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COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA DIRECCIÓN DE PLANEACIÓN ACADÉMICA

CCÁÁLLCCUULLOO DDIIFFEERREENNCCIIAALL

GUÍA DE ACTIVIDADES DEL ALUMNO PARA EL DESARROLLO DE COMPETENCIAS

QUINTO SEMESTRE Agosto de 2012

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA LIC. RAÚL S. ALEMÁN SALAZAR DIRECTOR GENERAL ING. ANA LILIA MARTÍNEZ MUÑOZ DIRECTORA DE PLANEACIÓN ACADÉMICA Edición, agosto de 2012 Diseñado por: Q.I. Melquiades Gaxiola Brambila Ing. Mayra de la Peña Castro Ing. Luis Gutiérrez Álvarez RReevviissaaddoo ppoorr:: Q.I. Melquiades Gaxiola Brambila La presente edición es propiedad del Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California, prohibida la reproducción total o parcial de esta obra. En la realización del presente material, participaron: JEFA DEL DEPARTAMENTO DE ACTIVIDADES EDUCATIVAS, Teresa López Pérez; COORDINACIÓN DE EDICIÓN, Roque Juan Soriano Moreno; EDICIÓN, Elvia Munguía Carrillo / Brenda Cristina Woo de la Rosa.

ÍNDICE

PRESENTACIÓN COMPETENCIAS GENÉRICAS QUE EXPRESAN EL PERFIL DEL EGRESADO COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICAS DEL CAMPO DE MATEMÁTICAS BLOQUE I: IDENTIFICAS LA APLICACIÓN DE LOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS EN LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS.................. 3 BLOQUE II: INTERPRETAS RAZONES Y PROPORCIONES ................................ 15 BLOQUE III: APLICAS EL REPARTO PROPORCIONAL ....................................... 27 BLOQUE IV: CALCULAS LAS PROGRESIONES ................................................... 41

PRESENTACIÓN

¿Qué es formación de competencias en bachillerato? Es un enfoque didáctico

que pretende desarrollar en el estudiante conocimientos, habilidades de pensamiento,

destrezas, actitudes y valores que le permitan incorporarse a la sociedad de una forma

inteligente, consciente, propositiva, activa y creativa; y que en un momento dado, las

utilice para enfrentarse a una situación de vida concreta, resuelva problemas, asuma

retos, etc.

En la actualidad, es una exigencia ofrecer una educación de calidad que logre la

formación y consolidación del perfil de egreso en el bachiller de tal forma que pueda

contar con los elementos necesarios que le permitan crecer y desarrollarse en un

mundo cambiante, globalizado, competitivo y complejo; por lo que el proceso educativo

debe caracterizarse por presentar estrategias que contemplen actividades de

aprendizaje en diversos contextos y escenarios reales, donde pongan en juego,

movilice y transfiera las competencias desarrolladas.

Este material dirigido al estudiante, es producto de la participación de los

docentes en los cursos de instrumentación didáctica de los programas de estudio que

se desarrollaron en el marco de la Reforma Integral de la Educación Media Superior

(RIEMS), donde pusieron de manifiesto su experiencia, conocimiento y compromiso

ante la formación de los jóvenes bachilleres. Así mismo, se podrá consultar en la

página Web del Colegio: www.cobachbc.edu.mx, en la sección de alumnos o en

docentes, respectivamente.

http://www.cobachbc.edu.mx/�

COMPETENCIAS GENÉRICAS QUE EXPRESAN EL PERFIL DEL EGRESADO

Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempeñar, y les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional e influir en él), contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc. Estas competencias junto con las disciplinares básicas constituyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato.

Se auto determina y cuida de sí

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

3. Elige y practica estilos de vida saludables.

Se expresa y se comunica

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Piensa crítica y reflexivamente

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

Aprende de forma autónoma

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Trabaja en forma colaborativa

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Participa con responsabilidad en la sociedad

9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICAS DEL CAMPO DE MATEMÁTICAS

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de

procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Cálculo Diferencial

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Quinto Semestre

BLOQUE I

ARGUMENTAS EL ESTUDIO DEL

CÁLCULO MEDIANTE AL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS

Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES.


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Quinto Semestre

DESEMPEÑOS DEL ESTUDIANTE AL CONCLUIR EL BLOQUE:

• Reconoce el campo de estudio del Cálculo Diferencial, destacando su importancia en la solución de modelos matemáticos aplicados a situaciones cotidianas.

• Relaciona los modelos matemáticos con su representación geométrica para determinar áreas y volúmenes en cualquier situación de su vida cotidiana.

COMPETENCIAS A DESARROLLAR:

• Construye e interpreta modelos matemáticos sencillos, mediante la aplicación de procedimientos aritméticos y geométricos.

• Explica e interpreta los resultados obtenidos en el análisis de la evolución

histórica del estudio del Cálculo y los contrasta con su aplicación en situaciones reales.

• Argumenta la solución obtenida de un problema, con modelos

matemáticos sencillos y su representación gráfica.

• Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades al trabajar los modelos matemáticos.

OBJETOS DE APRENDIZAJE:

• Evolución del Cálculo.

• Modelos matemáticos: Un acercamiento a máximos y mínimos


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Quinto Semestre

Las matemáticas existe porque día a día nos encontramos frente a ellas, sin ellas no podríamos hacer la mayoría de nuestra rutina, necesitamos las matemáticas constantemente, en la escuela, en la oficina, cuando vamos a preparar un platillo, etc. En las ciencias las matemáticas han tenido un mayor auge porque representan la base de todo un conjunto de conocimientos que el hombre ha ido adquiriendo.

Pero lo más misterioso de todo es que las matemáticas son el único medio que tenemos para entender el mundo que nos rodea.

¿Cuáles son los beneficios de la Matemáticas en tu vida?

Antecedentes del Cálculo: El cálculo es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los cambios en las variables, pendientes de curvas, valores máximos y mínimos de funciones, entre otras la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Actividad 1.

En equipos de 5 integrantes, investiga lo que se te pide a continuación:

1. El origen del Cálculo en orden cronológico.

2. Las aportaciones hechas por Newton y Leibniz.

3. ¿Cuál es la importancia y aplicaciones del Cálculo?

4. Al final se expone frente al grupo de clases.

En el estudio de la variación, se pueden encontrar diversos tipos de problemas que se representan de diferentes formas, esto es: tablas, gráficas, entre otras.

En un problema importante es establecer la dependencia de las variables, es decir, determinar cómo cambia una cantidad cuando varía otra, por ejemplo:

• El tiempo que tarda un automóvil en recorrer una distancia determinada, depende de la velocidad que lleva.

• El volumen que hay en un recipiente expuesto a la intensidad del calor y el tiempo que duraría expuesto.


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Quinto Semestre

Cuando se tiene el registro numérico de un problema, tal como la velocidad, fuerza, presión temperatura, se pueden analizar varios aspectos (factores), se puede predecir el comportamiento futuro, bosquejar una gráfica o bien, si no se tiene toda la información del problema, se pueden determinar las condiciones iniciales en las que se llevó a cabo. Situación didáctica 1: Los alumnos de la materia de cálculo desean elaborar una caja de cartón sin tapa para archivar sus trabajos, a partir de una pieza de cartón de dimensiones 60 por 40 cm, cortando cuadrados iguales de longitud x en cada una de las esquinas y doblando los lados (como se muestra en la figura). Es obvio que el tamaño de la caja va a variar y va a depender del tamaño de los cuadrados que recortemos.

Conflicto cognitivo

— ¿Cuál será el tamaño más adecuado de los cortes para obtener la caja más

grande?

— ¿Cuál será el modelo matemático para calcular el área de la base de la caja?

— ¿Cuál será el modelo matemático para calcular el volumen de la caja?


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Quinto Semestre

— Para cada modelo matemático obtenido, ¿podrías hacer una tabla de valores y construir la gráfica?

ÁREA VOLUMEN

X Y -3 -2 -1 0 1 2 3

X Y -3 -2 -1 0 1 2 3

Utilizando distintos colores, traza la gráfica del área y volumen con los datos anteriores utilizando la escala que creas conveniente.


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Quinto Semestre

Actividad 2. A continuación se muestran ejemplos de diferentes tipos de funciones algebraicas y funciones trascendentes con su respectiva gráfica, solo como recordatorio; puede ser útil a lo largo del curso de Cálculo Diferencial. Después se te presenta una actividad donde tendrás que realizarla de manera individual y socializarla con el resto del grupo para obtener una conclusión. Funciones algebraicas:

Función lineal. y = 3x – 4

Función cuadrática. y = x2

– 2

Función cúbica y = x3 – 3x

Función cúbica y= -x3

+ 3x - 1


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Quinto Semestre

Funciones trascendentes:

Función seno y = sen x

Función coseno y = cos x

Función exponencial de la forma 𝑦 = 𝑎𝑥 y = 2

x

Función exponencial de la forma y = e

x


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Quinto Semestre

Instrucciones: En las siguientes graficas, identifica las coordenadas donde la función adquiere el valor más alto (máximo) y el valor menor (mínimo) y escríbelo en el espacio correspondiente.

Resultado ______________________________

Resultado ______________________________

Resultado _____________________________

Resultado _________________________________


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Quinto Semestre

Actividad 3. Trabajar en equipos de 4 integrantes, con una hoja de papel en la cual el largo sea el doble que el ancho (puedes recortar la hoja). Desarrolla el modelo matemático en función del ancho (x) para determinar el área y contesta lo que se te pide posteriormente.

Modelo matemático del área

A = ( ) ( )

Completa la tabla de variación del área.

Ancho(x) en cm

0 2 5 10 15

Área (y) en cm2

Posteriormente traza la gráfica observando cómo cambia el área al variar el ancho.

5 10 15

50

100

150

200

250

300

350

400

450

x

y Área en cm2

Ancho en cm

X


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Quinto Semestre

Actividad 4. En parejas contesta lo siguiente: En un hotel hay una alberca en forma de prisma rectangular y un jacuzzi de forma cilíndrica.

a) La alberca tiene dimensiones en metros: ancho=x, largo=2x+10 y alto= x-8

— ¿Cuál es el modelo matemático para el área del piso de la alberca?

— ¿Cuál es la fórmula para determinar el volumen de un prisma rectangular?

— ¿Cuál es el modelo matemático para el volumen?

— ¿Cómo varia el volumen al variar el ancho de la alberca? ¿Si el ancho aumenta, el volumen aumenta o disminuye?

b) Las dimensiones del jacuzzi son: radio= x y la altura=x-1

— ¿Cuál es el modelo matemático para determinar el área de la base del jacuzzi?

— ¿Cuál es el modelo matemático para el volumen?

— ¿Si el radio aumenta, el volumen aumenta o disminuye?


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Quinto Semestre

Utiliza colores distintos para lo que se te pide a continuación.

— Traza la gráfica de radio del piso del jacuzzi contra área(a) del piso del mismo(r) para que observes como varia el área del piso si varia el radio.

— Traza la gráfica de ancho del piso de la alberca contra área(a) del piso del mismo(r) para que observes como varia el volumen de la alberca si varia el ancho.


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Quinto Semestre

Comenta tus observaciones en ambos casos. Observaciones:

Actividad 5. Forma equipos de 4 integrantes y contesten la siguiente situación.

Con un cartón de dimensiones de 20 por 30 cm respectivamente para la elaboración de una caja (como se propuso en la situación didáctica), un galón de leche vacio y otro lleno de arroz.

Dibuja cuadrados iguales en las cuatro esquinas, (tienes la libertad de elegir el tamaño(x)) después se recortaran cuatro cuadrados en las esquinas como se muestra en la figura.


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Quinto Semestre

Contesta lo siguiente:

— ¿Cuál es el modelo matemático (en función de x) para determinar el área de la figura?

— ¿Cuál es el modelo matemático del volumen?

Llena la caja con arroz y vacíala en los galones. Compara los volúmenes de las diferentes cajas con tus compañeros.

— ¿Qué equipo obtuvo el máximo volumen?

— Si se utiliza la misma pieza de cartón (20 x 30 cm) ¿Qué dimensión varia para obtener los diferentes volúmenes de las cajas? Nota:

en esta última actividad tendrás que autoevaluarte y evaluar a un compañero de equipo, con los formatos que se te dan a continuación.

AUTOEVALUACIÓN: Marca con una x.

CRITERIOS Excelente Buena Regular Insuficiente ¿Cómo fue tu participación en la toma de decisiones para la organización de tu equipo?

¿Colaboraste activamente en las actividades?

¿Cómo consideras tu participación en el desarrollo algebraico de los ejercicios de la actividad?

¿Influiste en la solución de los obstáculos presentados en la actividad?

Ahora anota en el espacio en blanco tus fortalezas y debilidades en el desarrollo de este bloque: ______________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


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Quinto Semestre

COEVALUACIÓN: Evalúa a un compañero de tu equipo, y así sucesivamente hasta que todos evalúen a todos. Nombre del evaluador: ___________________________________________________ Nombre del evaluado:____________________________________________________

CRITERIOS Excelente Bien Regular Insuficiente ¿En qué grado ayudó tu compañero en las actividades?

¿Respetó las opiniones de los demás?

¿Formó parte de las decisiones?

¿Cómo consideras la participación de tu compañero en la construcción de los resultados?

Observaciones:


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Quinto Semestre

BLOQUE II

RESUELVE PROBLEMAS DE

LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO,

ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL


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Quinto Semestre


• Aplica el concepto de límite a partir de la resolución de problemas económicos, administrativos, naturales y sociales de la vida cotidiana.

• Calcula límites a partir de la elaboración de gráficas en derive y su interpretación de las representaciones gráficas de funciones, mostrando habilidades en la resolución de problemas de situaciones cotidianas.


• Interpreta gráficas de funciones continuas y discontinuas analizando el dominio y contradominio; y argumenta el comportamiento gráfico de la variable dependiente (y) en los punto (s) de discontinuidad.

• Explica e interpreta los valores de una tabla, calcula valores cercanos a un número y analiza el comportamiento en los valores de la variable dependiente en problemas de su entorno social, económico y natural.

• Explica e interpreta diferentes representaciones gráficas y determina límites que

tienden a infinito positivo o negativo, a cero, limites laterales por la izquierda y por la derecha, y límites finitos, de los objetos naturales que lo rodean.

• Argumenta la solución obtenida de un problema económico, administrativo,

natural o social, mediante la teoría de los límites.

• Valora el uso de la TIC´s en el modelado grafico y algebraico de los límites para facilitar su interpretación y simulación en la resolución de problemas presentes en su contexto.

• Formula y resuelve problemas, a partir del cálculo de dominio y contradominio de las funciones algebraicas para determinar sus límites, demostrando su habilidad en la resolución de problemas algebraicos.

• Determina límites para funciones racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.


• Los límites: su interpretación en una tabla, en una grafica y su aplicación en funciones algebraicas.

• El cálculo de límites en funciones algebraicas y trascendentes.


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Quinto Semestre

¿Para qué sirven los límites?

La definición de límite de una función es un tema fundamental en todos los campos del cálculo; de hecho la derivada, que es el tema principal de este curso de cálculo diferencial, es por definición, un límite.

Un primer acercamiento a los límites lo tienes cuando los términos de una sucesión se van acercando a un número cualquiera rápidamente, entonces decimos que tiende a ese número, o bien, que su límite es dicho número. Debemos decirte que no todas las sucesiones se aproximan a un número, pero las sucesiones que tienen este comportamiento se llaman convergentes.

El concepto de límite ha sido de enorme utilidad en el desarrollo de las matemáticas; en el que se fundamenta el cálculo infinitesimal. Aunque muchos matemáticos utilizaron la idea intuitiva de límite, fue el barón de Cauchy (1789-1857), a principios del siglo XIX, quién dio una definición satisfactoria de límite y, en consecuencia, de derivada de una función.

Situación didáctica 1:

Jorge es trabajador de una cierta empresa y recibe un sueldo x, el cual no le alcanza para cubrir sus gastos. Próximamente espera un aumento en su paga del 4%, el cual recibirá semestralmente como parte de un incentivo, es decir, cada vez ganará más. También espera que ahora con el nuevo aumento le alcance para su subsistencia.

Cuando llega su primer pago, se da cuenta que las cosas que compra habitualmente subieron de precio, obviamente su nuevo sueldo no es suficiente. Al pasar otros seis meses recibe otro aumento y esta vez casi logra cubrir sus gastos pero la nueva alza de precios no le permite comprar todo lo que necesita.

