1

USC - Primeiro Cuadrimestre 2014-15 Mtodos Matemticos II Grao de Fsica Fac. de Fsica

Manuel Pedreira & Javier Barja Prez Departamento de lxebra

Boletn 7. Exercicio 1. Determinar cales das seguintes aplicacins f: R3 R2 son lineais: (a) f(x,y,z) = (x+2y,x+y+z) (b) f(x,y,z) = (xy,z) (c) f(x,y,z) = (z+l,x+y) (d) f(x,y,z) = (x2, y+z) Exercicio 2. Sexa f: R3 ! R3 a aplicacin lineal f(x, y, z) = (x+2y, 2z-x, x+z).

Calcula unha matriz A tal que A!!!

"

#

$$$

%

&

z

y

x

= !!!

"

#

$$$

%

&

+

'

+

zx

xz

yx

2

2

. Calcula unha base de Ker(f).

Exercicio 3. Sexa f: R3 R2 a aplicacin lineal f(x, y, z) = (x+y, 2z-x). Calcula unha matriz A tal que

A!!!

"

#

$$$

%

&

z

y

x

= !!"

#$$%

&

'

+

xz

yx

2. Calcula unha base de Ker(f) e outra de Im(f).

Exercicio 4. Sexa f: R4 R3 a aplicacin lineal f(x, y, z, t) = (x+y-2t, 2z-x, y-t). Calcula unha matriz

A tal que A

!!!!!

"

#

$$$$$

%

&

t

z

y

x

= !!!

"

#

$$$

%

&

'

'

'+

ty

xz

tyx

2

2

. Calcula unha base de Ker(f) e outra de Im(f).

Exercicio 5. Calcula a aplicacin lineal f: R4 R2 tal que; f(1, 0, 0, 0) = (1, 0), f(0, 1, 0, 0) = (2, 6), f(0, 0, 1, 0) = (1,7), f(0, 0, 0, 1) = (8,1). Calcula unha base de Ker(f) e outra de Im(f). Exercicio 6. Calcula a aplicacin lineal f: R2 R3 tal que: f(1, 0) = (1, 1, 1), f(0, 1) = (1, -1, 2) Calcula unha base de Ker(f) e outra de Im(f). Exercicio 7. Sexa f a aplicacin lineal con matriz de vectores fila (2, 1, 1, 1) , (0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0) e (4, 3, 2, 2). Achar a sa matriz na base B = {(1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (0,1,0,1)}. Probar que Im(f) = Ker(f). Exercicio 8. Sexa f: R3 R3 a aplicacin lineal cuxa matriz ten como vectores fila (1, 0, 1), (1, 1, 0) e (0, 1, 1). i) Achar a matriz de f respecto base B = { (0, 1, 1),(1, 2, 1),(1, 0, 2)} . ii) Achar unha aplicacin lineal g: R3 R3 tal que (gBB) = (fCC) Exercicio 9. Para la aplicacin lineal f (x, y, z) = (x, y) achar, se posible, bases B e B respecto as cales a matriz de f tea por vectores fila (1, 0, 1) e (0, 1, 1). Exercicio 10. Sexa f: R3 R2 a aplicacin lineal f(x, y, z) = (x+y, 2z-x). Consideramos B1 = {(0, 1, 1) , (1, 0, 1), (1, 1, 0)} base de R3 e B2 = {(0, 1), (1, 2)} base de R2 e as bases cannicas que denotamos por C nos dous casos. Calcula: a) As matrices asociadas a f: (f

21BB

), (fCB1

), (f2

CB) e (f

CC).

b) As matrices de cambio de base: (ICB1

), (I1

CB), (I

2CB

) e (ICB2

). c) Escribe as relacins existentes entre as matrices dos apartados a) e b). d) Ker(f), Im(f) e as sas dimensins.

2

Exercicio 11. Sexan B1, B2 as bases do exercicio anterior e f: R2 R3 a aplicacin lineal con

(f12BB

) = !!!

"

#

$$$

%

&

01

30

12

.

