BLOQUE_2_-_MECANICA_DE_FLUIDOS

Maquinas Hidraúlicas Mecánica de Fluidos 1

1. Estabilización de la capa límite en flujos internos

Vamos a estudiar el desarrollo de la capa límite en flujos internos.

El análisis se realizará como si fuesen dos placas lisas y fijas y el fluido entra alvolumen delimitado por ellas a una velocidad determinada.

La capa límite se desarrolla a lo largo de ambas placas hasta el momento en el queambas capas límite se unen (en el eje de la tubería si el flujo en constante).

Puede ocurrir que en el momento de unión de ambas capas límites, estén en régimen la-minar o en régimen turbulento.

•Si se encuentran en régimen laminar, la capa resultante será laminar. •Si se encuentran en régimen turbulento la capa resultante será turbulenta.

Según entra el fluido en contacto con las superficies lisas la capa límite laminar es muy pequeña, por lo que la mayor parte del flujo se queda fuera de la capa límite->no hay efectos viscosos.

Esta zona de fluido sin efectos viscosos se va reduciendo conforme avanza el fluido por el interior de la tubería.


A lo largo de la longitud L´ de la tubería:

• El perfil de velocidades evoluciona hasta el perfil definitivo en el el punto B en el que se unen las capas límites.• El núcleo no viscoso resulta acelerado hasta su valor máximo en B.• El esfuerzo cortante to en la pared disminuye a lo largo de AC y aumenta bruscamente en C, disminuyendo desde entonces.• El espesor de la subcapa laminar ds aumenta en el tramo CB.

Los valores de to y ds en el punto B son los que se aplicarán al resto del cálculo del conducto (suponiendo régimen permanente y uniforme).


En tuberías, la longitud a la que se unen las capas límite (L´) depende del diámetro de la tubería (D), de la velocidad del flujo (V) y de la viscosidad:

L´= L´(D, V, m, r)

De forma adimensional: ReD = D * V * r / m = D * V / n

L´/ D = f (ReD)

Para régimen laminar:

L´/ D = 0,058 * ReD

Para régimen turbulento:

L´/ D = 4,4 * ReD1/6

La necesidad del cálculo de L´y la modelización del proceso desarrollado en ella depende del estudio que se esté realizando.


Ejercicio 1:

Calcular la longitud de entrada (L´) en una tubería de agua sabiendo que el flujo es turbulento:

•Cuando el diámetro es de 250 mm y el agua fluye a 1 m/s•Cuando el diámetro es de 1 m y la velocidad de 2 m/s

Nota: v = 1,3 * 106 m2/s

Ejercicio 2:

Un túnel de aire de baja velocidad mide 1 m de diámetro y 5 de largo hasta la sección de ensayo. Si la velocidad media del flujo de aire es de 30 m/s, determinar el diámetro del núcleo no viscoso que queda disponible para el ensayo. Determinar también L´.

Nota: v = 1,46 * 105 m2/s


2. Ecuaciones fundamentales de un flujo

Ecuación de la continuidad ( conservación de la masa)Ecuación de la energía (conservación de la energía)Ecuación de la cantidad de movimiento (conservación de la cantidad de movimiento)

Ecuación de la continuidad ( conservación de la masa)

En un flujo permanente, las características medias de cualquier sección no varía por lo que la cantidad de masa dentro de un volumen de control no varía.

m1 = m2 = m

r1 * Q1 = r2 * Q2= r * Q

Dado que Q = V * S

Para gases:

m = r1 * V1 * S1 = r2 * V2 * S2

Para gases:

m = V1 * S1 = V2 * S2 = Q


Ecuación de la energía

Para un líquido

Un líquido en reposo posee la misma energía en cualquier punto.

E = (p1 / r ) + g * z1 = (p2 / r ) + g * z2 ,multiplicando por g

E * g = H = (p1 / g ) + z1 = (p2 / g ) + z2 (energía en metros de columna de líquido)

Siendo: p : presión z: altura geométricag: gravedad g: r * g

Un líquido en movimiento puede disipar energía debido a los siguientes factores:

Energía cinéticaRozamientoDiferencia de altura geométrica (EP)

La pérdida de carga se representa con la diferencia del siguiente factor entre dos puntos:

Hr = (V12 / 2 * g) + (p1 / g) + z1


Ecuación de la energía

Potencia de un flujo

Se obtiene al multiplicar la energía de un flujo en una determinada sección por el caudal másico:

P = E * m

Al ser m = r * Q y E = g * H

P = r * Q * g * H = g * Q * H

Ecuación de la cantidad de movimiento

Para líquidos o gases en régimen permanente:

SF = m (V2 – V1)

Siendo: SF: Variación de fuerzas producidas por una variación de velocidadm: caudal másicoV: velocidad del flujo en una determinada sección


3. Pérdida de carga en conducciones

Las conducciones para transporte de fluidos pueden ser:

Abierta o Cerrada –o forzada-

La segunda sirve para transportar tanto líquidos como gases debido a que toda la superficie de la conducción está mojada por el fluido.

