Cálculo Financeiro

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Calculo Financeiro

Gracinda R. Guerreiro

2014/15

Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 1/306


Programa

1 Conceitos Basicos

2 Regimes de Capitalizacao

3 Equivalencia de Capitais

4 Rendas

5 Reembolso de Emprestimos

6 Emprestimos por Obrigacoes

7 O Calculo Financeiro e as Aplicacoes de Capital



Capıtulo 1

Conceitos Basicos



Cap 1 - Conceitos Basicos

1 Conceitos Basicos

Enquadramento

Capital, Tempo, Perıodo e Juro

Capitalizacao e Actualizacao

Valor Actual e Valor Acumulado



Enquadramento

As nocoes de Calculo Financeiro surgem-nos em inumerassituacoes do quotidiano:

Numa optica de investimento, somos confrontados comestas nocoes em Aplicacoes Financeiras tais comoDepositos Bancarios, Obrigacoes, entre outras.

Quanto receberei, daqui a um ano, se efectuar hoje umdeposito de 1000 e, a taxa de juro anual de 3%?

Quanto receberei daqui a um ano se todos os meses, nomesmo dia, depositar 100 e numa aplicacao que rende 3% aoano?



Enquadramento

As nocoes de Calculo Financeiro surgem-nos em inumerassituacoes do quotidiano:

Numa optica de financiamento, estas nocoes surgem-nosem Emprestimos Bancarios, Compras a Prestacoes, entreoutras.

Quanto terei que pagar ao banco daqui a 6 meses se contrair,hoje, um emprestimo no montante de 5000 e, a taxa de juroanual de 5%?

Quanto terei que pagar mensalmente, durante 20 anos, porum emprestimo de 150.000 e para compra de habitacao, auma taxa de juro anual de 2%?



Enquadramento

A essencia do Calculo Financeiro reside no que habitualmentese designa por Valor Temporal do Dinheiro - uma mesmaquantia monetaria nao tem o mesmo valor se pudermos dispordela imediatamente ou apenas apos algum tempo.

Operacao Financeira

Operacao que transforma um ou mais capitais, dedeterminado(s) montantes(s), noutras quantias, por accao dotempo e de uma taxa de juro.

Em todas as operacoes financeiras existem nocoes basicascomuns e fundamentais: o Capital, o Tempo e a Taxa de Juro.



Capital, Tempo, Perıodo e Juro



Conceitos Basicos

Capital

Conjunto de meios lıquidos (moeda) cedidos durante umdeterminado tempo, temporaria ou definitivamente,produzindo uma determinada remuneracao (juro) ao seuproprietario.

Tempo ou Prazo

Prazo durante o qual o capital e aplicado.

Perıodo

Cada unidade de tempo onde se vence o juro. Consideram-sehabitualmente anos, semestres, trimestres, quadrimestres emeses.



Conceitos Basicos

Juro

Quantidade monetaria correspondente ao preco do usotemporario ou definitivo do capital alheio.

Remuneracao de determinado capital investido duranteum determinado prazo.

Corresponde ao valor do dinheiro, tendo em conta o factortempo.

Notacoes:

jk - juro obtido no perıodo k .

Jk - juro acumulado ate ao perıodo k .



Conceitos Basicos

Razoes para a existencia de Juro:

1 Privacao de LiquidezQuem empresta determinado capital (o Mutuante) ficaprivado de decidir o que fazer com ele (consumo,poupanca ou ambos), dando essa possibilidade a outraparte (o Mutuario). E compreensıvel que esta cedenciadeva ser paga. Quanto maior for o prazo do emprestimo,mais este efeito se fara sentir.

2 Desvalorizacao MonetariaDevido a inflaccao, um produto que, em media, custahoje 1000 e tendera a tornar-se num produto mais carocom o decorrer do tempo. Quanto maior o prazo doemprestimo, mais se sentira este efeito.



Conceitos Basicos

Razoes para a existencia de Juro:

3 RiscoO Mutuante deve ter em conta que podera nao serressarcido do seu emprestimo por parte do Mutuario, pordiversas razoes.Quanto mais longo for o prazo do emprestimo, maior e aprobabilidade de incumprimento por parte do Mutuario(maior e o risco).



Conceitos Basicos

Exemplo

A D. Rosa emprestou ao Sr Silva 100.000e durante 5 anos,devendo o Sr Silva pagar, no final de cada ano, 7.500e pelouso do dinheiro da D. Rosa e reembolsar a dıvida em 5fraccoes iguais, tambem no final de cada ano.Identifique o Capital, o Tempo, o Perıodo, o juro vencido emcada perıodo e o montante acumulado de juros.

Capital:Tempo:Perıodo:Juro em cada perıodo:Juro Acumulado:



Conceitos Basicos

Exemplo

A D. Rosa emprestou ao Sr Silva 100.000e durante 5 anos,devendo o Sr Silva pagar, no final de cada ano, 7.500e pelouso do dinheiro da D. Rosa e reembolsar a dıvida em 5fraccoes iguais, tambem no final de cada ano.Identifique o Capital, o Tempo, o Perıodo, o juro vencido emcada perıodo e o montante acumulado de juros.

Capital: 100.000 eTempo: 5 anosPerıodo: anualJuro em cada perıodo: ji = 7.500 e , i = 1, 2, . . . , 5Juro Acumulado: J5 = 37.500 e



Taxa de Juro

E importante fazer a distincao entre Juro e Taxa de Juro:

O juro e um valor absoluto (expresso em unidadesmonetarias).

A taxa de juro e um valor relativo, para determinadoperıodo de tempo.

A taxa de juro exprime-se normalmente em percentagem anual.

Exemplo

Uma taxa de juro de 5% ao ano significa que, por cada 100ede capital e por cada ano, o juro devido e de 5e.



Taxa de Juro

O juro, j , depende entao de 3 factores:

C - o Capital

t - o Tempo

i - a Taxa de Juro

O juro varia directamente em relacao a qualquer das variaveisC , t ou i :

Se uma das variaveis aumentar [diminuir] e as outras duas semantiverem inalteradas, o juro aumenta [diminui].

Taxa de Juro

A taxa de juro, i , representa a remuneracao associada a umaunidade de capital investida durante uma unidade de tempo.



Juro e Taxa de Juro

Notas relativas ao calculo de juros:

1 Para C = 0, t = 0 ou i = 0 tem-se j = 0(nao representando uma operacao financeira);

2 ji > 0 , ∀i ;

3 A contagem do tempo e essencial no calculo dos juros (podeser efectuada em anos, meses ou dias, por exemplo);

4 Deve ter-se em conta as Bases de Calculo para contagens dosprazos em cada instituicao, em cada operacao financeira,regidas por eventuais disposicoes legais e as do softwareadoptado;

5 Ao efectuar o calculo do juro, e necessario que as variaveis t ei (tempo e taxa de juro) estejam expressas na mesmaunidade de tempo.



Capitalizacao

Capitalizacao

Processo de producao (vencimento) de juros ao longo dotempo e consequente aumento de capital.

Um capital C0, investido num momento 0, sofre um acrescimode valor J1, ao fim de um perıodo, transformando-se em

C1 = C0 + J1.



Capitalizacao

Genericamente,

Ct = C0 + Jt

onde:Ct e o valor acumulado ou capitalizado de C0 nomomento t;Jt e o valor acumulado de juros desde o momento 0 ate t,ou seja,

Jt =t∑

i=1

ji .



Capitalizacao

Taxa de Capitalizacao

A taxa de capitalizacao corresponde ao acrescimo sofrido poruma unidade de capital, investida durante uma unidade detempo.



Capitalizacao

Genericamente,

Ct = C0 + Jt

onde:

Ct e o valor acumulado ou capitalizado de C0 nomomento t;

Jt e o valor acumulado de juros desde o momento 0 ate t,ou seja,

Jt =t∑

i=1

ji .



Actualizacao ou Desconto


O desconto ou actualizacao e o fenomeno inverso dacapitalizacao.

A possibilidade de dispor de uma quantidade Ct de moeda,apos t perıodos de capitalizacao, corresponde a dispor, hoje,de uma quantidade C0:

C0 e o Valor Actual ou valor descontado de Ct .

D = Ct − C0 e denominado Desconto




Taxa de Desconto (d)

A taxa de desconto corresponde a reducao sofrida por umaunidade de capital, descontada durante uma unidade detempo.

A taxa de capitalizacao e a taxa de desconto medem o mesmofenomeno: o juro.




Exemplo

A data 01/01/n foi aplicado um capital de 500 e, a uma taxa de20% ao ano, durante uma anuidade. Determine C0, j1 e C1.

C0 = 500e j1 = 0.2× 500 = 100e C1 = C0 + j1 = 600e

Em 01/01/n, o valor actual e de 500 e e o valor capitalizado e de600e.

Em 01/01/n + 1 o valor actual e de 600 e e o valor descontado ede 500e.



Momento de Referencia

Momento de Referencia

Para efectuar operacoes com capitais e juros, e necessariodefinir um Momento de Referencia - data em que nossituamos para efeitos de calculos de valores.

Ct e o valor acumulado ou capitalizado de C0 nomomento t.

C0 e o valor actual ou descontado de Ct no momento 0.



Para se calcular valores capitalizados e/ou descontados enecessario definir qual o Regime de Capitalizacao utilizado.



Capıtulo 2

Regimes de Capitalizacao



Cap 2 - Regimes de Capitalizacao

1 Regimes de Capitalizacao

Regime de Juro Simples

Regime de Juro Composto

Regime Geral de Capitalizacao

Taxa Efectiva e Taxa Nominal

Taxas Equivalentes e Taxas Proporcionais



Juro Simples e Juro Composto




No processo de Capitalizacao, dois cenarios se podem colocarquanto ao juro:

1 Regime de Juro SimplesO juro produzido sai do processo de capitalizacao, isto e,nao gera juro no perıodo seguinte.

Nao ha lugar a capitalizacao dos juros entretanto vencidos.




No processo de Capitalizacao, dois cenarios se podem colocarquanto ao juro:

2 Regime de Juro CompostoOs juros vencidos ao longo dos perıodos de capitalizacaosao incorporados no capital gerando, eles proprios,juros nos perıodos seguintes.

Ha lugar a capitalizacao de juros vencidos (ha juro de juro).



Juro Simples

O processo de capitalizacao, a uma taxa de juro i ,inicia-se com um capital C0.

No final do 1o perıodo de capitalizacao, o juro produzido(j1 = C0 × i) sai do processo.

O capital que vai produzir juros no 2o perıodo enovamente C0 e assim sucessivamente.



Juro Simples

O juro vencido em cada um dos perıodos e constante edado por

jk = C0 × i , k = 1, 2, . . . , t

O juro vencido apos t perıodos de capitalizacao e

Jt = C0ti

O valor acumulado do capital C0, ao fim de t perıodos decapitalizacao, e

Ct = C0 (1 + ti)

Nota: Demonstracao na aula.



Juro Simples

O juro vencido apos t perıodos de capitalizacao e

Jt = Ct − C0

Em cada perıodo existe uma proporcionalidade directaentre o juro e o capital inicial

jkC0

= i , k = 1, 2, . . . , t

O capital acumulado ao longo dos perıodos decapitalizacao cresce linearmente em relacao a qualquerdas variaveis C0, i ou t.



Juro Simples

Exemplo

Qual o montante de juro vencido por um capital de 200 u.m.durante o perıodo de 5 meses, aplicado em RJS a taxa anual de21%?

Ct = C0(1 + t i)⇔ C5/12 = 200(1 + 0, 21× 5/12)⇔

⇔ C5/12 = 217, 5

J5/12 = 217, 5− 200 = 17, 5 u.m.

ou

J5/12 = C0 t i = 200× 5

12× 0, 21 = 17, 5 u.m.



Juro Simples

Exemplo

Um capital de 200 u.m. foi aplicado em regime de juro simplestransformando-se, ao fim de 3 anos, num valor acumulado de260 u.m.. Determine a taxa de juro anual.

Ct = C0(1 + t.i)⇔ C3 = C0(1 + 3i)

⇔ 260 = 200(1 + 3i)⇔ i = 0.1

⇒ i = 10%/ano



Juro Simples

Exercıcio 1

Durante quantos dias esteve depositado o capital de 10.000e ,a uma taxa de 5% ao ano, sabendo que produziu um capitalacumulado de 10.200e ? [Considere um ano comercial.]

Nota: Resolucao na aula.



Juro Composto

O processo de capitalizacao, a uma taxa de juro i , inicia-secom um capital C0.

No final do 1o perıodo de capitalizacao, o juro vencido(j1 = C0 × i) e integrado no capital, gerando juros nosperıodos subsequentes.

O capital que vai produzir juros no 2o perıodo e dado porC1 = C0 + j1 e assim sucessivamente.

Ao contrario do juro simples, o juro produzido em cadaperıodo nao sera constante (devido ao aumento de capital).



