Relatividad del movimientovelocidad relativa

aceleración relativa

Movimiento relativo deTraslación general

Movimiento relativo deRotación pura

Movimiento Relativo

O’X’Y’Z’ – S.R., respecto del cual el movimiento de un punto material se conoce

OXYZ –S.R. , respecto del que se quiere describir el movimiento de la partícula.

Objetivo del tema:

Si se conoce la evolución de O’X’Y’Z’ respecto de OXYZ, se trata de relacionar los vectores de:

r’,v’,a’ O’X’Y’Z’ r,v,a OXYZ

O O’

Z

X Y

Z’

Y’ X’

r(t) r’(t) P

Definición I: Traslación General

Se caracteriza por OO’(t)

Definición II: Rotación Pura

En general: Traslación+Rotación

€

dˆ ′ i dt

= ω × ′ i

Se caracteriza por u fija para OXYZ y O’ fija.

Se caracteriza:

u(t) y O’(t).

O

Y

X Z

O’ O’

Z’ Z’

Z

X

Y’ Y’ X’

X’

Y’

Z’

Y

X’

O=O’

u w

u

u

t1 t2

i’,j’,k’- trayectoria circular

X’

Z’

Y’

Movimiento relativo de dos puntos materiales

S.R –OXYZ-fijo

vAB, vBA, aAB, aBA

A B

Z

O Y X

rBA

rB rA

Posición relativa de B respecto de A.

Movimiento Relativo de Traslación General

Se conoce el movimiento de un punto P en O’X’Y’Z’

Describir el movimiento de P en OXYZ.

X X’

Z’

Y’ O’

Z

Y

P

O

€

r '(t)

€

r (t)

Relacionar {r,v,a}OXYZ con {r,v,a}O’X’Y’Z’

Obtenemos las Transformaciones Galileanas:

€

r (t) = r '(t) + O

O '(t)⇒

r (t) = r '(t) + O

O '(t0) +

v r (t − t0)

€

a (t) = a '(t)

v (t) = v '(t) +

v r(t), v r(t) = const

Caso particular: Movimiento Relativo de Traslación Uniforme

€

v r = const ⇒ a r =d v rdt

= 0

v r =dO O '(t)dt

= const ⇒

O O '(t) = O

O '(t0) +

v r(t − t0)

Consecuencia importante en la formulación Newtoniana de la mecánica clásica.

Movimiento Relativo de Rotación Pura

Consideramos O=O’ • En cada una de SR se usa la descomposición del vector r(t) según vectores unitarios de cada SR.

• r(t)=r’(t) Z

X Y’

O=O’

X’ Z

Y €

ˆ u

€

w

La velocidad del punto P según cada S.R.

Como r = r’ Se puede escribir como:

O bien:

Se hace extensible a la derivada temporal para cualquier vector A:

Aplicamos esta expresión para hallar la a:

Analicemos cada termino:

Analicemos cada termino:

Aplicación al Movimiento de los cuerpos en la Superficie Terrestre:

(α = 0 ω=const )

Si consideramos un punto A sobre la superficie terrestre y ,donde es la aceleración de la gravedad medida por un observador que no gira:

Tierra:

• Velocidad angular de rotación ω (una vuelta completa (2·π) cada 24 horas (86400 s):

• El radio de la Tierra: R=6370 km ≅6.4 106 m

• g0 = 9.8 m/s2

•  λ latitud

I. Cuerpo en reposo o con muy pequeña velocidad

(o de magnitud despreciable) Si y

se llama acelarción efectiva, medida por un observador en A, moviendose con la Tierra.

1. Dirección y modulo de •  señala hacia centro de la tierra

(dirección radial)

•  go=9.8 m/s2

Hemisferio Norte

2. ¿ Dirección y modulo de la aceleración centrifuga?:

Hemisferio Sur

Analicemos el vector (aceleración efectiva)

Hemisferio Norte

Señala en la dirección DA (señala hacia fuera)

•  λ es la latitud (ángulo (ACE))

• Situados en el hemisferio Norte (latitudλ). Una partícula situada en un punto A sobre la Tierra describe una circunferencia de radior=R·cosλ. Eje rotación

Aceleración centrífuga:

•  Aceleración centrifuga en modulo:

La aceleración centrifuga disminuye del ecuador a los polos.

Si ω = | ω | = 7.272 •10-5 rad/s (eje de rotación Tierra)

|r| = |AC| = R = 6.4 •106 m, dirección radial

•  Aceleración centrifuga se descompone en dos componentes según la direccion radial y la dirección Norte-Sur:

• Componente en dirección radial, (linea AB):

ω 2R·cos2λ (nula en los polos)

• Componente en dirección Norte-Sur (linea NS) ω2R·cosλsenλ (nula cuando estamos en el plano ecuatorial λ =0º y en los polos)

R S

N A

B

€

g o

El efecto de la aceleración centrifuga no depende del estado de movimiento del cuerpo, solo de su posición.