Como te habrás dado cuenta, los sueldos siempre están aumentando pero las cosas y servicios también. Si preguntas a la gente a tu alrededor sabrás de que esto pasa en la realidad.

Conflicto cognitivo

¿Por qué será que los sueldos estén siempre aumentando?


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Quinto Semestre

¿Crees que Jorge alguna vez gane lo suficiente para alcanzar el costo progresivo de las cosas?

¿Crees que en matemáticas esta situación tenga un nombre?

SECUENCIA DIDÁCTICA 1:

Actividad1. Consulta la página http://es.wikipedia.org/wiki/Paradojas_de_Zen%C3%B3n, comenta en pares la paradoja de Zenón “Aquiles y la tortuga”, y explica mediante una recta numérica la distancia recorrida por la tortuga y por Aquiles. Después discutan en plenaria para llegar a una conclusión grupal.

Actividad 2. Analiza la siguiente lectura (con ayuda de tu asesor), posteriormente resuelve lo que se te pide.

LÍMITES

La noción de “límite”, como palabra ordinariamente usada, la tenemos asociada al significado de frontera, de borde, de separación entre objetos. Por ejemplo, si pensamos en dos bolas de billar muy cercanas, tanto que parecen tocarse (véase figura), el punto del espacio que falta para que las bolas, en realidad se unen, lo podríamos llamar límite.

http://es.wikipedia.org/wiki/Paradojas_de_Zen%C3%B3n�

http://www.google.com/imgres?imgurl=http://2.bp.blogspot.com/_MKL0qKo1VpM/TKLC7jXIJAI/AAAAAAAAAAg/ajQIeaAstdY/s1600/AQUILESYTORTUGA.jpg&imgrefurl=http://calculo5eequipom.blogspot.com/2010/09/paradoja-mas-famosa-fue-la-de-aquiles-y.html&usg=__aqKieZXZxMC4UfAshEMXJLtmSbI=&h=131&w=384&sz=4&hl=es&start=2&zoom=1&tbnid=ckBKV3n0Nq92TM:&tbnh=42&tbnw=123&ei=jEL9TfqrHcLb0QHIg9HkAw&prev=/search?q=aquiles+y+la+tortuga&hl=es&biw=1123&bih=493&gbv=2&tbm=isch&itbs=1�


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Quinto Semestre

Similarmente, cuando nos desplazamos sobre una línea recta numerada, horizontalmente hasta llegar lo más cercano que podamos al número 2, sin tocarlo, el mismo punto al que nos acercamos se convierte en el punto límite.

Antes de empezar a definir límite, conviene recordar el concepto de "tender". Cuando decimos, por ejemplo, a qué valor tiende la función nos referimos a qué valor se acerca la función (cabe aclarar que hablamos de "acercarse", pero no de "llegar" a ese valor).

Definición intuitiva de límite: “El límite de f(x), cuando x tiende a c, es una constante L”, si la diferencia |f(x) - L| puede hacer tan pequeña como se quiera para todo valor de x suficientemente cercano a c sin que sea igual a c. Lo anterior se escribe con la notación: 𝐥í𝐦𝒙→𝒄 𝒇(𝒙) = 𝑳 Investiguemos el comportamiento de la función f definida por 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟐 para valores cercanos a 2. En la tabla siguiente se dan los valores de f(x) para valores de x cercanos a 2, pero no iguales a 2.

Por la derecha Por la izquierda x f(x) X f(x)

1.0 2.000000 3.0 8.000000 1.5 2.750000 2.5 5.750000 1.8 3.440000 2.2 4.640000 1.9 3.710000 2.1 4.310000

1.95 3.852500 2.05 4.152500 1.99 3.970100 2.01 4.030100

1.995 3.985025 2.005 4.015025 1.999 3.997001 2.001 4.003001 𝑥 → 2 𝑓(𝑥) → 4 𝑥 → 2 𝑓(𝑥) → 4


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Quinto Semestre

A partir de la tabla y de la grafica de f (una parábola) que se muestra en la figura, vemos que cuando x esta cercano a 2 (por cualquiera de los dos lados), f(x) lo está de 4. Entonces podemos decir que “el límite de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟐, cuando x tiende a 2, es igual a 4”. La notación para esta expresión es:

Lím𝑥→2

(𝑥2 − 𝑥 + 2) = 4

Definición de límite: Sea f una función definida sobre un intervalo abierto que contiene el número a, excepto cuando a se define a sí misma. Entonces decimos que el límite de f(x) cuando tiende o se aproxima a a es L y luego escribimos:

𝐋í𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) = 𝑳 Ejercicios a) Llena los espacios vacios de la tabla de acuerdo a los valores de x que se dan y a

la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒, luego escribe tu conclusión en notación de límites.

Por la derecha Por la izquierda x f(x) X f(x) 1 6 2 5 3 4.5

3.5 4.2 3.9 4.1

3.99 4.01 3.999 4.001 𝑥 → 𝑓(𝑥) → 𝑥 → 𝑓(𝑥) →


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Quinto Semestre

Tu conclusión:

lím𝑥→

( ) = _________

b) De acuerdo con la gráfica escribe el límite de la función f(x) = x2

– x – 2, cuando x tiende a 3.

Tu conclusión:

𝐥í𝐦𝒙→𝟑

( ) = _________

Observa en la siguiente tabla, las reglas de los límites con sus respectivos ejemplos

Propiedades de los límites Límite de una constante

𝐥í𝐦𝒙→𝒄

𝒃 = 𝒃 El límite de una constante b cuando x tiende a c es la misma constante b, ejemplo:

𝐋í𝐦𝒙→𝟐

𝟕 = 𝟕 El límite de x

𝐥í𝐦𝒙→𝒄

𝒙 = 𝒄 El límite de x cuando x y tiende a c es c, ejemplo:

𝐋í𝐦𝒙→𝟓

𝒙 = 𝟓 El límite de una potencia 𝐥í𝐦𝒙→𝒄[𝒇(𝒙)]ᵐ = [𝒇(𝒙)]ᵐ

El límite de una función elevada a una potencia cuando x tiende a c, es igual a la función elevada a su respectiva potencia, ejemplo: 𝐋í𝐦𝒙→𝟐 𝒙𝟑=(2)3

= 8


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Quinto Semestre

El límite de una constante por una función 𝐥í𝐦𝒙→𝒄

𝒄𝒇(𝒙) = 𝒄 𝐥í𝐦𝒙→𝒄

𝒇(𝒙)

El límite de una constante por una función cuando x tiende a c, es igual a la constante multiplicada por el límite de la función, ejemplo: 𝐋í𝐦𝒙→𝟐 𝟖𝒙= 𝐋í𝐦𝒙→𝟐 𝟖𝒙 = 8(2)= 16

El límite de una suma 𝐥í𝐦 𝒙→𝒄

[𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] = 𝑳 ± 𝒈

El límite de la suma de un numero finito de funciones cuando x tiende a c, es igual a la suma de los límites de las funciones cuando x tiende a c, ejemplo:

1. 𝐥í𝐦𝒙→𝟓 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒= 𝐥í𝐦𝒙→𝟓 𝟑𝒙𝟐 + 𝒍 í𝐦𝒙→𝟓

𝟒 𝟑𝐥í𝐦𝒙→𝟓

𝒙𝟐 + 𝐥í𝐦𝒙→𝟓 𝟒= 3(5)2

+4= 79

2. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟓 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒= 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟓 𝟑𝒙𝟐 - 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟓 𝟒 𝟑𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟓

𝒙𝟐 - 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟓 𝟒= 3(5)2- 4= 71 El límite del producto

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄

[𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)] = 𝑳𝑲 El producto de un numero finito de funciones cuando x tiende a c, es igual a producto de los límites de las funciones cuando x tiende a c, ejemplo: 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏(𝒙𝟐 − 𝟓𝒙)(𝟐𝒙 − 𝟏)= 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏(𝒙𝟐 − 𝟓𝒙) 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏(𝟐𝒙 − 𝟏) (𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝒙𝟐- 5𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝒙) (𝟐𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝒙- 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟏) [(1)2

-5(1)][2(1)-1]= -4

El límite de un cociente

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄

𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)

=𝑳𝑲′

El límite de dos funciones cuando x tiende a c, es igual al cociente de los límites de las funciones cuando x tiende a c, siempre que el límite del denominador no sea igual a cero, ejemplo: 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑

𝟖(𝒙)+𝟒𝟑(𝒙)𝟐+𝟏

= 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑(𝟖𝒙+𝟒)𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑(𝟑𝒙𝟐+𝟏)

= 𝟖𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑 𝒙+ 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑 𝟒𝟑 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑(𝒙𝟐)+𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑→ 𝟏

𝟖(𝟑)+𝟒𝟑(𝟑)𝟐+𝟏

= 1 Estrategias para hallar límites

1. Aprenda a reconocer cuales límites pueden evaluarse por sustitución directa (Estos límites se listan en propiedades de los límites)

2. Si el límite f(x) cuando x tiende a c, no puede evaluarse por sustitución directa, inténtese hallar una función g que coincida con f, para toda x diferente de x=c [Elija g en modo que el límite de g(x) pueda evaluarse por sustitución directa].

3. Aplique el teorema lím𝑥→𝑐 𝑓(𝑥)=lím𝑥→𝑐 𝑔(𝑥)=g(c) 4. Use una gráfica o una tabla para reforzar la conclusión a la que llegue.

Se recomienda que se observe el video referente a límites en la dirección: http://www.youtube.com/watch?v=Os2bz1-eeEg&feature=fvwrel

http://www.youtube.com/watch?v=Os2bz1-eeEg&feature=fvwrel�


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Quinto Semestre

Actividad 3. Reúnete en equipos de 3 integrantes y determinen el valor de los límites de las funciones que se les presentan.

a) 𝐋𝐢𝐦𝒙→𝟒(𝟓𝒙𝟐) =

b) 𝐋𝐢𝐦𝒙→𝟐(𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟗) =

c) 𝐋𝐢𝐦𝒙→𝟑(−𝟐𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝟏) =

d) 𝐋𝐢𝐦𝒙→−𝟑𝟑+𝟐𝒙𝒙+𝟐

=

e) 𝐋𝐢𝐦𝒙→𝟏(𝟑𝒙 + 𝟒)𝟐 =

f) 𝐋𝐢𝐦𝒙→𝟐𝒙𝟐+𝟓𝒙

𝒙𝟐−𝒙−𝟏𝟐=

g) 𝐋𝐢𝐦𝒙→𝟐(𝒙𝟐 − 𝒙) (𝒙 + 𝟑) =


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Quinto Semestre

h) 𝐋𝐢𝐦𝒙→−𝟑(𝒙𝟐 − 𝟒𝒙)𝟑 =

Nota: esta actividad servirá para autoevaluarte y evaluar a un compañero de equipo con los formatos que se te dan al final de este bloque.

Límite 𝒇(𝒙) = 𝟏

𝒙 cuando x 0

Al querer calcular lím𝑥→0

1𝑥 se observa que no se puede aplicar los teoremas de límites

porque para x=0 se anula el denominador. Es decir, la función no está definida para x=0. El comportamiento lím𝑥→0

1𝑥 al otorgar valores sucesivos a x que tiendan a cero es

el siguiente:

X 𝑓(𝑥) = 1𝑥

1 1 0.1 10

0.01 100 0.001 1000

0.0001 10000 x 0 f(x)→ ∞

Cuando se aproxima a cero, f(x) tiende a un valor positivo muy grande. De hecho, los valores de f(x) pueden aumentar arbitrariamente, si se escoge un valor para x lo bastante cerca de cero. De esta forma los valores de f(x) no tienden a un número, de modo que el límite de f(x) no existe. En general se puede escribir que:

𝐋í𝐦𝒙→𝟎

𝟏𝒙→ ∞

Para indicar que cada vez los valores de f(x) se vuelven cada vez mas grandes cuando x 0. A menudo, la expresión lím𝑥→0

1𝑥

= ∞ se lee como “el límite de f(x) cuando x tiende a cero, es infinito”


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Quinto Semestre

Límite de 𝒇(𝒙) = 𝟏𝒙 cuando x→ ∞

En este caso, al hacer que x se vuelva arbitrariamente grande el comportamiento de lím𝑥→∞

1𝑥 es el siguiente:

X f(x) = 1

𝑥

1 1 10 0.1

100 0.01 1000 0.001

10000 0.0001 100000 0.00001 𝑥 → ∞ 𝑓(𝑥) = 0

Si x tiende a valores arbitrariamente grandes, f(x) tiende a cero. En general, se puede escribir que:

lím𝑥→∞1𝑥 = 0

Formas indeterminadas del límite de una función. Al calcular el límite de una función se tiene con frecuencia que no se pude establecer el valor numérico L que corresponde al límite de una función. Se dice entonces que en el límite de f existe una indeterminación la cual puede evitarse mediante transformaciones algebraicas como la factorización, el teorema de divisibilidad de un polinomio y la racionalización de una expresión radical. Límite indeterminado de la forma 𝟎

𝟎

Cuando se sustituye x por c para calcular el límite de una función, f toma algunas veces la forma indeterminada 𝟎

𝟎. Sin embargo, f tiene un límite a medida que x tiende a c. este

límite pude calcularse al factorizar y simplificar la función equivalente. Por ejemplo: Calcular:

𝐟(𝐱) = 𝐋𝐢𝐦𝒙→𝟏𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟑𝒙−𝟏

= 12+2(1)−31−1

=00 Forma indeterminada

Para evitar la indeterminación 0

0, se factoriza el numerador y se obtiene para 𝒇 una

función equivalente. Esto es:


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Quinto Semestre

𝒇(𝐱) = 𝐋𝐢𝐦𝒙→𝟏𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟑𝒙−𝟏

= 𝒇(𝐱) = 𝐋𝐢𝐦𝒙→𝟏(𝒙+𝟑)(𝒙−𝟏)

𝒙−𝟏= 𝒇(𝐱) = 𝐋𝐢𝐦𝒙→𝟏(𝒙 + 𝟑)

Calculando nuevamente el límite, se tiene: 𝐟(𝐱) = 𝐋𝐢𝐦𝒙→𝟏(𝒙 + 𝟑) = 1+3= 4 (límite real de la función)

Entonces, para poder darle solución al límite indeterminado de la forma 00 es necesario

recordar algunos métodos de factorización:

FACTORIZACIÓN Significa descomponer la expresión algebraica en dos o más factores, tales que al multiplicarse dan como resultado dicha expresión. Por ejemplo:

20𝑥2 = 2(2𝑥)(5𝑥) Lee con atención los siguientes casos y resuelve en equipos de dos los ejercicios planteados

Factorización de un polinomio por factor común.

Al factorizar, buscamos el factor común en cada término de la expresión con el coeficiente común más grande posible y la variable común con el menor exponente. Por ejemplo: X 12𝑎𝑥 + 8𝑏𝑥2 Coeficientes mayores 4 𝑥 3 = 12 4 𝑥 2 = 8 Variable común con el menor exponente Entonces, el factor común es: 𝟒𝒙 Así que el resultado es:

4𝑥(3𝑎 + 2𝑏𝑥) Ejemplos:

a) Factorizar 𝒃𝟐 + 𝟑𝒚𝒃


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Quinto Semestre

b) Factorizar 𝟖𝒂𝟐𝒃𝟐 − 𝟐𝟎𝒂𝟑

c) Factorizar 𝟏𝟐𝒙𝟒𝒚 + 𝟐𝟕𝒙𝟑𝒚 − 𝟑𝒙𝟐𝒚𝟑

Factorización de una diferencia de cuadrados.

Al multiplicar dos binomios conjugados se obtiene una diferencia de cuadrados. Por ejemplo: (𝟐𝒂 + 𝟑𝒃)(𝟐𝒂 − 𝟑𝒃) = 𝟒𝒂𝟐 − 𝟗𝒃𝟐 Para factorizar una diferencia de cuadrados se procede de la siguiente manera:

1. Se extrae la raíz cuadrada de cada uno de los términos cuadráticos. 2. Se escriben las raíces encontradas como una multiplicación de binomios

conjugados

Ejemplos:

a) Factorizar 𝟗𝒎𝟐 − 𝟒

b) Factorizar 𝟐𝟓𝒚𝟐 − 𝟏𝟔𝒙𝟒

c) Factorizar 𝟒𝒙𝟔 − 𝟖𝟏 Factorización de un trinomio cuadrado perfecto.