En conducción forzada de sección constante con flujo permanente (Q = V * S) y régimen Uniforme, la pérdida de carga entre dos secciones será:

Hr =

Si la presión es constante en el fluido en distintas secciones la pérdida de carga ente dos secciones corresponde a la diferencia de altura.

Ecuación general de pérdidas de carga

Se define radio hidráulico como el cociente de la sección del flujo y el perímetro mojado:

Rh = S / Pm

Hr = Cf * (L/Rh) * (V2/ 2*g)

Esta ecuación es válida para pérdidas de carga en conducciones con flujo permenente yuniforme, para conducciones abiertas y cerradas.

(p1 / g ) + z1 = (p2 / g ) + z2


Ecuación de Darcy-Weissbach

Para tuberías cilíndricas el radio hidráulico es igual a:

la mitad del radio de la tubería –> la cuarta parte del diámetro

Al valor 4 * Cf se le denomina coeficiente de fricción en tuberías (f)

Así la ecuación de Darcy-Weissbach queda:

Si no se dispone de la velocidad y se dispone del caudal la ecuación de Darcy-Weissbach toma esta forma:

Hr = Cf * (L/Rh) * (V2/ 2*g) = 4 Cf * (L/D) * (V2/ 2*g)v

Hr = f * (L/D) * (V2/ 2*g)

Hr = 0,0827 f * L * (Q2/ D5)


Coeficiente de fricción en tuberías

El coeficiente de fricción, f, depende de la viscosidad del fluido y, por tanto, del número de Número de Reynolds.

Si la tubería se comporta como rugosa, las protuberancias que sobresalen de la subcapa laminar quedan afectadas de la viscosidad de turbulencia, dependiendo de la altura de rugosidad (k).

Se utiliza también el parámetro adimensional k/D –rugosidad relativa)

Así el coeficiente de fricción, puede depender de:

Número de ReynoldsRugosidad relativa

Régimen laminar: f = f (ReD)

Régimen turbulento

Tubería hidráulicamente lisa (TH Lisa) TH Rugosa T con predominio de rugosidad

f = f (ReD) f = f (ReD, k/D) f = f (k/D)


Número de Reynolds para tuberías circulares

ReD = D * V / n = 4 * Q / p * D * n ; sustituyendo V = Q/S

Número crítico de Reynolds

Osborne Reynolds presentó en 1883 su experimento con la siguiente conclusión:

El paso de régimen laminar a turbulento varía al modificar el diámetro, la velocidad y/o la viscosidad.

Agrupó dichos parámetros adimensionalmente en el denominado Número de Reynolds.

ReD = V * D /n

Se estableció un valor de este número de Reynolds que determina la transición de régimen laminar a turbulento. Este es denominado Número crítico de Reynolds:

ReD = 2300

El margen real de transición está para valores de ReD entre 2000 y 4000.


Ejercicio 3:

Por un tubo de 5 cm de diámetro fluye petróleo crudo. Estimar con qué velocidad y caudal se presenta la transición, cuando la temperatura es de 10 ºC y cuando es de 50ºC.

Dato: n (10 ºC) = 1,18 * 10–5 m2/sn (10 ºC) = 1,18 * 10–5 m2/s

Ejercicio 4:

Por un tubo de 10 cm de diámetro fluye 1 dm3/s a 1 bar y 10ºC. Determinar si el flujo es laminar o turbulento, cuando el fluido es:

a) Hidrógeno n = 10–4 m2/sb) Aire n = 1,5 * 10–5 m2/sc) Keroseno n = 2,8 * 10–6 m2/sd) Agua n = 1,2 * 10–6 m2/se) Mercurio n = 1,25 * 10–7 m2/s


Ejercicio 5:

Agua a 10ºC entra en un tubo de 200 mm de diámetro. Calcular la longitud L´de entrada, donde se desarrolla la capa límite, cuando el caudal es:

a) Q = 0,1 l/s ; b) Q = 1 l/s ; c) Q = 10 l/s ; d) Q = 100 l/s ; e) Q = 1000 l/s

Ejercicio 6:

Por un tubo de 10 cm de diámetro, inclinado 30º, fluye glicerina a 30ºC en sentido Ascendente. Entre dos secciones 1 y 2 distantes 10 m, se mide (p1 –p2) = 0,8 bar.Calcular Hr, V, ReD y to.

