1

1.9 AXIOMA DEL SUPREMODefinicin 1.14 . Un conjunto A es acotado superiormente si y solo s existe un nmero real k tal que b k , para todo elemento b A . EL nmero k se llama cota superior de A

Definicin 1.15 . Un conjunto A es acotado inferiormente si y solo s existe un nmero real c tal que c b , para todo elemento b A . EL nmero k se llama cota inferior de A

Si el conjunto A es acotado superior e inferiormente, se dice que A es acotado .

Todo conjunto A que es acotado tiene infinitas cotas

Ejemplo 1.

a) El conjunto A = { x / x > -1 } es acotado inferiormente , pues existe c = -3 tal que -3 b , para todo b A ; pero no es acotado superiormente . Se observa que cualquier nmero real c tal que c ] - , -1] es una cota inferior para el conjunto A, entonces el conjunto de cotas superiores de A es ] - , -1]. Fig.1.23

b) El conjunto B = { x / x 4 } es acotado superiormente pero no es acotado inferiormente . El conjunto de cotas superiores de B es ] 4 , + [ . Fig.1.23

c) C = { x / -1< x < 4} es acotado ., por que C = ] 1 , 4 [

Cotas inferiores de C o__________C___________o Cotas superiores de C

______________o______o_______________________o________________

-3 -1

4

Fig. 1.23

d) D = { x } es acotado puesto que,

EMBED Equation.DSMT4 x - 1 0 - ( x 1) < 3x 12 < x 1

x 1 ( 1- x < 3x 12 3x 12 < x 1 )

x 1 ( x > x < )

EMBED Equation.DSMT4 ; es decir

D =

Definicin 1.16 Se dice que el nmero real s es el supremo de un conjunto dado A contenido en , se denota s = Sup(A) ,si y solo si se cumple que :

a) s es una cota superior de A , y

b) s es la menor cota superior de A . Es decir , si L es una cota superior cualquiera de A entonces s L

Asimismo se dice que el nmero real i es el nfimo de A , se denota i = inf (A) si y solo si , i es una cota inferior de A adems es la mayor de todas las cotas inferiores de A .

Teorema 1.31. Dado el conjunto A contenido en , el nmero real s es el supremo de A si y solo si se cumplen :

1) a s , A

2) > 0 ( tan pequeo como se desee) existe un elemento x A tal s - < x

Demostracin.

() s = Sup(A) entonces s es una cota superior de A, es decir s

Para demostrar que > 0 , existe un elemento x A tal s - < x . por reduccin al absurdo, suponga que s - ; luego s - es una cota superior menor que s ( absurdo) puesto que s es la menor de todas las cotas superiores de A . Por lo tanto la suposicin es falsa , luego se concluye que > 0 , existe un elemento x A tal s - < x .

() La hiptesis a s , A , implica que s es cota superior de A .

Suponiendo que s no es la menor de las cotas superiores , entonces existe una cota superior S tal que S < s , luego existe un nmero > 0 tal que S + = s S = s -

Pero por hiptesis existe x A , x > s - , luego x > S , con x A ( absurdo) por que S es cota superior de A .

Por lo tanto s es la menor e todas las cotas inferiores ; es decir s = Sup (A) .

Corolario 1.5. Dado el conjunto A C , el nmero real i es el supremo de A si y solo si se cumplen :

1) i a , A

2) > 0 ( tan pequeo como se desee) existe un elemento x A tal x < i +

Ejemplo 2. El conjunto A = { x - / x > 9 } es acotado superiormente , pues

x > 9

Pero x - entonces x < -3 ; esto significa que A = ] - , -3 [ y el supremo de A es s = -3

Por que se cumplen :

1) -3 es una cota superior

2) Dado > 0 , tal que 0 < < 1 , el nmero x = -3 0,5 pertenece al conjunto A y es tal que 3 - < x

Entonces por el teorema 1. 31 , s = -3 es el supremo de A .

AXIOMA DEL SUPREMO ( AXIOMA DE COMPETITUD )

AXIOMA 8 . Todo subconjunto A de , diferente del vaco y acotado superiormente tiene supremo , el cual es un elemento en .

Utilizando este axioma puede demostrarse que todo subconjunto A de no vaco y acotado inferiormente tiene nfimo, el cual es un elemento en .

Aunque en algunos casos no es posible determinar el supremo de un conjunto acotado superiormente de manera inmediata , el axioma asegura su existencia en . El axioma no se cumple en otros conjuntos numricos .