Calcula: a) As matrices asociadas a f: (f

CB2

), (f1

CB) e (fCC).

b) A imaxe do vector v = (1, 3) e a imaxe dun vector arbitrario (x, y). c) Ker(f) e Im(f) e as sas dimensins.

Exercicio 12. Sexa f: R3 R3 a aplicacin lineal f(x, y, z) = (x+2y, 2z-x, x+z). Sexa B = {(1, 1, 1) , (2, 0, 1), (1, -1, 1)} unha base de R3 e C a base cannica. Calcula:

a) As matrices (fBB), (fBC), (fCB), (f CC ), (ICB) e (IBC). b) Escribe as relacins existentes entre as matrices anteriores. c) Ker(f), Im(f) e as sas dimensins.

Exercicio 13. Sexa f: R3 R3 a aplicacin lineal dada por f (1, 0, 1) = (1, 1, 0), f (2, 1, 0) = (0, 0,1), f(0, 1, 1) = (0, 1, 1). Probar que f est determinada. Calcula (fCC), (f 2CC), (f 1CC). Calcula a imaxe por f dos subespazos U e W, sendo U o xerado por (1, 1, 0), (0, 1, 1) e W o subespazo de ecuacin 2x z = 0.

Exercicio 14. Sexa f: R4 R3 a aplicacin lineal f(x, y, z, t) = (x+y-2t, 2z-x, y-t). Consideramos C a base cannica de R3 e os conxuntos B1 = {(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0)}; B2 = {(0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 0)}; e B3 = {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)} Probar que B1, B2 son bases de R4 e que B3 e base de R3. Calcula:

a) (f31BB

), (fCB1

), (f32BB

), (fCB2

), (I21BB

), (ICB3

), (I12BB

) e (I3

CB)

b) Escribe as relacins existentes entre as matrices anteriores. c) Ker(f), Im(f) e as sas dimensins.

Exercicio 15. Sexan B1, B2, e B3 as bases do ejercicio anterior e f: R3 R4 a aplicacin lineal con

(f13BB

) =

!!!!!

"

#

$$$$$

%

& '

110

110

011

101

.

Calcula: a) As matrices(f23BB

), (f1

CB) e (fCC).

b) A imaxe f(1, 3, 2) e a imaxe dun vector arbitrario (x, y, z). c) Ker(f) e Im(f) e as sas dimensins

3

Exercicio 16. Sexan f: R4 R2 e g: R2 R3 as aplicacins lineais tales que: (fCC) ten como vectores fila (2, 1, 0, 1) e (1, 0, 1, 2), e g (1,1) = (1, 2, 1), g (2, 1) = (1, 0, 0). Calcula ((gf)CC), Ker(gf) e Im(gf), as como a matriz de gf respecto da base cannica e da base B = { (1, 1, 1) , (0, 1, 1), (0, 1, 2)}. Exercicio 17. Sexan as aplicacins lineares seguintes: f cunha matriz que ten, por filas, os vectores (1,1,1,0) e (0,1,1,1) e g dada por g(x, y) = (xy, 0, x+y). a) Calcula o ncleo e a imaxe de gf. b) Calcula a matriz de gf respecto a las bases B e B1 sendo

B = { (2,1,1,0), (1,0,1,2), (1,1,0,1) (0,2,3,1) } e B1 = { (1,1,0), (0,1,2), (1,0,1)}

c) Calcula f(A) se A, referido a B, ten de coordenadas (1, 0, 2, 0). Exercicio 18. (a) Probar que existe unha nica aplicacin lineal f: R4 R4 tal que

i) f(1, 1, 0, 0) = (0, 1, 0, -1); f(1, 0, 1, 0) = (1, 1, 1, 0) ii) Ker (f) = Im (f)

(b) Calcula a dimensin do ncleo e imaxe de f. (c) Calcula a matriz asociada a f segundo a base cannica. (d) Existe algunha aplicacin g: R4 R4 tal que g! f sexa sobrexectiva?.