El resultado del cuadrado de un binomio es un trinomio cuadrado perfecto. Por ejemplo: (𝟐𝒎 + 𝟑𝒏)𝟐 = 𝟒𝒎𝟐 + 𝟏𝟐𝒎𝒏 + 𝟗𝒏𝟐 trinomio cuadrado perfecto (TCP) Para factorizar un TCP se procede de la siguiente manera:


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Quinto Semestre

1. Se extrae raíz cuadrada a los términos cuadráticos. 2. Se comprueba que el doble producto de las raíces encontradas es igual al

segundo término del TCP. 3. Con las raíces encontradas se forma el binomio al cuadrado con el signo

del segundo término del TCP. Ejemplos:

a) Factorizar 𝟏𝟔𝒂𝟐 − 𝟓𝟔𝒂𝒃 + 𝟒𝟗𝒃𝟐

b) Factorizar 𝟗𝒎𝟐 + 𝟐𝟒𝒎𝒏 + 𝟏𝟔𝒏𝟐

c) Factorizar 𝟒𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟒 Factorización de un trinomio de segundo grado.

El producto de dos binomios con término común se nombra trinomio de segundo grado (TSG). Por ejemplo: (𝑥 − 5)(𝑥 − 2) = 𝑥2 + 3𝑥 − 10 TSG

Ejemplos:

a) Factorizar 𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟐𝟕

b) Factorizar 𝒎𝟐 + 𝟒𝒎− 𝟑𝟐

c) Factorizar 𝒃𝟐 − 𝟖𝒃 + 𝟏𝟓 Actividad 4. Lee con atención los siguientes casos especiales, utilizando el método de factorización que consideres conveniente y resuelve en equipos de dos los ejercicios planteados


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Quinto Semestre

I. Estime el valor de los siguientes límites, aplicando el teorema correspondiente. a) 𝐋𝐢𝐦𝒙→−𝟐

𝒙+𝟐𝒙𝟐−𝒙−𝟔

=

b) 𝐋𝐢𝐦𝒙→−𝟑𝒙𝟐−𝒙−𝟏𝟐𝒙+𝟑

=

c) 𝐋𝐢𝐦𝒙→𝟒𝒙𝟐−𝟐𝒙−𝟖𝒙−𝟒

=

d) 𝐋𝐢𝐦𝒙→𝟏𝒙𝟐+𝟒𝒙+𝟑𝒙𝟐−𝒙−𝟐

=

e) 𝐋𝐢𝐦𝒙→𝟖𝒙𝟐−𝟗𝒙+𝟖𝒙−𝟖

=

f) 𝐋𝐢𝐦𝒙→𝟐𝒙𝟐−𝟒𝒙−𝟐

= Límite indeterminado de la forma ∞

∞

Al calcular el límite del cociente de dos polinomios cuando x tiende a crecer infinitamente se tiene la forma indeterminada ∞

∞ para evitar la indeterminación se divide

el numerador y el denominador por la máxima potencia que aparece en la función. Por ejemplo:


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Quinto Semestre

𝒇(𝐱) = 𝐋𝐢𝐦𝒙→∞

𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙𝟐𝒙𝟐 + 𝟗

= 𝒇(𝐱) = 𝐋𝐢𝐦𝒙→∞

𝟑𝒙𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙

𝒙𝟐𝟐𝒙𝟐𝒙𝟐 − 𝟗

𝒙𝟐= 𝒇(𝐱) = 𝐋𝐢𝐦

𝒙→∞

𝟑 − 𝟓𝒙𝟐

𝟐 − 𝟗𝒙𝟐

Al aplicar 𝒇(𝐱) = 𝐋𝐢𝐦𝒙→∞

𝒄𝒙 cada termino que contenga a x en el denominador se

sustituirá por el infinito (∞) el cual finalmente será igual a cero (0). Por lo tanto el límite real de la función es:

𝒇(𝐱) = 𝐋𝐢𝐦𝒙→∞𝟑− 𝟓

𝒙𝟐

𝟐− 𝟗𝒙𝟐

= 𝟑−𝟎𝟐+𝟎

= 𝟑𝟐

(límite de la función)

Ejemplos:

1. 𝐋𝐢𝐦𝐱→∞𝟑𝐱𝟐+𝟔𝟐𝐱𝟐+𝟗𝐱

2. 𝐋𝐢𝐦𝐱→∞𝟒𝐱𝟑−𝟓𝐱𝟐+𝟔𝟕𝐱−𝟑𝐱𝟐+𝟗𝐱𝟑

3. 𝐋𝐢𝐦𝐱→∞

𝟒𝐱𝟐+𝐱−𝟓𝟏+𝟕𝐱−𝟑𝐱𝟐

4. 𝐋𝐢𝐦𝐱→∞𝟔𝐱𝟒+𝟐𝐱𝟐+𝟓𝐱𝟑𝐱−𝟑𝐱𝟐+𝟑𝐱𝟒

5. 𝐋𝐢𝐦𝐱→∞

𝟔𝐱𝟐−𝟔𝐱𝟑+𝟔𝐱𝟔𝐱−𝐱𝟐+𝟑𝐱𝟑


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Quinto Semestre

Ejercicios: Utilizando el límite indeterminado resuelve los siguientes ejercicios.

a) Límites de funciones algebraicas. Mediante una tabla estime el valor de:

𝐟(𝐱) = 𝐋𝐢𝐦𝒙→∞

𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝒙𝟐 − 𝟏

=

b) 𝐋𝐢𝐦𝒙→∞𝟐𝒙𝟐+𝟓𝒙−𝟏𝒙𝟐−𝟑𝒙+𝟒

c) 𝐋𝐢𝐦𝒙→∞𝒙𝟑−𝟒𝒙𝟓−𝟐𝒙𝟑

d) 𝐋𝐢𝐦𝒙→∞𝟑𝒙𝟒−𝟓𝒙𝒙𝟐+𝟔

e) 𝐋𝐢𝐦𝒙→∞𝟑𝒙𝟐−𝟔𝒙+𝟓𝒙𝟑−𝟐𝒙

Actividad 5. Lee y analiza lo siguiente, después resuelve el ejercicio.

x 10 100 1000 10000 ∞ f(x)


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Quinto Semestre

Condiciones de continuidad Definición: una función es continua en un número a si

lím𝑥 →𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) Si f no es continua en a, decimos que f es discontinua en a o que tiene una discontinuidad en a. La definición anterior requiere tres cosas si f es continua en a:

1. f(a) está definido (es decir, a está en el dominio de f)

2. lím𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) existe (de modo que f debe estar definida en un intervalo

abierto que contiene al número “a”)

3. lím𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = f(a)

Ejemplo: ¿En donde es discontinua la siguiente función?

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 2𝑥 − 2

Solución: 𝐥í𝐦 𝒙→𝟐

( 𝒙−𝟐 )( 𝒙+𝟏 ) ( 𝒙−𝟐 )

= 𝐥í𝐦 𝒙→𝟐( 𝒙 + 𝟏 ) = 3 Conclusion: 𝐟(𝐱) = 𝐥í𝐦

𝒙→𝟐 𝒇(𝒙 ) ≠𝒇( 𝟐 )

Como podemos apreciar no se cumple la tercera condición de continuidad, por lo tanto la función no es continua en x=2, sin embargo, el limite existe y es igual a 3. Observa la siguiente grafica:


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Quinto Semestre

Nota: La razón oficial de que f es discontinua cuando x =2 es que f(2) no está definida. Como se observa en la grafica no se pude dibujar esta, sin levantar el lápiz del papel, por que se presenta un agujero, una ruptura o un salto en esta gráfica.

Ejercicio: Para la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2−𝑥−6𝑥+2

, encuentra:

a) el valor del límite cuando 𝑥 → −2 (si es que existe) b) A partir de la gráfica identifica el valor de x donde función es discontinua.

Solución:

a) Lim𝑥→−2𝑥2−𝑥−6𝑥+2

=

b)

La función es discontinua en x =__________________________


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Quinto Semestre

Límites de funciones trascendentes. Las funciones trascendentes son aquellas cuya regla de correspondencia no es algebraica, como las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Límites de funciones trigonométricas Los limites de las funciones trigonométricas elementales son aquellos que se obtienen de la sustitución directa, es decir, al evaluar el valor al cual tiende “x”, como se muestra a continuación: Nota: para resolver los límites de las funciones trigonométricas será necesario que la calculadora este en modo de radianes (R).

1. Lim𝑥→𝜋 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝜋 = 0

2. Lim𝑥→𝜋 𝑐𝑜𝑠𝑥 = cos𝜋 = −1


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Quinto Semestre

3. Lim𝑥→𝜋2𝑐𝑜𝑠4𝑥0 cos 4𝜋

2= 𝑐𝑜𝑠2𝜋 = 1

4. Lim𝑥→2 𝑒𝑥= 𝑒2 ≈ 7.39

5. Lim𝑥→3 2𝑥−1= 𝑒3−1 = 22 = 4


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Quinto Semestre

6. Lim𝑥→5 log(𝑥2 − 9) = log[Lim𝑥→5(𝑥2 − 9) ] = log(16) = 1.2

Actividad 6. Estime el límite de la función trascendente de acuerdo con la tabla y grafique, después utiliza el Geogebra (software) para verificar la gráfica.

𝐟(𝐱) = 𝐋𝐢𝐦𝒙→𝟐

𝒆𝒙−𝟐

x 0 1 2 3 4

f(x)

1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

x

y


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Quinto Semestre

Actividad 7. Encuentre los límites de las siguientes funciones trascendentes.

a) Estime mediante una tabla de valores la función: f(x) = Lim

𝑥→∞𝑒−𝑥

x 0 10 100 1000 ∞

f(x)

b) 𝐋𝐢𝐦 𝒙→𝟏 𝐬𝐢𝐧𝝅𝒙𝟐

c) 𝐋𝐢𝐦 𝒙→𝝅 𝐭𝐚𝐧𝒙 Actividad 8: Resuelve los límites de las siguientes funciones trascendentes. Nota: para resolver los límites de las funciones trigonométricas será necesario que la calculadora la uses en modo de radianes (R).

1. Lim𝑥→𝜋4𝑐𝑜𝑠𝑥=



4. Lim𝑥→𝜋 𝑠𝑒𝑛4𝑥=

5. Lim𝑥→4(3𝑥 − 2) =

6. Lim𝑥→3 𝑒2𝑥=

7. Lim𝑥→2 3𝑥2−3 =

8. Lim𝑥→−2 𝑒𝑥2+8𝑥−13 =

Nota: En la actividad #5 tendrás que autoevaluarte y evaluar a tu compañero de equipo, con los formatos que se te dan a continuación.


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Quinto Semestre

Actividad 9: Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando límites. 1. El costo promedio(en pesos) por disco cubierto por una compañía grabadora al

imprimir 𝒙 discos compactos de audio esta dado por la función:

𝒄(𝒙) = 𝟐.𝟒 +𝟐𝟓𝟎𝟎𝒙

a) ¿Cuánto es el costo de 50 discos?

b) ¿Cómo interpretas el costo cuando x tiende al infinito?

2. Cuando se arroja materia orgánica de desecho a un estanque de tratamiento, este se va oxidando(O) y la cantidad de oxígeno varía con respecto al tiempo(t, en semanas) de acuerdo a la siguiente función:

𝑶(𝒕) = 𝒕𝟐 − 𝒕 + 𝟏𝒕𝟐 + 𝟏

a) ¿Qué porcentaje del nivel normal de oxigeno existe en el estanque tras una

semana?

b) ¿Tras Quince semanas? c) ¿Cual es el porcentaje de oxigeno para “t” sea excesivamente grande?

3. Las feromonas, son sustancias químicas que libera un organismo cuando empiezan a enamorarse produciendo una doble sensación de aletargamiento y de hiperactividad.


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Quinto Semestre

Si la función 𝑭(𝒕) = 𝒕𝒕𝟐−𝟏

, representa el porcentaje de esta sustancia en una

persona, durante una etapa de su enamoramiento, donde “t” representa el número de meses, que cantidad de estas sustancias se generaran cuando:

Tiempo(meses) % F 1 5 8

10 15 20 25 30

a) Gráfica los datos obtenidos:

4. La producción de cierta hortaliza en los valles, se puede predecir mediante la función

𝑷(𝒕) = 𝟏𝟐,𝟎𝟎𝟎 + 𝟖,𝟎𝟎𝟎(𝒕+𝟐)𝟐

Donde “t” es el tiempo medido en semanas. Cuál es el límite cuando “ t” es excesivamente grande?


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Quinto Semestre

5. El costo en millones de pesos que gasta una dependencia del gobierno en programas sociales, se representa por la función:

𝐶(𝑥) =320

100 − 𝑥

Si “x” representa el porcentaje (%) del gasto, determina el costo que gasta dicha dependencia si:

Porcentaje(%) Gasto(millones de pesos) 10 25 50

100

AUTOEVALUACIÓN

Marca con una x.

CRITERIOS Excelente Buena Regular Insuficiente ¿Cómo fue tu participación en la toma de decisiones para la organización de tu equipo?

¿Colaboraste activamente en las actividades?

¿Cómo consideras tu participación en el desarrollo algebraico de los ejercicios de la actividad?

¿Influiste en la solución de los obstáculos presentados en la actividad?

Ahora anota en el espacio en blanco tus fortalezas y debilidades en el desarrollo de este bloque:__________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________


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Quinto Semestre

COEVALUACIÓN:

Evalúa a un compañero de tu equipo, y así sucesivamente hasta que todos evalúen a todos. Nombre del evaluador:___________________________________________________ Nombre del evaluado:____________________________________________________

CRITERIOS Excelente Bien Regular Insuficiente ¿En qué grado ayudó tu compañero en las actividades?

¿Respetó las opiniones de los demás?

¿Formó parte de las decisiones? ¿Cómo consideras la participación de tu compañero en la construcción de los resultados?

Observaciones: En tu opinión, ¿qué le faltó a tu equipo para lograr un mejor aprendizaje del tema?


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Quinto Semestre

BLOQUE I

Lista de cotejo

Actividades 2 y 4

Alumno(a): Grupo: Fecha:

Evaluador: Evaluación:

Ponderacion 20%

Indicadores Si No Identifica correctamente el valor máximo en la gráfica de una función. Identifica correctamente el valor mínimo en la gráfica de una función. Desarrolla correctamente el modelo matemático para determinar área de una figura.

Desarrolla correctamente el modelo matemático para determinar del volumen de una figura.

Traza la grafica de área. Traza la grafica del volumen. Los procedimientos algebraicos y las graficas de las actividades están elaboradas de manera apropiada (limpios, explícitos, trazos con regla, escalas adecuadas, etc.)

El comportamiento de los integrantes del equipo fue respetuoso entre ellos y con los demás equipos.

Observaciones (como puede mejorar el alumno):


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Quinto Semestre

BLOQUE II

Lista de cotejo

Actividades 2,3 y 4.



Ponderacion 20%

Indicadores Si No Obtiene los valores correctos que se piden en la tabla de acuerdo a la función f(x) = x2

– 4.

Obtiene el límite de la función de acuerdo a la tabla de valores. Obtiene el límite de la función de acuerdo a una grafica. Utiliza el procedimiento adecuado en la indeterminación 0

0 y obtiene el

límite de la función.

Aplica el procedimiento adecuado en la indeterminación del tipo ∞∞ y

obtiene el límite de la función.

Llena la tabla de valores con los valores correctos. Traza la curva de acuerdo a la función trascendente. Obtiene el límite de la función trascendente de acuerdo a la tabla y gráfica.

Los procedimientos algebraicos que utiliza son los adecuados y lo hace de manera limpia y clara.

Respetan la opinión de los demás y trabajan de manera colaborativa. Observaciones (como puede mejorar):


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Quinto Semestre

BLOQUE II

Rúbrica ACTIVIDADES 7 Y 8


Evaluador: Evaluación: Ponderación 20%

Criterios Excelente ( 5 ) Bien ( 4 ) Regular ( 3 o 2) Deficiente ( 1 ) Puntuación por criterio

Condiciones de continuidad

Identifica de manera correcta las condiciones de continuidad en su forma grafica y llega al resultado de manera algebraica.

Identifica de manera correc-ta las condicio-nes de continui-dad en su forma grafica, pero no llega el resulta-do de manera algebraica.

Llega el resultado correcto de manera algebraica pero no identifica de manera correcta condiciones de continuidad en su forma grafica.

No identifica de manera correcta las condiciones de continuidad en su forma grafica ni algebraica.

Los ejercicios contienen los datos pertinentes, muestran limpieza, orden y claridad.

