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CÁLCULO UNIDAD Nº III Derivadas y sus aplicaciones

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Introducción

Esta sexta semana, que corresponde a la última semana de la unidad III y

del curso de cálculo, abordaremos el concepto de derivadas parciales, incluyendo

las funciones lineales como las de orden superior. Exploraremos su interpretación

gráfica y sus aplicaciones, como son las diferenciales o incrementos, introduciendo

así la explicación de la función y las derivadas implícitas.

Respecto a las derivadas implícitas, estas se usan principalmente cuando se

tiene una función, en la cual no es posible despejar una variable en función de la

otra.

Finalmente, se expondrá un método para resolver problemas de

maximización y/o minimización cuando las funciones a evaluar están sujetas a

restricciones. Este método usa variables constantes las que son denominadas

multiplicadores de LaGrange.

SEMANA 6

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Ideas Fuerza

• La segunda derivada de una función con respecto a una variable, es la

derivada de la derivada de esa función con respecto a la misma variable.

• Existen criterios para saber si hay una máximo o mínimo local, estos son de

la primera derivada y de la segunda derivada.

• Las derivadas parciales son derivadas que se realizan cuando la función

depende de dos variables o más y para derivar con respecto a una de esas

variables se considera la otra como una constante.

• Los multiplicadores de LaGrange, son constantes que se utilizan para

maximizar o minimizar una función encontrando su valor gracias a un sistema

de ecuaciones en el que están las derivadas parciales de la función y sus

restricciones.

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Desarrollo

1.- Definición de las derivadas parciales de una función de dos variables.

Si z = f (x, y), las primeras derivadas parciales de f con respecto a x e y

son las funciones f x y fy y estas se denotan como:

La definición anterior quiere decir que dada una 𝒛 = 𝒇 (𝒙, 𝒚), para

calcular f x hay que considerar a y como constante y derivar respecto a x, del mismo

modo para calcular f y se considera a x como constante y se deriva respecto a 𝒚.

Para graficar la definición anterior se procede a realizar un ejemplo.

Ejemplo:

Hallar las derivadas parciales f x y fy de la función:

𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟑𝒙 − 𝒙𝟐𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝟑𝒚

Solución:

Considerando y como constante y derivando con respecto a x obtenemos.

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 3 − 2𝑥𝑦2 + 6𝑥2𝑦

Considerando x como constante y derivando con respecto a y obtenemos.

𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = −2𝑥2𝑦 + 2𝑥3

f(x+ Δx,y) - f(x, y)

Δx

f(x, y + Δy) - f(x, y)

Δy

Siempre que exista limite

f x (x,y) =lim

Δx 0

f y (x,y) =lim

Δy 0

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Interpretación grafica de la derivada parcial.

Si consideramos que la función z = f (x, y), representa una superficie S, y

que f(a,b)= c , entonces el punto P (a,b,c), existe sobre esta superficie de

manera que las pendientes de las rectas tangentes T en el punto P son las

derivadas parciales en las direcciones de x e y, respectivamente.

http://www4.ujaen.es/~angelcid/Archivos/Analisis_Mat_II_09_10/Apuntes/Tema3.a

rticle.pdf

A continuación, se ilustra gráficamente la derivada parcial en el plano 𝑥, 𝑦, 𝑧.

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Ejemplo:

Hallar las pendientes de la superficie de la ecuación:

𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥2

2− 𝑦2 +

25

8

En el punto (1

2, 1,2) en la dirección 𝑥 𝑒 𝑦.

Solución:

Derivada parcial de la función con respecto a x:

f´x (x, y) = -x

y la valorización de su pendiente en el punto (1

2, 1,2)

y f´x (1/2, 1) = -1/2

Derivada parcial de la función con respecto a y:

f´y (x, y) = -2y

y la valorización de su pendiente en el punto (1

2, 1,2)

y f´y (1/2, 1) = -2

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2.-Derivadas parciales de orden superior

Al igual como sucedía con las derivadas ordinarias es posible encontrar, si

es que existen, las derivadas parciales segundas, terceras, cuartas u orden más

alto, estas se denotan por el orden por el cual se van realizando las derivaciones.

La notación para describirlas es análoga a la segunda derivada ordinaria de una

función con una sola variable.

Si se usa la notación fx para la derivada parcial (con respecto a x), las

derivadas parciales de segundo orden se denotan:

(fx) x = fxx

(fy) y = fyy

Y las derivadas parciales cruzadas o mixtas como:

(fx) y = fxy

(fy) x = fyx

Derivar dos veces respecto a x

d2f ∂ ∂f ∂

2f

dx2

∂x ∂x ∂x2

Derivar dos veces respecto a y

d2f ∂ ∂f ∂

2f

dy2

∂y ∂y ∂y2

Derivar con respecto a y primero y despues respecto a x (derivada mixta o cruzada)

d2f ∂ ∂f ∂

2f

dxdy ∂x ∂y ∂x∂y

Derivar con respecto a x primero y despues respecto a y (derivada mixta o cruzada)

d2f ∂ ∂f ∂

2f

dydx ∂y ∂x| ∂y∂x

= ( ) =

= ( ) =

= ( ) =

= ( ) =

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Para ilustrar la definición anterior se realizará un ejemplo.