Juro Composto

Juro vencido no t-esimo perıodo de capitalizacao:

jt = C0 i (1 + i)t−1

Juro acumulado durante t periodos de capitalizacao:

Jt = C0

[(1 + i)t − 1

]Valor acumulado do capital C0, ao fim de t perıodos decapitalizacao:

Ct = C0 (1 + i)t




Juro Composto

Exemplo

Um capital de 200 u.m. foi aplicado, em regime de jurocomposto, durante 3 anos a taxa de juro de 10%. Calcule ovalor acumulado no final dos 3 anos.

Ct = C0(1 + i)t ⇔ C3 = C0(1 + i)3 ⇔

⇔ C3 = 200(1 + 0.1)3 ⇔ C3 = 266.2u.m.



Juro Composto

Exercıcio 2

Construa uma tabela e represente graficamente a evolucao de umcapital de 100e , aplicado em regime de juro composto, durante 5anos e a taxa de:

a) 3% ao ano

b) 4.5% ao ano

Compare com o que obteria em Regime de Juro Simples.Utilize o Excel na resolucao do Exercıcio.

i=3% ano i=4,5% anoAno RJS RJC RJS RJC

0 100,00 100,00 100,00 100,001 103,00 103,00 104,50 104,502 106,00 106,09 109,00 109,203 109,00 109,27 113,50 114,124 112,00 112,55 118,00 119,255 115,00 115,93 122,50 124,626 118,00 119,41 127,00 130,23



Juro Composto

Exercıcio 3

Um capital de 2.500 u.m., aplicado a uma certa taxa de juroanual em regime de juro simples deu origem, em 5 anos deaplicacao, a um juro de 500 u.m.Qual teria sido o juro produzido durante o mesmo prazo, poresse mesmo capital, se este tivesse sido aplicado a mesma taxaanual mas em regime de juro composto?




Juro Composto

Exercıcio 4

Uma pessoa contraiu um emprestimo nas seguintes condicoes:

a. Reembolso do emprestimo e pagamento dos respectivos juros deuma so vez no final do prazo (5 anos);

b. Regime de capitalizacao: juro simples;

c. No caso de o devedor nao poder pagar no final dos 5 anos epossıvel a prorrogacao do prazo no maximo por mais 10 anos,vigorando durante a prorrogacao a mesma taxa, mas em regime dejuro composto.

Apos os 5 anos, o devedor nao efectuou o pagamento de qualquer parcelada dıvida nem dos respectivos juros, pelo que entrou em vigor o dispostona alınea c. do contrato. Sabendo que no final do 8o ano daprorrogacao, o devedor teve de entregar ao credor, para saldar a dıvida, otriplo do capital emprestado, calcule a taxa de juro do emprestimo.

Nota: Resolucao na aula.Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 44/306


Juro Composto

Exercıcio 5

Mostre que, no Regime de Juro Composto, considerando umcapital inicial C0, uma taxa de juro anual de i% e um capitalacumulado Ct , ao fim de t perıodos, se tem:

1 C0 = Ct (1 + i)−t

2Ct

C0= (1 + i)t

3 t =log (Ct)− log (C0)

log (1 + i)

4 i = t

√Ct

C0− 1




Juro Composto

Exercıcio 6

Um capital de 300.000 u.m., aplicado a juro composto, a taxaquadrimestral de 2,2% produziu, ao fim de um certo tempo deaplicacao, o capital acumulado de 385.713,52 u.m.Calcule o prazo do investimento em anos, meses e dias.




Juro Simples vs Juro Composto

A utilizacao do Regime de Juro Simples e poucoadequada em operacoes de medio/longo prazo.

A utilizacao do Regime de Juro Simples e mais adequadaem operacoes de curto prazo.

Para prazos inferiores a um perıodo de capitalizacao, autilizacao do Regime de Juro Simples conduz a um juro(nessa fraccao do perıodo) superior ao que e obtido coma utilizacao do Regime de Juro Composto.




Exercıcio 7

Determine, para ambos os regimes de capitalizacao (jurosimples e juro composto), a evolucao do capital acumuladoproduzido por um capital de um milhao de euros, a taxa dejuro anual de 14%, calculando o valor acumulado mensalmentedurante um perıodo de 2 anos.Avalie as diferencas de rentabilidades mensais e ilustregraficamente a evolucao dos capitais acumulados,representando-os num mesmo grafico.

Utilize o Excel na resolucao desta questao.





Desta representacao pode notar-se que:

Para t = 1, o capital acumulado e o mesmo em ambos os regime decapitalizacao.

Para valores de t < 1, o capital acumulado em RJS e superior aoacumulado em RJC verificando-se a situacao inversa para perıodost > 1.



Salvo indicacao em contrario, daqui por diante consider-se-a o

Regime de Juro Composto.



Factor de Actualizacao

Como

Ct = C0 (1 + i)t ⇔

⇔ C0 = Ct (1 + i)−t ⇔ C0 = Ct

(1

1 + i

)t

e C0 e o valor actual de Ct , consideramos

Factor de Actualizacao

v =1

1 + i

e reescrevemos

C0 = Ct vt



Relacao entre Taxa de Desconto e Taxa de Juro

Exercıcio 8

Mostre que a taxa de desconto, d , se pode escrever como

d = 1− v =i

1 + i





Seja C (0) o capital inicial, aplicado no momento 0.

O valor de C (0), decorridos n e n + h perıodos decapitalizacao, sera C (n) e C (n + h), respectivamente.




Considere-se o intervalo de tempo [n, n + h]:

C (n + h)− C (n) mede a variacao absoluta do capital.

C (n + h)− C (n)

C (n)mede a variacao relativa do capital.

h mede a variacao absoluta do tempo.

C (n + h)− C (n)

hmede o juro por unidade de tempo




C (n + h)− C (n)

hC (n)

mede o juro por unidade de tempo e

unidade de capital.

limh→0C (n + h)− C (n)

h C (n)=

C ′(n)

C (n)

Taxa Instantanea de Capitalizacao

δn =C ′(n)

C (n)




Exercıcio 9

Deduza que, no Regime Geral de Capitalizacao, se tem

C (n) = C (0) exp

{∫ n

0

δt dt

}





C (n) = C (0) exp

{∫ n

0

δt dt

}

Os regimes de Juro Simples e Juro Composto sao casosparticulares do regime geral de capitalizacao:

Regime de Juro Simples

δt =1

1 + i t, i > 0 constante

Regime de Juro Composto

δt = log (1 + i) , i > 0 constante




Exercıcio 10

Determine o juro produzido por um capital de 1000e , apos 1 ano,aplicado a taxa anual de 5%, nas quatro situacoes seguintes:1) Regime de Juro Simples, Capitalizacao Anual2) Regime de Juro Simples, Capitalizacao Semestral3) Regime de Juro Composto, Capitalizacao Anual4) Regime de Juro Composto, Capitalizacao Semestral


Solucao:1)J = 50 e 2)J = 50 e 3)J = 50 e 4)J = 50, 63 e




Questao:Na situacao 4), a taxa de juro anual e de 5% ou de 5,063% aoano?A resposta e AMBAS !!

Quando o perıodo de conversao da taxa nao esta expresso naunidade de tempo da taxa e consideramos o RJC, deve falar-seem taxa efectiva e taxa nominal.




Exemplo

No exemplo apresentado:

i = 5, 06% e a taxa efectiva

i = 5% e a taxa nominal

Em aplicacoes financeiras onde vigora o RJC e,simultaneamente, a taxa de juro e anual mas as capitalizacoessao efectuadas em sub-perıodos do ano, o juro total obtidoapos 1 ano dessas capitalizacoes e superior ao que seria obtidose houvesse apenas uma capitalizacao nesse ano.




Quando o perıodo de conversao nao coincide com aunidade de tempo da taxa de juro, existe uma taxanominal e uma taxa efectiva.

Sempre que a taxa de juro esta reportada ao mesmoperıodo das capitalizacoes, a taxa de juro e uma taxaefectiva.

Em Regime de Juro Simples, nao ha distincao entre taxasnominais e taxas efectivas, uma vez que nao ha lugar ajuro de juro e e nisso que reside a diferenca entre as taxas.

Quando se indica uma taxa de juro, tem que se referir aunidade de tempo da taxa e os perıodos de conversao.




Exemplo

Consideremos uma unidade de capital, investida a uma taxa dejuro anual de 6%, com um perıodo de conversao de 3 meses.

A periodicidade significa que6%

4= 1, 5% e creditado no

fim de cada trimestre.

O capital inicial de 1 transforma-se em

C4 = 1× (1 + i)4 = 1, 0154 = 1, 06136

ao fim do 1o ano.

A taxa nominal anual de 6%, convertıvel trimestralmente,corresponde (esta subjacente) a uma taxa efectiva de 6,136%.




Notacao:

i (m) - taxa de juro nominal, convertıvel m vezes

Exemplos:Taxa anual i (4) = 0.15 - Taxa anual de 15%, convertıveltrimestralmente

Taxa anual i (12) = 0.1 - Taxa anual de 10%, convertıvelmensalmente

Taxa semestral i (6) = 0.05 - Taxa semestral de 5%,convertıvel mensalmente

Taxa anual i (3) = 0.02 - Taxa anual de 2%, convertıvelquadrimestralmente

Q

uando se fala apenas em taxa, considera-se taxa efectiva.



Taxas Proporcionais

Taxas Proporcionais

Duas taxas, referidas a perıodos de tempo distintos, dizem-seproporcionais se o quociente entre as taxas coincidir com oquociente entre os perıodos a que se referem.

Exemplos:

A taxa anual de 20% e a taxa semestral de 10% saoproporcionais ja que

0, 20

0, 10=

1 ano

0, 5 ano.

A taxa mensal de 1% e a taxa anual de 12% saoproporcionais ja que

0, 12

0, 01=

12 meses

1 mes.



Taxas Equivalentes

Taxas Equivalentes

Duas taxas, referidas a perıodos de tempo distintos, dizem-seequivalentes quando fazem com que um mesmo capitalproduza o mesmo juro, apos um intervalo de tempo, sendo ascapitalizacoes efectuadas de acordo com o perıodo a que cadataxa esta referida.

Exemplo:

A taxa anual de 5,063% e a taxa semestral de 5% saoequivalentes pois o juro produzido por 1000e , investidosdurante um ano a taxa anual de 5,063% ou a taxasemestral de 5% e coincidente.



Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes

Em Regime de Juro Simples nao ha distincao entre TaxasProporcionais e Taxas Equivalentes.

A distincao entre os dois tipos de taxas ocorre apenas emRegime de Juro Composto e quando, simultaneamente,o perıodo a que se reporta a taxa nao coincide com aperiodicidade das capitalizacoes.



Equivalencia de Taxas em RJ Simples

As taxas i e i ′ dizem-se equivalentes se

1 + i = 1 + mi ′ ⇔ i ′ =i

m

Note-se que m =perıodo da taxa i

perıodo da taxa i ′

As taxas i e i ′ dizem-se proporcionais.



Equivalencia de Taxas em RJ Simples

Exemplo

Determine a taxa trimestral equivalente a taxa anual de 18%.

i = 0.18/ano m = 4 i ′ =?

Em RJS, i e i ′ sao equivalentes se i ′ =i

m, logo

i ′ =0.18

4= 0.045 = 4.5%/trimestre.



Equivalencia de Taxas em RJ Composto

As taxas i e i ′ dizem-se equivalentes se

1 + i = (1 + i ′)m ⇔ i ′ = (1 + i)1/m − 1

Com i ′ =i (m)

m, tem-se 1 + i =

(1 +

i (m)

m

)m

, donde

i (m)

m= (1 + i)1/m − 1




As taxas i e i ′ =i (m)

msao taxas efectivas para os perıodos

a que cada uma corresponde.

A taxa i (m) e uma taxa nominal.

i (m) < i .

As taxas i e i ′ sao proporcionais .




Exercıcio 11

Justifique quei > i (m).




Exercıcio 12

Determine, em Regime de Juro Composto, a taxa semestralequivalente a taxa anual de 20%.Verifique que a taxa anual e superior ao dobro da taxasemestral.





Notas:

1 Sendo i uma taxa efectiva, significa que o valor da taxa jatem em consideracao o efeito de sucessivas capitalizacoesdurante os perıodos de capitalizacao. Assim, acorrespondente taxa periodica i ′ e calculada segundo umarelacao de equivalencia .

2 Sendo i uma taxa nominal, significa que o valor da taxa naotem em consideracao as sucessivas capitalizacoes durante osperıodos de capitalizacao. A correspondente taxa periodica i ′

e calculada segundo uma relacao de proporcionalidade .




Notas:

3 Se partirmos de uma taxa efectiva e determinarmos acorrespondente taxa periodica atraves de uma relacao deproporcionalidade, ao capitalizarmos esta taxa, serıamosconduzidos a uma taxa efectiva superior a inicial, por efeitodas sucessivas capitalizacoes.



Relacao de Equivalencia entre Taxas - RJ Composto

(1 + i)1 = (1 + i ′)m

A expressao acima permite que encontremos a taxa i ′, que fazcom que seja indiferente efectuar uma capitalizacao anual ataxa efectiva i , ou m capitalizacoes durante um ano, a taxai ′.