Los ejercicios contienen los datos pertinentes, muestran limpieza, orden pero no claridad

Los ejercicios contienen los datos pertinentes, pero no muestran limpieza, orden y claridad

Los ejercicios no contienen los datos pertinentes, tampoco muestran limpieza, orden y claridad

Límites de funciones trascendentes

Determina los valores del límite de funciones trascendentes utilizando el procedimiento adecuado.

Determina los valores del límite de funcio-nes trascenden-tes pero no utili-za el procedi-miento adecuado.

No determina los valores del límite de funciones trascendentes utilizando el procedimiento adecuado.

No determina los valores del límite de funcio-nes trascen-dentes utilizan-do y tampoco utiliza el proce-dimiento adecuado.

Los ejercicios contienen los datos pertinentes, muestran limpieza, orden, claridad y además se entrega en tiempo y forma.

Los ejercicios contienen los datos pertinentes, muestran limpieza, orden pero no claridad ni se entrega en tiempo y forma

Los ejercicios contienen los datos pertinentes, pero no muestran limpieza, orden, claridad ni se entrega en tiempo y forma

Los ejercicios no contienen los datos pertinentes, tampoco muestran limpieza, orden, claridad ni se entrega en tiempo y forma

Puntuación total:

Observaciones (como puede mejorar):


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Quinto Semestre

BLOQUE III

CALCULAS, INTERPRETAS Y

ANALIZAS RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES, SOCIALES,

ECONÓMICOS y ADMINISTRATIVOS.


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Quinto Semestre


• Calcula e interpreta el valor representativo de un proceso o fenómeno económico, social o natural en función del tiempo, mediante la resolución de problemas del contexto real.

• Compara los diferentes procesos algebraicos que determinan una razón de cambio, mediante el análisis de casos relacionados con la producción agrícola, velocidad instantánea y la producción industrial existentes en el entorno cotidiano.

• Analiza y resuelve problemas matemáticos que modelan razones de cambio para cuantificar el cambio físico, químico, biológico, económico, entre otros, después de transcurrido un tiempo.


• Analiza la producción de una empresa en un determinado tiempo e interpreta la producción promedio, su máxima y mínima, para obtener la razón de cambio promedio.

• Valora el uso de las TIC´s en el modelado y simulación de situaciones

problemáticas de razón de cambio, en la interpretación de su valor a través del tiempo en problemas de producción industrial, de física y en química.

• Interpreta y cuantifica a través de modelos matemáticos, gráficas y tablas de fenómenos físicos relativos a la variación de la velocidad, la velocidad promedio, la velocidad de un móvil en cualquier instante y como ésta varía a través del tiempo.

• Interpreta la razón de cambio como la pendiente de una pareja de puntos localizados en el plano o como la pendiente de la recta secante en la resolución de problemas de física en situaciones del entorno.

• Argumenta e interpreta la razón de cambio como un límite, obtiene su representación algebraica y como consecuencia reconoce a este límite como la derivada de la función en resolución de problemas de su entorno.

• Resuelve gráfica y algebraicamente derivadas para resolver problemas de física, química, naturales, sociales, económicos, administrativos y financieros dentro de su ámbito inmediato.


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Quinto Semestre

• Interpreta, analiza y argumenta que la segunda derivada de una función gráficamente representa la concavidad de la curva y permite determinarlos puntos de inflexión.


• La variación de un fenómeno a través del tiempo.

• La velocidad, la rapidez y la aceleración de un móvil en un periodo de tiempo.

La razón de cambio (de una variable respecto a otra) es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. (También se le llama tasa de cambio.) Si las variables no tienen ninguna dependencia la tasa de cambio es cero. En general, en una relación funcional 𝒚 = 𝒇(𝒙), la razón de cambio de la variable dependiente y

En sentido estricto entonces, la razón de cambio es el límite del cociente diferencial cuando

respecto a la independiente 𝒙 se calcula mediante un proceso de límite --de la razón [𝒇(𝒙 + 𝒕) − 𝒇(𝒙)]/𝒕, denominada cociente diferencial.

t

tiende a cero. De esta manera, la razón de cambio es la interpretación fundamental de la derivada de una función.

Situación didáctica 1: El papá de Luis viaja a la ciudad de Mexicali por negocios y decide llevar a su familia para pasar tiempo con ella. Luis decide investigar la temperatura de los días que estarán en la ciudad, ya que hermano más pequeño le pregunta cuales son las horas más propicias para nadar en la alberca del hotel, para esto Luis consulta la pagina web del tiempo y encuentra una gráfica que muestra como varía la temperatura conforme avanzan las horas.


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Quinto Semestre

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

x

y

Tiempo e n hrs

Nota: El eje x muestra el tiempo en horas, el eje y la temperatura en grados Fahrenheit. Conflicto cognitivo

a) Si el hermano de Luis desea nadar por la mañana ¿Cuáles serán las horas en las que la temperatura sea la ideal?

b) ¿Cómo obtendrá el promedio de la temperatura entre las 9 y 12 hrs?, para saber si estas son las horas más adecuadas.

c) Si deciden ir a la piscina por la tarde ¿Cuál será la temperatura promedio entre las 15 y las 18 horas?

d) La mamá de Luis quiere ir al centro comercial de compras y pregunta ¿Cuál será la temperatura exacta a las 19 horas?

e) En la grafica parece ser que a las 13 y 14 horas tienen las mismas temperaturas ¿Cómo podría Luis determinar las temperaturas en esos precisos momentos?

f) ¿Cuál será la máxima temperatura del día que muestra la grafica?


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Quinto Semestre

Razón de cambio promedio: En matemáticas 4 estudiaste lo referente a la pendiente de una recta que pasa por 2 puntos p1(x1,y1) y p2(x2,y2

) la cual se denota por la letra m y la puedes calcular mediante la fórmula:

𝒎 = 𝒚𝟐−𝒚𝟏𝒙𝟐−𝒙𝟏

La cual se puede transcribir como: 𝒎 = 𝚫𝒚

𝚫𝒙

Pues ∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1 es la diferencia que hay en el eje 𝑦, también ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 es la diferencia en el eje 𝑥. Como se muestra en la siguiente gráfica:

Por lo tanto Δ𝑦Δ𝑥

se lee como razón de cambio de "𝑦" con respecto a "𝑥" , lo cual nos permite definir:


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Quinto Semestre

Por ejemplo: Determinar la razón de cambio promedio de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 en el intervalo [2,5]

𝒙 𝒚 = 𝒇(𝒙) ∆𝒙 ∆𝒚 𝚫𝒚𝚫𝒙

2 𝑓(2) = 5 3 - 2= 1 𝑓(3) − 𝑓(2) = 7 − 5 = 2 2

1= 2

3 𝑓(3) = 7 4 - 3= 1 𝑓(4) − 𝑓(3) = 9 − 7 = 2 21

= 2

4

5

Al observar la tabla nos damos cuenta, que la razón de cambio promedio de la función en el intervalo dado de [2,5], permanece constante, la cual es:

ΔyΔx

=21

En la vida diaria se determinan razones de cambio de diversas situaciones de tipo natural, Económico, Social. Situaciones en las que nos interesa conocer cuál es el más pequeño (mínimo) o más grande (máximo) valor, como aumenta (crece) o disminuye (decrece) ese valor, en un intervalo de tiempo específico, en general problemas donde se estudian fenómenos relativos a la variación de una cantidad que depende de otra, por lo que se hace necesario describir y cuantificar estos cambios a través de modelos matemáticos, gráficas y tablas. http://www.youtube.com/watch?v=tBwtLlQ3iIk&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=tBwtLlQ3iIk&feature=related�


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Quinto Semestre

ACTIVIDAD 1 1.- En una investigación que se realizó, para observar la cantidad de desechos que se vierten al mar en toneladas diarias en Ensenada durante un periodo vacacional de una semana, se obtuvieron los siguientes datos:

Días(x) 0 1 2 3 4 5 6 7 Toneladas de desperdicio(y)

0 0.3 1.2 2.7 4.8 7.5 10.8 14.7

Desarrolla los puntos que se te piden:

a) Grafica los datos de la tabla.

b) Encuentra la razón de cambio del día 1 al día 2.


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Quinto Semestre

c) Encuentra la razón de cambio del día 2 al día 5. 2.- Un chico entusiasta dice que probablemente puede lanzar una bola hacia arriba a 100 pies/seg, sus amigos nos indicaron que la altura “h” en pies alcanzada por la bola está dada por la ecuación 𝑺(𝒕) = 𝟏𝟎𝟎𝒕 − 𝟏𝟔𝒕𝟐 ,en donde 𝒕 es el tiempo trascurrido a partir de su lanzamiento en segundos.

a) Completa la siguiente tabla de valores y traza la gráfica que describe la trayectoria de la bola.

Tiempo(s) 0 1 2 3 4 5 6 Altura (h)


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Quinto Semestre

b) Calcule su velocidad promedio en el intervalo (2, 3).

c) Calcule la velocidad instantánea en 2 exactamente en segundos.

Razón de cambio como límite y su interpretación geométrica:

Un concepto fundamental del Cálculo es el de la derivada, el cual permite calcular la pendiente de una curva en un punto dado. Para comprender esto, consideremos que P y Q son 2 puntos diferentes en una curva, la recta trazada a través de P y Q es una recta secante con una pendiente determinada.

Representando la diferencia de las abscisas de P y Q con la letra h se tiene que:

ℎ = 𝑥2 − 𝑥1 Despejando 𝑥2 𝑥2 = 𝑥1 + ℎ El valor de h puede ser negativo o positivo. Luego la pendiente de la recta secante PQ está dada por:

𝑚𝑃𝑄 = 𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)ℎ

Sustituyendo 𝑥2 = 𝑥1 + ℎ


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Quinto Semestre

Dada una curva 𝒚 = 𝒇(𝒙) y sea P un punto sobre la curva. La pendiente de la curva en P es el límite de la pendiente de la recta secante PQ sobre la curva cuando Q se aproxima a P:

𝑚 = limℎ→0

𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)ℎ

http://www.youtube.com/watch?v=KHuO1CK5fhs&feature=related. La idea de definir la pendiente de una curva en un punto determinado fué descubierta en el siglo XVII por Newton y Leibniz, la cual es una herramienta útil para tal situación. Por Ejemplo: 1.- Calcula la pendiente de la curva 𝑦 = 𝑥2, cuando 𝑥 = 2

𝑚 = limℎ→0

𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)ℎ

= limℎ→0

(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥2

ℎ

= limℎ→0

(2 + ℎ)2 − 22

ℎ

= limℎ→0

4 + 4ℎ + ℎ2 − 4ℎ

= limℎ→0

4ℎ + ℎ2

ℎ

= limℎ→0

ℎ(4 + ℎ)ℎ

= limℎ→0

(4 + ℎ) = 4 + 0 Calculando el Límite cuando ℎ → 0, este es: = 4


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Quinto Semestre

2.- Calcular la pendiente de la curva 𝑦 = 𝑥3 , cuando 𝑥 = −2

𝑚 = limℎ→0

𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)ℎ

= limℎ→0

[(𝑥 + ℎ)3] − [𝑥3]ℎ

= limℎ→0

[(−2 + ℎ)3 − (−2)3

ℎ

= limℎ→0

−8 + 12ℎ − 6ℎ2 + ℎ3 + 8ℎ

= limℎ→0

12ℎ − 6ℎ + ℎ3

ℎ

= limℎ→0

ℎ(12 − 6ℎ + ℎ2)ℎ

= limℎ→0

12 − 6ℎ + ℎ2 = 12 − 6(0) + (0)2 Calculando el Límite cuando ℎ → 0, este es: = 12

Se ha visto que la pendiente de la tangente a una curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) en un punto determinado, está definida por:

𝒎 = 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎

𝒇(𝒙𝟐) − 𝒇(𝒙𝟏)𝒉

Si este límite existe, se le nombra 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝒇 𝒆𝒏 𝒙 y se representa con la notación 𝒇′(𝒙), entonces:

Otras notaciones de uso común para la derivada son 𝑦′ y dy

dx que significan lo mismo. El

proceso de encontrar 𝑓 ′(𝑥) a partir de 𝑓 se llama derivación:


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Quinto Semestre

Por ejemplo: 1.- Encuentra la derivada de 𝑓(𝑥) = 4 − 9𝑥

𝑓 ′(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)ℎ

= limℎ→0

[4−9(𝑥+ℎ)−[4−9𝑥]ℎ

transformando el límite = limℎ→0

[4−9𝑥−9ℎ)−4+9𝑥]ℎ

Realizando operaciones = limℎ→0

−9ℎℎ

Simplificando términos = limℎ→0 −9 = −𝟗 es función derivada de 𝑓(𝑥) = 4 − 9𝑥 2.- Encuentra la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥


𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)ℎ

= limℎ→0

[�𝑥+ℎ)2−3(𝑥+ℎ)�−[𝑥2−3𝑥]ℎ

transformando el límite = limℎ→0

𝑥2+2𝑥ℎ+ℎ2−3𝑥−3ℎ−𝑥2+3𝑥ℎ

realizando operaciones = limℎ→0

2𝑥ℎ+ℎ2−3ℎℎ

Simplificando términos = limℎ→0

ℎ(2𝑥+ℎ−3)ℎ

factorizando por termino común = limℎ→0

(2𝑥+ℎ−3) simplificando y sustituyendo el valor de h = 2𝑥 + (0) − 3 = 𝟐𝒙 − 𝟑 es la función derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 Nota: recuerda que (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2


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Quinto Semestre

3.- Encuentra la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥


𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)ℎ

= limℎ→0

[�𝑥+ℎ)3+5(𝑥+ℎ)�−[𝑥3+5𝑥]ℎ

Transformando el límite = limℎ→0

[�𝑥3+3𝑥2ℎ+3𝑥ℎ2+ℎ3+5𝑥+5ℎ)�−𝑥3−5𝑥ℎ

realizando operaciones = limℎ→0

[�3𝑥2ℎ+3𝑥ℎ2+ℎ3+5ℎ)�ℎ

simplificando términos = limℎ→0

ℎ(3𝑥2+3𝑥ℎ+ℎ2+5)ℎ

factorizando por términos común = limℎ→0

(3𝑥2+3𝑥ℎ+ℎ2+5) simplificando y sustituyendo el valor de h = 3𝑥2 + 3𝑥(0) + (0)2 + 5 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓 es la función derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥 Nota: recuerda que (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 En este punto puedes aplicar la regla de los 4 pasos para resolver diversas funciones y obtener su respectiva derivada: 1er paso: Sumar el incremento 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) 2do. paso: Al incremento se le restar la función original ∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) 3er paso: Dividir el incremento Δ𝑦

Δ𝑥= 𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)

∆𝑥

4to paso: Aplicar el límite lim∆𝑥→0

Δ𝑦Δ𝑥


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Quinto Semestre

Por ejemplo: 𝑓(𝑥) = 7𝑥 − 1 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = 7(𝑥 + ∆𝑥) − 1 ∆𝑦 = 7𝑥 + 7∆𝑥 − 1 − (7𝑥 − 1) Δ𝑦Δ𝑥

=7∆𝑥∆𝑥

𝑑𝑦𝑑𝑥

= lim∆𝑥→0

7∆𝑥∆𝑥

7= Visita la página de internet: http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/derivadas2.htm Actividad 3 Determina la derivada de la función aplicando su definición de derivada (Regla de los 4 pasos) en los ejercicios:

a) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 3

b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 6𝑥 + 9

c) 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥2

d) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑥

http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/derivadas2.htm�


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Quinto Semestre

e) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥

f) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 9 Situación Didáctica 2: Cuando Luis va rumbo a la escuela con sus amigos, observa a un automovilista que va a gran velocidad en un cruce muy concurrido, en este existe un alto de disco por lo que empieza a suponer que pasará. El automovilista al percatarse del alto frena de manera brusca para detener el automóvil, uno de los amigos de Luis le dice que la distancia de la señal del alto en metros después de cierto tiempo puede determinarse mediante la ecuación 𝑑 = 20 − 12𝑡 + 3𝑡3 , por lo que se preguntan: a) ¿Cuánto es el tiempo necesario para detenerse? b) ¿Qué distancia a recorrido después de iniciar el frenado? c) ¿Se alcanzará a detener a tiempo? Lectura:

¿Para qué sirve la derivada? Hasta ahora as aplicado los conceptos de algebra y trigonometría para estudiar el comportamientos de los cuerpos que desplazan a velocidad constante, pero ¿Qué hacer si la velocidad es variable y la trayectoria es irregular? Claro está que necesitamos una herramienta más poderosa, en este caso esa ayuda nos la brinda el cálculo. La descripción exacta del movimiento requiere cálculos precisos en la velocidad y en la aceleración, para ello emplearemos a la derivada. La versatilidad del cálculo lo hace útil en muchos campos de estudio, por ejemplo, en la física nos permite expresar el movimiento de los cuerpos cuando las velocidades cambian rápidamente y deseamos calcular dichas manifestaciones. Otra aplicación importante se da en la ingeniería electrónica, donde podemos mencionar: los cambios instantáneos de una corriente eléctrica, las variaciones en el flujo magnético, las variaciones en la carga eléctrica, las variaciones en la tensión eléctrica, en el torque, en la potencia, etc.