Datos: r = 1260 kg/m3

n = 1,9 * 10–4 m2/s


Análisis matemático del coeficiente de fricción

Régimen laminar:

f = 64 / ReD

Régimen turbulento:

TH Lisa:

Blausius f = 0,3164/ (ReD) ¼

Kármán-Prandtl

TH Rugosa: Colebrook

T con dominio de la rugosidad: Kármán-Nikuradse


Dado que la fórmula de Colebrook abarca las dos anteriores, se utiliza como ecuación única para el cálculo de la fricción en tuberías de régimen turbulento.

Para realizar el cálculo se da un valor inicial a f de 0,015 y se itera hasta que el error en menor a 10-4

Ejercicio 7:

Para un caudal máximo previsto de 30 l de agua ( n = 1,2 10–6 m2/s), se coloca una tubería de 0,2 m de diámetro interior. La rugosidad del material es k = 0,025 mm.

Determinar el coeficiente de fricción f, mediante la fórmula de Colebrook, con un error inferior a 10-4


Diagrama de Moody

Es la representación gráfica de la fórmula de Colebrook.


Ejercicio 8:

Para un conducto rectangular de 0,15 x 0,30 m2 circula aire a 6 m/s.

Calcular mediante el diagrama de Moody, la caída de presión en 100 m de longitud, si k = 0,04 mm, r = 1,2 kg/m3 y n = 0,15 * 10-4 m2/s .

Cuando en un problema de pérdida de carga en tuberías se nos pide la velocidad y/o caudal, no es necesario determinar el valor de f, pues se puede eliminar entre la s fórmulas de Darcy-Weissbach y la de Colebrook.

Esto de lugar a la:

Fórmula de Darcy Colebrook

Siendo J, la pérdida de carga unitaria J = Hr / L

Conocida la velocidad el caudal se calcula multiplicando la velocidad por la sección.

Los datos para un material y fluidos concretos se tabulan en base a los valores diámetros comerciales y valores de J. Cada tabla sirve para la rugosidad y fluido para los que se calcula.


Problemas típicos en tuberías

1. Cálculo de Hr, conocidos L, Q, D, n, k2. Cálculo de Q, conocidos L, Hr, D, n, k3. Cálculo de D, conocidos L, Hr, Q, n, k

1. Cálculo de Hr, conocidos L, Q, D, n, k

1er paso: Se determinan:

Rugosidad relativa, k/D

Número de Reynolds, ReD = 4 * Q / p * D * n

2º paso: Se calcula el coeficiente de fricción, bien por la fórmula de Colebrook o por el diagrama de Moody

3er paso: Se calcula la pérdida de carga a través de la ecuación de Darcy-Weissbach, o mediante tablas (si se dispone de ellas).

Hr = 0,0827 f * L * (Q2/ D5)



2. Cálculo de Q, conocidos L, Hr, D, n, k

1er paso: Mediante la ecuación de Darcy-Colebrook se obtiene la velocidad media.

2º paso: Se calcula el caudal multiplicando la velocidad por la sección.

Q = v * S



3. Cálculo de D, conocidos L, Hr, Q, n, k

1er paso: Con un valor inicial del coeficiente de fricción fo se calcula un diámetro inicial aproximado Do, mediante la fórmula de Darcy-Weissbach

2º paso: Se determinan:

Rugosidad relativa, k/Do

Número de Reynolds, ReD = 4 * Q / p * D * n

3er paso: Con estos valores se obtiene el coeficiente de fricción f correspondiente, bien por la fórmula de Colebrook o por el diagrama de Moody. Con este se calcula el diámetro definitivo.