Ejemplo:

Hallar las derivadas parciales de segundo orden de 𝑓 = 3𝑥𝑦2 − 2𝑦 + 5𝑥2𝑦2

evaluando el punto 𝑓𝑥𝑦(−1,2).

Solución:

Se debe comenzar resolviendo las derivadas parciales de primer orden.

𝑓𝑥 = 3𝑦2 + 10𝑥𝑦2 𝑓𝑦 = 6𝑥𝑦 − 2 + 10𝑥2𝑦

Ahora se derivan estas cada una de las derivadas anteriores por .

𝑓𝑥𝑥 = 10𝑦2 𝑓𝑦𝑦 = 6𝑥 + 10𝑥2

𝑓𝑥𝑦 = 6𝑦 + 20𝑥𝑦 𝑓𝑦𝑥 = 6𝑦 + 20𝑥𝑦

Ahora evaluamos 𝑓𝑥𝑦 = 6𝑦 + 20𝑥𝑦 = 6 ∙ 2 + 20 ∙ (−1) ∙ 2 = −28

Se observa en este ejemplo que las derivadas cruzadas o mixtas son iguales,

esto también sucede cuando hay tres o más variables, por lo tanto, el orden de las

derivadas parciales es irrelevante cuando son de dos o más variables.

A continuación, se denota el teorema de lo dicho anteriormente.

Teorema:

Si 𝑓 es una función de 𝑥 𝑒 𝑦 con 𝑓𝑥𝑦 𝑦 𝑓𝑦𝑥 funciones continuas en ℝ, entonces para

todo x e y en ℝ.

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Para ilustrar el teorema anterior a continuación se realizará un ejemplo.

Ejemplo:

Probar que 𝑓𝑥𝑧 = 𝑓𝑧𝑥 y 𝑓𝑥𝑧𝑧 = 𝑓𝑧𝑥𝑧 = 𝑓𝑧𝑧𝑥 para la función:

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑒𝑥 + 𝑥 ln 𝑧

Solución:

• Primeras derivadas parciales:

𝑓𝑥 = 𝑦𝑒𝑥 + ln 𝑧

𝑓𝑧 =𝑥

𝑧

• Segundas derivadas

𝑓𝑥𝑧 =1

𝑧 𝑓𝑧𝑥 =

1

𝑧 𝑓𝑧𝑧 = −

𝑥

𝑧2

• Terceras derivadas

𝑓𝑥𝑧𝑧 = −1

𝑧2 𝑓𝑧𝑥𝑧 = −1

𝑧2 𝑓𝑧𝑧𝑥 = −1

𝑧2

Criterio de las segundas derivadas parciales

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Punto silla: puntos críticos que no son ni mínimos, ni máximos relativos.

3.-Aplicaciones de las derivadas parciales

Las aplicaciones de las derivadas parciales toman vital importancia en el

mundo de las matemáticas, sobretodo son usadas para resolver problemas

complejos de la ingeniería y otras ramas de la ciencia. A continuación, se

desarrollarán aplicaciones de las derivadas parciales que no escapen de lo visto en

este curso como por ejemplos.

Problemas de maximización o minimización

Cálculo de un volumen máximo:

Una caja rectangular posee la siguiente función.

6𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 24

Encontrar el volumen máximo posible de esta caja.

Solución:

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Denotamos que 𝑥, 𝑦, 𝑧 corresponde a la longitud, ancho y altura de la caja.

Despejando z en función de x e y, se obtiene:

𝑧 =1

3(24 − 6𝑥 − 4𝑦)

y así su volumen V (x, y, z), queda expresado

𝑉 = 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ [1

3(24 − 6𝑥 − 4𝑦)]

=1

3(24𝑥𝑦 − 6𝑥2𝑦 − 4𝑥𝑦2)

• Primeras derivadas igualadas a 0.

𝑉𝑥 =1

3(24𝑦 − 12𝑥𝑦 − 4𝑦2) =

𝑦

3(24 − 12𝑥 − 4𝑦) = 0

𝑉𝑦 =1

3(24𝑥 − 6𝑥2 − 8𝑥𝑦) =

𝑥

3(24 − 6𝑥 − 8𝑦) = 0

Se deduce que los puntos críticos son (0,0) y el (4

3, 2), en el punto (0,0) el

volumen es 0, por lo tanto, no es máximo. Con el otro punto que queda es posible

utilizar el criterio de la segunda derivada.