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Quinto Semestre

La derivada nos ayuda en el análisis grafico de funciones complicadas, en la resolución de problemas de máximos y mínimos y en forma más específica en aspectos relacionados con la conversión de energía, en los circuitos eléctricos y electrónicos, en los campos magnéticos, etc. Podemos afirmar categóricamente y contundentemente que la derivada se aplica en casi todas las ramas del conocimiento. Así que iniciaremos el estudio de la primera estrella del cálculo: la derivada. La derivada se representa cómo una función que cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una función en un punto dado (o sea su velocidad de variación); por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo, es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.

La derivada de una función es un valor de entrada dado que describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Para encontrar la derivada de una función, se pueden usar reglas que facilitan los procedimientos anteriores. A continuación se presentan algunas reglas de derivación, ejemplos y varios ejercicios para que practiques y aprendas a aplicarlas correctamente.

I. La derivada de una constante es igual a cero:

𝒔𝒊 𝒚 = 𝒄 𝒚′ = 𝟎

Por ejemplo: 1.- Calcular la derivada de y= 5 y'=0 2.- Calcular la derivada de y= -12 y'=0

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica�

http://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_de_una_recta�


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Quinto Semestre

II. La derivada de la variable independiente es igual a uno: 𝒔𝒊 𝒚 = 𝒙 𝒚′ = 𝟏

III. La derivada del producto de una constante por la variable independiente es

igual a la misma constante: 𝒔𝒊 𝒚 = 𝒄𝒙 𝒚′ = 𝒄

Por ejemplo: 1.- Calcular la derivada de y= 5x y'=5 2.- Calcular la derivada de y= 2x y'= 2 3.- Calcular la derivada de y= 3

2x

y'= 32

IV. La derivada de 𝒙𝒏 es igual al producto del exponente 𝒏 por 𝒙 con

exponente disminuido en una unidad. si 𝒚 = 𝒙𝒏 𝒚′ = 𝒏𝒙𝒏−𝟏

Por ejemplo: 1.- Calcular la derivada de 𝑦 = 𝑥2 Al aplicar la regla 𝑦′ = 2𝑥2−1 𝑦′ = 2𝑥 2.- Calcular la derivada de 𝑦 = 3𝑥4 Al aplicar la regla 𝑦 ′ = 4(3𝑥)4−1 𝑦 = 12𝑥3 Ejercicios: a) 𝑦 = 2𝑥3 b) 𝑦 = 4𝑥5


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Quinto Semestre

c) 𝑦 = 𝑥8 d) 𝑦 = 12𝑥

V. La regla de la cadena es igual al producto del exponente 𝒏 por 𝒖 con exponente disminuido en una unidad, por el producto de la derivada del termino 𝒖

si 𝒚 = 𝒖𝒏

𝒚′ = 𝒏𝒖𝒏−𝟏𝒅𝒖𝒅𝒙

Por ejemplo: 1.- Calcular la derivada de 𝑦 = (2𝑥 − 1)5 Si 𝑢 = (2𝑥 − 1) 𝑑𝑢

𝑑𝑥= 2

Al aplicar la regla 𝑦 ′ = 5(2𝑥 − 1)5−1(2) 𝑦 ′ = 10(2𝑥 − 1)4 2.- Calcular la derivada de 𝑦 = (𝑥3 + 4𝑥)8 Si 𝑢 = 𝑥3 + 4𝑥 𝑑𝑢

𝑑𝑥= 3𝑥2 + 4

Al aplicar la regla 𝑦 ′ = (𝑥3 + 4𝑥)7(3𝑥2 + 4) Ejercicios:

a) 𝑦 = (2𝑥 − 4)3

b) 𝑦 = (𝑥2 + 𝑥)2


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Quinto Semestre

c) 𝑦 = (4 − 𝑥)5

d) 𝑦 = √4𝑥2 − 85

VI. La derivada de √𝒖 es un cociente cuyo numerador es la derivada de 𝒖 y el

denominador es dos veces la misma raíz.

si 𝒚 = √𝒖

𝒚′ =𝒅𝒖𝒅𝒙𝟐√𝒖

Por ejemplo: 1.- Calcula la derivada de 𝑦 ′ = √3𝑥 Si 𝑢 = 3𝑥 𝑑𝑢

𝑑𝑥= 3

Al aplicar la regla 𝑦 ′ = 32√3𝑥

2.- Calcula la derivada de 𝑦 = √8𝑥 − 1 Si 𝑢 = 8𝑥 − 1 𝑑𝑢

𝑑𝑥= 8

Al aplicar la regla 𝑦 ′ = 82√8𝑥−1

𝑦 ′ = 4√8𝑥−1

Ejercicios: a) 𝑦 = √2𝑥


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Quinto Semestre

b) 𝑦 = √2𝑥 + 3 c) 𝑦 = √𝑥3 − 3 d) 𝑦 = √4 − 𝑥

VII. La derivada de la suma de un numero finito de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones:

si 𝒚 = 𝒖 + 𝒗 − 𝒘

𝒚′ =𝒅𝒅𝒙

(𝒖) +𝒅𝒅𝒙

(𝒗) −𝒅𝒅𝒙

(𝒘)

Por ejemplo: 1.- Calcula la derivada de 𝑦 = 5𝑥 − 3 Al aplicar la regla 𝑦 ′ = 𝑑

𝑑𝑥(5𝑥) − 𝑑

𝑑𝑥(3)

sabemos que 𝑑𝑑𝑥

(5𝑥) = 5 𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑑𝑥

(3) = 0

𝑦 ′ = 5 − 0 𝑦 ′ = 5 2.- Calcula la derivada de 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 − 9 Al aplicar la regla 𝑦 ′ = 𝑑

𝑑𝑥(𝑥2) + 𝑑


𝑑𝑥(9)

sabemos que 𝑑𝑑𝑥

(𝑥)2 = 2𝑥, 𝑑𝑑𝑥

(3𝑥) = 3, 𝑑𝑑𝑥

(9) = 0

𝑦 ′ = 2𝑥 − 3 − 0 𝑦 ′ = 2𝑥 − 3 Ejercicios: a) 𝑦 = 4𝑥 − 5


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Quinto Semestre

b) 𝑦 = −5𝑥2 + 3𝑥 − 8 c) 𝑦 = 2𝑥3 + 5𝑥2 − 𝑥 + 2 d) 𝑦 = 4𝑥2 − 9𝑥 − 30

VIII. La derivada del producto de las dos funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda más el producto de la segunda por la derivada de la primera.

si 𝒚 = 𝒖.𝒗

𝒚′ = 𝒖𝒅𝒅𝒙

(𝒗) + 𝒗𝒅𝒅𝒙

(𝒖)

Por ejemplo: 1.- Calcula la derivada de 𝑦 = (4𝑥 + 3)(2𝑥 − 7) Si 𝑢 = (4𝑥 + 3) 𝑣 = (2𝑥 − 7) Aplicando la regla 𝑦 ′ = (4𝑥 + 3) 𝑑

𝑑𝑥(2𝑥 − 7) + (2𝑥 − 7) 𝑑

𝑑𝑥(4𝑥 + 3)

𝑦 ′ = (4𝑥 + 3)(2) + (2𝑥 − 7)(4) 𝑦 ′ = 8𝑥 + 6 + 8𝑥 − 28 𝑦 ′ = 16𝑥 − 22 2.- Calcula la derivada de 𝑦 = (𝑥2 + 𝑥)(3𝑥 − 2) Si 𝑢 = (𝑥2 + 𝑥) 𝑣 = (3𝑥 − 2) Aplicando la regla 𝑦 ′ = (𝑥2 + 𝑥) 𝑑

𝑑𝑥(3𝑥 − 2) + (3𝑥 − 2) 𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 + 𝑥)

𝑦 ′ = (𝑥2 + 𝑥)(3) + (3𝑥 − 2)(2𝑥 + 1) 𝑦 ′ = 3𝑥2 + 3𝑥 + 6𝑥2 + 3𝑥 − 4𝑥 − 2 𝑦 ′ = 3𝑥2 + 3𝑥 + 6𝑥2 − 𝑥 − 2 𝑦 ′ = 9𝑥2 = 2𝑥 − 2


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Quinto Semestre

3.- Calcula la derivada de 𝑦 = (𝑥2)(𝑥 + 1)3 Si 𝑢 = 𝑥2 𝑣 = (𝑥 + 1) Aplicando la regla 𝑦 ′ = (𝑥2) 𝑑

𝑑𝑥(𝑥 + 1)3 + (𝑥 + 1)3 𝑑

𝑑𝑥(𝑥2)

𝑦 ′ = (𝑥2)[3(𝑥 + 1)2(1)] + (𝑥 + 1)3(2𝑥) 𝑦 ′ = (𝑥2)(𝑥 + 1)2[3𝑥 + 2(𝑥 + 1)] 𝑦 ′ = 𝑥2(𝑥 + 1)2[3𝑥 + 2𝑥 + 2] 𝑦 ′ = 𝑥2(𝑥 + 1)2(5𝑥 + 2) 𝑦 ′ = 𝑥2(𝑥 + 1)2(5𝑥3 + 2𝑥2) Ejercicios: a) 𝑦 = (5𝑥 − 2)(4 − 3𝑥) b) 𝑦 = (5𝑥2 − 2𝑥)(2𝑥 + 3) c) 𝑦 = (𝑥 + 1)2(3𝑥2 − 2𝑥 + 1) d) 𝑦 = (𝑥 + 2)√𝑥 + 1

IX. La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominado, todo dividido por el cuadrado del denominador.


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Quinto Semestre

si 𝒚 = 𝒖𝒗

𝒚′ =𝒗 𝒅𝒅𝒙 (𝒖) − 𝒖 𝒅

𝒅𝒙 (𝒗)𝒗𝟐

1.- Calcula la derivada de 𝑦 = 𝟐𝒙𝟑

𝟑

Si 𝑢 = 2𝑥3 𝑣 = 3

Aplicando la regla 𝑦 ′ =3 𝑑𝑑𝑥�2𝑥

3�−�2𝑥3� 𝑑𝑑𝑥(3)

32

𝑦 ′ = 3�6𝑥2�−2𝑥3(0)9

𝑦 ′ = 18𝑥2

9

𝑦 ′ = 2𝑥2 2.- Calcula la derivada de 𝑦 = 2−3𝑥

4+5𝑥

𝑢 = 2 − 3𝑥 𝑣 = 4 + 5𝑥

Aplicando la regla 𝑦 ′ =(4+5𝑥) 𝑑

𝑑𝑥(2−3𝑥)−(2−3𝑥) 𝑑

𝑑𝑥(4+5𝑥)

(4+5𝑥)2

𝑦 ′ = (4+5𝑥)(−3)−(2−3𝑥)(5)(4+5𝑥)2

𝑦 ′ = −12−15𝑥−10+15𝑥(4+5𝑥)2

𝑦 ′ = −22(4+5𝑥)2

3.- Calcula la derivada de 𝑦 = 𝑥2−1𝑥2+1

𝑢 = 𝑥2 − 1 𝑣 = 𝑥2 + 1

Aplicando la regla 𝑦 ′ =�𝑥2+1� 𝑑𝑑𝑥�𝑥

2−1�−�𝑥2−1� 𝑑𝑑𝑥(𝑥2+1)

(𝑥2+1)2

𝑦 ′ = �𝑥2+1�(2𝑥)−�𝑥2−1�(2𝑥)(𝑥2+1)2

𝑦 ′ = 2𝑥3+2𝑥−2𝑥3+2𝑥(𝑥2+1)2

𝑦 ′ = 4𝑥(𝑥2+1)2

4.- Calcula la derivada de 𝑦 = 3𝑥

√𝑥

𝑢 = 3𝑥 𝑣 = √𝑥

Aplicando la regla 𝑦 ′ =√𝑥 𝑑

𝑑𝑥(3𝑥)−(3𝑥) 𝑑

𝑑𝑥(√𝑥)

(√𝑥)2


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Quinto Semestre

𝑦 ′ =√𝑥(3)−(3𝑥) 1

2√𝑥𝑥

𝑦 ′ =3√𝑥− 3𝑥

2√𝑥𝑥

𝑦 ′ = �3√𝑥 ��2√𝑥�−3𝑥2√𝑥𝑥

𝑦 ′ = 6√𝑥2−3𝑥2𝑥√𝑥

𝑦 ′ = 6𝑥−3𝑥2𝑥√𝑥

𝑦 ′ = 3𝑥2𝑥√𝑥

𝑦 ′ = 32√𝑥

Ejercicios: a) 𝑦 = 2−𝑥

1+2𝑥2

b) 𝑦 = (𝑥+1)2

(2𝑥−1)

c) 𝑦 = 2𝑥

(𝑥+1)2

d) 𝑦 = 𝑥2+1√2𝑥−1

Nota: para ver más información visita la página de internet: http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/derivadas4.htm

http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/derivadas4.htm�


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Quinto Semestre

Ejemplo 1. A Omar le recetaron un medicamento que requiere administrarse de forma intramuscular, debido a una infección muy fuerte; al investigar dicho medicamento en internet, se asombro porque encontró que la concentración (miligramos) está en función del tiempo transcurrido (horas) después de ser aplicado y se describe mediante la función:

𝑪(𝒕) = 𝟑𝒕

𝟐𝟕 + 𝒕𝟑

Aplicando la regla de cociente obtenemos:

𝒅(𝒄)𝒅𝒕

=(𝟐𝟕 + 𝒕𝟑)(𝟑) − (𝟑𝒕)(𝟑𝒕𝟐)

(𝟐𝟕 + 𝒕𝟑)𝟐

𝒅(𝒄)𝒅𝒕

=𝟖𝟏 + 𝟑𝒕𝟑 − 𝟗𝒕𝟑

(𝟐𝟕 + 𝒕𝟑)𝟐

𝒅(𝒄)𝒅𝒕

=𝟖𝟏 − 𝟔𝒕𝟑

(𝟐𝟕 + 𝒕𝟑)𝟐

La función que se acaba de encontrar es la derivada de la concentración del medicamento, es decir, es la rapidez con que se diluye en la sangre.

x y 0 0 1 0.11 2 0.17 3 0.16 4 0.13 5 0.098

10 0.029


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Quinto Semestre

Actividad 4 (integradora): Obtén la derivada de las siguientes funciones algebraicas:

1. 𝑦 = −12

2. 𝑦 = 𝑥

3. 𝑦 = −1 2𝑥

4. 𝑦 = 𝑥5

5. 𝑦 = �𝑥5

6. 𝑦 = −2𝑥4

7. 𝑦 =2√𝑥54

8. 𝑦 = 3𝑥2 + 6𝑥 − 1

9. 𝑦 = 𝑥4 − 5𝑥2 + √𝑥3 + 2

10. 𝑦 = −𝑥 − 2 −1√𝑥

+5𝑥2


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Quinto Semestre

11. 𝑦 =2𝑥3 + 3𝑥 − 5

12. 𝑦 = (2𝑥 + 1)(𝑥 + 3)

13. 𝑦 = (𝑥3 + 1)(5 − 3𝑥)2

14. 𝑦 =−5𝑥𝑥2 + 2

15. 𝑦 = �5𝑥3 + 1

16. 𝑦 = 4(𝑥2 − 1)3

17. 𝑦 =5

(2 − 3𝑥2)3

18. 𝑦 =1

�(𝑥2 + 2)43


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Quinto Semestre

19. 𝑦 = 4�(𝑥2 + 2)53

20. 𝑦 =5𝑥 + 14 − 3𝑥

21. 𝑦 =−2

(𝑥 + 3)4

22. 𝑦 = (2𝑥3 − 3)(1 − 𝑥)2

23. 𝑦 = 2𝑥3

24. 𝑦 =5

3𝑥2

25. 𝑦 = 𝑥5 − 3𝑥2 + 6𝑥 + 2

26. 𝑦 = 3𝑥2 + 2√𝑥 +4𝑥2


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Quinto Semestre

27. 𝑦 = 𝑥2(𝑥 − 4)

