+1 !nrn+1.

Comon!1"

i=1ri+1 =

n"

i=2ri, y r = r1, tenemos


S(1! r) = S! rS =n

"i=1

ri !nrn+1.

Ademas,n

"i=1

ri =n

"i=0

ri !1 =1! rn+1

1! r!1,

por lo que

S(1! r) =1! rn+1

1! r!nrn+1 !1,

de donde finalmente

S =1! rn+1

(1! r)2 ! nrn+1 +11! r

=1! rn+1

(r!1)2 +nrn+1 +1

r!1.

A.3. Sumatorias

En esta seccion revisaremos el uso de una notacion especial que en ciertos casos simplifica el calculo dealgunas sumas. Teoricamente no hay nada nuevo, simplemente comenatremos sobre el uso de una notacion.

Definicion A.4. Sea {an}!n=0 una sucesion y sean 0 # m < n dos enteros, uitilizaremos la siguiente notacion

n

"k=m

ak := am +am+1 + . . .+an.

Ejemplo A.17.

1.8

"k=3

k = 3+4+5+6+7+8.

2.n

"k=1

k2 =n(n+1)(2n+1)

6.

3.n

"k=0

arn = a#

1! rn+1

1! r

$.

Proposicion A.1. Sean {an} y {bn} dos sucesiones, entonces se satisfacen las siguientes igualdades:

(i)n

"k=m

A = (n!m+1)A.

(ii)n

"k=m

(Aak +Bbk) = An

"k=m

ak +Bn

"k=m

bk.

(iii)n

"k=m

ak =r

"k=m

ak +n

"k=r+1

ak, para m # r < n.

Proposicion A.2 (Propiedad Telescopica). Sea {an} una sucesion, entonces

n

"j=m

(a j+1 !a j) = an+1 !am.

Ejemplo A.18. Calculen

"i=1

1k(k+1)

.

A.3 Sumatorias 213

Solucion. Notemos primero que,1

k(k+1)=

1k! 1

k+1,

por lo que, por propiedad telescopica se tiene

n

"i=1

1k(k+1)

=n

"i=1

1k! 1

k+1= 1! 1

n+1.


"k=1

k(k+1)!

.


k(k+1)!

=(k+1)!1(k+1)!

=k+1

(k+1)!! 1

(k+1)!=

1k!

! 1(k+1)!

.

Luego por la propiedad telescopica tenemos que

n

"k=1

k(k+1)!

= 1! 1(n+1)!


"k=2

1k2 !1

.

Solucion. Notemos que1

k2 !1=

1(k!1)(k+1)

=12

#1

k!1! 1

k+1

$,

es decir,

n

"k=2

1k2 !1

=12

n

"k=2

#1

k!1! 1

k+1

$

=12

;n

"k=2

#1

k!1! 1

k

$+

#1k! 1

k+1

$<

=12

;n

"k=2

#1

k!1! 1

k

$+

n

"k=2

#1k! 1

k+1

$<

=12

##1

2!1! 1

n

$+

#12! 1

n+1

$$.


"k=1

k+2k(k+1)2k .

Solucion. Notemos quek+2

k(k+1)=

2k! 1

k+1,

ası


n

"k=1

k+2k(k+1)2k =

n

"k=1

#2

k2k !1

(k+1)2k

$

=n

"k=1

#1

k2k!1 ! 1(k+1)2k

$

= 1! 1(n+1)2n .


"k=1

(!1)k2k2,

para n par.

Solucion. Notemos que el termino general de la sumatoria ak = (!1)k2k2 es positivo cuando k es par ynegativo cuando k es impar, por lo tanto la suma anterior puede ser descompuesta en dos como se mostramosa continuacion,

n

"k=1

(!1)2k2 = 2

I n2

"k=1

(2k)2 !n2

"k=1

(2k!1)2

J

= 2

I4

n2

"k=1

k2 !4n2

"k=1

k2 +4n2

"k=1

k!n2

"k=1

1

J

Ejemplo A.23. En lo que sigue desarrollamos un metodo recursivo para calcular la suma de potencias. Porla propiedad telescopica tenemos que

S =n

"i=1

((i+1)3 ! i3) = (n+1)3 !13,

pero tambien,

S =n

"i=1

(i3 +3i2 +3i+1! i3) = 3n

"i=1

i2 +3n

"i=1

i+n

"i=1

1

= 3n

"i=1

i2 +3n(n+1)

2+n,

luego,

(n+1)3 !1 = 3n

"i=1

i2 +3n(n+1)

2+n,

es decir,n

"i1

i2 =13

E(n+1)3 !1! 3n(n+1)

2!n

F.