𝑉𝑥𝑥 =1

3(−12𝑦) = −4𝑦

𝑉𝑦𝑦 =1

3(−8𝑥) = −

8𝑥

3

𝑉𝑥𝑦 =1

3(24 − 12𝑥 − 8𝑦)

Hay que recordar que para calcular los extremos relativos de f se debe

calcular d = fxx(a,b) * fyy (a,b) – [fxy(a,b)]2

Por tanto,

𝑑 = 𝑉𝑥𝑥 (4

3, 2) 𝑉𝑦𝑦 (

4

3, 2) − [𝑉𝑥𝑦 (

4

3, 2)]

2

= (−8) (−32

9) − (−

8

3)

2

=64

3> 0

𝑉𝑥𝑥 = −4𝑦 = −8

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Por lo tanto, hay un máximo relativo en ese punto crítico de acuerdo al criterio de la

segunda derivada.

Y el volumen máximo es:

𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) =1

3(24𝑥𝑦 − 6𝑥2𝑦 − 4𝑥𝑦2) =

1

3[(24 (

4

3) (2) − 6 (

4

3)

2

(2) − 4 (4

3) (2)2)]

=64

9

4.-Diferenciales

Generalidades.

Ya hemos vistos que entre los objetivos fundamentales del cálculo

infinitesimal es estudiar la variación de una función, con respecto a cambios en la

variable independiente. Si 𝒙 es la variable independiente de la función 𝒚 = ƒ(𝒙) y su

valor cambia desde x1 hasta x2, este cambio lo llamamos incremento de 𝒙 y se

denota por 𝜟𝒙, cuyo valor es 𝜟𝒙 = 𝒙𝟐 – 𝒙𝟏. Este cambio de 𝒙, generalmente da

como resultado un aumento o disminución del valor de y, el cual se denomina

incremento de la función y se denota por 𝜟𝒚, es decir: 𝜟𝒚 = 𝒇 (𝒙𝟐) − 𝒇(𝒙𝟏).

De la expresión anterior para 𝜟𝒙, podemos decir que 𝒙𝟐 = 𝜟𝒙 + 𝒙₁, con lo

cual tenemos que: 𝜟𝒚 = 𝒇 (𝒙𝟐 + 𝜟𝒙) − 𝒇(𝒙𝟏). Es importante indicar que se denomina

“incremento” tanto al aumento (+) como a una disminución (-).

Diferenciales

Sea la función 𝒚 = ƒ(𝒙) derivable en un intervalo abierto que contenga 𝒙,

la diferencial de una función correspondiente al incremento d𝒙 de la variable

independiente, es el producto f '(x) · d𝒙.

dy = f '(x) · d𝒙

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Definiremos el concepto de diferencial de modo que 𝒅𝒙 y 𝒅𝒚 tengan

significados por separado, donde 𝒅𝒙 es la diferencial de la variable independiente

𝒙 y 𝒅𝒚 es del diferencial de la variable dependiente 𝒚.

Definición del diferencial 𝒅𝒙

Si 𝒚 = ƒ(𝒙) es una función derivable en 𝒙, la diferencial de la variable independiente

coincide con el incremento de x; o sea: 𝒅𝒙 = 𝜟𝒙

Definición del diferencial 𝒅𝒚

Si 𝒚 = ƒ(𝒙) es una función derivable en 𝒙 y 𝒅𝒙 es el diferencial de 𝒙, el diferencial

𝒅𝒚 que corresponde a la variable dependiente 𝒚 se define como: 𝒅𝒚 = ƒ′ (𝒙) 𝒅𝒙

Se llama diferencial de una función al producto de la derivada por la

diferencial de la variable independiente.

Otras notaciones para la diferencial

Para funciones 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) de dos variables se utiliza una notación similar, ya

que Δx y Δy son 𝑥 𝑒 𝑦. A continuación, se muestra cual es la notación utilizada

para el incremento o diferencial Δz.