4º paso: Como el diámetro no será comercial se deberá elegir un díametro por exceso o por defecto o un tramo de tubería con diámetro por exceso y otro por defecto de forma que:

Hr = 0,0827 f * L * (Q2/ Do5)


Se instala un tramo de tubería de longitud L1 y diámetro D1 donde la pérdida de carga sea menor y un tramo de tubería de longitud L2 y diámetro D2 donde la pérdida de carga sea mayor, de forma que:

L = L1 + L2

Hr = Hr1 + Hr2

0,0827 f * L * (Q2/ D5) = 0,0827 f * L1 * (Q2/ D15) + 0,0827 f * L2 * (Q2/ D2

5)

L/ D5 = L1 / D15 + L2 / D2

5

Si se resuelve mediante tablas se utiliza la pérdida de carga unitaria J (J = Hr / L):

Hr = J1 * L1 + J2 * L2


Ejercicio 9

Calcular la pérdida de carga en una conducción con los siguientes valores:

L = 4000 m; Q = 200 l/s; D = 0,5 m, n = 1,24 * 10-6 m2/s (agua); k = 0,025 mm

Ejercicio 10

Calcular el caudal en una conducción con los siguientes valores:

L = 4000 m; Hr = 6 m; D = 500 mm, n = 1,24 * 10-6 m2/s (agua); k = 0,025 mm

Ejercicio 11

Se quieren trasvasar 200 l/s de agua desde un depósito a otro 5 m más bajo, distantes 4000 m.

Calcular el díámetro si k = 0,025 mm


FLUJO UNIFORME EN CANALES

Se analizarán flujos en canales en régimen permanente y uniforme con sección y pendiente constante.

Se aplica la ecuación de Darcy-Weissbach:

Para tuberías circulares el diámetro es 4 veces el radio hidráulico: D = 4 * Rh

La pérdida de carga unitaria es

J = Hr/L = f * /(4 * Rh) * (V2/ 2*g)

Dicha pérdida de carga unitaria coincide con la pendiente del canal (ver apto. 3), siendo ael ángulo que forma la solera con la horizontal:

s = tg a = f * /(4 * Rh) * (V2/ 2*g)

Despejando V:

V = (8 * g/ f )1/2 * ( s * Rh) ½

Hr = f * (L/D) * (V2/ 2*g)

Hr = f * (L/(4 * Rh) * (V2/ 2*g)


Fórmula de Chézy

Obtenida experimentalmente. El coeficiente de fricción C se denomina coeficiente de Chézy y varía de 30 m1/2/s para pequeños canales rugosos hasta 90 m1/2/s para grandes canales lisos.

El coeficiente de Chézy se demostró que no era constante sino que dependía de: rugosidad, forma y pendiente del canal. Por ello apareció la fórmula de Manning:

Al parámetro n se le denomina coeficiente de rugosidad de Manning, coeficiente tabulado.

Fórmula de Chezy-Manning

Sustituyendo el coeficiente de Chézy por la fórmula de Manning:

¿Por qué no interviene el número de Reynolds?


Vimos que cuando había dominio de la rugosidad la fórmula utilizada era la de Kármán – Nikuradse para valores de la rugosidad relativa k/D entre 0,001 y 0,005.

Se demuestra la equivalencia entre la fórmula de Manning (experimental) y la de Nikuradse.

Fuera del rango de rugosidades indicado se propone utilizar la fórmula de Darcy-Colebrook (ya vista anteriormente)

Ejercicio 12

Calcular el caudal en un canal cuya sección trapezoidal es la mitad de un hexágono de 3 m de lado. La pendiente es s = 0,0015 y la pared es de hormigón sin pulir.

Dato: la rugosidad (k) es: 2,4


Si se proporciona el caudal y se pide la altura del canal se llega a una expresión de la que no se puede despejar h, por lo que hay que realizar un tanteo.

Se calcula el caudal para distintos valores de h, y finalmente se interpola para obtener el valor definitivo.

Ejercicio 13

Calcular la profundidad del agua en un canal rectangular de 2,5 m de ancho, con una pendiente s = 0,0015 para un caudal de 6 m3/s. La pared es de cemento sin acabado.

Dato: n (Manning): 0,014

Ejercicio 14

Calcular la altura de la lámina de agua en un canal trapezoidal ( b = 60º) de 2,5 m de ancho en la base, con una pendiente de s = 0,0015, para un caudal de 6 m3/s. La pared es de cemento sin pulir.

Dato: n (Manning): 0,014


Sección económica

Para una determinada sección S de flujo en canales, el mayor caudal se consigue con la menor superficie mojada, o lo que es lo mismo, con el menor perímetro mojado.

¿cómo se puede explicar?

Una mejor superficie de rozamiento origina una menor pérdida de carga y/o una mayor velocidad.

Ejercicio 15

Establecer la sección rectangular más económica

Si se realiza el cálculo para la sección trapezoidal obtenemos que la sección más ventajosa (económica) es cuando b = 60 º.


Resistencia de forma en tuberías

Además de las pérdidas por fricción en las conducciones en tuberías existen pérdidas locales debidas a desprendimientos de la capa límite. Entre otras causas por:

• ensanchamiento brusco o gradual de sección• estrechamiento brusco o gradual de sección• entrada o salida de tuberías• válvulas• codos, tes, etc.