28. 𝑦 =4

𝑥3 − 2

29. 𝑦 = (3𝑥 + 4)�𝑥2 + 3

30. 𝑦 = (2 − 3𝑥2)5

En matemáticas, las funciones trigonométricas son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría. Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas�

http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa�

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica�

http://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADa�

http://es.wikipedia.org/wiki/Cartograf%C3%ADa�

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%A1utica�

http://es.wikipedia.org/wiki/Telecomunicaciones�

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9d/Circle-trig6.svg�


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Quinto Semestre

Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos. También se aplican reglas para derivar funciones trigonométricas, tales como: 1. La derivada de Seno:

Si 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒖

𝒚′ = 𝒄𝒐𝒔𝒖𝒅𝒅𝒙

(𝒖)

Por ejemplo: a).- Calcula la derivada de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥2 Si 𝑢 = 𝑥2 Aplicando la regla: 𝑦 ′ = 𝑐𝑜𝑠𝑥2 𝑑

𝑑𝑥(𝑥2)

𝑦 ′ = 𝑐𝑜𝑠𝑥2(2𝑥) 𝑦 ′ = 2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥2

2. La derivada de Coseno: Si 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝒖

𝒚′ = −𝒔𝒆𝒏𝒖𝒅𝒅𝒙

(𝒖)

Por ejemplo: a).- Calcula la derivada de 𝑦 = 3 cos 2𝑥 Si 𝑢 = 2𝑥 Aplicando la regla 𝑦 ′ = 3(−𝑠𝑒𝑛2𝑥) 𝑑

𝑑𝑥(2𝑥)

𝑦 ′ = −3𝑠𝑒𝑛2𝑥(2) 𝑦 ′ = −6𝑠𝑒𝑛2𝑥

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo�

http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_unitaria�


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Quinto Semestre

3. La derivada de tangente: Si 𝒚 = 𝒕𝒂𝒏𝒖

𝒚′ = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒖𝒅𝒅𝒙

(𝒖)

Por ejemplo: a).- Calcula la derivada de 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥

2

Si 𝑢 = 𝑥2

Aplicando la regla 𝑦 ′ = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥

2𝑑𝑑𝑥

(𝑥2)

𝑦 ′ = 𝑠𝑒𝑐2 �𝑥2� �1

2�

𝑦 ′ = 1

2𝑠𝑒𝑐2(𝑥

2)

4. La derivada de Cotangente: 𝑺𝒊 𝒚 = 𝑪𝒐𝒕𝒖

𝒚′ = −𝑪𝒔𝒄𝟐𝒖𝒅𝒅𝒙

(𝒖)

Por ejemplo: a).- Calcula la derivada de 𝑦 = 4𝑥𝐶𝑜𝑡(𝑥 + 1) Si 𝑢 = 𝑥 Aplicando la regla 𝑦 ′ = (−𝑐𝑠𝑐2)(𝑥 + 1) 𝑑

𝑑𝑥(𝑥 + 1)

𝑦 ′ = −𝑐𝑠𝑐2(𝑥 + 1)(1) 𝑦 ′ = −𝑐𝑠𝑐2(𝑥 + 1)

5. La derivada de Secante: Si 𝒚 = 𝒔𝒆𝒄𝒖

𝒚′ = 𝒔𝒆𝒄𝒖. 𝒕𝒂𝒏𝒖𝒅𝒅𝒙

(𝒖)


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Quinto Semestre

Por ejemplo: a).- Calcula la derivada de 𝑦 = sec (3𝑥 − 1) Si 𝑢 = 3𝑥 − 1 Aplicando la regla 𝑦 ′ = sec(3𝑥 − 1) . tan (3𝑥 − 1) 𝑑

𝑑𝑥(3𝑥 − 1)

𝑦 ′ = 3(sec(3𝑥 − 1) . tan(3𝑥 − 1)) 6. La derivada de Cosecante:

𝐒𝐢 𝐲 = 𝐜𝐬𝐜𝐮

𝐲′ = −𝐜𝐬𝐜𝐮. 𝐜𝐨𝐭𝐮𝐝𝐝𝐱

(𝐮)

Por ejemplo: a).- Calcula la derivada de 𝑦 = csc (𝑥3) Si 𝑢 = 𝑥3 Aplicando la regla 𝑦 ′ = − csc(𝑥3) . cot (𝑥3) 𝑑

𝑑𝑥(𝑥3)

𝑦 ′ = (−3𝑥2) csc(𝑥3) . cot (𝑥3)

Ejercicios: a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 b) 𝑦 = 𝑐𝑠𝑐 1

1+𝑥

c) 𝑦 = 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥


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Quinto Semestre

d) 𝑦 = 2 𝑡𝑎𝑛𝑥2

e) 𝑦 = cos (3𝑥 + 5)2 f) 𝑦 = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 Las derivadas de funciones exponenciales, se les llama así porque la variable 𝑥 es el exponente. En general una función exponencial tiene la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, donde 𝑎 > 0 𝑦 𝑥 es cualquier número real, tal como:

1. La derivada de 𝒂𝒖:

𝐲 = 𝐚𝐮 𝐲′ = 𝐚𝐮𝐥𝐧𝐚 𝐝

𝐝𝐱(𝐮)

Por ejemplo: a).- Calcula la derivada de 𝑦 = 2𝑥2 Si 𝑢 = 𝑥2 Aplicando la regla 𝑦 ′ = 2𝑥2𝑙𝑛2 𝑑

𝑑𝑥(𝑥2)

𝑦 ′ = 2𝑥2𝑙𝑛2(2𝑥) 𝑦 ′ = (2𝑥)2𝑥2𝑙𝑛2


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Quinto Semestre

2. La derivada de Euler: 𝐲 = 𝐞𝐮 𝐲′ = 𝐞𝐮 𝐝

𝐝𝐱(𝐮)

Por ejemplo: a).- Calcular la derivada de 𝑦 = 𝑒3𝑥 Si 𝑢 = 3𝑥 Aplicando la regla 𝑦 ′ = 𝑒3𝑥 𝑑

𝑑𝑥(3𝑥)

𝑦 ′ = 𝑒3𝑥(3) 𝑦 ′ = 3𝑒3𝑥

Si 𝑎 > 0 𝑦 𝑎 ≠ 1, la función exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 tiene una función inversa que se llama función logarítmica de base 𝑎 y se escribe: 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥. En general, su 𝑢 es una función derivable de 𝑥, la función logarítmica se base 𝑎 se puede escribir como: 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢 Si la base 𝑎 = 10, el logaritmo se conoce como logaritmo decimal y se representa con la notación 𝑙𝑜𝑔. En cambio, se 𝑎 = 𝑒, el logaritmo se conoce como 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 y se representa con la notación 𝑙𝑛, tal como: 1. La derivada de Logaritmo natural:

𝐲 = 𝐥𝐧𝐮 𝐲′ = 𝟏

𝐮𝐝𝐝𝐱

(𝐮) Por ejemplo: a).- Calcula la derivada de 𝑦 = 𝑙𝑛𝑒𝑥2 Si 𝑢 = 𝑒𝑥2

Aplicando la regla 𝑦 ′ =𝑑𝑑𝑥(𝑒𝑥

2)

𝑒𝑥2

𝑦 ′ = 𝑒𝑥2

(2𝑥)𝑒𝑥2

𝑦 ′ = 2𝑥


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Quinto Semestre

2. La derivada de logaritmo base a:

𝐲 = 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐮 𝐲′ = 𝟏

𝐮𝐥𝐧𝐚𝐝𝐝𝐱

(𝐮)

Por ejemplo: a).- Calcula la derivada de 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 2

𝑥

Si 𝑢 = 2𝑥

Aplicando la regla 𝑦 ′ =𝑑𝑑𝑥(2𝑥)2𝑥𝑙𝑛10

𝑦 ′ =�(𝑥)(0)−(2)(1)

𝑥2�

2𝑥𝑙𝑛10

𝑦 ′ =−2𝑥2

2𝑥𝑙𝑛10

𝑦 ′ = − 2𝑥2𝑥2𝑙𝑛10

𝑦 ′ = − 1

𝑥𝑙𝑛10

Ejercicios: a) 𝑦 = 2𝑒𝑥2 b) 𝑦 = 𝑥2𝑒𝑥


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Quinto Semestre

b) 𝑦 = ln (𝑥 + 1)3 c) 𝑦 = log (1 + 𝑥2)

d) 𝑦 = 𝑥𝑙𝑛3𝑥2

Actividad 5 Encuentre la derivada de la función trascendente dada. 1. 𝑦 = sen 5𝑥

2. 𝑦 = cos 4𝑥

3. 𝑦 = ln(𝑥3 + 1)

4. 𝑦 = tan 𝑥3


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Quinto Semestre

5. 𝑦 = −2𝑐𝑜𝑡(𝑥2 − 1)

6. 𝑦 = 3𝑒𝑥3

7. 𝑦 = 52𝑥+1

8. 𝑦 = log(𝑥 + 1)(𝑥3 − 2)

9. 𝑦 = cot 3𝑥

10. 𝑦 = ln(𝑥2 + 4)3

11. 𝑦 = log5(2 − 3𝑥)

12. 𝑦 = 2𝑒2𝑥 − 54𝑥

13. 𝑦 = ln𝑥 + 1√𝑥 − 2

14. 𝑦 = 2𝑒−𝑥3


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Quinto Semestre

15. 𝑦 = 4 cos(3 − 𝑥3)

16. 𝑦 = log(𝑥2 + 5)

17. 𝑦 = sen 𝑥 +12

cot 𝑥

18. 𝑦 = −23

sec 4𝑥

19. 𝑦 = −2−𝑥2

20. 𝑦 = 2 cot 𝑥4

Actividad 6. Derivadas de Orden Superior o Sucesivas:

En el proceso de la derivación algebraica, la derivada de una función 𝑓 se llama primera derivada. Si 𝑓 ′(𝑥) es también una función derivable de 𝑥, la derivada de la primera derivada se llama 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 de 𝑓 porque es la derivada de la derivada de 𝑓 y se representa con la notación:

𝒇′′(𝒙), 𝒚′′𝒐 𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐

La segunda derivada de 𝑓 puede ser derivada para producir 𝑓 ′′′(𝑥), que se llama 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 de 𝑓, etc. y así sucesivamente. Notación de las derivadas sucesivas.


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Quinto Semestre

𝒇′(𝒙), 𝑫𝒙𝒚, 𝒚′ 𝒐 𝒅𝒚𝒅𝒙

𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂

𝒇′′(𝒙), 𝑫𝟐𝒙𝒚𝟐, 𝒚′′ 𝒐

𝒅𝟐𝒚𝒅𝒙𝟐

𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂

𝒇′′′(𝒙), 𝑫𝟑𝒙𝒚𝟑, 𝒚′′′ 𝒐

𝒅𝟑𝒚𝒅𝒙𝟑

𝒕𝒆𝒓𝒄𝒆𝒓𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂

𝒇𝑰𝑽(𝒙), 𝑫𝟒𝒙𝒚𝟒 , 𝒚𝑰𝑽 𝒐

𝒅𝟒𝒚𝒅𝒙𝟒

𝒄𝒖𝒂𝒓𝒕𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂

Por ejemplo:

1.- Encuentra la primera y segunda derivada de 𝑦 = 4𝑥3 − 9𝑥2 + 5𝑥 − 1

𝑦 ′ = 𝑑𝑑𝑥

(4𝑥3) − 𝑑𝑑𝑥

(9𝑥2) + ddx

(5x) − 1

𝑦 ′ = 12𝑥2 − 18𝑥 + 5 𝑦 ′′ = 𝑑

𝑑𝑥(12𝑥2) − 𝑑

𝑑𝑥(18𝑥) + 𝑑

𝑑𝑥(5)

𝑦 ′′ = 24𝑥 − 18 2.- Encuentra la primera y segunda derivada de 𝑦 = 10𝑥 + 3𝑥2 + 2𝑥5 𝑦 ′ = 𝑑

𝑑𝑥(10𝑥) + 𝑑

𝑑𝑥(3𝑥2) + 𝑑

𝑑𝑥(2𝑥5)

𝑦 ′ = 10 + 6𝑥 + 10𝑥4 𝑦 ′′ = 𝑑

𝑑𝑥(10) + 𝑑

𝑑𝑥(6𝑥) + 𝑑

𝑑𝑥(10𝑥4)

𝑦 ′′ = 6 + 40𝑥3 3.- Encuentra la primera, segunda y tercera derivada de 𝑦 = (𝑥2 − 𝑥)(3𝑥 + 2) 𝑦′ = (𝑥2 − 𝑥) 𝑑

𝑑𝑥(3𝑥 + 2) + (3𝑥 + 2) 𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 − 𝑥)

𝑦 ′ = (𝑥2 − 𝑥)(3) + (3𝑥 + 2)(2𝑥 − 1) 𝑦 ′ = 3𝑥2 − 3𝑥 + 6𝑥2 − 3𝑥 + 4𝑥 − 2 𝑦 ′ = 9𝑥2 − 2𝑥 − 2 𝑦 ′′ = 𝑑

𝑑𝑥(9𝑥2) − 𝑑


𝑑𝑥(2)


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Quinto Semestre

𝑦 ′′ = 18𝑥 − 2 𝑦 ′′′ = 𝑑

𝑑𝑥(18𝑥) − 𝑑

𝑑𝑥(2)

𝑦 ′′′ = 18 4.- Encuentra la primera y segunda derivada de 𝑦 = 𝑥

𝑥+1

𝑦 ′ =(𝑥+1) 𝑑

𝑑𝑥(𝑥)−(𝑥) 𝑑

𝑑𝑥(𝑥+1)

(𝑥+1)2

= (𝑥+1)(1)−(𝑥)(1)(𝑥+1)2

= 𝑥+1−𝑥(𝑥+1)2

𝑦 ′ = 1(𝑥+1)2

𝑦 ′′ =(𝑥+1) 𝑑

𝑑𝑥(1)−(1) 𝑑

𝑑𝑥(𝑥+1)2

[(𝑥+1)2]

= (𝑥+1)2(0)−1(2)(𝑥+1)(1)[(𝑥+1)2]

= 0−2(𝑥+1)(𝑥+1)4

𝑦 ′′ = −2𝑥−2(𝑥+1)4

Actividad 7. 1.- Encuentra la segunda derivada de: 𝑦 = 3𝑥4 − 5𝑥2 + 2 2.- Encuentra la tercera derivada de: 𝑦 = 8𝑥4 − 5𝑥3 − 𝑥2 + 7


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Quinto Semestre

3.- Encuentra la segunda derivada de: 𝑦 = 2𝑥−12 + 1

4𝑥−32

4.- Encuentra la cuarta derivada de: 𝑦 = 𝑥4 + 2𝑥3 − 3𝑥 +5 Actividad 8: Resuelve los siguientes problemas por derivadas: 1. Durante un ensayo de Beisbol, Juan le dice a Luis que observe lo alto que se

levanta la pelota cuando sale disparada verticalmente. Si se sabe que la posición de la pelota respecto al piso está dada por:

𝒚 = −𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙 + 𝟏𝟓.

Pedro, alumno de sexto semestre, al ver tal situación se pregunto:

a) ¿Cuál será la altura máxima y en cuanto tiempo la alcanza?

b) ¿Cual es la velocidad de la pelota?


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Quinto Semestre

c) ¿Cual es la velocidad a los 3 segundos?

2. Se vierte agua en un estanque cilíndrico de 2 metros de radio y 4 metros de altura a razón de 50 litros por minuto. ¿Con que rapidez asciende el nivel del agua? Si 𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ

3. Una persona posee 2400 metros de malla y desea cercar un terreno rectangular que está sobre un río. Si no necesita cercar al río, ¿cuáles son las dimensiones del terreno que posee el área más grande para así optimizar su malla?.


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Quinto Semestre

4. Se desea construir un invernadero un en terreno rectangular de 3,600 m2

en tres porciones iguales, con cerca adicional paralela a dos de los lados como se muestra en la figura. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno de manera que el cerco utilizado tenga longitud mínima?