Relacao de Equivalencia entre Taxas - RJ Composto

De uma forma mais geral, tem-se

(1 + i ′)k

= (1 + i ′′)m

com

i ′ e i ′′ taxas periodicas efectivas;

k e m: numero de perıodos de capitalizacao para umhorizonte temporal comum (por exemplo, um ano).

A compreensao desta relacao e eterna; a memorizacao daformula e efemera.

Matias, R.(2009)




Uma unidade de capital, descontada a taxa d durante umperıodo vale 1− d , considerando a taxa de descontoreferente a esse perıodo.

(1− d ′)m e o valor descontado de uma unidade de capital,no momento −1, a taxa de desconto d ′ (cujo perıodocorrespondente “cabe” m vezes na perıodo da taxa d ).




As taxas d e d ′ dizem-se equivalentes se

1− d = (1− d ′)m

Sendo d ′ =d (m)

m, tem-se 1− d =

(1− d (m)

m

)m

, pelo que

d (m)

m= 1− (1− d)1/m




As taxas d e d ′ =d (m)

msao taxas efectivas.

A taxa d (m) e uma taxa nominal.

d (m) > d .

As taxas d e d ′ sao proporcionais .




Exercıcio 13

Mostre que1

d (m)=

1

m+

1

i (m).

A resolucao fica como exercıcio - TPC.



Taxa Instantanea

Taxa Instantanea

A taxa instantanea, ou taxa convertıvel continuamente,corresponde a

δ = limm→+∞

i (m).

Exercıcio 14

Demonstre que δ = ln (1 + i).

Exercıcio 15

Mostre quelim

m→+∞d (m) = δ = lim

m→+∞i (m).



Taxa Instantanea

Exemplo

Considere-se a taxa de juro anual i = 6%.

A taxa de desconto e d =i

1 + i= 5, 6604%

A taxa instantanea anual de capitalizacao e

δ = ln(1 + 0, 06) = 5, 827%

m i (m) d (m)

1 0,060000 0,0566042 0,059126 0,0574283 0,058838 0,0577074 0,058695 0,0578476 0,058553 0,057987

12 0,058411 0,058128∞ 0,058269 0,058269



Taxa Instantanea

De uma forma geral, obtem-se a relacao

i (m) > δ > d (m)



Capıtulo 3

Equivalencia de Capitais



Cap 3 - Equivalencia de Capitais

1 Capitais Equivalentes

2 Equacao de Valor

3 Equivalencia de Capitais

Equivalencia entre dois capitais

Equivalencia entre um capital e um conjunto de capitais

Equivalencia entre dois conjuntos de capitais

4 Taxa Media de Juro



Capitais Equivalentes


Dois conjuntos de capitais, vencıveis em certos momentos,dizem-se equivalentes, num dado momento, quando forem iguaisas somas dos valores actuais dos capitais que compoem cada umdos conjuntos.

Os conjuntos de capitais Cj e C ′j sao equivalentes?

Dois ou mais capitais sao equivalentes num dado momento se, aessa data, forem iguais os seus valores actuais.




Notas Importantes:

Na resolucao de qualquer problema que envolva capitaisreportados a momentos distintos e essencial, antes de tudo oresto , exprimi-los numa mesma unidade, isto e,homogeneiza-los.

A homogeneizacao dos capitais consiste em exprimi-los nummesmo momento no tempo (a data de referencia).

A expressao de equivalencia entre capitais depende do regimede capitalizacao considerado e degina-se por Equacao deValor.

A equivalencia de capitais nao depende da escolha momentode referencia. Depende exclusivamente da taxa de juro.




Exercıcio 16

Considere-se um capital de 10.000 e , a vencer dentro de doisperıodos e um capital de 13.225 e , que vence dentro de tresperıodos.Discuta a equivalencia destes capitais.





Regra de Ouro do Calculo Financeiro

Para comparar ou operar com capitais e necessario que estesestejam expressos (ou reportados a um) mesmo momento .

Subjacente a esta regra esta, naturalmente, a nocao de valortemporal do dinheiro.



Equacao de Valor

A soma dos valores actuais dos capitais Ci e C ′j , no momento dereferencia 0, sao dados por:

Capitais C : C1(1 + i)−t1 + C2(1 + i)−t2 + . . .+ Cn(1 + i)−tn

Capitais C ′: C ′1(1 + i)−t′1 + C ′2(1 + i)−t

′2 + . . .+ C ′k(1 + i)−t

′k

A Equacao de Valor e dada por:

n∑j=1

Cjvtj =

k∑j=1

C ′j vt′j



Equacao de Valor

Qualquer equacao de equivalencia de capitais deve ser elaboradarespondendo as seguintes questoes:

1 O que?Entre que capital ou capitais, por um lado (1o membro daequacao) e que capital ou capitais, por outro (2o membro daequacao) se pretende estabelecer a equivalencia?

2 Quando?Para que data se pretende estabelecer a equivalencia? Poroutras palavras, qual e a data de referencia?

3 Como?Sob que regime de capitalizacao se pretende estabelecer aequivalencia? Simples ou Composto?1

1No ambito desta disciplina, considerar-se-a apenas o Regime de Juro Composto.



Equacao de Valor

De uma forma geral, podem ocorrer diversos cenarios quando sepretendem reportar capitais a um mesmo momento de referencia:

Actualizar todos os capitais (a data de referencia e anteriorao vencimento de todos eles).

Capitalizar todos os capitais (a data de referencia e posteriorao vencimento de todos eles).

Actualizar alguns capitais e capitalizar outros (a data dereferencia e um momento intermedio).

Note-se que, quando a data de referencia coincide com ovencimento de algum dos capitais, esse capital nao eactualizado nem capitalizado.




Tipos de Equacoes de Equivalencia:

1 Equivalencia entre dois capitais

2 Equivalencia entre um capital e um conjunto de capitais

3 Equivalencia entre dois conjuntos de capitais



Equivalencia entre dois Capitais

Exemplo

O Sr. Joaquim contraiu uma dıvida de 100.000 e e, a estadata, faltam exactamente 3 anos para o seu vencimento.Assumindo uma taxa de juro anual de 15%, calcule o valor queo Sr. Joaquim deveria pagar hoje para liquidar a sua dıvidaimediatamente, de forma a garantir uma situacaofinanceiramente equivalente.




Equivalencia entre um Capital e um conjunto de Capitais

Exemplo

O Sr. Joaquim tem duas dıvidas para com o Sr. Ernesto:

D 1: 3.000 e , com vencimento daqui por 6 meses

D 2: 5.000 e , com vencimento daqui por 10 meses

O Sr. Joaquim pondera antecipar o pagamento destas dıvidas poispensa poder liquida-las dentro de 2 meses.

Considerando uma taxa de juro de 12%, quanto devera o Sr.Joaquim pagar daqui por 2 meses, em substituicao das duasdıvidas originais, por forma a garantir uma equivalencia financeira?




Equivalencia de Capitais - Definicoes

Capital Comum ou Capital Unico

O Capital Comum no momento t e o valor do capital vencıvel nomomento t, que e equivalente a um conjunto de capitaisC1,C2, . . . ,Cn, vencıveis nos momentos t1, t2, . . . , tn, para umadada taxa de juro i .

C =?

O momento t designa-se por vencimento comum.




Exercıcio 17

Considerando os capitais C1,C2, . . . ,Cn, vencıveis nos momentost1, t2, . . . , tn, mostre que:

a) O Capital Unico, C , vencıvel no momento t, e dado por

C =n∑

j=1

Cjvtj−t .

b) O Vencimento Comum, t, e dado por

t =log(∑n

j=1 Cjvtj)− log(C )

log(v).





Exemplo

Considere uma dıvida representada por tres capitais de 30, 40 e 60e vencıveis, respectivamente, em 1/6/n, 1/12/n, e 1/6/n + 1. Adıvida vence juros a taxa semestral de 2, 5%. Se pretender saldar atotalidade da dıvida em 1/12/n, qual o capital que devera entegarnessa data?

Exemplo

Considere agora que pretende substituir uma dıvida, representadapor tres capitais de 30, 40 e 60 e vencıveis, respectivamente, em1/6/n, 1/12/n e 1/6/n + 1, pelo capital de 129,29 e . A dıvidavence juros a taxa semestral de 2, 5%. Em que data devera faze-lopara que esteja garantida a equivalencia de capitais?



Equivalencia de Capitais - Definicoes

Vencimento Medio

O Vencimento Medio corresponde a data de vencimento t doCapital Cumum, no caso particular em que este corresponde asoma pura e simples dos capitais que pretende substituir, ouseja C = C1 + C2 + . . . + Cn, de forma a substituir o conjuntode capitais Cj , aplicados a uma taxa de juro i , de formafinanceiramente equivalente.

t =?




Exercıcio 18

A empresa Alfa tem tres dıvidas para com um seu fornecedor:

Dıvida Montante (e) Data Vencimento

1 7.500 20 Fevereiro2 10.000 20 Maio3 5.000 20 Agosto

Considerando uma TAE de 10%, a base de calculo 30/360 e a data de 20de Junho como momento de referencia:

a. Se a empresa pretender efectuar um pagamento unico no montantede 22.200e , em substituicao das tres dıvidas originais, em que diadeve efectua-lo, por forma a obter uma situacao financeiramenteequivalente?

b. E se a empresa pretender pagar 22.924,4e?



Equivalencia entre dois conjuntos de Capitais

Exemplo

A empresa Beta tem tres dıvidas para com a empresa Omega:

Dıvida Montante (e) Data Vencimento

1 10.000 15 Abril2 12.000 15 Junho3 20.000 15 Outubro

A empresa Beta pretende substituir as tres dıvidas por duas, de igualvalor entre si, com o seguinte plano de pagamentos:

Vencimento 1: 15 de Junho

Vencimento 2: 15 de Dezembro

Considerando uma TAE de 12%, a base de calculo 30/360 e a data de 15de Junho como momento de referencia, determine o montante de cadaum dos pagamentos, de forma a manter o equilıbrio financeiro entre asduas modalidades de pagamento.




Taxa Media

Taxa Media

Considere-se um conjunto de capitais C1,C2, . . . ,Cn, investidosdurante os prazos t1, t2, . . . , tn, as taxas de juro i1, i2, . . . , in.Designa-se por taxa media, a taxa de juro i , unica, que aplicada aesses capitais durante os mesmos prazos, produz o mesmorendimento.



Taxa Media

C ′j e o valor acumulado do capital Cj , aplicado a taxa ij , durante oprazo tj .

Pretende-se conhecer o valor de i que verifica

n∑j=1

C ′j(1 + ij)tj

=n∑

j=1

C ′j(1 + i)tj



Taxa Media

n∑j=1

C ′j(1 + ij)tj

=n∑

j=1

C ′j(1 + i)tj

Como determinar a taxa i?

Tentativas - completamente desaconselhado

Interpolacao Linear

Funcao Solver do Excel



Taxa Media

Exemplo

Suponha que em 1/4/n foram aplicados os seguintes capitais:

10 u.m. durante 3 meses a taxa mensal de 1%

20 u.m. durante 7 meses a taxa mensal de 2%

40 u.m. durante 1 ano a taxa mensal de 3%

Determine a taxa media.




Capıtulo 4

Rendas Certas



Cap 4 - Rendas Certas

1 Conceitos e Definicoes

2 Classificacao das Rendas

3 Rendas Inteiras com Termos Constantes

Rendas Temporarias

Rendas Perpetuas

Rendas Diferidas

4 Rendas Inteiras com Termos Variaveis

5 Rendas Fraccionadas



Conceitos e Definicoes




Renda

Conjunto de Capitais, constantes ou nao, com vencimentosequidistantes no tempo.

Perıodo da Renda: Intervalo de Tempo entre cada dois termosconsecutivos.

Termo da Renda: Cada um dos capitais da renda.



Classificacao das Rendas




Quanto a aleatoriedade dos termos, as rendas podem ser:

Certas: Nos vencimentos respectivos, os termos saosempre pagos.Exemplo: Pagamento das prestacao de um credito automovel.

Incertas (Aleatorias): Os termos da renda so se verificammediante algumas condicoes.Exemplo: Uma apolice de seguro que paga uma anuidade em

caso de vida do segurado.




Quanto ao numero de termos, as rendas podem ser:

Temporarias: O numero de termos e finito.

Perpetuas: O numero de termos e infinito.




Consoante o a data em que os capitais ficam disponıveis, as rendaspodem ser:

Antecipadas: O primeiro termo da renda esta disponıvel nomomento de referencia.Exemplo: Na compra de um electrodomestico fixam-se 5prestacoes, sendo a primeira paga no acto da compra.

Postecipadas: O primeiro termo esta disponıvel no final doprimeiro perıodo da renda.Exemplo: No Credito a Habitacao, a 1a prestacao e devidaum mes apos o inıcio do contrato.