Si están distantes entre ellas tienen menor influencia en la conducción, exceptuando el caso de las válvulas parcialmente cerradas.

Las pérdidas se pueden calcular por los siguientes métodos:

1- Método del coeficiente de pérdida

2 – Método de longitud equivalente


Método del coeficiente de pérdida

Se denomina coeficiente de pérdida K a un valor adimensional que multiplicado por el valor v2/2g da la pérdida de carga Hra que origina el accesorio.

Recordando Darcy-Weissbach

Quedaria, para un elemento aislado con pérdida de carga:

Así la pérdida de carga total quedaría

Hr = f * (L/D) * (V2/ 2*g)

Hr = K * (V2/ 2*g)

Hr = f * (L/D) * (V2/ 2*g) + (K1 + K2 + K3+...) (V2/ 2*g)

Hr = [f * (L/D) + SK] * (V2/ 2*g)


Ensanchamiento brusco de sección

K = (1 – (d2/D2))2

Salida por tubería, o entrada en depósito

K = 1

En el caso particular de ensanchamiento brusco, por ser grande el depósito en relación a diámetro de la tubería se puede considerar K = 1.

Esto es, la energía cinética del flujo a la salida de la tubería se pierde en el depósito.


Ensanchamiento gradual

La pérdida de carga se realiza de la misma manera que para el estrechamiento brusco afectado por un coeficiente a

K = a * (1 – (d2/D2))2

Este valor a depende de los diámetros y del ángulo del ensanchamiento a.

a = f(a)

Se han tabulado los valores de a para valores de a:

Para valores menores de 7º se considera que es casi horizontal y las pérdidas de carga por rozamiento son de un orden de magnitud muy superior a las de forma.

A partir e 40º (aprox) la pérdida de carga es superior a la del ensanchamiento bruscoya que el desprendimiento del flujo es similar al brusco y se añaden las pérdidas de carga debidas a la turbulencia sobre la pared del cono.

Valores de a eficientes están por tanto entre 7º y 40 º.


Estrechamiento brusco y gradual

Para un mismo cociente de diámetros las pérdidas son menores que en un ensanchamiento.

¿Por qué?

En principio las condiciones son menos propensas para el desprendimiento de la capa límite.

Para valores de d/D 0 0,76, se usa la siguiente expresión para el cálculo de K:

K = 0,42 * (1 – (d2/D2))2

Para valores d/D superiores o iguales a 0,76 se puede utilizar la misma fórmula que para los ensanchamientos:

K = (1 – (d2/D2))2

En ambas fórmulas la energía cinética se calcula en el menor diámetro.

En un estrechamiento gradual, con conicidad entre 20º y 40º, el valor de K es del orden de 0,04, por lo que la pérdida resulta prácticamente despreciable.


K = (1 – (d2/D2))2K = 0,42 * (1 – (d2/D2))2


Entrada en tubería o salida de depósito

a b c

El caso a es un caso particular de estrechamiento brusco en el que d/D -> 0 y K = 0,42

Hra = 0,42 * V2/2g

El caso b, con una salida de depósito abocinada, K suele ser despreciable, con valores entre 0,01 y 0,05

En el caso C, en el que el tubo penetra en el depósito K vale entre 0,8 y 1.


Otros valores

Se aportan por los fabricantes. Como referencia pueden tomarse los siguientes aunque serán los propios fabricantes los que deberán identificar los K asociados a los componentes que comercializan.


Método de la longitud equivalente

Consiste en sustituir, a efectos de cálculo, el accesorio por la longitud equivalente de la tubería, que origine por rozamiento la misma pérdida.

Así, en un cálculo en el que se utilicen varias longitudes equivalentes Le, además de la longitud de la conducción la pérdida de carga se calcularía con la siguiente ecuación:

La longitud equivalente de determinados accesorios se puede calcular utilizando tablas, por lo que el cálculo de la pérdida de carga suele ser menos exacto.


Ejercicio 16

Una bomba de rendimiento 70 % eleva 2 l/s de agua a un depósito cuyo nivel está 6 m por encima. La instalación consta de 20 m de tubo de hierro galvanizado de 50 mm de diámetro, tres codos de 90 º normales, una válvula de compuerta abierta y una válvula de retención.

Calcular la potencia de la bomba con y sin accesorios y con/sin el difusor 1-2. El difusor tiene una conicidad de 8º y una relación de diámetros D1/D2 = 0,5.

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