5. Se desea construir una caja rectangular de cartón sin tapa. Si a un cartón de 10 x

16 cm se le hace una corte cuadrado en cada esquina y se doblan los bordes por las líneas punteadas. Cuál debe ser el tamaño de los cuadrados recortados para maximizar el volumen?.


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Quinto Semestre

BLOQUE III

Rúbrica

ACTIVIDAD 1



Ponderación 20%

Criterios Excelente ( 10 ) Bien ( 8 ) Regular ( 7 o 6) Deficiente ( 5 o

menos ) Puntuación por criterio

Razón de cambio promedio e instantánea.

Aplica de manera correcta las formulas para determinar la razón de cambio promedio e instantánea y obtiene el resultado correcto. Las graficas trazadas corresponden a las funciones dadas.

Aplica de manera correcta las formulas para determinar la razón de cambio promedio e instantánea pero no obtiene los resultados correctos. Las graficas trazadas corresponden a las funciones dadas.

Aplica de manera incorrecta las formulas para determinar la razón de cambio promedio e instantánea, el resultado es incorrecto. Las graficas trazadas corresponden a las funciones dadas.

No realiza los ejercicios de razón de cambio. Las graficas trazadas corresponden a las funciones dadas.

Los ejercicios y grafica contienen los datos pertinentes, muestran limpieza, orden y claridad. La grafica está trazada con las escalas adecuadas.

Los ejercicios y grafica contienen los datos pertinentes, muestran limpieza, orden y claridad. La grafica no está trazada con las escalas adecuadas.

Los ejercicios y grafica contienen los datos pertinentes, pero no muestran limpieza, orden y claridad.

Los ejercicios no muestran limpieza, orden y claridad. No traza graficas.

Puntuación total:

Observaciones (como puede mejorar):


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Quinto Semestre

BLOQUE III

Lista de cotejo

Actividades 4, 5 Y 7



Ponderacion 50%

Indicadores Si No Aplica correctamente la derivada de una constante. Aplica correctamente la derivada de una variable con respecto a ella misma.

Aplica correctamente la derivada de una suma. Aplica correctamente la derivada de la multiplicación de una constante por una función.

Aplica correctamente la derivada de la potencia de una función de exponente constante.

Aplica correctamente la derivada de la multiplicación de dos funciones.

Aplica correctamente la derivada de la raíz cuadrada de una función.

Aplica correctamente la derivada de la raíz cuadrada de una función.

Aplica correctamente la derivada de la función seno Aplica correctamente la derivada de la función coseno. Aplica correctamente la derivada de la función tangente. Aplica correctamente la derivada de la función cotangente. Aplica correctamente la derivada de la función secante Aplica correctamente la derivada de la función cosecante. Aplica correctamente la derivada de la función exponencial (𝑒𝑢).


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Quinto Semestre

Aplica correctamente la derivada de la función exponencial (𝑎𝑢). Aplica correctamente la derivada de la función logarítmica (ln). Aplica correctamente la derivada de la función logarítmica (log𝑎𝑢).

Encuentra la segunda derivada de una función de manera correcta.

Obtiene al menos el 70% de los valores correctos de las derivadas de funciones algebraicas.

Obtiene al menos el 70% de los valores correctos de las derivadas de funciones trascendentes.

Obtiene al menos el 70% de los valores correctos de las derivadas de orden superior.



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Quinto Semestre

BLOQUE IV

CALCULAS E INTERPRETAS

MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS

DE OPTIMIZACIÓN.


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Quinto Semestre


• Comprende el volumen máximo y lo aplica a través del diseño de envases como cilindros, cubos, prismas, esferas, entre otros.

• Interpreta gráficas que representan diversos fenómenos naturales, producciones agrícolas e industriales, identifica máximos y mínimos absolutos y relativos.

• Establece modelos matemáticos y representaciones gráficas de producción de diversas empresas (manufactura, fabricación y elaboración de artesanías) para calcular sus máximos y mínimos de utilidad y emitir juicios sobre su situación económica.

• Calcula máximos y mínimos en funciones algebraicas y trascendentes aplicando métodos algebraicos.


• Interpreta y analiza gráficas de fenómenos meteorológicos (temperatura, humedad atmosférica, calentamiento atmosférico y cantidad de bióxido de carbono en la atmosfera) de su región e identifica los máximos y mínimos absolutos.

• Construye e interpreta modelos matemáticos sencillos sobre el comportamiento de un móvil en un tiempo determinado y calcula máximos y mínimos absolutos y relativos.

• Valora el uso de las TIC´s en el modelado y simulación de situaciones problemáticas de fenómenos físicos, químicos, ecológicos, de producciones agrícolas, industriales, artesanales y de manufactura, emitiendo juicios de opinión.

• Calcula máximos y mínimos de funciones algebraicas e interpreta los máximos relativos y puntos de inflexión en gráficas que modelan la resolución de problemas de su entorno.


• Producciones, máximos y mínimos.

• Variaciones en las producciones, máximos y mínimos relativos


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Quinto Semestre

¿Para qué sirven los valores máximos y mínimos? Los máximos y mínimos de una función de dos variables nos permiten medir las altitudes máximas y mínimas sobre la superficie que integra la grafica de la función (estas altitudes son similares a las cotas del punto más elevado de una colina o del punto más profundo de una hondonada). Iniciaremos con el cálculo del máximo y del mínimo (valores críticos de la función) aplicando el criterio de la primera derivada, después enunciaremos (sin demostrarlo) el teorema que se conoce como el criterio de la segunda derivada, el cual permite determinar (en ciertos casos) si un punto crítico determinado corresponde a un máximo o a un mínimo relativo. La aplicación de estos procedimientos se observa en todas las áreas; las ciencias naturales, las ciencias sociales y las ciencias exactas. Situación didáctica 1: El comportamiento de la producción de uva para elaborar vino de mesa en la región del Valle de Guadalupe de cierta compañía, se estima con la función 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 70𝑥 −1189 donde 𝑥 representa el tiempo en semanas y 𝑓(𝑥) la producción de uva en toneladas por semana. La meta de producción para el 2011 es de 125 toneladas, lo demás es de excedente, que se utilizara para hacer jalea.

Conflicto cognitivo.

a) ¿En qué semana comienza la cosecha de uva? b) ¿En qué semana termina? c) ¿En qué semana se obtendrá la máxima producción? d) ¿Cuántas toneladas se cosechan en esa semana?


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Quinto Semestre

e) ¿Se alcanza la meta de las 125 toneladas? f) ¿En qué momento? g) ¿Cómo será la gráfica que representa la producción de uva?

Ejercicio: Una compañía empacadora de uva de mesa necesita cajas abiertas para almacenar su producto de volumen máximo y se van a construir a partir de un trozo cuadrado de material que tiene 24 pulgadas por lado, cortando cuadrados iguales de las esquinas y doblando los lados hacia arriba.

Dibuja cuadrados iguales en las cuatro esquinas, (tienes la libertad de elegir el tamaño(x)) después se recortaran cuatro cuadrados en las esquinas como se muestra en la figura.


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Quinto Semestre

a) Escriba el volumen V como función de x

b) Complete analíticamente seis renglones de una tabla como la que sigue. (se muestran los dos primeros renglones) Use la tabla para hacer una conjetura acerca del volumen máximo.

c) Aplica el cálculo para hallar el número crítico de la función del inciso a y

encuentre el valor máximo .Use un medio para el efecto con el fin de construir la gráfica del inciso a y verifique el volumen máximo a partir de esa gráfica.

Altura Longitud y ancho

Volumen

1 24-2(1)

1(24-2(1))2=484

2 24-2(2)

2(24-2(2))2=800

3

4

5

6

Visite la dirección de internet: La siguiente dirección sirve de apoyo para ampliar o basar tus conocimientos en los conceptos de: Máximos y mínimos absolutos y relativos, punto de inflexión además puedes consultar ejercicios resueltos o resolver ejercicios por tu propia cuenta, incluso algunas aplicaciones de máximos y mínimos. http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones.htm Máximos y mínimos, criterio de la primera derivada.

Estas definiciones están basadas en la siguiente grafica que nos muestra cómo cambia la recta tangente en un punto mínimo y máximo de la curva:

http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones.htm�


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Quinto Semestre

x

y

dx/dy=0máxi mo

dx/dy=0mínimo

EDCBA

Como podrás observar, en el punto A la recta tangente forma un ángulo agudo con el eje x, en consecuencia su pendiente (𝑑𝑦

𝑑𝑥) es positiva. Ahora analizaremos el punto C, la

recta tangente en ese punto forma un ángulo obtuso con el eje x, por tanto su pendiente (𝑑𝑦

𝑑𝑥) es negativa. En consecuencia podemos decir que el punto B es un

máximo, es decir, su pendiente varia de positiva a negativa.

Por otro lado, para el caso del punto C, ya comentamos que su recta tangente tiene una pendiente negativa. Si ahora analizamos el punto E veremos que la recta tangente forma un ángulo agudo con el eje x, en consecuencia su pendiente (𝑑𝑦

𝑑𝑥) es positiva. Por

consiguiente el punto D es un mínimo, es decir, su pendiente cambia de negativa a positiva.

Cabe indicar que tanto el máximo como el mínimo tienen rectas tangentes paralelas al eje x, en este caso la pendiente (𝑑𝑦

𝑑𝑥) vale cero.

Con lo anterior podemos concluir que:

f(x) tiene un máximo si 𝒅𝒚𝒅𝒙

=0 y la 𝒅𝒚𝒅𝒙

cambia de signo + a –

f(x) tiene un mínimo si 𝒅𝒚𝒅𝒙

=0 y la 𝒅𝒚𝒅𝒙

cambia de signo – a +

Nota: Se explica el hecho de que el máximo-mínimo de una función se alcanza cuando la pendiente de la tangente es nula, sin embargo estos punto pueden ser llamados extremos locales.

Ángulo obtuso

Ángulo agudo


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Quinto Semestre

Con estos conceptos podemos deducir un método para calcular máximos y mínimos para cualquier función:

1er. paso: Se calcula la derivada de la función.

2do. Paso: Se iguala a cero la derivada obtenida y se resuelve la ecuación que la forma, a las soluciones obtenidas las llamaremos valores críticos y probables máximos y mínimos.

3er. paso: Se verifican cada uno de los valores críticos y se calculan los signos de la derivada, empezando con la sustitución de un valor menor y después, se hace lo mismo para otro valor mayor que él.

Los resultados numéricos obtenidos NO nos interesan, solo nos importa calcular el signo resultante. Por ejemplo si primero obtenemos un signo (+) y después un signo (–), entonces tenemos un máximo para la función. En caso contrario será un mínimo. Si el signo no cambia entonces la función no tiene ni máximo ni mínimo.

Ejemplo:

I. Calcular los máximos y mínimos de la función 𝑦 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 1er paso. Derivamos: 𝑦 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 𝑦 ′ = 3𝑥2 − 12𝑥 + 9 2do. Paso. Igualamos a cero:

𝒅𝒚𝒅𝒙

= 𝟎

3𝑥2 − 12𝑥 + 9 = 0

𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0

Determinamos las raíces: (𝑥 − 1)(𝑥 − 3) = 0

(𝑥 − 1) = 0, (𝑥 − 3) = 0

Estos son los valores críticos: 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 3


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Quinto Semestre

3er. Paso. Verificamos los valores críticos:

ANÁLISIS DEL PRIMER VALOR CRÍTICO 𝑥1 = 1

Un valor menor: Un valor mayor:

𝑥 = 0 𝑥 = 2

𝑓 ′(𝑥) = 3(𝑥2 − 4𝑥 + 3)

𝑓 ′(0) = 3(02 − 4(0) + 3) 𝑓 ′(2) = 3(22 − 4(2) + 3)

𝑓 ′(0) = +9 𝑓 ′(2) = −3

Se observa que el cambio fue de signo (+) a (–), en consecuencia 𝑥1 = 1 es la abscisa (valor de “x”) de un máximo.

ANÁLISIS DEL SEGUNDO VALOR CRÍTICO 𝑥1 = 3

Un valor menor: Un valor mayor:

𝑥 = 2 𝑥 = 4 𝑓 ′(𝑥) = 3(𝑥2 − 4𝑥 + 3)

𝑓 ′(2) = 3(22 − 4(2) + 3) 𝑓 ′(4) = 3(42 − 4(4) + 3)

𝑓 ′(2) = −3 𝑓 ′(4) = +9

Se observa que el cambio fue de signo (–) a (+), en consecuencia 𝑥2 = 3 es la abscisa (valor de “x”) de un mínimo.

Conclusión:

Para encontrar los valores correspondientes del máximo y mínimo se tendrá que sustituir en la función original:

𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥

𝑓(1) = 13 − 6(1)2 + 9(1)


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Quinto Semestre

𝑓(1) = 4 𝑓(3) = 33 − 6(3)2 + 9(3)

𝑓(3) = 0

Por lo que el máximo es el punto (1,4)

El mínimo es el punto (3, 0)

Gráfica:

Actividad 1. Calcula los máximos y mínimos de las siguientes funciones con el criterio de la primera derivada y traza la gráfica..

a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑥2 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 1 c) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 15𝑥 − 20 d) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 − 3 e) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 𝑥3 f) 𝑓(𝑥) = 2 + 12𝑥 + 3𝑥2 − 2𝑥3

Ejemplo de aplicación de maximización. Se va a fabricar una lata para que contenga 1 L de salsa de tomate. Halle las dimensiones que minimizara el costo del metal para fabricar la lata.


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Quinto Semestre

A1=πr

2

A2=πr

2

Solución.

Para minimizar el costo del metal, minimizamos el área superficial total del cilindro (tapa, fondo, lados). A partir de la figura, observamos que los lados se fabrican de una lámina rectangular con dimensiones 2πr, de manera que el área superficial es:

A=( área de las tapas) + (área de los lados)

𝐴 = 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟ℎ

Para eliminar h, aplicamos el hecho de que se da el volumen como 1 litro, el cual tomamos como 1000 𝑐𝑚3, por lo tanto

𝑉 = 1000 𝑐𝑚3 Volumen de un cilindro=Área de la base por altura

𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ 1000 = 𝜋𝑟2ℎ

Si despejamos h, tenemos que:

ℎ =1000πr2

Sustituimos el valor de h encontrado en el área superficial de toda la lata.

𝐴 = 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟ℎ 𝐴 = 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟 �1000

𝜋𝑟2�

𝐴 = 2𝜋𝑟2 + 2000𝑟

A=2(πr2)

2πr

h

P=2πr

h


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Quinto Semestre

Por lo tanto la función de área de la lámina que deseamos minimizar es:

𝐴(𝑟) = 2𝜋𝑟2 +2000𝑟

Aplicando el criterio de la primera derivada para encontrar el mínimo, primero derivamos la expresión:

𝐴(𝑟) = 2𝜋𝑟2 + 2000𝑟−1 derivamos

𝐴’(𝑟) = 4𝜋𝑟 − 2000𝑟−2

𝐴’(𝑟) = 4(𝜋𝑟 − 500𝑟−2) Aplicando la ley de los exponentes

factorizamos el 4

𝐴’(𝑟) = 4(𝜋𝑟 − 500𝑟2

P

𝐴’(𝑟) = 4(𝜋𝑟1− 500

𝑟2P

) Convirtiendo a fracción 𝜋𝑟

𝐴’(𝑟) = 4(𝜋𝑟3−500𝑟2

)

) Resta de fracciones

El numerador se iguala a cero 𝜋𝑟3 − 500 = 0 (Despejando 𝜋𝑟3)

La derivada del área se vuelve cero [𝐴’(𝑟) = 0] cuando 𝜋𝑟3 = 500

𝐴’(𝑟) = 0

𝐴’(𝑟) = 4(500 − 500

𝑟2) = 4(

0𝑟2

) = 0

De modo que el único valor crítico es:

𝜋𝑟3 = 500

𝑟3 =500𝜋

𝑟 = �500𝜋

3

Dando valores un poco menores y un poco mayores a 𝑟 = �500𝜋

3 , observamos que A es

decreciente para todo r a la izquierda del valor crítico y creciente para todo r a la derecha.


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Quinto Semestre

De este modo, 𝑟 = �500𝜋

3 debe dar lugar a un mínimo absoluto.

Para encontrar la altura adecuada donde emplearemos la menor área de lámina posible y que tenga un volumen de 1 litro, sustituimos el valor crítico en la altura.