Imediatas: O primeiro termo esta disponıvel no proximoperıodo.

Diferidas: O primeiro termo esta disponıvel apenas apos umdeterminado numero de perıodos.Exemplo: Rendimento mensal a receber por um indivıduo de40 anos, quando atingir a idade de reforma.




Quanto a relacao entre o perıodo da taxa de juro e o perıododa renda, as rendas podem ser:

Inteiras: O perıodo da taxa de juro coincide com operıodo da renda.Exemplo: Renda paga anualmente com uma taxa de juro

inerente de 5% ao ano.

Fraccionadas: O perıodo da taxa de juro nao coincidecom o perıodo da renda.Exemplo: No Credito a Habitacao, a taxa de juro e anual e as

prestacoes (termos da renda) sao mensais.




Consoante os termos da renda sejam constantes ou variaveisas rendas dizem-se:

De termos constantes: Todos os termos tem o mesmovalor.

De termos variaveis em Progressao Aritmetica: Os termosvariam segundo uma progressao aritmetica crescente oudecrescente.

De termos variaveis em Progressao Geometrica: Ostermos variam segundo uma progressao geometricacrescente ou decrescente.

De termos variaveis: Os termos seguem outro tipo deevolucao ou nao sao regidos por uma lei matematica.




Criterio de Classificacao Designacao da Renda

Quanto a aleatoriedade dos termosRendas CertasRendas Incertas

Quanto ao prazo de vigenciaRendas TemporariasRendas Perpetuas

Quanto ao vencimento dos termosRendas PostecipadasRendas Antecipadas

Quanto ao momento de referenciaRendas ImediatasRendas Diferidas

Quanto ao perıodo da rendaRendas InteirasRendas Fraccionadas

Quanto ao valor dos termosRendas ConstantesRendas Variaveis



Simbologia

A simbologia utilizada para exprimir o valor actual dos termosde uma renda, pode ser representada como:



Simbologia

I pode tomar os valores:

a - valor actual de uma renda unitaria

s - valor acumulado de uma renda unitaria

Ia - valor actual de uma renda crescente em progressaoaritmetica

Da - valor actual de uma renda decrescente em progressaoaritmetica

Ga - valor actual de uma renda com os termos a variar em

progressao geometricaGracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 119/306


Simbologia

II pode tomar os valores:

n - renda com n termos certos

∞ - renda perpetua

ni - renda com n termos certos e a taxa de juro i



Simbologia

III pode tomar os valores:

t| - renda diferida, com t termos de diferimento



Simbologia

IV pode tomar os valores:

vazio - renda postecipada

¨(trema) - renda antecipada



Simbologia

V pode tomar os valores:

(m) - renda fraccionada. (m) corresponde ao numero devezes que a renda e paga por cada perıodo da taxa de juro.

r - renda a variar em progressao (aritmetica ou geometrica)de razao r



Simbologia

Exemplo:

4|a(12)50,03



Rendas Inteiras com Termos Constantes



Rendas Inteiras Postecipadas Constantes

Considere-se uma renda:

Inteira, Postecipada

Com n termos, todos constantes e unitarios

Taxa de juro i (constante no prazo da renda)

Momento de Referencia no instante 0

O 1o termo da renda ocorre um perıodo apos o momento dereferencia




O valor actual da renda (valor da renda reportado aomomento de referencia) e dado por:

an = v + v 2 + v 3 + . . . + vn = v1− vn

1− v

an =1− vn

i




O valor acumulado da renda (valor da renda reportado aofinal do ultimo perıodo) e dado por:

sn = (1 + i)n−1 + (1 + i)n−2 + . . . + (1 + i) + 1 =

= (1 + i)n(v + v 2 + v 3 + ... + vn) = (1 + i)nan

sn = (1 + i)n an




sn = (1 + i)n an

an = vn sn




No caso em que os termos da renda nao sao unitarios, tem-se:

Valor Actual: C an

Valor Acumulado: C sn

Esta formulacao e valida para todos os tipos de rendas queadiante se estudarao.



Rendas Inteiras Antecipadas Constantes


Inteira, Antecipada

Com n termos, todos constantes e unitarios



O 1o termo da renda ocorre no momento de referencia




O valor actual da renda e dado por:

an = 1 + v + v 2 + v 3 + . . . + vn−1 =1− vn

1− v

an =1− vn

1− v= (1 + i)

1− vn

i




O valor acumulado da renda e dado por:

sn = (1 + i)n + (1 + i)n−1 + . . . + (1 + i) =

= (1 + i)n(1 + v + v 2 + . . . + vn−1) = (1 + i)nan

sn = (1 + i)n an




sn = (1 + i)n an

an = vn sn

Exercıcio 19

Mostre que:

a) an = (1 + i)an

b) sn = (1 + i)sn



Rendas Inteiras Perpetuas Postecipadas



Infinitos Termos constantes e unitarios






Rendas Inteiras Perpetuas Postecipadas


a∞ = v + v 2 + v 3 + ... =

=∞∑n=1

vn =v

1− v=

1

i

a∞ =1

i



Rendas Inteiras Perpetuas Antecipadas


Inteira, Antecipada

Infinitos Termos constantes e unitarios



O 1o termo da renda ocorre no momento de referencia



Rendas Inteiras Perpetuas


a∞ = 1 + v + v 2 + . . . =

=∞∑n=0

vn =1

1− v=

1 + i

i

a∞ =1 + i

i



Rendas Inteiras Perpetuas Antecipadas

Exercıcio 20

Mostre que:

a) limn→∞

an = a∞

b) a∞ = (1 + i)a∞

A resolucao fica como exercıcio.



Rendas Inteiras Temporarias Diferidas Postecipadas



n termos constantes e unitarios



O 1o termo da renda ocorre um perıodo apos t perıodos dediferimento



Rendas Inteiras Temporarias Diferidas Postecipadas


t|an = v tan




Rendas Inteiras Temporarias Diferidas Antecipadas


Inteira, Antecipada

n termos constantes e unitarios



O 1o termo da renda ocorre t perıodos apos o momento dereferencia



Rendas Inteiras Temporarias Diferidas Antecipadas


t|an = v t an




Rendas Inteiras com Termos Variaveis



Rendas Inteiras Temporarias com Termos Variaveis

Em Rendas com Termos Variaveis, os termos podem ser:

Termos Variaveis em Progressao Aritmetica

Termos CrescentesTermos Decrescentes

Termos Variaveis em Progressao Geometrica

Termos CrescentesTermos Decrescentes

Termos Variaveis segundo outras leis

Resolver caso a caso



Rendas Int. Temporarias com Termos Crescentes em P. Aritmetica

Pode decompor-se em

O valor actual da renda sera dado por:

C (Ia)rn = (C − r)an + ran − nvn

i





Define-se por (Ia)n o valor actual da renda temporaria,crescente em progressao aritmetica de razao 1 e capitalinicial 1, tendo-se:

(Ia)n =an − nvn

i




Exercıcio 21

Mostre que:

a) C (I a)rn = (1 + i)C (Ia)rn

b) C (Is)rn = (1 + i)nC (Ia)rn

c) C (I s)rn = (1 + i)C (Is)rn

d) t|C (Ia)rn = v tC (Ia)rn




Rendas Int. Temporarias com Termos Decrescentes em P. Aritmetica

Pode decompor-se em


C (Da)rn = (C − r)an + rn − an

i





Define-se por (Da)n o valor actual da renda temporaria,decrescente em progressao aritmetica de razao 1 e capitalinicial n, tendo-se:

(Da)n =n − an

i




Exercıcio 22

Mostre que:

a) C (Da)rn = (1 + i)C (Da)rn

b) C (Ds)rn = (1 + i)nC (Da)rn

c) C (Ds)rn = (1 + i)C (Ds)rn

d) C t|(Da)rn = v tC (Da)rn




Rendas Int. Temporarias com Termos em P. Geometrica

Se r > 1, os termos da renda sao crescentes em progressaogeometrica.

Se 0 < r < 1, os termos da renda sao decrescentes emprogressao geometrica.


C (Ga)rn = Cv − rnvn+1

1− rv





Exercıcio 23

Mostre que:

a) C (Ga)rn = (1 + i)C (Ga)rn

b) C (Gs)rn = (1 + i)nC (Ga)rn

c) C (Gs)rn = (1 + i)C (Gs)rn

d) C t|(Ga)rn = v tC (Ga)rn





Nota Importante

As deducoes anteriores sao validas apenas para RendasInteiras, isto e, quando o perıodo da renda coincide com operıodo da taxa de juro.



Rendas Fraccionadas



Rendas Fraccionadas

Quando o perıodo da taxa de juro nao coincide com o perıododa renda, esta diz-se fraccionada.

Rendas Fraccionadas

Para operar com rendas fraccinadas, pode optar-se entre doistratamentos possıveis:

1 Adaptar as formulas anteriores ao caso em que osperıodos da renda e da taxa sao distintos.

2 Calcular a taxa de juro equivalente a periodicidade darenda e considerar que a renda e inteira, com a taxa dejuro adequada.Desta forma, todas as rendas podem ser inteiras!



Rendas Fraccionadas Temp. Postec. com Termos Constantes

Renda Fraccionada Temporaria Postecipada



Rendas Fraccionadas Temporarias Postecipadas


Paga durante n perıodos da taxa de juro

O perıodo da renda “cabe” m vezes no da taxa de juro

O numero total de termos da renda sera m × n

A taxa de juro i e constante durante o prazo da renda





Rendas Fraccionadas Temporarias Postecipadas


a(m)n =

1− vn

(1 + i)1/m − 1




Rendas Fraccionadas Temporarias

Exercıcio 24

Mostre que:

a) a(m)n = (1 + i)

1m a

(m)n

b) s(m)n = (1 + i)n a

(m)n

c) s(m)n = (1 + i)

1m s

(m)n

d) t|a(m)n = v t a

(m)n

e) t|a(m)n = v t a

(m)n




Capıtulo 5

Reembolso de Emprestimos



Cap 5 - Reembolso de Emprestimos

1 Conceitos e Definicoes

2 Modalidades Basicas de Reembolso de Emprestimos

Reembolso e Juros pagos de uma so vez

Reembolso de uma so vez e Juros em Prestacoes

Reembolso em Prestacoes e Juros pagos de uma so vez

Reembolso e Juros pagos em Prestacoes

Prestacoes ConstantesAmortizacoes Constantes

3 Assincronismos entre periodicidades das Prestacoes eTaxa de Juro




Emprestimo

Um emprestimo (ou mutuo) e um contrato pelo qual uma daspartes (o mutuante) cede a outra (o mutuario) determinadaimportancia, sendo o ultimo obrigado a restituir essa quantia,acrescida dos juros acordados, nas condicoes previamenteestipuladas.

Reembolso ou Amortizacao de um Emprestimo

Amortizar ou Reembolsar um emprestimo consiste em extinguir(gradualmente ou de uma so vez) uma dıvida contraıda,incluindo os juros estabelecidos no contrato de emprestimo.




Entidades Envolvidas num Emprestimo:

Mutuante:Dever : Emprestar o capital.Direito : Receber o capital emprestado adicionado dosjuros vencidos.

Mutuario:Dever : Restituir o capital recebido como emprestimo epagar os juros relativos a utilizacao desse capital.Direito : Usufruir do capital emprestado.




Prestacao

Pagamento destinado a liquidacao do emprestimo. A prestacao,tipicamente, e composta por duas parcelas:

Amortizacao de Capital

Juro

Princıpio Basico do Reembolso de Emprestimos

Em qualquer momento, deve existir equivalencia financeira entre ocapital em dıvida e os pagamentos ainda nao efectuados:

Valor Actual do Capital Mutuado=

Soma dos valores actuais das prestacoes a pagar pelo mutuariopara devolucao do capital e dos juros




Notas:

So a amortizacao de capital faz diminuir o capital em dıvida.O pagamento de juros nao reduz o montante da dıvida.

Em qualquer modalidade de emprestimo, a soma de todas asamortizacoes tem que igualar o montante do emprestimo.

Os juros sao devidos sobre o capital em dıvida. Se os jurosnao forem pagos, passarao eles proprios a vencer juros.




Notas:

A amortizacao contida na ultima prestacao do emprestimo,uma vez que amortiza completamente a dıvida, tera que serigual ao capital em dıvida no inıcio do ultimo perıodo, ouseja, imediatamente apos o pagamento da ultima prestacao.

Quando as prestacoes sao devidas numa periodicidadediferente da da taxa de juro (assincronismo entre asperiodicidades das prestacoes e da taxa de juro), ha que terem atencao a equivalencia entre taxas de juro para efeitos deequivalencia dos capitais.




Regime de Capitalizacao em Reembolso de Emprestimos:

Tecnicamente, nada impede que se utilize o Regime de JuroSimples nos calculos associados ao Reembolso deEmprestimos.

O Regime de Juro Simples e, por vezes, utilizado ememprestimos de curto prazo (prazos inferiores a um ano).