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Definición de la diferencial total

Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), y Δx y Δy son los incrementos de 𝑥 𝑒 𝑦, y las diferenciales de estas

variables son:

Y la diferencial total de la variable depende de z es

Esta definición se extiende a variables de 3 o más variables, si 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑢) si

𝑑𝑥 = Δx , 𝑑𝑦 = Δy , 𝑑𝑧 = Δz 𝑑𝑢 = Δu entonces el diferencial de w es:

Ejemplo:

La diferencial total 𝑑𝑤 para la función 𝑤 = 𝑥2 + 𝑦4 + 𝑧10

Solución:

𝑑𝑤 =𝛿𝑤

𝛿𝑥𝑑𝑥 +

𝛿𝑤

𝛿𝑦𝑑𝑦 +

𝛿𝑤

𝛿𝑧𝑑𝑧 = 2𝑥𝑑𝑥 + 4𝑦3𝑑𝑦 + 10𝑧9𝑑𝑧

𝑑𝑥 = Δx 𝑑𝑦 = Δy

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5.-Funciones implícitas

Hasta este punto de la unidad las funciones que hemos visto son principalmente

explicitas, como, por ejemplo:

𝑦 = 5𝑥3 + 7

Donde la variable ya está explícitamente en función de 𝑥. Pero en algunas

ocasiones la función viene definida implícitamente como, por ejemplo.

Forma explícita 𝑦 =1

𝑥

Forma implícita 𝑥𝑦 = 1

Derivación implícita

A continuación, se derivará una función implícita para que se grafiquen lo pasos a

seguir.

Ejemplo:

Hallar la derivada 𝑑𝑦/𝑑𝑥 sabiendo que 𝑦3 + 𝑦2 − 5𝑦 − 𝑥2 = −4

Solución:

Derivamos ambos lados de la ecuación aplicando las reglas de derivación, teniendo

el cuidado que cuando derivemos y agregamos a continuación el termino 𝑑𝑦

𝑑𝑥,

entonces:

3𝑦2𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 5

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 2𝑥 = 0

Ahora agrupemos los términos 𝑑𝑦/𝑑𝑥 en la izquierda

3𝑦2𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 5

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥

Factorizamos 𝑑𝑦/𝑑𝑥 en la parte izquierda.

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𝑑𝑦

𝑑𝑥(3𝑦2 + 2𝑦 − 5) = 2𝑥

Despejamos 𝑑𝑦/𝑑𝑥.

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

2𝑥

3𝑦2 + 2𝑦 − 5

Podemos decir que las aplicaciones de funciones implícitas y más

específicamente de las derivadas implícitas son las mismas que las derivadas

explicitas, es posible hallar la pendiente de una función, también es posible calcular

derivadas de orden superior implícitamente, por lo tantos las aplicaciones de la

función implícita también se extienden en las aplicaciones de las derivadas de orden

superior.

Multiplicadores de la Grange

En muchos problemas de optimización los valores para lograr el objetivo

están sometidos a restricciones. Una técnica muy útil para encontrar el máximo o el

mínimo de una función multivariable se denominan multiplicadores de LaGrange.

Teorema

Sean 𝒇 𝑦 𝒈 funciones, donde su primera derivada parcial continua existe y 𝒇

tiene un extremo en el punto (𝒙𝟎, 𝒚𝟎) sobre la curva de la función restricción

𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑐, entonces ∆𝑓(𝑥0, 𝑦0) = 𝜆∆𝑔(𝑥0, 𝑦0). El escalar 𝜆 es denominado

multiplicador de LaGrange.

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Ejemplo:

Calcular el valor máximo de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥𝑦

Sujetos a

𝑥2

32+

𝑦2

42= 1

Solución: Sabemos que:

𝑔(𝑥, 𝑦) =𝑥2

32+

𝑦2

42= 1

La solución del sistema de ecuaciones queda de la siguiente forma

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4𝑦 =2

9𝜆𝑥

4𝑥 =1

8𝜆𝑦

𝑥2

32+

𝑦2

42= 1

Despejamos 𝜆 en la primera ecuación y obtenemos 𝜆 = 18𝑦/𝑥 y lo reemplazamos

en la segunda ecuación.

4𝑥 =1

8(

18𝑦

𝑥) 𝑦

Sustituimos el valor de 𝑥2 en la tercera ecuación.

La técnica exige que 𝑥, 𝑦 > 0 por lo que se elige 2√2

Entonces el máximo de la función es

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Conclusiones

Las derivadas parciales de una función nos facilitan poder determinar

soluciones de manera óptima y en esto, las aplicaciones más importantes para la

resolución de problemas que tienen las derivadas parciales de orden superior, es el

poder determinar máximos relativos, mínimos relativos de ciertas expresiones

matemáticas, como también la importancia en la búsqueda de los intervalos de

aumento o disminución de valores de interés, una vez expresada por funciones.

Es importante recordar las consideraciones que se deben tener, para

determinar las derivadas parciales y poder interpretarlas de manera correcta, donde

podrás utilizarlas para problemas de maximización o minimización.

En muchos problemas de optimización los valores para lograr el objetivo

están sometidos a restricciones. Una técnica muy útil para solucionar esto tipos de

problemas se denominan multiplicadores de LaGrange.

.

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Bibliografía

• James Stewart. (2008). Cálculo de una variable. Cruz Manca, Santa Fe,

México: Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

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