λ

λ

Aceleración efectiva:

La aceleración efectiva es maxima en los polos y minima en el ecuador.

Se analiza el vector a lo largo de la dirección radial AB y la linea SN en el puntoA (hemisferio Norte):

Comp. aceleración efectiva (dirección radial): gAB = g0 -ω2R·cos2λ (disminuye la aceleración g0 de la gravedad)

Comp. aceleración efectiva (plano horizontal):

gNS = ω2R·cosλsenλ (nula cuando estamos en el plano ecuatorial λ =0º.)

A

B

N S λ

S N A

B

λ α

Analizemos la desviación del vector (aceleración efectiva) respecto de la dirección radial:

Por lo tanto si:

• La desviación de respecto de es muy pequeña.

Si ahora consideramos un cuerpo que cae:

Se comprueba que la aceleración centrifuga (la componente en el plano horizontal) lo desvia hacia el Sur en en Hemisferio Norte:

S N A

B

A’

Hemisferio Norte

AB – dirección radial

α

• La dirección de nos da la linea de la plomada.

Aceleración centrífuga en el Hemisferio Sur:

• Situados en el hemisferio Sur (latitudλ). Una partícula situada en el punto A describe una circunferencia de radior= R·cosλ. • La aceleración centrífuga (dirigida hacia afuera) de modulo:

ac= = ω 2r = ω 2R cosλ.

N

S B

R

λ

λ go r

ω Por lo tanto, disminuye de ecuador hacia los polos:

• Ecuador (λ = 0) Μax

• Polos (λ = 90) Min.

Se descompone en dos componentes:

A

Aceleracíon efectiva en el Hemisferio Sur:

Si ahora consideramos un cuerpo que cae en el Hemisferio Sur:

• Se comprueba que la aceleración centrifuga (la componente horizontal) lo desvia hacia el Norte en en Hemisferio Sur.

S N A

B

A’ Hemisferio Sur

AB – dirección radial

go g

α

• La dirección de g nos da la linea de la plomada.

• Como α es pequeño, está desviación es despreciable.

2. Cuerpo en movimiento y el termino de Coriolis

H.N.

H.S.

ω A

A

B

B

S

N

1. Cuerpo que cae:

N

S

λ

B

λ

W

v’

E A A’

Hemisferio Norte

€

v '

€

v '

En el Hemisferio Sur:

B

W E A A’

• El vector velocidad angular ω forma un ángulo igual a la latitud λ con la dirección Norte-Sur.

• La aceleración de Coriolis en el hemisferio Norte y Sur está dirigida hacia el Este y su módulo es:

aCor= = 2ω v’·cosλ

• La aceleración de Coriolis de un cuerpo que cae es:

nula en los polos (λ =90º). En los polos ω|| v’ por tanto .

máxima en el ecuador (λ =0º).

€

( ω × v ')

S

N ω λ

Para un cuerpo que cae con velocidad v’.

€

v '

Por lo tanto, la trayectoria de una cuerpo que cae tanto en el hemisferio norte como en el hemisferio sur, experimenta una desviación hacia el Este, debida a la aceleración de Coriolis.

A A W E E W

H.S. H.N.

El efecto conjunto sobre la trayectoria de las aceleraciones de Coriolis y la aceleracioón Centrifuga es:

• HN-> desviación hacia sureste (SE)

• HS -> desviación hacia noreste (NE)

A’ A’ go go

€

v '

€

v '

3. Cuerpo que se mueve en un plano horizontal. Componentes del vector

según el plano horizontal: • No influye en la desviación a la trayectoria

• Desvía la trayectoria hacia la derecha en HN y hacia la izquierda en HS. Plano horizontal en el H.N.

Plano horizontal en el H.S.

W

S

E N

W

N

S E

ω

v’

B

A aH

aV

v’ ω

λ

B

aH aV λ

Casos particulares, cuando el cuerpo se mueve en un plano horizontal:

• En el ecuador (λ = 0) , aH = 0, tiene dirección radial.

N

S

ω N

S v’ ωH

B A

A

• Si un cuerpo se mueve según un meridiano: ωH || v’

aV = 0, aH # 0

• Si un cuerpo, en el ecuador, se mueve según un meridiano, ωH || v’:

aV = 0, aH = 0

• Si un cuerpo se mueve en los polos (λ = 90) , en un plano horizontal:

aV = 0, aH # 0

Ejemplo de la aceleración de Coriolis en el movimiento horizontal:

1. Remolino de un huracan:

Centro de baja presión-> el viento fluye hacia él.

acor desvía las moleculas de aire hacia:

•  la derecha en el HN

•  la izquierda en el HS

Da lugar a un movimiento de la masa del aire en el sentido contrario a las agujas de reloj en HN (remolino); en el HS las rotaciones son en el sentido contrario.

