Bloque2 Movimiento Relativo

ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES. UNIVERSIDAD DE VALLADOLID CURSO PROPEDEÚTICO DE FÍSICA. SEPTIEMBRE 2013

BLOQUE 2: MOVIMIENTO RELATIVO

BLOQUE 2: Movimiento relativo

• Sistemas de referencia en traslación

• Sistemas de referencia en rotación


BLOQUE 2: Movimiento relativo

El movimiento de una partícula depende del S.R. elegido. Así, dos observadores (S.R. diferentes) no tienen por qué observar lo mismo el movimiento es relativo

Vista desde el Sol

Vista desde la Tierra

http://www.iesnestoralmendros.es/departam/fisica/4esofq/mov%20relativos/movimiento%20relativo.htm#TAREA

Tratemos entonces de compatibilizar las observaciones hechas por dos (o más) observadores distintos.

Ejemplo: Movimiento de la Luna

http://www.educaplus.org/movi/2_8movrelativo.html

http://www.iesnestoralmendros.es/departam/fisica/4esofq/mov relativos/movimiento relativo.htm

http://www.educaplus.org/movi/2_8movrelativo.html


BLOQUE 2: Movimiento relativo. Sistemas de referencia en traslación

Sistemas de referencia en traslación

¿Cuál es la relación de medidas tomadas entre diferentes observadores?

Consideremos un sistema de referencia O; X, Y, Z para describir dos partículas A y B, así como los vectores posición relativos entre ambas.

→→→→−== ABBA rrABr

−==→→→→

ABB/A rrABr→→→→

−== BAAB rrBAr

→→−= BAAB rr

→→→+= BAAB rrr

→→→+= ABBA rrr

- Posición relativa



→→→→

→→→

→−=−=

−== BA

BABA

ABAB vv

rrrrr

vdtd

dtd

dtd

dtd

→→→→

→→→

→−=−=

−== AB

ABAB

BABA vvrr

rrr

vdt

ddtd

dtd

dtd

Si derivamos las expresiones anteriores tendremos los denominados “vectores velocidad relativos”:

- Aceleración relativa

→→→→

→→→

→−=−=

−== BA

BABA

ABAB aa

vvvvv

adt

ddt

ddtd

dtd

→→→→

→→→

→−=−=

−== AB

ABAB

BABA aavv

vvv

adt

ddt

ddtd

dtd

Derivando de nuevo en las expresiones anteriores tendremos los “vectores aceleración relativos”:

- Velocidad relativa



Si B es una partícula que se mueve en un sistema de referencia A que a su vez se mueve respecto de un sistema fijo O:

velocidad absoluta

velocidad del sistema de ref. móvil

velocidad relativa

→→→+= rel v vv O´p

X Y

Z

O’ ≡ A

rp

X

Z

O

Y

r

rO´ i

k j

P ≡ B

→→→−= ABB/A vvv

→→→+= B/AAB vvv

Sistema fijo

Sistema móvil o relativo

De la misma forma: aceleración absoluta

aceleración del sistema de ref. móvil

aceleración relativa

→→→+= rela aa O´p

→→→−= ABB/A aaa

→→→+= B/AAB a aa



Cuestión R1

Un hombre debe salir en un bote del punto A al punto B que se encuentra en la orilla opuesta del río. La distancia BC es igual a "a". La anchura del río AC=b. ¿Con qué velocidad mínima "u" respecto al agua debe moverse el bote para llegar al punto B? La velocidad de la corriente del río es v0.



Cuestión R2

Un ferrocarril se mueve con velocidad constante de 25 km/h hacia el este. Uno de sus pasajeros, que originalmente está sentado en una ventanilla que mira al norte, se levanta y camina hacia la ventanilla del lado opuesto con una velocidad relativa al ferrocarril de 8 km/h. ¿Cuál es la velocidad absoluta del pasajero?



Cuestión R3 Un avión A vuelta con una velocidad constante de 244 m/s, describiendo un arco de circunferencia de 2440 m de radio. Otro avión B viaja en línea recta con una velocidad de 152 m/s, que aumenta a razón de 9 m/s2. Determina la velocidad y aceleración relativas del avión A respecto al B.



Cuestión P1 Un remero observa en la otra orilla del río, justo frente a su muelle, una torre; cruza el río perpendicularmente a la orilla con una velocidad respecto del río de 3 km/h y alcanza la otra orilla a 600 m de la torre. Calcular la velocidad de la corriente si el ancho del río es de 200 m.



Cuestión P2 Entre los muelles A y B que están en la misma orilla de un canal rectilíneo hay una distancia de 400 m. Un bote de remos tarda 40 s en ir de A hasta B, y 50 s en regresar. Considerando constantes los módulos de las velocidades del bote respecto del agua y de la corriente respecto de la orilla, hallar los valores de los mismos.