Se dice que es un cuerpo ordenado y completo por que en se satisfacen los axiomas de cuerpo, de orden y el axioma del supremo .

Ejemplo 3. El conjunto A formado por todas las aproximaciones decimales sucesivas e inferiores a tiene supremo.

Solucin.

En efecto, A = { 1,4 ; 1,41; 1,414; 1,4142; ... } tal que si x A entonces x < 2

Se observa que A y A no es vaco , adems A es acotado superiormente ,por que una cota superior del conjunto es por ejemplo x = 1, 6 , luego por el axioma del supremo existe Sup(A) el cual es un nmero real .

Puesto que si x A entonces x < 2 x > 0 se tiene 0< x < 2 , de donde resulta 0< x <

En consecuencia Sup(A) =

Observacin 1.15. Si s = Sup(A) y si sA entonces s se llama mximo de A . Si i = inf(A) y si i A , entonces i se llama mnimo de A.

Por ejemplo , A = ] 6 , 9] es acotado , 6 es el nfimo pero no es mnimo , 9 es el supremo que al mismo tiempo es el mximo del conjunto .

Observacin 1.16. Se prueba que el supremo de un conjunto no vaco de nmeros reales que acotado superiormente es nico .

Si , A no es vaco y es acotado superiormente , entonces, por el axioma del supremo, A tiene supremo .

Suponiendo que s = Sup(A) no es nico ; es decir existe S tal que S = Sup(A)

Como s = Sup(A) , entonces por definicin s es una cota superior de A adems s S

Asimismo S = Sup (A) entonces S es una cota superior de A y S s .

Entonces s = S , esto contradice el supuesto ; de donde el supremo es nico.

En forma anloga puede probarse que el nfimo , cuando existe, es nico.

Ejemplo 4. El conjunto de los nmeros naturales no es acotado superiormente .

Solucin.

Suponiendo que es acotado superiormente , existira un nmero real s , s = Sup () ; Luego por el teorema , . En particular si = 1 se tendr s 1< n de all que s < n +1 esto contradice la definicin de supremo. Por consiguiente no es acotado superiormente .

Teorema 1.32. ( propiedad Arquimediana ).Si a y b son nmeros reales positivos entonces existe un nmero natural n tal que na > b

Demostracin .Suponiendo que na b , es decir , na b ; para todo n real, se tendra n , en este caso el nmero real positivo sera una cota superior de , luego es acotado superiormente , lo que es una contradiccin . Por consiguiente , existe un nmero natural n tal que na > b .

A partir del teorema pueden demostrarse los siguientes corolarios.

Corolario1.6. Si x es un nmero real , entonces existe un nmero natural n , no nulo, tal que n > x

1.7 . Si x es un nmero real positivo , entonces existe un nmero natural n tal que 0 < < x

1.8. Si x es un nmero real positivo , entonces existen nmeros enteros a y b tal que a < x < b

Ejemplo 5. Probar que el supremo del conjunto A ={ a n } es s =1

Solucin .

Debe probarse que s = 1 es una cota superior de A y adems que es la menor de esas cotas.

En efecto,

Si n entonces n < n +1 < n +2 , luego n < n + 2 , de donde ; es decir

a n < 1 , ; por consiguiente s = 1 es una cota superior de A .

Probar que es la menor de las cotas superiores equivale a demostrar que , es decir , debe hallarse un nmero natural n , tal que

1 - .

Para 0 < < 1 , sea el nmero real positivo , por propiedad Arquimediana existe un nmero natural n , tal que n > .

Pero la inecuacin: n > n> 2 2

0 > 2 2 - n

n > n + 2 2 - n = (n +2) ( 1 - ) ; luego se tiene

n > ( n +2) ( 1- )

En consecuencia

Teorema 1.33. ( Teorema del mayor entero ) Dado el nmero real a , existe un nmero entero n tal que : n a < n +1

Demostracin.

Deben demostrarse la existencia y la unicidad del nmero entero n .