Nos emprestimos de medio e longo prazo e priviligiada autilizacao do Regime de Juro Composto.

A compreensao dos princıpios basicos de amortizacao deemprestimos em Regime de Juro Composto permitem aadaptacao, sem dificuldade, a outras modalidades deamortizacao que, embora menos usuais, se encontram porvezes, na pratica, em algumas aplicacoes financeiras.



Modalidades de Reembolso de Emprestimos




Existem 4 modalidades principais de liquidacao deemprestimos, baseadas nos seguintes cenarios relativos ao Juroe ao Reembolso do capital:

1 Juro:

J1 - Juro pago de uma so vez

J2 - Juro pago em prestacoes ao longo do prazo doemprestimo

2 Reembolso do Capital:

R1 - Reembolso do capital de uma so vez, no final do prazodo emprestimo

R2 - Reembolso do capital em prestacoes, ao longo do prazodo emprestimo.




Considerando os cenarios relativos ao pagamento de juros eamortizacao de capital, as principais modalidades dereembolso de emprestimos sao definidas por:

1 - (R1, J1)Reembolso pago de uma so vez, no final do prazo doemprestimo.

Juros pagos de uma so vez.

Os juros podem ser pagos:

a. No final do prazo do emprestimo

b. No inıcio do emprestimo (“a cabeca”)

As modalidades em que o reembolso e efectuado apenasno final do prazo do emprestimo sao usualmentedesignadas como Sistema Americano .




2 - (R1, J2)

Reembolso pago de uma so vez, no final do prazo doemprestimo.

Juros pagos escalonadamente (em prestacoes) ao longodo prazo do emprestimo.

Os juros podem ser pagos em prestacoes:

a. Antecipadas

b. Postecipadas

Esta modalidade corresponde ao Sistema AmericanoPuro .




3 - (R2, J1)

Reembolso efectuado em prestacoes ao longo do prazodo emprestimo.

As amortizacoes de capital podem ser:

a. Constantes ao longo do emprestimo.

b. Variaveis ao longo do emprestimo (variando emprogressao aritmetica ou geometrica).

Juros pagos de uma so vez, podendo ser pagos:

a. No inıcio do emprestimo

b. No final do emprestimo




4 - (R2, J2)Reembolso efectuado em prestacoes ao longo do prazodo emprestimo.

Juros pagos em prestacoes ao longo do emprestimo.

Nesta modalidade, e usual considerar-se dois cenarios:

a. Prestacoes constantes ao longo do emprestimo -Modalidade usualmente designada como Sistema Frances

b. Amortizacoes constantes ao longo do emprestimo -Modalidade usualmente designada como Sistema deAmortizacoes Constantes (SAC) .




As combinacoes genericas

(R1, J1) (R1, J2) (R2, J1) (R2, J2)

constituem as 4 modalidades basicas de liquidacao deemprestimos.

Variantes a estas modalidades, como o caso do Leasing, seraofacilmente adaptadas, do ponto de vista matematico efinanceiro, a partir dos conceitos das modalidades basicas.

Em muitas situacoes, a amortizacao e emprestimos resume-seou assemelha-se ao conceito de Rendas, pelo que acompreensao deste conceito e fundamental.



Notacao e Terminologia

C - Montante do Emprestimo

Cn - Capital em dıvida no inıcio do perıodo n

i - Taxa anual de juro

Pn - Prestacao devida do perıodo n (n-esima Prestacao)

jn - Parcela de juro contida na prestacao n

Jn - Total de Juro pago ate a prestacao n

mn - Parcela de amortizacao contida na prestacao n

Mn - Montante total amortizado ate a prestacao n

O diagrama cronologico e construıdo na optica no devedor, peloque se representam os valores a receber com sinal positivo e osvalores a pagar com sinal negativo.



Modalidade (R1, J1)



Modalidade 1: (R1, J1)

Pagamento de juros e reembolso do capital efectuados deuma so vez.

a. Juros pagos no final do contrato

Sob o princıpio basico do reembolso de emprestimos, verifica-se:

Jn = C [(1 + i)n − 1]





Pagamento de juros e reembolso do capital efectuados deuma so vez.

b. Juros pagos “a cabeca”


J0 = C (1− vn)





Exercıcio 25

O Sr. Silva contraiu um emprestimo de 1000e por um prazode 2 anos.A taxa de juro acordada e de 15% ao ano e o reembolso docapital e efectuado no final do prazo do emprestimo.

a. Se os juros forem pagos no final do prazo do contrato,qual o montante que o Sr. Silva dispendera ao final de 2anos?

b. Se os juros forem pagos a cabeca, calcule o montantetotal do reembolso, explicitando as datas em que ospagamentos sao efectuados.




Modalidade (R1, J2)




Reembolso efectuado no final do prazo.

Juros pagos em prestacoes.

Cenario A: Juros vencıveis em momentos equidistantes comperıodos coincidentes com o da taxa de juro

1o Caso: Juros iguais e postecipados


j = C i





Reembolso efectuado no final do prazo.

Juros pagos em prestacoes.

Cenario A: Juros vencıveis em momentos equidistantes comperıodos coincidentes com o da taxa de juro

2o Caso: Juros iguais e antecipados


j = C (1− v)





Exercıcio 26

O Sr. Joaquim pediu 5000e emprestados a D. Rosa, a taxa dejuro anual de 10%, por um prazo de 4 anos,comprometendo-se a devolver o capital emprestado no final doprazo e a pagar juros anualmente.Calcule os juros anuais a pagar, admitindo que sao pagos:

a. Postecipadamente.

b. Antecipadamente.





Cenario B: Juros escalonados, vencıveis em momentosequidistantes, com perıodos correspondentes a 1/m da taxa dejuro, pagos postecipadamente.


j = C[(1 + i)1/m − 1

]Nota: Demonstracao na aula.




Exercıcio 27

O Sr. Augusto contraiu um emprestimo no montante de3000e, por um prazo de 2 anos, a taxa anual de 12%.O reembolso do capital e devido no final do prazo e os jurossao pagos mensalmente, com vencimento no final do perıodo.Determine o montante dos juros a pagar em cada mes.





Exercıcio 28

Deduza a expressao que permite calcular os juros a pagar numemprestimo em que o reembolso se efectua no final do prazo,com os juros iguais ao longo do prazo do emprestimo,fraccionados e antecipados.

Solucao:

j =C[

(1 + i)1/m − 1]

(1 + i)1/m



Modalidade (R2, J1)




Reembolso efectuado em prestacoes.

Juros pagos de uma so vez.

Cenario A: Amortizacoes constantes de capital, vencıveis emmomentos equidistantes, com periodicidade igual a taxa dejuro e prestacoes pagas postecipadamente

1o Caso: Juros pagos no final do prazo


Jn = Cn − ann vn

Nota: Demonstracao na aula.Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 190/306



Exercıcio 29

Considere um emprestimo contraıdo sob a Modalidade(R2, J1), Cenario A.

Mostre que se as amortizacoes forem efectuadas emmomentos equidistantes, numa periodicidade correspondente a1/m do perıodo da taxa de juro, com as prestacoes pagaspostecipadamente, se tem:

Jn = Cmn − a

(m)n

mnvn




Cenario A: Amortizacoes constantes de capital, vencıveis emmomentos equidistantes, com periodicidade igual a taxa de juro eprestacoes pagas postecipadamente

2o Caso: Juros pagos a cabeca


J0 = C

(1− 1

nan

)




O Quadro de Amortizacao



Quadro de Amortizacao


O Quadro de Amortizacao e frequentemente utilizado naanalise de amortizacao de emprestimos com o intuito de“visualizar” a evolucao do emprestimo.

Existem diferentes formas de construcao do quadro deamortizacao. Nesta unidade curricular, opta-se pelautilizacao de um dos mais simples e mais fequentementeutilizados na pratica.




PrestacaoCapital Dıvida Juro

PrestacaoAmortizacaonaPrestacao

Valor Prestacao

no Ck jk mk Pk

1 C j1 = C i m1 P1 = j1 + m1

2 C1 = C −m1 j2 = C1 i m2 P2 = j2 + m2

3 C2 = C1 −m2 j3 = C2 i m3 P3 = j3 + m3

. . . . . . . . . . . . . . .n − 1 Cn−2 = Cn−3−mn−2 jn−1 = Cn−2 i mn−1 Pn−1 = jn−1+mn−1

n Cn−1 = Cn−2−mn−1 jn = Cn−1 i mn Pn = jn + mn

Notas:

1 A soma das amortizacoes (m1 + m2 + . . .+ mn) tem,necessariamente, que ser igual a divida inicial C , para garantir quea dıvida e completamente amortizada.

2 A ultima amortizacao (mn) tem, necessariamente, que ser igual aocapital em dıvida no inıcio do ultimo perıodo (Cn−1).



Modalidade (R2, J2)




Reembolso e juros pagos escalonadamente ao longo do prazodo emprestimo.

Nesta modalidade, iremos analisar com detalhe dois cenarios:

Cenario A: Prestacoes Constantes

O valor de cada prestacao (soma do capitalamortizado com o juro pago) e constante ao longodo prazo do emprestimo.

Cenario B: Amortizacoes Constantes

A parcela do montante amortizado em cadaprestacao e constante ao longo do prazo doemprestimo, sendo a totalidade da prestacao variavel.






P =C

an






Nesta modalidade, cada prestacao contem Capital e Juro:

Reparticao da Prestacao entre Amortizacao e Juro

Deduzir-se-ao, em aula, as expressoes de jk e mk , k = 1, . . . , n,considerando que, em cada prestacao, e pago o juro relativo ao capitalem dıvida nesse perıodo e que o restante e utilizado para amortizacao decapital. Note-se que este corresponde ao cenario mais usual na praticabancaria.





O Quadro de Amortizacao correspondente a Modalidade (R2, J2),Cenario A, sera dado por:


PrestacaoValor

PrestacaoAmortizacao na

Prestacaono Ck jk Pk mk

1 C j1 = C i P = C/an m1 = P − j12 C1 = C −m1 j2 = C1 i P m2 = P − j23 C2 = C1 −m2 j3 = C2 i P m3 = P − j3. . . . . . . . . . . . . . .n − 1 Cn−2 = Cn−3−mn−2 jn−1 = Cn−2 i P mn−1 = P − jn−1

n Cn−1 = Cn−2−mn−1 jn = Cn−1 i P mn = P − jn




Exercıcio 30

Deduza a expressao que permite quantificar o capital emdıvida no final do perıodo k , sem ter que construir o Quadrode Amortizacao e obtenha expressoes gerais para jk e mk sob oregime de amortizacao (R2, J2) com Amortizacoes Constantes.





Exercıcio 31

a. Mostre que, sob a Modalidade (R2, J2), Cenario A, se a prestacaotiver uma periodicidade 1/m do perıodo da taxa de juro, se tem:

P =C

a(m)n

.

b. Mostre que o capital em dıvida, quando faltam m(n− k) prestacoespara liquidacao do emprestimo, e dado por:

Ck/m = P a(m)

n−k/m.

c. Mostre que o juro devido, quando faltam m(n − k) prestacoes, edado por:

jk/m = Ck/m

[(1 + i)1/m − 1

].

d. Construa o Quadro de Amortizacao.






Nesta modalidade, cada prestacao contem Capital e Juro, mas aamortizacao e constante:

1 m =C

n

2 jk = (C − (k − 1)m) i , k = 1, . . . , n

3 Pk = m [(n − k + 1)i + 1] , k = 1, . . . , n

4 Ck = m(n − k) , k = 1, . . . , n






O Quadro de Amortizacao correspondente a Modalidade (R2, J2),Cenario B, sera dado por:


PrestacaoValor

PrestacaoAmortizacao na

Prestacaono Ck jk Pk mk

1 C j1 = C i P1 = m + j1 m2 C1 = C −m j2 = C1 i P2 = m + j2 m3 C2 = C1 − 2m j3 = C2 i P3 = m + j3 m. . . . . . . . . . . . . . .n − 1 Cn−2 = Cn−3− (n−2)m jn−1 = Cn−2 i Pn−1 =

m + jn−1

m

n Cn−1 = Cn−2− (n−1)m jn = Cn−1 i Pn = m+ jn m



Notas:

Em emprestimos sob a modalidade (R2, J2), verifica-seque:

No cenario de Prestacoes Constantes, a amortizacao decapital e crescente ao longo do prazo do emprestimo.

No cenario de Amortizacoes Constantes, as prestacoessao decrescentes ao longo do prazo do emprestimo.



Carencia e Diferimento




Embora nao sejam contemplados exemplos de emprestimoscom prazos de carencia ou prazos de diferimento, e importanteque estas nocoes sejam definidas:

Prazo de Carencia

Num emprestimo, designa-se por prazo de carencia o perıodode tempo durante o qual ha apenas lugar ao pagamento dosjuros devidos (nao existe amortizacao de capital).

Durante o prazo de carencia, o capital em dıvida e sempre omesmo ate que se inıcie a amortizacao de capital.