BLOQUE 2: Movimiento relativo. Sistemas de referencia en rotación

Los vectores unitarios (i, j, k) del sistema de referencia

móvil cambian con el tiempo

Consideremos ahora la situación más general en la que tengamos dos sistemas de referencia, uno fijo y otro móvil, con un movimiento tanto de traslación como de rotación:

Observador fijo: O; X, Y, Z

Observador móvil: O’; X, Y, Z

Sistemas de referencia en rotación

Trayectoria absoluta

Trayectoria de arrastre Trayectoria relativa

→→→→→→→+++=+= kjirrr O´O´p zyxr

,,→→→k j i



dtkdzk

dtdz

dtjdyj

dtdy

dtidxi

dtdx

dtrd

+++++=

Derivemos la expresión anterior para obtener las expresiones de las velocidades:

dtkdz

dtjdy

dtidxk

dtdzj

dtdyi

dtdx

dtrd

+++++=

→

relv

Velocidad absoluta, relativa y de arrastre

dtdv

dtd

dtrd

dtrd

v O´O´p

p

→→

→→→→

+=+==rr

Variación de los vectores unitarios

?? dtkd,

dtjd,

dtid¿¿



Se puede demostrar que:

kdtkd

jdtjd

idt

id

×ω=

×ω=

×ω=

ω es una velocidad angular

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) rkzjyixkzjyixdtkdz

dtjdy

dtidx

×ω=×ω+×ω+×ω=×ω+×ω+×ω=++

Así:

rdtrd

rel

×ω+=→

v



Por tanto, finalmente:

Así, tenemos:

Velocidad absoluta

Velocidad de arrastre

Velocidad relativa

Velocidad de arrastre de traslación

Velocidad de arrastre de rotación

→→→→→×ω++= rrel vvv O´p

→→→→→+×ω+= relr v vv O´p

→

O´v

→→

×ω r



Derivemos de nuevo en la expresión de las velocidades para obtener las expresiones de las aceleraciones:

→

rela

Aceleración absoluta, relativa, de arrastre y de Coriolis

)→→

→→→→

ω++== r x(dtd

dtvd

dtvd

dtvd

a relO´pp

dtvd rel→

(*)

→→→→→→→→

→→→→→→→→→

→→

→→

→→

→→→→

ω+=

++ω+=

=

ω+

ω+

ω+

++

=+++++=

=

++=

relrelrel

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

rel

vxakdtdj

dtdi

dtdxa

kxdtdjx

dtdix

dtdk

dtdj

dtdi

dtd

dtkd

dtdk

dtd

dtjd

dtdj

dtd

dtid

dtdi

dtd

kdtdj

dtdi

dtd

dtd

dtvd

zyx

zyxzyx

zzyyxx

zyx

→

relv



ω

→→rx

dtd (*)

→→→→→→•→

→→→→→→

→→→

→→→

ωω+ω+ω

=

ω+ω+

ω

=ω+ω

=

ω

rxxvxrx

rxvxrxdtd

dtrdxrx

dtdrx

dtd

rel

rel

Finalmente:

→→→→•→→→→→→

ωω+ω+ω++= rxxrxvxaaa relrelO´p 2



Así, tenemos:

Aceleración absoluta

Aceleración de arrastre

Aceleración relativa

rxxrxaa O´p→→→→

•→→→

ωω+ω+=

0a 0;v relrel ==→→

Aceleración de Coriolis

Notemos que:

Si la partícula está en reposo en el sistema de referencia móvil:

Si ω=0 (si el sistema móvil no gira):

Termino de arrastre

aaa relO´p→→→

+=

aa relp→→

=

Si además el movimiento es uniforme ( ): 0=→

O´a

Traslación pura

a v x r x x r x a a rel rel O´ p → → → → → → →

• → → →

+ ω + ω ω + ω + = 2



Término absoluto

v rxv v relO´p→→→→→

+ω+=

a vx rxxrxa a relrelO´p→→→→→→→

•→→→

+ω+ωω+ω+= 2

r r r O´p→→→

+=

Término de arrastre

Término relativo

Término de Coriolis

Resumiendo:



Cuestión R4

Una plataforma circular de radio R gira en posición vertical en torno a un eje horizontal fijo perpendicular a ésta que pasa por su borde con una velocidad constante Ω. La periferia de la plataforma es recorrida por una mosca con una velocidad v=ωR respecto a un sistema centrado en la plataforma. Representar los vectores velocidad y aceleración absolutas, relativas y de arrastre y aceleración de Coriolis de la mosca.



Cuestión R5

En un instante dado de una carrera de aviones, el avión A vuela horizontalmente en línea recta y su velocidad aumenta a razón de 8 m/s2. El avión B vuela a la misma altura que el A, y al rodear un pilón sigue una trayectoria circular de 300 m de radio. Sabiendo que en el instante dado la velocidad de B decrece a razón de 3 m/s2, hallar, para las posiciones indicadas: a) la velocidad de B relativa a A y la de A relativa a B; b) la aceleración de B relativa a A y la de A relativa a B.



Cuestión P3

El coche A da vuelta en una curva de 134 m con una velocidad constante de 48 km/h. En el instante indicado, el coche B se mueve a 72 km/h pero disminuye su velocidad a razón de 3 m/s2. Determinar la velocidad y aceleración del coche B observado desde el A y la de A observado desde B. La distancia que separa los dos coches en el instante representado es 30.48 m.



Cuestión P4

Un disco gira con velocidad angular constante ω alrededor del eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano del disco. Un punto M se desplaza por la cuerda AB a partir de su punto medio D con una velocidad relativa constante u. La distancia entre la cuerda y el centro del disco es igual a c. Hallar la velocidad y la aceleración absolutas del punto M en función de la distancia DM=x.



Cuestión P5

El árbol del motor M y el disco acoplado (de radio 0.6 m) giran en sentido opuesto al de las agujas del reloj cuando se mira desde encima, con velocidad constante de 3 rad/s relativa al armazón del motor y brazo solidario OM. Simultáneamente, el brazo se pone en rotación en el sentido de las agujas del reloj con celeridad angular constante ω=2 rad/s. Determinar la aceleración absoluta de cada uno de los cuatro puntos del disco en las posiciones indicadas.

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