Por el corolario 1.8 existen nmeros enteros a y b tal que a< x < b

Dado que el nmero b a > 0 , existe un nmero entero positivo c tal que a < x < a +c , donde c = b - a. Por el Principio de Buen Ordenamiento (Apndice) existe un nmero m que es el menor nmero entero positivo tal que x < a + m .................................................( 1 )

Adems para cualquier entero p se tiene a + p x , en particular si p = m 1 ; entonces

a + (m - 1) x ........................................................................................( 2 )

Sea n + 1= a + m , entonces de ( 1 ) y ( 2 )

n x < n + 1

Para demostrar la unicidad , suponiendo que existiesen dos nmeros enteros p y q tales que

p x < p + 1 y q x < q + 1 , se tendra p < q x < p + 1 , luego p< q < p + 1 , de donde 0 < q p < 1 (absurdo) . Por consiguiente el nmero entero n es nico tal que

n x < n + 1

Teorema 1.34. (Existencia de un nmero racional entre dos reales) Dados dos nmeros reales a y b tales que a < b , entonces existe un nmero racional r tal que a < r < b .

Demostracin.

b a > 0 . por el corolario 1.7 existe un nmero natural n tal que < b - a

Por el teorema 1.33 , existe un nmero entero m tal que m an < m + 1 , entonces

=

De estas relaciones , se tiene a < a + < a + ( b a ) = b , luego a < < b

Lo que implica que existe un nmero racional r = tal que a < r < b .

Observacin 1.17 Se dice que un subconjunto A de es denso en si y solo si entre dos nmeros reales existe un elemento de A ; el conjunto den nmeros racionales es denso en , en virtud del teorema 1.34 .

MXIMO ENTERO

Definicin 1.17. El mximo entero de un nmero real x , denotado por es el mayor de todos los nmeros enteros menores que o iguales a x , es decir,

x = Mx { n / n x }Ejemplo 6.

a) 2.57 = 2 , puesto que 2 es el mayor entero que es menor que 2,57 .

b) 0.8 = 0 , 0 0 ,8 y 0 es el entero inmediato menor que 0, 8.

c) 5 = 5

d) - 3. 5 = -4 , - 4 -3, 5 adems 4 es el mayor entero inferior a - 3, 5 .

Observacin 1.18. Por el teorema 1.33 si x entonces existe un nmero entero n tal que n , el nmero entero n es el mximo entero de x , en forma simblica ,

x = n n n x < n + 1Ejemplo 7. Resolver las siguientes ecuaciones en IR

a) 2x 5 = 3

b)

c) x -4x + 3 = -1 Solucin .a) 2x - 5 = 3 3 2x 5 < 4 4 x <

Luego el conjunto solucin es s =

b) - 6 < - 5 - 24 < - 20

- 24 < - 20 - 23 < - 19

Entonces el conjunto solucin es S =

c) x - 4x + 3 = - 1 - 1 x - 4x +3 < 0 0 (x 2 ) < 1

- 1 < x 2 < 1 1 < x < 3

Por consiguiente el conjunto solucin es S = ]1 , 3 [

PROPIEDADES DEL MXIMO ENTERO. IR, se cumple :

a) x = n

b) 0 x - x < 1 c) x = x x d) x n x < n + 1 e) x < n x < n f) x n x n g) x > n x n + 1 h) x + a = x + a , si a Demostracin .

b) De la observacin 1.18 , IR, se tiene x = n

Puesto que x = n entonces la expresin es equivalente a x x < x +1 , de donde resulta que 0 x - x < 1 .

Utilizando esta propiedad se asegura que est definida en .

d) se tiene = p

De p x < p + 1 se tiene que p x x < p +1 , de donde resulta que x 1 < p

Por hiptesis = p n , luego por transitividad x 1 < n , es decir x < n +1

La prueba del recproco es inmediata puesto que si x < n + 1 entonces

h)

sumando el nmero entero a en cada miembro de n x < n + 1 se tiene

n + a x +a < n +1 +a n +a x +a < (n +a) + 1 luego

, es decir

Ejemplo 8. Resolver

a) Qu valores puede tomar ? .

b)

c)

Solucin.

a) x [ 0 , 1 ] 0 0 3x 3 ,luego

Si 3x [ 0 , 1[ entonces = 0

Si 3x [ 1 , 2[ entonces = 1

Si 3x [ 2 , 3[ entonces = 2

Si 3 x = 3 entonces = 3

b)

EMBED Equation.DSMT4 x + 3 7 x 4 ( x 2 )

Por tanto el conjunto solucin es ] -, -2] [ 2 , +[

c)

(x 1 < 0 > 0 ) (x 1 > 0 < 0 ) por ley de signos

(x < 1 x 1 ) ( x > 1 x < 0 )

0 < x < 1

Por consiguiente S = ] 0 , 1[

EJERCICIOS 1.8

1. Determinar si los siguientes conjuntos son acotados superiormente o inferiormente o acotados. Hallar el nfimo y / o supremo en caso de existir .