Exercicio 19. Sexa f: R2 R3 a aplicacin lineal dada por: f(1,0) = (1,1,1), f(0,1) = (2,-1,1)

(a) Calcula a matriz de f respecto das bases B = {(1,2), (2, 0)} de R2 e B' = {(1, 0, 0), (0,2,0), (0,0,3)} de R3. (b) Calcula unha base do ncleo e outra da imaxe de f.

Exercicio 20. Sea f o endomorfismo de R3 dado por: f(x,y, z) = (x + y, 2y + z, 2x - z) (a) Calcula a matriz de f respecto das bases cannicas. (b) Calcula Nuc(f), Im(f) e as suas dimensins. (c) Sexa B = {(1, 1,0), (0, 1, 1), (1,0, 1)} outra base de R3. Se u un vector de R3 de coordenadas respecto a B (2, 1, -1), calcula f(u). (d) f un isomorfismo?

Exercicio 21. Sexa f o endomorfismo de R3 dado por:

f(1,1,0) = (1,1,0), f(0,1,1) = (-1,1,0), f(1,0,1) = (0,1,0) (a) Calcula matriz de f respecto base cannica de R3. (b) Calcula unha base do ncleo e outra da imaxe de f. Exercicio 22. Calcula a matriz de xiro de R2 de ngulo .

Exercicio 23. Calcula a matriz da simetra de R2 respecto recta y = 2x.

Exercicio 24. Calcula as ecuacins, o ncleo e a imaxe da aplicacin lineal h: R4 R4 que proxecta sobre el plano U de ecuacins x + z + t = 2y + z + 2t = 0 na direccin dos vectores (1, 2, 1, 0) e (1, 0, 1, 1).

4

Exercicio 25. Considera a aplicacin lineal f de matriz A cuxos vectores fila son (4, 0, 2, 2), (5, 0, 2, 4), ( 3, 0, 1, 3) y (1, 0, 1, 1). Probar que Im(f) = Ker(f 2I). Probar que Ker(f) e Im(f) son suplementarios. Calcula unha base respecto cal a matriz de f sexa diag(2, 2, 0, 0). Exercicio 26. Sexa f o endomorfismo de R4 con Ker f ={(x,y,z,t) ! R4 / x + y + z = 0, t = 0} e que deixa fixos os vectores do subespacio U = {(x, y, z, t) ! R4 / x + y - 2z = 0, y - z = 0} (a) Xustifica que f est determinada. (b) Calcula a matriz asociada a f respecto s bases cannicas. (c) Calcula unha base do ncleo e unha base da imaxe de f.

Exercicio 27. (a) Existe algunha aplicacin lineal inxectiva ou supraxectiva f : R3 R2 tal que f(1, 0, 1) = (1, 1)? (b) Determinar todas as aplicacins lineais inxectivas ou supraxectivas f : R2 R3 tales que f(1, -1) = (-1, 1, 1) e f(1,1) = (0, 0, 2). (c) Existe algn endomorfismo inxectivo ou supraxectivo de R2 con f(1, -2) = (0, 0)?

Exercicio 28. Encontrar un endomorfismo f de R3 que verifique: Kerf = {(x,y,z) ! R3 / x - 2y + z = 0}, (1,0,-1) ! Imf Pdese: (a) I inxectiva? supraxectiva? (b) Dar unha base de Im f. (c) Cal a matriz de f respecto da base {(2, 1, 0), (1, 0, -1), (1, 1, 2)}? Exercicio 29. Calcula un endomorfismo g de R3 tal que Ker(g) ten de ecuacin x 2y +z = 0, e o vector (1, 0, 1) !Im(g). Calcula a matriz de g respecto a B = {(2, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 2)}. Exercicio 30. Dar un endomorfismo f de R4 tal que: i) f (0, 1, 0, 1) = (0, 0, 0, 1).

ii) (1, 1, 3, 2) e (1, 1, 2, 1) estn no Nucleo de f . iii) O subespazo W de ecuacins 3x 2y = 3x 2z = 3x 2t = 0 est no Nucleo de f .