Prazo de Diferimento

Num emprestimo, denomina-se por prazo de diferimento operıodo durante o qual nao ha lugar a amortizacao de capitalnem a pagamento de juros.

Durante o prazo de diferimento, os juros nao pagos ficamtambem a vencer juros.

A incorporacao destas nocoes nos emprestimos estudados, doponto de vista matematico e financeiro, esta ao alcance dosalunos apos a compreensao dos conceitos ate aqui abordados.



Capıtulo 6

Emprestimos por Obrigacoes



Cap 6 - Emprestimos por Obrigacoes

1 Definicoes e Generalidades

2 Reembolso de Emprestimos Obrigacionistas

Amortizacoes Constantes

Prestacoes (aproximadamente) Constantes

Amortizacao Unica

3 Esperanca de Vida das Obrigacoes

4 Taxa Real da Obrigacao



Definicoes e Generalidades




Nos emprestimo ate aqui estudados, o capital eraconcedido por apenas um mutuante (uma unicaentidade).

No entanto, ha situacoes em que, devido ao elevadaquantia monetaria que o mutuario necessita, se revelanecessario (e mais prudente) recorrer a mais do que ummutuante.

Nestes cenarios, e comum o mutuario recorrer aEmprestimos Obrigacionistas.




Obrigacao

Uma obrigacao e um tıtulo representativo de um emprestimoobtido, pelo qual a entidade emitente (o mutuario) se comprometea pagar aos detentores das obrigacoes (os mutuantes):

o valor inscrito no tıtulo - o valor nominal

um rendimento periodico - o juro

outras importancias a que a entidade emissora se tenhaobrigado na emissao das obrigacoes - premios de reembolso,etc.




Os Emprestimos por Obrigacoes permitem:

A captacao de um maior volume de capital para omutuario.

Um mutuario (grande devedor) e muitos mutuantes(pequenos credores).

Emprestimos de Medios e Longos prazos.

Reembolsos efectuados em fraccoes periodicas.

O mutuario obriga-se a reembolsar o respectivo capital e pagaros juros devidos, de acordo com as condicoes previamenteestabelecidas na ficha tecnica do emprestimo.




- Ficha Tecnica do Emprestimo Obrigacionista -

A ficha tecnica fornece as informacoes relativas ao emprestimoobrigacionista:

Montante da Emissao

Valor Nominal das Obrigacoes

Taxa de Juro

Forma de Pagamento dos Juros

Base de Calculo

Preco de Subscricao

Prazo do Emprestimo

Forma de Reembolso

. . .




Os conceitos mais relevantes nos contexto dos emprestimosobrigacionistas sao:

Emitente:

Corresponde ao mutuario, que lanca o emprestimo obrigacionista.Podem ser emitentes de Emprestimos Obrigacionistas: Empresas,Instituicoes Financeiras, o Estado ou Entidades Publicas.





Emitente

Subscricao:

Consiste na aquisicao de obrigacoes emitidas.





Emitente

Subscricao

Subscritores ou Obrigacionistas:

Correspondem aos mutuantes, ou seja, aos que compram obrigacoes,emprestando dinheiro a entidade emitente.Os subscritores podem ser Instituicoes Financeiras, Bancos, Governos,Fundos de Investimento, Fundos de Pensoes, Companhias de Seguros,Corretores, Particulares.





Emitente

Subscricao

Subscritores ou Obrigacionistas

Vida do Emprestimo:

Corresponde a duracao do emprestimo, ou seja, o tempo que decorreentre o momento da emissao das obrigacoes e o pagamento da ultimaprestacao.





Emitente

Subscricao


Vida do Emprestimo

Maturidade:

Data em que ocorre o pagamento da ultima prestacao do emprestimo.Corresponde, portanto, a data em que o emprestimo se extingue.





Emitente

Subscricao


Vida do Emprestimo

Maturidade

Valor Nominal - Vn:

Valor sobre o qual e calculado o juro das obrigacoes.





Emitente

Subscricao


Vida do Emprestimo

Maturidade

Valor Nominal - Vn

Taxa de Juro ou Taxa de Cupao - i :

E a taxa (regra geral, anual nominal) a qual sao calculados os jurosdevidos ao obrigacionista. Para efeitos da contagem dos dias para calculodos juros e frequente a utilizacao da Base de Calculo 30/360.





Emitente

Subscricao


Vida do Emprestimo

Maturidade

Valor Nominal - Vn

Taxa de Juro ou Taxa de Cupao - i

Reembolso:

Consiste na restituicao do capital aos obrigacionistas. Frequentemente, oreembolso e efectuado por sorteio, que determinara quais os subscritoresa reembolsar.




Os conceitos mais relevantes nos contexto dos emp. obrigacionistas sao:

Valor de Emissao - Ve :

Corresponde ao valor que os subscritores pagam pelas obrigacoes no

momento da sua emissao. O valor de emissao pode ser igual, inferior ou

superior ao valor nominal, utilizando-se as designacoes:

� Subscricao ao par: a subscricao e efectuada pelo seu valor nominal:Ve = Vn.

� Subscricao abaixo do par: a subscricao e efectuada por um valorinferior ao valor nominal: Ve < Vn.Esta situacao ocorre em perıodos de escassez de oferta de capital oude dificuldade da emitente em colocar os seus tıtulos no mercado.

� Subscricao acima do par: a subscricao e efectuada por um valorsuperior ao valor nominal da obrigacao: Ve > Vn.Esta situacao ocorre em perıodos de excesso de oferta de capital.





Valor de Emissao - Ve

Valor de Reembolso - Vr :

E o valor que os subscritores recebem pelas obrigacoes, quando estas sao

amortizadas. O valor de reembolso pode ser efectuado:

� Ao par: O valor de reembolso e igual ao valor nominal: Vr = Vn.

� Abaixo do par: o valor de reembolso e inferior ao valor nominal:Vr < Vn.E uma situacao pouco frequente pois desincentiva a aquisicao dasobrigacoes.

� Acima do par: o valor de reembolso e superior ao valor nominal daobrigacao: Vr > Vn.Esta situacao e frequentemente utilizada como um incentivo acompra de obrigacoes.






Valor de Reembolso - Vr

Premio de Reembolso - pr :

Corresponde a diferenca entre o valor de reembolso e o valor nominal dasobrigacoes, nas situacoes em que o reembolso se efectua acima do par,ou seja

pr = Vr − Vn se Vr > Vn.






Valor de Reembolso - Vr

Premio de Reembolso - pr

Forma de Reembolso:

Corresponde a modalidade em que a amortizacao das obrigacoes eefectuada. Existem diversas modalidades de reembolso, sendo as maiscomuns a amortizacao em amortizacoes constantes, em prestacoes(aproximadamente) constantes ou amortizacao unica no final damaturidade com pagamento periodico dos juros.




Tipos de Obrigacoes:

De Taxa Fixa - o juro pago aos subscritores e constante ao longo doprazo do emprestimo.

De Taxa Variavel - a taxa de juro e variavel ao longo do emprestimo.

Indexadas - a taxa de juro das obrigacoes e indexada a umdeterminado ındice.

Simples - as obrigacoes simples dao direito ao reembolso do seuvalor nominal e ao recebimento dos juros nos prazos previstos.

Com Premio - as obrigacoes com premio dao direito aorecebimento, na data de reembolso, de uma importancia adicional -o premio de reembolso.

Convertıveis - Sao instrumentos financeiros hıbridos, constituıdospor uma obrigacao com uma opcao de conversao em accoes. Asobrigacoes convertıveis tendem a pagar cupoes mais baixos, devidoa opcao de conversao que lhes acrescenta valor.




Notacao:

Vn - valor nominal de cada obrigacao

Ve - valor de emissao de cada obrigacao

Vr - valor de reembolso de cada obrigacao

Q - no de obrigacoes emitidas

Qk - no de obrigacoes reembolsadas no perıodo k

Qvk - no de obrigacoes “vivas” no final do perıodo k

C - valor nominal do emprestimo

n - no de perıodos de vigencia do emprestimo

i - taxa de juro (anual nominal)

jk - juro no perıodo k

mk - amortizacao efectuada no perıodo k

Mk - amortizacoes acumuladas ate ao perıodo k

pk - premio de reembolso no perıodo k

Pk - prestacao do perıodo k



Reembolso de Emprestimos Obrigacionistas



Quadro de Amortizacao (generico)


O Quadro de Amortizacao e semelhante ao Quadro deAmortizacao dos emprestimos classicos.

O Quadro de Amortizacao de Emprestimos Obrigacionistasdevera, adicionalmente, conter informacao relativa ao numerode obrigacoes amortizadas (“mortas”) em cada perıodo, bemcomo relativamente ao numero de obrigacoes ainda “vivas”apos cada amortizacao de capital.

O premio de reembolso, caso exista, deve tambem estarcontemplado no Quadro de Amortizacao.



Quadro de Amortizacao (generico)

Perıodo Obrig.Vivas2

V.N.Obrig.Vivas

Juro3 Amort. Obrigacoes aReembolsar4

Amort.Acum.

PremioReemb.

Prestacao

(1) (2)=(1).Vn (3)=(2).i (4) (5)=(4)/Vr (6) (7) (3)+(4)+(7)1 Q C = Q Vn j1 m1 Q1 M1 pr1 P12 Qv1

C1 j2 m2 Q2 M2 pr2 P23 Qv2

C2 j3 m3 Q3 M3 pr3 P3

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n Qvn−1Cn−1 jn mn Qn Mn prn Pn

Total - - - C Q - - -

2no inıcio do perıodo

3no final do perıodo

4arredondado ao inteiro mais proximo




Modalidade 1: Amortizacoes Constantes

1.1 - Sem Premio de Reembolso1.2 - Com Premio de Reembolso




Modalidade 1.1 - Amortizacoes Constantes, sem P. Reembolso

Valor do Emprestimo: C = Q · Vn

A prestacao a pagar e composta por Amortizacao e Juro:

Pk = mk + jk

O valor a amortizar em cada perıodo e dado por

m =C

n⇔ m =

Q

n· Vn

Q

ncorresponde ao no de obrigacoes a amortizar (sortear)

em cada perıodo.




Modalidade 1.1 - Amortizacoes Constantes, sem P. Reembolso

O juro devido no final do perıodo k sera:

jk = (C − (k − 1)m) i = QVn

(n − k + 1

n

)i , k = 1, . . . , n

O valor total amortizado no final do perıodo k sera

Mk = kQ

nVn , k = 1, . . . , n

O capital em dıvida no final do perıodo k sera

Ck = Q

(n − k

n

)Vn , k = 1, . . . , n



Modalidade 1.1 - Quadro de Amortizacao

Perıodo Obrig. Vi-vas5

V.N. Obrig.Vivas

Juro6 Amortizacao Obrigacoes aReembolsar

Amort.Acum.

Prestacao

k QvkCk jk m Qk Mk Pk

1 Q Q Vn QVn iQ

nVn

Q

nm m + j1

2 Qn − 1

nQ

n − 1

nVn QVn

n − 1

ni

Q

nVn

Q

n2m m + j2

3 Qn − 2

nQ

n − 2

nVn QVn

n − 2

ni

Q

nVn

Q

n3m m + j3

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n Q1

nQ

1

nVn QVn

1

ni

Q

nVn

Q

n(n − 1)m m + jn

Total - - - C Q - -





Modalidade 1.1

Exercıcio 32

A Sociedade de tintas Arco-Iris emitiu um emprestimo constituıdopor 120.000 obrigacoes com o valor nominal de 5e, vencendo jurosa taxa anual de 18%, nas seguintes condicoes:

- reembolso em 5 prestacoes anuais, sendo constante o no deobrigacoes a reembolsar

- reembolso ao par, vencendo-se o primeiro um ano apos a datada subscricao

- subscricao ao par, iniciando-se a contagem dos juros apos adata de termo da subscricao

Construa o quadro de amortizacao do emprestimo obrigacionista.



Modalidade 1.1

Exercıcio 33

A empresa de informatica FreeApps emitiu um emprestimoobrigacionista com as seguintes caracterısticas e condicoes:

- Numero de obrigacoes emitidas: 1.000.0000

- Valor Nominal: 3e

- Juros pagos anualmente a taxa de juro anual nominal de 6%

- Forma de reembolso: Ao par, em 25 prestacoes anuais, sendoconstante o capital a amortizar em cada prestacao

Recorrendo ao Excel, elabore o quadro de amortizacao desteemprestimo obrigacionista.



Modalidade 1.1

Exercıcio 34

Resolva novamente o Exercıcio 32, considerando que o juro sevence semestralmente a taxa anual de 18%.

Nota:

Quando a periodicidade de vencimento dos juros nao coincidir coma periodicidade da taxa de juro, a taxa correspondente aossub-perıodos da taxa de juro e a correspondente taxa proporcional,por se considerarem taxas nominais.




Modalidade 1.2 - Amortizacoes Constantes, com P. Reembolso

Nesta modalidade, a Entidade Emitente restitui o valornominal do capital aquando da amortizacao das obrigacoes,adicionada de um premio - o premio de reembolso -normalmente variavel de vencimento para vencimento.