a) A = ] -9 , n [ , siendo n un nmero entero

b) B = { x / x }

c) C = {x / x = }

d) D = { x

e) E = { x / x = }

2. Probar que el conjunto M = { x / x = } es acotado y que Inf (M) = -1 y Sup(M) = 2 .

3. Hallar los valores que puede tomar cada expresin:

a) si x [ 2 , 3 [

b)

b)

4. Resolver las siguientes ecuaciones :

a) = - 8

b) = 4

c) = 7x 4

d) = x+5

5. Resolver las siguientes inecuaciones

a) x+2

b)

c) > 8

d)

e)

RESUMEN

RESUMEN

En este captulo se ha descrito la construccin del sistema de los nmeros reales a travs del mtodo axiomtico. Se han enunciado los axiomas de cuerpo ordenado y completo y demostrado algunos teoremas del lgebra elemental , para ilustrar el modo en que estos se derivan del conjunto de axiomas dados . Se han presentado algunas aplicaciones de las propiedades de IR en la resolucin de problemas cotidianos y algebraicos de mucha utilidad en le clculo diferencial e integral.

REPASO

I. REVISIN DE CONCEPTOS

1) Qu es un axioma ?.

2) Cules son las diferencias entre axiomas de cuerpo y axiomas de orden en IR ?.

3) Qu es un modelo matemtico ?.

4) Cundo se dice que a < b , si a y b son nmeros reales?

5) Cmo define ?.

6) Cmo describe matemticamente el conjunto de puntos de la recta real que se encuentran a una distancia no menor de 8 unidades del punto cuya abscisa es 5 ? .

7) Qu significa , geomtricamente , que el mximo entero de un nmero real disminuido en 2 sea menor que 6 ? .

8) Cul es la relacin entre conjunto solucin y conjunto restriccin de una ecuacin ?. Esa misma relacin se da para las inecuaciones?.

II. Representar el intervalo de nmeros reales cerrado en 1 y abierto en 4

1) Con la notacin de intervalo .

2) Como subconjunto de IR

3) Geomtricamente.

III. Responda a las interrogantes que se plantean en cada caso :

1) Si Qu se puede asegurar acerca de los valores de x ?

2) Para qu valores reales de x tiene sentido la siguiente expresin ?

3) Si Qu puede afirmar acerca de x ?.

4) Cul es el conjunto restriccin de la inecuacin: en IR ?

IV. Considerando que las letras representan nmeros reales. Cules de las siguientes proposiciones son verdaderas y cules son falsas?. Fundamentar la respuesta en cada caso:

1) Los axiomas en IR son propiedades algebraicas que se aceptan sin demostracin

2) a b = b a a = b

3) ( ab ) = ( -a) (- b)

4)

5) a < b

6) b > a > c a > c b > c b > a

7) a < b a n < b n ;

8) La interseccin de dos intervalos cerrados o es nula o es intervalo cerrado

9)

10)

11) La solucin de una ecuacin en IR siempre es el vaco o un conjunto finito en IR

12) Cualquier nmero real no es superior a su mximo entero.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

V. Demostrar las siguientes propiedades en IR

1)

2)

3) a < a , si a ] 0 , 1 [

4)

5) tiene un valor constante en IR si x ] 0 , 5 [.

6) Si A = { a n entonces Sup(A) = e Inf(A) = 0

VI . Hallar

1) ] 3 , 4] ] 3 , 8[

2) ( ] 2 , 7 [ ] 3, 4 [ ) ] 6 , +[

3) Los nmeros reales A y B tales que si x

EMBED Equation.DSMT4 entonces

4) El nmero real M tal que x + 2kx + k >

5) A B si A = { x

VII. Resolver :

1) x - 8x < 4x 6

2) 1 x > x 5

3) x 3 (x 3 )( x + 6 ) 0

4) ( x +1) ( x + 2x 7) x -1

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

VIII. Demostrar que de todos los rectngulos de permetro p , el cuadrado encierra mayor rea.

IX. Un tren se detuvo durante 20 minutos antes de llegar a su destino por desperfectos en la va frrea . Para recuperar el tiempo perdido , en un tramo establecido para 80 km/hr tuvo que viajar 20 km/hr ms rpido de lo acostumbrado . Cul era la velocidad del tren? .

X.Hallar el nmero real positivo dependiente de , si se sabe que

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