Ejercicio A.1. Utilizando el metodo desarrollado en el ejemplo A.23, determine una formula para,

n

"i=1

i3 ,n

"i=1

i4 ,n

"i=1

i5.

A.4 Teorema del Binomio 215

A.4. Teorema del Binomio

Recuerde que el factorial de n, es decir n! = n(n!1) · · ·2 ·1, representa la forma de ordenar n elementosdistintos.

Definicion A.5. Sea n " N y 0 # k # n, el coeficiente binomial se define por'n

k

(=

n!k!(n! k)!

,

y se lee n sobre k.

Observacion A.3. Tiene la siguiente interpretacion combinatorial,) n

k*

es el numero de subconjuntos de kelementos que pueden formarse de un conjunto de n elementos. O numero de formas de escoger k objetos deentre n. Efectivamente tenemos n(n!1) · · ·(n! k+1) subconjuntos ordenados de 4k elementos. Diviendoeste numero por los k! posibles ordenes obtenemos el numro combinatorio

) nk*

.

Proposicion A.3. Sea n " N y k " {0,1, . . .n}. Entonces

'nk

(=

#n

n! k

$.

Demostracion. Notemos que#

nn! k

$=

n!(n! k)!(n!n+ k)!

=n!

(n! k)!k!='n

k

(.

La siguiente proposicion fue probada por Blaise Pascal y permite relacionar los coeficientes bonomiales (onumeros combinatorios) con el triangulo de Pascal.

Proposicion A.4. Sea n " N y k " {0,1, . . .n}. Entonces#

n+1k+1

$='n

k

(+

#n

k+1

$.

Demostracion. Notemos que#

n!1k!1

$+

#n!1

k

$=

n!k!(n! k)!

+n!

(k+1)!(n! k!1)!=

(k+1)n!(k+1)!(n! k)!

+n!(n! k)

(k+1)!(n! k)!=

n!(k+1+(n! k))(k+1)!(n! k)!

=

#n+1k+1

$.

Observacion A.4. la relacion entre los coeficientes bonomiales y el Triangulo de Pascal es clara,

1 11 2 1

1 3 3 11 4 6 4 1

&&&&&&&&

'10

( '11

(

'20

( '21

( '22

(

'30

( '31

( '32

( '33

(

'40

( '41

( '42

( '43

( '44

(

El siguiente resultado fue probado por Isaac Newton.

Teorema A.4 (Teorema del Binomio). Sean x,y " R y n " N, entonces

(x+ y)n =n

"k=0

'nk

(xn!kyk =

n

"k=0

'nk

(xkyn!k.


Demostracion. Demostraremos este resultado por induccion. Para n = 1 tenemos que

(x+ y)1 = x+ y =#

10

$x1y0 +

#11

$x0y1 =

1

"k=0

#1k

$x1!kyk.

Supongamos el resultado valido para n, es decir supongamos que se satisface la siguiente igualdad

(x+ y)n =n

"k=0

'nk

(xn!kyk.

Notemos que

(x+ y)n+1 = (x+ y)(x+ y)n = (x+ y)n

"k=0

'nk

(xn!kyk = x

n

"k=0

'nk

(xn!kyk + y

n

"k=0

'nk

(xn!kyk =

n

"k=0

'nk

(xn+1!kyk +

n

"k=0

'nk

(xn!kyk+1 = xn+1 +

n

"k=1

'nk

(xn+1!kyk +

n!1

"k=0

'nk

(xn!kyk+1 + yn+1 =

xn+1 +n!1

"k=0

#n

k+1

$xn!kyk+1 +

n!1

"k=0

'nk

(xn!kyk+1 + yn+1 = xn+1 +

n!1

"k=0

##n

k+1

$+'n

k

($xn!kyk+1 + yn+1 =

xn+1 +n!1

"k=0

#n+1k+1

$xn!kyk+1 + yn+1 = xn+1 +

n

"k=1

#n+1

k

$xn+1!kyk + yn+1 =

n+1

"k=0

#n+1

k

$xn+1!kyk.