Ejemplo de la aceleración de Coriolis en el movimiento horizontal:

1. Oscilaciones de un péndulo

(1851 Jean Leon Foucault, con un péndulo de 67m de largo, demostró que su plano de oscilación rotaba. )

Si soltamos el péndulo en A, volvería en B, si la Tierra no estuviera rotando.

A causa de la aceleración de Coriolis, se demuestra que la trayectoria de la rotación del péndulo se desvía respecto de B hacia:

• la derecha en el HN

• la izquierda en el HS

Debida a esta desviación continua, el plano de oscilación esta rotando:

Transformaciones de Lorentz

1. Si tenemos dos sistemas de referencia con movimiento de traslacion uniforme se obtienen las transformaciones Galileanas:

€

v (t) = v '(t) +

v r(t), v r(t) = const ⇔ a (t) =

a '(t)

€

r (t) = r '(t) + O

O '(t)⇒ r (t) =

r '(t) + O O '(t0) +

v r(t − t0)

Si suponemos que O=O’ (los origenes del sistema de referencia movil y fijo) coinciden en t=t’=0 y el movimiento de traslacion uniforme es a lo largo de la direccion positiva del eje X con velocidad constante , obtenemos:

€

v r(t) = uˆ i

€

x(t) = x '(t) + ut; y(t) = y'(t); z(t) = z'(t)

€

dxdt

=dx'dt

+ u; v = v'+u; d2xdt 2

=d2x'dt 2

; a = a'

Conclusion: estas ecuaciones son validas solo cuando v’<<c.

Si v’=c se contradice la hipotesis de Einstein (la velocidad de la luz es una invariante física que tiene el mismo valor para todos los observadores)!!!

€

v = v'+u = c + u⇒ v > c

Se debe reemplazar la transformacion Galileana, por otra para que la velocidad de la luz sea una invariante.

Supongamos que pata t=t’=0 y O=O’ se emite un pulso de luz.

La luz ha llegado al punto P en un tiempo t para el observador O y en un tiempo t’ para el observador O’.

(1) El observador en O:

€

r = ct→ r2 = x 2 + y 2 + z2 = c 2t 2

(2) El observador en O’:

€

r'= ct'→ r'2 = x'2 +y'2 +z'2 = c 2t '2

Objetivo: relacionar (1) y (2) Como y=y’ y z=z’ y la velocidad de O’ es ( ), se cumple que x = ut cuando x’=0

€

O O '= utˆ i

€

u

Esto hace suponer que:

€

x'= k(x − ut)t'= a(t − bx)

Donde: k, a, b son constantes a determinarse. Para la transf. Galileana: k=a=1, b=0

Sustituyendo en (2), se obtiene:

€

(k 2 − b2a2c 2)x 2 − 2(k 2u − ba2c 2)xt + y 2 + z2 = (a2 − k 2u2 /c 2)c 2t 2

Como este resultado debe ser identico a (1), se obtiene:

€

(k 2 − b2a2c 2) =1, (k 2u − ba2c 2) = 0, (a2 − k 2u2 /c 2) =1

Resolviendo este conjunto de ecuaciones, obtenemos:

€

k = a =1

1− u2

c 2

, b = u /c 2 Se obtienen asi las Transformaciones de Lorentz:

€

x'= k(x − ut) =x − ut

1− u2

c 2

y = y' z = z'

t'= a(t − bx) =t − ux /c 2

1− u2

c 2

Son compatibles con la invariancia de la velocidad de la luz.

Ley de transformacion de Lorentz para las velocidades:

La velocidad de A medida por un observador en O:

€

vx =dxdt

, vy =dydt

, vz =dzdt

,

La velocidad de A medida por un observador en O’:

€

v'x =dx 'dt '

, v'y =dy 'dt '

, v'z =dz'dt '

,

€

dx'= dx − udt

1− u2

c 2

, dy = dy', dz = dz'

dt'= dt − udx /c 2

1− u2

c 2

Si diferenciamos las ecuaciones de Lorentz, se obtiene:

O, que es lo mismo:

€

dx'= vx − u

1− u2

c 2

dt, dy = dy', dz = dz'

dt'= 1− uvx /c 2

1− u2

c 2

dt

Es decir, se obtienen las ecuaciones de la ley de Lorentz para las velocidades:

€

v'x =dx 'dt '

=vx − u

1− uvx c 2

; v'y =dy 'dt '

=vy 1− u

2

c 2

1− uvx c 2

; v 'z =dz'dt'

=vz 1− u

2

c 2

1− uvx c 2

Caso particular:

Si una particula se mueve en la direccion X:

€

vx = v ; vy = vz = 0

v'= v − u1− uv c 2

€

v =v '+u

1− uv'c 2

Consecuencias de la transformación de Lorentz:

€

k =1

1− u2

c 2

• Contracción de la longitud

• Dilatación del tiempo