Relativamente a modalidade anterior, esta forma dereembolso de emprestimos obrigacionistas requer, apenas, ainclusao de uma coluna adicional no quadro de amortizacaopor forma a reflectir o premio de reembolso (ver Quadro deAmortizacao generico).

A prestacao a pagar sera agora composta por Amortizacao,Juro e Premio: Pk = mk + jk + pk



Modalidade 1.2

Exercıcio 35

Considere o emprestimo obrigacionista do Exercıcio 32considerando que em cada reembolso sera pago o seguintepremio adicional:

1a Amortizacao: 0.1 e




5a Amortizacao: 1 e

Construa o novo quadro de amortizacao do emprestimoobrigacionista.



Modalidade 1.2

Exercıcio 36

Considere o emprestimo obrigacionista do Exercıcio 33considerando, adicionalmente, que existe um premio dereembolso de 0.20e por obrigacao reembolsada.

Elabore o quadro de amortizacao do emprestimo obrigacionistanas novas condicoes.




Modalidade 2: Prestacoes (aproximadamente) Constantes

2.1 - Sem Premio de Reembolso2.2 - Com Premio de Reembolso



Modalidade 2.1 - Observacoes

Nesta modalidade, em que se pretende reembolsar oemprestimo obrigacionista atraves de prestacoes constantes, enecessario notar que o que se amortiza em cada perıodo e umnumero de obrigacoes e nao um montante de capital.

Naturalmente, o numero de obrigacoes e um numero inteiroe, como tal, podera ser necessario efectuar algunsajustamentos em cada perıodo, o que faz com que asprestacoes nao sejam exactamente constantes, mas simaproximadamente constantes.




Modalidade 2.1 - Prestacoes ≈ Constantes, sem P. Reembolso

Valor do Emprestimo: C = Q · Vn

A prestacao a pagar e composta por Amortizacao e Juro:

Pk = mk + jk

O valor constante de cada prestacao sera

Pk =C

an=

Q

anVn , k = 1, . . . , n

O juro de cada perıodo e, como usualmente, dado por

jk = Ck−1 i , k = 1, . . . , n



Modalidade 2.1 - Prestacoes ≈ Constantes

O valor de cada amortizacao sera:

mk = Pk − jk , k = 1, . . . , n

O numero de obrigacoes a reembolsar sera

Qk ≈mk

Vn, k = 1, . . . , n

arredondando-se Qk para o inteiro mais proximo.



Modalidade 2.1 - Prestacoes ≈ Constantes

Nota Importante:

Devido aos ajustamentos efectuados em cada perıodo podeverificar-se que, no final do emprestimo, a soma de todas asobrigacoes amortizadas seja distinto do valor das obrigacoesemitidas.

Nestas situacooes efectua-se, na ultima prestacao, osajustamentos que se revelarem necessarios.



Modalidade 2.1 - Quadro de Amortizacao

Perıodo Obrig. Vi-vas7

V.N. Obrig.Vivas

Juro8 Amortizacao Obrigacoes aReembolsar9

Amort.Acum.

Prestacao

k QvkCk jk mk Qk Mk Pk ≈ P

1 Q Q Vn QVn i P − j1m1

Vnm1 Q1Vn + j1

2 Qv1C1 C1 i P − j2

m2

VnM1 + m2 Q2Vn + j2

3 Qv2C2 C2 i P − j3

m3

VnM2 + m3 Q3Vn + j3

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n Qvn Cn−1 Cn−1 i P − jnmn

Vn

10 Mn−1 +mn

QnVn + jn

Total - - - C Q - -



9Arredondado ao inteiro mais proximo

10Pode necessitar de ajustes



Modalidade 2.1

Exercıcio 37

A Sociedade de tintas Arco-Iris emitiu um novo emprestimoobrigacionista constituıdo por 120.000 obrigacoes com o valornominal de 5e, vencendo juros a taxa anual de 18%, nas seguintescondicoes:

- reembolso em 5 prestacoes anuais desejando, desta vez,amortizar o emprestimo em prestacoes constantes

- reembolso ao par, vencendo-se o primeiro um ano apos a datada subscricao

- subscricao ao par, iniciando-se a contagem dos juros apos adata de termo da subscricao

Construa o quadro de amortizacao do novo emprestimoobrigacionista.



Modalidade 2.1

Exercıcio 38

A Sociedade 123, Lda emitiu um emprestimo obrigacionista com asseguintes caracterısticas e condicoes:

- No de Obrigacoes emitidas e subscritas: 1.000.000

- Valor Nominal: 5e

- Juros pagos anualmente a taxa de juro anual nominal de 6%

- Forma de Reembolso: 25 prestacoes anuais constantes

- Premio de Reembolso: Nao aplicavel

Elabore o quadro de amortizacao deste emprestimo recorrendo aoMicrosoft Excel.



Modalidade 2.2

Em emprestimos obrigacionistas reembolsados em prestacoes constantescom premio de reembolso, duas situacoes se podem colocar:

1 O premio de reembolso e considerado a parte, pelo que a prestacaoque se mantem constante e apenas constituıda por amortizacao ejuro: Pk = mk + jk . Esta situacao e tratada de forma semelhante aModalidade 1.2, sendo apenas necessario incorporar uma novacoluna no Quadro de Amortizacao.

2 O premio de reembolso e considerado como fazendo parte deprestacao (que se pretende constante) pelo que

Pk = mk + jk + pk .

Esta situacao implica que se efectue uma “normalizacao doemprestimo”.11

11Fora do ambito da disciplina. Para estudo deste problema ver, por exemplo, Matias (2009).




Modalidade 3: Amortizacao Unica




Modalidade 3 - Amortizacao Unica

Nesta modalidade, ao longo do prazo do emprestimo apenasse pagam os juros periodicos.

A amortizacao dos capital (das obrigacoes) e efectuada deuma so uma vez, a todos os subscritores, no final do prazo.

Esta modalidade tem como inconveniente que o mutuario, nofinal do prazo do emprestimo, tem um elevado compromissofinanceiro para satisfazer.

A formulacao desta modalidade, de um ponto de vistafinanceiro, nao apresenta qualquer dificuldade.



Modalidade 1.3 - Amortizacao Unica

Exercıcio 39

A Sociedade ABC emitiu um emprestimo obrigacionista comas seguintes caracterısticas e condicoes:

- No de Obrigacoes Emitidas: 1.000.000

- Valor Nominal: 5 e

- Juros pagos anualmente a taxa anual nominal de 4%

- Forma de Reembolso: de uma so vez, apos 5 anos

- Reembolso ao par

Elabore o quadro de amortizacao do emprestimoobrigacionista.




Esperanca de Vida das Obrigacoes




Observacoes:

Na generalidade dos emprestimos obrigacionistas, asamortizacoes sao efectuadas periodicamente e por sorteio.

Desta forma, cada subscritor desconhece, a priori, a dataem que as suas obrigacoes irao ser reembolsadas.

E assim usual estimar-se a esperanca de vida dasobrigacoes.





Tempo que, em media, uma obrigacao se mantem “viva” ao longodo emprestimo. Corresponde ao tempo medio durante o qual osubscritor recebe juros do seu investimento.

A Esperanca de Vida das Obrigacoes “vivas” num dado momentok , ek , e obtida a partir da media aritmetica dos tempos vividos poressas obrigacoes, a partir do momento k:

ek =1× Qk+1 + 2× Qk+2 + . . .+ (n − k)× Qn

Qk+1 + Qk+1 + . . .+ Qn




Em emprestimos obrigacionistas com amortizacao(reembolso) constante, tem-se:

ek =n − k + 1

2

Em emprestimos obrigacionistas com prestacoes constantes,tem-se:

ek =n − k

1− vn−k− 1

i





Vida Media de uma Obrigacao

Denomina-se por Vida Media a esperanca de vida de cadaobrigacao acabada de emitir e representa-se por e0.

Em emprestimos obrigacionistas com amortizacoesconstantes:

e0 =n + 1

2

Em emprestimos obrigacionistas com prestacoes constantes:

e0 =n

1− vn− 1

i




Exercıcio 40

Suponha que e proprietario de uma obrigacao da Sociedade deTintas Arco-Iris, cujas condicoes do emprestimo foram descritas noExercıcio 32.Considerando os cenarios de Amortizacoes Constantes e PrestacoesConstantes:

a. Determine a vida media da obrigacao.

b. Supondo que ja foi efectuado o 3o sorteio e a sua obrigacaoainda nao foi amortizada, estime a esperanca de vida da suaobrigacao.




Taxa Real de uma Obrigacao




Observacoes:

Sob a perspectiva do subscritor a taxa real de juro de cadaobrigacao so e possıvel de determinar a posteriori (depois daobrigacao reembolsada), uma vez que a data em que oreembolso ocorre e desconhecida.

Uma vez ocorrido o reembolso, a taxa efectiva de umaobrigacao pode ser facilmente determinada.




Considere-se uma obrigacao adquirida no momento 0, com o valornominal Vn, emitida pelo preco de emissao Ve e que foireembolsada no momento k , sem premio de reembolso.

Esquematicamente, o emprestimo pode ser representado por:

A taxa real i∗ da obrigacao e obtida a partir de

Ve = Vn × i × ak i∗ + Vn (1 + i∗)−k





Considere-se uma obrigacao adquirida no momento 0, com o valornominal Vn, emitida pelo preco de emissao Ve e que foireembolsada no momento k , com premio de reembolso pr .

Esquematicamente, o emprestimo pode ser representado por:

A taxa real i∗ da obrigacao e obtida a partir de

Ve = Vn × i × ak i∗ + (Vn + pr ) v∗k





Exercıcio 41

A Sociedade XYZ emitiu, em 01/06/2008, obrigacoes no valornominal de 5e , vencendo juros a taxa anual nominal de 7.5%,com vencimentos em 01/12 de cada ano.Suponha que adquiriu uma dessas obrigacoes por 4,5e e que estafoi reembolsada, em 01/06/2010, pelo seu valor nominal.Determine a taxa real desta obrigacao:

a. Admitindo que nao houve premio de reembolso.

b. Supondo que tinha existido um premio de reembolso de0.25e.




Capıtulo 7

O Calculo Financeiro e as Aplicacoes de Capital



Cap 7 - O Calculo Financeiro e as Aplicacoes de Capital

1 Nocoes Gerais

2 Fases de Avaliacao de um Projecto de Investimento

3 Indicadores de Rendibilidade

Prazo de Recuperacao do Investimento (PRI)

Valor Actualizado Lıquido (VAL)

Taxa Interna de Rendibilidade (TIR)

Indice de Rendibilidade (IR)

4 Comparacao de Investimentos



Nocoes Gerais



Nocoes Gerais

Neste capıtulo introduzir-se-a, de forma ligeira e breve, aaplicacao do Calculo Financeiro na avaliacao de projectos deinvestimento.

Um investimento traduz-se, no essencial, na substituicao decapitais presentes por capitais futuros.

Do ponto de vista do investidor, esta substituicao devera sercompensatoria, isto e, os capitais futuros deverao exceder oscapitais actuais.

O investimento pressupoes o acrescimo do valor dos capitaisinvestidos, caso contrario nao se trata de um investimento deinteresse.



Nocoes Gerais

A decisao de investir num projecto envolve sempre uma certadose de risco, maior ou menor consoante o tipo deinvestimento, o qual devera, pelo menos teoricamente, sercoberto pelo retorno obtido com o investimento (espera-seque investimentos com maior risco produzam maioresretornos).

Analisar-se-ao algumas medidas de rendibilidade de uminvestimento que permitam auxiliar na decisao deinvestimento num dado projecto e na comparacao entre variosinvestimentos.



Nocoes Gerais

Qualquer projecto de investimento deve ter, para efeitos deavaliacao, um horizonte temporal, correspondente a vida utiesperada do projecto.

Associados a um investimento, existem sempre fluxosfinanceiros positivos e negativos, correspondentes aosinvestimentos e receitas geradas pelo projecto.

Com base nas estimativas dos fluxos e do horizonte temporal,medir-se-a a rendibilidade do projecto de investimento,segundo varias medidas.



Fases de Avaliacao de um Projecto de Investimento



Fases de avaliacao de um projecto de investimento

I - Fixacao de Hipoteses

Usualmente e necessario fixar certas hipoteses sobre aevolucao futura das variaveis com influencia relevante nosresultados do projecto, nomedamente:

◦ Mercado ◦ Taxas de Juro◦ Salarios ◦ Inflaccao◦ Enquadramento Fiscal◦ Outras variaveis macro-economicas

A fixacao de hipoteses e essencial na avaliacao de um projecto.




II - Escolha de um Horizonte Temporal e Perıodo de Referenciapara o projecto

Habitualmente, e escolhido um horizonte de analise doprojecto considerando-se que, no final deste perıodo, oprojecto cessa os seus efeitos de libertacao de recursoscompensatorios do investimento inicial. Este horizontedesigna-se por Horizonte Temporal e denotar-se-a por n.