Ejemplo A.24. Pruebe quen

"k=0

'nk

(= 2n.


2n = (1+1)n =n

"k=0

'nk

(1n!k1k =

n

"k=0

'nk

(.

Notemos que el resultado anterior puede interpretarse de modo combinatorio de la siguinete maneras 2n esel numero de sub conjuntos e de un conjunto de cardinalidad igual a n. Como

) nk*

es la cantidad de subconjuntos de k elementos de un conjunto de n elementos, la suma "n

k=0) n

k*

representa la suma de todos lossubconjuntos de un conjunto de cardinalidad igual a n.

Ejemplo A.25. Calcule el sexto termino del desarrollo de (x+ y)15.

Solucion.t6 =

#155

$x10y5 = 300 ·3 · x10y5.

Ejemplo A.26. Calcule la suman

"k=2

E'nk

(#12+ . . .+

12k

$F.

Solucion. Por la formula de la suma de una progresion geometrica, tenemos

12+

122 + . . .+

12k = 1!

#12

$k

,

luego

A.4 Teorema del Binomio 217

n

"k=2

'nk

(I1!

#12

$kJ=

n

"k=0

'nk

(I1!

#12

$kJ!'n

0

(E1! 1

20

F!'n

1

(E1! 1

2

F

=n

"k=0

'nk

(!

n

"k=0

'nk

(#12

$k

! n2

= 2n !#

1+12

$n

! n2.

Ejemplo A.27. Calcule la suma 'n1

(+2

'n2

(+ . . .+n

'nn

(.

Solucion.n

"k=1

k'n

k

(=

n

"k=1

kn!

k!(n! k)!=

n

"k=1

n!(k!1)!(n! k)!

= nn

"k=1

(n!1)!(k!1)!(n! k)!

= nn

"k=1

#n!1k!1

$

= nn!1

"j=0

#n!1

j

$= n2n!1

Apendice BConjuntos numerables y no numerables

En este apendice discutimos brevemente la teorıa de conjuntos numerables y no numerables desarrolladapor G. Cantor.

Definicion B.1. Una funcion f : A , B se dice inyectiva si dados dos elementos x,y " A tales que f (x) =f (y) se tiene que x = y. Una funcion f : A , B se dice sobreyectiva si para todo z " B existe x " A tal quef (x) = z. Diremos que una funcion f : A , B es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Definicion B.2. Diremos que un conjunto A es numerable si es finito o si existe una biyeccion F : N, A.Caso contrario diremos que el conjunto es no numerable.

Si existe una biyeccion F :N, A diremos que la cardinalidad de A es igual a la del conjunto de los numerosnaturales. Notemos que es posible que un subconjunto propio A % B tenga la misma cardinalidad que B.

Ejemplo B.1. El conjunto de los numeros pares 2P = {2n : n " N} es un conjunto numerable y posee lamisma cardinalidad que N. En efecto, basta notar que la funcon F : N, 2P definida por F(n) = 2n es unabiyeccion.

No es difıcil construir biyecciones entre el conjunto de los numeros naturales y conjuntos de la formaKP := {kn : n " N}. Es mas, es posible contruir una biyeccion entre el conjunto de los numeros primos yN.

Ejemplo B.2. El conjunto de los numeros enteros Z := {. . . ,!2,!1,0,1,2 . . .} es numerable. En efecto,basta considerar la biyeccion, F : N, Z, definida por

F(n) =

/m si n = 2m;!m si n = 2m!1.

Observacion B.1. El producto cartesiano de dos conjuntos numerables es numerable.

Ejemplo B.3. El conjunto de los numeros racionales Q es numerable. En efecto, basta notar que como elconjunto de los numeros enteros Z es numerable, tenemos que el conjunto Z3Z tabien es numerable.Luego si consideramos la funcion sobreyectiva, F : Z3Z1 ,Q definida por

F(m,n) =mn,

tenemos que la cardinalidad de Q es menor o igual igual a la de Z3Z, de donde se obtiene el resultado.

Ejemplo B.4. El conjunto definido por

A = {(xi)i"N : xi " {0,1}} ,

es no numerable.