Achar bases respecto s cales a matriz asociada a f sexa diag(1, 1, 0, 0). Exercicio 31. Sexa f: R3 R2 a aplicacin lineal f(x, y, z) = (x+y, 2z-x). Consideramos B1 = {(0, 1, 1) , (1, 0, 1), (1, 1, 0)} base de R3 e B2 = {(0, 1), (1, 2)} base de R2 e as bases cannicas que denotamos por C nos dous casos. Calcula:

e) As matrices asociadas a f: (f21BB

), (fCB1

), (f2

CB) e (f

CC).

f) As matrices de cambio de base: (ICB1

), (I1

CB), (I

2CB

) e (ICB2

). g) Escribe as relacins existentes entre as matrices dos apartados a) e b). h) Ker(f), Im(f) e as sas dimensins.

Exercicio 32. Sexan f: R3 R2 e g: R2 R3 as aplicacins lineais dadas por:

f(x,y,z) = (x, -x +y+2z), g(x,y) = (x +y, -x - y, 2x) (a) Calcula a matriz asociada o endomorfismo h = gf respecto base cannica de R3. (b) Encontrar o conxunto h-l{(l, 1, 1)}. (c) Calcula unha base do ncleo de h.

5

Exercicio 33. Sexan U e W os subespazos de R4 xerados, respectivamente, por B = { u1= (1,0,1,1), u2 = (0,1,2,1)} e por B= { (2,2,0,1), (1,3,1,1)}. Calcula as ecuacins de U+W e de U!W. Se f : U W a aplicacin lineal tal que f (u1) = (1, 1, 1, 2) e f (u2) = (2, 2, 2, 4), calcula as ecuacins de Ker(f) e Im(f) na base cannica. Calcula (fBB), a matriz de f respecto a B e a B. Exercicio 34. Sexa B = {(1, 0, 0, 1),(0, 1, 0, 1),(0, 0, 1, 1)} unha base dun subespazo U de R4. a) Calcula a base B1 de U tal que a matriz (IBB

1) de cambio de B a B1 tea os vectores fila (1,

1, 2) , ( 1, 0, 1) e (1, 1, 1). b) Sexa B2 = {(0, 1, 1, 0),(1, 0, 1, 2),(1, 2, 0, 3)}. Calcula a matriz de cambio de B a B2. Exercicio 35. Sexa V un espacio vectorial sobre un corpo K (K = Q, R ou C), sexa B = {ul, u2, u3} unha base de V, e sexa f o endomorfismo de V dado por:

f(ul) = ul - u2, f(u2) = u2 + 2u3, f(u3) = ul + 2u3 Pdese: (a) A matriz asociada a f respecto da base B. (b) Unha base do ncleo e outra da imaxe de f. (c) Probar que B1 = {vl, v2, v3} onde v1 = u1 + u2, v2 = u2, v3 = u2 - u3 outra base de V. (d) A matriz de cambio de base de B a B1. (e) Calcula a matriz asociada a f respecto das bases B1 e B.

Exercicio 36. Considrase a familia de endomorfismos fa de R3, a ! R , tal que a sua matriz asociada base cannica :

!!!

"

#

$$$

%

&

01

1

11

a

aa

a

(a) Calcula os valores de a para os que fa non un isomorfismo. (b) Calcula o ncleo e a imaxen de fa para esos valores de a. Exercicio 37.

Sexa V = a b

c dM R dx

!

"#

$

%& ' =

()*

+,-

2 2 0( ) / e f: V V a aplicacin lineal definida por

f(a b

c d

!

"#

$

%& ) =

a b b a

c

! !"

#$

%

&'

0. B =

!"#

$%&

''(

)**+

,''(

)**+

,''(

)**+

,

01

21,

01

12,

01

11 base de V e

C = !"#

$%&

''(

)**+

,''(

)**+

,''(

)**+

,

01

00,

00

10,

00

01 a base cannica de V.

Calcula: a) (fCC), (fBB), (fCB), (fBC), (ICB) e (IBC) b) Escribe as relacins existentes entre as matrices anteriores. c) Calcula a dimensin dos subespazos Ker(f) e Im(f) e unha base para cada un.