Quando nao existe um horizonte definido a priori para oprojecto, fixa-se um horizonte razoavel (variavel de acordocom o tipo de projecto) e resume-se todo o futuro para alemdesse horizonte num valor residual para o investimento inicial.

O horizonte temporal escolhido e depois dividido em perıodosiguais (usualmente anos) sendo a unidade temporal obtidadesignada por perıodo de referencia.




III - Projeccao dos Cash-Flows

Com base nas hipoteses fixadas e tendo em conta o horizontetemporal e o perıodo de referencia, a avaliacao do projectoconsiste, seguidamente, na estimacao dos cash-flows, isto e,na estimacao dos capitais futuros gerados e investidos emcada um dos perıodos do projecto, bem como da estimacaodos investimentos iniciais a efectuar.





Os fluxos financeiros sao, regra geral, agrupados em tres tipos:

1 Fluxos originados directamente pelo investimento:Ik , k = 1, . . . , n

Sao custos do investimento propriamente dito (aquisicao deequipamentos, edifıcios, etc). Sao, naturalemnte, fluxos negativose sao usualmente designados como Custos do Investimento.







2 Fluxos gerados pela exploracao do investimento:CFk , k = 1, . . . , n

Representam as despesas e receitas geradas pelo investimento(venda de produtos, manutencao do equipamento, custos de maode obra, etc). A diferenca entre as receitas e as despesas eusualmente designada por Cash-Flows do investimento e podem,naturalmente, ser positivos, negativos ou nulos.







2 Fluxos gerados pela exploracao do investimento:CFk , k = 1, . . . , n

3 Fluxos associados ao fim de vida util do investimento: Vr

Correspondem a receitas e despesas associadas ao fim de vida utildo investimento. Sao habitualmente designados por Valor Residuale ocorrem apenas no final de vida util do investimento (no final dohorizonte temporal).





em que:

Ii - Montante do investimento necessario no ano i

CFi - Cash-flows gerados no ano i

Vr - Valor Residual do investimento



Rendibilidade de um Investimento

De um ponto de vista da analise de rendibilidade de uminvestimento, podem colocar-se duas situacoes:

1 Estudo da rendibilidade do projecto em si

Nesta situacao, pretende apenas avaliar-se a capacidade doprojecto multiplicar o capital investido.Nesta perspectiva, os encargos para com instituicoesfinanceiras (juros e amortizacoes de capital) nao devem serconsiderados como fluxos negativos, mesmo quando sao pagos.De facto, estes constituem tambem recursos libertados peloprojecto, embora se destinem a remunerar capitais alheios.




De um ponto de vista da analise de rendibilidade de uminvestimento, podem colocar-se duas situacoes:

1 Estudo da rendibilidade do projecto em si

2 Estudo da rendibilidade dos detentores de capital proprio

Nesta perspectiva, pretende analisar-se a rendibilidade doprojecto, lıquida dos encargos contraıdos para investimento noprojecto. Assim, os encargos financeiros devem serconsiderados como fluxos negativos.Nesta situacao, estuda-se apenas a rendibilidade dasaplicacoes efectuadas pelos detentores de capitais proprios enao a rendibilidade do projecto.




Exemplo

Considere um projecto caracterizado por:Horizonte Temporal: 2 anos Investimento Inicial: 100.000eCash-Flow no ano 1: 50.000e Cash-Flow no ano 2: 80.000eValor Residual: nao aplicavel

Analise a rendibilidade do projecto em si e dos detentores de capitais sobos seguintes cenarios:

a. Todo o capital inicial e detido pelo investidor.

b. Metade do capital inicial e detido pelo investidor e o restantecapital foi cedido por terceiros a uma taxa de juro de 10%, sendo aamortizacao de capital efectuada por amortizacoes constantes nosproximos 2 anos.




Indicadores de Rendibilidade



Prazo de Recuperacao do Investimento




Prazo de Recuperacao do Investimento - PRI

Corresponde ao tempo mınimo necessario para que os cash-flowsacumulados ao longo desse prazo igualem o capital investido.

Nao considerando a actualizacao dos cash-flows ter-se-ia que oPRI corresponde ao prazo m tal que

m∑j=1

CFj + Vr =n−1∑j=0

Ij

Esta forma simplista do calculo do PRI ignora o valor temporal dodinheiro, o que nao deve ser descurado.




Considerado os valores actuais dos cash-flows, o PRI correspondeao prazo m que verifica

m∑j=1

CFj (1 + i)−j + Vr (1 + i)−n =n−1∑j=0

Ij (1 + i)−j

com i a taxa correspondente ao custo do capital.

Taxa de Custo do Capital

Esta taxa deve ser estimada pelo investidor, tendo em contavarios factores: o numero de investimentos a efectuar aolongo do tempo, se o investimento e total ou parcialmenteefectuado com capitais proprios, qual a taxa de juro envolvidanos compromissos financeiros a assumir e outros factores quese revelem importantes de analisar.




Considerado os valores actuais dos cash-flows, o PRI correspondeao prazo m que verifica

m∑j=1

CFj (1 + i)−j + Vr (1 + i)−n =n−1∑j=0

Ij (1 + i)−j

com i a taxa correspondente ao custo do capital.

Taxa de Custo do Capital

Esta taxa deve ainda fazer face ao risco de investimento(considerando adicionalmente um premio de risco).

A correcta estimacao desta taxa e de extrema importancia. Aadopcao de uma ou outra taxa pode revelar-se determinantena decisao de investir ou nao num determinado projecto.




Observacoes:

Este indicador de rendibilidade revela-se simplista na medidaem que nao avalia a rendibilidade do investimento, pois naoconsidera os fluxos de capital ocorridos para alem da data emque se recupera o valor dispendido com o investimento.

Na realidade, este indicador apenas permite determinar operıodo a partir do qual o capital investido e recuperado.

Este indicador revela-se util para desempate entre projectosalternativos em que os restantes criterios de rendibilidadeproduzam valores semelhantes.



Valor Actual Liquido



Valor Actual Lıquido

Valor Actual Lıquido - VAL

Consiste na actualizacao, para o momento inicial do projecto, detodos os fluxos de capital (positivos e negativos) referentes aoprojecto. E um dos criterios mais frequentemente utilizados.

VAL =n∑

j=1

CFj(1 + i)−j −n−1∑j=0

Ij(1 + i)−j + Vr (1 + i)−n

A taxa atribuıda ao custo do capital volta a revelar-se de extremaimportancia.O VAL e uma funcao decrescente de i .




Interpretacoes do VAL:

Assumindo que os cash-flows sao libertos do projecto, a decisao atomar com base neste indicador e bastante intuitiva:

VAL > 0 - o projecto e economicamente viavel, uma vez queos cash-flows libertos pelo projecto permitem:

↪→ recuperar progressivamente o capital investido↪→ remunerar o capital investido a taxa de custo do capital

na parte que vai permanencendo afecta ao projecto↪→ originar um excedente (lucro). Note-se que o VAL e o

valor actual desse excedente.




Interpretacoes do VAL:

Assumindo que os cash-flows sao libertos do projecto, a decisao atomar com base neste indicador e bastante intuitiva:

VAL < 0 - o projecto e economicamente inviavel, devendo serrejeitado.Note-se que, nesta situacao, o valor actual dos fluxosnegativos excede o valor actual dos fluxos positivos.

VAL ≈ 0 - de um ponto de vista financeiro, torna-seindiferente concretizar ou nao o investimento pois as receitasigualam os custos (em valores actuais), nao resultandonenhum excedente (o projecto nao gera lucro).




Observacoes Importantes:

Ao decidir em funcao do VAL deve ter-se em atencao que se estaoa admitir como validas as previsoes que foram efectuadas acerca dataxa de custo do capital.

Nalgumas situacoes, a variacao de 1 ou 2 pontos percentuais nataxa i e o suficiente para passar de VAL > 0 para VAL < 0.

Nas situacoes em que os cash-flows gerados permanecem noprojecto, sendo reinvestidos e gerando eles proprios cash-flowsadicionais, o calculo e interpretacao do VAL carecem de umaanalise mais cuidada12.

12Fora do ambito da disciplina.



Taxa Interna de Rendibilidade




Taxa Interna de Rendibilidade - TIR

A Taxa Interna de Rendibilidade corresponde a taxa do custo docapital para a qual se tem VAL = 0.

A TIR e, portanto, a solucao da equacao

n∑j=1

CFj(1 + i)−j −n−1∑j=0

Ij(1 + i)−j + Vr (1 + i)−n = 0

A TIR corresponde, portanto, a taxa maxima de custo do capitalque pode ser considerada para nao se ter um excedente negativo.




Observacoes:

A TIR e, portanto, a taxa do custo do capital que permitereembolsar progressivamente o investimento efectuado e pagar osjuros, sem gerar excedente.

Representa, portanto, o “ponto de indiferenca” entre realizar ounao o investimento, uma vez que e obtida a partir de VAL = 0.

Uma vez determinada, deve ser comparada com a taxa derendibilidade mınima que o investidor esta disposto a aceitar parainvestir no projecto, taxa essa designada por taxa de referencia.

Novamente, o risco do investimento sera um factor a ter em contana analise da taxa de referencia.




Observacoes:

A TIR corresponde ainda a rendibilidade gerada por determinadoinvestimento ou seja, a taxa de juro que produziria a mesmarendibilidade se o montante dos investimentos fosse aplicado a essataxa.

A partir do momento em que os fluxos de capitais sejam conhecidos(estimados), o criterio de decisao consiste em aceitar os projectosque apresentam uma TIR superior ao custo de financiamento,acrescido de uma taxa de risco que esteja associada aoinvestimento.

Genericamente, a TIR representa a taxa de retorno esperada dosinvestimentos num projecto.




Interpretacoes da TIR:

Se TIR > Taxa de Referencia - o projecto e economicamenteviavel, relevando condicoes de ser realizado.

Se TIR < Taxa de Referencia - o projecto e economicamenteinviavel, devendo ser rejeitado.



Indice de Rendibilidade



Indice de Rendibilidade

Indice de Rendibilidade - IR

O Indice de Rendibilidade procura fazer face a alguns dosinconvenientes do VAL, na medida em que relaciona o VAL com omontante do investimento.O Indice de Rendibilidade indica a rendibilidade gerada por cadaunidade de capital investida.

IR =VAL

Valor Actual do Investimento

Um projecto de investimento sera tanto mais atraente quantomaior o seu ındice de rendibilidade, devendo ser rejeitado uminvestimento cujo IR < 0.



Comparacao de Investimentos




Observacoes:

Nalgumas situacoes, a questao que se coloca ultrapassa a simplesavaliacao de viabilidade do investimento que se pensa concretizar.

Por vezes, na presenca de dois ou mais projectos, o investidornecessita decidir qual o melhor projecto, ou seja, pretende efectuaruma hierarquizacao dos projectos de acordo com a sua viabilidade.

Nestes casos, as estruturas temporais dos investimentos e doscash-flows sao tambem importantes de medir e analisar de forma aaferir por qual dos investimentos se deve optar.




Algumas notas sobre a comparacao de investimentos:

1 No caso de projectos com investimentos iguais, a escolha pode serefectuada pelo valor mais elevado do VAL ou pelo valor maiselevado da TIR.

2 Quando os montantes dos investimetos sao substancialmentediferentes deve complementar-se a analise com o calculo do Indicede Rendibilidade - IR - e do Prazo de Recuperacao do Investimento- PRI .

3 Em projectos com vidas uteis muito distintas, o investidor deveatender ainda ao horizonte temporal do projecto.



Nota importante:

A terminar este capıtulo relativo a avaliacao de investimentose importante referir que, de um ponto de vista daaplicabilidade destes conceitos, a avaliacao deve ser efectuadacom bastante cautela.

Deve ter-se sempre presente que os criterios analisados sebaseiam em previsoes o que, por si so, justifica cuidado nasdecisoes a tomar.

Os cash-flows nos quais todas as medidas assentam saoprevisionais e, como tal, passıveis de nao se virem a confirmar(por defeito ou por excesso).



Bibliografia

Afonso, M.L., Cardoso, R. (2011) Sebenta de Actuariado Vida,Faculdade de Ciencias e Tecnologia da Universidade Nova deLisboa.

Barroso, M.N., Couto, E., Crespo, N. (2007) Calculo e InstrumentosFinanceiros - Da Pratica para a Teoria, Escolar Editora.

Mateus, J. (2000) Calculo Financeiro, Edicoes Sılabo.

Matias, R. (2007) Calculo Financeiro : Teoria e Pratica, 3a Ed.,Escolar Editora.

Rodrigues, A., Nicolau, I. (1992) Elementos de Calculo Financeiro,Rei dos Livros.

Santos, L.L., Laureano, R. (2003) Fundamentos e Aplicacoes doCalculo Financeiro, Edicoes Sılabo.



Calculo Financeiro

Gracinda R. Guerreiro

2014/15


Cálculo Financeiro

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