219

220 B Conjuntos numerables y no numerables

Demostracion. En efecto, suponhamos por el contrario que existe una biyeccion f : N, A. Denotemos por

f (n) = (xn1,xn2, . . . ,xnn, . . .).

Sea

xnm =

/1 si xnm = 0,0 si xnm = 1,

La sucesion (x11,x22, . . . ,xnn, . . .) no poee preimagen. Por lo tanto f no es una biyeccion. Esta contradiccionprueba el resultado.

Teorema B.1. (Cantor) El conjunto de los numeros reales R es no numerable.

Demostracion. Considere el subconjunto de los numeros reales que se escriben en base diez como

!

"n=1

xn

10n ,

donde xn " {0,1}. En virtud del ejemplo anterior este subconjunto es no numerable.

Apendice CContinuidad Uniforme

En este apendice discutiremos una nocion mas fuerte de continuidad.

Definicion C.1. Una funcion f : X %R,R es uniformemente continua si para todo ! > 0 existe ) > 0 talque si x,a " X tenemos que si |x!a|< ) entonces | f (x)! f (a)|< ! .

Notemos que a difrencia de la nocion de continuidad esudiada en el Capıtulo 2, en esta definicion el valorde ) es independiente del punto a " X . En particular es claro que toda funcion uniformemente continua escontinua. Por otra parte existen funciones continuas que no son uniformemente continuas como muestra elsiguiente ejemplo

Ejemplo C.1. La funcion f : (0,!) , R definida por f (x) = 1/x es continua, pero no uniformementecontinua.

Ejemplo C.2. La funcion f : R, R definida por f (x) = ax+b es uniformemente continua.

Si bien Cauchy en 1823 utilizo implıcitamente la nocion de continuidad uniforma en su demostracionde que toda funcion continua definida en un intervalo cerrado es integrable. Fue Dirichlet en 1852 quiendistinguio por primera vez las nociones de continuidad y continuidad uniforme. En efecto, en las notas deun curso de integracion dictado en la Universidad de Berlin fueron publicadas en 1904 , Dirichlet explıci-tamente nota la diferencia entre ambas nociones. Es interesante notar que Heine, uno de los alumnos deDirichlet, en un artıculo llamado Elementos de la Teorıa de funciones publicado en 1872 volvio a definirestos conceptos y los utilizo para demostrar una serie de imporatntes resultados en analisis. Por lo tantofue en ese artıculo de Heine donde por primera vez aparecio la explıcitamente la nocion de continuidaduniforme.

El siguiente resultado muestra que si el dominio de una funcion es un intervalo cerrado entonces esposible deducir la continuidad uniforme a partir de la continuidad.

Teorema C.1. Si f : [c,b], R es una funcion continua entonces f es uniformemente continua

Demostracion. Supongamos por el contrario que la funcion f no es uniformemente continua. En tal caso,existen ! > 0, y sucesiones (xn),(yn)n definidas en [a,b] tales que lımn , !(x!yn) = 0 y | f (xn)! f (yn)|>! . Supongamos, pasando a una subsucesion si es necesario, que lımn,! xn = a. Como yn = (yn ! xn)+ xntenemos que lımn,! yn = a. Como la funcion f es continua en el punto a " [c,b] tenemos que

lımn,!

( f (xn)! f (yn)) = f (a)! f (a) = 0.

Esta contradiccion prueba el resultado.

El siguiente resultado muestra que toda funcion uniformemente continua puede definida en un intervaloabierto puede extenderse a una funcion continua en el intervalo cerrado.

221

222 C Continuidad Uniforme

Teorema C.2. Si f : (c,b) , R es una funcion es uniformemente entonces existe una funcion continua$ : [c,d], R tal que si x " (c,d) entonces $(x) = f (x).

Tenemos ademas

Teorema C.3. Si f : X % R , R es una funcion es uniformemente entonces para todo a " R punto deacumulacion de X el siguiente lımite existe

lımx,a

f (x).

Del resultado anterior tenemos que las funciones f1 : (0,!) , R definida por f1(x) = 1/x no es uni-formemente continua. Tampoco lo son las funciones f2, f3 : R\{0}, R definidas por f2(x) = sen(1/x) yf3(x) = |x|/x.

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