ℎ =1000πr2

Sustituyendo , 𝑟 = �500𝜋

3

ℎ =1000

π��500π

3�2

Aplicando ley de los exponentes:

ℎ =1000

π �500π �

23�

Por propiedad de los exponentes:

ℎ =2 ∗ 500

π 5002 3�

π23�

Aplica la división de fracciones:

ℎ =2 ∗ 500

π 5002 3�

π23�

ℎ =2 ∗ 500

𝜋1 3� 5002 3�

ℎ =2 ∗ 5001 3�

𝜋1 3�

ℎ = 2 �500𝜋�13�


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Quinto Semestre

Sustituyendo valor de 𝑟 = �500𝜋

3

ℎ = 2 ��500𝜋

3�

ℎ = 2𝑟

Máximos y mínimos, criterio de la segunda derivada.

Hasta el momento hemos visto cuales son los puntos mínimo y máximo con relaciona la primera derivada, ahora analizaremos otro criterio que tiene la misma importancia, mismo que permitirá ahorrar tiempo y esfuerzo. Este criterio es el de la segunda derivada. Observe las siguientes graficas: El punto 𝐻 de la siguiente figura es un mínimo, en este caso la primera derivada 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0

y la segunda derivada 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 es positiva.

x

y

H

Punto mínimo

El punto 𝐽 que se muestra en la siguiente figura es un máximo, en este caso la primera

derivada 𝑑𝑦𝑑𝑥

=0 y la segunda derivada 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 es negativa.


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Quinto Semestre

x

y

Punto máximo

J

En consecuencia las únicas condiciones para calcular máximos y mínimos son: 𝑓(𝑥) Tiene un máximo si la primera derivada es cero 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0 y la segunda derivada

𝑑2𝑦𝑑𝑥2

es negativa.

𝑓(𝑥) Tiene un mínimo si la primera derivada es cero 𝑑𝑦𝑑𝑥

= 0 y la segunda derivada 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2

es positiva. Con estos métodos podemos deducir y calcular máximos y mínimos en cualquier función, esto se realiza mediante el criterio de la segunda derivada. A continuación indicamos el procedimiento a seguir: 1er

paso Se calcula la primera derivada de la función.

2do

paso Se iguala a cero la primera derivada y se resuelve la ecuación que se forma. Las condiciones que se obtienen designan valores críticos y probables máximos y mínimos.

3er

paso se calcula la segunda derivada.

4to

paso se sustituye en la segunda derivada cada uno de los valores críticos. Nuevamente lo único que nos interesa es el signo resultante y no el valor numérico. Si el resultado es negativo, acabamos de obtener un máximo para este valor crítico; si el resultado es positivo, tenemos un mínimo.

Cuando la segunda derivada vale cero, o bien no existe, este procedimiento no se puede aplicar, aunque puede existir un máximo o un mínimo; si esto llegase a suceder se usa el método que se analizó en el tema anterior. Veamos algunos ejemplos para aclarar esto, calculando los máximos y mínimos de las siguientes funciones:


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Quinto Semestre

Solución: 𝑦 = 𝑥3 + 3𝑥2 − 2

- Analítica

1er

2

paso Calculamos la primera derivada. 𝑑𝑦𝑑𝑥

= 3𝑥2 + 6𝑥 do

Resolvemos

paso Igualamos a cero 3𝑥2 + 6𝑥 = 0

𝑥1 = 0 y 𝑥2 = −2 se tienen dos valores críticos. 3er

4

paso hallamos la segunda derivada: 𝑑2𝑦𝑑𝑥2

= 6𝑥 + 6 to

Solo nos interesa el signo, no nos interesa el valor numérico.

paso Sustituimos los valores críticos en 𝑓”(𝑥) = 6𝑥 + 6 𝑓” (0) = 6(0) + 6

𝑓”(0) = +6

Por lo que el punto 𝑥1 = 0 es la abscisa de un mínimo.

𝑓”(0) = 6(−2) + 6 𝑓”(0) = −6

Solo nos interesa el signo, no nos interesa el valor numérico. Por lo que el punto 𝑥2 = −2 es la abscisa de un máximo. Conclusión Para encontrar los valores que corresponden al máximo y al mínimo se deben realizar varias sustituciones en la función original:

𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 − 2 𝑓(0) = (0)3 + 3(0)2 − 2

𝑓(0) = −2 𝑓(−2) = (−2)3 + 3(−2)2− 2

𝑓(−2) = 2


Página 106

Quinto Semestre

Por lo que el máximo del punto (−2, 2) y el mínimo es el punto (0,−2).

- Gráfica

Actividad 2. Calcula los máximos y mínimos aplicando el criterio de la segunda derivada en las siguientes funciones traza la grafica de cada una de ellas:

a) 𝑓(𝑥) = 1 + 2𝑥

b) 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥2

c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 2

d) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 12𝑥 + 2

e) 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 − 9𝑥2 − 12𝑥 + 3

f) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥𝑥+1

g) 𝑓(𝑥) = 1 − 3𝑥 + 5𝑥2 − 𝑥3


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Quinto Semestre

Ejemplo de aplicación. Un granjero tiene 2400 pies de cerca y desea crear un campo rectangular que limita con un rio recto. No necesita cercar a lo largo del rio. ¿Cuáles son las dimensiones del campo que tiene el área más grande? Para tener idea de lo que ocurre en este problema, experimentemos con algunos casos especiales. En la figura 1 se muestran (no a escala) tres maneras posibles de emplear los 2400 pies de cerca. Veamos que cuando intentamos cercar campos pocos profundos y anchos, o profundos y anchos obtenemos áreas más o menos pequeñas Figura 400 1000 2200 100 100 700 700 1000 Parece factible que existe alguna configuración intermedia que produce al área más grande. En la siguiente figura se ilustra el caso general. Deseamos minimizar el área A del rectángulo. Sea "𝑥" y "𝑦" la profundidad y el ancho del campo (en pies). Enseguida expresamos A en términos de "𝑥"y "𝑦": 𝐴 = 𝑥𝑦 Y X A Queremos expresar A como expresión sólo de una variable, de modo que eliminamos "𝑦" al expresarla en términos de "𝑥" , para llevar acabo esto usamos la información dada de que la longitud total de la cerca es de 2400 pies. Por tanto:

2𝑥 + 𝑦 = 2400

Río A=(1000)(400)=

A=400,000 pies2

Río

Río A=(100)(2200)= A=220,000 pies2

A

Río A=(700)(1000)= A=700,000 pies2


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Quinto Semestre

A partir de esta ecuación despejamos la variable "𝑦" para dejarlo en función de "𝑥". Lo cual da como resultado: 𝑦 = 2400 − 2𝑥 Se sustituye el resultado del despeje en la fórmula del área de un rectángulo

𝐴 = 𝑥(2400 − 2𝑥) 𝐴 = 2400𝑥 − 2𝑥2

Observe que 𝑥 ≥ 0 y 𝑥 ≤ 1200 (de lo contrario 𝐴 < 0) de manera que la función que debemos minimizar es: Se aplica la primera derivada: 𝐴´ = 2400 − 4𝑥 Se iguala a cero: 2400 − 4𝑥 = 0 Se resuelve la ecuación obtenida y se encuentra el valor (𝑥) Lo cual da como resultado 𝑥 = 600. El valor máximo de A debe ocurrir en este número o en uno de los puntos extremos del intervalo. Como: 𝐴(0) = 0 𝐴(600) = 720,000

𝐴(1200) = 0 El método del intervalo cerrado da el valor máximo 𝐴(600) = 720,000. De modo alternativo por el criterio de la segunda derivada 𝐴”(𝑥) = −4 < 0 para todo "𝑥", de modo que "𝐴" siempre es cóncava hacia abajo y el máximo local en 𝑥 = 600 debe ser un máximo absoluto. Por lo tanto, el campo rectangular debe tener 600 pies de profundidad y 1200 pies de ancho. Resolución de problemas de optimización. Los problemas de optimización son aquellos en donde se solicita encontrar la mejor opción, por ejemplo: donde se solicita encontrar el menor tiempo de producción de un artículo, la máxima altura que alcanza un proyectil, la ganancia máxima o el costo mínimo de producción de un aparato eléctrico, el volumen máximo de un recipiente o el área mínima, entre otros tantos problemas que se pueden mencionar.


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Quinto Semestre

A lo largo de tu caminar por esta asignatura y las que le precedieron, planteaste múltiples problemas que requirieron dar una respuesta optima y llegaste a una aproximación de ella. Ahora ya tienes el conocimiento necesario para dar respuesta a ellos. Actividad 3. Resuelve por el criterio de la primera derivada. 1. Víctor dispone de 40m de alambrada para crear un jardín rectangular sabiendo que solo debe colocar la cerca en tres lados porque el cuarto limita con su casa.)

a) Determina el área máxima que debe proteger. b) Traza la gráfica.

Resuelve por el criterio de la segunda derivada. 2. El precio de venta de un artículo es de 𝑓(𝑥) = 100 − 0.2𝑥 unidades de dinero, donde x es el número de artículos que se producen en un día. Si el costo de producir y vender x artículos por día es 𝐶(𝑥) = 40𝑥 + 15000 unidades de dinero, ¿cuántos artículos se deben producir y vender en un día para que la utilidad sea máxima? Traza la gráfica Resuelve por el criterio de la segunda derivada. 3. Desde el suelo se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 29.4 m/s. Calcular la altura máxima alcanzada. La función que expresa la altura en función del tiempo es:

ℎ(𝑡) = 𝑣0𝑡 −12𝑔𝑡2

Cálculo e interpretación de puntos de inflexión en gráficas

Un estudio de los puntos de la gráfica de una función donde cambia el signo de la pendiente nos llevó a los puntos críticos. Ahora estudiaremos los puntos sobre la gráfica donde cambia la concavidad, ya sea de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo, o de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba.

Un punto en el que la gráfica de una función ƒ cambia de concavidad se llama punto de inflexión de ƒ.


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Quinto Semestre

Las palabras “punto de inflexión de ƒ” pueden referirse ya sea a un punto del dominio de ƒ o a un punto sobre la gráfica de ƒ. El contexto de la gráfica de ƒ. El contexto del problema dirá a cuál se refiere.

¿Cómo se localiza un punto de inflexión?

Como la concavidad de la gráfica de ƒ cambia en un punto de inflexión, el signo de ƒ” cambia ahí: Es positivo en un lado del punto de inflexión y negativo en el otro. Por lo tanto, en el punto de inflexión, ƒ” es cero o no está definido.

El método para determinar el punto de inflexión y concavidad de una función es el siguiente:

1) Se calcula la segunda derivada de la función.

2) Se iguala a cero la segunda derivada y se resuelve la ecuación que se forma, luego se consideran las soluciones obtenidas.

3) Se calcula ƒ” (x), primero para valores de “x” que son ligeramente inferiores y después para valores que son ligeramente superiores, respecto a cada una de las soluciones que se obtuvieron en el paso anterior.

Interpretación:

a) Si hay variación de signo, existe punto de inflexión.

b) Cuando ƒ”(x) es positiva, la curva es cóncava hacia arriba.

c) Cuando ƒ”(x) es negativa, la curva es cóncava hacia abajo.


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Quinto Semestre

Ejemplo: Encuentre los puntos de inflexión de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 9𝑥2 − 48𝑥 + 52

Solución En la figura que se muestra, parte de la gráfica de ƒ es cóncava hacia arriba y parte es cóncava hacia abajo, de modo que la función debe tener un punto de inflexión que aunque es difícil localizar con precisión este punto con sólo examinar la gráfica. Para hallar exactamente el punto de inflexión, calculamos en dónde es cero la segunda derivada.

Como 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 18𝑥 − 48 y

𝑓"(𝑥) = 6𝑥 − 18 ; entonces ƒ”(x) = 0 cuando x=3

La gráfica de ƒ(x) cambia la concavidad en x=3, de modo que x=3 es un punto de inflexión.

Actividad 4: (formativa) Determina el punto de inflexión y el sentido de concavidad de las siguientes funciones.

1. 𝑓(𝑥) = 12𝑥3 − 12𝑥2 − 24𝑥

2. 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 − 9𝑥2 − 12𝑥 + 3

3. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 6𝑥2 + 3𝑥 − 1

4. 𝑓(𝑥) = 1 − 3𝑥 + 5𝑥2 − 𝑥3

5. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 6𝑥2


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Quinto Semestre

Anteriormente definimos en forma intuitiva el concepto de una función creciente y decreciente. Por ejemplo, en una montaña rusa. Observa la siguiente figura e identifica dónde es creciente, decreciente y el sentido de la concavidad.

Ejemplo de aplicación.

Supongamos que la montaña rusa tiene una sección definida por la curva:

𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 9𝑥2 + 12𝑥 − 3

Calcula el punto de inflexión y sentido de la concavidad en esa sección de la montaña rusa.

Solución:

Paso 1

𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 − 18𝑥 + 12 𝑓"(𝑥) = 12𝑥 − 18

Paso 2

12𝑥 − 18 = 0

12𝑥 = 18

𝑥 =1812

=32


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Quinto Semestre

Paso 3

ƒ"(1) = 12(1) – 18 = –6 ; Cóncava hacia abajo

ƒ"(2) = 12(2) – 18 = +6 ; Cóncava hacia arriba

Como existe variación de signo, la función tiene punto de inflexión en x = 32

𝑓 �32� = 2 �

32�3

− 9 �32�2

+ 12 �32� − 3 =

32

P. I. �32

, 32�

0.5 1 1.5 2 2.5

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

x

y

P de inflexión(3/2,3/2)

Actividad 5:

Determina el punto de inflexión y sentido de la concavidad, traza la gráfica.

1. La peligrosidad de la bacteria que provoca una enfermedad llamada ovela se mide en una escala de 0 a 50 y se representa con la función: 𝑝(𝑡) = 40 + 15𝑡 − 9𝑡2 + 𝑡3

2. Una motocicleta a control remoto describe un movimiento que se representa con la ecuación:

𝑓(𝑡) = 0.2𝑡2 + 0.03𝑡3, t Є [0,20]; (f(t) en metros y t en segundos).

3. El costo total, de producir y vender 100 unidades de “x” producto a la semana se representa con la siguiente ecuación:

𝐶(𝑥) = 1000 + 33𝑥 − 9𝑥2 + 𝑥3


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Quinto Semestre

BLOQUE IV

Lista de cotejo

Actividades 1 y 2:



Ponderacion 30%

Indicadores Si No Comprende el concepto de valor máximo de una función.

Comprende el concepto de valor mínimo de una función.

Aplica correctamente el criterio de la primera derivada para obtener el valor máximo y/o mínimo de una función algebraica.

Aplica correctamente el criterio de la primera derivada para obtener el valor máximo y/o mínimo de una función trascendente.

Representa gráficamente los puntos críticos de una función.



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BLOQUE IV Rúbrica

ACTIVIDAD 3 y 5: Alumno(a): Grupo:

Fecha: Evaluador: Evaluación:

Ponderación 30% Criterios Excelente ( 10 ) Muy Bien ( 9 ) Bien ( 8) Regular ( 6) Deficiente

(5 o menos ) Puntuación por criterio

Aplicaciones

Identifica los datos relevantes del problema, formula el modelo matemático en aplicaciones reales, obtiene máximos y/o mínimos e interpreta correctamente el resultado.

Identifica los datos relevantes del problema, formula el modelo matemático en aplicaciones reales, obtiene máximos y/o mínimos pero No interpreta correctamente el resultado.

Identifica los datos relevantes del problema, formula el modela matemático en aplicaciones reales pero No obtiene máximo y/o mínimos.

Identifica los datos relevantes pero No formula el modelo matemático en aplicaciones reales.

No identifica los datos relevantes.

Identifica los datos relevantes del problema, formula el modelo matemático en aplicaciones reales, obtiene puntos de inflexión e interpreta correctamente el resultado.

Identifica los datos relevantes del problema, formula el modelo matemático en aplicaciones reales, obtiene puntos de inflexión pero No interpreta correctamente el resultado.

Identifica los datos relevantes del problema, formula el modela matemático en aplicaciones reales pero No obtiene puntos de inflexión.

Identifica los datos relevantes pero No formula el modelo matemático en aplicaciones reales.

No identifica los datos relevantes.

Los ejercicios y grafica contienen los datos pertinentes, muestran limpieza, orden y claridad. La grafica está trazada con las escalas adecuadas.

Los ejercicios y grafica contienen los datos pertinentes, muestran limpieza, orden y claridad. La grafica no está trazada con las escalas adecuadas.



Los ejercicios no muestran limpieza, orden y claridad. No traza graficas.

Puntuación total: Observaciones (como puede mejorar):

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